MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→
Dans cette base principale, les axes O , e ) , O , e ) , O,
e ) sont les axes principaux
(
1
(
2
d’inertie et la matrice d’inertie est une matrice diagonale. Les éléments de cette diagonale sont
appelés moments principaux d’inertie dans cette base.
→ → →
R P
(
1 2 3
La matrice d’inertie dans la base O,
e , e , e ) s’écrirait : I
avec
I , I , I
1
2
→
3
moments principaux.
→
→
(
3
O
( S)
/ R
P
⎡I1
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
Les axes O , e ) , O , e ) , O,
e ) étant des axes principaux, nous pouvons écrire :
(
1
→
(
2
→
(
3
0
I
2
0
0 ⎤
0
I
3
⎥ ⎥⎥ ⎦
→ →
) / R
e1
= I1
1
→ →
2 =
2 2
I
O
( S e , I
O
( S
R
e I e ,
) /
I
O
→ →
) / R
e3
= I
3 3
( S e
D’une façon générale nous aurons :
⎡ A
⎢
⎢
− F
⎢⎣
− E
− F
B
− D
⎡
− E⎤⎢
e
− D
⎥⎢
e
⎥⎢
C ⎥⎦
⎢ e
⎢⎣
→
1
→
2
→
3
⎤
⎥ ⎡I1
⎥ =
⎢
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢⎣
0
⎥⎦
0
I
2
0
⎡
0 ⎤⎢
e
0
⎥⎢
e
⎥⎢
I ⎥
3 ⎦⎢
e
⎢⎣
→
1
→
2
→
3
⎤
⎥ ⎡A
− I
⎥ ⇔
⎢
⎢
− F
⎥
⎥ ⎢⎣
− E
⎥⎦
1
− F
B − I
− D
2
− E
− D
C − I
3
⎡
⎤⎢
e
⎥⎢
⎥
e
⎢
⎥⎦
⎢ e
⎢⎣
→
1
→
2
→
3
⎤
⎥ ⎡0⎤
⎥ =
⎢ ⎥
⎢
0
⎥ ⎥
⎥ ⎢⎣
0⎥⎦
⎥⎦
Les vecteurs unitaires
→
→
→
( e1
, e2
, e3
)
ne sont pas nuls, alors ce système admet une solution si le
A − I
déterminant de la matrice est nul : − F B − I − D = 0
1
− E − D
− F − E
2
C − I
3
La solution de cette équation scalaire donne les trois valeurs propres qui sont les moments
principaux d’inertie. En reportant ces valeurs propres dans l’équation
on obtient les vecteurs propres qui ne sont autre que les directions principales.
I
O
( S)
/ R
→
ei
=
I
i
→
e
i
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