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MECANIQUE RATIONNELLE

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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES<br />

FFa<br />

TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)<br />

SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)<br />

z 0<br />

,z 1<br />

→<br />

→<br />

<strong>MECANIQUE</strong><br />

•<br />

ψ<br />

→<br />

z 2<br />

<strong>RATIONNELLE</strong><br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

L<br />

L/2<br />

A<br />

•<br />

θ<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

→<br />

x 1 ,x 2<br />

R<br />

C<br />

Cours & exercices résolus<br />

Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides,<br />

Géométrie des Masses, Cinématique du Point et du Solide,<br />

Cinétique et Dynamique des Solides<br />

A. KADI<br />

U NIVERSITE M’HAMED B OUGARA - B OUMERDES


Cet ouvrage est destiné aux étudiants de deuxième année des classes<br />

préparatoires aux grandes écoles et aux étudiants du tronc commun de<br />

technologie des universités ainsi que les étudiants du semestre 3 des<br />

sciences techniques du système LMD. Il contient des chapitres de cours et<br />

des exercices résolus à la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souvent<br />

détaillées et permette à l’étudiant de compléter sa compréhension du cours et<br />

faire soit même son évaluation.<br />

Les deux premiers chapitres traitent les outils mathématiques notamment les<br />

torseurs utilisés pour simplifier l’écriture des équations de la mécanique.<br />

Le chapitre trois décrit l’équilibre statique des solides et les différentes liaisons<br />

entre les solides et les équations qui les régissent.<br />

Le chapitre quatre est consacré à la géométrie des masses donc aux centres<br />

d’inertie et aux tenseurs d’inertie des solides. Savoir utiliser le théorème de<br />

Huygens permet de résoudre un bon nombre de problèmes en mécanique des<br />

solides et vibrations.<br />

Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinématique du point matériel et la<br />

cinématique du solide indéformables ainsi que les contacts entre les solides. Le<br />

maniement des angles d’Euler et leur assimilation sont indispensables pour la<br />

compréhension de la mécanique des solides.<br />

Les chapitres huit et neuf décrivent la cinétique et les théorèmes fondamentaux<br />

de la dynamique et le principe de l’action et de la réaction.<br />

Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotation<br />

autour d’un axe et de leur équilibrage statique et dynamique.<br />

De nombreux exercices résolus dans cet ouvrage montrent aussi la manière dont<br />

il faut utiliser les théorèmes généraux de la mécanique et combien il est<br />

important de faire un bon choix des repères pour la détermination des éléments<br />

cinématiques et cinétiques des solides.<br />

La mécanique est la science qui décrit les lois des mouvements et de l’équilibre.<br />

Elle est à la base du dimensionnement des mécanismes, des machines, des<br />

structures, des ouvrages et autres réalisations de l’homme.<br />

J’espère que le lecteur ayant utilisé l’ouvrage pourra à la fin, en utilisant les<br />

torseurs des actions mécaniques et les différentes liaisons, écrire les équations de<br />

mouvement d’un mécanisme quelconque et résoudre le problème.<br />

Je tiens à remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurs<br />

critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin d’améliorer le contenu de cet<br />

ouvrage.<br />

L’auteur<br />

Email : kadikali@yahoo.fr


Préface<br />

Quand Ali KADI m’a amicalement demandé d’écrire la préface de cet ouvrage, je<br />

n’ai pas hésité à répondre affirmativement. L’occasion qui m’est donc offerte me<br />

permet de m’adresser directement aux étudiants, aux enseignants et ingénieurs<br />

concernés par cet ouvrage. Elle me permet aussi de témoigner toute ma<br />

reconnaissance à l’auteur qui nous a offert, là, un ouvrage fort intéressant<br />

traitant d’un domaine clé des sciences de l’ingénieur, à savoir la « cinématique et<br />

dynamique des solides indéformables » où chaque cours est suivi d’une série<br />

d’exercices corrigés.<br />

L’ouvrage est structuré en chapitres complémentaires les uns des autres,<br />

traitant en détail de la géométrie des masses jusqu’à la dynamique des solides en<br />

passant par les théorèmes fondamentaux de la dynamique et du principe de<br />

l’action et de la réaction. Il s’adresse aussi bien aux étudiants des deux<br />

premières années des universités, aux étudiants des classes préparatoires aux<br />

grandes écoles, ainsi qu’aux enseignants et ingénieurs. Chacun en trouvera ce<br />

dont il a besoin. L’étudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-delà<br />

des concepts vus aux cours. L’enseignant, pour améliorer sa source de savoir.<br />

L’ingénieur pour en faire une référence indispensable.<br />

L’ouvrage proposé intègre un élément nouveau : l’approche méthodologique de<br />

résolution de problèmes. Corollaire d’une dizaines d’années de travail<br />

universitaire effectuée par l’auteur, l’approche est construite avec le souci<br />

constant de proposer des exercices corrigés à difficulté croissante, permettant<br />

la maîtrise graduelle des principes directeurs du cours.<br />

Enfin, l’heureuse idée d’avoir inclut au début de l’ouvrage une sélection des<br />

principaux outils mathématiques connexes à la compréhension de la science<br />

mécanique, ne peut que renforcer la notoriété de cet ouvrage.<br />

Professeur Kamel BADDARI<br />

Doyen de la faculté des sciences<br />

Université de Boumerdès<br />

Algérie


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE I<br />

LES OUTILS MATHEMATIQUES<br />

15


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

LES OUTILS MATHEMATIQUES<br />

La modélisation de l’espace réel, considéré dans le cadre de la mécanique classique comme<br />

étant à trois dimensions, homogène et isotrope suppose l’introduction d’outils mathématiques<br />

tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous présenterons les<br />

rappels et l’ensemble des opérations mathématiques sur les vecteurs. Nous développerons<br />

aussi l’étude sur les torseurs qui sont des outils mathématiques très important en mécanique<br />

classique, notamment en mécanique des solides. L’utilisation des torseurs en mécanique<br />

permet de simplifier l’écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la<br />

mécanique.<br />

1. Opérations sur les vecteurs<br />

Dans tout ce qui suit, on s’intéressera à l’ensemble E des vecteurs V de l’espace usuel. E est<br />

un espace Euclidien à trois dimensions.<br />

2. Définition<br />

Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité<br />

A ; il est défini par :<br />

- son origine ;<br />

A<br />

- sa direction ;<br />

O<br />

- son sens ;<br />

- son module.<br />

Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V<br />

3. Classification des vecteurs<br />

Il existe plusieurs types de vecteurs :<br />

- Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donnés mais la droite support et le<br />

point d’application (origine du vecteur) ne sont pas connues ;<br />

- Vecteur glissant : le point d’application (origine du vecteur) n’est pas fixé ;<br />

- Vecteur lié : tous les éléments du vecteur sont déterminés ;<br />

- Vecteur unitaire : c’est un vecteur dont le module est égal à 1.<br />

→<br />

ou<br />

−−→<br />

→<br />

OA<br />

16


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4. Composantes d’un vecteur<br />

Considérons une base de l’espace<br />

3<br />

R notée :<br />

R<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= ( O,<br />

e1<br />

, e2<br />

, e3<br />

) . Cette base est orthonormée<br />

→ →<br />

si : e<br />

i<br />

• e j<br />

⎧ 1<br />

= ⎨<br />

⎩0<br />

si<br />

si<br />

i = j<br />

i ≠ j<br />

→<br />

e<br />

3<br />

La base<br />

R 0<br />

est dite directe si un observateur se plaçant à<br />

l’extrémité du vecteur e verra le vecteur<br />

→<br />

→<br />

3<br />

tourner vers le<br />

vecteur e dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.<br />

2<br />

→<br />

e 1<br />

→<br />

e<br />

1<br />

→<br />

e 2<br />

→<br />

3<br />

Dans cette base un vecteur V de composantes ( x, y,<br />

z)<br />

∈ R s’écrirait :<br />

→ → → →<br />

V = x e1 + y e2<br />

+ z e3<br />

→<br />

Les quantités réelles x, y, z sont appelées composantes du vecteur V dans la base<br />

3<br />

R .<br />

La notation adoptée est la suivante : V<br />

→<br />

=<br />

⎧x<br />

⎪<br />

⎨y<br />

⎪<br />

⎩z<br />

→<br />

→<br />

R 0<br />

∈<br />

5. Loi de composition interne : Somme vectorielle<br />

→<br />

La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

∀<br />

→<br />

V , V ∈ R<br />

1<br />

→<br />

2<br />

3<br />

nous avons W<br />

→<br />

= V1 + V2<br />

R<br />

3<br />

Soit ( a ) les composantes du vecteur V d’où : V a e + a e + a et<br />

( b1 , b2<br />

, b3<br />

)<br />

1,<br />

a2<br />

, a3<br />

les composantes du vecteur V d’où : V<br />

Le vecteur somme est défini par la relation :<br />

→<br />

2<br />

→<br />

1<br />

→ → → →<br />

1<br />

=<br />

1 1 2 2 3<br />

e3<br />

→ → → →<br />

2<br />

= b1<br />

e1<br />

+ b2<br />

e2<br />

+ b3<br />

e3<br />

→<br />

W<br />

→ →<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= V1 + V2<br />

= ( a1<br />

+ b1<br />

) e1<br />

+ ( a2<br />

+ b2<br />

) e2<br />

+ ( a3<br />

+ b3<br />

) e3<br />

→<br />

L’élément neutre ou vecteur nul, est noté : 0 = (0,0,0)<br />

5.1 Propriétés de la somme vectorielle<br />

→ → → →<br />

1+ 2 2<br />

V1<br />

- la somme vectorielle est commutative : V V = V + ;<br />

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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

- la somme vectorielle est associative : ⎜V1 + V2<br />

⎟ + V3<br />

= V1<br />

+ ⎜V2<br />

+ V3<br />

⎟ ;<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

- l’élément neutre est défini par : V + 0 = V ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

⎛ ⎞<br />

- A tout vecteur V correspond un vecteur opposé noté −V tel que : V + ⎜ −V<br />

⎟ = 0<br />

⎝ ⎠<br />

5.2 Multiplication par un scalaire<br />

→<br />

Si λ est un nombre réel et<br />

→<br />

V<br />

un vecteur, leur produit est un vecteur.<br />

∀ → →<br />

3<br />

= λ<br />

→<br />

∈<br />

3<br />

∀λ ∈ R , V ∈ R ========><br />

→<br />

Le vecteur W est colinéaire au vecteur V .<br />

→<br />

W<br />

→<br />

V<br />

Si le vecteur V a pour composantes (a, b, c) tel que : V a e + a e + a ; le vecteur<br />

R<br />

→ → → →<br />

=<br />

1 1 2 2 3<br />

e3<br />

→<br />

W<br />

→<br />

s’écrirait : W<br />

1<br />

→<br />

1<br />

2<br />

→<br />

= λa<br />

e + λa<br />

e + λa<br />

e<br />

2<br />

3<br />

→<br />

3<br />

La multiplication d’un vecteur par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :<br />

→ → →<br />

1 2<br />

) V<br />

1 2<br />

a) Distribution par rapport à l’addition des scalaires : ( λ + λ = λ V + λ V ;<br />

→ → → →<br />

1<br />

+<br />

2<br />

)<br />

1 2<br />

b) Distribution par rapport à la somme vectorielle : λ( V V = λV<br />

+ λV<br />

;<br />

→ →<br />

c) Associativité pour la multiplication par un scalaire : λ ( λ = λ λ V<br />

6. Combinaison linéaire des vecteurs<br />

1 2 V )<br />

1 2<br />

→<br />

→<br />

Soit les n vecteurs : V<br />

1, V2<br />

, V3,................<br />

V i<br />

...........<br />

V n<br />

→<br />

→<br />

→<br />

de l’espace<br />

3<br />

R et<br />

λ<br />

1<br />

, λ2<br />

, λ3,........<br />

λ des<br />

n<br />

nombres réels. Les vecteurs<br />

→ → →<br />

1<br />

V1<br />

, λ2<br />

V2<br />

, λ3<br />

V3<br />

λ ,................ λ V ...........<br />

λ V<br />

i<br />

→<br />

i<br />

n<br />

→<br />

n<br />

sont aussi des<br />

vecteurs de l’espace<br />

→<br />

3<br />

R ainsi que leur somme défini par :<br />

W<br />

→<br />

= λ →<br />

+<br />

→<br />

+<br />

→<br />

+ +<br />

→<br />

1<br />

V1<br />

λ2<br />

V2<br />

λ3<br />

V3<br />

.............<br />

λn<br />

Vn<br />

=<br />

W<br />

→<br />

Le vecteur W est appelé combinaison linéaire des vecteurs :<br />

6.1. Dépendance et indépendance linéaire entre les vecteurs<br />

6.1.1. Définition<br />

n<br />

∑<br />

i<br />

i<br />

→<br />

λ V<br />

→ → →<br />

1, V2<br />

, V3<br />

V ,............<br />

i<br />

→<br />

V n<br />

→<br />

On dit que les n vecteurs : V<br />

1, V2<br />

, V3,................<br />

V i<br />

...........<br />

V n<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

de l’espace<br />

3<br />

R sont linéairement<br />

18


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

=<br />

→<br />

indépendant si et seulement si, ils vérifient la relation suivante : ∑ λ V i i<br />

0 entraîne que<br />

tous les λ<br />

i<br />

sont nuls.<br />

n<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∑ λ<br />

i<br />

Vi<br />

= λ1 V1<br />

+ λ2<br />

V2<br />

+ λ3<br />

V3<br />

+ ............. + λn<br />

Vn<br />

= 0 ⇔ λ = 1<br />

0 , λ = 0 , …….. = 0<br />

2<br />

λ<br />

n<br />

i<br />

Si les λ<br />

i<br />

ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linéairement dépendant entre eux.<br />

6.1.2. Propriétés sur l’indépendance des vecteurs<br />

→<br />

a) Un vecteur V est à lui seul un vecteur linéairement indépendant ;<br />

b) Dans un système de vecteurs linéairement indépendants, aucun d’entre eux ne peut être un<br />

vecteur nul ;<br />

c) Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous ensemble prélevé sur ces vecteurs<br />

forme un système de vecteurs indépendants.<br />

→<br />

n<br />

i<br />

6.1.3. Propriétés sur la dépendance des vecteurs<br />

Si n vecteurs sont dépendants entre eux alors, au moins l’un d’entre eux est une combinaison<br />

linéaire des autres. Soit les n vecteurs : V<br />

1, V2<br />

, V3,................<br />

V i<br />

...........<br />

V n<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

de l’espace<br />

3<br />

R et<br />

λ<br />

1<br />

, λ2<br />

, λ3,........<br />

des nombres réels, si ces vecteurs sont linéairement dépendants la relation :<br />

λ n<br />

n<br />

→ →<br />

=<br />

∑ λ V i i<br />

0<br />

Implique qu’il existe des λ<br />

i<br />

non nuls, de telle sorte que la relation puise s’écrire :<br />

V<br />

→<br />

λ V<br />

→ →<br />

→<br />

+ λ V<br />

1 1 2 2 3 3<br />

+ ............. + λ V n n<br />

i<br />

λ + = 0 qui donne par exemple :<br />

λ V<br />

→<br />

→ →<br />

⎛<br />

= −⎜<br />

+ + +<br />

⎝<br />

λ V λ V .............<br />

λ<br />

1 1 2 2 3 3<br />

→<br />

→<br />

n V n<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

V<br />

1<br />

1<br />

→<br />

⎛<br />

= − ⎜ +<br />

λ ⎝<br />

λ V λ V<br />

2 2 3<br />

1<br />

→<br />

3<br />

+ ............. + λ<br />

→<br />

n V n<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

On dit alors que V 1<br />

dépend linéairement des vecteurs :<br />

Remarque :<br />

→ → →<br />

1, 2 3<br />

→<br />

V n<br />

→<br />

→<br />

V<br />

2<br />

, V3,.........<br />

.........<br />

a) Si V V , V ,..................<br />

sont linéairement indépendant, alors les vecteurs<br />

→ → →<br />

→ → →<br />

1, 2 3<br />

n n+<br />

1 n+<br />

2<br />

V V , V ,.................. V , V , V ,... le sont aussi quel que soit les vecteurs V n<br />

, V ,...<br />

→<br />

V n<br />

→ →<br />

,<br />

+ 1 n+<br />

2<br />

19


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans un ensemble de vecteurs linéairement indépendants, chaque vecteur est une<br />

combinaison unique des autres vecteurs.<br />

b) Soit W → n<br />

= ∑α<br />

V →<br />

et U → n<br />

i i<br />

= ∑ β V →<br />

i i<br />

deux vecteurs indépendants:<br />

i<br />

i<br />

L’égalité entre les deux vecteurs indépendants est équivalente à n égalités entre les nombres<br />

→ →<br />

réels : Si W = V ⇔ α<br />

i<br />

= β<br />

i<br />

7. Produit scalaire de deux vecteurs<br />

On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et V une loi de composition externe qui<br />

associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre réel) noté : V • tel que :<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

1<br />

V 2<br />

∀<br />

→<br />

V<br />

1<br />

,<br />

→<br />

V<br />

2<br />

∈ R<br />

3<br />

⇒ V<br />

→ →<br />

1<br />

• V2<br />

∈ R<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V<br />

1<br />

• V2<br />

= V1<br />

V2<br />

cos( V1<br />

, V2<br />

) ; le résultat d’un produit scalaire est un scalaire.<br />

Le produit scalaire est nul, si :<br />

• Les deux vecteurs sont orthogonaux ;<br />

• L’un des vecteurs est nul.<br />

7.1 Propriétés du produit scalaire<br />

a) linéarité : ⎜ ⎛ → → → → → → →<br />

⎞<br />

V1<br />

+ V2<br />

⎟ • W = V1<br />

• W + V2<br />

• W<br />

⎝ ⎠<br />

⎛ → ⎞ → → →<br />

⎜ ⎟ ⎛<br />

⎜λV ⎟ • W = λ⎜V<br />

• W<br />

⎝ ⎠ ⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→ → → →<br />

→ →<br />

→ →<br />

b) symétrie par rapport aux vecteurs : V • W = W • V donc : V • V > 0 si V ≠ 0<br />

→ →<br />

Le produit scalaire est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs V et W .<br />

7.2 Expression analytique du produit scalaire<br />

Considérons une base b de l’espace<br />

→ → →<br />

3<br />

R notée : b = ( e1<br />

, e2<br />

, e3<br />

) . Cette base est orthonormée si :<br />

→<br />

e<br />

→<br />

i<br />

• e j<br />

⎧ 1<br />

= ⎨<br />

⎩0<br />

si<br />

si<br />

i = j<br />

i ≠ j<br />

→<br />

e<br />

3<br />

La base b est dite directe si un observateur se plaçant à l’extrémité<br />

→<br />

du vecteur e<br />

3<br />

verra le vecteur e<br />

1<br />

tourner vers le vecteur<br />

dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.<br />

→<br />

→<br />

e 2<br />

→<br />

e<br />

1<br />

→<br />

e 2<br />

20


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

V 1<br />

→<br />

V 2<br />

Soient deux vecteurs et . Leurs expressions dans cette base sont :<br />

→ → → →<br />

1<br />

= a1<br />

e1<br />

+ a2<br />

e2<br />

+ a3<br />

e3<br />

V<br />

→ → → →<br />

2<br />

= b1<br />

e1<br />

+ b2<br />

e2<br />

+ b3<br />

e3<br />

Le produit scalaire des deux vecteurs est donné par :<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

V +<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠<br />

V<br />

→ → → → → → → →<br />

1<br />

• V2<br />

= ⎜a1<br />

e1<br />

+ a2<br />

e2<br />

+ a3<br />

e3<br />

⎟ • ⎜b1<br />

e1<br />

+ b2<br />

e2<br />

+ b3<br />

e3<br />

⎟ = a1b1<br />

+ a2b2<br />

a3b3<br />

7.3. Norme ou module d’un vecteur<br />

→<br />

On appelle norme ou module d’un vecteur V , noté :<br />

→<br />

V la racine carrée positive du produit<br />

scalaire du vecteur par lui-même.<br />

→<br />

V<br />

=<br />

→ →<br />

V • V<br />

=<br />

→<br />

2<br />

V<br />

Nous avons en particuliers :<br />

→ →<br />

V = λ V<br />

λ<br />

→<br />

→ → → → →<br />

1<br />

− V2<br />

≤ V1<br />

+ V2<br />

≤ V1<br />

+ V2<br />

V : appelé inégalité triangulaire.<br />

7.4. Vecteurs orthogonaux<br />

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :<br />

Si<br />

→ →<br />

→ → →<br />

V ⊥W<br />

⇔ V • W = 0<br />

Si trois vecteurs non nuls sont orthogonaux deux à deux, ils sont alors linéairement<br />

indépendant et ils constituent une base orthogonale dans<br />

3<br />

R .<br />

7.5. Base orthonormée<br />

Une base est dite orthonormée si les vecteurs qui la constituent sont perpendiculaires deux à<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

deux et si leurs normes sont égales à 1. Si b = e , e , e ) est orthonormée nous avons alors :<br />

→ →<br />

1 2<br />

=<br />

→ →<br />

1 3<br />

=<br />

→ →<br />

2 3<br />

=<br />

e • e 0 , e • e 0 , e • e 0<br />

→ → →<br />

1 1 1<br />

=<br />

→ → →<br />

2 2 2<br />

=<br />

→ → →<br />

3 3 3<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

e • e = e 1 , e • e = e 1 , e • e = e 1<br />

21


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A.KADI<br />

8. Produit vectoriel de deux vecteurs<br />

Le produit vectoriel de deux vecteurs V et V de l’espace<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

3<br />

R est un vecteur W<br />

→<br />

perpendiculaire à V et V , défini par : W<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→ → → → → → →<br />

⎛ ⎞<br />

= V1<br />

∧V2<br />

= V1<br />

V2<br />

sin⎜V1<br />

, V2<br />

⎟ n<br />

⎝ ⎠<br />

ou<br />

→<br />

n<br />

: est un vecteur unitaire perpendiculaire à V et V<br />

Le produit vectoriel est nul si :<br />

- Les deux vecteurs sont colinéaires ;<br />

- L’un des vecteurs, est nul.<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

W<br />

→<br />

n<br />

→<br />

V<br />

2<br />

8.1. Propriétés du produit vectoriel<br />

→<br />

V<br />

1<br />

a) Le module du produit vectoriel est égal à l’aire du parallélogramme formé par V et V ;<br />

b) Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme vectorielle :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( V1<br />

+ V2<br />

) ∧ W = V1<br />

∧ W + V2<br />

∧ W<br />

→ → → → → → →<br />

∧ ( V1<br />

+ V2<br />

) = W ∧ V1<br />

+ W ∧V2<br />

W<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre réel :<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( λV ) ∧ W = λ(<br />

V ∧<br />

→<br />

W )<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V ∧ λW<br />

) = λ(<br />

V ∧<br />

→<br />

W )<br />

d) Le produit vectoriel est antisymétrique (anticommutatif)<br />

→ → → →<br />

1<br />

∧ V2<br />

= −V2<br />

∧ V1<br />

V<br />

Si on applique cette propriété au produit vectoriel d’un même vecteur, nous aurons :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V ∧ V = −( V ∧ V ) = 0<br />

On déduit à partir de cette propriété que : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et<br />

seulement si leur produit vectoriel est nul.<br />

Si<br />

→<br />

→<br />

V 1<br />

// V 2<br />

alors<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V 1<br />

∧ V 2<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

1 = V2<br />

En effet si V 1<br />

// V 2<br />

on peut écrire : V λ ⇒<br />

→ → → →<br />

1<br />

V2<br />

= λ V2<br />

∧ V<br />

→<br />

V ∧ ( ) 2<br />

= 0<br />

22


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A.KADI<br />

8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires d’une base orthonormée<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

Si b = e , e , e ) est orthonormée nous avons :<br />

→ → →<br />

1∧ 2<br />

e3<br />

→ → →<br />

2<br />

∧<br />

3<br />

e1<br />

Sens direct : e e = , e e = , e<br />

→ → →<br />

3<br />

∧ e1<br />

= e2<br />

→ → →<br />

2<br />

∧<br />

1<br />

e3<br />

→ → →<br />

3<br />

∧<br />

2<br />

e1<br />

Sens opposé : e e = − , e e = − ,<br />

→ → →<br />

e1 ∧ e3<br />

= − e2<br />

8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonormé direct<br />

Le produit vectoriel de deux vecteurs<br />

→<br />

→<br />

V 1 et V 2<br />

de composantes respectives dans une base<br />

orthonormée direct R:<br />

⎧X<br />

1<br />

→<br />

⎪<br />

V<br />

1=<br />

⎨Y1<br />

et<br />

⎪<br />

R ⎩Z1<br />

⎧X<br />

⎧ ⎧ −<br />

→ ⎪ ⎪ ⎪<br />

∧ → 1<br />

X<br />

2<br />

Y1Z<br />

2<br />

Z1Y2<br />

V<br />

1<br />

V2<br />

= ⎨Y1<br />

∧ ⎨Y2<br />

= ⎨Z1X<br />

2<br />

− X<br />

1Z<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩Z1<br />

⎩Z<br />

2 ⎩ X<br />

1Y2<br />

− Y1<br />

X<br />

2<br />

2<br />

⎧X<br />

2<br />

→<br />

⎪<br />

V<br />

2<br />

= ⎨Y2<br />

⎪<br />

R ⎩Z<br />

2<br />

8.4. Produit mixte<br />

→ → →<br />

1 2<br />

,<br />

3<br />

On appelle produit mixte de trois vecteurs V , V V pris dans cet ordre, le nombre réel défini<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

par : V<br />

→ ⎜ ∧ →<br />

1<br />

• V2<br />

V3<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

Le produit mixte est donc un scalaire égal au volume<br />

du parallélépipède formé par les trois vecteurs.<br />

Le produit mixte est nul, si :<br />

- les trois vecteurs sont dans le même plan ;<br />

- deux des vecteurs sont colinéaires ;<br />

- l’un des vecteurs, est nul.<br />

→<br />

V 3<br />

→<br />

V 2<br />

→<br />

V<br />

1<br />

On montre facilement que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est un variant<br />

scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est<br />

commutatif:<br />

→<br />

⎛<br />

V ⎜V2<br />

∧V<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟ = V<br />

⎠<br />

→<br />

⎛<br />

⎜V1<br />

∧V<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟ = V<br />

⎠<br />

→<br />

⎛<br />

⎜V3<br />

∧<br />

⎝<br />

→<br />

→ →<br />

→ →<br />

→<br />

1<br />

•<br />

3 3<br />

•<br />

2 2<br />

• V1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

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A.KADI<br />

Remarque :<br />

Une notation simplifiée, dans laquelle les opérateurs n’apparaissent pas, est adoptée dans ce<br />

cas pour faciliter l’écriture des équations vectorielles :<br />

→<br />

→ → →<br />

⎛ ⎞<br />

V → ⎜ ∧ →<br />

1<br />

• V2<br />

V3<br />

⎟ est équivalent à ⎜ ⎛ ⎞<br />

V1 , V2,V3<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→ → → → → → → → →<br />

nous avons alors : ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

V1 , V2<br />

, V3<br />

⎟ = ⎜V3<br />

, V1<br />

, V2<br />

⎟ = ⎜V2<br />

, V3,<br />

V1<br />

⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

8.5. Double produit vectoriel<br />

→ → →<br />

1 2<br />

,<br />

3<br />

Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs V , V V est un vecteur W exprimé<br />

→<br />

→<br />

par la relation : W<br />

→ →<br />

⎛<br />

= V ∧ ⎜V2<br />

∧<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

V3<br />

→<br />

→<br />

⎞<br />

⎟ . Le vecteur W est perpendiculaire au vecteur V<br />

1<br />

et au<br />

⎠<br />

→ →<br />

2<br />

∧ V 3<br />

vecteur formé par le produit : V , il est donc dans le plan formé par les vecteurs<br />

→<br />

→<br />

V 2<br />

et V 3<br />

. Le vecteur W peut s’écrire : W<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

= aV2 + bV3<br />

Nous pouvons présenter cette relation autrement par identification des scalaires a et b, on<br />

obtient :<br />

→ → → → → →<br />

→ → →<br />

1<br />

∧ V2<br />

∧V3<br />

= ( V1<br />

• V3<br />

) V2<br />

− ( V1<br />

• V2<br />

) V3<br />

V<br />

Il faut faire attention à l’ordre des vecteurs car le produit vectoriel n’est pas commutatif.<br />

Pour retenir cette formule, il est plus simple de l’écrire sous la forme :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

• C)<br />

A ∧ B∧<br />

C = B(<br />

A<br />

−<br />

→<br />

C ( A<br />

→ →<br />

• B)<br />

9. Projection des vecteurs<br />

9.1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un axe<br />

→<br />

Soit V un vecteur quelconque, et (<br />

Δ ) un axe de l’espace défini par son vecteur unitaire u .<br />

→<br />

La projection orthogonale du vecteur V est la composante V de ce vecteur du cet axe.<br />

→<br />

u<br />

→<br />

→ → → →<br />

Vu = ( V • u ) u<br />

→<br />

u<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V u<br />

24


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A.KADI<br />

9.2. Projection orthogonale d’un vecteur sur un plan<br />

→<br />

Soit V un vecteur quelconque, et ( π ) un plan de l’espace défini par la normale<br />

→<br />

n<br />

. La<br />

→<br />

projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.<br />

→<br />

Le vecteur V a deux composantes l’une dans le plan et l’autre perpendiculaire au plan. On a<br />

→<br />

π<br />

ainsi : V<br />

→<br />

π<br />

→<br />

→ → → → →<br />

n<br />

= V − ( V • n )<br />

= V − V<br />

n<br />

Qui s’écrit aussi sous la forme : V<br />

→<br />

π<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= ( n•<br />

n)<br />

V − ( V • n)<br />

n<br />

On retrouve la relation du double produit vectoriel<br />

→<br />

V n<br />

→<br />

n<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V<br />

π<br />

(π<br />

→ → → → → →<br />

entre les vecteurs V et n : V = n∧<br />

( V ∧ n )<br />

π<br />

10. Division vectorielle<br />

Si<br />

→<br />

→<br />

X ∧V<br />

→<br />

= W<br />

, on dit que<br />

→<br />

X est le résultat de la division vectorielle de W par V<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i) V ne doit pas être un vecteur nul ;<br />

ii)<br />

→<br />

W<br />

→<br />

et V doivent être orthogonaux<br />

S’il existe une solution particulière<br />

→<br />

X 0<br />

, alors elle est la forme<br />

→<br />

→<br />

→<br />

X = α V ∧W<br />

0<br />

En remplaçant cette valeur dans l’expression X ∧V<br />

= W on obtient :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

α (V ∧W<br />

) ∧V<br />

= W ⇔ α W ( V • V ) −α<br />

V ( V • W ) = W<br />

→ →<br />

→<br />

Comme V ⊥W alors V • = 0 ; on obtient :<br />

→<br />

W<br />

→ → → →<br />

W ( V • V ) = W<br />

1<br />

α ⇒ α =<br />

2<br />

V<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Nous avons aussi :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

X ∧V<br />

= X<br />

0<br />

∧V<br />

⇒<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( X − X<br />

0<br />

) ∧V<br />

= 0<br />

cette expression montre que le<br />

→ →<br />

→<br />

vecteur ( X − X ) est parallèle à V , dans ce cas nous pouvons écrire que :<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( X − X<br />

0<br />

) = λV<br />

avec λ ∈ IR ou<br />

→<br />

X<br />

→<br />

→<br />

= X + λV<br />

0<br />

finalement :<br />

→<br />

X<br />

→<br />

→<br />

V ∧W<br />

→<br />

= + λV<br />

2<br />

V<br />

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A.KADI<br />

11. Règle des sinus dans un triangle<br />

Soit un triangle quelconque ABC nous pouvons établir une relation entre les trois côtés et les<br />

trois angles du triangle.<br />

Dans les triangles ABD et CBD , nous avons :<br />

DB<br />

sin α = et<br />

AB<br />

d’où :<br />

On déduit :<br />

sin β =<br />

AB sinα<br />

= BC sin β<br />

BC AB =<br />

sinα<br />

sin β<br />

DB<br />

BC<br />

De même pour les triangles AEC et BEC , nous avons :<br />

EC<br />

sin α = et<br />

AC<br />

On déduit :<br />

BC AC =<br />

sinα sinθ<br />

A<br />

α<br />

D<br />

θ<br />

B<br />

β<br />

π − θ<br />

EC<br />

sin( π − θ ) = d’où AC sinα<br />

= BC sin( π −θ<br />

) = BC sinθ<br />

BC<br />

On déduit finalement une relation appelée règle des sinus dans un triangle:<br />

12. Opérateurs et vecteurs<br />

BC<br />

AC<br />

= AB =<br />

sinα<br />

sin β sinθ<br />

→ → →<br />

12.1 Opérateur gradient dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

On défini l’opérateur vectorielle noté :<br />

→<br />

∇ =<br />

∂<br />

∂<br />

→<br />

i +<br />

x<br />

∂<br />

∂y<br />

→<br />

j+<br />

l’espace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.<br />

∂<br />

∂z<br />

→<br />

k<br />

C<br />

E<br />

comme étant la dérivée dans<br />

Le gradient d’un scalaire U est défini comme étant la dérivée vectorielle suivant les trois<br />

→ → →<br />

directions respectives i , j,<br />

k par rapport aux variables : x, y, z .<br />

Exemple :<br />

−−−−−→<br />

∂U<br />

→<br />

∂U<br />

→<br />

∂U<br />

→ −−−→ →<br />

gradU ( x,<br />

y,<br />

z)<br />

= i + j+<br />

k ou grad U = ∇U<br />

∂x<br />

∂y<br />

∂z<br />

∂U<br />

U = 3 xy − 2zx<br />

+ 5yz<br />

: = 3y<br />

− 2z<br />

∂x<br />

−−−−−→<br />

→<br />

∂U<br />

, = 3 x + 5z<br />

∂y<br />

gradU ( x,<br />

y,<br />

z)<br />

= (3y<br />

− 2z)<br />

i + (3x<br />

+ 5z)<br />

j+<br />

( −2x<br />

+ 5y)<br />

k<br />

Le gradient d’un scalaire est un vecteur.<br />

→<br />

→<br />

∂U<br />

, = −2 x + 5y<br />

∂z<br />

26


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → →<br />

12.2 Opérateur divergence dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

La divergence d’un vecteur<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = V i + V j+<br />

V k<br />

x<br />

y<br />

z<br />

est définie comme étant le produit scalaire<br />

de l’opérateur :<br />

→<br />

∇ =<br />

∂<br />

∂<br />

→<br />

i +<br />

x<br />

∂<br />

∂y<br />

→<br />

j+<br />

∂<br />

∂z<br />

→<br />

k<br />

→<br />

par le vecteur V ; noté :<br />

→<br />

divV<br />

→ →<br />

∇ •<br />

= V<br />

→<br />

)<br />

div ( V<br />

⎛ ∂<br />

→<br />

∂<br />

→<br />

∂<br />

→⎞<br />

= ⎜ i + j+<br />

k ⎟<br />

⎝ ∂x<br />

∂y<br />

∂z<br />

⎠<br />

→<br />

⎛<br />

• ⎜Vx<br />

⎝<br />

i + V<br />

La divergence d’un vecteur est un scalaire.<br />

y<br />

→<br />

j+<br />

V<br />

z<br />

→⎞<br />

∂Vx<br />

k ⎟ =<br />

⎠ ∂x<br />

∂V<br />

y<br />

+<br />

∂y<br />

∂V<br />

+<br />

∂z<br />

z<br />

→ → →<br />

12.3 Opérateur rotationnel dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

Le rotationnel d’un vecteur<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = V i + V j+<br />

V k<br />

x<br />

y<br />

z<br />

est définie comme étant le produit<br />

vectoriel de l’opérateur :<br />

→<br />

∇ =<br />

∂<br />

∂<br />

→<br />

i +<br />

x<br />

∂<br />

∂y<br />

→<br />

j+<br />

∂<br />

∂z<br />

→<br />

k<br />

→<br />

par le vecteur V ;<br />

⎛ ∂<br />

⎝ ∂x<br />

−−→ → → →<br />

−−→ →<br />

→ → →<br />

→ → →⎞<br />

rot V = ∇∧ V ; rot(<br />

V ) = ⎜ i + j+<br />

k ⎟ ∧ ⎜Vx<br />

i + Vy<br />

j+<br />

Vz<br />

k ⎟ ⎠<br />

Le rotationnel d’un vecteur est aussi un vecteur.<br />

∂<br />

∂y<br />

⎧ ∂ ⎧V<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

∂x<br />

−−→ →<br />

∂ ⎪<br />

Sous la forme matricielle nous aurons : rot(<br />

V ) = ⎨ ∧ ⎨V<br />

⎪∂y<br />

⎪<br />

⎪ ∂ ⎪<br />

⎪<br />

⎩∂<br />

⎩V<br />

z<br />

Remarque :<br />

∂<br />

∂z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎧∂Vz<br />

⎪<br />

⎪<br />

∂y<br />

⎪∂Vx<br />

= ⎨<br />

⎪ ∂z<br />

⎪∂V<br />

y<br />

⎪<br />

⎩ ∂x<br />

∂V<br />

y<br />

−<br />

∂z<br />

∂Vz<br />

−<br />

∂x<br />

∂Vx<br />

−<br />

∂y<br />

Si f est un champ scalaire et<br />

→<br />

A<br />

et<br />

→<br />

B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes<br />

sont vérifiées :<br />

-<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−−→<br />

div ( f A)<br />

= fdiv A + A gradf ;<br />

(<br />

→ −−−−→ →<br />

→<br />

2 2 2<br />

= + +<br />

2 2 2<br />

- rot rot A)<br />

= grad(<br />

div A)<br />

− Δ A , avec<br />

−−→<br />

→<br />

−−−−→<br />

−−→<br />

- rot(<br />

f A)<br />

= gradf ∧ A)<br />

+ f rot(<br />

A)<br />

;<br />

−−→<br />

−−−−→<br />

→<br />

- rot(gradf ) = 0 ;<br />

−−→<br />

→<br />

- div( rot(<br />

A)<br />

= 0 ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

- div(<br />

A∧<br />

B)<br />

= B•<br />

rot(<br />

A)<br />

− A•<br />

rot(<br />

B)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

∂ ∂ ∂<br />

Δ ;<br />

∂x<br />

∂y<br />

∂z<br />

27


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A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice 01 :<br />

Deux points A et B, ont pour coordonnées cartésiennes dans l’espace : A(2,3,-3), B(5,7,2)<br />

Déterminer les composantes du vecteur<br />

Solution :<br />

−→<br />

AB<br />

ainsi que son module, sa direction et son sens.<br />

−→<br />

Le vecteur AB est donné par :<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

AB = OB+<br />

OA = 3 i + 4 i + 5 i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2 2 2<br />

Son module : AB = 3 + 4 + 5 = 50<br />

Sa direction est déterminée par les angles ( α,<br />

β , θ ) qu’il fait avec chacun des axes du repère.<br />

Ses angles se déduisent par le produit scalaire du vecteur<br />

repère orthonormé :<br />

−→<br />

AB<br />

par les vecteurs unitaires du<br />

−→ →<br />

α = ( AB,<br />

i ) : AB −→ • →<br />

AB•<br />

i 3<br />

i = AB.1.cosα<br />

⇔ cos α = = = 0. 424 ⇒ α = 64. 89°<br />

AB 50<br />

−→ →<br />

β = ( AB,<br />

j)<br />

: AB −→ • →<br />

AB•<br />

j 4<br />

j = AB.1.cos β ⇔ cos β = = = 0. 565 ⇒ β = 55. 54°<br />

AB 50<br />

−→ →<br />

θ = ( AB,<br />

k)<br />

: AB −→ • →<br />

AB•<br />

k 5<br />

k = AB.1.cosθ<br />

⇔ cos θ = = = 0. 707 ⇒ θ = 44. 99°<br />

AB 50<br />

son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est<br />

positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repère.<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

AB<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

k<br />

B<br />

→<br />

j<br />

→<br />

i<br />

A<br />

30


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 02 :<br />

→ →<br />

La résultante de deux forces F<br />

1<br />

et F2<br />

est égale à 50 N et fait un angle de 30° avec la<br />

→<br />

force F<br />

1<br />

= 15N<br />

. Trouver le module de la force F 2<br />

et l’angle entre les deux forces.<br />

Solution :<br />

= → → →<br />

R = 50 N ; V<br />

1<br />

15 N ; α = 30°<br />

, n ous avons : R = F 1<br />

+ F2<br />

C<br />

Dans le triangle rectangle: ACD rectangle en D, nous avons : →<br />

2 2 2<br />

R<br />

→<br />

AC = AD + DC<br />

F<br />

2<br />

AD = AB + BD = F 1<br />

+ F 2<br />

cosθ<br />

DC = F 2<br />

sinθ<br />

α θ<br />

A<br />

B D<br />

→<br />

F 1<br />

On obtient alors :<br />

2<br />

2<br />

2 2 2<br />

R = ( F1<br />

+ F2<br />

cosθ<br />

) + ( F2<br />

sinθ<br />

) = F1<br />

+ F2<br />

+ 2F1<br />

F2<br />

cosθ<br />

2 2 2<br />

R = F + F + F F cosθ (1)<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1 2<br />

Nous avons aussi :<br />

CD<br />

sinα<br />

=<br />

R<br />

CD<br />

sinθ<br />

=<br />

F<br />

2<br />

⇒<br />

⇒<br />

CD =<br />

CD =<br />

Rsinα<br />

F sinθ<br />

2<br />

⎫<br />

⎬ ⇒ R sinα = F2<br />

sinθ<br />

⎭<br />

(2)<br />

AD F1 + F2<br />

cosθ<br />

et cosα<br />

= =<br />

⇒<br />

R R<br />

en remplaçant l’expression (3) dans (1), on aboutit à :<br />

R cosα<br />

− F<br />

F<br />

1<br />

cos θ =<br />

(3)<br />

2<br />

R<br />

2<br />

2 2<br />

⎛ R cosα<br />

− F1<br />

⎞<br />

2 2<br />

= F1<br />

+ F2<br />

+ 2F1<br />

F2<br />

⎜<br />

= F1<br />

+ F2<br />

+ 2F1<br />

( R cos − F1<br />

)<br />

F<br />

⎟<br />

α<br />

⎝ 2 ⎠<br />

2 2<br />

d’où : F = R − F − F ( R cosα<br />

− )<br />

2 1<br />

2<br />

1<br />

F1<br />

2 2<br />

F = 50 −15<br />

− 2x15(50cos30° −15)<br />

44, 44N<br />

2<br />

=<br />

50cos30 −15<br />

L’expression (3) nous donne : cos θ =<br />

= 0, 566 ⇒ θ = 55, 528°<br />

50<br />

31


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A.KADI<br />

Exercice 03 :<br />

Soient les vecteurs suivants :<br />

→ → → →<br />

U1<br />

= A1<br />

i + A2<br />

j+<br />

A3<br />

k<br />

et<br />

→ → → →<br />

U<br />

2<br />

= B1<br />

i + B2<br />

j+<br />

B3<br />

k<br />

→ → → → →<br />

2<br />

,<br />

1 1 2 2<br />

1) Calculer les produits scalaires : U • U U • U , U • U ,<br />

→<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

On donne : V = 2 i − j+<br />

5 k , V = −3<br />

i + 1,5 j−<br />

7. 5 k ,<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = −5<br />

i + 4 j+<br />

k<br />

3<br />

→<br />

2) Calculer V1<br />

• V2<br />

et V1<br />

∧V2<br />

;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

3) Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du<br />

→<br />

2<br />

→<br />

1<br />

vecteur V par rapport à V ;<br />

4) Calculer les produits suivants V • ( V ∧ V3 ) et V ∧ V ∧ V ) ;<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

1<br />

→ →<br />

(<br />

2 3<br />

5) Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs V 2<br />

et V 3<br />

→<br />

→<br />

Solution :<br />

→ →<br />

1 2 1 1 2 2 3B3<br />

→ →<br />

1 1 1 2<br />

A3<br />

2 2 2<br />

1) U • U = A B + A B + A , U • U = A + A + ,<br />

→ →<br />

2 2 2<br />

2<br />

• U<br />

2<br />

= B1<br />

+ B2<br />

B3<br />

U +<br />

→ →<br />

1 2<br />

−<br />

2) V • V = −6<br />

−1,5<br />

− 37,5 = 45<br />

⎧ 2 ⎧ − 3 ⎧ 7,5 − 7,5 ⎧0<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

V → ∧ →<br />

1<br />

V 2<br />

= ⎨−1,5<br />

∧ ⎨ 1,5 = ⎨−1,5<br />

+ 1,5 = ⎨ 0<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩ 5 ⎩−<br />

7,5 ⎩ 3 − 3 ⎩ 0<br />

3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallèles<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V ∧ = 0 ⇒<br />

1<br />

V 2<br />

→<br />

V<br />

1<br />

→<br />

// V2<br />

De plus leur produit scalaire est négatif V<br />

1<br />

• V<br />

2<br />

= −45<br />

, alors les vecteurs V 1<br />

et V 2<br />

sont<br />

parallèles et de sens opposés<br />

⎧ 2 ⎛⎧<br />

− 3 ⎧− 5⎞<br />

⎧ 2 ⎧ 31,5<br />

→<br />

4) ( ) ⎪ ⎜⎪<br />

⎪ ⎟ ⎪ ⎪<br />

V<br />

→ 1 2<br />

∧ →<br />

• V V3 = ⎨−1•<br />

⎜⎨<br />

1,5 ∧ ⎨ 4 ⎟ = ⎨−1•<br />

⎨ 40,5 = 63 − 40,5 − 22,5 = 0<br />

⎪ 5<br />

⎜⎪<br />

7,5 ⎪ 1<br />

⎟ ⎪ 5 ⎪<br />

⎩ ⎝⎩−<br />

⎩ ⎠ ⎩ ⎩−<br />

4,5<br />

on peut retrouver ce résultat par la méthode vectorielle :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Nous avons<br />

→<br />

V<br />

1<br />

→<br />

// V2<br />

soit<br />

→ →<br />

→ → → ⎧<br />

⎪V<br />

2<br />

⊥W<br />

W = V2<br />

∧ V3<br />

⇔ ⎨ → →<br />

, calculons<br />

⎪⎩ V3<br />

⊥W<br />

→ →<br />

V1 • W<br />

32


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A.KADI<br />

→ → → →<br />

→<br />

V2<br />

⊥W<br />

V1<br />

// V2<br />

⇒ V1<br />

et ⊥W<br />

⇔ V • W 0<br />

→<br />

→ →<br />

1<br />

=<br />

⎧ 2 ⎛⎧<br />

− 3 ⎧− 5⎞<br />

⎧ 2 ⎧ 31,5 ⎧−198<br />

→ → →<br />

⎪ ⎜⎪<br />

⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪<br />

V ∧ ( ∧ )<br />

1<br />

V2<br />

V3 = ⎨−1∧<br />

⎜⎨<br />

1,5 ∧ ⎨ 4 ⎟ = ⎨−1∧<br />

⎨ 40,5 = ⎨166,5<br />

⎪ ⎜⎪<br />

⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩ 5 ⎝⎩−<br />

7,5 ⎩ 1 ⎠ ⎩ 5 ⎩−<br />

4,5 ⎩112,5<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V ∧ ( V ∧ V ) 3<br />

= −198<br />

i + 166 j+<br />

112, 5 k<br />

1<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

5) La surface du triangle formé par les vecteurs V<br />

2<br />

et V 3<br />

est donnée par la moitié du<br />

module du produit vectoriel des deux vecteurs :<br />

→<br />

→<br />

Nous avons : V ∧ V = 31,<br />

5 i + 40,5 j−<br />

4,<br />

5 k alors :<br />

2<br />

3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∧ →<br />

,<br />

2 2<br />

2<br />

V<br />

2<br />

V3<br />

= 315 , + 40,5 + ( −4 5) = 51,50<br />

→<br />

V 3<br />

→<br />

V<br />

S =<br />

2<br />

∧ V<br />

2<br />

→<br />

3<br />

51,50<br />

= = 25,75<br />

2<br />

c’est la demi surface du parallélogramme :<br />

→<br />

V 2<br />

Exercice 04 :<br />

Soient les vecteurs :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

U = 2 i + 6 k , V = 8 i + y j+<br />

z k , P = 3 i − 4 j+<br />

2 k ,<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Q = −2<br />

i + y j+<br />

12 k<br />

→ →<br />

1) Déterminer y et z pour que les vecteurs U et V soient colinéaires ;<br />

2) Déterminer la valeur de y pour que les vecteurs P et Q soient perpendiculaires;<br />

→<br />

→<br />

Solution :<br />

→<br />

→<br />

1) Si U et V sont colinéaires alors:U ∧ V = 0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⇔<br />

⎧2<br />

⎧8<br />

⎧ − 6y<br />

⎧0<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎨0<br />

∧ ⎨y<br />

= ⎨−<br />

2z<br />

+ 48 = ⎨0<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩<br />

6 ⎩z<br />

⎩ 2y<br />

⎩0<br />

⇒<br />

⎧ y = 0<br />

⎨<br />

⎩z<br />

= 24<br />

→<br />

→<br />

2) Si P et Q sont perpendiculaires alors : P • Q = 0<br />

→<br />

→<br />

⎧ 3 ⎧−<br />

2<br />

→ →<br />

⎪ ⎪<br />

P • Q = 0 ⇔ ⎨−<br />

4 • ⎨ y = 0 ⇔ − 6 − 4y<br />

+ 24 = 0<br />

⎪<br />

⎩ 2 ⎪<br />

⎩12<br />

9<br />

y =<br />

2<br />

33


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A.KADI<br />

Exercice 05 :<br />

Trouvez le volume d’un parallélépipède dont les cotés sont les vecteurs : U , P,<br />

Q,<br />

tel que :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

U = 2 i + 6 j , P = 3 j+<br />

5 k , Q = i + 4 j−<br />

2 k ,<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Solution :<br />

Le volume d’un parallélépipède est un scalaire positif. On doit utiliser une opération<br />

vectorielle dont le résultat est un scalaire positif : c’est le module du produit mixte des trois<br />

→<br />

→<br />

→<br />

vecteurs : v = U • ( P ∧ Q)<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎧2<br />

⎜<br />

⎧ ⎧<br />

0 1 ⎟ ⎧2<br />

⎧−<br />

26<br />

⎜<br />

⎪ ⎪<br />

→ → →<br />

⎟<br />

⎪ ⎜<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎟ ⎪ ⎪<br />

U • ( P ∧ Q)<br />

= ⎨6<br />

• ⎜ ⎨3<br />

∧ ⎨ 4 ⎟ = ⎨6<br />

• ⎨ 5 = − 52 + 30 = −22<br />

; ⇒<br />

⎜ ⎪ ⎪ ⎟<br />

⎪ ⎜ ⎪ ⎪ ⎟<br />

0 5 − 2 ⎪0<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪ ⎪<br />

⎩ ⎩ − 3<br />

⎩ ⎩<br />

v = U<br />

→ → →<br />

• ( P ∧ Q)<br />

= − 22 = 22<br />

⎝<br />

⎠<br />

Exercice 06 :<br />

La trajectoire d’un mobile dans un repère orthonormé directe<br />

3<br />

2<br />

t<br />

équations paramétriques suivantes : x = 4t , y = 4( t − ) ,<br />

3<br />

→ → →<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

est donnée par les<br />

z = 3t<br />

+ t<br />

3<br />

Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec l’axe oz. Quelle est la valeur de<br />

cet angle.<br />

Solution :<br />

La vitesse du mobile est donnée par : V<br />

Nous avons en effet :<br />

V<br />

tgθ<br />

=<br />

V<br />

xy<br />

z<br />

=<br />

V<br />

2 x<br />

+<br />

V<br />

z<br />

V<br />

2<br />

y<br />

→<br />

→<br />

⎧ Vx<br />

= 8t<br />

⎪<br />

2<br />

= ⎨Vy<br />

= 4(1 − t )<br />

⎪<br />

2<br />

⎩V<br />

z<br />

= 3(1 + t )<br />

→<br />

i<br />

V x<br />

→<br />

k<br />

V<br />

z<br />

V<br />

xy<br />

→<br />

V<br />

θ<br />

V y<br />

→<br />

j<br />

tgθ<br />

=<br />

64t<br />

2<br />

+ 16(1 − t<br />

3(1 + t<br />

2<br />

)<br />

2<br />

)<br />

2<br />

=<br />

64t<br />

2<br />

4<br />

+ 16t<br />

− 32t<br />

2<br />

3(1 + t )<br />

2<br />

+ 16<br />

34


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A.KADI<br />

tgθ ==<br />

16( t<br />

2<br />

+ 2t<br />

3(1 + t<br />

2<br />

2<br />

)<br />

+ 1)<br />

=<br />

16(1 + t<br />

3(1 + t<br />

2<br />

2<br />

)<br />

)<br />

2<br />

=<br />

4(1 + t<br />

3(1 + t<br />

2<br />

2<br />

)<br />

)<br />

=<br />

4<br />

3<br />

4<br />

tg θ = ⇒ θ = 53, 13°<br />

la valeur de l’angle est bien constante.<br />

3<br />

Exercice 07 :<br />

⎧1,22<br />

→<br />

⎪<br />

La ligne d’action d’une force F de 800 N , passe par les points A ⎨ 0 et<br />

⎪<br />

⎩2,74<br />

dans un repère orthonormé. Déterminer les composantes de cette force<br />

B<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨1,22<br />

⎪<br />

⎩0,61<br />

Solution :<br />

Nous avons :<br />

−→<br />

AB<br />

→<br />

= AB u<br />

AB<br />

⇒<br />

−→<br />

→<br />

AB<br />

u AB = vecteur unitaire porté par la ligne d’action.<br />

AB<br />

→<br />

u AB<br />

=<br />

−→<br />

AB<br />

AB<br />

=<br />

−1,22<br />

i + 1,22 j−<br />

2,13k<br />

( −1,22)<br />

2<br />

→<br />

→<br />

+ (1,22)<br />

2<br />

→<br />

+ ( −2,13)<br />

2<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−1,22<br />

i + 1,22 j−<br />

2,13k<br />

2,74<br />

→<br />

→<br />

u AB<br />

= −0<br />

,445 i + 0,445 j−<br />

0, 777 k<br />

→<br />

La force F s’écrira :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= F u = 800( −0,445<br />

i + 0,445 j−<br />

0,777 k)<br />

= −356<br />

i + 356 j−<br />

621,6 k)<br />

AB<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Les composantes de la force sont ainsi connues suivant les trois axes du repère.<br />

Exercice 08 :<br />

Soit un repère orthonormé direct<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R( O,<br />

e1<br />

, e2<br />

, e3<br />

)<br />

dans l’espace vectoriel Euclidien<br />

3<br />

R à trois<br />

dimensions dans le corps des nombres réels. Soit un axe<br />

→<br />

Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

passant par le point O et de<br />

⎧u1<br />

→ →<br />

⎪<br />

vecteur unitaire u tel que : u = ⎨ u2<br />

, et un vecteur quelconque<br />

⎪ ⎩ u<br />

3<br />

⎧V<br />

→<br />

⎪<br />

V = ⎨V<br />

⎪<br />

⎩V<br />

1<br />

2<br />

3<br />

35


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On note<br />

π un plan orthogonal à l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

u<br />

→<br />

1) Calculer les produits scalaires suivants : u • u , V • V , u • V ;<br />

→<br />

2) Déterminer les composantes du vecteur W = u∧<br />

V dans le repère R O,<br />

e , e , e ) ; En<br />

→<br />

déduire dans cette base la matrice représentant l’opérateur produit vectoriel noté :<br />

→<br />

∧<br />

[ ]<br />

u = *u<br />

;<br />

→<br />

V u<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

3) Trouver l’expression du vecteur : projection orthogonale du vecteur V sur l’axe<br />

→<br />

Δ(<br />

O , u)<br />

; En déduire la matrice [ u ] représentant l’opérateur projection orthogonale sur<br />

→<br />

l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

;<br />

P<br />

→<br />

V π<br />

4) Trouver l’expression du vecteur : projection orthogonale du vecteur V sur le plan<br />

π ; En déduire la matrice [ représentant l’opérateur projection orthogonale sur sur le<br />

u<br />

plan π<br />

u<br />

;<br />

5) Déterminer l’expression de la distance d d’un point<br />

u π<br />

]<br />

⎧x<br />

→<br />

⎪<br />

P ⎨y<br />

à l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

; En déduire<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

2<br />

l’expression matricielle représentant la distance au carrée : d dans le repère R.<br />

→<br />

→<br />

Solution :<br />

1) Calcul des produits scalaires :<br />

→<br />

→<br />

u • u = u +<br />

2 2 2<br />

1<br />

+ u2<br />

u3<br />

→<br />

→<br />

2 2 2<br />

, V • V = V + V + ,<br />

1 2<br />

V3<br />

→<br />

→<br />

u • V = u V +<br />

1 1<br />

+ u2V2<br />

u3V3<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

2) W = u∧<br />

V dans le repère R O,<br />

e , e , e )<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

W = u∧V<br />

⎛ u1<br />

⎞ ⎛V1<br />

⎞ ⎛u2V3<br />

− u3V<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

= ⎜u2<br />

⎟ ∧ ⎜V2<br />

⎟ = ⎜ u3V1<br />

− u1V<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝u3<br />

⎠ ⎝V3<br />

⎠ ⎝ u1V<br />

2<br />

− u2V<br />

2<br />

3<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

, sous forme matricielle l’expression s’écrira :<br />

⎡ 0<br />

−→<br />

W =<br />

⎢<br />

⎢<br />

u3<br />

⎢⎣<br />

− u<br />

2<br />

− u<br />

0<br />

u<br />

1<br />

3<br />

u<br />

2<br />

− u<br />

0<br />

1<br />

⎤⎛V<br />

⎥⎜<br />

⎥⎜V<br />

⎥⎜<br />

⎦⎝V<br />

1<br />

2<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⇔<br />

⎡ 0 − u3<br />

u2<br />

⎤<br />

−→<br />

→<br />

W =<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

u3<br />

0 − u1⎥<br />

V<br />

⎢⎣<br />

− u u 0 ⎥<br />

2 1 ⎦<br />

36


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎡ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

⎢⎣<br />

− u<br />

− u<br />

W − →<br />

= [* u] V<br />

→<br />

avec : [*<br />

u] = u 0 − u opérateur produit vectoriel.<br />

→<br />

V u<br />

2<br />

u<br />

3) Expression du vecteur , projection de V sur l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

dans R<br />

1<br />

3<br />

u<br />

2<br />

0<br />

1<br />

→<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

→<br />

Nous avons :<br />

→<br />

V u<br />

⎛ ⎞<br />

= ⎜ u<br />

⎝ ⎠<br />

→ → →<br />

V • u ⎟<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

= ⎜V<br />

⎝<br />

→ →<br />

→<br />

→ → →<br />

⎞<br />

⎛<br />

⎞<br />

V u<br />

• u ⎟ u = ( u1V1<br />

+ u2V2<br />

+ u3V3<br />

) u = ( u1V1<br />

+ u2V2<br />

+ u3V3<br />

) ⎜u1<br />

e1<br />

+ u2<br />

e2<br />

+ u3<br />

e3<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

( ) ( ) ( ) →<br />

2<br />

→ 2<br />

→<br />

2<br />

= u<br />

1V1<br />

+ u1u2V2<br />

+ u1u3V3<br />

e1<br />

+ u1u2V1<br />

+ u2V2<br />

+ u2u3V3<br />

e2<br />

+ u1u3V1<br />

+ u2u3V2<br />

+ u3V3<br />

e3<br />

⎛ u1<br />

⎞<br />

⎜ ⎟<br />

= ⎜u2<br />

⎟ 1 2 3<br />

V<br />

⎜ ⎟<br />

⎝u3<br />

⎠<br />

( ) → T<br />

u u u V = [][ u u ] →<br />

Nous avons donc : [ u ]<br />

P<br />

=<br />

⎛ u<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝u<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

T<br />

[ u][ u ] = u ( u u u )<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

3<br />

2<br />

⎡ u1<br />

⎢<br />

= ⎢u1u<br />

⎢<br />

⎣u1u<br />

2<br />

3<br />

u u<br />

1 2<br />

2<br />

u2<br />

u<br />

2<br />

u<br />

3<br />

u ⎤<br />

1u3<br />

⎥<br />

u2u3<br />

⎥<br />

2<br />

u ⎥<br />

3 ⎦<br />

→<br />

V π<br />

4) Expression du vecteur , projection de V sur le plan (π ) orthogonal à → u<br />

Le vecteur<br />

→<br />

V<br />

→<br />

a deux composantes, l’une perpendiculaire au plan elle est portée par l’axe<br />

(Δ)<br />

et l’autre dans le plan (π ) .<br />

Nous avons alors :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

→ → → → → → →<br />

V = Vu<br />

+ Vπ<br />

= ⎜V<br />

• u ⎟ u + Vπ<br />

→ → → → → → → → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

V<br />

π<br />

= V − ⎜V<br />

• u ⎟ u = ⎜ u • u ⎟V<br />

− ⎜V<br />

• u ⎟ u , on retrouve la forme du double produit<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

→ → → →<br />

⎛ ⎞<br />

vectoriel d’où : = u∧<br />

⎜V<br />

∧ u ⎟ . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :<br />

⎝ ⎠<br />

V π<br />

[<br />

→ → → →<br />

] →<br />

→<br />

→<br />

⎧ ⎫<br />

V ∧ u = − u∧V<br />

= − * u V , ce qui donne : V<br />

π = [*<br />

u] ⎨ − [*<br />

u]<br />

V ⎬<br />

⎩ ⎭<br />

* u T = −[ * u]<br />

mais nous savons que : [ ] on a finalement :<br />

T<br />

{ } V<br />

→<br />

[ u ] →<br />

⎧ T<br />

[ ] [ ] → ⎫<br />

= * u ⎨ * u V ⎬ = [*<br />

u][ * u]<br />

P<br />

V<br />

⎩ ⎭<br />

V<br />

→ π<br />

=<br />

37


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

avec [ ] [ ][ ] T<br />

u = * u * u<br />

P<br />

Développons cette expression :<br />

[ u ] = [*<br />

u][ * u]<br />

P<br />

T<br />

⎡ 0<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

u3<br />

⎢⎣<br />

− u<br />

2<br />

− u<br />

0<br />

u<br />

1<br />

3<br />

u<br />

2<br />

− u<br />

0<br />

1<br />

⎤⎡<br />

0<br />

⎥⎢<br />

⎥⎢<br />

− u<br />

⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

u2<br />

3<br />

u<br />

3<br />

0<br />

− u<br />

1<br />

− u<br />

u<br />

1<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

=<br />

⎥⎦<br />

2<br />

⎡u2<br />

⎢<br />

⎢ −<br />

⎢<br />

⎣<br />

−<br />

+ u<br />

u u<br />

1<br />

u u<br />

1<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

− u u<br />

u<br />

2<br />

1<br />

1<br />

+ u<br />

− u u<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

3<br />

− u u<br />

u<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

3<br />

− u u<br />

+ u<br />

3<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

sachant que : u<br />

1<br />

+ u2<br />

+ u3<br />

= 1 alors : u<br />

2<br />

+ u3<br />

= 1−<br />

u1<br />

, u<br />

1<br />

+ u3<br />

= 1−<br />

u2<br />

, u<br />

1<br />

+ u2<br />

= 1−<br />

u<br />

u P<br />

La matrice [ s’écrira :<br />

]<br />

2<br />

3<br />

[ ]<br />

u P<br />

2<br />

⎡1−<br />

u1<br />

⎢<br />

= ⎢−<br />

u1u2<br />

⎢<br />

⎣<br />

− u1u3<br />

[ u ] = [] 1 − [ u][ u] T<br />

p<br />

− u u<br />

1 2<br />

2<br />

2<br />

1−<br />

u<br />

− u u<br />

or nous avons [ u * u * u<br />

P<br />

2<br />

3<br />

− u ⎤<br />

1u3<br />

⎡1<br />

0<br />

⎥<br />

− u =<br />

⎢<br />

2u3<br />

⎥ ⎢<br />

0 1<br />

2<br />

1−<br />

u ⎥<br />

⎦<br />

⎢<br />

3 ⎣0<br />

0<br />

2<br />

0⎤<br />

⎡ u1<br />

⎢<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

− ⎢−<br />

u1u<br />

1⎥⎦<br />

⎢<br />

⎣<br />

− u1u<br />

] = [ ][ ] T<br />

⇒ [*<br />

u][ * u] T<br />

= [ 1] − [ u][ u] T<br />

2<br />

3<br />

− u u<br />

1 2<br />

2<br />

2<br />

u<br />

− u u<br />

T<br />

T<br />

finalement : [* u ][ * u] + [ u][ u] = [ 1]<br />

2<br />

3<br />

− u ⎤<br />

1u3<br />

⎥<br />

− u2u3<br />

⎥<br />

2<br />

u ⎥<br />

3 ⎦<br />

5) Expression de la distance d du point P à l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

→<br />

−→<br />

d = HP<br />

−→<br />

Calculons le produit vectoriel : OP ∧ u<br />

−→<br />

Le vecteur OP a pour composantes :<br />

−→ → −→ −→ → −→ →<br />

⎛ ⎞<br />

OP ∧ u = ⎜OH<br />

+ HP⎟<br />

∧ u = HP∧<br />

u<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

⎧x<br />

⎪<br />

OP<br />

−→<br />

= → r = ⎨y<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

→<br />

u<br />

H<br />

O<br />

(Δ)<br />

P<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

HP ∧ u = HP u sin 90°<br />

= HP = d<br />

nous avons alors :<br />

d 2<br />

−→ →<br />

⎛ ⎞<br />

= ⎜OP∧<br />

u ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

cette expression.<br />

−→ →<br />

⎛ ⎞<br />

• ⎜OP∧<br />

u ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

nous allons utiliser la règle du produit mixte afin de développer<br />

38


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−→ → −→ → −→ → −→ → → −→ → −→<br />

2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

d = ⎜OP∧<br />

u ⎟ • ⎜OP∧<br />

u ⎟ = ⎜OP∧<br />

u,<br />

OP,<br />

u ⎟ = ⎜ u,<br />

OP∧<br />

u,<br />

OP⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠<br />

→ −→ → −→ →<br />

⎛<br />

⎞<br />

= ⎜u , OP,<br />

u∧<br />

OP⎟<br />

= u<br />

⎝<br />

⎠<br />

−→ → −→<br />

⎛ ⎛ ⎞⎞<br />

• ⎜OP<br />

∧ ⎜u<br />

∧ OP⎟⎟<br />

⎝ ⎝ ⎠⎠<br />

qui s’écrit sous forme :<br />

→ →<br />

d 2 → −→ → −→<br />

⎛ ⎛ ⎞⎞<br />

= u • V avec V = OP ∧ u ∧ OP ⎟<br />

⎠<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎜<br />

⎝<br />

D’après ce que l’on a vu précédemment, nous pouvons écrire :<br />

⎡ − ⎤<br />

⎤ ⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

⎡ 0 z y<br />

*<br />

→ r<br />

⎥<br />

=<br />

⎢<br />

z 0 − x<br />

⎣ ⎦<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

− y x 0 ⎥⎦<br />

⎟<br />

⎠<br />

d<br />

2<br />

→<br />

T<br />

→<br />

= •<br />

•<br />

•<br />

−→ → −→ →<br />

⎛ ⎛ ⎞⎞<br />

u ⎜OP<br />

∧ ⎜u<br />

∧ OP⎟⎟<br />

= u<br />

⎝ ⎝ ⎠⎠<br />

−→ −→ → →<br />

⎛ ⎛ ⎞⎞<br />

⎜OP∧<br />

⎜−<br />

OP∧<br />

u ⎟⎟<br />

= u<br />

⎝ ⎝ ⎠⎠<br />

→ → → →<br />

⎡ ⎤<br />

( r ∧ ( − r ∧ u)<br />

=<br />

⎢<br />

u<br />

⎣<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎤<br />

([*<br />

r][ − * r]<br />

) u<br />

⎥ ⎦<br />

or nous avons [ ] [ ] T<br />

− * r = * r<br />

d<br />

2<br />

→<br />

⎡ ⎤<br />

=<br />

⎢<br />

u<br />

⎣<br />

⎥<br />

⎦<br />

T<br />

→ →<br />

T<br />

→<br />

T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />

([*<br />

r][ * r]<br />

) u = u [ I ] u<br />

⎥ ⎦<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎥<br />

⎦<br />

O<br />

⎢<br />

⎣<br />

T<br />

( r ) = [ I ]<br />

avec [*<br />

][*<br />

r]<br />

O<br />

[ ]<br />

I O<br />

2<br />

⎡y<br />

+ z<br />

⎢<br />

= ⎢ − xy<br />

⎢<br />

⎣<br />

− xz<br />

2<br />

x<br />

− xy<br />

2<br />

+ z<br />

− yz<br />

2<br />

x<br />

− xz<br />

− yz<br />

2<br />

+ y<br />

en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

[ J ]<br />

0<br />

=<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

∫<br />

S<br />

( y<br />

−<br />

−<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

+ z<br />

2<br />

xydm<br />

xzdm<br />

) dm<br />

∫<br />

S<br />

−<br />

( x<br />

−<br />

∫<br />

S<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

xydm<br />

+ z<br />

2<br />

yzdm<br />

) dm<br />

∫<br />

S<br />

⎤<br />

− ∫ xzdm ⎥<br />

S ⎥<br />

− ∫ yzdm ⎥<br />

S<br />

⎥<br />

2 2<br />

( x + y ) dm<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

qui est une matrice très particulière que l’on retrouvera dans les chapitres sur la cinétique et<br />

la dynamique des solides.<br />

Elle est appelée matrice d’inertie du solide.<br />

39


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 09<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Résoudre l’équation vectorielle : a∧<br />

x = b où a et b sont deux vecteurs non nuls.<br />

Solution :<br />

→ →<br />

L’équation n’admet de solution que si a et b sont orthogonaux. Soit ( π ) un plan<br />

→ →<br />

→<br />

contenant les vecteurs a et x , alors le vecteurs b est perpendiculaire à ce plan (π ) .<br />

On cherche d’abord une solution particulière avec un vecteur x 0<br />

tel que : a et x 0<br />

soient<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

deux vecteurs perpendiculaires entre eux :<br />

→<br />

a ⊥<br />

→ → →<br />

x0 ⇒ a • x0<br />

=<br />

0<br />

Alors on a aussi :<br />

→<br />

a<br />

∧<br />

→<br />

x<br />

0<br />

→<br />

= b<br />

Multiplions vectoriellement à gauche cette équation par le<br />

→<br />

a<br />

vecteur , on obtient :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

→ → → → →<br />

→ → → →<br />

a ∧ ⎜ a ∧ x0<br />

⎟ = a ∧ b ⇔ a⎜<br />

a • x0<br />

⎟ − x0<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ →<br />

a • a ⎟<br />

→<br />

⎞<br />

= a<br />

⎠<br />

→<br />

∧ b<br />

→ →<br />

⎛<br />

− x0<br />

⎜ a<br />

⎝<br />

→ →<br />

⎞<br />

• a ⎟ = a<br />

⎠<br />

→<br />

∧ b<br />

⇒<br />

→<br />

x<br />

0<br />

=<br />

→<br />

b<br />

→<br />

∧ a<br />

2<br />

a<br />

nous avons ainsi :<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪a<br />

∧ x0<br />

= b<br />

⎨ → → →<br />

⎪⎩ a ∧ x = b<br />

en faisant la différence entre ces deux équations, nous<br />

→<br />

obtenons la solution générale x :<br />

→<br />

a<br />

∧<br />

→<br />

→<br />

x−<br />

a<br />

∧<br />

⎛<br />

⎝<br />

→ → → → →<br />

x0 = 0 ⇔ a ∧ ⎜ x−<br />

x0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

= 0<br />

Comme le produit vectoriel est nul alors alors → ⎛ ⎞<br />

a // → ⎜ x− x<br />

→<br />

0 ⎟ d’où :<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

→<br />

x−<br />

x<br />

0<br />

→<br />

= λ a<br />

On a finalement :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

x = x + λ a<br />

⇒<br />

→<br />

→<br />

→<br />

b ∧ a<br />

→<br />

x = + λ a<br />

2<br />

a<br />

Représentation géométrique :<br />

→<br />

b<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

a<br />

→<br />

x<br />

λ<br />

→<br />

a<br />

π<br />

40


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 10<br />

On dispose de deux forces l’une de 9 N l’autre de 7 N . Comment doit-on les disposer pour<br />

obtenir une résultante de : 16 N ; 11,40 ; 3 N<br />

Exercice 11 :<br />

Calculer la surface du triangle ABC, où les sommets ont pour coordonnées dans un repère<br />

orthonormé : A( − 1, − 3, − 2) , B(2,<br />

2, − 2) , C(3,<br />

2, 4)<br />

Exercice 12 :<br />

Déterminer la résultante des trois forces concourantes au point A(2,2,3) :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F1 = i − 7 j+<br />

2, 5 k ; F2<br />

= 2 i − j+<br />

5 k ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F = −3<br />

i + j+<br />

4 k<br />

3<br />

Calculer :<br />

→ →<br />

F 1 − F 2<br />

,<br />

→ →<br />

F 1 ∧ F 2<br />

,<br />

→ →<br />

F 1 + F 2<br />

En déduire le module, la direction et le vecteur unitaire porté par la résultante<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

F 3<br />

Que peut-on dire de et .<br />

Exercice 13 :<br />

Soit le système d’équations vectorielles dans un repère orthonormé direct R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

,<br />

déterminer les deux vecteurs X et Y tels que :<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪ X + Y = V<br />

⎨ → →<br />

⎪⎩ X ∧ Y = V<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

(1)<br />

(2)<br />

avec<br />

→<br />

V<br />

1<br />

→<br />

V<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= 7 i + 4 j+<br />

2 k<br />

→<br />

= 8 i −15<br />

j+<br />

2 k<br />

On multiplie vectoriellement à gauche l’équation (1) par le vecteur<br />

règle de division vectorielle qu’on vient de voir dans l’exercice (09).<br />

→<br />

X puis on applique la<br />

→ → → → → → → → →<br />

⎛ ⎞<br />

X ∧ ⎜ X + Y ⎟ = X ∧V1<br />

⇒ X ∧ Y = X ∧V1<br />

, on remplace cette expression dans l’équation (2)<br />

⎝ ⎠<br />

→ → →<br />

∧<br />

2<br />

d’où : X V 1<br />

= V on déduit d’après ce que l’on a vue dans l’exercice (9) que :<br />

→ →<br />

→<br />

V<br />

→<br />

2<br />

∧V1<br />

X = + λ V<br />

2<br />

1<br />

V1<br />

⎛ 8 ⎞ ⎛7⎞<br />

⎛−<br />

38⎞<br />

→<br />

1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → → →<br />

⎛<br />

⎞ 1 ⎜ ⎟ → → →<br />

⎛<br />

⎞<br />

X = ⎜−15⎟<br />

∧ ⎜4⎟<br />

+ λ ⎜7<br />

i + 4 j+<br />

2 k ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ + λ ⎜7<br />

i + 4 j+<br />

2 k ⎟<br />

69 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝<br />

⎠ 69 ⎝<br />

⎠<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝2<br />

⎜<br />

⎠<br />

137 ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

41


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

X<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛ − 38 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛137<br />

⎞<br />

= ⎜ + 7λ ⎟ i + ⎜ + 4λ<br />

⎟ j+<br />

⎜ + 2λ<br />

⎟ k<br />

⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠<br />

On déduit Y → facilement par :<br />

→ → → → → →<br />

38<br />

→<br />

2<br />

→<br />

137<br />

→<br />

⎛<br />

⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞<br />

Y = V1<br />

− X = ⎜7<br />

i + 4 i + 2 i ⎟ − ⎜ + 7λ<br />

⎟ i − ⎜ + 4λ<br />

⎟ j−<br />

⎜ + 2λ<br />

⎟ k<br />

⎝<br />

⎠ ⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠<br />

→<br />

38 →<br />

2<br />

→<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞ ⎛ −137<br />

⎞<br />

Y = ⎜ + 7(1 − λ ) ⎟ i + ⎜ + 4(1 − λ)<br />

⎟ j+<br />

⎜ + 2(1 − λ)<br />

⎟<br />

→<br />

k<br />

⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠ ⎝ 69 ⎠<br />

Exercice 14 :<br />

Dans un repère orthonormé<br />

→ → →<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

on donne trois points A, B, C de l’espace ayant pour<br />

coordonnées : A (1,3,4) , B ( −1,4,<br />

−2)<br />

, C (0,1,1 ) . Soit (π ) un plan défini par ces trois points et<br />

la normale<br />

→<br />

n<br />

à celui-ci.<br />

Déterminer les composantes du vecteur<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = 3 i + j−<br />

4 k dans le plan (π ) et suivant la<br />

normale à ce plan.<br />

Solution :<br />

→<br />

Le vecteur V s’écrirait :<br />

→ → →<br />

V = Vn<br />

+ Vπ<br />

Où<br />

→<br />

→<br />

V<br />

n<br />

⊥ (π ) et V ∈ (π π<br />

)<br />

Le vecteur unitaire<br />

→<br />

n<br />

est perpendiculaire au plan et aussi aux vecteurs<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

AB , AC,<br />

BC<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

Alors : n • AB = 0 , n • AC = 0 , n • BC = 0<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Nous avons : AB = −2<br />

i + j−<br />

6 k , AC = − i − 2 j−<br />

3k<br />

,<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

BC = i − 3 j+<br />

3k<br />

Soit<br />

⎛−<br />

2⎞<br />

⎛ −1⎞<br />

⎛−15⎞<br />

−→ −→ −→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → →<br />

W = AB∧<br />

AC = ⎜ 1 ⎟ ∧ ⎜−<br />

2⎟<br />

= ⎜ 0 ⎟ = −15<br />

i + 5 k<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

6⎠<br />

⎝ − 3⎠<br />

⎝ 5 ⎠<br />

−→<br />

Le vecteur W est perpendiculaire au deux vecteurs AB et AC donc aussi au vecteur BC ,<br />

alors il est perpendiculaire au plan (π ) formé par ces trois vecteurs. On déduit le vecteur<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

unitaire normal au plan (π ) par :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

W +<br />

n =<br />

W<br />

→<br />

−15<br />

i 5 k<br />

=<br />

106<br />

42


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On peut vérifier facilement :<br />

→ →<br />

→ −→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ −15<br />

i + 5 k<br />

→ →<br />

⎟ ⎛<br />

n • AB =<br />

• ⎜−<br />

2 +<br />

⎜<br />

106<br />

⎟<br />

i<br />

⎝<br />

⎝ ⎠<br />

→⎞<br />

j−<br />

6 k ⎟ = 30 − 30 = 0<br />

⎠<br />

→ →<br />

→ −→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ −15<br />

i + 5 k<br />

→ → →<br />

⎟ ⎛<br />

⎞<br />

n • AC =<br />

• ⎜−<br />

− 2 − 3 ⎟ = 15 −15<br />

= 0<br />

⎜<br />

106<br />

⎟<br />

i j k<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→ →<br />

→ −→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ −15<br />

i + 5 k<br />

→ → →<br />

⎟ ⎛ ⎞<br />

n • BC =<br />

• ⎜ − 3 + 3 ⎟ = −15<br />

+ 15 = 0<br />

⎜<br />

106<br />

⎟<br />

i j k<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

La composante, du vecteur, suivant la normale au plan s’écrirait :<br />

→ → → → → → →<br />

→ → →<br />

→<br />

⎛ ⎞ ⎛⎛<br />

⎞ 1 ⎛ ⎞⎞<br />

65<br />

V n<br />

= ⎜V<br />

• n ⎟ n = ⎜⎜3<br />

i + j−<br />

4 k ⎟ • ⎜−15<br />

i + 5 k ⎟⎟<br />

n = − n<br />

⎝ ⎠ ⎝⎝<br />

⎠ 106 ⎝ ⎠⎠<br />

106<br />

→ →<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

65<br />

→<br />

65 ⎜ −15<br />

i + 5 k ⎟ 1<br />

→ →<br />

⎛<br />

⎞<br />

V n<br />

= − n = −<br />

⎜ ⎟<br />

= ⎜975<br />

i − 325 k ⎟<br />

106 106 106 106 ⎝<br />

⎠<br />

⎝ ⎠<br />

La composante dans le plan (π ) se déduit par :<br />

→ → → → → →<br />

⎛ ⎞ 1<br />

→ →<br />

⎛<br />

⎞ 1<br />

→ → →<br />

⎛<br />

⎞<br />

Vπ<br />

= V −Vn = ⎜3<br />

i + j−<br />

4 k ⎟ − ⎜975<br />

i − 325 k ⎟ = ⎜−<br />

657 i + j−<br />

99 k ⎟<br />

⎝ ⎠ 106 ⎝<br />

⎠ 106 ⎝<br />

⎠<br />

Exercice 15 :<br />

Déterminer l’expression générale des vecteurs W orthogonaux aux vecteurs :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = − i + 2 j+<br />

3k<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

et V = i + 3 j−<br />

5 k . En déduire les vecteurs unitaires porté par W .<br />

2<br />

→<br />

Exercice 16 :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soient trois vecteurs libres U , V , W ; montrer qu’il vérifient la relation suivante :<br />

→ → → → → → → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

U ∧ ⎜ V ∧W<br />

⎟ + W ∧ ⎜ U ∧ V ⎟ + V ∧ ⎜ W ∧ U ⎟ = 0<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

Solution :<br />

On utilise la formule de développement du double produit vectoriel.<br />

→ → →<br />

⎛<br />

U ∧ ⎜ V ∧W<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

= V<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

U • W ⎟ −W<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→<br />

U<br />

→<br />

⎞<br />

• V ⎟<br />

⎠<br />

43


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → → →<br />

⎛ ⎞<br />

W ∧ ⎜ U ∧V<br />

⎟ = U<br />

⎝ ⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

W • V ⎟ −V<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→<br />

W ∧<br />

→<br />

U<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→ → → →<br />

⎛ ⎞<br />

V ∧ ⎜ W ∧U<br />

⎟ = W<br />

⎝ ⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

V • U ⎟ −U<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

La somme des trois termes donne :<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

U•<br />

W ⎟ −W<br />

⎠<br />

→ → →<br />

⎞<br />

U•<br />

W ⎟ −V<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

U•<br />

V ⎟ + U<br />

⎠<br />

→ → →<br />

⎞<br />

W • U ⎟ −W<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→<br />

→<br />

V<br />

→<br />

⎞<br />

• W ⎟<br />

⎠<br />

→ → →<br />

⎞<br />

W • V ⎟ −V<br />

⎠<br />

U<br />

→<br />

⎞<br />

• V ⎟ +<br />

⎠<br />

Comme le produit scalaire est commutatif alors :<br />

→<br />

W<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

W • U ⎟ + W<br />

⎠<br />

→ → →<br />

⎞<br />

V • U ⎟ + U<br />

⎠<br />

→ → → → → → → → → → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎜V<br />

−V<br />

⎟ ⎜ W • U ⎟ + ⎜W<br />

−W<br />

⎟ ⎜ V • U ⎟ + ⎜U<br />

−U<br />

⎟ ⎜ V • W ⎟ = 0<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

Exercice 17 :<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

F 2<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ → →<br />

⎞<br />

V • U ⎟ −U<br />

⎠<br />

→ → →<br />

⎞<br />

W • V ⎟ −U<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V<br />

→<br />

⎞<br />

• W ⎟<br />

⎠<br />

=<br />

→ →<br />

⎞<br />

• W ⎟ = 0<br />

⎠<br />

Soient deux forces et faisant chacune respectivement un angle de 25° et 35° avec<br />

la résultante<br />

Solution :<br />

→<br />

R qui a une valeur de 400 N . Déterminer les modules des deux forces.<br />

Utilisons la règle des sinus :<br />

BC AB AC<br />

= =<br />

sin 25°<br />

sin 35°<br />

sinα<br />

α = 180° − (25° + 35°<br />

) = 120°<br />

or nous avons : AB = F 1<br />

, BC = F2<br />

et<br />

AC = R<br />

A<br />

→<br />

F 2<br />

35°<br />

25°<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

R<br />

α<br />

B<br />

35 °<br />

C<br />

D’où :<br />

sin 25°<br />

sin 35°<br />

F2 = R = 195N<br />

et F1 = R = 265N<br />

sin120°<br />

sin120°<br />

Exercice 18 :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2 3<br />

3<br />

2<br />

Soit P = 2t<br />

i + 5t<br />

j−<br />

7t<br />

k , Q = −4t i + 10t<br />

j−<br />

2t<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1) Vérifier les relations suivantes :<br />

d<br />

dt<br />

→ →<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ P•<br />

Q⎟<br />

=<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

→<br />

• Q<br />

d P<br />

dt<br />

+<br />

→<br />

→<br />

d Q<br />

P•<br />

dt<br />

d<br />

dt<br />

→ →<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ P∧<br />

Q⎟<br />

=<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

d P<br />

→<br />

∧ Q<br />

dt<br />

+<br />

→<br />

→<br />

d Q<br />

P∧<br />

dt<br />

44


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ ⎛ →<br />

⎜<br />

→ ⎞<br />

⎟<br />

2) Calculer les produits suivants : P•<br />

⎜ P∧ Q ⎟ et<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

P∧<br />

⎛ →<br />

⎜<br />

⎜ P<br />

⎜<br />

⎝<br />

∧<br />

→ ⎞<br />

⎟<br />

Q ⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

Soit un vecteur U<br />

perpendiculaire à<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

= α i + t j−<br />

k ; quelle est la valeur de α pour que le vecteur U soit<br />

→<br />

P .<br />

→<br />

3) Déterminer le volume du parallélépipède formé par les vecteurs<br />

→<br />

→<br />

→<br />

U , P,<br />

Q ;<br />

→<br />

4) Déterminer la composante de Q sur l’axe<br />

Δ passant par les points A(0,0,1) et B(1,2,1)<br />

Exercice 19 :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit f un scalaire et A , B,<br />

C trois vecteurs quelconques, vérifier les relations suivantes :<br />

1)<br />

→<br />

→ → −−−→<br />

= fdiv A+<br />

A • gradf<br />

div ( f A)<br />

;<br />

2)<br />

→<br />

rot ( f<br />

→<br />

−−−→<br />

→<br />

→<br />

A)<br />

= gradf ∧ A+<br />

f rot A<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

3) A∧<br />

B∧<br />

C = B(<br />

A • C)<br />

− C(<br />

A • B)<br />

;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

4)<br />

−→<br />

−−→<br />

−−−→<br />

rot ( rotA)<br />

= grad(<br />

div A)<br />

− Δ A ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

→<br />

5) rot(<br />

gradf ) = 0 ;<br />

6)<br />

7)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

div( rot A) = 0<br />

→<br />

→<br />

div ( A∧<br />

B)<br />

=<br />

→ −−→<br />

B • rotA<br />

→<br />

−−→<br />

− ArotB<br />

Solution :<br />

→<br />

∂ ∂ ∂<br />

1) div( f A)<br />

= ( fAx<br />

) + ( fAy<br />

) + ( fAz<br />

)<br />

∂x<br />

∂y<br />

∂z<br />

=<br />

⎛ ∂Ax<br />

f<br />

⎜<br />

⎝ ∂x<br />

∂Ay<br />

+<br />

∂y<br />

∂A<br />

⎞<br />

z<br />

+ + Ax<br />

z<br />

⎟<br />

∂ ⎠<br />

∂f<br />

+ A<br />

∂x<br />

y<br />

∂f<br />

+ A<br />

∂y<br />

z<br />

∂f<br />

∂z<br />

=<br />

fdiv<br />

→ → −−−→<br />

A + A • gradf<br />

2)<br />

→<br />

rot(<br />

f<br />

⎛ ∂ ⎞ ⎛ fA ⎞ ⎛ ∂fA<br />

x<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜ ∂x<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂y<br />

→<br />

⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂fA<br />

A)<br />

= ∧ fA =<br />

⎜ ⎟<br />

y<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

∂y<br />

⎜ ∂z<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜<br />

∂<br />

⎜<br />

∂<br />

fA<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ ∂z<br />

⎠ ⎝ fAz<br />

⎠ ⎜<br />

⎝ ∂x<br />

z<br />

x<br />

y<br />

∂fAy<br />

⎞ ⎛<br />

− ⎟ ⎜ f<br />

∂z<br />

⎟ ⎜<br />

∂fA<br />

⎟ ⎜<br />

z<br />

− ⎟ = ⎜ f<br />

∂x<br />

⎟ ⎜<br />

∂fAx<br />

− ⎟ ⎜<br />

∂ ⎟ ⎜<br />

f<br />

y ⎠ ⎝<br />

∂Az<br />

∂y<br />

∂Ax<br />

∂z<br />

∂A<br />

y<br />

∂x<br />

+ A<br />

+ A<br />

+ A<br />

z<br />

x<br />

y<br />

∂f<br />

− f<br />

∂y<br />

∂f<br />

− f<br />

∂z<br />

∂f<br />

− f<br />

∂x<br />

∂A<br />

y<br />

∂z<br />

∂Az<br />

∂x<br />

∂A<br />

x<br />

∂y<br />

− A<br />

y<br />

− A<br />

z<br />

− A<br />

x<br />

∂f<br />

⎞<br />

⎟<br />

∂z<br />

⎟<br />

∂f<br />

⎟<br />

⎟<br />

∂z<br />

⎟<br />

∂f<br />

⎟<br />

∂y<br />

⎟<br />

⎠<br />

45


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

46<br />

A.KADI<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

y<br />

f<br />

A<br />

x<br />

f<br />

A<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

f<br />

z<br />

f<br />

A<br />

z<br />

f<br />

A<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

f<br />

z<br />

f<br />

A<br />

y<br />

f<br />

A<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

f<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

z<br />

x<br />

z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

y<br />

z<br />

=<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

+<br />

∧<br />

A<br />

rot<br />

f<br />

A<br />

gradf<br />

3)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

∧<br />

∧<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

z<br />

x<br />

x<br />

z<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

y<br />

x<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

A<br />

A<br />

C<br />

C<br />

C<br />

B<br />

B<br />

B<br />

A<br />

A<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

( ) ( )<br />

( ) (<br />

( ) ( ) ⎟⎟⎟ ⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

z<br />

x<br />

x<br />

z<br />

x<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

z<br />

z<br />

x<br />

x<br />

z<br />

z<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

y<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

−<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

−<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

−<br />

=<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

y<br />

z<br />

y<br />

z<br />

y<br />

y<br />

z<br />

x<br />

x<br />

x<br />

z<br />

x<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

x<br />

z<br />

x<br />

z<br />

x<br />

z<br />

z<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

z<br />

x<br />

z<br />

x<br />

z<br />

z<br />

x<br />

y<br />

y<br />

y<br />

x<br />

y<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A<br />

( ) ( )<br />

( ) (<br />

( ) ( ⎟ ⎟⎟ ⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

=<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

z<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

z<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

x<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

x<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

C<br />

A C<br />

C<br />

A<br />

C<br />

A<br />

B<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

C<br />

A C<br />

C<br />

A<br />

C<br />

A<br />

B<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

C<br />

A C<br />

C<br />

A<br />

C<br />

A<br />

B<br />

)<br />

)<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

−<br />

= B<br />

A<br />

C<br />

C<br />

A<br />

B<br />

4)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

−−→<br />

→<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

y<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

x<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

x<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

z<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

z<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

y<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

rotA<br />

rot<br />

y<br />

z<br />

z<br />

x<br />

x<br />

y<br />

y<br />

z<br />

z<br />

x<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

)<br />

(<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

− Δ<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

= A<br />

A<br />

div<br />

grad<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

y<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

x<br />

z<br />

z<br />

y<br />

x<br />

y<br />

z<br />

y<br />

x<br />

x<br />

z<br />

y<br />

x<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

47<br />

A.KADI<br />

5)<br />

→<br />

−−−→<br />

−−→<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟ −<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂ ∂ ∂<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

= 0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

y<br />

x<br />

f<br />

y<br />

x<br />

f<br />

x<br />

z<br />

f<br />

x<br />

z<br />

f<br />

z<br />

y<br />

f<br />

z<br />

y<br />

f<br />

x<br />

f<br />

y<br />

y<br />

f<br />

x<br />

z<br />

f<br />

x<br />

x<br />

f<br />

z<br />

y<br />

f<br />

z<br />

z<br />

f<br />

y<br />

z<br />

f<br />

y<br />

f x f<br />

z<br />

y<br />

x<br />

f<br />

grad<br />

rot<br />

D’une autre manière :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

−−→<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∇∧ ∇<br />

=<br />

∇∧ ∇<br />

= 0<br />

)<br />

( f<br />

f<br />

f<br />

grad<br />

rot<br />

6)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

∇∧<br />

∇<br />

= •<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

A<br />

A<br />

rot<br />

div(<br />

x<br />

y<br />

z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

y<br />

A<br />

x<br />

A<br />

z<br />

x<br />

A<br />

z<br />

A<br />

y<br />

z<br />

A<br />

y<br />

A<br />

x<br />

x<br />

y<br />

z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

=<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

y<br />

z<br />

A<br />

x<br />

z<br />

A<br />

x<br />

y<br />

A<br />

z<br />

y<br />

A<br />

z<br />

x<br />

A<br />

y<br />

x<br />

A<br />

x<br />

y<br />

z<br />

x<br />

y<br />

z<br />

D’une autre manière :<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∇∧<br />

∇<br />

= A<br />

A<br />

rot<br />

div( ) soit les vecteurs sont perpendiculaires au<br />

vecteur résultat<br />

→<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

→<br />

→<br />

=<br />

∧<br />

∇<br />

B<br />

A<br />

→<br />

→<br />

∇<br />

A<br />

et<br />

→<br />

B . Nous avons alors :<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∇<br />

= B<br />

A<br />

rot<br />

div( )<br />

Comme d’où :<br />

→<br />

→<br />

⊥<br />

∇ B ⇒ 0<br />

=<br />

∇<br />

→<br />

•<br />

→<br />

B 0<br />

) =<br />

→<br />

→<br />

A<br />

rot<br />

div(<br />

7)<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

•<br />

→<br />

→<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

z<br />

x<br />

x<br />

z<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

z<br />

y<br />

x<br />

B<br />

A<br />

div<br />

( ) ( ) ( )<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

z<br />

x<br />

x<br />

z<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

z<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

y<br />

B<br />

A<br />

B<br />

A<br />

x<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

=


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

= B<br />

− A<br />

x<br />

x<br />

⎛ ∂Az<br />

⎜<br />

⎝ ∂y<br />

⎛ ∂Bz<br />

⎜<br />

⎝ ∂y<br />

∂Ay<br />

−<br />

∂z<br />

∂B<br />

y<br />

−<br />

∂z<br />

⎞<br />

⎟ + B<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟ − A<br />

⎠<br />

y<br />

y<br />

⎛ ∂A<br />

⎜<br />

⎝ ∂z<br />

⎛ ∂B<br />

⎜<br />

⎝ ∂z<br />

x<br />

x<br />

∂Az<br />

−<br />

∂x<br />

∂Bz<br />

−<br />

∂x<br />

⎞<br />

⎟ + B<br />

⎠<br />

z<br />

⎛ ∂Ay<br />

⎜<br />

⎝ ∂x<br />

⎞ ⎛ ∂B<br />

⎟ − A<br />

⎜<br />

z<br />

⎠ ⎝ ∂x<br />

y<br />

∂Ax<br />

−<br />

∂y<br />

∂Bx<br />

−<br />

∂y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

→<br />

div ( A∧<br />

B)<br />

=<br />

→ −−→<br />

B • rotA<br />

→<br />

−−→<br />

− ArotB<br />

Exercice 20 :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit un vecteur r = x i + y j+<br />

z k exprimé dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

()<br />

1) Calculer grad r et<br />

−−−→<br />

⎛ ⎞<br />

grad⎜<br />

1 ⎟ ;<br />

⎝ r ⎠<br />

2) Si U(r) est un champ scalaire à symétrie sphérique, montrer que grad − −−→<br />

( U (r))<br />

est un<br />

vecteur radial ;<br />

3) Calculer div( → r ) et en déduire que pour un champ électrique Coulombien :<br />

→<br />

→<br />

r<br />

E = k on a<br />

r<br />

→ →<br />

div E = 0<br />

;<br />

⎛ 1 ⎞<br />

4) Montrer que Δ⎜<br />

⎟ = 0 avec r ≠ 0 ;<br />

⎝ r ⎠<br />

5) Calculer −−→<br />

⎛ ⎞<br />

rot<br />

→<br />

⎜ r ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

Solution :<br />

1 −<br />

1<br />

1<br />

2 2 2 2 2 2<br />

1) Nous avons : r = x + y + z = ( x + y + z ) 2 2 2 2<br />

et = ( x + y + z ) 2<br />

−−−→<br />

→ → →<br />

1 →<br />

1<br />

∂r<br />

∂r<br />

∂r<br />

−<br />

−<br />

→<br />

2 2 2<br />

() r i + j+<br />

k = x( x + y + z ) 2<br />

2 2 2<br />

i + y( x + y + z ) 2<br />

2 2 2<br />

j+<br />

z( x + y + z )<br />

grad = 2 k<br />

∂x<br />

∂y<br />

∂z<br />

r<br />

1<br />

−<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x i + y j+<br />

z k<br />

=<br />

→<br />

2 2 2 r<br />

( x + y + z ) 1<br />

2<br />

r<br />

48


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

49<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

k<br />

r<br />

z<br />

j<br />

r<br />

y<br />

i<br />

r<br />

x<br />

r<br />

grad<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

( ) ( ) ( )<br />

→<br />

−<br />

→<br />

−<br />

→<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

= k<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

j<br />

z<br />

y<br />

x<br />

y<br />

i<br />

z<br />

y<br />

x<br />

x 2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

( )<br />

3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2 r<br />

r<br />

z<br />

y<br />

x<br />

k<br />

z<br />

j<br />

y<br />

i<br />

x<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= −<br />

+<br />

+<br />

+<br />

+<br />

−<br />

=<br />

2) ( )<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−−→<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

= k<br />

z<br />

r<br />

r<br />

r<br />

U<br />

j<br />

y<br />

r<br />

r<br />

r<br />

U<br />

i<br />

x<br />

r<br />

x<br />

r<br />

U<br />

k<br />

z<br />

r<br />

U<br />

j<br />

y<br />

r<br />

U<br />

i<br />

x<br />

r<br />

U<br />

r<br />

U<br />

grad<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

U<br />

k<br />

z<br />

r<br />

j<br />

y<br />

r<br />

i<br />

x<br />

r<br />

r<br />

r<br />

U<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

3) 3<br />

=<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

→<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z<br />

z<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

k<br />

z<br />

j<br />

y<br />

i<br />

x<br />

k<br />

z<br />

j<br />

y<br />

i<br />

x<br />

r<br />

div<br />

4)<br />

1<br />

.3<br />

1<br />

1<br />

1<br />

3<br />

3<br />

3 ⎟ ⎠ ⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

•<br />

+<br />

= −<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

Δ<br />

−−−→<br />

→<br />

→<br />

r<br />

grad<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

div<br />

r<br />

grad<br />

div<br />

r<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

+<br />

= −<br />

→<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

k<br />

r<br />

z<br />

j<br />

r<br />

y<br />

i<br />

r<br />

x<br />

r<br />

r<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

1<br />

1<br />

1<br />

.3<br />

1<br />

nous avons : 5<br />

6<br />

2<br />

3<br />

3<br />

3<br />

.<br />

3<br />

.<br />

1<br />

1<br />

r<br />

x<br />

r<br />

x<br />

r<br />

r<br />

x<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

x<br />

=<br />

=<br />

∂<br />

∂<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

de même pour y et z : 5<br />

3<br />

5<br />

3<br />

3<br />

1<br />

,<br />

3<br />

1<br />

r<br />

z<br />

r<br />

z<br />

r<br />

y<br />

r<br />

y<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

∂<br />

∂<br />

alors, nous obtenons :<br />

0<br />

3<br />

3<br />

3<br />

.3<br />

1<br />

3<br />

3<br />

3<br />

.3<br />

1<br />

1<br />

3<br />

3<br />

5<br />

3<br />

5<br />

5<br />

5<br />

3 =<br />

+<br />

= −<br />

+<br />

= −<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

+<br />

+<br />

= −<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

Δ<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

•<br />

→<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

r<br />

i<br />

r<br />

z<br />

i<br />

r<br />

y<br />

i<br />

r<br />

x<br />

r<br />

r<br />

r<br />

5)<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

−<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

y<br />

x<br />

x<br />

y<br />

x<br />

z<br />

z<br />

x<br />

z<br />

y<br />

y<br />

z<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

y<br />

x<br />

r<br />

rot<br />

Car x , y , z : sont des variables indépendantes


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE II<br />

LES TORSEURS<br />

51


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

LES TORSEURS<br />

Les torseurs sont des outils mathématiques très utilisés en mécanique. L’utilisation des<br />

torseurs dans l’étude des systèmes mécaniques complexes est très commode car elle facilite<br />

l’écriture des équations vectorielles. Une équation vectorielle représente trois équations<br />

scalaires et une équation torsorielle est équivalente à deux équations vectorielles donc à six<br />

équations scalaires. Nous verrons dans les prochains chapitres quatre types de torseurs<br />

différents : le torseur cinématique, le torseur cinétique, le torseur dynamique et le torseur des<br />

actions.<br />

1. Moment d’un vecteur par rapport à un point<br />

Le moment<br />

−→<br />

M A<br />

→<br />

d’un vecteur V d’origine B ( glissant ou lié) par rapport à un point A est<br />

égal au produit vectoriel du vecteur<br />

− →<br />

position AB par le vecteur V .<br />

Il s’écrit :<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

M A<br />

( V ) = AB∧V<br />

Le trièdre formé respectivement par les<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M A<br />

vecteurs ( AB , V , ) est direct.<br />

→<br />

M −→<br />

A<br />

( V<br />

→ )<br />

A<br />

(Δ)<br />

B<br />

→<br />

V<br />

Remarque :<br />

Le moment au point A est indépendant<br />

M −→<br />

A<br />

( V<br />

→ )<br />

de la position du vecteur V sur l’axe<br />

(Δ) . En effet nous avons :<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M A<br />

( V ) = AC∧V<br />

= ( AB+<br />

BC)<br />

∧V<br />

→<br />

A<br />

(Δ)<br />

B<br />

→<br />

V<br />

C<br />

Or nous avons :<br />

−→<br />

BC //<br />

→<br />

V<br />

⇒<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

BC) ∧V<br />

= 0<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M A<br />

( V ) = AC∧V<br />

= ( AB+<br />

BC)<br />

∧V<br />

= AB∧V<br />

→<br />

52


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

M −→<br />

A<br />

Le moment ( V<br />

→ ) est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs AB et V .<br />

La distance AB est souvent appelée bras de levier.<br />

2. Moment d’un vecteur par rapport à un axe<br />

−→<br />

→<br />

Le moment<br />

−→<br />

Δ<br />

V<br />

M<br />

→<br />

( → ) d’un vecteur V par rapport à un axe<br />

(Δ)<br />

défini par un point A et un<br />

→<br />

vecteur unitaire u , est égal à la projection du moment M ( → A<br />

V ) sur l’axe ( Δ)<br />

.<br />

−→ → −→<br />

M<br />

Δ<br />

( V ) ⎜ M<br />

A<br />

3. Les torseurs<br />

3.1. Définition<br />

→ → →<br />

⎛ ⎞<br />

= ( V ) • u ⎟ u<br />

⎝ ⎠<br />

Le moment par rapport à l’axe<br />

indépendant du point A.<br />

Un torseur que nous noterons [ T ] est défini comme étant un ensemble de deux champs de<br />

vecteurs définis dans l’espace géométrique et ayant les propriétés suivantes :<br />

a) Le premier champ de vecteurs fait correspondre à tout point A de l’espace un vecteur R<br />

→<br />

indépendant du point A et appelé résultante du torseur [ T ] ;<br />

b) Le second champ de vecteur fait correspondre à tout point A de l’espace un vecteur<br />

−→<br />

qui dépend du point A. Le vecteur M est appelé moment au point A du torseur [ T ].<br />

3.2. Notation<br />

Δ<br />

est<br />

A<br />

−→<br />

M −→<br />

A<br />

( V<br />

→ )<br />

A<br />

(Δ)<br />

−→<br />

Δ<br />

V<br />

M<br />

( → )<br />

B<br />

→<br />

V<br />

−→<br />

M A<br />

La résultante → R et le moment résultant<br />

réduction du torseur au point A.<br />

−→<br />

M A<br />

au point A , constituent les éléments de<br />

Soit<br />

→<br />

→ → →<br />

1, 2 3<br />

R la résultante des n vecteurs glissants : V V , V ,..............<br />

appliqués<br />

→<br />

V n<br />

respectivement aux points :<br />

B B , B ,...............<br />

1, 2 3<br />

B n<br />

. Nous pouvons définir à partir de ce<br />

système de vecteurs deux grandeurs :<br />

→ n →<br />

= ∑V i<br />

i=<br />

1<br />

- La résultante des n vecteurs : R ;<br />

- Le moment résultant en un point A de l’espace est donné par : M<br />

A<br />

= ∑ ABi<br />

∧Vi<br />

−→<br />

n<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

53


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Les deux grandeurs constituent le torseur développé au point A associé au système de<br />

vecteurs donnés. On adopte la notation suivante : [ T ]<br />

A<br />

→<br />

⎪⎧<br />

R<br />

⎨ −<br />

⎪⎩ M<br />

= →<br />

A<br />

Remarque : Un torseur n’est pas égal à un couple de vecteur, mais il est représenté au point<br />

A par ses éléments de réduction.<br />

4. Propriétés des vecteurs moments<br />

4.1. Formule de transport des moments<br />

⎧<br />

⎪<br />

R = ∑Vi<br />

i<br />

Connaissant le Torseur [ T ]<br />

A<br />

= ⎨<br />

en un point A de l’espace nous pouvons<br />

−→ n −→ →<br />

⎪M<br />

A<br />

= ∑ ABi<br />

∧Vi<br />

⎪⎩<br />

→<br />

i=<br />

1<br />

→<br />

déterminer les éléments de réduction de ce même torseur en un autre point C de l’espace.<br />

Le moment au point C s’exprime en fonction du moment au point A , de la résultante → R et<br />

−→<br />

du vecteur CA . Nous avons en effet :<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

CB ∧V<br />

i<br />

i<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

( CA+<br />

AB ) ∧V<br />

i<br />

i<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

CA∧V<br />

i<br />

+<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

AB ∧V<br />

i<br />

i<br />

−→<br />

= CA∧<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

→<br />

V<br />

i<br />

+<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

AB ∧V<br />

i<br />

i<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

−→ → −→<br />

= CA∧<br />

R + M<br />

A<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + CA∧<br />

R<br />

A<br />

Cette relation très importante en mécanique permet de déterminer le moment en un point C en<br />

connaissant le moment au point A.<br />

4.2. Equiprojectivité des vecteurs moments<br />

Les vecteurs moments<br />

−→<br />

M A<br />

au point A et<br />

−→<br />

M C<br />

au point C ont la même projection sur la droite AC :<br />

On dit que le champ des vecteurs moments,<br />

est équiprojectif.<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + CA∧<br />

R<br />

A<br />

→<br />

R<br />

A<br />

−→<br />

M A<br />

−→ −→<br />

M A<br />

• AC<br />

→<br />

R<br />

C<br />

−→<br />

M C<br />

−→ −→<br />

M C<br />

• AC<br />

54


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A.KADI<br />

La projection du vecteur moment sur l’axe CA revient à faire le produit scalaire avec le<br />

−→<br />

vecteur CA à un facteur multiplicatif près. Nous avons par la formule de transport :<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + CA∧<br />

R<br />

A<br />

−→<br />

Multiplions cette relation scalairement par le vecteur CA .<br />

−→ −→<br />

• M C<br />

CA<br />

−→ ⎛ −→<br />

⎜<br />

⎜<br />

A<br />

⎝<br />

−→<br />

→ ⎞<br />

⎟<br />

= CA•<br />

⎜M<br />

+ CA∧<br />

R ⎟ = CA•<br />

M + CA•<br />

( CA∧<br />

R )<br />

⎟<br />

⎠<br />

−→<br />

−→<br />

A<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

or CA∧ R est un vecteur perpendiculaire à CA alors : CA•<br />

( CA R ) = 0<br />

on obtient finalement :<br />

−→ −→<br />

• M<br />

C<br />

−→ −→<br />

= CA • M<br />

A<br />

−→<br />

CA ou<br />

−→<br />

−→ ∧ →<br />

−→ −→ −→ −→<br />

C<br />

• CA = M<br />

A<br />

• CA<br />

M<br />

Le produit scalaire est commutatif.<br />

Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments<br />

CA sont égales.<br />

−→<br />

M<br />

et<br />

−→<br />

C<br />

M A<br />

sur la droite<br />

5. Opérations vectorielles sur les torseurs<br />

5.1. Egalité de deux torseurs<br />

Deux torseurs sont égaux (équivalents), si et seulement si, il existe un point de l’espace en<br />

lequel les éléments de réduction sont respectivement égaux entre eux. Soient deux torseurs<br />

[ T<br />

1]<br />

et [<br />

2<br />

] tel que : T1 = T2<br />

égaux au point P, cette égalité se traduit par deux égalités<br />

T [ ] P<br />

[ ] P<br />

vectorielles : [ ]<br />

[ T ] P<br />

T P 2<br />

1<br />

= ⇔<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪R1<br />

= R2<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

1 P<br />

= M<br />

−→<br />

2P<br />

5.2. Somme de deux torseurs<br />

La somme de deux torseurs<br />

[ ]<br />

1<br />

T et [ ]<br />

T est un torseur [ ]<br />

2<br />

T dont les éléments de réduction<br />

→<br />

R et<br />

−→<br />

M P<br />

sont respectivement la somme des éléments de réduction des deux torseurs.<br />

[ T ] P<br />

= [ T1 ] P<br />

+ [ T2<br />

] P<br />

⇔ [ T ]<br />

P<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪R<br />

= R1<br />

+ R2<br />

⎨−→<br />

−→ −<br />

⎪⎩ M<br />

P<br />

= M<br />

1P<br />

+ M<br />

=<br />

→<br />

2P<br />

55


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.3. Multiplication d’un torseur par un scalaire<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪R<br />

= λ R<br />

1<br />

Si [ T ] P<br />

= λ [ T1<br />

] P<br />

⇔ [ T ]<br />

P<br />

= ⎨ −→ −→<br />

avec<br />

⎪⎩ M<br />

P<br />

= λ M<br />

1P<br />

λ ∈ IR<br />

5.4. Torseur nul<br />

Le torseur nul, noté [ 0 ] est l’élément neutre pour l’addition de deux torseurs. Ses éléments<br />

de réduction sont nuls en tout point de l’espace.<br />

[] 0<br />

→ →<br />

⎪<br />

⎧<br />

R = 0<br />

⎨−→<br />

⎪⎩ M<br />

P<br />

= 0<br />

= →<br />

∀P<br />

∈ IR<br />

3<br />

6. Invariants du torseur<br />

6.1 Définition<br />

On appelle invariant d’un torseur [ ] toute grandeur indépendante du point de l’espace où<br />

elle est calculée.<br />

T<br />

P<br />

6.2 Invariant vectorielle d’un torseur<br />

La résultante → R est un vecteur libre, indépendant du centre de réduction du torseur, elle<br />

constitue l’invariant vectorielle du torseur [ T ] P<br />

6.3 Invariant scalaire d’un torseur ou automoment<br />

L’invariant scalaire d’un torseur donné, est par définition le produit scalaire des éléments de<br />

réductions en un point quelconque de ce torseur.<br />

Le produit scalaire<br />

→ −→<br />

R • M A<br />

est indépendant du point A. Nous avons vu précédemment la<br />

formule de transport :<br />

−→<br />

M<br />

C<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + CA∧<br />

R<br />

A<br />

; en faisant le produit scalaire de cette relation<br />

par la résultante<br />

→<br />

R , on obtient :<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ → −→ −→ → →<br />

C<br />

• R = ⎜ M<br />

A<br />

+ CA∧<br />

R ⎟ • R ⇒<br />

M<br />

⎞<br />

⎠<br />

−→ → −→ → −→ → →<br />

C<br />

• R = M<br />

A<br />

• R + ⎜CA∧<br />

R ⎟ • R<br />

M<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

−→ → −→ →<br />

C<br />

• R = M<br />

A<br />

• R<br />

M<br />

56


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

on voit bien que le produit scalaire, des deux éléments de réduction d’un torseur, est<br />

indépendant du point où est mesuré le moment.<br />

7. Axe central d’un torseur<br />

7.1. Définition<br />

Soit un torseur donné de résultante non nulle. L’axe central ( Δ ) est défini par l’ensemble des<br />

points P de l’espace tel que le moment du torseur en ce point, soit parallèle à la résultante.<br />

−→<br />

∀ P ∈Δ ⇒ M P<br />

= α R avec α ∈ IR<br />

L’axe central d’un torseur est parallèle à la droite support de la résultante du torseur :<br />

Démonstration :<br />

Soient P et P’ deux points de l’axe central, nous pouvons écrire :<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

M P<br />

= α R et M P<br />

= α ' R car les deux moments sont parallèles à<br />

'<br />

et nous avons aussi par la formule de transport :<br />

→<br />

R<br />

−→<br />

M<br />

P<br />

−→<br />

= M + PP'<br />

∧ R<br />

P'<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

α R = α ' R + PP'<br />

∧ R ⇒ ( α −α<br />

' ) R = PP'<br />

∧ R<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

Par définition le vecteur résultat de<br />

−→<br />

→<br />

PP' ∧ R est perpendiculaire à<br />

−→<br />

PP ' et R → ou nul.<br />

La seule possibilité ici est, qu’il soit nul, alors dans ce cas : α = α ' et PP'<br />

∧ R = 0<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

PP ' ∧ R = 0 ⇔ PP'<br />

// R : d’où l’axe central est parallèle à la résultante du torseur.<br />

Nous allons montrer aussi que l’axe central est le lieu des points ou le module du moment<br />

−→<br />

M du torseur est minimum.<br />

P<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Soit P un point appartenant à l’axe central et soit A un point quelconque de l’espace<br />

n’appartenant pas à l’axe central. Nous pouvons écrire par la formule de transport :<br />

on déduit alors :<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + AP∧<br />

R<br />

P<br />

−→<br />

2<br />

−→<br />

2<br />

−→ →<br />

2<br />

⎛ ⎞<br />

A<br />

M<br />

P<br />

+ ⎜ AP∧<br />

R⎟<br />

+ 2<br />

M<br />

−→ ⎛ −→<br />

⎜<br />

P<br />

• ⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

→ ⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

= M AP∧<br />

R<br />

⎝ ⎠<br />

or nous avons :<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

= α R<br />

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A.KADI<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

2<br />

2<br />

−→<br />

−→ →<br />

→ ⎛ −→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜<br />

= M<br />

P<br />

+ ⎜ AP∧<br />

R⎟<br />

+ 2α<br />

R•<br />

⎜ AP∧<br />

R<br />

⎜<br />

⎝ ⎠<br />

⎝<br />

2<br />

→ ⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

2<br />

−→<br />

2<br />

−→ →<br />

2<br />

−→<br />

⎛ ⎞<br />

= M<br />

P<br />

+ ⎜ AP∧<br />

R⎟<br />

> M<br />

P<br />

⎝<br />

⎠<br />

2<br />

Quel que soit P appartenant à l’axe central le moment en ce point est minimum.<br />

7.2. Symétrie du champ des moments d’un torseur<br />

Soit un repère orthonormé direct<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

dont l’axe vertical est confondu avec l’axe<br />

→<br />

central ( Δ)<br />

= ( O,<br />

z)<br />

du torseur défini au point O par : [ ]<br />

→<br />

z<br />

T O<br />

→ →<br />

⎪⎧<br />

R = R z<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

O<br />

= M<br />

= →<br />

O<br />

z<br />

C<br />

−→<br />

M C<br />

−→<br />

M A<br />

→<br />

v<br />

→<br />

z<br />

2<br />

−→<br />

M A 1<br />

−→<br />

M A<br />

→<br />

R A<br />

A 1<br />

−→<br />

M<br />

O<br />

A 2<br />

→<br />

u<br />

O<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

(Δ)<br />

On défini un autre repère local orthonormé direct en un point A quelconque de l’espace tel<br />

que l’axe Oz reste confondu :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( A,<br />

u,<br />

v,<br />

z)<br />

tel que u∧<br />

v = z)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

u<br />

→<br />

L’axe ( A , ) rencontre l’axe ( O,<br />

z)<br />

en un point C.<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

On pose OC = h z et CA = L u d’où OA = OC+<br />

CA = h z+<br />

L u<br />

−−→<br />

Par la formule de transport nous pouvons écrire :<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

= M + R∧<br />

OA = M z + R z∧<br />

( h z+<br />

L u)<br />

O<br />

O<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

→<br />

→<br />

= M z + R L v<br />

O<br />

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A.KADI<br />

D’après cette relation, on constate que les vecteurs moments autour de l’axe central sont<br />

→<br />

→<br />

situés dans le plan ( v , z ) .<br />

−→<br />

- Si L = Cte alors : M • z = M z • z + RL z • u = M ;<br />

A<br />

→<br />

O<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

O<br />

−→<br />

- Le module du moment M A<br />

est constant si L = Cte :<br />

M<br />

2<br />

A<br />

= ( M<br />

O<br />

) + ( RL<br />

)<br />

2<br />

On remarque que les vecteurs moments situés à une même distance L de l’axe central<br />

(Δ) sont<br />

tangents au cylindre de révolution de même axe<br />

(Δ)<br />

.<br />

On constate aussi que lorsque le point A où est mesuré le moment se déplace le long de l’axe<br />

( C ,<br />

→<br />

u<br />

) , le moment en ce point fait des rotations. Nous avons alors<br />

−→<br />

M A<br />

- pour L = 0 est parallèle à<br />

→<br />

z<br />

−→<br />

M A<br />

- pour L → ∞ est orthogonal à l’axe<br />

→<br />

z<br />

On constate donc une torsion du moment lorsque le point A s’éloigne de l’axe central du<br />

torseur, c’est de là que vient l’origine du mot torseur.<br />

7.3. Equation vectorielle de l’axe central<br />

Soit O l’origine des coordonnées dans un repère orthonormé et (Δ)<br />

l’axe central d’un<br />

]<br />

torseur [ T . Nous avons : ∀P ∈ (Δ)<br />

⇒<br />

−→<br />

→<br />

M P<br />

= λ R ⇔<br />

− →<br />

M P<br />

→<br />

// R<br />

⇒<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

→<br />

∧ R = 0<br />

Et<br />

−→<br />

M<br />

P<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

= M + PO∧<br />

R<br />

O<br />

⇒<br />

→<br />

−→<br />

R ∧ M<br />

P<br />

→<br />

−→<br />

= R ∧ M<br />

O<br />

+<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

R ∧ PO∧<br />

R<br />

=<br />

→<br />

0<br />

En utilisant la propriété du double produit vectoriel, on aboutit à :<br />

→ −→ −→ → → → −→ →<br />

2<br />

R ∧ M<br />

O<br />

+ PO(<br />

R ) − R ( R • PO ) = 0<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

2<br />

OP(<br />

R ) = R ∧ M<br />

O<br />

− R ( R • PO ) ⇒<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

R ∧ M ( • )<br />

→<br />

O R OP<br />

OP = + R<br />

→<br />

→<br />

2<br />

2<br />

R R<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

R ∧ M ( • )<br />

→<br />

O R OP<br />

OP = + R<br />

→<br />

→<br />

2<br />

2<br />

R R<br />

→<br />

59


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A.KADI<br />

Le premier terme de cette équation est indépendant du point P, on peut le noter comme étant<br />

un vecteur<br />

−→<br />

OP<br />

0<br />

=<br />

→<br />

→<br />

2<br />

−→<br />

R ∧ M<br />

R<br />

O<br />

et le second terme dépend du point P car c’est un vecteur<br />

parallèle à → R . On pose<br />

(<br />

→ −→<br />

R • OP<br />

[ ]<br />

→<br />

2<br />

R<br />

)<br />

= λ<br />

T<br />

0<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

d’où : OP = OP0<br />

+ λ R<br />

L’axe central du torseur passe par le point P défini à partir de O par l’équation :<br />

−→<br />

OP<br />

0<br />

=<br />

→<br />

−→<br />

R ∧ M O<br />

et parallèle à → →<br />

R<br />

R donc au vecteur unitaire : u<br />

→<br />

= .<br />

→<br />

2<br />

R<br />

R<br />

→<br />

7.4. Pas du torseur<br />

Nous savons que pour tout point P de l’axe central nous avons :<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

= λ R<br />

Le produit scalaire de cette expression par l’invariable vectorielle → R donne :<br />

−→<br />

−→ → → →<br />

M • R<br />

M P<br />

• R = λ R • R d’où : λ = P<br />

→<br />

2<br />

R<br />

→<br />

Comme le produit<br />

− → →<br />

M<br />

P<br />

• R<br />

est l’invariant scalaire du torseur, la valeur<br />

λ est indépendante<br />

du point P. λ est appelée ‘’ Pas du torseur’’ elle n’est définie que si :<br />

→ →<br />

R ≠ 0<br />

8. Torseurs particuliers<br />

8.1. Glisseur<br />

8.1.1. Définition<br />

Un torseur de résultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est<br />

⎪ I<br />

nul. Cette définition peut se traduire par :[ T ] est un glisseur ⇔ [ T ]<br />

−→ →<br />

⎧<br />

= M<br />

P<br />

• R = 0<br />

⎨ → →<br />

⎪⎩ avec R ≠ 0<br />

∀P,<br />

On sait que l’invariant scalaire est indépendant du point P où il est calculé. Comme la<br />

résultante n’est pas nulle alors on peut dire que : un torseur est un glisseur, si et seulement si,<br />

il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.<br />

60


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A.KADI<br />

8.1.2. Moment en un point d’un glisseur<br />

Soit [ T ] un glisseur donné. Il existe au moins un point où le moment du glisseur est nul.<br />

−→<br />

M A<br />

Soit A ce point, nous pouvons écrire : = 0 ,<br />

Par la formule de transport le moment en un point P quelconque s’écrit :<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

P<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

= M + R ∧ AP<br />

A<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

−→<br />

= R ∧ AP<br />

Cette relation exprime le vecteur moment en un point P quelconque d’un glisseur dont le<br />

moment est nul au point A.<br />

8.1.3. Axe d’un glisseur<br />

−→ →<br />

Soit [ T ] un glisseur donné et A un point quelconque tel que : = 0 ,<br />

Cherchons l’ensemble des points P pour lesquels le moment du torseur est nul :<br />

M A<br />

Si<br />

−→<br />

M<br />

P<br />

=<br />

→<br />

0<br />

⇔<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

R ∧ AP = 0<br />

; cette relation montre que le vecteur<br />

−→<br />

AP est colinéaire à la<br />

résultante R → .<br />

L’ensemble des points P est déterminé par la droite passant par le point A et de vecteur<br />

unitaire parallèle à la résultante R → .<br />

Cette droite est appelée axe des moments nul du glisseur ou axe du glisseur. Elle représente<br />

l’axe central du glisseur.<br />

Un torseur de résultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est<br />

nul.<br />

8.2. Torseur couple<br />

8.2.1. Définition<br />

Un torseur non nul est un torseur couple, si et seulement si, sa résultante est nulle.<br />

Cette définition se traduire par :<br />

[ T ]<br />

est un torseur couple<br />

⇔<br />

→ →<br />

⎪<br />

⎧<br />

R = 0<br />

⎨<br />

⎪⎩ ∃ P tel que :<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

≠ 0<br />

61


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A.KADI<br />

8.2.2. Propriétés du vecteur moment<br />

Le moment d’un torseur couple est indépendant des points de l’espace où il est mesuré.<br />

Nous avons : V = tel que :<br />

1<br />

V 2<br />

→ → → → → →<br />

R = V1<br />

+ V2<br />

= 0 ⇒ V2<br />

= −V1<br />

Le moment en un point A quelconque de l’espace est donné par :<br />

−→<br />

M A<br />

−→ → −→ → −→ → −→ →<br />

= AP∧V1 + AQ∧V2<br />

= AP∧V1<br />

− AQ∧V1<br />

→<br />

V 1<br />

P<br />

(S)<br />

−→<br />

M A<br />

−→ → −→ → −→ →<br />

= AP∧V1 − AQ∧V1<br />

= QP∧V1<br />

H<br />

Q<br />

→<br />

V 2<br />

On voit bien que le moment au point A est indépendant<br />

du A. on va montrer qu’il est aussi indépendant des points P et Q.<br />

En effet nous avons :<br />

−→<br />

M A<br />

−→ → −→ −→ → −→ →<br />

= QP∧V1 = ( QH + HP)<br />

∧V1<br />

= HP∧V1<br />

→<br />

H est la projection orthogonale du point P sur la droite support du vecteur V 2<br />

.<br />

En réalité le moment d’un torseur couple ne dépend que de la distance qui sépare les deux<br />

droites supports des deux vecteurs, il est indépendant du lieu où il est mesuré.<br />

8.2.3. Décomposition d’un torseur couple<br />

Soit [ un torseur couple défini par : [ ] . Ce torseur couple peut être décomposé<br />

T C<br />

]<br />

→<br />

⎪⎧<br />

T =<br />

0<br />

C ⎨−→<br />

⎪⎩ M<br />

en deux glisseurs [ T 1] et [ T<br />

2<br />

] tel que : [ T C<br />

] [ T 1<br />

] + [ T 2<br />

]<br />

comme suit : [ T ]<br />

C<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪ R1<br />

+ R2<br />

= 0<br />

⎨−→<br />

−→ −<br />

⎪⎩ M = M<br />

1P<br />

+ M<br />

=<br />

→<br />

2P<br />

= où les deux glisseurs sont définis<br />

où P est un point quelconque<br />

−→ −→<br />

1 1 1<br />

=<br />

−→ −→<br />

2 2P<br />

2<br />

=<br />

Les invariants des deux glisseurs sont nuls: I = M<br />

P<br />

• R 0 ; I = M • R 0<br />

Il existe une infinité de solution équivalente à un torseur couple.<br />

Le problème est résolu de la manière suivante :<br />

a) on choisis un glisseur [ T 1<br />

] en se donnant :<br />

- la résultante du glisseur : ;<br />

→<br />

R 1<br />

62


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A.KADI<br />

- l’axe ( 1<br />

) du glisseur, défini par un point P tel que : Δ ) = ( P , R )<br />

Δ<br />

1<br />

b) Le glisseur [ T 2<br />

] est défini alors par :<br />

- sa résultante R 2<br />

− R ;<br />

→<br />

→<br />

=<br />

1<br />

→<br />

(<br />

1 1 1<br />

- son axe ( Δ ) 2<br />

est déterminé facilement car il est parallèle à Δ ) ; il suffit alors de<br />

connaître un point de cet axe. Le point P est déterminé par la relation suivante :<br />

P2<br />

2<br />

→ −−−→<br />

R1<br />

∧ P1<br />

P2<br />

−→<br />

= M<br />

( 1<br />

Cette relation détermine la position du point<br />

P 2<br />

de façon unique.<br />

9. Torseur quelconque<br />

9.1. Définition<br />

Un torseur est quelconque, si et seulement si, son invariant scalaire n’est pas nul.<br />

[ T ] est un torseur quelconque ⇔<br />

→<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

R• ≠ 0<br />

9.2. Décomposition d’un torseur quelconque<br />

Un torseur<br />

[ T ]<br />

quelconque peut être décomposé d’une infinité de façon en la somme d’un<br />

1]<br />

torseur glisseur [ T et d’un torseur couple[ T ].<br />

Nous procédons de la manière suivante :<br />

a) Choix du point P<br />

On choisit un point P où les éléments de réduction du torseur [ T ] sont connus :[ T ]<br />

2<br />

→<br />

⎪⎧<br />

R<br />

⎨<br />

⎪⎩<br />

= −→<br />

M P<br />

Le choix du point P dépendra du problème à résoudre, on choisit le point le plus simple à<br />

déterminer. Une fois que le choix est fait, la décomposition du torseur quelconque est unique.<br />

b) Construction du glisseur [ ] T 1<br />

- la résultante égale à la résultante du torseur quelconque : R1 = R , avec son axe qui passe<br />

par le point P déjà choisi ;<br />

→<br />

→<br />

- Le moment est nul sur cet axe :<br />

−→<br />

M 1P<br />

→<br />

= 0<br />

63


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A.KADI<br />

[ T ]<br />

[ T ]<br />

Le glisseur aura pour éléments de réduction :<br />

1<br />

c) Construction du torseur couple [ T<br />

2<br />

]<br />

→ →<br />

- la résultante est nulle : R 2 = 0 ,<br />

1<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎨<br />

⎪⎩<br />

→<br />

= R<br />

1<br />

=<br />

−→ →<br />

M<br />

1 P<br />

= 0<br />

- Le moment du torseur couple est égal au moment du torseur quelconque:<br />

−→<br />

−→<br />

=<br />

P<br />

M 2P<br />

M<br />

[ T ]<br />

[ T ]<br />

Le glisseur aura pour éléments de réduction :<br />

1<br />

On obtient ainsi [ T ] = [ ] + [ ]<br />

T 1<br />

T 2<br />

2<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

2<br />

→<br />

= 0<br />

2<br />

=<br />

−→<br />

=<br />

→<br />

P<br />

M P<br />

En chaque point choisi initialement nous pouvons faire cette construction. Tous les glisseurs<br />

obtenus auront la même résultante. Ils différent par leurs axes mais gardent la même direction<br />

car ils sont tous parallèles à l’axe portant la résultante du torseur quelconque.<br />

10. Tableau récapitulatif sur les torseurs<br />

Eléments de réduction au point A Construction minimum Type de torseur<br />

→ →<br />

R ≠ 0<br />

→ −→ →<br />

R • = 0<br />

Un vecteur lié unique Torseur glisseur<br />

M A<br />

→ →<br />

R = 0<br />

−→ →<br />

M ≠ 0<br />

A<br />

Deux vecteurs liés formant<br />

un couple<br />

Torseur couple<br />

→<br />

R<br />

−→<br />

• M A<br />

→<br />

≠ 0<br />

Un vecteur lié + 2 vecteurs<br />

liés formant un couple<br />

Torseur quelconque<br />

→ →<br />

R = 0<br />

−→ →<br />

M = 0<br />

A<br />

Vecteurs nuls<br />

Torseur nul<br />

64


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice : 01<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

