MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
les intégrales sont calculées sur le solide. Celui-ci peut être linéaire, surfacique ou volumique.
L’élément d’intégration dm(P) est situé en un point P du solide.
→
∫
−→
L’opérateur d’inertie s’écrit : I ( V ) = − OP∧
( OP∧V
) dm , le vecteur V est indépendant du
O
( S )
point P . Le point P est un point quelconque du solide (S) et dm est l’élément de masse
entourant le point P . Le tenseur d’inertie du solide au point O est représenté dans la base
−→
→
→
→
→
→
R(
O,
i , j,
k)
par une matrice notée
I
O
( S)
/ R
: appelée matrice d’inertie en O dans la base
→
→
→
R(
O,
i , j,
k)
du solide (S) :
I
O
( S)
/ R
⎡ A
=
⎢
⎢
− D
⎢⎣
− E
− D
B
− F
− E⎤
⎡ I
⎢
− F
⎥
⎥
= ⎢−
I
C ⎥⎦
⎢
⎣−
I
xx
xy
xz
− I
I
yy
− I
xy
yz
− I
− I
I
zz
xz
yz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
La matrice
I
O
( S)
/ R
est symétrique, réelle et diagonisable. Elle admet trois valeurs propres
réelles et trois directions propres réelles et orthogonales.
• Les valeurs propres sont appelées moments principaux d’inertie ;
• Les directions propres sont appelées axes principaux d’inertie.
Si le point P a pour coordonnées ( x , y,
z)
dans la base R(
O,
i , j,
k)
, le vecteur OP a pour
→
→
→
−−→
expression :
−−→
→
→
→
OP = x i + y j+
z k
et d’après ce que l’on vient de voir précédemment,
I
O
→
( V ) = −
∫
( S )
−→
−→
→
OP∧
( OP∧V
) dm
, les éléments de la matrice d’inertie s’écriraient sous la forme :
2
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Ox) : I = ∫ ( y + z
2
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oy) : I = ∫ ( x + z
2
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) : I = ∫ ( x + y
xx
yy
zz
( S )
( S )
( S )
2
2
2
) dm
) dm
) dm
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