MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→
−−→
2
→
−−→
2
2
D’où : n ∧ OP = n∧
HP = ( β z − γy) + ( γx
−αz) + ( αy
− βx) = r
En remplaçant
I
Δ
=
2
2
2
r dans l’expression : I
Δ
= r dm on aboutit à :
2
2
2
∫ ( β z − γy) + ( γx
− αz) + ( αy
− βx)
)
( P∈S
)
dm
∫
( P∈S
)
2
2
I
Δ
2
= α
∫
( y
( P∈S
)
− 2αβ
∫
2
( P∈S
)
+ z
2
xydm
) dm
2
+ β
− 2αγ
∫
( x
( P∈S
)
∫
( P∈S
)
2
+ z
xzdm
2
) dm
2
+ γ
− 2βγ
∫
( x
( P∈S
)
∫
( P∈S
)
2
+ y
yzdm
2
) dm
I
= α I + β I + γ I − 2αβI
− 2αγI
− 2βγI
2
2 2
Δ xx yy zz
xy
xz
yz
; cette expression représente
l’ellipsoïde d’inertie, elle peut se mettre sous la forme matricielle suivante :
I
⎡ I − I − I ⎤⎛α
⎞
⎜ ⎟
→
= ⎢
⎥⎜
⎟ . I
O
( S).
n
⎢
⎥⎜
⎟
⎣−
I
xz
− I
yz
I
zz ⎦⎝
γ ⎠
xx xy xz
→
⎢
⎥
T
Δ
( α , β , γ ) − I
xy
I
yy
− I
yz
β = n
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe (Δ)
passant par un point O et de
→
vecteur unitaire n est égal au produit doublement contracté du tenseur d’inertie O par le
→
n
vecteur unitaire .
8. Produit d’inertie par rapport à deux axes orthogonaux Δ(
O , u)
et Δ'(
O,
v)
→
→
8.1. Définition
Le produit d’inertie noté I est défini comme étant l’intégrale des coordonnées x et
uv
u
xv
du point P relativement au axes Δ(
O , u)
et Δ'(
O,
v)
:
→
→
I
uv
=
∫
x
u
P(S )
x
v
dm
x : coordonnée de P sur l’axe Δ(
O,
u)
tel que :
u
→
x u
−−→ →
= OP•
u
x : coordonnée de P sur l’axe Δ'(
O,
v)
tel que :
v
→
−−→ →
x v
= OP•
v
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