, deux points A et B ont pour coordonnées :<br />

A(2, 2, -3) et B(5, 3, 2) ; Déterminer :<br />

−→<br />

1) Le moment du vecteur glissant AB par rapport au centre O du repère ;<br />

−→<br />

2) Le moment du vecteur glissant AB par rapport à la droite (Δ)<br />

passant par le point O et le<br />

point C(2, 2, 1)<br />

Solution :<br />

−→<br />

1) Le moment du vecteur AB par rapport au point O est donné par :<br />

⎛ 2 ⎞ ⎛3⎞<br />

⎛ 13 ⎞<br />

−→ −−→ −−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → → →<br />

M O<br />

= OA ∧ AB = ⎜ 2 ⎟ ∧ ⎜1⎟<br />

= ⎜−19⎟<br />

= 13 i −19<br />

j−<br />

4 k<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

3⎠<br />

⎝5⎠<br />

⎝ − 4 ⎠<br />

;<br />

−→<br />

2) Moment du vecteur AB par rapport au point à la droite (Δ)<br />

définie par le point O et le<br />

→<br />

vecteur unitaire u tel que :<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OC 2 i + 2 j+<br />

k 1<br />

→ → →<br />

⎛ ⎞<br />

u = =<br />

= ⎜2<br />

i + 2 j+<br />

k ⎟<br />

OC 4 + 4 + 1 3 ⎝ ⎠<br />

→<br />

⎛ 13 ⎞ ⎛2⎞<br />

−→ −→ → →<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

16<br />

→<br />

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

M<br />

Δ<br />

= ⎜ M<br />

O<br />

• u ⎟u<br />

= ⎜−19⎟<br />

• ⎜2⎟u<br />

= (26 − 38 − 4) u = − u ;<br />

⎝ ⎠ ⎜ 3 3<br />

3<br />

4 ⎟ ⎜1⎟<br />

⎝ − ⎠ ⎝ ⎠<br />

65


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 02<br />

→<br />

V 1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soient les trois vecteurs = − i + j+<br />

k ; V = j+<br />

2 k , = i − j définis dans un repère<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V 3<br />

→<br />

→<br />

orthonormé<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

et liés respectivement au points A( 0,1,2) , B(1,0,2),<br />

C(1,2,0<br />

)<br />

T<br />

1) Construire le torseur [ ] associé au système de vecteurs ;<br />

O<br />

→ → →<br />

1<br />

, V2<br />

, V3<br />

2) En déduire l’automoment ;<br />

3) Calculer le pas du torseur ;<br />

4) Déterminer l’axe central du torseur vectoriellement et analytiquement.<br />

V<br />

Solution :<br />

1) Les éléments de réduction du torseur [ T ] O sont :<br />

La résultante :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R = V + V + V = j+<br />

3 k<br />

1<br />

2<br />

3<br />

−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

Le moment au point O : M O<br />

= OA ∧ V1<br />

+ OB ∧V2<br />

+ OC ∧V3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

O<br />

⎛0⎞<br />

⎛−1⎞<br />

⎛1⎞<br />

⎛0⎞<br />

⎛1⎞<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞<br />

⎛−<br />

2⎞<br />

⎛ 2 ⎞ ⎛ −1⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

= ⎜1⎟<br />

∧ ⎜ 1 ⎟ + ⎜0⎟<br />

∧ ⎜1⎟<br />

+ ⎜2⎟<br />

∧ ⎜−1⎟<br />

= ⎜−<br />

2⎟<br />

+ ⎜−<br />

2⎟<br />

+ ⎜ 2 ⎟ = ⎜−<br />

2<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝2⎠<br />

⎝ 1 ⎠ ⎝2⎠<br />

⎝2⎠<br />

⎝2⎠<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−<br />

3⎠<br />

⎝ −1⎠<br />

→ −→ → → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

2) L’automoment : A = R • M<br />

O = ⎜ j + 3 k ⎟ • ⎜−<br />

i − 2 j−<br />

k ⎟ = −2<br />

− 3 = −5<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

→<br />

−→<br />

R M<br />

3) Pas du torseur : p =<br />

R<br />

1<br />

− 5<br />

•<br />

O<br />

= = −<br />

2 2 2<br />

4) Equation vectorielle de l’axe central :<br />

+ 3<br />

5<br />

10<br />

Si l’axe (Δ)<br />

est un axe central alors : ∀ P ∈ (Δ)<br />

⇒<br />

−→<br />

M P<br />

→<br />

= λ R<br />

Son équation vectorielle est donnée par :<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

R∧<br />

M<br />

→<br />

O<br />

OP = + λ R avec λ ∈ IR<br />

2<br />

R<br />

66


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎛0⎞<br />

⎛ −1⎞<br />

⎛0⎞<br />

⎛ 5 ⎞ ⎛0⎞<br />

−→<br />

1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />

OP = ⎜1⎟<br />

∧ ⎜−<br />

2⎟<br />

+ λ⎜1⎟<br />

= ⎜−<br />

3⎟<br />

+ λ⎜1⎟<br />

= i + ⎜−<br />

+ λ ⎟ j+<br />

⎜ + 3λ<br />

⎟ k<br />

10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 10 ⎠ ⎝10<br />

⎠<br />

⎝3⎠<br />

⎝ −1⎠<br />

⎝3⎠<br />

⎝ 1 ⎠ ⎝3⎠<br />

⎧x<br />

−→<br />

⎪<br />

Si OP=<br />

⎨y<br />

alors :<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

0<br />

1 3<br />

1<br />

x = ; y = − + λ et z = + 3λ<br />

2 10 10<br />

1 ⎛ 3 ⎞ 1 9<br />

D’où : z = + 3⎜<br />

y + ⎟ = + 3y<br />

+ = 3y<br />

+ 1<br />

10 ⎝ 10 ⎠ 10 10<br />

L’axe central est une droite dans un plan parallèle au plan (yOz) situé à<br />

d’équation : z = 3 y + 1<br />

1<br />

x = et<br />

2<br />

Exercice : 03<br />

T 1<br />

] O<br />

Soit le torseur [ défini par les trois vecteurs V = −2<br />

i + 3 j−<br />

7 k ; V = 3 i − j−<br />

k ,<br />

→ → → →<br />

→ → →<br />

3<br />

)<br />

V = − i − 2 j+<br />

8 k<br />

définis dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k respectivement au points<br />

2<br />

A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ; et le torseur [ ] où R = 2 i + j+<br />

3k<br />

et<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

M = −3<br />

i + 2 j−<br />

7 k .<br />

20<br />

T2<br />

O<br />

→<br />

1<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎨ −<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

=<br />

→<br />

1) Déterminer les éléments de réduction du torseur [ T 1<br />

] O<br />

, conclusion;<br />

2) Déterminer le pas et l’axe central du torseur [ T 2<br />

] O<br />

;<br />

3) Calculer la somme et le produit des deux torseurs ;<br />

4) Calculer l’automoment du torseur somme .<br />

Solution :<br />

20<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1) Eléments de réduction du torseur:[ T ]<br />

1<br />

O<br />

→ → → →<br />

⎧<br />

⎪ R1<br />

= V1<br />

+ V2<br />

+ V3<br />

⎨ −→ −→ → −→<br />

⎪⎩ M<br />

1O<br />

= OA∧<br />

V1<br />

+ OB∧V<br />

=<br />

→ −→ →<br />

2<br />

+ OC∧V<br />

3<br />

→<br />

R<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

= V + V + V<br />

3<br />

→<br />

= 0<br />

67


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎛1⎞<br />

⎛−<br />

2⎞<br />

⎛0⎞<br />

⎛ 3 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎛ −1⎞<br />

⎛0⎞<br />

⎛ −1⎞<br />

⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → →<br />

M<br />

1 O<br />

= ⎜0⎟<br />

∧ ⎜ 3 ⎟ + ⎜1⎟<br />

∧ ⎜−1⎟<br />

+ ⎜0⎟<br />

∧ ⎜−<br />

2⎟<br />

= ⎜7⎟<br />

+ ⎜ 0 ⎟ + ⎜−1⎟<br />

= ⎜6⎟<br />

= i + 6 j<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝0⎠<br />

⎝−<br />

7⎠<br />

⎝0⎠<br />

⎝−1⎠<br />

⎝1⎠<br />

⎝ 8 ⎠ ⎝3⎠<br />

⎝−<br />

3⎠<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠<br />

[ T ]<br />

1<br />

O<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪ R1<br />

= 0<br />

⎨ −→ →<br />

⎪⎩ M<br />

1O<br />

= i + 6 j<br />

=<br />

→<br />

2) Pas et axe central du torseur [<br />

T 2<br />

] O<br />

Pas du torseur :<br />

P<br />

→<br />

R<br />

−→<br />

M<br />

→<br />

⎛<br />

⎜2<br />

i +<br />

=<br />

⎝<br />

→<br />

→ → →<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

j+<br />

3k<br />

⎟ • ⎜−<br />

3 i + 2 j−<br />

7 k ⎟<br />

⎠ ⎝<br />

⎠ − 3 + 2 − 21<br />

=<br />

=<br />

4 + 1+<br />

9<br />

14<br />

→<br />

2<br />

•<br />

2<br />

2<br />

=<br />

−<br />

2<br />

R2<br />

11<br />

7<br />

Axe central du torseur :<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

R ∧<br />

→<br />

2<br />

M<br />

2<br />

OP = + λ R<br />

2<br />

2<br />

R<br />

2<br />

−→<br />

OP =<br />

1<br />

14<br />

⎛2⎞<br />

⎛ − 3⎞<br />

⎛2⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜1⎟<br />

∧ ⎜ 2 ⎟ + λ⎜1⎟<br />

=<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝3⎠<br />

⎝−<br />

7⎠<br />

⎝3⎠<br />

1<br />

14<br />

3) Somme et produit des deux torseurs<br />

a) Somme des deux torseurs :<br />

[ T ] [ T ] + [ T ]<br />

⎛−13⎞<br />

⎛2⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜ 5 ⎟ + λ⎜1⎟<br />

=<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ 7 ⎠ ⎝3⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

13<br />

−<br />

14<br />

5<br />

14<br />

1<br />

2<br />

⎞<br />

+ 2λ<br />

⎟<br />

⎟<br />

+ λ ⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

3λ<br />

⎟<br />

⎠<br />

→ → → → → →<br />

⎧<br />

⎪R<br />

= R1<br />

+ R2<br />

= 2 i + j+<br />

3k<br />

= ⎨ −→ −→ −→<br />

→ →<br />

⎪⎩ M<br />

O<br />

= M<br />

1O<br />

+ M<br />

2O<br />

= −2<br />

i + 8 j−<br />

7 k<br />

O<br />

=<br />

1 O 2 O<br />

→<br />

b) Produit des deux torseurs :<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

→ −→ → −→ → → →<br />

→ → →<br />

1 2<br />

[ T ] • [ T ] = • = R • M + R • M = 2 i + j+<br />

3k<br />

− 3 i + 2 j−<br />

7 k = 25<br />

1 2 ⎨ −→ ⎨ −→ 1 2O<br />

2 1O<br />

⎜ ⎟ • ⎜<br />

⎟ −<br />

O O<br />

⎪⎩ M<br />

1O<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

→<br />

⎪⎩ M<br />

2O<br />

4) Automoment du torseur somme :<br />

→ −→<br />

F = R • M<br />

O<br />

→ → →<br />

→ → →<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

= ⎜2 i + j+<br />

3 k ⎟ • ⎜−<br />

2 i + 8 j−<br />

7 k ⎟ = −17<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

+<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

68


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 04<br />

On considère les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repère<br />

→<br />

orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

. Déterminer :<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

1) Les éléments de réduction du torseur associé aux vecteurs AC et<br />

2) L’axe central du torseur vectoriellement et analytiquement.<br />

−→<br />

BD ;<br />

Exercice : 05<br />

Soit A un point de l’espace dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

, avec<br />

→<br />

→ → →<br />

→ → → →<br />

21 4 12<br />

OA = − i − j−<br />

k et un vecteur V1<br />

= −3<br />

i + j+<br />

3k<br />

dont l’axe passe par le point A .<br />

9 9 9<br />

T 2<br />

] 0<br />

Soit [ un torseur défini au point O par ses éléments de réduction et tel que :<br />

[ T ]<br />

2<br />

0<br />

→<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪ R2<br />

= ( α − 4) i + α j+<br />

3α<br />

k<br />

⎨ −→<br />

→<br />

2<br />

⎪M<br />

20<br />

= (2α<br />

+ 9) j+<br />

( −3α<br />

− ) k<br />

⎩<br />

3<br />

= →<br />

1) Déterminer les éléments de réduction du torseur [ 1<br />

] 0<br />

→<br />

R 2<br />

→<br />

−→<br />

M 20<br />

→<br />

T dont la résultante est le vecteur ;<br />

2) Pour quelle valeur de α les deux torseurs sont égaux ;<br />

3) En déduire le pas et l’axe central du torseur [ T 2<br />

] 0<br />

pour cette valeur de α .<br />

4) Calculer le produit des deux torseurs pour α = 2<br />

→<br />

→<br />

V 1<br />

Solution :<br />

1) Eléments de réduction du torseur [ 1<br />

] 0<br />

[ T ]<br />

1<br />

[ T ]<br />

1<br />

0<br />

0<br />

→ → → →<br />

⎧<br />

⎪ V1<br />

= −3<br />

i + j+<br />

3k<br />

⎨ −→ −→<br />

⎪⎩ M<br />

10<br />

= OA∧V1<br />

=<br />

→<br />

→ → → →<br />

⎧<br />

⎪ V1<br />

= −3<br />

i + j+<br />

3k<br />

⎨ −→ →<br />

⎪⎩ M<br />

10<br />

= 11 j−<br />

(11/ 3) k<br />

=<br />

→<br />

; d’où<br />

T<br />

−→<br />

M<br />

−→<br />

= OA∧<br />

→<br />

10<br />

V 1<br />

⎛−<br />

21/ 9⎞<br />

⎛− 3⎞<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

= ⎜ − 4 / 9 ⎟ ∧ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 11 ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ −12 / 9⎠<br />

⎝ 3 ⎠ ⎝−11/<br />

3⎠<br />

2) Les deux torseurs sont égaux si leurs éléments de réductions sont égaux.<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪ V1<br />

= R2<br />

=<br />

2<br />

⇔<br />

0 ⎨ −→ −→<br />

⎪⎩ M<br />

10<br />

= M<br />

[ T ] [ T ]<br />

1<br />

0<br />

20<br />

→ → →<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪−<br />

3 i + j+<br />

3k<br />

= ( α − 4) i + α j+<br />

3α<br />

k<br />

⇒ ⎨ →<br />

11<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

⎪11<br />

j−<br />

k = (2α<br />

+ 9) j+<br />

( −3α<br />

− ) k<br />

⎩ 3<br />

3<br />

69


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Cette égalité est vérifiée pour : α = 1<br />

[ 2<br />

] 0<br />

4) Pas et axe central du torseur T pour α = 1.<br />

Le torseur s’écrit : [ T ]<br />

2<br />

0<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= −3<br />

i + j+<br />

3k<br />

2<br />

=<br />

→<br />

→<br />

20<br />

= 11 j−<br />

(11/ 3) k<br />

→<br />

R2<br />

• M 1<br />

→ → → →<br />

11<br />

→<br />

20 ⎛<br />

⎞ ⎛ ⎞<br />

Pas du torseur : P<br />

2<br />

= = 3 3 11 = 0<br />

2 ⎜−<br />

i + j+<br />

k ⎟ • ⎜ j−<br />

k ⎟<br />

R 19 ⎝<br />

⎠ ⎝ 3 ⎠<br />

2<br />

−→<br />

Axe central du torseur : C’est l’ensemble des point P tel que :<br />

−→<br />

OP =<br />

1<br />

19<br />

⎛ 110 ⎞<br />

⎜−<br />

− 3λ<br />

⎟<br />

⎛− 3⎞<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛− 3⎞<br />

⎜ 57 ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

= ⎜ 11<br />

+ − + ⎟<br />

⎜ 1 ⎟ ∧ ⎜ 11 ⎟ λ⎜<br />

1 ⎟ λ<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ 3 ⎠ ⎝−11/<br />

3⎠<br />

⎝ 3 ⎠ ⎜ 33<br />

19 ⎟<br />

⎜ − + 3λ<br />

⎟<br />

⎝ 19 ⎠<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

R ∧<br />

→<br />

2<br />

M<br />

20<br />

OP = + λ R<br />

2<br />

2<br />

R<br />

2<br />

si (x, y, z) sont les coordonnées du point P alors : nous aurons les trois équations scalaires:<br />

110<br />

11<br />

33<br />

x = − − 3λ , y = − + λ , z = − + 3λ<br />

57<br />

19<br />

19<br />

385<br />

le point P décrit la courbe : 2x<br />

+ 3y<br />

+ z = −<br />

57<br />

5) Produit des deux torseurs pour α = 2<br />

2<br />

] 0<br />

Pour α = 2 le torseur [ s’écrit :<br />

⎧<br />

⎪ V<br />

→<br />

T [ T ]<br />

→<br />

⎧<br />

⎪R2<br />

⎨<br />

⎪M<br />

⎩<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= −2<br />

i + 2 j+<br />

6 k<br />

→<br />

20<br />

= 13 j−<br />

k<br />

3<br />

2<br />

=<br />

0<br />

−→<br />

→<br />

→ −→ → −→<br />

1 2<br />

[ T ] • [ T ] = • = V • M + R • M = 7<br />

1 2 ⎨ −→ ⎨ −→ 1 2O<br />

2 1O<br />

−<br />

O O<br />

⎪⎩ M<br />

1O<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

→<br />

⎪⎩ M<br />

2O<br />

20<br />

70


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 06<br />

[ T 1<br />

] A<br />

] A<br />

Soient deux torseurs et [ définis au même point A par leurs éléments de réduction<br />

T 2<br />

→ → →<br />

dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

:<br />

→ → → →<br />

⎧<br />

⎪R<br />

= −3<br />

i + 2 j+<br />

2 k<br />

⎨ −→ → →<br />

⎪⎩ M<br />

1A<br />

= 4 i − j−<br />

7 k<br />

1<br />

[ T1 ]<br />

et [ T ]<br />

A<br />

=<br />

→<br />

2<br />

A<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R2<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= 3 i − 2 j−<br />

2 k<br />

=<br />

→ → →<br />

2 A<br />

= 4 i + j+<br />

7 k<br />

1) Déterminer l’axe central et le pas du torseur [ T 1<br />

] A<br />

;<br />

2) Déterminer l’automoment du torseur [ T 1<br />

] A<br />

, montrer qu’il est indépendant du point A ;<br />

3) Construire le torseur [ ] A<br />

[<br />

1<br />

] A<br />

+ [ ] A<br />

T = a T b T2<br />

avec a et b ∈ IR ;<br />

4) Quelle relation doivent vérifier a et b pour que le torseur [ T ] A soit un torseur couple ;<br />

5) Montrer que le torseur couple est indépendant du point ou on le mesure ;<br />

6) Déterminer le système le plus simple de vecteurs glissants associés au torseur somme :<br />

[ T1 ] A<br />

+ [ T2<br />

] A<br />

Solution :<br />

1) Axe central et Pas du torseur [ T 1<br />

] A<br />

Axe central : Il est défini par l’ensemble des points P tel que :<br />

→ −→<br />

−→<br />

R ∧<br />

→<br />

1<br />

M<br />

1A = + λ R<br />

2<br />

1<br />

R1<br />

OP<br />

−→<br />

OP =<br />

1<br />

17<br />

⎛− 3⎞<br />

⎛ 4 ⎞ ⎛− 3⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜ 2 ⎟ ∧ ⎜ −1⎟<br />

+ λ⎜<br />

2 ⎟ =<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝−<br />

7⎠<br />

⎝ 2 ⎠<br />

Pas du torseur [ ] A<br />

:<br />

→<br />

1<br />

17<br />

⎛ 12 ⎞<br />

⎜ − − 3λ<br />

⎟<br />

⎛−12⎞<br />

⎛− 3⎞<br />

⎜ 17 ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

= ⎜ 13<br />

− + ⎟<br />

⎜ −13⎟<br />

+ λ⎜<br />

2 ⎟ 2λ<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 17<br />

⎝ − 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ 5 ⎟<br />

⎜−<br />

+ 2λ<br />

⎟<br />

⎝ 17 ⎠<br />

R1<br />

• M 1<br />

→ → → → → →<br />

1A<br />

⎛<br />

⎞ ⎛ ⎞ 28<br />

T 1<br />

P1 = = 3 2 2 4 7 = −<br />

2 ⎜−<br />

i + j+<br />

k ⎟ • ⎜ i − j−<br />

k ⎟<br />

R 17 ⎝<br />

⎠ ⎝ ⎠ 17<br />

2) Automoment du torseur [ ] A<br />

:<br />

1<br />

−→<br />

→ −→<br />

→ → → → → →<br />

⎛<br />

⎞ ⎛ ⎞<br />

T 1<br />

R1 • M<br />

1A<br />

= ⎜−<br />

3 i + 2 j+<br />

2 k ⎟ • ⎜4<br />

i − j−<br />

7 k ⎟ = −28<br />

⎝<br />

⎠ ⎝ ⎠<br />

71


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’automoment est indépendant du point A. En effet, d’après la formule de transport nous<br />

pouvons écrire :<br />

−→<br />

M<br />

A<br />

−→ −→ →<br />

= M<br />

B<br />

+ AB∧<br />

R1<br />

⇒<br />

→ −→ → −→ → ⎛ −→ → ⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

R1 • M<br />

A<br />

= R1<br />

• M<br />

B<br />

+ R1<br />

• ⎜ AB∧<br />

R ⎟<br />

⎜<br />

1<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

→ −→ → −→<br />

R • M<br />

A<br />

= R1<br />

• M<br />

B<br />

1<br />

, on voit bien qu’il est indépendant du point A.<br />

3) [ T ] A<br />

= a[ T1 ] A<br />

+ b[ T2<br />

] A<br />

⇔ [ T ]<br />

A<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪R<br />

= a R1<br />

+ b R2<br />

⎨ −→ −→ −<br />

⎪⎩ M<br />

A<br />

= a M<br />

1A<br />

+ b M<br />

=<br />

→<br />

2 A<br />

[ T ]<br />

A<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎪<br />

⎧<br />

R = −3(<br />

a − b)<br />

i + 2( a − b)<br />

j+<br />

2( a − b)<br />

k<br />

⎨ −→<br />

→<br />

→<br />

⎪⎩ M<br />

1A<br />

= 4( a + b)<br />

i − ( a − b)<br />

j−<br />

7( a − b)<br />

k<br />

=<br />

→<br />

4) Condition pour que [ T ]<br />

A soit un torseur couple :<br />

il faut que la résultante soit nulle :<br />

→ = →<br />

0<br />

R ⇒ a = b<br />

Le moment dans ce cas sera égal à :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

M A<br />

= 4( a + b)<br />

i = 8a<br />

i<br />

1<br />

5) Le moment d’un torseur couple où les résultantes R , R ont le même module mais de<br />

sens opposées et appliquées aux points quelconque A et B s’écrit :<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

M A<br />

= OA∧<br />

R1 + OB∧<br />

R2<br />

= OA∧<br />

R1<br />

+ OB∧<br />

( − R1<br />

)<br />

−→ → −→ −→ →<br />

⎛ ⎞<br />

= BA∧<br />

R1 = ⎜ BH + HA⎟<br />

∧ R1<br />

⎝ ⎠<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

−→ → −→ → −→ →<br />

= HA∧<br />

R1 = − AH ∧ R1<br />

= AH ∧ R2<br />

→<br />

→<br />

R 1<br />

A<br />

H<br />

B<br />

→<br />

R 2<br />

Le moment d’un couple est indépendant de la distance entre les points A et B , il dépend<br />

uniquement de la distance qui sépare les deux droites supports des résultantes. Cette distance<br />

est appelée bras de levier.<br />

72


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

T T2<br />

6) Système simple de vecteurs glissants associés au torseur somme : [<br />

1<br />

] A<br />

+ [ ] A<br />

Le torseur somme [ T ] est donné par : [ T ]<br />

A<br />

A<br />

→ →<br />

⎪<br />

⎧<br />

R = 0<br />

⎨ −→<br />

⎪⎩ M<br />

A<br />

= 8 i<br />

= →<br />

La résultante peut être décomposées en deux vecteurs quelconque de même module et de sens<br />

opposé dont l’un des vecteurs est placé au point A, on obtient alors :<br />

−→ x<br />

−→ −→ → −→ → −→ → →<br />

M = AA∧<br />

V + AB∧ −V<br />

= AB∧ −V<br />

= i<br />

M A<br />

A<br />

5<br />

⎛<br />

système de deux vecteurs glissants : ⎜ A,<br />

⎝<br />

et ⎜ ⎛ ⎞<br />

− → →<br />

B, V⎟<br />

, tel que : V<br />

⎝ ⎠<br />

−→<br />

• M A<br />

= 0<br />

→<br />

V<br />

⎟ ⎠<br />

⎞<br />

y<br />

→<br />

V<br />

A<br />

→<br />

−V<br />

B<br />

z<br />

Exercice : 07<br />

[ ] 0<br />

Soient deux torseurs T 1<br />

et [ T 2<br />

] 0<br />

définis au même point O dans un repère orthonormé<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R = 2sinα<br />

i + 2cosα<br />

j<br />

⎨ −→<br />

→<br />

⎪⎩ M<br />

10<br />

= a cosα<br />

i − asinα<br />

j<br />

1<br />

[ T1 ]<br />

et [ T ]<br />

0<br />

=<br />

→<br />

1) Déterminer les pas des deux torseurs ;<br />

2) Quelle est la nature des deux torseurs ;<br />

3) Déterminer l’axe central du torseur [ T 2<br />

] 0<br />

;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R2<br />

= 2sinα<br />

i − 2cosα<br />

j<br />

⎨−→<br />

→<br />

⎪⎩ M<br />

20<br />

= −acosα<br />

i − asinα<br />

j<br />

2<br />

=<br />

0<br />

→<br />

4) Déterminer l’invariant scalaire du torseur [ T 3<br />

] 0<br />

défini par : [<br />

3<br />

] k1[ T1<br />

] k2[ T<br />

0<br />

0 2 0<br />

k 1<br />

et<br />

k<br />

2<br />

∈ IR<br />

;<br />

T = + ] où<br />

5) En déduire l’équation scalaire de la surface engendrée par l’axe central quand<br />

varient ;<br />

6) Calculer le produit des deux torseurs [ T 1<br />

] 0<br />

et [ 2<br />

] 0<br />

T ;<br />

k 1 et k 2<br />

73


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 08<br />

On considère deux points A(0, 1, 0), B(0, -1, 0) et deux vecteurs<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

AP = mα i + β k dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

AM<br />

→<br />

→<br />

= −mα<br />

i + β k<br />

1) Déterminer les équations de l’axe central du torseur défini par les vecteurs<br />

−→<br />

−→<br />

AM , et AP ;<br />

2) Déduire l’équation de la surface balayée par cette axe lorsque α et β varient en gardant<br />

m constant.<br />

Exercice : 09<br />

Soit [ T ] un torseur et A un point quelconque de l’espace.<br />

Déterminer l’ensemble des points P tels que le moment<br />

−→<br />

M du torseur [ T ] au point P soit<br />

P<br />

parallèle au moment<br />

−→<br />

M du torseur [ T ] au point A .<br />

A<br />

Exercice : 10<br />

On applique à un solide de forme quelconque deux forces tel que :<br />

aux points A et B du solide.<br />

1) Quelle est la nature du torseur lié aux deux forces ;<br />

2) Montrer que le moment de ce torseur est indépendant des point A et B.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F = − F = 200N<br />

u<br />

1<br />

2<br />

74


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE III<br />

STATIQUE DES SOLIDES<br />

75


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

STATIQUE<br />

La statique est la partie de la mécanique qui étudie l’équilibre des systèmes matériels soumis<br />

à un ensemble de forces. Ces systèmes peuvent se réduire à un point matériel, un ensemble de<br />

points matériels, un solide ou à un ensemble de solides. Dans ce chapitre nous analyserons les<br />

actions mécaniques exercées sur ces systèmes à travers l’étude de l’équilibre de celui-ci.<br />

Un système matériel est en équilibre statique par rapport à un repère donné, si au cours du<br />

temps, chaque point de l’ensemble garde une position fixe par rapport au repère.<br />

1. Les systèmes de forces dans l’espace<br />

Les systèmes de forces sont classés en trois catégories :<br />

Concourants : les lignes d’action de toutes les forces du système passent par un même<br />

point. C’est ce que l’on appelle forces concourantes en un point.<br />

- Parallèles : les lignes d’actions des forces sont toutes parallèles, on dit aussi elles<br />

s’interceptent à l’infini<br />

- Non concourantes et non parallèles : les forces ne sont pas toutes concourantes et pas<br />

toutes parallèles.<br />

1.1. Composantes d’une force<br />

→<br />

Soit une force F appliquée à l’origine O d’un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

. Les<br />

composantes de cette force sont définies par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z<br />

−→<br />

F<br />

z<br />

→<br />

z<br />

θ<br />

ϕ<br />

→<br />

F<br />

−→<br />

F<br />

H<br />

→<br />

y<br />

−→<br />

F x<br />

ϕ<br />

θ<br />

→<br />

F<br />

−→<br />

F<br />

y<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

→<br />

x<br />

→<br />

F<br />

→<br />

F<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= F + F = F sinθ<br />

+ F cosθ<br />

= F sinθ<br />

cosϕ<br />

+ F sinθ<br />

sinϕ<br />

+ F cosθ<br />

H<br />

z<br />

→<br />

= F sin θ cosϕ<br />

i + F sinθ<br />

sinϕ<br />

j+<br />

F cosθ<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= Fx i + Fy<br />

j+<br />

Fz<br />

k nous avons aussi :<br />

2 2 2<br />

F = Fx<br />

+ Fy<br />

+<br />

F<br />

2<br />

z<br />

76


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1.2. Cosinus directeurs<br />

Les projections de la force<br />

→<br />

F<br />

donnent respectivement les angles :<br />

sur les trois axes ox, oy, oz<br />

→<br />

z<br />

θ<br />

z<br />

→<br />

F<br />

θ , θ , θ nous aurons alors :<br />

x<br />

y<br />

z<br />

θ x<br />

θ<br />

y<br />

F<br />

x<br />

= F cos θ , F = F cosθ<br />

, F = F cosθ<br />

x<br />

y<br />

y<br />

z<br />

z<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Si i , j , k sont les vecteurs unitaires du repère nous aurons : F = F i + F j+<br />

F k<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

→<br />

z<br />

→<br />

→<br />

F<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x<br />

i + cosθ<br />

y<br />

j+<br />

cosθ<br />

z<br />

k)<br />

= F(cos θ<br />

= F λ avec<br />

→<br />

→<br />

→<br />

λ = cosθ<br />

i + cosθ<br />

j+<br />

cosθ<br />

k<br />

x<br />

y<br />

→<br />

z<br />

→<br />

→<br />

Le vecteur λ a la même direction que la force F et pour module 1.<br />

cos<br />

2<br />

θ<br />

2<br />

2<br />

cos θ + cos θ = 1<br />

x<br />

+<br />

y<br />

z<br />

→<br />

2. Force définie par son module et deux points sur sa ligne d’action<br />

Soient deux points A x , y , z ) et B x , y , z ) appartenant à la droite (Δ)<br />

support de la<br />

→<br />

(<br />

A A A<br />

−→<br />

force F . Le vecteur AB s’écrira :<br />

(<br />

B B B<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

AB = ( xB − x<br />

A<br />

) i + ( yB<br />

− y<br />

A<br />

) j+<br />

( z<br />

B<br />

− z<br />

A<br />

) k<br />

−→<br />

AB =<br />

d<br />

→<br />

+ d<br />

→<br />

+ d<br />

→<br />

AB = d i + d j+<br />

d k<br />

x<br />

y<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

=<br />

z<br />

d<br />

→<br />

z<br />

A<br />

x<br />

→<br />

F<br />

B<br />

x<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

Soit le vecteur unitaire le long de la ligne d’action de la force. Il est donné par :<br />

→<br />

u<br />

−→ → → →<br />

→<br />

AB d<br />

1<br />

→ → →<br />

x<br />

i + d<br />

y<br />

j+<br />

d<br />

z<br />

k<br />

u = =<br />

= ( d<br />

x<br />

i + d<br />

y<br />

j+<br />

d<br />

z<br />

k)<br />

AB<br />

2 2 2<br />

d + d + d d<br />

x<br />

y<br />

z<br />

Comme la force est donnée par :<br />

→ →<br />

F<br />

→ → →<br />

F = F u = ( d i + d<br />

y<br />

j+<br />

d<br />

z<br />

k)<br />

d<br />

x<br />

,<br />

Composantes suivant les trois axes du repère :<br />

F<br />

d<br />

x<br />

= F<br />

d<br />

d<br />

y d<br />

z<br />

, Fy<br />

= F , Fz<br />

F .<br />

d<br />

d<br />

x<br />

=<br />

77


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A.KADI<br />

3. Equilibre d’un point matériel<br />

On appelle, point matériel, une particule suffisamment petite pour pouvoir négliger ses<br />

dimensions et repérer sa position par ses coordonnées.<br />

→<br />

z<br />

o<br />

→<br />

F<br />

n<br />

→<br />

F<br />

3<br />

→<br />

F<br />

1<br />

→<br />

F<br />

→<br />

y<br />

2<br />

→<br />

x<br />

Un point matériel est en équilibre statique lorsque la somme de toutes les forces extérieures<br />

auxquelles il est soumis, est nulle.<br />

Ces forces peuvent être coplanaire ou dans l’espace.<br />

→ → → →<br />

→ →<br />

F<br />

1+ F2<br />

+ F3<br />

+ F4<br />

+ ..............<br />

+ F1<br />

= 0 ⇔ R → = ∑ F →<br />

=<br />

→<br />

i<br />

0<br />

i<br />

Une particule soumise à deux forces est en équilibre statique si les deux forces ont le même<br />

module, la même direction mais de sens opposé tel que leur résultante, soit nulle.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F + = 0 ; − F 0 ⇒<br />

1<br />

F 2<br />

F1 2<br />

= F<br />

1<br />

= F2<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

F<br />

2<br />

4. Liaisons des solides<br />

4.1. Liaisons sans frottements<br />

Dans le cas d’une liaison sans frottement entre un solide et un plan, la réaction est toujours<br />

normale au plan au point de contact quelques soit le nombre de forces extérieures appliquées<br />

au solide.<br />

Mur lisse<br />

→<br />

N<br />

→<br />

N<br />

→<br />

P<br />

réaction<br />

action<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

n<br />

→<br />

N<br />

→<br />

F<br />

n<br />

→<br />

F<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

N + P = 0<br />

→<br />

→<br />

F i<br />

→<br />

N + ∑ = 0<br />

i<br />

78


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A.KADI<br />

Dans le cas d’un contact ponctuel sans frottement, la condition d’équilibre est réalisée, si la<br />

somme de toutes les forces extérieures appliquées en ce point est égale à la réaction normale<br />

en ce même point.<br />

→<br />

→<br />

F i<br />

→<br />

N + ∑ = 0<br />

i<br />

4.2. Liaisons entre solides avec frottements<br />

On pose une pièce de bois en forme de parallélépipède sur un plan horizontal. Cette pièce de<br />

bois est en équilibre statique. La réaction du plan horizontal est égale et opposée au poids de<br />

la pièce.<br />

Figure : b.1<br />

→<br />

N<br />

→<br />

P<br />

→<br />

T<br />

→<br />

N<br />

→<br />

P<br />

Figure : b.2<br />

Appliquons graduellement en un point de cette pièce une force horizontale F → (figure : b.1)<br />

La pièce ne bougera pas tant que cette force est inférieure à une certaine valeur limite, il<br />

existe alors une contre force T → qui équilibre et s’oppose à cette force F → →<br />

. T est appelée<br />

force de frottement statique.<br />

Elle résulte d’un grand nombre de paramètres liés aux états de surfaces, à la nature des<br />

matériaux et aux forces de contact entre la pièce et la surface considérée.<br />

Cette force de frottement statique obéit à la variation représentée sur la figure suivante.<br />

Si μ 0 est le coefficient de frottement statique (dépend uniquement de la nature des surfaces<br />

de contact) nous pouvons écrire :<br />

→<br />

F<br />

→<br />

T<br />

T m : force maximum<br />

de frottement statique<br />

Partie statique<br />

T k : force de frottement<br />

dynamique<br />

→<br />

F<br />

‣ Pour que l’équilibre statique soit réalisable il faut que :<br />

→<br />

T p μ<br />

0<br />

→<br />

N<br />

‣ A l’équilibre limite on aura :<br />

→<br />

T =<br />

0<br />

→<br />

μ N<br />

79


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans le cas d’une surface avec frottements (figure ci-dessous), la condition d’équilibre<br />

s’écrira :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F i<br />

→<br />

N + T + ∑ = 0<br />

i<br />

(la somme des actions et des réactions, est nulle)<br />

T<br />

μ m<br />

0<br />

= tgϕ<br />

N<br />

= →<br />

→<br />

→<br />

R<br />

→<br />

T<br />

ϕ<br />

→<br />

N<br />

→<br />

F<br />

La force de frottement T → est dirigée dans le<br />

sens contraire du mouvement et l’angle ϕ est appelé angle de frottement statique.<br />

→<br />

P<br />

Si<br />

→<br />

→<br />

T m<br />

F f le solide se met en mouvement de glissement sur la surface.<br />

→ →<br />

T<br />

T = k N avec k < μ0<br />

et tg φ = =<br />

→<br />

N<br />

→<br />

k<br />

Ce coefficient k indépendant du temps est appelé coefficient de frottement dynamique, il est<br />

aussi indépendant de la vitesse.<br />

Ce tableau reprend quelques coefficients de frottement statiques et dynamiques des surfaces<br />

de matériaux en contact :<br />

Coefficient de frottement<br />

statique μ 0<br />

Acier / Acier Mouillé 0.1<br />

A sec 0.6<br />

Coefficient de frottement<br />

dynamique k<br />

0.05<br />

0.4<br />

Bois / Bois Mouillé 0.5 0.3<br />

Métal / glace 0.03 0.01<br />

Téflon / Acier 0.04 0.04<br />

Cuivre / Acier A Sec 0.5 0.4<br />

80


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A.KADI<br />

5. Système de forces<br />

5.1 Moment d’une force par rapport à un point<br />

Le moment<br />

M −− F<br />

( →<br />

) 0<br />

par rapport à un point O, d’une force<br />

→<br />

F appliquée au point A est égale<br />

−−→<br />

M<br />

0<br />

−→<br />

→<br />

au produit vectoriel : ( F)<br />

= OA∧<br />

F . Le trièdre formé par les vecteurs<br />

−−→<br />

( M ( F)<br />

0<br />

,<br />

−→<br />

OA,<br />

→<br />

F)<br />

est direct.<br />

−→<br />

M ( F<br />

→ ) 0<br />

→<br />

F<br />

π<br />

O<br />

A<br />

Remarque :<br />

Le moment d’une force, glissant le long d’un axe<br />

(Δ)<br />

, par rapport à un point O est indépendant du point A où elle s’applique.<br />

−→<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

−−→<br />

M O<br />

= OA∧<br />

F = ( OH + HA)<br />

∧ F avec OH ⊥ (Δ)<br />

−→<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

M O<br />

= OH ∧ F + HA∧<br />

F comme HA //<br />

Alors<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

HA∧<br />

F = O<br />

d’où<br />

−→<br />

M O<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

F<br />

→<br />

= OH ∧ F<br />

π<br />

O<br />

−→<br />

M ( F<br />

→ ) 0<br />

H<br />

A<br />

→<br />

F<br />

(Δ)<br />

5.2 Moment d’une force par rapport à un axe<br />

→<br />

u<br />

Soit O un point sur l’axe ( Δ) et vecteur unitaire porté par cet axe.<br />

On détermine le moment par rapport au point O, noté :<br />

−→<br />

M ( F<br />

→ ) /<br />

O<br />

, sa projection sur<br />

l’axe (Δ) est donnée par :<br />

→ →<br />

⎛<br />

⎞<br />

= • u ⎟ u<br />

⎝<br />

⎠<br />

−→ →<br />

−→ →<br />

M ( F) /<br />

Δ ⎜ M ( F) /<br />

O<br />

−→<br />

M ( F<br />

→ )<br />

0<br />

−→ →<br />

O M<br />

→<br />

u<br />

(F) / Δ<br />

A<br />

(Δ)<br />

→<br />

F<br />

81


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A.KADI<br />

5.3 Théorème de VARIGNON<br />

Le moment d’un système de forces concourantes en un point A par rapport à un point O est<br />

égal au moment de la résultante des forces par rapport au point O.<br />

Dans les deux cas de figure nous montrerons que le moment résultant est égal au moment de<br />

la résultante des forces du système.<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

O<br />

→<br />

F<br />

1<br />

A<br />

→<br />

F<br />

n<br />

→<br />

F<br />

→<br />

y<br />

2<br />

→<br />

F 3<br />

→<br />

R<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

O<br />

M 1<br />

→<br />

y<br />

A<br />

→<br />

F n<br />

M 2<br />

M<br />

n<br />

→<br />

F<br />

M 3<br />

2<br />

→<br />

R<br />

→<br />

F 3<br />

figure :a<br />

figure :b<br />

Figure a : Nous avons R<br />

→ = ∑ F → i<br />

(A) et le moment au point O est donné par :<br />

−→ →<br />

−→ → −−→ → −−→ →<br />

( R)<br />

/ O<br />

M<br />

i<br />

( Fi<br />

) = ( OA∧<br />

F1<br />

+ OA∧<br />

F2<br />

i<br />

i<br />

M = ∑ + ........................<br />

+ OA∧<br />

Fn<br />

−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

M ( R)<br />

/ O<br />

= ( OA∧<br />

( F1<br />

+ F2<br />

+ ........................ + Fn<br />

)<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

−→ →<br />

M ( R)<br />

/ O<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

= OA∧<br />

∑ F = OA∧<br />

R<br />

i<br />

i<br />

→ = ∑ →<br />

(<br />

i<br />

i<br />

Figure b : Nous avons R F i<br />

M )<br />

−−→<br />

−→ −−→<br />

= OA+<br />

1<br />

−−→<br />

−−→<br />

OM<br />

1<br />

AM , OM<br />

2<br />

= OA+<br />

AM<br />

2<br />

, ………… OM<br />

−→<br />

−−→<br />

n<br />

−→ −−→<br />

= OA+<br />

AM<br />

n<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→<br />

−−→ → −−→ →<br />

i<br />

( Fi<br />

)<br />

/ O<br />

= OM<br />

1∧<br />

F1<br />

+ OM<br />

2<br />

∧ F2<br />

−−→<br />

M + ............................<br />

+ OM<br />

→<br />

−−→ −−→ → −−→ −−→ →<br />

i<br />

( Fi<br />

)<br />

/ O<br />

= ( OA+<br />

AM<br />

1)<br />

∧ F1<br />

+ ( OA+<br />

AM<br />

2<br />

) ∧ F2<br />

n<br />

→<br />

∧ F<br />

M + ....................... + ( OA+<br />

AM ) ∧ F<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

Or AM<br />

i//<br />

Fi<br />

=====> AM<br />

i<br />

∧ Fi<br />

= 0 ; on obtient finalement :<br />

∑<br />

i<br />

→ → −−→ → →<br />

→ −−→ → → →<br />

M<br />

i<br />

( F i )<br />

/ O<br />

= OA∧<br />

( F1<br />

+ F2<br />

+ ....................... + Fn<br />

) = OA∧<br />

R = M ( R)<br />

/ O<br />

→<br />

n<br />

−−→<br />

−−→<br />

n<br />

→<br />

n<br />

82


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.4. Moment d’un couple de forces<br />

Un couple de force est défini par deux forces de même module, de sens opposée et portées par<br />

deux droites parallèles tel que : F<br />

1<br />

= − F2<br />

; F1<br />

= F2<br />

∑<br />

i<br />

→<br />

→ → → →<br />

M<br />

i<br />

( Fi<br />

)<br />

/ O<br />

= M<br />

1(<br />

F1<br />

)<br />

/ O<br />

+ M<br />

2<br />

( F2<br />

)<br />

/ O<br />

→<br />

−−→ → −−→ → −−→ −−→ →<br />

= OA1 ∧ F1<br />

+ OA2<br />

∧ F2<br />

= ( −OA1<br />

+ OA2<br />

) ∧ F2<br />

→<br />

∑ M →<br />

i<br />

( Fi<br />

)<br />

/ O<br />

i<br />

= A<br />

−−→<br />

∧<br />

→<br />

1A2<br />

F2<br />

→<br />

F<br />

1<br />

→<br />

z 0<br />

A<br />

A 2<br />

→<br />

F<br />

2<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

→<br />

y<br />

0<br />

La somme des forces, est nulle mais le moment n’est pas nul. Un couple de force produit<br />

uniquement un mouvement de rotation. Le moment d’un couple est indépendant du point où<br />

on le mesure, il dépend uniquement de la distance qui sépare les deux droites supports des<br />

deux forces.<br />

• Un couple ne peut jamais être remplacé par une force unique ;<br />

• Un système force couple tel que<br />

→ →<br />

M ⊥ F peut toujours se réduire en une résultante<br />

unique. On choisit la résultante des forces au point O où s’applique le moment de telle<br />

sorte que son propre moment soit nul et le moment en ce point serait égal à la somme des<br />

moments de toutes les forces du système.<br />

→<br />

F 1<br />

A 1<br />

→<br />

F 3<br />

O<br />

A 3<br />

A 2<br />

→<br />

F 2<br />

→<br />

F 1<br />

→<br />

M 2<br />

→<br />

F 3<br />

O<br />

→<br />

M 1<br />

→<br />

F 2<br />

→<br />

M 3<br />

→<br />

M 0<br />

O<br />

→<br />

R<br />

83


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6. Statique du solide<br />

Tous les solides que nous étudierons dans ce chapitre sont considérés indéformables : la<br />

distance entre deux points du même solide reste constante quels que soit les systèmes de<br />

forces extérieures appliqués.<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

On considère un solide (S) quelconque soumis à des forces : F , F F .........., ) appliquées<br />

→<br />

F n<br />

aux points :<br />

( M , M<br />

2<br />

, M<br />

3,.............<br />

M<br />

1 n<br />

)<br />

6.1. Equilibre du solide<br />

Pour que le solide soit en équilibre statique il faut et il suffit que :<br />

- La résultante de toutes les forces extérieures appliquées au solide, soit nulle ;<br />

- Le moment résultant de toutes ces forces en un point O, soit nul.<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

F n<br />

→<br />

F 1<br />

A 1<br />

A n<br />

A 3 A 2<br />

→<br />

F 2<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

→<br />

F 3<br />

→<br />

y 0<br />

• R<br />

→ = ∑ F →<br />

i =<br />

→<br />

0<br />

i<br />

−→<br />

−−−→<br />

→<br />

• M<br />

/ O<br />

= ∑ M ( F i<br />

) = 0<br />

/ O<br />

i<br />

Un solide (S), soumis à des actions mécaniques extérieures est en équilibre statique si et<br />

seulement si le torseur représentant l’ensemble de ces actions est un torseur nul.<br />

Ces deux équations vectorielles se traduisent par les six équations scalaires suivantes :<br />

⎧R<br />

=<br />

→ ⎪<br />

= →<br />

x<br />

0<br />

R 0 ⇒ ⎨Ry<br />

= 0 et<br />

⎪<br />

⎩Rz<br />

= 0<br />

⎧M<br />

=<br />

−→<br />

⎪<br />

= →<br />

x<br />

0<br />

M<br />

/ O<br />

0 ⇒ ⎨M<br />

y<br />

= 0<br />

⎪<br />

⎩M<br />

z<br />

= 0<br />

Le système est complètement déterminé si le nombre d’inconnues est égal au nombre<br />

d’équations indépendantes.<br />

84


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A.KADI<br />

6.2.Equilibre d’un solide dans un plan<br />

Dans le cas d’un solide soumis à des forces coplanaires, le système précédent se réduit à trois<br />

équations scalaires.<br />

Soit (xoy) , le plan contenant les forces appliquées au solide, nous avons alors :<br />

z = 0 et Fz<br />

= 0 ⇔ M<br />

x<br />

= M<br />

y<br />

= 0 et<br />

z<br />

= M<br />

O<br />

Les équations d’équilibre se réduisent à :<br />

M<br />

/<br />

R<br />

x<br />

= ∑ F ix<br />

= 0 ; R<br />

y<br />

= ∑ F iy<br />

= 0 ;<br />

i<br />

i<br />

M<br />

/ O<br />

= ∑ M iz<br />

= 0<br />

i<br />

⎧Fix<br />

→<br />

−→<br />

⎪<br />

F<br />

i<br />

= ⎨Fiy<br />

; OA<br />

i<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

−→<br />

M<br />

i / O<br />

−→<br />

→<br />

= OA ∧ F<br />

M<br />

/O<br />

= ∑ M i/O<br />

i<br />

i<br />

i<br />

⎧xi<br />

⎪<br />

= ⎨yi<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

⎧xi<br />

⎧Fix<br />

⎪ ⎪<br />

= ⎨yi<br />

∧ ⎨Fiy<br />

⎪ 0 ⎪<br />

⎩ ⎩ 0<br />

= 0<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎩xi<br />

F<br />

iy<br />

0<br />

0<br />

− y F<br />

i<br />

ix<br />

= M<br />

iz<br />

→<br />

F 1<br />

O<br />

→<br />

y<br />

A 1<br />

→<br />

F n<br />

A 2<br />

A n<br />

→<br />

x<br />

→<br />

F<br />

2<br />

6.3. Réactions aux appuis et aux liaisons à deux dimensions<br />

6.3.1. Appui simple d’un solide sur une surface parfaitement lisse<br />

Les contacts entre les solides sont ponctuels.<br />

Soit (S) un solide reposant sur une surface (P) , on dit que le point A du solide est un point<br />

d’appui s’il reste continuellement en contact de la surface (P). Si le plan (P) est parfaitement<br />

lisse alors la force de liaison (la réaction R → ) au point de contact est normale à ce plan.<br />

→<br />

R<br />

→<br />

R<br />

B<br />

→<br />

R<br />

B<br />

→<br />

R<br />

A<br />

A<br />

A<br />

85


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A.KADI<br />

6.3.2. Articulation d’un solide<br />

Un point A d’un solide est une articulation lorsqu’il reste en permanence en un point fixe de<br />

l’espace.<br />

a) Liaison verrou (Articulation cylindrique)<br />

Les solides sont en contact entre eux suivant une surface cylindrique. Le solide<br />

S 2<br />

a deux<br />

degrés de liberté par rapport au solide ( ) : Une translation suivant l’axe Az, et une rotation<br />

autour du même axe.<br />

( S 1<br />

)<br />

→<br />

x<br />

(S 1 )<br />

A<br />

(S 2 )<br />

→<br />

z<br />

→<br />

y<br />

A<br />

→<br />

R y<br />

→<br />

R x<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

A<br />

→<br />

R<br />

y<br />

→<br />

R x<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

→ → →<br />

A<br />

= RAx<br />

+ RAy<br />

→ →<br />

R avec = 0 La réaction suivant l’axe de l’articulation (Az) est nulle.<br />

R Az<br />

b) Liaison rotule (Articulation sphérique)<br />

→<br />

z<br />

A<br />

→<br />

x<br />

A<br />

R<br />

→<br />

Ax<br />

R<br />

→<br />

Az<br />

R<br />

→<br />

Ay<br />

→<br />

y<br />

Liaison sphérique : 3 degrés de liberté (rotations)<br />

La réaction au point A de l’articulation sphérique a trois composantes :<br />

→<br />

R<br />

A<br />

→ → →<br />

= RAx<br />

+ RAy<br />

+ RAz<br />

c) Encastrement d’un solide<br />

On dit qu’un solide est encastré lorsqu’il ne peut plus changer de position quels que soit les<br />

forces extérieures appliquées. Cette liaison est représentée par deux grandeurs :<br />

→<br />

R : la résultante des forces extérieures appliquées au solide et actives au point A<br />

−<br />

/<br />

: le moment résultant des forces extérieures appliquées au solide par rapport au point A<br />

M →<br />

A<br />

86


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A.KADI<br />

R<br />

→ = ∑ F →<br />

i<br />

i<br />

−→<br />

M / A<br />

=<br />

∑<br />

i<br />

−−→<br />

→<br />

AM ∧ F<br />

i<br />

i<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

A<br />

−→<br />

M<br />

→<br />

R<br />

/ A<br />

→<br />

F<br />

1<br />

→<br />

F<br />

2<br />

→<br />

F<br />

n<br />

→<br />

y<br />

d) Combinaisons de liaisons<br />

Avec ces différents types de liaisons (Appui simple, articulation cylindrique, articulation<br />

sphérique et encastrement) nous pouvons réaliser des comobinaisons qui permettent de<br />

réaliser montages mécaniques statiquement déterminés.<br />

Exemples:<br />

(1) Appui simple deux fois<br />

(2) Appui simple et une articulation<br />

(4) Encastrement et appui simple<br />

(3) Encastrement seul<br />

Ces combinaisons sont dites isostatiques (statiquement déterminées) si le nombre d’inconnues<br />

est inférieures au nombre d’équations indépendantes qu’on peut établir. Certaines<br />

combinaisons ne sont pas autorisées et ne peuvent trouver la solution par la statique seule.<br />

Exemples : 2 appuis articulés, une articulation et un encastrement, encastrement deux fois.<br />

Certaines combinaisons sont hyperstatiques, elles ne peuvent trouver solution par<br />

la statique.<br />

87


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exemple : appui simple trois fois<br />

Nous représentons dans le tableau ci dessous les différents types d’appuis et de liaisons et les<br />

composantes des réactions associées à celles-ci.<br />

Type de liaisons<br />

Appui simple rouleau ou<br />

Surface lisse sans frottement :<br />

Appui simple avec frottements<br />

Articulation cylindrique d’axe Oz<br />

Articulation sphérique<br />

Encastrement<br />

Composantes de la réaction<br />

→<br />

R : la réaction est normale au point d’appui.<br />

→<br />

→<br />

R , : deux composantes dans le plan de contact<br />

→<br />

x<br />

R y<br />

→<br />

→ →<br />

R , avec = 0 ; La composante suivant l’axe<br />

x<br />

R y<br />

R z<br />

de l’articulation est nulle<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

→<br />

R , R , R : trois composantes<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

z<br />

→<br />

R , R , R et trois composantes plus le<br />

z<br />

→<br />

M / A<br />

moment au point d’encastrement.<br />

88


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A.KADI<br />

EXERCICES SOLUTIONS<br />

Exercice 01 :<br />

Déterminer les tensions des câbles dans les figures suivantes :<br />

A<br />

40° 20° B<br />

A<br />

70°<br />

C<br />

400N<br />

C<br />

10°<br />

B<br />

Solution :<br />

Figure 1 :<br />

Au point C nous avons :<br />

→<br />

T<br />

CA<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+ T + P = 0<br />

CB<br />

La projection sur les axes donne :<br />

− T<br />

T<br />

CA<br />

CA<br />

cos 40° + T cos 20°<br />

= 0<br />

CB<br />

sin 40° + T sin 20° − P = 0<br />

CB<br />

60Kg<br />

figure: 1 figure : 2<br />

40° → →<br />

A T CA T<br />

40°<br />

C<br />

y<br />

→<br />

P<br />

CB<br />

20°<br />

20° B<br />

x<br />

d’où : T<br />

CA<br />

= 354 N . T<br />

CB<br />

= 288, 5 N<br />

Figure 2 :<br />

Au point C nous avons :<br />

y<br />

→<br />

T<br />

CA<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+ T + P = 0<br />

CB<br />

La projection sur les axes donne :<br />

− T<br />

T<br />

CA<br />

CA<br />

sin 70° + T cos10°<br />

= 0<br />

CB<br />

cos 70° − T sin10° − P = 0<br />

CB<br />

d’où : T<br />

CA<br />

= 3390 N ; T<br />

CB<br />

= 3234 N<br />

A<br />

→<br />

T CA<br />

70°<br />

C<br />

P<br />

10°<br />

T<br />

→<br />

CB<br />

B<br />

x<br />

89


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 02 :<br />

Une barre homogène pesant 80 N est liée par une articulation cylindrique en son extrémité A<br />

à un mur. Elle est retenue sous un angle de 60° avec la verticale par un câble inextensible de<br />

masse négligeable à l’autre extrémité B. Le câble fait un angle de 30° avec la barre.<br />

Déterminer la tension dans le câble et la réaction au point A.<br />

y<br />

C<br />

C<br />

Solution :<br />

A<br />

30°<br />

60°<br />

B<br />

A<br />

→<br />

R<br />

A<br />

60°<br />

D 30°<br />

→<br />

P<br />

→<br />

T<br />

B<br />

x<br />

Le système est en équilibre statique dans le plan (xoy), nous avons alors :<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

R A<br />

→<br />

F 0 ⇔ + T + P = 0 (1)<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ AB∧ T + AD∧<br />

P = 0 (2)<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

⎧L<br />

cos30°<br />

−→<br />

⎧(<br />

L / 2)cos30°<br />

→⎧<br />

AB ⎨ ; AD⎨<br />

; P⎨<br />

0 →<br />

; T<br />

⎩Lsin 30°<br />

⎩(<br />

L / 2)sin 30°<br />

⎩−<br />

P ⎩ ⎨⎧ − T cos60°<br />

T sin 60°<br />

L’équation (1) projetée sur les axes donne : R Ax<br />

− T cos 60°<br />

= 0 (3)<br />

R Ay<br />

+ T sin 60° − P = 0 (4)<br />

L’équation (2) s’écrira :<br />

⎛ L cos30°<br />

⎞ ⎛−<br />

T cos60°<br />

⎞ ⎛(<br />

L / 2)cos30°<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎜ ⎟ ∧ ⎜ ⎟ + ⎜<br />

⎟ ∧ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />

⎝ Lsin 30°<br />

⎠ ⎝ T sin 60°<br />

⎠ ⎝ ( L / 2)sin 30°<br />

⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

PL<br />

LT cos 30°<br />

s sin 60° + LT cos 60°<br />

sin 30° − cos30°<br />

= 0 (5)<br />

2<br />

90


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A.KADI<br />

(5) ⇒<br />

P<br />

T = cos30°<br />

= 34,64N<br />

2<br />

(3) ⇒ R AX<br />

= T cos 60°<br />

= 17, 32N<br />

(4) ⇒ R Ay<br />

= P − T sin 60°<br />

= 30N<br />

d’où<br />

2 2<br />

RA = RAx<br />

+ RAY<br />

= 34. 64N<br />

et l’angle que fait la réaction avec l’axe ox est donné par :<br />

RAx<br />

cos θ = = 0,5 ⇒ θ = 60°<br />

R<br />

A<br />

Exercice 03 :<br />

On maintient une poutre en équilibre statique à l’aide d’une charge P suspendue à un câble<br />

inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure. La<br />

poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kg et fait un angle de 45° avec l’horizontale<br />

et 30° avec le câble.<br />

Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa<br />

direction par rapport à l’horizontale.<br />

y<br />

50Kg<br />

A<br />

→<br />

R<br />

A<br />

→<br />

T<br />

30°<br />

G<br />

45°<br />

→<br />

P<br />

B<br />

x<br />

50Kg<br />

A<br />

30°<br />

45°<br />

B<br />

Solution :<br />

Toutes les forces agissant sur la poutre sont dans le plan (xoy) . Le système est en équilibre<br />

statique d’où<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

R A<br />

→<br />

F 0 ⇔ + T + P = 0 (1)<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ AB∧<br />

T + AG∧<br />

P = 0 (2)<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

91


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Nous avons T = P , et<br />

4 2<br />

AB ⎨ ;<br />

⎩4<br />

2<br />

−→ ⎧<br />

−→ ⎧<br />

→<br />

2 2 ⎧<br />

AG ⎨ ; P⎨<br />

0 →<br />

; T ;<br />

⎩2<br />

2 ⎩−<br />

P ⎩ ⎨⎧ − T cos15°<br />

− T sin15°<br />

L’équation (1) projetée sur les axes donne : R Ax<br />

− T cos 15°<br />

= 0 (3)<br />

→<br />

R<br />

A<br />

⎧R<br />

⎨<br />

⎩R<br />

Ax<br />

Ay<br />

R Ay<br />

− T sin 15° − P = 0 (4)<br />

L’équation (2) s’écrira :<br />

⎛4<br />

⎜<br />

⎝4<br />

2 ⎞ ⎛−<br />

T cos15°<br />

⎞ ⎛<br />

⎜ ⎟ + ⎜<br />

2<br />

⎟<br />

∧<br />

2<br />

⎠ ⎝ − T sin15°<br />

⎠ ⎝2<br />

2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟<br />

∧ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />

2 ⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

− 4 T 2 sin15° + 4T<br />

2 cos15° − 2P<br />

2 = 0<br />

(5)<br />

2P<br />

2<br />

T =<br />

⇒ T = 353,55N<br />

4 2(cos15° − sin15°<br />

)<br />

(3) ⇒ R Ax<br />

= 341, 50N<br />

et (4) ⇒ R Ay<br />

= 591, 50N<br />

d’où<br />

2 2<br />

RA = RAx<br />

+ RAY<br />

= 683N<br />

et l’angle que fait la réaction avec l’axe ox est donné par :<br />

RAx<br />

cos θ = = 0,577 ⇒ θ = 54, 76°<br />

R<br />

A<br />

Exercice 04 :<br />

La barre AB=L est liée en A par une articulation cylindrique et à son extrémité B, elle repose<br />

sur un appui rouleau. Une force de 200 N agit en son milieu sous un angle de 45° dans le plan<br />

vertical. La barre a un poids de 50 N.<br />

Déterminer les réactions aux extrémités A et B.<br />

A<br />

B<br />

x<br />

A<br />

→<br />

R<br />

A<br />

G<br />

→<br />

F<br />

→<br />

P<br />

45°<br />

B<br />

→<br />

R<br />

B<br />

x<br />

Solution :<br />

Toutes les forces agissant sur la poutre sont situées dans le plan (xoy) . Le système est en<br />

équilibre statique, nous avons alors :<br />

92


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F 0 ⇔ R + R + F+<br />

P = 0<br />

(1)<br />

−→<br />

→<br />

A<br />

−→<br />

B<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ AB∧ RB<br />

+ AG∧<br />

F+<br />

AG∧<br />

P = 0 (2)<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne :<br />

R Ax<br />

− F cos 45°<br />

= 0<br />

(3)<br />

RAy + RB<br />

− F sin 45° − P = 0<br />

(4)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

En développant l’équation (2) on aboutit à :<br />

⎛ L⎞<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ L / 2⎞<br />

⎜ ⎟ ∧ ⎜ ⎟ + ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ RB<br />

⎠ ⎝ 0<br />

⎟ ∧<br />

⎠<br />

⎛−<br />

F cos45°<br />

⎞ ⎛ L / 2⎞<br />

⎜ ⎟ + ⎜<br />

⎝ − F sin 45°<br />

⎠ ⎝ 0<br />

→<br />

⎟ ∧<br />

⎠<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟ = 0<br />

⎝−<br />

P⎠<br />

L<br />

L<br />

F 2 P<br />

LR B<br />

− F cos 45° − P = 0 ⇔ R B<br />

− − = 0 (5)<br />

2<br />

2<br />

4 2<br />

(5) ⇒ R B<br />

= 95, 71 N<br />

(3) ⇒ R Ax<br />

= 141, 42 N<br />

2 2<br />

(4) ⇒ R Ay<br />

= 95, 71 N ; d’où RA = RAx<br />

+ RAy<br />

= 170, 76N<br />

Exercice 05 :<br />

Une échelle de longueur 20 m pesant 400 N est appuyée contre un mur parfaitement lisse en<br />

un point situé à 16 m du sol. Son centre de gravité est situé à 1/3 de sa longueur à partir du<br />

bas. Un homme pesant 700 N grimpe jusqu’au milieu de l’échelle et s’arrête. On suppose que<br />

le sol est rugueux et que le système reste en équilibre statique.<br />

Déterminer les réactions aux points de contact de l’échelle avec le mur et le sol.<br />

B<br />

y<br />

B<br />

→<br />

R A<br />

G<br />

C<br />

→<br />

R B<br />

A<br />

→<br />

Q<br />

→<br />

P A<br />

O x<br />

93


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

OB 16<br />

AB=L =20 m , OB=16 m, Q =700 N , P =400 N, sin α = = = 0, 8 ⇒ α = 53, 13°<br />

AB 20<br />

L’échelle est en équilibre statique. La résultante des forces est nulle. Le moment résultant par<br />

rapport au point A est aussi nul.<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F 0 ⇒ R + R + Q+<br />

P = 0<br />

(1)<br />

A<br />

B<br />

→<br />

∑<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇒ AB∧ R + AG∧<br />

Q+<br />

AC∧<br />

P = 0<br />

(2)<br />

B<br />

→<br />

Nous avons aussi :<br />

−→<br />

⎛− L cosα<br />

⎞<br />

−→<br />

⎛− ( L / 2)cosα<br />

⎞<br />

−→<br />

⎛− ( L / 3)cosα<br />

⎞<br />

→<br />

⎛ R ⎞<br />

→<br />

B ⎛ 0 ⎞<br />

AB ⎜ ⎟ ; AG⎜<br />

⎟ ; AG⎜<br />

⎟ ; RB<br />

⎜ ⎟ ; Q ⎜ ⎟ ;<br />

⎝ Lsinα<br />

⎠ ⎝ ( L / 2)sinα<br />

⎠ ⎝ ( L / 3)sinα<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />

Q⎠<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne les équations scalaires :<br />

− R + R = 0 (3)<br />

Ax<br />

B<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→⎛<br />

⎞<br />

P⎜<br />

0 ⎟<br />

⎝−<br />

P⎠<br />

R Ay<br />

− Q − P = 0 (4)<br />

En développant l’équation (2), on aboutit à :<br />

⎛− L cosα<br />

⎞ ⎛ R<br />

⎜ ⎟ ∧ ⎜<br />

⎝ Lsinα<br />

⎠ ⎝ 0<br />

B<br />

⎞ ⎛− ( L / 2)cosα<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛− ( L / 3)cosα<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ + ⎜<br />

⎟ ∧ ⎜ ⎟ + ⎜<br />

⎟ ∧ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ ( L / 2)sinα<br />

⎠ ⎝−<br />

Q⎠<br />

⎝ ( L / 3)sinα<br />

⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

L L<br />

− R B<br />

Lsin α + Q cosα<br />

+ P cosα<br />

= 0 (5)<br />

2 3<br />

cosα<br />

⎛ Q P ⎞<br />

(5) ⇒ R B<br />

= ⎜ + ⎟<br />

sin α ⎝ 2 3 ⎠<br />

(3) ⇒ R = R = 362, N<br />

Ax B<br />

5<br />

d’où<br />

R B<br />

= 362, 5N<br />

(4) ⇒ R Ay<br />

= 1100N<br />

; on déduit : R A<br />

= 1158, 34N<br />

Exercice 06 :<br />

On applique trois forces sur une poutre de masse négligeable et encastrée au point A.<br />

Déterminer la réaction à l’encastrement.<br />

A<br />

800N<br />

400N<br />

1,5m 2,5m 2m<br />

200N<br />

94


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 07 :<br />

Un plaque carrée de coté a, de poids P est fixée à un mur à l’aide d’une articulation sphérique<br />

au point A et d’une articulation cylindrique au point B. Un câble CD inextensible et de masse<br />

négligeable maintient la plaque en position horizontale. Une charge Q = 2P est suspendue au<br />

a<br />

point E de la plaque. Les données sont : b = ; α = 30°<br />

3<br />

Déterminer les réactions des articulations en A et B ainsi que la tension dans le câble en<br />

fonction de a et P<br />

D<br />

z<br />

D<br />

z<br />

a<br />

30°<br />

A<br />

b<br />

B<br />

E<br />

C<br />

b<br />

y<br />

a<br />

30°<br />

A<br />

→<br />

P<br />

G<br />

E<br />

b<br />

B<br />

→<br />

T<br />

b<br />

C<br />

y<br />

x<br />

Q<br />

x<br />

→<br />

Q<br />

Solution :<br />

La plaque est en équilibre statique dans le plan horizontale, nous pouvons écrire :<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F 0 ⇒ R + R + T + Q+<br />

P = 0<br />

(1)<br />

−→<br />

→<br />

A<br />

−→<br />

B<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇒ AB∧ R + AC∧<br />

T + AE∧<br />

Q+<br />

AG∧<br />

P = 0 (2)<br />

Articulation sphérique en A :<br />

B<br />

R , R , R<br />

Ax<br />

Ay<br />

Az<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Articulation cylindrique en B et d’axe y:<br />

R , 0,<br />

R<br />

Bx<br />

Bz<br />

Le triangle ACD est rectangle en A , et l’angle (DA,DC) = 30° alors l’angle (CA,CD)=60°<br />

La tension aura pour composantes :<br />

⎛−<br />

T cos60cos 45⎞<br />

⎛−<br />

( T<br />

→ ⎜<br />

⎟ ⎜<br />

T = ⎜ − T cos60sin 45 ⎟ = ⎜−<br />

( T<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎝ T sin 60 ⎠ ⎝<br />

( T<br />

2) / 4<br />

2) / 4<br />

3) / 2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

95


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛a⎞<br />

⎛ a ⎞<br />

→⎜<br />

⎟ →⎜<br />

⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟<br />

Q⎜<br />

0 ⎟ ; P⎜<br />

0 ⎟ ; AB⎜2a<br />

/ 3⎟<br />

; AC⎜a⎟<br />

; AB⎜2a / 3⎟<br />

;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

2P<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

P ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝0<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠<br />

Projetons l’équation (1) sur les axes du repère :<br />

⎛a<br />

/ 2⎞<br />

−→ ⎜ ⎟<br />

AB⎜a<br />

/ 2⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠<br />

RAx + RBx<br />

− ( T 2) / 4 = 0<br />

(3)<br />

R Ay<br />

− ( T 2) / 4 = 0<br />

(4)<br />

RAz + RBz<br />

− ( T 3) / 2 − 2P<br />

− P = 0 (5)<br />

L’équation (2) se traduira par :<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜2a<br />

/ 3⎟<br />

∧ ⎜ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />

Bx<br />

Bz<br />

⎞ ⎛a⎞<br />

⎛−<br />

( T<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟ + ⎜a⎟<br />

∧ ⎜−<br />

( T<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜<br />

⎠ ⎝ 0⎠<br />

⎝<br />

( T<br />

2) / 4<br />

2) / 4<br />

3) / 2<br />

⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛a<br />

/ 2⎞<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛0<br />

⎟<br />

⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜2a<br />

/ 3⎟<br />

∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜a<br />

/ 2⎟<br />

∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />

2P⎠<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

Le développement de ce produit vectoriel donnera trois équations :<br />

2a<br />

3 4aP<br />

aP<br />

RBz + aT − − = 0 (6)<br />

3 2 3 2<br />

3 aP<br />

− aT + 2aP<br />

+ = 0<br />

(7)<br />

2 2<br />

2a<br />

−<br />

3<br />

RBx<br />

= 0<br />

(8)<br />

La résolution de ce système d’équations donne :<br />

5 3<br />

(8) ⇒ RBx<br />

= 0 ; (7) ⇒ T = P ; (6) ⇒ R Bz<br />

= −P<br />

3<br />

3<br />

5 6<br />

5 6<br />

(5) ⇒ R Az<br />

= P ; (4) ⇒ R Ay<br />

= P ; (3) ⇒ R Ax<br />

= P<br />

2<br />

12<br />

12<br />

R A<br />

= 17, 39P et R B<br />

= P<br />

Exercice 08 :<br />

Une enseigne lumineuse rectangulaire de densité uniforme de dimension 1,5 x 2,4 m pèse<br />

120 Kg. Elle est liée au mûr par une articulation sphérique et deux câbles qui la maintienne<br />

en position d’équilibre statique, comme indiqué sur la figure. Déterminer les tensions dans<br />

chaque câble et la réaction au point A.<br />

96


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On donne : C(0 ; 1,2 ; --2,4) , D(0 ; 0,9 ; 0,6).<br />

y<br />

C<br />

D<br />

A<br />

B<br />

x<br />

1,8 m 0,6 m<br />

Exercice 09 :<br />

z<br />

Une porte métallique rectangulaire de densité uniforme de dimensions a x b, de poids P , est<br />

maintenue en position verticale par deux articulations, l’une sphérique au point O et l’autre<br />

cylindrique au point A . Une force F est appliquée perpendiculairement au plan de la porte au<br />

point C milieu de la longueur. Afin de maintenir cette porte en position fermée, on applique<br />

un moment M −→<br />

au point A. Déterminer les réactions aux niveau des articulation O et A ainsi<br />

que la force F nécessaire pour ouvrir la porte. On donne : a = 2m, b = 3m, BC= b/2,<br />

M = 400N, P = 800N<br />

B<br />

a<br />

y<br />

A<br />

−→<br />

M<br />

B<br />

a<br />

y<br />

A<br />

−→<br />

M<br />

z<br />

C<br />

→<br />

F<br />

b<br />

O<br />

x<br />

z<br />

C<br />

→<br />

F<br />

G<br />

→<br />

P<br />

b<br />

O<br />

x<br />

Solution :<br />

⎛ ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟<br />

Nous avons : OA = ⎜b⎟<br />

; OG = ⎜b<br />

/ 2⎟<br />

; OC = ⎜b / 2⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝0<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝a<br />

/ 2 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ a ⎠<br />

97


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A.KADI<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ F ⎞ ⎛ RAx<br />

⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟<br />

Et aussi : M = ⎜−<br />

M ⎟ ; P = ⎜−<br />

P⎟<br />

; F = ⎜ 0 ⎟ ; RO<br />

= ⎜ RAy<br />

⎟ ;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ RAz<br />

⎠<br />

La porte est en équilibre statique, nous pouvons écrire :<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛ R<br />

→ ⎜<br />

RA<br />

= ⎜ 0<br />

⎜<br />

⎝ R<br />

F 0 ⇒ R + R + F + P = 0<br />

(1)<br />

−→<br />

→<br />

O<br />

A<br />

M<br />

/<br />

= 0 ⇒ OA∧ R + OC∧<br />

F+<br />

OG∧<br />

P = 0<br />

(2)<br />

i<br />

O<br />

−→<br />

Projetons l’équation (1) sur les axes du repère :<br />

→<br />

B<br />

−→<br />

ROx + RAx<br />

+ F = 0<br />

(3)<br />

R Oy<br />

− P = 0<br />

(4)<br />

R R = 0<br />

(5)<br />

Oz<br />

+ Az<br />

L’équation (2) se traduira par :<br />

⎛0⎞<br />

⎛ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜b⎟<br />

∧ ⎜ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝0⎠<br />

⎝ R<br />

Ax<br />

Az<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ F ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜b<br />

/ 2⎟<br />

∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜b<br />

/ 2⎟<br />

∧ ⎜−<br />

P⎟<br />

+ ⎜−<br />

M ⎟ = ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝a<br />

/ 2⎠<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Ax<br />

Az<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

bR + aP<br />

2 = 0<br />

Az<br />

(6)<br />

aF − M = 0<br />

(7)<br />

− − bF<br />

bR<br />

2 = 0<br />

Ax<br />

(8)<br />

la résolution de ce système d’équation nous donne :<br />

− aP<br />

(4) ⇒ R Oy<br />

= P = 800N<br />

; (6) ⇒ R Az<br />

= = −266,<br />

66N<br />

2b<br />

M<br />

− F<br />

(7) ⇒ F = = 200N<br />

; (8) ⇒ R Ax<br />

= = −100N<br />

a<br />

2<br />

(5) ⇒ ROz = −RAz<br />

= 266, 66N<br />

; (3) ⇒ ROx = −RAx<br />

− F = −100N<br />

on déduit : R O<br />

= 849N ; R A<br />

= 284, 8N<br />

98


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A.KADI<br />

Exercice 10 :<br />

Une barre AB de masse négligeable supporte à son extrémité B une charge de 900 N, comme<br />

indiqué sur la figure ci-dessous. Elle est maintenue en A par une articulation sphérique et en<br />

B par deux câbles attachés aux points C et D. Déterminer la réaction au point A et la tension<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛3⎞<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

dans chaque câble. Données : A⎜<br />

−1,,5<br />

⎟ ; B⎜0⎟<br />

; C ⎜ 3 ⎟ ;<br />

⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝0<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎠ ⎝1,5<br />

⎠<br />

Solution :<br />

y<br />

Le système est en équilibre statique. La résultante des fores est nulle et le moment résultant de<br />

⎛<br />

⎜<br />

D⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

toutes les forces par rapport au point A est nul. Nous avons alors :<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ =<br />

→<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

3<br />

−1,<br />

5<br />

F 0 ⇔ R + T + T + Q = 0<br />

(1)<br />

−→<br />

z<br />

C<br />

A<br />

→<br />

O<br />

D<br />

A<br />

−→<br />

BC<br />

→<br />

BD<br />

−→<br />

B<br />

Q<br />

→<br />

M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ AB∧ RB<br />

+ AB∧<br />

TBC<br />

+ AB∧<br />

TBD<br />

= 0<br />

(2)<br />

x<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

z<br />

C<br />

→<br />

A<br />

y<br />

O<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

T<br />

→<br />

BC<br />

D<br />

T<br />

→<br />

BD<br />

B<br />

Q<br />

x<br />

Noua avons une articulation sphérique en A :<br />

R , R , R<br />

Ax<br />

Ay<br />

Az<br />

Déterminons les composantes des tensions dans les câbles BC et BD :<br />

Les vecteurs unitaires suivant les axes BC et BD sont donnés par :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

BC − 3 i + 3 j+<br />

1,5 k<br />

→ → →<br />

u BC<br />

= =<br />

= −0,66<br />

i + 0,66 j+<br />

0, 33k<br />

BC 2 2 2<br />

3 + 3 + (1,5)<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

BD − 3 i + 3 j−1,5<br />

k<br />

→ → →<br />

u BD<br />

= =<br />

= −0,66<br />

i + 0,66 j−<br />

0, 33k<br />

BD 2 2 2<br />

3 + 3 + (1,5)<br />

99


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Les tensions dans les deux câbles s’écriront sous la forme :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

BC<br />

= TBC<br />

u<br />

BC<br />

= −0<br />

,66TBC<br />

i + 0,66TBC<br />

j+<br />

0, 33T<br />

BC<br />

k<br />

T<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

BD<br />

= TBD<br />

u<br />

BD<br />

= −0<br />

,66TBD<br />

i + 0,66TBD<br />

j−<br />

0, 33T<br />

BD<br />

k<br />

T<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne les trois équations scalaires :<br />

R − 0 ,66T<br />

− 0,66T<br />

= 0<br />

(3)<br />

Ax<br />

BC<br />

BD<br />

RAy + 0 ,66TBC<br />

+ 0,66TBD<br />

− Q = 0<br />

(4)<br />

R 0 ,33T<br />

− 0,33T<br />

= 0<br />

(5)<br />

Az<br />

+<br />

BC<br />

BD<br />

L’équation (2) s’écrira :<br />

⎛ 3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 0,66TBC<br />

⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛−<br />

0,66TBD<br />

⎞ ⎛0⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜1,5<br />

⎟ ∧ ⎜−<br />

Q ⎟ + ⎜1,5<br />

⎟ ∧ ⎜ 0,66TBC<br />

⎟ + ⎜1,5<br />

⎟ ∧ ⎜ 0,66TBD<br />

⎟ = ⎜0⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝−1⎠<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠<br />

⎝ 0,33T<br />

BC ⎠ ⎝−1⎠<br />

⎝ − 0,33T<br />

BD ⎠ ⎝0⎠<br />

En développant ce produit vectoriel, nous obtenons les trois équations suivantes :<br />

− Q + ( 1,5 × 0,33) T + 0,66T<br />

− (1,5 × 0,33) T + 0,66T<br />

= 0<br />

(6)<br />

BC<br />

BC<br />

( −3×<br />

0,33) T + 0,66T<br />

+ (3×<br />

0,33) T + 0,66T<br />

= 0<br />

(7)<br />

BC<br />

BC<br />

BD<br />

− 3 Q + (3×<br />

0,66) T + (1,5 × 0,66) T + (3×<br />

0,66) T + (1,5 × 0,66) T = 0 (8)<br />

BC<br />

BC<br />

BD<br />

BD<br />

BD<br />

BD<br />

BD<br />

A partir de l’équation (7) on déduit que :<br />

T = 5T<br />

BC<br />

BD<br />

En remplaçant dans l’équation (6) on obtient :<br />

Q<br />

T BD<br />

= = 160, 43N<br />

5,61<br />

D’où :<br />

T BC<br />

= 802, 15N<br />

(3) R = 0 ,66( T + T ) = 635, N<br />

Ax BC BD<br />

30<br />

(4) R = Q − 0 ,66( T + T ) = 264, N<br />

Ay BC BD<br />

70<br />

(5) R = 0,33(<br />

T − T ) = −156,<br />

N<br />

Az BD BD<br />

70<br />

2 2 2<br />

RA = RAx<br />

+ RAy<br />

+ RAz<br />

= 705, 85N<br />

100


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 11 :<br />

Une plaque triangulaire homogène ABC de poids P est lié à un support fixe par<br />

l’intermédiaire d’une articulation sphérique au point A et cylindrique au point C. On donne<br />

OA=OC=OB = a. La plaque est maintenue en position inclinée d’un angle de α = 30°<br />

par<br />

rapport au plan horizontal (xoz) par un câble inextensible BD, accroché au point D à un mur<br />

vertical. La corde fait un angle de β = 60°<br />

avec la verticale. Une charge de poids Q = 2P est<br />

suspendue au point B∈(yoz).<br />

Le centre de gravité G de la plaque est situé 1/3 de OB à partir de O.<br />

1. Ecrire les équations d’équilibre statique ;<br />

2. Déterminer les réactions des liaisons aux points A et C ainsi que la tension du câble.<br />

y<br />

y<br />

D<br />

β<br />

o<br />

C<br />

x<br />

D<br />

β<br />

o<br />

G<br />

→<br />

T<br />

β<br />

C<br />

x<br />

A<br />

B<br />

α<br />

A<br />

→<br />

P<br />

B<br />

α<br />

Solution :<br />

Nous avons OA = OB = OC = a ;<br />

z<br />

→<br />

Q<br />

a<br />

OG = ; Q = 2P ; α = 30°<br />

, β = 60°<br />

3<br />

⎛ RAx<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜<br />

⎟ →⎜<br />

⎟<br />

Le point B ∈ ( yoz) ; RA⎜<br />

RAy<br />

⎟ ; RC<br />

⎜ RCy<br />

⎟ ; T ⎜ T cos β ⎟ ; Q ⎜−<br />

2P⎟<br />

;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ R ⎜ ⎟<br />

Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />

Cz ⎠ ⎝−<br />

T sin β ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠<br />

⎛ 0 ⎞<br />

→⎜<br />

⎟<br />

P⎜−<br />

P⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠<br />

z<br />

⎧− a ⎧a<br />

⎧ 0 ⎧ 0<br />

⎧2a<br />

⎧ a<br />

−→<br />

−→<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎪ ⎪<br />

A ⎨ 0 ; C ⎨0<br />

; B⎨asinα<br />

; G⎨(<br />

a / 3)sinα<br />

⇒ AC⎨<br />

0 ; AB⎨asinα<br />

;<br />

⎪<br />

⎩ 0 ⎪<br />

⎩0<br />

⎪<br />

⎩a<br />

cosα<br />

⎪<br />

⎩(<br />

a / 3)cosα<br />

⎪<br />

⎩ 0 ⎪<br />

⎩a<br />

cosα<br />

⎧ a<br />

−→<br />

⎪<br />

AG⎨(<br />

a / 3)sinα<br />

⎪<br />

⎩(<br />

a / 3)cosα<br />

101


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le système est en équilibre statique, nous avons alors :<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∑ F<br />

i<br />

0 ⇔ RA<br />

+ RC<br />

+ T + Q+<br />

P = 0<br />

(1)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

∑ M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ AC∧ RC<br />

+ AB∧<br />

T + AB∧<br />

Q+<br />

AG∧<br />

P = 0 (2)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne trois équations scalaires :<br />

R = 0<br />

(3)<br />

Ax<br />

RAy + RCy<br />

+ T cos β − 2P<br />

− P = 0<br />

(4)<br />

RAz + RCz<br />

− T sin β = 0<br />

(5)<br />

En développant l’équation vectorielle (2), nous obtenons trois autres équations scalaires :<br />

⎛2a⎞<br />

⎛ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />

Cy<br />

Cz<br />

⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜ asinα<br />

⎟ ∧ ⎜ T cos β ⎟ + ⎜ asinα<br />

⎟ ∧ ⎜−<br />

2P⎟<br />

+ ⎜ ( a / 3)sinα<br />

⎟ ∧ ⎜−<br />

P⎟<br />

= ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝a<br />

cosα<br />

⎠ ⎝−<br />

T sin β ⎠ ⎝a<br />

cosα<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝(<br />

a / 3)cosα<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠<br />

aP<br />

− aT sin α sin β − aT cosα<br />

cos β + 2aP<br />

cosα<br />

+ cosα<br />

= 0 (6)<br />

3<br />

− 2 aR Cz<br />

+ aT sin β = 0<br />

(7)<br />

2 aR Cy<br />

+ aT cos β − 2aP<br />

− aP = 0<br />

(8)<br />

Les six équations permettent de trouver toutes les inconnues :<br />

(3) ⇒ R = 0 (6) ⇒ T = 2, 32P<br />

; (7) ⇒ R Cz<br />

= P<br />

Ax<br />

(8) ⇒ R Cy<br />

= 0, 92P<br />

; (5) ⇒ R Az<br />

= P ; (4) ⇒ R Ay<br />

= 0, 92P<br />

d’où :<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

RA = RAx<br />

+ RAy<br />

+ RAz<br />

= 1, 358P<br />

; RC = RCx<br />

+ RCy<br />

+ RCz<br />

= 1, 358P<br />

102


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 12 :<br />

Un système mécanique composé d’une barre coudée ADE de masse négligeable et d’un<br />

disque de rayon R , de masse négligeable, soudé à celle-ci au point C comme indiqué sur la<br />

figure ci-dessous. La barre est supportée par deux liaisons cylindriques en A et B. On relie le<br />

disque à une poulie fixe par un câble inextensible, de masse négligeable, auquel est<br />

suspendue un poids P. Au point E, dans un plan parallèle au plan (xAz), est appliquée une<br />

force F → inclinée par rapport à la verticale d’un angle β = 30°<br />

. Un moment<br />

−→<br />

M est appliqué<br />

à la barre afin de maintenir le système en position d’équilibre statique dans le plan horizontal<br />

(xAy). On donne F = 2P , et α = 60°<br />

.<br />

1. Ecrire les équations scalaires d’équilibre statique ;<br />

2. En déduire les réactions aux points A et B ainsi que la valeur du moment M pour<br />

maintenir le système en position d’équilibre statique dans le plan horizontal (xAy),<br />

z<br />

A<br />

−→<br />

M<br />

H<br />

→<br />

T<br />

C<br />

α<br />

→<br />

P<br />

B<br />

x<br />

a<br />

a<br />

a<br />

→<br />

F<br />

β<br />

E<br />

D<br />

a<br />

y<br />

Solution :<br />

Nous avons AC = CB =CD =DE = a ; F = 2P ; α = 60°<br />

; β = 60°<br />

La poulie de rayon r est aussi en équilibre statique alors : T r = P r d’où : T = P<br />

⎧0<br />

⎪<br />

A⎨0<br />

⎪<br />

⎩0<br />

⎧ 0 ⎧R<br />

cosα<br />

⎧ a<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

; AB⎨2a<br />

; AH ⎨ a ; AE⎨3a<br />

;<br />

⎪<br />

⎩ 0 ⎪<br />

⎩Rsinα<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

103


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎛ RAx<br />

⎞ ⎛ RBx<br />

⎞ ⎛− Psinα<br />

⎞ ⎛ − 2Psin<br />

β ⎞<br />

→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜<br />

⎟ →⎜<br />

⎟<br />

RA⎜<br />

0 ⎟ ; RB<br />

⎜ 0 ⎟ ; T⎜<br />

0 ⎟ ; F⎜<br />

0 ⎟ ;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ R ⎜ ⎟<br />

Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />

Bz ⎠ ⎝ P cosα<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

2P<br />

cos β ⎠<br />

⎛ 0 ⎞<br />

−→⎜<br />

⎟<br />

M ⎜−<br />

M ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠<br />

Le système est en équilibre statique, nous avons alors :<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∑ F<br />

i<br />

0 ⇔ RA<br />

+ RB<br />

+ T + F = 0<br />

(1)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

∑ M<br />

i / A<br />

= 0 ⇔ M + AB∧<br />

RB<br />

+ AH ∧ T + AE∧<br />

F = 0 (2)<br />

i<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Projetons l’équation (1) sur les axes :<br />

RAx + RBx<br />

− 2 Psin<br />

β − Psinα<br />

= 0<br />

(3)<br />

0 = 0<br />

(4)<br />

RAz + RBz<br />

− 2 P cos β + P cosα<br />

= 0<br />

(5)<br />

En développant l’équation vectorielle (2), nous obtenons trois autres équations scalaires :<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ R<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜−<br />

M ⎟ + ⎜2a⎟<br />

∧ ⎜ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />

Bx<br />

Bz<br />

⎞ ⎛ R cosα<br />

⎞ ⎛− Psinα<br />

⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ − 2Psin<br />

β ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜ a ⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜3a⎟<br />

∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ Rsinα<br />

⎠ ⎝ P cosα<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />

2P<br />

cos β ⎠ ⎝0⎠<br />

2 aR Bz<br />

+ aPcosα<br />

− 6aPcos<br />

β = 0<br />

(6)<br />

− M − RP cos<br />

2<br />

α − RP sin<br />

2<br />

α + 2aPc<br />

osβ<br />

= 0 (7)<br />

− 2 aR Bx<br />

+ aPsinα<br />

+ 6aPsin<br />

β = 0<br />

(8)<br />

Le système d’équation permet de trouver toutes les inconnues.<br />

(7) ⇒ M = 2aPc osβ<br />

− RP = P(<br />

a 3 − R)<br />

= P(1,732a<br />

− R)<br />

(8) ⇒<br />

P P<br />

R Bx<br />

= 3 Psin<br />

β + sinα<br />

= (6 +<br />

2 4<br />

3) = 1, 933P<br />

(6) ⇒<br />

P P<br />

R Bz<br />

= 3 P cos β − cosα<br />

= (6<br />

2 4<br />

3 −1)<br />

= 2, 348P<br />

104


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

P<br />

(5) ⇒ RAz = 2P<br />

cos β − P cosα<br />

− RBz<br />

= − (2 3 + 1) = −1,<br />

116P<br />

4<br />

(4) ⇒ R Ay<br />

R = 0<br />

= By<br />

P<br />

(3) ⇒ RAx = 2 P sin β + P sinα<br />

− RBx<br />

= ( 3 − 2) = 0, 067P<br />

4<br />

Exercice 13 :<br />

Soit le système, constitué de deux masses ponctuelles, liées entre elles par une tige homogène<br />

de longueur AB= L et de masse négligeable. Le système est soumis à deux liaisons sans<br />

frottement en A et O. on donne<br />

m<br />

= 3 m = m .<br />

B A<br />

3<br />

1. Trouver l’angle θ<br />

0<br />

qui détermine la position d’équilibre en fonction de m, d, L. ;<br />

2. En déduire les modules des réactions aux points A et O ;<br />

3. Calculer θ<br />

0<br />

, les réactions R0<br />

et RA<br />

pour L = 20 cm, m = 0,1 Kg et d = 5 cm<br />

O<br />

θ<br />

B<br />

y<br />

→<br />

R O<br />

O<br />

θ 0<br />

B<br />

→<br />

P<br />

B<br />

A<br />

A<br />

→<br />

P A<br />

θ 0<br />

→<br />

R A<br />

x<br />

d<br />

d<br />

Solution :<br />

⎛ d<br />

−→ ⎜<br />

AO⎜d<br />

⎜<br />

⎝<br />

tgθ 0<br />

0<br />

⎞ ⎛ Lcosθ<br />

0 ⎞ ⎛ RA<br />

⎞ ⎛− RO<br />

sinθ<br />

0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟<br />

; AB⎜<br />

Lsinθ<br />

0 ⎟ ; RA⎜<br />

0 ⎟ ; RO<br />

⎜ RO<br />

cosθ<br />

0 ⎟ ; P A ⎜−<br />

P A ⎟ ; P B ⎜−<br />

P B ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

105


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1) le système est en équilibre statique :<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∑ F<br />

i<br />

0 ⇒ RA<br />

+ RO<br />

+ PA<br />

+ PB<br />

= 0<br />

(1)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

∑ M<br />

i / A<br />

= 0 ⇒ AO∧ RO + AB∧<br />

P B<br />

= 0 (2)<br />

i<br />

−→<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne :<br />

→<br />

R − sinθ<br />

0<br />

= 0<br />

(3)<br />

A<br />

R O<br />

R cosθ 0<br />

− P − P = 0<br />

(4)<br />

O<br />

L’équation (2) s’écrira :<br />

A<br />

B<br />

⎛ d ⎞ ⎛− RO<br />

sinθ<br />

0 ⎞ ⎛ L cosθ<br />

0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜d<br />

tgθ<br />

0 ⎟ ∧ ⎜ RO<br />

cosθ<br />

0 ⎟ + ⎜ Lsinθ<br />

0 ⎟ ∧ ⎜−<br />

PB<br />

⎟ = ⎜0⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠<br />

→<br />

2<br />

sin θ<br />

0<br />

dR0 cosθ<br />

0<br />

+ dR0<br />

− PB L cosθ<br />

0<br />

= 0<br />

(5)<br />

cosθ<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

L’équation (5) donne : dR0 (cos θ<br />

0<br />

+ sin θ<br />

0<br />

) − PB<br />

L cos θ<br />

0<br />

= 0<br />

→<br />

−→<br />

PB<br />

L 2 3mgL<br />

2<br />

d’où R0 = cos θ<br />

0<br />

= cos θ<br />

0<br />

d<br />

d<br />

En remplaçant l’équation (4) dans l’équation (5) on obtient :<br />

3 4d<br />

cos θ<br />

0<br />

= ⇒<br />

3L<br />

2) D’après l’équation (4) :<br />

⎛ 4d<br />

⎞<br />

θ<br />

0<br />

= Ar cos⎜<br />

⎟<br />

⎝ 3L<br />

⎠<br />

R<br />

→<br />

→<br />

1<br />

3<br />

→<br />

PA<br />

+ PB<br />

4mg<br />

=<br />

cosθ<br />

0<br />

cosθ<br />

0<br />

O<br />

=<br />

D’après l’équation (3) : R A<br />

= 4mg tgθ0<br />

3) A.N : pour g= 10m/s 2 nous aurons : θ<br />

0<br />

= 46, 1°<br />

, R0 = 5, 8N<br />

, R A<br />

= 4, 2N<br />

Exercice 14 :<br />

Un disque de faible épaisseur, de rayon R = 30 cm et de poids P = 350 Kg doit passer au<br />

dessus d’un obstacle en forme d’escalier de hauteur h= 15 cm sous l’action d’une force → F<br />

106


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

horizontale appliquée au point D situé à la même hauteur que le centre O du disque.<br />

Quelle est la valeur minimale de la force F min pour faire démarrer de disque ?<br />

On considère que les frottements sons négligeables, et on prendra g = 10m/s 2 .<br />

→<br />

F<br />

O<br />

R<br />

→<br />

P<br />

h<br />

B<br />

Exercice 15 :<br />

Un arbre homogène horizontal AB de masse négligeable est maintenu à ses extrémités par une<br />

liaison sphérique en A et cylindrique en B. Au point C est emmanchée une roue de rayon R et<br />

de masse négligeable. Un fil inextensible est enroulé autour de la roue et porte une charge Q.<br />

Une tige DE, de masse négligeable, est soudée à l’arbre au point D . Elle supporte à son<br />

extrémité E une charge P de telle sorte qu’elle fasse un angle de 30° à l’équilibre avec la<br />

verticale, dans le plan (xDz). On donne : P = 15000 N ; a = 0,5 m ; L = 1 m ; R = 0,3 m .<br />

Déterminer les réactions aux appuis A et B ainsi que la charge Q à l’équilibre statique.<br />

2a<br />

z<br />

2a<br />

4a<br />

B<br />

y<br />

D<br />

A<br />

x<br />

C<br />

H<br />

E<br />

30°<br />

L<br />

→<br />

P<br />

→<br />

Q<br />

107


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

P=1500 N ; a = 0,5 m ; DE=L=1m ; R=0,3m ; AC=DB= 2a ; CD=4a<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ − Lsin 30°<br />

⎞ ⎛ RAx<br />

⎞ ⎛ RBx<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜<br />

⎟ →⎜<br />

⎟<br />

Nous avons: AB⎜8a⎟<br />

; AH⎜2a⎟<br />

; AE⎜<br />

6a<br />

⎟ ; RA⎜<br />

RAy<br />

⎟ ; RB<br />

⎜ 0 ⎟ ; Q⎜<br />

0 ⎟ ; P⎜<br />

0 ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

L cos30°<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />

Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />

Bz ⎠ ⎝−<br />

Q ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

1) le système est en équilibre statique :<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∑ F<br />

i<br />

0 ⇒ RA<br />

+ RB<br />

+ Q+<br />

P = 0<br />

(1)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

∑ M<br />

i / A<br />

= 0 ⇒ AB∧ RB<br />

+ AH ∧ Q+<br />

AE∧<br />

P = 0 (2)<br />

i<br />

−→<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne :<br />

R − R = 0<br />

(3)<br />

Ax<br />

Bx<br />

R = 0<br />

(4)<br />

Ay<br />

RAz + RBz<br />

− Q − P = 0<br />

(5)<br />

→<br />

−→<br />

L’équation vectorielle (2) se traduit par :<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜8a⎟<br />

∧ ⎜ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />

Bx<br />

Bz<br />

⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − Lsin 30°<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜2a⎟<br />

∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 6a<br />

⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />

Q⎠<br />

⎝−<br />

L cos30°<br />

⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

En développant cette expression on aboutit à trois équations scalaires :<br />

8 aR Bz<br />

− 2aQ<br />

− 6aP<br />

= 0<br />

(6)<br />

RQ − LP sin 30°<br />

= 0<br />

(7)<br />

8 aR<br />

Bx<br />

= 0<br />

(8)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

On déduit facilement des six équations scalaires la réaction en A et B ainsi que la charge Q.<br />

(8) ⇒ R = 0<br />

; (7) ⇒<br />

Bx<br />

→<br />

→<br />

LP<br />

Q = sin 30°<br />

= 25000N<br />

R<br />

2Q<br />

+ 6<br />

(6) ⇒ R P<br />

Bz<br />

= = 7375N<br />

; (5) ⇒ RAz = Q + P − RBz<br />

= 19125N<br />

8<br />

(4) ⇒ R = 0<br />

; (3) ⇒ R R = 0<br />

Ay<br />

RA = RAz<br />

= 19125N<br />

; RB = RBz<br />

= 7375N<br />

Ax<br />

= Bx<br />

108


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 16 :<br />

Un couvercle homogène ayant la forme d’un demi disque de rayon a de poids P est<br />

maintenu par un axe horizontal AB avec une liaison sphérique en A et cylindrique en B. Une<br />

corde inextensible CD , de masse négligeable est attaché au point C et soulève le couvercle<br />

de tel sorte qu’il fasse un angle α = 30°<br />

avec l’axe horizontal (oy). L’autre extrémité est<br />

attaché au point D (- a,0, a). On donne : OA = OB = a<br />

Le centre d’inertie G du couvercle est situé sur l’axe OC et tel que :<br />

1. Ecrire les équations scalaires d’équilibre ;<br />

OG =<br />

2. En déduire les réactions des liaisons A et B ainsi que la tension de la corde.<br />

z<br />

D<br />

B<br />

z<br />

4a<br />

3π<br />

D<br />

B<br />

A<br />

O<br />

α<br />

C<br />

y<br />

A<br />

O<br />

G<br />

α<br />

C<br />

y<br />

Solution :<br />

x<br />

x<br />

⎛− 2a⎞<br />

⎛ − a ⎞<br />

−→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟<br />

Nous avons: AB⎜<br />

0 ⎟ ; AC⎜<br />

a cos30°<br />

⎟ ;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

asin 30°<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎜ − a ⎟<br />

−→<br />

⎜ 4a<br />

AG cos30°<br />

⎟<br />

⎜ 3π ⎟<br />

⎜ 4 a ⎟<br />

⎜−<br />

sin 30°<br />

⎟<br />

⎝ 3π<br />

⎠<br />

Déterminons les composantes de T → , en effet nous pouvons écrire : T<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

− a i − 0,866a<br />

j+<br />

1,5a k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

T = T<br />

= −0,5T<br />

i − 0, 433T<br />

j+<br />

0,750T k<br />

2<br />

2 2<br />

a ( −1)<br />

+ ( −0,866)<br />

+ (1,5)<br />

→<br />

= T u<br />

→<br />

CD<br />

−→<br />

CD<br />

= T<br />

CD<br />

⎛ RAx<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − 0,5T<br />

⎞<br />

→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜<br />

⎟<br />

d’où : RA⎜<br />

RAy<br />

⎟ ; RB<br />

⎜ RBy<br />

⎟ ; T ⎜−<br />

0,433T<br />

⎟ ;<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ R ⎜ ⎟<br />

Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />

Bz ⎠ ⎝ 0,750T<br />

⎠<br />

⎛ 0 ⎞<br />

→⎜<br />

⎟<br />

P⎜<br />

0 ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

P⎠<br />

109


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A.KADI<br />

1) Le système est en équilibre statique :<br />

→<br />

=<br />

→<br />

∑ Fi<br />

0 ⇒<br />

i<br />

→<br />

R<br />

A<br />

→<br />

+ R + T + P = 0<br />

B<br />

→<br />

→<br />

→<br />

(1)<br />

−→<br />

→<br />

∑ M i / A<br />

= 0<br />

i<br />

⇒<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

AB∧ R + AC∧<br />

T + AG∧<br />

P = 0<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes donne :<br />

B<br />

R Ax<br />

− 0 ,5T<br />

= 0<br />

(3)<br />

RAy + RBy<br />

− 0 ,433T<br />

= 0<br />

(4)<br />

RAz + RBz<br />

+ 0 ,750T<br />

− P = 0<br />

(5)<br />

L’équation vectorielle (2) se traduit par :<br />

⎛− 2a⎞<br />

⎛ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />

By<br />

Bz<br />

⎞ ⎛ − a ⎞ ⎛ − 0,5T<br />

⎞ ⎛ − a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ + ⎜(<br />

a 3) / 2⎟<br />

∧ ⎜−<br />

0,433T<br />

⎟ + ⎜(2a<br />

3) / 3π<br />

⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ − ( a / 2) ⎠ ⎝ 0,750T<br />

⎠ ⎝ − (2a) / 3π<br />

⎠ ⎝−<br />

P⎠<br />

⎝0⎠<br />

3 0,433 2a<br />

3<br />

.0,750aT<br />

− aT − P = 0<br />

2<br />

2 3π<br />

2 aR Bz<br />

+ 0,750aT<br />

+ 0,25aT<br />

− aP = 0<br />

(7)<br />

3<br />

− 2 aR By<br />

+ 0,433aT<br />

+ .0,5aT<br />

= 0<br />

(8)<br />

2<br />

(6) ⇔ 0 ,432T − 0,367P<br />

= 0<br />

⇒ T = 0, 849P<br />

(7) ⇔ 2 + T − P = 0<br />

⇒<br />

R Bz<br />

→<br />

→<br />

(6)<br />

(2)<br />

P − T<br />

R Bz<br />

= = 0, 075P<br />

2<br />

(8) ⇔ 2 R By<br />

+ 0,866T<br />

= 0<br />

⇒ R By<br />

= −0,433T<br />

= −0,<br />

367P<br />

(3) ⇔ R Ax<br />

− 0 ,5T<br />

= 0<br />

⇒ R Ax<br />

= 0 ,5T<br />

= 0, 424P<br />

(4) ⇔ − 0 ,433T<br />

− 0,433T<br />

= 0 ⇒<br />

R Ay<br />

R Ay<br />

= 0 ,866T<br />

= 0, 735P<br />

(5) ⇔ R Az<br />

+ 0 ,075P<br />

+ 0,750T<br />

− P = 0 ⇒ R Az<br />

= 0, 288P<br />

2 2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

RA = RAx<br />

+ RAy<br />

+ RAz<br />

= P (0,424) + (0,735) + (0,288) = 0, 896P<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

RB = RBy<br />

+ RBz<br />

= P ( −0,367)<br />

+ (0,075) = 0, 374P<br />

110


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A.KADI<br />

CHAPITRE IV<br />

GEOMETRIE DES MASSES<br />

110


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

GEOMETRIE DES MASSES<br />

Objectifs du chapitre<br />

Afin de comprendre et de pouvoir décrire les mouvements des systèmes matériels, il est<br />

important de connaître la répartition géométrique afin de se préparer aux concepts de<br />

cinétiques et dynamiques des solides.<br />

L’intérêt de cette partie est de nous permettre de connaître un certain nombre de données sur<br />

la répartition des masses des systèmes. Nous, nous intéresserons à la détermination :<br />

- des centres de masse du solide<br />

- des moments d’inertie, des produits d’inertie par rapport à des axes et aux tenseurs<br />

d’inertie des solides quelconques dans différents repères.<br />

L’opérateur d’inertie sert à caractériser la répartition des masses d’un solide, afin d’étudier<br />

par la suite, un mouvement quelconque de celui-ci.<br />

1. Notions de masse d’un système matériel<br />

A chaque système matériel (S) est associé, une quantité scalaire positive invariable en<br />

mécanique classique, appelée : masse du système<br />

La masse d’un solide fait référence à la quantité de matière contenue dans le volume de ce<br />

solide.<br />

Cet invariant scalaire obéit aux propriétés mathématiques suivantes :<br />

Aditivité des masses<br />

La masse d’un système matériel (S) est égale à la somme des masses qui le composent.<br />

Exemple : masse d’un livre = somme des masses des feuilles qu’il contient.<br />

La masse d’un système matériel est définie par la grandeur scalaire suivante :<br />

M<br />

=<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

L’élément<br />

dm(<br />

P)<br />

dm(P) est la mesure de la masse<br />

M i (P)<br />

au voisinage du point (P).<br />

111


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A.KADI<br />

Un système matériel est un ensemble discret ou continu des points matériels ou encore une<br />

réunion d’ensembles continus ou discrets de points matériels.<br />

1.1. Systèmes discrets<br />

La masse d’un système discret est la somme des n points matériels discrets de masses m i :<br />

m =<br />

n<br />

∑ m i<br />

i=<br />

1<br />

m i<br />

1.2. Systèmes continus<br />

Si le système est constitué d’un ensemble continu de masses, la masse du système<br />

s’écrirait sous la forme d’une intégrale continue :<br />

- Le système (S) est un volume<br />

La masse s’écrirait :<br />

∫<br />

m = ρ(<br />

P)<br />

dv<br />

V<br />

m =<br />

∫<br />

( S )<br />

dm(<br />

P)<br />

ρ (P) est la masse volumique au point P et dv un élément de volume du solide (S)<br />

- Le système (S) est une surface : (cas des plaques fines) l’épaisseur est négligeable<br />

devant les deux autres dimensions.<br />

La masse s’écrirait :<br />

∫<br />

m = σ ( P)<br />

ds<br />

S<br />

σ (P) est la densité surfacique au point P et ds un élément de surface du solide (S)<br />

- Le système (S) est linaire : (cas des tiges fines) les deux dimensions sont négligeables<br />

devant la longueur de la tige.<br />

La masse s’écrirait :<br />

∫<br />

m = λ(<br />

P)<br />

dl<br />

L<br />

λ (P) est la densité linéique au point P et -un élément de longueur du solide (S)<br />

Dans les systèmes homogènes (solides homogènes) la densité des solides est constante.<br />

112


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A.KADI<br />

2. Centre d’inertie (centre de masse) des solides<br />

On appelle centre d’inertie d’un système matériel (S) le point G défini par la relation :<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

−→<br />

→<br />

GP dm = 0<br />

où P est un point du solide avec<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OP = x i + y j+<br />

z k<br />

et<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OG = x i + y j+<br />

z k<br />

G<br />

G<br />

G<br />

→ → →<br />

Soit O le centre d’un repère orthonormé ( O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

nous pouvons écrire dans ce<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

repère : = OG+<br />

GP OP dm = OG dm + GP dm alors nous obtenons :<br />

OP ∫ ∫ ∫<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

−→<br />

P∈( S )<br />

P∈( S)<br />

P∈(<br />

S)<br />

−→<br />

14243<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

1<br />

1<br />

−→<br />

OG = ∫ OP dm ; OG = ∫ OP dm<br />

m<br />

P∈(<br />

S )<br />

P∈(<br />

S )<br />

dm<br />

= 0<br />

Les coordonnées du centre d’inertie G d’un système homogène sont déterminées par des<br />

calculs utilisant les éléments infinitésimaux tel que : dl pour les éléments linéaires, ds pour<br />

les éléments surfaciques et dv pour les éléments volumiques. Ainsi nous pouvons écrire :<br />

∫ x dm<br />

∫ y dm<br />

P∈( S ) 1<br />

P∈( S ) 1<br />

x<br />

G<br />

= = ∫ x dm ,<br />

G<br />

= =<br />

m<br />

m<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

P∈(<br />

∫ dm<br />

∫ dm<br />

P∈(<br />

S )<br />

z dm<br />

P∈( S ) 1<br />

y y dm , z<br />

G<br />

= = ∫ z<br />

m<br />

S )<br />

P∈(<br />

S )<br />

dm<br />

P∈(<br />

S )<br />

∫<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

dm<br />

Remarques :<br />

- Le centre d’inertie des masses homogènes coïncide avec le centre d’inertie de leurs<br />

volumes s’ils sont volumiques ou de leurs surfaces s’ils sont surfaciques.<br />

- Si le solide présente des éléments de symétrie (axes ou plans) son centre d’inertie est<br />

nécessairement situé sur ces éléments de symétrie.<br />

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A.KADI<br />

3. Centre d’inertie d’un système composé<br />

Dans la réalité c’est le cas le plus souvent rencontré, les calculs sont élémentaires en<br />

résonnant sur chacun des éléments qui composent les systèmes.<br />

On détermine d’abord le centre d’inertie de chaque élément<br />

Δ<br />

i<br />

du système au point G i , puis<br />

on détermine le centre d’inertie G du système comme barycentre des points G i .<br />

Soient les éléments d’un système composé :<br />

Δ Δ<br />

., Δ<br />

, ,...................<br />

1 2 n<br />

ayant pour centres<br />

d’inertie respectifs :<br />

G , 1<br />

G ,...................<br />

2<br />

.......,<br />

G n<br />

ayant pour vecteurs positions dans un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

r n<br />

: r 1<br />

, r 2<br />

,..................,<br />

:<br />

Le centre d’inertie de ce système est donné par :<br />

quantité.<br />

n<br />

∑<br />

→<br />

r<br />

→ i<br />

i=<br />

1<br />

rG<br />

=<br />

n<br />

Elle peut être un élément de longueur, de surface, de volume ou de masse.<br />

Le centre d’inertie du système aura pour coordonnées :<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

Δ<br />

Δ<br />

i<br />

i<br />

ième<br />

; où Δ i<br />

est la i<br />

x<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

x<br />

i<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

Δ<br />

Δ<br />

i<br />

i<br />

,<br />

y<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

y<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

i<br />

Δ<br />

Δ<br />

i<br />

i<br />

,<br />

z<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

z<br />

i<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

Δ<br />

Δ<br />

i<br />

i<br />

où :<br />

x<br />

i<br />

, yi<br />

, zi<br />

sont les coordonnées des points Gi où l’élément Δ<br />

i<br />

est concentré.<br />

Si les Δ i<br />

sont des éléments de masses alors on peut écrire :<br />

x<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

x<br />

i<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

m<br />

m<br />

i<br />

i<br />

,<br />

y<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

y<br />

i<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

m<br />

m<br />

i<br />

i<br />

,<br />

z<br />

G<br />

n<br />

∑<br />

z<br />

i<br />

i=<br />

1<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

m<br />

m<br />

i<br />

i<br />

114


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4. Théorème de Guldin<br />

Une seconde méthode pour la détermination des centres d’inertie des solides linéaires ou<br />

surfaciques homogènes fut trouvée par Guldin. Elle consiste à faire tourner ces solides autour<br />

des axes qu’ils n’interceptent pas. Les solides linéaires décriront des surfaces et les solides<br />

surfaciques décriront des volumes.<br />

4.1. 1 er Théorème de Guldin<br />

La surface S engendrée par la rotation d’un arc de courbe de longueur L autour d’un axe ( Δ )<br />

sans l’intercepter dans son plan est égale au produit de la longueur L de l’arc par la longueur<br />

RG<br />

de la circonférence 2π décrite par le centre d’inertie G de l’arc de courbe.<br />

Soit L la longueur de l’arc et<br />

R G<br />

sont centre d’inertie.<br />

La longueur (périmètre) décrite par la rotation du centre d’inertie G<br />

par rapport à l’axe ( Δ)<br />

est donnée par : 2π RG<br />

, alors la surface<br />

décrite par cet élément est égale à :<br />

S<br />

/ Δ<br />

= 2π<br />

RG<br />

L d’où<br />

S<br />

/ Δ<br />

R G<br />

=<br />

2π<br />

L<br />

(Δ)<br />

R G<br />

G<br />

L<br />

Dans le cas d’un système homogène de plusieurs éléments on aura :<br />

R<br />

G<br />

=<br />

S<br />

totale / Δ<br />

2π<br />

L<br />

totale<br />

si l’axe (Δ)<br />

représente l’axe ( O , ) nous aurons :<br />

→<br />

y<br />

x<br />

G<br />

=<br />

S<br />

/ oy<br />

2π<br />

L<br />

si l’axe (Δ)<br />

représente l’axe ( O , ) nous aurons :<br />

→<br />

x<br />

y<br />

G<br />

=<br />

S<br />

/ ox<br />

2π<br />

L<br />

4.2. 2ième Théorème de Guldin<br />

Une surface plane homogène S , limitée par une courbe fermée<br />

simple et tournant autour d’un axe (Δ) sans le rencontrer<br />

S<br />

engendre un volume V.<br />

Le volume V engendré est égal au produit de la surface S<br />

par la longueur du périmètre 2π RG<br />

décrit par le centre<br />

d’inertie G de cette surface autour de l’axe (Δ)<br />

.<br />

(Δ)<br />

R G<br />

G<br />

115


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A.KADI<br />

Soit S la surface et R la distance de son centre d’inertie à (Δ)<br />

.<br />

G<br />

La longueur (périmètre) décrite par la rotation du centre d’inertie G par rapport à l’axe (Δ)<br />

est donnée par : 2π RG<br />

, alors le volume décrit par cette surface est égal à :<br />

V/ Δ<br />

= 2π<br />

RG<br />

S d’où<br />

V/<br />

Δ<br />

R G<br />

=<br />

2π<br />

S<br />

Dans le cas d’un système homogène composé de plusieurs surfaces on aura :<br />

R<br />

G<br />

V<br />

=<br />

2π<br />

S<br />

totale / Δ<br />

totale<br />

si l’axe (Δ)<br />

représente l’axe ( O , ) nous aurons :<br />

→<br />

y<br />

x<br />

G<br />

=<br />

V<br />

total / oy<br />

2π<br />

S<br />

totale<br />

si l’axe (Δ)<br />

représente l’axe ( O , ) nous aurons :<br />

→<br />

x<br />

y<br />

G<br />

=<br />

V<br />

total / ox<br />

2π<br />

S<br />

totale<br />

5. Opérateur d’inertie (tenseur d’inertie) : Moment d’inertie et produit d’inertie<br />

La notion d’opérateur d’inertie permet d’exprimer les divers torseurs, déjà vue précédemment,<br />

afin de faciliter l’étude de la cinétique et de la dynamique des solides.<br />

5.1 Opérateur produit vectoriel<br />

Considérons deux vecteurs et dont les composantes sont exprimées dans une base<br />

orthonormée directe R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

:<br />

→<br />

→<br />

u<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V<br />

→<br />

→ → →<br />

x<br />

i + u<br />

y<br />

j+<br />

u<br />

z<br />

,<br />

u = u<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V = X i + Y j+<br />

Z k<br />

Le produit vectoriel des deux vecteurs s’écrit :<br />

→<br />

∧ →<br />

u<br />

⎡u<br />

x ⎤ ⎡X<br />

⎤ ⎡u<br />

yZ<br />

− u<br />

zY<br />

⎤<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

V =<br />

⎢ ⎥<br />

∧<br />

⎢<br />

⎢<br />

u<br />

y ⎥ ⎢<br />

Y<br />

⎥<br />

= ⎢u<br />

z<br />

X − u<br />

xZ<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

u ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

Z ⎥⎦<br />

⎢ ⎥<br />

z ⎣u<br />

xY<br />

− u<br />

y<br />

X ⎦<br />

116


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A.KADI<br />

→<br />

u<br />

→<br />

V<br />

Comme le vecteur est connu et quelconque, on constate que l’on peut passer du<br />

→<br />

→ →<br />

vecteur V au vecteur u∧<br />

V par une opération linéaire très simple à vérifier. Le produit<br />

vectoriel est distributif, par rapport à l’addition et à la multiplication, nous pouvons alors<br />

écrire :<br />

3<br />

∀ λ ∈ IR et ∀V → ∈ IR on a : u∧<br />

λV<br />

= λ(<br />

u∧V<br />

)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

3<br />

1, V2<br />

IR<br />

∀V ∈<br />

on a aussi :<br />

→ → → → → → →<br />

u∧ ( V1 + V2<br />

) = u∧V1<br />

+ u∧V2<br />

→<br />

→ →<br />

on peut conclure que l’on passe du vecteur V au vecteur u∧<br />

V , par application d’un<br />

opérateur linéaire que l’on notera : [ A ; d’où l’écriture : u∧V<br />

A V qui se traduit sous<br />

forme matricielle dans la base orthonormée R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

par :<br />

]<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

=<br />

[ ] →<br />

⎡u<br />

⎤ ⎡<br />

yZ<br />

− u<br />

zY<br />

0<br />

⎢ ⎥ ⎢<br />

⎢u<br />

z<br />

X − u<br />

xZ<br />

⎥ = ⎢ u<br />

z<br />

⎢ ⎥ ⎢<br />

⎣u<br />

xY<br />

− u<br />

y<br />

X ⎦ ⎣−<br />

u<br />

y<br />

− u<br />

u<br />

0<br />

x<br />

z<br />

u<br />

y<br />

− u<br />

0<br />

x<br />

⎤⎡X<br />

⎤<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

⎥⎢<br />

Y<br />

⎥<br />

=<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎢⎣<br />

Z ⎥⎦<br />

[ A]<br />

⎡X<br />

⎤<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

Y<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

Z ⎥⎦<br />

La matrice<br />

⎡ 0<br />

⎢<br />

⎢ u<br />

z<br />

⎢<br />

⎣−<br />

u<br />

y<br />

− u<br />

u<br />

0<br />

x<br />

z<br />

u<br />

y<br />

− u<br />

0<br />

x<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

est antisymétrique dans cette base.<br />

Pour déterminer le tenseur d’inertie, nous avons besoin d’un nouvel opérateur qui est le<br />

→ → →<br />

→ → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

double produit Vectoriel : ⎜ u∧<br />

( V ∧ u)<br />

⎟ = −⎜<br />

u∧<br />

( u∧V<br />

) ⎟ car le produit vectoriel est<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

antisymétrique. D’après les relations précédentes, nous pouvons écrire cet opérateur sous la<br />

⎛<br />

forme : → → → ⎞<br />

→ ⎛[ ] → ⎞ 2<br />

= [ ] →<br />

⎜ u∧<br />

( u∧V<br />

) ⎟ = u∧<br />

⎜ A V ⎟ A V .<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

117


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Cet opérateur est aussi un opérateur linéaire et son écriture sous la forme matricielle dans la<br />

→ → →<br />

base R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

est la suivante : [ A]<br />

2<br />

2<br />

⎡−<br />

( u<br />

y<br />

+ u<br />

⎢<br />

= ⎢ u<br />

xu<br />

y<br />

⎢<br />

⎣<br />

u<br />

xu<br />

z<br />

2<br />

z<br />

)<br />

u<br />

− ( u<br />

x<br />

2<br />

x<br />

u<br />

y<br />

u<br />

y<br />

+ u<br />

u<br />

z<br />

2<br />

z<br />

)<br />

u<br />

u<br />

− ( u<br />

x<br />

y<br />

2<br />

x<br />

u<br />

u<br />

z<br />

z<br />

+ u<br />

2<br />

y<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

) ⎥<br />

⎦<br />

On voit bien que la matrice [ A ] 2<br />

est symétrique et de même pour la matrice [ B] −[ A] 2<br />

= ,<br />

alors nous utiliserons cette dernière afin de représenter les tenseurs d’inertie d’un solide dans<br />

une base orthonormée R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

.<br />

5.2. Opérateur d’inertie<br />

5.2.1. Définition du moment d’inertie d’un solide<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit un solide de masse dm lié à une tige (AA’) de masse négligeable, en rotation autour<br />

d’un axe ( Δ) . Si on applique un couple au système (tige + masse), il se mettra à tourner<br />

librement autour de l’axe<br />

(Δ) . L’étude dynamique de ce système se fera dans les prochains<br />

chapitres. Le temps nécessaire à cet élément de masse dm pour atteindre une vitesse de<br />

rotation donnée est proportionnel à la masse dm et au carré de la distance r qui sépare la<br />

masse de l’axe (Δ)<br />

. C’est pour cette raison que le produit r 2 dm est appelé moment<br />

d’inertie de la masse dm par rapport à l’axe<br />

(Δ)<br />

.<br />

A<br />

r<br />

dm<br />

A’<br />

(Δ)<br />

5.2.2. Matrice d’inertie : Moments et produits d’inertie d’un solide<br />

Soit un repère orthonormé<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

et un solide (S) tel que O ∈ (S)<br />

. Le moment d’inertie<br />

de ce solide par rapport au point O est obtenu en intégrant la relation r 2 dm .<br />

I<br />

O<br />

=<br />

∫<br />

r<br />

( S )<br />

2<br />

dm<br />

118


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

les intégrales sont calculées sur le solide. Celui-ci peut être linéaire, surfacique ou volumique.<br />

L’élément d’intégration dm(P) est situé en un point P du solide.<br />

→<br />

∫<br />

−→<br />

L’opérateur d’inertie s’écrit : I ( V ) = − OP∧<br />

( OP∧V<br />

) dm , le vecteur V est indépendant du<br />

O<br />

( S )<br />

point P . Le point P est un point quelconque du solide (S) et dm est l’élément de masse<br />

entourant le point P . Le tenseur d’inertie du solide au point O est représenté dans la base<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

par une matrice notée<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

: appelée matrice d’inertie en O dans la base<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

du solide (S) :<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

⎡ A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− D<br />

⎢⎣<br />

− E<br />

− D<br />

B<br />

− F<br />

− E⎤<br />

⎡ I<br />

⎢<br />

− F<br />

⎥<br />

⎥<br />

= ⎢−<br />

I<br />

C ⎥⎦<br />

⎢<br />

⎣−<br />

I<br />

xx<br />

xy<br />

xz<br />

− I<br />

I<br />

yy<br />

− I<br />

xy<br />

yz<br />

− I<br />

− I<br />

I<br />

zz<br />

xz<br />

yz<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

La matrice<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

est symétrique, réelle et diagonisable. Elle admet trois valeurs propres<br />

réelles et trois directions propres réelles et orthogonales.<br />

• Les valeurs propres sont appelées moments principaux d’inertie ;<br />

• Les directions propres sont appelées axes principaux d’inertie.<br />

Si le point P a pour coordonnées ( x , y,<br />

z)<br />

dans la base R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

, le vecteur OP a pour<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

expression :<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OP = x i + y j+<br />

z k<br />

et d’après ce que l’on vient de voir précédemment,<br />

I<br />

O<br />

→<br />

( V ) = −<br />

∫<br />

( S )<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

OP∧<br />

( OP∧V<br />

) dm<br />

, les éléments de la matrice d’inertie s’écriraient sous la forme :<br />

2<br />

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Ox) : I = ∫ ( y + z<br />

2<br />

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oy) : I = ∫ ( x + z<br />

2<br />

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) : I = ∫ ( x + y<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

( S )<br />

( S )<br />

( S )<br />

2<br />

2<br />

2<br />

) dm<br />

) dm<br />

) dm<br />

119


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Moment d’inertie par rapport au plan (Oxy) :<br />

Moment d’inertie par rapport au plan (Oxz) :<br />

Moment d’inertie par rapport au plan (Oyz) :<br />

∫<br />

I xy<br />

= xydm<br />

(S )<br />

∫<br />

I xz<br />

= xzdm<br />

(S )<br />

∫<br />

I yz<br />

= yzdm<br />

(S )<br />

: ou produit d’inertie<br />

: ou produit d’inertie<br />

: ou produit d’inertie<br />

5.2.3. Solides présentant des plans de symétrie<br />

Certains solides présentent des formes particulières admettant des plans de symétrie par<br />

rapport aux axes du repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

choisi. Pour chaque plan de symétrie, les produits<br />

d’inertie sur les deux autres plans sont nuls :<br />

(xOy)<br />

plan de symétrie ====> I I = 0<br />

xz<br />

= yz<br />

( yOz ) plan de symétrie ====> I I = 0<br />

xz<br />

= xy<br />

(xOz)<br />

plan de symétrie ====> I I = 0<br />

xy<br />

= yz<br />

a) si (xOy) est un plan de symétrie du solide<br />

P(+z) est symétrique du point P(-z) par rapport au plan (xOy) d’où :<br />

xzdm = 0 et yzdm = 0 donc I I = 0<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

xz<br />

= yz<br />

z<br />

P(+z)<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

⎡ I<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− I<br />

⎢⎣<br />

0<br />

xx<br />

xy<br />

− I<br />

I<br />

yy<br />

0<br />

−→<br />

xy<br />

0 ⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

I ⎥<br />

zz ⎦<br />

y<br />

x<br />

Dans ce cas l’axe Oz qui est perpendiculaire au plan (xOy) est un axe principal d’inertie ;<br />

nous pouvons le montrer facilement par le produit suivant :<br />

P(-z)<br />

⎡ I<br />

⎢<br />

⎢<br />

− I<br />

⎢⎣<br />

0<br />

xx<br />

xy<br />

− I<br />

I<br />

yy<br />

0<br />

xy<br />

0 ⎤⎡0⎤<br />

0<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

⎥⎢<br />

0<br />

⎥<br />

= I<br />

I ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

1⎥<br />

zz ⎦<br />

zz<br />

⎡0⎤<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

0<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

1⎥⎦<br />

120


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En effet, tout axe orthogonal à un plan de symétrie matérielle est axe principal d’inertie sur<br />

tous les points du plan.<br />

b) si (yOz) est un plan de symétrie du solide<br />

P(+x) est symétrique du point P(-x) par rapport au plan (yOz) d’où :<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

∫<br />

xzdm = 0 et xydm = 0 donc I I = 0<br />

P∈(<br />

S )<br />

xz<br />

= xy<br />

x<br />

P(+x)<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

⎡I<br />

xx<br />

⎢<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣ 0<br />

I<br />

0<br />

yy<br />

− I<br />

yz<br />

− I<br />

I<br />

0<br />

zz<br />

yz<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

y<br />

P(-x)<br />

z<br />

−→<br />

Dans ce cas l’axe Ox perpendiculaire au plan (yOz) est un axe principal d’inertie .<br />

c) si (xOz) est un plan de symétrie du solide<br />

P(+y) est symétrique du point P(-y) par rapport au plan (xOz) d’où :<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

I<br />

∫<br />

yzdm = 0 et xydm = 0 donc I I = 0<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

⎡ I<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

− I<br />

xx<br />

xz<br />

P∈(<br />

S )<br />

I<br />

0<br />

yy<br />

0<br />

− I<br />

I<br />

zz<br />

xz<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

yz<br />

= xy<br />

z<br />

y<br />

P(+y)<br />

P(-y)<br />

x<br />

Dans ce cas l’axe<br />

−→<br />

Oy<br />

perpendiculaire au plan (xOz) est un axe principal d’inertie.<br />

5.2.4 Solides présentant un axe de symétrie<br />

Soit<br />

−→<br />

Ox<br />

un axe de symétrie matérielle d’un solide (S). Pour chaque élément de masse dm<br />

du solide ayant une coordonnée (+x) nous pouvons lui associer un élément dm symétrique<br />

−→<br />

par rapport à l’axe Ox et de coordonnée (-x) de telle sorte que: xzdm = 0 et<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

∫<br />

P∈(<br />

S )<br />

xydm = 0<br />

121


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On remarque de la même manière que précédemment, l’axe Ox est un axe principal d’inertie.<br />

Tout axe de symétrie matériel est un axe principal d’inertie sur tous les points de l’axe.<br />

Remarques<br />

• Tout repère orthogonal direct, dont deux de ses plans sont des plans de symétrie matérielle<br />

du solide, est un repère principal d’inertie du solide.<br />

• Tout repère orthogonal direct, dont deux de ses axes sont des axes de symétrie matérielle<br />

du solide, est un repère principal d’inertie du solide.<br />

5.3. Solides à symétrie de révolution<br />

Dans le cas des solides ayant un axe de révolution tel que (cylindre, disque, cône, etc…), la<br />

masse est répartie de façon symétrique autour de cet axe. Soit un cylindre d’axe de révolution<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Oz dans un repère orthonormé R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

. Tout plan passant par l’axe Oz est un plan de<br />

symétrie, d’après ce que l’on a vu précédemment tous les produits d’inertie sont nuls.<br />

I = I = I<br />

xy<br />

xz<br />

yz<br />

−→<br />

−→<br />

z<br />

z<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

5.4. Solides à symétrie sphériques<br />

Pour tout solide à symétrie sphérique (sphère pleine où creuse)<br />

de centre O , tous les repères<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

ayant pour centre<br />

z<br />

le même point O sont des repères principaux d’inertie.<br />

Les trois axes du repère jouent le même rôle, alors tous les<br />

moments d’inertie sont égaux :<br />

x<br />

y<br />

122


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I = I = I et tous les produits d’inertie sont nuls car tous les plans sont des plans de<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

symétrie : I I = I = 0<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

Nous pouvons écrire :<br />

I<br />

I<br />

xx<br />

xx<br />

+ I<br />

=<br />

yy<br />

2<br />

3<br />

+ I<br />

zz<br />

= 3I<br />

xx<br />

=<br />

2 2<br />

∫ ( x + y + z<br />

( S )<br />

2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

∫ ( y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm + ∫ ( x + y ) dm = 2 ∫ ( x + y +<br />

( S )<br />

) dm<br />

( S )<br />

( S )<br />

( S )<br />

z<br />

2<br />

) dm<br />

5.5. Solides plans<br />

Dans le cas des solides plans, l’une des coordonnées de l’élément , dm est nulle. Si le solide<br />

est dans le plan (xOy) alors z = 0 .<br />

2<br />

2<br />

On déduit immédiatement que : I = y dm , I = x dm d’où :<br />

2 2<br />

I<br />

zz<br />

= ∫ ( x + y ) dm = I<br />

xx<br />

+ I<br />

yy<br />

; et I xz<br />

= I yz<br />

= 0 ; I xy<br />

= ∫ xydm<br />

( S )<br />

xx<br />

∫<br />

( S )<br />

yy<br />

∫<br />

( S )<br />

(S )<br />

y<br />

o<br />

x<br />

Le moment d’inertie par rapport à l’axe perpendiculaire au plan du solide est égal à la somme<br />

des moments par rapport aux deux axes du plan du solide.<br />

5.6. Moments d’inertie par rapport à O , aux axes et aux plans du repère R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

