MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
8. Produit vectoriel de deux vecteurs
Le produit vectoriel de deux vecteurs V et V de l’espace
→
1
→
2
→
3
R est un vecteur W
→
perpendiculaire à V et V , défini par : W
1
→
2
→
→ → → → → → →
⎛ ⎞
= V1
∧V2
= V1
V2
sin⎜V1
, V2
⎟ n
⎝ ⎠
ou
→
n
: est un vecteur unitaire perpendiculaire à V et V
Le produit vectoriel est nul si :
- Les deux vecteurs sont colinéaires ;
- L’un des vecteurs, est nul.
→
1
→
2
→
W
→
n
→
V
2
8.1. Propriétés du produit vectoriel
→
V
1
a) Le module du produit vectoriel est égal à l’aire du parallélogramme formé par V et V ;
b) Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme vectorielle :
→
→
→
( V1
+ V2
) ∧ W = V1
∧ W + V2
∧ W
→ → → → → → →
∧ ( V1
+ V2
) = W ∧ V1
+ W ∧V2
W
→
→
→
→
c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre réel :
→
1
→
2
→
→
→
( λV ) ∧ W = λ(
V ∧
→
W )
→
→
→
V ∧ λW
) = λ(
V ∧
→
W )
d) Le produit vectoriel est antisymétrique (anticommutatif)
→ → → →
1
∧ V2
= −V2
∧ V1
V
Si on applique cette propriété au produit vectoriel d’un même vecteur, nous aurons :
→
→
→
→
→
V ∧ V = −( V ∧ V ) = 0
On déduit à partir de cette propriété que : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et
seulement si leur produit vectoriel est nul.
Si
→
→
V 1
// V 2
alors
→
→
→
V 1
∧ V 2
= 0
→
→
→ →
1 = V2
En effet si V 1
// V 2
on peut écrire : V λ ⇒
→ → → →
1
V2
= λ V2
∧ V
→
V ∧ ( ) 2
= 0
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