MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Le tenseur d’inertie étant connu au point O , le produit d’inertie par rapport aux deux axes a
pour expression :
I
→
→
uv
= − v . I
O
( S).
u
8.2. Démonstration
Deux propriétés vectorielles seront utilisées dans la démonstration de l’expression du produit
d’inertie :
- le produit mixte dont on connaît la règle de permutation :
→
→
→
→
→
( V1
, V2
, V3
) = ( V3,
V1
, V2
) = ( V2
, V3,
V1
)
→
- le double produit vectoriel dont on connaît le résultat.
→
→
( A∧
B)
→ → → → → → → → → →
• ( C∧
D)
= ( A•
C)(
B•
D)
− ( A•
D)(
B•
C)
→
→
→
on pose :
→
−→
→
→
→
−→
A = OP , B = u , C = OP , D = v
→
→
−→
→
( OP ∧ u)
→
car : ( • v ) = 0
−→ → −→ → → → −→ → → −→ −→ → → −→
• ( OP∧
v)
= ( OP•
u)(
u • v)
− ( OP•
v)(
u • OP)
= −(
OP•
v)(
u • OP)
→
u
−→ → → −→ −→ → −→ →
• v)(
u • OP)
= −(
OP∧
u)
• ( OP∧
v)
( OP
( OP
→
−→
= −(
u∧
OP)
→ −→
⎛
= −⎜(
u∧
OP),
⎝
→ −→
• ( v∧
OP)
→
v,
−→
⎞
OP)
⎟
⎠
−→ → → −→
→ −→ → −→
→ −→ → −→ → −→ → −→
⎛
⎞ ⎛
⎞
• v)(
u • OP)
= −⎜(
u∧
OP),
v,
OP)
⎟ = −⎜
v,
OP,
( u∧
OP)
⎟ = − v • ( OP∧
( u∧
OP)
⎝
⎠ ⎝
⎠
→ → −→ −→ −→ → −→
→ → −→ −→ → −→ → −→
⎡
⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − v • ( • ) ( • )
• ( • ) • ( •
⎢
u OP OP − OP u OP
⎥
= − ⎜ v u ⎟ OP OP + ⎜ v OP⎟
u OP)
⎣
⎦ 14 ⎝ 44 ⎠2444
3 ⎝144
2⎠
443
1
2
⎧x
⎧u1
−→
→
⎪
⎪
Soit : OP = ⎨y
; u = ⎨u
2
;
⎪
⎩z
⎪
⎩u3
⎧v
→
⎪
v = ⎨v
⎪
⎩v
1
2
3
129