Le moment d’inertie d’un solide (S) déjà défini précédemment par rapport à un point O, un<br />

axe où un plan est donné par l’intégrale :<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

r dm(<br />

P)<br />

où P est un point du solide et r la<br />

distance du point P par rapport au point O, par rapport à l’axe ou par rapport aux plans du<br />

repère.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

123


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

a) Moment d’inertie par rapport au point O.<br />

il est donné par :<br />

où<br />

I<br />

O<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

r dm(<br />

P)<br />

2<br />

r : représente la distance<br />

2 2<br />

alors : I = ∫ ( x + y + z<br />

O<br />

( S )<br />

2<br />

2 2 2<br />

OP = x + y +<br />

) dm(<br />

P)<br />

z<br />

2<br />

x<br />

z<br />

O<br />

P<br />

y<br />

b) Moment d’inertie par rapport aux axes<br />

b.1.) axe<br />

−→<br />

Ox<br />

il est donné par :<br />

où<br />

I<br />

xx<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

r dm(<br />

P)<br />

2<br />

r : représente la distance du point P à l’axe Ox;<br />

2 2 2<br />

2<br />

d’où OP = y + z ; alors : I = ∫ ( y + z<br />

b.2.) axe<br />

−→<br />

Oy<br />

xx<br />

( S )<br />

2<br />

) dm(<br />

P)<br />

z<br />

O<br />

x<br />

r 2<br />

P<br />

y<br />

il est donné par :<br />

où<br />

I<br />

yy<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

r dm(<br />

P)<br />

2<br />

r : représente la distance du point P à l’axe Oy ;<br />

2 2 2<br />

2<br />

d’où OP = x + z ; alors : I = ∫ ( x + z<br />

b.3.) axe<br />

−→<br />

Oz<br />

xx<br />

( S )<br />

2<br />

) dm(<br />

P)<br />

x<br />

O<br />

y<br />

r 2<br />

P<br />

z<br />

il est donné par :<br />

où<br />

I<br />

zz<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

r dm(<br />

P)<br />

2<br />

r : représente la distance du point P à l’axe Oz ;<br />

2 2 2<br />

2<br />

d’où OP = x + y ; alors : I = ∫ ( x + y<br />

zz<br />

( S )<br />

2<br />

) dm(<br />

P)<br />

y<br />

O<br />

r 2<br />

P<br />

x<br />

z<br />

124


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Les moments d’inertie par rapport aux plans (xOy), (xOz), (yOz) sont donnés en fonction de<br />

la distance qui sépare le point (P) du plan considéré, ce qui se traduit par les équations<br />

suivantes :<br />

∫<br />

2<br />

2<br />

I = z dm(<br />

P)<br />

, I = y dm(<br />

P)<br />

,<br />

xOy<br />

( S )<br />

xOz<br />

∫<br />

( S )<br />

Il résulte des différentes relations précédentes que :<br />

I<br />

yOz<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

2<br />

x dm(<br />

P)<br />

a) La somme des moments d’inertie d’un solide par rapport aux trois axes d’un repère<br />

orthonormé est égale au double du moment d’inertie du solide par rapport au centre du<br />

repère.<br />

I<br />

xx<br />

xx<br />

+ I<br />

yy<br />

yy<br />

+ I<br />

zz<br />

zz<br />

=<br />

= 2<br />

∫<br />

( S )<br />

I + I + I = 2I<br />

∫<br />

( S )<br />

O<br />

( y<br />

( x<br />

2<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

+ y<br />

) dm +<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

∫<br />

( S )<br />

( x<br />

2<br />

+ z<br />

) dm = 2I<br />

O<br />

2<br />

) dm +<br />

∫<br />

( S )<br />

( x<br />

2<br />

+ y<br />

2<br />

) dm<br />

b) La somme des moments d’inertie d’un solide par rapport à deux plans perpendiculaires est<br />

égale au moment d’inertie du solide par rapport à l’axe d’intersection des deux plans.<br />

I =<br />

,<br />

yOx<br />

+ I<br />

zOx<br />

I<br />

xx<br />

I<br />

xOy<br />

I<br />

zOy<br />

= I<br />

yy<br />

+ , I<br />

xOz<br />

+ I<br />

yOz<br />

= I<br />

zz<br />

6. Détermination des axes principaux et des moments principaux d’inertie<br />

Soit une matrice d’inertie d’un solide (S), dans une base orthonormée<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

, de la<br />

forme :<br />

I<br />

( S)<br />

O / R<br />

⎡ A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− F<br />

⎢⎣<br />

− E<br />

− F<br />

B<br />

− D<br />

− E⎤<br />

− D<br />

⎥<br />

⎥<br />

C ⎥⎦<br />

, il existe au moins une base orthonormée de même<br />

→ → →<br />

(<br />

1 2 3<br />

centre O et de vecteurs unitaires e , e , e ) , notée O,<br />

e , e , e ) appelée base<br />

principale ou repère principal d’inertie au point O.<br />

→ → →<br />

R P<br />

(<br />

1 2 3<br />

125


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

Dans cette base principale, les axes O , e ) , O , e ) , O,<br />

e ) sont les axes principaux<br />

(<br />

1<br />

(<br />

2<br />

d’inertie et la matrice d’inertie est une matrice diagonale. Les éléments de cette diagonale sont<br />

appelés moments principaux d’inertie dans cette base.<br />

→ → →<br />

R P<br />

(<br />

1 2 3<br />

La matrice d’inertie dans la base O,<br />

e , e , e ) s’écrirait : I<br />

avec<br />

I , I , I<br />

1<br />

2<br />

→<br />

3<br />

moments principaux.<br />

→<br />

→<br />

(<br />

3<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

P<br />

⎡I1<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

Les axes O , e ) , O , e ) , O,<br />

e ) étant des axes principaux, nous pouvons écrire :<br />

(<br />

1<br />

→<br />

(<br />

2<br />

→<br />

(<br />

3<br />

0<br />

I<br />

2<br />

0<br />

0 ⎤<br />

0<br />

I<br />

3<br />

⎥ ⎥⎥ ⎦<br />

→ →<br />

) / R<br />

e1<br />

= I1<br />

1<br />

→ →<br />

2 =<br />

2 2<br />

I<br />

O<br />

( S e , I<br />

O<br />

( S<br />

R<br />

e I e ,<br />

) /<br />

I<br />

O<br />

→ →<br />

) / R<br />

e3<br />

= I<br />

3 3<br />

( S e<br />

D’une façon générale nous aurons :<br />

⎡ A<br />

⎢<br />

⎢<br />

− F<br />

⎢⎣<br />

− E<br />

− F<br />

B<br />

− D<br />

⎡<br />

− E⎤⎢<br />

e<br />

− D<br />

⎥⎢<br />

e<br />

⎥⎢<br />

C ⎥⎦<br />

⎢ e<br />

⎢⎣<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

3<br />

⎤<br />

⎥ ⎡I1<br />

⎥ =<br />

⎢<br />

0<br />

⎥ ⎢<br />

⎥ ⎢⎣<br />

0<br />

⎥⎦<br />

0<br />

I<br />

2<br />

0<br />

⎡<br />

0 ⎤⎢<br />

e<br />

0<br />

⎥⎢<br />

e<br />

⎥⎢<br />

I ⎥<br />

3 ⎦⎢<br />

e<br />

⎢⎣<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

3<br />

⎤<br />

⎥ ⎡A<br />

− I<br />

⎥ ⇔<br />

⎢<br />

⎢<br />

− F<br />

⎥<br />

⎥ ⎢⎣<br />

− E<br />

⎥⎦<br />

1<br />

− F<br />

B − I<br />

− D<br />

2<br />

− E<br />

− D<br />

C − I<br />

3<br />

⎡<br />

⎤⎢<br />

e<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

e<br />

⎢<br />

⎥⎦<br />

⎢ e<br />

⎢⎣<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

3<br />

⎤<br />

⎥ ⎡0⎤<br />

⎥ =<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

0<br />

⎥ ⎥<br />

⎥ ⎢⎣<br />

0⎥⎦<br />

⎥⎦<br />

Les vecteurs unitaires<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( e1<br />

, e2<br />

, e3<br />

)<br />

ne sont pas nuls, alors ce système admet une solution si le<br />

A − I<br />

déterminant de la matrice est nul : − F B − I − D = 0<br />

1<br />

− E − D<br />

− F − E<br />

2<br />

C − I<br />

3<br />

La solution de cette équation scalaire donne les trois valeurs propres qui sont les moments<br />

principaux d’inertie. En reportant ces valeurs propres dans l’équation<br />

on obtient les vecteurs propres qui ne sont autre que les directions principales.<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

→<br />

ei<br />

=<br />

I<br />

i<br />

→<br />

e<br />

i<br />

126


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

7. Moment d’inertie par rapport à un axe Δ(<br />

O,<br />

n)<br />

quelconque dans un repère<br />

→<br />

orthonormé direct<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

Soit (P) un point du solide (S) de masse m et un axe (Δ)<br />

passant par le centre O du repère<br />

de vecteur unitaire<br />

→<br />

n . Le moment d’inertie par rapport à l’axe (Δ)<br />

est donné par :<br />

2<br />

2<br />

I<br />

Δ<br />

= ∫ r dm = ∫ HP dm ; avec HP = HP<br />

− →<br />

= r<br />

( P∈S<br />

) ( P∈S<br />

)<br />

; distance de l’élément matériel dm(P)<br />

à l’axe ( Δ) , H est la projection orthogonale de P sur cet axe.<br />

→<br />

z<br />

P<br />

(Δ)<br />

o<br />

H<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

Nous avons : OP = OH + HP , on déduit que :<br />

→<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

n ∧ ( OH + HP)<br />

= n∧<br />

OH + n∧<br />

HP<br />

Comme<br />

→ −−→<br />

⎪⎧<br />

n// OH<br />

⎨<br />

⎪⎩<br />

→<br />

n ⊥ HP<br />

−−→<br />

et<br />

→ → −−→ → −−→ −−→<br />

n = 1 alors : n ∧ OP = n∧<br />

HP = OP = r<br />

⎧α<br />

⎧x<br />

→ −−→<br />

→<br />

−→<br />

⎪<br />

⎪<br />

Si n et OP ont pour coordonnées n = ⎨β<br />

et OP = ⎨y<br />

⎪<br />

⎩γ<br />

⎪<br />

⎩z<br />

Les composantes du vecteur unitaire<br />

→<br />

n porté par l’axe (Δ)<br />

sont appelées cosinus directeurs.<br />

Nous avons alors<br />

→<br />

−−→<br />

n∧<br />

OP<br />

⎛α<br />

⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ βz<br />

− γy<br />

⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

= ⎜ β ⎟ ∧ ⎜ y⎟<br />

= ⎜ γx<br />

−αz<br />

⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ γ ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝αy<br />

− βx⎠<br />

127


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A.KADI<br />

→<br />

−−→<br />

2<br />

→<br />

−−→<br />

2<br />

2<br />

D’où : n ∧ OP = n∧<br />

HP = ( β z − γy) + ( γx<br />

−αz) + ( αy<br />

− βx) = r<br />

En remplaçant<br />

I<br />

Δ<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

r dans l’expression : I<br />

Δ<br />

= r dm on aboutit à :<br />

2<br />

2<br />

2<br />

∫ ( β z − γy) + ( γx<br />

− αz) + ( αy<br />

− βx)<br />

)<br />

( P∈S<br />

)<br />

dm<br />

∫<br />

( P∈S<br />

)<br />

2<br />

2<br />

I<br />

Δ<br />

2<br />

= α<br />

∫<br />

( y<br />

( P∈S<br />

)<br />

− 2αβ<br />

∫<br />

2<br />

( P∈S<br />

)<br />

+ z<br />

2<br />

xydm<br />

) dm<br />

2<br />

+ β<br />

− 2αγ<br />

∫<br />

( x<br />

( P∈S<br />

)<br />

∫<br />

( P∈S<br />

)<br />

2<br />

+ z<br />

xzdm<br />

2<br />

) dm<br />

2<br />

+ γ<br />

− 2βγ<br />

∫<br />

( x<br />

( P∈S<br />

)<br />

∫<br />

( P∈S<br />

)<br />

2<br />

+ y<br />

yzdm<br />

2<br />

) dm<br />

I<br />

= α I + β I + γ I − 2αβI<br />

− 2αγI<br />

− 2βγI<br />

2<br />

2 2<br />

Δ xx yy zz<br />

xy<br />

xz<br />

yz<br />

; cette expression représente<br />

l’ellipsoïde d’inertie, elle peut se mettre sous la forme matricielle suivante :<br />

I<br />

⎡ I − I − I ⎤⎛α<br />

⎞<br />

⎜ ⎟<br />

→<br />

= ⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟ . I<br />

O<br />

( S).<br />

n<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟<br />

⎣−<br />

I<br />

xz<br />

− I<br />

yz<br />

I<br />

zz ⎦⎝<br />

γ ⎠<br />

xx xy xz<br />

→<br />

⎢<br />

⎥<br />

T<br />

Δ<br />

( α , β , γ ) − I<br />

xy<br />

I<br />

yy<br />

− I<br />

yz<br />

β = n<br />

Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe (Δ)<br />

passant par un point O et de<br />

→<br />

vecteur unitaire n est égal au produit doublement contracté du tenseur d’inertie O par le<br />

→<br />

n<br />

vecteur unitaire .<br />

8. Produit d’inertie par rapport à deux axes orthogonaux Δ(<br />

O , u)<br />

et Δ'(<br />

O,<br />

v)<br />

→<br />

→<br />

8.1. Définition<br />

Le produit d’inertie noté I est défini comme étant l’intégrale des coordonnées x et<br />

uv<br />

u<br />

xv<br />

du point P relativement au axes Δ(<br />

O , u)<br />

et Δ'(<br />

O,<br />

v)<br />

:<br />

→<br />

→<br />

I<br />

uv<br />

=<br />

∫<br />

x<br />

u<br />

P(S )<br />

x<br />

v<br />

dm<br />

x : coordonnée de P sur l’axe Δ(<br />

O,<br />

u)<br />

tel que :<br />

u<br />

→<br />

x u<br />

−−→ →<br />

= OP•<br />

u<br />

x : coordonnée de P sur l’axe Δ'(<br />

O,<br />

v)<br />

tel que :<br />

v<br />

→<br />

−−→ →<br />

x v<br />

= OP•<br />

v<br />

128


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le tenseur d’inertie étant connu au point O , le produit d’inertie par rapport aux deux axes a<br />

pour expression :<br />

I<br />

→<br />

→<br />

uv<br />

= − v . I<br />

O<br />

( S).<br />

u<br />

8.2. Démonstration<br />

Deux propriétés vectorielles seront utilisées dans la démonstration de l’expression du produit<br />

d’inertie :<br />

- le produit mixte dont on connaît la règle de permutation :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( V1<br />

, V2<br />

, V3<br />

) = ( V3,<br />

V1<br />

, V2<br />

) = ( V2<br />

, V3,<br />

V1<br />

)<br />

→<br />

- le double produit vectoriel dont on connaît le résultat.<br />

→<br />

→<br />

( A∧<br />

B)<br />

→ → → → → → → → → →<br />

• ( C∧<br />

D)<br />

= ( A•<br />

C)(<br />

B•<br />

D)<br />

− ( A•<br />

D)(<br />

B•<br />

C)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

on pose :<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

A = OP , B = u , C = OP , D = v<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

( OP ∧ u)<br />

→<br />

car : ( • v ) = 0<br />

−→ → −→ → → → −→ → → −→ −→ → → −→<br />

• ( OP∧<br />

v)<br />

= ( OP•<br />

u)(<br />

u • v)<br />

− ( OP•<br />

v)(<br />

u • OP)<br />

= −(<br />

OP•<br />

v)(<br />

u • OP)<br />

→<br />

u<br />

−→ → → −→ −→ → −→ →<br />

• v)(<br />

u • OP)<br />

= −(<br />

OP∧<br />

u)<br />

• ( OP∧<br />

v)<br />

( OP<br />

( OP<br />

→<br />

−→<br />

= −(<br />

u∧<br />

OP)<br />

→ −→<br />

⎛<br />

= −⎜(<br />

u∧<br />

OP),<br />

⎝<br />

→ −→<br />

• ( v∧<br />

OP)<br />

→<br />

v,<br />

−→<br />

⎞<br />

OP)<br />

⎟<br />

⎠<br />

−→ → → −→<br />

→ −→ → −→<br />

→ −→ → −→ → −→ → −→<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

• v)(<br />

u • OP)<br />

= −⎜(<br />

u∧<br />

OP),<br />

v,<br />

OP)<br />

⎟ = −⎜<br />

v,<br />

OP,<br />

( u∧<br />

OP)<br />

⎟ = − v • ( OP∧<br />

( u∧<br />

OP)<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠<br />

→ → −→ −→ −→ → −→<br />

→ → −→ −→ → −→ → −→<br />

⎡<br />

⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

= − v • ( • ) ( • )<br />

• ( • ) • ( •<br />

⎢<br />

u OP OP − OP u OP<br />

⎥<br />

= − ⎜ v u ⎟ OP OP + ⎜ v OP⎟<br />

u OP)<br />

⎣<br />

⎦ 14 ⎝ 44 ⎠2444<br />

3 ⎝144<br />

2⎠<br />

443<br />

1<br />

2<br />

⎧x<br />

⎧u1<br />

−→<br />

→<br />

⎪<br />

⎪<br />

Soit : OP = ⎨y<br />

; u = ⎨u<br />

2<br />

;<br />

⎪<br />

⎩z<br />

⎪<br />

⎩u3<br />

⎧v<br />

→<br />

⎪<br />

v = ⎨v<br />

⎪<br />

⎩v<br />

1<br />

2<br />

3<br />

129


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → −→ −→<br />

⎛ ⎞<br />

2 2 2<br />

(1) : − ⎜ v • u ⎟(<br />

OP•<br />

OP)<br />

= −(<br />

v1u1<br />

+ v2u2<br />

+ v3u3<br />

)( x + y + z )<br />

⎝ ⎠<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

= −v 1u1(<br />

x + y + z ) − v2u2<br />

( x + y + z ) − v3u3<br />

( x + y + z<br />

2<br />

)<br />

(2)<br />

→<br />

⎛<br />

⎜ v<br />

⎝<br />

−→ → −→<br />

⎞<br />

• OP⎟(<br />

u • OP)<br />

= ( v1x<br />

+ v2<br />

⎠<br />

y + v z)(<br />

u x + u<br />

3<br />

1<br />

2<br />

y + u z)<br />

= v u<br />

3<br />

+ v<br />

+ v<br />

2<br />

3<br />

1<br />

u<br />

u<br />

1<br />

1<br />

1<br />

x<br />

2<br />

+ v u<br />

xy + v<br />

2<br />

3<br />

1<br />

u<br />

xz + v u<br />

2<br />

2<br />

2<br />

xy + v u<br />

y<br />

2<br />

1<br />

+ v<br />

3<br />

2<br />

u<br />

yz + v u<br />

3<br />

3<br />

3<br />

xz<br />

yz<br />

z<br />

2<br />

(1) + (2)<br />

⇒ x . x<br />

u<br />

v<br />

= −v<br />

u ( y<br />

1<br />

+ ( v u<br />

1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

) − v u ( x<br />

+ v u ) xy + ( v u<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

3<br />

+ z<br />

+ v u<br />

3<br />

2<br />

) − v u ( x<br />

1<br />

3<br />

3<br />

) xz + ( v u<br />

2<br />

2<br />

+ y<br />

3<br />

2<br />

)<br />

+ v u<br />

3<br />

2<br />

yz<br />

Le produit d’inertie est donné par l’intégrale :<br />

I<br />

uv<br />

=<br />

∫<br />

x<br />

u<br />

P(S )<br />

x<br />

v<br />

dm<br />

d’où<br />

I<br />

uv<br />

= −v<br />

u<br />

+ ( v u<br />

1<br />

∫<br />

( y<br />

1 1<br />

P∈S<br />

+ z<br />

+ v u )<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

∫<br />

1<br />

P∈S<br />

) dm − v u<br />

2<br />

∫<br />

2<br />

P∈S<br />

xydm + ( v u<br />

1<br />

3<br />

( x<br />

2<br />

+ z<br />

+ v u )<br />

3<br />

1<br />

2<br />

) dm − v u<br />

∫<br />

P∈S<br />

3<br />

∫<br />

3<br />

P∈S<br />

xzdm + ( v u<br />

2<br />

( x<br />

3<br />

2<br />

+ y<br />

+ v u )<br />

3<br />

2<br />

) dm<br />

∫<br />

2<br />

P∈S<br />

yzdm<br />

Cette expression s’écrira sous forme matricielle :<br />

⎡ I<br />

xx<br />

− I<br />

xy<br />

− I<br />

xz<br />

⎤⎛<br />

u1<br />

⎞<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟<br />

I<br />

uv<br />

= ( −v1 , −v2<br />

, −v3)<br />

⎢−<br />

I<br />

xy<br />

I<br />

yy<br />

− I<br />

yz ⎥⎜u2<br />

⎟ ⇔<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟<br />

⎣−<br />

I<br />

xz<br />

− I<br />

yz<br />

I<br />

zz ⎦⎝u3<br />

⎠<br />

I<br />

→<br />

→<br />

uv<br />

= − v . I<br />

O<br />

( S).<br />

u<br />

Le produit d’inertie du solide (S) par rapport aux axes orthogonaux Δ(<br />

O , u)<br />

et Δ'(<br />

O,<br />

v)<br />

est<br />

→<br />

→<br />

égal à l’opposé du produit doublement contracté du tenseur d’inertie<br />

→<br />

u<br />

→<br />

v<br />

unitaires et .<br />

I O<br />

(S)<br />

par les vecteurs<br />

130


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

9. Changement de repère.<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

Soit un repère orthonormé fixe: R O,<br />

x , y , z ) et un repère R O,<br />

x , y , z ) en rotation par<br />

rapport à celui-ci. A l’aide de la matrice de passage nous pouvons exprimer le moment<br />

d’inertie dans l’un des repères et le déduire dans l’autre repère et inversement.<br />

En effet nous pouvons écrire :<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎟ ⎜ x0<br />

⎟ ⎜ x0<br />

⎟ ⎜ x1<br />

⎟<br />

⎟ ⎜ → ⎟ ⎜ → ⎟ ⎜ → ⎟<br />

⎟ = PR ⎜ ⎟<br />

y0<br />

PR<br />

0 →R<br />

y<br />

1→R<br />

y0<br />

;<br />

0<br />

⎜ ⎟ =<br />

1 ⎜ 1 ⎟ , avec :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

z0<br />

z0<br />

z1<br />

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

P T<br />

R R<br />

P<br />

0 →<br />

=<br />

1 R1<br />

→R<br />

0<br />

La matrice de passage de vers R notée : ; permet de déduire la matrice<br />

R0<br />

1<br />

PR 0 → R 1<br />

R1<br />

0<br />

d’inertie du solide dans le repère en la connaissant dans le repère R et inversement.<br />

I<br />

I<br />

O<br />

O<br />

( S)<br />

R<br />

/<br />

T<br />

= P . ( ) .<br />

1 R0<br />

→R<br />

I<br />

1 O<br />

S<br />

R0<br />

P<br />

/ R →R<br />

( S)<br />

R<br />

/<br />

T<br />

= P . ( ) .<br />

0 R1<br />

→R<br />

I<br />

0 O<br />

S<br />

R1<br />

P<br />

/ R →R<br />

Exemple d’application :<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

Déterminer la matrice d’inertie de la barre AB de longueur L de masse m dans le repère<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) en rotation par rapport au repère fixe R O,<br />

x , y , z ) .<br />

En déduire la matrice d’inertie dans le repère .<br />

On détermine la matrice d’inertie de la barre dans le repère<br />

R 0<br />

R 1<br />

: Nous avons un solide<br />

linéaire :<br />

dm = λdx ; y = 0 et z = 0 d’où : I I = I = 0 et = 0<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

I xx<br />

→<br />

y 1<br />

α<br />

→<br />

y 0<br />

B<br />

→<br />

x 1<br />

o<br />

α<br />

→<br />

x 0<br />

A<br />

131


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I<br />

+ L<br />

yy<br />

=<br />

2<br />

2 2 mL<br />

= I<br />

zz<br />

= ∫ x dm = ∫ x λ dx d’où :<br />

3<br />

( S )<br />

−L<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

R1<br />

⎡<br />

⎢0<br />

⎢<br />

= ⎢0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢0<br />

⎣<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ R<br />

1<br />

On détermine la matrice de passage de vers en exprimant les vecteurs unitaires de<br />

R 0<br />

en fonction de ceux de :<br />

R1<br />

R0<br />

R1<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

z<br />

1<br />

=<br />

→<br />

→<br />

= cosα<br />

x<br />

→<br />

= −sinα<br />

x<br />

0. x<br />

0<br />

0<br />

+<br />

→<br />

→<br />

+ sinα<br />

y<br />

0<br />

→<br />

+ cosα<br />

y<br />

0. y<br />

0<br />

0<br />

+<br />

→<br />

→<br />

+ 0. z<br />

0<br />

→<br />

+ 0. z<br />

z<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⇒<br />

⎡<br />

⎢<br />

x<br />

⎢y<br />

⎢<br />

⎢z<br />

⎢⎣<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎤<br />

⎥ ⎡ cosα<br />

⎥ =<br />

⎢<br />

⎢<br />

− sinα<br />

⎥<br />

⎥ ⎢⎣<br />

0<br />

⎥⎦<br />

sinα<br />

cosα<br />

0<br />

⎡<br />

0⎤⎢<br />

x<br />

0<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

y<br />

⎢<br />

1⎥⎦<br />

⎢z<br />

⎢⎣<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

avec :<br />

⎡ cosα<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− sinα<br />

⎢⎣<br />

0<br />

sinα<br />

cos<br />

P R 1→R<br />

α<br />

0<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

1⎥⎦<br />

et<br />

⎡cosα<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

sinα<br />

⎢⎣<br />

0<br />

− sinα<br />

T<br />

→<br />

=<br />

→<br />

cos<br />

0 R<br />

α<br />

1 R1<br />

R0<br />

P R<br />

P<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

1⎥⎦<br />

La matrice d’inertie dans le repère sera égale à :<br />

0<br />

R T<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R<br />

= P . ( ) .<br />

0 R1<br />

→R<br />

I<br />

0 O<br />

S<br />

/ R<br />

P<br />

1 R1<br />

→R<br />

0<br />

I<br />

O<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎡cosα<br />

− sinα<br />

0⎤<br />

0 0 0<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎡ cosα<br />

sinα<br />

2<br />

⎢<br />

⎥ mL<br />

( S)<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

/ R<br />

=<br />

⎢<br />

sinα<br />

cosα<br />

0<br />

⎥<br />

0 0<br />

⎢<br />

− sinα<br />

cosα<br />

0<br />

⎢ 3 ⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0 1⎥<br />

2<br />

⎦⎢<br />

mL ⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0<br />

⎢0<br />

0<br />

⎣ 3<br />

⎥<br />

⎦<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

1⎥⎦<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

/ R0<br />

2<br />

2<br />

⎡ mL 2 mL<br />

⎢ sin α − sinα<br />

cosα<br />

⎢<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

mL<br />

mL 2<br />

= ⎢−<br />

sinα<br />

cosα<br />

cos α<br />

⎢ 3<br />

3<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

0<br />

⎣<br />

0<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ R<br />

0<br />

132


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

10. Translation du repère R de centre O vers un centre A<br />

On considère un solide (S) dont la matrice d’inertie est connue au point O d’un repère fixe<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) . Soit un point A de coordonnées x , y , z ) centre du repère<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

R A,<br />

x , y , z ) en translation par rapport à R O,<br />

x , y , z ) .<br />

(<br />

A A A<br />

La matrice d’inertie au point A du solide (S) est donnée par :<br />

I<br />

A<br />

( S)<br />

R<br />

0<br />

⎡ I<br />

⎢<br />

= ⎢−<br />

I<br />

⎢<br />

⎣−<br />

I<br />

Axx<br />

Axy<br />

Axz<br />

− I<br />

I<br />

− I<br />

Axy<br />

Ayy<br />

Ayz<br />

− I<br />

− I<br />

I<br />

Axz<br />

Ayz<br />

Azz<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ R<br />

0<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

x 0<br />

A<br />

→<br />

z<br />

0<br />

→<br />

y 0<br />

Les éléments de cette matrice s’obtiennent en<br />

−→<br />

remplaçant le vecteur OP comme précédemment<br />

par le vecteur<br />

−→<br />

AP dans l’opérateur d’inertie.<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

→<br />

y 0<br />

Nous avons en effet :<br />

−→ −→ −→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

AP = OP−<br />

OA = ( x − x<br />

A<br />

) x0 + ( y − y<br />

A<br />

) y0<br />

+ ( z − z<br />

A<br />

) z0<br />

On obtient ainsi les moments et les produits d’inertie en A :<br />

I<br />

Axx<br />

=<br />

2<br />

2<br />

∫<br />

( y − y<br />

A<br />

) + ( z − z<br />

A<br />

) )<br />

( S )<br />

dm<br />

I<br />

Axx<br />

=<br />

∫<br />

( S )<br />

( y<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

) dm + y<br />

∫<br />

2<br />

A<br />

( S )<br />

dm + z<br />

∫<br />

2<br />

A<br />

( S)<br />

dm − 2y<br />

∫<br />

A<br />

( S )<br />

ydm − 2z<br />

∫<br />

A<br />

( S )<br />

zdm<br />

Soit m la masse du solide (S) et G son centre d’inertie. Les coordonnées x , y , z ) du<br />

(<br />

G G G<br />

centre d’inertie dans le repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) déjà exprimé au début du chapitre, ont pour<br />

expression :<br />

1<br />

m<br />

x<br />

G<br />

= ∫ xdm ;<br />

G<br />

= ∫<br />

( S )<br />

1<br />

1<br />

y ydm ; z<br />

G<br />

=<br />

m<br />

∫ zdm<br />

m<br />

( S )<br />

( S )<br />

∫<br />

( S )<br />

xdm = mx<br />

G<br />

∫<br />

; ydm = my ;<br />

( S )<br />

G<br />

∫<br />

( S )<br />

zdm = mz<br />

G<br />

133


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En remplaçant ces termes dans l’expression de I Axx<br />

, on obtient :<br />

Axx<br />

Oxx<br />

2 2<br />

( y<br />

A<br />

+ z<br />

A<br />

) − 2y<br />

A<br />

yG<br />

− z<br />

AzG<br />

)<br />

2 2<br />

( x<br />

A<br />

+ z<br />

A<br />

) − 2x<br />

AxG<br />

− z<br />

AzG<br />

)<br />

2 2<br />

( x + y ) − 2x<br />

x − y y )<br />

I = I + m<br />

2 , et par permutation les autres termes<br />

I = I + m<br />

2<br />

Ayy<br />

Azz<br />

Oyy<br />

I = I + m<br />

2<br />

Ozz<br />

A<br />

A<br />

A<br />

G<br />

A<br />

G<br />

De la même manière pour les produits d’inertie nous avons :<br />

I<br />

Axy<br />

=<br />

∫ ( x − x<br />

A<br />

)( y − y<br />

A<br />

) dm = ∫ xydm − x<br />

A ∫ ydm − y<br />

A ∫ xdm +<br />

( S )<br />

( S )<br />

( S )<br />

( S )<br />

x<br />

A<br />

y<br />

∫<br />

A<br />

( S )<br />

dm<br />

I<br />

I<br />

I<br />

Axy<br />

Axz<br />

Ayz<br />

Oxy<br />

( x<br />

A<br />

yG<br />

+ y<br />

AxG<br />

− x<br />

A<br />

y<br />

A<br />

= I − m ( ) et par permutation les autres termes<br />

= I − m (<br />

Oxz<br />

= I − m (<br />

Oyz<br />

( x z + z x − x z )<br />

A<br />

G<br />

A<br />

( y z + z y − y z )<br />

A<br />

G<br />

A<br />

G<br />

G<br />

A<br />

A<br />

A<br />

A<br />

11. Théorème de HUYGENS<br />

Si le tenseur d’inertie est connu au centre d’inertie G du solide (S) dans la base<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

; alors on peut déterminer le tenseur d’inertie au point O dans la même base.<br />

Reprenons le cas précédent avec le point A qui coïncide avec le centre d’inertie du solide<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

(S), nous aurons dans le repère R G,<br />

x , y , z ) :<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

GP = OP−<br />

OG<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

x 0<br />

G<br />

→<br />

y 0<br />

O<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

x<br />

0<br />

134


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En remplaçant par les opérateurs d’inertie on obtient : I<br />

G<br />

( S)<br />

/ R<br />

= I ( )<br />

0 O<br />

S<br />

/ R<br />

− J ( )<br />

0 OG<br />

S<br />

/ R0<br />

En utilisant les relations trouvées précédemment, en changeant le centre du repère en G, nous<br />

déduisons facilement :<br />

Gxx<br />

Oxx<br />

2 2<br />

2 2<br />

( yG<br />

+ zG<br />

) − 2yG<br />

yG<br />

− 2zG<br />

zG<br />

) = I<br />

Oxx<br />

− m(<br />

yG<br />

zG<br />

)<br />

2 2<br />

2 2<br />

( xG<br />

+ z<br />

A<br />

) − 2xG<br />

xG<br />

− 2zG<br />

zG<br />

) = I<br />

Oyy<br />

− m(<br />

xG<br />

z<br />

A<br />

)<br />

2 2<br />

2 2<br />

( x + y ) − 2x<br />

x − 2y<br />

y ) = I − m(<br />

x y )<br />

I = I + m<br />

+<br />

I = I + m<br />

+<br />

Gyy<br />

Gzz<br />

Oyy<br />

I = I + m<br />

+<br />

Ozz<br />

G<br />

G<br />

G<br />

De la même manière pour les produits d’inertie nous avons :<br />

I<br />

Gxy<br />

= I − m (<br />

Oxy<br />

G<br />

G<br />

G<br />

Ozz<br />

( xG<br />

yG<br />

+ yG<br />

xG<br />

− xG<br />

yG<br />

) = I<br />

Oxy<br />

− mxG<br />

yG<br />

G<br />

G<br />

I<br />

I<br />

Gxz<br />

Gyz<br />

= I − m (<br />

Oxz<br />

= I − m (<br />

Oyz<br />

( xG<br />

zG<br />

+ zG<br />

xG<br />

− xG<br />

zG<br />

) = I<br />

Oxz<br />

− mxG<br />

zG<br />

( yG<br />

zG<br />

+ zG<br />

yG<br />

− yG<br />

zG<br />

) = I<br />

Oyz<br />

− myG<br />

zG<br />

d’où :<br />

J<br />

OG<br />

( S)<br />

R0<br />

2<br />

⎡m(<br />

yG<br />

+ z<br />

⎢<br />

= ⎢ − mxG<br />

y<br />

⎢<br />

⎣ − mxG<br />

z<br />

2<br />

G<br />

G<br />

G<br />

)<br />

− mx<br />

m(<br />

x<br />

G<br />

2<br />

G<br />

+<br />

− my<br />

G<br />

y<br />

z<br />

G<br />

2<br />

G<br />

z<br />

G<br />

)<br />

− mx<br />

− my<br />

m(<br />

x<br />

G<br />

G<br />

2<br />

G<br />

z<br />

z<br />

G<br />

G<br />

2<br />

G<br />

+ y<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

) ⎥<br />

⎦ R<br />

0<br />

Ces expressions permettent de déterminer la matrice d’inertie du solide en O :<br />

I O<br />

S<br />

( )<br />

R0<br />

, dans<br />

→ → →<br />

R( 0 0 0<br />

(<br />

R0<br />

le repère O,<br />

x , y , z ) , en connaissant la matrice d’inertie en G : I G<br />

S)<br />

dans le même<br />

repère car elle est plus souvent facile à déterminer.<br />

I = +<br />

O<br />

( S)<br />

R<br />

I ( ) ( )<br />

0 G<br />

S<br />

R<br />

J<br />

0 OG<br />

S<br />

R0<br />

Cette expression permet de connaître les six relations de Huygens, qui lient les moments<br />

d’inertie et les produits d’inertie en un point O d’un repère et le centre d’inertie G du solide<br />

dans le même repère.<br />

2 2<br />

I = I + m(<br />

y + z ) I<br />

Oxy<br />

= I<br />

Gxy<br />

+ mxG<br />

yG<br />

Oxx<br />

Gxx<br />

G<br />

G<br />

2 2<br />

I<br />

Oyy<br />

= I<br />

Gyy<br />

+ m(<br />

xG<br />

+ z<br />

A<br />

) I<br />

Oxz<br />

= I<br />

Gxz<br />

+ mxG<br />

zG<br />

2 2<br />

I<br />

Ozz<br />

= I<br />

Gzz<br />

+ m(<br />

xG<br />

+ yG<br />

) I<br />

Oyz<br />

= I<br />

Gyz<br />

+ myG<br />

zG<br />

135


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le théorème de Huygens est très pratique car il permet de déterminer le moment d’inertie<br />

d’un solide dans n’importe point O de l’espace centre du repère<br />

→ → →<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

, en connaissant<br />

le moment d’inertie au centre d’inertie G de coordonnées ( ( x , y , z ) par rapport au même<br />

repère.<br />

G<br />

G<br />

G<br />

Exemple :<br />

Déterminer le moment d’inertie au point O de la plaque mince rectangulaire de masse m , de<br />

longueur 2a et de largeur 2b de centre d’inertie G (a, b, 0)<br />

On détermine le moment d’inertie de la plaque au point G, puis par le théorème de Huygens,<br />

on le déduit au point O.<br />

Les plans (xGz) et (yGz) sont des plans de symétrie, alors tous les produits d’inertie sont<br />

nuls :<br />

I<br />

Gxy<br />

= I<br />

Gxz<br />

= I<br />

Gyz<br />

= 0 ; la matrice d’inertie en G est diagonale.<br />

y<br />

2b<br />

2a<br />

x<br />

Masse de la plaque : m = σ 4ab<br />

Nous avons un solide plan : z = 0 ⇒<br />

I = I + I ,<br />

Gzz<br />

Gxx<br />

Gyy<br />

I<br />

I<br />

I<br />

+ a<br />

2<br />

= 2 2<br />

2<br />

2 2 3 b mb<br />

∫ y dm = ∫ y σ ds = σ∫<br />

y dxdy = σ ∫ dx ∫ y dy = σ.2a<br />

b = σ 4ab<br />

3 3 3<br />

Gxx<br />

=<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−a<br />

−b<br />

+ a<br />

2<br />

= 2 2<br />

2<br />

2 2 3 a ma<br />

∫ x dm = ∫ x σ ds = σ∫<br />

x dxdy = σ ∫ x dx ∫ dy = σ.<br />

a .2b<br />

= σ 4ab<br />

3<br />

3 3<br />

Gxx<br />

=<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−a<br />

−b<br />

m<br />

= ( a<br />

3<br />

2<br />

Gzz<br />

= I<br />

Gxx<br />

+ I<br />

Gyy<br />

+<br />

b<br />

2<br />

)<br />

+ b<br />

+ b<br />

2<br />

2<br />

136


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La matrice d’inertie au point G s’écrit :<br />

I G<br />

⎡mb<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

0<br />

2<br />

m<br />

( a<br />

3<br />

0<br />

0<br />

2<br />

+ b<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

) ⎥<br />

⎦<br />

On déduit par le théorème de Huygens :<br />

mb 4<br />

I Oxx<br />

=<br />

3 3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= + mb mb<br />

; mab<br />

ma 4<br />

I Oyy<br />

=<br />

3 3<br />

I Oxy<br />

= 0 +<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= + ma ma<br />

; I Oxz<br />

= 0 + ma.0<br />

= 0<br />

m 2 2<br />

2 2 4 2 2<br />

I Oyy<br />

= ( a + b ) + m(<br />

a + b ) = m(<br />

a + b ) ; I Oyz<br />

= 0 + mb.0<br />

= 0<br />

3<br />

3<br />

La matrice d’inertie au point O est égale à :<br />

I O<br />

⎡4<br />

2<br />

⎢ mb<br />

3<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢−<br />

mab<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

− mab<br />

4<br />

3<br />

ma<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

4<br />

m(<br />

a<br />

3<br />

2<br />

+ b<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

)<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

137


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice 01 :<br />

Déterminer le centre d’inertie des corps solides homogènes suivants :<br />

a) Un demi-cercle matériel de rayon R ;<br />

b) Un demi disque matériel de rayon R ;<br />

c) Une demi sphère matérielle creuse de rayon R ;<br />

d) Une demi sphère matérielle pleine de rayon R .<br />

y<br />

y<br />

z<br />

z<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

(a)<br />

Solution :<br />

x<br />

(b)<br />

x<br />

x<br />

a) L’axe (Oy) est un axe de symétrie donc : x = 0 , le centre de masse du solide est situé sur<br />

l’axe de symétrie. On a :<br />

y<br />

G<br />

1<br />

=<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

dm<br />

G<br />

Le solide est linéaire ayant la forme d’un demi cercle, sa masse est donnée par :<br />

m = λ dl où : λ est la densité linéaire et dl un élément de longueur. L’élément de longueur<br />

∫<br />

S<br />

⎧R<br />

cosθ<br />

dl a pour coordonnées : dl⎨<br />

avec :<br />

⎩Rsinθ<br />

y<br />

(c)<br />

0 ≤ θ ≤ π<br />

y<br />

x<br />

(d)<br />

y<br />

(a)<br />

y<br />

o<br />

θ<br />

x<br />

La masse du solide est donnée par : m = ∫ λdl<br />

= ∫ λRdθ<br />

= λπR<br />

S<br />

dl = Rdθ<br />

x<br />

π<br />

0<br />

y<br />

G<br />

π<br />

1 1 1<br />

R π 2R<br />

= ydm yλdl<br />

R θRdθ<br />

θ<br />

m<br />

∫ =<br />

sin ( cos )<br />

m<br />

∫ =<br />

= − =<br />

λπR<br />

∫<br />

; d’où :<br />

π 0 π<br />

S<br />

S<br />

0<br />

⎧ xG<br />

= 0<br />

⎪<br />

G ⎨ 2R<br />

yG<br />

=<br />

⎪⎩ π<br />

137


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

b) L’axe (Oy) est un axe de symétrie donc : x = 0 , le centre de masse du solide est situé sur<br />

l’axe de symétrie. On a :<br />

∫<br />

y<br />

G<br />

1<br />

=<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

dm<br />

G<br />

. Le solide est un demi disque, sa masse est donnée<br />

par : m = σds<br />

où : σ est la densité surfacique et ds un élément de surface. L’élément de<br />

S<br />

⎧r<br />

cosθ<br />

surface ds a pour coordonnées : ds⎨<br />

avec :<br />

⎩r<br />

sinθ<br />

0 ≤ θ ≤ π y<br />

d = rdθ<br />

dr<br />

La masse du solide est donnée par :<br />

m =<br />

π<br />

∫ λds<br />

= ∫ λrdθdr<br />

= λ∫<br />

rdr∫<br />

dθ<br />

=<br />

S<br />

R<br />

π<br />

πR<br />

σ<br />

2<br />

0 0 0<br />

2<br />

y<br />

o<br />

(b)<br />

θ<br />

x<br />

x<br />

y<br />

G<br />

=<br />

1<br />

m<br />

1<br />

m<br />

∫ ydm = ∫ yσds<br />

= ∫ r sinθrdθdr<br />

=<br />

S<br />

S<br />

π<br />

2<br />

2 2<br />

∫ r dr∫sinθrdθ<br />

2 2<br />

σπR<br />

πR<br />

0<br />

R<br />

0<br />

π<br />

0<br />

4R<br />

y G<br />

= d’où :<br />

3π<br />

⎧ xG<br />

= 0<br />

⎪<br />

G ⎨ 4R<br />

yG<br />

=<br />

⎪⎩ 3π<br />

c) Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie donc : x y = 0 , le centre de<br />

G<br />

= G<br />

masse du solide est situé sur l’axe de symétrie. On a :<br />

z<br />

G<br />

=<br />

1<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

dm<br />

Le solide est une demi sphère creuse, sa masse est donnée par :<br />

m = σ ds où : σ est la densité surfacique et ds un élément de surface. L’élément de surface<br />

∫<br />

S<br />

ds est donné par :<br />

avec : R constant ;<br />

ds = RdθRψ<br />

cosθ<br />

et a pour coordonnées :<br />

π<br />

0 ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ψ ≤ 2π<br />

2<br />

z<br />

ds<br />

⎧R<br />

⎪<br />

ds⎨R<br />

⎪<br />

⎩<br />

cosθ<br />

cosψ<br />

cosθ<br />

sinψ<br />

Rsinθ<br />

θ<br />

y<br />

x<br />

ψ<br />

138


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

= 2<br />

La masse du solide est donnée par : m ∫σds<br />

= σR<br />

∫ cosθdθ<br />

∫ dψ<br />

= σ 2πR<br />

S<br />

π / 2<br />

0<br />

2π<br />

0<br />

2<br />

z<br />

G<br />

=<br />

1<br />

m<br />

1<br />

m<br />

3<br />

σR<br />

σ 2πR<br />

π / 2<br />

∫ zdm = ∫ zσds<br />

= ∫ cosθ<br />

sinθdθ<br />

∫ dψ<br />

=<br />

2<br />

S<br />

S<br />

0<br />

2π<br />

0<br />

R<br />

2π<br />

π / 2<br />

∫<br />

0<br />

sinθd(sinθ<br />

)<br />

2π<br />

∫<br />

0<br />

dψ<br />

π / 2<br />

2<br />

R sin θ<br />

z G<br />

= .2π<br />

=<br />

2π<br />

2 0<br />

R<br />

2<br />

R<br />

z G<br />

= ; d’où :<br />

2<br />

⎧ xG<br />

= 0<br />

⎪<br />

G⎨<br />

yG<br />

= 0<br />

⎪<br />

⎩zG<br />

= R / 2<br />

d) Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie donc : x y = 0 , le centre de<br />

masse du solide est situé sur l’axe de symétrie (Oz). On a alors :<br />

G<br />

z<br />

G<br />

= G<br />

1<br />

=<br />

m<br />

Le solide est une demi sphère pleine, sa masse est donnée par : m = ρdv<br />

où : ρ est la<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

dm<br />

densité volumique et dv un élément de volume. L’élément de volume<br />

par : dv = rdθ<br />

rdψ<br />

dr cosθ<br />

et a pour coordonnées :<br />

avec : 0 ≤ r ≤ R ;<br />

π<br />

0 ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ψ ≤ 2π<br />

2<br />

La masse du solide est donnée par :<br />

m<br />

R π / 2 2π<br />

= 2<br />

∫ ρdv<br />

= ρ∫<br />

r dr ∫ cosθdθ<br />

∫<br />

S<br />

0 0<br />

0<br />

on déduit :<br />

2<br />

dψ<br />

= ρ πR<br />

3<br />

3<br />

⎧r<br />

⎪<br />

dv⎨r<br />

⎪<br />

⎩<br />

cosθ<br />

cosψ<br />

cosθ<br />

sinψ<br />

r sinθ<br />

x<br />

z<br />

ψ<br />

dv est donné<br />

ds<br />

θ<br />

y<br />

π / 2<br />

3 R<br />

R π / 2<br />

2π<br />

2<br />

4<br />

1 1<br />

R sin<br />

0<br />

z = ρ<br />

G<br />

zdm = z dv = r dr cos sin d d<br />

. .2<br />

3<br />

m m m<br />

∫<br />

ρ<br />

θ<br />

∫ ∫ ρ ∫ ∫ θ θ θ ψ =<br />

π =<br />

2 4 2<br />

S<br />

S<br />

0 0<br />

0<br />

πR<br />

ρ<br />

3<br />

3R<br />

z G<br />

= d’où :<br />

8<br />

⎧ xG<br />

= 0<br />

⎪<br />

G⎨<br />

yG<br />

= 0<br />

⎪<br />

⎩zG<br />

= 3R<br />

/ 8<br />

3<br />

8<br />

139


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 02 :<br />

Déterminer le centre d’inertie des masses linéiques homogènes suivantes :<br />

2R<br />

y<br />

R<br />

x<br />

R<br />

y<br />

2R<br />

x<br />

y<br />

2R 2R<br />

R<br />

x<br />

Exercice 03 :<br />

Déterminer le centre d’inertie de la surface triangulaire homogène suivante.<br />

y<br />

O<br />

b<br />

A<br />

a<br />

h<br />

B<br />

x<br />

y<br />

dy<br />

O<br />

B y<br />

dx<br />

h<br />

C<br />

D x E<br />

A<br />

O<br />

x<br />

F<br />

b a<br />

b<br />

A<br />

a<br />

h<br />

B<br />

x<br />

Figure 01 Figure 02 Figure 03<br />

Masse du solide plan :<br />

1<br />

m = σ S = σ. b.<br />

h<br />

2<br />

Calculons<br />

y<br />

G<br />

=<br />

1<br />

∫ ydm =<br />

m<br />

S<br />

1<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

yσ<br />

ds<br />

(figure 02)<br />

L’élément de surface est donné par :<br />

ds = L1dy<br />

; avec L<br />

1<br />

= CD<br />

Dans les triangles semblables OAB et CBD , nous avons :<br />

CD<br />

OA<br />

h − y<br />

= ⇔<br />

h<br />

L1<br />

b<br />

=<br />

h − y<br />

h<br />

L<br />

b<br />

b<br />

= ( h − ) ce qui donne : ds = ( h − y)<br />

dy avec 0 ≤ y ≤ h<br />

h<br />

h<br />

1<br />

y<br />

y<br />

2 3<br />

1 2 b<br />

2 ⎛ hy y ⎞ h h<br />

= y ds y ( h y)<br />

dy<br />

2<br />

m<br />

∫ σ =<br />

bh<br />

∫ − = ⎜ ⎟<br />

h<br />

h<br />

−<br />

2 3<br />

0 3<br />

; h<br />

y G<br />

=<br />

S<br />

S<br />

⎝ ⎠<br />

3<br />

G<br />

=<br />

Calculons<br />

x<br />

G<br />

=<br />

1<br />

∫ xdm =<br />

m<br />

S<br />

1<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

xσ<br />

ds<br />

(figure 03)<br />

L’élément de surface est donné par :<br />

ds = L2dx<br />

; avec L<br />

2<br />

= EF et 0 ≤ x ≤ a + b<br />

140


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans les triangles semblables OEF et OBC , nous avons :<br />

h<br />

L = 2<br />

. x<br />

a + b<br />

, ce qui donne : h<br />

ds = .<br />

a + b<br />

xdx<br />

EF BC L<br />

= ⇔<br />

2 h<br />

=<br />

OF OC x a + b<br />

x<br />

G<br />

a+<br />

b<br />

a+<br />

b<br />

2<br />

= 1 2 h 2<br />

2 2 ( a + b)<br />

x ds x xdx<br />

x dx<br />

m<br />

∫ σ =<br />

bh<br />

∫ =<br />

=<br />

a + b b(<br />

a + b)<br />

∫<br />

;<br />

3 b<br />

S<br />

0<br />

0<br />

2 ( a + b)<br />

=<br />

3 b<br />

x G<br />

2<br />

Exercice 04:<br />

Déterminer, par intégration et par le théorème de Guldin, les coordonnées des centres<br />

d’inertie des corps surfaciques homogènes suivants :<br />

y<br />

B<br />

y<br />

o<br />

+ α<br />

b<br />

− α A<br />

x<br />

a<br />

2R A<br />

2a<br />

Figure 01 Figure 02<br />

R<br />

x<br />

Solution :<br />

figure 01 :<br />

Centre d’inertie par intégration :<br />

Par raison de symétrie, le centre d’inertie est sur l’axe (Ox) , alors y = 0<br />

On calcule d’abord le centre d’inertie du triangle puis celui de la portion de disque, ensuite on<br />

déduit le centre d’inertie du solide.<br />

a) Centre d’inertie du triangle :<br />

masse du triangle :<br />

on choisit un élément de surface :<br />

2a.2R<br />

m1 = σ S1<br />

= σ = 2aR<br />

;<br />

2<br />

ds = CD dx L . dx ; avec : 0 ≤ x ≤ 2R .<br />

1<br />

. =<br />

1<br />

Les triangles OED et OFB sont senblables ;<br />

Nous pouvons écrire :<br />

OE<br />

OF<br />

ED x L1 / 2<br />

= ⇔ = ⇒ L1<br />

=<br />

FB 2R a<br />

a<br />

R<br />

x<br />

y<br />

o<br />

G<br />

x<br />

dx<br />

C<br />

D<br />

E<br />

2R<br />

A<br />

B<br />

F<br />

A<br />

a<br />

x<br />

141


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

x<br />

2R<br />

2R<br />

= 1 1<br />

1 a 1 2<br />

1G xdm1<br />

x ds1<br />

x xdx x dx<br />

2<br />

m<br />

∫ =<br />

1<br />

m<br />

∫ σ =<br />

1<br />

2aR<br />

∫ σ =<br />

=<br />

σ R<br />

s<br />

s<br />

0<br />

2R<br />

∫<br />

0<br />

4R<br />

3<br />

b) Centre d’inertie de la portion de disque :<br />

Masse de la portion de disque :<br />

m<br />

R + α<br />

= 2<br />

2 ∫σds2<br />

= σ ∫ rdr ∫ dθ<br />

= σ. αR<br />

s<br />

0 −α<br />

on choisit un élément de surfe ds<br />

2<br />

= rdθ.<br />

dr<br />

⎧x<br />

= r cosθ<br />

de coordonnées : ⎨<br />

⎩ y = r sinθ<br />

avec : − α ≤ θ ≤ + α et 0 ≤ r ≤ R<br />

y<br />

o<br />

+ − α α<br />

R<br />

x<br />

On déduit alors :<br />

x<br />

R<br />

1 1<br />

1<br />

2 G<br />

= ∫ xdm2<br />

= ∫ xσ<br />

ds2<br />

= ∫ xσrdr.<br />

2<br />

m2<br />

m<br />

s<br />

2 s<br />

σαR<br />

2<br />

0<br />

dθ<br />

R<br />

+ α<br />

3<br />

1 2<br />

1 R<br />

x2G = r dr cosθdθ<br />

. .2sinα<br />

2<br />

2<br />

αR<br />

∫ ∫ =<br />

=<br />

αR<br />

3<br />

0<br />

−α<br />

0<br />

2R<br />

sinα<br />

.<br />

3 α<br />

;<br />

x G<br />

=<br />

2<br />

2R<br />

sinα<br />

.<br />

3 α<br />

Centre d’inertie du solide :<br />

x<br />

G<br />

=<br />

x<br />

m − x<br />

1 G.<br />

1 2G.<br />

2 1G<br />

.<br />

1 2G.<br />

m − m<br />

1<br />

2<br />

m<br />

=<br />

x<br />

s<br />

s<br />

1<br />

− x<br />

− s<br />

2<br />

s<br />

2<br />

x G<br />

=<br />

4R<br />

2R<br />

sinα<br />

.2aR<br />

− . αR<br />

3 3 α<br />

2<br />

2aR<br />

−αR<br />

2<br />

=<br />

2R<br />

4a<br />

− R sinα<br />

.<br />

3 2a<br />

− α R<br />

Centre d’inertie du solide par le théorème de Guldin :<br />

La rotation se fait autour de l’axe Oy<br />

x<br />

G<br />

Vtot<br />

/ y<br />

=<br />

2π<br />

. S<br />

tot<br />

4R<br />

2 2R<br />

sinα<br />

(2aR).2π<br />

. − ( αR<br />

).2π<br />

.<br />

=<br />

3<br />

3 α<br />

2<br />

2π<br />

.(2aR<br />

−αR<br />

)<br />

2R<br />

4a<br />

− R sinα<br />

= .<br />

3 2a<br />

−αR<br />

figure 02 :<br />

Centre d’inertie par intégration :<br />

On calcul le centre d’inertie des trois solides (rectangle, quart de disque, disque) séparément<br />

puis on déduit le centre d’inertie du solide entier.<br />

142


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

a) Centre d’inertie du rectangle :<br />

Masse du rectangle :<br />

dm<br />

1<br />

=<br />

1<br />

σ ds = σdxdy<br />

y<br />

Avec 0 ≤ x ≤ 2a ; 0 ≤ y ≤ b ; m<br />

1<br />

= σ 2a.<br />

b<br />

x = 1 1<br />

σ<br />

G<br />

xdm = x ds = xdx dy = a<br />

m<br />

∫<br />

m<br />

∫<br />

ab<br />

∫ ∫<br />

1<br />

1<br />

σ<br />

1<br />

σ 2<br />

y<br />

1 S1<br />

1 S1<br />

2a<br />

b<br />

= 1 1<br />

σ<br />

1G ydm1<br />

y ds1<br />

dx ydy<br />

m<br />

∫ =<br />

1<br />

m<br />

∫ σ =<br />

=<br />

1<br />

σ 2ab<br />

∫ ∫<br />

S1<br />

S1<br />

0 0<br />

2a<br />

0<br />

b<br />

0<br />

b<br />

2<br />

b<br />

2a<br />

R<br />

x<br />

b) Centre d’inertie du quart de disque :<br />

On fait une translation de repère de 2a suivant l’axe (Ox) puis on calcule les coordonnés du<br />

centre de masse du quart de disque. On choisit un élément de surface :<br />

dm = σ ds =σ rd . dr avec : 0 ≤ r ≤ R ;<br />

2 2<br />

θ<br />

π<br />

0 ≤ θ ≤ ; d’où<br />

2<br />

Les coordonnées du centre de masse seront données par :<br />

m<br />

2<br />

πR<br />

= σ<br />

4<br />

2<br />

x<br />

2r<br />

π / 2<br />

2G +<br />

= 1<br />

1<br />

σ 2<br />

2a<br />

+ xdm2<br />

2a<br />

xσds2<br />

2a<br />

r dr cosθdθ<br />

2a<br />

2<br />

m<br />

∫ = +<br />

2<br />

m<br />

∫ = +<br />

=<br />

S<br />

2<br />

πR<br />

∫ ∫<br />

1<br />

S1<br />

0 0<br />

σ<br />

4<br />

4R<br />

3π<br />

y<br />

2r<br />

π / 2<br />

2G =<br />

= 1 1<br />

σ 2<br />

ydm2<br />

yσds2<br />

r dr sinθdθ<br />

2<br />

m<br />

∫ =<br />

2<br />

m<br />

∫ =<br />

2<br />

πR<br />

∫ ∫<br />

S1<br />

S1<br />

0 0<br />

σ<br />

4<br />

4R<br />

3π<br />

c) Centre d’inertie du disque :<br />

Masse du disque :<br />

m3 = σ . πa<br />

2<br />

Les coordonnées du centre de masse sont : x3 G<br />

= a et y3<br />

G<br />

= a<br />

Le solide est homogène, alors le centre d’inertie des masses est le même que le centre<br />

d’inertie des surfaces. Les coordonnées du centre d’inertie du solide qui est un système<br />

composé seront données par les relations suivantes :<br />

Sur l’axe des x :<br />

x<br />

G<br />

=<br />

x<br />

m + x<br />

− m<br />

− x<br />

+<br />

=<br />

+ x<br />

1<br />

+ s<br />

2<br />

− s<br />

− x<br />

1 G.<br />

1 2G.<br />

2 3G.<br />

3 1G<br />

.<br />

1 2G.<br />

2 3G.<br />

m + m<br />

1<br />

2<br />

m<br />

2<br />

m<br />

x<br />

s<br />

s<br />

s<br />

2<br />

+<br />

s<br />

3<br />

143


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d’où :<br />

x G<br />

=<br />

2<br />

a ⎛ 4R<br />

⎞ πR<br />

. ab + ⎜a<br />

+ ⎟.<br />

2 ⎝ 3π<br />

⎠ 4<br />

2<br />

πR<br />

ab + −πa<br />

4<br />

2<br />

− a.<br />

πa<br />

2<br />

=<br />

2<br />

a b ⎛ 4R<br />

⎞ πR<br />

+ ⎜a<br />

+ ⎟.<br />

2 ⎝ 3π<br />

⎠ 4<br />

2<br />

πR<br />

ab + −πa<br />

4<br />

2<br />

2<br />

−πa<br />

3<br />

de même sur l’axe des y<br />

y<br />

G<br />

=<br />

y<br />

m + y<br />

− m<br />

− y<br />

+<br />

=<br />

+ y<br />

1<br />

+ s<br />

2<br />

− s<br />

− y<br />

1 G.<br />

1 2G.<br />

2 3G.<br />

3 1G<br />

.<br />

1 2G.<br />

2 3G.<br />

m + m<br />

1<br />

2<br />

m<br />

2<br />

m<br />

y<br />

s<br />

s<br />

s<br />

2<br />

+<br />

s<br />

3<br />

d’où :<br />

y G<br />

=<br />

2<br />

b 4R<br />

πR<br />

. ab + . − a.<br />

πa<br />

2 3π<br />

4<br />

2<br />

πR<br />

2<br />

ab + − πa<br />

4<br />

2<br />

=<br />

2 3<br />

ab R<br />

+ − πa<br />

2 3<br />

2<br />

πR<br />

ab + − πa<br />

4<br />

3<br />

2<br />

Les coordonnées du centre d’inertie du solide composé sont :<br />

2<br />

⎛ a b ⎛ 4R<br />

⎞ πR<br />

⎜ + ⎜a<br />

+ ⎟.<br />

⎜ 2 ⎝ 3π<br />

⎠ 4<br />

G<br />

⎜<br />

2<br />

πR<br />

⎜ ab + −πa<br />

⎝<br />

4<br />

2<br />

2<br />

− πa<br />

3<br />

,<br />

2 3<br />

ab R<br />

+ −πa<br />

2 3<br />

2<br />

πR<br />

ab + −πa<br />

4<br />

3<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

d) Par le théorème de Guldin, en faisant tourner le solide autour des axes, nous déduisons le<br />

centre d’inertie du solide composé.<br />

La rotation par rapport à l’axe y donne la coordonnée x G<br />

:<br />

x<br />

V<br />

/ y<br />

tot<br />

G<br />

= ;<br />

2π<br />

. Stot<br />

x G<br />

2<br />

2 ⎛ 4R<br />

⎞ πR<br />

2<br />

πa<br />

b + 2π<br />

⎜a<br />

+ ⎟.<br />

− πa<br />

.2πa<br />

3π<br />

4<br />

=<br />

⎝ ⎠<br />

=<br />

2<br />

⎛ πR<br />

2<br />

⎞<br />

2π<br />

⎜ab<br />

+ −πa<br />

4<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

La rotation par rapport à l’axe x donne la coordonnée y G<br />

:<br />

2<br />

a b ⎛ 4R<br />

⎞ πR<br />

+ ⎜a<br />

+ ⎟.<br />

2 ⎝ 3π<br />

⎠ 4<br />

2<br />

πR<br />

ab + −πa<br />

4<br />

2<br />

2<br />

−πa<br />

3<br />

y<br />

G<br />

V<br />

tot<br />

= ;<br />

2π<br />

. S<br />

/ x<br />

tot<br />

y G<br />

2 1 ⎛ 4<br />

πb<br />

. a + . ⎜ πR<br />

2 3<br />

=<br />

⎝<br />

⎛ πR<br />

2π<br />

⎜ab<br />

+<br />

⎝ 4<br />

3<br />

2<br />

⎞ 2<br />

⎟ −πa<br />

.2πa<br />

⎠<br />

2<br />

⎞<br />

−πa<br />

⎟<br />

⎠<br />

=<br />

2 3<br />

ab R<br />

+ −πa<br />

2 3<br />

2<br />

πR<br />

ab + −πa<br />

4<br />

3<br />

2<br />

144


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 05:<br />

En faisant tourner la surface limitée par l’axe oy, la courbe parabolique d’équation<br />

y 2 = 4ax<br />

et la droite d’équation<br />

y = 2a<br />

, nous obtenons un volume, comme représenté sur la figure cidessous.<br />

Déterminer le centre d’inertie de ce volume.<br />

y<br />

y = 2a<br />

B(a,2a)<br />

y<br />

dy<br />

y<br />

y 2 = 4ax<br />

dy<br />

y<br />

dv = π x<br />

2<br />

dy<br />

x<br />

x<br />

z<br />

x<br />

Solution :<br />

Nous avons<br />

y 2 = 4ax<br />

⇒<br />

2<br />

y ⎧x = 0<br />

x = pour : ⎨<br />

4a<br />

⎩ x = a<br />

⇒<br />

⇒<br />

y = 0<br />

y = 2a<br />

La rotation de cette surface par rapport à l’axe des y donne un solide de révolution d’axe y.<br />

Par raison de symétrie, le centre de masse sera sur l’axe Oy, alors : x = 0 et = 0<br />

A un hauteur y , on choisi un élément de volume (couronne) dv ayant une surface circulaire<br />

2<br />

2<br />

égale à π x et d’épaisseur dy tel que : dv = π x dy avec 0 ≤ y ≤ 2a<br />

G<br />

y G<br />

Le volume total décrit par la rotation de cette surface est égal à :<br />

V<br />

2a<br />

2a<br />

4<br />

5<br />

2a<br />

2<br />

⎛ y ⎞ π ⎡ y ⎤<br />

∫ π x dy = π<br />

⎜ dy = . =<br />

2<br />

2 ⎢ ⎥<br />

5<br />

0<br />

0<br />

16a<br />

⎟<br />

⎝ ⎠ 16a<br />

⎣ ⎦ 0<br />

= ∫<br />

2<br />

πa<br />

5<br />

3<br />

La coordonnée du centre de masse du volume suivant l’axe Oy est donnée par :<br />

y<br />

G<br />

=<br />

1<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

ydm =<br />

1<br />

ρV<br />

∫<br />

S<br />

1<br />

yρdv<br />

=<br />

V<br />

2a<br />

∫<br />

0<br />

2 1<br />

y.<br />

πx<br />

. dy =<br />

V<br />

2a<br />

∫<br />

0<br />

2<br />

⎛ y<br />

⎟ ⎞<br />

y.<br />

π<br />

⎜<br />

⎝ 4a<br />

⎠<br />

2<br />

. dy<br />

y<br />

G<br />

2a<br />

π 5 π<br />

= y . dy<br />

16a<br />

V<br />

∫ =<br />

2 2<br />

0<br />

3<br />

16a<br />

. πa<br />

5<br />

6<br />

⎡ y ⎤<br />

⎢ ⎥<br />

⎣ 6 ⎦<br />

2a<br />

2<br />

=<br />

0<br />

5<br />

a<br />

3<br />

145


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 06:<br />

Déterminer le centre d’inertie du disque homogène après avoir percé un trou de rayon r ,<br />

comme indiqué sur la figure.<br />

y<br />

r<br />

x<br />

Exercice 07:<br />

Déterminer les coordonnées du centre d’inertie, par le théorème de Guldin, des solides<br />

homogènes suivants :<br />

y<br />

y a<br />

Solution :<br />

a) figure 01 :<br />

R<br />

R<br />

R<br />

Figure 01<br />

x<br />

b<br />

Figure 02<br />

Le solide est constitué d’un demi disque évidé d’un triangle isocèle dont la base est le<br />

diamètre du disque et la hauteur le rayon du disque.<br />

Par raison de symétrie le solide a son centre d’inertie sur l’axe des y , d’où : x G<br />

= 0<br />

2r x<br />

x<br />

y<br />

G<br />

Vtot<br />

/ x<br />

=<br />

2π<br />

. S<br />

tot<br />

b) figure 02 :<br />

Vol(<br />

sphère)<br />

−Vol(2cônes)<br />

=<br />

2π<br />

.( S − S )<br />

disque<br />

triangle<br />

=<br />

4 3 1 3<br />

πR<br />

− 2. πR<br />

3 3<br />

2<br />

πR<br />

2<br />

2π<br />

.( − R )<br />

2<br />

=<br />

2 R<br />

.<br />

3 π − 2<br />

Le solide est constitué d’une plaque rectangulaire évidée d’un demi disque.<br />

2 1 2<br />

a . b r .2 ( a r)<br />

2 2<br />

V / y Vol(<br />

cylindre)<br />

−Vol<br />

π − π π −<br />

tot<br />

( demi−torre)<br />

2<br />

a b −πr<br />

( a − r)<br />

xG<br />

= =<br />

=<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2π<br />

. Stot<br />

2π<br />

.( S<br />

disque<br />

− Striangle<br />

)<br />

πr<br />

2ab<br />

−πr<br />

2π<br />

.( ab − )<br />

2<br />

2 4 3<br />

b . a r<br />

2 3<br />

V / x Vol(<br />

cylindre)<br />

−Vol<br />

π − π<br />

tot<br />

( sphère)<br />

3 3ab<br />

− 4r<br />

)<br />

yG<br />

= =<br />

=<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2π<br />

. Stot<br />

2π<br />

.( S<br />

disque<br />

− Striangle<br />

)<br />

πr<br />

3(2ab<br />

−πr<br />

2π<br />

.( ab − )<br />

2<br />

146


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 08:<br />

Déterminer par le théorème de Guldin le centre d’inertie des solides homogènes suivants :<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

R<br />

b<br />

R<br />

b<br />

R a<br />

a x<br />

a x a x b x<br />

Exercice 09:<br />

Calculer les volumes engendrés par la rotation des surfaces ci-dessous autour de l’axe y ?<br />

y<br />

y<br />

y<br />

R<br />

y<br />

b<br />

R<br />

b<br />

b a<br />

a<br />

x a x<br />

x a<br />

x<br />

Exercice 10:<br />

Déterminer le centre d’inertie d’un cône de hauteur h et de rayon de base R par rapport à son<br />

sommet.<br />

z<br />

z<br />

R<br />

R<br />

h<br />

h<br />

z<br />

r<br />

dv = πr<br />

2<br />

dz<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

Par raison de symétrie le centre d’inertie du cône est situé sur l’axe Oz. On choisit un élément<br />

2<br />

r R<br />

R<br />

de volume : dv = πr<br />

dz et situé à une hauteur z tel que : = ⇒ r = z<br />

z h<br />

h<br />

Le centre d’inertie est donné par :<br />

z<br />

G<br />

=<br />

1<br />

m<br />

∫<br />

S<br />

zdm<br />

avec :<br />

0 ≤ z ≤ h<br />

Calculons d’abord la masse du cône. Nous avons :<br />

dm = ρdv<br />

h<br />

2<br />

2 3<br />

R<br />

R h<br />

m = 2<br />

2<br />

1 2<br />

ρ ∫ dv = ρ∫πr<br />

dz = ρπ ∫ z dz = ρπ . = ρ πR<br />

. h<br />

2<br />

2<br />

h<br />

h 3 3<br />

S<br />

S<br />

0<br />

d’où :<br />

z<br />

G<br />

h<br />

h<br />

2<br />

h<br />

= 1 1<br />

2 3 ⎛ R 2<br />

⎞ 3 3<br />

zdm z r dz z z dz z dz<br />

m<br />

∫ =<br />

2<br />

3<br />

m<br />

∫ ρπ =<br />

= =<br />

2<br />

S<br />

0<br />

R h<br />

∫ ρπ<br />

⎜<br />

0<br />

h<br />

⎟<br />

ρπ ⎝ ⎠ h<br />

∫<br />

0<br />

3<br />

h<br />

4<br />

147


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 11 :<br />

Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé<br />

R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

des<br />

solides homogènes (S) suivants :<br />

1. (S) est une barre AB de longueur L, de milieu O, portée par l’axe Oy ;<br />

2. (S) est un cercle de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;<br />

3. (S) est un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;<br />

4. (S) est une sphère creuse de centre O, de rayon R ;<br />

5. (S) est une sphère pleine de centre O, de rayon R ;<br />

6. (S) est une plaque rectangulaire de dimension a x b de centre de gravité O, l’axe Oz est<br />

perpendiculaire à la plaque ;<br />

7. (S) est un parallélépipède plein de dimension 2a x 2b x 2c et le centre du repère est en O<br />

milieu du côté 2a .<br />

Solution :<br />

1. Le solide est une barre de longueur L<br />

Nous avons un solide linéaire AB = L de<br />

masse m et de densité linéaire λ tel que :<br />

m = ∫ dm = ∫λ dy = λ. L ⇒<br />

S<br />

S<br />

λ =<br />

m<br />

L<br />

On choisit un élément de longueur dy ayant<br />

pour coordonnées : (0, y, 0) tel que :<br />

Les moments d’inertie sont données par :<br />

− L ≤ y ≤ + L<br />

-L/2<br />

z<br />

O<br />

L/2<br />

A B<br />

dy<br />

x<br />

y<br />

2 2<br />

I = ∫ ( y + z ) dm<br />

xx<br />

S<br />

2 2<br />

; I = ∫ ( x + z ) dm ;<br />

yy<br />

S<br />

2 2<br />

I = ∫ ( x + y ) dm<br />

zz<br />

S<br />

Les produits d’inertie sont données par : I<br />

xy<br />

= ∫ xydm ; I<br />

xz<br />

= ∫ xzdm ;<br />

S<br />

S<br />

∫<br />

I yz<br />

= yzdm<br />

S<br />

On remarque que les axes Ox et Oz jouent le même rôle vis à vis du solide, alors :<br />

I = I<br />

xx<br />

zz<br />

L’élément de longueur choisi a pour coordonnées x = 0 et z = 0 alors<br />

I yy<br />

= 0<br />

et tous les<br />

produis d’inertie sont nuls :<br />

I<br />

xy<br />

= I<br />

xz<br />

= I<br />

yz<br />

= 0<br />

148


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I<br />

L / 2<br />

L / 2<br />

xx<br />

= ∫<br />

=<br />

S<br />

−L<br />

/ 2<br />

−L<br />

/ 2<br />

3<br />

3<br />

2 2 y λL<br />

mL<br />

y dm = ∫ y λ dy = λ =<br />

3 12 12<br />

2<br />

I<br />

L / 2<br />

L / 2<br />

xx<br />

= ∫<br />

=<br />

S<br />

−L<br />

/ 2<br />

−L<br />

/ 2<br />

3<br />

3<br />

2 2 y λL<br />

mL<br />

y dm = ∫ y λ dy = λ =<br />

3 12 12<br />

2<br />

Le tenseur d’inertie de la barre au point O est :<br />

I O<br />

⎡mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

=<br />

⎢<br />

0<br />

⎢ 0<br />

⎢⎣<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

0<br />

⎥<br />

2 ⎥<br />

mL ⎥<br />

12 ⎥⎦<br />

2. Le solide est un cercle de rayon R de centre O et d’axe Oz<br />

Le périmètre du cercle est égal à :<br />

La masse du solide est donnée par :<br />

L = 2πR<br />

m = λL<br />

= λ.<br />

2πR<br />

y<br />

Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie<br />

alors tous les produits d’inertie sont nuls : I I = I = 0<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

On voit aussi que les axes Ox et Oy jouent le même<br />

y<br />

O<br />

R<br />

θ<br />

x<br />

x<br />

rôle par rapport au solide alors les moments d’inertie<br />

suivant ces axes sont égaux :<br />

I = I<br />

xx<br />

yy<br />

Nous avons un solide dans le plan (xOy), alors quel que soit l’élément de masse dm choisi il<br />

aura pour coordonnées : (x, y, 0) , et nous avons aussi dans le cercle :<br />

2 2<br />

x + y =<br />

R<br />

2<br />

I<br />

= ∫ ∫<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

zz<br />

( x + y ) dm = R dm = mR<br />

S<br />

S<br />

I<br />

xx<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

y<br />

2<br />

dm<br />

et<br />

I<br />

yy<br />

= ∫<br />

S<br />

x<br />

2<br />

dm<br />

, en faisant la somme des deux moments d’inertie nous<br />

2 2<br />

obtenons : I + I = ∫ ( x + y ) dm = I , or nous avons l’égalité :<br />

alors :<br />

xx<br />

2I<br />

xx<br />

= I zz<br />

yy<br />

S<br />

⇒<br />

zz<br />

I<br />

zz<br />

I<br />

xx<br />

= alors : I<br />

2<br />

= I<br />

xx yy<br />

=<br />

2<br />

mR<br />

2<br />

I<br />

xx<br />

= I yy<br />

Dans un solide plan, le moment d’inertie suivant l’axe perpendiculaire au plan est égale à la<br />

somme des moments suivant les deux axes du plan.<br />

149


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le tenseur d’inertie d’un cercle en O est :<br />

I O<br />

⎡mR<br />

⎢<br />

⎢<br />

2<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

mR ⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

Nous pouvons aussi calculer les moments d’inerties I et I autrement :<br />

xx<br />

yy<br />

On choisi un élément de longueur<br />

dl = Rdθ<br />

ayant pour coordonnées ( R cos θ , R sinθ<br />

, 0)<br />

Nous aurons ainsi :<br />

I<br />

xx<br />

2π<br />

2<br />

= ∫ y dm = ∫<br />

S<br />

0<br />

R<br />

2<br />

2<br />

sin θdθ<br />

= λ.<br />

πR<br />

3<br />

Or nous avons :<br />

obtient :<br />

m = λ.<br />

2πR<br />

⇒<br />

m<br />

λ = en remplaçant λ dans l’expression de I xx<br />

, on<br />

2πR<br />

2<br />

mR<br />

I xx<br />

= . On obtient I<br />

yy<br />

de la même manière.<br />

2<br />

3. Le solide est cercle de rayon R de centre O et d’axe Oz<br />

La surface du disque est :<br />

2<br />

S = πR<br />

La masse du solide est donnée par :<br />

m = σ R = σ . πR<br />

Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors<br />

tous les produits d’inertie sont nuls : I I = I = 0<br />

2<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

y<br />

y<br />

ds = rdθ.<br />

dr<br />

On voit aussi que les axes Ox et Oy jouent le même<br />

rôle par rapport au solide alors les moments d’inertie<br />

O<br />

r<br />

θ<br />

x<br />

x<br />

suivant ces axes sont égaux :<br />

I = I<br />

xx<br />

yy<br />

Nous avons un solide dans le plan (xOy), on choisi un élément de masse<br />

tel que :<br />

0 ≤ r ≤ R et 0 ≤ θ ≤ 2π<br />

⎧x<br />

= r cosθ<br />

⎪<br />

Les coordonnées de cet élément sont : dm⎨<br />

y = r sinθ<br />

, et nous avons aussi :<br />

⎪<br />

⎩ z = 0<br />

dm = σ ds = σrdθ.<br />

dr<br />

2 2<br />

x + y =<br />

r<br />

2<br />

150


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I<br />

R<br />

4<br />

2<br />

= 2 2<br />

2<br />

3<br />

R<br />

2 R mR<br />

∫ ( x + y ) dm = ∫ r σrdθ.<br />

dr = σ ∫ r dr.<br />

∫ dθ<br />

= σ.<br />

.2π<br />

= σπR<br />

.<br />

4<br />

2 2<br />

zz<br />

=<br />

S<br />

S<br />

0 0<br />

2π<br />

2<br />

I<br />

xx<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

y<br />

2<br />

dm<br />

et<br />

I<br />

yy<br />

= ∫<br />

S<br />

x<br />

2<br />

dm<br />

, en faisant la somme des deux moments d’inertie nous<br />

2 2<br />

obtenons : I + I = ∫ ( x + y ) dm = I , or nous avons l’égalité :<br />

alors :<br />

xx<br />

2I<br />

xx<br />

= I zz<br />

yy<br />

S<br />

⇒<br />

zz<br />

I<br />

zz<br />

I<br />

xx<br />

= alors : I<br />

2<br />

= I<br />

xx yy<br />

=<br />

2<br />

mR<br />

4<br />

I<br />

xx<br />

= I yy<br />

Dans un solide plan, le moment d’inertie suivant l’axe perpendiculaire au plan est égale à la<br />

somme des moments suivant les deux axes du plan.<br />

Le tenseur d’inertie d’un disque en O est :<br />

I O<br />

⎡mR<br />

⎢<br />

⎢<br />

4<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

mR<br />

4<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

mR<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

4. Le solide est une sphère creuse de rayon R de centre O .<br />

L’élément de surface ds est repéré par les coordonnées sphériques : ( R , θ , ψ ) tel que :<br />

⎧R<br />

⎪<br />

ds⎨R<br />

⎪<br />

⎩<br />

cosθ<br />

cosψ<br />

cosθ<br />

sinψ<br />

Rsinθ<br />

z<br />

ds<br />

Avec :<br />

π π<br />

− ≤ θ ≤ et 0 ≤ ψ ≤ 2π<br />

2 2<br />

Nous avons alors :<br />

2 2 2<br />

x + y + z =<br />

R<br />

2<br />

R<br />

O<br />

ψ<br />

θ<br />

y<br />

La surface de l’élément choisi est donnée par :<br />

2<br />

ds = Rdθ.<br />

Rdψ.cosθ<br />

= R cosθdθ.<br />

dψ<br />

x<br />

151


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

π / 2<br />

2<br />

Masse de la sphère creuse : m = ∫σds<br />

= ∫σR<br />

cosθdθ.<br />

∫ dψ<br />

= σ.4πR<br />

S<br />

−π<br />

/ 2<br />

Les plans (xOy), (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont<br />

nuls : I I = I = 0<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

On voit aussi que les axes Ox, Oy et Oz jouent le même rôle par rapport au solide alors les<br />

moments d’inertie suivant ces axes sont égaux :<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

∫ ( y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm + ∫ ( x +<br />

2<br />

I + I + I =<br />

y ) dm<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

S<br />

= ∫<br />

∫<br />

2 2 2<br />

2<br />

2<br />

3I<br />

xx<br />

2 ( x + y + z ) dm = 2 R dm = 2mR<br />

S<br />

S<br />

S<br />

xx<br />

2π<br />

yy<br />

0<br />

I = I = I , nous pouvons écrire :<br />

S<br />

zz<br />

2<br />

d’où :<br />

I<br />

xx<br />

=<br />

2 mR<br />

3<br />

2<br />

Le tenseur d’inertie en O d’une sphère creuse est :<br />

I O<br />

⎡2<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

5. Le solide est une sphère pleine de rayon R de centre O .<br />

L’élément de volume dv est repéré par les coordonnées sphériques : ( r , θ , ψ ) tel que :<br />

⎧r<br />

⎪<br />

dv⎨r<br />

⎪<br />

⎩<br />

Avec :<br />

cosθ<br />

cosψ<br />

cosθ<br />

sinψ<br />

r sinθ<br />

π π<br />

− ≤ θ ≤ et 0 ≤ ψ ≤ 2π<br />

,<br />

2 2<br />

Nous avons alors :<br />

2 2 2<br />

x + y + z =<br />

r<br />

2<br />

0 ≤ r ≤ R<br />

Le volume de l’élément choisi est donnée par :<br />

z<br />

R<br />

O<br />

ψ<br />

θ<br />

dv<br />

y<br />

2<br />

dv = rdθ . rdψ.<br />

dr cosθ<br />

= r cosθdθ.<br />

dψ.<br />

dr<br />

x<br />

152


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Masse de la sphère pleine :<br />

m =<br />

∫<br />

S<br />

ρ dv =<br />

∫<br />

S<br />

ρ r<br />

2<br />

cosθdθ.<br />

dψ.<br />

dr = ρ r<br />

R<br />

∫<br />

0<br />

2<br />

dr.<br />

π / 2<br />

∫<br />

−π<br />

/ 2<br />

cosθdθ.<br />

2π<br />

∫<br />

0<br />

dψ<br />

4<br />

m = ρ. . πR<br />

3<br />

3<br />

Les plans (xOy), (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont<br />

nuls :<br />

I<br />

xy<br />

= I<br />

xz<br />

= I<br />

yz<br />

= 0 . On voit aussi que les axes Ox, Oy et Oz jouent le même rôle par<br />

rapport au solide alors les moments d’inertie suivant ces axes sont égaux : I = I = I ,<br />

nous pouvons écrire :<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

∫ ( y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm + ∫ ( x +<br />

2<br />

I + I + I =<br />

y ) dm<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

S<br />

S<br />

S<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

R π / 2<br />

2π<br />

5<br />

2 R<br />

2 2<br />

2<br />

4<br />

3I<br />

= xx<br />

2∫<br />

( x + y + z ) dm = 2∫<br />

r dm = 2ρ∫<br />

r dr.<br />

∫ cosθdθ.<br />

∫ dψ<br />

= 2ρ.<br />

5<br />

S<br />

S<br />

0<br />

−π<br />

/ 2<br />

0<br />

4π<br />

d’où :<br />

2R<br />

3I xx<br />

R<br />

5<br />

2<br />

3<br />

= ρ.4π<br />

⇒<br />

2R<br />

5<br />

4<br />

3<br />

2<br />

3<br />

I xx<br />

= ρ . πR<br />

=<br />

2<br />

mR<br />

5<br />

2<br />

I<br />

xx<br />

= I<br />

yy<br />

= I<br />

zz<br />

=<br />

2 mR<br />

5<br />

2<br />

Le tenseur d’inertie en O d’une sphère pleine est :<br />

I O<br />

⎡2<br />

⎢<br />

mR<br />

5<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

5<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

5<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

Exercice 12 :<br />

Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

des<br />

solides homogènes (S) suivants : quart de cercle, quart de disque, demi-sphère creuse, demisphère<br />

pleine.<br />

153


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

Fig :01 Fig :02 Fig :03 Fig :04<br />

a) Calculer pour chacun des solides le moment d’inertie par rapport à la droite (Δ) passant<br />

par le point O et le point A de coordonnées (R, R, 0) ;<br />

b) Déterminer les axes principaux d’inertie pour chaque solide.<br />

Solution :<br />

fig : 01 Le solide est linéaire de longueur :<br />

On considère un élément de longueur :<br />

avec :<br />

dl = λRdθ<br />

π<br />

0 ≤ θ ≤ , de coordonnées ( 0,<br />

R cosθ , R sinθ<br />

)<br />

2<br />

Les axes Oy et Oz jouent le même rôle alors :<br />

L = πR donc de masse :<br />

2<br />

I = I<br />

Nous avons un solide dans le plan (xOy), alors quel que<br />

soit l’élément de masse dm choisi il aura pour<br />

coordonnées : (x, y, 0) et nous avons aussi dans le cercle :<br />

yy<br />

zz<br />

2 2<br />

x + y =<br />

y<br />

R<br />

πR<br />

m = λ<br />

2<br />

z<br />

O<br />

2<br />

z<br />

R<br />

θ<br />

dl = λRdθ<br />

y<br />

x<br />

I<br />

= ∫ ∫<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

zz<br />

( x + y ) dm = R dm = mR<br />

S<br />

S<br />

I<br />

xx<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

y<br />

2<br />

dm<br />

et<br />

I<br />

yy<br />

= ∫<br />

S<br />

x<br />

2<br />

dm<br />

, en faisant la somme des deux moments d’inertie nous<br />

2 2<br />

obtenons : I + I = ∫ ( x + y ) dm = I , or nous avons l’égalité :<br />

xx<br />

yy<br />

S<br />

zz<br />

I<br />

xx<br />

= I yy<br />

154


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

alors :<br />

2I<br />

xx<br />

= I zz<br />

⇒<br />

I<br />

zz<br />

I<br />

xx<br />

= alors :<br />

2<br />

I<br />

= I<br />

xx yy<br />

=<br />

2<br />

mR<br />

2<br />

Calcul du produit d’inertie<br />

∫<br />

I xy<br />

= xydm<br />

S<br />

I<br />

π / 2<br />

π / 2<br />

3 2<br />

xy<br />

=<br />

3<br />

= 3<br />

R 2m<br />

R<br />

∫ xydm = ∫ R cosθ.<br />

Rsinθ.<br />

λRdθ<br />

= λR<br />

∫ sinθd(sinθ<br />

) = λ = .<br />

2 πR<br />

2<br />

S<br />

0 0<br />

Le tenseur d’inertie du quart de cercle en O est :<br />

2<br />

⎡ mR mR<br />

⎢ −<br />

⎢<br />

2 π<br />

2<br />

2<br />

= ⎢ mR mR<br />

I O<br />

( S)<br />

−<br />

⎢ π 2<br />

⎢ 0 0<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

mR<br />

π<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

mR ⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2) Moment d’inertie I<br />

Δ<br />

par rapport à la droite (Δ)<br />

passant par O(0,0,0) et A(R, R, 0)<br />

Soit le vecteur unitaire porté par cette droite , il s’écrit :<br />

→<br />

u<br />

−−→ → →<br />

→<br />

OA R i + R j 2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→ →<br />

u = = = i + j = ( i + j)<br />

OA 2 2<br />

R + R 2 2 2<br />

Le moment d’inertie par rapport à la droite (Δ)<br />

est défini par :<br />

I<br />

Δ<br />

→<br />

T<br />

= u<br />

. I<br />

O<br />

→ ⎛<br />

( S).<br />

u = ⎜<br />

⎝<br />

2<br />

2<br />

,<br />

2<br />

⎡ mR<br />

⎢<br />

⎢<br />

2<br />

2<br />

2 ⎞<br />

⎟⎢<br />

mR<br />

,0<br />

−<br />

2 ⎠<br />

⎢ π<br />

⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣<br />

mR<br />

−<br />

π<br />

2<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

mR<br />

2<br />

⎤⎛<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎦<br />

⎜<br />

⎝<br />

2 ⎞<br />

⎟<br />

2 ⎟<br />

2 ⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

0 2 ⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎡ A − C 0⎤⎛1⎞<br />

⎛1⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

I<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

1<br />

1<br />

⎜ ⎟<br />

Δ<br />

=<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

) =<br />

⎝ 2 ⎠ ⎢ B⎥⎜<br />

⎟ 2<br />

⎜ ⎟ 2<br />

⎣ 0 0 ⎦⎝0⎠<br />

⎝0⎠<br />

( 1,1,0 ) − C A 0 1 = ( A − C,<br />

− C + A,<br />

0) 1 = ( A − C − C + A A - C<br />

2 2 π<br />

I<br />

Δ<br />

=<br />

mR<br />

2<br />

2<br />

mR<br />

−<br />

2<br />

155


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3) Calcul des moments principaux d’inertie.<br />

I1<br />

I<br />

2 3<br />

Si , , I sont les moments principaux d’inertie , ils sont solution du déterminant :<br />

A − I<br />

− C<br />

0<br />

− C<br />

A − I<br />

0<br />

0<br />

0<br />

B − I<br />

= 0<br />

2 2<br />

⇒ ( B − I)<br />

[(<br />

A − I)<br />

− C ] = 0<br />

)( A − I − C)( A − I + C) 0<br />

( B − I<br />

=<br />

on déduit alors :<br />

I =<br />

1<br />

B<br />

⇒<br />

2<br />

I<br />

1<br />

= mR<br />

I = A + C<br />

I<br />

2<br />

⇒<br />

= A − C<br />

3<br />

⇒<br />

2<br />

mR mR<br />

I<br />

2<br />

= +<br />

2 π<br />

I<br />

3<br />

mR<br />

=<br />

2<br />

2<br />

mR<br />

−<br />

π<br />

4) Détermination des axes principaux d’inertie<br />

a) Axes principaux<br />

⎧ l<br />

→<br />

→<br />

⎪<br />

Soit e 1<br />

un vecteur unitaire porté par cet axe principale tel que e 1<br />

= ⎨m<br />

où (l, m, n) sont les<br />

⎪<br />

⎩n<br />

2 2 2<br />

cosinus directeur alors nous avons : l + m + n = 1 et nous avons aussi :<br />

⎡A<br />

− I<br />

⎢<br />

⎢<br />

− C<br />

⎢⎣<br />

0<br />

1<br />

− C<br />

A − I<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

B − I<br />

1<br />

⎤⎡<br />

l ⎤ ⎡0⎤<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

=<br />

⎢ ⎥<br />

⎥⎢<br />

m<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

n ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

0⎥⎦<br />

L’équation (3) nous donne : n = 0<br />

⇔<br />

2<br />

2<br />

⎧ ( A − I1).<br />

l − C.<br />

m = 0<br />

⎪<br />

⎨ − C.<br />

l + ( A − I1).<br />

m = 0<br />

⎪<br />

⎩(<br />

B − I1).<br />

n = 0<br />

En résolvant ce système d’équation nous obtenons les valeurs des cosinus directeurs.<br />

Multiplions l’équation (1) par n et l’équation (2) par m et faisant la différence :<br />

2<br />

( A − I ). l − C.<br />

ml 0<br />

1<br />

=<br />

2<br />

− C.<br />

lm + ( A − I ). m 0<br />

1<br />

=<br />

(1)<br />

(2)<br />

(3)<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

( A − I ). l − ( A − I ) m 0 ( A − I )( l − m ) 0<br />

1 1<br />

=<br />

1<br />

=<br />

⇔<br />

2 2<br />

l = m ⇒ l = ± m<br />

156


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

nous avons ainsi : l<br />

2<br />

2 2<br />

2 2<br />

+ m + n = 1 ⇔ l + l + 0 = 1 ⇒<br />

2 l<br />

2<br />

= 1 ⇒ l = ±<br />

2<br />

2<br />

dons<br />

2<br />

m = ± . Nous avons donc l’axe principal passant par O et de vecteur unitaire :<br />

2<br />

→<br />

2 2<br />

→<br />

2 2<br />

e<br />

1(<br />

, − ,0) ; e<br />

2<br />

, ,0)<br />

2 2<br />

( et (0,0,1)<br />

2 2<br />

I<br />

2 3<br />

De la même manière si on utilise les moments et I on retrouve les mêmes axes qui<br />

→<br />

2 2<br />

→<br />

2 2<br />

sont : e 1( , ,0) ; e<br />

1(<br />

− , ,0)<br />

; (0,0,1)<br />

2 2<br />

2 2<br />

Pour les solides restant leurs tenseurs d’inertie ont déjà été calculés précédemment. On<br />

procède de la même manière et on retrouve facilement les moments principaux ainsi que les<br />

axes principaux d’inertie.<br />

Exercice 13 :<br />

Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé<br />

R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

des<br />

solides linéaires et homogènes (S) suivants :<br />

y<br />

y<br />

L<br />

y<br />

L<br />

z<br />

L<br />

L<br />

L<br />

x<br />

z<br />

L<br />

L<br />

L<br />

x<br />

z<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

x<br />

Figure :01 Figure :02<br />

Figure :03<br />

Solution :<br />

Figure :01<br />

Le solide de la figure :01 est composé de trois barres S 1 , S 2 , S 3 . Le moment d’inertie du<br />

solide au point O est égal à la somme des moments d’inertie de chacune des barres au même<br />

point O.<br />

157


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A.KADI<br />

I )<br />

( S)<br />

O<br />

= I(<br />

S1 )<br />

O<br />

+ I(<br />

S<br />

2<br />

)<br />

O<br />

+ I(<br />

S3<br />

2<br />

⎡mL<br />

⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥<br />

⎢<br />

3<br />

I(<br />

S =<br />

⎥<br />

1)<br />

O ⎢<br />

0 0 0<br />

⎥<br />

;<br />

2<br />

⎢ mL<br />

0 ⎥<br />

⎢⎣<br />

3 ⎥⎦<br />

O<br />

I(<br />

S )<br />

O<br />

2<br />

⎡<br />

⎢0<br />

⎢<br />

= ⎢0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢0<br />

⎣<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

0<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

z<br />

y<br />

O<br />

L<br />

S 1<br />

L<br />

S 2<br />

y<br />

S 3<br />

L<br />

G 3<br />

x<br />

x<br />

Figure :01<br />

Pour la barre S 3 , nous utiliserons le théorème de Huygens. On détermine le moment<br />

d’inertie au centre d’inertie G 3 de la barre puis on le ramène au point O par le théorème de<br />

⎧ x<br />

−−→⎪<br />

Huygens. nous avons OG ⎨y<br />

⎪<br />

⎩ z<br />

G<br />

G<br />

G<br />

= L<br />

= L / 2<br />

= 0<br />

Le moment d’inertie de la barre S 3 en G 3 est données par :<br />

( S<br />

)<br />

I<br />

3 G 3<br />

⎡mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

=<br />

⎢<br />

0<br />

⎢ 0<br />

⎢⎣<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

0<br />

⎥<br />

2 ⎥<br />

mL ⎥<br />

12 ⎥⎦<br />

Nous avons par le théorème de Huygens :<br />

I<br />

mL<br />

) =<br />

12<br />

mL<br />

+<br />

4<br />

2 2<br />

2 2<br />

xx<br />

( S3)<br />

O<br />

= I<br />

xx<br />

( S3)<br />

G3<br />

+ m(<br />

yG<br />

+ zG<br />

=<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

I<br />

2 2<br />

2 2<br />

yy<br />

( S3)<br />

O<br />

= I<br />

yy<br />

( S3)<br />

G3<br />

+ m(<br />

xG<br />

+ zG<br />

) = 0 + mL = mL<br />

I<br />

mL ⎛ L ⎞ 4<br />

( mL<br />

12 ⎜ 4 ⎟<br />

⎝ ⎠ 3<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

zz<br />

S3)<br />

O<br />

= I<br />

zz<br />

( S3<br />

)<br />

G3<br />

+ m(<br />

xG<br />

+ yG<br />

) = + m⎜<br />

L + ⎟ =<br />

2<br />

I<br />

I<br />

( S<br />

)<br />

I<br />

( S<br />

)<br />

mx<br />

L<br />

= 0 + mL.<br />

2<br />

xy 3 O<br />

=<br />

xy 3 G3<br />

+<br />

G G<br />

=<br />

xz<br />

( S )<br />

O<br />

I<br />

xz<br />

( S3)<br />

G3<br />

+ mx<br />

3<br />

=<br />

G<br />

zG<br />

=<br />

y<br />

0<br />

mL<br />

2<br />

2<br />

I<br />

yz<br />

( S ) I ( S3<br />

)<br />

3<br />

+ my<br />

3 O<br />

=<br />

yz G G G<br />

=<br />

z<br />

0<br />

158


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d’où le tenseur d’inertie de la barre S 3 au point O :<br />

I(<br />

S3<br />

)<br />

O<br />

⎡ mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

2<br />

= ⎢−<br />

mL<br />

⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

/ 2<br />

− mL<br />

0<br />

2<br />

mL<br />

2<br />

/ 2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

4 2<br />

mL ⎥<br />

3 ⎥<br />

⎦<br />

Le tenseur d’inertie du solide au point O est égal à :<br />

( S)<br />

I<br />

O<br />

⎡mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

=<br />

⎢<br />

0<br />

⎢ 0<br />

⎢⎣<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎡<br />

⎤<br />

0 ⎢<br />

⎥ 0<br />

⎢<br />

0<br />

⎥<br />

+ ⎢<br />

⎥<br />

0<br />

2<br />

mL ⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

3 ⎥⎦<br />

⎢0<br />

⎣<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

2<br />

⎡ mL<br />

0 ⎥<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

3<br />

2<br />

0 ⎥ + ⎢−<br />

mL / 2<br />

⎥<br />

2 ⎢<br />

mL ⎥ 0<br />

⎢<br />

3<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎣<br />

− mL<br />

0<br />

2<br />

mL<br />

2<br />

/ 2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

4 2<br />

mL ⎥<br />

3 ⎥<br />

⎦<br />

( S)<br />

I<br />

O<br />

2<br />

⎡ 2mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

⎢ 2<br />

= − mL / 2<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣<br />

− mL<br />

2<br />

4mL<br />

3<br />

0<br />

/ 2<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

2mL<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

Pour le solide de la figure (2) utiliser la même technique de résolution. Le tenseur d’inertie du<br />

solide de la figure (3) se déduit à partir de celui de la figure (2).<br />

Exercice 14 :<br />

Les deux panneaux solaires d’un satellite sont de forme rectangulaire, montés tel que<br />

représenté sur la figure ci-dessous. Afin de maîtriser les différentes rotations du satellite, il est<br />

demandé de déterminer :<br />

a) Le tenseur d’inertie du système en O relativement à R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

;<br />

a<br />

b) Le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le point O et le point A ( c,<br />

,0)<br />

2<br />

y<br />

y<br />

c<br />

a<br />

c<br />

o<br />

c<br />

x<br />

a<br />

G 2<br />

o<br />

α<br />

A<br />

G 1<br />

x<br />

z<br />

b<br />

z<br />

b<br />

c<br />

159


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

a) Tenseur d’inertie du système au point O dans R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

Le système est formé de deux panneaux rectangulaires identiques S 1 et S2 de masse :<br />

m = σ.ab<br />

et de centres de gravité respectifs : G 1 et G 2 .<br />

On calcul les tenseurs d’inertie en ces centres d’inertie puis, par le théorème de Huygens, on<br />

déduit les tenseurs d’inertie au point O dans le repère R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

.<br />

Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont<br />

nuls : I = I = I = Nous avons un solide plan : z = 0 alors I Oxz<br />

I = 0 et<br />

Oxz Oyz Oxz<br />

0<br />

aussi : I + I = I .<br />

Oxx<br />

Oyy<br />

Ozz<br />

= Oyz<br />

Nous avons aussi :<br />

I )<br />

( S1 )<br />

O<br />

= I(<br />

S<br />

2 O<br />

donc I ( S)<br />

O<br />

= 2I(<br />

S1)<br />

O<br />

Calculons le tenseur d’inertie du panneau (S 1 ) en G 1 :<br />

I<br />

I<br />

b / 2 a / 2<br />

3<br />

a / 2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎡ y ⎤<br />

G 1xx<br />

= ∫ ( y + z ) dm = ∫ y dm = ∫ y σ . dxdy = σ ∫ dx ∫ y dy = σb.<br />

⎢ ⎥ =<br />

3<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−b<br />

/ 2 −a<br />

/ 2 ⎣ ⎦ −a<br />

/ 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

b / 2 a / 2<br />

3<br />

b / 2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎡ x ⎤<br />

G 1yy<br />

= ∫ ( x + z ) dm = ∫ x dm = ∫ x σ . dxdy = σ ∫ x dx ∫ dy = σa.<br />

⎢ ⎥ =<br />

3<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−b<br />

/ 2 −a<br />

/ 2 ⎣ ⎦ −b<br />

/ 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

ma<br />

12<br />

mb<br />

12<br />

2<br />

2<br />

I<br />

G1zz<br />

= ∫ ( x<br />

S1<br />

2<br />

+ y<br />

2<br />

) dm = I<br />

G1xx<br />

+ I<br />

G1yy<br />

=<br />

2 2<br />

m(<br />

a + b )<br />

12<br />

Les plans ( xG z) et (yG z<br />

1 1<br />

sont des plans de symétrie, alors tous les produit d’inertie sont<br />

nuls : I I = I 0 ; on obtient ainsi :<br />

G1 xy<br />

=<br />

G1xz<br />

G1yz<br />

=<br />

2<br />

⎡ma<br />

⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥<br />

⎢<br />

12<br />

2<br />

⎥<br />

⎢ mb<br />

I(<br />

S =<br />

⎥<br />

1)<br />

G 1<br />

0<br />

0 et<br />

⎢ 12<br />

⎥<br />

⎢<br />

2 2<br />

m(<br />

a + b ) ⎥<br />

⎢ 0 0<br />

⎥<br />

⎣<br />

12 ⎦<br />

I(<br />

S<br />

2<br />

)<br />

G<br />

2<br />

2<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

0<br />

mb<br />

12<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2<br />

m(<br />

a + b<br />

12<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

) ⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

b<br />

b<br />

Les coordonnées du point G 1 sont ( c + , 0, 0)<br />

et celles de G 2 ( − c − , 0, 0)<br />

.<br />

2<br />

2<br />

160


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En appliquant le théorème de Huygens comme précédemment nous obtenons les tenseurs<br />

d’inertie de S 1 et S 2 au point O.<br />

I(<br />

S<br />

1<br />

)<br />

O<br />

= I(<br />

S )<br />

2<br />

O<br />

2<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

mb<br />

12<br />

2<br />

0<br />

b<br />

+ m(<br />

c + )<br />

2<br />

0<br />

2<br />

2<br />

m(<br />

a + b<br />

12<br />

) b<br />

+ m(<br />

c + )<br />

2<br />

2<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

Le moment d’inertie du solide est donné par :<br />

I )<br />

( S)<br />

O<br />

= I(<br />

S1 )<br />

O<br />

+ I(<br />

S<br />

2<br />

)<br />

O<br />

= 2I(<br />

S1<br />

O<br />

I(<br />

S)<br />

O<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

6<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

mb<br />

6<br />

2<br />

0<br />

b<br />

+ 2m(<br />

c + )<br />

2<br />

0<br />

2<br />

2<br />

m(<br />

a + b<br />

6<br />

0<br />

0<br />

) b<br />

+ 2m(<br />

c + )<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥ ⎡A<br />

⎥ =<br />

⎢<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

⎥ ⎢⎣<br />

0<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

0<br />

B<br />

0 ⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

D⎥⎦<br />

b) Moment d’inertie par rapport à l’axe (Δ)<br />

passant par les points O (0, 0, 0) et A(c, c/2, 0)<br />

Soit<br />

→<br />

u le vecteur unitaire porté par )<br />

(Δ , il s’écrit :<br />

−−→ →<br />

→<br />

→<br />

OA c i + ( a / 2) j c<br />

→<br />

( a / 2)<br />

→<br />

→ →<br />

u = =<br />

=<br />

i +<br />

j = cosα i + sinα<br />

j<br />

OA 2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

c + ( a / 2) c + ( a / 2) c + ( a / 2)<br />

Le moment d’inertie par rapport à la droite (Δ)<br />

est défini par :<br />

I<br />

Δ<br />

→<br />

T<br />

= u<br />

⎡A<br />

0 0 ⎤⎛cosα<br />

⎞<br />

⎛cosα<br />

⎞<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

. I ( )<br />

⎢ ⎥<br />

O<br />

( S).<br />

u = cosα,<br />

sinα,<br />

0<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥⎜<br />

sinα<br />

⎟ = ( Acosα,<br />

Bsinα,0)<br />

⎜ sinα<br />

⎟<br />

⎢ ⎥⎜<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎣0<br />

0 D⎦⎝<br />

0 ⎠<br />

⎝ 0 ⎠<br />

I<br />

Δ<br />

=<br />

2<br />

2<br />

Acos<br />

α + Bsin<br />

α =<br />

ma<br />

6<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

⎡ma<br />

α + ⎢<br />

⎣ 6<br />

2<br />

+ 2m(<br />

c +<br />

b<br />

)<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥ sin<br />

⎦<br />

2<br />

α<br />

161


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 15 :<br />

Une pièce mécanique homogène est constituée d’un cylindre creux (S 1 ) de masse m 1 , d’axe<br />

Oy, et soudé à sa base à un parallélépipède (S 2 ) de masse m 2 tel que représenté sur la figure<br />

ci-dessous. Déterminer :<br />

1. Le tenseur d’inertie de la surface cylindrique au point O ;<br />

2. Le tenseur d’inertie du système I O<br />

(S) au point O ;<br />

3. Le moment d’inertie du système par rapport à la droite ( Δ)<br />

faisant un angle de 30° dans le<br />

sens positif avec l’axe Ox et passant par O ;<br />

4. Le produit d’inertie du système par rapport aux droites (Δ)<br />

et (Δ')<br />

appartenant au plan<br />

(xOz) tel que<br />

Δ' ⊥ Δ .<br />

y<br />

R<br />

z<br />

dl = Rdθ<br />

b<br />

h<br />

z<br />

o<br />

Δ '<br />

30°<br />

Δ<br />

c<br />

x<br />

O<br />

R<br />

x<br />

a<br />

Solution :<br />

1. Tenseur d’inertie de la surface cylindrique (S 1 ) au point O<br />

Nous avons un solide ayant un axe de révolution (Oy) alors : I<br />

xx<br />

( S1)<br />

= I<br />

zz<br />

( S1)<br />

, nous pouvons<br />

aussi voir que les axes (Ox) et (Oz) jouent le même rôle.<br />

Les plans (xOy) et (zOy) sont des plans de symétrie d’où : I S ) = I ( S ) = I ( S ) 0<br />

xy<br />

(<br />

1 xz 1 yz 1<br />

=<br />

On choisi un petit élément de surface :<br />

dm = σ.<br />

Rd . dy avec 0 ≤ ϕ ≤ 2π<br />

et 0 ≤ y ≤ h<br />

1<br />

ϕ<br />

ayant pour coordonnées : ( R cosθ<br />

, y,<br />

R sinθ<br />

) tel que :<br />

2 2<br />

x + z =<br />

R<br />

2<br />

Masse du cylindre :<br />

m = 1 ∫ dm1<br />

= ∫σ.<br />

Rdθ.<br />

dy = σR<br />

∫ dθ.<br />

∫ dy = σ.2πR.<br />

h<br />

S<br />

S<br />

2π<br />

0<br />

h<br />

0<br />

Nous avons alors :<br />

I<br />

2π<br />

h<br />

2 2<br />

2<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

( S1 ) = yy ∫ ( x + z ) dm1<br />

= ∫ R σRdθdy<br />

= σR<br />

∫ dθ<br />

∫ dy = σR<br />

.2π<br />

. h = σ.2πRh.<br />

R = m1R<br />

S<br />

S<br />

0 0<br />

161


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2 2<br />

2 2<br />

Or : I<br />

xx<br />

( S1)<br />

= I<br />

zz<br />

( S1)<br />

alors : I<br />

xx<br />

( S1 ) + I<br />

zz<br />

( S1)<br />

= 2I<br />

xx<br />

( S1)<br />

= ∫ ( y + z ) dm1<br />

+ ∫ ( x + y ) dm1<br />

2 2<br />

2<br />

2 I<br />

xx<br />

( S1)<br />

= ∫ ( x + z ) dm1<br />

+ ∫ 2y<br />

dm1<br />

⇔ 2<br />

xx<br />

( S ) = I<br />

yy<br />

( S1)<br />

+ ∫<br />

I<br />

xx<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

2<br />

I<br />

1<br />

2y<br />

dm1<br />

2π<br />

h<br />

I<br />

yy<br />

( S1)<br />

I<br />

yy<br />

( S1)<br />

I<br />

yy<br />

( S1)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

( S1 ) = + ∫ y dm1<br />

= + ∫ y σ . Rdθ.<br />

dy = + σR<br />

∫.<br />

dθ∫<br />

y dy<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

m1R<br />

m1h<br />

I xx<br />

( S1)<br />

= +<br />

2 3<br />

2<br />

S<br />

0<br />

0<br />

S<br />

I O<br />

( S<br />

1<br />

⎡m1R<br />

⎢<br />

⎢<br />

2<br />

) = ⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

m1h<br />

+<br />

3<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

m R<br />

0<br />

2<br />

m1R<br />

2<br />

2<br />

0<br />

0<br />

m1h<br />

+<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2. Tenseur d’inertie du système I O<br />

(S) au point O ;<br />

I<br />

( S)<br />

= I<br />

O<br />

( S1)<br />

I<br />

O<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

O<br />

+<br />

Calculons le moment d’inertie du parallélépipède : S )<br />

I O<br />

( 2<br />

Les plans (xOy) et (yOz) sont aussi des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie<br />

sont nuls : I S ) = I ( S ) = I ( S ) 0<br />

xy<br />

(<br />

2 xz 2 yz 2<br />

=<br />

On choisi un élément de masse tel que :<br />

dm2 = ρdxdydz avec<br />

a<br />

−<br />

2<br />

≤ x ≤<br />

a<br />

;<br />

2<br />

− b ≤<br />

y ≤ 0;<br />

c<br />

− ≤ z ≤<br />

2<br />

c<br />

2<br />

La masse su solide ( S 2<br />

) est :<br />

m<br />

2<br />

a / 2<br />

c / 2<br />

= ∫ ρ dm = ρ ∫ dx∫<br />

dy ∫ dz = ρ abc<br />

S2<br />

−a<br />

/ 2<br />

0<br />

−b<br />

−c<br />

/ 2<br />

Comme les coordonnées sont indépendantes, nous allons calculer séparément les intégrales :<br />

∫<br />

x<br />

a / 2 0 c / 2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

a m<br />

2 2<br />

dm2<br />

= ρ ∫ x dx∫<br />

dy ∫ dz = ρ bc =<br />

a<br />

12 12<br />

−a<br />

/ 2 −b<br />

−c<br />

/ 2<br />

162


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

∫<br />

∫<br />

y<br />

z<br />

a / 2 0 c / 2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

b m<br />

2 2<br />

dm2<br />

= ρ ∫ dx∫<br />

y dy ∫ dz = ρa<br />

c =<br />

b<br />

3 3<br />

−a<br />

/ 2 −b<br />

−c<br />

/ 2<br />

a / 2 0 c / 2<br />

3<br />

2<br />

2 2 c m2c<br />

dm2<br />

= ρ ∫ dx∫<br />

dy ∫ z dz = ρab<br />

=<br />

12 12<br />

−a<br />

/ 2 −b<br />

−c<br />

/ 2<br />

Nous avons ainsi :<br />

I<br />

I<br />

I<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

( S<br />

2<br />

( S<br />

( S<br />

= ∫ 2 2<br />

2 2<br />

2 2 m ⎛ ⎞<br />

2b<br />

m2c<br />

b c<br />

) ( y + z ) dm = + =<br />

⎜ +<br />

⎟<br />

2<br />

m2<br />

3 12 ⎝ 3 12<br />

S<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= ∫ 2 2<br />

2<br />

2 2 m2a<br />

m2c<br />

⎛ a + c<br />

) ( x + z ) dm = + =<br />

⎜<br />

2<br />

m2<br />

12 12 ⎝ 12<br />

S<br />

2<br />

= ∫ 2<br />

2<br />

2 2<br />

2 2 m2a<br />

m2b<br />

⎛ b a ⎞<br />

) ( x + y ) dm = + =<br />

⎜ +<br />

⎟<br />

2<br />

m2<br />

12 3 ⎝ 3 12<br />

S<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

I O<br />

2 2<br />

⎡ ⎛ b c ⎞<br />

⎢m<br />

⎜<br />

⎟<br />

2<br />

+<br />

⎢ ⎝ 3 12 ⎠<br />

⎢<br />

( S1)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

0<br />

2<br />

⎛ a + c<br />

m<br />

⎜<br />

2<br />

⎝ 12<br />

0<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2 2<br />

⎛ b a ⎞⎥<br />

m<br />

⎜ +<br />

⎟<br />

2 ⎥<br />

⎝ 3 12 ⎠<br />

⎦<br />

Le tenseur d’inertie du système est donné par : I S ) = I ( S ) = I ( S ) 0<br />

xy<br />

(<br />

1 xz 1 yz 1<br />

=<br />

I O<br />

⎡<br />

⎢ m<br />

⎢<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

1<br />

⎛ R<br />

⎜<br />

⎝ 2<br />

2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ + m<br />

⎠<br />

m R<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

⎛ b c ⎞<br />

⎜ +<br />

⎟<br />

⎝ 3 12 ⎠<br />

2<br />

⎛ a + c<br />

+ m<br />

⎜<br />

2<br />

⎝ 12<br />

0<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎛ R<br />

m<br />

⎜<br />

1<br />

⎝ 2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ + m<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎛ b<br />

⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

a ⎞<br />

+<br />

⎟<br />

12 ⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

On pose : I<br />

⎢ ⎥<br />

O<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥<br />

.<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

163


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3. Moment d’inertie du système par rapport à la droite (Δ)<br />

Soit<br />

→ →<br />

→ → →<br />

n le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ)<br />

, il s’écrira : n = cosα<br />

i + 0. j−<br />

sinα<br />

k<br />

⎧ cosα<br />

→⎪<br />

n ⎨ 0 Le moment d’inertie par rapport à (Δ)<br />

est donné par : I<br />

⎪<br />

⎩−<br />

sinα<br />

Nous avons ainsi :<br />

I<br />

Δ<br />

⎡A<br />

0<br />

= (cosα,0,<br />

−sinα)<br />

⎢<br />

⎢<br />

0 B<br />

⎢⎣<br />

0 0<br />

2<br />

I = Acos α + C sin<br />

Δ<br />

2<br />

α ;<br />

→<br />

T<br />

Δ<br />

= n<br />

→<br />

. I 0<br />

( S).<br />

n<br />

0⎤⎛<br />

cosα<br />

⎞<br />

⎛ cosα<br />

⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎜<br />

0 ⎟ = ( Acosα,0,<br />

−C<br />

sinα)<br />

⎜ 0 ⎟<br />

C⎥⎜<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎦⎝−<br />

sinα<br />

⎠<br />

⎝−<br />

sinα<br />

⎠<br />

3A<br />

C<br />

I<br />

Δ<br />

= + et en remplaçant A et C nous obtenons :<br />

4 4<br />

I<br />

Δ<br />

=<br />

2<br />

3 ⎡ ⎛ R<br />

⎢m1<br />

⎜<br />

4 ⎣ ⎝ 2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ + m<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎛ b<br />

⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

c ⎞⎤<br />

+<br />

⎟⎥<br />

+<br />

12 ⎠⎦<br />

1<br />

4<br />

⎡ ⎛ R<br />

⎢m1<br />

⎜<br />

⎣ ⎝ 2<br />

2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ + m<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎛ b<br />

⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

a ⎞⎤<br />

+<br />

⎟⎥<br />

12 ⎠⎦<br />

4. Produit d’inertie par rapport aux droites (Δ)<br />

et (Δ')<br />

→<br />

n est le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ)<br />

: n(<br />

cosα,<br />

0,<br />

− sin α)<br />

→<br />

t est le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ')<br />

: t ( sin α, 0,<br />

cosα)<br />

Le produit d’inertie par rapport aux droites (Δ)<br />

et (Δ')<br />

est donné par la relation:<br />

→<br />

→<br />

I<br />

ΔΔ'<br />

→<br />

T<br />

→<br />

= −t<br />

. I ( S).<br />

n<br />

O<br />

I<br />

ΔΔ'<br />

⎡A<br />

= −(sinα,0,cosα)<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0 ⎤⎛<br />

cosα<br />

⎞<br />

⎛ cosα<br />

⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎜<br />

0 ⎟ = −(<br />

Asinα,0,<br />

−C<br />

cosα)<br />

⎜ 0 ⎟<br />

C⎥⎜<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎦⎝−<br />

sinα<br />

⎠<br />

⎝−<br />

sinα<br />

⎠<br />

I<br />

ΔΔ<br />

= −Asinα<br />

cosα<br />

+ C cosα<br />

sinα<br />

=<br />

3<br />

( C − A)<br />

4<br />

I<br />

ΔΔ'<br />

=<br />

2<br />

3 ⎡ ⎛ R<br />

⎢m<br />

⎜<br />

1<br />

4 ⎣ ⎝ 2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ + m<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎛ b<br />

⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

a ⎞ ⎛ R<br />

+<br />

⎟ − m<br />

⎜<br />

1<br />

12 ⎠ ⎝ 2<br />

2<br />

2<br />

h<br />

+<br />

3<br />

⎞<br />

⎟ − m<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

⎛ b<br />

⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

c ⎞⎤<br />

+<br />

⎟⎥<br />

12 ⎠⎦<br />

I<br />

ΔΔ '<br />

= m<br />

2<br />

3 a<br />

.<br />

4<br />

− c<br />

12<br />

2<br />

2<br />

164


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 16 :<br />

Déterminer le tenseur d’inertie en O, sommet d’un cône plein et homogène d’axe de<br />

révolution Oz, de hauteur h et dont le cercle de base a un rayon R, comme indiqué sur la<br />

figure ci-dessous.<br />

→<br />

z<br />

R<br />

A<br />

R<br />

B<br />

dv = 2πrdr<br />

dz<br />

dz<br />

h<br />

C<br />

r<br />

z<br />

D<br />

→<br />

y<br />

o<br />

Solution :<br />

Cône : Deux plans de symétrie (xoz) et (yoz) ⇒ I I = I = 0<br />

→<br />

x<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

Les axes ox et oy jouent le même rôle :<br />

I = I<br />

xx<br />

yy<br />

2 2 2<br />

Nous avons : x + y = r et l’élément de masse est égal à : dm = ρdv<br />

= ρ2πrdrdz<br />

Dans les triangles OAB et OCD , nous avons<br />

R<br />

0 < r < z et 0 < z < h<br />

h<br />

CD OC r z R<br />

= ⇔ = ⇒ r = z<br />

AB OA R h h<br />

I<br />

zz<br />

R<br />

z<br />

h<br />

h<br />

2<br />

2 2 R<br />

h<br />

4<br />

= 2<br />

2<br />

3<br />

R 4<br />

∫ ( x + y ) dm = ∫ r . ρ 2πrdr.<br />

dz = ρ2π<br />

∫(<br />

∫r<br />

dr)<br />

dz = ρ2π<br />

z dz = ρπR<br />

4<br />

4h<br />

∫<br />

S<br />

S<br />

0 0<br />

0<br />

h.<br />

10<br />

or nous avons la masse d’un cône est donnée par :<br />

1<br />

m = ρπ<br />

2<br />

R h alors R<br />

2<br />

ρπ h = 3m<br />

3<br />

d’où :<br />

3 I zz<br />

= mR<br />

10<br />

2<br />

Comme I<br />

xx<br />

= I yy<br />

, nous pouvons aussi écrire :<br />

2I<br />

xx<br />

= I<br />

xx<br />

+ I<br />

yy<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

= ∫(<br />

y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm = ∫(<br />

x + y ) dm + 2<br />

S1 S1<br />

∫<br />

S1 S1<br />

z<br />

2<br />

dm<br />

2<br />

I<br />

zz 2 3 2 2<br />

2I xx<br />

= I<br />

zz<br />

+ 2∫<br />

z dm ⇒ I<br />

xx<br />

= + z dm mR z ρ2πrdr.<br />

dz<br />

2<br />

∫ = +<br />

20<br />

∫<br />

S1<br />

S1<br />

S1<br />

165


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I<br />

xx<br />

R<br />

z<br />

h<br />

h<br />

2 5<br />

2 h<br />

h<br />

2<br />

3<br />

3 2 R 4 3 2 R<br />

= mR + ρ 2π<br />

( rdr)<br />

dz mR ρπ z dz mR ρπ<br />

2<br />

20<br />

∫ ∫ = +<br />

= +<br />

20 h<br />

∫<br />

20 h<br />

0 0<br />

0<br />

2<br />

5<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2 h 3 2 3 2 3 mR<br />

I xx<br />

= mR + ρπ R h.<br />

= mR + mh = ( + mh<br />

20<br />

5 20 5 5 4<br />

3 2<br />

)<br />

⎡ 3 2 3<br />

⎢<br />

mR + mh<br />

20 5<br />

⎢<br />

I<br />

0<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

3<br />

20<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

3<br />

+ mh<br />

5<br />

0<br />

2<br />

3<br />

10<br />

⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

mR<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

Exercice 17 :<br />

Soit une plaque carrée homogène de côté a , de masse m dans un repère orthonormé<br />

R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

. Le centre de masse de la plaque est en O, avec l’axe Ox perpendiculaire à la<br />

plaque.<br />

1. Déterminer la matrice d’inertie de la plaque au point O ;<br />

2. A l’aide de plaques identiques, on construit une boîte cubique vide de masse M. On<br />

désigne le centre de masse de cette boîte par le point O 2 , qui est aussi le centre du repère<br />

R( O2,<br />

x2,<br />

y2,<br />

z2<br />

)<br />

a) Donner les coordonnées des centres de masses de chaque face de la boîte par rapport au<br />

repère R O , x , y , ) ;<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

b) Déterminer la matrice d’inertie de la boîte dans le repère R O , x , y , ) ;<br />

c) Le repère R O , x , y , ) est-il un repère principal d’inertie ?<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

d) Calculer le moment d’inertie de la boîte par rapport un axe passant par O 2 et F.<br />

z<br />

a<br />

o<br />

dm = σ.dydz<br />

y<br />

A<br />

E<br />

z 2<br />

y 2<br />

O 2<br />

B<br />

F<br />

x<br />

a<br />

x 2<br />

D<br />

H<br />

C<br />

G<br />

166


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

La plaque est un solide plan de masse<br />

celle-ci alors : I = I + I<br />

xx<br />

yy<br />

zz<br />

m = σ a<br />

2<br />

dont l’axe Ox est l’axe perpendiculaire à<br />

Les axes Oy et Oz jouent le même rôle d’où :<br />

I = I<br />

yy<br />

zz<br />

Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie : I I = I = 0<br />

xy<br />

=<br />

xz yz<br />

On choisi un élément de masse<br />

dm = σdydz<br />

de coordonnées (0 , y , z) tel que :<br />

a a<br />

− ≤ y ≤ ;<br />

2 2<br />

a a<br />

− ≤ z ≤ On aura ainsi :<br />

2 2<br />

I<br />

I<br />

I<br />

a / 2 a / 2<br />

yy<br />

=<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−a<br />

/ 2 −a<br />

/ 2<br />

4<br />

= 2 2<br />

2<br />

2<br />

2 . a ma<br />

( x + z ) dm = z dm = z . dydz = dy.<br />

∫<br />

σ<br />

∫ ∫ ∫ σ σ ∫ z dz =<br />

12 12<br />

a / 2 a / 2<br />

zz<br />

=<br />

S<br />

S<br />

S<br />

−a<br />

/ 2 −a<br />

/ 2<br />

4<br />

= 2 2<br />

2<br />

2<br />

22 . a ma<br />

( x + y ) dm = y dm = y . dydz = y dy.<br />

∫<br />

σ<br />

∫ ∫ ∫ σ σ ∫ dz =<br />

12 12<br />

= I<br />

+ I<br />

= 2I<br />

xx yy zz yy<br />

=<br />

2<br />

ma<br />

6<br />

Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre O est :<br />

I O<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

6<br />

( S)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

12<br />

2.a. Coordonnées des centres d’inertie de chaque plaque formant la boite :<br />

La boite est composée de six plaques identiques symétriques deux à deux par rapport au<br />

repère O , x , y , ) , O est aussi le centre d’inertie de la boite.<br />

R( 2 2 2<br />

z2<br />

2<br />

Les centres d’inertie des plaques ont pour coordonnées :<br />

⎛ a ⎞<br />

⎞<br />

( ABCD ) : ⎜ , 0, 0⎟<br />

; ⎜<br />

⎛ a<br />

( EFGH ) : − , 0, 0 ⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎛ a ⎞<br />

⎛ a ⎞<br />

( AEFB ) : ⎜0,<br />

0, ⎟ ; ( DHGC ) : ⎜0,<br />

0, − ⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎛ a ⎞<br />

⎛ a ⎞<br />

( BFGH ) : ⎜0,<br />

, 0⎟<br />

; ( AEHD ) : ⎜0,<br />

− , 0⎟ ⎝ 2 ⎠<br />

⎝ 2 ⎠<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

167


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2.b. Matrice d’inertie de la boîte dans le repère R O , x , y , ) ;<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

Comme la boîte est cubique, alors tous les plans sont des plans de symétrie et tous les axes<br />

jouent le même rôle. Nous aurons une matrice diagonale dont les éléments sont tous égaux.<br />

On va procéder en cherchant les matrices d’inertie des plaques deux à deux.<br />

Les plaques (ABCD) et (EFGH) ont les mêmes matrices d’inertie en leur centre d’inertie :<br />

I<br />

G<br />

( ABCD)<br />

= I<br />

G<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

6<br />

( EFGH)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

12<br />

déduit leurs tenseurs d’inertie au point O 2<br />

.<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

, en utilisant le théorème de Huygens on<br />

I<br />

I<br />

O2<br />

O 2<br />

( ABCD)<br />

= I<br />

( ABCD)<br />

= I<br />

O2<br />

O2<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢ 6<br />

⎢<br />

( EFGH)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

6<br />

( EFGH)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

2<br />

ma<br />

12<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

on déduit facilement par rotation des axes :<br />

I<br />

O 2<br />

( BFGC)<br />

= I<br />

O2<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

( AEHD)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

6<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

⎛ a ⎞<br />

+ m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

0<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

2<br />

⎥<br />

⎛ a ⎞ ⎥<br />

+ m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎥<br />

⎦<br />

I<br />

O 2<br />

( AEFB)<br />

= I<br />

O2<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

( DHGC)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

6<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

168


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

I<br />

2<br />

( boite)<br />

= 2I<br />

O2<br />

( ABCD)<br />

+ 2I<br />

O2<br />

( BFGC)<br />

2I<br />

O2<br />

( AEFB)<br />

O<br />

+<br />

I O 2<br />

( boite)<br />

=<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

6<br />

2⎢<br />

0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

+<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

2⎢<br />

0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

6<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

+<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

2⎢<br />

0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

6<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

I O 2<br />

⎡5ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

3<br />

( boite)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

5ma<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

La masse de la boite est donnée par : M = 6m ⇒<br />

I O 2<br />

⎡5Ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

18<br />

( boite)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

5Ma<br />

18<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

Ma<br />

18<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

M<br />

m = la matrice s’écrirait :<br />

6<br />

2.c. Le repère R O , x , y , ) est-il un repère principal d’inertie ?<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

comme tous les plans de ce repère sont des plans de symétrie et que tous les axes ont le même<br />

rôle alors le repère R O , x , y , ) est un repère principal d’inertie. La matrice étant<br />

(<br />

2 2 2<br />

z2<br />

diagonale nous pouvons facilement le vérifier avec tous les axes.<br />

En effet nous avons :<br />

I<br />

→<br />

O<br />

=<br />

2<br />

( boite).<br />

x2<br />

I<br />

xx<br />

( boite)<br />

de même pour les deux autres axes.<br />

2.d. Moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe Δ passant par O 2 et F.<br />

⎛− a / 2⎞<br />

−−→ ⎜ ⎟<br />

→<br />

Nous avons : O2F⎜<br />

a / 2 ⎟ , soit u le vecteur unitaire porté par cet axe, il s’écrira :<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ a / 2 ⎠<br />

−−→<br />

→<br />

O2F<br />

1<br />

→ → →<br />

u = = ( − i + j+<br />

k)<br />

O F 3<br />

2<br />

169


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O 2 et F est donné par la<br />

relation :<br />

I<br />

→<br />

T<br />

Δ<br />

= u . I<br />

O2<br />

→<br />

( boite).<br />

u<br />

2<br />

⎡5Ma<br />

⎤⎡ 1 ⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥⎢<br />

− ⎥<br />

⎢<br />

18<br />

3<br />

2 ⎥⎢<br />

⎥<br />

⎛ 1 1 1 ⎞ 5Ma<br />

1 5Ma<br />

I , , ⎢ 0<br />

0 ⎥⎢<br />

⎥<br />

Δ = ⎜ −<br />

⎟<br />

=<br />

⎝ 3 3 3 ⎠⎢<br />

18 ⎥⎢<br />

3 ⎥ 18<br />

⎢<br />

2<br />

Ma ⎥⎢<br />

1 ⎥<br />

⎢ 0 0 ⎥⎢<br />

⎥<br />

⎣<br />

18 ⎦⎣<br />

3 ⎦<br />

2<br />

5Ma<br />

I<br />

Δ<br />

= L’axe O<br />

2<br />

est aussi un axe principal d’inertie.<br />

18<br />

F<br />

2<br />

Exercice 18 :<br />

Pour mesurer la vitesse du vent, on construit un anémomètre à l’aide de quatre demi sphères<br />

creuses (S 1 ) , (S 2 ) , (S 3 ) , (S 4 ) de même masse m et de rayon R, liées entre elles par des<br />

tiges de masses négligeables, comme représenté sur la figure. La distance des centres des<br />

demi sphères au point O est égale à b.<br />

Déterminer le tenseur d’inertie de l’ensemble par rapport au point O.<br />

y<br />

y<br />

R<br />

o<br />

b<br />

b<br />

x<br />

O 2<br />

G 2<br />

y<br />

b<br />

O 3 O<br />

G 1<br />

G 3<br />

O<br />

b 1<br />

R<br />

O 4 G3<br />

x<br />

Solution :<br />

(O 1 ) , (O 2 ) , (O 3 ) , (O 4 ) : sont les centres des demi sphères<br />

(G 1 ) , (G 2 ) , (G 3 ) , (G 4 ) : sont les centres d’inertie des demi sphères<br />

