MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 2. Centre d’inertie (centre de masse) des solides On appelle centre d’inertie d’un système matériel (S) le point G défini par la relation : ∫ P∈( S ) −→ → GP dm = 0 où P est un point du solide avec −→ → → → OP = x i + y j+ z k et −→ → → → OG = x i + y j+ z k G G G → → → Soit O le centre d’un repère orthonormé ( O, i , j, k) nous pouvons écrire dans ce −→ −→ −→ −→ repère : = OG+ GP OP dm = OG dm + GP dm alors nous obtenons : OP ∫ ∫ ∫ ∫ P∈( S ) −→ P∈( S ) P∈( S) P∈( S) −→ 14243 −→ −→ −→ 1 1 −→ OG = ∫ OP dm ; OG = ∫ OP dm m P∈( S ) P∈( S ) dm = 0 Les coordonnées du centre d’inertie G d’un système homogène sont déterminées par des calculs utilisant les éléments infinitésimaux tel que : dl pour les éléments linéaires, ds pour les éléments surfaciques et dv pour les éléments volumiques. Ainsi nous pouvons écrire : ∫ x dm ∫ y dm P∈( S ) 1 P∈( S ) 1 x G = = ∫ x dm , G = = m m ∫ P∈( S ) P∈( ∫ dm ∫ dm P∈( S ) z dm P∈( S ) 1 y y dm , z G = = ∫ z m S ) P∈( S ) dm P∈( S ) ∫ ∫ P∈( S ) dm Remarques : - Le centre d’inertie des masses homogènes coïncide avec le centre d’inertie de leurs volumes s’ils sont volumiques ou de leurs surfaces s’ils sont surfaciques. - Si le solide présente des éléments de symétrie (axes ou plans) son centre d’inertie est nécessairement situé sur ces éléments de symétrie. 113
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 3. Centre d’inertie d’un système composé Dans la réalité c’est le cas le plus souvent rencontré, les calculs sont élémentaires en résonnant sur chacun des éléments qui composent les systèmes. On détermine d’abord le centre d’inertie de chaque élément Δ i du système au point G i , puis on détermine le centre d’inertie G du système comme barycentre des points G i . Soient les éléments d’un système composé : Δ Δ ., Δ , ,................... 1 2 n ayant pour centres d’inertie respectifs : G , 1 G ,................... 2 ......., G n ayant pour vecteurs positions dans un repère → → → R( O, i , j, k) → → → r n : r 1 , r 2 ,.................., : Le centre d’inertie de ce système est donné par : quantité. n ∑ → r → i i= 1 rG = n Elle peut être un élément de longueur, de surface, de volume ou de masse. Le centre d’inertie du système aura pour coordonnées : ∑ i= 1 Δ Δ i i ième ; où Δ i est la i x G n ∑ x i i= 1 = n ∑ i= 1 Δ Δ i i , y G n ∑ i= 1 = n y ∑ i= 1 i Δ Δ i i , z G n ∑ z i i= 1 = n ∑ i= 1 Δ Δ i i où : x i , yi , zi sont les coordonnées des points Gi où l’élément Δ i est concentré. Si les Δ i sont des éléments de masses alors on peut écrire : x G n ∑ x i i= 1 = n ∑ i= 1 m m i i , y G n ∑ y i i= 1 = n ∑ i= 1 m m i i , z G n ∑ z i i= 1 = n ∑ i= 1 m m i i 114
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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