MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 7. Moment d’inertie par rapport à un axe Δ( O, n) quelconque dans un repère → orthonormé direct → → → R( O, x, y, z) Soit (P) un point du solide (S) de masse m et un axe (Δ) passant par le centre O du repère de vecteur unitaire → n . Le moment d’inertie par rapport à l’axe (Δ) est donné par : 2 2 I Δ = ∫ r dm = ∫ HP dm ; avec HP = HP − → = r ( P∈S ) ( P∈S ) ; distance de l’élément matériel dm(P) à l’axe ( Δ) , H est la projection orthogonale de P sur cet axe. → z P (Δ) o H → y → x −−→ −−→ −−→ Nous avons : OP = OH + HP , on déduit que : → −−→ −−→ → −−→ → −−→ n ∧ ( OH + HP) = n∧ OH + n∧ HP Comme → −−→ ⎪⎧ n// OH ⎨ ⎪⎩ → n ⊥ HP −−→ et → → −−→ → −−→ −−→ n = 1 alors : n ∧ OP = n∧ HP = OP = r ⎧α ⎧x → −−→ → −→ ⎪ ⎪ Si n et OP ont pour coordonnées n = ⎨β et OP = ⎨y ⎪ ⎩γ ⎪ ⎩z Les composantes du vecteur unitaire → n porté par l’axe (Δ) sont appelées cosinus directeurs. Nous avons alors → −−→ n∧ OP ⎛α ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ βz − γy ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ β ⎟ ∧ ⎜ y⎟ = ⎜ γx −αz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ γ ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝αy − βx⎠ 127
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → −−→ 2 → −−→ 2 2 D’où : n ∧ OP = n∧ HP = ( β z − γy) + ( γx −αz) + ( αy − βx) = r En remplaçant I Δ = 2 2 2 r dans l’expression : I Δ = r dm on aboutit à : 2 2 2 ∫ ( β z − γy) + ( γx − αz) + ( αy − βx) ) ( P∈S ) dm ∫ ( P∈S ) 2 2 I Δ 2 = α ∫ ( y ( P∈S ) − 2αβ ∫ 2 ( P∈S ) + z 2 xydm ) dm 2 + β − 2αγ ∫ ( x ( P∈S ) ∫ ( P∈S ) 2 + z xzdm 2 ) dm 2 + γ − 2βγ ∫ ( x ( P∈S ) ∫ ( P∈S ) 2 + y yzdm 2 ) dm I = α I + β I + γ I − 2αβI − 2αγI − 2βγI 2 2 2 Δ xx yy zz xy xz yz ; cette expression représente l’ellipsoïde d’inertie, elle peut se mettre sous la forme matricielle suivante : I ⎡ I − I − I ⎤⎛α ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎢ ⎥⎜ ⎟ . I O ( S). n ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣− I xz − I yz I zz ⎦⎝ γ ⎠ xx xy xz → ⎢ ⎥ T Δ ( α , β , γ ) − I xy I yy − I yz β = n Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe (Δ) passant par un point O et de → vecteur unitaire n est égal au produit doublement contracté du tenseur d’inertie O par le → n vecteur unitaire . 8. Produit d’inertie par rapport à deux axes orthogonaux Δ( O , u) et Δ'( O, v) → → 8.1. Définition Le produit d’inertie noté I est défini comme étant l’intégrale des coordonnées x et uv u xv du point P relativement au axes Δ( O , u) et Δ'( O, v) : → → I uv = ∫ x u P(S ) x v dm x : coordonnée de P sur l’axe Δ( O, u) tel que : u → x u −−→ → = OP• u x : coordonnée de P sur l’axe Δ'( O, v) tel que : v → −−→ → x v = OP• v 128
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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