OO = OO2<br />

= OO3<br />

= OO4<br />

1<br />

=<br />

b<br />

Les centres d’inertie des demi sphères sont connus par rapport à leurs centres respectifs :<br />

R<br />

G1<br />

= O2G2<br />

= O3G3<br />

= O4G<br />

(déjà calculé dans l’exercice 01.)<br />

2<br />

O1 4<br />

=<br />

170


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Pour résoudre cet exercice nous calculerons les tenseurs d’inertie de chaque demi sphère en<br />

son centre O puis on le calculera en son centre d’inertie G par le théorème de Hugens. On<br />

passera ensuite de chaque centre d’inertie au point O en appliquant encore une fois le<br />

théorème de Huygens.<br />

i<br />

1. Moment d’inertie de la sphère (S 1 ) en O 1<br />

Nous avons : ( xO y) et ( zO y)<br />

1 1<br />

des plans de symétrie alors : I I = I 0<br />

Les axes x et z jouent le même rôle donc :<br />

O 1<br />

O 1<br />

i<br />

O1 xy<br />

=<br />

O<br />

=<br />

1xz<br />

O1<br />

yz<br />

I O xx<br />

= I<br />

1 O 1 zz<br />

Le moment d’inertie d’une demi sphère creuse a été déjà calcule dans les exercice précédents.<br />

2<br />

On choit un élément de surface : tel que dm = σds<br />

= σR<br />

dψ<br />

cosθdθ<br />

avec : 0 ≤ ψ ≤ 2π<br />

et<br />

π<br />

2 2 2 2<br />

0 ≤ θ ≤ . Nous avons aussi : x + y + z = R ;<br />

2<br />

Calculons :<br />

I<br />

O 1 xx<br />

On peut écrire :<br />

2 2<br />

2<br />

∫ ( y + z ) dm + ∫ ( x +<br />

2<br />

I<br />

O<br />

+ =<br />

)<br />

1 xx<br />

I<br />

O1<br />

zz<br />

y dm<br />

S<br />

1<br />

S<br />

1<br />

2I<br />

2 2 2<br />

2<br />

2<br />

∫ ( x + y + z ) dm + ∫ y dm = ∫ R dm + ∫<br />

2 2 2<br />

=<br />

sin . cos<br />

1xx<br />

R θ σR<br />

dψ<br />

θdθ<br />

O<br />

S<br />

1<br />

S<br />

1<br />

S<br />

1<br />

S<br />

1<br />

π / 2<br />

2π<br />

2<br />

2 4 2<br />

2 4 1<br />

2<br />

2 R<br />

2I O<br />

mR R sin . cd(sin<br />

) d mR R . .2 mR 2 R .<br />

1xx<br />

= + σ ∫ θ θ ∫ ψ = + σ π = + σ π =<br />

3<br />

3<br />

0<br />

0<br />

4mR<br />

3<br />

2<br />

2<br />

4mR<br />

2 2<br />

2I O 1xx<br />

= ⇒ I<br />

O xx<br />

= mR = I<br />

1<br />

O1<br />

zz<br />

3<br />

3<br />

Calcul de<br />

∫<br />

S1<br />

I<br />

O 1 yy<br />

∫<br />

S1<br />

∫<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

2<br />

2<br />

2 2 2<br />

I<br />

O<br />

= ( + ) = ( + + ) − = − sin . cos<br />

1yy<br />

x z dm x y z dm y dm R dm R θ σR<br />

dψ<br />

θdθ<br />

π / 2<br />

2π<br />

2<br />

2 4 2<br />

2 mR<br />

I<br />

O yy<br />

= mR −σ<br />

R ∫ sin θ.<br />

cd(sinθ<br />

) ∫ dψ<br />

= mR − =<br />

3<br />

0<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

1<br />

3<br />

S1<br />

∫<br />

S1<br />

∫<br />

S1<br />

2<br />

Le tenseur d’inertie de (S 1 ) en O 1 est :<br />

I O 1<br />

( S<br />

1<br />

⎡2<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

0<br />

2<br />

2<br />

3<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

mR<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

171


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On déduit le tenseur d’inertie au pointG<br />

1<br />

dans le repère ( O 1<br />

, x,<br />

y,<br />

z)<br />

par le théorème de<br />

R<br />

Huygens : les coordonnées de G<br />

1<br />

sont ( 0, , 0)<br />

dans ce repère.<br />

2<br />

2<br />

2<br />

I S ) I ( S m I S ) = I ( S − m<br />

= ( ) ⇒ ( )<br />

O<br />

(<br />

1 1)<br />

1 G<br />

+ d<br />

1<br />

1<br />

I G 1<br />

( S<br />

1<br />

⎡2<br />

⎢ mR<br />

⎢3<br />

) =<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢⎣<br />

2<br />

2<br />

⎛ R ⎞<br />

− m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

0<br />

0<br />

2<br />

3<br />

G<br />

(<br />

1 1)<br />

1 O<br />

d<br />

1<br />

1<br />

0<br />

mR<br />

0<br />

2<br />

− 0<br />

2<br />

3<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

0<br />

⎛ R<br />

− m⎜<br />

⎝ 2<br />

Le tenseur d’inertie au pointO<br />

dans le repère ( O , x,<br />

y,<br />

z)<br />

se déduit aussi par le théorème de<br />

R<br />

Huygens : les coordonnées de G<br />

1<br />

sont ( b , , 0)<br />

dans ce repère.<br />

2<br />

2<br />

I ( S ) = I ( S m D<br />

1<br />

O 1 G 1)<br />

+<br />

I O<br />

I O<br />

( S<br />

1<br />

( S<br />

1<br />

⎡<br />

⎢<br />

2<br />

mR<br />

⎢3<br />

⎢<br />

) = ⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

⎡ 2 2<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢ R<br />

) = ⎢−<br />

mb<br />

⎢ 2<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

( )<br />

1<br />

2<br />

⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞<br />

− m⎜<br />

⎟ + m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

R<br />

− mb<br />

2<br />

2<br />

3<br />

0<br />

R<br />

− mb<br />

2<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

+ mb<br />

2<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

R<br />

− mb<br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

mR − 0 + mb<br />

3<br />

2 2 ⎛ R<br />

0 mR − m⎜<br />

3 ⎝ 2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2 2 2<br />

mR + mb<br />

⎥<br />

3 ⎥<br />

⎦<br />

2<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0<br />

0<br />

⎛<br />

+ m⎜b<br />

⎝<br />

2<br />

⎛ R<br />

+ ⎜<br />

⎝ 2<br />

Le moment d’inertie de ( S 3<br />

) se déduit facilement à partir de celui de S ) . Les coordonnées<br />

R<br />

de G<br />

3<br />

sont ( − b,<br />

− , 0)<br />

dans le repère ( O , x,<br />

y,<br />

z)<br />

, nous avons donc : I<br />

O<br />

( S1)<br />

= I<br />

O<br />

( S3)<br />

2<br />

De la même manière pour les demi sphères ( S 2<br />

) et S ) , nous avons :<br />

( 4<br />

( 1<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

Le tenseur d’inertie de (S 2 ) en O 2 est :<br />

I O 2<br />

( S<br />

2<br />

⎡2<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

2<br />

3<br />

0<br />

mR<br />

0<br />

2<br />

2<br />

3<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

mR<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

172


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On déduit le tenseur d’inertie au pointG<br />

2<br />

dans le repère ( O , 2<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

par le théorème de<br />

R<br />

Huygens : les coordonnées de G<br />

2<br />

sont ( − 0, , 0) dans ce repère.<br />

2<br />

2<br />

2<br />

I S ) I ( S m I S ) = I ( S − m<br />

= ( ) ⇒ ( )<br />

O<br />

(<br />

2 2<br />

)<br />

2 G<br />

+ d<br />

2<br />

2<br />

I G<br />

2<br />

( S<br />

2<br />

⎡2<br />

⎢ mR<br />

⎢3<br />

⎢<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

− 0<br />

2<br />

3<br />

mR<br />

2<br />

0<br />

G<br />

(<br />

2 2<br />

)<br />

2 O<br />

d<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎛ R ⎞<br />

− m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

2<br />

0<br />

0<br />

⎛ R<br />

− m⎜<br />

⎝ 2<br />

Le tenseur d’inertie au pointO<br />

dans le repère ( O , x,<br />

y,<br />

z)<br />

se déduit aussi par le théorème de<br />

R<br />

Huygens : les coordonnées de G<br />

2<br />

sont ( − , b,<br />

0)<br />

dans ce repère.<br />

2<br />

2<br />

I ( S ) = I ( S + m D<br />

2<br />

O<br />

2 G 2<br />

)<br />

( )<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

I O<br />

( S<br />

2<br />

⎡<br />

⎢2<br />

2<br />

mR − 0 + mb<br />

⎢3<br />

⎢ R<br />

) = ⎢ mb<br />

⎢ 2<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎢⎣<br />

2<br />

0<br />

2<br />

R<br />

mb<br />

2<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

2<br />

⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞<br />

− m⎜<br />

⎟ + m⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

2<br />

2 ⎛ ⎞ ⎛<br />

2 R<br />

mR − m⎜<br />

⎟ + m⎜b<br />

3 ⎝ 2 ⎠<br />

⎝<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

0<br />

⎛ R<br />

+ ⎜<br />

⎝ 2<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

I O<br />

( S<br />

2<br />

⎡2<br />

2<br />

⎢<br />

mR + mb<br />

3<br />

⎢ R<br />

) = ⎢ mb<br />

⎢ 2<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

2<br />

R<br />

mb<br />

2<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2 2 2<br />

mR + mb<br />

⎥<br />

3 ⎥<br />

⎦<br />

Le moment d’inertie de ( S 4<br />

) se déduit facilement à partir de celui de S ) . Les coordonnées<br />

( 2<br />

de<br />

G<br />

3<br />

sont<br />

R<br />

( , − b , 0) dans le repère ( O , x,<br />

y,<br />

z)<br />

, nous avons donc :<br />

2<br />

I<br />

O<br />

( S<br />

2<br />

) = I<br />

O<br />

( S<br />

4<br />

)<br />

173


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le tenseur d’inertie du système au point O est donné par :<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

= 2I<br />

O<br />

( S1 ) + 2 I<br />

O<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

I O<br />

⎡ 2 2<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢ R<br />

( S)<br />

= 2⎢−<br />

mb<br />

⎢ 2<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎣<br />

R<br />

− mb<br />

2<br />

2 2<br />

mR + mb<br />

3<br />

0<br />

2<br />

⎤ ⎡2<br />

2<br />

0<br />

⎥ ⎢<br />

mR + mb<br />

3<br />

⎥ ⎢ R<br />

0 ⎥ + 2⎢<br />

mb<br />

⎥ ⎢ 2<br />

2 2 2<br />

mR + mb<br />

⎥ ⎢<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎢<br />

0<br />

3<br />

⎣<br />

2<br />

R<br />

mb<br />

2<br />

2<br />

mR<br />

3<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2 2 2<br />

mR + mb<br />

⎥<br />

3 ⎥<br />

⎦<br />

I O<br />

⎡8<br />

⎢<br />

mR<br />

3<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

2<br />

+ 2mb<br />

0<br />

0<br />

2<br />

8<br />

mR<br />

3<br />

2<br />

0<br />

+ 2mb<br />

0<br />

2<br />

8<br />

mR<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

0<br />

0<br />

+ 4mb<br />

2<br />

⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦<br />

Exercice 19 :<br />

Un solide homogène de densité ρ , de forme paraboloïde, est engendré par la rotation d’une<br />

surface parabolique autour de l’axe oz . L’équation de la parabole limitant cette surface est<br />

donnée par :<br />

z =<br />

h<br />

y 2<br />

R<br />

2<br />

1<br />

1. Montrer que la masse du solide est : M = ρπ<br />

2<br />

R h ;<br />

2<br />

2. Déterminer le tenseur d’inertie du solide au point O ;<br />

3. Calculer le moment d’inertie en G suivant l’axe Gx : I<br />

Gx<br />

z<br />

R<br />

z<br />

R<br />

x<br />

G<br />

o<br />

h<br />

y<br />

x<br />

G<br />

o<br />

y<br />

dz<br />

z<br />

h<br />

y<br />

y<br />

y<br />

x<br />

x<br />

174


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Masse du solide<br />

On considère un élément de volume :<br />

dv = s. dz = πy<br />

2<br />

dz<br />

La masse du solide est égale à :<br />

M<br />

h<br />

2<br />

2 2<br />

= 2 R R h 1<br />

ρ ∫ dv = ρ∫πy<br />

dz = ρπ ∫ zdz = ρπ . = ρπR<br />

h h 2 2<br />

S<br />

S<br />

0<br />

2<br />

h<br />

2. Tenseur d’inertie du solide au point O ;<br />

Le solide a un axe de révolution (Oz) donc les axes (Ox) et (Oy) jouent le même rôle, nous<br />

avons ainsi :<br />

I = I<br />

Oxx<br />

Oyy<br />

I<br />

Oxx<br />

=<br />

h<br />

2 2<br />

2 2<br />

∫ y + z ) dm = ∫ ( z + z ) ρ . πy<br />

dz = ∫ ( z +<br />

S<br />

2<br />

2<br />

R<br />

R 2 R<br />

( z ) ρ.<br />

π<br />

h<br />

h<br />

h<br />

0<br />

h<br />

0<br />

2<br />

zdz<br />

I<br />

Oxx<br />

h 4<br />

h 2<br />

4 3 2 4<br />

2 2<br />

⎡ R<br />

⎤<br />

2 R 3<br />

⎡ R h R h ⎤<br />

2<br />

⎡ R h<br />

= ρπ ⎢∫ z dz + ∫ z dz⎥<br />

= ρπ ⎢ + ⎥ = ρπR<br />

h⎢<br />

+<br />

2<br />

⎣ h h ⎦ ⎣ 3 h 4 ⎦ ⎣ 3 4<br />

0<br />

0<br />

h<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

2 2<br />

( 4R<br />

3 )<br />

2 2<br />

2 ⎡ R h ⎤ M<br />

I M<br />

3 4 6<br />

h<br />

Oxx<br />

= ⎢ + ⎥ = +<br />

⎣ ⎦<br />

I<br />

Ozz<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

( x<br />

2<br />

+ y<br />

2<br />

) dm =<br />

∫<br />

S<br />

( x<br />

2<br />

+ y<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

− z<br />

2<br />

) dm =<br />

∫<br />

S<br />

( x<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

) dm +<br />

∫<br />

S<br />

2<br />

y dm −<br />

∫<br />

S<br />

z<br />

2<br />

dm<br />

I<br />

Ozz<br />

= I<br />

Oyy<br />

+<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

2 2<br />

y ρπ y dz −<br />

S<br />

2 2<br />

z ρπy<br />

dz = I<br />

Oyy<br />

+ ρπ<br />

∫<br />

S<br />

R<br />

h<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2 R<br />

z dz − ρπ∫<br />

h<br />

S<br />

z<br />

3<br />

dz<br />

I<br />

I<br />

Ozz<br />

= I<br />

= I<br />

Oyy<br />

R<br />

+ ρπ<br />

h<br />

M<br />

+<br />

6<br />

4<br />

2<br />

3<br />

2<br />

h R<br />

. − ρπ<br />

3 h<br />

4<br />

h<br />

.<br />

4<br />

= I<br />

Oyy<br />

+ ρπR<br />

2<br />

⎡ R<br />

h⎢<br />

⎣ 3<br />

2<br />

h⎤<br />

− ⎥ = I<br />

4⎦<br />

2 2 M 2 2 M 2 2 4 2<br />

( 4R<br />

− 3h<br />

) = ( 4R<br />

+ 3h<br />

) + ( 4R<br />

− 3h<br />

) MR<br />

Ozz Oyy<br />

=<br />

6<br />

6<br />

3<br />

Oyy<br />

⎡ R<br />

+ 2M<br />

⎢<br />

⎣ 3<br />

2<br />

h⎤<br />

− ⎥<br />

4⎦<br />

Le tenseur d’inertie s’écrit :<br />

I O<br />

⎡M<br />

⎢ 6<br />

⎢<br />

( S)<br />

= ⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

2 2<br />

( 4R<br />

+ 3h<br />

)<br />

0<br />

0<br />

M<br />

6<br />

0<br />

2 2<br />

( 4R<br />

+ 3h<br />

)<br />

0<br />

4<br />

3<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

⎥<br />

2<br />

MR<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

175


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3. Calcul du moment d’inertie en G suivant l’axe Gx : I<br />

Gxx<br />

Nous utiliserons le théorème de Huygens pour passer du point O au point G.<br />

I<br />

( 2<br />

2<br />

= I M d ) ⇒ I = I − M ( d )<br />

Oxx Gxx<br />

+<br />

Gxx<br />

Déterminons d’abord les coordonnées du centre d’inertie G :<br />

Oxx<br />

L’axe (Oz) étant un axe de révolution alors le centre d’inertie se trouve sur cet axe d’où :<br />

1<br />

x G<br />

= y G<br />

= 0 et zG<br />

= ∫ zdm<br />

M<br />

S<br />

z<br />

G<br />

2<br />

2 3<br />

1<br />

2 ρπ R 2 ρπ R h<br />

= z y dz z dz .<br />

M<br />

∫ ρπ =<br />

=<br />

M h<br />

∫<br />

M h 3<br />

S<br />

h<br />

0<br />

2ρπ<br />

=<br />

2<br />

ρπR<br />

h<br />

2 3<br />

R h<br />

.<br />

h 3<br />

=<br />

2<br />

h<br />

3<br />

2<br />

z G<br />

=<br />

3 h<br />

I<br />

= I<br />

− M ( y<br />

+ z<br />

M<br />

) =<br />

+ 3h<br />

4<br />

− M h<br />

M ⎛<br />

= ⎜4R<br />

⎝<br />

2<br />

2 h<br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

on déduit : ( )<br />

6<br />

9 6 ⎜ 3 ⎟ Gxx Oxx<br />

G G<br />

⎠<br />

I Gxx<br />

M ⎛<br />

=<br />

⎜4R<br />

6 ⎝<br />

Exercice 20 :<br />

+<br />

2 h<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

3 ⎠<br />

4R<br />

On découpe une plaque carré de côté a et de masse m dans un disque plein et homogène de<br />

masse M et de rayon R, tel que représenté dans la figure<br />

1. Déterminer le tenseur d’inertie du disque par rapport au repère R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 ) ;<br />

2. Déterminer le tenseur d’inertie de la plaque dans le repère R ( O,<br />

x1,<br />

y , z 1)<br />

puis dans le<br />

repère R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 ) ;<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

3. En déduire le tenseur d’inertie du système dans le repère R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 ) .<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

y 0<br />

0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

1<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

+<br />

→<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

→<br />

o<br />

O<br />

→<br />

x<br />

0<br />

O →<br />

→<br />

a<br />

x 0 O<br />

x 1<br />

a<br />

176


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Tenseur d’inertie du disque plein dans le repère R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 )<br />

Déjà calculé à l’exercice 11.3<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

I O<br />

( disque)<br />

R<br />

0<br />

⎡MR<br />

⎢<br />

⎢<br />

4<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

MR<br />

4<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

MR<br />

2<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ R<br />

0<br />

=<br />

MR<br />

4<br />

2<br />

⎡1<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

2⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

0<br />

2. Tenseur d’inertie de la plaque dans le repère R ( O,<br />

x1,<br />

y , z 1)<br />

1<br />

→<br />

→<br />

1<br />

→<br />

Les plan (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont nuls.<br />

Les axes Ox et Oy jouent le même rôle : I ( plaque)<br />

I ( plaque)<br />

xx<br />

=<br />

Solide plan : z = 0 ⇒ I ( plaque)<br />

= I ( plaque)<br />

+ I ( plaque)<br />

2I<br />

( plaque)<br />

I<br />

zz xx<br />

yy<br />

=<br />

a / 2<br />

a / 2<br />

4<br />

2<br />

= 2 2<br />

2 a 2 a ma<br />

∫ y dm = ∫ y σ dxdy = σ ∫dx<br />

∫ y dy = σ = σa<br />

12 12 12<br />

xx<br />

=<br />

S<br />

S<br />

−a<br />

/ 2 −a<br />

/ 2<br />

yy<br />

2<br />

xx<br />

I<br />

yy<br />

= I xx<br />

et<br />

2<br />

ma<br />

I zz<br />

=<br />

6<br />

I O<br />

( plaque)<br />

R<br />

1<br />

⎡ma<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢ 0<br />

⎣<br />

2<br />

0<br />

ma<br />

12<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

ma<br />

6<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ R<br />

1<br />

=<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎡1<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

2⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

1<br />

On détermine le tenseur d’inertie de la plaque dans le repère<br />

R1<br />

0<br />

matrice de passage du repère vers le repère R .<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 )<br />

en utilisant la<br />

177


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→ →<br />

Nous avons : x<br />

1<br />

= cos 45°<br />

x0<br />

+ sin 45°<br />

y0<br />

= ( x0<br />

+ y0<br />

)<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→ →<br />

y<br />

1<br />

= −sin 45°<br />

x0<br />

+ cos 45°<br />

y0<br />

= ( − x0<br />

+ y0<br />

)<br />

2<br />

→ →<br />

z 1 = z 0<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

Sous forme matricielle nous aurons : ⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟ =<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎛ 1<br />

2 ⎜<br />

⎜−1<br />

2 ⎜<br />

⎝ 0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

⎛<br />

0 ⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0 ⎟⎜<br />

y<br />

2 ⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

R1<br />

0<br />

La matrice de passage du repère vers le repère R est donnée par :<br />

⎛ 1 1 0 ⎞<br />

2 ⎜ ⎟<br />

P<br />

R1→<br />

R0<br />

= ⎜−1<br />

1 0 ⎟ et<br />

2 ⎜ ⎟<br />

⎝ 0 0 2 ⎠<br />

P<br />

T<br />

R1→<br />

R0<br />

=<br />

⎛1<br />

2 ⎜<br />

⎜1<br />

2 ⎜<br />

⎝0<br />

−1<br />

1<br />

0<br />

0 ⎞<br />

⎟<br />

0 ⎟<br />

2 ⎟<br />

⎠<br />

Le tenseur d’inertie de la plaque dans le repère R 1<br />

est calculé par :<br />

I<br />

T<br />

( plaque)<br />

R<br />

= PR<br />

1→R<br />

0<br />

. IO(<br />

plaque)<br />

R<br />

. PR<br />

1→<br />

O R0<br />

0<br />

1<br />

I O<br />

( plaque)<br />

R<br />

0<br />

=<br />

⎛1<br />

2 ⎜<br />

⎜1<br />

2 ⎜<br />

⎝0<br />

−1<br />

1<br />

0<br />

0 ⎞<br />

⎟ ma<br />

0 ⎟.<br />

⎟ 12<br />

2 ⎠<br />

2<br />

⎡1<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

.<br />

2⎥⎦<br />

R<br />

1<br />

⎛ 1<br />

2 ⎜<br />

⎜−1<br />

2 ⎜<br />

⎝ 0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0 ⎞<br />

⎟<br />

0 ⎟<br />

2 ⎟<br />

⎠<br />

I O<br />

( plaque)<br />

R<br />

0<br />

ma<br />

=<br />

24<br />

ma<br />

=<br />

12<br />

2<br />

2<br />

⎛1<br />

⎜<br />

⎜1<br />

⎜<br />

⎝0<br />

⎛1<br />

⎜<br />

⎜0<br />

⎜<br />

⎝0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

−1<br />

0 ⎞⎛<br />

1<br />

⎟⎜<br />

1 0 ⎟⎜<br />

−1<br />

0 2 ⎟⎜<br />

⎠⎝<br />

0<br />

0⎞<br />

0<br />

2⎟ ⎟⎟ ⎠R<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0 ⎞<br />

⎟<br />

0 ⎟ =<br />

2 2 ⎟<br />

⎠<br />

ma<br />

24<br />

2<br />

⎛2<br />

⎜<br />

⎜0<br />

⎜<br />

⎝0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0⎞<br />

⎟<br />

0⎟<br />

4⎟<br />

⎠R<br />

0<br />

le résultat reste inchangé dans les deux repères.<br />

178


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3. Tenseur d’inertie du système dans le repère R ( O,<br />

x 0 , y , z 0 ) .<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

I<br />

O<br />

( Système)<br />

= I ( disque)<br />

− I ( plaque)<br />

O<br />

O<br />

I O<br />

( Système)<br />

=<br />

MR<br />

4<br />

2<br />

⎡1<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

2⎥⎦<br />

R<br />

0<br />

−<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎛1<br />

⎜<br />

⎜0<br />

⎜<br />

⎝0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎞<br />

⎟<br />

0⎟<br />

2⎟<br />

⎠R<br />

0<br />

⎛ MR<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ 4<br />

2<br />

−<br />

ma<br />

12<br />

2<br />

⎡1<br />

⎞⎢<br />

⎟<br />

⎢<br />

0<br />

⎠<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

2⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

0<br />

or nous avons :<br />

2 2 2 2<br />

= R + R 2R ⇒ R 2<br />

a =<br />

tenseur, nous obtenons :<br />

a = en le remplaçant dans l’expression du<br />

I O<br />

⎛ MR<br />

( Système)<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ 4<br />

2<br />

−<br />

2mR<br />

12<br />

2<br />

⎡1<br />

⎞⎢<br />

⎟<br />

⎢<br />

0<br />

⎠<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

2⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

0<br />

I O<br />

( Système)<br />

=<br />

1<br />

12<br />

( 3M<br />

− 2 )<br />

m R<br />

2<br />

⎡1<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

2⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

0<br />

179


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE V<br />

CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL<br />

179


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL<br />

1. Définition<br />

La cinématique est l’étude des mouvements dans l’espace et le temps indépendamment des<br />

causes qui les a produit et des phénomènes qui les influencent. La position du point matériel P<br />

est déterminée dans l’espace à chaque instant du mouvement.<br />

Par rapport à la statique où à la géométrie des masses, traités dans les chapitres précédents, la<br />

cinématique introduit un nouveau paramètre qui est le temps. Ce paramètre sert à fixer et à<br />

repérer toutes les positions occupées par le point matériel, parmi toutes les positions qu’il a<br />

occupé auparavant.<br />

La notion de temps permet de rendre compte de la simultanéité de deux événements, de<br />

l’ordre de leurs successions et de la durée de l’intervalle qui les sépare. Ceci nous amène à<br />

travailler dans un repère où un observateur lié à ce repère, peut étudier le mouvement dans<br />

l’espace et le temps.<br />

2. Hypothèses fondamentales<br />

Pour étudier le mouvement d’un point matériel P où plus généralement d’un système de<br />

particules où de solides un observateur doit repérer leur position :<br />

- dans l’espace ;<br />

- dans le temps.<br />

En cinématique classique, on suppose que :<br />

- l’espace est Euclidien ( à trois dimensions) ;<br />

- le temps est absolu (indépendant de l’observateur)<br />

3. Les référentiels<br />

Afin d’étudier complètement le mouvement cinématique, l’observateur doit définir :<br />

- un repère d’espace, lié à l’observateur, avec une origine O et une base orthonormée<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

( i , j,<br />

k)<br />

, le trièdre ( O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

ainsi constitué défini complètement le repère d’espace ;<br />

- un repère de temps (échelle de temps) par une origine et une unité de mesure. Dans le<br />

système MKSA la seconde est l’unité de mesure du temps.<br />

180


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le repère d’espace et le repère de temps définissent à eux deux le repère <br />

noté (R).<br />

Dans ce repère, à un instant donné par l’horloge,<br />

la position d’un point P(t) est définie par ses<br />

→<br />

z<br />

coordonnées , x(t) ; y(t) ; z(t) tel que :<br />

−−→ → → →<br />

o<br />

→<br />

OP = x(<br />

t)<br />

i + y(<br />

t)<br />

j+<br />

z(<br />

t)<br />

k<br />

y<br />

La position du point P est connue de façon<br />

→<br />

x<br />

instantanée dans l’espace et dans le temps.<br />

P(t) P(t+Δt)<br />

3.1. Trajectoires et vecteurs vitesses<br />

Soit P un point matériel repéré dans un référentiel<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k )<br />

fixe. Sa position est donnée<br />

à chaque instant par le vecteur :<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

r ( t)<br />

= OP(<br />

t)<br />

= x(<br />

t)<br />

i + y(<br />

t)<br />

j+<br />

z(<br />

t)<br />

k . On dit que le vecteur<br />

→<br />

→<br />

r (t)<br />

⎧x(<br />

t)<br />

→<br />

⎪<br />

a pour composante dans le repère fixe : r ( t)<br />

= ⎨y(<br />

t)<br />

à l’instant t .<br />

⎪<br />

⎩z(<br />

t)<br />

Le déplacement du point P dans l’espace est donné par les équations paramétriques des<br />

coordonnées (x, y, z) en fonction du temps. En éliminant le paramètre temps entre elles, on<br />

obtient la trajectoire décrite par ce point dans l’espace.<br />

x<br />

x+Δx<br />

z+Δz<br />

z<br />

P(t+Δt)<br />

o<br />

P(t)<br />

y+Δy<br />

y<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

→<br />

y<br />

→<br />

−−→<br />

r ( t)<br />

= OP(<br />

t)<br />

: position du point P dans R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

à l’instant t .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

r ( t + Δt)<br />

= OP(<br />

t + Δt)<br />

: position du point P dans R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

à l’instant t + Δt<br />

.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

181


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

Le vecteur déplacement de la position r (t) à r ( t + Δt)<br />

est donnée par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Δ r ( t)<br />

= r ( t + Δt)<br />

− r ( t)<br />

. Les positions occupées par le point P dans l’espace, décrivent une<br />

→ → →<br />

trajectoire (Γ)<br />

par rapport au référentiel R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k ) choisi.<br />

2<br />

⎧ x(<br />

t)<br />

= 2t<br />

+ 3<br />

→<br />

⎪<br />

Exemple : r ( t)<br />

= ⎨y(<br />

t)<br />

= t / 2 , en éliminant t on obtient : x = 8y<br />

2 + 3<br />

⎪<br />

⎩<br />

z(<br />

t)<br />

= 0<br />

C’est l’équation d’une parabole dans le plan (xoy). Le mouvement se fait selon une trajectoire<br />

parabolique.<br />

La trajectoire à elle seule n’est pas suffisante pour caractériser complètement le mouvement<br />

du point P. Il est nécessaire de préciser et d’étudier les variations du vecteur déplacement<br />

car ceci nous amènera à connaître le vecteur vitesse du point par la première dérivée et le<br />

vecteur accélération par la seconde dérivée par rapport au temps. Ces deux vecteurs<br />

permettent de caractériser totalement le mouvement du point P sur la trajectoire.<br />

3.2. Vecteur vitesse<br />

Le point matériel se déplace de la position P(t) à la position P(t+Δt) pendant la durée de<br />

temps Δt à la vitesse moyenne :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V → )<br />

moy<br />

r ( t + Δt)<br />

− r ( t)<br />

Δ r ( t<br />

( t)<br />

=<br />

= ;<br />

Δt<br />

Δt<br />

Le vecteur vitesse instantanée est obtenu lorsque : Δt → 0 , elle est définie par :<br />

→<br />

→ →<br />

)<br />

V ( t)<br />

= lim<br />

Δt→0<br />

V<br />

moy<br />

( t)<br />

= lim<br />

Δt→0<br />

3.3. Vecteur accélération<br />

Δ r ( t<br />

Δt<br />

, on a ainsi la vitesse instantanée: V ( t)<br />

=<br />

→<br />

→<br />

d r ( t)<br />

dt<br />

La dérivée du vecteur vitesse dans le même repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

donne l’accélération<br />

instantanée du point P :<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

d V ( t)<br />

d t ( t)<br />

γ ( t)<br />

= =<br />

2<br />

dt dt<br />

Les deux vecteurs cinématiques permettent de comprendre la nature du mouvement et de<br />

prévoir les différentes phases selon le que le vecteur vitesse est de même sens ou de sens<br />

contraire au vecteur accélération.<br />

182


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A.KADI<br />

4. Les systèmes de coordonnées<br />

Le point matériel P peut être repéré dans l’espace dans un repère fixe (R) de centre O par<br />

trois types de coordonnées différentes mais liées entre elles :<br />

- Cartésiennes : (x, y, z) vecteurs unitaires du repère ( i , j,<br />

k)<br />

- Cylindriques : ( r,θ , z)<br />

vecteurs unitaires du repère ( , u , k)<br />

- Sphériques : ( r , θ , ϕ)<br />

vecteurs unitaires du repère ( e , e θ<br />

, e r ϕ<br />

)<br />

Ces trois types de coordonnées permettent de décrire tous les types de mouvements du point P<br />

dans l’espace.<br />

4.1. Les coordonnées cartésiennes<br />

Elles sont aussi appelées coordonnées rectangulaires.<br />

→<br />

→<br />

u r<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

θ<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Si le point P est repéré dans<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

par les coordonnées cartésiennes (x, y, z) qui<br />

dépendent du temps, alors le vecteur position OP s’écrirait : OP = x i + y j+<br />

z k ; on déduit<br />

le vecteur vitesse et le vecteur accélération par la première et la seconde dérivée :<br />

−→<br />

→<br />

d OP(<br />

t)<br />

dx<br />

→<br />

dy<br />

→<br />

dz<br />

→<br />

→ • → • → • →<br />

V ( t)<br />

= = i + j+<br />

k ; notée sous forme : V ( t) = x i + y j+<br />

z k<br />

dt dt dt dt<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

avec :<br />

→<br />

•<br />

2<br />

•<br />

2<br />

V ( t)<br />

= x + y + z<br />

•<br />

2<br />

→<br />

→<br />

2 → 2 → 2<br />

t d V ( t)<br />

d x d y d<br />

( ) = i + j+<br />

2<br />

2<br />

2<br />

z<br />

→<br />

→ •• → •• → •• →<br />

γ = k ; notée sous forme : γ (t) = x i + y j+<br />

z k<br />

dt dt dt dt<br />

avec :<br />

→<br />

••<br />

2<br />

••<br />

2<br />

••<br />

2<br />

γ ( t)<br />

= x + y + z<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OP = x i + y j+<br />

z k ;<br />

⎧x<br />

−−→<br />

⎪<br />

OP = ⎨y<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

z<br />

→<br />

z<br />

P(t)<br />

2 2<br />

OP = x + y +<br />

z<br />

2<br />

x<br />

o<br />

y<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

183


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4.2. Les coordonnées cylindriques ( r,<br />

θ , z)<br />

Si le point P est repéré par les coordonnées cylindriques : ( r, θ , z)<br />

qui dépendent du temps<br />

→ → →<br />

R<br />

r θ<br />

dans un repère ( O,<br />

u , u , k ) , le vecteur position s’écrirait :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

OP = r u + z k<br />

r<br />

−→<br />

→<br />

d OP<br />

• →<br />

d u<br />

• →<br />

r<br />

V = = r ur<br />

+ r + z k<br />

dt<br />

dt<br />

avec<br />

→<br />

d u<br />

dt<br />

→ • → • →<br />

V r ur + rθ<br />

uθ<br />

V<br />

r<br />

→<br />

→<br />

d u<br />

• →<br />

r dθ<br />

= . = θ uθ<br />

, on obtient ainsi :<br />

dθ<br />

dt<br />

• →<br />

= + z k<br />

•<br />

•<br />

•<br />

r<br />

= r , Vθ<br />

= r θ , Vz<br />

= z<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

o<br />

r<br />

θ<br />

P(t)<br />

z<br />

→<br />

u<br />

θ<br />

→<br />

u<br />

r<br />

→<br />

y<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Dans le repère R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

le vecteur OP s’écrit :<br />

L’accélération est déterminée par :<br />

−→<br />

⎧r<br />

cosθ<br />

−→<br />

⎪<br />

OP = ⎨r<br />

sinθ<br />

⎪<br />

⎩z<br />

−→<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

→ 2<br />

d OP d V d(<br />

r u d r u<br />

•• →<br />

r<br />

) ( θ<br />

θ<br />

)<br />

γ = = = + + z k<br />

2<br />

dt dt dt dt<br />

→<br />

→<br />

→ •• → •<br />

d u<br />

• • → •• → •<br />

•• →<br />

r<br />

d uθ<br />

γ = r ur<br />

+ r + rθ<br />

uθ<br />

+ rθ<br />

uθ<br />

+ rθ<br />

+ z k<br />

dt<br />

dt<br />

or nous avons :<br />

→<br />

d u<br />

dt<br />

r<br />

→<br />

d u<br />

• →<br />

r dθ<br />

= . = θ uθ<br />

;<br />

dθ<br />

dt<br />

L’expression de l’accélération devient :<br />

→<br />

d u<br />

dt<br />

θ<br />

→<br />

d u<br />

• →<br />

θ dθ<br />

= . = −θ<br />

ur<br />

dθ<br />

dt<br />

→<br />

•• • → •• • • →<br />

2<br />

r−<br />

rθ<br />

) ur + ( rθ<br />

+ 2rθ<br />

uθ<br />

•• →<br />

γ = (<br />

) + z k<br />

d’où :<br />

••<br />

•<br />

2 2<br />

• •<br />

2<br />

••<br />

2<br />

γ = ( r−<br />

rθ<br />

) + ( rθ<br />

+ 2rθ<br />

) + z<br />

••<br />

•• •<br />

•• • •<br />

••<br />

2<br />

γ<br />

r<br />

= ( r−<br />

rθ<br />

) ; γ<br />

θ<br />

= ( rθ<br />

+ 2rθ<br />

) ; γ<br />

z<br />

= z<br />

4.3. Les coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ)<br />

⎧r<br />

cosϕ<br />

cosθ<br />

→ → →<br />

−→<br />

−→<br />

⎪<br />

Dans le repère R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

le vecteur OP a pour composantes : OP = ⎨r<br />

cosϕ<br />

sinθ<br />

⎪<br />

⎩r<br />

sinϕ<br />

En coordonnées sphériques il s’écrit : OP<br />

−→<br />

→ →<br />

= OP.er<br />

= r er<br />

184


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A.KADI<br />

→<br />

e<br />

ϕ<br />

→<br />

z<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

u<br />

→<br />

z<br />

o<br />

→<br />

e ϕ<br />

r<br />

ϕ<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

e θ<br />

→<br />

y<br />

avec :<br />

→<br />

x<br />

θ<br />

→<br />

e θ<br />

→<br />

u<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

→<br />

= cos ϕ u+<br />

sinϕ<br />

k ; e<br />

→<br />

ϕ<br />

→<br />

→<br />

= −sinϕ<br />

u+<br />

cosϕ<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

u = ϕ er − sinϕ<br />

eϕ<br />

cos ;<br />

→<br />

→<br />

= e θ<br />

d u<br />

dθ<br />

;<br />

→<br />

d e<br />

→<br />

θ<br />

= − u<br />

dθ<br />

;<br />

→<br />

e<br />

→<br />

= e ϕ<br />

→<br />

d r<br />

d e →<br />

ϕ<br />

; = −er<br />

dϕ<br />

dϕ<br />

alors :<br />

→<br />

d e r<br />

dt<br />

→<br />

• →<br />

d u<br />

• → • → • → • →<br />

= − ϕ sin ϕ u+<br />

cos ϕ + ϕ cos ϕ k = θ cos ϕ eθ − ϕ sin ϕ u+<br />

ϕ cos ϕ k<br />

dt<br />

→<br />

d e r<br />

dt<br />

• → •<br />

→<br />

→ • → • →<br />

= θ ϕ eθ<br />

+ ϕ ( − sin ϕ u+<br />

cos ϕ k ) = θ cos ϕ eθ<br />

+ ϕ eϕ<br />

cos ; on déduit la vitesse du point P :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d OP d(<br />

r e<br />

• →<br />

• → • → • →<br />

r<br />

) d er<br />

V = = = r er<br />

+ r = r er<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

+ rϕ<br />

eϕ<br />

dt<br />

dt<br />

dt<br />

→<br />

; ⇒ V<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨V<br />

⎪<br />

⎪V<br />

⎩<br />

•<br />

V r<br />

= r<br />

•<br />

θ<br />

= rθ<br />

cosϕ<br />

•<br />

ϕ<br />

= rϕ<br />

l’accélération se déduit facilement en dérivant l’expression de la vitesse par rapport au temps :<br />

→<br />

γ =<br />

−→ • →<br />

• →<br />

• →<br />

d V d(<br />

r e d r e d(<br />

r e )<br />

r<br />

) ( θ cosϕ<br />

) ϕ<br />

θ<br />

ϕ<br />

= +<br />

+<br />

dt dt dt<br />

dt<br />

(1) :<br />

• →<br />

d(<br />

r er<br />

)<br />

dt<br />

•• → • • → • → •• → • • → • • →<br />

= r er<br />

+ r(<br />

θ cosϕ<br />

eθ<br />

+ ϕ eϕ<br />

) = r er<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

+ rϕ<br />

eϕ<br />

(2) :<br />

• →<br />

d(<br />

rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

dt<br />

)<br />

• • → •• → • • → •<br />

d eθ<br />

= rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

− rθ ϕ sinϕ<br />

eθ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

dt<br />

→<br />

d e<br />

dt<br />

→<br />

θ<br />

→<br />

d e<br />

• → • →<br />

→<br />

θ dθ<br />

= . = −θ<br />

u = −θ<br />

(cosϕ<br />

er<br />

− sinϕ<br />

eϕ<br />

)<br />

dθ<br />

dt<br />

• →<br />

•<br />

d( rθ<br />

cosϕ<br />

e )<br />

• • → •• → • • →<br />

→<br />

→<br />

θ<br />

2<br />

= rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

eθ<br />

− rθ ϕ sinϕ<br />

eθ<br />

− rθ<br />

cosϕ(cosϕ<br />

er<br />

− sinϕ<br />

eϕ<br />

)<br />

dt<br />

185


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d<br />

• →<br />

•<br />

→ • •<br />

••<br />

• • → •<br />

( rθ<br />

cosϕ<br />

e<br />

→<br />

θ<br />

)<br />

2 2<br />

2<br />

= −rθ<br />

cos ϕ er<br />

+ ( rθ<br />

cosϕ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

− rθ ϕ sinϕ)<br />

eθ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

sinϕ<br />

eϕ<br />

dt<br />

• →<br />

d(<br />

rϕ<br />

eϕ<br />

)<br />

(3) :<br />

dt<br />

• • →<br />

= rϕ<br />

e<br />

ϕ<br />

•• →<br />

+ rϕ<br />

e<br />

ϕ<br />

→<br />

• d e<br />

+ rϕ<br />

dt<br />

ϕ<br />

• • →<br />

= rϕ<br />

e<br />

ϕ<br />

→<br />

•• → • d eϕ<br />

dϕ<br />

+ rϕ<br />

eϕ<br />

+ rϕ<br />

.<br />

dϕ<br />

dt<br />

comme<br />

d e<br />

→<br />

• →<br />

ϕ<br />

= −ϕ<br />

er<br />

dt<br />

alors<br />

En sommant les trois termes, on aboutit à :<br />

•• • •<br />

2 2 2<br />

γ<br />

r<br />

= r − rϕ<br />

− rθ<br />

cos ϕ<br />

γ θ<br />

γ ϕ<br />

• →<br />

d(<br />

rϕ<br />

e • • → •• → • →<br />

ϕ<br />

)<br />

2<br />

= rϕ<br />

eϕ<br />

+ rϕ<br />

eϕ<br />

− rϕ<br />

er<br />

• •<br />

• •<br />

••<br />

• •<br />

cosϕ<br />

d<br />

• • •<br />

2<br />

= r θ cosϕ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

+ rθ<br />

cosϕ<br />

− rθ ϕ sinϕ<br />

= . ( r θ ) − rθ ϕ sinϕ<br />

r dt<br />

• • •<br />

• • ••<br />

•<br />

2<br />

1 d<br />

•<br />

2<br />

2<br />

= r ϕ+<br />

rθ<br />

cosϕ<br />

sinϕ<br />

+ rϕ+<br />

rϕ<br />

= . ( r ϕ)<br />

+ rθ<br />

sinϕ<br />

cosϕ<br />

r dt<br />

dt<br />

5. Les mouvements curvilignes<br />

Soit P un point matériel décrivant une trajectoire curviligne le long d’une courbe<br />

(Γ) . Les<br />

→<br />

n<br />

→<br />

τ<br />

composantes normale et tangentielle à la courbe au point P sont naturellement les plus<br />

usitées pour décrire les mouvements curvilignes. Les composantes sont en mouvement avec le<br />

point matériel, le long de la trajectoire. Le sens positif de la normale est choisi dans toutes les<br />

positions vers le centre de la courbure. Ainsi le sens de la normale change en fonction de la<br />

courbure de la trajectoire.<br />

La vitesse et l’accélération du point matériel P, sont déterminées à partir de ces composantes<br />

et de leur changement de direction. Considérons un élément de cette courbe et étudions le<br />

mouvement du point matériel sur cette trajectoire.<br />

5.1. Abscisse curviligne<br />

Pendant une petite variation de temps dt , le point matériel est passé de la position P vers P’<br />

parcourant une distance ds (longueur d’arc) le long de la courbe avec un rayon de courbure<br />

ρ .<br />

Les points P et P’ sont infiniment voisins de telle sorte que la longueur de l’arc<br />

∩<br />

PP '<br />

compris, entre les deux points soit confondue avec la longueur ds = PP’ .<br />

186


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La courbe est alors orientée dans le sens positif des s croissant. La variable s est appelée<br />

abscisse curviligne du point P .<br />

y<br />

o<br />

C<br />

→<br />

n<br />

d θ<br />

P<br />

ρ<br />

P’<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V '<br />

→<br />

τ '<br />

→<br />

τ<br />

x<br />

P<br />

→<br />

n<br />

→<br />

n<br />

→<br />

τ<br />

→<br />

n<br />

→<br />

τ<br />

5.2. Tangente, Normale et Rayon de courbure<br />

A partir de la définition de l’abscisse curviligne nous pouvons écrire:<br />

ds = ρdθ<br />

−→<br />

Le vecteur déplacement OP est une fonction paramétrique de la variable angulaire θ .<br />

→<br />

Le vecteur unitaire τ tangent à la courbe est donné par la relation :<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

d OP d OP dt d OP 1 1 d OP<br />

τ = = . = . = et nous avons aussi V<br />

ds dt ds dt ds V dt<br />

dt<br />

−→<br />

=<br />

ds<br />

dt<br />

=<br />

−→<br />

d OP<br />

dt<br />

→<br />

2<br />

Nous avons aussi :<br />

2 d ( τ )<br />

→<br />

d ( τ )<br />

τ = 1 alors = 2τ<br />

•<br />

dθ<br />

dθ<br />

→<br />

→<br />

= 0<br />

, alors<br />

τ<br />

est perpendiculaire → τ<br />

dθ<br />

d →<br />

on pose<br />

→<br />

d τ<br />

→<br />

= n<br />

dθ<br />

; nous pouvons écrire :<br />

→<br />

→<br />

d τ d τ dθ<br />

1<br />

→<br />

= . = . n<br />

ds dθ<br />

ds ρ<br />

comme<br />

ds<br />

ρ<br />

dθ =<br />

→<br />

→<br />

d τ<br />

; alors = n .<br />

ds ρ<br />

→<br />

- le vecteur unitaire n de direction normale à la courbe ( Γ ) au point P est dirigé vers le<br />

centre de la courbure ;<br />

- ρ est un scalaire positif appelé rayon de courbure de la courbe (Γ)<br />

au point P.<br />

on déduit à partir du produit vectoriel du vecteur unitaire tangent à la courbe et du vecteur<br />

unitaire perpendiculaire à la courbe au même point P un troisième vecteur unitaire appelé<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

binormale : b = τ ∧ n . Ces trois vecteurs ( τ , n,<br />

b)<br />

forment une base orthonormée direct.<br />

→<br />

→<br />

187


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

Nous avons aussi : 2 →<br />

d n<br />

n = 1 ⇒ n • = 0 alors<br />

ds<br />

→<br />

d →<br />

n<br />

ds<br />

a des composantes dans le plan<br />

→<br />

perpendiculaire à n , il s’écrit alors :<br />

→<br />

d n<br />

ds<br />

→<br />

→<br />

= λ τ + μ b<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

=<br />

d<br />

ds<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

d τ<br />

→ →<br />

d n<br />

( τ ∧ n)<br />

= ∧ n + τ ∧<br />

ds ds<br />

=<br />

1<br />

→ → → → → → → →<br />

n∧<br />

n+<br />

τ ∧ ( λ τ + μ b)<br />

= τ ∧ μ b)<br />

= −μ<br />

n<br />

ρ<br />

d’où<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

= −μ n . on pose par convention<br />

1<br />

− μ = ; nous obtenons finalement :<br />

T<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

n<br />

1<br />

= : le scalaire est appelé torsion au point P de la courbe (Γ) il peut être<br />

T<br />

T<br />

positif ou négatif suivant que le vecteur<br />

contraire. Nous pouvons aussi écrire :<br />

d → b<br />

→<br />

a même sens que le vecteur n ou le sens<br />

ds<br />

→<br />

d n<br />

ds<br />

=<br />

d<br />

ds<br />

→<br />

→<br />

( b∧<br />

τ ) =<br />

→<br />

→<br />

d b<br />

→ →<br />

d τ 1<br />

→ → → →<br />

1<br />

∧ τ + b∧<br />

= n∧<br />

τ + b∧<br />

n = −<br />

ds ds T<br />

ρ<br />

→<br />

b<br />

−<br />

T<br />

→<br />

τ<br />

ρ<br />

on déduit finalement une relation entre les trois vecteurs de la base :<br />

→<br />

d n<br />

ds<br />

= −<br />

→<br />

b<br />

−<br />

T<br />

τ →<br />

ρ<br />

5.3. Repère de Frénet<br />

Les deux vecteurs unitaires ainsi définis, tangentiel τ et normal au point P constituent<br />

→<br />

→<br />

n<br />

→<br />

b<br />

)<br />

les premiers vecteurs de la base de Frénet. Le troisième vecteur unitaire de la base est<br />

obtenu par le produit vectoriel des deux premiers, il est appelé binormale à la courbe (Γ<br />

au<br />

point P est défini par : b = τ ∧ n .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

La base ainsi obtenue est appelée base de Frénet. Elle dépend de l’abscisse curviligne s lié au<br />

point P . Le repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

P,<br />

τ , n,<br />

b)<br />

lié au point P est appelé repère de Frénet.<br />

188


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.4. Vitesse et accélération du point P dans le repère de Frénet<br />

Pendant une petite variation de temps dt le point matériel est passé de P à P’ parcourant une<br />

distance ds le long de la courbe ayant un rayon de courbure ρ .<br />

Nous pouvons écrire :<br />

→<br />

ds = ρ dθ<br />

où d θ est la variation de l’angle compris entre le<br />

→<br />

vecteur unitaires τ et τ ' tangents à la courbe aux points P et P’ .<br />

• La vitesse du point P est donnée par :<br />

→<br />

→ • → →<br />

•<br />

dθ<br />

s’écrit : V = ρ τ = ρθ τ = V τ avec V = ρθ<br />

⇒<br />

dt<br />

• L’accélération du point P est donnée par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d V d τ dV<br />

→<br />

γ = = V + τ nous avons :<br />

dt dt dt<br />

on déduit :<br />

→ • →<br />

dV<br />

→<br />

γ = V θ n+<br />

τ ; comme<br />

dt<br />

ds dθ<br />

V = = ρ ; sous la forme vectorielle, elle<br />

dt dt<br />

→<br />

→<br />

•<br />

θ =<br />

d τ d τ dθ<br />

• →<br />

= . = θ n et<br />

dt dθ<br />

dt<br />

•<br />

θ =<br />

V<br />

ρ<br />

V<br />

ρ<br />

→<br />

d n<br />

dt<br />

→<br />

d n dθ<br />

• →<br />

= . = −θ<br />

τ<br />

dθ<br />

dt<br />

l’expression de l’accélération devient :<br />

→<br />

V 2 →<br />

• →<br />

γ = n+<br />

V τ<br />

ρ<br />

Cette expression peut aussi s’écrire en fonction de s et de t car<br />

V<br />

=<br />

ds<br />

dt<br />

→<br />

→ 2<br />

1<br />

→<br />

⎛ ds ⎞ ⎛ d s ⎞<br />

γ = ⎜ ⎟ n +<br />

⎜<br />

⎟ τ<br />

2<br />

ρ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠<br />

→<br />

' τ<br />

d θ<br />

→<br />

τ<br />

→<br />

d τ<br />

→<br />

γ<br />

n →<br />

V '<br />

→<br />

d V n<br />

θ<br />

→<br />

d<br />

→ d V τ<br />

V<br />

→<br />

γ<br />

d<br />

→<br />

V<br />

γ<br />

→<br />

n<br />

6. Les mouvements particuliers<br />

6.1. Mouvement à trajectoire circulaire<br />

On dit que la trajectoire d’un point P est circulaire dans un repère orthonormé<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

fixe, si le point P se déplace le long du périmètre du cercle de rayon a constant et<br />

appartenant au même repère.<br />

On choisit un cercle dans le plan (Oxy) de telle sorte que son centre coïncide avec celui du<br />

repère. Le point P sur le cercle est repéré par deux coordonnées :<br />

189


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−→<br />

−→<br />

Le rayon a du cercle et l’angle θ = ( Ox,<br />

OP)<br />

que fait les vecteurs OP avec l’axe Ox .<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

Soit e<br />

r<br />

le vecteur défini par :<br />

−→<br />

→<br />

OP<br />

−→<br />

e<br />

r = , alors nous avons : OP OP . e<br />

OP<br />

→<br />

=<br />

r<br />

Le vecteur unitaire<br />

→<br />

e<br />

r<br />

change de direction avec l’angle θ : d’où<br />

→<br />

e<br />

→<br />

= e θ<br />

→<br />

d r<br />

d e<br />

→<br />

et<br />

θ<br />

= −er<br />

dθ<br />

dθ<br />

Le rayon de courbure est ici constant, la vitesse du point P est donnée par la dérivée du<br />

vecteur position :<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

d OP d e<br />

• →<br />

r<br />

d er<br />

dθ<br />

V ( P)<br />

= = a = a . = aθ<br />

eθ<br />

dt dt dθ<br />

dt<br />

L’accélération du point P se déduit par :<br />

→<br />

•<br />

d V ( P)<br />

→ ••<br />

2<br />

γ ( P)<br />

= −aθ<br />

er<br />

+ aθ<br />

e<br />

dt<br />

•<br />

θ = ω<br />

•• •<br />

→<br />

→<br />

→<br />

=<br />

θ<br />

: vitesse angulaire du point P ;<br />

θ = ω : accélération angulaire du point P .<br />

a<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

o<br />

−<br />

→<br />

e r<br />

• →<br />

a θ e θ<br />

• →<br />

aθ<br />

2 er<br />

θ<br />

→<br />

γ<br />

La vitesse du point P est tangente au<br />

P<br />

•• →<br />

aθ e r<br />

cercle et a pour valeur algébrique : V (P)<br />

→<br />

• →<br />

= aθ eθ<br />

L’accélération du point P a deux composantes : l’une tangentielle :<br />

γ<br />

t<br />

•• •<br />

= aθ<br />

= aω<br />

, l’autre<br />

2<br />

2<br />

normale : γ = −aθ<br />

= −aω<br />

. On remarque que le vecteur accélération normal est<br />

n<br />

• →<br />

γ n<br />

−→<br />

toujours de sens opposé au vecteur position OP : γ<br />

→<br />

n<br />

→<br />

−→<br />

2<br />

2<br />

= −aω<br />

e = −ω<br />

OP<br />

Connaissant la vitesse et l’accélération angulaire nous pouvons connaître la nature du<br />

mouvement :<br />

r<br />

Si<br />

Si<br />

• ••<br />

θ<br />

θ<br />

• ••<br />

θ<br />

θ<br />

> 0<br />

< 0<br />

le mouvement est accéléré<br />

le mouvement est retardé<br />

Si<br />

••<br />

•<br />

θ = 0 ⇒ θ = Cte<br />

le mouvement est uniforme, l’accélération tangentielle est nulle, mais<br />

l’accélération normale ne l’est pas.<br />

190


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6.2. Mouvement à trajectoire hélicoïdale<br />

Un point P est en mouvement sur une trajectoire hélicoïdale dans un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k )<br />

s’il<br />

décrit une hélice droite, dessinée sur un cylindre de rayon a .<br />

Les coordonnées cartésiennes du point P dans ce repère sont données par les équations<br />

paramétriques en fonction du temps t sous la forme suivante :<br />

⎧x(<br />

θ ) = a cosθ<br />

( t)<br />

−→<br />

⎪<br />

OP = ⎨ y(<br />

θ ) = asinθ<br />

( t)<br />

; a : rayon de l’hélice<br />

⎪<br />

⎩ z(<br />

θ ) = bθ<br />

( t)<br />

L’angle θ<br />

joue le même rôle que dans les coordonnées cylindriques ou polaires. Le<br />

paramètre b = Cte est appelé pas de l’hélice. On remarque que, lorsque l’angle θ augmente<br />

de 2 π les positions x et y ne changent pas mais suivant l’axe vertical z on fait un<br />

déplacement de :<br />

2π b<br />

x ( θ + 2π<br />

) = x(<br />

θ ) ; y ( θ + 2π<br />

) = y(<br />

θ )<br />

z( θ + 2π<br />

) = b(<br />

θ + 2π<br />

) = bθ<br />

+ 2π<br />

b = z(<br />

θ ) + 2π<br />

b<br />

Le vecteur position du point P dans le repère R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

est donné par :<br />

−→<br />

→ → → →<br />

r<br />

+ z k = a er<br />

+ bθ<br />

OP = a e<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Les vecteurs vitesse et accélération s’écriront :<br />

z<br />

• →<br />

bθ k<br />

V → (P)<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

V ( P)<br />

= aθ<br />

e + bθ<br />

k = V e + V k<br />

→<br />

θ<br />

• →<br />

2<br />

•• →<br />

θ<br />

→<br />

θ<br />

•• →<br />

γ ( P)<br />

= −aθ<br />

er + aθ<br />

e + bθ<br />

k<br />

θ<br />

z<br />

→<br />

a<br />

P<br />

• →<br />

a θ e θ<br />

On remarque que le rapport entre les composantes<br />

de la vitesse suivant les vecteurs unitaires<br />

est indépendant de l’angle θ .<br />

•<br />

V z bθ<br />

=<br />

• =<br />

Vθ<br />

aθ<br />

b<br />

a<br />

→<br />

e θ<br />

et<br />

→<br />

k<br />

x<br />

→<br />

k<br />

o<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

θ e<br />

→ r<br />

y<br />

191


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Cette expression traduit le fait que toute tangente en un point P de l’hélice fait un angle<br />

constant avec la verticale passant par le point P et parallèle au vecteur<br />

. Le mouvement<br />

hélicoïdal est uniforme si la vitesse angulaire de rotation est constante, donc indépendante du<br />

•<br />

paramètre temps ( θ = ω = Cte ) .<br />

Dans ce cas la vitesse et l’accélération auront pour expressions :<br />

→<br />

→<br />

ω e θ<br />

→<br />

2 2<br />

V ( P)<br />

= a + bω<br />

k avec V ( P)<br />

= ω ( a + b )<br />

→<br />

→<br />

2<br />

γ ( P)<br />

= −aω<br />

er<br />

, l’accélération est dirigée vers l’intérieure de la courbure.<br />

On a vu précédemment dans les mouvements curvilignes que l’accélération du point P<br />

→<br />

→ 2<br />

dV V<br />

→<br />

→<br />

s’écrivait sous la forme : γ ( P)<br />

= τ + n où les vecteurs unitaires τ<br />

dt ρ<br />

et<br />

→<br />

n sont les<br />

vecteurs, tangentiel et normal au point P de la courbe.<br />

→<br />

k<br />

En appliquant cette relation dans le cas du mouvement hélicoïdal uniforme où<br />

→ →<br />

τ = e θ<br />

et<br />

→ →<br />

n = − er<br />

, sont les vecteurs tangentiel et normal au point P de la courbe nous obtenons :<br />

→<br />

→ 2 →<br />

2 V<br />

γ ( P)<br />

= −aω<br />

er<br />

= n ⇒<br />

ρ<br />

→<br />

2<br />

− aω<br />

e<br />

r<br />

2<br />

V<br />

= − e<br />

ρ<br />

→<br />

r<br />

⇔<br />

2<br />

2 V<br />

a ω = en remplaçant la vitesse<br />

ρ<br />

par son expression on aboutit à :<br />

2 2 2<br />

2 ω ( a + b )<br />

aω<br />

= ⇒<br />

ρ<br />

ρ =<br />

( a<br />

2<br />

+ b<br />

a<br />

2<br />

2<br />

) b<br />

= a +<br />

a<br />

Comme la normale en P est toujours dirigée vers l’intérieur de la courbure, on peut<br />

déterminer facilement le centre C de la courbure en écrivant la relation suivante :<br />

−→ →<br />

PC −ρ<br />

e<br />

=<br />

r<br />

→ → →<br />

R<br />

r θ<br />

Nous pouvons aussi associer au point P le repère de Frénet ( P,<br />

− e , e , k ) .<br />

7. Mouvements à trajectoires planes<br />

7.1. Définition<br />

→<br />

Soit O le centre d’un repère cartésien R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

fixe, tel que k = i ∧ j et P un point<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

en mouvement sur une trajectoire<br />

(Γ)<br />

dans le plan (xoy) de ce repère.<br />

192


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En utilisant les coordonnées polaires ( r ,θ ) le vecteur position du point P s’écrira :<br />

−→<br />

→<br />

= r er<br />

OP avec r >0 avec : = cosθ i + sinθ<br />

j ⇒<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d e<br />

→<br />

→<br />

r<br />

e<br />

θ<br />

= = −sinθ<br />

i + cosθ<br />

j ; d’où<br />

dθ<br />

d e<br />

dθ<br />

→<br />

θ<br />

= −<br />

→ → →<br />

θ i − sinθ<br />

j = −er<br />

cos ainsi nous avons :<br />

→<br />

k = e<br />

→ →<br />

r<br />

∧ e θ<br />

La vitesse du point P en fonction de et est donnée par :<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

e θ<br />

−→<br />

→<br />

d OP dr<br />

→<br />

dr dθ<br />

• → • →<br />

V = = er<br />

+ r = r er<br />

+ rθ<br />

eθ<br />

dt<br />

L’accélération aura pour expression :<br />

→ −→<br />

→<br />

2<br />

•<br />

d V d OP<br />

•<br />

→ • • •• →<br />

2<br />

γ = = = ( r−<br />

rθ<br />

) er + (2rθ<br />

+ rθ<br />

) e<br />

2<br />

θ<br />

dt<br />

dt<br />

dt<br />

dθ<br />

dt<br />

Géométriquement, les positions des points P et P’ sont infiniment voisines sur la<br />

trajectoire.<br />

En passant de P à P’ le vecteur position balaie l’aire dS qui est la surface du triangle OPP’ :<br />

dS<br />

=<br />

1<br />

2<br />

−→<br />

−→<br />

OP∧<br />

d OP<br />

=<br />

1 1 2<br />

r.<br />

rdθ = . r dθ<br />

2 2<br />

La dérivée de cette expression par rapport au temps, notée :<br />

•<br />

S<br />

est appelée vitesse aréolaire.<br />

y<br />

P’<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

θ<br />

→<br />

j<br />

→<br />

e r<br />

P<br />

o<br />

θ<br />

x<br />

→<br />

i<br />

Elle représente l’aire balayée par unité de temps :<br />

•<br />

1<br />

•<br />

2 θ 1 2<br />

= = r = r θ<br />

S<br />

dS<br />

dt<br />

2<br />

d<br />

dt<br />

2<br />

193


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

7.2. Loi des aires<br />

Nous avons vu précédemment que le mouvement du point P étant dans un plan, sa vitesse<br />

s’écrivait :<br />

−→<br />

→<br />

d OP<br />

• → • →<br />

= = r e + rθ eθ<br />

V<br />

r<br />

; le produit vectoriel du vecteur déplacement par le<br />

dt<br />

vecteur vitesse conduit à la relation suivante :<br />

−→<br />

→ −→<br />

d OP<br />

→ • → • →<br />

→<br />

⎛ ⎞ 2 dθ<br />

2<br />

C = OP∧<br />

= r er<br />

∧ ⎜r er<br />

+ rθ e θ ⎟ = r k = r θ k<br />

dt ⎝ ⎠ dt<br />

la relation suivante :<br />

• →<br />

→ →<br />

•<br />

On pose : C = C k avec C = r<br />

2 θ , en comparant avec la vitesse aréolaire, on aboutit à<br />

•<br />

C<br />

S =<br />

2<br />

•<br />

dS 1<br />

• 2 C<br />

S = = r θ = ;<br />

dt 2 2<br />

; C : est appelée constante des aires.<br />

On remarque aussi que la dérivée de la constante des aires est reliée à l’accélération γ<br />

θ<br />

, car<br />

nous avons :<br />

•<br />

• • • •• • • ••<br />

2<br />

2<br />

C = d(<br />

r θ ) = 2r rθ<br />

+ r θ = r(2<br />

rθ<br />

+ rθ<br />

= rγ<br />

θ<br />

7.3. Mouvement à accélération centrale<br />

a) Définition<br />

On dit qu’un point P décrit un mouvement à accélération centrale dans le repère orthonormé<br />

⇒<br />

γ<br />

θ<br />

=<br />

C •<br />

r<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

si et seulement si, le vecteur position<br />

−→<br />

OP<br />

du point P est colinéaire avec son<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

vecteur accélération γ (P) . Dans ce cas nous pouvons écrire : γ ( P ) = λ OP avec<br />

λ ∈ IR .<br />

Le mouvement à accélération centrale est un mouvement à trajectoire plane, il résulte de la<br />

condition de la colinéarité que donne l'équation :<br />

−→<br />

−→ → →<br />

→<br />

2<br />

d OP<br />

OP∧ γ (P) = 0 avec γ ( P)<br />

=<br />

2<br />

dt<br />

En dérivant l’expression vectorielle<br />

−→<br />

−→<br />

d OP<br />

OP∧ et en tenant compte de la condition de<br />

dt<br />

colinéarité entre le vecteur position et le vecteur accélération, nous obtenons :<br />

194


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d<br />

dt<br />

−→ −→ −→<br />

−→<br />

⎛<br />

−→<br />

⎞<br />

−→ 2 →<br />

⎜ d OP ⎟ d OP d OP d OP<br />

⎜<br />

OP∧ ⎟<br />

= ∧ + OP∧<br />

= 0<br />

2<br />

dt dt dt dt<br />

⎝ ⎠<br />

−→<br />

−→<br />

d OP<br />

→<br />

ce qui signifie que : OP ∧ = C est une constante indépendante du temps et appelée<br />

dt<br />

constante des aires comme précédemment.<br />

−→<br />

−→<br />

d OP<br />

→ • →<br />

2<br />

OP∧<br />

= C = r θ k<br />

dt<br />

2<br />

= •<br />

•<br />

C<br />

C r θ ⇒ θ =<br />

2<br />

r<br />

b) Expressions des vecteurs, vitesse et accélération, en fonction de la constante des aires<br />

•<br />

En remplaçant θ en fonction de C dans toute expression, nous avons :<br />

•<br />

r =<br />

dr<br />

dt<br />

dr dθ<br />

dr<br />

•<br />

= = θ =<br />

dθ<br />

dt dθ<br />

C<br />

2<br />

r<br />

dr d ⎛ 1 ⎞<br />

= −C<br />

⎜ ⎟<br />

dθ<br />

dθ<br />

⎝ r ⎠<br />

••<br />

r =<br />

•<br />

d r<br />

dt<br />

=<br />

•<br />

d r<br />

•<br />

θ =<br />

dθ<br />

C<br />

2<br />

r<br />

•<br />

d r<br />

=<br />

dθ<br />

C<br />

2<br />

r<br />

d ⎛ d ⎛ 1 ⎞⎞<br />

C<br />

⎜−<br />

C ⎜ ⎟⎟<br />

= −<br />

dθ<br />

⎝ dθ<br />

⎝ r ⎠⎠<br />

r<br />

2<br />

2<br />

2<br />

d<br />

2<br />

dθ<br />

⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ r ⎠<br />

•<br />

• 2<br />

C<br />

2 C<br />

r θ = et r θ =<br />

3<br />

r<br />

r<br />

En remplaçant ces expressions dans celles des vitesses et accélérations nous obtenons :<br />

→<br />

V ( P)<br />

d ⎛ 1 ⎞<br />

dθ<br />

⎝ r ⎠<br />

C<br />

r<br />

• → • →<br />

→ →<br />

= r er<br />

+ rθ<br />

eθ<br />

= −C<br />

⎜ ⎟er<br />

+ eθ<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

C<br />

r<br />

d 1<br />

dθ<br />

⎝ r ⎠<br />

→ •• • → • • •• →<br />

2 2<br />

2 → 2<br />

2 →<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

V ( 2<br />

P)<br />

= ( r−<br />

rθ ) e + + = ⎜−<br />

⎜ ⎟ − ⎟ = − ⎜ + ⎜ ⎟⎟<br />

r<br />

(2rθ<br />

rθ<br />

) eθ<br />

er<br />

e<br />

2 2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

r<br />

C<br />

r<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

C<br />

r<br />

⎛ 1<br />

⎜<br />

⎝ r<br />

d 1 ⎞<br />

dθ<br />

⎟<br />

⎝ r ⎠⎠<br />

195


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

c) Expression de la trajectoire en coordonnées polaires<br />

Nous avons une relation entre l’accélération du point P et le vecteur position, elle est donnée<br />

par :<br />

→<br />

−→<br />

γ ( P ) = λ OP<br />

; en les remplaçant leurs expressions respectives en coordonnées<br />

polaires et on obtient :<br />

2<br />

2<br />

C ⎛ 1 d ⎛ 1 ⎞⎞<br />

−<br />

⎜ + ⎜ ⎟<br />

⎟<br />

2<br />

2<br />

r ⎝ r dθ<br />

⎝ r ⎠⎠<br />

→<br />

er<br />

=<br />

→<br />

λ r e<br />

r<br />

2<br />

d ⎛ 1 ⎞ λ 3 1<br />

⇒ + + = 0<br />

2<br />

⎜ ⎟ r<br />

2<br />

dθ<br />

⎝ r ⎠ C r<br />

Lorsque la valeur de λ est connue, la résolution de cette équation permet de déterminer<br />

l’expression de r en fonction de θ .<br />

On obtient la loi du temps du mouvement à partir de la loi des aires, en effet nous avons :<br />

•<br />

= r<br />

2 θ<br />

C ⇐⇒<br />

2 dθ<br />

1 2<br />

C = r ; d’où dt = r dθ<br />

or r est une fonction θ : r = f (θ )<br />

dt<br />

C<br />

θ<br />

1 2<br />

1<br />

2<br />

dt = f ( θ ) dθ ⇒ t − t0 =<br />

C<br />

∫ f ( θ ) dθ<br />

; à partir de cette équation, on reconstruit la<br />

C<br />

trajectoire du point P .<br />

θ<br />

0<br />

196


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 01 :<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

5π 1. Représenter les points A et B de coordonnées polaires : (1,0) et (2, ) ;<br />

4<br />

π<br />

2. Représenter les points C et D de coordonnées cylindriques : (2, ,2)<br />

et ( 2, π − 2)<br />

,<br />

2<br />

−→<br />

OA<br />

−→<br />

Exprimer les vecteurs et OB dans les repères locaux correspondant.<br />

π π<br />

3. Représenter les points E et F de coordonnées sphériques : (2, , )<br />

4 4<br />

−→<br />

Exprimer le vecteur EF dans le repère local : ( E , e , e θ<br />

, e r ϕ<br />

) .<br />

→<br />

On donne : e<br />

y<br />

o<br />

Solution :<br />

r<br />

→<br />

e<br />

e<br />

θ<br />

→<br />

ϕ<br />

→<br />

= sinθ<br />

cosϕ<br />

i + sinθ<br />

sinϕ<br />

j+<br />

cosθ<br />

k<br />

→<br />

= cosθ<br />

cosϕ<br />

i + cosθ<br />

sinϕ<br />

ji−<br />

sinθ<br />

k<br />

→<br />

→<br />

= −sinϕ<br />

i + cosϕ<br />

j<br />

θ<br />

M ( r,<br />

θ )<br />

x<br />

x<br />

z<br />

o<br />

→<br />

θ<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

π 3π<br />

et (1, , ) ;<br />

3 4<br />

1. Les coordonnées polaires : M ( r,<br />

θ ) avec OM r u où est un vecteur unitaire<br />

r<br />

z<br />

H<br />

−−→<br />

A ( 1, 0) ⇒ OA = r = 1 et θ = 0<br />

5π<br />

5π<br />

π<br />

B (2, ) ⇒ OB = r = 2 et θ = = π +<br />

4<br />

4 4<br />

M ( r,<br />

θ , z)<br />

→<br />

=<br />

r<br />

y<br />

→<br />

u r<br />

x<br />

z<br />

o<br />

ϕ<br />

θ<br />

r<br />

M ( r,<br />

θ , ϕ)<br />

H<br />

y<br />

2. Les coordonnées cylindriques : M ( r,<br />

θ , z)<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OM = r ur + z k où u r<br />

est un vecteur unitaire<br />

−→ → →<br />

π<br />

π<br />

C( 2, , 2) ⇒ OC = 2ur + 2 k , θ =<br />

2<br />

2<br />

π<br />

π<br />

C( x = 2cos , y = 2sin , z = 2 )<br />

2<br />

2<br />

−→<br />

D( 1, π , −1)<br />

⇒ OD = u r<br />

− k , θ = π<br />

D( x = 1cosπ<br />

, y = 1sinπ<br />

, z = −1)<br />

→<br />

→<br />

x<br />

z<br />

C(0, 2, 2)<br />

o y<br />

D ( − 1, 0, −1)<br />

196


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−→<br />

−→<br />

Expressions des vecteurs OA et OB dans leurs repères locaux respectifs :<br />

−→<br />

Le OA peut s’écrire :<br />

Dans le repère local :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → →<br />

= ⎜OA•<br />

ur<br />

⎟ur<br />

+ ⎜OA•<br />

uθ<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OA•<br />

k ⎟ k<br />

OA<br />

→<br />

⎧ π<br />

→<br />

π<br />

→ →<br />

⎪<br />

u r<br />

= cos i + sin j = j<br />

2 2<br />

⎪ →<br />

π<br />

→<br />

π<br />

→<br />

⎨uθ<br />

= −sin<br />

i + cos j = − i<br />

⎪ 2 2<br />

→ →<br />

⎪ k = k<br />

⎪⎩<br />

→ → →<br />

π<br />

( A,<br />

u r<br />

, u θ<br />

, k ) avec θ = nous avons :<br />

2<br />

→<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

d’où : OA = ⎜OA•<br />

j ⎟ur + ⎜OA•<br />

( − i ) ⎟uθ<br />

+ ⎜OA•<br />

k ⎟ k = 2ur<br />

+ 2 k<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

De la même manière pour le vecteur<br />

−→<br />

OB<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

−→<br />

Le OB peut s’écrire :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → →<br />

= ⎜OB•<br />

ur<br />

⎟ur<br />

+ ⎜OB•<br />

uθ<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OB•<br />

k ⎟ k<br />

OB<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

Dans le repère local :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( B,<br />

u r<br />

, u θ<br />

, k ) avec θ = π nous avons :<br />

→<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪<br />

u r<br />

= cosπ<br />

i + sinπ<br />

j = − i<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

⎨ uθ<br />

= −sinπ<br />

i + cosπ<br />

j = − j<br />

⎪<br />

→ →<br />

⎪ k = k<br />

⎩<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

d’où : OB = ⎜OB•<br />

( − i ) ⎟ur<br />

+ ⎜OB•<br />

( − j)<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OB•<br />

k ⎟ k = ur<br />

− k<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

3. Les coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ)<br />

⎧x<br />

= r cosθ<br />

cosϕ<br />

−−→ →<br />

→<br />

−→<br />

⎪<br />

OM = r er<br />

où e r<br />

est un vecteur unitaire OM ⎨ y = r cosθ<br />

sinϕ<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= r sinθ<br />

π π<br />

E (2, , ) ⇒<br />

4 4<br />

⎧ x = 1<br />

−→<br />

⎪<br />

π 3π<br />

OE ⎨ y = 1 ; et F (2, , ) ⇒<br />

⎪<br />

3 4<br />

⎩z<br />

= 2<br />

⎧x<br />

= −<br />

−→<br />

⎪<br />

OF ⎨ y =<br />

⎪<br />

⎩<br />

z =<br />

6 / 4<br />

6 / 4<br />

1/ 2<br />

197


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Expression du vecteur<br />

−→<br />

EF dans le repère local ( E , e<br />

→<br />

, e → →<br />

, e π π<br />

r θ ϕ<br />

) avec : θ = et ϕ =<br />

4 4<br />

On donne :<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

= sinθ<br />

cosϕ<br />

i + sinθ<br />

sinϕ<br />

j+<br />

cosθ<br />

k<br />

→<br />

→<br />

⇒<br />

e →<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

= i + j+<br />

k<br />

r<br />

2 2 2<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

→<br />

= cos θ cosϕ<br />

i + cosθ<br />

sinϕ<br />

j−<br />

sinθ<br />

k ⇒<br />

→<br />

→<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

2<br />

→<br />

= i + j−<br />

k<br />

2 2 2<br />

→<br />

e<br />

ϕ<br />

→<br />

→<br />

= −sin ϕ i + cosϕ<br />

j ⇒<br />

→<br />

e<br />

ϕ<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

= − i + j<br />

2 2<br />

nous avons :<br />

−→ −→ −→<br />

6<br />

→<br />

6<br />

→<br />

1<br />

→<br />

EF = OF − OE = −(<br />

+ 1) i + ( −1)<br />

j+<br />

( − 2)<br />

k<br />

4 4 2<br />

−→<br />

EF<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ → → −→ → → −→ → →<br />

= ⎜ EF • er ⎟er<br />

+ ⎜ EF • eθ<br />

) ⎟eθ<br />

+ ⎜ EF • eϕ<br />

⎟eϕ<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

En développant cette expression on abouti a :<br />

−→<br />

EF<br />

2<br />

2<br />

2<br />

4<br />

3<br />

2<br />

→ → →<br />

= ( − 2) er<br />

− e θ<br />

+ eϕ<br />

Exercice 02 :<br />

Un point matériel se déplace sur une trajectoire décrite par les équations paramétriques<br />

⎧ x = t<br />

⎪<br />

suivantes : ⎨y<br />

= 2t<br />

2 ; Déterminer :<br />

⎪<br />

⎩ z = 0<br />

→<br />

1. Le vecteur unitaire τ tangent à la trajectoire ;<br />

2. Le rayon de courbure ρ ;<br />

→<br />

3. La normale n à la trajectoire ;<br />

→<br />

4. La binormale b ;<br />

Solution :<br />

→<br />

1. Vecteur unitaire τ tangent à la trajectoire<br />

→<br />

→<br />

v<br />

τ a la même direction et le sens que le vecteur vitesse. τ = .<br />

→<br />

v<br />

→<br />

198


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎧ vx<br />

= 1<br />

→<br />

→ → →<br />

⎪<br />

La vitesse s’écrit : v = ⎨v<br />

y<br />

= 4t<br />

⇒ v = i + 4t<br />

j et<br />

⎪<br />

⎩ vz<br />

= 0<br />

⎧γ<br />

x<br />

= 0<br />

→<br />

⎪<br />

γ = ⎨γ<br />

y<br />

= 4 ⇒ γ = 4<br />

⎪<br />

⎩γ<br />

z<br />

= 0<br />

et<br />

→<br />

v<br />

=<br />

v<br />

v<br />

v<br />

2 2 2<br />

x<br />

+<br />

y<br />

+<br />

z<br />

= +<br />

1 16t<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

v i + 4t<br />

j 1<br />

→<br />

4t<br />

→<br />

On déduit : τ = = = i + j<br />

→<br />

2<br />

2<br />

2<br />

v 1+<br />

16t<br />

1+<br />

16t<br />

1+<br />

16t<br />

2. Le rayon de courbure ρ ;<br />

→<br />

Dans la base de Frênet , l’accélération du point matériel est égale s’écrit : γ<br />

→ →<br />

= γ<br />

N<br />

+ γ<br />

t<br />

Où<br />

γ<br />

→<br />

N<br />

et γ<br />

→<br />

t<br />

sont respectivement l’accélération normale et tangentielle.<br />

2<br />

v<br />

Or nous savons que : γ = N<br />

ρ<br />

, calculons γ<br />

N<br />

:<br />

1<br />

dv 1<br />

−1<br />

16t<br />

γ 32t<br />

1 16t<br />

et que<br />

dt 2<br />

1+<br />

16t<br />

2<br />

Comme ( ) 2<br />

t<br />

= = + =<br />

2<br />

( )<br />

2 2 2 16t<br />

16<br />

On déduit : γ<br />

N<br />

= γ − γ<br />

t<br />

= 16 − = ⇒<br />

2<br />

2<br />

1+<br />

16t<br />

1+<br />

16t<br />

2<br />

v<br />

ρ = γ<br />

N<br />

=<br />

+ 16t<br />

4<br />

1+<br />

16t<br />

2<br />

( 1+<br />

16t<br />

)<br />

3<br />

1<br />

2<br />

2<br />

→<br />

3. La normale n à la trajectoire<br />

2<br />

=<br />

4<br />

2<br />

γ<br />

N<br />

2 2 2<br />

γ = γ<br />

N<br />

+ γ t<br />

=<br />

16<br />

1+<br />

16t<br />

Soit s l’abscisse curviligne, la normale à la trajectoire est donnée par la relation :<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d τ d τ ds d τ d τ dt ρ d τ<br />

n = = . = ρ = ρ = car<br />

dθ<br />

ds dθ<br />

ds dt ds v dt<br />

⎛ →<br />

→<br />

ρ ⎜ 4 j(1<br />

+ 16t<br />

n = ⎜<br />

v ⎜<br />

⎝<br />

d’où :<br />

2<br />

)<br />

1<br />

2<br />

− ( i + 4t<br />

1+<br />

16t<br />

→<br />

− 4t<br />

→<br />

1<br />

→<br />

n = i + j<br />

t 2<br />

t 2<br />

1+<br />

16 1+<br />

16<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

j)16(1<br />

+ 16t<br />

2<br />

)<br />

→<br />

1<br />

−<br />

2<br />

ds<br />

v =<br />

dt<br />

⎞<br />

→ →<br />

⎟ ρ 4( −4<br />

i + j)<br />

⎟ =<br />

3<br />

⎟ v<br />

2 2<br />

⎠ (1 + 16t<br />

)<br />

=<br />

(1 + 16t<br />

2<br />

4(1 + 16t<br />

2<br />

)<br />

3<br />

2<br />

)<br />

1<br />

2<br />

→<br />

4( −4<br />

i +<br />

(1 + 16t<br />

2<br />

→<br />

j)<br />

)<br />

3<br />

2<br />

199


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4. La binormale<br />

C’est un vecteur unitaire perpendiculaire au deux premiers, d’où :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

b = τ ∧ n<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4t<br />

⎞<br />

⎜<br />

2<br />

⎟ ⎜<br />

2<br />

⎟<br />

⎜ (1 + 16t<br />

) ⎟ ⎜ (1 + 16t<br />

) ⎟ ⎛0⎞<br />

→<br />

⎜ 4t<br />

⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟<br />

b = ⎜ ⎟ ∧ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟<br />

;<br />

2<br />

2<br />

(1 + 16t<br />

) (1 + 16t<br />

)<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝1⎠<br />

⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

⎛0⎞<br />

→ ⎜ ⎟<br />

b = ⎜0⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝1⎠<br />

Exercice 03 :<br />

Un mobile se déplace à vitesse scalaire constante sur une trajectoire d’écrite par des équations<br />

paramétriques en coordonnées cylindriques :<br />

z = k r<br />

r<br />

cϕ<br />

= r0<br />

e , où k , r0 , c : sont des constantes positives.<br />

1. Trouver l’équation horaire r(t)<br />

sachant qu’à : t = 0 ⇒ ϕ = 0 ;<br />

2. Déterminer le vecteur accélération et le rayon de courbure de la trajectoire.<br />

Solution :<br />

1. Equation horaire<br />

La vitesse du mobile en coordonnées cylindriques est données par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

• →<br />

v = vr<br />

+ vϕ + vz<br />

= r er<br />

+ rϕ eϕ<br />

+ z k on déduit les composantes de la vitesse:<br />

v<br />

•<br />

•<br />

r 0<br />

.<br />

cϕ<br />

= r ϕ c .e = cϕ<br />

r<br />

•<br />

; vϕ<br />

= rϕ<br />

;<br />

v<br />

• •<br />

•<br />

z 0<br />

.<br />

cϕ<br />

= k r = kr ϕ c .e = kcϕ<br />

r<br />

on abouti finalement à :<br />

v<br />

•<br />

•<br />

•<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

= vr<br />

+ vϕ<br />

+ vz<br />

= c ϕ r + r ϕ + k c ϕ<br />

. r<br />

2<br />

2<br />

2<br />

v = r<br />

• ϕ 1+<br />

c (1 + + k ) comme la vitesse étant constante : v v = Cte<br />

2<br />

2<br />

v<br />

0<br />

= r<br />

• •<br />

dϕ<br />

ϕ 1+<br />

c (1 + + k ) , or nous savons que : ϕ =<br />

dt<br />

= 0<br />

et que :<br />

2<br />

2<br />

1+ c (1 + + k ) = K<br />

dϕ<br />

cϕ<br />

dϕ<br />

ϕ v0<br />

v<br />

0<br />

= r . K on remplace r par son expression : v0<br />

= r0e<br />

. K ⇔ dϕ<br />

= dt<br />

dt<br />

dt<br />

Kr<br />

on intègre cette expression par rapport au temps et on obtient :<br />

e c 0<br />

200


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

ϕ<br />

∫<br />

0<br />

v<br />

e c ϕ<br />

0<br />

dϕ<br />

=<br />

Kr0<br />

dt<br />

⇒<br />

1 c ϕ<br />

e<br />

c<br />

=<br />

v<br />

0<br />

Kr<br />

0<br />

t + A<br />

sachant qu’à t = 0 ϕ = 0 , alors :<br />

1<br />

= ; ce qui donne :<br />

A 1<br />

c<br />

e<br />

c<br />

v0<br />

=<br />

Kr<br />

t +<br />

c<br />

cϕ<br />

1<br />

0<br />

cv0<br />

e cϕ cϕ<br />

cv0<br />

= t + 1 ⇔ r0e<br />

= t + r0<br />

Kr<br />

K<br />

0<br />

cϕ<br />

cv0<br />

on sait que r( t)<br />

= r0e<br />

d’où : r ( t)<br />

= t + r0<br />

K<br />

2. Vecteur accélération<br />

En coordonnées cylindriques l’expression du vecteur accélération s’écrit :<br />

→<br />

•• • → •• • • →<br />

2<br />

r−<br />

rϕ<br />

) er + ( rϕ+<br />

2rϕ<br />

eϕ<br />

•• →<br />

γ = (<br />

) + z k<br />

•<br />

••<br />

on sait que : ϕ = Cte ⇒ ϕ = 0 ;<br />

•<br />

r<br />

•<br />

v = Cte ⇒ = 0<br />

l’accélération devient : γ<br />

→ • → • • →<br />

2<br />

= −rϕ<br />

er + 2rϕ<br />

eϕ<br />

→ • → • • → • → • →<br />

2<br />

cϕ<br />

2<br />

2<br />

γ = −rϕ<br />

er<br />

+ 2 r0<br />

cϕ<br />

e ϕ eϕ<br />

= −rϕ<br />

er<br />

+ 2cϕ<br />

r eϕ<br />

Le rayon de courbure se déduit à partir de la relation :<br />

ω<br />

v<br />

•<br />

= comme ω = ϕ alors :<br />

ρ<br />

•<br />

2<br />

2<br />

= v rϕ<br />

1+<br />

c (1 + + k )<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

ρ =<br />

= r 1+<br />

c (1 + + k ) ; ρ = r 1+<br />

c (1 + + k )<br />

•<br />

ϕ<br />

•<br />

ϕ<br />

Exercice 04 :<br />

Un mobile supposé ponctuel, décrit la courbe plane dont l’équation en coordonnées polaire<br />

1<br />

( ρ , θ ) est donnée par : ρ = ρ 0<br />

(1 + cosθ<br />

) où ρ<br />

0<br />

: constant désigne une longueur donnée.<br />

2<br />

1. Quelle est l’allure de la trajectoire du mobile ?<br />

a. Précisez les positions des points d’intersection de cette trajectoire avec les axes<br />

cartésiens ox et oy ;<br />

b. Exprimer en fonction de θ , l’abscisse curviligne s du mobile, compté à partir du<br />

point A qui correspond à θ = 0 ;<br />

c. Pour quel angle polaire nous avons s = ρ<br />

0<br />

, on notera par B la position correspondante<br />

201


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d. En déduire le périmètre de cette trajectoire fermée étudiée ici.<br />

2. On choisira comme origine des temps, l’instant où le mobile est au point A . On admet<br />

que la trajectoire est décrite avec une vitesse angulaire ω constante.<br />

a. Exprimer la vitesse linéaire du mobile en fonction du temps puis en fonction de ρ ;<br />

b. Déterminer les composantes d’accélération radiale γ<br />

ρ<br />

et orthoradiale γ θ<br />

; en déduire<br />

l’accélération γ du mobile en fonction du temps ;<br />

c. En utilisant les expressions de γ ρ<br />

et γ<br />

θ<br />

, déterminer l’accélération normale γ N<br />

à<br />

l’instant t ;<br />

d. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire en fonction de θ ; Retrouver ce<br />

résultat directement.<br />

Solution :<br />

a) Tracé de la courbe et intersection avec les axes<br />

1<br />

La trajectoire dont l’équation en coordonnées polaire s’écrit ρ = ρ 0<br />

(1 + cosθ<br />

) est une<br />

2<br />

courbe fermée appelé cardoïde. L’axe Ox est un axe de symétrie car : ρ( θ ) = ρ(<br />

−θ<br />

)<br />

Pour : θ 0 ⇒ ρ = ρ = OA ; θ = π ⇒ ρ = 0<br />

=<br />

0<br />

π ρ<br />

= ⇒ = 0<br />

π ρ<br />

0<br />

θ ρ = OC ; θ = − ⇒ ρ = = OC'<br />

2 2<br />

2 2<br />

La courbe coupe l’axe Ox en O et A avec OA = ρ<br />

0<br />

La courbe coupe l’axe Oy en C et C’ avec OC = OC ' =<br />

y<br />

C<br />

O<br />

γ<br />

θ<br />

→<br />

ρ<br />

→<br />

T<br />

ρ 0<br />

ρ 0<br />

2<br />

α<br />

M<br />

→<br />

γ θ<br />

→<br />

N<br />

β<br />

θ<br />

A<br />

x<br />

C’<br />

202


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

b) L’abscisse curviligne S en fonction de θ<br />

⎧ρ<br />

Les composantes du point M en coordonnées polaires sont : M ⎨ et les variations de<br />

⎩θ<br />

longueur par :<br />

d ρ et ρd θ . S étant l’abscisse curviligne nous aurons alors :<br />

( dS ) + θ<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= ( dρ)<br />

( ρd<br />

) ⇒<br />

dS = +<br />

2<br />

2<br />

( dρ)<br />

( ρdθ<br />

)<br />

comme :<br />

1<br />

dρ<br />

= − ρ<br />

0<br />

sinθdθ<br />

on déduit facilement :<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎞ ⎛ 1<br />

⎞ 1<br />

0<br />

sinθ<br />

d θ ⎟ + ⎜ ρ<br />

0<br />

(1 + cosθ<br />

d θ ) ⎟ = ρ<br />

0<br />

θ<br />

cos<br />

⎛ 1 dS = ⎜ − ρ d<br />

+<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2<br />

⎠ 2<br />

1<br />

dS = ρ<br />

0<br />

dθ<br />

2( 1+<br />

cosθ<br />

) ; or nous savons que : 1+<br />

cosθ = 2cos<br />

2<br />

on déduit finalement :<br />

θ<br />

dS = ρ<br />

0<br />

cos dθ<br />

2<br />

on obtient l’abscisse curviligne par intégration de cette relation :<br />

θ<br />

θ<br />

S = ρ<br />

0∫<br />

cos dθ<br />

= 2ρ<br />

0<br />

sin + S<br />

2<br />

2<br />

0<br />

Les conditions initiales impose qu’au point A ( θ = 0)<br />

alors S 0<br />

( sinθ<br />

) 2<br />

+ ( 1 θ ) 2<br />

0<br />

=<br />

2 θ<br />

2<br />

La relation entre<br />

c) Angle polaire pour lequel S = ρ<br />

0<br />

S et θ devient :<br />

Soit B le point pour lequel nous avons : S AB = ρ<br />

0<br />

= ∩<br />

S<br />

θ<br />

= 2ρ<br />

0<br />

sin<br />

2<br />

θ<br />

S = ρ 0<br />

⇒ 2 sin = 1<br />

2<br />

θ 1<br />

sin =<br />

2 2<br />

⇒<br />

d) Périmètre de la trajectoire fermée<br />

π<br />

θ =<br />

3<br />

Soit P le périmètre de cette trajectoire. Le demi périmètre est donné par :<br />

P<br />

2<br />

∩<br />

= AO =<br />

O<br />

∫<br />

A<br />

ds = ρ<br />

θ = π<br />

∫<br />

0<br />

θ = 0<br />

θ<br />

cos dθ<br />

2<br />

π<br />

P θ<br />

⇒ = 2ρ<br />

0sin<br />

= 2ρ<br />

0<br />

2 2<br />

0<br />

d’où : P = 4ρ<br />

0<br />

périmètre de la cardioïde.<br />

203


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Vitesse linéaire instantanée du mobile<br />

a.1 Vitesse linéaire en fonction du temps<br />

L’origine des temps est prise au point A et la vitesse angulaire ω est constante donc :<br />

θ = ω t . La vitesse est donnée par la relation :<br />

v =<br />

dS<br />

dt<br />

θ dθ<br />

θ dθ<br />

ω t<br />

= ρ<br />

0<br />

cos = ρ<br />

0<br />

cos = ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

2 dt 2 dt<br />

2<br />

dS<br />

θ<br />

v = or nous avons : dS = ρ<br />

0<br />

cos dθ<br />

dt<br />

2<br />

Ce résultat peut être obtenu d’une autre manière en déterminant les composantes radiales et<br />

orthoradiale de la vitesse. En effet nous savons que :<br />

−−→<br />

OM<br />

→<br />

= ρ u<br />

ρ<br />

La vitesse s’écrit :<br />

Avec :<br />

−−→<br />

→<br />

d OM<br />

• → • →<br />

v = = ρ u<br />

ρ<br />

+ ρθ<br />

uθ<br />

dt<br />

•<br />

1<br />

ρ = − ρ<br />

0ω<br />

sinω<br />

t<br />

2<br />

•<br />

1<br />

et ρ θ = ρ<br />

0ω(1<br />

+ cosω<br />

t)<br />

2<br />

v =<br />

1<br />

2<br />

• •<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

ρ + ( ρθ ) = ρ<br />

0ω<br />

sin ω t + (1 + cos ω t)<br />

1<br />

1<br />

2 ω t ω t<br />

v = ρ<br />

0ω<br />

2(1 + cosω<br />

t)<br />

= ρ<br />

0ω<br />

2(2cos ) = ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

a.2 Vitesse linéaire en fonction de ρ<br />

1<br />

L’équation de la cardioïde qui s’écrit : ρ = ρ 0<br />

(1 + cosθ<br />

) peut aussi s’écrire :<br />

2<br />

2 θ<br />

2 ω t<br />

ρ = ρ<br />

0<br />

cos = ρ<br />

0<br />

cos ⇒<br />

2 2<br />

cos<br />

2<br />

ω t ρ =<br />

2 ρ<br />

0<br />

Or l’expression de la vitesse en fonction du temps est :<br />

Ce qui donne : v = ω ρ ρ<br />

0<br />

ω t<br />

v = ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

2<br />

⎛ ρ ⎞<br />

= ρ<br />

0ω<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝ ρ<br />

0 ⎠<br />

1<br />

2<br />

b. Les composantes de l’accélération : radiale γ<br />

ρ<br />

et otrhoradiale γ<br />

θ<br />

nous avons :<br />

−−→<br />

OM<br />

→<br />

= ρ u<br />

ρ<br />

et<br />

−−→<br />

→<br />

d OM<br />

• → • →<br />

= = ρ u<br />

ρ<br />

+ ρθ<br />

uθ<br />

v on déduit :<br />

dt<br />

204


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

•<br />

d v<br />

••<br />

→ • • •• →<br />

2<br />

γ = = ( ρ−<br />

ρθ ) u<br />

ρ<br />

+ (2 ρθ − ρθ<br />

) uθ<br />

dt<br />

avec<br />

••<br />

θ = 0<br />

car<br />

•<br />

θ = ω = Cte<br />

•• •<br />

1 2<br />

2 1 2<br />

1<br />

γ cos<br />

(1 cos )<br />

2<br />

ρ<br />

= ρ−<br />

ρθ = − ρ<br />

0ω<br />

ω t − ρ<br />

0ω<br />

+ ω t = − ρ<br />

0ω<br />

(1 + 2cosω<br />

t)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

•<br />

γ θ =<br />

•<br />

⎛ 1 ⎞<br />

2 ρθ =<br />

2<br />

2⎜<br />

− ρ<br />

0ω<br />

sinω<br />

t ⎟ω<br />

= −ρ<br />

0ω<br />

sinω t<br />

⎝ 2 ⎠<br />

L’accélération γ du mobile se calcul par :<br />

γ =<br />

1 2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2 1<br />

γ<br />

ρ<br />

+ γ<br />

θ<br />

= ρ<br />

0ω<br />

(1 + 2cosω<br />

t)<br />

+ (2sinω<br />

t)<br />

= ρ<br />

0ω<br />

1+<br />

4(1 +<br />

2<br />

2<br />

cosω<br />

t)<br />

1 2<br />

2<br />

γ = ρ<br />

0ω<br />

1+<br />

8cos<br />

2<br />

ω t<br />

2<br />

c. Détermination de l’accélération normale γ<br />

N<br />

à partir des accélérations γ<br />

ρ<br />

et γ<br />

θ<br />

Nous avons : α = ( , Ox)<br />

et β = ( N,<br />

OM ) , on sait que :<br />

T →<br />

→<br />

−−→<br />

→ →<br />

π<br />

→ →<br />

π<br />

( N , T ) = et ( u<br />

ρ , u<br />

θ ) =<br />

2<br />

2<br />

→<br />

On projette les deux accélérations sur l’axe portant la normale N , on obtient :<br />

γ<br />

N<br />

= −γ<br />

cos β − γ sin β<br />

ρ<br />

θ<br />

Exprimons l’angle α et β en fonction de θ :<br />

En coordonnées polaires nous avons :<br />

x = ρ cosθ<br />

et y = ρ sinθ<br />

alors :<br />

tg α =<br />

dy<br />

dx<br />

2<br />

d(<br />

ρ sinθ<br />

) (1 + cosθ<br />

)cosθ<br />

− sin θ cosθ<br />

+ cos 2θ<br />

⎛ 3θ<br />

⎞<br />

= =<br />

= −<br />

= −cot<br />

g⎜<br />

⎟<br />

d(<br />

ρ cosθ<br />

) − (1 + cosθ<br />

)sinθ<br />

− sinθ<br />

cosθ<br />

sinθ<br />

+ sin 2θ<br />

⎝ 2 ⎠<br />

⎛ 3θ<br />

⎞ ⎛ π 3θ<br />

⎞<br />

tg α = − cot g⎜<br />

⎟ = tg⎜<br />

+ ⎟ ⇔<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠<br />

π 3θ<br />

α = +<br />

2 2<br />

π<br />

θ<br />

nous avons aussi géométriquement : α = θ + β + on déduit : β =<br />

2<br />

2<br />

On remplace β dans l’expression de<br />

γ<br />

N<br />

= −γ<br />

cos β − γ sin β =<br />

γ<br />

N<br />

, ce qui donne :<br />

1 2<br />

θ<br />

ρ<br />

0ω<br />

(1 + 2cosθ<br />

)cos<br />

2<br />

2<br />

ρ θ<br />

+<br />

2 θ<br />

ρ<br />

0ω<br />

sinθ<br />

sin<br />

2<br />

3 2 θ 3 ω t<br />

γ<br />

N<br />

= ρ cos<br />

2<br />

0ω<br />

= ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

2 2 2 2<br />

205


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

c. Rayon de courbure<br />

On sait que dans les mouvements curvilignes :<br />

Ce qui donne :<br />

2<br />

v<br />

R =<br />

γ<br />

N<br />

2 2 2 ω t<br />

ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

=<br />

2<br />

3 2 ω t<br />

ρ<br />

0ω<br />

cos<br />

2 2<br />

2<br />

v<br />

γ<br />

N<br />

= ⇒<br />

R<br />

2 θ<br />

= ρ<br />

0<br />

cos<br />

3 2<br />

2 θ<br />

R = ρ<br />

0<br />

cos<br />

3 2<br />

2<br />

v<br />

R = γ<br />

On peut aussi déduire le rayon de courbure d’une autre manière en sachant que :<br />

N<br />

θ<br />

S = 2ρ<br />

0<br />

sin et<br />

2<br />

α = θ + β +<br />

π<br />

2<br />

dS<br />

R = =<br />

dα<br />

θ<br />

ρ cos dθ<br />

2 2<br />

= ρ<br />

0<br />

cos<br />

3 3 2<br />

dθ<br />

2<br />

0<br />

θ<br />

206


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 05 :<br />

Dans un repère orthonormé<br />

R( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

la position d’un point M est déterminé par les<br />

ω t<br />

ω t<br />

équations paramétriques suivantes : x = sinω<br />

t e ; y = cosω<br />

t e ;<br />

z = e<br />

t<br />

2 ω<br />

Déterminer :<br />

1. Les modules de la vitesse et de l’accélération du point M ;<br />

2. Le rayon de courbure en fonction de z ;<br />

3. Soit H la projection orthogonale du point M sur le plan xoy , quelle est l’équation polaire<br />

du point H .<br />

Solution :<br />

1. Vitesse et accélération du point M<br />

→<br />

V<br />

=<br />

−−→<br />

d OM<br />

dt<br />

⎧V<br />

⎪<br />

= ⎨V<br />

⎪<br />

⎩<br />

V<br />

x<br />

y<br />

z<br />

= ω e<br />

= ω e<br />

ω t<br />

ω t<br />

= 2ω<br />

e<br />

(sinω<br />

t + cosω<br />

t)<br />

(cosω<br />

t − sinω<br />

t)<br />

ω t<br />

; on déduit le module de la vitesse par :<br />

V<br />

=<br />

V<br />

2<br />

x<br />

+ V<br />

2<br />

y<br />

+ V<br />

2<br />

z<br />

= ω 6.<br />

e<br />

ω t<br />

L’accélération est donnée par :<br />

→<br />

γ =<br />

→<br />

d V<br />

dt<br />

2<br />

⎧ γ<br />

x<br />

= 2ω<br />

e<br />

⎪<br />

2<br />

= ⎨γ<br />

y<br />

= −2ω<br />

e<br />

⎪<br />

2<br />

⎩γ<br />

z<br />

= 2ω<br />

e<br />

ω t<br />

ω t<br />

ω t<br />

cosω<br />

t<br />

sinω<br />

t<br />

; on déduit le module de l’accélération par :<br />

γ = γ + γ + γ = 2 2ω<br />

.<br />

2<br />

x<br />

2<br />

y<br />

2<br />

z<br />

2 t<br />

e ω<br />

2. Rayon de courbure en fonction de z<br />

Dans la base de Frênet, l’accélération tangentielle est égale à la dérivée du module de la<br />

vitesse, ce qui donne :<br />

dV<br />

γ<br />

t<br />

= = ω<br />

2 . 6.<br />

e<br />

dt<br />

2 2 2<br />

L’accélération normale se déduit à partir de la relation : γ = γ t<br />

+ γ<br />

ω t<br />

2 ω t<br />

2<br />

2 ω t<br />

2<br />

2 ω t<br />

( 2 2ω<br />

. e ) − ( ω . 6. e ) 2( ω . e ) 2<br />

2 2 2<br />

γ<br />

N<br />

= γ − γ<br />

t<br />

=<br />

=<br />

γ = ω 2.<br />

2<br />

N<br />

e ω t<br />

D’autre part nous avons une relation entre le rayon de courbure et l’accélération normale qui<br />

N<br />

206


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

est donnée par :<br />

ρ<br />

V<br />

γ<br />

2<br />

( ) ω t<br />

= , ce qui donne :<br />

N<br />

ω t<br />

ω 6. e<br />

ρ =<br />

= 3 2.<br />

e<br />

2 ω t<br />

ω 2. e<br />

2<br />

Or nous avons :<br />

z = 2. e<br />

ω t<br />

⇒<br />

ω<br />

e t =<br />

z<br />

2<br />

3 2<br />

, ce qui conduit à : ρ = . z<br />

2<br />

3. Equation polaire du point H .<br />

H appartient au plan (xOy) ces coordonnées sont données par les équations paramétriques :<br />

x<br />

ω t<br />

= sinω t e ;<br />

y = cosω<br />

t e<br />

ω t<br />

−−→<br />

⎧x<br />

= r cosθ<br />

Les coordonnées polaires du point H sont ( ρ , θ ) tel que : OH = ⎨<br />

avec<br />

⎩ y = r sinθ<br />

−−→ → →<br />

2 2<br />

= x y et OH = r ur<br />

où u r<br />

vecteur unitaire.<br />

r +<br />

ω t<br />

ω t ω t<br />

Nous avons ainsi : r = ( sin ω t e ) + ( cosω<br />

t e ) = e<br />

2<br />

ω t<br />

ω t<br />

x sinω<br />

t e<br />

y cosω<br />

t e<br />

cos θ = = = sinω<br />

t et sin θ = = = cosω<br />

t<br />

ω t<br />

ω t<br />

r e<br />

r e<br />

⎧cosθ<br />

= sinω<br />

t<br />

π<br />

π<br />

⎨<br />

par conséquent ces deux équations nous donne : θ = − ω t ⇔ ω t = −θ<br />

⎩sinθ<br />

= cosω<br />

t<br />

2 2<br />

2<br />

ce qui nous ramène à l’équation polaire du point H :<br />

π −θ<br />

r = e<br />

2<br />

Exercice 06 :<br />

Soit M un point repéré dans le plan (xoy) par les équations paramétriques suivantes :<br />

x = 4t<br />

2 −1 et y = 2 2.<br />

t Déterminer :<br />

1. Le vecteur vitesse du point M en fonction du temps ainsi que son module ;<br />

2. Le vecteur accélération du point M en fonction du temps ainsi que son module ; En<br />

déduire les accélérations tangentielle et normale ;<br />

3. Le rayon de courbure de la trajectoire ;<br />

4. On considère que le repère cartésien et le repère polaire ont la même origine et que l’angle<br />

θ est repéré par rapport à l’axe ox. Calculer les vitesses, radiale, orthoradiale et angulaire.<br />

207


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Vitesse et accélération du point M<br />

−−→<br />

→<br />

d OM ⎧Vx<br />

= 8t<br />

V = = ⎨<br />

; on déduit le module de la vitesse par :<br />

dt ⎩V<br />

y<br />

= 2 2<br />

V<br />

2 2<br />

= V + V = 2 2. 8t<br />

x<br />

y<br />

2<br />

+ 1<br />

2. Accélération du point γ M ainsi que γ<br />

t<br />

et<br />

γ<br />

N<br />

→<br />

→<br />

d V ⎧γ<br />

x<br />

= 8<br />

2 2<br />

L’accélération est donnée par : γ = = ⎨ ; d’où : γ = γ<br />

x<br />

+ γ<br />

y<br />

= 8<br />

dt ⎩γ<br />

y<br />

= 0<br />

2 2 2<br />

Dans la base de Frênet nous avons : γ = γ t<br />

+ γ avec :<br />

γ<br />

t<br />

= 2<br />

⎛<br />

d⎜<br />

2<br />

⎝<br />

2<br />

( 8t<br />

+ 1)<br />

dt<br />

1<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

comme nous avons : γ<br />

= 2<br />

= γ −<br />

1<br />

2. 16t<br />

2<br />

2 2<br />

N<br />

γ t<br />

2<br />

( 8t<br />

+ 1)<br />

1<br />

−<br />

2<br />

=<br />

N<br />

16t<br />

8t<br />

2<br />

2<br />

+ 1<br />

dV<br />

γ<br />

t<br />

=<br />

dt<br />

2<br />

2<br />

⎛ 16 2 ⎞<br />

2 2<br />

512 64<br />

8 ⎜<br />

t<br />

⎟<br />

t<br />

γ<br />

N<br />

= −<br />

= 64 − =<br />

2<br />

⇔<br />

2<br />

2<br />

⎝ 8t<br />

+ 1 ⎠ 8t<br />

+ 1 8t<br />

+ 1<br />

γ<br />

N<br />

=<br />

8t<br />

8<br />

2 +<br />

1<br />

3. Rayon de courbure de la trajectoire<br />

il est donné par la relation :<br />

V<br />

ρ =<br />

γ<br />

2<br />

N<br />

8. 8t<br />

d’où : ρ =<br />

2<br />

2<br />

( + 1) 8t<br />

+ 1 2<br />

= ( 8t<br />

+ 1)<br />

8<br />

3<br />

2<br />

4. Vitesses : radiale, orthoradiale et angulaire<br />

a. Vitesse radiale<br />

1<br />

2<br />

V r<br />

V r<br />

2 2<br />

dr d( x + y )<br />

2 2 2<br />

= =<br />

car r = ( x + y )<br />

dt dt<br />

d<br />

⎛<br />

⎜<br />

=<br />

⎝<br />

2<br />

( 4t<br />

−1)<br />

dt<br />

2<br />

+ 8t<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

d<br />

=<br />

4<br />

( ) 1<br />

16t<br />

+ 1 2 1 3 4<br />

= 64t<br />

( 16t<br />

+ 1)<br />

dt<br />

2<br />

1<br />

1<br />

−<br />

2<br />

=<br />

32t<br />

16t<br />

4<br />

3<br />

+ 1<br />

208


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

b. Vitesse orthoradiale<br />

2<br />

2 2<br />

Nous avons la relation : V = V ⇒ V = V −<br />

2 2<br />

r<br />

+ V θ<br />

θ<br />

2<br />

V r<br />

2<br />

V θ<br />

2<br />

3<br />

6 2 4<br />

⎛ 32 ⎞<br />

2<br />

2 1024 64 128 8<br />

8.<br />

( 8 1)<br />

⎜<br />

t<br />

⎟<br />

t t + t +<br />

= t + −<br />

= 64 + 8 − =<br />

4<br />

t<br />

4<br />

4<br />

⎝ 16t<br />

+ 1 ⎠<br />

16t<br />

+ 1 16t<br />

+ 1<br />

V θ<br />

= ±<br />

2<br />

2<br />

4t<br />

2<br />

16t<br />

+ 1<br />

4<br />

+ 1<br />

on voit dans cette expression que la vitesse radiale est continue et ne s’annule jamais alors elle<br />

ne change par de signe. En coordonnées polaires nous avons :<br />

⎧sinθ<br />

= 0<br />

nous avons ainsi pour t = 0 ⇒ ⎨<br />

d’où : θ = π<br />

⎩cosθ<br />

= −1<br />

au même instant t = 0 nous avons :<br />

⎧ Vx<br />

= 0<br />

⎨<br />

⎩V<br />

y<br />

= 2 2<br />

Ces deux conditions nous conduisent à la situation suivante :<br />

x<br />

cos θ = et<br />

r<br />

sin θ =<br />

y<br />

r<br />

Pour t = 0 ⇒ θ = π<br />

V y = V θ<br />

y<br />

→<br />

e<br />

θ<br />

x<br />

On voit que pour<br />

t = 0<br />

la vitesse radial V est négative et comme elle ne change pas, elle le<br />

θ<br />

restera et par conséquent elle aura pour expression :<br />

c. Vitesse angulaire<br />

V<br />

θ<br />

= − 2<br />

2<br />

4t<br />

2<br />

16t<br />

+ 1<br />

4<br />

+ 1<br />

dθ<br />

Nous savons que : Vθ = r ⇒<br />

dt<br />

dθ<br />

V<br />

=<br />

dt r<br />

θ<br />

=<br />

− 2<br />

2<br />

16t<br />

4t<br />

16t<br />

4<br />

2<br />

+ 1<br />

+ 1<br />

4<br />

+ 1<br />

= − 2<br />

4t<br />

2<br />

16t<br />

2<br />

4<br />

+ 1<br />

+ 1<br />

209


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 07 :<br />

Soit R O,<br />

i , j,<br />

k ) un repère orthonormé direct fixe. Soit deux vecteurs et tel que :<br />

0<br />

(<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

u<br />

→<br />

v<br />

→<br />

→<br />

→<br />

u = cos ψ i + sinψ<br />

j<br />

,<br />

→<br />

v =<br />

→<br />

d u<br />

dψ<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

d v<br />

1. Vérifier que = − u et que la base formé par les vecteurs unitaires ( u,<br />

v,<br />

k)<br />

est<br />

dψ<br />

orthogonale directe ;<br />

2. Soit ( C ) une courbe décrite par le point M dont l’équation paramétrique est donnée par :<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

OM = a u+<br />

bψ k où a et b sont des constantes et ψ le paramètre de représentation.<br />

a) Calculer<br />

−−→<br />

d OM<br />

dψ<br />

→ →<br />

k<br />

en fonction de ( a , b , v , ) ;<br />

b) En déduire<br />

ds<br />

dψ<br />

en fonction de<br />

c +<br />

2 2<br />

= a b , s étant l’abscisse curviligne ;<br />

−−→<br />

c) Déterminer<br />

→ d OM/<br />

dψ<br />

τ = , vecteur unitaire tangent à la courbe au point M en<br />

−−→<br />

d OM/<br />

dψ<br />

→ →<br />

k<br />

fonction de ( a , b , v , ) ;<br />

d) En déduire que l’angle α compris entre les vecteurs τ et est constant<br />

→<br />

→<br />

k<br />

3. Exprimer<br />

d → τ<br />

ds<br />

→ →<br />

1<br />

en fonction de α , c et u . En déduire n ainsi que la courbure ;<br />

R<br />

→<br />

4. Déterminer la binormale b au point M . En déduire l’expression de la torsion<br />

1 sachant<br />

T<br />

que :<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

n<br />

= , vérifier que le rapport<br />

T<br />

T<br />

R<br />

est constant.<br />

Solution :<br />

→<br />

1. Nous avons : u = cosψ i + sinψ<br />

j , alors :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d u<br />

→<br />

→<br />

v = = −sin<br />

ψ i + cosψ<br />

j<br />

dψ<br />

210


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d’où :<br />

→<br />

d v<br />

→<br />

→ →<br />

= − cos ψ i − sinψ<br />

j = − u<br />

dψ<br />

→ → →<br />

(<br />

0<br />

La base u,<br />

v,<br />

k ) est directe si :<br />

→ → →<br />

u∧ v = k0<br />

→ → →<br />

∧ v = k0<br />

u ⇔<br />

⎛cosψ<br />

⎞ ⎛ sinψ<br />

⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜ sinψ<br />

⎟ ∧ ⎜cosψ<br />

⎟ = (cos<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />

2<br />

ψ + sin<br />

2<br />

ψ ) k<br />

→<br />

0 =<br />

→<br />

k<br />

0<br />

2. Calcul de<br />

−−→<br />

d OM<br />

dψ<br />

→ →<br />

k<br />

en fonction de ( a , b , v , ) sachant que :<br />

−−→<br />

OM<br />

→<br />

→<br />

= a u+<br />

bψ<br />

k<br />

a)<br />

−−→<br />

d OM<br />

dψ<br />

→<br />

d u<br />

→<br />

= a + b k0<br />

dψ<br />

b)<br />

−−→<br />

ds d OM<br />

= = a<br />

2<br />

dψ<br />

dψ<br />

+ b<br />

2<br />

= c<br />

2<br />

c) on déduit : τ =<br />

V ( M )<br />

V ( M )<br />

−−→<br />

d OM<br />

dt<br />

d OM<br />

dt<br />

−−→<br />

d OM dψ<br />

.<br />

dψ<br />

dt<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

→<br />

=<br />

−−→<br />

=<br />

−−→<br />

d OM dψ<br />

.<br />

dψ<br />

dt<br />

d OM/<br />

dψ<br />

a v<br />

=<br />

−−→<br />

d OM/<br />

dψ<br />

c<br />

b k<br />

→<br />

0<br />

→ → →<br />

→ 2 2<br />

a b<br />

a + b c<br />

τ = v+<br />

k0<br />

⇒ τ = = = 1<br />

c c<br />

c c<br />

→ →<br />

(<br />

0<br />

d) α = τ , k ) constant<br />

→<br />

pour le montrer on utilise le produit scalaire : τ •<br />

comme b et c sont des constantes alors α est constant.<br />

On peut exprimer le vecteur unitaire sous la forme : τ<br />

→ → →<br />

b<br />

k<br />

0<br />

= τ k0<br />

cosα<br />

⇔ = cosα<br />

c<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= sinα v+<br />

cosα<br />

k0<br />

3. Expression de<br />

d → τ<br />

ds<br />

→<br />

en fonction de α , c et u .<br />

→<br />

→<br />

d τ d τ dψ<br />

= or nous avons :<br />

ds dψ<br />

ds<br />

ds 1<br />

=<br />

dψ<br />

c<br />

⇒<br />

dψ<br />

= c<br />

ds<br />

et<br />

→<br />

d τ<br />

→<br />

= −sin<br />

α u<br />

dψ<br />

211


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

d τ sinα<br />

→<br />

on obtient ainsi : = − u<br />

ds c<br />

→<br />

Détermination de la normale<br />

→<br />

n<br />

ainsi que la courbure<br />

1 ;<br />

R<br />

Nous savons que :<br />

On déduit que :<br />

→<br />

d τ<br />

=<br />

ds<br />

→<br />

n<br />

R<br />

⎧ 1 sinα<br />

⎪ =<br />

⎨R<br />

c<br />

→ →<br />

⎪<br />

⎩ n = − u<br />

et par analogie avec l’expression précédente :<br />

→<br />

d τ sinα<br />

→<br />

= − u<br />

ds c<br />

on le vérifie facilement pat le produit scalaire : τ • n = 0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

⎛<br />

⎞<br />

En effet : ⎜sinα v+<br />

cosα k0 ⎟ • n = 0<br />

⎝<br />

⎠<br />

→<br />

4. La binormale b au point M<br />

→<br />

→<br />

→<br />

b = τ ∧ n ⇔<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝cosα<br />

⎠<br />

⎛−1⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ sinα<br />

⎠<br />

→<br />

→<br />

→<br />

b = sinα<br />

∧ 0 = − cosα<br />

= −cosα<br />

v+<br />

sinα<br />

k0<br />

Expression de la torsion sachant que :<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

n<br />

=<br />

T<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

→<br />

n u<br />

= = − or nous avons :<br />

T T<br />

→<br />

d b<br />

ds<br />

→<br />

d b dψ<br />

cosα<br />

→<br />

= . = u les deux expressions nous<br />

dψ<br />

ds c<br />

donnent :<br />

1 cosα<br />

= −<br />

T c<br />

De là on vérifie facilement que le rapport :<br />

T<br />

R<br />

=<br />

− c / cosα<br />

= −tgα<br />

c / sinα<br />

Exercice 08 :<br />

Un bateau schématisé par un point mobile M se déplace à une vitesse constante<br />

rapport à l’eau d’une rivière. L’eau de la rivière se déplace à une vitesse<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→ → →<br />

(<br />

rapport aux berges tel U U i , avec R O , i , j , k ) un repère fixe.<br />

Le mouvement du point M est tel que à chaque instant le vecteur vitesse<br />

vecteur déplacement<br />

−−→<br />

OM<br />

. On posera<br />

−−→<br />

OM<br />

→<br />

= r er<br />

→<br />

U<br />

→<br />

V<br />

→<br />

V<br />

par<br />

constante par<br />

est orthogonale au<br />

212


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1. Donner l’expression de la vitesse du point M en fonction de U et V dans R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

;<br />

a) Exprimer les composantes de la vitesse dans la base ( M , e r<br />

, e θ<br />

, k)<br />

;<br />

b) Donner l’expression générale de la vitesse en coordonnées polaires.<br />

2. Déterminer l’équation de la trajectoire du bateau par rapport au repère R(<br />

O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

en<br />

coordonnées polaires r = f (θ ) , sachant qu’à t = 0 : θ = 0 et r = r0<br />

;<br />

p<br />

a) Mettre l’expression de la trajectoire sous la forme : r = ;<br />

1−<br />

k sinθ<br />

b) Préciser les expressions de p et k , puis donner la nature de la trajectoire.<br />

3. Déterminer l’accélération du bateau dans la base ( M , e r<br />

, e θ<br />

, k)<br />

a) Donner l’expression générale de l’accélération en coordonnées polaires ;<br />

2 dθ<br />

b) En déduire que l’expression r est une constante et donner sa valeur<br />

dt<br />

c) Calculer la durée de révolution du bateau autour du point O. on donne :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∫<br />

2π<br />

dθ<br />

1−<br />

k sinθ<br />

)<br />

0 2<br />

=<br />

2π<br />

(1 − k<br />

2<br />

)<br />

3<br />

2<br />

Exercice 09 :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit R<br />

0<br />

( O,<br />

i , j,<br />

k)<br />

un repère orthonormé direct fixe et R ( M , e , e , e s r ψ θ<br />

) un repère local<br />

sphérique lié au point M.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

e r<br />

−→<br />

→ →<br />

= OP er<br />

= r er<br />

OP .<br />

u = cos ψ i + sinψ<br />

j , = sinθ u+<br />

cosθ<br />

k ,<br />

→<br />

→<br />

→<br />

e<br />

→<br />

= e ψ<br />

d r et e<br />

dψ<br />

→<br />

ψ<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= cosθ<br />

u−<br />

sinθ<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Exprimer dans le repère R ( M , e , e , e s r ψ θ<br />

) , la vitesse et l’accélération du point M.<br />

→<br />

e ϕ<br />

→<br />

e r<br />

→<br />

z<br />

o<br />

θ<br />

r<br />

→<br />

e θ<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

ψ<br />

→<br />

e θ<br />

→<br />

u<br />

213


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 10 :<br />

Les coordonnées d’un point M , en mouvement dans un plan sont données par :<br />

x = a( 1+<br />

cos t)<br />

et y = bsin<br />

t , t : représente le temps , a et b sont deux constantes positives.<br />

1. Donner l’équation de la trajectoire du point M , quelle est sa nature ?<br />

2. Exprimer la vitesse du point M. Existe-t-il des instants tel que le module V de la vitesse<br />

soit égale à une grandeur λ f 0 donnée ? discuter les solutions.<br />

3. Le vecteur vitesse peut-il être normal au vecteur accélération ?<br />

4. Représenter graphiquement ces vecteurs sur la courbe.<br />

Solution :<br />

1. Equation et nature de la trajectoire<br />

L’équation cartésienne de la trajectoire s’obtient en éliminant le paramètre temps des<br />

équations paramétriques.<br />

x<br />

y<br />

2 2<br />

− 1 = cost<br />

et = sin t en utilisant la règle trigonométrique : cos t + sin t = 1 on<br />

a<br />

b<br />

aboutit à :<br />

⎛ x<br />

⎜<br />

⎝ a<br />

−<br />

2 2<br />

⎞ y<br />

1⎟<br />

+<br />

2<br />

⎠<br />

b<br />

= 1<br />

2<br />

( x − a)<br />

y<br />

⇒ + = 1<br />

2 2<br />

a b<br />

on pose : x − a = X et y = Y l’expression devient :<br />

X<br />

a<br />

2<br />

2<br />

+ b<br />

Y<br />

2<br />

2<br />

= 1<br />

axe a et de demi petit axe b .<br />

2<br />

c’est l’équation décentrée suivant l’axe (Ox) , d’une ellipse de demi grand<br />

2. Vitesse du point M<br />

Nous avons :<br />

→<br />

V<br />

=<br />

−−→<br />

d OM<br />

dt<br />

⎧<br />

⎪V<br />

x<br />

= ⎨<br />

⎪ V<br />

⎩<br />

y<br />

dx<br />

= = −asin<br />

t<br />

dt<br />

dy<br />

= = bcost<br />

dt<br />

D’où : V<br />

2<br />

= V<br />

2<br />

x<br />

+ V<br />

2<br />

y<br />

= a<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

t + b<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

t = b<br />

2<br />

+ ( a<br />

2<br />

2<br />

− b )sin<br />

2<br />

t<br />

V<br />

=<br />

b<br />

2<br />

2 2<br />

+ ( a − b )sin<br />

2<br />

t<br />

On doit chercher s’il existe un instant t tel que :<br />

V = λ avec λ f 0<br />

214


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A.KADI<br />

b 2<br />

2 2<br />

2 2 2 2 2 λ −<br />

λ = b + ( a − b )sin t ⇔ = sin t<br />

2 2<br />

a − b<br />

sin t = ±<br />

2<br />

λ − b<br />

2<br />

a − b<br />

2<br />

2<br />

or on sait que la valeur du sinus est comprise entre 0 et 1, cela revient à discuter la double<br />

2 2<br />

λ − b<br />

inégalité : 0 ≤ ≤ 1<br />

2 2<br />

a − b<br />

2 2<br />

λ − b ≥ 0 ⇒ λ ≥ b<br />

2 2 2 2<br />

λ − b ≤ a − b ⇒ λ ≤ a<br />

qui se traduit par deux équations :<br />

Il existe bien des instants t tel que V = λ a condition que : a ≤ λ ≤ b<br />

3. Les vecteurs vitesse V et accélération γ :<br />

→<br />

→ →<br />

→ →<br />

S’ils sont perpendiculaires ( V ⊥ γ ) alors leur produit scalaire est nul. V • γ = 0<br />

→<br />

Calculons le vecteurs accélération : γ =<br />

→<br />

→<br />

d V<br />

dt<br />

⎧γ<br />

x<br />

= −a<br />

cost<br />

= ⎨<br />

⎩γ<br />

y<br />

= −bsin<br />

t<br />

→<br />

→<br />

Si V • γ = 0 ⇒ V γ V γ = 0<br />

2<br />

2<br />

⇔ a sin t cos t − b sin t cos t = 0<br />

x<br />

x +<br />

y y<br />

2 2<br />

2 2<br />

( a − b )sin t cost<br />

= 0 qui s’écrit aussi sous la forme : ( a − b )sin 2t<br />

= 0<br />

comme nous avons :<br />

a f b alors sin 2t = 0 ce qui se traduit par :<br />

2 t = mπ ⇒<br />

π<br />

t = m avec m ∈ IN<br />

2<br />

4. Représentation graphique des vecteurs<br />

Représentons l’hodographe du mouvement et traçons sur la courbe les deux vecteurs dans les<br />

positions où ils sont perpendiculaires.<br />

⎛<br />

En effet nous avons : ⎜<br />

⎝ a<br />

V 2<br />

⎞ x 2<br />

⎟<br />

⎠<br />

= sin<br />

t<br />

et<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

2<br />

V y ⎞<br />

2<br />

b<br />

⎟<br />

⎠<br />

= cos<br />

t<br />

2<br />

⎛V<br />

⎞ ⎛V<br />

⎞<br />

x<br />

yx<br />

Ce qui donne : ⎜ ⎟ +<br />

⎜<br />

⎟ = 1<br />

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠<br />

respectivement sur l’axe Ox et Oy.<br />

2<br />

c’est l’équation d’une ellipse de demi axe a et b<br />

215


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A.KADI<br />

On trace deux cercles : l’un de rayon<br />

λ = a et l’autre de rayon λ = b car a ≤ λ ≤ b<br />

Et l’intersection de ces deux cercles avec l’hodographe des vitesses donne les quatre points<br />

donc les instants où la vitesse est perpendiculaire à l’accélération.<br />

→ →<br />

On voit bien que V ⊥ γ aux points A , A sur l’axe (Ox) et B , B<br />

1 2<br />

1 2<br />

sur l’axe (Oy) qui<br />

correspondent aux instants<br />

π<br />

t = m avec m ∈ IN<br />

2<br />

V y<br />

B 1<br />

→<br />

V<br />

A<br />

2<br />

a<br />

b<br />

→<br />

γ<br />

A 1<br />

V x<br />

B 2<br />

216


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A.KADI<br />

CHAPITRE VI<br />

CINEMATIQUE DU SOLIDE<br />

216


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A.KADI<br />

CINEMATIQUE DU SOLIDE<br />

1. Généralités<br />

Un solide est dit indéformable, si la distance entre deux points de celui-ci reste constante et<br />

= −→<br />

invariable au court du temps : d [ A(<br />

t),<br />

B(<br />

t)<br />

] AB = Cte<br />

La mécanique des solides permet d’étudier le comportement des solides et déterminer tous les<br />

paramètres cinématiques de l’ensemble de ses points quel que soit la nature du mouvement.<br />

La notion de torseur, déjà étudiée dans les chapitres précédents, sera très utile dans la<br />

cinématique des solides. La formule de transport permet, connaissant la vitesse d’un seul<br />

point du solide de déduire facilement la vitesse de tous les points du solide.<br />

L’objectif de la cinématique du solide est de connaître la position, la vitesse et l’accélération<br />

de tous les points du solide par rapport à un repère déterminé.<br />

2. Notion de Repères et Référentiels<br />

Pour étudier le mouvement d’un solide où d’un système composé de plusieurs solides, il est<br />

indispensable de repérer la position de chaque point ainsi que les vecteurs cinématiques dans<br />

l’espace et le temps.<br />

Nous considérons en cinématique classique que l’espace est Euclidien, à trois dimensions et le<br />

temps est absolu et indépendant de l’observateur.<br />

Afin de repérer le solide, l’observateur va définir :<br />

- Un repère d’espace défini par une origine O et une base orthonormée x , y , z ) . Le<br />

trièdre<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

défini complètement le repère d’espace dans lequel peuvent être<br />

exprimées les coordonnées de tous les points du solide.<br />

- Un repère de temps (appelé aussi échelle de temps) avec une origine et une unité de<br />

temps. Dans le système MKSA l’unité de temps est la seconde.<br />

Ces deux repères définissent un repère espace-temps appelé en cinématique classique<br />

référentiel ou simplement repère. Nous choisissons ensuite un point<br />

O s<br />

quelconque du<br />

217


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

solide. La position de ce point est donnée à chaque instant par le vecteur position<br />

