MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→
u
→
V
Comme le vecteur est connu et quelconque, on constate que l’on peut passer du
→
→ →
vecteur V au vecteur u∧
V par une opération linéaire très simple à vérifier. Le produit
vectoriel est distributif, par rapport à l’addition et à la multiplication, nous pouvons alors
écrire :
3
∀ λ ∈ IR et ∀V → ∈ IR on a : u∧
λV
= λ(
u∧V
)
→
→
→
→
→ →
3
1, V2
IR
∀V ∈
on a aussi :
→ → → → → → →
u∧ ( V1 + V2
) = u∧V1
+ u∧V2
→
→ →
on peut conclure que l’on passe du vecteur V au vecteur u∧
V , par application d’un
opérateur linéaire que l’on notera : [ A ; d’où l’écriture : u∧V
A V qui se traduit sous
forme matricielle dans la base orthonormée R(
O,
i , j,
k)
par :
]
→
→
→
→ →
=
[ ] →
⎡u
⎤ ⎡
yZ
− u
zY
0
⎢ ⎥ ⎢
⎢u
z
X − u
xZ
⎥ = ⎢ u
z
⎢ ⎥ ⎢
⎣u
xY
− u
y
X ⎦ ⎣−
u
y
− u
u
0
x
z
u
y
− u
0
x
⎤⎡X
⎤
⎥⎢
⎥
⎥⎢
Y
⎥
=
⎥
⎦
⎢⎣
Z ⎥⎦
[ A]
⎡X
⎤
⎢ ⎥
⎢
Y
⎥
⎢⎣
Z ⎥⎦
La matrice
⎡ 0
⎢
⎢ u
z
⎢
⎣−
u
y
− u
u
0
x
z
u
y
− u
0
x
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
est antisymétrique dans cette base.
Pour déterminer le tenseur d’inertie, nous avons besoin d’un nouvel opérateur qui est le
→ → →
→ → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
double produit Vectoriel : ⎜ u∧
( V ∧ u)
⎟ = −⎜
u∧
( u∧V
) ⎟ car le produit vectoriel est
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
antisymétrique. D’après les relations précédentes, nous pouvons écrire cet opérateur sous la
⎛
forme : → → → ⎞
→ ⎛[ ] → ⎞ 2
= [ ] →
⎜ u∧
( u∧V
) ⎟ = u∧
⎜ A V ⎟ A V .
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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