−−→<br />

OO s<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

exprimé dans le repère R O,<br />

x , y , z ) . Les coordonnées du point O dépendent du temps et<br />

s<br />

permettent de connaître à chaque instant la position du repère<br />

R(<br />

O<br />

s<br />

→<br />

, x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

)<br />

lié au solide.<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

Le passage du repère R O,<br />

x , y , z ) vers le repère R(<br />

O , x , y , z ) lié au solide est<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

déterminé par la matrice de passage qui exprime les vecteurs unitaires<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

en<br />

fonction des vecteurs unitaires<br />

→<br />

( x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

) . Cette matrice de passage s’exprime en fonction<br />

des angles d’Euler que nous verrons dans ce chapitre. L’orientation du repère lié au solide est<br />

indépendante du choix du point .<br />

O s<br />

L’ensemble des paramètres de translation et de rotation constituent les paramètres de situation<br />

ou degrés de liberté du solide dans l’espace par rapport au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) . Si le<br />

nombre de paramètres est égale à 6 (3 rotations et 3 translations) on dit que le solide est<br />

complètement libre dans<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) . Si le nombre de paramètres est inférieur à 6 , on dit<br />

que le solide est lié ou soumis à des liaisons, certains paramètres ne varient pas au cours du<br />

temps.<br />

3. Systèmes de notations<br />

Dans l’étude de la cinématique nous adoptons la notation suivante :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit R ( O , x , y , z ) un repère lié à l’observateur et P un point du solide, nous avons :<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

−−→<br />

Oi P : vecteur position du point P par rapport au repère R i<br />

;<br />

−−→<br />

−→<br />

i<br />

i d Oi<br />

P<br />

V ( P)<br />

= : vitesse du point P par rapport au repère R i<br />

;<br />

dt<br />

−→<br />

−→<br />

i<br />

i d Vi<br />

( P)<br />

γ ( P)<br />

= : accélération du point P par rapport au repère R i<br />

;<br />

dt<br />

Les paramètres cinématiques sont toujours liés au repère.<br />

218


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4. Repère d’étude, lié à l’observateur et repère de projection<br />

Les paramètres cinématiques (vecteurs vitesse et accélération) des points du solide sont<br />

étudiés dans un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z ) lié à l’observateur. Ce repère est appelé repère d’étude.<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

−→<br />

(<br />

Les composantes des vecteurs vitesses V i i<br />

P)<br />

et accélération γ ( P)<br />

étant mesurés et définis<br />

→<br />

dans le repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z )<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

nous pouvons connaître leurs composantes dans n’importe<br />

quel repère de l’espace<br />

R ( O<br />

p<br />

p<br />

→<br />

, x<br />

p<br />

→<br />

, y<br />

p<br />

→<br />

, z<br />

p<br />

)<br />

que l’on appellera repère de projection.<br />

Le choix de ce repère de projection permet d’exprimer les paramètres cinématiques avec des<br />

expressions mathématiques plus simples. Il est souvent intéressant de choisir le repère de<br />

projection différent du repère d'étude afin de simplifier et réduire les calculs. Le repère de<br />

projection étant mobile par rapport au repère d’étude, il faut faire attention lors des<br />

dérivations que les vecteurs unitaires du repère de projection changent de direction donc il<br />

faut en tenir compte.<br />

5. Mouvement d’un repère R par rapport à un repère R lié à l’observateur<br />

→<br />

→<br />

k<br />

Soit R ( O , x , y , z ) un repère lié à l’observateur et R ( O , x , y , z ) un repère en<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

mouvement quelconque par rapport au premier. Tout point de l’espace peut être repéré<br />

totalement dans R et déduire ses composantes dans R où inversement en connaissant le<br />

mouvement de R par rapport à R .<br />

k<br />

→<br />

k<br />

i<br />

Le mouvement du repère R k<br />

est totalement connu si :<br />

- La position de son centre O est totalement connu dans R ;<br />

k<br />

i<br />

- L’orientation des axes de R est connu par rapport à ceux de R .<br />

-<br />

5.1. Repérage du centre Ok<br />

du repère<br />

k<br />

Rk<br />

Le repérage du point O centre du repère R est déterminé par les composantes du vecteur<br />

O<br />

−−→<br />

i O k<br />

suivantes :<br />

k<br />

k<br />

liant les deux centres des repères dans R ou R , ceci se traduit par les relations<br />

i<br />

k<br />

i<br />

k<br />

i<br />

i<br />

k<br />

i<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

219


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−−→ →<br />

⎧<br />

⎪<br />

OiOk<br />

• xi<br />

−−→ →<br />

Dans R i<br />

: ⎨OiOk<br />

• yi<br />

; Dans R k<br />

:<br />

⎪<br />

−−→ →<br />

•<br />

⎪OiOk<br />

zi<br />

R ⎩<br />

i<br />

R<br />

−−→ →<br />

⎧<br />

⎪<br />

OiOk<br />

• xk<br />

−−→ →<br />

⎨OiOk<br />

• yk<br />

⎪<br />

−−→ →<br />

•<br />

⎪OiOk<br />

zk<br />

⎩<br />

k<br />

5.2 Repérage de l’orientation des axes du repère<br />

Pour repérer l’orientation des axes du repère R , on ramène ce repère en O de telle sorte<br />

que les centres Oi<br />

et O<br />

k<br />

soient confondues ( O i<br />

≡ O k<br />

) .<br />

Le repère R est en rotation quelconque par rapport au repère R , dans ce cas chacun des<br />

k<br />

k<br />

i<br />

i<br />

→<br />

→<br />

vecteurs unitaires ( x , y , z ) aura des composantes<br />

k<br />

dans le repère R i<br />

; nous pouvons alors écrire :<br />

→ → → →<br />

xi<br />

= α<br />

11<br />

xk<br />

+ α12<br />

yk<br />

+ α13<br />

zk<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

z k<br />

→<br />

z i<br />

→<br />

y<br />

k<br />

→<br />

→ → →<br />

yi<br />

= α<br />

21<br />

xk<br />

+ α<br />

22<br />

yk<br />

+ α<br />

23<br />

zk<br />

→ → → →<br />

zi<br />

= α<br />

31<br />

xk<br />

+ α<br />

32<br />

yk<br />

+ α<br />

33<br />

zk<br />

→<br />

x i<br />

oi ≡ o k<br />

→<br />

x k<br />

→<br />

y i<br />

Ces trois équations peuvent se mettre sous la forme matricielle, ce qui donne :<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ xi<br />

⎟ ⎛α<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎜ yi<br />

⎟ = ⎜α<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

zi<br />

⎝α<br />

⎝ ⎠<br />

11<br />

21<br />

31<br />

α<br />

α<br />

α<br />

12<br />

22<br />

32<br />

→<br />

⎛<br />

α ⎞⎜<br />

x<br />

13<br />

⎟⎜<br />

α<br />

23 ⎟⎜<br />

y<br />

α ⎟⎜<br />

33 ⎠<br />

zk<br />

⎝<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

La matrice [ P]<br />

(3x3) définie par les éléments<br />

Ri<br />

α<br />

ij<br />

est appelée matrice de passage du repère<br />

au repère R . La matrice [ P]<br />

est orthogonale droite, trois paramètres indépendant<br />

k<br />

permettent de repérer l’orientation du repère<br />

R k<br />

. Les paramètres indépendants les plus utilisés<br />

pour déterminer l’orientation de la base mobile sont les angles d’Euler que l’on présentera en<br />

détail dans ce chapitre. Nous allons d’abord étudier les relations existant entre les deux bases<br />

Ri<br />

et<br />

Rk<br />

puis expliciter la formule de la base mobile et ses conséquences.<br />

220


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.3. Formule de la base mobile<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe et R ( O , x , y , z ) un repère mobile par rapport au<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

premier. Les vecteurs unitaires du repère<br />

R k<br />

sont orthogonaux entre eux et de module<br />

constant et égale à 1, mais ils changent de direction dans l’espace.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x = y = z = 1 et x . y = 0 , x . z = 0 , y . z = 0<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

Nous allons déterminer les dérivées de ces vecteurs dans le repère R i<br />

:<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

d x<br />

dt<br />

k<br />

,<br />

→<br />

i<br />

d y<br />

dt<br />

k<br />

,<br />

→<br />

i<br />

d z<br />

dt<br />

k<br />

→ • → → →<br />

→ → →<br />

i<br />

Soit Ω<br />

k<br />

= θ ( a xk<br />

+ b yk<br />

+ c zk<br />

) , le vecteur rotation de la base Rk<br />

( Ok<br />

, xk<br />

, yk<br />

, zk<br />

) par rapport à<br />

→<br />

→<br />

→<br />

la base R ( O , x , y , z ) .<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

Nous avons alors les relations suivantes :<br />

i<br />

→<br />

i<br />

d xk<br />

dθ<br />

d<br />

i<br />

dt<br />

→<br />

x<br />

k<br />

→<br />

i<br />

d yk<br />

dθ<br />

d<br />

i<br />

dt<br />

→<br />

y<br />

k<br />

→<br />

i<br />

d zk<br />

dθ<br />

d<br />

i<br />

→<br />

z<br />

dt<br />

k<br />

⊥ x<br />

→<br />

k<br />

⇒<br />

→<br />

i<br />

d xk<br />

dθ<br />

→<br />

∈ ( y<br />

k<br />

→<br />

, z<br />

k<br />

)<br />

i<br />

d x<br />

→ → →<br />

k<br />

; nous pouvons écrire : = 0. xk<br />

+ c yk<br />

− b zk<br />

)<br />

dθ<br />

⎛a⎞<br />

⎛1⎞<br />

→<br />

i i<br />

→ → → • •<br />

→<br />

d x<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

→<br />

k d θ<br />

i<br />

= = ( 0. xk<br />

+ c yk<br />

− b zk<br />

) θ = θ b ∧ 0 = Ω<br />

k<br />

∧ xk<br />

⊥ y<br />

→<br />

k<br />

dθ<br />

⇒<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

d yk<br />

dθ<br />

→<br />

∈ ( x<br />

k<br />

→<br />

, z<br />

k<br />

)<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ c ⎠<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝0⎠<br />

i<br />

d y<br />

→ → →<br />

k<br />

; nous pouvons écrire : = −c xk<br />

+ 0. yk<br />

+ a zk<br />

)<br />

dθ<br />

⎛a⎞<br />

⎛0⎞<br />

→<br />

i i<br />

→ → → • •<br />

→<br />

d y<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

→<br />

k d θ<br />

i<br />

= = ( −c xk<br />

+ 0. yk<br />

+ a zk<br />

) θ = θ b ∧ 1 = Ω<br />

k<br />

∧ yk<br />

⊥ z<br />

→<br />

k<br />

dθ<br />

⇒<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

d zk<br />

dθ<br />

→<br />

∈ ( x<br />

k<br />

→<br />

, y<br />

k<br />

)<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ c ⎠<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝0⎠<br />

i<br />

d zk<br />

; nous pouvons écrire : = b x<br />

→<br />

−<br />

→<br />

+ 0.<br />

→<br />

k<br />

a yk<br />

zk<br />

)<br />

dθ<br />

⎛a⎞<br />

⎛0⎞<br />

→<br />

i i<br />

→ → → • •<br />

→<br />

d z<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

→<br />

k d θ<br />

i<br />

= = ( b xk<br />

− yk<br />

+ 0. zk<br />

) θ = θ b ∧ 0 = Ω<br />

k<br />

∧ zk<br />

dθ<br />

dt<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ c ⎠<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝1⎠<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Nous avons donc :<br />

→<br />

i<br />

d x<br />

dt<br />

k<br />

→ →<br />

i<br />

= Ω<br />

k<br />

∧ xk<br />

;<br />

→<br />

i<br />

d y<br />

dt<br />

k<br />

→ →<br />

i<br />

= Ω<br />

k<br />

∧ yk<br />

;<br />

→<br />

i<br />

d z<br />

dt<br />

k<br />

→ →<br />

i<br />

= Ω<br />

k<br />

∧ zk<br />

221


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.4. Dérivée dans le repère R d’un vecteur (t)<br />

exprimé dans un repère<br />

i<br />

Le vecteur (t) s’écrira : V t)<br />

X x + Y y Z z dans le repère R .<br />

V →<br />

V →<br />

→<br />

( = → →<br />

+<br />

→<br />

k k k k k k<br />

k<br />

Rk<br />

Sa dérivée dans le repère R k<br />

a pour expression :<br />

Sa dérivée dans le repère R i<br />

s’écrira :<br />

→<br />

k<br />

d V ( t)<br />

dt<br />

• → • → • →<br />

= X k xk<br />

+ Y k yk<br />

+ Z k zk<br />

→<br />

i<br />

→<br />

k<br />

→ → → → →<br />

d V ( t<br />

→<br />

i<br />

i<br />

i<br />

= + X<br />

k<br />

Ω<br />

k<br />

∧ xk<br />

+ Yk<br />

Ω<br />

k<br />

∧ yk<br />

+ Z<br />

k<br />

Ω<br />

k<br />

∧ zk<br />

d V ( t)<br />

)<br />

dt dt<br />

→<br />

i<br />

d V ( t)<br />

dt<br />

=<br />

d<br />

→<br />

k<br />

V ( t)<br />

+ Ω<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

⎛<br />

∧ ⎜ X<br />

⎝<br />

k<br />

→<br />

x + Y<br />

k<br />

k<br />

→<br />

y + Z<br />

k<br />

k<br />

→<br />

z<br />

k<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

=<br />

d<br />

→<br />

k<br />

V ( t)<br />

+ Ω<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

∧V<br />

( t)<br />

i<br />

k<br />

→<br />

d V ( t)<br />

d V ( t)<br />

→<br />

i<br />

On obtient finalement : = + Ω<br />

k<br />

∧V<br />

( t)<br />

dt dt<br />

→<br />

→<br />

5.5. Propriétés du vecteur<br />

→<br />

Ω i k<br />

→<br />

a) Le vecteur Ω i k<br />

est antisymétrique par rapport aux indices i et j :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

→<br />

k<br />

i<br />

= −Ω<br />

→<br />

→<br />

i j i<br />

b) Formule de Chasles : Ω = Ω + Ω (principe de composition)<br />

k<br />

k<br />

→<br />

j<br />

c)<br />

d<br />

i<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

=<br />

d<br />

k<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

égalité des dérivées par rapport aux indices.<br />

6. Angles d’Euler<br />

6.1 Angles d’Euler de type 1<br />

→<br />

→<br />

Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe et R ( O , x , y , z ) un repère lié au solide (S), en<br />

i<br />

mouvement quelconque dans l’espace. Le centreO<br />

du repère R appartient au<br />

solide O k<br />

∈ (S) .<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Dans le cas des angles d’Euler de type 1, on considère que les centres O et O des deux<br />

repères sont confondus : O ≡ , ce qui signifie que le repère R ne fait que des rotations<br />

i<br />

O k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

i<br />

k<br />

222


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

par rapport au repère<br />

R i<br />

. Trois paramètres indépendants sont nécessaires pour définir<br />

complètement l’orientation du repère R par rapport à celle de R .<br />

k<br />

Le passage du repère R vers le repère R se fera par trois rotations en utilisant deux repères<br />

intermédiaires et R .<br />

R1<br />

2<br />

i<br />

i<br />

i<br />

6.1.1. Passage du repère R vers le repère R : (précession)<br />

→<br />

La rotation se fait autour de l’axe z .<br />

→<br />

1<br />

→<br />

→<br />

z i ≡ 1<br />

→<br />

On passe du repère R ( O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1 1<br />

d’angle<br />

ψ : appelé angle de précession. La vitesse de rotation est donnée par :<br />

→ • → • →<br />

i<br />

Ω1 = ψ z i<br />

= ψ z1<br />

→<br />

z i<br />

→<br />

z 1<br />

car est confondu avec .<br />

La représentation se fait par des figures planes, à partir desquelles nous construisons les<br />

matrices de passage. Nous avons ainsi :<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

x<br />

1<br />

= cosψ<br />

xi<br />

+ sinψ<br />

yi<br />

+ 0.<br />

zi<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

y<br />

1<br />

= −sinψ<br />

xi<br />

+ cosψ<br />

yi<br />

+ 0.<br />

zi<br />

→ → → →<br />

z<br />

1<br />

= 0. xi<br />

+ 0.<br />

yi<br />

+ zi<br />

Ces trois équations peuvent être mise<br />

sous forme matricielle et nous obtenons:<br />

→<br />

y 1<br />

ψ<br />

→<br />

y i<br />

→ →<br />

z i = z 1<br />

Précession<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

x i<br />

ψ<br />

→ → → →<br />

→ → →<br />

= ( xi<br />

, x1<br />

) = ( yi<br />

, y1)<br />

avec z1<br />

= x1<br />

∧ y1<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟ ⎛ cosψ<br />

⎟ ⎜<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinψ<br />

⎟ ⎜<br />

⎝ 0<br />

⎠<br />

sinψ<br />

cosψ<br />

0<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

0⎞⎜<br />

xi<br />

⎟<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

0⎟⎜<br />

yi<br />

⎟<br />

⎟<br />

→<br />

1 ⎜ ⎟<br />

⎠<br />

zi<br />

⎝ ⎠<br />

⎛ cosψ<br />

sinψ<br />

0⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

P<br />

R1→Ri<br />

= ⎜−<br />

sinψ<br />

cosψ<br />

0⎟<br />

est la matrice de passage du repère R1<br />

vers le repère Ri<br />

.<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝ 0 0 1⎠<br />

La matrice de passage de vers R est égale à la transposée de :<br />

Ri<br />

1<br />

PR<br />

1 → Ri<br />

P<br />

T<br />

Ri→ R1 = P R1→<br />

Ri<br />

223


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6.1.2. Passage du repère vers le repère R : (Nutation)<br />

R2<br />

1<br />

→ →<br />

≡<br />

2<br />

La rotation se fait autour de l’axe x 1<br />

x .<br />

On passe du repère R O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation<br />

d’angle<br />

→ • → • →<br />

1<br />

Ω<br />

2<br />

= θ x1<br />

= θ x2<br />

Nous avons ainsi :<br />

→ → → →<br />

x2 = xi<br />

+ 0.<br />

y1<br />

+ 0.<br />

z1<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2 2<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1 1<br />

θ : appelé angle de Nutation. La vitesse de rotation est donnée par :<br />

→<br />

x 1<br />

→ →<br />

→<br />

→<br />

y2<br />

= 0.<br />

x1<br />

+ cosθ y1+<br />

sinθ<br />

zi<br />

→ →<br />

→<br />

→<br />

z2<br />

= 0.<br />

x1<br />

− sinθ y1<br />

+ cosθ<br />

zi<br />

→<br />

x 2<br />

car est confondu avec .<br />

Sous forme matricielle et nous obtenons:<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

θ<br />

→<br />

z 1<br />

→ →<br />

x 1 = x 2<br />

→<br />

→<br />

Nutation<br />

θ<br />

→<br />

θ = ( y1,<br />

y2<br />

) = ( z1,<br />

z2<br />

) avec x2<br />

= y2<br />

∧ z2<br />

)<br />

→<br />

→<br />

y<br />

2<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟ ⎛1<br />

⎟ ⎜<br />

⎟ = ⎜0<br />

⎟ ⎜<br />

⎝0<br />

⎠<br />

0<br />

cosθ<br />

− sinθ<br />

⎛<br />

0 ⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

sinθ<br />

⎟⎜<br />

y<br />

cosθ<br />

⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎛1<br />

0 0 ⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

P<br />

R2→R1<br />

= ⎜0<br />

cosθ<br />

sinθ<br />

⎟ est la matrice de passage du repère R2<br />

vers le repère R1<br />

.<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝0<br />

− sinθ<br />

cosθ<br />

⎠<br />

6.1.3. Passage du repère vers le repère R : (Rotation propre)<br />

Rk<br />

2<br />

→<br />

La rotation se fait autour de l’axe z .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z 2 ≡ k<br />

→<br />

On passe du repère R ( O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2 2<br />

d’angle<br />

ϕ : appelé angle de Rotation propre. La vitesse de rotation est donnée par :<br />

→<br />

2<br />

k<br />

Ω<br />

=<br />

• →<br />

ϕ z 2<br />

• →<br />

= ϕ z<br />

k<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

z k<br />

car est confondu avec .<br />

Nous avons ainsi :<br />

224


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

x k<br />

= cosϕ<br />

x2 + sinϕ<br />

y2<br />

+ 0.<br />

z2<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

y k<br />

= −sinϕ<br />

x2 + cosϕ<br />

y2<br />

+ 0.<br />

z2<br />

→ → → →<br />

z k<br />

= 0.<br />

x2 + 0.<br />

y2<br />

+ z2<br />

Sous forme matricielle et nous obtenons:<br />

→<br />

y k<br />

ϕ<br />

→<br />

y 2<br />

→ →<br />

z 2 = z k<br />

Rotation propre<br />

ϕ<br />

→<br />

x<br />

k<br />

→<br />

x 2<br />

ϕ<br />

→ → → →<br />

→ → →<br />

= ( x<br />

2<br />

, xk<br />

) = ( y2<br />

, yk<br />

) avec zk<br />

= xk<br />

∧ yk<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

→<br />

⎞<br />

xk<br />

⎟ ⎛ cosϕ<br />

→ ⎟ ⎜<br />

yk<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinϕ<br />

→<br />

⎟ ⎜<br />

z<br />

⎝ 0<br />

k<br />

⎠<br />

sinϕ<br />

cosϕ<br />

0<br />

⎛<br />

0⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0⎟⎜<br />

y<br />

1⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎛ cosϕ<br />

sinϕ<br />

0⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

P<br />

Rk→R2 = ⎜−<br />

sinϕ<br />

cosϕ<br />

0⎟<br />

est la matrice de passage du repère Rk<br />

vers le repère R2<br />

.<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝ 0 0 1⎠<br />

Le passage du repère R vers le repère R ou inversement se fait par trois rotations<br />

k<br />

i<br />

successives de telle sorte que tous les axes de<br />

R k<br />

occupent des positions différentes de celle<br />

de R . La matrice de passage de R vers R est donnée par le produit des trois matrices<br />

i<br />

successives, on obtient :<br />

k<br />

i<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

⎞<br />

⎟ ⎛ cosϕ<br />

cosψ<br />

− sinψ<br />

cosθ<br />

sinϕ<br />

⎟ ⎜<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinϕ<br />

cosψ<br />

− sinψ<br />

cosθ<br />

cosϕ<br />

⎟ ⎜<br />

⎝ sinθ<br />

sinϕ<br />

⎠<br />

cosϕ<br />

sinψ<br />

+ sinϕ<br />

cosθ<br />

cosψ<br />

− sinϕ<br />

cosψ<br />

+ sinψ<br />

cosθ<br />

cosϕ<br />

− sinθ<br />

cosϕ<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

sinϕ<br />

sinθ<br />

⎞⎜<br />

xi<br />

⎟<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

cosϕ<br />

sinθ<br />

⎟⎜<br />

yi<br />

⎟<br />

⎟<br />

→<br />

cosθ<br />

⎜ ⎟<br />

⎠<br />

zi<br />

⎝ ⎠<br />

La matrice de passage de R vers R est donnée par la transposée de cette dernière.<br />

i<br />

k<br />

Le vecteur rotation instantané du repère R par rapport à R aura pour expression<br />

→ • → • → • →<br />

Ω<br />

k<br />

z i<br />

2<br />

i<br />

vectorielle : = ψ + θ x 1<br />

+ ϕ z .<br />

k<br />

i<br />

Il aura une expression différente selon qu’il soit écrit dans l’un ou l’autre des deux repères.<br />

225


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans R i<br />

, nous aurons :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

ϕ sinθ<br />

sinψ<br />

+ θ cosψ<br />

•<br />

•<br />

= ⎨−ϕ<br />

sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ϕ cosψ<br />

+ ψ<br />

R ⎩<br />

i<br />

Dans , nous aurons : Ω<br />

R k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

ψ sinθ<br />

sinϕ<br />

+<br />

•<br />

= ⎨ψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

−<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ϕ<br />

+ ψ cosψ<br />

R ⎩<br />

k<br />

•<br />

θ cos<br />

•<br />

θ sin<br />

Ce vecteur instantané de rotation permet de déduire la vitesse de tous les points du solide en<br />

connaissant la vitesse d’un seul point appartenant au solide.<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

7. Champs des vitesses et accélérations d’un solide<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit un repère fixe R ( O , x , y , z ) et un solide ( S ) lié à un repère R ( O , x , y , z ) en<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

mouvement quelconque dans l’espace. Pour tout point su solide (<br />

associer son vecteur position, donc son vecteur vitesse et vecteur accélération.<br />

k<br />

S k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

→<br />

) nous pouvons lui<br />

Considérons deux points A et B appartenant au solide ( S ) , nous allons chercher une<br />

relation entre leur vitesse et leur accélération.<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

7.1. Champs des vitesses<br />

Le solide (S k ) est indéformable, alors la<br />

distance<br />

−−−→<br />

A k<br />

B k<br />

= Cte<br />

du temps dans les deux repères.<br />

reste constante au cours<br />

→<br />

z i<br />

→<br />

z k<br />

y<br />

→ ( S k )<br />

k<br />

A k<br />

B k<br />

Ce vecteur s’exprimera de façon différente<br />

dans R et R . Les vitesses des points<br />

i<br />

k<br />

O k<br />

→<br />

x<br />

k<br />

A<br />

k<br />

et<br />

B k<br />

sont différentes car le solide<br />

a un mouvement quelconque.<br />

O i<br />

→<br />

x i<br />

→<br />

y i<br />

226


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans le repère R i<br />

nous avons :<br />

−−−→ −−−→ −−−→<br />

i<br />

Bk<br />

= Oi<br />

Ak<br />

+ Ak<br />

Bk<br />

−−−→ −−−→ −−−→<br />

k k i k i k<br />

=<br />

O ⇒ A B = O B − O A Cte<br />

Dans le repère R k<br />

nous avons :<br />

−−−→ −−−→ −−−→<br />

k<br />

Bk<br />

= Ok<br />

Ak<br />

+ Ak<br />

Bk<br />

−−−→ −−−→ −−−→<br />

k k k k k k<br />

=<br />

O ⇒ A B = O B − O A Cte<br />

Des deux expressions nous pouvons déduire une relation entre les vitesses des deux points<br />

appartenant au solide.<br />

Les vitesses des deux points par rapport au repère<br />

R i<br />

sont données par:<br />

−−−→<br />

→<br />

i<br />

i d Oi<br />

Ak<br />

V ( Ak<br />

) =<br />

et<br />

dt<br />

Ses deux expressions peuvent s’écrire sous la forme :<br />

→<br />

i<br />

V ( B ) =<br />

k<br />

d<br />

i<br />

−−−→<br />

O B<br />

i<br />

dt<br />

k<br />

→<br />

i<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

d O<br />

−−−→<br />

i<br />

Ak<br />

d Oi<br />

Ak<br />

i<br />

= = + Ω<br />

k<br />

∧ Oi<br />

Ak<br />

V ( Ak<br />

)<br />

………..(1)<br />

dt dt<br />

→<br />

i<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

d O<br />

−−−→<br />

i<br />

Bk<br />

d Oi<br />

Bk<br />

i<br />

= = + Ω<br />

k<br />

∧ Oi<br />

Bk<br />

V ( Bk<br />

)<br />

………..(2)<br />

dt dt<br />

En faisant la différence entre les deux expressions (2) - (1) : on aboutit à :<br />

−−−→<br />

i ⎛<br />

⎜ −<br />

→<br />

→<br />

d Oi<br />

Bk<br />

d<br />

i<br />

i ⎝<br />

V ( Bk<br />

) −V<br />

( Ak<br />

) =<br />

dt<br />

i<br />

−−−→<br />

O A<br />

−−−→ −−−→<br />

i ⎛<br />

⎞<br />

d ⎜O −<br />

−−−→<br />

i<br />

Bk<br />

Oi<br />

Ak<br />

⎟ i<br />

or on sait que :<br />

⎝<br />

⎠ d Ak<br />

Bk<br />

= = 0<br />

dt<br />

dt<br />

i<br />

k<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

−−−→ −−−→<br />

i ⎛<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ ⎜Oi<br />

Bk<br />

− Oi<br />

Ak<br />

⎝<br />

car<br />

−−−→<br />

i<br />

k<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

−−−→<br />

O B − O A<br />

On obtient ainsi la relation de distribution des vitesses dans un solide :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

→ −−−→<br />

i<br />

i<br />

= V ( Ak<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

V ( B ) )<br />

i<br />

k<br />

−−−→<br />

= A B<br />

Cette relation est d’une grande importance dans la cinématique et la dynamique des solides.<br />

Elle permet, à partir de la vitesse d’un point du solide de déduire la vitesse de tous les autres<br />

points du solide en connaissant la vitesse de rotation du repère lié à celui-ci.<br />

Remarques :<br />

→<br />

i<br />

a) Si le vecteur rotation instantané Ω = 0 , alors le solide est en mouvement de translation<br />

k<br />

i<br />

i<br />

pur et tous les points du solide ont la même vitesse : V B ) = V ( A ) ;<br />

→<br />

(<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→ −−−→<br />

=<br />

k i k<br />

→<br />

→<br />

(<br />

k<br />

k<br />

i<br />

i<br />

i<br />

b) Si V A ) = 0 et V ( B ) Ω ∧ A B , on dit que le solide est en mouvement de<br />

rotation pur autour du point A ∈ S ) ;<br />

→<br />

k<br />

k<br />

( k<br />

k<br />

k<br />

227


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

c) Le mouvement quelconque (général) d’un solide peut être décrit comme étant composé<br />

i<br />

d’un mouvement de translation du point A ∈ S ) à la vitesse V A ) et d’un<br />

k<br />

( k<br />

→<br />

(<br />

k<br />

mouvement de rotation autour du point<br />

A ∈ S ) à la vitesse de rotation<br />

k<br />

( k<br />

→<br />

i<br />

Ω k<br />

.<br />

7.2. Equiprojectivité du champ des vitesses d’un solide<br />

Nous pouvons le montrer par deux méthodes différentes.<br />

i<br />

a) Nous avons montré précédemment que V ( B )<br />

→<br />

k<br />

→<br />

→ −−−→<br />

i<br />

i<br />

= V ( Ak<br />

) + Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

En multipliant cette expression par le vecteur A<br />

−−−→<br />

B k k<br />

, nous obtenons :<br />

−−−→<br />

→<br />

−−−→<br />

i<br />

i<br />

A B • V ( B ) = A B • V ( A ) + A<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

⎛<br />

⎜Ω<br />

⎝<br />

−−−→ →<br />

i<br />

k<br />

Bk<br />

•<br />

k<br />

−−−→<br />

∧ A B<br />

Par permutation circulaire du produit mixte, nous pouvons facilement voir que l’expression :<br />

−−−→ →<br />

i<br />

k<br />

Bk<br />

• ⎜<br />

k<br />

A<br />

→<br />

⎛<br />

−−−→<br />

⎞<br />

−−−→ −−−→ →<br />

i ⎛<br />

⎞<br />

Ω ∧ Ak<br />

Bk<br />

⎟ = Ω<br />

k<br />

• ⎜ Ak<br />

Bk<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

⎟ = 0<br />

⎝ ⎠ ⎝<br />

⎠<br />

−−−→<br />

→<br />

−−−→ →<br />

(<br />

k k k k<br />

i<br />

i<br />

On obtient ainsi l’égalité : A B • V B ) = A B • V ( A )<br />

k<br />

k<br />

(propriété d ‘équiprojectivité du champ des vitesses du solide)<br />

k<br />

k<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

b) Cette expression peut être retrouvée<br />

d’une autre façon.<br />

Le solide ( ) est indéformable<br />

S k<br />

et la distance A −−−→<br />

B k k<br />

est constante alors :<br />

⎛<br />

d⎜<br />

Ak<br />

B<br />

⎝<br />

dt<br />

−−−→<br />

k<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

= 0<br />

→<br />

z i<br />

→<br />

i<br />

( Ak<br />

V<br />

)<br />

→<br />

B k i<br />

V ( Bk<br />

)<br />

A k<br />

( S k )<br />

⎛<br />

d⎜<br />

Ak<br />

B<br />

⎝<br />

dt<br />

−−−→<br />

k<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

−−−→<br />

= 2 A B<br />

k<br />

k<br />

d A<br />

−−−→<br />

k<br />

dt<br />

B<br />

k<br />

= 0<br />

O i<br />

→<br />

x i<br />

→<br />

y i<br />

−−−→ →<br />

→<br />

⎛<br />

⎞<br />

−−−→ →<br />

−−−→ →<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

2 A<br />

k<br />

Bk<br />

• ⎜V<br />

( Bk<br />

) −V<br />

( Ak<br />

) ⎟ = 0 d’où Ak<br />

Bk<br />

• V ( Bk<br />

) = Ak<br />

Bk<br />

• V ( Ak<br />

)<br />

⎝<br />

⎠<br />

228


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

Cette propriété d’équiprojectivité entraîne l’existence d’un vecteur libre Ω i k<br />

tel que :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

→ −−−→<br />

i<br />

i<br />

= V ( Ak<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

V ( B ) )<br />

, ce qui permet d’introduire la notion de torseur cinématique.<br />

7.3. Champs des accélérations<br />

Pour chaque point du solide S ) lié au repère R , on déduit l’accélération à partir de la<br />

( k<br />

vitesse à partir de la relation : γ ( A<br />

→<br />

→<br />

)<br />

i k<br />

i i<br />

d V ( Ak<br />

) =<br />

dt<br />

i<br />

i<br />

Nous allons chercher une relation qui lie les accélérations : γ A ) et γ B )<br />

k<br />

→<br />

( k<br />

Nous avons déjà établi une relation entre les vitesses des deux points :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

→ −−−→<br />

i<br />

i<br />

= V ( Ak<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

V ( B ) )<br />

→<br />

( k<br />

Nous déduirons la relation entre les accélérations par dérivation de l’expression des vitesses.<br />

→<br />

i<br />

γ ( B<br />

k<br />

) =<br />

→<br />

i i<br />

d V ( B )<br />

dt<br />

k<br />

=<br />

→<br />

→<br />

i i<br />

i i<br />

d V ( Ak<br />

) d Ω<br />

k<br />

+<br />

dt dt<br />

∧ A<br />

−−−→<br />

k<br />

B<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

+ Ω<br />

d<br />

∧<br />

i<br />

−−−→<br />

A<br />

k<br />

dt<br />

B<br />

k<br />

et comme :<br />

d<br />

i<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

k<br />

→ −−−→ → −−−→<br />

k<br />

Bk<br />

d Ak<br />

Bk<br />

i<br />

i<br />

= + Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

= Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

A<br />

dt<br />

dt<br />

car<br />

d<br />

k<br />

−−−→<br />

Ak<br />

B<br />

dt<br />

on obtient finalement la relation entre les accélération des deux points A et B du solide :<br />

k<br />

k<br />

→<br />

= 0<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

→<br />

i<br />

i<br />

i d Ω<br />

γ ( B<br />

k<br />

) = γ ( Ak<br />

) +<br />

dt<br />

−−−→<br />

∧ A B<br />

k<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

+ Ω<br />

⎛<br />

∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−−−→<br />

∧ A B<br />

k<br />

k<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

i<br />

On constate que si la vitesse de rotation est constante Ω = 0 l’expression devient :<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

⎛<br />

−−−→ →<br />

⎞<br />

−−−→ →<br />

i<br />

i<br />

i i<br />

⎛ ⎞<br />

( ) = ( ) + Ω ∧ ⎜Ω<br />

∧ ⎟ =<br />

i<br />

( ) − ⎜ Ω<br />

i<br />

γ Bk<br />

γ Ak<br />

k k<br />

Ak<br />

Bk<br />

γ Ak<br />

Ak<br />

Bk<br />

k<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

k<br />

→<br />

2<br />

7.4. Torseur cinématique<br />

La formule de distribution des vitesses est donnée par la relation :<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

→ −−−→<br />

i<br />

i<br />

= V ( Ak<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ak<br />

Bk<br />

V ( B ) )<br />

La formule de transport des moments entre deux points A et B du solide a pour expression :<br />

k<br />

k<br />

229


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−→<br />

k<br />

−→ → −−→<br />

= M ( Ak<br />

+ R∧<br />

Ak<br />

Bk<br />

M ( B ) )<br />

; nous constatons qu’il y a équivalence entre ces deux équations.<br />

Le vecteur vitesse au point B est le moment au point B d’un torseur que nous noterons :<br />

k<br />

k<br />

[ C] B k<br />

→<br />

Ω i k<br />

et la résultante n’est autre que le vecteur rotation instantané .<br />

Le torseur cinématique au point<br />

B k<br />

ou (torseur de distribution des vitesses) relatif au<br />

mouvement du solide par rapport à a pour éléments de réduction :<br />

→<br />

- le vecteur rotation instantanée Ω i k<br />

;<br />

i<br />

- la vitesse au point B<br />

k<br />

: V ( Bk<br />

)<br />

il sera noté sous la forme : [ C]<br />

→<br />

B<br />

k<br />

R i<br />

→<br />

⎧ i<br />

⎪Ω<br />

k<br />

= ⎨ →<br />

⎪<br />

i<br />

⎩V<br />

( B<br />

k<br />

→<br />

i<br />

) = V<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

( A ) + Ω<br />

−−−→<br />

∧ A B<br />

Le torseur cinématique est d’un grand intérêt car il caractérise complètement le mouvement<br />

d’un solide par rapport au repère<br />

R i<br />

en ce qui concerne les vitesses.<br />

Comme les éléments de réduction du torseur cinématique sont des fonctions du temps alors le<br />

torseur cinématique en dépend, il a donc à chaque instant une résultante et un champ de<br />

vitesse différent.<br />

k<br />

k<br />

7.5. Axe instantané de rotation<br />

On appelle axe instantané de rotation l’axe central du torseur cinématique. Nous avons montré<br />

précédemment que l’axe central est l’ensemble des points P tels que le moment du torseur<br />

en ce point soit parallèle à la résultante. Dans le cas du torseur cinématique, l’ensemble de ces<br />

points constitue l’axe dont les vitesses sont parallèles au vecteur vitesse instantanée de<br />

rotation.<br />

A chaque instant le mouvement du solide peut être considéré comme étant la composition<br />

d’un mouvement de rotation de vitesse de rotation<br />

→<br />

Ω i k<br />

autour de l’axe instantané et d’une<br />

translation dont la direction instantanée est parallèle au vecteur vitesse de rotation .<br />

Soit un solide (S) lié à un repère R en mouvement quelconque par rapport à un repère R et<br />

k<br />

→<br />

Ω i k<br />

i<br />

→<br />

Ω i k<br />

le vecteur rotation instantané du solide par rapport à R .<br />

i<br />

230


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On considère un point A ∈ (S) . Soit ( π ) un plan de normale<br />

→<br />

n<br />

et contenant le point A<br />

i i<br />

tel que la vitesse de rotation du solide soit parallèle à : Ω = Ω n . Le vecteur vitesse<br />

→<br />

n<br />

→<br />

k<br />

k<br />

→<br />

du point<br />

A ∈ (π ) peut se décomposer en deux vecteurs, l’un dans le plan (π ) et l’autre<br />

perpendiculaire à (π ) , ce qui donne :<br />

→<br />

→<br />

V ( A)<br />

= V ( A)<br />

+ V ( A)<br />

avec V ( A ) ∈ ( π ) et V<br />

t<br />

→<br />

n<br />

→<br />

t<br />

→<br />

n<br />

( A ) ⊥(<br />

π )<br />

→<br />

z<br />

i<br />

→<br />

V n<br />

(A)<br />

A<br />

V →<br />

(A)<br />

P<br />

→<br />

Ω i k<br />

→<br />

n<br />

( π<br />

O i<br />

→<br />

y i<br />

→<br />

V t<br />

(A)<br />

→<br />

x i<br />

D’après ce que l’on a développé sur les torseurs, il est possible de trouver un point P tel<br />

→<br />

t<br />

( A)<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

que : V = Ω ∧ PA , alors l’expression de la vitesse du point A s’écrira :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

V ( A)<br />

= V ( A + Ω ∧ PA<br />

n<br />

)<br />

Quelque soit Q ∈ (π ) nous pouvons par la formule de transport écrire :<br />

→<br />

→<br />

→ −→ → → −→ → −→ →<br />

i<br />

i<br />

i<br />

k<br />

∧ AQ = Vn<br />

( A)<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ PA+ Ω<br />

k<br />

∧ AQ = Vn<br />

( A)<br />

V ( Q)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω<br />

+ Ω ∧ PQ<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

V ( Q)<br />

= V ( A + Ω ∧ PQ<br />

n<br />

)<br />

Nous pouvons conclure que le vecteur vitesse du point Q ∈ (π ) s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

V ( Q)<br />

= V ( Q)<br />

+ V ( Q)<br />

i<br />

avec : V Q = Ω ∧ PQ et V<br />

t<br />

→<br />

→ −→<br />

→ →<br />

t<br />

( )<br />

k<br />

n<br />

Q)<br />

Vn<br />

→<br />

n<br />

→<br />

i<br />

k<br />

( = ( A)<br />

On constate que la composante de la vitesse, normale au plan (π ) est la même pour tous les<br />

points du solide. On obtient finalement quelque soit P et Q :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

V ( Q)<br />

= V ( Q + Ω ∧ PQ<br />

n<br />

)<br />

−→<br />

231


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le mouvement du solide dans ce cas se décompose à chaque instant en un mouvement de<br />

translation dans le plan et en un mouvement de rotation autour d’un axe passant par le point<br />

→<br />

P et parallèle au vecteur unitaire n .<br />

L’axe ainsi défini par le point P et le vecteur unitaire<br />

→<br />

n<br />

//<br />

→<br />

Ω i k<br />

constitue l’axe instantané de<br />

rotation du solide par rapport au repère .<br />

R i<br />

Nous savons que l’axe central d’un torseur est le lieu des points P où le moment est<br />

minimum ou nul. Dans le cas d’un torseur cinématique, la vitesse instantanée est nulle sur<br />

tous les points de l’axe central. On déduit que si la vitesse est nulle, en deux points distincts<br />

d’un solide, alors l’axe joignant les deux points est forcément un axe de rotation donc un axe<br />

central du torseur cinématique.<br />

8. Lois de composition des mouvements<br />

8.1. Loi de composition des vitesses<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe de référence et R ( O , x , y , z ) un repère en<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

mouvement quelconque par rapport au repère fixe. On considère un solide<br />

mouvement est connu dans le repère relatif R ( O , x , y , z ) .<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

( S k<br />

)<br />

dont le<br />

Soit P un point du solide, nous pouvons écrire à chaque instant : O P = O O + O P<br />

R i<br />

La vitesse du point P dans le repère est donnée par la dérivée du vecteur Oi dans ce<br />

−−→<br />

i<br />

−−−→<br />

i<br />

k<br />

−−→<br />

P<br />

−−→<br />

k<br />

même repère.<br />

−−→<br />

−−−→<br />

→<br />

i<br />

i<br />

i d Oi<br />

P d OiOk<br />

V ( P)<br />

= =<br />

dt dt<br />

−−→<br />

i<br />

d Ok<br />

P<br />

+<br />

dt<br />

Développons les deux termes de la vitesse, ce qui donne :<br />

d<br />

i<br />

−−−→<br />

OiO<br />

dt<br />

k<br />

→<br />

i<br />

= V ( Ok<br />

) : vitesse du centre du repère Rk<br />

par rapport au repère R i<br />

;<br />

→<br />

z i<br />

O i<br />

→<br />

z<br />

k<br />

O k<br />

→<br />

y<br />

P. (S k )<br />

i<br />

→<br />

y k<br />

→<br />

x<br />

k<br />

−−→<br />

i<br />

d Ok<br />

P<br />

dt<br />

−−→<br />

k<br />

→ −−→ →<br />

→<br />

d O<br />

−−→<br />

k<br />

P i<br />

k<br />

i<br />

= + Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P = V ( P)<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P<br />

dt<br />

→<br />

x i<br />

232


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Finalement la vitesse du point P dans le repère R i<br />

s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

−−→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

i ⎞<br />

V ( P)<br />

= V ( P)<br />

+ ⎜V<br />

( Ok<br />

) + Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P⎟<br />

qui s’écrit aussi sous la forme :<br />

⎝<br />

⎠<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

V ( P)<br />

= V ( P)<br />

+ V ( P)<br />

k<br />

→<br />

V i (P)<br />

→<br />

V k (P)<br />

→<br />

V i<br />

k<br />

(P)<br />

: vitesse absolue du point P pour un observateur lié Ri<br />

: vitesse relative du point P par rapport à Rk<br />

en mouvement par rapport à<br />

: Vitesse d’entraînement du point P s’il était immobile dans R k<br />

.<br />

Ri<br />

8.1.1. Propriétés mathématiques du vecteur V i (P)<br />

→<br />

i<br />

k<br />

• V ( P)<br />

= −V<br />

( P)<br />

: antisymétrique par rapport aux indices donc aux repères ;<br />

k<br />

→<br />

→<br />

i<br />

j<br />

i<br />

• V ( P)<br />

= V ( P)<br />

+ V ( P)<br />

k<br />

→<br />

k<br />

i<br />

8.2. Loi de composition des accélérations<br />

→<br />

j<br />

→<br />

i<br />

L’accélération absolue γ (P) du point P se déduit à partir de la vitesse absolue :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i i<br />

i k<br />

i i<br />

i i<br />

i d V ( P)<br />

d V ( P)<br />

d V ( Ok<br />

) d ( Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P)<br />

γ ( P)<br />

= = + +<br />

dt dt dt<br />

dt<br />

Développons chacun des trois termes :<br />

→<br />

→<br />

i k<br />

k k<br />

→ →<br />

→<br />

→ →<br />

d V ( P)<br />

d V ( P)<br />

i k<br />

k<br />

i k<br />

i) = + Ω<br />

k<br />

∧V<br />

( P)<br />

= γ ( P)<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧V<br />

( P)<br />

;<br />

dt dt<br />

→<br />

i i<br />

→<br />

d V ( Ok<br />

) i<br />

ii) = γ ( Ok<br />

) ;<br />

dt<br />

→<br />

k<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

iii)<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

d ( Ω<br />

dt<br />

−−→<br />

∧ O P)<br />

k<br />

=<br />

=<br />

d<br />

d<br />

i<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

dt<br />

∧ O<br />

∧ O<br />

−−→<br />

k<br />

−−→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

P+ Ω<br />

→<br />

i<br />

k<br />

P+ Ω<br />

⎛<br />

⎜ d<br />

∧<br />

⎜<br />

⎝<br />

−−→<br />

i<br />

d Ok<br />

P<br />

∧<br />

dt<br />

k<br />

−−→<br />

→ ⎞<br />

O<br />

−−→<br />

k<br />

P i ⎟<br />

+ Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P<br />

dt<br />

⎟<br />

⎠<br />

=<br />

d<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

dt<br />

∧ O<br />

−−→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

P+ Ω<br />

⎛<br />

∧ ⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

( P)<br />

+ Ω<br />

∧ O<br />

−−→<br />

k<br />

⎞<br />

P⎟<br />

⎠<br />

233


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La somme des trois termes donne :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i k<br />

i<br />

γ ( P)<br />

= γ ( P)<br />

+ Ω ∧V<br />

( P)<br />

+ γ ( O<br />

k<br />

→<br />

→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

d Ω<br />

) +<br />

dt<br />

∧ O<br />

−−→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

P+ Ω<br />

⎛<br />

∧ ⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

( P)<br />

+ Ω<br />

∧ O<br />

−−→<br />

k<br />

⎞<br />

P⎟<br />

⎠<br />

→<br />

→ →<br />

⎛<br />

→<br />

i i<br />

→ →<br />

⎞<br />

→ →<br />

i<br />

k ⎜ i d Ω<br />

−−→<br />

−−→<br />

k<br />

i i ⎟ i k<br />

γ ( P)<br />

= γ ( P)<br />

+ ⎜γ<br />

( Ok<br />

) + ∧ Ok<br />

P+ Ω<br />

k<br />

∧ ( Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P)<br />

+ 2Ω<br />

k<br />

∧V<br />

( P)<br />

dt<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

Cette expression peut s’écrire sous une forme réduite :<br />

→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

γ ( P)<br />

= γ ( P)<br />

+ γ ( P)<br />

+ γ ( P)<br />

→<br />

i<br />

→<br />

k<br />

→<br />

C<br />

γ (P) : accélération absolue du point P (par rapport à fixe)<br />

→<br />

k<br />

γ (P) : accélération relative du point P (par rapport au repère )<br />

→<br />

→ →<br />

i i −−→ → → −−→<br />

i<br />

i d Ω<br />

k<br />

i i<br />

γ<br />

k<br />

( P)<br />

= γ ( Ok<br />

) + ∧ Ok<br />

P+ Ω<br />

k<br />

∧ ( Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

P)<br />

: accélération d’entraînement du repère Rk<br />

dt<br />

R i<br />

R k<br />

→<br />

i k<br />

γ ( P)<br />

= 2Ω<br />

∧V<br />

( P)<br />

C<br />

→<br />

k<br />

→<br />

: accélération de Coriolis ( accélération complémentaire)<br />

L’accélération de Coriolis est une composition entre la vitesse de rotation<br />

par rapport au repère R et la vitesse relative (P)<br />

du point P.<br />

i<br />

L’accélération de coriolis du point P est nulle, si et seulement si :<br />

→<br />

V k<br />

→<br />

Ω i k<br />

du repère<br />

Rk<br />

i<br />

- La vitesse de rotation du repère relatif par rapport au repère absolue est nulle : Ω = 0 ;<br />

- La vitesse relative du point P est nulle : V k (P) = 0 ;<br />

- La vitesse de rotation est colinéaire avec la vitesse relative : Ω // V k ( P)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i k<br />

→<br />

→<br />

k<br />

→<br />

9. Mouvements particuliers fondamentaux<br />

9.1. Mouvement de translation pur<br />

Un solide S ) lié à un repère R ( O , x , y , z ) est dit en mouvement de translation pur<br />

( k<br />

→<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

par rapport à un repère R ( O , x , y , z ) si les axes de R ( O , x , y , z ) gardent une direction<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

234


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

fixe par rapport à ceux de<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z )<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

, au cours du temps.<br />

Tous les points du solide ont la même vitesse et la même accélération que le point P ∈ S ) .<br />

( k<br />

La vitesse de rotation du solide est nulle par rapport à R i<br />

.<br />

→ →<br />

i<br />

i<br />

( P)<br />

= V ( Ok<br />

On peut écrire : V ) et<br />

−−→<br />

O k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Comme P ≠ 0 alors Ω<br />

→<br />

→<br />

= 0<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−−→<br />

O k<br />

→<br />

Ω ∧ P = 0<br />

Dans ce cas le champ des vitesses est un champ uniforme.<br />

→<br />

→<br />

z k<br />

z O k<br />

i<br />

Q<br />

O i<br />

→<br />

x i<br />

( S k )<br />

P<br />

→<br />

y<br />

i<br />

→<br />

y k<br />

→<br />

x k<br />

Le torseur cinématique qui décrit le mouvement de translation pur est un torseur couple, dont<br />

la résultante est nulle mais le moment n’est pas nul.<br />

[ C ]<br />

k / i P<br />

→<br />

⎧<br />

→<br />

i<br />

⎪Ω<br />

k<br />

= 0<br />

= ⎨ →<br />

⎪<br />

i<br />

⎩V<br />

( P)<br />

= V<br />

→<br />

i<br />

→<br />

( Q)<br />

≠ 0<br />

Comme tous les points du solide ont la même vitesse à chaque instant alors les points<br />

décrivent des trajectoires parallèles. Trois types de trajectoires peuvent être décrites :<br />

Soient P et Q deux points du solide :<br />

- Trajectoire en translation rectiligne :<br />

- Trajectoire en translation curviligne :<br />

les vitesses de points P et Q sont<br />

parallèles et égales.<br />

P<br />

Q<br />

P<br />

Q<br />

- Trajectoire en translation circulaire,<br />

les points P et Q décrivent des<br />

cercles de même rayons à la même vitesse<br />

P<br />

Q<br />

235


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

9.2. Mouvement de rotation pur autour d’un axe du solide<br />

9.2.1. Vitesse d’un point P du solide<br />

Un solide ( ) lié à un repère R ( O , x , y , z ) est dit en mouvement de rotation pur par<br />

S k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

rapport à un repère R ( O , x , y , z ) si un axe de R ( O , x , y , z ) reste fixe à tout instant et<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

d’une manière permanente dans le repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z ) . Nous avons donc deux points<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

distincts O<br />

k<br />

et I du solide ( S k<br />

) qui restent fixe dans le repère R ( O , x , y , z ) au cours du<br />

mouvement de rotation.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Le repère R ( O , x , y , z ) est en rotation pur par rapport au repère R ( O , x , y , z ) à une<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

• →<br />

• →<br />

i<br />

vitesse angulaire donnée par : Ω = ψ z = ψ z et V<br />

→<br />

k<br />

i<br />

k<br />

→<br />

i<br />

( Ok<br />

→<br />

) = 0<br />

Soit P un point quelconque du solide et n’appartenant pas à l’axe de rotation tel que :<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

i<br />

→<br />

→<br />

i<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

−→ →<br />

IP = r xk<br />

→ →<br />

Quel que soit I ∈ z i<br />

et z , on peut écrire :<br />

k<br />

→<br />

z ,<br />

→<br />

i<br />

z k<br />

( S k )<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−−→<br />

V ( I)<br />

= V ( O ) + Ω ∧ O I , or nous avons :<br />

→<br />

i<br />

−−→<br />

O k<br />

I<br />

k<br />

→<br />

−−→<br />

i<br />

Ωk // ⇒ Ω<br />

k<br />

∧ O k<br />

I = 0 d’où :<br />

→ →<br />

i<br />

i<br />

( I)<br />

V ( Ok<br />

V<br />

→<br />

= ) = 0<br />

k<br />

→<br />

→<br />

x i<br />

I P<br />

O i =O k<br />

ψ<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

k<br />

→<br />

y<br />

i<br />

I et P sont deux points du solide, nous pouvons alors écrire :<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

V ( P)<br />

= V ( I)<br />

+ Ω ∧ IP = Ω ∧ IP ⇒ V ( P)<br />

= Ω ∧ IP<br />

→<br />

−→<br />

−→<br />

i<br />

On remplace Ω et IP par leurs expressions, la vitesse du point P devient :<br />

→<br />

k<br />

→ −→ • → → • →<br />

=<br />

k<br />

k k<br />

k<br />

i<br />

i<br />

V ( P)<br />

Ω ∧ IP = ψ z ∧ r x = rψ<br />

y<br />

Dans un mouvement de rotation pur, le torseur des vitesses est équivalent au torseur glisseur<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

C<br />

→<br />

⎧<br />

→<br />

i<br />

⎪Ω<br />

≠ 0<br />

= ⎨ → →<br />

⎪<br />

i<br />

⎩V<br />

( I)<br />

= 0<br />

k<br />

défini par : [ ] avec<br />

k / i P<br />

→<br />

→<br />

I ∈ z i<br />

et z<br />

k<br />

236


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

9.2.2. Accélération du point P du solide<br />

Nous avons trouvé précédemment la vitesse du point P , elle est donnée par :<br />

→<br />

i<br />

→<br />

−→<br />

i<br />

V ( P)<br />

= Ω ∧ IP<br />

k<br />

; on déduit l’accélération par dérivation de cette expression :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i i<br />

i i<br />

→ i<br />

i d V ( P)<br />

d Ω<br />

−→<br />

k<br />

i d IP<br />

γ ( P)<br />

= = ∧ IP + Ω<br />

k<br />

∧ or nous avons :<br />

dt dt<br />

dt<br />

−→<br />

−→<br />

i<br />

d IP<br />

dt<br />

−→<br />

k<br />

→<br />

d IP<br />

−→<br />

i<br />

= + Ω<br />

k<br />

∧ IP<br />

dt<br />

−→<br />

; comme IP = Cte dans le repère alors<br />

R k<br />

−→<br />

d k IP<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

ce qui donne :<br />

−→<br />

i<br />

d IP<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−→<br />

= Ω ∧ IP , l’expression de l’accélération devient :<br />

→<br />

→<br />

i i<br />

Ω<br />

−→ → →<br />

⎛<br />

−→<br />

i d<br />

k<br />

i i ⎞<br />

γ ( P)<br />

= ∧ IP + Ω<br />

k<br />

∧ ⎜Ω<br />

k<br />

∧ IP⎟ dt<br />

⎝ ⎠<br />

En développant cette expression on obtient :<br />

→<br />

i<br />

γ ( P)<br />

=<br />

d<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

dt<br />

−→<br />

∧ IP<br />

+<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

→ −→ −→<br />

i<br />

k<br />

• IP)<br />

− IP<br />

( Ω<br />

→ →<br />

i i<br />

k<br />

• Ω<br />

k<br />

( Ω<br />

)<br />

or nous avons :<br />

→<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

i<br />

Ω<br />

k<br />

⊥ IP ⇒ Ωk<br />

• IP = 0<br />

et<br />

→ →<br />

i i<br />

k<br />

• Ωk<br />

Ω<br />

= Ω<br />

→<br />

i 2<br />

k<br />

l’expression finale de l’accélération sera :<br />

→<br />

i 2<br />

k<br />

→<br />

−→<br />

i<br />

Ω<br />

−→<br />

i<br />

d<br />

γ ( P)<br />

= − IP Ω<br />

+<br />

∧ IP<br />

dt<br />

Accélération normale<br />

Accélération tangentielle<br />

suivant<br />

→<br />

−→<br />

IP<br />

• →<br />

i<br />

En remplaçant Ω = ψ z , IP r x et<br />

respectives<br />

→<br />

• →<br />

k<br />

k<br />

−→ →<br />

=<br />

k<br />

i<br />

2<br />

γ ( P)<br />

= − rψ<br />

x + rψ<br />

y = γ ( P)<br />

+ γ ( P)<br />

k<br />

••<br />

→<br />

k<br />

→<br />

n<br />

→<br />

t<br />

d<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

dt<br />

→<br />

i<br />

k<br />

au point P<br />

••<br />

→<br />

= ψ z par leur expressions<br />

Les expressions de la vitesse et de l’accélération peuvent s’exprimer facilement dans le repère<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

)<br />

en déterminant la matrice de passage du repère R vers le repère R :<br />

i<br />

k<br />

PRk<br />

→ Ri<br />

237


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

x<br />

k<br />

= cosψ<br />

xi<br />

+ sinψ<br />

yi<br />

+ 0.<br />

zi<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

y<br />

k<br />

= −sinψ<br />

xi<br />

+ cosψ<br />

yi<br />

+ 0.<br />

zi<br />

→ → → →<br />

x<br />

k<br />

= 0 . xi<br />

+ 0.<br />

yi<br />

+ zi<br />

⎡ cosψ<br />

sinψ<br />

0⎤<br />

d’où P<br />

⎢<br />

⎥<br />

Rk →Ri<br />

=<br />

⎢<br />

− sinψ<br />

cosψ<br />

0<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0 1⎥⎦<br />

La vitesse et l’accélération, aurons pour expression dans :<br />

R i<br />

→<br />

y<br />

k<br />

ψ<br />

→<br />

z i ≡<br />

→<br />

z<br />

→<br />

y<br />

i<br />

k<br />

ψ<br />

→<br />

x k<br />

→<br />

x<br />

i<br />

→<br />

i<br />

V ( P)<br />

→<br />

i<br />

γ ( P)<br />

→<br />

i<br />

γ (<br />

• → •<br />

→<br />

→ • → • →<br />

= rψ<br />

yk<br />

= rψ<br />

( −sinψ<br />

xi<br />

+ cosψ<br />

yi<br />

) = −rψ<br />

sinψ<br />

xi<br />

+ rψ<br />

cosψ<br />

yi<br />

• → •• →<br />

•<br />

→<br />

→ ••<br />

→<br />

→<br />

2<br />

= − rψ<br />

xk<br />

+ rψ<br />

yk<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

2<br />

= −rψ<br />

(cosψ<br />

x + sinψ<br />

y ) + rψ<br />

( −sinψ<br />

x + cosψ<br />

y )<br />

•<br />

•• → •<br />

••<br />

→<br />

2<br />

2<br />

P ) = − r(<br />

ψ cosψ<br />

+ ψ sinψ<br />

) xi<br />

+ r(<br />

−ψ<br />

sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

) yi<br />

9.3. Mouvement hélicoïdal (rotation + translation)<br />

Un solide ( ) lié à un repère R ( O , x , y , z ) décrit un mouvement hélicoïdal par rapport à<br />

S k<br />

un repère fixe R ( O , x , y , z ) si :<br />

i<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

- Un axe du repère R ( O , x , y , z ) reste en coïncidence à tout instant avec un axe du<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

k<br />

repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z )<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

- La coordonnée du point O ) centre du repère R ( O , x , y , z ) suivant l’axe de<br />

(<br />

k<br />

k<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

→<br />

k<br />

coïncidence, est proportionnelle à l’angle de rotation du repère<br />

R ( O<br />

k<br />

k<br />

→<br />

, x<br />

k<br />

→<br />

, y<br />

k<br />

→<br />

, z<br />

k<br />

)<br />

par<br />

rapport au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O , x , y , z<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

i<br />

)<br />

au cours du mouvement de rotation.<br />

−−−→<br />

→<br />

→<br />

i k<br />

=<br />

i<br />

k<br />

Nous avons alors : O O λ ψ ( t)<br />

z = λ ψ ( t)<br />

z , le scalaire<br />

mouvement hélicoïdal le long de l’axe de coïncidence.<br />

Nous avons deux mouvements qui se superposent :<br />

λ représente le pas du<br />

→ →<br />

- Un mouvement de translation le long de l’axe commun z i ≡ z ;<br />

→ →<br />

- Un mouvement de rotation autour de ce même axe z i ≡ z .<br />

k<br />

k<br />

238


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Soit P un point du solide, nous avons à chaque instant :<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

O P = O O + O P<br />

i<br />

i<br />

k<br />

k<br />

−−−→<br />

Le vecteur OiO k<br />

s’écrit dans le repère Ri<br />

:<br />

⎧ 0<br />

−−−→<br />

⎪<br />

OiOk<br />

= ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩λψ<br />

( t)<br />

i<br />

⎧a<br />

−−−→<br />

−−−→<br />

⎪<br />

Le vecteur O k<br />

P s’écrit dans le repère R k<br />

: Ok<br />

P=<br />

⎨b<br />

et dan<br />

⎪<br />

R ⎩c<br />

k<br />

Ri<br />

⎧a<br />

cosψ<br />

( t)<br />

−−−→<br />

⎪<br />

Ok<br />

P=<br />

⎨bsinψ<br />

( t)<br />

⎪<br />

R ⎩ c<br />

i<br />

−−−→<br />

O i<br />

La somme des deux vecteurs nous donne le vecteur P dans le repère R :<br />

⎧a<br />

cosψ<br />

( t)<br />

−−−→<br />

⎪<br />

Oi<br />

P=<br />

⎨bsinψ<br />

( t)<br />

⎪<br />

R ⎩c<br />

+ λψ (t)<br />

i<br />

i<br />

La vitesse et l’accélération du point P dans le repère<br />

dérivation dans le même repère :<br />

R i<br />

se déduisent facilement par<br />

→<br />

i<br />

V ( P)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−−→<br />

⎪ − aψ<br />

sinψ<br />

( t)<br />

i<br />

d O<br />

•<br />

i<br />

P<br />

= ⎨ bψ<br />

cosψ<br />

( t)<br />

dt<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ λψ (t)<br />

R ⎩<br />

i<br />

et<br />

→<br />

i<br />

γ ( P)<br />

=<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

→ ⎪−<br />

aψ<br />

sinψ<br />

( t)<br />

− aψ<br />

cosψ<br />

( t)<br />

i i<br />

••<br />

•<br />

d V ( P)<br />

⎪<br />

2<br />

= ⎨ bψ<br />

cosψ<br />

( t)<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

( t)<br />

dt<br />

••<br />

⎪<br />

⎪ λψ (t)<br />

R ⎩<br />

i<br />

239


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 06: Simulateur de vol<br />

Pour simuler les conditions de vol des avions, les ingénieurs ont conçu un appareil spécial<br />

pour l’entraînement des pilotes qui consiste en un bras (1) en rotation dans le plan horizontal<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

tel que : R O,<br />

x , y , z ) : repère fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0<br />

y1<br />

R O,<br />

x , y , z ) :repère mobile lié au bras, avec z et x , x ) = ( y , ) = ψ sens positif ;<br />

Un cockpit (2) en rotation autour de l’axe tel que x et ( y y ) = ( z , ) = θ sens<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

positif ; R B,<br />

x , y , z ) : repère lié au cockpit avec OB = R.<br />

→<br />

x 1<br />

→ →<br />

1<br />

≡ x 2<br />

Un siège-pilote (3) en rotation autour de l’axe tel que : y et (<br />

→<br />

y 2<br />

→ →<br />

2<br />

≡ y 3<br />

→ → → →<br />

1, 2 1<br />

z2<br />

→ → → →<br />

x2 , x3<br />

) = ( z2<br />

, z3<br />

)<br />

= ϕ<br />

sens positif.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R3<br />

( B,<br />

x3,<br />

y3,<br />

z3<br />

)<br />

: repère lié au siège-pilote. Le pilote est lié au siège, sa tête<br />

−−→ →<br />

=<br />

3<br />

est repéré par le vecteur position BT L z .<br />

Tous ces éléments sont en rotation contrôlée par l’ordinateur pour simuler les différentes<br />

manœuvres. Il a fallu faire des calculs pour déterminer les paramètres cinématiques afin de les<br />

varier de façon sensée pour savoir à quelles accélérations seront soumis les pilotes.<br />

Vous êtes l’ingénieur responsable de ces calculs, il vous est demandé de :<br />

1) Etablir les figures planes représentatives des trois rotations et les matrices de passages<br />

correspondantes ;<br />

2) Trouver le vecteur position du point T, ainsi que le vecteur rotation du siège pilote par<br />

rapport à R 0 ;<br />

3) Déterminer le vecteur vitesse absolue du point T par composition de mouvement et par la<br />

cinématique du solide.<br />

4) Déterminer l’accélération absolue du point T par composition de mouvement.<br />

On prendra R 2 comme repère de projection<br />

→<br />

z<br />

O<br />

0<br />

•<br />

ψ<br />

ψ<br />

→<br />

x 0<br />

R<br />

1<br />

→<br />

y 0<br />

θ<br />

3<br />

ϕ<br />

B<br />

2<br />

→<br />

x 1<br />

256


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Figures planes des trois rotations et les matrices de passages correspondantes ;<br />

a) Rotation du bras<br />

Nous avons : OB = R et x , y , z ) un repère fixe. R : étant le repère de projection on<br />

exprimera toute les données dans ce repère.<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ → →<br />

R0<br />

(<br />

0 0 0<br />

2<br />

→ → → →<br />

x0 , x1<br />

) = ( y0<br />

, y1<br />

R x , y , z ) : en rotation / à tel que : z et ( ) = ψ sens positif<br />

R 0<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

Matrice de passage de<br />

R vers R1<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x0<br />

⎟ ⎛cosψ<br />

− sinψ<br />

0⎞⎜<br />

x1<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→<br />

⎜ y0<br />

⎟ = ⎜ sinψ<br />

cosψ<br />

0⎟⎜<br />

y1<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜<br />

z<br />

⎝ 0 0 1⎠<br />

⎟ ⎟⎟⎟⎟ 0<br />

z1<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 0→ R 1<br />

0<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

O<br />

→<br />

x 0<br />

ψ<br />

ψ<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

y<br />

0<br />

a) Rotation du cockpit<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

R 1<br />

→ →<br />

1<br />

≡ x 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1<br />

z2<br />

R B,<br />

x , y , z ) : en rotation / tel que x et y , y ) = ( z , ) = θ sens positif ;<br />

Matrice de passage de R1<br />

vers R2<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x1<br />

⎟ ⎛1<br />

0 0 ⎞⎜<br />

x2<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→<br />

⎜ y1<br />

⎟ = ⎜0<br />

cosθ<br />

− sinθ<br />

⎟⎜<br />

y2<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜<br />

z<br />

⎝0<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

⎠<br />

⎟ ⎟⎟⎟⎟ 1<br />

z2<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 2<br />

B<br />

θ<br />

θ<br />

→<br />

z<br />

2<br />

→<br />

z 1<br />

P<br />

R 1→<br />

R 2<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y 2<br />

a) Rotation du siège pilote<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

3 3 3<br />

→ →<br />

2<br />

≡ y 3<br />

→ → → →<br />

(<br />

2 3 2<br />

z3<br />

R B,<br />

x , y , z ) en rotation / tel que : y et x , x ) = ( z , ) = ϕ sens positif.<br />

Matrice de passage de<br />

R vers R2<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x3<br />

⎟ ⎛cosϕ<br />

0 − sinϕ<br />

⎞⎜<br />

x2<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→<br />

⎜ y3<br />

⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜<br />

y2<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜<br />

z<br />

⎝ sinϕ<br />

0 cosϕ<br />

⎠<br />

⎟ ⎟⎟⎟⎟ 3<br />

z2<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 3→ R 2<br />

3<br />

→ →<br />

y 2 ≡ y 3<br />

→<br />

z 2<br />

B<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

→<br />

z 3<br />

→<br />

x<br />

3<br />

→<br />

x<br />

2<br />

257


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Vecteur position du point T par rapport à R0<br />

exprimé dans R2<br />

Nous avons :<br />

−→<br />

OT<br />

−→<br />

−→<br />

= OB+<br />

BT , sachant que<br />

−→<br />

BT<br />

→<br />

= L z3<br />

⎧R<br />

−→<br />

⎪<br />

OB=<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R R ⎩0<br />

1 , 2<br />

⎧0<br />

⎧Lsinϕ<br />

−→<br />

⎪ ⎪<br />

; BT = ⎨0<br />

= ⎨ 0 d’où :<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩L<br />

R ⎩L<br />

cosϕ<br />

3<br />

2<br />

⎧ R + Lsinϕ<br />

−→<br />

⎪<br />

OT = ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ L cosϕ<br />

2<br />

Vecteur rotation du siège pilote :<br />

→ → → → • → • → • →<br />

0 2 1 0<br />

Ω3 = Ω3<br />

+ Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= y2<br />

+ θ x2<br />

+ ψ z1<br />

ϕ ;<br />

Par la matrice de passage de vers R le vecteur ‘écrit :<br />

R1<br />

2<br />

→<br />

z 1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z1 = sinθ<br />

y2<br />

+ cosθ<br />

z2<br />

→ • → • → •<br />

→<br />

→ • → • •<br />

→ • →<br />

0<br />

⎛<br />

⎞ ⎛ ⎞<br />

Ω<br />

3<br />

= ϕ y2<br />

+ θ x2<br />

+ ψ ⎜sinθ<br />

y2<br />

+ cosθ<br />

z2<br />

⎟ = θ x2<br />

+ ⎜ϕ<br />

+ ψ sinθ<br />

⎟ y2<br />

+ ψ cosθ<br />

z2<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ<br />

• •<br />

= ⎨ϕ<br />

+ ψ sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

R<br />

⎪ψ<br />

cosθ<br />

⎩<br />

2<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

3. Vecteur vitesse du point T<br />

3.1. Par composition de mouvement<br />

→<br />

V<br />

abs<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

= V + V ⇔ V ( T ) = V ( T ) + V ( T )<br />

rel<br />

→<br />

ent<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

La vitesse relative est donnée par :<br />

→<br />

2<br />

V<br />

−→<br />

2<br />

d BT<br />

( T ) =<br />

dt<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lϕ<br />

cosϕ<br />

⎨ 0<br />

•<br />

⎪−<br />

Lϕ<br />

sinϕ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

La vitesse relative s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

V2 ( T ) V ( O)<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

= + Ω ∧ OT<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ<br />

→<br />

•<br />

0<br />

V<br />

2<br />

( T ) = ⎨ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ψ<br />

cosθ<br />

R ⎩<br />

2<br />

∧<br />

⎧ R + Lsinϕ<br />

⎪<br />

⎨ 0 =<br />

⎪<br />

R ⎩ L cosϕ<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

•<br />

•<br />

⎨−<br />

Lθ<br />

cosϕ<br />

+ ψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ −ψ<br />

sinθ<br />

R ⎩<br />

2<br />

cosθ<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

258


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En faisant la somme on obtient :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( T ) =<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lϕ<br />

cosϕ<br />

+ Lψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

•<br />

•<br />

⎨−<br />

Lθ<br />

cosϕ<br />

+ ψ cosθ<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

Lϕ<br />

sinϕ<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

R ⎩<br />

2<br />

3.2. Par la cinématique du solide<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

La vitesse relative s’écrit :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

−→<br />

( T ) = V ( B)<br />

+ Ω ∧ BT<br />

Nous avons :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

( B)<br />

= V<br />

→<br />

0<br />

2<br />

( O)<br />

+ Ω<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ<br />

−→ •<br />

∧ OB=<br />

⎨ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

R<br />

⎪ψ<br />

cosθ<br />

⎩<br />

2<br />

∧<br />

⎧R<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

2<br />

=<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

⎨ Rψ<br />

cosθ<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

Rψ<br />

sinθ<br />

2<br />

→<br />

0<br />

Ω3<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ<br />

−→ • •<br />

∧ BT = ⎨ϕ<br />

+ ψ sinθ<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ψ cosθ<br />

R ⎩<br />

2<br />

⎧Lsinϕ<br />

⎪<br />

⎨ 0 =<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

cosϕ<br />

2<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lϕ<br />

cosϕ<br />

+ Lψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

•<br />

•<br />

⎨−<br />

Lθ<br />

cosϕ<br />

+ Lψ<br />

cosθ<br />

sinϕ<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ − Lϕ<br />

sinϕ<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

sinϕ<br />

R ⎩<br />

2<br />

La somme des deux expressions donne :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( T ) =<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lϕ<br />

cosϕ<br />

+ Lψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

•<br />

•<br />

⎨−<br />

Lθ<br />

cosϕ<br />

+ ψ cosθ<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

Lϕ<br />

sinϕ<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

R ⎩<br />

2<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

( R + Lsinϕ<br />

)<br />

4. Accélération absolue du point T par composition de mouvement<br />

Son expression est donnée par la relation suivante : γ ( T ) = γ ( T ) + γ ( T ) + γ ( T )<br />

→<br />

abs<br />

→<br />

rel<br />

→<br />

ent<br />

→<br />

coriolis<br />

→<br />

0<br />

→<br />

2<br />

0<br />

γ ( T)<br />

= γ ( T)<br />

+ γ ( T)<br />

+ γ<br />

→<br />

2<br />

→<br />

c<br />

( T)<br />

Explicitons chacun des termes de cette relation :<br />

259


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

260<br />

A.KADI<br />

(1) :<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

−<br />

==<br />

•<br />

••<br />

•<br />

••<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

γ<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

sin<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

dt<br />

T<br />

V<br />

d<br />

T<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

+ Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

+<br />

=<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OT<br />

OT<br />

dt<br />

d<br />

O<br />

T<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2 )<br />

(<br />

)<br />

( γ<br />

γ<br />

→<br />

→<br />

= 0<br />

)<br />

(<br />

0<br />

O<br />

γ<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ +<br />

∧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

+<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

••<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

OT<br />

dt<br />

d<br />

OT<br />

dt<br />

d<br />

(2) : ( )<br />

( )<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

+<br />

−<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

+<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

−→<br />

→<br />

L<br />

R<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

OT<br />

dt<br />

d<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

cos<br />

sin<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ +<br />

∧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

OT<br />

( )<br />

( )<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

−<br />

+<br />

+<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

L<br />

R<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

OT<br />

ϕ<br />

θ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

θ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

θ<br />

θ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

sin<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

(3) :<br />

→ →<br />

⎛<br />

−→<br />

0 0<br />

Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

2<br />

∧ OT<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

•<br />

⎧<br />

• •<br />

2<br />

⎪−ψ<br />

( R + Lsinϕ<br />

) + Lψ θ cosϕ<br />

cosθ<br />

• •<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎨ψ θ sinθ<br />

( R + Lsinϕ<br />

) + Lψ<br />

cosϕ<br />

cosθ<br />

sinθ<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

• •<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎪−<br />

Lθ<br />

cosϕ<br />

+ ψ θ cosθ<br />

( R + Lsinϕ<br />

) − Lψ<br />

cosϕ<br />

sin θ<br />

R ⎩<br />

2<br />

→<br />

γ<br />

c<br />

→ →<br />

⎛ 0 2<br />

( T ) = 2⎜Ω<br />

∧V<br />

(<br />

⎝<br />

2<br />

T<br />

⎞<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

(4) :<br />

→<br />

γ<br />

c<br />

( T ) = 2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ<br />

•<br />

⎨ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

R<br />

⎪ψ<br />

cosθ<br />

⎩<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lϕ<br />

cosϕ<br />

∧ ⎨ 0 =<br />

•<br />

⎪<br />

− Lϕ<br />

sinϕ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

• •<br />

⎧<br />

⎪<br />

− 2Lψ ϕ sinθ<br />

sinϕ<br />

• •<br />

• •<br />

⎨2ϕθ<br />

sinϕ<br />

+ 2Lψ ϕ cosθ<br />

cosϕ<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ − 2Lψ ϕ sinθ<br />

cosϕ<br />

R ⎩<br />

2<br />

La somme de ces expressions donne l’accélération absolue du point T<br />

→<br />

0<br />

γ ( T ) =<br />

(1) +(2) +(3) + (4)<br />

261


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 10 :<br />

Soit un système constitué de deux solides (S 1 ) lié au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ → →<br />

1( C,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

→ →<br />

et (S2) lié au<br />

repère R<br />

2( C,<br />

x2,<br />

y2,<br />

z2)<br />

en mouvement par rapport à un repère fixe R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

(S 1 ) : est une barre de longueur L, de masse m dont l’extrémité A glisse sur un mur et l’autre<br />

extrémité B est articulée au disque ;<br />

(S 2 ) : est un disque de masse M et de rayon R qui roule sans<br />

glisser sur un plan horizontal tel que représenté sur la figure ci-dessous.<br />

1. Déterminer la relation exprimant le non glissement du disque sur le plan au point I ;<br />

2. Déterminer le centre instantané de rotation (C.I.R.) de la barre :<br />

a) Géométriquement<br />

b) Analytiquement.<br />

R<br />

→<br />

→<br />

y<br />

1<br />

A<br />

→<br />

y 0<br />

θ<br />

→<br />

y 0<br />

α<br />

→<br />

y 2<br />

O<br />

I<br />

C<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

x 0<br />

Solution :<br />

⎧Lsinθ<br />

→ → →<br />

−→<br />

⎪<br />

R<br />

0<br />

( x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) : repère fixe ; OC = ⎨ R ; OI<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

0<br />

−→<br />

=<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

⎧Lsinθ<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

R C,<br />

x , y , z ) : lié à la barre; tel que : θ = x , x ) = ( y , y ) et Ω<br />

→ → →<br />

2( 2 2 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 2 0 2<br />

R C,<br />

x , y , z ) : lié au disque ; tel que : α = x , x ) = ( y , y ) et Ω<br />

1. Condition de roulement sans glissement<br />

0<br />

→ • → • →<br />

0<br />

1<br />

= θ z1<br />

= θ z0<br />

→ • → • →<br />

0<br />

2<br />

= −α z1<br />

= −α<br />

z0<br />

La condition de non glissement du disque sur le plan est vérifiée si, la vitesse du point I<br />

→<br />

appartenant au disque est nulle : V ( I ∈ disque) = 0 par la cinématique du solide écrire :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

→<br />

( I)<br />

= V ( C)<br />

+ Ω ∧ CI = 0<br />

avec :<br />

→<br />

0<br />

V ( C)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−→<br />

⎪<br />

Lθ cosθ<br />

0<br />

d OC<br />

= ⎨ 0<br />

dt ⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

268


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

⎧<br />

L<br />

⎪<br />

θ cosθ<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

+<br />

⎧ 0 ⎧ 0<br />

⎪ ⎪<br />

⎨ 0 ∧ ⎨−<br />

R<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩−α<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

0<br />

=<br />

R<br />

0<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

⎩0<br />

•<br />

•<br />

⇔ Lθ cos θ − Rα<br />

= 0<br />

2. Centre instantané de rotation de la barre<br />

a) Gométriquement<br />

Soit I b<br />

le centre de rotation instantanée (C.I.R.) de la barre .<br />

Sa position est repéré en traçant deux droites, l’une perpendiculaire à la vitesse V 0 ( A)<br />

au<br />

point A et l’autre perpendiculaire à V<br />

droites est le (C.I.R.) de la barre.<br />

→<br />

0 ( C<br />

) au point C. Le point d’intersection de ces deux<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

A<br />

I<br />

b<br />

V →<br />

(A)<br />

C<br />

V → (C)<br />

O<br />

I<br />

→<br />

x<br />

0<br />

En effet nous avons :<br />

→<br />

→<br />

→ −→ → →<br />

→ −→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( I<br />

b<br />

) = V ( A)<br />

+ Ω1<br />

∧ AI b<br />

= 0 ⇔ V ( A)<br />

= Ω1<br />

∧ I<br />

b<br />

A ⇒<br />

→<br />

→<br />

→ −→ → →<br />

→ −→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( I<br />

b<br />

) = V ( C)<br />

+ Ω1<br />

∧ CI b<br />

= 0 ⇔ V ( C)<br />

= Ω1<br />

∧ I<br />

bC<br />

⇒<br />

a) Analytiquement<br />

⎧x<br />

−→<br />

⎪<br />

Soit OI<br />

b<br />

= ⎨y<br />

⇒ CI<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

0<br />

−→<br />

b<br />

⎧x<br />

− Lsinθ<br />

⎪<br />

= ⎨ y − R<br />

⎪<br />

R ⎩ z<br />

0<br />

→<br />

⎧<br />

⎪V<br />

⎨ →<br />

⎪<br />

⎩V<br />

0<br />

0<br />

→<br />

⎧<br />

⎪V<br />

⎨→<br />

⎪<br />

⎩V<br />

( A)<br />

⊥Ω<br />

( A)<br />

⊥ I<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

b<br />

( C)<br />

⊥Ω<br />

A<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( C)<br />

⊥ I C<br />

0<br />

b<br />

On sait que : V<br />

→<br />

0<br />

( I<br />

→<br />

→ −→<br />

0<br />

0<br />

b<br />

) V ( C)<br />

+ Ω1<br />

∧ CI b<br />

→<br />

= = 0<br />

269


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

−→<br />

V ( C)<br />

+ ∧ CI b<br />

= 0 ⇔<br />

→<br />

•<br />

⎧<br />

L<br />

⎪<br />

θ cosθ<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

+<br />

⎧0<br />

⎧x<br />

− Lsinθ<br />

⎪ ⎪<br />

⎨0<br />

∧ ⎨ y − R<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

R ⎩ z<br />

0<br />

0<br />

=<br />

R<br />

0<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

⎩0<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

cosθ<br />

− ( y − R)<br />

θ = 0<br />

•<br />

⎨(<br />

x − Lsinθ<br />

) θ = 0<br />

z<br />

R ⎪⎪ = 0<br />

⎩<br />

0<br />

⇔<br />

⎧y<br />

= R + L cosθ<br />

⎪<br />

x L<br />

R ⎪ ⎨ = sinθ<br />

⎩ z = 0<br />

0<br />

Exercice 11 :<br />

Soit<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) un repère fixe lié à un demi cylindre creux de rayon R, sur lequel se<br />

déplace une barre de longueur 2L. Le mouvement se fait dans le plan vertical (xOy). La barre<br />

est en contact permanent avec le demi cylindre en deux points, l’extrémité A en contact avec<br />

la surface du cylindre et le point C avec son bord.<br />

1. Déterminer les coordonnées du centre instantané de rotation (C.I.R.) géométriquement ;<br />

2. Retrouver les coordonnées du centre instantané de rotation (C.I.R.) analytiquement ;<br />

3. En déduire la vitesse du point C de la barre.<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

x<br />

0<br />

B<br />

Solution :<br />

C<br />

α<br />

→<br />

x 1<br />

1. Coordonnées du C.I.R. géométriquement :<br />

O<br />

→<br />

y<br />

0<br />

R<br />

A<br />

D<br />

→<br />

x 0<br />

B →<br />

V 0 ( C)<br />

C<br />

α<br />

D<br />

→<br />

0 ( C<br />

(C.I.R.)<br />

I<br />

2α<br />

α<br />

O<br />

→<br />

y<br />

0<br />

2α<br />

α<br />

α<br />

R<br />

A<br />

→<br />

V 0 ( A)<br />

→<br />

0 ( A<br />

La vitesse du point A est tangente au cercle de rayon R. On trace la perpendiculaire à V ) ,<br />

elle passe par le point O et elle rencontre la perpendiculaire à V ) au point I. La vitesse du<br />

point C est portée par la barre.<br />

270


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le triangle CAI est rectangle en C car il est inscrit à l’intérieur d’un cercle de diamètre CI.<br />

Le triangle COA est isocèle : OC = OA= R , les angles ( CO , CA)<br />

= ( AO,<br />

AC)<br />

= ( AD,<br />

AC)<br />

= α<br />

Le triangle COI est isocèle : OC = OI = R , les angles ( CO , CI ) = ( IO,<br />

IC)<br />

= 2α<br />

On déduit facilement les coordonnées du point I tel que :<br />

−→<br />

OI =<br />

R<br />

0<br />

⎧xI<br />

⎨<br />

⎩ yI<br />

= R cos 2α<br />

= Rsin 2α<br />

2. Coordonnées du C.I.R. analytiquement :<br />

On sait que la vitesse du centre instantané de rotation (C.I.R.) de la barre est nul :<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

V ( I)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AI = 0 ; Déterminons d’abord la vitesse du point A :<br />

−→<br />

=<br />

Nous avons : OA<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

2Rα<br />

sin 2α<br />

•<br />

⎨−<br />

2Rα<br />

cos 2α<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

R<br />

0<br />

⎧−<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

+<br />

R cos 2α<br />

Rsin 2α<br />

⇒<br />

R<br />

0<br />

0<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

⎩α<br />

∧<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

2Rα<br />

sin 2α<br />

−→<br />

•<br />

0<br />

V ( A)<br />

= ⎨−<br />

2Rα<br />

cos 2α<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

⎧xI<br />

+ R cos 2α<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨ yI<br />

+ Rsin 2α<br />

= ⎨0<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩ 0 R ⎩0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

et<br />

−→<br />

=<br />

AI<br />

R<br />

0<br />

⎧xI<br />

⎪<br />

⎨ yI<br />

⎪<br />

⎩<br />

+ R cos 2α<br />

+ Rsin 2α<br />

0<br />

•<br />

− •<br />

α<br />

2 Rα<br />

sin 2α<br />

α( yI + Rsin 2 ) = 0 ⇒ y I<br />

= Rsin 2α<br />

•<br />

•<br />

− 2 Rα cos 2α<br />

+ α( xI + R cos 2α<br />

) = 0 ⇒ x I<br />

= R cos2α<br />

3. Vitesse du point C de la barre<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

Nous avons : V ( C)<br />

= V ( I ) + Ω ∧ IC ; or :<br />

→<br />

→<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

V 0 ( I)<br />

= 0<br />

⎧0<br />

→<br />

→ −→<br />

0<br />

0 ⎪<br />

V ( C)<br />

= Ω1<br />

∧ IC=<br />

⎨0<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩α<br />

0<br />

R<br />

0<br />

⎧ R − R cos 2α<br />

⎪<br />

⎨−<br />

Rsin 2α<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Rα<br />

sin 2α<br />

•<br />

= ⎨Rα<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

( 1−<br />

cos 2α<br />

)<br />

271


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 12 :<br />

Soit un système constitué d’un cylindre fixe de rayon R lié au repère R O,<br />

x , y , z ) et d’un<br />

disque de masse m de rayon r lié au repère<br />

autour du cylindre comme représenté sur la figure ci-dessous. Déterminer :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

1. La matrice d’inertie du disque au point O, dans le repère R O,<br />

x , y , z );<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R2<br />

( B,<br />

x2<br />

, y2<br />

, z2<br />

) en mouvement de rotation<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

• •<br />

2. La relation entre ψ et ϕ exprimant la condition de non glissement du disque au point I ;<br />

3. La vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement.<br />

→<br />

y<br />

0<br />

ψ<br />

r<br />

C<br />

I<br />

→<br />

y 1<br />

θ<br />

→<br />

y 2<br />

R<br />

O<br />

→<br />

x 0<br />

Exercice 13 :<br />

Un cône homogène de hauteur h, de rayon de base R est en mouvement de rotation autour de<br />

→<br />

•<br />

l’axe vertical z0<br />

d’un repère orthonormé fixe, avec une vitesse angulaire ψ = Cte . L’axe<br />

principal du cône est incliné d’un angle<br />

β constant par rapport à cet axe. Le cône tourne<br />

•<br />

aussi autour de son axe principal avec une vitesse angulaire θ = Cte<br />

figure ci-dessous. Le repère<br />

R 2<br />

est le repère relatif.<br />

comme représenté sur la<br />

On prendra aussi le repère<br />

R 2<br />

comme repère de projection.<br />

Déterminer :<br />

1. Les matrices de passage de vers et de vers R ;<br />

R1<br />

R2<br />

R3<br />

2<br />

2. La vitesse et l’accélération du point C par dérivation ;<br />

3. La vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement ;<br />

272


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

x<br />

0<br />

•<br />

ψ<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

O<br />

ψ<br />

β<br />

C<br />

I<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 2<br />

•<br />

θ<br />

ψ<br />

M<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→ →<br />

z 1 ≡ z 2<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

z 1<br />

O<br />

β<br />

→<br />

z 2<br />

β<br />

→<br />

y 2<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y 3<br />

θ<br />

→<br />

y<br />

2<br />

R<br />

C<br />

M<br />

θ<br />

→<br />

x 3<br />

→<br />

x 2<br />

Solution :<br />

1. Les matrices de passage de vers et de vers R ;<br />

R1<br />

R2<br />

R3<br />

2<br />

→ → →<br />

R0<br />

(<br />

0 0 0<br />

2<br />

Nous avons : OC = h et x , y , z ) un repère fixe et R : le repère de projection.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

→ → → → → →<br />

→ • → • → •<br />

0<br />

: tel que : z 0 ≡ z 1<br />

et ( x0 , x1<br />

) = ( y0<br />

, y1)<br />

= ψ avec Ω<br />

1<br />

= ψ z0<br />

= ψ z1<br />

, ψ = Cte<br />

→ → →<br />

→ → → → → →<br />

→ → •<br />

1<br />

R<br />

2<br />

( x2<br />

, y2<br />

, z2<br />

) : tel que : x 1 ≡ x 2<br />

et ( y<br />

1,<br />

y2<br />

) = ( z1,<br />

z2<br />

) = β = Cte avec Ω<br />

2<br />

= 0 , β = 0<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

3 3 3<br />

→ →<br />

2<br />

≡ z 3<br />

→ → → →<br />

(<br />

2 3 2<br />

y3<br />

→ • → • →<br />

Ω3 2<br />

z3<br />

2<br />

R x , y , z ) : tel que : z et x , x ) = ( y , ) = θ avec = θ z = θ ,<br />

•<br />

θ = Cte<br />

Matrice de passage de R1<br />

vers R2<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x1<br />

⎟ ⎛1<br />

0 0 ⎞⎜<br />

x2<br />

⎟<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

⎜ y1<br />

⎟ = ⎜0<br />

cos β sin β ⎟⎜<br />

y2<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

z<br />

⎝0<br />

− sin β cos β<br />

1<br />

⎠<br />

z2<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 1→<br />

R 2<br />

→<br />

z 1<br />

O<br />

β<br />

→<br />

z<br />

2<br />

β<br />

→<br />

y<br />

1<br />

Matrice de passage de<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x3<br />

⎟ ⎛ cosθ<br />

sinθ<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎜ y3<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

z3<br />

⎝ 0 0<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 3→<br />

R 2<br />

R vers R2<br />

3<br />

⎛<br />

0⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0⎟⎜<br />

y<br />

1⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

y 3<br />

θ<br />

→<br />

y 2<br />

C<br />

R<br />

M<br />

θ<br />

→<br />

x 3<br />

→<br />

x<br />

2<br />

→<br />

y<br />

2<br />

273


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Vitesse et accélération du point C par dérivation ;<br />

2.1. Vitesse<br />

⎧0<br />

−→<br />

−→<br />

⎪<br />

Nous avons : OC=<br />

⎨0<br />

, OM<br />

⎪<br />

R ⎩h<br />

2<br />

⎧0<br />

−→ −→<br />

⎪<br />

= OC+<br />

CM = ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩h<br />

2<br />

⎧R<br />

cosθ<br />

⎪<br />

+ ⎨Rsinθ<br />

=<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

⎧R<br />

cosθ<br />

⎪<br />

⎨Rsinθ<br />

⎪<br />

R ⎩ h<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−→<br />

−→<br />

0<br />

2 →<br />

d OC d OC<br />

−→<br />

0<br />

( C)<br />

= = + Ω<br />

2<br />

∧ OC , avec :<br />

dt dt<br />

→ → → • →<br />

0 1 0<br />

Ω<br />

2<br />

= Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= ψ z1<br />

→<br />

→<br />

or : z1 = −sin<br />

β y2<br />

+ cos β z2<br />

d’où :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

=<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

ψ<br />

•<br />

ψ<br />

sin β<br />

cos β<br />

→<br />

0<br />

V<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

( C)<br />

= ⎨−ψ<br />

sin β ∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ ψ cos β R<br />

2<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

⎩h<br />

•<br />

⎧ ⎪ − ψ hsin<br />

β<br />

= ⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

2.2. Accélération :<br />

→<br />

0<br />

γ ( C)<br />

=<br />

d<br />

→<br />

0<br />

0<br />

V ( C)<br />

dt<br />

=<br />

d<br />

→<br />

2<br />

0 →<br />

V ( C)<br />

+ Ω<br />

dt<br />

0<br />

2<br />

→<br />

0<br />

∧V<br />

( C)<br />

→<br />

0<br />

γ ( C)<br />

=<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

ψ<br />

•<br />

ψ<br />

sin β<br />

cos β<br />

∧<br />

•<br />

⎧ ⎪ − ψ hsin<br />

β<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

R<br />

⎩<br />

2<br />

0<br />

•<br />

2<br />

−ψ<br />

hsin<br />

β cos β<br />

•<br />

2<br />

−ψ<br />

hsin<br />

β sin β<br />

3. Vitesse et accélération du point M par composition de mouvement ;<br />

3.1 Vitesse :<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

Nous avons : V ( M ) = V ( M ) + V ( M ) ,<br />

→<br />

→<br />

2<br />

avec:<br />

⎧R<br />

cosθ<br />

−→<br />

⎪<br />

OM = ⎨Rsinθ<br />

⎪<br />

R ⎩ h<br />

2<br />

⇒<br />

→<br />

2<br />

V<br />

( M ) =<br />

•<br />

⎧<br />

→<br />

⎪ − Rθ<br />

sinθ<br />

2<br />

d OM<br />

•<br />

= ⎨ Rθ<br />

cosθ<br />

dt ⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

274


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

275<br />

A.KADI<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

R<br />

R<br />

R<br />

h<br />

R<br />

h<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

OM<br />

O<br />

V<br />

M<br />

V<br />

ce qui donne :<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

h<br />

R<br />

M<br />

V<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

)<br />

(<br />

2<br />

0<br />

3.2 Accélération :<br />

Nous avons : ,<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

M<br />

M<br />

M<br />

M<br />

c<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

+<br />

= γ<br />

γ<br />

γ<br />

γ<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

=<br />

•<br />

•<br />

→<br />

→<br />

R<br />

R<br />

R<br />

dt<br />

M<br />

V<br />

d<br />

M<br />

0<br />

sin<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

γ<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

+ Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

+<br />

=<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OM<br />

OM<br />

dt<br />

d<br />

O<br />

M<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2 )<br />

(<br />

)<br />

( γ<br />

γ ; avec :<br />

→<br />

→<br />

= 0<br />

)<br />

(<br />

0 O<br />

γ<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

=<br />

∧ Ω<br />

+ Ω<br />

Ω<br />

=<br />

Ω<br />

0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

dt<br />

d<br />

dt<br />

d<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

h<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

OM<br />

θ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

R<br />

R<br />

R<br />

h<br />

R<br />

R<br />

OM<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

θ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

β<br />

ψ<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ →<br />

⎛<br />

−→<br />

0 0<br />

Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

2<br />

∧ OM<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

•<br />

⎧ 2<br />

⎪−<br />

Rψ<br />

cosθ<br />

•<br />

⎪ 2<br />

⎨ −ψ<br />

cos β<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪ −ψ<br />

sin β<br />

R ⎩<br />

2<br />

( hsin<br />

β + R cos β sinθ<br />

)<br />

( hsin<br />

β + R cos β sinθ<br />

)<br />

→<br />

γ ( M ) = 2<br />

c<br />

→<br />

⎛ 0<br />

⎜Ω<br />

2<br />

∧V<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

( M ) ⎟=<br />

⎠<br />

R<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

⎨−ψ<br />

sin<br />

•<br />

⎪<br />

⎩ ψ cos<br />

β<br />

β<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − Rθ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎨ Rθ<br />

cosθ<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

=<br />

• •<br />

⎧<br />

⎪<br />

− 2Rθ ψ cosθ<br />

cos β<br />

• •<br />

⎨−<br />

2Rθ ψ sinθ<br />

cos β<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ − 2Rθ ψ sinθ<br />

sin β<br />

R ⎩<br />

2<br />

La somme de toutes ces expressions donne :<br />

• •<br />

⎧ ⎛<br />

• •<br />

2 2<br />

⎞<br />

⎪−<br />

R cosθ<br />

⎜θ<br />

+ ψ + 2Rθ ψ cos β ⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

→<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎛<br />

• •<br />

0<br />

2<br />

2<br />

⎞<br />

γ ( M ) = ⎨−ψ<br />

cos β ( hsin<br />

β + R cos β sinθ<br />

) − Rsinθ<br />

⎜θ<br />

+ 2Rθ ψ cos β ⎟<br />

⎪<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

• •<br />

⎪ 2<br />

⎪−ψ<br />

sin β ( hsin<br />

β + R cos β sinθ<br />

) − 2Rθ ψ sinθ<br />

sin β<br />

R ⎩<br />

2<br />

276


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice 01 :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ → →<br />

1( 1 2 3<br />

Soient t R O,<br />

x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O,<br />

e , e , e ) un repère en<br />

mouvement par rapport au repère fixe avec une vitesse de rotation ω .<br />

→<br />

Montrer que :<br />

→<br />

⎛<br />

1<br />

→<br />

⎜ d e<br />

ω =<br />

⎜<br />

e1<br />

∧<br />

2 dt<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

+ e<br />

2<br />

→<br />

d e<br />

∧<br />

dt<br />

2<br />

→<br />

+ e<br />

3<br />

→<br />

d e<br />

∧<br />

dt<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

Solution :<br />

→<br />

→<br />

d e<br />

→ → → → → → → → → → → → →<br />

1 ⎛ ⎞<br />

Nous avons : e1<br />

∧ = e1<br />

∧ ⎜ω<br />

∧ e1<br />

⎟ = ω( e1<br />

• e1<br />

) − e1<br />

( ω • e1<br />

) = ω−<br />

e1<br />

( ω • e1<br />

)<br />

dt ⎝ ⎠<br />

→<br />

→<br />

d e2<br />

e2<br />

∧<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

d e3<br />

e3<br />

∧<br />

dt<br />

→<br />

= e<br />

2<br />

→<br />

= e<br />

3<br />

→<br />

⎛<br />

∧ ⎜ω<br />

∧ e<br />

⎝<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

∧ ⎜ω<br />

∧ e<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

3<br />

→ → → → → → → → → →<br />

⎞<br />

⎟ = ω( e2<br />

• e2<br />

) − e2<br />

( ω • e2<br />

) = ω−<br />

e2<br />

( ω • e2<br />

)<br />

⎠<br />

→ → → → → → → → → →<br />

⎞<br />

⎟ = ω( e3<br />

• e3)<br />

− e3(<br />

ω • e3)<br />

= ω−<br />

e3(<br />

ω • e3)<br />

⎠<br />

Faisons la somme des trois expressions en sachant que : ω<br />

nous obtenons :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d e<br />

→<br />

→<br />

→ → → → → → → → → →<br />

1<br />

d e2<br />

d e3<br />

e<br />

1∧<br />

+ e2<br />

∧ + e3<br />

∧ = 3 − ( ω • e1<br />

) e1<br />

+ ( ω • e2<br />

) e2<br />

+ ( ω • e3)<br />

e3<br />

dt<br />

dt<br />

dt<br />

→ → → → → → → → → →<br />

= ( ω • e1 ) e1<br />

+ ( ω • e2<br />

) e2<br />

+ ( ω • e3<br />

) e3<br />

ω == 3ω−ω<br />

= 2ω<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

1<br />

→<br />

⎜ d e<br />

ω =<br />

⎜<br />

e1<br />

∧<br />

2 dt<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

+ e<br />

2<br />

→<br />

d e<br />

∧<br />

dt<br />

2<br />

→<br />

+ e<br />

3<br />

→<br />

d e<br />

∧<br />

dt<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

241


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 02 :<br />

Une sphère (S) pleine et homogène, de centre G, de rayon a, roule de manière quelconque sur un<br />

plan fixe horizontal (P). Soit<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

un repère orthonormé fixe lié au plan tel que<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z0 ⊥ ( P)<br />

. Soit R ( G,<br />

x , y , z ) un repère orthonormé direct, lié à la sphère tel que :<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

OG = x x + y y + a z<br />

0<br />

S<br />

→<br />

0<br />

s<br />

s<br />

s<br />

) . L’orientation du repère par rapport à R se fait par les angles<br />

RS<br />

0<br />

d’Euler classiques ψ , θ , ϕ . On prendra comme repère de projection.<br />

R 0<br />

1. Etablir les figures planes de rotation de la sphère ;<br />

2. Donner l’expression du vecteur rotation instantané de la sphère ;<br />

3. Déterminer la vitesse du point de contact I de la sphère avec le plan fixe.<br />

4. Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphère sur le plan.<br />

→<br />

z 0<br />

o<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

y 0<br />

G<br />

•<br />

•<br />

I<br />

P<br />

Solution :<br />

(S) : est une sphère homogène de rayon a ; (P) : un plan fixe ; OG = x x + y y + a z )<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ →<br />

0<br />

,<br />

0<br />

P<br />

R O,<br />

x , y , z ) : repère fixe ; ( x y ) ∈ ( ) et<br />

→<br />

z0 ⊥(<br />

P)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( G,<br />

x , y , z ) : repère lié à la sphère.<br />

S<br />

s<br />

s<br />

s<br />

Le passage du repère R vers le repère se fait par trois rotations utilisant les angles d’Euler<br />

( ψ , θ , ϕ)<br />

et deux repères intermédiaires et<br />

S<br />

R 0<br />

R1<br />

R2<br />

242


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1. Les figures planes :<br />

R1<br />

0<br />

a) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe<br />

Matrice de passage du repère R1<br />

vers R0<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟ ⎛ cosψ<br />

sinψ<br />

⎟ ⎜<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinψ<br />

cosψ<br />

⎟ ⎜<br />

⎝ 0 0<br />

⎠<br />

P<br />

R 1→<br />

R 0<br />

⎛<br />

0⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0⎟⎜<br />

y<br />

1⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

→ →<br />

z 1 ≡ z 0<br />

→<br />

x 0<br />

G<br />

ψ<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

ψ<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→ →<br />

b) Passage du repère R2<br />

vers R1<br />

: la rotation se fait autour de l’axe x 1 ≡ x 2<br />

Matrice de passage de R2<br />

vers R1<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x2<br />

⎟ ⎛1<br />

0 0 ⎞⎜<br />

x1<br />

⎟<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

⎜ y2<br />

⎟ = ⎜0<br />

cosθ<br />

sinθ<br />

⎟⎜<br />

y1<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

z<br />

⎝0<br />

− sinθ<br />

cosθ<br />

2<br />

⎠<br />

z1<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 2→<br />

R 1<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 2<br />

→<br />

y 1<br />

G<br />

θ<br />

θ<br />

→<br />

y 2<br />

→<br />

z<br />

2<br />

→<br />

z 1<br />

c) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe<br />

RS<br />

2<br />

→ →<br />

z 2 ≡ z s<br />

→<br />

y<br />

s<br />

Matrice de passage de<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ xs<br />

⎟ ⎛ cosϕ<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎜ ys<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinϕ<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

z<br />

⎝ 0<br />

s<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R<br />

→ s<br />

R 2<br />

sinϕ<br />

cosϕ<br />

0<br />

R vers R2<br />

s<br />

⎛<br />

0⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0⎟⎜<br />

y<br />

1⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

→ →<br />

z 2 ≡ z s<br />

G<br />

→<br />

x 2<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

→<br />

x<br />

s<br />

→<br />

y<br />

2<br />

243


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Vecteur rotation instantané de la sphère dans le repère R0<br />

→ → → → • → • → • →<br />

0 2 1 0<br />

Ω<br />

s<br />

= Ω<br />

s<br />

+ Ω2<br />

+ Ω1<br />

= ϕ z2<br />

+ θ x1<br />

+ ψ z0<br />

→ →<br />

x1 z 0<br />

0<br />

Exprimons et dans le repère R . D’après les matrices de passage nous avons :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x1 = cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

⎛<br />

⎝<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z2 = −sinθ<br />

y1+<br />

cosθ<br />

z1<br />

= −sinθ<br />

⎜−<br />

sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

⎟ + cosθ<br />

z0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z2 = sinθ<br />

sinψ<br />

x0<br />

− sinθ<br />

cosψ<br />

y0<br />

+ cosθ<br />

z0<br />

⎞<br />

⎠<br />

ce qui donne :<br />

→ •<br />

→<br />

→<br />

→ •<br />

→<br />

→ • →<br />

0 ⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

Ω<br />

s<br />

= ϕ⎜sinθ<br />

sinψ<br />

x0<br />

− sinθ<br />

cosψ<br />

y0<br />

+ cosθ<br />

z0<br />

⎟ + θ ⎜cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

⎟ + ψ z0<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

→ •<br />

•<br />

→ •<br />

•<br />

→ • •<br />

→<br />

0 ⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞ ⎛ ⎞<br />

Ω<br />

s<br />

= ⎜ϕ<br />

sinθ<br />

sinψ<br />

+ θ cosψ<br />

⎟ x0<br />

+ ⎜−<br />

ϕ sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

⎟ y0<br />

+ ⎜ψ<br />

+ ϕ cosθ<br />

⎟ z0<br />

→<br />

0<br />

s<br />

Ω<br />

⎝<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

ϕ sinθ<br />

sinψ<br />

+ θ cosψ<br />

•<br />

•<br />

= ⎨−ϕ<br />

sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ ψ + ϕ cosθ<br />

R ⎩<br />

0<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

3. Vitesse du point de contact I de la sphère avec le plan fixe<br />

Les points G et I appartiennent à la sphère. Par la cinématique du solide, nous pouvons connaître la<br />

vitesse du point I à partir de celle de G, en effet nous avons :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

s<br />

−→<br />

( I)<br />

= V ( G)<br />

+ Ω ∧ GI<br />

Avec :<br />

•<br />

⎧<br />

⎧x<br />

−→<br />

−→<br />

⎪<br />

x<br />

→<br />

0<br />

•<br />

⎪<br />

0 d OG<br />

OG=<br />

⎨y<br />

⇒ V ( G)<br />

= =<br />

⎪<br />

R ⎩a<br />

0 ⎪ ⎪ ⎨y<br />

dt<br />

0<br />

R ⎩<br />

0<br />

⎧x<br />

−→<br />

−→<br />

⎪<br />

et OI=<br />

⎨y<br />

⇒ GI =<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

R<br />

0<br />

0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

⎩−<br />

a<br />

244


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎧ ⎧<br />

⎪<br />

+<br />

⎪<br />

x ϕ sinθ<br />

sinψ<br />

θ cosψ<br />

⎧ 0<br />

→<br />

•<br />

•<br />

•<br />

0<br />

⎪<br />

V ( I)<br />

= ⎨y<br />

+ ⎨−<br />

ϕ sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

∧ ⎨ 0<br />

• •<br />

⎪0<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩−<br />

⎪ ⎪ ψ + ϕ cosθ<br />

a<br />

R ⎩<br />

0 R ⎩<br />

0<br />

, on obtient finalement :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

⎧ •<br />

•<br />

•<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎪x<br />

− a⎜−ϕ<br />

sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

• •<br />

•<br />

⎛<br />

⎞<br />

( I)<br />

= ⎨ y + a⎜ϕ<br />

sinθ<br />

sinψ<br />

+ θ cosψ<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

4. Condition de roulement sans glissement de la sphère sur le plan.<br />

Pour que la condition de roulement sans glissement soit satisfaite il faut que la vitesse du point I soit<br />

nulle :<br />

→<br />

0 ( I<br />

V<br />

→<br />

) = 0<br />

⇔<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎧ ⎛<br />

⎞<br />

⎪ x − a⎜−<br />

ϕ sinθ<br />

cosψ<br />

+ θ sinψ<br />

⎟ = 0<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎨ • •<br />

•<br />

⎪ ⎛<br />

⎞<br />

y + a⎜ϕ<br />

sinθ<br />

sinψ<br />

+ θ cosψ<br />

⎟ = 0<br />

R<br />

⎩ ⎝<br />

⎠<br />

0<br />

(1)<br />

(2)<br />

On multiplie l’équation (1) par<br />

sin ψ et l’équation (2) par cos ψ puis on fait la différence des deux<br />

équations :<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎧ ⎛<br />

2 ⎞<br />

⎪ xsinψ<br />

− a⎜−<br />

ϕ sinθ<br />

cosψ<br />

sinψ<br />

+ θ sin ψ ⎟ = 0<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎨ •<br />

•<br />

•<br />

⎪ ⎛<br />

2 ⎞<br />

y cosψ<br />

+ a⎜ϕ<br />

sinθ<br />

sinψ<br />

cosψ<br />

+ θ cos ψ ⎟ = 0<br />

⎩ ⎝<br />

⎠<br />

(1)<br />

(2)<br />

•<br />

•<br />

•<br />

( 2) − (1) ⇒ − xsin ψ + y cosψ<br />

+ aθ<br />

= 0<br />

comme nous avons aussi : sinψ =<br />

y<br />

et<br />

2 2<br />

x + y<br />

• •<br />

y x − x y<br />

•<br />

L’équation devient : + aθ = 0<br />

2 2<br />

x + y<br />

cosψ<br />

=<br />

x<br />

2<br />

x<br />

+ y<br />

2<br />

245


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 03 :<br />

Soit le système mécanique composé d’une tige OO 2 de longueur L et d’une plaque rectangulaire<br />

de dimension 2a et 2b articulée en O 2 avec la tige (voir figure). étant le repère fixe ; R en<br />

→<br />

ψ z 0<br />

rotation de autour de . La plaque tourne autour de la tige à une vitesse angulaire .<br />

•<br />

•<br />

•<br />

On donne ψ = Cte ; θ = Cte ; ϕ = Cte<br />

1) Déterminer les matrices de passage de vers et de vers R ;<br />

R1<br />

R2<br />

R3<br />

2<br />

→<br />

0<br />

R0<br />

1<br />

2) Déterminer le vecteur rotation instantané de par rapport à exprimé dans R ;<br />

→<br />

0<br />

V<br />

2<br />

R3<br />

R0<br />

2<br />

3) Déterminer par dérivation la vitesse (O ) exprimée dans le repère ;<br />

4) Déterminer par la cinématique du solide la vitesse V (A) par rapport à R0<br />

exprimée R2<br />

;<br />

5) Déterminer par dérivation et par la cinématique du solide (O 2<br />

) exprimée dans le repère R .<br />

→<br />

x<br />

0<br />

→<br />

z<br />

Solution :<br />

0<br />

O<br />

ψ<br />

θ<br />

O 2<br />

→<br />

x 1<br />

ψ<br />

→ →<br />

z 2 ≡ z 3<br />

→ →<br />

y 1 ≡ y 2<br />

→<br />

y<br />

0<br />

La tige : OO = L ; La plaque : Longueur 2a , Largeur 2b<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) : repère fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

2<br />

R O,<br />

x , y , z ) : repère en rotation autour de l’axe par rapport au repère<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→<br />

z 1<br />

O<br />

θ<br />

θ<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

x 2<br />

R 2<br />

→<br />

γ 0<br />

2<br />

→<br />

x 1<br />

2b<br />

O 2<br />

2a<br />

→<br />

x<br />

ϕ<br />

2<br />

ϕ<br />

→<br />

z0<br />

R0<br />

R O,<br />

x , y , z ) : repère lié à la tige, en rotation autour de l’axe par rapport à<br />

→<br />

y<br />

→<br />

y1<br />

R1<br />

3<br />

→<br />

x 3<br />

•<br />

ϕ<br />

→<br />

y 2<br />

246


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

2 3 3 3<br />

→<br />

z2<br />

R2<br />

R O , x , y , z ) : repère lié à la plaque, en rotation autour de l’axe par rapport à<br />

•<br />

•<br />

on donne : ψ = Cte , θ = Cte ,<br />

•<br />

ϕ = Cte<br />

1. Matrices de passage<br />

Matrice de passage de R2<br />

vers R1<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x1<br />

⎟ ⎛ cosθ<br />

0 sinθ<br />

⎞⎜<br />

x2<br />

⎟<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

⎜ y1<br />

⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜<br />

y2<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

z<br />

⎝−<br />

sinθ<br />

0 cosθ<br />

1<br />

⎠<br />

z2<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

z 1<br />

O<br />

θ<br />

θ<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

x 2<br />

→<br />

x<br />

1<br />

P<br />

R 1→<br />

R 2<br />

→<br />

y 3<br />

Matrice de passage de<br />

R vers R2<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x3<br />

⎟ ⎛ cosϕ<br />

sinϕ<br />

0⎞⎜<br />

x2<br />

⎟<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

⎜ y3<br />

⎟ = ⎜−<br />

sinϕ<br />

cosϕ<br />

0⎟⎜<br />

y2<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

z3<br />

⎝ 0 0 1⎠<br />

z2<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 3→<br />

R 2<br />

3<br />

2b<br />

O 2<br />

2a<br />

ϕ<br />

→<br />

x 2<br />

ϕ<br />

→<br />

x 3<br />

→<br />

y<br />

2<br />

2. Vecteur rotation instantané de par rapport à exprimé dans R ;<br />

D’après la relation de Chasles nous pouvons écrire :<br />

→ → → → • → • → • →<br />

0 2 1 0<br />

Ω3 = Ω3<br />

+ Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= ϕ z2<br />

+ θ y2<br />

+ ψ z1<br />

R3<br />

R0<br />

2<br />

→<br />

z1<br />

2<br />

Exprimons le vecteur unitaire dans le repère R , il s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z1 = −sinθ<br />

x2<br />

+ cosθ<br />

z2<br />

D’où :<br />

→ • → • → •<br />

→<br />

→ • → • → • •<br />

→<br />

0<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎛ ⎞<br />

Ω<br />

3<br />

= ϕ z2<br />

+ θ y2<br />

+ ψ ⎜−<br />

sinθ<br />

x2<br />

+ cosθ<br />

z2<br />

⎟ = −ψ<br />

sinθ<br />

x2<br />

+ θ y2<br />

+ ⎜ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

⎟ z2<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎧<br />

→<br />

⎪<br />

0<br />

Ω3<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

•<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

θ<br />

• •<br />

ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

247


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

V<br />

2<br />

3. (O ) par dérivation et exprimée dans le repère ;<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

0 d OO2<br />

d OO<br />

−−→<br />

2 0<br />

Par dérivation nous avons : V ( O2<br />

) = = + Ω<br />

2<br />

∧ OO 2<br />

dt dt<br />

−−→<br />

−−→<br />

R 2<br />

Or<br />

⎧0<br />

−−→<br />

⎪<br />

OO 2 = ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

2<br />

⇒<br />

d<br />

2<br />

−−→<br />

OO<br />

dt<br />

2<br />

→<br />

= 0<br />

; et<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

• →<br />

= θ y<br />

2<br />

• →<br />

+ ψ z<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − ψ sinθ<br />

•<br />

= ⎨ θ<br />

•<br />

⎪ ψ cosθ<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( O<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − ψ sinθ<br />

•<br />

) = ⎨ θ<br />

•<br />

⎪ ψ cosθ<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

2<br />

∧<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

2<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

•<br />

⎨Lψ<br />

sinθ<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

4. Vitesse du point A par rapport à exprimée dans le repère R ;<br />

Par la cinématique du solide nous pouvons écrire :<br />

R0<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→ −−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( A)<br />

V ( O2<br />

) + Ω3<br />

∧ O2<br />

= A<br />

Le point A est dans le repère R 3<br />

et a pour coordonnées :<br />

⎧a<br />

⎧a<br />

cosϕ<br />

−−→<br />

⎪ ⎪<br />

O2 A=<br />

⎨0<br />

= ⎨asinϕ<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩0<br />

R ⎩ 0<br />

3<br />

2<br />

→<br />

0<br />

D’où : V<br />

( A)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

•<br />

⎨Lψ<br />

sinθ<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

+<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

•<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

θ<br />

• •<br />

ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

∧<br />

⎧a<br />

cosϕ<br />

⎪<br />

⎨a<br />

sinϕ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( A)<br />

=<br />

•<br />

• •<br />

⎧<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎪ Lθ<br />

− a sinϕ⎜<br />

ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

⎟<br />

⎪<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

• •<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎨ Lψ<br />

sinθ<br />

+ a cosϕ⎜<br />

ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

⎟<br />

⎪<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

•<br />

⎪ ⎛<br />

⎞<br />

− a<br />

⎪ ⎜ψ<br />

sinϕ<br />

sinθ<br />

+ θ cosϕ<br />

⎟<br />

R ⎩ ⎝<br />

⎠<br />

2<br />

248


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

γ 0<br />

2<br />

5. Accélération (O 2<br />

) par dérivation et par la cinématique du solide dans le repère R .<br />

5.1. par dérivation<br />

•<br />

•<br />

•<br />

Nous savons que : ψ = Cte ; θ = Cte ; ϕ = Cte ; alors :<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

2 0<br />

→ →<br />

0 d V ( O2<br />

) d V ( O2<br />

) 0 0<br />

γ ( O2<br />

) = = + Ω<br />

2<br />

∧V<br />

( O2<br />

)<br />

dt dt<br />

ce qui donne :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

γ ( O<br />

2<br />

⎧ 0<br />

• •<br />

⎪<br />

) = ⎨Lψ θ cosθ<br />

+<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

•<br />

−ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

θ<br />

• •<br />

ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

•<br />

⎨Lψ<br />

sinθ<br />

=<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

•<br />

2<br />

− Lψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

• •<br />

2Lψ θ cosθ<br />

• •<br />

2 2 2<br />

− Lθ<br />

− Lψ<br />

sin<br />

θ<br />

5.1. par la cinématique du solide<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

Ω<br />

−−→ → →<br />

⎛<br />

−−→<br />

0<br />

0 d<br />

2<br />

0 0<br />

γ ( O2<br />

) = γ ( O)<br />

+ ∧ OO2<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

2<br />

∧ OO2<br />

dt<br />

⎝<br />

Les points O et<br />

O 2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

appartiennent à la tige leurs vitesses et leurs accélérations sont nulles dans<br />

le repère<br />

R 2<br />

lié à la tige.<br />

→<br />

→<br />

0<br />

γ ( O)<br />

= 0 car le point O est fixe dans la tige ;<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

d Ω<br />

dt<br />

−−→<br />

∧ OO<br />

2<br />

• •<br />

⎧<br />

⎪<br />

−ψ θ cosθ<br />

= ⎨ 0 ∧<br />

• •<br />

⎪−ψ θ sinθ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

2<br />

=<br />

⎧ 0<br />

• •<br />

⎪<br />

⎨Lψ θ cosθ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

→ →<br />

⎛<br />

−−→<br />

0 0<br />

Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

2<br />

∧ OO2<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

•<br />

2<br />

− Lψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

• •<br />

Lψ θ cosθ<br />

• •<br />

2 2 2<br />

− Lθ<br />

− Lψ<br />

sin<br />

θ<br />

249


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La somme de ces trois expressions donne :<br />

•<br />

⎧<br />

2<br />

⎧<br />

⎧ 0 ⎪ − Lψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

⎪<br />

→<br />

• •<br />

• •<br />

0 ⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

γ ( O2<br />

) = ⎨Lψ θ cosθ<br />

+ ⎨ Lψ θ cosθ<br />

=<br />

R<br />

0<br />

L L<br />

2 ⎪ ⎪ ⎨<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪<br />

2 2 2<br />

⎩<br />

⎪ − θ − ψ sin θ<br />

R ⎩<br />

R ⎩<br />

2<br />

2<br />

•<br />

2<br />

− Lψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

• •<br />

2Lψ θ cosθ<br />

• •<br />

2 2 2<br />

− Lθ<br />

− Lψ<br />

sin<br />

θ<br />

Exercice 04 :<br />

Soient deux barres articulées en A faisant partie d’un mécanisme de régulation. La barre OA est<br />

en rotation autour de l’axe Z dans le plan horizontal ( x , y 0<br />

). La barre AB est en rotation autour<br />

→<br />

y 1<br />

de l’axe dans le plan ( x , ) . Soit P un point mobile sur la barre AB tel que. AP r z ,<br />

−−→ →<br />

OA = a x1<br />

−−→<br />

AB = b z ; (a et b sont des constantes). R1<br />

: repère de projection. Déterminer :<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

z<br />

→<br />

1 0<br />

1. Les matrices de passage de vers et de vers R ;<br />

→<br />

R0<br />

R1<br />

R2<br />

1<br />

2. Ω 0 0<br />

0<br />

2<br />

, V ( B)<br />

et γ ( B)<br />

par dérivation direct et par la cinématique du solide ;<br />

→<br />

→<br />

0<br />

−−→ →<br />

=<br />

2<br />

→<br />

y 1<br />

θ<br />

O<br />

θ<br />

A<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

y 0<br />

→ →<br />

y 1 ≡ y 2<br />

→<br />

x<br />

1<br />

Solution<br />

−−→ →<br />

= a x1<br />

−−→ →<br />

=<br />

2<br />

OA ; AB b z et<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) : repère fixe ;<br />

−−→ →<br />

AP = r z2<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

z 1<br />

ψ<br />

B<br />

→<br />

z<br />

2<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

R O,<br />

x , y , z ) : en rotation tel que z et θ = x , x ) = ( y , y ) ,<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω1 ≡ θ z1<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

1<br />

≡ y 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1 2<br />

R A,<br />

x , y , z ) : en rotation tel que y et ψ = x , x ) = ( z , z ) , Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

≡ ψ<br />

•<br />

y →<br />

1<br />

250


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1. Matrices de passage<br />

Matrice de passage de<br />

R vers R1<br />

0<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x0<br />

⎟ ⎛cosθ<br />

− sinθ<br />

0⎞⎜<br />

x1<br />

⎟<br />

→ →<br />

≡<br />

O<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

z 0<br />

z<br />

=<br />

1<br />

⎜ y0<br />

⎟ ⎜ sinθ<br />

cosθ<br />

0⎟⎜<br />

y1<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

z0<br />

⎝ 0 0 1⎠<br />

z1<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

θ<br />

P<br />

R 0→ R 1<br />

→<br />

x 0<br />

Matrice de passage de R2<br />

vers R1<br />

→<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎛ ⎞<br />

→ →<br />

⎜ x<br />

y 1 ≡<br />

A<br />

2 ⎟ ⎛cosψ<br />

0 − sinθ<br />

⎞⎜<br />

x1<br />

⎟<br />

y 2<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→ ⎟<br />

⎜ y2<br />

⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜<br />

y1<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜ ⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

ψ<br />

z2<br />

sinψ<br />

0 cosψ<br />

z1<br />

⎝ ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

P<br />

R 2→<br />

R 1<br />

z 1<br />

θ<br />

→<br />

x 1<br />

ψ<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

2<br />

1<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

1<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2. Ω 0 0<br />

0<br />

2<br />

puis V ( B)<br />

et γ ( B)<br />

par dérivation direct et par la cinématique du solide<br />

a) la vitesse instantanée de rotation<br />

→<br />

Ω 0 2<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

• →<br />

= ψ y<br />

1<br />

⎧0<br />

• →<br />

⎪<br />

•<br />

1=<br />

⎨ψ<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

+ θ z<br />

→<br />

0<br />

b) V ( B)<br />

par dérivation direct et par la cinématique du solide<br />

*) par dérivation directe<br />

Nous avons :<br />

⎧a<br />

−→ −→ −→<br />

⎪<br />

OB = OA+<br />

AB=<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

⎧0<br />

⎪<br />

+ ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩b<br />

2<br />

=<br />

⎧a<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

⎧bsinψ<br />

⎪<br />

+ ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩b<br />

cosψ<br />

1<br />

=<br />

⎧ a + bsinψ<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ bcosψ<br />

1<br />

Par dérivation nous avons : V<br />

→<br />

0<br />

−→<br />

−→<br />

0<br />

1 →<br />

d OB d OB<br />

−→<br />

0<br />

( B)<br />

= = + Ω1<br />

∧ OB<br />

dt dt<br />

251


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( B)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

b<br />

⎪<br />

ψ cosψ<br />

⎨ 0 +<br />

•<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

⎧ a + bsinψ<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ bcosψ<br />

1<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎨(<br />

a + bsinψ<br />

) θ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

*) par la cinématique du solide<br />

→<br />

0<br />

Nous pouvons écrire : V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

( B)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AB<br />

→<br />

0<br />

Nous avons : V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( A)<br />

= V ( O)<br />

+ Ω ∧ OA ⇔<br />

→<br />

0<br />

V<br />

⎧0<br />

⎧a<br />

⎪ ⎪<br />

( A)<br />

= ⎨0∧<br />

⎨0<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

R ⎩0<br />

1<br />

1<br />

=<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

⎨aθ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

→<br />

→<br />

Car V 0 ( O)<br />

= 0 Nous avons ainsi :<br />

•<br />

⎧<br />

⎧ 0 ⎧0<br />

⎧bsinψ<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

→<br />

•<br />

⎪<br />

•<br />

•<br />

0 ⎪<br />

⎪<br />

( B)<br />

= ⎨aθ<br />

+ ⎨ψ<br />

+ ⎨ 0 = ⎨(<br />

a + bsinψ<br />

) θ<br />

•<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

⎩ R ⎩b<br />

ψ<br />

R θ cos<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

1<br />

1 1<br />

R ⎩<br />

1<br />

V<br />

→<br />

b) γ<br />

0 (B) par dérivation et par la cinématique du solide<br />

*) par dérivation<br />

→<br />

0 0<br />

1 0 → →<br />

0 d V ( B)<br />

d V ( B)<br />

0 0<br />

Par dérivation nous avons : γ ( B)<br />

= = + Ω1<br />

∧V<br />

( B)<br />

dt dt<br />

→<br />

→<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

⎪bψ<br />

cosψ<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

→<br />

•• • •<br />

0 ⎪<br />

γ ( B)<br />

= ⎨ ( a + bsinψ<br />

) θ + bθ ψ cosψ<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

− bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

+<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

∧<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎨(<br />

a + bsinψ<br />

) θ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

252


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

•<br />

2<br />

2<br />

⎪bψ<br />

cosψ<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

− ( a + bsinψ<br />

) θ<br />

→<br />

•• • •<br />

0 ⎪<br />

γ ( B)<br />

= ⎨(<br />

a + bsinψ<br />

) θ + 2bθ ψ cosψ<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪ − bψ<br />

sinψ<br />

− bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

A.KADI<br />

*) par la cinématique du solide<br />

Nous pouvons écrire :<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0 d Ω<br />

γ ( B)<br />

= γ ( A)<br />

+<br />

dt<br />

−→<br />

∧ AB<br />

+<br />

→ →<br />

0 ⎛<br />

Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

0<br />

2<br />

−−→⎞<br />

∧ AB⎟<br />

⎠<br />

Calculons d’abord :<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0 d Ω<br />

γ ( A)<br />

= γ ( O)<br />

+<br />

dt<br />

−→<br />

∧ OA<br />

+<br />

→ →<br />

⎛<br />

−−→<br />

0 0 ⎞<br />

Ω1<br />

∧ ⎜Ω1<br />

∧ OA⎟ ⎝ ⎠<br />

→<br />

Sachant que γ<br />

0 ( O)<br />

= 0 , on obtient :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

γ ( A ) =<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

∧<br />

••<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

⎧a<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

+<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎪ ⎪<br />

⎨0<br />

∧ ⎨0<br />

∧<br />

• •<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

⎧a<br />

aθ<br />

••<br />

⎪<br />

⎨0=<br />

⎨ aθ<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩0<br />

0<br />

1 ⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

d Ω<br />

dt<br />

=<br />

→<br />

0<br />

2<br />

1<br />

d Ω<br />

dt<br />

• •<br />

⎧<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎪<br />

θ ψ<br />

→ →<br />

⎪<br />

••<br />

⎪ ⎪<br />

• ••<br />

0 0<br />

+ Ω1<br />

∧ Ω<br />

2<br />

= ⎨ψ<br />

+ ⎨0∧<br />

⎨ψ<br />

= ⎨ ψ<br />

•• • • ••<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩θ<br />

⎩θ<br />

R R ⎩θ<br />

⎪ θ<br />

1 1 R1<br />

R ⎩<br />

1<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

d Ω<br />

dt<br />

• •<br />

••<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ ψ ⎧bsinψ<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

−→ ••<br />

••<br />

• •<br />

⎪<br />

∧ AB=<br />

⎨ ψ ∧ ⎨ 0 = ⎨bθ<br />

sinψ<br />

+ bθ ψ cosψ<br />

••<br />

••<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎪ θ R ⎩b<br />

cosψ<br />

⎪−<br />

bψ<br />

cosψ<br />

1<br />

R ⎩<br />

R ⎩<br />

1<br />

1<br />

253


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

→ →<br />

0 ⎛<br />

Ω<br />

2<br />

∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

0<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎧bsinψ<br />

⎧0<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

−→<br />

⎞ ⎪<br />

•<br />

⎪<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

•<br />

•<br />

∧ AB ⎟= ⎨ψ<br />

∧ ⎨ψ<br />

∧ ⎨ 0 = ⎨ψ<br />

∧ ⎨ bθ<br />

sinψ<br />

⎠ • •<br />

•<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩θ<br />

⎩θ<br />

⎩b<br />

cosψ<br />

R<br />

⎩θ<br />

⎪−<br />

bψ<br />

sinψ<br />

1<br />

R R<br />

1 1 R1<br />

R ⎩<br />

1<br />

A.KADI<br />

•<br />

•<br />

⎧ 2<br />

2<br />

⎪ − bψ<br />

sinψ<br />

− bθ<br />

sinψ<br />

• •<br />

⎪<br />

= ⎨ bθ ψ cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪−<br />

bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

En faisant la somme des trois termes nous obtenons :<br />

•<br />

••<br />

⎧ ⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

aθ<br />

⎪<br />

bψ<br />

cosψ<br />

→<br />

••<br />

••<br />

• •<br />

0<br />

γ ( B)<br />

= ⎨ aθ<br />

+ ⎨bθ<br />

sinψ<br />

+ bθ ψ cosψ<br />

••<br />

⎪ 0 ⎪<br />

⎪ ⎪−<br />

bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩ R ⎩<br />

1<br />

1<br />

•<br />

•<br />

⎧ 2<br />

2<br />

⎪ − bψ<br />

sinψ<br />

− bθ<br />

sinψ<br />

• •<br />

⎪<br />

+ ⎨ bθ ψ cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪−<br />

bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

•<br />

2<br />

2<br />

⎪bψ<br />

cosψ<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

− ( a + bsinψ<br />

) θ<br />

→<br />

•• • •<br />

0 ⎪<br />

γ ( B)<br />

= ⎨(<br />

a + bsinψ<br />

) θ + 2bθ ψ cosψ<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪ − bψ<br />

sinψ<br />

− bψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

1<br />

Exercice 05 :<br />

Une barre homogène mince de longueur AC = 2L et de centre G , repose sans frottement sur un<br />

petit rouleau fixe au point B et s’appuie contre un mur lisse au point A .<br />

projection.<br />

1- Déterminer la vitesse de glissement en A et en B ;<br />

R 0<br />

: est le repère de<br />

2- Déterminer les coordonnées du C.I.R. (centre instantanée de rotation) géométriquement et<br />

analytiquement.<br />

254


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

y<br />

1<br />

C<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

y 1<br />

C<br />

→<br />

x<br />

1<br />

Solution :<br />

o<br />

A<br />

a<br />

B<br />

G<br />

α<br />

→<br />

x 0<br />

→ o<br />

V 0 ( B)<br />

A<br />

→<br />

V 0 ( A)<br />

Au point B nous avons un glissement sans frottement ; AC = 2L ; le repère<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

de projection. R O,<br />

x , y , z ) : repère fixe ;<br />

α<br />

a<br />

B<br />

G<br />

I 1<br />

α<br />

R 0<br />

→<br />

x 0<br />

I 2<br />

est le repère<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

R G,<br />

x , y , z ) : est tel que z ; α = x , x ) = ( y , y ) et Ω<br />

1. Vitesse de glissement aux points A et B<br />

→ • → • →<br />

0<br />

1<br />

= α z0<br />

= α z1<br />

⎧ 0<br />

−→<br />

⎪<br />

Les coordonnées de A et B dans le repère R 0<br />

sont : OA = ⎨−<br />

atgα ;<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

⎧a<br />

−→<br />

⎪<br />

OB=<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

0<br />

⎧ 0<br />

•<br />

0<br />

d OA<br />

⎪<br />

aα<br />

A)<br />

= = ⎨−<br />

dt ⎪ cos α<br />

⎪ 0<br />

R ⎩<br />

−→<br />

→<br />

0<br />

(<br />

2<br />

V<br />

0<br />

Comme A et B appartiennent tous les deux à la barre, la vitesse V 0 ( B)<br />

se déduit par la<br />

cinématique du solide : V<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( B)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AB<br />

•<br />

⎧<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

− aα<br />

tgα<br />

•<br />

⎪<br />

⎧0<br />

⎧ a<br />

•<br />

aα<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪ aα<br />

•<br />

( B)<br />

= ⎨−<br />

+ ⎨α<br />

∧ ⎨atgα<br />

= ⎨−<br />

+ a<br />

2<br />

⎪ cos ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎪ 0 R ⎩0<br />

R ⎩ 0<br />

R ⎩<br />

⎪ 0 cos α<br />

2<br />

α<br />

α<br />

0<br />

0<br />

0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

→<br />

255


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3- Coordonnées du C.I.R. (centre instantanée de rotation).<br />

a) Géométriquement<br />

On sait que la vitesse du centre instantané est nulle. En utilisant la relation de la cinématique du<br />

solide nous pouvant déterminer la vitesse du point I à partir de A où de B :<br />

→ →<br />

→ −→ → →<br />

→ ⎧<br />

−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0 ⎪V<br />

V ( I)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω1<br />

∧ AI = 0 ⇔ V ( A)<br />

= Ω1<br />

∧ IA ⇒ ⎨<br />

⎪<br />

⎩V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( A)<br />

⊥Ω<br />

( A)<br />

⊥ IA<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

V ( I)<br />

= V ( B)<br />

+ Ω ∧ BI = 0 ⇔ V<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→ ⎧<br />

−→<br />

0 ⎪V<br />

( B)<br />

= Ω1<br />

∧ IB ⇒ ⎨<br />

⎪<br />

⎩V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( B)<br />

⊥Ω<br />

( B)<br />

⊥ IB<br />

Alors, en traçant une perpendiculaire à V<br />

0 ( A)<br />

en A et une autre perpendiculaire à V 0 ( B)<br />

en B,<br />

l’intersection de ces deux droites nous donne le centre instantané de rotation.<br />

→<br />

→<br />

a) Analytiquement<br />

On doit chercher les coordonnées du centre instantané de rotation. Le mouvement de la barre est<br />

⎧x<br />

→ →<br />

⎪<br />

0<br />

un mouvement plan. On cherche un point I ⎨y<br />

tel que V ( I)<br />

= 0 . en effet nous avons :<br />

⎪<br />

⎩0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

V ( I)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AI = 0 ⇔<br />

→<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

aα<br />

⎨−<br />

+<br />

2<br />

⎪ cos α<br />

⎪ 0 R<br />

⎩<br />

0<br />

R<br />

0<br />

⎧0<br />

⎧ x ⎧0<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎨0+<br />

⎨y<br />

+ atgα<br />

= ⎨0<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩α<br />

R ⎩ 0 ⎩0<br />

0<br />

( + atg ) = 0<br />

− • α y α ⇒ y = −atgα<br />

•<br />

aα<br />

•<br />

− + α x = 0<br />

cos 2 α<br />

⇒<br />

a<br />

x =<br />

2<br />

cos α<br />

256


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 07 :<br />

Un cône de rayon R, de hauteur h et demi angle au sommet α , en contact avec le plan<br />

horizontal (OX 0 Y 0 ) suivant l’une de ses génératrices. Le cône roule sans glisser sur le plan<br />

(OX 0 Y 0 ) . Le repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

→<br />

est le repère fixe.<br />

1) Déterminer la vitesse de rotation Ω 0 2<br />

du cône dans le repère R1<br />

( O,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

;<br />

2) Ecrire la condition de roulement sans glissement ;<br />

•<br />

0<br />

3) En déduire la relation liant, Ω<br />

2<br />

, ψ et α ;<br />

4) En déduire<br />

→<br />

0<br />

Ω 2<br />

→<br />

en fonction de , R et h .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z<br />

1<br />

→<br />

z<br />

0<br />

•<br />

ψ<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

x<br />

0<br />

O<br />

ψ<br />

→<br />

u<br />

α<br />

ψ • →<br />

C<br />

θ<br />

A<br />

y 2<br />

•<br />

ϕ<br />

→<br />

→<br />

x 1, x 2<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→ −→ −→<br />

→ →<br />

−→ −→<br />

u ∈ OA OA ∈ au plan ( x0<br />

, y0<br />

) α = ( OA,<br />

OC)<br />

Solution :<br />

−→<br />

−→<br />

OC = h ; CA = R ; α = ( OA,<br />

OC)<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

R O,<br />

x , y , z ) en rotation tel que :<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω1 = ψ z0<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

≡<br />

2<br />

R C,<br />

x , y , z ) lié au cône tel que : x 1<br />

x et Ω<br />

→ • →<br />

1<br />

2<br />

= ϕ x1<br />

→<br />

→ → →<br />

→ →<br />

→<br />

O , x ) est l’axe du cône ; O , y ) ∈ ( x , y ) et ( O,<br />

y ) ⊥(<br />

O,<br />

x ) l’axe O , z ) termine la<br />

(<br />

1<br />

construction du trièdre directe.<br />

(<br />

1 0 0<br />

1<br />

1<br />

(<br />

1<br />

→ → →<br />

Soit u le vecteur unitaire porté par la génératrice OA du cône. Nous avons : ψ = ( x 0 , u )<br />

261


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1. Vecteur rotation instantanée du cône par rapport au repère R0<br />

→ → → • → • →<br />

0 1 0<br />

Ω<br />

2<br />

= Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= ϕ x1<br />

+ ψ z0<br />

Or , nous avons :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z0 = sinα<br />

x1<br />

+ cosα<br />

z1<br />

→<br />

z 1<br />

α<br />

→<br />

z 0<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 2<br />

→<br />

• → •<br />

→<br />

0 ⎛<br />

Ω<br />

2<br />

= ϕ x1<br />

+ ψ ⎜sinα<br />

x1<br />

+ cosα<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

ψ<br />

α<br />

A<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→ • •<br />

→ • →<br />

0 ⎛ ⎞<br />

Ω<br />

2<br />

= ⎜ϕ<br />

+ ψ sinα<br />

⎟ x1<br />

+ ψ cosα<br />

z1<br />

⎝<br />

⎠<br />

2. Condition de roulement sans glissement ;<br />

Du fait du roulement sans glissement du cône sur le plan horizontal, tous les points en contact<br />

du plan suivant la génératrice OA ont une vitesse nulle, en particulier les points O et A.<br />

Comme les deux points appartiennent au même solide, nous pouvons écrire :<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

V ( A)<br />

= V ( O)<br />

+ Ω ∧ OA = 0 or V<br />

→<br />

→<br />

0 ( O<br />

→<br />

) = 0<br />

ce qui donne :<br />

→<br />

0<br />

−→<br />

→<br />

Ω<br />

2<br />

∧ OA = 0<br />

, cette expression montre que<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

//<br />

−→<br />

OA<br />

−→<br />

→<br />

⊥ 0<br />

→<br />

Ω z →<br />

2 0<br />

0<br />

or nous savons que OA z alors nous avons aussi : ⊥ se qui se traduit par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

• z<br />

0<br />

= 0 en remplaçant Ω 0 2<br />

par son expression on obtient :<br />

→<br />

→<br />

•<br />

⎝ + •<br />

→ → •<br />

→ →<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

• z<br />

0<br />

= 0 ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⇔ ϕ ψ sinα<br />

⎟ x1 • z0<br />

+ ⎜ψ<br />

cosα<br />

⎟ z1<br />

• z0<br />

= 0<br />

⎠ ⎝ ⎠<br />

→ → → → → →<br />

π<br />

x<br />

cos( , )<br />

1<br />

• z0<br />

= x1<br />

z0<br />

x1<br />

z0 = cos( −α)<br />

= sinα<br />

2<br />

→ → → →<br />

z<br />

1<br />

• z0<br />

= z1<br />

z0<br />

=<br />

cosα cosα<br />

• •<br />

•<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎜ϕ + ψ sin α ⎟sinα<br />

+ ⎜ψ<br />

cosα<br />

⎟cosα<br />

= 0 ⇒ • ϕ sin α + ψ<br />

•<br />

= 0 ⇔<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

•<br />

ϕ =<br />

•<br />

ψ<br />

−<br />

sinα<br />

262


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ •<br />

0<br />

3. Relation liant, Ω<br />

2<br />

, ψ et α<br />

•<br />

→<br />

On remplace ϕ dans l’expression de Ω 0 2<br />

, ce qui donne :<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

⎛<br />

⎜<br />

=<br />

⎜<br />

⎝<br />

•<br />

⎞<br />

ψ<br />

•<br />

⎟<br />

− + ψ sinα<br />

sin ⎟<br />

x<br />

α<br />

⎠<br />

→ • →<br />

1+<br />

ψ cosα<br />

z1<br />

•<br />

⎛ cosα<br />

→<br />

= ψ cosα⎜−<br />

x1<br />

+ z<br />

⎝ sinα<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

4. Ω en fonction de , R et h<br />

2<br />

ψ •<br />

Comme nous avons<br />

R<br />

sin α =<br />

et<br />

2 2<br />

R + h<br />

cosα<br />

=<br />

R<br />

2<br />

h<br />

+ h<br />

2<br />

On obtient :<br />

+ h<br />

•<br />

⎛ h<br />

→<br />

ψ ⎜−<br />

x1<br />

+<br />

⎝ R<br />

→<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

=<br />

z1<br />

2 2<br />

R<br />

h<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

Exercice N°08 :<br />

Soit le dispositif mécanique composé d’une barre homogène AB de longueur L, de masse m et<br />

d’une hélice de rayon R, de masse M. Le point A de la barre se déplace sur l’axe<br />

•<br />

→ →<br />

barre tourne avec une vitesse angulaire constante ψ autour de l’axe x 1 ≡ x 2<br />

. L’hélice tourne<br />

→ →<br />

•<br />

autour de l’axe y 2 ≡ y 3<br />

avec une vitesse angulaire constante : ϕ .<br />

→<br />

y 0<br />

et la<br />

→<br />

z<br />

0<br />

L<br />

O<br />

y (t)<br />

→<br />

z<br />

2<br />

A<br />

→<br />

z<br />

1<br />

ψ<br />

B<br />

•<br />

ϕ<br />

→ →<br />

y 2 ≡ y 3<br />

→ →<br />

y 0 ≡ y 1<br />

→<br />

z 2<br />

B<br />

ϕ<br />

M<br />

ϕ<br />

→<br />

x 3<br />

→<br />

z 3<br />

→<br />

x 2<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

x<br />

1<br />

On prendra<br />

R 2<br />

comme repère relatif et de projection.<br />

263


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le moment d’inertie de l’hélice au point B , exprimé dans le repère<br />

R 2<br />

est donné par:<br />

I<br />

B / R2<br />

⎡C<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

2C<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

C⎥⎦<br />

R<br />

2<br />

Déterminer:<br />

1. Le centre d’inertie du système barre + hélice dans le repère R 2<br />

;<br />

2. Le tenseur d’inertie du système barre + hélice au point A dans le repère R 2<br />

;<br />

3. La matrice de passage de vers et de vers R ;<br />

R1<br />

R2<br />

R3<br />

2<br />

→<br />

Ω3<br />

0<br />

0<br />

4. La vitesse de rotation instantanée de l’hélice par rapport à R ;<br />

→<br />

5. La vitesse V<br />

0 ( A)<br />

et l’accélération γ<br />

0 ( A)<br />

par dérivation ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

6. La vitesse V 0 ( B)<br />

et l’accélération γ<br />

0 ( B)<br />

par par la cinématique du solide ;<br />

7. La vitesse et l’accélération absolues du points M par composition de mouvement ;<br />

Exercice 09 :<br />

Une tige homogène de longueur AB = L et de centre G est en mouvement tel que, son<br />

extrémité A soit assujetti à se déplacer suivant l’axe vertical<br />

→<br />

( O,<br />

z0<br />

) d’un repère orthonormé<br />

→ → →<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ →<br />

(<br />

0 0<br />

fixe R O,<br />

x , y , z ) . L’autre extrémité B est en mouvement quelconque dans le plan x , y ) .<br />

1. Déterminer le nombre de paramètres nécessaires pour décrire totalement le mouvement de<br />

la tige et construire les différents repères permettant de faire l’étude cinématique de la<br />

tige ;<br />

2. Déterminer la vitesse instantanée de rotation de la barre par rapport à R0<br />

3. Déterminer les différentes figures planes et les matrices de passage;<br />

4. Déterminer la vitesse et l’accélération absolue des points A, B et G exprimé dans le<br />

repère R 1<br />

.<br />

264


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

z<br />

0<br />

→<br />

z 2<br />

θ<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

→<br />

x 0<br />

A<br />

O<br />

G<br />

B<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

x 0<br />

A<br />

O<br />

θ<br />

ψ<br />

G<br />

B<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y<br />

→<br />

x<br />

2<br />

1<br />

→<br />

y<br />

→<br />

y<br />

2<br />

0<br />

Solution :<br />

1. Repères et paramètres permettant l’étude du mouvement de la tige<br />

AB = L ;<br />

→<br />

A ∈ O,<br />

z ) tous le temps, B ∈ x 0<br />

Oy )<br />

(<br />

0<br />

(<br />

0<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R x , y , z ) : repère fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

0<br />

,<br />

1 0<br />

y1<br />

R x , y , z ) un repère tel que : z , ( x x ) = ( y , ) = ψ et<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

1<br />

≡ y 2<br />

→ → → →<br />

x1,<br />

x2<br />

) = ( z1,<br />

z2<br />

R x , y , z ) un repère tel que : y , ( ) = ψ et<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω1 ≡ψ z0<br />

= ψ z1<br />

→ • → • →<br />

1<br />

Ω<br />

2<br />

≡ −θ<br />

y1<br />

= −θ<br />

y2<br />

on a ainsi : AB ∈ R 2<br />

tel que :<br />

−→<br />

BA<br />

L z<br />

→<br />

=<br />

2<br />

Les deux angles ψ et θ sont suffisant pour décrire entièrement le mouvement de la barre<br />

par rapport au repère R 0<br />

.<br />

2. Vitesse instantanée de rotation de la barre par rapport à R0<br />

Nous avons :<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

→<br />

1<br />

2<br />

≡ Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

• →<br />

≡ −θ<br />

y<br />

1<br />

⎧ 0<br />

• →<br />

•<br />

⎪<br />

1=<br />

⎨−θ<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ ψ<br />

1<br />

+ ψ z<br />

265


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3. Figure plane de chaque repère ;<br />

3.1. Matrice de passage du repère R0<br />

vers R1<br />

Matrice de passage de<br />

R vers R1<br />

0<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ x0<br />

⎟ ⎛cosψ<br />

⎜ → ⎟ ⎜<br />

⎜ y0<br />

⎟ = ⎜ sinψ<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

z0<br />

⎝ 0<br />

⎝ ⎠<br />

− sinψ<br />

cosψ<br />

0<br />

⎛<br />

0⎞⎜<br />

x<br />

⎟⎜<br />

0⎟⎜<br />

y<br />

1⎟⎜<br />

⎠<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

P<br />

R 0→<br />

R 1<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

O<br />

→<br />

x 0<br />

ψ<br />

ψ<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y<br />

0<br />

3.1. Matrice de passage du repère R2<br />

vers R1<br />

⎛<br />

⎜ x<br />

⎜<br />

⎜ y<br />

⎜<br />

z<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

2<br />

→<br />

⎞<br />

⎛ ⎞<br />

⎟ ⎛ cosθ<br />

0 sinθ<br />

⎞⎜<br />

x1<br />

⎟ ⎜<br />

⎟⎜<br />

→<br />

⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜<br />

y1<br />

⎟ ⎜<br />

⎟<br />

→<br />

⎜<br />

⎝−<br />

sinθ<br />

0 cosθ<br />

⎠<br />

z ⎟ ⎟⎟⎟⎟ 1<br />

⎠<br />

⎝ ⎠<br />

P<br />

R 2→ R 1<br />

• →<br />

≡ −θ<br />

y<br />

1<br />

• →<br />

+ ψ z<br />

1<br />

•<br />

→<br />

→ • →<br />

(<br />

0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

) + ψ z0<br />

= −θ<br />

−sinψ<br />

x<br />

→ →<br />

B<br />

y 1 ≡ y 2<br />

→<br />

x 1<br />

θ<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ sinψ<br />

•<br />

= ⎨−θ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ψ<br />

R ⎩<br />

0<br />

θ<br />

→<br />

x<br />

2<br />

→<br />

z<br />

2<br />

→<br />

z<br />

1<br />

On prendra<br />

R 1<br />

comme repère de projection car les expressions cinématiques sont plus<br />

simples dans ce repère.<br />

4. Vitesse et Accélération absolue des points A, B et G exprimé R 1<br />

.<br />

⎧ 0<br />

⎧Lsinθ<br />

−→<br />

−→<br />

⎪<br />

⎪<br />

Nous avons : OA=<br />

⎨ 0 , OB = ⎨ 0 ,<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

cosθ ⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

1<br />

⎧ L<br />

−→ −→<br />

⎪ sinθ<br />

−→<br />

OA+<br />

OB<br />

2<br />

OG = =<br />

⎪ ⎪ ⎨ 0<br />

2 L<br />

cosθ<br />

R ⎩ 2<br />

1<br />

→<br />

0<br />

4.1. calcul de V (A) :<br />

1<br />

→<br />

0<br />

V<br />

1<br />

−→<br />

−→<br />

0<br />

1 →<br />

d OA d OA<br />

−→<br />

0<br />

( A)<br />

= = + Ω1<br />

∧ OA<br />

dt dt<br />

⎧ 0 ⎧0<br />

⎧ 0<br />

→<br />

0 ⎪<br />

⎪ ⎪<br />

V ( A)<br />

= ⎨ 0 + ⎨0∧<br />

⎨ 0 =<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩−<br />

Lθ<br />

sinθ<br />

R ⎩ψ<br />

R ⎩L<br />

cosθ<br />

1<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

Lθ<br />

sinθ<br />

1<br />

266


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

4.2. calcul de V ( B)<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−→<br />

−→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

d OB d OB<br />

−→<br />

0<br />

( B)<br />

= = + Ω1<br />

∧ OB<br />

dt dt<br />

•<br />

⎧<br />

⎧ ⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

cosθ<br />

0 Lsinθ<br />

⎪ ⎪<br />

( B)<br />

= ⎨ 0 + ⎨0∧<br />

⎨ 0 =<br />

•<br />

⎪ 0 ⎪ ⎪<br />

⎪<br />

⎩ψ<br />

⎩ 0<br />

⎩<br />

R1<br />

R1<br />

R<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

Lθ<br />

cosθ<br />

•<br />

⎨Lψ<br />

sinθ<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

La vitesse du point B peut aussi s’obtenir à partir de celle de A par la cinématique du solide :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

( B)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AB<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( B)<br />

=<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎧ 0 ⎧ 0 ⎧ Lsinθ<br />

⎪<br />

Lθ<br />

cosθ<br />

⎪<br />

Lθ<br />

cosθ<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ⎪<br />

⎨ 0 + ⎨−θ<br />

∧ ⎨ 0 = ⎨ Lψ<br />

sinθ<br />

= ⎨Lψ<br />

sinθ<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

Lθ<br />

sinθ<br />

⎩ ψ ⎩−<br />

cosθ<br />

⎪−<br />

θ sinθ<br />

+ θ sinθ<br />

0<br />

1<br />

R R L<br />

L L<br />

1<br />

1<br />

R ⎩<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

1<br />

→<br />

0<br />

4.3. calcul de V ( G)<br />

:<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−→<br />

⎧ L<br />

•<br />

⎧ L<br />

⎪ θ cosθ<br />

⎧0<br />

⎪<br />

sinθ<br />

2 ⎪<br />

2<br />

( G)<br />

= ⎨ 0 + ⎨0<br />

∧ ⎨ 0 =<br />

•<br />

•<br />

⎪ L<br />

− θ sinθ<br />

⎪ ⎪L<br />

⎪<br />

⎩ψ<br />

cosθ<br />

⎪<br />

⎩ 2<br />

R1<br />

R<br />

R ⎩ 2<br />

1<br />

−→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

d OG d OG<br />

−→<br />

0<br />

( G)<br />

= = + Ω1<br />

∧ OG<br />

dt dt<br />

1<br />

⎧ L<br />

•<br />

⎪ θ cosθ<br />

2<br />

⎪ L<br />

•<br />

⎨ ψ sinθ<br />

⎪ 2<br />

•<br />

⎪ L<br />

− θ sinθ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

La vitesse du point G peut aussi s’obtenir à partir de celle de A où de B par la cinématique du<br />

solide, en effet nous avons :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

( G)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AG<br />

1<br />

→<br />

0<br />

V ( G)<br />

=<br />

⎧ L<br />

•<br />

⎧ L<br />

⎪ θ cosθ<br />

⎧ 0 ⎧ 0 ⎪<br />

sinθ<br />

2<br />

•<br />

⎪<br />

⎪<br />

2 ⎪ L<br />

•<br />

⎨ 0 + ⎨−θ<br />

∧ ⎨ 0 = ⎨ ψ sinθ<br />

=<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ ⎪ L<br />

−<br />

⎪ 2<br />

⎩−<br />

θ θ<br />

•<br />

•<br />

R L sin ⎩ ψ cosθ<br />

1<br />

R ⎪<br />

⎪<br />

L<br />

1<br />

R ⎩ 2 − Lθ<br />

sinθ<br />

+ θ sinθ<br />

1<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

1<br />

⎧ L<br />

•<br />

⎪ θ cosθ<br />

2<br />

⎪ L<br />

•<br />

⎨ ψ sinθ<br />

⎪ 2<br />

•<br />

⎪ L<br />

− θ sinθ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

1<br />

267


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

268<br />

A.KADI<br />

4.4. calcul de :<br />

(A)<br />

0<br />

→<br />

γ<br />

A<br />

V<br />

dt<br />

A<br />

V<br />

d<br />

dt<br />

A<br />

V<br />

d<br />

A<br />

1<br />

0<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

=<br />

γ<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

•<br />

••<br />

→<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

L<br />

L<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

A<br />

V<br />

4.5. calcul de :<br />

(B)<br />

0<br />

→<br />

γ )<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

B<br />

V<br />

dt<br />

B<br />

V<br />

d<br />

dt<br />

B<br />

V<br />

d<br />

B<br />

1<br />

0 →<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

=<br />

γ<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

••<br />

→<br />

0<br />

sin<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

0<br />

cos<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

B<br />

V<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

+<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

→<br />

0<br />

cos<br />

2<br />

sin<br />

)sin<br />

(<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

1<br />

0<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

B<br />

V<br />

4.6. calcul de :<br />

(G)<br />

0<br />

→<br />

γ )<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

G<br />

V<br />

dt<br />

G<br />

V<br />

d<br />

dt<br />

G<br />

V<br />

d<br />

G<br />

1<br />

0 →<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

=<br />

γ<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

+<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

••<br />

→<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

γ<br />

sin<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

0<br />

0<br />

cos<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

0<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

B<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

B<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

+<br />

−<br />

−<br />

=<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

•<br />

•<br />

••<br />

→<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

ψ θ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

θ<br />

γ<br />

cos<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

sin<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

0


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE VII<br />

CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACTS<br />

276


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACT<br />

1. Mouvement de deux solides en contact<br />

Soient deux solides ( S 1<br />

) et ) liés aux repères et R mobiles par rapport à un<br />

( S 2<br />

R1<br />

2<br />

repère fixe<br />

R 0<br />

. Les deux solides en mouvement sont assujettis à un contact ponctuel à tout<br />

instant en un point fixe I appartenant au plan (π ) tangent en ce point aux deux solides.<br />

→<br />

n : la normale au plan ) (π<br />

Ω → t<br />

∈ (π )<br />

Ω → n<br />

⊥(π )<br />

Au point de contact des deux solides<br />

S 2<br />

Γ 2<br />

I 2<br />

I 1<br />

→<br />

Ω n<br />

→<br />

n<br />

I<br />

→<br />

Ω t<br />

(π<br />

nous pouvons distinguer :<br />

S 1<br />

Γ 1<br />

- I1 ∈ S 1<br />

: point du solide S1<br />

en contact avec le solide S2<br />

à l’instant t ;<br />

- I<br />

2<br />

∈ S 2<br />

: point du solide S2<br />

en contact avec le solide S1<br />

au même instant t ;<br />

- I ∈ R 0<br />

: la position commune de I1 ∈ S1<br />

et I<br />

2<br />

∈ S<br />

2<br />

au même instant t ;<br />

Le point géométrique I n’appartient ni à ni à . Les points I,<br />

I I occupent<br />

S1<br />

S ,<br />

2<br />

1 2<br />

géométriquement la même position mais ils ont des rôles cinématiques différents.<br />

L’ensemble des points<br />

L’ensemble des points<br />

L’ensemble des points<br />

I ∈ constitue une courbe Γ d’écrite sur le plan ( π )<br />

R 0<br />

I1 ∈ S 1<br />

constitue une courbe Γ<br />

1<br />

d’écrite sur le solide S1<br />

I<br />

2<br />

∈ S 2<br />

constitue une courbe Γ<br />

2<br />

d’écrite sur le solide S2<br />

La vitesse de glissement du solide du solide par rapport au solide S appartient au plan<br />

S2<br />

1<br />

(π ) tangent au point de contact. Soit un point du solide et M un point du solide<br />

M1<br />

S1<br />

2<br />

277


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

S<br />

2<br />

; d’après ce que l’on a vu précédemment sur le champ des vitesses des points d’un solide,<br />

nous pouvons écrire dans le repère fixe :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

V<br />

1<br />

→<br />

→ −−−→<br />

0<br />

0<br />

= V ( M<br />

1)<br />

+ Ω1<br />

∧ M<br />

1 1<br />

( I )<br />

I<br />

2<br />

→<br />

→ −−−→<br />

0<br />

0<br />

= V ( M<br />

2<br />

) + Ω<br />

2<br />

∧ M<br />

2 2<br />

( I )<br />

I<br />

La vitesse de glissement du solide par rapport au solide S est donnée par la relation :<br />

S2<br />

1<br />

→<br />

V g<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

( I)<br />

= V ( I<br />

2<br />

) −V<br />

( I1)<br />

Comme les trois points occupent la même position géométrique nous pouvons écrire :<br />

→<br />

V g<br />

→<br />

→<br />

→ −−−→ → −−−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

= V ( M<br />

2<br />

) −V<br />

( M<br />

1)<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ M<br />

2I<br />

2<br />

− Ω1<br />

∧ M<br />

1 1<br />

( I)<br />

I<br />

→<br />

V g<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

1<br />

2<br />

−−−−→<br />

( I)<br />

= V ( M ) −V<br />

( M ) + Ω ∧ M M<br />

1<br />

2<br />

Le vecteur rotation du solide par rapport au solide S a pour expression :<br />

S2<br />

1<br />

→<br />

1<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

0<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

− Ω<br />

D’où :<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

on retrouve ici la loi de Chasles.<br />

→<br />

Ω 1 2<br />

S2<br />

1<br />

Le vecteur rotation du solide par rapport au solide S a deux composantes, l’une<br />

tangent et dans le plan Ω → t<br />

∈ (π ) , l’autre normale au plan : ⊥(π ) :<br />

Ω → n<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

= Ω<br />

t<br />

→<br />

+ Ω<br />

n<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1<br />

Ωt = n∧<br />

( Ω ∧ n)<br />

: Vecteur rotation de roulement du solide par rapport au solide S ;<br />

→ → → →<br />

1<br />

n<br />

= ( Ω • n)<br />

n<br />

Ω<br />

2<br />

→<br />

S2<br />

1<br />

S2<br />

S1<br />

2<br />

: Vecteur rotation de pivotement du solide par rapport au solide<br />

En général, lorsque deux solides sont en contact ponctuel, il peut y avoir :<br />

Glissement , roulement et pivotement de l’un sur l’autre.<br />

La condition de roulement sans glissement est vérifiée lorsque la vitesse de glissement est<br />

nulle :<br />

→ →<br />

→<br />

0<br />

0<br />

( I)<br />

V ( I<br />

2<br />

) −V<br />

( I1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

(<br />

2<br />

1<br />

0<br />

0<br />

V g<br />

= ) = 0 ⇔ V I ) = V ( I )<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

Si le solide S<br />

1<br />

est fixe alors : V ( I1)<br />

= 0 ⇒ V ( I<br />

2<br />

) = V ( I1)<br />

= 0<br />

Dans ce cas, quel que soit M ∈ S 2<br />

, avec S2<br />

en roulement sans glissement par rapport au<br />

S 1<br />

→<br />

→<br />

→ −−→<br />

V<br />

1 2 1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

solide , nous pouvons écrire : ( M ) = V ( I ) + Ω ∧ I M ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

278


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

comme V 0 ( I 1<br />

) = 0 alors :<br />

→<br />

→<br />

→ −−→<br />

0<br />

1<br />

V ( M ) = Ω<br />

2<br />

∧ I1M<br />

→ →<br />

V g<br />

S 2<br />

1<br />

• Si (I) = 0 : on dit que le solide roule sans glisser sur le solide S ;<br />

→ →<br />

n = S2<br />

1<br />

• Si Ω 0 : on dit que le solide ne pivote pas sur le solide S ;<br />

→ →<br />

n = S2<br />

1<br />

• Si Ω 0 : on dit que le solide ne roule pas, il glisse sur le solide S ;<br />

1.1. Mouvement de deux solides en contact en plusieurs points<br />

Dans le cas où deux solides sont en contact en plusieurs points, les considérations précédentes<br />

peuvent être reprise en chaque point de contact.<br />

Cas particuliers :<br />

- Si deux solides et S sont en contact en deux points A et B et si la vitesse de<br />

S2<br />

1<br />

glissement en ces deux points est nulle<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

( A)<br />

= V ( B)<br />

= 0<br />

alors le vecteur rotation<br />

→<br />

Ω 1 2<br />

est un vecteur directeur de la droite AB passant par les deux points :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

1<br />

2<br />

−−→<br />

( B)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AB = 0 ⇒<br />

→<br />

→<br />

1<br />

−−→<br />

→<br />

Ω<br />

2<br />

∧ AB = 0 ⇔<br />

→<br />

1<br />

2<br />

Ω<br />

−−→<br />

// AB<br />

- Si deux solides et S sont en contact en plus de deux points et si la vitesse de<br />

S1<br />

2<br />

glissement est nulle en tous ces points, ils sont nécessairement portés par le même axe<br />

donc ils sont alignés.<br />

1.2 Transmission par friction d’un mouvement de rotation entre deux cylindres<br />

Soient deux cylindres et de rayons respectifs et R liés à un bâti fixe et ayant<br />

S1<br />

S2<br />

R1<br />

2<br />

des mouvement de rotation d’axes respectifs<br />

→<br />

O , z ) et O,<br />

z )<br />

(<br />

1<br />

→<br />

(<br />

2<br />

Leur vitesse de rotation respective est donnée par :<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

Ω1 = Ω1<br />

z1<br />

et<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

Ω<br />

2<br />

= −Ω<br />

2<br />

z1<br />

→<br />

Soit P un point de contact entre les deux solides. Les axes de rotation sont parallèles à : z 1<br />

.<br />

La condition de roulement sans glissement au point P s’écrira : V 0 ( P)<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

279


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le point de contact P peut être associé au solide et S , par la cinématique du solide nous<br />

pouvons écrire : P ∈ ⇒ V<br />

S 1<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

S1<br />

2<br />

1<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−−→<br />

( P)<br />

= V ( O ) + Ω ∧ O P<br />

1<br />

P ∈ S 2<br />

⇒ V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−−→<br />

( P)<br />

= V ( O ) + Ω ∧ O P<br />

2<br />

→<br />

0 P →<br />

O 1 2<br />

or nous avons V ( ) = 0 et les points et O alors :<br />

→<br />

0<br />

1<br />

Ω<br />

∧<br />

−−→ → −−→<br />

0<br />

O1P<br />

= Ω<br />

2<br />

∧ O2<br />

P<br />

→<br />

x 1<br />

R<br />

1<br />

O<br />

2<br />

P<br />

O<br />

1<br />

R<br />

2<br />

→<br />

Ω 0 1<br />

→<br />

Ω 0 2<br />

→<br />

z<br />

→<br />

z<br />

1<br />

1<br />

Dans la transmission de mouvement par friction, les deux cylindres ont des mouvements de<br />

rotation de sens contraire si le contact se fait à l’extérieur et de même sens si le contact se fait<br />

à l’intérieur des cylindres.<br />

Les points O O , P sont alignés. Si O P −R<br />

alors O<br />

1 , 2<br />

−−−→ →<br />

1<br />

=<br />

1<br />

x1<br />

−−−→ →<br />

2P<br />

= R2<br />

x1<br />

D’où :<br />

→ −−→ → −−→<br />

0<br />

0<br />

1<br />

∧ O1P<br />

= Ω<br />

2<br />

∧ O2P<br />

⇔<br />

Ω<br />

→ → → →<br />

0<br />

0<br />

Ω1 z1∧ −R1<br />

x1<br />

= Ω<br />

2<br />

z1∧<br />

R2<br />

x1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

R1<br />

= Ω<br />

2R2<br />

− Ω<br />

⇒<br />

Ω<br />

Ω<br />

0<br />

1<br />

0<br />

2<br />

R<br />

= −<br />

R<br />

2<br />

1<br />

Si le contact se fait à l’intérieur (cylindre à l’intérieur du cylindre S ) les deux cylindres<br />

tourneront dans le même sens :<br />

S2<br />

1<br />

D’où :<br />

→ −−→ → −−→<br />

0<br />

0<br />

1<br />

∧ O1P<br />

= Ω<br />

2<br />

∧ O2P<br />

⇔<br />

Ω<br />

→ → → →<br />

0<br />

0<br />

Ω1 z1<br />

∧ R1<br />

x1<br />

= Ω<br />

2<br />

z1∧<br />

R2<br />

x1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

R1<br />

= Ω<br />

2R2<br />

Ω ⇒<br />

Ω<br />

Ω<br />

0<br />

1<br />

0<br />

2<br />

=<br />

R<br />

R<br />

2<br />

1<br />

R 1<br />

O<br />

2<br />

O<br />

1<br />

R<br />

2<br />

P<br />

280


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Mouvement plan sur plan<br />

2.1. Définition<br />

Le mouvement d’un solide (S) lié à un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O1<br />

, x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

par rapport à un repère fixe<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0 0<br />

R O , x , y , z ) est un mouvement plan sur plan si et seulement si, un plan ( ) du solide<br />

reste en coïncidence avec un plan<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0 0<br />

( π 0<br />

) lié au repère R O , x , y , z ) .<br />

On étudie ainsi le mouvement relatif de deux plans, l’un constituant le référentiel fixe. Les<br />

→<br />

vecteurs z sont orthogonaux aux plans P ) et π ) respectivement en O et O .<br />

→<br />

0<br />

≡ z 1<br />

( S<br />

( 0<br />

P S<br />

1<br />

→<br />

z<br />

0<br />

→<br />

z 1<br />

→<br />

y 1<br />

(π 0<br />

→<br />

x<br />

0<br />

o<br />

→<br />

y 0<br />

o 1<br />

I.<br />

→<br />

x 1<br />

(P S<br />

Le vecteur rotation instantané du solide (S) lié à<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O1<br />

, x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

par rapport au repère fixe<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O0<br />

, x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

est donné par :<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω1 = ψ z0<br />

Tous les points du solide se déplacent parallèlement au plan ( π<br />

0<br />

) , leurs vecteurs vitesses sont<br />

aussi parallèles à ce plan, alors ∀P ∈ (S) nous aurons :<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

= f ( t)<br />

x0<br />

+ g(<br />

t)<br />

0<br />

→ →<br />

(<br />

0<br />

0<br />

V ( P)<br />

y ⇒ V P)<br />

• z = 0<br />

0<br />

0<br />

On remarque dans ce cas que l’automoment V ( P)<br />

• Ω = 0 du torseur cinématique<br />

→<br />

→<br />

1<br />

[ ]<br />

⎧<br />

⎪ Ω<br />

0<br />

1<br />

⎨<br />

⎪<br />

0<br />

⎩V<br />

( P)<br />

= →<br />

→<br />

, décrivant le mouvement est nul. En effet nous avons :<br />

C P<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ • →<br />

0<br />

0 ⎛<br />

⎞<br />

V ( P)<br />

• Ω1<br />

= ⎜ f ( t)<br />

x0<br />

+ g(<br />

t)<br />

y0<br />

⎟ • ψ z0<br />

= , nous pouvons conclure que :<br />

⎝<br />

⎠<br />

281


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

0<br />

- Si ψ = Cte ⇒ Ω ψ 0 , la résultante du torseur étant nul, alors le torseur est un<br />

1<br />

= •<br />

=<br />

couple et le mouvement est une translation rectiligne sur le plan<br />

torseur reste indéfini ;<br />

( π 0<br />

) , l’axe central du<br />

•<br />

0<br />

- Si ψ varie au cours du temps, alors Ω<br />

1<br />

=ψ , dans ce cas le torseur est un glisseur dont<br />

→<br />

l’axe central est l’axe instantané de rotation orthogonal au plan ( π donc parallèle à .<br />

0<br />

)<br />

z 0<br />

2.2. Paramétrage du solide<br />

la position du solide est déterminée par :<br />

a) La position du point O1 ∈ ( S)<br />

dans le repère R0<br />

est donnée par :<br />

⎧x<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

−−−→ → →<br />

OO1 = x x0<br />

+ y y0<br />

= y<br />

0<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1 1<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0 0<br />

b) L’orientation du repère R O , x , y , z ) par rapport au repère fixe R O , x , y , z )<br />

définie par la vitesse de rotation :<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω1 = ψ z0<br />

tel que<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( x0 , x1<br />

) = ( y0<br />

, y1)<br />

= ψ<br />

Le passage du repère vers le repère R s’exprime par les relations suivantes :<br />

R0<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x1 = cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

y1 = −sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

→ →<br />

z 1 = z 0<br />

R1<br />

0<br />

La matrice de passage de vers R est donnée par :<br />

⎡ cosψ<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− sinψ<br />

⎢⎣<br />

0<br />

sinψ<br />

P R →<br />

cosψ<br />

1 R0<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

1⎥⎦<br />

Le mouvement plan sur plan est un mouvement à trois degrés de liberté : ( x , y,<br />

ψ ) ; deux<br />

degrés de translation et un degré de rotation.<br />

282


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2.3. Vecteurs vitesse et accélération d’un point quelconque du solide<br />

Si P est un point quelconque du solide (S) , il aura pour coordonnées :<br />

R 1<br />

−−−→ → →<br />

1<br />

=<br />

1<br />

y1<br />

Dans : O P a x + b , le point P est fixe dans le solide.<br />

−−−→<br />

→<br />

→<br />

Dans R<br />

0<br />

: O1P<br />

= a x1<br />

+ b y1<br />

= a(cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

) + b(<br />

−sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

)<br />

−−−→<br />

→<br />

→<br />

O1 P = ( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) x0<br />

+ ( a sinψ<br />

+ b cosψ<br />

) y0<br />

−−−→<br />

=<br />

O P<br />

⎧a<br />

cosψ<br />

− bsinψ<br />

⎪<br />

⎨asinψ<br />

+ bcos<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

ψ<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Dans R 0<br />

:<br />

−−−→ −−−→ −−−→ → →<br />

→<br />

→<br />

OP = OO1 + O1P<br />

= x x0<br />

+ y y0<br />

+ ( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) x0<br />

+ ( a sinψ<br />

+ b cosψ<br />

) y0<br />

−−−→<br />

=<br />

OP<br />

R<br />

0<br />

⎧x<br />

⎪<br />

⎨y<br />

⎪<br />

⎩<br />

+ a cosψ<br />

− bsinψ<br />

+ asinψ<br />

+ bcosψ<br />

0<br />

La vitesse du point P par rapport à R 0<br />

se déduit de deux façons :<br />

a) Par la cinématique du solide :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( P)<br />

= V<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x<br />

→<br />

→ −−→ •<br />

0<br />

0<br />

( O1<br />

) + Ω1<br />

∧ O1P<br />

= ⎨y<br />

+<br />

⎪0<br />

⎪⎩<br />

⎧0<br />

⎧a<br />

cosψ<br />

− bsinψ<br />

⎪ ⎪<br />

⎨0<br />

∧ ⎨a<br />

sinψ<br />

+ b cosψ<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

⎩ψ<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( P)<br />

=<br />

R<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x−<br />

( a sinψ<br />

+ b cosψ<br />

) ψ<br />

•<br />

•<br />

⎨y+<br />

( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) ψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

b) Par dérivation :<br />

→<br />

0<br />

V ( P)<br />

=<br />

• •<br />

•<br />

⎧<br />

−→<br />

⎪<br />

x−<br />

aψ<br />

sinψ<br />

− bψ<br />

cosψ<br />

0<br />

d OP<br />

• •<br />

•<br />

= ⎨y+<br />

aψ<br />

cosψ<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

dt ⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

=<br />

R<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x−<br />

( a sinψ<br />

+ b cosψ<br />

) ψ<br />

•<br />

•<br />

⎨y+<br />

( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) ψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

283


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’accélération du point P par rapport à<br />

vitesse V<br />

→<br />

0 ( P<br />

) , dans le même repère.<br />

R 0<br />

se déduit facilement par dérivation du vecteur<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( P)<br />

=<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( P)<br />

=<br />

dt<br />

R<br />

⎧••<br />

••<br />

•<br />

2<br />

⎪x−<br />

( asinψ<br />

+ bcosψ<br />

) ψ − ( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) ψ<br />

••<br />

••<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎨y+<br />

( a cosψ<br />

− bsinψ<br />

) ψ − ( asinψ<br />

+ bcosψ<br />

) ψ<br />

⎪<br />

0<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

2.4. Centre instantané de rotation<br />

Soient deux points A et B du solide (S) lié à un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O1<br />

, x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

en mouvement par<br />

rapport au repère fixe<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0 0<br />

R O , x , y , z ) lié au plan π )<br />

( 0<br />

→<br />

z<br />

0<br />

→<br />

y 0<br />

A<br />

→<br />

V 0 ( A)<br />

Δ(t)<br />

• I(t)<br />

(S)<br />

B<br />

→<br />

V 0 ( B)<br />

(π<br />

0<br />

o<br />

→<br />

x<br />

0<br />

→<br />

→<br />

Comme les vitesses V 0 ( A)<br />

et V 0 ( B ) appartiennent au solide et au plan π ) , nous<br />

pouvons écrire d’après la loi de distribution des vitesses :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( B)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AB<br />

→<br />

Ω 0 1<br />

R1<br />

0<br />

où est la vitesse de rotation du repère par rapport au repère R . Le vecteur vitesse<br />

de rotation instantané est normal au plan<br />

Δ (t) est perpendiculaire à ( π ) .<br />

0<br />

( 0<br />

( π 0<br />

) , ce qui entraîne que l’axe instantané de rotation<br />

L’étude sur les torseurs a montré que quel que soit le point pris sur l’axe central d’un torseur,<br />

le moment en ce point est parallèle à l’axe central.<br />

284


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans le cas d’un torseur cinématique, tous les points de l’axe instantané de rotation (axe<br />

central) ont une vitesse parallèle à cet axe. De plus dans le cas d’un mouvement plan sur plan<br />

tous les points du solide ont leurs vitesses parallèles au plan ( π ) . Par conséquent, le point<br />

d’intersection I entre le plan ( π<br />

0<br />

) et l’axe instantané de rotation Δ (t)<br />

Ce point est appelé centre instantané de rotation : (C.I.R.)<br />

0<br />

, a une vitesse nulle.<br />

2.4.1. Détermination analytique du centre instantané de rotation (C.I.R.)<br />

Soit P un point quelconque du solide. La loi distribution des vitesses nous permet d’écrire :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

( P)<br />

= V ( I)<br />

+ Ω ∧ IP = Ω ∧ IP<br />

→<br />

La position du C.I.R s’obtient en multipliant vectoriellement cette expression par Ω 0 1<br />

:<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→ → −→ → →<br />

0 ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎞<br />

∧ Ω<br />

0<br />

⎜ ⎟ = ⎜ Ω<br />

0<br />

( P)<br />

∧ Ω1<br />

= Ω1<br />

∧ IP<br />

1 1<br />

⎟ IP<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

0<br />

V ( P)<br />

∧ Ω<br />

d’où : IP =<br />

→<br />

2<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ Ω<br />

1<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

2<br />

−→<br />

- le vecteur<br />

−→<br />

IP est perpendiculaire au vecteur vitesse V 0 ( P)<br />

au point P ;<br />

→<br />

−−→<br />

0<br />

−→<br />

V ( P)<br />

- il a pour module : IP =<br />

0<br />

Ω<br />

1<br />

2.4.2. Détermination géométrique du centre instantané de rotation (C.I.R)<br />

Si le point I est un centre instantané de rotation du solide (S) , nous pouvons le déterminer<br />

géométriquement en connaissant la vitesse de deux points A et B du solide.<br />

En effet nous avons :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

0<br />

( A)<br />

= Ω ∧ IA ⇒ V<br />

( A )<br />

−→<br />

⊥ IA<br />

A<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( A)<br />

(S)<br />

B<br />

→<br />

V 0 ( B)<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

→<br />

0<br />

( B)<br />

= Ω ∧ IB ⇒ V<br />

( B)<br />

−→<br />

⊥ IB<br />

I<br />

285


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le centre instantané de rotation (C.I.R.) se trouve à l’intersection des normales aux vecteurs<br />

→<br />

→<br />

0 ( B<br />

vitesses V 0 ( A)<br />

à partir du point A et V ) à partir du point B . Cette méthode est<br />

souvent utilisée pour vérifier les coordonnées du (C.I.R.) déterminé déjà analytiquement.<br />

Dans le cas particulier d’un disque, il est très facile de le vérifier :<br />

Les vitesses aux points A et B sont tangentes aux disques.<br />

En traçant les deux perpendiculaires aux vitesses<br />

Respectivement en A et B, leur point d’intersection<br />

A<br />

est le point I centre du disque ayant une vitesse nulle.<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( A)<br />

B<br />

I<br />

→<br />

V 0 ( B)<br />

3. Base et roulante<br />

Le centre instantané de rotation (C.I.R.) est un point mobile par rapport à<br />

R 0<br />

et par rapport<br />

au repère<br />

R 1<br />

lié au solide. Il décrit deux courbes différentes dans les deux repères, on appelle<br />

alors :<br />

- Base du mouvement : du plans (P S ) du solide sur le plan ( π ) , la trajectoire du point I<br />

dans le repère R 0<br />

;<br />

- Roulante du mouvement : du plans (P S ) du solide sur le plan ( π 0<br />

) , la trajectoire du point<br />

I dans le repère R 1<br />

;<br />

Nous pouvons exprimer le vecteur vitesse du point I dans le repère R 0<br />

, nous avons en effet :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−→<br />

0<br />

d OI<br />

( I)<br />

=<br />

dt<br />

d<br />

=<br />

0<br />

−→<br />

−→<br />

( OO1<br />

+ O1I<br />

)<br />

= V<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

−→<br />

0<br />

d O1I<br />

( O1<br />

) +<br />

dt<br />

En introduisant les coordonnées du point I dans le repère R 1<br />

tel que :<br />

⎧xI<br />

−−→ → →<br />

⎪<br />

O<br />

1I<br />

= xI<br />

x1<br />

+ yI<br />

y1=<br />

⎨yI<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

Par la formule de la cinématique du solide nous pouvons écrire :<br />

0<br />

−→<br />

0<br />

d O1I<br />

dt<br />

−→<br />

1<br />

→ −→ → →<br />

d O<br />

−→<br />

1I<br />

0<br />

1<br />

0<br />

= + Ω1<br />

∧ O1<br />

I = V ( I)<br />

+ Ω1<br />

∧ O1<br />

I<br />

dt<br />

286


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

on obtient finalement<br />

→ → →<br />

→ −→<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

V ( I)<br />

= V ( I)<br />

+ V ( O1<br />

) + Ω1<br />

∧ O1I<br />

Comme le point I est le centre instantané de rotation, son expression analytique est donnée<br />

par :<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

0 0<br />

→<br />

Ω1<br />

∧V<br />

( O1<br />

)<br />

−→ →<br />

0<br />

0<br />

O<br />

1I<br />

=<br />

⇒ Ω<br />

→<br />

2<br />

1<br />

∧ O1I<br />

= −V<br />

( O1<br />

)<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ Ω<br />

1<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

0<br />

1<br />

On obtient alors : V ( I)<br />

= V ( I )<br />

→<br />

→<br />

Cette égalité indique que la vitesse du centre instantané de rotation est la même dans les deux<br />

repères à et R .<br />

R0<br />

1<br />

Il en résulte que la base et la roulante sont deux courbes tangentes en I à chaque instant.<br />

L’égalité des vitesses au point I dans les deux repères montre que la roulante roule sans<br />

glisser sur la base.<br />

3.1. Equation de la base<br />

O1<br />

R1<br />

0<br />

La position du point centre du repère lié au solide par rapport au repère fixe R est<br />

⎧x<br />

−−→ → →<br />

⎪<br />

définie par ses coordonnées dans le repère R 0<br />

: OO1 = x x0<br />

+ y y0<br />

= ⎨y<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

0<br />

La position du point I dans le repère R<br />

1<br />

est donnée par :<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

0 0<br />

Ω1<br />

∧V<br />

( O1<br />

)<br />

O<br />

1I<br />

=<br />

qui s’écrit<br />

→<br />

2<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ Ω<br />

1<br />

⎟<br />

⎝ ⎠<br />

aussi sous la forme :<br />

• →<br />

→<br />

−→<br />

0<br />

ψ z0<br />

∧V<br />

( O1<br />

)<br />

O<br />

1<br />

I =<br />

, or nous avons :<br />

•<br />

2<br />

ψ<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0 • 0<br />

• → • →<br />

0 d OO1<br />

d OO1<br />

d ψ d OO1<br />

dx dy<br />

( O1<br />

) = =<br />

= ψ = ψ x0<br />

+ ψ y0<br />

V<br />

dt<br />

dψ<br />

dt<br />

dψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

→<br />

En remplaçant l’expression de V 0 ( )<br />

→<br />

O1 dans celle de nous obtenons :<br />

−<br />

I<br />

−→<br />

O I<br />

1<br />

O1<br />

• → →<br />

0<br />

ψ z<br />

→<br />

→ →<br />

→ →<br />

0<br />

∧V<br />

( O1<br />

) ⎛ dx dy ⎞ dx dy<br />

= = z ∧ ⎜ + ⎟ = −<br />

•<br />

0<br />

x0<br />

y0<br />

y0<br />

x0<br />

2<br />

dψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

ψ<br />

⎝<br />

⎠<br />

287


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Ainsi le vecteur position du point I dans le repère R 0<br />

est exprimé par la relation :<br />

−→ −−→ −→<br />

dy<br />

→<br />

dx<br />

→<br />

OI = OO1<br />

+ O1I<br />

= ( x − x0<br />

) + ( y + y0<br />

)<br />

dψ<br />

dψ<br />

Cette équation définit la trajectoire (appelée base) du centre instantané de rotation dans le<br />

repère R 0<br />

.<br />

⎧<br />

dy<br />

→<br />

⎪<br />

X<br />

I<br />

( t)<br />

= x − x0<br />

dψ<br />

−→<br />

⎪<br />

→<br />

dx<br />

OI = ⎨YI<br />

( t)<br />

= y + y0<br />

⎪ dψ<br />

⎪Z<br />

I<br />

( t)<br />

= 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

3.2. Equation de la roulante<br />

Pour obtenir la trajectoire (appelée roulante) dans le repère<br />

R 1<br />

lié au solide, il suffit<br />

d’exprimer les vecteurs unitaires du repère en fonction de ceux de R . En effet, nous<br />

R0<br />

1<br />

avons d’après la matrice de passage déterminée précédemment :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x0 = cosψ<br />

x1<br />

− sinψ<br />

x1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

y0 = sinψ<br />

x1<br />

+ cosψ<br />

x1<br />

−→<br />

O I<br />

1<br />

• → →<br />

0<br />

ψ z<br />

→<br />

→ →<br />

→ →<br />

0<br />

∧V<br />

( O1<br />

) ⎛ dx dy ⎞ dx dy<br />

= = z ∧ ⎜ + ⎟ = −<br />

•<br />

0<br />

x0<br />

y0<br />

y0<br />

x0<br />

2<br />

dψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

ψ<br />

⎝<br />

⎠<br />

Alors la trajectoire dans le repère R 1<br />

aura pour équations paramétriques :<br />

⎧ dx dy<br />

⎪<br />

X<br />

I1(<br />

t)<br />

= sinψ<br />

− cosψ<br />

dψ<br />

dψ<br />

−→<br />

⎪<br />

dx dy<br />

O1I<br />

= ⎨YI<br />

1(<br />

t)<br />

= cosψy<br />

+ sinψ<br />

⎪ dψ<br />

dψ<br />

⎪ Z<br />

I1(<br />

t)<br />

= 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

En connaissant la matrice de passage de vers R , il est très facile de déduire la trajectoire<br />

R0<br />

1<br />

de la roulante à partir de la base où inversement.<br />

288


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE VIII<br />

CINETIQUE<br />

290


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CINETIQUE<br />

1. Définition<br />

La résultante cinétique (quantité de mouvement), le moment cinétique (moment de la<br />

quantité de mouvement), la résultante dynamique (quantité d’accélération), le moment<br />

dynamique et l’énergie cinétique, constituent les éléments de la cinétique.<br />

La cinétique a pour objet l’étude des relations entre les éléments de la cinématique et la<br />

géométrie des masses.<br />

2. Résultante cinétique, moment cinétique<br />

- La résultante cinétique (quantité de mouvement) d’un point matériel M , de masse m et<br />

de vitesse (M ) est définie par la grandeur vectorielle :<br />

V → → →<br />

P = mV (M ) ;<br />

→<br />

σ A<br />

- Le moment cinétique du point matériel M en un point A quelconque de l’espace est<br />

donné par le moment de la quantité de mouvement en A , il a pour grandeur :<br />

→<br />

A<br />

−−→<br />

→<br />

σ = AM ∧ mV (M )<br />

2.1. Quantité de mouvement d’un système matériel (S)<br />

a) Système matériel discret :<br />

Le système est constitué d’un ensemble de point M i de masse m i et de vitesses<br />

V →<br />

( M<br />

i<br />

)<br />

dans<br />

un repère R.<br />

- La résultante cinétique (quantité de mouvement) du système est donnée par la grandeur<br />

vectorielle : P → = ∑ m V<br />

→<br />

( )<br />

i<br />

i<br />

M i<br />

→<br />

σ A<br />

- Le moment cinétique du système matériel (S) en un point A quelconque de<br />

l’espace est donné par le moment de la quantité de mouvement en A , il a pour grandeur<br />

→<br />

vectorielle : σ<br />

A<br />

=<br />

∑<br />

i<br />

−−→<br />

→<br />

AM ∧ m V ( M )<br />

i<br />

i<br />

i<br />

291


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

b) Système matériel continu :<br />

Dans le cas d’un système matériel continu (S) : linéaire, surfacique où volumique nous avons :<br />

- La résultante cinétique (quantité de mouvement) du système matériel continu, est<br />

donnée par la grandeur vectorielle : P → = ∫V<br />

→<br />

( M ) dm ;<br />

→<br />

σ A<br />

S<br />

- Le moment cinétique du système matériel continu (S) en un point A quelconque<br />

de l’espace est donné par le moment de la quantité de mouvement en A , il a pour<br />

grandeur vectorielle : σ<br />

→<br />

A<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

AM ∧V<br />

( M ) dm<br />

3. Torseur cinétique<br />

Soit un solide (S) de masse m et de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère<br />

fixe R. Soit M un point de ce solide et deux points A et B quelconque de l’espace mais<br />

connus dans le repère R.<br />

Par définition nous avons les moments cinétiques en A et B qui sont donnés par :<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

σ<br />

A<br />

= ∫ AM ∧V<br />

( M ) dm et σ<br />

B<br />

= ∫<br />

S<br />

→<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

BM ∧V<br />

( M ) dm<br />

→<br />

→<br />

σ −σ<br />

A<br />

B<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

∫<br />

−−→<br />

→<br />

∫<br />

−−→<br />

AM ∧V<br />

( M ) dm − BM ∧V<br />

( M ) dm = ( AM − BM ) ∧V<br />

( M ) dm = AB∧V<br />

( M ) dm<br />

S<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

→ → −−→ →<br />

A<br />

σ<br />

B<br />

= AB∧<br />

V ( M )<br />

S<br />

cette relation est appelée loi de variation du moment cinétique<br />

On constate que le moment cinétique obéit à la loi des transports des moments. Nous pouvons<br />

alors construire un torseur cinétique dont les éléments de réduction sont : la résultante<br />

cinétique et le moment cinétique.<br />

−−→<br />

σ − ∫ dm = AB∧<br />

P<br />

→<br />

[ C]<br />

A<br />

→<br />

⎧<br />

⎪<br />

P =<br />

= ⎨ →<br />

⎪σ<br />

A<br />

=<br />

⎪⎩<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

V ( M ) dm<br />

−−→<br />

→<br />

AM ∧V<br />

( M ) dm<br />

P<br />

→ = ∫V<br />

→<br />

( M ) dm : résultante cinétique ou quantité de mouvement du système (S)<br />

→<br />

S<br />

∫<br />

−−→<br />

→<br />

σ = AM ∧V<br />

( M ) dm : Moment cinétique au point A du système (S) dans le repère R.<br />

A<br />

S<br />

292


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3.1. Expression de la résultante cinétique d’un système matériel<br />

Soit un solide (S) de masse m et de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère<br />

orthonormé fixe<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

. Quel que soit M ∈ (S)<br />

nous avons par définition du centre<br />

d’inertie :<br />

−−→<br />

→<br />

∫ GMdm = 0<br />

S<br />

Les points G et M sont Mobiles dans le repère R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

, nous pouvons écrire :<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

GM = OM − OG et leurs vitesses sont liées par la relation :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

d GM<br />

dt<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

d OM d OG<br />

d GM<br />

→ →<br />

= −<br />

⇔ = V ( M ) −V<br />

( G)<br />

dt dt<br />

dt<br />

En dérivant cette expression par rapport au temps sous le signe intégrale, on obtient :<br />

−−→<br />

d GM<br />

→ →<br />

→<br />

⎛<br />

⎞<br />

∫ dm = ∫⎜V<br />

( M ) −V<br />

( G)<br />

⎟dm<br />

= 0<br />

dt ⎝<br />

⎠<br />

S<br />

S<br />

∫ V ( M ) dm = V ( G)<br />

∫ dm = mV ( G)<br />

ce qui donne : P mV (G)<br />

S<br />

→<br />

→<br />

S<br />

→<br />

La résultante du torseur cinétique est la quantité de mouvement du centre de la masse affectée<br />

→<br />

=<br />

de la masse totale du système : P mV (G)<br />

→<br />

→<br />

=<br />

→<br />

3.2. Propriétés du moment cinétique<br />

3.2.1. Théorème de Koënig<br />

Soit<br />

R<br />

0<br />

(<br />

→<br />

→<br />

→<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

un repère orthonormé fixe. Le référentiel de Koënig (appelé aussi<br />

référentiel barycentrique)<br />

R G<br />

→ →<br />

→<br />

( G,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

est le référentiel lié au centre d’inertie du solide<br />

dont les axes sont parallèles à ceux du repère fixe.<br />

293


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La vitesse du repère par rapport au repère R est nul :<br />

RG<br />

0<br />

Nous allons chercher une relation entre :<br />

- le moment cinétique du système en G<br />

dans son mouvement par rapport à<br />

R 0<br />

- le moment cinétique du système en G<br />

dans son mouvement par rapport à R G<br />

.<br />

Soit M un point du système matériel :<br />

Sa vitesse dans le repère est donnée par : V<br />

0<br />

et<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

( R G<br />

/ R0<br />

R ( M ) = V ( G)<br />

+ V ( M )<br />

→<br />

G<br />

→<br />

Ω ) = 0<br />

G<br />

→<br />

z<br />

o<br />

→<br />

→ y<br />

x<br />

(S)<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

→<br />

y<br />

Son moment cinétique au point G dans R0<br />

s’écrira :<br />

→<br />

σ<br />

G / R0<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

GM ∧V<br />

( M ) dm<br />

Son moment cinétique au point G dans RG<br />

s’écrira :<br />

Nous avons alors :<br />

→<br />

−−→ →<br />

G<br />

G / R<br />

= ∫ GM ∧V<br />

( M )<br />

G<br />

S<br />

σ<br />

dm<br />

→<br />

σ<br />

G / R0<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→ →<br />

→<br />

−−→ →<br />

−−→ →<br />

⎛ 0<br />

G ⎞<br />

0<br />

G<br />

GM ∧ ⎜V<br />

( G)<br />

+ V ( M ) ⎟dm<br />

= ∫ GM ∧V<br />

( G)<br />

dm + ∫ GM ∧V<br />

( M ) dm<br />

⎝<br />

⎠<br />

S<br />

S<br />

or nous avons par définition du centre d’inertie : ∫ GM dm = 0 on obtient finalement :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

= −−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

0<br />

G<br />

/<br />

∧ ( ) + ∧ ( ) = ∫<br />

G<br />

G R<br />

∧ ( )<br />

0 ∫ GM dm V G ∫ GM V M dm GM V M<br />

S<br />

S<br />

S<br />

σ<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

dm = σ<br />

G / RG<br />

→<br />

σ<br />

G<br />

R<br />

/ 0<br />

→<br />

= σ<br />

G / RG<br />

Le moment cinétique en G centre d’inertie du système est le même qu’il soit présenté dans le<br />

repère ou dans le repère R .<br />

R0<br />

1<br />

En un point A quelconque de l’espace nous aurons par la formule de transport :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

σ<br />

A / R<br />

= σ<br />

/<br />

AG mV ( G)<br />

0 G<br />

+ ∧<br />

Nous avons ainsi le théorème de Koënig pour le moment cinétique.<br />

R G<br />

−−→<br />

→<br />

294


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3.3. Moment cinétique d’un solide (S) indéformable, lié à un repère en mouvement<br />

quelconque par rapport à un repère fixe .<br />

Soit M un point du solide, sa vitesse est donnée par la cinématique du solide, elle a pour<br />

→<br />

i<br />

→<br />

i<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−−−→<br />

expression : V ( M ) = V ( O ) + Ω ∧ O M<br />

Le moment cinétique au point Ok<br />

est donné par :<br />

k<br />

R i<br />

→<br />

z k<br />

→<br />

i<br />

∫<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

R k<br />

σ ( O ) = O M ∧V<br />

( M ) dm<br />

k<br />

S<br />

k<br />

→<br />

z i<br />

o<br />

k<br />

(S)<br />

• M<br />

→<br />

y k<br />

o i<br />

→<br />

y i<br />

→<br />

x k<br />

→<br />

x i<br />

En remplaçant l’expression de la vitesse dans celle du moment cinétique, nous obtenons :<br />

→<br />

−−→ →<br />

i<br />

⎛ i<br />

σ ( O<br />

k<br />

) = ∫ Ok<br />

M ∧ ⎜V<br />

( Ok<br />

) + Ω<br />

⎝<br />

S<br />

→<br />

i<br />

k<br />

∧ O<br />

−−−→<br />

k<br />

⎞<br />

M ⎟dm<br />

⎠<br />

→<br />

i<br />

⎛ ⎞<br />

σ ( O<br />

k<br />

) = ∫<br />

σ<br />

−−→ →<br />

−−→ → −−−→<br />

→ →<br />

i<br />

i<br />

∫ Ok<br />

M ∧V<br />

( Ok<br />

) dm + Ok<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

M ⎟dm<br />

= σ<br />

1+<br />

2<br />

S<br />

S ⎝ ⎠<br />

avec :<br />

→ −−→ →<br />

→ −−→ →<br />

i<br />

⎛<br />

−−−→<br />

i ⎞<br />

σ<br />

1<br />

= ∫ O<br />

k<br />

M ∧V<br />

( Ok<br />

) dm et σ 2<br />

= ∫ Ok<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

M ⎟dm<br />

⎝ ⎠<br />

S<br />

S<br />

→<br />

Expression de σ 1<br />

:<br />

→<br />

σ 1<br />

→<br />

=<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

O G∧V<br />

k<br />

k<br />

→<br />

i<br />

O M ∧V<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

( O ) dm =<br />

k<br />

k<br />

( O ) dm +<br />

∫<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

GM dm ∧V<br />

∫<br />

→<br />

i<br />

−−→ −−→<br />

⎛ ⎞<br />

⎜OkG+<br />

GM ⎟ ∧V<br />

⎝ ⎠<br />

−−→<br />

( O )<br />

→<br />

i<br />

σ = O G∧V<br />

( O ) dm + GM dm ∧V<br />

( O )<br />

1<br />

k<br />

k<br />

S<br />

S<br />

k<br />

k<br />

( O ) dm<br />

k<br />

295


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Comme G est le centre d’inertie du solide, nous avons alors : ∫ GM dm = 0<br />

→<br />

−−→<br />

i<br />

d’où : σ = O G∧<br />

mV ( O )<br />

→<br />

1 k<br />

k<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

Expression de σ 2<br />

:<br />

→<br />

σ<br />

2<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

⎛<br />

Ok<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

→<br />

i<br />

k<br />

∧ O<br />

−−−→<br />

k<br />

⎞<br />

M ⎟dm<br />

⎠<br />

Afin de développer cette expression, nous utilisons les coordonnées du point M dans le<br />

repère et les composantes du vecteur vitesse de rotation dans le repère R .<br />

R k<br />

→<br />

Ω i k<br />

k<br />

⎧x<br />

−−−→<br />

⎪<br />

Ok M = ⎨y<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

k<br />

→<br />

i<br />

k<br />

Ω<br />

⎧Ω<br />

⎪<br />

= ⎨Ω<br />

⎪<br />

R ⎩Ω<br />

k<br />

x<br />

y<br />

z<br />

−−→<br />

⎛<br />

O<br />

k<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

→<br />

i<br />

k<br />

−−−→<br />

∧ O M<br />

k<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

⎧x<br />

⎪<br />

⎨y∧<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

R<br />

k<br />

k<br />

⎧Ω<br />

⎪<br />

⎨Ω<br />

⎪<br />

⎩Ω<br />

x<br />

y<br />

z<br />

⎧x<br />

⎪<br />

∧ ⎨y<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

k<br />

⎧x<br />

⎪<br />

= ⎨y∧<br />

⎪<br />

R ⎩z<br />

R<br />

k<br />

k<br />

⎧zΩ<br />

⎪<br />

⎨xΩ<br />

⎪<br />

⎩yΩ<br />

y<br />

z<br />

x<br />

− yΩ<br />

− zΩ<br />

− xΩ<br />

z<br />

x<br />

y<br />

−−→ →<br />

⎛<br />

−−−→<br />

i<br />

Ok<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

k<br />

∧ Ok<br />

M<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

2 2<br />

⎧y(<br />

yΩ<br />

⎧<br />

x<br />

− xΩ<br />

y<br />

) − z(<br />

xΩ<br />

z<br />

− zΩ<br />

x<br />

) Ω<br />

x<br />

( y + z ) − Ω<br />

y<br />

xy − Ω<br />

z<br />

xz<br />

⎪<br />

⎪<br />

2 2<br />

⎨z(<br />

zΩ<br />

y<br />

− yΩ<br />

z<br />

) − x(<br />

yΩ<br />

x<br />

− xΩ<br />

y<br />

) = ⎨− Ω<br />

x<br />

xy + Ω<br />

y<br />

( x + z ) − Ω<br />

z<br />

yz<br />

⎪<br />

⎪<br />

2 2<br />

⎩x(<br />

xΩ<br />

− zΩ<br />

) − y(<br />

zΩ<br />

− yΩ<br />

) ⎩− Ω xz − Ω yz + Ω ( x + z )<br />

R<br />

z x<br />

y z<br />

R<br />

x y z<br />

k<br />

k<br />

→<br />

σ<br />

2<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

⎛<br />

Ok<br />

M ∧ ⎜Ω<br />

⎝<br />

→<br />

i<br />

k<br />

∧ O<br />

⎧<br />

⎪ Ω<br />

⎞<br />

⎪<br />

M ⎟dm=<br />

⎨− Ω<br />

⎠ ⎪<br />

⎪− Ω<br />

R<br />

⎪⎩<br />

−−−→<br />

k<br />

k<br />

∫<br />

x<br />

S<br />

∫<br />

x<br />

S<br />

∫<br />

x<br />

S<br />

( y<br />

cette expression peut s’écrire sous la forme :<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

xydm + Ω<br />

xzdm − Ω<br />

) dm − Ω<br />

∫<br />

y<br />

S<br />

∫<br />

y<br />

S<br />

( x<br />

2<br />

∫<br />

y<br />

S<br />

+ z<br />

2<br />

yzdm + Ω<br />

xydm − Ω<br />

) dm − Ω<br />

∫<br />

z<br />

S<br />

( x<br />

2<br />

∫<br />

z<br />

S<br />

∫<br />

z<br />

S<br />

2<br />

+ z<br />

xzdm<br />

yzdm<br />

) dm<br />

⎡ I<br />

⎢<br />

= ⎢−<br />

I<br />

⎢<br />

⎣−<br />

I<br />

− I<br />

− I<br />

− I<br />

⎤⎡Ω<br />

⎥⎢<br />

⎥⎢<br />

Ω<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎢⎣<br />

Ω<br />

xx xy xz x<br />

→<br />

→<br />

σ<br />

2 xy<br />

I<br />

yy<br />

− I<br />

yz y<br />

⇔ [ ] →<br />

i<br />

σ<br />

2<br />

= I ok<br />

Ω<br />

k<br />

xz<br />

yz<br />

I<br />

zz<br />

z<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

296


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ →<br />

=<br />

1 2<br />

i<br />

on aboutit à l’expression finale : σ ( O ) σ + σ qui s’écrira :<br />

→<br />

i<br />

→<br />

k<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

σ ( O ) = O G∧<br />

mV ( O ) +<br />

k<br />

k<br />

k<br />

[ ] →<br />

i<br />

I Ω<br />

ok<br />

k<br />

Cas particuliers :<br />

- Si le repère R est fixe par rapport à R alors<br />

k<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

i<br />

V ( O ) = 0 ⇒ [ ] →<br />

i<br />

i<br />

σ (O ) = I Ω<br />

k<br />

k<br />

ok<br />

k<br />

- Si le point est confondu avec le centre G alors G = 0 ⇒<br />

O k<br />

−−→ →<br />

→<br />

O k<br />

[ ] →<br />

i<br />

i<br />

σ (G) = I<br />

G<br />

Ω<br />

k<br />

3.4. Théorème de Koënig pour un système matériel (S)<br />

Sous la forme généralisée nous avons :<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

i<br />

k<br />

i<br />

i<br />

k<br />

σ ( M ) = σ ( G)<br />

+ MG∧<br />

mV ( G)<br />

avec σ ( G)<br />

= σ ( G)<br />

Nous pouvons ainsi écrire la relation sous la forme :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

i<br />

i<br />

[ I ] Ω + MG∧<br />

mV ( )<br />

i<br />

σ ( M ) =<br />

G<br />

I<br />

G<br />

: est le moment d’inertie du système en son centre d’inertie.<br />

4. Torseur dynamique<br />

4.1. Définition<br />

G<br />

Soit M un point du système matériel (S) en mouvement par rapport à un repère fixe R.<br />

L’accélération du point M est donnée par :<br />

→<br />

k<br />

→<br />

→<br />

→<br />

d V ( M )<br />

γ ( M ) =<br />

dt<br />

- On appelle résultante dynamique ou (quantité d’accélération) du point M :<br />

D → = ∫ →<br />

γ ( M ) dm ou D → = ∑ m →<br />

i<br />

γ ( M i<br />

)<br />

S<br />

- On appelle moment dynamique, le moment de la résultante dynamique (moment de la<br />

quantité d’accélération) par rapport à un point A du repère R :<br />

→<br />

∫<br />

−−→<br />

→<br />

δ<br />

A<br />

= AM ∧ γ ( M ) dm où δ<br />

A<br />

= ∑ AM<br />

i<br />

∧ mi<br />

γ ( M<br />

i<br />

)<br />

S<br />

→<br />

i<br />

i<br />

−−→<br />

→<br />

297


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

On construit le torseur dynamique avec ces deux grandeurs comme éléments de réduction de<br />

ce torseur. Le torseur dynamique en un point A du repère R s’exprime sous la forme :<br />

[ D]<br />

A<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪<br />

D = ∫γ<br />

( M ) dm<br />

S<br />

= ⎨ → −−→ →<br />

⎪δ<br />

A<br />

= ∧<br />

⎪<br />

∫ AM γ ( M ) dm<br />

⎩ S<br />

où [ D]<br />

A<br />

→<br />

⎧<br />

⎪<br />

D =<br />

= ⎨ →<br />

⎪δ<br />

A<br />

=<br />

⎩<br />

∑<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

i<br />

→<br />

m γ ( M )<br />

−−→<br />

i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

AM ∧ m γ ( M )<br />

i<br />

Le système étudié n’est pas nécessairement indéformable comme pour le torseur cinétique. Le<br />

moment dynamique obéit aussi de la même manière à la formule de transport des moments.<br />

Les moments dynamiques en deux points quelconques A et B sont liés par :<br />

→<br />

→<br />

A<br />

δ B<br />

−−→<br />

→<br />

δ = + AB∧<br />

D<br />

4.2. Calcul de la résultante dynamique<br />

Soit G le centre d’inertie du système dans le repère R , la résultante dynamique s’écrit :<br />

→<br />

d V ( M ) d<br />

d P d(<br />

mV ( G))<br />

D = →<br />

→<br />

→<br />

∫γ<br />

( M ) dm = ∫ dm = V ( M ) dm = = = m ( G)<br />

dt dt<br />

∫<br />

γ<br />

dt dt<br />

S<br />

S<br />

→<br />

S<br />

→<br />

→<br />

Si la masse du système est constante, la résultante dynamique est égale au produit de la masse<br />

par l’accélération de son centre d’inertie.<br />

→ →<br />

D = m γ (G)<br />

La résultante du torseur dynamique est égale à la quantité d’accélération du centre d’inertie du<br />

système affectée de la masse totale.<br />

4.3. Théorème de Koënig relatif au moment dynamique<br />

Soit<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

un repère orthonormé fixe. Le référentiel de Koënig (appelé aussi<br />

référentiel barycentrique)<br />

R G<br />

→ →<br />

→<br />

( G,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

est le référentiel lié au centre d’inertie du solide<br />

dont les axes sont parallèles à ceux du repère fixe.<br />

La vitesse du repère par rapport au repère R est nul :<br />

RG<br />

0<br />

→<br />

( R G<br />

/ R0<br />

→<br />

Ω ) = 0<br />

298


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Nous allons chercher une relation entre :<br />

- le moment dynamique du système en G dans son mouvement par rapport à R 0<br />

et<br />

- le moment dynamique du système en G dans son mouvement par rapport à R G<br />

.<br />

→<br />

z<br />

o<br />

→<br />

→ y<br />

x<br />

(S)<br />

→<br />

z<br />

G<br />

→<br />

→ y<br />

x<br />

Soit M un point du système matériel:<br />

Son accélération dans le repère est donnée par :<br />

0<br />

→<br />

0<br />

0<br />

R γ ( M ) = γ ( G)<br />

+ γ ( M )<br />

Son moment dynamique au point G dans R0<br />

s’écrira :<br />

Son moment dynamique au point G dans RG<br />

s’écrira :<br />

→<br />

→<br />

G<br />

→<br />

−−→ →<br />

= ∫ ∧<br />

0<br />

G / R<br />

γ<br />

0<br />

S<br />

δ<br />

GM ( M ) dm<br />

→<br />

−−→ →<br />

G<br />

G / R<br />

= ∫ GM ∧ γ ( M )<br />

G<br />

S<br />

δ<br />

dm<br />

Alors :<br />

⎛<br />

⎞<br />

GM ( M ) dm<br />

→<br />

−−→ →<br />

→<br />

−−→ →<br />

−−→ →<br />

0<br />

G<br />

0<br />

G<br />

G / R<br />

= ∫ ∧ ⎜γ<br />

( G)<br />

+ γ ( M ) ⎟dm<br />

= ∫ GM ∧ γ ( G)<br />

dm + ∫ GM ∧ γ<br />

0<br />

S ⎝<br />

⎠ S<br />

S<br />

δ<br />

→<br />

−−→ →<br />

−−→ →<br />

G<br />

G R<br />

= ∫ dm ∧<br />

0<br />

/<br />

γ ( G)<br />

+ ∫ GM ∧ γ<br />

0<br />

S<br />

S<br />

δ<br />

GM ( M ) dm<br />

or nous avons par définition du centre d’inertie : ∫ GM dm = 0 on obtient finalement :<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

−−→ →<br />

→<br />

G<br />

G / R<br />

= ∧ ( ) =<br />

0 ∫ GM V M dm δ<br />

G / RG<br />

S<br />

δ<br />

→ →<br />

/ R<br />

=<br />

0 G / RG<br />

δ G<br />

δ<br />

Le moment dynamique en G centre d’inertie du système est le même, qu’il soit présenté dans<br />

le repère ou dans le repère R . En un point A quelconque de l’espace nous aurons par la<br />

R0<br />

1<br />

→<br />

formule de transport :<br />

→ → −−→ →<br />

0<br />

A / R<br />

= σ<br />

/<br />

AG mV ( G<br />

0 G R G<br />

+ ∧<br />

σ<br />

)<br />

Nous avons ainsi le théorème de Koënig pour le moment dynamique.<br />

299


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4.4. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique<br />

Soit A un point quelconque du repère<br />

pas nécessairement un point du système matériel<br />

et un point M du système matériel. Nous avons le moment cinétique au point A qui est<br />

donné par :<br />

σ<br />

→<br />

A<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

Dérivons cette expression :<br />

∫<br />

→<br />

0<br />

AM ∧V<br />

( M ) dm<br />

R 0<br />

→<br />

d →<br />

−−→<br />

0 −−→ →<br />

0<br />

→<br />

⎛<br />

⎞<br />

−−→ 0 0<br />

σ<br />

A d<br />

d AM<br />

d V ( M )<br />

0<br />

0<br />

dt<br />

=<br />

S<br />

⎜ AM ∧V<br />

dt ⎝<br />

−−→<br />

( M ) ⎟dm<br />

=<br />

⎠<br />

∫<br />

S<br />

dt<br />

∧V<br />

( M ) dm +<br />

→<br />

−−→<br />

0<br />

σ<br />

→<br />

A<br />

d<br />

dt<br />

0<br />

→<br />

→<br />

d AM 0<br />

0<br />

or nous avons : = V ( M ) −V<br />

( A)<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

σ<br />

→<br />

A<br />

d<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛ 0<br />

0 ⎞ 0<br />

= ∫ ⎜V<br />

( M ) −V<br />

( A)<br />

⎟ ∧V<br />

( M ) dm + δ<br />

A<br />

⎝<br />

⎠<br />

S<br />

0<br />

→<br />

d AM 0<br />

= ∫ ∧V<br />

( M ) dm + δ<br />

A<br />

dt<br />

S<br />

→<br />

∫<br />

S<br />

AM ∧<br />

dt<br />

dm<br />

0 →<br />

→<br />

d σ<br />

→<br />

A 0<br />

0<br />

⇒ = −V<br />

( A)<br />

∧ mV ( G)<br />

+ δ<br />

A<br />

dt<br />

on obtient ainsi la relation finale entre le moment cinétique et le moment dynamique<br />

→<br />

→ 0<br />

d σ<br />

A<br />

δ<br />

A<br />

=<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

+ V<br />

→<br />

0<br />

( A)<br />

∧ mV<br />

( G)<br />

Cette relation ne doit en aucun cas être confondue avec la formule de transport.<br />

4.5. Cas particuliers<br />

Dans certains cas particuliers la dérivée du torseur cinétique est égale au torseur dynamique :<br />

→<br />

→ 0<br />

d σ<br />

A<br />

δ<br />

A =<br />

dt<br />

→<br />

⎧<br />

→<br />

0<br />

⎪1)<br />

A est fixe dans R0<br />

⇔ V ( A)<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

⎪<br />

→<br />

0<br />

0<br />

Si : ⎨2)<br />

A est confondu avec G ⇔ V ( A)<br />

∧ V ( G)<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎪<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎪3) V ( A) // V ( G)<br />

= 0 ⇔ V ( A)<br />

∧ V ( G)<br />

= 0<br />

⎩<br />

Dans ces trois cas particuliers seulement, nous pouvons écrire :<br />

→<br />

→ →<br />

= A<br />

⎪⎧<br />

avec et [ ]<br />

A<br />

[ D]<br />

=<br />

D<br />

A ⎨ → C<br />

A<br />

D<br />

d C<br />

dt<br />

⎪⎩ δ<br />

A<br />

⎪⎧<br />

P ⎨<br />

⎪ ⎩ σ<br />

= →<br />

→<br />

A<br />

300


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5. Energie cinétique<br />

5.1. Définition<br />

L’énergie cinétique d’un système matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère<br />

fixe R0<br />

est définie par la quantité scalaire exprimée par la relation :<br />

5.2. Théorème de Koënig relatif à l’énergie cinétique<br />

→<br />

0 1 ⎛ 0 ⎞<br />

EC = ∫ ⎜V<br />

( M ) ⎟<br />

2 ⎝ ⎠<br />

S<br />

2<br />

dm<br />

Soit<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R ( O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

un repère orthonormé fixe. Le référentiel de Koënig (appelé aussi<br />

référentiel barycentrique)<br />

R G<br />

→ →<br />

→<br />

( G,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

est le référentiel lié au centre d’inertie du solide<br />

dont les axes sont parallèles à ceux du repère fixe.<br />

La vitesse du repère par rapport au repère R est nul :<br />

RG<br />

0<br />

→<br />

( R G<br />

/ R0<br />

→<br />

Ω ) = 0<br />

Nous allons chercher une relation entre :<br />

- L’énergie cinétique du système dans son mouvement par<br />

rapport à<br />

- L’énergie cinétique du système dans son mouvement par<br />

rapport à<br />

R 0<br />

RG<br />

et<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

o<br />

→<br />

x<br />

→<br />

z<br />

G<br />

→<br />

y<br />

(S)<br />

M .<br />

→<br />

y<br />

Soit M un point du système matériel. La loi de composition des vitesses donne :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

( M ) = V<br />

→<br />

G<br />

( G)<br />

+ V<br />

( M )<br />

en remplaçant cette expression dans celle de l’énergie cinétique nous aurons :<br />

E<br />

0<br />

C<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

1 ⎛<br />

⎜V<br />

2 ⎝<br />

→<br />

0<br />

or nous avons :<br />

( G)<br />

+ V<br />

→<br />

G<br />

⎞<br />

( M ) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

1 ⎛<br />

dm = ⎜V<br />

2 ⎝<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

G<br />

G d GM<br />

V M ) = dans le repère<br />

dt<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

dm +<br />

( RG<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

→<br />

G<br />

•<br />

V<br />

( M ) dm +<br />

1<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

⎛<br />

⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

G<br />

⎞<br />

( M ) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

dm<br />

E<br />

0<br />

C<br />

=<br />

1 ⎛<br />

⎜V<br />

2 ⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

dm + V<br />

d<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

( G)<br />

•<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

1<br />

GMdm +<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

⎛<br />

⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

G<br />

⎞<br />

( M ) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

dm<br />

nous avons aussi par définition du centre d’inertie que :<br />

−−→<br />

→<br />

∫ GMdm = 0<br />

S<br />

301


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’expression de l’énergie cinétique devient :<br />

E<br />

0<br />

C<br />

=<br />

1 ⎛<br />

⎜V<br />

2 ⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

1<br />

dm +<br />

2<br />

∫<br />

S<br />

⎛<br />

⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

G<br />

⎞<br />

( M ) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

dm<br />

qui s’écrit aussi sous la forme réduite :<br />

E<br />

0<br />

C<br />

→<br />

1 ⎛ 0 ⎞<br />

= ⎜V<br />

( G)<br />

⎟ dm<br />

2<br />

∫<br />

⎝ ⎠<br />

2<br />

S<br />

+<br />

E<br />

G<br />

C<br />

L’énergie cinétique du système (S) en mouvement quelconque par rapport au repère<br />

R 0<br />

est<br />

égale à l’énergie cinétique du système dans son mouvement autour de son centre d’inertie G<br />

augmentée de l’énergie cinétique du centre d’inertie affecté de la masse totale du système.<br />

Cette relation constitue le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique.<br />

5.3 Solide indéformable en mouvement quelconque<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

Soit R O,<br />

x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O , x , y , z ) un repère lié à un<br />

solide indéformable et de centre de d’inertie G.<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1 1<br />

Le solide est en mouvement quelconque tel que O ∈ ( ) . La vitesse de rotation du repère<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

par rapport au repère R est : Ω<br />

1<br />

S<br />

Soit M un point quelconque du solide, nous avons par la cinématique du solide :<br />

→<br />

→<br />

→ −−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( M ) V ( O1<br />

) + Ω1<br />

∧ O1<br />

= M<br />

L’énergie cinétique du solide (S) est donnée par :<br />

R 1<br />

E<br />

E<br />

0<br />

C<br />

0<br />

C<br />

=<br />

=<br />

∫<br />

S<br />

1 ⎛<br />

⎜V<br />

2 ⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( M ) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

dm =<br />

∫<br />

S<br />

1 ⎛<br />

⎜V<br />

2 ⎝<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

( O ) + Ω<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1 ⎛ ⎞⎛<br />

−−→<br />

0<br />

0<br />

0 ⎞<br />

∫ ⎜V<br />

( M ) ⎟⎜V<br />

( O1<br />

) + Ω ∧ O1M<br />

⎟dm<br />

2 ⎝ ⎠⎝<br />

1<br />

⎠<br />

S<br />

1<br />

−−→<br />

⎞<br />

∧ O M ⎟<br />

⎠<br />

1<br />

2<br />

dm<br />

→<br />

0<br />

= V<br />

( O )<br />

1<br />

→<br />

1 ⎛ 0<br />

•<br />

∫ ⎜V<br />

2<br />

S ⎝<br />

⎞<br />

( M ) ⎟dm<br />

+<br />

⎠<br />

∫<br />

S<br />

1<br />

V<br />

2<br />

→<br />

0<br />

( M ) •<br />

→<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

= 1 0<br />

0<br />

0 1<br />

V ( O ) • mV ( G)<br />

+ Ω •<br />

∫ O M ∧V<br />

0<br />

1<br />

1 1<br />

( M ) dm<br />

2<br />

2<br />

S<br />

→<br />

⎛<br />

−−→<br />

0 ⎞<br />

⎜Ω1<br />

∧ O1M<br />

⎟dm<br />

⎝ ⎠<br />

L’expression du moment cinétique déjà développée auparavant est donnée par :<br />

→<br />

∫<br />

0<br />

0<br />

σ ( O ) = O M ∧V<br />

( M ) dm<br />

1<br />

S<br />

−−→<br />

1<br />

→<br />

302


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Nous avons alors l’énergie cinétique en fonction du moment cinétique du solide:<br />

0<br />

E C<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

1 0<br />

0<br />

0 0<br />

= V ( O1<br />

) • mV ( G)<br />

+ Ω1<br />

• σ ( O1<br />

)<br />

2<br />

Si le centre du repère R est confondu avec le centre d’inertie G du solide : O ≡ G alors :<br />

O1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

E C<br />

1 →<br />

→ →<br />

⎛ 0 ⎞ 0<br />

= m⎜V<br />

( G)<br />

⎟ + Ω<br />

0<br />

1<br />

• σ ( G)<br />

2 ⎝ ⎠<br />

2<br />

→<br />

0<br />

0<br />

Le moment cinétique en G s’écrit : σ ( G)<br />

I Ω on aboutit à la relation finale :<br />

= G<br />

→<br />

1<br />

E<br />

0<br />

C<br />

→<br />

2 → →<br />

1 ⎛ 0 ⎞ 0T<br />

0<br />

= m⎜V<br />

( G)<br />

⎟ + Ω1<br />

• I<br />

G<br />

Ω1<br />

2<br />

⎝<br />

⎠<br />

2<br />

1 ⎛ →<br />

0 ⎞<br />

m ⎜V<br />

( G)<br />

⎟ : est l’énergie cinétique de translation du solide<br />

2 ⎝ ⎠<br />

→ →<br />

0T<br />

0<br />

Ω1<br />

•<br />

G<br />

Ω1<br />

I : est l’énergie cinétique de rotation du solide autour de son centre d’inertie G.<br />

L’énergie cinétique totale d’un solide en mouvement quelconque dans l’espace est égale à la<br />

somme de l’énergie cinétique de translation de son centre d’inertie affectée de la masse du<br />

solide et de l’énergie cinétique de rotation autour du centre d’inertie.<br />

Cette relation constitue le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique.<br />

L’énergie cinétique totale peut s’exprimer en fonction des torseurs cinématiques et cinétique<br />

au point O 1<br />

en la mettant sous la forme :<br />

0<br />

E C<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞<br />

1 ⎜ Ω1<br />

⎟<br />

⎜ →<br />

2 ⎟<br />

0<br />

⎝V<br />

( M ) ⎠<br />

= •<br />

→<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜mV<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎝ σ ( O1<br />

) ⎠<br />

L’énergie cinétique totale d’un solide est égale à la moitié du produit scalaire du torseur<br />

O1<br />

0<br />

cinématique par le torseur cinétique au point exprimé dans le repère R .<br />

E<br />

0<br />

C<br />

1<br />

=<br />

2<br />

[ V ]<br />

O<br />

• 1<br />

[ C] O 1<br />

303


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5.4. Solide indéformable en mouvement de rotation pur<br />

Dans le cas où le solide est en mouvement de rotation pur autour d’un axe<br />

Δ<br />

passant par un<br />

→ →<br />

0<br />

point du solide et de vecteur unitaire u tel que : Δ ( , u ) avec Ω = Ω u .Le moment<br />

O S<br />

O S<br />

→<br />

S<br />

→<br />

d’inertie par rapport à cet axe est donné par :<br />

I<br />

→<br />

T<br />

Δ<br />

= u<br />

. I<br />

OS<br />

→<br />

. u<br />

(S)<br />

→<br />

z<br />

O S →<br />

→ M . y<br />

x<br />

→<br />

u<br />

(Δ)<br />

L’énergie cinétique de rotation pure est donnée par :<br />

E<br />

1 → →<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

0 0 T<br />

0 1 T 1 2 T 1<br />

C<br />

Ω<br />

S<br />

. I<br />

O<br />

. Ω = Ωu<br />

I Ω u = Ω u I u = Ω<br />

S S<br />

.<br />

O<br />

.<br />

.<br />

S<br />

O<br />

.<br />

2 .<br />

S<br />

= I<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

Δ<br />

5.5. Energie cinétique d’un ensemble de solides<br />

L’énergie cinétique d’un ensemble de solides (S) constitué des solides (S 1 , S 2 , S 3 , ……S n )<br />

dans un repère<br />

R 0<br />

est égale à la somme des énergies cinétiques de chaque solide exprimée<br />

dans le même repère.<br />

0<br />

0<br />

E<br />

C<br />

( S)<br />

= ∑ EC<br />

( Si<br />

)<br />

i<br />

304


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice 01:<br />

Une barre homogène de longueur OM = L , de centre G est en mouvement dans un repère<br />

→ → →<br />

R0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R1<br />

2<br />

orthonormé fixe O,<br />

x , y , z ) . On défini deux repères et R tel que :<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère mobile tel que : z et θ = x , x ) = ( y , y ) ;<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

1<br />

≡ y 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1 2<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié à la barre tel que : y et α = x , x ) = ( z , z ) ;<br />

On prendra<br />

R 1<br />

comme repère de projection et comme repère relatif.<br />

Déterminer :<br />

0<br />

1. La vitesse de rotation instantanée du repère par rapport à R ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Ω<br />

2<br />

R2<br />

0<br />

2. La vitesse V 0 ( M ) et l’accélération γ<br />

0 ( M ) par dérivation ;<br />

→<br />

→<br />

3. La vitesse V 0 ( G ) et l’accélération γ<br />

0 ( G ) par composition de mouvement ;<br />

→<br />

σ<br />

1<br />

4. Le moment cinétique 0 ( O ) au point O exprimé dans R ;<br />

→<br />

δ<br />

1<br />

5. Le moment dynamique 0 ( O ) au point O exprimé dans R ;<br />

6. L’énergie cinétique de la barre.<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

M<br />

→<br />

x 2<br />

G<br />

•<br />

→ →<br />

y 1 ≡ y 2<br />

→<br />

x<br />

0<br />

O<br />

θ<br />

α<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y 0<br />

306


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

→<br />

Ω 0 2<br />

R2<br />

0<br />

1. Vitesse de rotation instantanée du repère par rapport à R ;<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

→<br />

1<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

• →<br />

= −α<br />

y<br />

1<br />

⎧ 0<br />

• →<br />

•<br />

⎪<br />

1=<br />

⎨−α<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ θ<br />

1<br />

+ θ z<br />

→ • →<br />

Ω1 y1<br />

0<br />

, = −α<br />

car :<br />

→ → →<br />

x1 ∧ z1<br />

= − y1<br />

→<br />

2. Vitesse V 0 ( M ) et l’accélération γ<br />

0 ( M ) par dérivation ;<br />

2.1. Vitesse<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−→<br />

−→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

d OM d OM<br />

−→<br />

0<br />

( M ) = = + Ω1<br />

∧ OM<br />

dt dt<br />

→<br />

Nous avons :<br />

⎧2L<br />

cosα<br />

−→<br />

⎪<br />

OM = ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩2Lsinα<br />

1<br />

⇒<br />

•<br />

⎧<br />

−→<br />

⎪ − 2Lα<br />

sinα<br />

1<br />

d OM<br />

= ⎨ 0<br />

dt<br />

•<br />

⎪ 2Lα<br />

cosα<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( M ) =<br />

•<br />

⎧ ⎪ − 2Lα<br />

sinα<br />

⎨ 0 +<br />

•<br />

⎪ 2Lα<br />

cosα<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

⎧2L<br />

cosα<br />

⎪<br />

⎨ 0 =<br />

⎪<br />

R ⎩2Lsinα<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − 2Lα<br />

sinα<br />

•<br />

⎨ 2Lθ<br />

cosα<br />

•<br />

⎪ 2Lα<br />

cosα<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

2.2. Accélération<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) =<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( M )<br />

dt<br />

=<br />

d<br />

→<br />

1<br />

0<br />

→<br />

V ( M )<br />

+ Ω<br />

dt<br />

0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

∧V<br />

( M )<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) =<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

⎪−<br />

2L(<br />

α sinα<br />

+ α cosα)<br />

••<br />

• •<br />

⎪<br />

⎨ 2L(<br />

θ cosα<br />

−θ α sinα)<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪ 2L(<br />

α cosα<br />

−α<br />

sinα)<br />

R ⎩<br />

1<br />

+<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − 2Lα<br />

sinα<br />

•<br />

⎨ 2Lθ<br />

cosα<br />

•<br />

⎪ 2Lα<br />

cosα<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) =<br />

⎧ ⎛<br />

••<br />

• •<br />

2 2 ⎞<br />

⎪−<br />

2L⎜α<br />

sinα<br />

+ ( α + θ )cosα<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

••<br />

• •<br />

⎪<br />

⎨ 2L(<br />

θ cosα<br />

− 2θ α sinα)<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪ 2L(<br />

α cosα<br />

−α<br />

sinα<br />

)<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

307


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

308<br />

A.KADI<br />

3. Vitesse et accélération par composition de mouvement ;<br />

)<br />

(<br />

V 0 G<br />

→<br />

)<br />

(<br />

0 G<br />

→<br />

γ<br />

3.1. Vitesse<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

G<br />

V<br />

G<br />

V<br />

G<br />

V<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

= , avec : ⇒<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

−→<br />

α<br />

α<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

1<br />

L<br />

L<br />

R<br />

OG<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

=<br />

=<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

1<br />

L<br />

L<br />

R<br />

dt<br />

OG<br />

d<br />

G<br />

V<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

•<br />

•<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1 α<br />

θ<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

OG<br />

O<br />

V<br />

G<br />

V<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

α<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

α<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

L<br />

L<br />

L<br />

R<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

G<br />

V<br />

3.2. Accélération<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

G<br />

G<br />

G<br />

G<br />

c<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

+<br />

= γ<br />

γ<br />

γ<br />

γ<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

+<br />

−<br />

=<br />

=<br />

•<br />

••<br />

•<br />

••<br />

→<br />

→<br />

)<br />

sin<br />

cos<br />

(<br />

0<br />

)<br />

cos<br />

sin<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

γ<br />

L<br />

L<br />

R<br />

dt<br />

G<br />

V<br />

d<br />

G<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

+ Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

+<br />

=<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

OG<br />

OG<br />

dt<br />

d<br />

O<br />

G<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1 )<br />

(<br />

)<br />

( γ<br />

γ avec : et<br />

→<br />

→<br />

= 0<br />

)<br />

(<br />

0 O<br />

γ<br />

dt<br />

d<br />

dt<br />

d<br />

→<br />

→<br />

Ω<br />

=<br />

Ω<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

L<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

G<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

+<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

••<br />

•<br />

•<br />

•<br />

••<br />

→<br />

0<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1 α<br />

θ<br />

α<br />

θ<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

θ<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

γ<br />

L<br />

R<br />

L<br />

L<br />

R<br />

R<br />

G<br />

V<br />

G<br />

c<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

∧<br />

Ω<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

sin<br />

2<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

2<br />

)<br />

(<br />

2<br />

)<br />

(<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1 α<br />

αθ<br />

α<br />

α<br />

α<br />

α<br />

θ<br />

γ


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La somme de tous les termes donne :<br />

⎧ ••<br />

•<br />

•<br />

2 ⎧<br />

⎪<br />

⎪ −<br />

2<br />

− L(<br />

α sinα<br />

+ α cosα)<br />

Lθ<br />

cosα<br />

⎧ 0<br />

→<br />

⎪<br />

••<br />

• •<br />

0<br />

⎪<br />

γ ( G)<br />

= ⎨ 0<br />

+ ⎨ Lθ<br />

cosα<br />

+ ⎨−<br />

2Lαθ<br />

sinα<br />

••<br />

•<br />

⎪<br />

2 ⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

L(<br />

α cosα<br />

−α<br />

sinα)<br />

0<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

⎩<br />

R ⎩<br />

R<br />

1<br />

1<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) =<br />

⎧ ⎛<br />

••<br />

• •<br />

2 2 ⎞<br />

⎪−<br />

L⎜α<br />

sinα<br />

+ ( α + θ )cosα<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

••<br />

• •<br />

⎪<br />

⎨ L(<br />

θ cosα<br />

− 2θ α sinα)<br />

•<br />

⎪ ••<br />

2<br />

⎪ L(<br />

α cosα<br />

−α<br />

sinα<br />

)<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

→<br />

σ<br />

1<br />

4. Moment cinétique 0 ( O ) au point O exprimé dans R ;<br />

Le moment cinétique au point O dans le repère R 0<br />

est donné par :<br />

→<br />

→<br />

-→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

σ ( O)<br />

= I<br />

G<br />

Ω + OG∧<br />

mV ( G)<br />

2<br />

→<br />

avec :<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎢0<br />

0 0 ⎥<br />

⎢ 2<br />

mL ⎥<br />

I G<br />

= ⎢0<br />

0 ⎥ et<br />

⎢ 3 ⎥<br />

2<br />

⎢ mL ⎥<br />

⎢0<br />

0<br />

⎣ 3<br />

⎥<br />

⎦<br />

→<br />

0<br />

Ω2<br />

=<br />

R<br />

1<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

α<br />

•<br />

θ<br />

⎡<br />

⎢0<br />

→ ⎢<br />

0<br />

σ ( O ) = ⎢0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢0<br />

R ⎣<br />

1<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

0<br />

2<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

⎧ 0<br />

⎥ •<br />

⎪<br />

0 ⎥ ⎨−α<br />

⎥<br />

•<br />

2<br />

⎪<br />

mL ⎥ R ⎩ θ<br />

1<br />

3<br />

⎥<br />

⎦<br />

+<br />

⎧L<br />

cosα<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩Lsinα<br />

1<br />

∧<br />

m<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − Lα<br />

sinα<br />

•<br />

⎨ Lθ<br />

cosα<br />

•<br />

⎪ Lα<br />

cosα<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

⎧<br />

⎪ 0<br />

→<br />

⎪ 2 •<br />

0 mL<br />

σ ( O)<br />

= ⎨−<br />

α<br />

⎪ 3<br />

2 •<br />

⎪ mL<br />

θ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

3<br />

1<br />

+<br />

•<br />

⎧ 2<br />

⎪<br />

− mL θ cosα<br />

sinα<br />

•<br />

2<br />

⎨ − mL α<br />

•<br />

⎪ 2 2<br />

mL θ cos α<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

⎧ •<br />

2<br />

⎪ − mL θ cosα<br />

sinα<br />

⎪ 2<br />

4mL<br />

•<br />

= ⎨−<br />

α<br />

⎪ 3<br />

•<br />

⎪ 2 1 2<br />

mL θ ( + cos α )<br />

R<br />

⎩ 3<br />

1<br />

309


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

δ<br />

1<br />

5. Moment dynamique 0 ( O ) au point O exprimé dans R ;<br />

d<br />

Ω<br />

Il est déterminé à partir du moment cinétique par la relation :<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

1 0<br />

→ →<br />

0 d σ ( O)<br />

d σ ( O)<br />

0 0<br />

δ ( O)<br />

= = ∧ Ω1<br />

∧ σ ( O)<br />

dt dt<br />

1<br />

→<br />

0<br />

σ ( O)<br />

=<br />

dt<br />

R<br />

⎧<br />

⎪−<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

1<br />

→<br />

••<br />

• •<br />

• •<br />

2⎛<br />

2<br />

2 ⎞<br />

mL ⎜θ<br />

cosα<br />

sinα<br />

−θ α sin α + θ α cos α ⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

2<br />

4mL<br />

••<br />

− α<br />

3<br />

••<br />

• •<br />

2 ⎛ 1 2<br />

⎞<br />

mL ⎜θ ( + cos α) − 2θα<br />

sin α cosα<br />

) ⎟<br />

⎝ 3<br />

⎠<br />

2<br />

⎧<br />

⎧ 4mL<br />

• •<br />

•<br />

2<br />

⎪−<br />

α θ<br />

⎧0<br />

⎪−<br />

mL θ cosα<br />

sinα<br />

⎪<br />

⎪<br />

3<br />

→<br />

2 •<br />

•<br />

0 ⎪ 4mL<br />

2 2<br />

∧ σ ( O)<br />

= ⎨0∧<br />

⎨−<br />

α = ⎨−<br />

mL θ cosα<br />

sin<br />

•<br />

⎪ ⎪ 3<br />

⎪<br />

•<br />

⎩θ<br />

0<br />

⎪ 2 1 2<br />

mL θ ( + cos α ) ⎪<br />

R<br />

⎩ 3<br />

⎪<br />

1<br />

R ⎩<br />

→<br />

0<br />

1<br />

α<br />

on déduit :<br />

→<br />

0<br />

δ ( O)<br />

=<br />

R<br />

⎧ 2 ⎛<br />

⎪ − mL ⎜<br />

⎪ ⎝<br />

⎪ 2 ⎛<br />

⎨−<br />

mL ⎜<br />

⎪ ⎝<br />

⎪ 2 ⎛<br />

⎪ mL ⎜<br />

⎩ ⎝<br />

1<br />

••<br />

• •<br />

• •<br />

• •<br />

2<br />

2 4 ⎞<br />

θ cosα<br />

sinα<br />

−θ α sin α + θ α cos α − α θ ⎟<br />

3 ⎠<br />

•<br />

4<br />

••<br />

2 ⎞<br />

α+<br />

θ cosα<br />

sinα<br />

⎟<br />

3<br />

⎠<br />

••<br />

1<br />

θ ( + cos<br />

3<br />

• •<br />

2<br />

α) − 2θα<br />

sin α<br />

1<br />

⎞<br />

cosα<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

6. Energie cinétique de la barre.<br />

L’énergie cinétique totale a pour expression :<br />

E<br />

→<br />

2<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞ 0<br />

C<br />

= m⎜V<br />

( G)<br />

⎟ + Ω<br />

2<br />

.I G<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

2 ⎛ 2<br />

mL ⎜α<br />

sin<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

2<br />

. Ω<br />

•<br />

•<br />

2 2 2 2 2<br />

α + θ cos α + α cos<br />

⎡0<br />

⎞ 1<br />

• •<br />

⎛ ⎞<br />

α ⎟ +<br />

⎢<br />

⎜0,<br />

−α,<br />

θ ⎟<br />

⎠ ⎝ ⎠⎢<br />

0<br />

2<br />

⎢⎣<br />

0<br />

mL<br />

0<br />

2<br />

0<br />

/ 3<br />

0 ⎤⎛<br />

0 ⎞<br />

⎜ • ⎟<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎜−α<br />

⎟<br />

•<br />

2<br />

mL / 3⎥⎜<br />

⎟<br />

⎦⎝<br />

θ ⎠<br />

310


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

2 ⎛<br />

mL ⎜α<br />

⎝<br />

•<br />

2<br />

+<br />

•<br />

2<br />

2 2 ⎞ mL<br />

θ cos α ⎟ + α<br />

⎠ 6<br />

•<br />

2<br />

+<br />

2<br />

mL<br />

θ<br />

6<br />

•<br />

2<br />

E C<br />

=<br />

•<br />

2 2 2 mL<br />

mL α +<br />

3 2<br />

2<br />

•<br />

2 ⎛ 1<br />

θ ⎜ + cos<br />

⎝ 3<br />

2<br />

⎞<br />

α ⎟<br />

⎠<br />

Exercice 02:<br />

On considère le système matériel suivant (Σ)<br />

compsé des solides suivants:<br />

(S 1 ) : est un coulisseau de masse m 1 , de centre de masse G 1 lié au repère R 1 en mouvement<br />

→ → →<br />

0( 0 0 0<br />

de translation rectiligne par rappport à un repère fixe R x , y , z ) suivant l’axe .<br />

(S2) : est une barre uniforme de longueur 2b , de masse m 2 , de centre de masse G 2 lié à R 2<br />

(S 3 ) : est un disque homogène de rayon R , de masse m 3 ,de centre de masse G 3 lié à R 3<br />

→<br />

z 0<br />

⎡A2<br />

0 0 ⎤<br />

On donne les tenseurs d’inertie : I G 2(S2<br />

) = ⎢ 0 B2<br />

0 ;<br />

⎢<br />

⎢ 0 0 C2<br />

⎥ ⎥⎥ ⎣<br />

⎦ R<br />

2<br />

I G 3<br />

(S<br />

3<br />

⎡A3<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

C<br />

0<br />

3<br />

0 ⎤<br />

0<br />

C3<br />

⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

3<br />

1. Déterminer les vitesses et les accélérations des points G avec i = 1,2,3<br />

i<br />

→<br />

Gi<br />

( S i 0<br />

2. Calculer les moments cinétiques σ / R ) des S ) en G<br />

i<br />

avec i = 1,2, 3 ;<br />

→<br />

Gi<br />

( S i 0<br />

3. Calculer les moments dynamiques δ / R ) des ( S ) en G avec i = 1,2, 3 ;<br />

4. En déduire le moment dynamique du système au point G : Σ / exprimé dans R ;<br />

5. Calculer l’énergie cinétique du système E c<br />

Σ / R ) par rapport à .<br />

(<br />

0<br />

( i<br />

i<br />

i<br />

→<br />

1<br />

δ<br />

G1( R0<br />

)<br />

0<br />

R 0<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

z<br />

2<br />

(S 1 )<br />

G 1<br />

O<br />

•<br />

G 2<br />

→<br />

y 1<br />

•<br />

α (S 2 )<br />

α<br />

G 3<br />

β<br />

(S 3 )<br />

→<br />

z<br />

3<br />

→<br />

y<br />

→<br />

y<br />

0<br />

0<br />

311


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R x , y , z ) repère fixe ; et aussi repère de projection<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

≡<br />

0<br />

R x , y , z ) : z 1<br />

z et<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

≡<br />

0<br />

R x , y , z ) : x 2<br />

x et<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω ≡ 0<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω2 ≡ α x0<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

3 3 3<br />

R x , y , z ) : x 3<br />

− x et<br />

→<br />

→<br />

≡<br />

0<br />

→ • →<br />

0<br />

Ω3 ≡ − β x0<br />

−−→<br />

=<br />

OI<br />

⎧ 0<br />

⎧ 0<br />

⎧0<br />

−−→<br />

−−→<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨b<br />

cosα ; OG1<br />

= ⎨ 0 ; OG2<br />

= ⎨bsinα<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

+ 2b<br />

cosα<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

+ bcosα<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎧0<br />

−−→<br />

⎪<br />

OG3<br />

= ⎨2b<br />

sinα<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

0<br />

1. Vitesses et accélérations absolues des points G i<br />

avec i = 1,2,3<br />

1.1. Vitesses par dérivation:<br />

−−→ ⎧0<br />

→<br />

0<br />

0 d OG1<br />

⎪<br />

V ( G1<br />

) = = ⎨0<br />

;<br />

dt<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

2bα sinα<br />

→<br />

0<br />

V<br />

d<br />

( G ) =<br />

3<br />

0<br />

dt<br />

−−→<br />

OG<br />

3<br />

=<br />

0<br />

R<br />

0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨2b<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

•<br />

cos<br />

α<br />

α<br />

1.1. Accélération par dérivation:<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G<br />

2<br />

) =<br />

d<br />

0<br />

−−→<br />

OG<br />

dt<br />

2<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

= ⎨bα<br />

cosα<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

bα<br />

sinα<br />

0<br />

→<br />

0<br />

γ ( G ) =<br />

→<br />

0<br />

1<br />

γ ( G ) =<br />

→<br />

2<br />

0<br />

γ ( G ) =<br />

3<br />

d<br />

d<br />

d<br />

0<br />

0<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G1<br />

)<br />

=<br />

dt<br />

R<br />

0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

••<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎩−<br />

2bα<br />

sinα<br />

− 2bα<br />

cosα<br />

→ ⎧ 0<br />

0<br />

•<br />

V ( G ⎪<br />

••<br />

2<br />

)<br />

2<br />

= ⎨ bα<br />

cosα<br />

− bα<br />

sinα<br />

dt<br />

••<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

R ⎩−<br />

bα<br />

sinα<br />

− bα<br />

cosα<br />

→<br />

0<br />

V ( G<br />

dt<br />

3<br />

0<br />

⎧ 0<br />

•<br />

) ⎪<br />

••<br />

2<br />

= ⎨2bα<br />

cosα<br />

− 2bα<br />

sinα<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

312


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

Gi<br />

( S i 0<br />

2. Moments cinétiques σ / R ) des S ) en G avec i = 1,2, 3 ;<br />

Les moments cinétiques des trois solides en leurs centres d’inertie sont donnés par :<br />

→<br />

G1<br />

1<br />

0<br />

−−−→<br />

0<br />

0<br />

σ ( S / R ) = G G ∧ m V ( G ) + I Ω = 0<br />

→<br />

σ<br />

G2<br />

→<br />

σ<br />

G3<br />

1<br />

1<br />

1<br />

→<br />

1<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

( i<br />

•<br />

•<br />

⎡A<br />

−−−→ →<br />

→ 2<br />

0 0 ⎤ ⎜α<br />

⎟ ⎜ A2<br />

α ⎟<br />

• →<br />

0<br />

0<br />

= G ∧ + Ω =<br />

⎢<br />

⎥ ⎜ ⎟<br />

=<br />

⎜ ⎟<br />

2G2<br />

m2<br />

V ( G2<br />

) I<br />

2 2<br />

0 B2<br />

0 0 0 = A2<br />

α<br />

0<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

)<br />

⎢<br />

⎥<br />

x<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎢⎣<br />

0 0 C ⎥<br />

2 ⎦ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

•<br />

•<br />

⎡A<br />

−−−→ →<br />

→ 3<br />

0 0 ⎤ ⎜ β ⎟ ⎜ A3<br />

β ⎟<br />

• →<br />

0<br />

0<br />

= G ∧ + Ω =<br />

⎢<br />

⎥ ⎜ ⎟<br />

=<br />

⎜ ⎟<br />

3G3<br />

m3<br />

V ( G3<br />

) I<br />

3 3<br />

0 B3<br />

0 0 0 = −A3<br />

β<br />

0<br />

( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

⎢<br />

⎥<br />

x<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎢⎣<br />

0 0 C ⎥<br />

3 ⎦ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

i<br />

⎛<br />

⎛ −<br />

⎞<br />

⎞<br />

⎛<br />

⎛ −<br />

⎞<br />

⎞<br />

→<br />

Gi<br />

( S i 0<br />

3. Moments dynamiques δ / R ) des S ) en G avec i = 1,2, 3 ;<br />

Les moments dynamiques se déduisent par la dérivée des moments cinétiques :<br />

→<br />

δ ( S<br />

δ<br />

G1<br />

→<br />

G2<br />

→<br />

δ<br />

G3<br />

1<br />

/ R<br />

0<br />

→<br />

1<br />

d σ ( / )<br />

→<br />

G1<br />

S1<br />

R0<br />

) = = 0<br />

dt<br />

→<br />

2<br />

d σ<br />

•• →<br />

G2<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

)<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = = A2<br />

α x0<br />

dt<br />

→<br />

3<br />

d σ<br />

•• →<br />

G3<br />

( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

( S3<br />

/ R0<br />

) = = −A3<br />

β x0<br />

dt<br />

4. Moment dynamique du système au point G : / R ) exprimé dans R ;<br />

( i<br />

1<br />

i<br />

→<br />

δ<br />

G1( ∑ 0<br />

0<br />

Le moment dynamique du système au point<br />

des trois solides au même point.<br />

G 1<br />

est égal à la somme des moments dynamiques<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

G1 G<br />

G<br />

G<br />

R<br />

∑<br />

δ ( / R0<br />

) = δ<br />

1(<br />

S1<br />

/ R0<br />

) + δ<br />

1(<br />

S2<br />

/ R0<br />

) + δ<br />

1(<br />

S3<br />

/<br />

0<br />

)<br />

→<br />

δ<br />

G1<br />

(<br />

∑<br />

/ R ) =<br />

0<br />

d<br />

0<br />

→<br />

σ<br />

G1(<br />

S1<br />

dt<br />

/ R0<br />

) d<br />

+<br />

0<br />

→<br />

σ<br />

G1(<br />

S<br />

dt<br />

2<br />

/ R0<br />

) d<br />

+<br />

0<br />

→<br />

σ<br />

G1(<br />

S<br />

dt<br />

3<br />

/ R )<br />

0<br />

d<br />

→<br />

σ<br />

G1( S1<br />

/ R0<br />

)<br />

dt<br />

0<br />

→<br />

= 0<br />

313


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Calculons d’abord les moments cinétiques des solides ( S 2<br />

) et ) en G en utilisant la<br />

formule de transport :<br />

→<br />

→<br />

−−−→ →<br />

G1 G<br />

G<br />

0<br />

σ ( S2<br />

/ R0<br />

) = σ<br />

2<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) + G1G2<br />

∧ m2<br />

V (<br />

2<br />

)<br />

⎛<br />

⎜<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎛<br />

⎜<br />

( S 3 1<br />

→<br />

• →<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

2 2<br />

2<br />

G1 ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = A2<br />

α x0<br />

+ ⎜ bsinα<br />

⎟ ∧ m2<br />

⎜ bα<br />

cosα<br />

⎟ = ⎜ A2<br />

α+<br />

m2b<br />

α(cos<br />

α − sin α)<br />

⎟ x0<br />

•<br />

σ<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

bcosα<br />

⎠<br />

→<br />

•<br />

•<br />

→<br />

2<br />

G1( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = ⎜ A2<br />

α + m2b<br />

α cos 2α<br />

⎟ x0<br />

σ<br />

→<br />

→<br />

−−−→ →<br />

G1 G<br />

G<br />

⎞<br />

⎠<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

bα<br />

sinα<br />

⎠<br />

0<br />

σ ( S3<br />

/ R0<br />

) = σ<br />

3<br />

( S3<br />

/ R0<br />

) + G1G3<br />

∧ m3<br />

V (<br />

3)<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝−<br />

2b<br />

cosα<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎜<br />

→<br />

• →<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

2 2<br />

G1( S3<br />

/ R0<br />

) = −A3<br />

β x0<br />

+ ⎜ 2b<br />

sinα<br />

∧ m3⎜2bα<br />

cosα<br />

⎟ = ⎜−<br />

A3<br />

β + 4m3b<br />

α cos α ⎟ x0<br />

σ<br />

⎛<br />

⎝<br />

→<br />

•<br />

•<br />

→<br />

2 2<br />

G1( S3<br />

/ R0<br />

) = ⎜−<br />

A3<br />

β + 4m3b<br />

α cos α ⎟ x0<br />

σ<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎜<br />

⎝<br />

Les moments dynamiques se déduisent facilement par dérivation des deux expressions:<br />

→<br />

d 0<br />

σ<br />

1(<br />

S<br />

2<br />

/ R0<br />

) ⎛<br />

⎞<br />

G<br />

dt ⎝<br />

α<br />

⎠<br />

→<br />

••<br />

••<br />

•<br />

→<br />

2<br />

2<br />

= ⎜ A2<br />

α+<br />

m2b<br />

( α cos 2α<br />

− 2α<br />

sin 2 ) ⎟ x0<br />

d 0<br />

σ<br />

1(<br />

S3<br />

/ R0<br />

) ⎛<br />

⎞<br />

G<br />

dt ⎝<br />

α<br />

⎠<br />

••<br />

••<br />

•<br />

→<br />

2 2<br />

2 2<br />

= ⎜−<br />

A3<br />

β + 4m3b<br />

α cos α − 8m3b<br />

α sinα<br />

cos ⎟ x0<br />

⎛<br />

••<br />

••<br />

•<br />

→<br />

2 2<br />

2 2<br />

= ⎜−<br />

A3 β + 4m3b<br />

α cos α − 4m3b<br />

α sin 2α<br />

⎟ x0<br />

⎝<br />

Le moment dynamique du système est la somme des deux expressions :<br />

→<br />

δ<br />

G1<br />

(<br />

∑<br />

/ R<br />

0<br />

⎛<br />

••<br />

) = ⎜ A2<br />

α+<br />

m2b<br />

⎝<br />

⎛<br />

••<br />

+ ⎜−<br />

A3<br />

β + 4m3b<br />

⎝<br />

⎛<br />

2<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

( α cos 2α<br />

− 2α<br />

sin 2α<br />

) ⎟ x<br />

⎠<br />

••<br />

2<br />

2<br />

α cos α − 4m b<br />

3<br />

2<br />

0<br />

0<br />

→<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

0<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎝<br />

•<br />

2 ⎞<br />

α sin 2α<br />

⎟ x<br />

⎠<br />

→<br />

•• ••<br />

••<br />

•<br />

••<br />

•<br />

→<br />

2<br />

2<br />

2 2 2<br />

G1 ( ∑ / R0<br />

) = ⎜ A2<br />

α−<br />

A3<br />

β + m2b<br />

( α cos 2α<br />

− 2α<br />

sin 2α<br />

) + 4m3b<br />

( α cos α −α<br />

sin 2α<br />

) ⎟ x0<br />

δ<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎠<br />

314


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5. Energie cinétique du système E c<br />

Σ / R ) par rapport à .<br />

(<br />

0<br />

R 0<br />

E<br />

∑<br />

( / R0 ) = EC<br />

( S1<br />

/ R0<br />

) + EC<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) EC<br />

( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

C<br />

+<br />

E<br />

C<br />

2<br />

→<br />

→<br />

•<br />

1 ⎛ 0 ⎞ 1 0T<br />

0 1 2 2<br />

( S1 / R0<br />

) = m1<br />

⎜V<br />

( G1<br />

) ⎟ + Ω1<br />

. I<br />

G1.<br />

Ω1<br />

= m1<br />

4b<br />

α sin<br />

2 ⎝ ⎠ 2<br />

2<br />

→<br />

2<br />

α<br />

E<br />

C<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω<br />

2<br />

→<br />

→<br />

•<br />

1 ⎛ 0 ⎞ 1<br />

0 1 2 2 1<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = m2<br />

⎜V<br />

( G2<br />

) ⎟ + . I<br />

G2.<br />

Ω<br />

2<br />

= m2b<br />

α + A2<br />

α<br />

2 ⎝ ⎠ 2<br />

2 2<br />

•<br />

2<br />

E<br />

C<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω3<br />

→<br />

→<br />

•<br />

1 ⎛ 0 ⎞ 1<br />

0 1 2 2 2 1<br />

( S3<br />

/ R0<br />

) = m3⎜V<br />

( G3)<br />

⎟ + . I<br />

G3.<br />

Ω3<br />

= m3<br />

4b<br />

α cos α + A3<br />

β<br />

2 ⎝ ⎠ 2<br />

2<br />

2<br />

•<br />

2<br />

•<br />

•<br />

•<br />

• •<br />

1 ⎛ 2<br />

2 2<br />

2<br />

2 2<br />

2 2<br />

E C<br />

( ∑ / R0 ) = ⎜b<br />

(4m1<br />

α sin α + m2<br />

α + 4m3<br />

α cos α)<br />

+ A2<br />

α + A3<br />

β<br />

2 ⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

315


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice : 03<br />

Le système mécanique représenté ci-dessous est composé de deux solides.<br />

(S 1 ) : une barre de longueur OO 1 = L , de masse négligeable, maintenue à ses deux extrémités<br />

par des liaisons : sphériques O et cylindrique en O 1 (d’axe x ). Le disque (S2) a un rayon R et<br />

→<br />

1<br />

une masse m. La barre, lié au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

, est en rotation dans le plan vertical à une<br />

•<br />

→ → →<br />

→ →<br />

vitesse angulaire θ par rapport au repère fixe R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) autour de l’axe z 0 ≡ z 1<br />

. Le<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

≡<br />

2<br />

disque lié au repère R x , y , z ) , tourne autour de l’axe x 1<br />

x à une vitesse de rotation<br />

•<br />

ϕ . Le tenseur d’inertie du disque (S2) au point O 1 dans R 1<br />

est donné par :<br />

⎡A<br />

0<br />

I =<br />

⎢<br />

O<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

⎢<br />

0 C<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0<br />

1<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

C⎥⎦<br />

On prendra<br />

1 1<br />

R<br />

comme repère de projection.<br />

Déterminer :<br />

0<br />

1. La vitesse de rotation instantanée Ω du disque par rapport au repère fixe ;<br />

2. La vitesse et l’accélération du point O 1 par la cinématique du solide ;<br />

→<br />

2<br />

3. Le moment cinétique et le moment dynamique aux points O 1 et O par rapport à R 0<br />

;<br />

4. L’énergie cinétique du système<br />

5. Appliquer le théorème de la résultante dynamique au système<br />

6. Appliquer le théorème du moment dynamique au système au point O.<br />

O<br />

θ<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

y 2<br />

ϕ<br />

→<br />

y<br />

1<br />

R<br />

θ<br />

→<br />

z 1<br />

ϕ<br />

O 1<br />

O 1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

x<br />

0<br />

x 1 , x 2<br />

316


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Vecteur rotation instantanée du disque par rapport à R0<br />

et exprimé dans R1<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

ϕ<br />

→ →<br />

1 0<br />

= Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= ⎨0<br />

•<br />

⎪θ<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

2. Vitesse et accélération absolues du point O 1 dans R 1 par la cinématique du solide<br />

⎧L<br />

→<br />

→<br />

→ −→<br />

−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎪<br />

V ( O1<br />

) = V ( O)<br />

+ Ω1<br />

∧ OO1<br />

; comme OO1<br />

= ⎨0<br />

et<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

⎧0<br />

→<br />

0 ⎪<br />

Ω1<br />

= ⎨0<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

alors :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

1<br />

( O ) = Ω<br />

1<br />

⎧0<br />

−→<br />

⎪<br />

∧ OO1<br />

= ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

∧<br />

•<br />

⎧L<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

=<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

⎨Lθ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0 0 → → →<br />

Ω<br />

--<br />

--→<br />

0 d<br />

1<br />

0 0<br />

O1<br />

) = ( O)<br />

+ ∧ OO1<br />

+ Ω1<br />

∧ Ω1<br />

∧ OO1<br />

γ ( γ<br />

on a :<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

1<br />

0<br />

d Ω<br />

dt<br />

=<br />

→<br />

0<br />

1<br />

1<br />

d Ω<br />

dt<br />

⎧0<br />

⎧L<br />

⎪ ⎪<br />

γ ( O<br />

1)<br />

= ⎨0<br />

∧ ⎨0<br />

••<br />

⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

R ⎩0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

1<br />

+<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

1<br />

∧<br />

•<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

⎨Lθ<br />

=<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

Lθ<br />

••<br />

⎨ Lθ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

3. Moment cinétique et moment dynamique aux points O 1 et O par rapport à R 0<br />

3.1. Moment cinétique et moment dynamique en O1<br />

•<br />

•<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

⎜ϕ<br />

⎟ ⎜ Aϕ<br />

⎟<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

σ ( O<br />

⎢ ⎥ ⎜ ⎟<br />

=<br />

⎜ ⎟<br />

1)<br />

= I<br />

O1.<br />

Ω<br />

2<br />

=<br />

⎢<br />

0 C 0<br />

⎥<br />

0 0<br />

⎜ • ⎟ ⎜ • ⎟<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

⎜θ<br />

⎟ ⎜Cθ<br />

⎟<br />

1<br />

R ⎝ ⎠ R ⎝ ⎠<br />

1<br />

1<br />

→<br />

0<br />

δ ( O ) =<br />

1<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

σ ( O1<br />

)<br />

dt<br />

=<br />

d<br />

1<br />

••<br />

••<br />

•<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

→<br />

⎜ Aϕ<br />

⎟ ⎛ 0⎞<br />

⎜ Aϕ<br />

⎟ ⎜ Aϕ<br />

⎟<br />

0<br />

→ →<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

•<br />

σ ( O<br />

⎟<br />

1)<br />

0 0 ⎜ ⎟<br />

2<br />

+ Ω1<br />

∧ σ ( O1<br />

) = 0 + ⎜ 0⎟∧<br />

0 =<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Aϕ<br />

⎟<br />

dt<br />

•• •<br />

•<br />

••<br />

⎜Cθ<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝θ<br />

⎠ Cθ<br />

⎝ ⎠<br />

R<br />

⎝ ⎠ ⎜ Cθ<br />

1<br />

R<br />

R<br />

⎟<br />

1<br />

1 R ⎝ ⎠<br />

1<br />

317


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3.2. Moment cinétique et moment dynamique en O<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

(<br />

O1<br />

2 1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

σ O)<br />

= I . Ω + OO ∧ mV ( O ) or V<br />

→<br />

0<br />

( O ) =<br />

1<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

⎨Lθ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

⎡A<br />

→<br />

0<br />

σ ( O ) =<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0<br />

1<br />

0<br />

C<br />

0<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

0⎤<br />

⎜ϕ<br />

⎟ ⎛ L⎞<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎥ ⎜ ⎟<br />

⎥<br />

0 + ⎜ 0 ⎟ ∧ m<br />

⎜ • ⎟<br />

C⎥<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎦ θ ⎝ 0 ⎠<br />

⎝ ⎠<br />

R1<br />

R<br />

1<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨Lθ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

•<br />

=<br />

•<br />

⎛<br />

Aϕ<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

R ⎝<br />

1<br />

0<br />

⎞<br />

•<br />

( + ) ⎟ ⎟⎟⎟ 2<br />

C mL θ<br />

⎠<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

1 0 → →<br />

0 d σ ( O)<br />

d σ ( O)<br />

0 0<br />

δ ( O)<br />

= = + Ω1<br />

∧ σ ( O)<br />

dt dt<br />

→<br />

→<br />

0<br />

δ ( O ) =<br />

R<br />

••<br />

⎛<br />

⎜ Aϕ<br />

0<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

+<br />

⎟<br />

⎛ 0⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ 0⎟∧<br />

•<br />

⎛<br />

⎜ Aϕ<br />

⎜<br />

0<br />

⎜<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

=<br />

⎟<br />

••<br />

⎛<br />

Aϕ<br />

• •<br />

( ) ( ) ( )<br />

⎟ ⎟⎟⎟ ••<br />

•<br />

•<br />

2 ⎜ ⎟<br />

2<br />

⎟ ⎝ ⎠ ⎜ + ⎟<br />

⎜<br />

••<br />

C + mL θ θ<br />

θ<br />

2<br />

+ θ<br />

⎠<br />

R C mL C mL<br />

1 ⎝<br />

⎠<br />

R<br />

⎠<br />

1<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

R ⎝<br />

1<br />

Aϕθ<br />

⎞<br />

4. L’énergie cinétique du système<br />

E<br />

C<br />

E C<br />

=<br />

=<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

2<br />

mL θ<br />

⎞<br />

( O1<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

•<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

2<br />

1<br />

+ Ω<br />

2<br />

Aϕ<br />

•<br />

2<br />

+<br />

. I<br />

1<br />

Cθ<br />

2<br />

O1<br />

•<br />

2<br />

→<br />

0<br />

2<br />

. Ω<br />

=<br />

1<br />

2<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

⎜ϕ<br />

⎟<br />

• • •<br />

2 2 1⎛<br />

⎞<br />

mL θ +<br />

⎢ ⎥ ⎜ ⎟<br />

⎜ϕ,<br />

0, θ ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎢<br />

0 C 0<br />

⎥<br />

0<br />

2<br />

⎜ • ⎟<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

⎜θ<br />

⎟<br />

1<br />

R ⎝ ⎠<br />

1<br />

5. Théorème de la résultante dynamique au système<br />

La somme des forces appliquées au système est égale à la masse du système par l’accélération<br />

de son centre d’inertie.<br />

→<br />

=<br />

→<br />

∑ F 0 ext<br />

mγ ( O 1<br />

) ; avec :<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

Lθ<br />

→<br />

••<br />

0<br />

γ ( O1<br />

) = ⎨ Lθ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

318


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

R O<br />

→<br />

→<br />

+ m g = mγ 0 ( O 1<br />

) ⇔<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎪<br />

⎨R<br />

⎪R<br />

⎪<br />

⎩<br />

•<br />

2<br />

Ox<br />

+ mg cosθ<br />

= −mLθ<br />

••<br />

Oy<br />

Oz<br />

+ R<br />

+ R<br />

O1y<br />

O1z<br />

− mg sinθ<br />

= Lθ<br />

= 0<br />

6. Théorème du moment dynamique du système au point O<br />

Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique au même point O.<br />

−→ → →<br />

M ext<br />

0<br />

∑ 0<br />

( F ) = δ ( O)<br />

⇔ OO<br />

0<br />

1∧<br />

RO<br />

1+<br />

OO1<br />

∧ m g = δ ( O)<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

⎛ L⎞<br />

⎛ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜ 0 ⎟∧<br />

⎜ RO<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

R ⎝ 0 ⎠ R ⎝ RO<br />

1<br />

1<br />

1y<br />

1z<br />

⎞ ⎛ L⎞<br />

⎛ mg cosθ<br />

⎞<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟+<br />

⎜ 0 ⎟∧<br />

⎜−<br />

mg sinθ<br />

⎟=<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ R ⎝ 0 ⎠ R ⎝ 0 ⎠<br />

1<br />

1<br />

••<br />

⎛<br />

Aϕ<br />

• •<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

R ⎝<br />

1<br />

Aϕθ<br />

⎞<br />

••<br />

2<br />

( C + mL ) θ ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠<br />

⎛ 0<br />

⎜<br />

⎜−<br />

LR<br />

⎜<br />

⎝ LR<br />

R<br />

O<br />

1<br />

•<br />

ϕ = Cte<br />

••<br />

⎛<br />

⎞ ⎜ Aϕ<br />

⎟ ⎜<br />

• •<br />

O 1z<br />

⎟=<br />

⎜ Aϕθ<br />

⇔<br />

−<br />

⎟<br />

••<br />

θ ⎜<br />

2<br />

⎠<br />

( + ) θ ⎟ ⎟⎟⎟⎟ 1y<br />

mgLsin<br />

C mL<br />

R ⎝ ⎠<br />

1<br />

⎞<br />

••<br />

⎧<br />

⎪<br />

Aϕ<br />

= 0<br />

• •<br />

⎨−<br />

LRO<br />

1z<br />

= Aϕθ<br />

⎪<br />

⎪−<br />

mgLsinθ<br />

+ LRO<br />

1y<br />

⎩<br />

=<br />

2<br />

( C + mL )<br />

••<br />

θ<br />

R O1 z<br />

A<br />

= − ϕθ<br />

L<br />

• •<br />

2<br />

( C + mL )••<br />

θ sinθ<br />

R O y<br />

+<br />

1<br />

=<br />

mg<br />

L<br />

Exercice : 04<br />

Soit<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) un repère orthonormé fixe lié au bati d’une éolienne constitué d’une<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

girouette et d’une hélice. La girouette (S1) lié au repère R O,<br />

x , y , z ) , a une liaison pivot<br />

avec le bati fixe de manière à tourner dans le plan horizontal autour de l’axe<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→ →<br />

=<br />

1<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

, α = ( x0<br />

, x1<br />

) = ( y0<br />

, y1)<br />

et OG a x où a : est une constante positive.<br />

→<br />

( O,<br />

z0<br />

) , avec<br />

319


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1 2<br />

L’hélice (S 2 ) est lié au repère R O,<br />

x , y , z ) et ayant un rayon GP b z , tourne autour de<br />

→ →<br />

1<br />

≡ x 2<br />

l’axe x tel que : β = z , z ) = ( y , y ) .<br />

La girouette a un moment d’inertie par rapport à l’axe<br />

→<br />

−−→ →<br />

=<br />

2<br />

( O,<br />

z0<br />

) qui est égal à : I<br />

Le tenseur d’inertie de hélice de masse M et de centre d’inertie G dans le repère<br />

R 2<br />

est donné<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

par : I G<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

R<br />

=<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

2<br />

⎢<br />

⎢0<br />

0 C⎥ ⎥⎥ ⎣ ⎦ R2<br />

Un balourd représenté par une masse ponctuelle m située à l’extrémité de l’hélice au point P<br />

→<br />

sur l’axe G,<br />

z ) .<br />

(<br />

2<br />

Déterminer :<br />

1. Le moment cinétique de la girouette dans son mouvement par rapport à l’axe ( O,<br />

z ) ;<br />

→<br />

σ (<br />

2 0<br />

2<br />

0<br />

2. Le moment cinétique S / R ) de l’hélice au point O exprimé dans le repère R ;<br />

0<br />

3. Le moment dynamique de l’hélice par rapport à l’axe O , z ) : z • δ ( S / ) , exprimé<br />

R 2<br />

(<br />

0<br />

dans le repère ;<br />

4. Le moment cinétique du balourd par rapport au repère et exprimé dans le repère R ;<br />

5. L’énergie cinétique totale du système par rapport au repère .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 2 R0<br />

R0<br />

2<br />

R 0<br />

→<br />

0<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

→<br />

z 2<br />

β<br />

→<br />

z 0<br />

(S 1 )<br />

O<br />

P<br />

•<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

x 0<br />

α<br />

G<br />

→<br />

x 1<br />

(S 2 )<br />

320


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe lié au bâti ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

0<br />

≡ z 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

R O,<br />

x , y , z ) tel que : z ; α = x , x ) = ( y , y ) et<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ →<br />

1<br />

≡ x 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1 2<br />

R G,<br />

x , y , z ) tel que : x ; β = z , z ) = ( y , y ) et<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω1 = α z1<br />

= α z0<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

= β x1<br />

= β x2<br />

−−→ → →<br />

=<br />

1<br />

x2<br />

Nous avons aussi : OG a x = a ;<br />

−−→ →<br />

GP = b z2<br />

I zz<br />

( S1)<br />

R<br />

= I ;<br />

0<br />

I G<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

R<br />

2<br />

⎡A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

C⎥ ⎥⎥ ⎦ R<br />

2<br />

→ →<br />

1. Moment cinétique de la girouette par rapport à l’axe O , z ) : z •σ S / )<br />

→<br />

(<br />

0<br />

⎡I<br />

xx<br />

0 0 ⎤ ⎛ 0 ⎞<br />

→<br />

→<br />

⎜ ⎟ • →<br />

0<br />

σ S R I S<br />

⎢<br />

R<br />

I<br />

⎥<br />

0<br />

(<br />

1<br />

/<br />

0<br />

)<br />

0<br />

(<br />

1)<br />

. Ω1<br />

=<br />

⎢<br />

0<br />

yy<br />

0<br />

⎥ ⎜ 0 ⎟ = I<br />

zz<br />

α z0<br />

= I α<br />

0<br />

•<br />

⎢ I ⎥ ⎜ ⎟<br />

⎣ 0 0<br />

zz ⎦ R ⎝α<br />

⎠<br />

• →<br />

=<br />

0<br />

→ →<br />

• → → •<br />

⎛ ⎞<br />

z0 • σ<br />

0<br />

( S1<br />

/ R0<br />

) = ⎜ I α z0<br />

⎟ • z0<br />

= I α<br />

⎝ ⎠<br />

→<br />

0<br />

0 0<br />

(<br />

1<br />

R0<br />

0<br />

2. Moment cinétique σ ( S<br />

2<br />

)<br />

R<br />

de l’hélice au point O exprimé dans le repère R2<br />

;<br />

2<br />

Le moment cinétique de l’hélice en O est donné par la relation :<br />

z<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

0<br />

σ<br />

0<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) = σ<br />

G<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) + M OG∧V<br />

( G)<br />

→<br />

0<br />

0<br />

σ<br />

0<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) = I<br />

G<br />

( S2<br />

)<br />

R<br />

. Ω<br />

2<br />

+ M OG∧V<br />

( G)<br />

0<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z 2<br />

β<br />

→<br />

z 1<br />

→<br />

y<br />

2<br />

Or nous avons :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

0 1 0<br />

Ω<br />

2<br />

= Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= β x2<br />

+ α z1<br />

avec :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z1 = sin β y2<br />

+ cos β z2<br />

G<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 1<br />

β<br />

→<br />

y 1<br />

D’où :<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

• → •<br />

→<br />

⎛<br />

= β x2<br />

+ α⎜sin<br />

β y2<br />

+ cos β z<br />

⎝<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

β<br />

•<br />

⎨α<br />

sin β<br />

•<br />

⎪<br />

⎪α<br />

cos β<br />

R ⎩<br />

2<br />

321


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

=<br />

−−→<br />

0<br />

d OG<br />

dt<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−−→<br />

⎪<br />

β<br />

2<br />

→<br />

d OG<br />

−−→ •<br />

0<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ OG=<br />

⎨α<br />

sin β ∧<br />

dt<br />

•<br />

⎪<br />

⎪α<br />

cos β R2<br />

R ⎩<br />

2<br />

⎧a<br />

⎪<br />

⎨0=<br />

⎪<br />

⎩0<br />

R<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

⎨ aα<br />

cos β<br />

•<br />

⎪<br />

⎩−<br />

aα<br />

sin β<br />

→<br />

σ ( S<br />

0<br />

2<br />

/ R<br />

⎡A<br />

) =<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0 ⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

.<br />

C⎥⎦<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

β<br />

•<br />

⎨α<br />

sin β +<br />

•<br />

⎪<br />

⎪α<br />

cos β<br />

R ⎩<br />

2<br />

⎧a<br />

⎪<br />

M ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

∧ ⎨ aα<br />

cos β<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

aα<br />

sin β<br />

2<br />

→<br />

• → • → • →<br />

• →<br />

• →<br />

2<br />

2<br />

0<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = A β x2<br />

+ Bα<br />

sin β y2<br />

+ Cα<br />

cos β z2<br />

+ Ma α sin β y2<br />

+ Ma α cos β z2<br />

σ<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

• →<br />

2<br />

2<br />

0<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = A β x2<br />

+ ( B + Ma ) α sin β y2<br />

+ ( C + Ma ) α cos β z2<br />

σ<br />

0<br />

3. Moment dynamique de l’hélice par rapport à l’axe ( O,<br />

z0<br />

) : z0 • ( S<br />

2<br />

)<br />

R<br />

dans<br />

→<br />

→ →<br />

δ<br />

Le moment dynamique est déduit à partir du moment cinétique par :<br />

2<br />

R2<br />

→<br />

0 0<br />

0 d σ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

)<br />

δ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) =<br />

⇔<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

z<br />

→<br />

0<br />

δ ( S<br />

0<br />

•<br />

2<br />

/ R ) = z<br />

0<br />

→<br />

d<br />

0<br />

•<br />

0<br />

→<br />

0<br />

σ ( S<br />

dt<br />

2<br />

/ R )<br />

0<br />

→ 0<br />

d<br />

z0<br />

•<br />

→<br />

0<br />

σ ( S<br />

dt<br />

2<br />

/ R )<br />

0<br />

=<br />

d<br />

0<br />

⎛<br />

⎜ z<br />

⎝<br />

→ →<br />

0<br />

0<br />

• σ ( S<br />

2<br />

dt<br />

⎞<br />

/ R0<br />

) ⎟<br />

→<br />

⎠ 0<br />

− σ ( S<br />

2<br />

→<br />

0<br />

d z<br />

/ R0<br />

).<br />

dt<br />

0<br />

=<br />

d<br />

0<br />

⎛<br />

⎜ z<br />

⎝<br />

→ →<br />

0<br />

0<br />

• σ ( S2<br />

dt<br />

/ R<br />

0<br />

⎞<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

car :<br />

→<br />

0<br />

d z<br />

dt<br />

0<br />

→<br />

= 0<br />

ce qui donne :<br />

→ →<br />

0<br />

z0<br />

• δ ( S<br />

2<br />

/ R<br />

0<br />

) =<br />

d<br />

0<br />

⎛<br />

⎜ z<br />

⎝<br />

→ →<br />

0<br />

0<br />

• σ ( S<br />

2<br />

dt<br />

/ R<br />

0<br />

⎞<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

d<br />

0<br />

⎛<br />

⎜ z<br />

⎝<br />

→ →<br />

0 ⎞<br />

0<br />

• σ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) ⎟<br />

0<br />

⎠ d<br />

→<br />

⎛<br />

= ⎜ z0<br />

•<br />

dt dt ⎝<br />

• →<br />

⎛<br />

⎜ A β x2<br />

+<br />

⎝<br />

• →<br />

•<br />

2<br />

2<br />

( B + Ma ) α sin β y2<br />

+ ( C + Ma )<br />

• → →<br />

2<br />

2<br />

( B + Ma ) α sin β ( z • y ) + ( C + Ma )<br />

→<br />

α cos β z<br />

→<br />

0<br />

d<br />

• → →<br />

•<br />

0<br />

⎛<br />

δ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = ⎜ A β ( z0<br />

• x2<br />

) +<br />

0 2<br />

α cos β z<br />

dt ⎝<br />

→<br />

→ →<br />

z0 •<br />

(<br />

0<br />

• z2<br />

2<br />

⎞⎞<br />

⎟⎟<br />

⎠⎠<br />

)<br />

⎟ ⎠<br />

⎞<br />

322


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ →<br />

(<br />

0 2<br />

=<br />

or nous avons : z • x ) 0 ;<br />

→ →<br />

π<br />

→ →<br />

z<br />

0<br />

• y ) = cos( − β ) = sin β ; ( z<br />

0<br />

• z<br />

2 ) = cos β<br />

2<br />

(<br />

2<br />

•<br />

2 2<br />

2<br />

( B + Ma ) α sin β + ( C + Ma )<br />

→ →<br />

0<br />

d<br />

•<br />

0<br />

⎛<br />

2 ⎞<br />

z0 • δ ( S2<br />

/ R0<br />

) = ⎜<br />

α cos β ) ⎟<br />

dt ⎝<br />

⎠<br />

2<br />

2<br />

( Bsin<br />

β + C )<br />

→ →<br />

0<br />

d<br />

•<br />

0<br />

⎛<br />

z0 • δ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = ⎜α<br />

cos β + Ma<br />

dt ⎝<br />

2<br />

⎟ ⎠<br />

⎞<br />

4. Moment cinétique du balourd par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R0<br />

2<br />

Le balourd est une masse ponctuelle, son moment cinétique est donné par :<br />

⎧a<br />

→<br />

−→ →<br />

−→ −→ −→ → →<br />

0<br />

0<br />

⎪<br />

σ ( P / R0<br />

) = OP∧<br />

mV ( P)<br />

, avec : OP = OG+<br />

GP = a x2<br />

+ b z2<br />

= ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩b<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( P)<br />

=<br />

−→<br />

0<br />

d OP<br />

dt<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−→<br />

⎪<br />

β<br />

2<br />

→<br />

d OP<br />

−→ •<br />

0<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ OP=<br />

⎨α<br />

sin β ∧<br />

dt<br />

•<br />

⎪<br />

⎪α<br />

cos β R2<br />

R ⎩<br />

2<br />

⎧a<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

⎩b<br />

=<br />

R<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

bα<br />

sin β<br />

•<br />

•<br />

⎨ aα<br />

cos β − b β<br />

•<br />

⎪<br />

⎪aα<br />

sin β<br />

⎩<br />

2<br />

⎧a<br />

→<br />

0 ⎪<br />

σ ( P / R0<br />

) = ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩b<br />

2<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

bα<br />

sin β<br />

•<br />

m ⎨ aα<br />

cos β − b β<br />

•<br />

⎪<br />

⎪aα<br />

sin β<br />

R ⎩<br />

2<br />

•<br />

= m<br />

•<br />

•<br />

⎧ ⎛<br />

⎞<br />

⎪−<br />

b⎜aα<br />

cos β − b β ⎟<br />

⎪<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

•<br />

2<br />

2<br />

⎨ b α sin β − a α sin β<br />

⎪ •<br />

•<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎪ a⎜aα<br />

cos β − b β ⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

R ⎩<br />

2<br />

→<br />

0<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞ ⎛<br />

⎞<br />

σ ( P / R0<br />

)<br />

z<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠ ⎝<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

• •<br />

→<br />

•<br />

•<br />

→<br />

•<br />

• →<br />

2<br />

2<br />

= mb⎜b<br />

β − aα<br />

cos β ⎟ x2<br />

+ m⎜b<br />

α sin β − a α sin β ⎟ y2<br />

+ ma⎜aα<br />

cos β − b β ⎟ 2<br />

2 2<br />

( b − a )<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎛<br />

⎞<br />

σ ( P / R0<br />

)<br />

z<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

• •<br />

→ •<br />

→<br />

•<br />

• →<br />

= mb⎜b<br />

β − aα<br />

cos β ⎟ x2<br />

+ mα<br />

sin β y2<br />

+ ma⎜aα<br />

cos β − b β ⎟ 2<br />

5. Energie cinétique totale du système par rapport au repère R 0<br />

.<br />

E<br />

L’énergie cinétique du système est égale à la somme des énergies cinétiques de chaque<br />

solide par rapport au même repère.<br />

( ∑ / R0 ) = EC<br />

( S1<br />

/ R0<br />

) + EC<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) EC<br />

( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

C<br />

+<br />

323


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Energie cinétique de la girouette :<br />

E<br />

C<br />

( S / R )<br />

1<br />

→<br />

1<br />

•<br />

0 1<br />

0<br />

= I Ω1<br />

= I α<br />

2 2<br />

Energie cinétique de l’hélice :<br />

( S R ) [ Torseur cinétique] [ Torseur cinétmatique<br />

2<br />

/<br />

0<br />

]<br />

1<br />

E C<br />

= ×<br />

2<br />

E<br />

C<br />

→<br />

→<br />

⎡ 0 ⎤ ⎡ ⎤ →<br />

→<br />

→<br />

→<br />

M V G ⎢ Ω<br />

0<br />

1 ⎢ ( ) ⎥ 2 ⎥ 0<br />

0<br />

0<br />

2<br />

/<br />

0<br />

=<br />

→<br />

→<br />

= V ( O)<br />

• M V ( G)<br />

+ σ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) Ω<br />

2 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥<br />

⎣σ<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) ⎦ ⎣V<br />

( O)<br />

⎦<br />

( S R )<br />

0<br />

2<br />

or nous avons :<br />

→<br />

→<br />

V 0 ( O)<br />

= 0<br />

⎧<br />

⎪<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

β<br />

•<br />

α sin β<br />

•<br />

A β<br />

→<br />

→<br />

1<br />

•<br />

0<br />

0 1 ⎪<br />

2<br />

⎪<br />

E C<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) = σ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) Ω<br />

2<br />

= ⎨( B + Ma ) α sin β •<br />

( ) ⎪ ⎪ ⎨<br />

2<br />

2<br />

•<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪ C + Ma α cos β α<br />

R ⎩<br />

⎩<br />

2<br />

R2<br />

E C<br />

E C<br />

⎛<br />

2 0<br />

cos<br />

2 ⎝<br />

cos β<br />

•<br />

•<br />

•<br />

1 2<br />

2 2 2<br />

2 2 2 ⎞<br />

( S / R ) = ⎜ A β + ( B + Ma ) α sin β + ( C + Ma<br />

) α β ⎟<br />

⎠<br />

⎛<br />

2 ⎝<br />

•<br />

•<br />

1 2<br />

2<br />

2<br />

2 2 ⎞<br />

( S / R ) = ⎜ A β + ( Bsin<br />

β + C cos β + Ma<br />

α ⎟<br />

⎠<br />

2 0<br />

)<br />

Energie cinétique du balourd P :<br />

2<br />

→<br />

→<br />

1 ⎛ 0 ⎞<br />

E C<br />

( P / R0 ) = m⎜V<br />

( P)<br />

⎟ or la vitesse V 0 ( P)<br />

est calculée précédemment, nous aurons :<br />

2 ⎝ ⎠<br />

E C<br />

E C<br />

E C<br />

( P / R )<br />

( P / R )<br />

( P R )<br />

•<br />

1 2 2 2 1<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎛<br />

⎞ 1 2 2<br />

0<br />

= mb α sin β + m⎜aα<br />

cos β − b β ⎟ + ma α sin<br />

2<br />

2 ⎝<br />

⎠ 2<br />

•<br />

•<br />

• •<br />

1 ⎛<br />

• •<br />

2 2 2 2 2 2<br />

2 2 2 2<br />

0<br />

= m⎜b<br />

α sin β + a α cos β − 2abα β cos β + b β + a α sin<br />

2 ⎝<br />

•<br />

• •<br />

1 ⎛<br />

• •<br />

2 2 2<br />

2 2 2 2 ⎞<br />

/<br />

0<br />

= m⎜b<br />

α sin β − 2abα β cos β + a α + b β ⎟<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

La somme des trois termes donne l’énergie cinétique totale du système :<br />

2<br />

2<br />

β<br />

2<br />

⎞<br />

β ⎟<br />

⎠<br />

324


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

( ∑ / R0<br />

)<br />

=<br />

•<br />

1<br />

•<br />

1 ⎛ 2<br />

I α + ⎜ A β + ( Bsin<br />

2 2 ⎝<br />

1 ⎛<br />

+ m⎜b<br />

2 ⎝<br />

2<br />

•<br />

2<br />

α sin<br />

2<br />

2<br />

2<br />

β + C cos β + Ma ) α<br />

• •<br />

•<br />

2<br />

2 2 2<br />

β − 2abα β cos β + a α + b<br />

•<br />

2 ⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

E C<br />

( ) ( )<br />

•<br />

2 ⎞<br />

β ⎟<br />

⎠<br />

E C<br />

∑<br />

/ R<br />

0<br />

=<br />

1 2<br />

α<br />

2<br />

•<br />

2<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

[ I + B sin β + C cos β + Ma + m b sin β + a ]<br />

+<br />

•<br />

• •<br />

2 2<br />

( A + mb ) β − 2mabα β cos β<br />

Exercice 05 :<br />

Un système de ventilation automatisé est composé de deux barres identiques et homogènes,<br />

soudées entre elles au point A et d’une hélice de rayon R et de masse M.<br />

(S 1 ): OA = L de masse m ; (S 2 ): AB = L de masse m ; (S 3 ): Hélice avec: BM = BN = R de<br />

masse M . Le système est en mouvement comme le montre la figure (2).<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

Le tenseur d’inertie en B de l’hélice dans R 2<br />

est donné par : I B<br />

( S3)<br />

R<br />

=<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

2<br />

⎢<br />

⎢0<br />

0 A⎥ ⎥⎥ ⎣ ⎦ R<br />

→ → →<br />

R1<br />

(<br />

1 1 1<br />

0<br />

Le repère O,<br />

x , y , z ) est en rotation par rapport à R autour de l’axe z z ≡ sens<br />

→<br />

→<br />

→<br />

positif. Le repère R2<br />

( A,<br />

x2<br />

, y2<br />

, z2<br />

) de centre A est tel que y 1<br />

// y 2<br />

.<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→ → →<br />

0<br />

≡<br />

1<br />

z2<br />

Le repère B,<br />

x , y , z ) est en rotation par rapport à R autour de l’axe y 2<br />

y sens<br />

négatif.<br />

→ → →<br />

R3<br />

(<br />

3 3 3<br />

2<br />

→ →<br />

≡<br />

3<br />

•<br />

•<br />

R2 : est le repère de projection ; On considère que : ψ = Cte et ϕ = Cte<br />

Déterminer :<br />

1) Le centre d’inertie du système dans le repère R 2 ;<br />

2) Le tenseur d’inertie du système au point A dans le repère R 2 ;<br />

3) La matrice de passage de R 0 vers R 1 et de R 3 vers R 2 ;<br />

4) La vitesse de rotation instantanée du repère R 3 par rapport à R 0 ;<br />

5) La vitesse et l’accélération absolues du point B par dérivation ;<br />

6) La vitesse et l’accélération absolues du point M par la cinématique du solide ;<br />

7) La vitesse et l’accélération absolues du point N par composition de mouvement, R 2 étant<br />

le repère relatif ;<br />

8) Le moment cinétique du solide S 3 au point A dans le repère R 2 ;<br />

9) Le moment dynamique du solide S 3 au point A dans le repère R 2 ;<br />

10) L’énergie cinétique du système<br />

325


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ → →<br />

z<br />

0<br />

≡ z1<br />

= z2<br />

L<br />

A (S 2 )<br />

L<br />

(S 1 )<br />

(S 3 )<br />

N<br />

B<br />

M<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→ →<br />

y 2 ≡ y 3<br />

→<br />

z<br />

3<br />

N<br />

ϕ<br />

→<br />

z<br />

2<br />

M<br />

→<br />

x<br />

3<br />

→<br />

x<br />

0<br />

O<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

1<br />

ψ<br />

→<br />

y<br />

0<br />

B<br />

ϕ<br />

→<br />

x<br />

2<br />

Solution :<br />

1) Centre d’inertie du système :<br />

⎧ 0<br />

⎧ 0<br />

−−→<br />

−−→<br />

⎪<br />

⎪<br />

AG<br />

1=<br />

⎨ 0 ; AG2 = ⎨L<br />

/ 2 ;<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

L / 2<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

2) Tenseur d’inertie du système:<br />

2<br />

⎧0<br />

−−→<br />

⎪<br />

AG3 = ⎨L<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

2<br />

−−→<br />

=<br />

AG<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎪m.(<br />

L / 2) + M.<br />

L<br />

⎨<br />

⎪ 2<br />

⎪ − m<br />

mL + M<br />

/ 2<br />

R<br />

⎩ 2m<br />

+ M<br />

2<br />

2<br />

⎡mL<br />

/ 3 0 0⎤<br />

⎢<br />

2 ⎥<br />

I A<br />

( S1)<br />

= ⎢ 0 mL / 3 0⎥<br />

et<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎣ 0 0 0<br />

R<br />

⎦<br />

2<br />

I A<br />

2<br />

⎡mL<br />

/ 3<br />

⎢<br />

( S<br />

2<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣ 0<br />

R<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0 ⎤<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

2<br />

mL / 3⎥<br />

⎦<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

I<br />

⎢ ⎥<br />

B<br />

( S3 ) =<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥<br />

; Huygens ⇒<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0 A⎥⎦<br />

2<br />

I B<br />

( S<br />

3<br />

) =<br />

R<br />

2<br />

⎡A<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

+ ML<br />

0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0<br />

0<br />

A + ML<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

I A<br />

2 2<br />

⎡A<br />

+ ML + 2mL<br />

/ 3<br />

⎢<br />

( Système)<br />

= ⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣ 0<br />

R<br />

2<br />

0<br />

B + mL<br />

0<br />

2<br />

/ 3<br />

A + ML<br />

0<br />

0<br />

2<br />

+ mL<br />

2<br />

⎤<br />

⎥ ⎥⎥ / 3⎦<br />

326


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3) Matrices de passage :<br />

⎡cosψ<br />

− sinψ<br />

0⎤<br />

P =<br />

⎢<br />

⎥<br />

R →<br />

⎢<br />

sin cos 0<br />

0 R<br />

ψ ψ<br />

1<br />

⎥<br />

et<br />

⎢⎣<br />

0 0 1⎥⎦<br />

P R3 →R 2<br />

⎡ cosϕ<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

− sinϕ<br />

0<br />

1<br />

0<br />

sinϕ<br />

⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

cosϕ⎥⎦<br />

4) Vitesse de rotation instantanée du repère R 3 par rapport au repère R 0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

→<br />

2<br />

3<br />

= Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

+ Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

• →<br />

= −ϕ<br />

y<br />

2<br />

→<br />

• →<br />

+ 0+<br />

ψ z<br />

2<br />

=<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

ϕ<br />

•<br />

ψ<br />

→<br />

→<br />

5) V 0 ( B)<br />

et γ<br />

0 ( B)<br />

par dérivation<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

OB = OA+<br />

AB = L z<br />

⎧0<br />

⎪<br />

= ⎨L<br />

⎪<br />

⎩L<br />

→ →<br />

2<br />

+ L y2<br />

;<br />

•<br />

⎧<br />

−−→ −−→<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎪ − Lψ<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→ −−→<br />

0 d OB d OB 0 ⎪ ⎪<br />

V ( B)<br />

= = + Ω<br />

2<br />

∧ OB=<br />

⎨0∧<br />

⎨L=<br />

⎨ 0 ; avec<br />

dt dt<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ψ<br />

⎩L<br />

0<br />

2<br />

R2<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

−−→<br />

2<br />

d OB<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

→<br />

0<br />

γ ( B ) =<br />

d<br />

→<br />

0 0<br />

V ( B)<br />

dt<br />

=<br />

d<br />

2<br />

→<br />

0 → →<br />

V ( B)<br />

0<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧V<br />

dt<br />

⎧0<br />

⎪<br />

( B)<br />

= ⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

2<br />

R<br />

0<br />

2<br />

•<br />

⎧ ⎪ − Lψ<br />

⎨ 0 =<br />

⎪ 0<br />

⎪⎩<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

2<br />

Lψ<br />

0<br />

; avec<br />

d<br />

→<br />

2 0<br />

V ( B)<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

6) V 0 ( M ) et γ<br />

0 ( M ) par la cinématique du solide<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

−−→<br />

−−→<br />

=<br />

( M ) = V ( B)<br />

+ Ω ∧ BM avec : BM<br />

⎧R<br />

⎪<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

3<br />

⎧R<br />

cosϕ<br />

⎪<br />

= ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

sinϕ<br />

2<br />

327


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

328<br />

A.KADI<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

+<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

R<br />

R<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

L<br />

R<br />

M<br />

V<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

3<br />

0<br />

3<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

+ Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

+<br />

= BM<br />

BM<br />

dt<br />

d<br />

B<br />

M<br />

γ<br />

γ<br />

)<br />

(<br />

0 B<br />

→<br />

γ : déjà calculée<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

∧ Ω<br />

+ Ω<br />

Ω<br />

=<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

3<br />

2<br />

0<br />

3<br />

0 ϕ<br />

ψ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

R<br />

R<br />

R<br />

dt<br />

d<br />

dt<br />

d<br />

avec<br />

→<br />

→<br />

=<br />

Ω<br />

0<br />

0<br />

3<br />

2<br />

dt<br />

d<br />

( sont constantes)<br />

•<br />

•<br />

ψ etϕ<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

3<br />

0<br />

ϕ<br />

ψ ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ ϕ<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

BM<br />

dt<br />

d<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧ −<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

3<br />

0<br />

3<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

BM<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

sin<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

3<br />

0<br />

3<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

BM<br />

d’où :<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

sin<br />

sin<br />

2<br />

cos<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

γ<br />

R<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

M


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

329<br />

A.KADI<br />

7) et par composition de mouvement<br />

)<br />

(<br />

V 0 N<br />

→<br />

)<br />

(<br />

0 N<br />

→<br />

γ<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

N<br />

V<br />

N<br />

V<br />

N<br />

V<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

= , avec<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧−<br />

=<br />

+<br />

=<br />

+<br />

=<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

−−→<br />

−−→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

cos<br />

sin<br />

3<br />

2<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R z<br />

L y<br />

BN<br />

AB<br />

AN<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

=<br />

=<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

R<br />

R<br />

R<br />

dt<br />

AN<br />

d<br />

N<br />

V<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

∧<br />

+ Ω<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

cos<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2 ϕ<br />

ψ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

AN<br />

A<br />

V<br />

N<br />

V<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

sin<br />

cos<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

2<br />

0<br />

R<br />

R<br />

R<br />

L<br />

R<br />

N<br />

V<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

0<br />

2<br />

2<br />

0<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

c<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

+<br />

+<br />

= γ<br />

γ<br />

γ<br />

γ<br />

sin<br />

0<br />

cos<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

=<br />

•<br />

•<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

γ<br />

R<br />

R<br />

R<br />

dt<br />

N<br />

V<br />

d<br />

N<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧−<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

∧<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

=<br />

∧<br />

Ω<br />

∧<br />

+ Ω<br />

∧<br />

Ω<br />

+<br />

=<br />

•<br />

•<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

ψ<br />

γ<br />

γ<br />

cos<br />

sin<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2<br />

R<br />

L<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

AN<br />

AN<br />

dt<br />

d<br />

A<br />

N<br />

0<br />

sin<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎧<br />

−<br />

=<br />

•<br />

•<br />

→<br />

ψ<br />

ϕ<br />

ψ<br />

γ<br />

L<br />

R<br />

R<br />

N


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

γ ( N)<br />

= 2Ω<br />

∧V<br />

c<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

2<br />

R<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

− Rϕ<br />

cosϕ<br />

⎨ 0 =<br />

•<br />

⎪−<br />

Rϕ<br />

sinϕ<br />

⎪⎩<br />

R<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

→ →<br />

• •<br />

2<br />

2<br />

( N)<br />

= 2<br />

2Rϕψ<br />

cosϕ<br />

•<br />

•<br />

⎧ 2<br />

2<br />

⎪Rϕ<br />

cosϕ<br />

+ Rψ<br />

sinϕ<br />

→<br />

• • •<br />

0 ⎪ 2<br />

γ ( N ) = ⎨ − Lψ<br />

− 2Rϕψ<br />

cosϕ<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪ − Rϕ<br />

sinϕ<br />

R ⎩<br />

2<br />

2<br />

0<br />

0<br />

8) Moment cinétique du solide (S 3 ) au point A<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

σ ( A)<br />

= σ ( B)<br />

+ AB∧<br />

M V<br />

→<br />

0<br />

( B)<br />

= I<br />

B<br />

→<br />

0<br />

3<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

Ω + AB∧<br />

M V<br />

( B)<br />

•<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ Lψ<br />

⎜<br />

⎟<br />

• ⎟ ⎜ ⎟<br />

• →<br />

• →<br />

⎢ ⎥<br />

⎜ − ⎟ + ∧<br />

⎜ ⎟<br />

2<br />

=<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥<br />

ϕ ⎜ L⎟<br />

M 0 = −Bϕ<br />

y + +<br />

⎜ • ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

2<br />

( A ML ) ψ<br />

2<br />

σ ( A)<br />

z<br />

⎢<br />

⎜ ⎟<br />

⎣0<br />

0 A⎥⎦<br />

⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ 0 ⎟<br />

R ψ R<br />

2<br />

R2<br />

2 ⎝ ⎠R<br />

⎛ −<br />

⎞<br />

2<br />

9) Moment dynamique du solide (S 3 ) au point A<br />

→<br />

→<br />

0 0 →<br />

→<br />

→<br />

0 d σ ( A)<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

δ ( A)<br />

= −V<br />

( A)<br />

∧ M V ( B)<br />

or V ( A)<br />

= 0 alors :<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

2 0 → →<br />

0 d σ ( A)<br />

d σ ( A)<br />

0 0<br />

δ ( A)<br />

= = + Ω<br />

2<br />

∧ σ ( A)<br />

dt dt<br />

→<br />

avec<br />

→<br />

0<br />

2<br />

d σ ( A)<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

car<br />

• •<br />

ϕ : sont constantes<br />

ψ ,<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

→ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟<br />

0<br />

δ ( A)<br />

x<br />

⎝ ψ ⎠R<br />

⎝(<br />

A + ML ) ψ ⎠R<br />

•<br />

•<br />

• • →<br />

2<br />

= ⎜ −ϕ<br />

⎟ ∧ ⎜ − Bϕ<br />

⎟ = ( B − A − ML ) ψ ϕ<br />

2<br />

•<br />

•<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎟<br />

2<br />

2<br />

2<br />

330


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

9) Energie cinétique du système au point A<br />

→<br />

solide (S 1 ) : E c1<br />

= 0 ; V 0 ( G ) 1<br />

= 0 et I = 0 dans R 2<br />

→<br />

zz<br />

solide (S 2 ) :<br />

E<br />

c 2<br />

2<br />

⎡mL<br />

/ 3 0 0 ⎤⎛<br />

0 ⎞<br />

→ →<br />

1 1<br />

•<br />

2 • 2 •<br />

0 0<br />

⎢<br />

⎥⎜<br />

⎟ 1 mL 2 mL 2<br />

= Ω<br />

2<br />

I<br />

A<br />

Ω<br />

2<br />

= (0,0, ψ ) 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ = =<br />

2<br />

2<br />

⎢<br />

⎥<br />

ψ ψ<br />

•<br />

2<br />

2 3 6<br />

⎢ 0 0 / 3⎥⎜<br />

⎟<br />

⎣<br />

mL ⎦⎝ψ<br />

⎠<br />

solide (S 3 ) :<br />

E<br />

c 3<br />

=<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

M ⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( B)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

I<br />

B<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

=<br />

2<br />

1<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

M ⎜ Lψ<br />

⎟<br />

2 ⎝ ⎠<br />

⎡A<br />

1<br />

• •<br />

+ (0, −ϕ,<br />

ψ )<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

2<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0⎤⎛<br />

0 ⎞<br />

⎜ • ⎟<br />

0<br />

⎥<br />

⎜−<br />

⎟<br />

⎥<br />

ϕ<br />

⎜ • ⎟<br />

A⎥⎦<br />

⎝ ψ ⎠<br />

E c 3<br />

=<br />

1<br />

2<br />

2<br />

ML ψ<br />

•<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

Bϕ<br />

•<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

Aψ<br />

•<br />

2<br />

Energie cinétique du système : E c = E c1 + E c2 +E c3<br />

E c<br />

2<br />

•<br />

•<br />

1 ⎛ mL 2<br />

⎞<br />

2 1 2 1<br />

( Totale)<br />

=<br />

⎜ + ML<br />

⎟ψ<br />

+ Bϕ<br />

+ Aψ<br />

2 ⎝ 3 ⎠ 2 2<br />

•<br />

2<br />

331


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 06 :<br />

On considère, dans le repère orthonormé<br />

deux barres homogènes (S1) lié au repère R<br />

1( O,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

et (S2) lié au repère R2<br />

( B,<br />

x2<br />

, y2<br />

, z2<br />

)<br />

Les barres ont une longueur OA=AB = L , de masse m, articulées au point A . Au point B est<br />

articulée un solide (S3) qui est une masse M coulissante suivant l’axe x0<br />

. Soit G1 et G 2 les<br />

centres d’inertie, respectifs des deux barres. On prendra R 0<br />

comme repère de projection.<br />

Les tenseurs d’inertie des deux barres en leurs centres d’inertie respectifs sont donnés par :<br />

⎡0<br />

0 0⎤<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

2<br />

I G 1(<br />

S1)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎢0<br />

0 A⎥ ⎥⎥ ; I<br />

2<br />

( S<br />

2<br />

)<br />

⎢<br />

mL<br />

G<br />

=<br />

⎢<br />

0 0 0 avec :<br />

⎣ ⎦ R<br />

⎢0<br />

0 A⎥ ⎥⎥ A =<br />

12<br />

⎣ ⎦ R<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) , le système mécanique constitué de<br />

→<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

•<br />

Calculer en fonction de ( ψ , ψ , ψ et L :<br />

••<br />

→<br />

y<br />

1<br />

1. Les vitesses et les accélérations absolues<br />

des points : G 1 , G 2 , B.<br />

2. Le torseur cinétique du système au point O ;<br />

O<br />

ψ<br />

G 1<br />

•<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

y 2<br />

3. Le torseur dynamique du système au point O ;<br />

4. L’énergie cinétique du système.<br />

B<br />

G 2<br />

•<br />

θ<br />

A<br />

→<br />

x<br />

1<br />

Solution :<br />

1. Vitesses et accélérations par dérivation :<br />

1.a. Vitesses<br />

Nous avons :<br />

→<br />

x 0<br />

π<br />

θ = −ψ<br />

⇒ cos θ = sinψ<br />

et sin θ = cosψ<br />

2<br />

→<br />

x<br />

2<br />

⎧(<br />

L / 2)cosψ<br />

−−→<br />

⎪<br />

OG<br />

1=<br />

⎨(<br />

L / 2)sinψ<br />

⇒<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G ) =<br />

1<br />

d<br />

0<br />

−−→<br />

OG<br />

dt<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − ( L / 2) ψ sinψ<br />

•<br />

= ⎨ ( L / 2) ψ cosψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

⎧Lcosψ<br />

+ ( L / 2)cosψ<br />

= (3L<br />

/ 2)cosψ<br />

−−→<br />

⎪<br />

OG<br />

2<br />

= ⎨ Lsinψ<br />

− ( L / 2)sinψ<br />

= ( L / 2)cosψ<br />

⇒<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G<br />

2<br />

) =<br />

d<br />

0<br />

−−→<br />

OG<br />

dt<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − (3L<br />

/ 2) ψ sinψ<br />

•<br />

= ⎨ ( L / 2) ψ cosψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

331


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎧2L<br />

cosψ<br />

−−→<br />

⎪<br />

OB = ⎨ 0<br />

⇒<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( B)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−−→<br />

⎪ − 2Lψ<br />

sinψ<br />

0<br />

d OB<br />

= ⎨ 0<br />

dt ⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

1.b. Accélérations des points par dérivation :<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( G ) =<br />

1<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

→ ⎪−<br />

( L / 2)( ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

)<br />

0<br />

••<br />

•<br />

V ( G1<br />

) ⎪<br />

2<br />

= ⎨(<br />

L / 2)( ψ cosψ<br />

−ψ<br />

ssinψ<br />

)<br />

dt ⎪<br />

0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( G ) =<br />

2<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( B)<br />

=<br />

0<br />

0<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

→ ⎪−<br />

(3L<br />

/ 2)( ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

)<br />

0<br />

••<br />

•<br />

V ( G2<br />

) ⎪<br />

2<br />

= ⎨ ( L / 2)( ψ cosψ<br />

−ψ<br />

ssinψ<br />

)<br />

dt ⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

→<br />

2<br />

⎪−<br />

2L(<br />

ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

)<br />

0<br />

V ( B)<br />

= ⎨ 0<br />

dt ⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

0<br />

2. Torseur cinétique du système au point O ;<br />

Le torseur cinétique a pour éléments e réduction :<br />

- la résultante qui est égale à la somme des quantités de mouvement de chaque solide ;<br />

→<br />

0<br />

P<br />

→<br />

0<br />

= mV<br />

→<br />

0<br />

( G ) + mV<br />

1<br />

→<br />

0<br />

( G ) + M V<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

− 2Lψ<br />

sinψ<br />

( m + M )<br />

•<br />

( B)<br />

= ⎨ Lmψ<br />

cosψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

- le moment cinétique total qui est égal à la somme des moments cinétiques des solides.<br />

→<br />

∑<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

σ ( / R0<br />

) = σ ( S1<br />

/ R0<br />

) + σ ( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) + σ ( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

a) moment cinétique du solide ( S 1<br />

) : σ S / R ) = I . Ω + OG ∧ mV ( G )<br />

→<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

(<br />

1 0 G1<br />

1 1<br />

1<br />

332


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

σ<br />

→<br />

⎡0<br />

(S<br />

⎢<br />

1/R0<br />

) =<br />

⎢<br />

0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

σ ( S<br />

1<br />

1<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤<br />

⎡0⎤<br />

0<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

• ⎥<br />

A⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ⎥⎦<br />

1<br />

+<br />

⎧(L/<br />

2 ) cosψ<br />

⎪<br />

⎨(L/<br />

2 ) sin ψ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ 0<br />

/ R0<br />

) = ⎨ 0 = ⎨ 0 = ⎨ 0<br />

• 2<br />

⎪ mL<br />

•<br />

2<br />

⎪mL<br />

• 2<br />

mL<br />

•<br />

2<br />

⎪mL<br />

•<br />

⎪Aψ<br />

+ ψ ⎪ ψ + ψ ⎪ ψ<br />

R ⎩ 4 R ⎩ 12 4 R ⎩ 3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − (L/ 2 )ψ sin ψ<br />

•<br />

⎨ (L/ 2 )ψ cosψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

(<br />

2 0 G2<br />

2 2<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

b) moment cinétique du solide ( S 2<br />

) : σ S / R ) = I . Ω + OG ∧ mV ( G )<br />

→<br />

0<br />

σ<br />

→<br />

⎡A<br />

(S<br />

⎢<br />

2<br />

/R0<br />

) =<br />

⎢<br />

0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

σ ( S<br />

2<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

A⎥⎦<br />

R<br />

⎡0⎤<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

0<br />

• ⎥<br />

⎢⎣<br />

θ ⎥⎦<br />

1<br />

+<br />

⎧(<br />

3L/<br />

2 ) cosψ<br />

⎪<br />

⎨ (L/ 2 ) sin ψ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎪ 0 ⎪ 0<br />

/ R0<br />

) = ⎨ 0 = ⎨ 0<br />

• 2<br />

⎪ mL<br />

•<br />

2<br />

⎪mL<br />

• 2<br />

3mL<br />

•<br />

⎪Aθ<br />

+ ψ ⎪ θ + ψ<br />

R ⎩ 4 R ⎩ 12 4<br />

0<br />

0<br />

0<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ − ( 3L/<br />

2 )ψ sin ψ<br />

•<br />

m ⎨ (L/ 2 )ψ cosψ<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

• •<br />

π<br />

or nous avons : θ = −ψ<br />

alors en dérivant nous avons : θ = −ψ<br />

en on obtient :<br />

2<br />

→<br />

0<br />

σ ( S<br />

2<br />

⎧<br />

⎪ 0<br />

/ R0<br />

) = ⎨ 0<br />

2<br />

⎪2mL<br />

•<br />

⎪ ψ<br />

R ⎩ 3<br />

0<br />

→<br />

0<br />

0<br />

c) moment cinétique du solide ( S 3<br />

) : σ ( S3<br />

/ R0<br />

) = OB∧<br />

mV ( B)<br />

= 0 car OB // V 0 ( B)<br />

d) Moment cinétique du système :<br />

→<br />

0<br />

σ (<br />

∑<br />

⎧ ⎧<br />

⎪ 0 ⎪ 0<br />

/ R<br />

0<br />

) = ⎨ 0 + ⎨ 0<br />

2 •<br />

2<br />

⎪mL<br />

⎪2mL<br />

⎪ ψ<br />

⎩<br />

⎪ ψ<br />

R 3 R ⎩ 3<br />

0<br />

0<br />

=<br />

•<br />

R<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

•<br />

⎪ 2<br />

⎩mL<br />

ψ<br />

0<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

333


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

3. Torseur dynamique du système au point O<br />

Les éléments du torseur dynamique sont :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1<br />

(<br />

1 2 2 3<br />

G3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

- la résultante dynamique : D = m γ G ) + m γ ( G ) + m γ ( )<br />

⎧<br />

••<br />

•<br />

2<br />

⎪−<br />

2L(<br />

m + M )( ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

)<br />

→<br />

••<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

D=<br />

⎨ mL(<br />

ψ cosψ<br />

−ψ<br />

ssinψ<br />

)<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

- le moment dynamique du système :<br />

4. Energie cinétique du système.<br />

→<br />

0<br />

δ (<br />

∑<br />

/ R<br />

0<br />

d<br />

) =<br />

0<br />

→<br />

0<br />

σ (<br />

∑<br />

dt<br />

/ R<br />

⎧ 0<br />

) ⎪<br />

= ⎨ 0<br />

••<br />

⎪ 2<br />

R ⎩mL<br />

ψ<br />

L’énergie cinétique du système est égale à la somme des énergies cinétique de chaque solide<br />

par rapport au même repère.<br />

E<br />

∑<br />

0<br />

0<br />

0<br />

( / R0<br />

) = EC<br />

( S1<br />

/ R0<br />

) + EC<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) EC<br />

( S3<br />

/ R0<br />

)<br />

0<br />

C<br />

+<br />

a) Energie cinétique du solide ( S 1<br />

)<br />

0<br />

0<br />

E<br />

0<br />

C<br />

( S<br />

1<br />

/ R<br />

0<br />

) =<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G1<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω1<br />

. I<br />

G1<br />

( S ).<br />

1<br />

→<br />

0<br />

Ω1<br />

0<br />

E C<br />

2<br />

⎡0<br />

0 0⎤⎡0⎤<br />

•<br />

2<br />

•<br />

•<br />

• 2<br />

1 ⎛ L ⎞ 2 1 ⎢ ⎥⎢<br />

⎥ 1 ⎛ L ⎞ 2 1 2 mL<br />

( S1<br />

/ R0<br />

) = m⎜<br />

⎟ ψ + (0,0, ψ )<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥⎢<br />

0 = ⎜ ⎟ + =<br />

⎝ ⎠<br />

• ⎥<br />

m ψ Aψ<br />

ψ<br />

2 2 2<br />

2 ⎝ 2 ⎠ 2 6<br />

⎢⎣<br />

0 0 A⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

b) Energie cinétique du solide ( S 2<br />

)<br />

E<br />

0<br />

C<br />

0<br />

E C<br />

0<br />

E C<br />

0<br />

E C<br />

( S<br />

( S<br />

2<br />

2<br />

/ R<br />

0<br />

/ R<br />

0<br />

) =<br />

) =<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎛ L<br />

m⎜<br />

⎝ 2<br />

( G<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

⎞<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω<br />

2<br />

. I<br />

G2<br />

2<br />

2<br />

( 9sin + cos ψ )<br />

( S ).<br />

2<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

2<br />

⎡A<br />

0 0⎤⎡0⎤<br />

•<br />

•<br />

2 1<br />

ψ ψ + (0,0, θ )<br />

⎢ ⎥⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

0 0 0<br />

⎥⎢<br />

0<br />

2<br />

• ⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0 A⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

θ ⎥⎦<br />

2<br />

•<br />

• 2<br />

•<br />

2 2 1 2 mL<br />

2 2<br />

( 1+<br />

8sin ψ ) ψ + Aθ<br />

= ( 1+<br />

8sin ψ ) ψ<br />

2<br />

mL<br />

mL<br />

( S<br />

2<br />

/ R0<br />

) =<br />

+ ψ<br />

8<br />

2 8<br />

24<br />

2 • •<br />

mL 2 2 2<br />

( S2<br />

/ R0<br />

) = ψ + ψ sin ψ = mL<br />

6<br />

2<br />

•<br />

2⎛<br />

1<br />

ψ ⎜ + sin<br />

⎝ 6<br />

2<br />

⎞<br />

ψ ⎟<br />

⎠<br />

•<br />

2<br />

•<br />

2<br />

334


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

b) Energie cinétique du solide (<br />

S 3<br />

)<br />

0<br />

E C<br />

( S<br />

3<br />

/ R<br />

0<br />

→<br />

•<br />

1 ⎛ 0 ⎞<br />

2 2<br />

) = m⎜V<br />

( B)<br />

⎟ = 2ML<br />

ψ sin<br />

2 ⎝ ⎠<br />

d) Energie cinétique du système :<br />

0<br />

E C<br />

0<br />

E C<br />

2<br />

2 •<br />

•<br />

•<br />

mL 2 2 2⎛<br />

1 2 ⎞ 2 2 2<br />

( S3<br />

/ R0<br />

) = ψ + mL ψ ⎜ + sin ψ ⎟ + 2ML<br />

ψ sin ψ<br />

6<br />

⎝ 6 ⎠<br />

2 •<br />

•<br />

mL 2<br />

2 2 2<br />

( S3<br />

/ R0<br />

) = ψ + ( m + 2M<br />

) L ψ sin ψ<br />

3<br />

2<br />

ψ<br />

=<br />

2 •<br />

•<br />

mL 2<br />

2 2 2<br />

ψ + ( m + 2M<br />

) L ψ sin ψ<br />

3<br />

Exercice 07 :<br />

Soit une plaque homogène (S) rectangulaire de largeur 2a, de longueur 2b et de centre de<br />

masse G. Elle est rotation à une vitesse angulaire fixe autour de l’un des ses point A dans le<br />

→ →<br />

(<br />

0 0<br />

→ → → →<br />

0<br />

≡<br />

1 2<br />

z3<br />

→ → → →<br />

1, 3 1<br />

y3<br />

plan x , y ) tel que z z ≡ z ≡ et ( x x ) = ( y , ) = ψ . Le point A se déplace sur<br />

→<br />

l’axe O,<br />

x ) tel que : OA x x et<br />

(<br />

0<br />

−−→ →<br />

=<br />

0<br />

de projection. Déterminer :<br />

−−→<br />

b<br />

→<br />

GA =<br />

3<br />

3 y<br />

→ → →<br />

. On prendra R1<br />

( O,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

comme repère<br />

1. La vitesse de rotation instantanée de la plaque par rapport au repère R 0<br />

:<br />

2. Les vecteurs vitesse et accélération absolues du point G : V 0 ( G)<br />

et γ<br />

0 ( G)<br />

;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Ω 0 3<br />

3. Le moment cinétique de la plaque au point A ;<br />

4. Le moment dynamique de la plaque point A ;<br />

5. L’énergie cinétique de la plaque.<br />

On donne :<br />

⎡A<br />

0<br />

I =<br />

⎢<br />

G<br />

⎢<br />

0 A<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0<br />

3<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

C⎥⎦<br />

2<br />

2<br />

mb m<br />

2<br />

A = , C = ( a + b )<br />

12 12<br />

→<br />

y 0<br />

O<br />

a<br />

x<br />

→<br />

y 2<br />

b<br />

G •<br />

A<br />

→<br />

y<br />

1<br />

ψ<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

3<br />

3<br />

→<br />

x<br />

2<br />

→ →<br />

x 0 ≡ x 1<br />

335


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Vitesse de rotation instantanée de la plaque par rapport au repère R 0<br />

:<br />

→<br />

Ω 0 3<br />

→ → → → • →<br />

0 2 1 0<br />

Ω3 = Ω3<br />

+ Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= −ψ<br />

z1<br />

avec<br />

•<br />

ψ = Cte<br />

2. Vitesse et accélération absolues du point G : V 0 ( G)<br />

et γ<br />

0 ( G)<br />

;<br />

2.1. Vitesse absolue du point G :<br />

→<br />

→<br />

Par la cinématique du solide nous pouvons écrire :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

−−→<br />

( G)<br />

= V ( A)<br />

+ Ω ∧ AG<br />

⎧x<br />

−−→<br />

⎪<br />

Nous avons : OA=<br />

⎨0<br />

,<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

−−→<br />

b<br />

AG = − y<br />

3<br />

b<br />

→<br />

⎛<br />

= − ⎜cosψ<br />

y1+<br />

sinψ<br />

x<br />

3 ⎝<br />

⎧−<br />

( b / 3)sinψ<br />

⎞ ⎪<br />

⎟= ⎨−<br />

( b / 3)cos<br />

⎠ ⎪<br />

R ⎩ 0<br />

→<br />

→<br />

3 1<br />

ψ<br />

1<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x<br />

→<br />

0<br />

( G)<br />

= ⎨0<br />

⎪0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

V<br />

+<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎧ 0 ⎧−<br />

( b / 3)sinψ<br />

⎪<br />

x − ( b / 3) ψ cosψ<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

⎨ 0 ∧ ⎨−<br />

( b / 3)cosψ<br />

= ⎨(<br />

b / 3) ψ sinψ<br />

•<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

R ⎩−ψ<br />

R ⎩ 0 0<br />

1<br />

1<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2.2. Accélération absolue du point G :<br />

→<br />

0 0<br />

1 0 → →<br />

0 d V ( G)<br />

d V ( G)<br />

0 0<br />

Par dérivation nous pouvons écrire : γ ( G)<br />

= = + Ω1<br />

∧V<br />

( G)<br />

dt dt<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( G)<br />

=<br />

1<br />

⎧••<br />

•<br />

b ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

⎪x−<br />

⎜ψ<br />

cosψ<br />

−ψ<br />

sinψ<br />

⎟<br />

⎪<br />

3<br />

→<br />

⎝<br />

⎠<br />

0<br />

•<br />

V ( G)<br />

⎪ b ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

= ⎨ ⎜ψ<br />

sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

⎟<br />

dt ⎪ 3 ⎝<br />

⎠<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

3. Moment cinétique de la plaque au point A ;<br />

→<br />

0<br />

0<br />

σ ( S / R0 ) = I . Ω3<br />

+ AG ∧ mV ( G)<br />

A<br />

G<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

⎧ b<br />

•<br />

⎧ b<br />

•<br />

⎪<br />

− sinψ<br />

⎪ x−<br />

ψ cosψ<br />

⎡A<br />

0 0 ⎤⎡<br />

0 ⎤ 3<br />

3<br />

→<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎢ ⎥⎢<br />

⎥ b<br />

b<br />

•<br />

σ<br />

A<br />

( S / R0 ) =<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥⎢<br />

0<br />

⎥<br />

+ m ⎨−<br />

cosψ<br />

∧ ⎨ ψ sinψ<br />

•<br />

⎢ ⎥⎢<br />

⎥ ⎪ 3 ⎪ 3<br />

R ⎣0<br />

0 C⎦⎣−ψ<br />

⎦ ⎪ 0 ⎪0<br />

3<br />

R<br />

⎪⎩<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

336


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ ⎡ b<br />

b b ⎤<br />

σ<br />

A<br />

( S / R ⎢<br />

⎥ z<br />

⎣ 9<br />

3 ⎝ 3 ⎠⎦<br />

• 2 •<br />

• •<br />

→<br />

⎛ ⎞<br />

= − −<br />

2<br />

0<br />

) Cψ<br />

m ψ sin ψ + m cosψ<br />

⎜ x − ψ cosψ<br />

⎟ 1<br />

→ ⎡ b b ⎤<br />

σ<br />

A<br />

( S / R ⎢<br />

⎥ z<br />

⎣ 9 3 ⎦<br />

• 2 • •<br />

→<br />

0<br />

) = − Cψ<br />

− m ψ + m x cosψ<br />

1<br />

4. Moment dynamique de la plaque au point A ;<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

d σ<br />

A<br />

( S / R0<br />

) 0<br />

0<br />

δ<br />

A<br />

( S / R0 ) =<br />

+ V ( A)<br />

∧ mV ( G)<br />

dt<br />

d<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1<br />

→<br />

A<br />

( ) d )<br />

→<br />

1<br />

0<br />

0 0<br />

d<br />

0<br />

)<br />

=<br />

+ Ω1<br />

∧ σ<br />

A<br />

( S / R0<br />

) =<br />

σ S / R<br />

dt<br />

σ<br />

A<br />

( S / R<br />

dt<br />

σ<br />

A<br />

( S / R<br />

dt<br />

d<br />

→<br />

0<br />

•• 2<br />

σ ( S / R ⎡<br />

•• ••<br />

• • ⎤ →<br />

0<br />

)<br />

b b b<br />

A = − Cψ<br />

− m ψ + m x cosψ<br />

− m xψ<br />

sin ψ z1<br />

dt<br />

⎢<br />

⎣<br />

9<br />

3<br />

3<br />

⎥<br />

⎦<br />

car<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω = 0<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( A)<br />

∧ mV<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x<br />

→<br />

0<br />

( G)<br />

= ⎨0<br />

⎪0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

1<br />

∧<br />

•<br />

•<br />

⎧ ⎧<br />

⎪<br />

x − ( b / 3) ψ cosψ<br />

⎪<br />

0<br />

•<br />

m ⎨(<br />

b / 3) ψ sinψ<br />

= ⎨0<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ b<br />

0<br />

m xψ<br />

sinψ<br />

⎪<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

R ⎩ 3<br />

1<br />

1<br />

on déduit :<br />

→ ⎡ b b ⎤<br />

δ<br />

A<br />

( S / R0 ) ⎢<br />

cos ⎥ z<br />

⎣ 9 3 ⎦<br />

•• 2 •• ••<br />

→<br />

= − Cψ<br />

− m ψ + m x ψ<br />

1<br />

3. Energie cinétique de la plaque (S)<br />

E<br />

0<br />

C<br />

( S / R<br />

0<br />

) =<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω3<br />

. I<br />

G<br />

→<br />

0<br />

3<br />

( S).<br />

Ω<br />

E<br />

0<br />

C<br />

0<br />

E C<br />

( S<br />

1<br />

/ R<br />

0<br />

)<br />

2<br />

2<br />

⎡A<br />

0 0⎤⎡<br />

0 ⎤<br />

1<br />

•<br />

⎛ b<br />

•<br />

⎞ 1 ⎛ b<br />

•<br />

⎞ 1<br />

•<br />

m<br />

+<br />

+ −<br />

⎢ ⎥⎢<br />

⎥<br />

⎜ x − ψ cosψ<br />

⎟ m⎜<br />

ψ sinψ<br />

⎟ (0,0, ψ )<br />

⎝<br />

⎠ ⎝ ⎠<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥⎢<br />

0<br />

2 3<br />

2 3<br />

2<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

−ψ<br />

⎥⎦<br />

=<br />

•<br />

• 2 •<br />

1 ⎛<br />

• •<br />

2 b 2 2b<br />

⎞ 1<br />

( S =<br />

⎜ + −<br />

⎟<br />

1<br />

/ R0<br />

) m x ψ xψ<br />

cosψ<br />

+ Cψ<br />

2 ⎝ 9 3 ⎠ 2<br />

•<br />

2<br />

337


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 08 :<br />

Soit un système constitué d’une tige filetée OA lié au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

. La tige de<br />

→ →<br />

•<br />

masse négligeable tourne autour de l’axe z 0 ≡ z 1<br />

avec une vitesse de rotation α = Cte .<br />

Un cylindre de masse m, de hauteur h et de centre d’inertie G, lié au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R3<br />

( G,<br />

x3,<br />

y3,<br />

z3<br />

) s’enroule autour de cette tige et il a deux mouvements:<br />

- L’un, de translation de son centre d’inertie G, lié au repère R G,<br />

x , y , z ) , suivant<br />

→ →<br />

1<br />

≡ x 2<br />

l’axe de la tige x avec une vitesse linéaire x • (t)<br />

;<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→<br />

•<br />

- L’autre, de rotation autour de l’axe x2<br />

avec une vitesse de rotation ψ = Cte et tel que<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( y2 , y3<br />

) = ( z2<br />

, z3<br />

) = ψ<br />

On prendra<br />

R 2<br />

comme repère relatif et repère aussi de projection.<br />

Déterminer :<br />

1. Le tenseur d’inertie du cylindre au point G par rapport aux repères et R ;<br />

R3<br />

2<br />

2. La vitesse de rotation instantanée du cylindre par rapport au repère R 0<br />

;<br />

3. La vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement ;<br />

4. Les torseurs, cinétique et dynamique, au point O par rapport au repère R 0<br />

;<br />

5. L’énergie cinétique du système.<br />

→<br />

→<br />

z , z 0 1<br />

x(t)<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

z<br />

2<br />

ψ<br />

• M<br />

→<br />

z<br />

3<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

θ<br />

h<br />

G •<br />

M<br />

•<br />

•<br />

ψ<br />

A<br />

→<br />

y 0<br />

→ → →<br />

x1 , x2<br />

, x3<br />

G<br />

R<br />

ψ<br />

→<br />

y<br />

3<br />

→<br />

y<br />

2<br />

338


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

1. Tenseur d’inertie du cylindre au point G par rapport aux repères et R ;<br />

R3<br />

2<br />

Le tenseur d’inertie du cylindre dans le repère R 2<br />

est donné par :<br />

2<br />

⎡mR<br />

⎤<br />

⎢<br />

0<br />

0 ⎥<br />

⎢<br />

2<br />

⎥ ⎡A<br />

2 2<br />

⎢ mR mh<br />

I ⎥ =<br />

⎢<br />

G<br />

= 0 +<br />

0<br />

⎢<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

4 12<br />

⎢<br />

2 2<br />

mR mh ⎥ ⎢⎣<br />

0<br />

⎢ 0 0<br />

+ ⎥<br />

R ⎣<br />

4 12 ⎦<br />

3<br />

0<br />

B<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

B⎥⎦<br />

où<br />

2<br />

mR<br />

A = ;<br />

2<br />

2<br />

mR mh<br />

B = +<br />

4 12<br />

2<br />

2. Vitesse de rotation instantanée du cylindre par rapport au repère R 0<br />

;<br />

Le repère est en translation par rapport au repère R alors :<br />

R2<br />

1<br />

→<br />

1<br />

2<br />

→<br />

Ω = 0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

→<br />

2<br />

3<br />

= Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

+ Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

•<br />

⎧ ⎪ − ψ<br />

• → • →<br />

= α z2<br />

−ψ<br />

x2<br />

= ⎨ 0<br />

•<br />

⎪ α<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

3. Vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement :<br />

3.1. Vitesse :<br />

⎧x<br />

−−→<br />

⎪<br />

Nous avons : OG=<br />

⎨0<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

2<br />

⎧0<br />

−−→<br />

⎪<br />

GM = ⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

3<br />

=<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨Rsinψ<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

cosψ<br />

La vitesse absolue est égale à la vitesse relative plus la vitesse d’entraînement.<br />

→<br />

0<br />

V<br />

→<br />

2<br />

( M ) = V<br />

→<br />

0<br />

2<br />

( M ) + V<br />

( M )<br />

2<br />

→<br />

2<br />

V<br />

( M ) =<br />

−−→<br />

2<br />

d GM<br />

=<br />

dt<br />

R<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

⎨ Rψ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎩−<br />

Rψ<br />

sinψ<br />

et<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

V2 ( M ) V ( G)<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−−→<br />

= + Ω ∧ GM<br />

339


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

=<br />

−−→<br />

0<br />

d OG<br />

dt<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

−−→<br />

⎪<br />

x<br />

2<br />

→<br />

d OG<br />

−−→<br />

0<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ OG=<br />

⎨0+<br />

dt<br />

⎪0<br />

⎪⎩<br />

R2<br />

R<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

⎩α<br />

R<br />

2<br />

⎧x<br />

⎪<br />

⎨0=<br />

⎪<br />

⎩0<br />

R<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

x<br />

•<br />

⎨xα<br />

⎪ 0<br />

⎪⎩<br />

2<br />

⎧0<br />

→ −−→<br />

0 ⎪<br />

Ω<br />

2<br />

∧ GM = ⎨0<br />

∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩α<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨Rsinψ<br />

=<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

cosψ<br />

En faisant la somme des termes on obtient :<br />

• •<br />

⎧<br />

⎪<br />

x−<br />

Rα<br />

sinψ<br />

→<br />

• •<br />

0<br />

V ( M ) = ⎨ xα+<br />

Rψ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

Rψ<br />

sinψ<br />

R ⎩<br />

2<br />

2<br />

•<br />

⎧ ⎪ − Rα<br />

sinψ<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

3.2. Accélération :<br />

L’expression de l’accélération absolue par composition de mouvement s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

γ ( M ) = γ ( M ) + γ ( M ) + γ ( M )<br />

→<br />

2<br />

→<br />

C<br />

→<br />

2<br />

γ ( M ) =<br />

d<br />

2<br />

→ ⎧ 0<br />

2<br />

V M ⎪<br />

•<br />

( )<br />

2<br />

= ⎨−<br />

Rψ<br />

sinψ<br />

dt<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

R<br />

⎩−<br />

Rψ<br />

cosψ<br />

2<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

→<br />

0 −−→ → → −−→<br />

0<br />

0 d Ω<br />

0 0<br />

γ<br />

2<br />

( M ) = γ<br />

2<br />

( G)<br />

+ ∧ GM + Ω<br />

2<br />

∧ Ω<br />

2<br />

∧ GM ; avec :<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

2<br />

0<br />

d Ω<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

••<br />

•<br />

⎧••<br />

•<br />

⎧<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

→<br />

→<br />

⎪<br />

x ⎧0<br />

⎪<br />

x x xα<br />

→<br />

0 0<br />

2 0 → →<br />

• •<br />

•<br />

• •<br />

0 d V ( G)<br />

d V ( G)<br />

0 0<br />

⎪<br />

γ<br />

2<br />

( G ) = = + Ω<br />

2<br />

∧V<br />

( G)<br />

= ⎨xα<br />

+ ⎨0∧<br />

⎨xα=<br />

⎨ 2 xα<br />

dt dt<br />

•<br />

⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎪ ⎩α<br />

0 0<br />

⎩<br />

R2<br />

R<br />

⎪⎩<br />

⎪<br />

2<br />

R2<br />

R ⎩<br />

2<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎧ 0 ⎧ 0<br />

→ → −−→<br />

•<br />

0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2<br />

Ω<br />

2<br />

∧ Ω<br />

2<br />

∧ GM = ⎨0∧<br />

⎨0∧<br />

⎨Rsinψ<br />

= ⎨−<br />

Rα<br />

sinψ<br />

• •<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩α<br />

R ⎩α<br />

R ⎩R<br />

cosψ<br />

⎩<br />

0<br />

R<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

340


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→ →<br />

⎛ 0<br />

γ<br />

C<br />

( M ) = 2⎜Ω<br />

2<br />

∧V<br />

⎝<br />

2<br />

⎞<br />

( M ) ⎟ = 2<br />

⎠<br />

R<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

⎩α<br />

R<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

•<br />

⎨ Rψ<br />

cosψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎩−<br />

Rψ<br />

sinψ<br />

• •<br />

⎧ ⎪ − 2Rψ α cosψ<br />

= ⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

⎧ 0<br />

→<br />

⎪<br />

•<br />

0<br />

2<br />

γ ( M ) = ⎨−<br />

Rψ<br />

sinψ<br />

+<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

R<br />

⎩−<br />

Rψ<br />

cosψ<br />

2<br />

R<br />

⎧<br />

•• • • •<br />

2<br />

⎪ x−<br />

xα<br />

− 2Rψ α cosψ<br />

→<br />

• • •<br />

•<br />

0 ⎪<br />

2<br />

2<br />

γ ( M ) = ⎨ 2 xα−<br />

Rα<br />

sinψ<br />

− Rψ<br />

sinψ<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

⎪−<br />

Rψ<br />

cosψ<br />

R ⎩<br />

2<br />

2<br />

⎧••<br />

•<br />

⎪ −<br />

2<br />

x xα<br />

⎧ 0<br />

• •<br />

•<br />

⎪ 2<br />

⎨ 2 xα<br />

+ ⎨−<br />

Rα<br />

sinψ<br />

+<br />

⎪ 0 ⎪<br />

⎪ ⎩<br />

0<br />

⎩<br />

R2<br />

R<br />

2<br />

• •<br />

⎧ ⎪ − 2Rψ α cosψ<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

⎪⎩<br />

4. Torseurs, cinétique et dynamique, au point O par rapport au repère R 0<br />

;<br />

4.1. Torseur cinétique<br />

Les deux éléments de réduction du torseur cinétique sont :<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

m x<br />

→ →<br />

•<br />

0<br />

- la résultante cinétique : P = mV ( G)<br />

= ⎨mxα<br />

;<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

- le moment cinétique : σ ( S / R ) = I . Ω + OG∧<br />

mV ( G)<br />

0<br />

G<br />

→<br />

2<br />

3<br />

−−→<br />

→<br />

⎡A<br />

→<br />

0<br />

σ ( S / R =<br />

⎢<br />

0<br />

)<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

•<br />

⎡ ⎤<br />

0⎤⎢<br />

− ψ<br />

⎥ ⎧x<br />

⎥<br />

⎪<br />

0<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

0 + ⎨0<br />

⎢<br />

•<br />

⎥<br />

B⎥<br />

⎪<br />

⎦⎢<br />

α ⎥ ⎩0<br />

⎣ ⎦<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

m x<br />

•<br />

∧ ⎨mxα<br />

=<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

− Aψ<br />

⎨ 0<br />

•<br />

⎪ Bα<br />

+ mx<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

•<br />

2<br />

α<br />

→<br />

0<br />

σ ( S / R ) =<br />

0<br />

R<br />

⎧<br />

2<br />

mR<br />

•<br />

⎪ − ψ<br />

⎪<br />

⎨ 0 2<br />

2 2<br />

⎪⎛<br />

mR mh<br />

⎪<br />

⎜ +<br />

⎩⎝<br />

4 3<br />

2<br />

+ mx<br />

⎞ •<br />

2<br />

⎟α<br />

⎠<br />

341


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4.2. Torseur dynamique<br />

Les deux éléments de réduction du torseur dynamique sont :<br />

⎧<br />

•• •<br />

2<br />

⎪m(<br />

x−<br />

xα<br />

)<br />

→ →<br />

• •<br />

0 ⎪<br />

- la résultante dynamique : D = mγ<br />

( G)<br />

= ⎨ 2m xα<br />

;<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

→<br />

0 0<br />

→<br />

→<br />

0 d σ ( S / R0<br />

) 0<br />

0<br />

- le moment dynamique : : δ ( S / R0<br />

) =<br />

+ V ( O)<br />

∧ mV ( G)<br />

or<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

V 0 ( O)<br />

= 0<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

2 0<br />

→ →<br />

0 d σ ( S / R0<br />

) d σ ( S / R0<br />

) 0 0<br />

d’où : δ ( S / R0<br />

) = =<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ σ ( S / R0<br />

)<br />

dt<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

0<br />

δ ( S / R ) =<br />

0<br />

R<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

• •<br />

⎪<br />

⎩2mx xα<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

+ ⎨ 0 ∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩α<br />

2<br />

R<br />

⎧<br />

2<br />

mR<br />

•<br />

⎪ − ψ<br />

⎪<br />

⎨ 0 2<br />

2 2<br />

⎪⎛<br />

mR mh<br />

⎪<br />

⎜ +<br />

⎩⎝<br />

4 3<br />

2<br />

+ mx<br />

⎞ •<br />

2<br />

⎟α<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

δ ( S / R ) =<br />

0<br />

R<br />

⎧<br />

⎪<br />

0<br />

2<br />

mR<br />

• •<br />

⎨−<br />

ψ α<br />

⎪ 2<br />

• •<br />

⎪<br />

⎩ 2mx xα<br />

2<br />

5. Energie cinétique du système.<br />

E<br />

C<br />

→<br />

1<br />

= Ω<br />

2<br />

0<br />

3<br />

. I<br />

G<br />

→<br />

0<br />

3<br />

. Ω<br />

+<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

=<br />

⎡A<br />

1<br />

• •<br />

( −ψ<br />

,0, α)<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

2<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

0⎤<br />

⎜ − ψ ⎟<br />

•<br />

⎥ ⎜ ⎟ 1 ⎛ 2 2<br />

0<br />

⎥<br />

0 + m⎜<br />

x + x α<br />

⎜ • ⎟ 2<br />

⎥<br />

⎝<br />

B⎦<br />

⎜ α ⎟<br />

R ⎝ ⎠<br />

2<br />

•<br />

2 ⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

•<br />

2<br />

Aψ<br />

+<br />

1<br />

2<br />

•<br />

2<br />

Bα<br />

+<br />

1<br />

2<br />

•<br />

⎛ 2<br />

m⎜<br />

x<br />

⎝<br />

2<br />

+ x α<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

•<br />

2<br />

=<br />

1 ⎡mR<br />

⎢<br />

2 ⎣ 2<br />

2<br />

•<br />

2 ⎛ mR<br />

ψ +<br />

⎜<br />

⎝ 4<br />

2<br />

mh<br />

+<br />

3<br />

2 • •<br />

⎞<br />

2 ⎛ 2<br />

⎟α<br />

+ m⎜<br />

x<br />

⎠ ⎝<br />

+ x<br />

2<br />

•<br />

⎤<br />

2 ⎞<br />

α ⎟⎥<br />

⎠⎦<br />

342


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 09 :<br />

Une machine de ponçage des sols est composée d’un bras OAC de masse négligeable tel que<br />

OA=L, AC=L/2 et d’un disque de rayon R et de masse M . Le bras est en mouvement de<br />

•<br />

rotation par rapport au bâti fixe avec une vitesse de rotation ψ = Cte . Le disque tourne autour<br />

•<br />

du bras AC avec une vitesse de rotation θ = Cte On prendra R1<br />

comme repère de<br />

projection.<br />

Déterminer :<br />

1. Vitesse de rotation instantanée du disque<br />

2. Vitesse et accélération absolues du point C<br />

3. Le torseur cinétique du disque en O ;<br />

4. Le torseur dynamique du disque en O ;<br />

5. L’énergie cinétique du système.<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

→<br />

z , z 0 1<br />

O<br />

•<br />

ψ<br />

L<br />

L/2<br />

→<br />

z<br />

2<br />

A<br />

•<br />

θ<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

→<br />

x 1<br />

, x 2<br />

R<br />

C<br />

Solution :<br />

1. Vitesse de rotation instantanée du disque par rapport au repère R 0<br />

:<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

1<br />

2<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

+ Ω<br />

⎧ 0<br />

• → • →<br />

⎪<br />

= ψ z<br />

2<br />

+ θ x2<br />

= ⎨ 0 où ψ • + •<br />

θ = Cte<br />

• •<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

+ θ<br />

1<br />

2. Vitesse et accélération du point C :<br />

2.1. Vitesse :<br />

⎧ L<br />

−−→ −−→ −−→<br />

→<br />

⎪<br />

Nous avons : OC = OA+<br />

AC=<br />

⎨ 0 ; V (<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

L / 2<br />

1<br />

0 O<br />

→<br />

) = 0<br />

⎧0<br />

⎧ L ⎧0<br />

→<br />

→<br />

→ −−→<br />

→<br />

•<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

V ( C)<br />

= V ( O)<br />

+ Ω1<br />

∧ OC ⇒ V ( C)<br />

= ⎨0<br />

∧ ⎨ 0 = ⎨Lψ<br />

•<br />

⎪ψ<br />

⎪ / 2 ⎪<br />

R ⎩ ⎩L<br />

⎩0<br />

1<br />

R1<br />

R1<br />

343


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2.2. Accélération:<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

1 0<br />

→ →<br />

0 d V ( C)<br />

d V ( C)<br />

0 0<br />

γ ( C)<br />

= = + Ω1<br />

∧V<br />

( C)<br />

avec<br />

dt dt<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

Lψ<br />

→<br />

•<br />

0 ⎪ ⎪<br />

γ ( C ) = ⎨0<br />

∧ ⎨Lψ<br />

= ⎨ 0<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ψ<br />

⎩0<br />

0<br />

1<br />

R1<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

→<br />

1 0<br />

d V ( C)<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

3. Le torseur cinétique du disque au point O :<br />

Les deux éléments de réduction du torseur cinétique sont :<br />

- la résultante cinétique :<br />

→<br />

0<br />

P<br />

→<br />

= mV<br />

⎧ 0<br />

→<br />

•<br />

0 ⎪<br />

( C)<br />

= ⎨MLψ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

- le moment cinétique : σ ( S / R ) = I . Ω + OC∧<br />

M V ( C)<br />

0<br />

C<br />

→<br />

2<br />

−−→<br />

→<br />

2<br />

⎡MR<br />

/ 4<br />

→<br />

0 ⎢<br />

σ ( S / R0<br />

) = ⎢ 0<br />

⎢<br />

R ⎣ 0<br />

2<br />

MR<br />

0<br />

2<br />

0<br />

/ 4<br />

0 ⎤⎡<br />

0 ⎤ ⎧ L<br />

⎥<br />

⎪<br />

0<br />

⎢ ⎥<br />

⎥⎢<br />

0<br />

⎥<br />

+ ⎨ 0<br />

• •<br />

2<br />

MR / 2⎥⎢<br />

⎥ ⎪<br />

⎦⎣ψ<br />

+ θ ⎦ R ⎩L<br />

/ 2<br />

1<br />

⎧ 0<br />

•<br />

⎪<br />

∧ ⎨MLψ<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

σ ( S / R ) =<br />

0<br />

⎧ ML<br />

⎪−<br />

⎪<br />

⎨ 0 2<br />

⎪ MR<br />

⎪<br />

R ⎩ 2<br />

1<br />

2 •<br />

ψ<br />

2 • •<br />

•<br />

2<br />

( ψ + θ ) + ML ψ<br />

4. Le torseur dynamique du disque au points O :<br />

Les deux éléments de réduction du torseur dynamique sont :<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

MLψ<br />

→ →<br />

0<br />

- la résultante cinétique : D = mγ<br />

( C)<br />

= ⎨ 0 ;<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

→<br />

0 0<br />

1 0<br />

→ →<br />

0 d σ ( S / R0<br />

) d σ ( S / R0<br />

) 0 0<br />

- le moment dynamique : δ ( S / R0<br />

) = =<br />

+ Ω1<br />

∧ σ ( S / R0<br />

)<br />

dt<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

344


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

1 0<br />

( S / R0<br />

d σ<br />

dt<br />

)<br />

→<br />

= 0<br />

2<br />

⎧ ML<br />

•<br />

⎧0<br />

⎪−<br />

→<br />

→ →<br />

⎪ ⎪<br />

S R = Ω ∧ S R = ⎨ ∧ ⎨ 0 2 ψ<br />

0<br />

0 0<br />

δ ( /<br />

0<br />

)<br />

1<br />

σ ( /<br />

0<br />

) 0<br />

•<br />

2 • •<br />

⎪ ⎪MR<br />

2<br />

R ⎩ψ<br />

⎪ ( ψ + θ ) + ML ψ<br />

1<br />

R ⎩ 2<br />

1<br />

⎧ 0<br />

2<br />

⎪ ML<br />

= ⎨−<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ 0 2<br />

1<br />

ψ<br />

•<br />

2<br />

5. Energie cinétique du système.<br />

E<br />

C<br />

1<br />

= Ω<br />

2<br />

1<br />

2<br />

→ →<br />

→<br />

0 0<br />

0<br />

2<br />

. I<br />

G.<br />

Ω<br />

2<br />

+ M ⎜V<br />

( C)<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

• •<br />

⎛<br />

⎜ψ<br />

+ θ , 0,<br />

2 ⎝<br />

2<br />

⎡MR<br />

/ 4<br />

⎞⎢<br />

0⎟<br />

⎠<br />

⎢ 0<br />

⎢<br />

⎣ 0<br />

MR<br />

0<br />

2<br />

0<br />

/ 4<br />

0 ⎤<br />

⎥<br />

0 ⎥<br />

2<br />

MR / 2⎥<br />

⎦ R<br />

2<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ 0 ⎟ +<br />

• •<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ψ<br />

+ θ ⎠<br />

1<br />

2<br />

2<br />

ML ψ<br />

•<br />

2<br />

E C<br />

=<br />

1 MR<br />

2 2<br />

2<br />

• •<br />

2<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ψ<br />

+ θ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

+<br />

1<br />

2<br />

2<br />

ML ψ<br />

•<br />

2<br />

345


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 10 :<br />

Le système mécanique représenté ci dessous est constitué de six solides.<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

- S 0 : est un bâti fixe lié au repère R O,<br />

x , y , z )<br />

- S 1 , S 2 , S 3 , S 5 : sont des barres de masses négligeables reliées entres elles par des liaisons<br />

rotoïdes parfaites ayant leurs axes perpendiculaire au plan formé par les barres ; S 2 et S 3 :<br />

ont la même longueur OB=AB=2a<br />

- S 4 : est un volant de masse M de centre d’inertie G milieu de AB, relié à S 3 par une<br />

liaison rotoïde parfaite d’axe AB.<br />

Le tenseur d’inertie du solide S 4 en son centre d’inertie G dans les repères et R est<br />

R3<br />

4<br />

donné par :<br />

I G<br />

( S<br />

4<br />

)<br />

/ R , R<br />

3<br />

4<br />

⎡A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

B⎥ ⎥⎥ ⎦ R , R<br />

3<br />

4<br />

S 1 : est lié au repère<br />

S 3 : est lié au repère<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

R O,<br />

x , y , z ) , S2 : est lié au repère R O,<br />

x , y , z ) ,<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

3 3 3<br />

→ → →<br />

4<br />

(<br />

4 4 4<br />

R A,<br />

x , y , z ) , S4 : est lié au repère R G,<br />

x , y , z ) ,<br />

On applique un moment<br />

−→<br />

M sur le solide S 1 à l’aide d’un moteur électrique.<br />

Le point A se déplace sur l’axe<br />

suivant le même axe.<br />

Déterminer :<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

et la solide S5 a un mouvement de translation<br />

→<br />

→<br />

•<br />

•<br />

⎛<br />

1. La vitesse absolue V 0 0 ⎞<br />

2<br />

2<br />

( G)<br />

dans R 3<br />

et montrer que : ⎜V<br />

( G)<br />

⎟ = K1θ<br />

+ K<br />

2ψ<br />

;<br />

⎝ ⎠<br />

2. L’énergie cinétique du système ;<br />

3. La puissance des efforts sachant que: P R / S ) = 0 et P(<br />

R / S ) 0 ;<br />

(<br />

0 1<br />

0 5<br />

=<br />

4. Le moment cinétique du système en G dans le repère R 3<br />

;<br />

5. Le moment dynamique du système en G dans le repère R 3<br />

;<br />

On donne les figures planes suivantes :<br />

2<br />

346


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

S 1<br />

O<br />

→<br />

M<br />

θ<br />

•<br />

θ<br />

S 2<br />

→<br />

x<br />

2<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

x 3<br />

→<br />

y 1<br />

ψ<br />

O<br />

→<br />

y 0<br />

ψ<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

x 2<br />

θ<br />

O<br />

→<br />

x<br />

1<br />

θ<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

z 1<br />

θ<br />

A •<br />

S 5<br />

θ<br />

1<br />

G<br />

→<br />

x 1<br />

S 3<br />

S 4<br />

→<br />

z<br />

3<br />

• B<br />

→<br />

z<br />

2<br />

→<br />

x 3<br />

θ 1<br />

A<br />

→<br />

x 1<br />

θ 1<br />

→<br />

z 3<br />

→<br />

z 1<br />

→<br />

z 4<br />

ϕ<br />

G<br />

→<br />

z<br />

3<br />

ϕ<br />

→<br />

y 4<br />

→<br />

y 3<br />

→<br />

→<br />

z<br />

0<br />

, z 1<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

S 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié au bâti fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

S 1<br />

→ • → • →<br />

Ω1 0<br />

z1<br />

0<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié à tel que : = ψ z = ψ ;<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

S 2<br />

→ • → • →<br />

Ω<br />

2 1<br />

y2<br />

→ • → • →<br />

1<br />

Ω3 = θ1<br />

y1<br />

= θ1<br />

y3<br />

1<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié à tel que : = θ y = θ ;<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

3 3 3<br />

S 3<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

→ →<br />

y 1 ≡ y 2<br />

→ →<br />

1<br />

≡ y 3<br />

R A,<br />

x , y , z ) lié à tel que : ; y et<br />

π<br />

θ1<br />

= −θ<br />

2<br />

→ → →<br />

4<br />

(<br />

4 4 4<br />

S 4<br />

→ • → • →<br />

Ω<br />

4 3<br />

x4<br />

3<br />

R G,<br />

x , y , z ) lié à tel que : = ϕ x = ϕ ;<br />

Le point A est en translation sur l’axe O,<br />

z )<br />

→<br />

1. Vitesse V 0 ( G)<br />

dans<br />

R 3<br />

→<br />

(<br />

0<br />

→ →<br />

x 3 ≡ x 4<br />

−−→<br />

0<br />

−−→<br />

3<br />

→<br />

→<br />

d OG d OG<br />

−−→<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( G)<br />

= = + Ω3<br />

∧ OG ; exprimons les vecteurs OG et Ω<br />

3<br />

dans le repère R 3<br />

:<br />

dt dt<br />

−−→ −−→ −−→ → →<br />

π<br />

π<br />

Nous avons : OG = OB+<br />

BG = 2a z2<br />

− a x3<br />

et π = θ + + θ1<br />

⇒ θ1<br />

= −θ<br />

2<br />

2<br />

Ce qui donne : sin θ = cosθ<br />

et cosθ<br />

1<br />

= sinθ<br />

1<br />

A partir des figures planes, on peut écrire :<br />

→<br />

→<br />

z et dans le repère .<br />

1<br />

x 1<br />

R 3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z2 = cosθ<br />

z1+<br />

sinθ<br />

x1<br />

puis on explicite<br />

347


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

→<br />

z1 = −sinθ1<br />

x3<br />

+ cosθ1<br />

z3<br />

= − cosθ<br />

x3<br />

+ sinθ<br />

z3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x1 = cosθ<br />

1<br />

x3<br />

+ sinθ1<br />

z3<br />

= sinθ<br />

x3<br />

+ cosθ<br />

z3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

z2 = cosθ<br />

⎜−<br />

cosθ<br />

x3<br />

+ sinθ<br />

z3<br />

⎟ + sinθ<br />

⎜sinθ<br />

x3<br />

+ cosθ<br />

z<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

2<br />

2<br />

( sin θ − cosθ<br />

) x + 2sinθ<br />

cosθ<br />

z = ( 2sin θ −1)<br />

z2 =<br />

3<br />

3<br />

x3<br />

+ 2sinθ<br />

cosθ<br />

z3<br />

−−→ → →<br />

⎛ 2<br />

Nous avons ainsi : OG a z − a x = 2a<br />

( 2sin θ −1)<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

= 2<br />

2 3 ⎜<br />

x3<br />

+ 2sinθ<br />

cosθ<br />

z3<br />

⎟ − a x3<br />

⎝<br />

→<br />

3<br />

→<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

⎞<br />

⎠<br />

2<br />

⎧ 4asin<br />

θ − 3a<br />

−−→<br />

⎪<br />

OG=<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

⎩4asinθ<br />

cosθ<br />

R<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

3<br />

• →<br />

= −θ<br />

y<br />

→<br />

0<br />

d’où : V<br />

3<br />

• →<br />

+ ψ z<br />

1<br />

→ → →<br />

0 1 0<br />

π<br />

; avec Ω = Ω3<br />

+ Ω1<br />

et comme : θ = − 2<br />

• → •<br />

→<br />

⎛<br />

= −θ<br />

y3<br />

+ ψ ⎜−<br />

cosθ<br />

x3<br />

+ sinθ<br />

z<br />

⎝<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

8aθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

( G)<br />

= ⎨ 0<br />

•<br />

⎪<br />

2<br />

2<br />

2aθ<br />

(cos θ − sin θ )<br />

R<br />

⎪⎩<br />

3<br />

3 1<br />

θ ⇒<br />

→<br />

3<br />

⎞<br />

⎟=<br />

⎠<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

•<br />

+ ⎨ −θ<br />

∧<br />

•<br />

⎪ ψ sinθ<br />

⎪ R3<br />

R ⎩<br />

3<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

•<br />

⎨ −θ<br />

•<br />

⎪ ψ sinθ<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

3<br />

2<br />

⎧ 4a<br />

sin θ − 3a<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

⎩4a<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

• •<br />

θ 1 = −θ<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

8aθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

− 4aθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

→<br />

•<br />

0<br />

V ( G)<br />

= ⎨ψ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪2aθ<br />

(cos<br />

R ⎩<br />

3<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

4aθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

→<br />

•<br />

0<br />

V ( G)<br />

= ⎨ aψ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪−<br />

aθ<br />

R ⎩<br />

⎛<br />

⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

2<br />

3<br />

•<br />

2<br />

( 4asin<br />

θ − 3a) + ψ cosθ<br />

( 4a<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

)<br />

•<br />

2<br />

2<br />

2<br />

θ − sin θ ) + θ ( 4asin<br />

θ − 3a)<br />

2<br />

2<br />

•<br />

2<br />

⎞<br />

•<br />

•<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

( G)<br />

⎟ = ⎜2aθ<br />

sin 2θ<br />

⎟ + ⎜aψ<br />

sinθ<br />

⎟ + ⎜aθ<br />

⎟<br />

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

→<br />

2<br />

•<br />

2<br />

•<br />

•<br />

•<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎞<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎜V<br />

( G)<br />

⎟ = ⎜aθ<br />

⎟ ( 2sin 2θ<br />

+ 1)<br />

+ ( aψ<br />

sinθ<br />

) = K1θ<br />

+ K<br />

2ψ<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎝<br />

⎠<br />

348


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2. Energie cinétique du système ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

2<br />

1 0T<br />

0 1 ⎛ 0 ⎞<br />

EC<br />

= Ω<br />

4<br />

. I<br />

G<br />

( S<br />

4<br />

). Ω<br />

4<br />

+ M ⎜V<br />

( G)<br />

⎟<br />

2<br />

2 ⎝ ⎠<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

⎡A<br />

0 0⎤⎜−ψ<br />

cosθ<br />

⎟<br />

•<br />

•<br />

1<br />

•<br />

• •<br />

⎜<br />

•<br />

⎡<br />

⎤⎢<br />

⎥ ⎟ 1 ⎛ 2<br />

2<br />

E C<br />

=<br />

⎢<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

, −θ<br />

, ψ sinθ<br />

⎥⎢<br />

0 B 0<br />

⎥⎜<br />

−θ<br />

⎟ + M ⎜ K1θ<br />

+ K<br />

2<br />

ψ<br />

2 ⎣<br />

⎦<br />

•<br />

⎢ ⎥⎜<br />

⎟<br />

2 ⎝<br />

⎣0<br />

0 B⎦<br />

ψ sinθ<br />

⎝ ⎠<br />

•<br />

• •<br />

•<br />

•<br />

1 ⎡ 2 2<br />

2 2 2 ⎤ 1 ⎛ 2<br />

2 ⎞<br />

E C<br />

= ⎢Aψ<br />

cos θ + Bθ<br />

+ Bψ<br />

sin θ ⎥ + M ⎜ K1θ<br />

+ K<br />

2<br />

ψ ⎟<br />

2 ⎣<br />

⎦ 2 ⎝<br />

⎠<br />

1<br />

( ) • ( ) •<br />

2<br />

2<br />

2 1<br />

2<br />

E C<br />

= Acos<br />

θ + Bsin<br />

θ + K<br />

2M<br />

ψ + B + MK1<br />

θ<br />

2<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

3. Puissance des efforts extérieurs, sachant que: P ( R0 / S1)<br />

= 0 et P(<br />

R0<br />

/ S5<br />

) = 0 ;<br />

Les liaisons sont sans frottement :<br />

⎧− M cosθ<br />

→ →<br />

→ →<br />

→<br />

→<br />

Nous avons : = • Ω<br />

0<br />

⎪<br />

P M<br />

4<br />

avec M = M z1<br />

= M ( −cosθ<br />

x3<br />

+ sinθ<br />

z3)<br />

= ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ M sinθ<br />

→<br />

0<br />

4<br />

Ω<br />

→<br />

3<br />

4<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

3<br />

+ Ω<br />

• •<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ϕ−ψ<br />

cosθ<br />

⎟<br />

⎜<br />

•<br />

⎟<br />

= ⎜ −θ<br />

⎟<br />

•<br />

⎜ ⎟<br />

ψ sinθ<br />

⎝ ⎠<br />

• •<br />

⎛ ⎞<br />

⎛− M cosθ<br />

⎞ ⎜ϕ−ψ<br />

cosθ<br />

⎟<br />

→ →<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎜<br />

•<br />

⎟<br />

• •<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

P = M • Ω<br />

4<br />

= ⎜ 0 ⎟ • ⎜ −θ<br />

⎟ = − M cosθ<br />

⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟ + M ψ sin<br />

•<br />

⎜<br />

⎝ ⎠<br />

sinθ<br />

⎟ ⎜<br />

⎝<br />

ψ sinθ<br />

⎟<br />

R M ⎠<br />

3<br />

⎝ ⎠<br />

• •<br />

P = M ψ − M ϕ cosθ<br />

4. Moment cinétique du système en G dans le repère R 3<br />

;<br />

→<br />

σ ( S)<br />

= I<br />

G<br />

G<br />

⎡A<br />

→<br />

0<br />

. Ω =<br />

⎢<br />

4<br />

⎢<br />

0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0<br />

3<br />

0<br />

B<br />

0<br />

• •<br />

⎛ ⎛ ⎞<br />

• •<br />

⎛ ⎞ ⎜ A⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟<br />

0⎤<br />

⎜ϕ−ψ<br />

cosθ<br />

⎟ ⎜ ⎝ ⎠<br />

⎜<br />

•<br />

⎟<br />

•<br />

0<br />

⎥<br />

=<br />

⎜<br />

⎥ ⎜ −θ<br />

⎟ ⎜<br />

− Bθ<br />

•<br />

•<br />

B⎥<br />

⎜ ⎟<br />

⎦<br />

⎜<br />

ψ sinθ<br />

Bψ<br />

sinθ<br />

R ⎝ ⎠ ⎜<br />

3<br />

R ⎝<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

3<br />

2<br />

θ<br />

349


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

5. Moment dynamique du système en G dans le repère R 3<br />

;<br />

→<br />

→<br />

0<br />

3<br />

→<br />

d σ<br />

G<br />

( S)<br />

d σ ( S)<br />

→<br />

G<br />

0<br />

δ<br />

G<br />

( S)<br />

= = + Ω3<br />

∧ σ<br />

G<br />

( S)<br />

dt dt<br />

•• ••<br />

• •<br />

⎛ ⎛<br />

⎞ ⎞<br />

⎜ A⎜ϕ<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

+ ψ θ sinθ<br />

⎟<br />

•<br />

⎟ ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎝<br />

⎠ ⎟ ⎜−ψ<br />

cosθ<br />

⎟<br />

→<br />

••<br />

⎜<br />

⎟ ⎜<br />

•<br />

⎟<br />

δ<br />

G<br />

( S)<br />

=<br />

⎜<br />

− Bθ<br />

⎟<br />

+ ⎜ −θ<br />

⎟<br />

••<br />

• •<br />

•<br />

⎜ ⎛<br />

⎞<br />

B⎜ψ<br />

sinθ<br />

+ ψ θ cosθ<br />

⎟ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎜<br />

⎟<br />

ψ sinθ<br />

⎝<br />

⎠ R ⎝ ⎠<br />

3<br />

R ⎝<br />

⎠<br />

3<br />

→<br />

• •<br />

⎛ ⎛ ⎞<br />

⎜ A⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟<br />

⎜ ⎝ ⎠<br />

•<br />

∧<br />

⎜<br />

⎜<br />

− Bθ<br />

•<br />

⎜ Bψ<br />

sinθ<br />

⎜<br />

R ⎝<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

•• ••<br />

• •<br />

⎛ ⎛<br />

⎞<br />

⎜ A⎜ϕ<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

+ ψ θ sinθ<br />

⎟<br />

⎜ ⎝<br />

⎠<br />

→<br />

•• •<br />

• • •<br />

⎜<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ − −<br />

2<br />

δ<br />

G<br />

( S)<br />

= Bθ<br />

Bψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

+ Aψ<br />

sinθ<br />

⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎝ ⎠<br />

••<br />

• •<br />

• •<br />

• • •<br />

⎜ ⎛<br />

⎞<br />

⎛ ⎞<br />

B⎜ψ<br />

sinθ<br />

+ ψ θ cosθ<br />

⎟ + Bθ ψ cosθ<br />

+ Aθ<br />

⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟<br />

R ⎝ ⎝<br />

⎠<br />

⎝ ⎠<br />

3<br />

•• ••<br />

• •<br />

⎛ ⎛<br />

⎞<br />

⎞<br />

⎜ A⎜ϕ<br />

−ψ<br />

cosθ<br />

+ ψ θ sinθ<br />

⎟ ⎟<br />

⎜ ⎝<br />

⎠ ⎟<br />

→<br />

•• •<br />

• • •<br />

⎜<br />

⎛ ⎞⎟<br />

⎜ − −<br />

2<br />

δ<br />

G<br />

( S)<br />

= Bθ<br />

Bψ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

+ Aψ<br />

sinθ<br />

⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟⎟<br />

⎜<br />

⎝ ⎠<br />

⎟<br />

••<br />

• •<br />

• • •<br />

⎜<br />

⎛ ⎞ ⎟<br />

Bψ<br />

sinθ<br />

+ 2Bθ ψ cosθ<br />

+ Aθ<br />

⎜ϕ<br />

− ψ cosθ<br />

⎟<br />

R ⎝<br />

⎝ ⎠ ⎠<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

Exercice 11 :<br />

Le système mécanique représenté ci dessous est constitué de quatre solides.<br />

→<br />

→<br />

- S 0 : est un bâti fixe lié au repère R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

- S 1 : est un cadre relié au bâti fixe par une liaison sphérique parfaite au point O. Il est lié<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

au repère R O,<br />

x , y , z ) et en mouvement de rotation autour de z 0<br />

z tel que :<br />

→<br />

→ →<br />

≡<br />

1<br />

→ → → →<br />

•<br />

( x0 , x1<br />

) ≡ ( y0<br />

, y1)<br />

= ψ et ψ = Cte<br />

- S 2 : est une tige mince et homogène, de masse m 1 , de longueur AB=2L , liée au cadre par<br />

→ →<br />

deux liaisons rotoïdes d’axe x 2<br />

, x 3<br />

- S 3 : est une plaque homogène rectangulaire, de masse m 2 de dimensions 2a x 2b , soudée à<br />

2<br />

la tige en son centre d’inertie O 2 , tel que O2 C = L et perpendiculaire à la tige AB . la<br />

3<br />

→ →<br />

plaque est animée d’un mouvement de rotation autour de l’axe x 2 ≡ x 3<br />

à une vitesse de<br />

•<br />

rotation θ = Cte . On donne : OC = AC = CB = L .<br />

350


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre d’inertie O 2 dans le repère R 3<br />

est donné par :<br />

⎡A<br />

0 0 ⎤<br />

⎢ ⎥<br />

m2<br />

2 2<br />

I<br />

O<br />

( S3 )<br />

/ R<br />

=<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥<br />

avec A = ( a + b ) ,<br />

2 3<br />

3<br />

R<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

3<br />

2<br />

m 2<br />

b<br />

B = ,<br />

3<br />

2<br />

m 2<br />

a<br />

C =<br />

3<br />

Déterminer :<br />

1. Le vecteur rotation instantané du repère par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R3<br />

R0<br />

0<br />

R0<br />

2<br />

R0<br />

R2<br />

R1<br />

R2<br />

2. La vitesse du point M par rapport à et exprimé dans R ;<br />

3. L’accélération du point O 2 par rapport à et exprimé dans ;<br />

4. La vitesse du point N par rapport à et exprimé dans , sachant que :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1<br />

V ( M ) = α(<br />

t)<br />

x2<br />

+ β ( t)<br />

y2<br />

;<br />

5. Le moment cinétique de la tige AB au point O par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R0<br />

1<br />

R2<br />

R2<br />

6. Le moment cinétique de la plaque au point O 2 par rapport à et exprimé dans ;<br />

7. L’énergie cinétique du système.<br />

A<br />

•<br />

θ<br />

→<br />

→<br />

z , z 0 1<br />

C<br />

→<br />

z 2<br />

→<br />

z 3<br />

→<br />

z<br />

2<br />

S 0<br />

S 3<br />

S 2<br />

O 2<br />

S 1<br />

O<br />

→<br />

B<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

→<br />

x 2 , x 3<br />

2b<br />

θ<br />

O 2<br />

2a<br />

M<br />

•<br />

N<br />

•<br />

→<br />

y 3<br />

→<br />

y 2<br />

→<br />

x<br />

0<br />

ψ<br />

x 1<br />

Solution :<br />

1. Vecteur rotation instantané du repère par rapport à et exprimé dans R ;<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

S 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié au bâti fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

S 1<br />

→ • → • →<br />

Ω1 0<br />

z1<br />

0<br />

R O,<br />

x , y , z ) lié à tel que : = ψ z = ψ ;<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2 2<br />

S 2<br />

1<br />

R O , x , y , z ) lié à tel que : Ω = 0 ; x 2<br />

x ,<br />

→<br />

2<br />

→<br />

R3<br />

R0<br />

0<br />

→ →<br />

≡<br />

1<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

→ →<br />

z 2 ≡ z 1<br />

→ → →<br />

3<br />

(<br />

2 3 3 3<br />

1<br />

R O , x , y , z ) lié à tel que : = θ x = θ ;<br />

S 3<br />

→ • → • →<br />

Ω3 2<br />

x3<br />

→ →<br />

≡<br />

3<br />

x 2<br />

x<br />

351


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2<br />

OC = AC = CB = L ; O2 C = L<br />

3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

• →<br />

• →<br />

0 2 1 0<br />

Nous avons : Ω3 = Ω3<br />

+ Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

= θ x1<br />

+ 0+<br />

ψ z0<br />

avec :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x1 = cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

•<br />

→<br />

⎛<br />

= θ ⎜cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

•<br />

⎞<br />

⎟ + ψ z<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

θ cosψ<br />

•<br />

= ⎨θ<br />

sinψ<br />

•<br />

⎪<br />

⎪ψ<br />

R ⎩<br />

0<br />

2. Vitesse du point M par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R0<br />

2<br />

−−→<br />

OM<br />

−−→ −−→ −−→ →<br />

2<br />

→ → →<br />

2<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

= OC+<br />

CO2 + O2M<br />

= L z2<br />

+ L x2<br />

+ a y3<br />

= L z2<br />

+ L x2<br />

+ a⎜cosθ<br />

y2<br />

+ sinθ<br />

z<br />

3<br />

3 ⎝<br />

→<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎧ 2<br />

⎪ L<br />

−−→<br />

3<br />

OM = ⎨ a cosθ<br />

; et<br />

⎪L<br />

+ asinθ<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−−→<br />

−−→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

d OM d OM<br />

−−→<br />

0<br />

M ) = = + Ω<br />

2<br />

∧ OM<br />

dt dt<br />

→<br />

0<br />

V<br />

M ) =<br />

R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

•<br />

aθ<br />

•<br />

aθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

+ ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

0<br />

∧<br />

•<br />

⎧ 2<br />

⎪ L<br />

3<br />

⎨ a cosθ<br />

⎪L<br />

+ asinθ<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

− aψ<br />

cosθ<br />

•<br />

⎨−<br />

aθ<br />

sinθ<br />

+<br />

⎪<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ aθ<br />

cosθ<br />

2<br />

2<br />

3<br />

•<br />

Lψ<br />

3. Accélération du point O 2 par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R0<br />

2<br />

⎧2<br />

⎪ L<br />

−−→ −−→ −−→ →<br />

2<br />

→<br />

OO = OC+<br />

CO = L z + Lx<br />

3 2 2 2 ⎨ 0<br />

3 ⎪ L<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2<br />

;<br />

2<br />

→<br />

0<br />

V<br />

−−→<br />

−−→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

d OO<br />

−−→<br />

2<br />

d OO2<br />

0<br />

= = + Ω<br />

2<br />

∧<br />

2<br />

( O2<br />

)<br />

OO<br />

dt dt<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→ −−→<br />

0<br />

= Ω<br />

2<br />

∧<br />

2<br />

V ( O ) OO car<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( O<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

) = ⎨ 0 ∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

2<br />

0<br />

2<br />

d<br />

2<br />

⎧2<br />

⎪ L<br />

3<br />

⎨ 0 =<br />

⎪ L<br />

⎪ R<br />

R ⎩<br />

−−→<br />

OO<br />

dt<br />

2<br />

→<br />

= 0<br />

⎧<br />

⎪2 0<br />

•<br />

⎨ Lψ<br />

⎪3<br />

⎩ 0<br />

0<br />

352


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’accélération se déduit par dérivation :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

2 0<br />

→ →<br />

0 d V ( O2<br />

) d V ( O2<br />

) 0 0<br />

γ ( O2<br />

) = = + Ω<br />

2<br />

∧V<br />

( O2<br />

) avec :<br />

dt dt<br />

d<br />

2<br />

→<br />

0<br />

( O2<br />

V<br />

dt<br />

)<br />

→<br />

= 0<br />

car<br />

•<br />

ψ = Cte<br />

d’où :<br />

→<br />

0<br />

γ ( O<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

) = ⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ψ<br />

2<br />

0<br />

∧<br />

•<br />

⎧<br />

⎪2 0<br />

⎨ Lψ<br />

⎪3<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

•<br />

=<br />

⎧ 2<br />

⎪ − Lψ<br />

⎪ 3<br />

⎨ 0<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

•<br />

2<br />

→<br />

4. Vitesse V 0 ( N)<br />

dans R , sachant que : V<br />

Nous avons par la cinématique du solide : V<br />

−−→<br />

=<br />

MN<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ 0 =<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

b R<br />

3<br />

2<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨ bsinθ<br />

⎪<br />

⎩−<br />

bcosθ<br />

2<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

→<br />

→<br />

( M ) = α(<br />

t)<br />

x2<br />

+ β ( t)<br />

y2<br />

→<br />

1<br />

→<br />

1<br />

3<br />

−−→<br />

( N)<br />

= V ( M ) + Ω ∧ MN<br />

→<br />

1<br />

V<br />

→<br />

( N)<br />

= α ( t)<br />

x<br />

2<br />

→<br />

+ β ( t)<br />

y<br />

2<br />

⎧0<br />

⎪<br />

+ ⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

R<br />

2<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

bsinθ<br />

bcosθ<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

α(<br />

t)<br />

+ bθ<br />

sinθ<br />

⎨β<br />

( t)<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

2<br />

5. Moment cinétique de la tige AB au point O par rapport à et exprimé dans R ;<br />

R0<br />

1<br />

→<br />

→ −→ →<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

( O)<br />

= σ ( C)<br />

+ OC∧<br />

m1<br />

V ( C)<br />

= σ ( C)<br />

= I<br />

C<br />

σ . Ω car : V 0 ( C)<br />

= 0 et<br />

→<br />

0<br />

2<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

0<br />

1<br />

= Ω<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎢0<br />

0 0 ⎥<br />

⎡ ⎤<br />

⎡ ⎤<br />

→<br />

⎢<br />

⎥<br />

0 ⎢ 0 ⎥<br />

0<br />

m L<br />

m L m L<br />

σ ( O)<br />

z<br />

→<br />

2<br />

2 • → 2 • →<br />

0<br />

1<br />

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1<br />

1<br />

= I ⎢<br />

⎥<br />

C<br />

. Ω1<br />

= 0 0<br />

⎢<br />

0 =<br />

= =<br />

⎢<br />

⎥<br />

• ⎥<br />

0 ψ z2<br />

ψ<br />

1<br />

3<br />

⎢ 2 • ⎥<br />

2<br />

⎢<br />

⎥ ⎢⎣<br />

⎥ m 3 3<br />

1L<br />

m ⎦ ⎢ ⎥<br />

1L<br />

R ψ<br />

ψ<br />

2<br />

⎢0<br />

0 ⎥ R ⎣ 3 ⎦<br />

2<br />

R ⎣<br />

3 ⎦<br />

2<br />

6. Moment cinétique de la plaque au point O 2 par rapport à et exprimé dans R ;<br />

→<br />

0<br />

( O2<br />

) = I<br />

O2<br />

σ<br />

→<br />

2<br />

3<br />

. Ω<br />

R2<br />

2<br />

353


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

354<br />

A.KADI<br />

b<br />

a<br />

m<br />

R<br />

R<br />

a<br />

m<br />

m b<br />

b<br />

a<br />

m<br />

R<br />

O<br />

2<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

+<br />

=<br />

•<br />

•<br />

→<br />

0<br />

0<br />

(<br />

3<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

(<br />

3<br />

)<br />

(<br />

2)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

θ<br />

θ<br />

σ<br />

→<br />

•<br />

→<br />

+<br />

= 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

)<br />

(<br />

3<br />

)<br />

( z<br />

b<br />

a<br />

m<br />

O<br />

θ<br />

σ<br />

8. Energie cinétique du système.<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

( 3<br />

2 S<br />

E<br />

S<br />

E<br />

Système<br />

E<br />

C<br />

C<br />

C +<br />

=<br />

C<br />

T<br />

C<br />

S<br />

I<br />

C<br />

V<br />

m<br />

S<br />

E<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Ω<br />

Ω<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

0<br />

1<br />

3<br />

0<br />

1<br />

2<br />

0<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

).<br />

(<br />

.<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

•<br />

•<br />

•<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

=<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

6<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

).<br />

(0,0,<br />

2<br />

1<br />

)<br />

( ψ<br />

ψ<br />

ψ<br />

m L<br />

R<br />

m L<br />

m L<br />

R<br />

S<br />

E C<br />

C<br />

T<br />

C<br />

S<br />

I<br />

O<br />

V<br />

m<br />

S<br />

E<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Ω<br />

Ω<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

0<br />

3<br />

3<br />

0<br />

3<br />

2<br />

2<br />

0<br />

2<br />

3<br />

2<br />

1<br />

).<br />

(<br />

.<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

+<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

•<br />

•<br />

•<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

(<br />

3<br />

,0,0)<br />

(<br />

2<br />

1<br />

3<br />

2<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

θ<br />

θ<br />

ψ<br />

R<br />

a<br />

m<br />

m b<br />

b<br />

a<br />

m<br />

R<br />

L<br />

m<br />

S<br />

E<br />

2<br />

C<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

+<br />

+<br />

=<br />

+<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3 )<br />

(<br />

6<br />

9<br />

2<br />

)<br />

(<br />

3<br />

2<br />

1<br />

3<br />

2<br />

2<br />

1<br />

)<br />

( θ<br />

ψ<br />

θ<br />

ψ<br />

b<br />

a<br />

m<br />

L<br />

m<br />

b<br />

a<br />

m<br />

L<br />

m<br />

S<br />

E<br />

2<br />

C<br />

•<br />

•<br />

•<br />

+<br />

+<br />

+<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

6<br />

9<br />

2<br />

6<br />

)<br />

( θ<br />

ψ<br />

ψ<br />

b<br />

a<br />

m<br />

L<br />

m<br />

m L<br />

Système<br />

E C<br />

•<br />

•<br />

+<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

)<br />

(<br />

6<br />

9<br />

2<br />

6<br />

)<br />

( θ<br />

ψ<br />

b<br />

a<br />

m<br />

L<br />

m<br />

m<br />

Système<br />

E C


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE IX<br />

THEOREMES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE<br />

354


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

THEOREMES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE<br />

1. Objectif de la dynamique<br />

La dynamique permet d’analyser les liens existant entre les mouvements déjà décrits par la<br />

cinématique et les forces où actions qui leurs ont donné naissance.<br />

Elle permet d’examiner le concept de force et d’une manière globale le concept d’efforts<br />

exercés sur un système matériel quelconque. Pour toutes ces raisons, nous sommes amenés à<br />

introduire la notion de torseur des efforts extérieurs, nécessaire à l’écriture du principe<br />

fondamental de la dynamique.<br />

2. Notions de référentiels<br />

A partir du principe de l’action et de la réaction et du principe fondamental de la dynamique,<br />

nous pouvons établir les théorèmes généraux de la dynamique dans un référentiel Galiléen ou<br />

non Galiléen.<br />

En effet, un référentiel est dit Galiléen ou (absolu) si les lois de Newton exprimées dans celuici<br />

sont valables. Tout repère en mouvement de translation uniforme par rapport à un repère<br />

Galiléen est lui aussi Galiléen, car les accélérations constatées à partir d’un même point seront<br />

les même dans les deux repères.<br />

3. Expression de la loi fondamentale de la dynamique<br />

Soit un système matériel (S) non isolé et soumis à des interactions dans un repère Galiléen<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) . Pour ce système matériel on distingue deux types d’actions :<br />

- Les actions mécaniques intérieures, résultant des actions d’une partie de (S) sur une autre<br />

→<br />

partie de (S) ; ces actions sont appelées forces intérieures et notées : d F i<br />

;<br />

- Les actions mécaniques extérieures résultant des actions du reste de l’univers (le milieu<br />

→<br />

extérieur) sur (S) , ces actions sont appelées forces extérieures et notées : d F e<br />

.<br />

Il faut choisir convenablement les conditions aux limites du système pour pouvoir classer les<br />

actions (forces) intérieures et extérieures.<br />

355


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

En un point quelconque M du système (S) , la relation fondamentale de la dynamique<br />

s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

(<br />

d Fi + d Fe<br />

= γ M ) dm<br />

dm : élément de masse au voisinage du point M ;<br />

→<br />

γ (M ) : accélération du point M .<br />

→<br />

z<br />

→<br />

d F e<br />

M<br />

dm<br />

→<br />

d F i<br />

En sommant sur l’ensemble du système matériel, nous avons :<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

∫<br />

→<br />

∫<br />

→<br />

d F + d F = γ ( M ) dm<br />

i<br />

S<br />

e<br />

S<br />

→<br />

x<br />

o<br />

→<br />

y<br />

En un point A quelconque de l’espace les moments, de ces forces, sont donnés par :<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

∫<br />

−−→<br />

→<br />

∫<br />

−−→<br />

AP ∧ d F + AP∧<br />

d F = AP∧<br />

γ ( M ) dm<br />

i<br />

S<br />

Nous supposons que le système matériel (S) n’échange pas de matière avec d’autres<br />

systèmes et que sa masse totale est constante.<br />

Les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur (S) sont représentées par un torseur<br />

[ τ Fext<br />

] A<br />

: appelé torseur des forces extérieures dont les éléments de réduction au point A<br />

e<br />

S<br />

→<br />

sont : [ τ ]<br />

Fext<br />

A<br />

⎧<br />

⎪ F<br />

⎨ −<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

ext<br />

=<br />

→<br />

Aext<br />

→<br />

F : est la résultante des forces extérieures s’exerçant sur le système (S)<br />

ext<br />

M − → Aext<br />

: est le moment au point A des forces extérieures s’exerçant sur le système (S).<br />

Le principe fondamental de la dynamique montre que dans tout référentiel Galiléen, le<br />

torseur dynamique [ D] du système (S) est égal au torseur des forces extérieures [ τ ]<br />

calculé au même point A .<br />

A<br />

Les éléments de réduction du torseur dynamique [ D du système (S) dans le repère Galiléen<br />

] A<br />

Fext<br />

A<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

sont : [ D]<br />

A<br />

⎪⎧<br />

D<br />

⎨<br />

⎪⎩ δ<br />

A<br />

= →<br />

→<br />

→<br />

→<br />

δ A<br />

D : la résultante dynamique ; : le moment dynamique au point A.<br />

356


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’égalité des deux torseurs induit l’égalité de leurs éléments de réduction. Ce principe<br />

équivaut à la généralisation des lois de Newton. Les éléments des deux torseurs peuvent être<br />

calculés séparément et ensuite faire l’égalité des expressions obtenues.<br />

Le point A par rapport auquel on calcul les moments est un point quelconque, il faut faire un<br />

choix judicieux pour faciliter l’écriture des équations. Souvent dans les problèmes de<br />

mécanique, on choisi le centre de masse du système car le moment d’inertie intervenant dans<br />

les calculs est plus facile à déterminer.<br />

3.1. Théorème de la résultante dynamique<br />

Soit un système matériel (S) en mouvement dans un repère Galiléen<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

et soumis à des actions extérieures. La résultante dynamique du système matériel (S) est<br />

égale à la résultante des actions (forces) mécaniques extérieures.<br />

→<br />

→<br />

0<br />

D( S / R = = ∑ →<br />

0<br />

) mγ<br />

( G / R0<br />

) Fext<br />

G : est le centre de masse du système.<br />

La résultante des forces extérieures est égale à la masse du système par l’accélération de son<br />

centre d’inertie.<br />

3.2. Théorème du moment dynamique<br />

Soit un système matériel (S) en mouvement dans un repère Galiléen<br />

et soumis à des actions extérieures. Le moment dynamique du système matériel (S) en un<br />

point A quelconque est égale au moment des actions (forces) mécaniques extérieures au<br />

même point A.<br />

→<br />

−→<br />

δ<br />

A<br />

( S / R0 ) = M<br />

A<br />

( S / R0<br />

)<br />

Au centre d’inertie du système cette égalité s’écrirait :<br />

→<br />

δ ( S / R ) = M<br />

G<br />

0<br />

−→<br />

G<br />

→<br />

d σ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

( S / R0<br />

) =<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

Comme nous l’avons déjà montré précédemment, le moment cinétique au point G centre<br />

d’inertie du système est indépendant du repère dans lequel il est mesuré, alors il est souvent<br />

plus simple d’effectuer le calcul des moments dynamiques au centre d’inertie des systèmes.<br />

357


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Remarque :<br />

Le moment dynamique d’un système composé est égal à la somme des moments dynamiques<br />

des éléments qui le compose par rapport au même point.<br />

3.3. Equations scalaires déduites du principe fondamental<br />

Les équations vectorielles de la résultante et du moment dynamique conduisent chacune à<br />

trois équations scalaires, soit pour les deux à six équations scalaires pour un système matériel<br />

donné.<br />

Le choix du repère pour expliciter l’équation de la résultante dynamique est le choix du point<br />

où sera calculé le moment dynamique doivent être judicieux de manière à simplifier l’écriture<br />

mathématique des équations scalaires.<br />

Ces équations scalaires sont des équations différentielles de second ordre et en générale non<br />

linéaires. Elles contiennent les caractéristiques d’inertie et les données géométriques du<br />

système ainsi que les composantes d’actions mécaniques appliquées au système.<br />

4. Principe de l’action et de la réaction<br />

Deux points A et B quelconque d’un système<br />

matériel (S) sont en interaction, ils s’influencent<br />

mutuellement par les actions et les réactions de<br />

l’un sur l’autre.<br />

→<br />

F : action de A sur B<br />

A / B<br />

B<br />

→<br />

F A / B<br />

(S)<br />

→<br />

F<br />

B / A<br />

A<br />

→<br />

F B<br />

: action de B sur A<br />

/ A<br />

Ces deux actions s’équilibrent, le principe de l’action et de la réaction se traduit par<br />

l’équation :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

F A<br />

+ F = 0<br />

/ B B / A<br />

Cette expression signifie que les actions sont portées par la droite qui joint les deux points A<br />

et B , on peut écrire alors :<br />

→<br />

−→<br />

A / B<br />

λ<br />

F<br />

= AB<br />

et<br />

→<br />

−→<br />

B / A<br />

λ<br />

F<br />

= BA<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

FA<br />

/ B<br />

+ FB<br />

/ A<br />

= λ AB+<br />

λ BA = λ ( AB−<br />

AB)<br />

= 0<br />

−→<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

358


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A.KADI<br />

4.1. Théorème de l’action et de la réaction<br />

Soient deux systèmes matériels (S 1 ) et (S 2 ) en mouvement dans un référentiel Galiléen R 0<br />

.<br />

Appelons (S) le système constitué de la réunion des deux systèmes : ( S)<br />

= ( S 1<br />

) ∪ ( S 2<br />

)<br />

Le torseur des forces extérieures s’exerçant sur ( S 1<br />

) se décompose en :<br />

- [] τ<br />

Fext1 : résultant des actions du milieu extérieur (S) sur (S 1 ) ;<br />

- [] τ<br />

12 : résultant des actions de (S 2 ) sur (S 1 ) ;<br />

Le torseur des forces extérieures s’exerçant sur ( S 2<br />

) se décompose, en :<br />

- [] τ<br />

Fext2 : résultant des actions du milieu extérieur (S) sur (S 2 ) ;<br />

- [] τ<br />

21 : résultant des actions de (S 1 ) sur (S 2 ) ;<br />

Appliquons le principe fondamental de la dynamique dans le repère Galiléen<br />

R 0<br />

aux<br />

différents systèmes :<br />

D<br />

1<br />

= τ<br />

Fext<br />

+ τ<br />

- à (S 1 ) : [ ] [ ] 1<br />

[ ] 12<br />

D<br />

2<br />

= τ<br />

Fext<br />

+ τ<br />

- à (S 2 ) : [ ] [] 2<br />

[] 12<br />

D<br />

= τ + τ<br />

- à (S) : [ ] [ ]<br />

Fext1<br />

[ ]<br />

Fext2<br />

Sachant que : [ D ] = [ D] 1<br />

+ [ D] 2<br />

en les remplaçant par leurs expressions on obtient :<br />

→<br />

F n<br />

(S 1 )<br />

→<br />

F 1<br />

(S 2 )<br />

→<br />

F<br />

2<br />

→<br />

F 3<br />

[] τ<br />

Fext 1<br />

+ [] τ<br />

Fext 2<br />

= [] τ<br />

Fext 1<br />

+ [] τ 21<br />

+ [] τ<br />

Fext 2<br />

+ [ τ ] 12 ⇔ [ τ ]<br />

12<br />

+ [ τ ]<br />

12<br />

= 0 ⇒ [ τ ]<br />

21<br />

= −[ τ ]<br />

12<br />

Cette expression traduit le théorème de l’action et de la réaction. Pour le système matériel (S)<br />

la relation : [] + [] τ 0<br />

τ caractérise les actions intérieures.<br />

12 12<br />

=<br />

D’une manière générale, lorsqu’il est possible de caractériser toutes les actions mécaniques<br />

intérieures à un système matériel (S) par un torseur [ τ ] F int , celui-ci est toujours nul.<br />

[ τ ]<br />

F int<br />

= 0<br />

4.2. Propriétés des forces intérieures<br />

Le torseur des forces intérieures a comme éléments de réduction : [ τ ]<br />

F int<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

⎨ →<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

= 0<br />

int<br />

=<br />

→<br />

Aint<br />

= 0<br />

→<br />

n<br />

i=<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R<br />

int<br />

= ∑ ( F ij<br />

+ F ji<br />

) = 0 action réaction<br />

→<br />

→<br />

= −<br />

ji<br />

F ij<br />

F<br />

359


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A.KADI<br />

Le moment des forces intérieures en un point A quelconque de l’espace est donné par :<br />

−→<br />

−−→ → −−→ →<br />

−−→ → −−→ −−−−→ →<br />

⎛<br />

⎞ ⎛<br />

M<br />

A int<br />

= ∑⎜<br />

AM<br />

i<br />

∧ Fij<br />

+ AM<br />

j<br />

∧ F<br />

ji ⎟ = ∑⎜<br />

AM<br />

i<br />

∧ Fij<br />

+ ( AM<br />

i<br />

+ M<br />

iM<br />

j<br />

) ∧ F<br />

⎝<br />

⎠ ⎝<br />

i<br />

i<br />

−−→ → → −−−−→ → →<br />

⎛<br />

⎞<br />

= ∑⎜<br />

AM<br />

i<br />

∧ ( Fij<br />

+ F<br />

ji<br />

) + M<br />

iM<br />

j<br />

∧ F<br />

ji ⎟ = 0<br />

⎝<br />

⎠<br />

i<br />

ji<br />

⎟ ⎠<br />

⎞<br />

car<br />

→ →<br />

( F ij<br />

Fji<br />

→<br />

+ ) = 0<br />

et<br />

−−−−→<br />

M M<br />

i<br />

j<br />

→<br />

→<br />

∧ F = 0<br />

ji<br />

Le torseur des forces intérieures est toujours un torseur nul : [ τ ]<br />

F int<br />

= 0<br />

5. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non Galiléen<br />

Soit un repère Galiléen<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

et un système matériel (S) lié à un repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O1<br />

, x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

en mouvement quelconque mais déterminé et connu par rapport à R0<br />

.<br />

L’application du théorème fondamental au système matériel (S) dans son mouvement par<br />

rapport au repère Galiléen<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

se traduit par l’égalité du torseur dynamique du<br />

système et du torseur des forces extérieures en un point A quelconque et s’écrit :<br />

[ D]<br />

A / R0<br />

[ D] A / R<br />

= [ τ ]<br />

0 Fext A / R0<br />

⎧<br />

→<br />

⎪ D =<br />

= ⎨ →<br />

⎪<br />

0<br />

δ<br />

A<br />

=<br />

⎪⎩<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) dm<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

AM ∧ γ ( M ) dm<br />

Nous avons vu précédemment en cinématique du solide que la loi de composition des<br />

vecteurs accélérations s’écrit :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

→<br />

0<br />

0<br />

1 ⎜ 0 d Ω<br />

γ ( M ) = γ ( M ) + ⎜γ<br />

( O1<br />

) +<br />

dt<br />

⎝<br />

0<br />

1<br />

⎞<br />

−−−→ → → −−−→ → →<br />

0 0 ⎟ ⎛ 0 1 ⎞<br />

∧ O1M<br />

+ Ω1<br />

∧ Ω1<br />

∧ O1M<br />

⎟ + 2⎜Ω1<br />

∧V<br />

( M ) ⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎠<br />

0<br />

1<br />

0<br />

Sous forme réduite cette expression s’écrit : γ ( M ) = γ ( M ) + γ ( M ) + γ ( M )<br />

→<br />

γ 0 ( M ) : accélération absolue du point M ;<br />

→<br />

γ 1 ( M ) : accélération relative du point M ;<br />

→<br />

→<br />

→<br />

1<br />

→<br />

C<br />

360


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

γ ( ) : accélération d’entraînement du point M ;<br />

1<br />

M<br />

→<br />

γ (M ) : accélération de Coriolis (ou complémentaire) du point M.<br />

C<br />

Ces trois accélérations donnent naissance à des résultantes dynamiques et à des moments<br />

dynamiques en un point A quelconque de l’espace, nous aurons ainsi les trois torseurs<br />

suivants:<br />

[ D] A / R<br />

= [ D] [ ] [ ] [ ]<br />

0 A / R<br />

+ D<br />

1 ie<br />

+ D<br />

A ic<br />

= τ<br />

A Fext A / R0<br />

- Torseur dynamique du système (S) dans son mouvement relatif par rapport à R 1<br />

:<br />

[ D]<br />

A / R1<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎪⎩<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

1<br />

γ ( M ) dm<br />

→<br />

1<br />

AM ∧ γ ( M ) dm<br />

- Torseur des forces d’inertie d’entraînement du système (S)<br />

[ D ]<br />

- Torseur des forces de Coriolis :<br />

[ D ]<br />

ic<br />

ie A∈R<br />

1 / R0<br />

A<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

∫<br />

S<br />

∫<br />

S<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎪⎩<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

0<br />

∫γ<br />

1<br />

S<br />

−−→<br />

( M ) dm<br />

→<br />

0<br />

AM ∧ γ ( M ) dm<br />

→ →<br />

⎛ 0 1 ⎞<br />

2⎜Ω1<br />

∧V<br />

( M ) ⎟dm<br />

⎝<br />

⎠<br />

−−→ → →<br />

⎛ 0 1 ⎞<br />

AM ∧ 2⎜Ω1<br />

∧V<br />

( M ) ⎟dm<br />

⎝<br />

⎠<br />

En remplaçant les expressions des trois torseurs, nous déduisons facilement le torseur<br />

dynamique dans le repère non Galiléen R 1<br />

:<br />

[ D] A / R<br />

[ τ Fext<br />

] A R<br />

− [ D ie<br />

] A R R<br />

− [ D ic<br />

]<br />

/<br />

A<br />

= 0<br />

∈ 1 0<br />

1 /<br />

Cette expression d’égalité des torseurs se traduit par deux équations vectorielles :<br />

1<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

1<br />

γ ( M ) dm =<br />

∑<br />

i<br />

F<br />

→<br />

ext<br />

−<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) dm −<br />

1<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

⎛ 0<br />

2⎜Ω1<br />

∧V<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

( M ) ⎟dm<br />

⎠<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

1<br />

AM ∧ γ ( M ) dm =<br />

−−→<br />

AM ∧<br />

∑<br />

i<br />

F<br />

→<br />

ext<br />

−<br />

∫<br />

S<br />

−−→<br />

→<br />

0<br />

AM ∧ γ ( M ) dm −<br />

1<br />

∫<br />

S<br />

−−→ →<br />

⎛ 0<br />

AM ∧ 2⎜Ω1<br />

∧V<br />

⎝<br />

→<br />

1<br />

⎞<br />

( M ) ⎟dm<br />

⎠<br />

361


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Les actions d’inertie d’entraînement et de Coriolis sont des actions immatérielles, donc<br />

fictives qui traduisent l’influence du mouvement d’un repère non Galiléen par rapport à un<br />

repère Galiléen.<br />

6. Théorème de l’énergie cinétique<br />

Dans de nombreux cas, pour déterminer l’équation du mouvement d’un solide où d’un<br />

système de solide, il est plus judicieux d’utiliser le théorème de l’énergie cinétique afin<br />

d’aboutir à la solution du problème mécanique.<br />

De plus la dérivée de l’énergie cinétique est liée à la puissance des efforts intérieurs et<br />

extérieurs agissant sur le solide.<br />

6.1. Travail et puissance d’une force<br />

Soit un système discret composé de n particules M i de masse m i , mobiles dans un<br />

→<br />

→<br />

→<br />

référentiel Galiléen R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

. Soit OM le vecteur position dans le repère<br />

−−−→<br />

i<br />

R de la<br />

particule M i<br />

, son vecteur vitesse s’écrirait :<br />

−−−→<br />

→<br />

d OM<br />

−−−→ →<br />

i<br />

V ( M<br />

i<br />

) = ⇒ d OM<br />

i<br />

= V ( M<br />

i<br />

) dt<br />

dt<br />

−−−→<br />

d OM i<br />

: le vecteur déplacement élémentaire durant un temps dt<br />

M i<br />

→<br />

F i<br />

Si la particule est soumise à une force , le travail élémentaire de cette force est égale à :<br />

dW<br />

i<br />

→ −−−→<br />

= Fi<br />

• d OM<br />

i<br />

La puissance que reçoit la particule M i<br />

est égal à :<br />

P<br />

i<br />

=<br />

dW<br />

dt<br />

i<br />

→<br />

= F<br />

i<br />

•<br />

−−−→<br />

d OM<br />

dt<br />

i<br />

=<br />

→ →<br />

Fi<br />

• V ( M<br />

i<br />

)<br />

→<br />

il faut noter que chaque terme F contient les forces intérieures et extérieures tel<br />

→<br />

→ →<br />

=<br />

i int iext<br />

i<br />

→<br />

F i int<br />

que : F F + F ; pour l’ensemble du système nous aurons :<br />

i<br />

∑<br />

→<br />

i<br />

•<br />

−−−→<br />

∑<br />

→<br />

( Fi<br />

int<br />

W = F d OM = + F )<br />

i<br />

∑<br />

i<br />

→ →<br />

→<br />

Fi<br />

• V ( M<br />

i<br />

) = ∑(<br />

Fi<br />

int<br />

i<br />

i<br />

→<br />

→<br />

iext<br />

−−−→<br />

• d OM<br />

i<br />

→<br />

• V<br />

P =<br />

+ F ) ( M )<br />

i<br />

iext<br />

i<br />

→<br />

F iext<br />

362


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6.2. Théorème de l’énergie cinétique<br />

L’ensemble des n particules M i de masse m i et de vitesse<br />

V →<br />

( M<br />

i<br />

) en mouvement dans le<br />

référentiel Galiléen<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R(<br />

O,<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

a pour énergie cinétique<br />

E<br />

C<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

1<br />

→<br />

⎛<br />

mi<br />

⎜V<br />

( M<br />

2 ⎝<br />

La dérivée de cette expression par rapport au temps donne :<br />

i<br />

⎞<br />

) ⎟<br />

⎠<br />

2<br />

dE<br />

dt<br />

C<br />

=<br />

n<br />

∑<br />

i=<br />

1<br />

→<br />

V ( M<br />

i<br />

)<br />

mi<br />

dt<br />

→<br />

• V<br />

( M )<br />

i<br />

or la force à laquelle est soumise la particule M i<br />

est égale à :<br />

ainsi :<br />

dE<br />

dt<br />

C<br />

n<br />

= ∑ Fi<br />

i=<br />

1<br />

→ →<br />

• V ( M<br />

i<br />

) = P<br />

→<br />

(<br />

d V M<br />

F<br />

→ i<br />

)<br />

= i<br />

m , on obtient<br />

i<br />

dt<br />

Comme la force<br />

→<br />

F i<br />

contient des forces d’origines intérieures et extérieures, cette relation<br />

peut s’écrire :<br />

dE<br />

dt<br />

C<br />

= P int<br />

+ P<br />

P<br />

int<br />

: puissance fournie au système par les forces intérieures ;<br />

P<br />

ext<br />

: puissance fournie au système par les forces extérieures.<br />

ext<br />

La puissance des efforts intérieurs et extérieurs est égale à la dérivée par rapport au temps de<br />

l’énergie cinétique.<br />

En intégrant l’expression précédente entre deux instants et t , le théorème de l’énergie<br />

t1<br />

2<br />

cinétique devient :<br />

E<br />

C<br />

t2<br />

( t2 ) − EC<br />

( t1)<br />

= ∫ ( Pint<br />

+ Pext<br />

) dt<br />

t1<br />

E ( t E t = W + W<br />

C<br />

2<br />

) −<br />

C<br />

(<br />

1)<br />

int<br />

ext<br />

la variation de l’énergie cinétique entre deux instants et t est égale au travail de toutes<br />

t1<br />

2<br />

les forces intérieures et extérieures qui s’appliquent sur l’ensemble des particules.<br />

363


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A.KADI<br />

6.3. Energie cinétique d’un solide indéformable<br />

Dans le cas d’un solide indéformable l’énergie cinétique est donnée par :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

1<br />

∫ →<br />

2<br />

V<br />

2<br />

S<br />

E = ( M ) dm<br />

C<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1 1<br />

Soit R O,<br />

x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O , x , y , z ) un repère lié au solide (S)<br />

indéformable, en mouvement quelconque tel que<br />

O ∈ ( ) .<br />

1<br />

S<br />

→<br />

Ω1<br />

R1<br />

2<br />

0<br />

Soit : la vitesse de rotation du repère par rapport au repère R et M un point<br />

quelconque du solide, nous écrire par la cinématique du solide :<br />

→<br />

→<br />

→ −−−→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

V ( M ) = V ( O1<br />

) + Ω1<br />

∧ O1M<br />

L’énergie cinétique du solide (S) en mouvement par rapport à un repère fixe<br />

R 0<br />

a pour<br />

expression :<br />

dE<br />

dt<br />

→<br />

0 →<br />

C<br />

→<br />

0<br />

→<br />

= 0 d V ( M )<br />

0<br />

0<br />

V ( M ) • dm V ( M ) •<br />

∫ =<br />

( M ) dm<br />

dt<br />

∫ γ<br />

S<br />

S<br />

dE<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

⎛<br />

−−−→<br />

0<br />

0 ⎞ 0<br />

= V ( O1<br />

)<br />

1<br />

O1M<br />

•<br />

∫ ⎜ + Ω ∧ ⎟ γ ( M ) dm<br />

⎝<br />

⎠<br />

0 →<br />

C<br />

S<br />

en utilisant la règle de permutation dans le produit mixte, l’expression devient :<br />

dE<br />

dt<br />

0<br />

C<br />

→<br />

0<br />

= V<br />

( O )<br />

1<br />

→<br />

0<br />

•<br />

∫<br />

S<br />

γ ( M ) dm + Ω<br />

→ −−−→ →<br />

0<br />

0<br />

1<br />

• ∧<br />

∫ O1M<br />

γ<br />

S<br />

qui peut s’écrire aussi sous la forme de produit de deux torseurs :<br />

dE<br />

dt<br />

0<br />

C<br />

⎧<br />

⎪<br />

= ⎨<br />

⎪<br />

⎩V<br />

→<br />

Ω<br />

0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

1<br />

( O )<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎪⎩<br />

∫<br />

S<br />

•<br />

∫<br />

S<br />

→<br />

0<br />

γ ( M ) dm<br />

→<br />

=<br />

−−−→<br />

0<br />

O M ∧ γ ( M ) dm<br />

1<br />

( M ) dm<br />

[ C] • [ D]<br />

La dérivée de l’énergie cinétique est égale au produit des torseurs cinématiques et<br />

dynamiques, elle est donc égale à la puissance des quantités d’accélérations absolues.<br />

On a vu précédemment, d’après le théorème fondamental de la dynamique que le torseur<br />

dynamique est égal au torseur des efforts extérieurs pour un solide indéformable, d’où<br />

l’expression finale :<br />

dE<br />

C =<br />

dt<br />

P<br />

ext<br />

O1<br />

O1<br />

364


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A.KADI<br />

6.4. Conservation de l’énergie totale<br />

Le théorème de l’énergie cinétique peut alors s’écrire :<br />

dE = P dt = dW<br />

C<br />

ext<br />

Si toutes les forces extérieures dérivent d’une fonction potentielle U (r) indépendante du<br />

→<br />

F ext<br />

temps, elles peuvent s’écrire sous la forme : = − grad U (r) et on déduit :<br />

dW<br />

ext<br />

→<br />

= F<br />

Le théorème de l’énergie cinétique devient :<br />

ext<br />

•<br />

→<br />

ext<br />

−−−→<br />

d r = −dU (r)<br />

dE C<br />

= −dU (r) ⇔ d( EC + U ) = 0 et finalement : E C<br />

+ U = Cte<br />

E C + U = E ,<br />

E : Energie totale<br />

Cette expression traduit le théorème de conservation de l’énergie totale.<br />

7. Dynamique des solides en contacts<br />

7.1. Actions de contact entre deux solides : Lois de Coulomb<br />

Les lois de coulomb introduisent les notions de frottement de glissement entre les solides.<br />

Soient deux solides (S 1 ) et (S 2 ) liés aux repères et R mobiles par rapport à un repère<br />

R 0<br />

R1<br />

2<br />

fixe. Les deux solides en mouvement sont assujettis à un contact ponctuel à tout instant<br />

en un point I appartenant au plan (P) tangent en ce point aux deux solides.<br />

→<br />

n normale en I au plan (P)<br />

→<br />

T ∈ (P)<br />

→<br />

V g<br />

S 2<br />

→<br />

n<br />

→<br />

N<br />

I<br />

ϕ<br />

→<br />

R<br />

→<br />

T<br />

(P<br />

S 1<br />

Au point de contact des deux solides nous pouvons distinguer :<br />

I ∈ : point du solide en contact avec le solide S à l’instant t ;<br />

1<br />

S 1<br />

2<br />

S 2<br />

S1<br />

2<br />

I ∈ : point du solide en contact avec le solide S au même instant t ;<br />

R 0<br />

S2<br />

1<br />

I ∈ : la position commune de I1 ∈ S1<br />

et I<br />

2<br />

∈ S<br />

2<br />

au même instant t ;<br />

365


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A.KADI<br />

Le point géométrique I n’appartient ni à ni à . Les points I,<br />

I I occupent<br />

S1<br />

S ,<br />

2<br />

1 2<br />

géométriquement la même position mais ils ont des rôles cinématiques différents.<br />

La vitesse de glissement du solide par rapport au solide S appartient au plan (P) tangent<br />

S2<br />

1<br />

au point de contact, elle est donnée par la relation :<br />

→<br />

0<br />

0<br />

V ( I)<br />

= V ( S<br />

2<br />

/ S1)<br />

= V ( I<br />

2<br />

) −V<br />

( I1)<br />

g<br />

→<br />

g<br />

Le solide exerce une action sur le solide S , tel que représenté sur la figure ci-dessus et<br />

S1<br />

2<br />

de même pour qui exerce la même action sur S mais dans le sens opposé. Ces actions<br />

S2<br />

1<br />

peuvent être représentées par leurs torseurs respectifs en un point A quelconque de l’espace.<br />

→<br />

→<br />

Action de sur S : [ ] = −→<br />

; Action de sur S : [ T ]<br />

S1<br />

2<br />

→<br />

⎪⎧<br />

R<br />

⎨<br />

⎪⎩ M<br />

T21<br />

S<br />

A<br />

2 1<br />

1A<br />

12<br />

A<br />

→<br />

⎪⎧<br />

R<br />

⎨ −<br />

⎪⎩ M<br />

= →<br />

2 A<br />

La réaction se compose d’une normale<br />

→<br />

N<br />

au plan tangent (P) au point I et d’une<br />

composante tangentielle<br />

→<br />

T située dans le plan (P) tel que :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R = N + T<br />

Les deux composantes satisfont aux lois de coulomb déterminées expérimentalement.<br />

7.2. Réaction normale → N<br />

La réaction normale<br />

→<br />

N<br />

est toujours dirigée vers les solides auquel elle est appliquée, c’est<br />

une force répulsive. Elle ne dépend ni de la nature des surfaces en contact ni de la vitesse de<br />

glissement entre les deux solides. Elle disparaît lorsqu’il n’a plus de contact entre les solides.<br />

7.3. Réaction tangentielle T<br />

→<br />

Deux cas peuvent se présenter : - Contact entre deux solides avec glissement<br />

- Contact entre deux solides sans glissement<br />

a) Contact avec glissement<br />

Quand le solide glisse sur le solide S , la vitesse de glissement n’est pas nulle, elle est<br />

donnée par : V<br />

S2<br />

1<br />

→ →<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

g<br />

( I)<br />

Vg<br />

( S<br />

2<br />

/ S1)<br />

= V ( I<br />

2<br />

) −V<br />

( I1<br />

= ) ≠ 0<br />

La réaction tangentielle T → est colinéaire à la vitesse de glissement, mais de sens opposée.<br />

Pour une vitesse de glissement fixée, le module de la réaction tangentielle (force de<br />

→<br />

frottement) est proportionnel au module de la réaction normale : T<br />

→<br />

=<br />

f<br />

→<br />

N<br />

366


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

f : est le coefficient de frottement de glissement, il dépend de la nature et de l’état des surfaces<br />

en contact. Ce coefficient, souvent indépendant de la vitesse de glissement, s’exprime aussi<br />

par la relation :<br />

f = tgϕ , ϕ : est l’angle de frottement.<br />

En réalité quand les solides glissent l’un par rapport à l’autre, on constate que le coefficient de<br />

frottement diminue légèrement. De là, on distingue deux coefficients :<br />

f : coefficient de frottement statique pour V<br />

S<br />

f : coefficient de frottement dynamique pour V<br />

D<br />

→<br />

g<br />

( S 2<br />

/ S1<br />

→<br />

) = 0<br />

→<br />

g<br />

( S 2<br />

/ S1<br />

→<br />

) ≠ 0<br />

→ →<br />

Si le mouvement se fait sans frottement : f = 0 alors T = 0 , alors la réaction<br />

normale au plan (P).<br />

D<br />

→<br />

R est<br />

b) Contact sans glissement<br />

Le solide ne glisse pas sur le solide S tant que :<br />

S2<br />

1<br />

→<br />

T ≤<br />

f<br />

→<br />

N<br />

On peut constater géométriquement qu’il n’y a pas de glissement tant que la réaction<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R = N + T<br />

est située à l’intérieur du cône de frottement statique.<br />

S 2<br />

→<br />

N<br />

ϕ S<br />

→<br />

R<br />

(P<br />

c) Roulement et Pivotement<br />

Les lois de Coulomb peuvent se généraliser<br />

aux actions de frottements de roulement et de<br />

pivotement. Le roulement se fait le long de l’axe portant la vitesse de glissement et le<br />

pivotement se fait autour de la normale au point de contact I des deux solides. Le moment<br />

S 1<br />

I<br />

résistant au pivotement au point I est noté :<br />

−→<br />

M Ip<br />

et le moment résistant au roulement au<br />

point I est noté :<br />

−→<br />

M Ir<br />

367


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans le cas du glissement nous avons :<br />

−→<br />

M<br />

Ip<br />

→<br />

= λ N et<br />

p<br />

−→<br />

M<br />

Ir<br />

→<br />

= λ N<br />

r<br />

λ<br />

p<br />

et<br />

λ<br />

r<br />

: sont appelés coefficient de résistance au pivotement et au roulement.<br />

Ils ont les mêmes dimensions que les longueurs et sont de valeurs très faibles devant les<br />

coefficients de frottement statique et dynamique.<br />

7.4. Travail des actions de contact<br />

Nous avons montré précédemment que les points de contact ont respectivement des vitesses<br />

→<br />

V 0 ( I 2<br />

)<br />

→<br />

( 2<br />

→<br />

et V 0 ( I 1<br />

) , donc des déplacements élémentaires : dI S<br />

0<br />

= V I ) dt et<br />

2<br />

→<br />

( 1<br />

0<br />

dI S<br />

= V I ) dt<br />

1<br />

Le travail de la résultante → R est donné par :<br />

Le travail total sera :<br />

dW<br />

dW<br />

→<br />

→ →<br />

0<br />

S 2<br />

= R•<br />

dI<br />

S 2<br />

= R•<br />

V ( I 2<br />

)<br />

dt<br />

→<br />

→ →<br />

0<br />

S 1<br />

= − R•<br />

dI<br />

S1<br />

= − R•<br />

V ( I 1<br />

)<br />

→ →<br />

→ →<br />

→ →<br />

→<br />

0<br />

0 ⎛ 0<br />

0 ⎞<br />

→ →<br />

dWS1 + dWS1<br />

= R•<br />

V ( I<br />

2<br />

) dt − R•<br />

V ( I1)<br />

dt = R•<br />

⎜V<br />

( I<br />

2<br />

) dt −V<br />

( I1)<br />

dt ⎟ = R•<br />

Vg<br />

( I)<br />

⎝<br />

⎠<br />

→ →<br />

→ →<br />

Or nous savons que N ⊥ V (I) et que T // V ( I)<br />

alors :<br />

g<br />

g<br />

dt<br />

dW<br />

→ →<br />

→ → → → →<br />

⎛ ⎞<br />

= R•<br />

Vg<br />

( I ) = ⎜ N + T ⎟ • Vg<br />

( I ) = T • Vg<br />

( I )<br />

⎝ ⎠<br />

Comme<br />

→<br />

T<br />

et<br />

→<br />

V ( I)<br />

g<br />

sont de sens contraires, alors le travail des actions de contact est<br />

toujours négatif :<br />

dW<br />

= T<br />

→ →<br />

• Vg<br />

( I)<br />

≤ 0<br />

Le travail peut être nul si :<br />

C’est une énergie dissipée souvent sous forme de chaleur<br />

→ →<br />

- il n’y a pas de frottement T = 0 ;<br />

→<br />

V g<br />

- il n’y a pas de glissement ( I)<br />

= 0<br />

→<br />

368


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

EXERCICES ET SOLUTIONS<br />

Exercice 01 :<br />

Soit une barre homogène de longueur AB=L, de masse m, de centre G dont l’extrémité A<br />

repose sur un sol lisse et l’extrémité B s’appuie contre mur vertical parfaitement lisse.<br />

Initialement la barre fait un angle θ 0<br />

avec le mur. Les deux extrémités glissent, sans<br />

frottement, respectivement sur le sol et sur le mur.<br />

1. En utilisant les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique, établir les<br />

trois équations scalaires du mouvement de la barre ;<br />

••<br />

2. En déduire, à partir de ces équations, l’accélération angulaire θ de la barre ;<br />

•<br />

2 3g<br />

3. En intégrant l’équation de l’accélération, monter que l’on a : θ = (cosθ<br />

0<br />

− cosθ<br />

)<br />

L<br />

;<br />

•<br />

2<br />

4. Retrouver l’expression de θ en utilisant le théorème de conservation de l’énergie<br />

mécanique totale ;<br />

5. Déterminer en fonction de θ les réactions RA<br />

et RB<br />

;<br />

6. En déduire l’angle pour lequel la barre quitte le mur.<br />

→<br />

y<br />

0<br />

Solution :<br />

→<br />

y<br />

1<br />

B<br />

O<br />

θ<br />

0<br />

→<br />

R B<br />

• G<br />

→<br />

R A<br />

A<br />

θ<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

x<br />

0<br />

Mur lisse<br />

⇒<br />

→ →<br />

B = RB<br />

x0<br />

R<br />

;Sol lisse ⇒<br />

→ →<br />

A = RA<br />

y0<br />

R<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ →<br />

≡<br />

1<br />

R A,<br />

x , y , z ) lié à la barre tel que : z 0<br />

z et Ω<br />

→ • → • →<br />

0<br />

1<br />

= θ z0<br />

= θ z1<br />

371


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

1. Equations scalaires du mouvement de la barre ;<br />

a) Théorème de la résultante dynamique :<br />

∑ F<br />

0 i<br />

mγ ( G)<br />

⇔ R<br />

0 ( G<br />

A<br />

+ RB<br />

+ P = mγ<br />

) (1)<br />

i<br />

→<br />

=<br />

→<br />

⎧ L<br />

⎪<br />

sinθ<br />

2<br />

−−→ ⎪L<br />

OG = ⎨ cosθ<br />

⇒<br />

⎪ 2<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

⎧ L<br />

•<br />

⎪ θ cosθ<br />

2<br />

→ ⎪ •<br />

0 L<br />

V ( G)<br />

= ⎨−<br />

θ sinθ<br />

⇒<br />

⎪ 2<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

Projetons l’équation (1) sur les axes Ox et Oy:<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

R B<br />

= m ⎜θ<br />

cosθ<br />

−θ<br />

sinθ<br />

⎟<br />

(2)<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

R A<br />

− mg = −m<br />

⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟ (3)<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

b) Théorème du moment dynamique :<br />

0<br />

→<br />

0<br />

γ ( G ) =<br />

R<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique du système.<br />

0<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

⎜θ<br />

cosθ<br />

−θ<br />

sinθ<br />

⎟<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

0<br />

0<br />

∑ M ( Fext<br />

) /<br />

O<br />

= δ ( S / R0<br />

)<br />

(4) avec<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

δ ( S / R ) =<br />

0<br />

d<br />

0<br />

σ ( S / R )<br />

0<br />

→<br />

dt<br />

0<br />

0<br />

Calculons le moment cinétique : σ<br />

→<br />

−−→ →<br />

0<br />

( S / R0<br />

) = OG∧<br />

mV ( G)<br />

+ I<br />

G<br />

Le tenseur d’inertie de la barre dans le repère R 1<br />

est donné par :<br />

Le moment cinétique s’écrira :<br />

→<br />

0<br />

1<br />

. Ω<br />

I G<br />

⎡mL<br />

⎢<br />

⎢<br />

12<br />

=<br />

⎢<br />

0<br />

⎢ 0<br />

R<br />

⎢⎣<br />

⎧ L<br />

⎧ L<br />

•<br />

2<br />

⎪<br />

sinθ<br />

⎪ θ cosθ<br />

⎡mL<br />

⎤<br />

2<br />

2<br />

⎢ 0 0 ⎥⎡0⎤<br />

→<br />

⎪<br />

⎪ •<br />

+<br />

⎢<br />

12<br />

0<br />

L<br />

L<br />

σ ( S / R =<br />

∧<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

0<br />

) ⎨ cosθ<br />

m ⎨−<br />

θ sinθ<br />

⎢<br />

0 0 0<br />

⎥⎢<br />

0<br />

• ⎥<br />

⎪ 2<br />

⎪ 2<br />

2<br />

⎢ mL ⎥⎢⎣<br />

θ ⎥<br />

⎪ 0 ⎪ 0<br />

0 0 ⎦<br />

⎢⎣<br />

⎥<br />

⎪<br />

⎪<br />

12 ⎦<br />

⎩<br />

⎩<br />

R<br />

R<br />

1<br />

0<br />

R0<br />

1<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

0 ⎥<br />

0<br />

⎥<br />

2 ⎥<br />

mL ⎥<br />

12 ⎥⎦<br />

→<br />

2 • 2 • →<br />

2 • →<br />

0<br />

⎛ mL mL ⎞ mL<br />

σ ( S / R = ⎜−<br />

+<br />

⎟<br />

0<br />

) θ θ z0<br />

= − θ z0<br />

, on déduit le moment dynamique par :<br />

⎝ 4 12 ⎠ 6<br />

372


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0 0<br />

2<br />

d σ ( S / R<br />

•• →<br />

0<br />

) mL<br />

= = − θ<br />

0<br />

δ ( S / R0<br />

)<br />

z<br />

dt 6<br />

Nous avons ainsi :<br />

traduit par :<br />

mL<br />

B θ cette équation vectorielle se<br />

6<br />

−→ → −→ → −→ →<br />

2 •• →<br />

∧ R + OA∧<br />

R A + OG∧<br />

P = − z0<br />

OB<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎜ L cosθ<br />

⎟ ∧ ⎜ 0<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0<br />

B<br />

⎞ ⎛ Lsinθ<br />

⎞ ⎛ 0<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟ + ⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜ R<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0<br />

A<br />

⎞ ⎛ ( L / 2)sinθ<br />

⎞ ⎛ 0<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎟ + ⎜(<br />

L / 2)cosθ<br />

⎟ ∧ ⎜−<br />

P<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0<br />

⎛<br />

⎞ ⎜ 0<br />

⎟ ⎜<br />

⎟ =<br />

⎜<br />

0<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎜ mL<br />

−<br />

⎝ 6<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

••<br />

θ<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

L mL<br />

••<br />

− RB<br />

L cosθ<br />

+ RALsinθ<br />

− mg sinθ<br />

= − θ<br />

2 6<br />

(5)<br />

••<br />

2. Accélération angulaire θ de la barre<br />

En remplaçant R et R par leurs expressions dans l’équation (5) , on aboutit à :<br />

A<br />

B<br />

2<br />

mL<br />

••<br />

•<br />

L<br />

••<br />

•<br />

2<br />

L mL<br />

••<br />

2<br />

⎛<br />

2 ⎞<br />

− cosθ<br />

( θ cosθ<br />

−θ<br />

sinθ<br />

) + Lsinθ<br />

⎜mg<br />

− m ( θ sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

) ⎟ − mg sinθ<br />

= − θ<br />

2<br />

⎝ 2<br />

⎠ 2 6<br />

2<br />

mL<br />

••<br />

2<br />

L mL<br />

••<br />

••<br />

3 g<br />

− θ + mg sinθ<br />

= − θ ⇔ θ − sinθ<br />

= 0<br />

2 2 6<br />

2 L<br />

•<br />

2 3g<br />

3. Monter que l’on a : θ = (cosθ<br />

0<br />

− cosθ<br />

) ;<br />

L<br />

•<br />

En multiplie l’équation de l’accélération angulaire par 2θ on obtient :<br />

• ••<br />

g<br />

•<br />

2 θ θ − 3 θ sinθ<br />

= 0 en intégrant cette équation on aboutit à :<br />

L<br />

•<br />

2<br />

θ<br />

=<br />

g<br />

L<br />

( ) θ •<br />

2<br />

3 − cosθ<br />

θ ⇒ θ = 3 ( cosθ<br />

0<br />

− cosθ<br />

)<br />

0<br />

•<br />

2<br />

4. Expression deθ<br />

en utilisant le théorème de conservation de l’énergie :<br />

L’énergie totale à l’instant initiale t = 0 est égale à l’énergie cinétique à un instant<br />

quelconque t : E ( S)<br />

= E ( ) ⇔ E S)<br />

+ E ( S)<br />

= E ( S)<br />

E ( )<br />

à : t = 0<br />

0 t<br />

S<br />

g<br />

L<br />

P 0<br />

(<br />

C0<br />

Pt<br />

+<br />

C t<br />

S<br />

0<br />

L<br />

V ( G)<br />

= 0 ⇒ E0 ( S)<br />

= EP 0<br />

( S)<br />

= mg cosθ<br />

0<br />

2<br />

à : t : L’énergie potentielle est égale à :<br />

E Pt<br />

( S))<br />

= mg<br />

L<br />

cosθ<br />

2<br />

0<br />

0<br />

L’énergie cinétique totale est donnée par : E ( S)<br />

= m⎜V<br />

( G)<br />

⎟ + I ( S).<br />

( Ω ) 2<br />

C t<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

⎝<br />

→<br />

⎞<br />

⎠<br />

2<br />

1<br />

2<br />

Gzz<br />

1<br />

373


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Avec :<br />

2<br />

2<br />

•<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ L ⎞<br />

⎜V ( G)<br />

⎟ = ⎜ θ ⎟ et<br />

⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

2<br />

mL<br />

I Gzz<br />

=<br />

12<br />

E C t<br />

2<br />

•<br />

⎞<br />

⎟<br />

2 • 2 • 2 • 2<br />

1 ⎛ L 1 ⎛ mL ⎞<br />

2 mL 2 mL 2 mL<br />

( S)<br />

= m⎜<br />

θ +<br />

⎜<br />

⎟θ<br />

= θ + θ = θ<br />

2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 12 ⎠ 8 24 6<br />

En égalisant l’énergie totale aux deux instants, nous obtenons :<br />

2 •<br />

L<br />

L mL 2<br />

mg cosθ<br />

0<br />

= mg cosθ<br />

+ θ ⇔<br />

2<br />

2 6<br />

•<br />

2<br />

ce qui donne : θ = 3 ( θ − cosθ<br />

)<br />

g<br />

L<br />

cos 0<br />

L<br />

g cosθ<br />

0<br />

= g cosθ<br />

+ θ<br />

3<br />

•<br />

2<br />

•<br />

2<br />

5. Les réactions R et R en fonction de θ :<br />

A<br />

B<br />

••<br />

3 g<br />

Nous avons : θ = sinθ<br />

2 L<br />

g<br />

L<br />

•<br />

2<br />

et θ = 3 ( θ − cosθ<br />

)<br />

cos 0<br />

• ••<br />

On remplaçant les expressions de θ et θ dans celle de RA<br />

et RB<br />

on les exprime en<br />

fonction de θ :<br />

R A<br />

R A<br />

R A<br />

R A<br />

et<br />

R B<br />

R B<br />

R B<br />

L ⎛ 3 g<br />

g<br />

= mg − m ⎜ sinθ<br />

sinθ<br />

+ 3<br />

0<br />

θ<br />

2 ⎝ 2 L<br />

L<br />

⎞<br />

( cosθ<br />

− cosθ<br />

) cos ⎟<br />

⎠<br />

3g ⎛ 1 2<br />

2 ⎞<br />

= mg − m ⎜ sin θ + cosθ<br />

0<br />

cosθ<br />

− cos θ ⎟<br />

2 ⎝ 2<br />

⎠<br />

3g<br />

⎛ 1<br />

2<br />

2 ⎞<br />

= mg − m ⎜ (1 − cos θ ) + cosθ<br />

0<br />

cosθ<br />

− cos θ ⎟<br />

2 ⎝ 2<br />

⎠<br />

⎡1<br />

9 2 3 ⎤<br />

= mg⎢<br />

+ cos θ − cosθ<br />

0<br />

cosθ<br />

⎣4<br />

4 2 ⎥<br />

⎦<br />

L ⎛ 3 g<br />

g<br />

= m ⎜ sinθ<br />

cosθ<br />

− 3<br />

0<br />

θ<br />

2 ⎝ 2 L<br />

L<br />

⎞<br />

( cosθ<br />

− cosθ<br />

) sin ⎟<br />

⎠<br />

L ⎛ 3g<br />

3g<br />

3g<br />

⎞<br />

= m ⎜ sinθ<br />

cosθ<br />

− cosθ<br />

0<br />

sinθ<br />

+ cosθ<br />

sin sθ<br />

⎟<br />

2 ⎝ 2L<br />

L<br />

L<br />

⎠<br />

3 ⎛ 3<br />

⎞<br />

= mg⎜<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

− cosθ<br />

0<br />

sinθ<br />

⎟<br />

2 ⎝ 2<br />

⎠<br />

374


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6. Angle pour lequel la barre quitte le mur<br />

Lorsque le barre quitte le mur, la réaction en ce point sera nulle, d’où : R B<br />

= 0<br />

R B<br />

3 ⎛ 3<br />

⎞<br />

= mg⎜<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

− cosθ<br />

0<br />

sinθ<br />

⎟ = 0<br />

2 ⎝ 2<br />

⎠<br />

⎛ 3<br />

⎞ 3<br />

⎛ 2 ⎞<br />

sinθ ⎜ cosθ<br />

− cosθ<br />

0 ⎟ = 0 ⇒ cosθ<br />

= cosθ<br />

0<br />

⇒ θ = Arc cos⎜<br />

cosθ<br />

0 ⎟<br />

⎝ 2<br />

⎠ 2<br />

⎝ 3 ⎠<br />

car pour θ = 0 la barre est en position verticale donc la barre quitte le mur pour :<br />

θ<br />

⎛ 2<br />

Arc cos⎜<br />

⎝ 3<br />

= cosθ<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

Exercice 02 :<br />

Une barre homogène AB = L , de masse m est attachée initialement par son extrémité BB0 par<br />

un fil inextensible à un bâti fixe. L’autre extrémité A 0 repose sur un sol parfaitement lisse.<br />

Soit θ<br />

0<br />

l’angle d’inclinaison initial de la barre avec l’axe vertical<br />

( O1<br />

, y0<br />

)<br />

. A un instant t<br />

quelconque on coupe le fil et la barre tombe sans vitesse initiale. On considère que le<br />

→ →<br />

(<br />

0 0<br />

→ → →<br />

1 (<br />

1 1 1<br />

mouvement se fait dans le plan x , y ) . Soit R A , x , y , z ) un repère lié à la barre tel que<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

( x0 , x1<br />

) = ( y0<br />

, y1)<br />

= θ . On donne OO1 = x x0<br />

et le tenseur d’inertie de la barre en son centre<br />

→<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

d’inertie G dans le repère R<br />

1<br />

s’écrit : I<br />

G / R<br />

=<br />

⎢<br />

0 0 0<br />

⎥<br />

avec<br />

1 ⎢ ⎥<br />

⎢⎣<br />

0 0 A⎥⎦<br />

R<br />

1<br />

2<br />

mL<br />

A =<br />

12<br />

On prendra le repère fixe<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

comme repère de projection.<br />

1. Déterminer les vecteurs, position, vitesse, accélération absolue du point G ;<br />

2. Appliquer le théorème de la résultante dynamique au point G ; En déduire que le centre G<br />

de la barre reste en mouvement vertical lors de sa chute ;<br />

3. Appliquer le théorème du moment dynamique au point G ;<br />

4. En déduire l’expression de l’accélération angulaire θ en fonction de L, , θ et g .<br />

••<br />

θ •<br />

375


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

y 1<br />

B<br />

B 0<br />

θ 0<br />

R → →<br />

A x<br />

1<br />

• G 0<br />

G<br />

•<br />

θ<br />

θ<br />

O → 1 A<br />

x0<br />

O A 0<br />

Solution :<br />

x(t)<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe et R A,<br />

x , y , z ) est tel que :<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω1 = θ z0<br />

= θ z1<br />

1. Vecteurs : position, vitesse et accélération absolue du point G ;<br />

L<br />

2<br />

−−→ −−→ −−→ →<br />

→<br />

OG = OO1 + O1G<br />

= x x0<br />

+ cosθ<br />

y0<br />

−−→<br />

=<br />

OG<br />

⎧<br />

⎪L x<br />

⎨ cosθ ⇒<br />

⎪ 2<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

•<br />

⎧<br />

→ ⎪<br />

L x<br />

•<br />

0<br />

V ( G)<br />

= ⎨−<br />

θ sinθ<br />

;<br />

⎪ 2<br />

R<br />

⎪ 0<br />

⎩<br />

0<br />

••<br />

⎧<br />

⎪<br />

x<br />

→<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

0 L<br />

2 ⎞<br />

γ ( G)<br />

= ⎨−<br />

⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟ ;<br />

⎪ 2 ⎝<br />

⎠<br />

⎪ 0<br />

R ⎩<br />

0<br />

2. Théorème de la résultante dynamique au point G ;<br />

La résultante des forces extérieures appliquées à la barre est égale à la masse de la barre par<br />

l’accélération de son centre d’inertie. Le sol est lisse, alors la réaction au point A est suivant<br />

l’axe (O, y) donc normale au plan horizontal.<br />

→<br />

R A<br />

→<br />

→<br />

+ P = mγ 0 ( G)<br />

(1)<br />

La projection de cette équation vectorielle sur les axes donne :<br />

••<br />

••<br />

m x = 0 ⇔ x = 0<br />

(2)<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

R Ay<br />

− P = −m<br />

⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟ (3)<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

La barre tombe sans vitesse initiale alors :<br />

Comme<br />

x = Cte<br />

•<br />

x<br />

= 0<br />

⇒<br />

x = Cte<br />

alors le centre d’inertie G de la barre tombe verticalement.<br />

376


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’équation (3) s’écrit :<br />

R Ay<br />

•<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

= mg − m ⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

3. Théorème du moment dynamique au point G ;<br />

Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique de la barre.<br />

∑ M ( Fext<br />

) / G = δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

(4)<br />

i<br />

→<br />

→<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

L<br />

sinθ<br />

2<br />

L<br />

→<br />

−→ →<br />

→<br />

∑ M ( Fext<br />

) / G = GA∧<br />

RA<br />

= ⎨−<br />

cosθ<br />

∧ ⎨RAy<br />

= ⎨ 0 = RAy<br />

sinθ<br />

z0<br />

i<br />

2<br />

2<br />

⎪<br />

⎪0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

R<br />

0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

0<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪L<br />

⎪<br />

R<br />

R ⎩ 2<br />

0<br />

Ay<br />

0<br />

sinθ<br />

Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique au point G :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

G<br />

( S / R )<br />

→<br />

0<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) =<br />

or nous avons : σ<br />

G<br />

( S / R ) = I<br />

G<br />

dt<br />

2<br />

⎡mL<br />

⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥⎛<br />

0⎞<br />

→<br />

12<br />

⎜ ⎟ mL mL<br />

σ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

z<br />

⎢ mL ⎥⎜<br />

⎟ 12 12<br />

0 0 ⎝θ<br />

⎠<br />

R<br />

⎢⎣<br />

12 ⎥⎦<br />

2 • → 2 • →<br />

=<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎢<br />

0 0 0<br />

⎥⎜<br />

0⎟<br />

= θ z1<br />

= θ<br />

0<br />

2 •<br />

1<br />

→<br />

→<br />

0<br />

2<br />

d σ<br />

•• →<br />

G<br />

( S / R0<br />

) mL<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) = = θ z0<br />

dt 12<br />

→<br />

0<br />

0<br />

. Ω1<br />

L<br />

L<br />

En égalisant les deux expressions on obtient : R<br />

2<br />

••<br />

θ<br />

R = mL<br />

Ay<br />

(5)<br />

6 sinθ<br />

Ay<br />

2<br />

mL<br />

••<br />

sinθ<br />

= θ<br />

12<br />

••<br />

4. Expression de l’accélération angulaire θ en fonction de L, , θ et g .<br />

θ •<br />

En remplaçant l’expression de<br />

décrivant la chute de la barre :<br />

R Ay<br />

dans l’équation (3) on déduit l’équation différentielle<br />

377


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

••<br />

•<br />

mL θ<br />

L ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

= mg − m ⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟<br />

6 sinθ<br />

2 ⎝<br />

⎠<br />

⇒<br />

••<br />

•<br />

⎛ mL 1 L ⎞ L 2<br />

θ ⎜ + m sinθ<br />

⎟ = mg − m θ cosθ<br />

⎝ 6 sinθ<br />

2 ⎠ 2<br />

d’où<br />

••<br />

θ =<br />

•<br />

2<br />

(2g<br />

− Lθ<br />

cosθ<br />

)<br />

3 sinθ<br />

2<br />

L(1<br />

+ 3sin θ )<br />

Exercice 03 :<br />

Un pendule pesant constitué d’un solide homogène de forme quelconque, de masse m tourne<br />

autour d’un point fixe O lui appartenant. La liaison entre le solide et le bâti est de type<br />

cylindrique. Le pendule est lié au repère<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R1<br />

( O,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

en mouvement de rotation par<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

rapport à un repère fixe R O,<br />

x , y , z ) lié au bâti tel que :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( x0 , x1<br />

) = ( y0<br />

, y1)<br />

= θ<br />

Le tenseur d’inertie du pendule en son centre d’inertie G dans le repère R1<br />

est égale à :<br />

−−→ →<br />

=<br />

1<br />

On donne OG L x avec L= Cte ; R1<br />

est le repère de projection.<br />

1. En utilisant les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique, établir<br />

l’équation différentielle du mouvement ;<br />

2. Retrouver l’expression de cette équation en utilisant le théorème de conservation de<br />

l’énergie mécanique totale ;<br />

3. En déduire l’équation différentielle du pendule simple ainsi que sa période.<br />

I<br />

G<br />

→<br />

y 1<br />

O<br />

→<br />

y 0<br />

θ<br />

• G<br />

Solution :<br />

→<br />

x<br />

0<br />

mg<br />

→<br />

x 1<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

R A,<br />

x , y , z ) est tel que :<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω1 = θ z0<br />

= θ z1<br />

378


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Vitesse et accélération du point G :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

= V<br />

⎧0<br />

⎧L<br />

⎧ 0<br />

→ → −−→<br />

•<br />

0<br />

0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

( O)<br />

+ Ω1<br />

∧ OG=<br />

⎨0∧<br />

⎨0=<br />

⎨Lθ<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

⎩0<br />

⎩ 0<br />

1<br />

R1<br />

R1<br />

→<br />

0<br />

γ ( G ) =<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G)<br />

dt<br />

=<br />

→<br />

1 0 →<br />

d V ( G)<br />

0<br />

+ Ω1<br />

∧V<br />

dt<br />

•<br />

⎧<br />

⎪ −<br />

2<br />

⎧ 0 ⎧0<br />

⎧ 0 Lθ<br />

→<br />

••<br />

•<br />

••<br />

0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

( G)<br />

= ⎨Lθ<br />

+ ⎨0∧<br />

⎨Lθ<br />

= ⎨ Lθ<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ 0<br />

R ⎩θ<br />

⎩ 0 0<br />

1<br />

1<br />

R1<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

1<br />

1. Théorème de la résultante dynamique et du moment dynamique au point G ;<br />

1.a. Théorème de la résultante dynamique au point G ;<br />

La résultante des forces extérieures appliquées au solide est égale à la masse du solide par<br />

l’accélération de son centre d’inertie. L’articulation au point O est cylindrique, la réaction a<br />

→ →<br />

(<br />

1 1<br />

deux composantes dans le plan x , y )<br />

→<br />

R O<br />

→<br />

→<br />

+ P = mγ 0 ( G)<br />

(1)<br />

La projection de cette équation vectorielle sur les axes donne :<br />

•<br />

2<br />

R Ox<br />

+ mg cosθ<br />

= −mθ<br />

(2)<br />

••<br />

R Oy<br />

− mg sin θ = mLθ<br />

(3)<br />

1.b. Théorème du moment dynamique au point G ;<br />

Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique de la barre.<br />

∑ M ( Fext<br />

) / G = δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

(4)<br />

i<br />

→<br />

→<br />

⎧− L<br />

⎧R<br />

Ox<br />

→<br />

−→ →<br />

→<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

∑ M ( Fext<br />

) / G = GO∧<br />

RO<br />

= ⎨ 0 ∧ ⎨ROy<br />

= ⎨ 0 = −LROy<br />

z1<br />

i<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ 0 ⎩ 0 ⎩−<br />

LR<br />

0<br />

R0<br />

R<br />

Oy<br />

0<br />

Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique au point G :<br />

⎧<br />

0<br />

379


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

G<br />

( S / R )<br />

→<br />

0<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) =<br />

or nous avons : σ<br />

G<br />

( S / R ) = I<br />

G<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

•• →<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) = = I<br />

G<br />

θ z0<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

0<br />

. Ω1<br />

⇒<br />

→<br />

)<br />

• →<br />

0<br />

= I G 1<br />

σ ( S / R z<br />

G<br />

θ<br />

nous avons ainsi : − LR<br />

=<br />

Oy<br />

I G<br />

••<br />

θ<br />

⇔<br />

1.c. Equation différentielle du mouvement<br />

R<br />

Oy<br />

••<br />

I<br />

G<br />

θ<br />

= −<br />

L<br />

(4)<br />

••<br />

On remplace l’équation (4) dans l’équation (3), on obtient : −<br />

I θ G − mg sin θ = mLθ<br />

L<br />

2<br />

( + I ) + mgLsinθ<br />

= 0<br />

••<br />

••<br />

mgL<br />

θ mL<br />

G<br />

⇔ θ + sinθ<br />

= 0<br />

2<br />

mL +<br />

I G<br />

••<br />

2. Equation différentielle en utilisant le théorème de conservation de l’énergie totale ;<br />

L’énergie totale dans la position 1 est égale à l’énergie totale dans la position 2. : E<br />

1<br />

= E2<br />

E<br />

→<br />

2 → →<br />

•<br />

2<br />

1 ⎛ 0 ⎞ 1 0T<br />

0 1 ⎛ ⎞ 1<br />

1<br />

= m⎜V<br />

( G)<br />

⎟ + Ω1<br />

I<br />

G.<br />

Ω1<br />

= m⎜<br />

Lθ<br />

⎟ + I<br />

G.<br />

2<br />

⎝<br />

⎠<br />

E<br />

2<br />

= mg(<br />

L − Lcosθ<br />

) = mgL(1<br />

− cosθ<br />

)<br />

2<br />

2<br />

1<br />

• 2<br />

•<br />

1<br />

• 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

mL θ + I<br />

G<br />

. θ = mgL(1<br />

− cosθ<br />

) ⇔ θ ( mL + I<br />

G<br />

) = 2mgL(1<br />

− cosθ<br />

)<br />

2 2<br />

•• •<br />

•<br />

2<br />

En dérivant les deux termes on obtient : 2θ<br />

θ ( + I ) = 2mgLθ<br />

sinθ<br />

⎝<br />

⎠<br />

2<br />

mL<br />

G<br />

θ<br />

•<br />

2<br />

L<br />

L cosθ<br />

1<br />

θ<br />

2<br />

2<br />

( + I ) − mgLsinθ<br />

= 0<br />

••<br />

••<br />

mgL<br />

θ mL<br />

G<br />

⇔ θ + sinθ<br />

= 0<br />

2<br />

mL +<br />

I G<br />

3. Equation différentielle du pendule simple ainsi que sa période.<br />

Dans le cas d’un pendule simple I = 0 , et s’il a de faibles oscillations alors : sin θ ≈ θ<br />

G<br />

••<br />

g<br />

L’équation devient : θ + θ = 0<br />

L<br />

2 g<br />

ω = et<br />

L<br />

2 π<br />

T = = 2 π<br />

ω<br />

L<br />

g<br />

380


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 04 :<br />

Une demi sphère pleine de centre C, de rayon R, de masse M, de centre d’inertie G est<br />

animée d’un mouvement plan par rapport au repère fixe R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) . Elle est en contact<br />

avec le sol lisse en A et le mur lisse au point B. Elle glisse sans frottement sur les deux points.<br />

→ → →<br />

Le tenseur d’inertie de la demi sphère pleine en son centre C dans le repère R1<br />

( C,<br />

x1,<br />

y1,<br />

z1)<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

est donné par :<br />

⎢ ⎥<br />

2<br />

I<br />

C / R<br />

=<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥<br />

avec<br />

1<br />

A = MR<br />

2 et CG = a<br />

5<br />

⎢⎣<br />

0 0 A⎥⎦<br />

1. Déterminer la vitesse et l’accélération absolue du points G dans R0<br />

et R1<br />

;<br />

2. Déterminer les coordonnées du centre instantané de rotation (CIR) de la demi sphère ;<br />

• ••<br />

3. Calculer les réactions N<br />

A<br />

et N<br />

B<br />

en fonction de θ , θ et θ en utilisant le théorème de<br />

la résultante dynamique ;<br />

4. En utilisant le théorème du moment dynamique trouver l’équation différentielle de<br />

mouvement de la demi sphère;<br />

•<br />

5. En intégrant l’équation de mouvement et en prenant les conditions : θ ( 0) = 0 et θ ( 0) = 0 ,<br />

•<br />

2 2Mga<br />

montrer que l’on a : θ = sinθ<br />

A<br />

•<br />

;<br />

2<br />

6. Retrouver l’expression de θ en utilisant la conservation de l’énergie mécanique totale ;<br />

7. En déduire les expressions des réactions RA<br />

, RB<br />

et de l’angle limite θ<br />

l<br />

pour lequel la<br />

demi sphère pleine quitte le mûr.<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

y<br />

1<br />

→<br />

x<br />

1<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

x<br />

1<br />

B<br />

O<br />

G •<br />

G<br />

C 0<br />

•<br />

A<br />

θ<br />

→<br />

x 0<br />

V<br />

B<br />

→<br />

0<br />

B<br />

O<br />

G<br />

C 0<br />

→<br />

•<br />

R G<br />

B<br />

• →<br />

R<br />

→<br />

P<br />

A<br />

A<br />

θ<br />

→<br />

0<br />

A<br />

V<br />

→<br />

x 0<br />

Solution :<br />

1. Vitesse et accélération absolue du points G dans et R ;<br />

R0<br />

1<br />

A partir du vecteur position du point G nous déduisons la vitesse et l’accélération :<br />

381


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎧R<br />

⎧−<br />

a cosθ<br />

⎧R<br />

− a cosθ<br />

−−→ −−→ −−→<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

Nous avons : OG = OC+<br />

CG=<br />

⎨R+<br />

⎨−<br />

asinθ<br />

= ⎨R<br />

− asinθ<br />

,<br />

⎪ ⎪<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

R ⎩ 0 R ⎩ 0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

−−→<br />

=<br />

CG<br />

⎧− a<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω1 = θ z0<br />

= θ z1<br />

Dans le repère R 0<br />

:<br />

→<br />

0<br />

V<br />

d<br />

( G)<br />

=<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

aθ<br />

sinθ<br />

OG<br />

•<br />

= ⎨−θ<br />

a cosθ<br />

dt ⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

−−→<br />

0<br />

0<br />

⇒<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( G)<br />

=<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G)<br />

=<br />

dt<br />

0<br />

Dans le repère R 1<br />

:<br />

−−→ −−→<br />

⎧0<br />

⎧− a ⎧ 0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→ −−→<br />

•<br />

0 d CG d CG 0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

V ( G)<br />

= = + Ω1<br />

∧ CG=<br />

⎨0∧<br />

⎨ 0 = ⎨−<br />

aθ<br />

dt dt<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩θ<br />

⎩ 0 ⎩ 0<br />

1<br />

R1<br />

R1<br />

→<br />

0 d<br />

γ ( G ) =<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G)<br />

d<br />

=<br />

dt<br />

1<br />

→<br />

0<br />

→<br />

V ( G)<br />

0<br />

+ Ω1<br />

∧V<br />

dt<br />

→<br />

0<br />

R<br />

⎧<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎨−<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

a⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

•<br />

⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

a⎜θ<br />

cosθ<br />

+ θ sinθ<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

0<br />

•<br />

⎧ 2<br />

⎧ 0 ⎧0<br />

⎧ 0 ⎪aθ<br />

••<br />

•<br />

••<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

( G)<br />

= ⎨−<br />

aθ<br />

⎨0∧<br />

⎨−<br />

aθ<br />

= ⎨−<br />

aθ<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ 0 R ⎩θ<br />

⎩ 0 0<br />

1<br />

1<br />

R1<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

2. Coordonnées du centre instantané de rotation (CIR) de la demi sphère ;<br />

Nous pouvons le déterminer de deux façons : l’une graphique et l’autre analytique.<br />

Méthode graphique : Les directions des vitesses des deux points A et B du solide sont<br />

connues, on trace les perpendiculaires à celles-ci au même point, leur intersection est le centre<br />

instantané de rotation. Les deux normales se rencontrent au point C, alors celui-ci est<br />

confondu avec le centre instantané de rotation ( I ≡ C)<br />

.<br />

1<br />

Méthode analytique : La Vitesse du centre instantané de rotation est nulle : soit<br />

coordonnés du C.I.R. dans le repère , nous pouvons aussi écrire :<br />

R 0<br />

( x I<br />

, yI<br />

)<br />

les<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

−→<br />

V ( I ) = V ( G)<br />

+ Ω ∧ GI = 0 ⇔<br />

→<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

aθ<br />

sinθ<br />

•<br />

⎨−θ<br />

a cosθ<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

⎧0<br />

⎪<br />

+ ⎨0∧<br />

•<br />

⎪<br />

R ⎩θ<br />

R<br />

0<br />

0<br />

⎧xI<br />

⎪<br />

⎨ yI<br />

⎪<br />

⎩<br />

− R + a cosθ<br />

⎧0<br />

⎪<br />

− R + asinθ<br />

= ⎨0<br />

0<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

0<br />

382


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

sin − •<br />

•<br />

aθ<br />

θ θ<br />

I<br />

θ = ⇔ θ y I<br />

− R = 0 ⇒<br />

( y − R + asin<br />

) 0<br />

( )<br />

•<br />

•<br />

•<br />

−θ<br />

a cos θ + θ ( xI − R + a cosθ<br />

) = 0 ⇔ θ ( x I<br />

− R)<br />

= 0 ⇒<br />

y I<br />

= R<br />

x I<br />

= R<br />

On voit bien que le C.I.R. est confondu avec le centre C de la demi sphère.<br />

• ••<br />

3. Réactions RA<br />

et R<br />

B<br />

en fonction de θ , θ et θ par le théorème de la résultante<br />

dynamique<br />

La résultante des forces extérieures appliquées au solide est égale à la masse du solide par<br />

l’accélération de son centre d’inertie :<br />

∑ F<br />

0 i<br />

mγ ( G)<br />

⇔ R R m g m<br />

0 ( G<br />

A<br />

+<br />

B<br />

+ = γ )<br />

i<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

(1)<br />

Projetons l’équation (1) sur les axes du repère R0<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

R B<br />

= ma⎜θ<br />

sinθ<br />

+ θ cosθ<br />

⎟<br />

(2)<br />

⎝<br />

⎠<br />

R A<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

− mg = −ma⎜θ<br />

cosθ<br />

+ θ sinθ<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

⇔ R A<br />

= mg − ma⎜θ<br />

cosθ<br />

+ θ sinθ<br />

⎟ (3)<br />

⎝<br />

⎠<br />

4. Equation différentielle de mouvement de la demi sphère en utilisant le théorème du<br />

moment dynamique<br />

Le moment résultant des forces extérieures est égal au moment dynamique du solide au même<br />

point C.<br />

∑ M<br />

i<br />

( Fext<br />

) /<br />

C<br />

= δ<br />

C<br />

( S / R0<br />

) ⇔ CA∧<br />

R<br />

( A<br />

+ CB∧<br />

RB<br />

+ CG∧<br />

m g = δ<br />

C<br />

S / R )<br />

0<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique :<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

C<br />

( S / R0<br />

)<br />

δ<br />

C<br />

( S / R0<br />

) =<br />

, le moment cinétique au point C est donné par :<br />

dt<br />

→<br />

C<br />

( S / R0<br />

) = I<br />

C / R1<br />

σ<br />

.<br />

→<br />

0<br />

Ω1<br />

⎡A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

→<br />

−→<br />

0⎤⎛<br />

0⎞<br />

⎜ ⎟ •<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎜<br />

0⎟<br />

= Aθ<br />

z<br />

•<br />

A⎥⎜<br />

⎟<br />

⎦⎝θ<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

→<br />

−→<br />

• →<br />

= Aθ<br />

z<br />

1<br />

→<br />

→<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

= ⎜ 0 ⎟<br />

•<br />

⎜ A ⎟<br />

⎝ θ ⎠R<br />

, R<br />

0<br />

1<br />

383


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

•• →<br />

C<br />

( S / R0<br />

)<br />

δ<br />

C<br />

( S / R0<br />

) = = Aθ<br />

z0<br />

dt<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

C<br />

(<br />

0<br />

CA∧ R + CB∧<br />

R + CG∧<br />

m g = δ S / R ) comme : CA // R et CB // alors :<br />

A<br />

−→<br />

→<br />

B<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

A<br />

R B<br />

⎛−<br />

a cosθ<br />

⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

−→ → →<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

CG∧ m g = δ<br />

C<br />

( S / R0<br />

) ⇔ ⎜ − asinθ<br />

⎟∧<br />

⎜−<br />

mg ⎟=<br />

⎜ 0 ⎟ d’où :<br />

••<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

R ⎝ 0 ⎠ R ⎝ ⎠ R ⎝ Aθ<br />

⎠<br />

0<br />

0<br />

0<br />

••<br />

mga cosθ = Aθ<br />

ce qui donne :<br />

••<br />

θ =<br />

mga<br />

A<br />

cosθ<br />

(4)<br />

•<br />

5. Equation de mouvement avec les conditions : θ ( 0) = 0 et θ ( 0) = 0 ;<br />

•<br />

On multiplie l’équation (4) par : θ , puis on intègre<br />

• ••<br />

mga<br />

•<br />

θ θ = θ cosθ<br />

A<br />

⇒ 1 •<br />

⎛ ⎞ mga<br />

d ⎜ θ 2 ⎟ = d (sin θ )<br />

⎝ 2 ⎠ A<br />

•<br />

θ • θ<br />

⎛ 1 2 ⎞ mga<br />

∫ d ⎜ θ ⎟ = (sin )<br />

2<br />

∫ d θ ⇒ 1 •<br />

mga<br />

θ 2 = sinθ<br />

0 ⎝ ⎠ A<br />

2 A<br />

0<br />

on déduit alors :<br />

•<br />

2 mga<br />

θ = 2 sinθ<br />

A<br />

(5)<br />

•<br />

2<br />

6. Expression de θ en utilisant la conservation de l’énergie mécanique totale :<br />

EC + EP<br />

= EC0 + EP0<br />

= Cte ⇒ EC<br />

− EC0 = −( EP<br />

− EP0<br />

)<br />

→<br />

→<br />

•<br />

1 0<br />

0 1 2<br />

EC = Ω1<br />

. I<br />

C / R<br />

. Ω1<br />

= Aθ<br />

; E<br />

1 C 0<br />

= 0<br />

2<br />

2<br />

− ( E<br />

θ θ<br />

θ<br />

θ<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ asin<br />

d ⎞<br />

→ −→<br />

θ<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

− EP0 ) = m g •<br />

∫ d OG = m∫⎜−<br />

g ⎟ • ⎜−<br />

a cosθdθ<br />

⎟ = ∫ mga cosθdθ<br />

mgasinθ<br />

0<br />

0 ⎜<br />

0<br />

0 ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

P<br />

=<br />

E<br />

C<br />

1 •<br />

2<br />

− EC0 = −( EP<br />

− EP0 ) ⇒ A θ = mgasinθ<br />

2<br />

⇔<br />

•<br />

2 mga<br />

θ = 2 sinθ<br />

A<br />

•<br />

2<br />

On retrouve ainsi l’expression de θ .<br />

384


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

7. Expressions des réactions N<br />

A<br />

, N<br />

B<br />

et de l’angle limite θ<br />

l<br />

pour lequel la demi sphère<br />

pleine quitte le mur.<br />

•<br />

••<br />

Il suffit de remplacer les expression de θ et de θ dans celles de RA<br />

et RB<br />

:<br />

R B<br />

2<br />

⎛ mga<br />

mga ⎞ m ga<br />

= ma⎜<br />

cosθ<br />

sinθ<br />

+ 2 sinθ<br />

cosθ<br />

⎟ = 3<br />

⎝ A<br />

A ⎠ A<br />

2<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

R A<br />

2<br />

⎛ mga<br />

mga ⎞ m ga<br />

= mg − ma⎜<br />

cosθ<br />

cosθ<br />

+ 2 sinθ<br />

sinθ<br />

⎟ = mg −<br />

⎝ A<br />

A ⎠ A<br />

2<br />

2<br />

2<br />

( cos θ − sin θ )<br />

R A<br />

2<br />

m ga<br />

= mg −<br />

A<br />

2<br />

cos 2θ<br />

La demi sphère quitte le mur si : R = 0 ⇔ sin θ cosθ<br />

= 0 ⇒<br />

B<br />

⎪⎧<br />

θ = 0<br />

⎨ π<br />

θ =<br />

⎪⎩ 2<br />

⇒<br />

π<br />

θ =<br />

2<br />

385


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 05 :<br />

Une barre homogène de longueur AB = 2L , de centre G et de masse m, glisse sans frottement<br />

le long d’un escalier tel que représenté sur la figure. Le point A glisse sur le sol et le point C<br />

sur l’arrête de l’escalier. La position initiale de la barre étant A B 0 0<br />

.<br />

On prendra<br />

R 0<br />

comme repère de projection.<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

On donne : OA = x (t) , α = x , x ) = ( y , y ) .<br />

−−→<br />

1. Déterminer les vecteurs : OG , V 0 ( G ) et γ<br />

0 ( G ) ;<br />

2. Appliquer le théorème de la résultante dynamique à la barre ;<br />

3. Appliquer le théorème du moment dynamique à la barre au point G ;<br />

4. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à la barre.<br />

Le tenseur d’inertie de la barre en G dans R 1<br />

est donné par :<br />

→<br />

→<br />

I<br />

G / R1<br />

⎡mL<br />

⎢<br />

3<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢ 0<br />

⎢⎣<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

mL<br />

3<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

R<br />

1<br />

→<br />

y 1<br />

B<br />

B 0<br />

C<br />

→<br />

y 0<br />

G<br />

→<br />

x 1<br />

→<br />

y 1<br />

B<br />

B<br />

0<br />

C<br />

→<br />

y 0<br />

G<br />

→<br />

R<br />

C<br />

→<br />

R<br />

A<br />

→<br />

x 1<br />

O<br />

A 0<br />

A<br />

α<br />

→<br />

x 0<br />

O<br />

→<br />

P<br />

A 0<br />

α<br />

A<br />

α<br />

→<br />

x 0<br />

x(t)<br />

x(t)<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe ;<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ → → →<br />

(<br />

0 1 0 1<br />

R A,<br />

x , y , z ) tel que : α = x , x ) = ( y , y ) et Ω<br />

→ • → • →<br />

0<br />

1<br />

= α z0<br />

= α z1<br />

385


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−−→ →<br />

→<br />

1. Vecteurs : OG , V 0 ( G)<br />

et γ<br />

0 ( G)<br />

;<br />

Nous avons :<br />

⎧x<br />

−−→ −−→ −−→<br />

⎪<br />

OG = OA+<br />

AG=<br />

⎨0+<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

R<br />

0<br />

0<br />

⎧−<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

⎩<br />

Lsinα<br />

L cosε<br />

0<br />

=<br />

R<br />

0<br />

⎧x<br />

− Lsinα<br />

⎪<br />

⎨ L cosε<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

=<br />

• •<br />

⎧<br />

−−→<br />

⎪<br />

x−<br />

Lα<br />

cosα<br />

0<br />

d OG<br />

•<br />

= ⎨−<br />

Lα<br />

sinα<br />

dt ⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

→<br />

0<br />

; γ ( G)<br />

=<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

V ( G)<br />

=<br />

dt<br />

R<br />

0<br />

⎧••<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

⎪x−<br />

L⎜α<br />

cosα<br />

−α<br />

sinα<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

•<br />

⎪ ⎛<br />

••<br />

2 ⎞<br />

⎨ − L⎜α<br />

sinα<br />

+ α cosα<br />

⎟<br />

⎪ ⎝<br />

⎠<br />

⎪ 0<br />

⎪<br />

⎩<br />

2. Théorème de la résultante dynamique, appliqué à la barre<br />

La résultante des forces extérieures appliquées à la barre est égale à la masse de la barre par<br />

l’accélération de son centre de gravité :<br />

∑ F<br />

0 ext<br />

mγ ( G)<br />

⇔ R R P m<br />

0 ( G<br />

A<br />

+<br />

C<br />

+ = γ )<br />

i<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

(1)<br />

La projection de l’équation (1) sur les axes de R 0<br />

donne :<br />

R C<br />

R<br />

A<br />

••<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

cosα<br />

= m x−<br />

mL⎜α<br />

cosα<br />

−α<br />

sinα<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

+ R<br />

C<br />

⎛<br />

••<br />

•<br />

2 ⎞<br />

sinα<br />

− mg = −mL⎜α<br />

sinα<br />

+ α cosα<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

(2)<br />

(3)<br />

3. Théorème du moment dynamique, appliqué à la barre au point G ;<br />

Le moment résultant des forces extérieures appliquées à la barre est égal au moment<br />

dynamique de la barre au même point G.<br />

∑ M ( Fext<br />

) /<br />

G<br />

= δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) ⇔ GA∧<br />

RA<br />

+ GC∧<br />

RC<br />

= δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) (4)<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

Or le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique :<br />

→<br />

→<br />

0<br />

d σ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) =<br />

avec :<br />

dt<br />

−−→<br />

→<br />

−−→<br />

→<br />

→<br />

386


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

2<br />

⎡mL<br />

⎤ ⎡ ⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥ ⎡0⎤<br />

→<br />

⎢ 0<br />

3<br />

⎥<br />

mL mL<br />

σ<br />

G<br />

( S / R0<br />

)<br />

z<br />

1<br />

⎢ ⎥ 3 3<br />

⎢ mL<br />

0 0 ⎥ ⎢⎣<br />

α⎥<br />

mL<br />

⎦ ⎢ ⎥<br />

⎢⎣<br />

⎥<br />

R α<br />

1<br />

3 ⎦ R ⎣ 3 ⎦<br />

→<br />

2 • → 2 • →<br />

0<br />

= I<br />

⎢<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

= ⎢ ⎥<br />

G / R<br />

. Ω1<br />

=<br />

⎢<br />

0 0 0<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

= =<br />

• ⎥<br />

0 α z1<br />

α<br />

0<br />

2<br />

2 •<br />

→<br />

→<br />

0<br />

2<br />

d σ<br />

•• →<br />

G<br />

( S / R0<br />

) mL<br />

δ<br />

G<br />

( S / R0<br />

) = = α z0<br />

(5)<br />

dt 3<br />

1<br />

Pour calculer le moment des forces extérieures on doit déterminer les vecteurs : GC et GA :<br />

Nous avons :<br />

sinα<br />

=<br />

x<br />

AC<br />

⇔<br />

x<br />

⎛ x ⎞<br />

AC = donc : GC = AC − AG = ⎜ − L⎟ sinα<br />

⎝ sinα ⎠<br />

−−→<br />

−−→<br />

on obtient :<br />

⎧ ⎛ x ⎞<br />

⎪−<br />

⎜ − L⎟sinα<br />

⎪ ⎝ sinα<br />

⎠<br />

⎧ Lsinα<br />

−−→<br />

⎛ x<br />

−−→<br />

⎞<br />

⎪<br />

GC = ⎨ ⎜ − L⎟cosα<br />

et GA=<br />

⎨−<br />

L cosα<br />

;<br />

⎪ ⎝ sinα<br />

⎠<br />

⎪<br />

⎪ 0<br />

R ⎩ 0<br />

0<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

∑<br />

i<br />

−→<br />

→<br />

M ( F<br />

ext<br />

) /<br />

G<br />

⎧ Lsinα<br />

⎪<br />

= ⎨−<br />

L cosα∧<br />

⎪<br />

R ⎩ 0 R<br />

0<br />

0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨R<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

A<br />

+<br />

⎧ ⎛ x ⎞<br />

⎪−<br />

⎜ − L⎟sinα<br />

⎪ ⎝ sinα<br />

⎠<br />

⎛ x ⎞<br />

⎨ ⎜ − L⎟cosα<br />

∧<br />

⎪ ⎝ sinα<br />

⎠<br />

⎪ 0 R<br />

⎪<br />

R ⎩<br />

0<br />

0<br />

⎧RC<br />

⎪<br />

⎨RC<br />

⎪<br />

⎩ 0<br />

cosα<br />

sinα<br />

⎧<br />

⎪<br />

−→ →<br />

→<br />

∑ M ( Fext<br />

) /<br />

G<br />

= ⎨<br />

0<br />

= ⎜ LRA<br />

sinα<br />

− RC<br />

⎜ − L⎟⎟<br />

z0<br />

i<br />

sinα<br />

⎪<br />

⎪<br />

LR<br />

R ⎩<br />

0<br />

A<br />

0<br />

sinα<br />

− R<br />

C<br />

⎛ x ⎞<br />

⎜ − L⎟<br />

⎝ sinα<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎝<br />

x<br />

⎞⎞<br />

⎠⎠<br />

(6)<br />

L’égalité des moments dans les équations (5) et (6) donne :<br />

2 ••<br />

⎛ x ⎞ mL<br />

LRA sinα<br />

− RC<br />

⎜ − L⎟<br />

= α<br />

(7)<br />

⎝ sinα<br />

⎠ 3<br />

387


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

4. Théorème de l’énergie cinétique, appliqué à la barre.<br />

La variation de l’énergie cinétique de la barre est égale au travail des forces extérieures.<br />

dE C<br />

=<br />

dW<br />

⇔<br />

dE C<br />

=<br />

dt<br />

dW<br />

dt<br />

L’énergie cinétique de la barre est donnée par :<br />

E<br />

C<br />

E C<br />

E C<br />

=<br />

=<br />

=<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

•<br />

⎛ 2<br />

m⎜<br />

x<br />

⎝<br />

⎛<br />

m⎜<br />

x<br />

⎝<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

+ L<br />

•<br />

2<br />

+<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

Ω1<br />

. I<br />

G / R<br />

1<br />

.<br />

→<br />

0<br />

Ω1<br />

2<br />

⎡mL<br />

⎤<br />

⎢ 0 0 ⎥⎡0⎤<br />

• • •<br />

⎞<br />

•<br />

⎛ ⎞⎢<br />

3<br />

2 2<br />

1<br />

α − 2L xα<br />

cosα<br />

⎟ +<br />

⎥⎢<br />

⎥<br />

⎜0,0,<br />

α ⎟<br />

⎝ ⎠⎢<br />

0 0 0<br />

⎥⎢<br />

0<br />

• ⎥<br />

⎠ 2<br />

2<br />

⎢ mL<br />

0 0 ⎥⎢⎣<br />

α⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

3 ⎥⎦<br />

2<br />

L α<br />

•<br />

2<br />

−<br />

• •<br />

⎞<br />

2L xα<br />

cosα<br />

⎟ +<br />

⎠<br />

1<br />

2<br />

2<br />

mL<br />

α<br />

3<br />

•<br />

2<br />

dE C<br />

dt<br />

• •• • •• •• •<br />

• ••<br />

1 ⎛<br />

2 ⎛<br />

= m<br />

⎜2x<br />

x+<br />

2L<br />

αα−<br />

2L⎜<br />

xα<br />

cosα<br />

+ xα<br />

cosα<br />

−<br />

2 ⎝<br />

⎝<br />

Nous avons aussi :<br />

dW<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

= m g • V ( G)<br />

+ R • V ( A)<br />

+ R • V ( C)<br />

,<br />

A<br />

→<br />

→<br />

C<br />

→<br />

• •<br />

2 ⎞⎞<br />

L xα<br />

sinα<br />

⎟ ⎟ +<br />

⎠ ⎠<br />

1<br />

2<br />

2 •<br />

mL 2<br />

α<br />

3<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

→ → →<br />

R A ⊥<br />

mais : R •<br />

0<br />

A<br />

V ( A)<br />

= 0 car V<br />

0 ( A)<br />

et R • V 0 C<br />

( C)<br />

= 0 car ⊥ V 0 ( C)<br />

→<br />

R C<br />

→<br />

dW<br />

dt<br />

= m g<br />

→ →<br />

0<br />

•<br />

V<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

( G)<br />

= ⎨−<br />

mg<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

L’égalité entre les deux termes donne :<br />

0<br />

• •<br />

⎧<br />

⎪<br />

x−<br />

Lα<br />

cosα<br />

•<br />

• ⎨ − Lα<br />

sinα<br />

⎪ 0<br />

R<br />

⎪⎩<br />

0<br />

•<br />

= mgLα<br />

sinα<br />

1 •<br />

2 •<br />

⎛ • •• • ••<br />

2 ⎛<br />

•• •<br />

• ••<br />

•<br />

2 ⎞⎞<br />

1 mL<br />

2 2 α α 2 α cosα<br />

α cosα<br />

α sinα<br />

α<br />

2<br />

•<br />

m ⎜<br />

⎟ + = α sinα<br />

2<br />

x x+ L − L⎜<br />

x + x − L x ⎟<br />

mgL<br />

⎝<br />

⎝<br />

⎠⎠<br />

2 3<br />

• •• • ••<br />

•<br />

2 •<br />

2 ⎛<br />

•• •<br />

• ••<br />

•<br />

2 ⎞ L<br />

•<br />

2<br />

x x+ L α α − L⎜<br />

xα<br />

cosα<br />

+ xα<br />

cosα<br />

− L xα<br />

sinα<br />

⎟ + α = gLα<br />

sinα<br />

⎝<br />

⎠ 6<br />

388


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Exercice 06 :<br />

Un disque plein de rayon a , de masse m roule sans glisser sous l’effet de la gravitation sur<br />

un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. Soit<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

lié au plan incliné, R G,<br />

x , y , z ) lié au centre d’inertie G du disque et R G,<br />

x , y , z ) un<br />

→ →<br />

1<br />

≡ z 2<br />

repère en rotation par rapport à l’axe z tel que x , x ) = ( y , ) = ϕ .<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) un repère fixe<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1<br />

y2<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

A l’instant initial, le disque est immobile. La réaction au point de contact entre le disque et le<br />

→<br />

N<br />

plan incliné a deux composantes, l’une normale au plan incliné, l’autreT tangentielle à ce<br />

dernier.<br />

Le tenseur d’inertie du disque en son centre d’inertie G dans le repère R 2<br />

est donné par :<br />

I<br />

C<br />

⎡A<br />

0 0 ⎤<br />

⎢ ⎥<br />

/ R<br />

=<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥<br />

avec<br />

2<br />

⎢⎣<br />

0 0 2A⎥⎦<br />

→<br />

2<br />

Ma<br />

A = ; On prendra R 1<br />

comme repère de projection.<br />

4<br />

1. Déterminer la vitesse V 0 ( G)<br />

et l’accélération γ<br />

0 ( G)<br />

du point G ;<br />

2. Appliquer le théorème de la résultante dynamique au disque ;<br />

3. Appliquer le théorème du moment dynamique au disque ;<br />

4. Trouver une équation scalaire liant les paramètres cinématiques y • ,<br />

•<br />

θ et a et qui<br />

traduisent la condition de roulement sans glissement du disque sur le plan incliné ;<br />

••<br />

••<br />

5. En déduire les expressions de N, T, y et ϕ en fonction de m, g, α et a ;<br />

• •<br />

6. Déterminer l’énergie cinétique du disque en fonction de m, a , y et ϕ ;<br />

•<br />

7. Exprimer l’énergie cinétique du disque en fonction de m et y en tenant compte de la<br />

condition de roulement sans glissement ;<br />

8. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au disque, retrouver l’expression de<br />

•<br />

l’accélération linéaire .<br />

→<br />

→<br />

O<br />

x(t)<br />

→<br />

x<br />

0<br />

G<br />

I I<br />

α<br />

•<br />

y<br />

→<br />

x<br />

1<br />

ϕ<br />

→<br />

x 2<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y 0<br />

O<br />

y(t)<br />

→<br />

x 0<br />

→<br />

T<br />

→<br />

N<br />

G<br />

I I<br />

→<br />

P<br />

α<br />

→<br />

x<br />

ϕ<br />

1<br />

→<br />

x<br />

→<br />

y<br />

2<br />

1<br />

→<br />

y 0<br />

389


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe.<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

R G,<br />

x , y , z ) en translation par rapport à ⇒<br />

R 0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω = 0<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1<br />

y2<br />

R G,<br />

x , y , z ) est tel que : x , x ) = ( y , ) = ϕ et<br />

→ • → • →<br />

1<br />

Ω<br />

2<br />

= ϕ z1<br />

= ϕ z0<br />

⎧0<br />

⎧a<br />

⎧a<br />

−−→ −−→ −−→<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

OG = OI + IG = ⎨y+<br />

⎨0=<br />

⎨y<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩0<br />

R ⎩0<br />

R ⎩0<br />

→<br />

1<br />

1<br />

1. Vitesse V 0 ( G)<br />

et accélération γ<br />

0 ( G)<br />

du point G ;<br />

Par dérivation :<br />

1<br />

→<br />

−−→ −−→<br />

⎧0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→ −−→ •<br />

0 d OG d OG 0 ⎪<br />

V ( G)<br />

= = + Ω1<br />

∧ OG=<br />

⎨y<br />

; car<br />

dt dt<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

1<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω = 0<br />

→<br />

→<br />

⎧0<br />

→<br />

0 0<br />

1 0<br />

→ →<br />

••<br />

0 d V ( G)<br />

d V ( G)<br />

0 0 ⎪<br />

γ ( G)<br />

= = + Ω1<br />

∧V<br />

( G)<br />

= ⎨y<br />

; car<br />

dt dt<br />

⎪<br />

R ⎩0<br />

2. Théorème de la résultante dynamique appliqué au disque<br />

1<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω = 0<br />

La résultante des forces extérieures appliquées au disque est égale à la masse du disque par<br />

l’accélération de son centre d’inertie.<br />

∑ F<br />

0 ext<br />

mγ ( G)<br />

⇔ T + N + P = mγ<br />

0 ( G)<br />

(1)<br />

i<br />

→<br />

=<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

La projection de cette équation sur les axes du repère R 1<br />

donne deux équations scalaires :<br />

N − mg cos α = 0<br />

(3)<br />

− T + mg sin α = m y (4)<br />

••<br />

3. Théorème du moment dynamique appliqué au disque<br />

Le moment résultant des forces extérieures appliquées au disque est égale au moment<br />

dynamique du disque au même point G .<br />

390


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

∑ M ( F ) /<br />

0 ext G<br />

= δ ( G)<br />

⇔ GI ∧ T + GI ∧ N = δ<br />

0 ( G)<br />

comme GI // N elle devient :<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

→<br />

0 G<br />

GI ∧ T = δ (<br />

)<br />

(4)<br />

Exprimons chacun des termes de cette équation :<br />

⎧− a<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

R ⎩aT<br />

−→ →<br />

→<br />

GI ∧ T = 0 ∧ − T = 0 = aT z1<br />

1<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique, d’où : δ ( G)<br />

=<br />

0<br />

Le moment cinétique du disque est donné par : σ<br />

→<br />

( G)<br />

= I C / R2<br />

→<br />

0<br />

2<br />

. Ω<br />

→<br />

d<br />

0<br />

→<br />

0<br />

σ ( G)<br />

dt<br />

⎡A<br />

0 0⎤⎛<br />

0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

0<br />

σ ( G)<br />

⎢ ⎥<br />

z<br />

⎢ ⎥⎜<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

R ⎣0<br />

0 A⎦⎝ϕ<br />

⎠ ⎝ Aϕ<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

• → • →<br />

=<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥⎜<br />

0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = Aϕ<br />

z1<br />

= Aϕ<br />

0<br />

•<br />

•<br />

1<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

1 0<br />

•• → 2<br />

d σ ( G)<br />

d σ ( G)<br />

ma<br />

•• →<br />

= = = Aϕ<br />

z1<br />

= ϕ<br />

1<br />

δ ( G)<br />

z car<br />

dt dt<br />

2<br />

En égalisant les deux expressions des moments nous obtenons :<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

Ω = 0<br />

2<br />

ma<br />

••<br />

aT = ϕ ⇒<br />

2<br />

ma<br />

••<br />

T = ϕ (5)<br />

2<br />

4. Equation scalaire liant les paramètres cinématiques x et a et qui traduisent la<br />

condition de roulement sans glissement du disque sur le plan incliné :<br />

La condition de roulement sans glissement est vérifiée si la vitesse du point de contact du<br />

disque et du plan incliné est nulle : V<br />

→<br />

g<br />

→<br />

0<br />

s<br />

→<br />

0<br />

P<br />

• , •<br />

θ<br />

→<br />

( I)<br />

= V ( I)<br />

−V<br />

( I)<br />

= 0<br />

→<br />

V P<br />

→<br />

Or : 0 ( I)<br />

= 0 alors :<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

→<br />

( I)<br />

= V ( G)<br />

+ Ω ∧ GI = 0<br />

⎧0<br />

⎧0<br />

⎧− a<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎨y+<br />

⎨0∧<br />

⎨ 0 =<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩0<br />

R ⎩ϕ<br />

R ⎩ 0<br />

V s<br />

⎪ ⎩<br />

⎪ ⎨<br />

⎧<br />

1 1<br />

R<br />

1 1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

⇔ y<br />

• − a<br />

•<br />

ϕ = 0<br />

(6)<br />

391


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

••<br />

••<br />

5. Expressions de N, T, y et ϕ en fonction de m, g, α et a ;<br />

L’équation (3) donne :<br />

N = mg cosα<br />

L’équation (6)<br />

••<br />

••<br />

y = aϕ<br />

••<br />

•<br />

y •<br />

⇒ ϕ = l’équation (4) devient :<br />

a<br />

••<br />

ma y<br />

••<br />

− + mg sinα = m y<br />

2 a<br />

On déduit :<br />

••<br />

y =<br />

2 g sinα<br />

3<br />

••<br />

2<br />

d’où : ϕ = g sinα<br />

3a<br />

L’équation (5) donne : T<br />

=<br />

mg<br />

sinα<br />

3<br />

• •<br />

6. Energie cinétique du disque en fonction de m, a , y et ϕ ;<br />

L’énergie cinétique totale est égale à l’énergie cinétique de translation + l’énergie cinétique<br />

de rotation :<br />

E<br />

C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

⎛<br />

m⎜V<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

( G)<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

1<br />

+ Ω<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

1<br />

. I<br />

G<br />

( S / R<br />

2<br />

→<br />

0<br />

1<br />

). Ω<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

m y<br />

•<br />

2<br />

+<br />

⎡A<br />

1<br />

•<br />

⎛ ⎞⎢<br />

⎜0,0,<br />

ϕ ⎟<br />

⎝ ⎠⎢<br />

0<br />

2<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤⎛<br />

0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

⎥<br />

⎥⎜<br />

0<br />

A⎥⎜<br />

⎟<br />

⎦⎝ϕ<br />

⎠<br />

⎟ =<br />

•<br />

1<br />

2<br />

m y<br />

•<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

Aϕ<br />

•<br />

2<br />

•<br />

7. Energie cinétique du disque en fonction de m et y en tenant compte de la condition<br />

de roulement sans glissement ;<br />

Nous avons dans l’équation (6) qui exprime le roulement sans glissement :<br />

• •<br />

y = aϕ<br />

on<br />

déduit que :<br />

•<br />

=<br />

y •<br />

ϕ alors l’expression de l’énergie cinétique devient :<br />

a<br />

E C<br />

=<br />

1<br />

2<br />

m y<br />

•<br />

2<br />

+<br />

1<br />

2<br />

ma<br />

2<br />

2<br />

•<br />

2<br />

y<br />

a<br />

2<br />

=<br />

3<br />

4<br />

m y<br />

•<br />

2<br />

E C<br />

=<br />

3<br />

4<br />

m y<br />

•<br />

2<br />

••<br />

8. Expression de l’accélération linéaire y En appliquant le théorème de l’énergie<br />

cinétique au disque<br />

La variation de l’énergie cinétique est égale au travail des forces extérieures :<br />

•<br />

3 2<br />

E C<br />

= m y ⇒<br />

4<br />

dE C 3<br />

= m y y<br />

dt 2<br />

• ••<br />

dE C<br />

=<br />

dt<br />

dW<br />

dt<br />

392


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

dW<br />

dt<br />

dW<br />

dt<br />

dW<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

dW ( T)<br />

dW ( N)<br />

dW ( P)<br />

→<br />

d OI<br />

→<br />

d OI<br />

→<br />

d OG<br />

→ →<br />

= ¨+<br />

+ = T • + N • + m g • = m g • V<br />

0 ( G )<br />

dt dt dt dt dt dt<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

= T • V ( I)<br />

+ N • V ( I)<br />

+ m g • V ( G)<br />

= m g • V ( G)<br />

car<br />

⎛− mg cosα<br />

⎞<br />

→ →<br />

⎜ ⎟<br />

0<br />

= m g • V ( G)<br />

= ⎜ mg sinα<br />

⎟<br />

•<br />

⎜<br />

R 0 ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

1<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−→<br />

⎛ 0⎞<br />

⎜ • ⎟ •<br />

⎜ y⎟<br />

= mg y sinα<br />

⎜<br />

R<br />

0⎟<br />

⎝ ⎠<br />

1<br />

→<br />

−→<br />

→<br />

V 0 ( I)<br />

= 0<br />

L’égalité des deux expressions donne :<br />

3 • ••<br />

m y y mg y<br />

•<br />

••<br />

2<br />

= sinα<br />

⇔ y = g sinα<br />

2<br />

3<br />

Exercice 07 :<br />

Le concasseur d’un moulin à huile est constitué d’une roue homogène (S) de masse m, de<br />

rayon R, de centre de masse G . La roue a une liaison pivot au point G avec une tige<br />

horizontale de masse négligeable O 1 G , soudée à un arbre vertical OA en rotation à une<br />

•<br />

vitesse angulaire constante : ψ = Cte . L’arbre OA est maintenu vertical par deux liaisons,<br />

l’une sphérique en O et l’autre cylindrique en A. On suppose que toutes les liaisons sont sans<br />

frottement.<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

La roue roule sans glissement sur le plan horizontal fixe lié au repère R O,<br />

x , y , z ) .<br />

Le repère<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

R G,<br />

x , y , z ) est lié à la tige O1G ; le repère R G,<br />

x , y , z ) est lié à la roue.<br />

Le tenseur d’inertie de la roue en son centre d’inertie G dans le repère est donné par :<br />

R 2<br />

I<br />

G / R1<br />

⎡2A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

A⎥⎦<br />

R , R<br />

1<br />

2<br />

avec :<br />

2<br />

mR<br />

A =<br />

4<br />

•<br />

1. En appliquant la condition de roulement sans glissement au point I, exprimer θ en<br />

•<br />

fonction de ψ ;<br />

2. Déterminer le moment dynamique au point O 1 de la roue ;<br />

3. Appliquer le théorème du moment dynamique au point O 1 à la roue ;<br />

393


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

4. Exprimer l’action du plan sur la roue en fonction de m, R et ψ ;<br />

5. Exprimer le couple gyroscopique agissant sur la roue dans le repère R 1<br />

.<br />

A<br />

→<br />

z 0<br />

→<br />

z 1<br />

θ<br />

z<br />

→<br />

2<br />

O 1<br />

L<br />

→<br />

y<br />

1<br />

O<br />

G<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

x 0<br />

ψ<br />

I<br />

→<br />

→<br />

x , x 1 2<br />

Solution :<br />

→ → →<br />

0<br />

(<br />

0 0 0<br />

R O,<br />

x , y , z ) repère fixe.<br />

→ → →<br />

1( 1 1 1<br />

•<br />

⎧<br />

0<br />

⎪ − θ<br />

⎧<br />

• → • →<br />

−→ →<br />

⎪<br />

= ψ z<br />

1−θ<br />

x2<br />

= ⎨ 0 ; GI = −R z1=<br />

⎨ 0 ;<br />

•<br />

⎪ ψ<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎩−<br />

R<br />

⎩<br />

R1<br />

R<br />

→ → → →<br />

→ • → • →<br />

0<br />

x1,<br />

x0<br />

) = ( y1,<br />

y0<br />

) = ψ<br />

1<br />

= ψ z1<br />

= ψ z1<br />

R G,<br />

x , y , z ) est tel que : ( ⇒ Ω<br />

→ → →<br />

2<br />

(<br />

2 2 2<br />

→ → → →<br />

(<br />

1 2 1<br />

y2<br />

R G,<br />

x , y , z ) est tel que : z , z ) = ( y , ) = θ ⇒<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

1<br />

→ • → • →<br />

1<br />

Ω<br />

2<br />

= −θ<br />

x1<br />

= −θ<br />

x2<br />

⎧L<br />

−→ → →<br />

⎪<br />

OG = L x1<br />

+ R z1=<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩R<br />

⎧0<br />

⎧L<br />

⎧ 0<br />

→<br />

→ → −→<br />

•<br />

0<br />

0<br />

0 ⎪ ⎪ ⎪<br />

V ( G)<br />

= V ( O)<br />

+ Ω1<br />

∧ OG=<br />

⎨0<br />

∧ ⎨0<br />

= ⎨Lψ<br />

avec : V<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ψ<br />

R ⎩R<br />

R ⎩ 0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→<br />

( O)<br />

= 0<br />

•<br />

•<br />

1. Expression de θ en fonction de ψ ;<br />

La condition de roulement sans glissement au point de contact entre la roue et le sol signifie<br />

que la vitesse de glissement de ce point de contact est nulle :<br />

→ →<br />

→<br />

0<br />

0<br />

( I)<br />

V ( I ∈ S)<br />

−V<br />

( I ∈ R0<br />

V g<br />

= ) = 0 or nous avons : V<br />

→<br />

0<br />

alors : V ( I ∈ S)<br />

⇔ V<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

2<br />

−→<br />

( I ∈ S)<br />

= V ( G)<br />

+ Ω ∧ GI = 0<br />

→<br />

0<br />

( I R0<br />

→<br />

→<br />

∈ ) = 0<br />

394


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

⎧<br />

⎧ 0<br />

⎧ ⎧<br />

⎪ − θ 0 0<br />

•<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ ⎪<br />

⎨Lψ + ⎨ 0 ∧ ⎨ 0 = ⎨0<br />

⇔ Lψ − Rθ = 0<br />

•<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩ 0 ψ ⎩−<br />

R<br />

⎪<br />

⎩0<br />

1 ⎩<br />

R1<br />

R1<br />

R<br />

1<br />

⇒<br />

•<br />

L<br />

•<br />

θ = ψ<br />

R<br />

(1)<br />

2. Moment dynamique au point O 1 de la roue :<br />

L’arbre étant de masse négligeable, le moment dynamique du système se réduit au moment<br />

dynamique de la roue. Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique,<br />

→<br />

d’où : δ ( S / R ) =<br />

O1<br />

0<br />

d<br />

0<br />

→<br />

σ ( S / R )<br />

O1<br />

dt<br />

0<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

O1 0 O1<br />

/ R2<br />

1 1<br />

G<br />

0<br />

0<br />

Le moment cinétique de la roue est donné par : σ ( S / R ) = I . Ω + O G∧<br />

mV ( )<br />

σ<br />

→<br />

O 1<br />

( S / R<br />

•<br />

•<br />

⎛ ⎞<br />

⎛<br />

⎡2A<br />

0 0⎤⎜<br />

− θ ⎟ ⎛ L⎞<br />

⎛ 0 ⎞ ⎜−<br />

2Aθ<br />

⎜ ⎟ ⎜ •<br />

⎢ ⎥⎜<br />

⎟<br />

⎟<br />

+ ∧ =<br />

⎜<br />

0<br />

) =<br />

⎢<br />

0 A 0<br />

⎥<br />

0<br />

⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ m⎜<br />

Lψ<br />

⎟ m 0<br />

•<br />

⎜<br />

⎢ ⎥⎜<br />

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

R ⎣ 0 0 A⎦<br />

ψ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜<br />

1<br />

⎝ ⎠<br />

⎝<br />

→<br />

0<br />

1<br />

→ d σ<br />

O<br />

( S / R0<br />

) d σ ( S / R0<br />

)<br />

→ →<br />

1<br />

O1<br />

0 0<br />

δ<br />

O<br />

( S / R0<br />

) = =<br />

+ Ω1<br />

∧ σ ( G)<br />

;<br />

1<br />

dt<br />

dt<br />

→<br />

⎞<br />

•<br />

( + ) ⎟ ⎟⎟⎟ 2<br />

A mL ψ<br />

⎠<br />

d<br />

1<br />

→<br />

σ<br />

O<br />

( S / R0<br />

)<br />

1<br />

dt<br />

→<br />

= 0<br />

• •<br />

, car ψ et θ sont constantes, on obtient alors :<br />

⎛<br />

•<br />

⎛ 0 ⎞ ⎜−<br />

2Aθ<br />

⎟ ⎛ 0 ⎞<br />

→ ⎜ ⎟<br />

⎜ • • ⎟<br />

• • →<br />

δ ∧<br />

⎜<br />

⎟<br />

O<br />

(S/R0 ) = ⎜ 0 ⎟ 0<br />

= ⎜−<br />

2Aθ ψ ⎟ = −2Aθ ψ y<br />

1 • ⎜<br />

1<br />

•<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ψ<br />

⎠<br />

⎜<br />

⎝<br />

2<br />

( A + mL )<br />

ψ<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎜<br />

⎝<br />

0<br />

⎟<br />

⎠<br />

(2)<br />

3. Théorème du moment dynamique au point O 1 à la roue ;<br />

Le moment résultant des forces extérieures appliquées à la roue est égal au moment<br />

dynamique de la roue au même point O 1<br />

.<br />

∑ M ( Fext<br />

) /<br />

O<br />

= δ ( S / R0<br />

)<br />

1 O<br />

⇔<br />

1<br />

i<br />

→<br />

→<br />

→<br />

−−→ → −−→ →<br />

• • →<br />

1G∧ m g+<br />

O1I<br />

∧ RI<br />

= −2Aθ ψ y1<br />

O<br />

395


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A.KADI<br />

⎧L<br />

⎧ 0 ⎧ L ⎧ 0<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

⎨0 ∧ ⎨ 0 + ⎨ 0 ∧ ⎨ 0 = ( mg − RI<br />

) L y<br />

⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />

R ⎩0<br />

R ⎩−<br />

mg R ⎩−<br />

R R ⎩RI<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

→<br />

1<br />

(3)<br />

• •<br />

L’égalité des expressions donne : mg − RI L = −2Aθ<br />

ψ (4)<br />

( )<br />

•<br />

4. Action du plan sur la roue en fonction de m, R et ψ ;<br />

A partir de l’équation (4) on déduit :<br />

( − R )<br />

• •<br />

mg<br />

I<br />

L = −2 Aθ ψ ⇒<br />

•<br />

L<br />

•<br />

θ = ψ<br />

R<br />

et<br />

2<br />

mR<br />

A = d’où :<br />

4<br />

2A<br />

R I<br />

= mg + θ ψ<br />

L<br />

• •<br />

or nous avons d’après l’équation (1)<br />

2<br />

2 mR L<br />

• •<br />

R I<br />

= mg + . . ψ . ψ on aboutit à :<br />

L 4 R<br />

R I<br />

mR<br />

= mg + .<br />

2 ψ<br />

•<br />

2<br />

5. Couple gyroscopique agissant sur la roue dans le repère R 1<br />

.<br />

Dans le cas de ce mouvement composé de deux rotations, la rotation propre de la roue se fait<br />

→<br />

1<br />

autour de l’axe O , x ) à la vitesse de rotation : = −θ<br />

et la précession se fait autour de<br />

(<br />

1 1<br />

→<br />

→<br />

(<br />

0 1 1<br />

→ • →<br />

Ω<br />

2<br />

x1<br />

→ • →<br />

Ω1 z1<br />

0<br />

l’axe O,<br />

z ) //( O , z ) à la vitesse de rotation : = ψ .<br />

Le moment gyroscopique est donné par la relation :<br />

−→<br />

M<br />

gyros<br />

•<br />

⎧<br />

⎧0<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

• • →<br />

⎪ − θ<br />

1 0 ⎪<br />

= I<br />

axe de rotation propre<br />

Ω<br />

propre<br />

∧ Ω<br />

précession<br />

= I<br />

x<br />

Ω<br />

2<br />

∧ Ω1<br />

= 2A.<br />

⎨0<br />

∧ . ⎨ 0 = 2A<br />

y<br />

1x1<br />

1<br />

• R<br />

θ ψ<br />

1<br />

⎪<br />

⎩ψ<br />

⎪ 0<br />

⎪⎩<br />

−→<br />

M gyros<br />

• • →<br />

= 2Aθ<br />

ψ y1<br />

396


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

CHAPITRE X<br />

DYNAMIQUE D’UN SOLIDE<br />

EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE<br />

397


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

DYNAMIQUE D’UN SOLIDE<br />

EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE<br />

1. Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe<br />

C’est le mouvement le plus important dans la mécanique. Le fonctionnement de toutes les<br />

machines est basé sur un mouvement de rotation autour d’un axe : rotors, machines<br />

tournantes, vilebrequins, roues etc…<br />

Ce mouvement de rotation génère des vibrations mécaniques au niveau des paliers de fixation,<br />

si l’axe de rotation n’est pas équilibré. Les paliers sont des liaisons rotoïdes (articulations<br />

cylindriques) entre le solide et le bâti fixe. Ces vibrations sont à l’origine de l’usure des<br />

paliers, provoquée par les contraintes mécaniques dues à la liaison entre l’axe de rotation et le<br />

palier.<br />

Pour éviter ces inconvénients, il est nécessaire d’étudier et de trouver les conditions<br />

d’équilibrage du système afin que les contraintes soient minimales et allonger la durée de vie<br />

des paliers.<br />

2. Equations du mouvement<br />

2.1 Paramétrage du mouvement<br />

On choisit un repère fixe orthonormé direct<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

lié au bâti tel que l’axe vertical<br />

−→<br />

Oz , soit confondu avec l’axe de rotation (Δ)<br />

. Soit R ( O,<br />

x , y , z ) un repère lié au solide<br />

0<br />

→ →<br />

z 0 ≡ s<br />

(S), tel que z . Le solide est en mouvement de rotation autour de l’axe z avec<br />

→<br />

• →<br />

ψ 0<br />

• →<br />

0<br />

une vitesse : Ω = z = ψ z tel que le centre d’inertie du solide soit dans le plan Ox z s<br />

) ,<br />

s<br />

s<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→ →<br />

z 0 ≡ s<br />

(<br />

s<br />

avec :<br />

−−→ → → → →<br />

OG = a xs<br />

+ b z<br />

s<br />

= a xs<br />

+ b z0<br />

L’orientation du solide (S) lié au repère R ( O,<br />

x , y , z ) est définie par l’angle :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

ψ = ( x0<br />

, xs<br />

) = ( y0<br />

, ys<br />

)<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

398


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La matrice de passage du repère<br />

le repère R 0<br />

est donnée par :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

x s<br />

= cosψ<br />

x0 + sinψ<br />

y0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

y s<br />

= −sinψ<br />

x0 + cosψ<br />

y0<br />

→ →<br />

z s = z 0<br />

R s<br />

vers<br />

a : distance du centre d’inertie G à l’axe (Δ)<br />

b : distance de G au plan ( Ox y 0 0<br />

)<br />

o<br />

→<br />

z 0 ≡<br />

a<br />

x<br />

b<br />

→<br />

z<br />

s<br />

(S)<br />

G<br />

ψ<br />

→<br />

y<br />

s<br />

→<br />

y<br />

0<br />

→<br />

x 0<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

s<br />

2.2 Torseur cinématique<br />

C] 0<br />

Le torseur cinématique du solide [ relatif au mouvement de rotation du solide par rapport<br />

au repère est défini par ces éléments de réduction :<br />

R 0<br />

La résultante cinématique :<br />

Le moment au point O :<br />

→ → • →<br />

0<br />

R = Ω<br />

s<br />

= ψ z0<br />

→ →<br />

0<br />

0<br />

V ( O<br />

M<br />

→<br />

= ) = 0<br />

2.3 Vecteurs vitesse et accélération du point G, centre de masse du solide<br />

Sa position est définie précédemment par : OG<br />

−−→ → →<br />

= a xs<br />

+ b z<br />

s<br />

Sa vitesse peut être déterminée dans le repère R s<br />

de deux manières :<br />

- par dérivation :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎛a⎞<br />

−−→ −−→<br />

0<br />

s<br />

→<br />

d OG d OG<br />

−−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ • ⎟ • →<br />

0<br />

= = + Ω<br />

s<br />

∧ OG = ⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜ 0⎟<br />

= ⎜aψ<br />

⎟ = aψ<br />

ys<br />

•<br />

dt<br />

dt<br />

- par composition des vitesses :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

⎛ 0 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎛a⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎛<br />

0<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ψ ⎠ ⎝b⎠<br />

⎝ 0<br />

→<br />

→ −−→<br />

• • →<br />

0<br />

0<br />

= V ( O)<br />

+ Ω<br />

s<br />

∧ OG = ⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜0⎟<br />

= ⎜aψ<br />

⎟ = aψ<br />

ys<br />

•<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ψ ⎠ ⎝b⎠<br />

⎝ 0<br />

0 ⎞<br />

⎟<br />

Dans le repère , la vitesse aura pour expression : V<br />

R 0<br />

⎟<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

• → • →<br />

= −aψ<br />

sinψ<br />

x0<br />

+ aψ<br />

cosψ<br />

0<br />

( G)<br />

y<br />

Le vecteur accélération de G s’obtient aisément en dérivant l’expression de la vitesse.<br />

399


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans le repère R s<br />

:<br />

Dans le repère R 0<br />

:<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

• → •• →<br />

0 d V ( G)<br />

2<br />

( G)<br />

= = −aψ<br />

xs<br />

+ aψ<br />

ys<br />

γ<br />

→<br />

0<br />

dt<br />

•<br />

→<br />

→ ••<br />

→<br />

→<br />

2<br />

= −aψ<br />

(cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

) y0<br />

+ aψ<br />

( −sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

)<br />

0<br />

γ ( G)<br />

y<br />

→<br />

0<br />

••<br />

•<br />

→ ••<br />

•<br />

→<br />

2<br />

2<br />

= −a(<br />

ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

) x0<br />

+ a(<br />

ψ cosψ<br />

−ψ<br />

sinψ<br />

)<br />

0<br />

γ ( G)<br />

y<br />

Elle peut aussi être obtenue en dérivant l’expression du vecteur vitesse, dans le repère R 0<br />

.<br />

3. Etude cinétique<br />

Ces éléments cinématiques nous permettent de déterminer les torseurs cinétiques et<br />

dynamiques. Afin de simplifier le problème nous choisirons de déterminer les moments<br />

cinétiques et dynamiques au point O appartenant à l’axe de rotation.<br />

3.1 Torseur cinétique<br />

Le solide (S) étant quelconque, sa matrice d’inertie en O dans le repère lié au solide s’écrira :<br />

I<br />

O<br />

⎡ A<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− F<br />

⎢⎣<br />

− E<br />

− F<br />

B<br />

− D<br />

− E⎤<br />

− D<br />

⎥<br />

⎥<br />

C ⎥⎦<br />

R<br />

s<br />

Les éléments de réduction du torseur cinétique au point O s’écriront dans R s<br />

:<br />

La résultante cinétique :<br />

→ →<br />

• →<br />

0<br />

P = mV ( G)<br />

= maψ<br />

ys<br />

Le moment cinétique au point O :<br />

→<br />

σ ( S)<br />

o<br />

−−→ →<br />

→<br />

0<br />

0<br />

= mOG∧V<br />

( O)<br />

+ I<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

Comme la vitesse du point O , est nulle alors le moment cinétique aura pour expression :<br />

⎡ A − F − E⎤<br />

⎡0⎤<br />

→<br />

σ ( S)<br />

0<br />

o<br />

→<br />

• → • → • →<br />

0<br />

= I<br />

⎢<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

=<br />

⎢<br />

− F B − D<br />

⎥ ⎢<br />

= − − +<br />

• ⎥<br />

Eψ<br />

is<br />

Dψ<br />

js<br />

Cψ<br />

zs<br />

⎢⎣<br />

− E − D C ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

s<br />

Rs<br />

3.2 Torseur dynamique<br />

Les éléments de réduction du torseur dynamique au point O s’écriront dans R s<br />

:<br />

La résultante dynamique :<br />

→ →<br />

• → •• →<br />

0<br />

2<br />

D = mγ<br />

( G)<br />

= −maψ<br />

xs<br />

+ maψ<br />

ys<br />

Le moment cinétique au point O :<br />

→<br />

δ ( S)<br />

=<br />

o<br />

d<br />

o<br />

→<br />

σ ( S)<br />

o<br />

dt<br />

400


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

δ ( S)<br />

o<br />

→<br />

→<br />

s<br />

0 →<br />

→<br />

• →<br />

→<br />

d ( I<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

) 0<br />

0<br />

0 0<br />

0<br />

= + Ω<br />

s<br />

∧ I<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

= I<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

+ Ω<br />

s<br />

∧ I<br />

0<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

dt<br />

⎡ A − F − E⎤<br />

⎡0⎤<br />

⎡0⎤<br />

⎡ A − F − E⎤<br />

⎡0⎤<br />

→<br />

δ<br />

o<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

F B D<br />

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />

F B D<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

⎢<br />

− −<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

⎥<br />

+<br />

⎢<br />

0<br />

⎥ ⎢<br />

− −<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

••<br />

•<br />

• ⎥<br />

⎢⎣<br />

− E − D C ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

− E − D C ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

R<br />

→<br />

o<br />

•• • → •• • → •• →<br />

2<br />

2<br />

= ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

) is<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

js<br />

+ Cψ<br />

zs<br />

δ ( S)<br />

)<br />

s<br />

s<br />

s<br />

s<br />

s<br />

le moment dynamique peut être exprimé dans la base<br />

→<br />

⎡<br />

⎤<br />

δ<br />

o<br />

( S)<br />

⎢<br />

⎥ i<br />

⎣<br />

⎦<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

= ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

)cosψ<br />

+ ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)sinψ<br />

0<br />

R 0<br />

en utilisant la matrice de passage.<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

•• •<br />

•• •<br />

→ •• →<br />

2<br />

2<br />

+ ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

)sinψ<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)cosψ<br />

j0<br />

+ Cψ<br />

z0<br />

3.3 Energie cinétique<br />

Comme le solide a un mouvement de rotation pur autour d’un axe (Δ)<br />

confondu avec l’axe<br />

→ →<br />

z s ≡ z 0<br />

, son énergie cinétique est donnée par :<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

E<br />

E<br />

0<br />

c<br />

0<br />

c<br />

⎛<br />

1 ⎜<br />

=<br />

2<br />

⎜<br />

⎝V<br />

→<br />

Ω<br />

0<br />

s<br />

→<br />

0<br />

→<br />

⎞⎛<br />

0 ⎞<br />

⎟⎜V<br />

( G)<br />

⎟ 1<br />

⎟ = Ω<br />

→<br />

⎜<br />

⎟ 2<br />

( O)<br />

⎠⎝<br />

σ<br />

0<br />

( S)<br />

⎠<br />

→<br />

0<br />

s<br />

→<br />

1<br />

σ<br />

0<br />

( S)<br />

= Ω<br />

2<br />

→<br />

0T<br />

s<br />

1 • → • → • →<br />

1<br />

→<br />

•<br />

T<br />

2 T<br />

1<br />

= ψ z I ( )<br />

( )<br />

2<br />

s 0<br />

S ψ zs<br />

= ψ zs<br />

I<br />

0<br />

S zs<br />

= ψ I<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

→<br />

0<br />

s<br />

I ( S)<br />

Ω<br />

zz<br />

( S)<br />

0 Ec<br />

=<br />

1 Cψ<br />

2<br />

•<br />

2<br />

4. Les différentes actions mécaniques exercées sur le solide<br />

Le solide est soumis à l’action de pesanteur due à son propre poids, aux actions de liaisons au<br />

niveau des articulations qui sont intermédiaire entre le bâti fixe et le solide, mais aussi à une<br />

action motrice où de freinage qui permet de mettre le solide en mouvement ou de le freiner<br />

s’il est déjà en mouvement.<br />

4.1 Action de pesanteur<br />

Au point G centre d’inertie du solide, l’action de pesanteur est représentée par le torseur<br />

ayant pour éléments de réduction :<br />

→<br />

⎧<br />

⎪R<br />

p<br />

= −mg z<br />

⎨ → →<br />

⎪⎩ M<br />

G<br />

= 0<br />

→<br />

s<br />

401


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Par la formule de transport nous pouvons exprimer le moment au point O, il est donné par :<br />

⎛a⎞<br />

⎛ 0 ⎞<br />

→<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

M<br />

O<br />

⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝b⎠<br />

⎝−<br />

mg ⎠<br />

→ −−→ → −−→ →<br />

→<br />

= M<br />

G<br />

+ OG∧<br />

R<br />

p<br />

= OG∧<br />

R<br />

p<br />

= 0 ∧ = mga ys<br />

Dans le repère R 0<br />

, il s’écrira :<br />

→<br />

M O<br />

→<br />

→<br />

= −mga<br />

sinψ<br />

x0 + mga cosψ<br />

y0<br />

4.2 Action due à la liaison rotoïde entre le bâti fixe et le solide<br />

L’action de liaison entre le solide et le bâti est représentée par un torseur dont les éléments de<br />

→<br />

→<br />

⎧<br />

⎪ RL<br />

= RLx<br />

x0<br />

+ RLy<br />

y<br />

réduction sont : ⎨ −→<br />

→<br />

⎪<br />

⎩M<br />

LO<br />

= M<br />

Lx<br />

x0<br />

+ M<br />

→<br />

0<br />

Ly<br />

+ R<br />

Lz<br />

→<br />

0<br />

→<br />

z<br />

0<br />

y + M<br />

Lz<br />

Les composantes de l’action de liaison sont déterminées à partir des équations finales qui<br />

égalisent le moment dynamique au moment des actions extérieures. La nature de l’articulation<br />

et le point de calcul du moment peuvent réduire le nombre d’inconnues dans les équations du<br />

mouvement.<br />

4.3 Action due au couple moteur ou au couple de freinage<br />

Le solide peut être mis ou maintenu en mouvement de rotation à l’aide d’un couple moteur. Si<br />

le solide est déjà en mouvement, pour l’arrêter, il faut aussi appliquer un couple de freinage.<br />

Le moment appliqué pour mettre le solide en rotation ou pour l’arrêter est toujours porté par<br />

l’axe de rotation.<br />

Dans ce cas, le couple moteur ou le couple de freinage sera représenté par un torseur dont les<br />

→<br />

z<br />

0<br />

éléments de réduction sont :<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪Rm<br />

= 0<br />

⎨ →<br />

⎪⎩ M<br />

O<br />

= Γ<br />

m<br />

→<br />

z<br />

s<br />

= Γ<br />

m<br />

→<br />

z<br />

0<br />

La valeur du couple moteur ou de freinage<br />

5. Principe fondamental de la dynamique<br />

Γ<br />

m<br />

est connue.<br />

Le principe fondamental de la dynamique dans un repère Galiléen traduit l’égalité entre le<br />

torseur des actions extérieures appliquées au solide et le torseur dynamique du solide.<br />

Nous avons ainsi dans le repère R 0<br />

:<br />

→ →<br />

⎧<br />

⎪⎧<br />

D ⎪ R<br />

p<br />

⎨ → = ⎨ →<br />

⎪⎩ δ<br />

o<br />

( S)<br />

⎪⎩ M<br />

0<br />

⎧<br />

⎪ R<br />

+ ⎨<br />

⎪⎩ M<br />

→<br />

L<br />

→<br />

LO<br />

⎧<br />

⎪R<br />

+ ⎨<br />

⎪⎩ Γ<br />

→<br />

m<br />

→<br />

m<br />

⇒<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪ D = R<br />

p<br />

+ RL<br />

+ R<br />

⎨ →<br />

→<br />

⎪⎩ δ<br />

o<br />

( S)<br />

= M<br />

0<br />

+ M<br />

→<br />

m<br />

→<br />

LO<br />

→<br />

+ Γ<br />

m<br />

402


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

••<br />

•<br />

2<br />

− ma ( ψ sinψ<br />

+ ψ cosψ<br />

) = R Lx<br />

••<br />

•<br />

2<br />

ma ( ψ cosψ<br />

−ψ<br />

sinψ<br />

) = R Ly<br />

…………………(1)<br />

…………………(2)<br />

0 = −mg + RLz<br />

………………(3)<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2<br />

( −E ψ + Dψ<br />

)cosψ<br />

+ ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

) sinψ<br />

= M Lx<br />

…………………(4)<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2<br />

( −E ψ + Dψ<br />

)sinψ<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

) cosψ<br />

= mga + M Ly<br />

……………(5)<br />

••<br />

Cψ<br />

=<br />

M Lz<br />

+ Γ<br />

m<br />

………………(6)<br />

Nous avons 06 équations avec 07 inconnues :<br />

ψ , R , R , R , M , M , M<br />

Lx<br />

Ly<br />

Lz<br />

Lx<br />

Ly<br />

Lz<br />

Une septième équation sera donnée par la nature physique de la liaison et elle permettra de<br />

résoudre le système d’équation complètement.<br />

L’équation (6) permet de déterminer la valeur de ψ et en la remplaçant dans les autres<br />

équations on déduit les valeurs de toutes les inconnues.<br />

6. Equilibrage statique et dynamique des rotors et des roues<br />

6.1 Mouvements de rotation autour d’un axe fixe d’un solide non équilibré<br />

Soit un rotor ou une roue (S) assimilé à un disque de rayon R et d’épaisseur e . On choisit un<br />

repère fixe<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R0<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

)<br />

lié au bâti fixe. Le rotor (S) est lié au bâti par l’intermédiaire de<br />

deux paliers ( P 1<br />

) et ) de centres respectifs et tel que l’axe P P 1<br />

soit confondu<br />

( P 2<br />

P1<br />

P2<br />

2<br />

−→<br />

avec l’axe de rotation Oz 0<br />

. Pour construire un trièdre direct on considère que l’axe Ox 0<br />

est<br />

vertical ascendant.<br />

On suppose que le rotor est non équilibré, le centre de masse du rotor n’est pas situé sur l’axe<br />

de rotation et ses coordonnées ne sont pas connues au départ.<br />

−→<br />

On choisit un second repère<br />

s<br />

→<br />

R ( O,<br />

x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

) de même centre O et lié au rotor. Son<br />

mouvement de rotation est repéré à chaque instant par un angle<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→<br />

ψ = ( x0<br />

, xs<br />

) = ( y0<br />

, ys<br />

)<br />

avec<br />

→ • → • →<br />

0<br />

Ω s<br />

= ψ z s<br />

= ψ z0<br />

→ →<br />

z s ≡ 0<br />

car z .<br />

Le vecteur position du centre de masse du rotor est donné dans le repère<br />

s<br />

→<br />

R ( O,<br />

x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

)<br />

par :<br />

−−→ → → →<br />

= a xs<br />

+ b ys<br />

+ c z<br />

s<br />

OG<br />

403


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

x<br />

s<br />

ψ<br />

→<br />

x<br />

0<br />

(S)<br />

o<br />

P1<br />

G<br />

x<br />

P<br />

2<br />

a<br />

→<br />

z 0 ≡<br />

→<br />

z<br />

s<br />

→<br />

y<br />

0<br />

ψ<br />

→<br />

y<br />

s<br />

L<br />

1<br />

L 2<br />

6.2 Etude cinétique du mouvement<br />

La matrice de passage du repère vers le repère R est donnée par :<br />

Rs<br />

0<br />

→<br />

x s<br />

→<br />

y s<br />

→<br />

→<br />

= cosψ<br />

x0 + sinψ<br />

y0<br />

→<br />

→<br />

= −sinψ<br />

x0 + cosψ<br />

y0<br />

→ →<br />

z s = z 0<br />

La matrice d’inertie du solide au point O dans la base<br />

s<br />

→<br />

R ( O,<br />

x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

)<br />

est une matrice<br />

quelconque de la forme :<br />

I<br />

O<br />

⎡ A<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

− F<br />

⎢⎣<br />

− E<br />

− F<br />

B<br />

− D<br />

− E⎤<br />

− D<br />

⎥<br />

⎥<br />

C ⎥⎦<br />

R<br />

Le vecteur position du centre de masse du solide dans cette même base s’écrit :<br />

−−→ → → →<br />

OG = a xs<br />

+ b ys<br />

+ c z<br />

s<br />

La vitesse du centre de masse G se déduit par dérivation de cette expression :<br />

→<br />

0<br />

V<br />

( G)<br />

•<br />

−−→ −−→<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛a⎞<br />

⎜ bψ<br />

⎟<br />

0<br />

s<br />

→<br />

d OG d OG<br />

−−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

•<br />

⎟<br />

• → • →<br />

0<br />

= = + Ω<br />

s<br />

∧ OG = ⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜b⎟<br />

= ⎜ aψ<br />

⎟ = −bψ<br />

xs<br />

+ aψ<br />

ys<br />

•<br />

dt<br />

dt<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />

⎝ψ ⎠ ⎝ c ⎠<br />

0<br />

⎝<br />

s<br />

⎛ −<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

404


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans la base R 0<br />

le vecteur vitesse s’écrirait :<br />

→<br />

•<br />

→<br />

→ •<br />

→<br />

→<br />

0<br />

( G)<br />

= −bψ<br />

(cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

) + aψ<br />

( −sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

)<br />

V<br />

→<br />

•<br />

•<br />

→ •<br />

•<br />

→<br />

0<br />

( G)<br />

= −(<br />

bψ<br />

cosψ<br />

+ aψ<br />

sinψ<br />

) x0<br />

+ ( aψ<br />

cosψ<br />

− bψ<br />

sinψ<br />

) y0<br />

)<br />

V<br />

Le vecteur accélération s’obtient dans R s<br />

en dérivant encore une fois le vecteur vitesse :<br />

→<br />

0<br />

•• → • → •• → • → •• • → •• • →<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= −bψ<br />

xs<br />

− bψ<br />

ys<br />

+ aψ<br />

ys<br />

− aψ<br />

xs<br />

= −(<br />

bψ<br />

+ aψ<br />

) xs<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

ys<br />

γ ( G )<br />

)<br />

Dans la base R 0<br />

le vecteur accélération aura pour expression :<br />

→<br />

0 ⎡<br />

⎤<br />

γ ( G)<br />

⎢<br />

⎥ x<br />

⎣<br />

⎦<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

= − ( bψ<br />

+ aψ<br />

)cosψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

)sinψ<br />

0<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

+ − ( bψ<br />

+ aψ<br />

)sinψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

)cosψ<br />

y0<br />

Le torseur cinétique a pour éléments de réduction dans la base R s<br />

:<br />

→<br />

=<br />

La résultante cinétique : P mV 0 ( G)<br />

→<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

Le moment cinétique :<br />

→ → −−→ →<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

= σ<br />

G<br />

+ mOG∧V<br />

( O)<br />

= σ<br />

G<br />

= I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

σ<br />

Le torseur dynamique a pour éléments de réduction dans la base R s<br />

:<br />

→<br />

La résultante dynamique : D = m γ 0 ( G )<br />

→<br />

→<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

→<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2<br />

D = −m<br />

( bψ<br />

+ aψ<br />

)cosψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

) sinψ<br />

xs<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

+ m − ( bψ<br />

+ aψ<br />

)sinψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

) cosψ<br />

ys<br />

Le moment dynamique :<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

→<br />

→<br />

→<br />

→ 0<br />

s → →<br />

• →<br />

→<br />

d σ<br />

0<br />

d σ<br />

0 0<br />

0 0<br />

0<br />

0<br />

= = + Ω<br />

s<br />

∧ σ<br />

0<br />

= I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

+ Ω<br />

s<br />

∧ I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

δ<br />

⎡ A − F − E⎤<br />

⎡0⎤<br />

⎡0⎤⎡<br />

A − F − E⎤<br />

⎡0⎤<br />

→<br />

δ<br />

⎢<br />

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢<br />

⎥ ⎢ ⎥<br />

0<br />

=<br />

⎢<br />

− F B − D<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

⎥<br />

+<br />

⎢<br />

0<br />

⎥⎢<br />

− F B − D<br />

⎥ ⎢<br />

0<br />

•• •<br />

• ⎥<br />

⎢⎣<br />

− E − D C ⎥⎦<br />

R<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

− E − D C ⎥⎦<br />

⎢⎣<br />

ψ ⎥⎦<br />

s<br />

R s<br />

dt<br />

dt<br />

405


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→ •• → •• → •• → • → • →<br />

2<br />

2<br />

0<br />

= −Eψ<br />

xs<br />

+ Dψ<br />

ys<br />

+ Cψ<br />

zs<br />

− Dψ<br />

xs<br />

− Eψ<br />

ys<br />

δ<br />

→<br />

•• • → •• • → •• →<br />

2<br />

2<br />

0<br />

= ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

) xs<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

ys<br />

+ Cψ<br />

zs<br />

δ )<br />

Dans la base R 0<br />

, le moment dynamique a pour expression :<br />

→<br />

•• •<br />

→<br />

→ •• •<br />

→<br />

→ •• →<br />

2<br />

2<br />

0<br />

= ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

)(cosψ<br />

x0<br />

+ sinψ<br />

y0<br />

) − ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)( −sinψ<br />

x0<br />

+ cosψ<br />

y0<br />

+ Cψ<br />

zs<br />

δ )<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

→<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

0<br />

= ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

)cosψ<br />

+ ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

) sinψ<br />

x0<br />

δ<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

•• •<br />

•• •<br />

→<br />

2<br />

2<br />

+ ( −Eψ<br />

+ Dψ<br />

)sinψ<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)cosψ<br />

y0<br />

•• →<br />

+ Cψ z<br />

s<br />

6.3 Actions mécaniques extérieures exercées sur le rotor<br />

Les actions mécaniques extérieures exercées sur le rotor sont de trois natures différentes :<br />

- l’action de pesanteur due au poids du rotor ;<br />

- l’action de liaison entre le rotor et le bâti au niveau des paliers ;<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

- l’action due au couple moteur si le rotor doit être maintenu en mouvement ou au couple de<br />

freinage si on doit arrêter le mouvement de rotation.<br />

6.3.1. Action de pesanteur<br />

L’action de pesanteur est représentée par un torseur dont les éléments de réduction sont :<br />

La résultante des actions de pesanteurs :<br />

→<br />

R p<br />

→<br />

= −mg x0<br />

Le moment résultant de ces actions au point G est nul :<br />

→ →<br />

= 0 , en appliquant la formule<br />

M G p<br />

R 0<br />

de transport dans la base , on déduit le moment au point O :<br />

→<br />

M<br />

Op<br />

→ −→ →<br />

= M<br />

Gp<br />

+ OG∧<br />

R<br />

p<br />

→<br />

M Op<br />

⎛a<br />

cosψ<br />

− bsinψ<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝ c ⎠<br />

⎛− mg ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 0 ⎠<br />

→<br />

→<br />

= asinψ<br />

+ b cosψ<br />

∧ 0 = −mgc<br />

y0 + mg(<br />

asinψ<br />

+ bcosψ<br />

) z0<br />

406


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

6.3.2. Action de liaison entre solide et Bâti au niveau du palier<br />

( P 1<br />

)<br />

L’action de liaison est une force dont la ligne d’action passe par le point<br />

P 1<br />

centre du palier.<br />

Cette action est représentée par un torseur dont les éléments de réduction au point O sont :<br />

→<br />

→ → →<br />

1<br />

=<br />

1x<br />

0 1y<br />

0 1z<br />

z0<br />

La résultante de l’action de liaison : R R x + R y + R ,<br />

→ →<br />

Le moment de l’action de liaison en est nul : = 0 ; en appliquant la formule de<br />

P 1<br />

M P1<br />

transport, on déduit le moment au point O dans la base :<br />

R 0<br />

→ → −→ →<br />

O1 = M<br />

P1+<br />

OP1<br />

∧ R1<br />

M<br />

→<br />

M<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R1x<br />

⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

→<br />

→<br />

= ⎜ ⎟ ∧ ⎜ R1<br />

y ⎟ = −L1<br />

R1<br />

y<br />

x0<br />

+ L1R1<br />

x<br />

y0<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ L1<br />

⎠ ⎝ R1<br />

z ⎠<br />

O 1<br />

0<br />

6.3.3. Action de liaison entre solide et Bâti au niveau du palier<br />

De la même manière que précédemment, l’action de liaison est une force dont la ligne<br />

d’action passe par le point<br />

P 2<br />

centre du palier.<br />

Cette action est représentée par un torseur dont les éléments de réduction au point O sont :<br />

→<br />

→ → →<br />

2<br />

=<br />

2x<br />

0 2 y 0 2z<br />

z0<br />

La résultante de l’action de liaison : R R x + R y + R ,<br />

P 2<br />

→<br />

M P2<br />

Le moment de l’action de liaison en est nul : = 0 ; en appliquant la formule de<br />

→<br />

( P 2<br />

)<br />

transport, on déduit le moment au point O dans la base :<br />

R 0<br />

→ → −→ →<br />

O2 = M<br />

P2<br />

+ OP2<br />

∧ R2<br />

M<br />

→<br />

M<br />

⎛ 0 ⎞ ⎛ R2x<br />

⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

→<br />

→<br />

= ⎜ ⎟ ∧ ⎜ R2<br />

y ⎟ = −L2R2<br />

y<br />

x0<br />

+ L2R2x<br />

y0<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ L2<br />

⎠ ⎝ R2z<br />

⎠<br />

O 2<br />

0<br />

6.3.4. Action du couple moteur<br />

Le couple moteur permet de mettre en mouvement de rotation le rotor ou le maintenir s’il est<br />

déjà en mouvement, il est représenté par un torseur dont les éléments de réduction sont :<br />

La résultante des forces motrices :<br />

→ →<br />

R m = 0<br />

→<br />

→<br />

Le moment résultant au point O : M Γ z , le moment est porté par l’axe de rotation.<br />

Om<br />

=<br />

m 0<br />

407


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A.KADI<br />

6.3.5. Application des théorèmes généraux de la dynamique au rotor<br />

Le torseur dynamique du rotor est égal à la somme des torseurs des actions extérieures. Cette<br />

égalité nous donne les deux équations vectorielles qui donneront les 6 équations scalaires de<br />

la dynamique qui décrivent le mouvement du rotor.<br />

→ → → →<br />

⎧<br />

⎪ D = R<br />

p<br />

+ R1<br />

+ R2<br />

+ R<br />

⎨ → → → →<br />

⎪<br />

⎩δ<br />

0<br />

= M<br />

Op<br />

+ M<br />

O1+<br />

M<br />

→<br />

m<br />

O2<br />

→<br />

+ M<br />

Cette égalité se traduit par :<br />

Om<br />

⎡<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2 ⎤<br />

− m⎢( bψ + aψ<br />

)cosψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

)sinψ<br />

⎥ = R1<br />

x<br />

+ R2x<br />

− mg ……………………….(1)<br />

⎣<br />

⎦<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎤<br />

ψ ⎥<br />

………………………..(2)<br />

⎦<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2<br />

m − ( b + aψ<br />

)sinψ<br />

+ ( aψ<br />

− bψ<br />

)cosψ<br />

= R1<br />

y<br />

+ R2<br />

y<br />

0 = +<br />

………………………..(3)<br />

R1<br />

z<br />

R2z<br />

⎡<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2 ⎤<br />

⎢( −Eψ + Dψ<br />

)cosψ<br />

+ ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)sinψ<br />

⎥ = −L1<br />

R1<br />

y<br />

− L2R2<br />

y<br />

………………………..(4)<br />

⎣<br />

⎦<br />

⎡<br />

•• •<br />

•• •<br />

2<br />

2 ⎤<br />

⎢( −Eψ + Dψ<br />

)sinψ<br />

− ( Dψ<br />

+ Eψ<br />

)cosψ<br />

⎥ = −mgc<br />

+ L1<br />

R1<br />

x<br />

+ L2R2x<br />

……………………(5)<br />

⎣<br />

⎦<br />

••<br />

Cψ<br />

= mg( a sinψ<br />

+ b cosψ<br />

) + Γ<br />

m<br />

……………...(6)<br />

Comme le couple moteur est connu, la dernière relation qui est l’équation du mouvement<br />

permet de déterminer la valeur de ψ en fonction du temps.<br />

Connaissant ψ , les autres variables sont déterminées, notamment les composantes des<br />

actions de liaison au niveau des paliers.<br />

Les équations (1), (2), (4), (5) permettent de déduire facilement par multiplication par<br />

L 1<br />

ou<br />

L 2<br />

et puis soustraction de déterminer les valeurs de :<br />

⎡<br />

⎢−<br />

mg(<br />

c − L<br />

⎣<br />

=<br />

1 •• •<br />

••<br />

2<br />

R ) + ( ψ − ψ )sinψ<br />

+ ( ψ +<br />

2<br />

1 x<br />

2<br />

E2<br />

D2<br />

D2<br />

E2<br />

L2<br />

− L1<br />

⎡<br />

•• •<br />

2<br />

⎢(<br />

D2<br />

ψ + E2ψ<br />

)sinψ<br />

+ ( −E<br />

⎣<br />

••<br />

R =<br />

1 ψ +<br />

2<br />

1 y<br />

2<br />

D2<br />

L2<br />

− L1<br />

•<br />

⎤<br />

ψ ) cosψ<br />

⎥<br />

⎦<br />

•<br />

⎤<br />

ψ ) cosψ<br />

⎥<br />

⎦<br />

408


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎡<br />

•• •<br />

••<br />

2<br />

⎢mg(<br />

c − L1<br />

) + ( −E1ψ<br />

+ D1<br />

ψ )sinψ<br />

+ ( D1<br />

ψ −<br />

⎣<br />

R =<br />

1 2<br />

2 x<br />

E1<br />

L2<br />

− L1<br />

⎡<br />

•• •<br />

••<br />

2<br />

⎢−<br />

( D1<br />

ψ + E1ψ<br />

)sinψ<br />

+ ( E1ψ<br />

−<br />

⎣<br />

R =<br />

1 2<br />

2 y<br />

D1<br />

L2<br />

− L1<br />

avec : E1 = E − maL 1<br />

; E2 E − maL2<br />

;<br />

•<br />

⎤<br />

ψ ) cosψ<br />

⎥<br />

⎦<br />

= D1 D − mbL1<br />

•<br />

⎤<br />

ψ ) cosψ<br />

⎥<br />

⎦<br />

= ; D2 = D − mbL2<br />

••<br />

•<br />

2<br />

Ces composantes agissant sur l’axe du rotor, dépendent de ψ , ψ mais surtout de ψ qui peut<br />

atteindre des valeurs assez élevées rapidement. Ses actions génèrent des vibrations aux<br />

niveaux des paliers, ce qui réduit leur durée de vie et conduisent à une usure prématurée des<br />

pièces mécaniques en rotation.<br />

6.3.6. Principe de l ‘équilibrage statique et dynamique<br />

Pour éviter ces problèmes d’usure et allonger la durée de vie des paliers et des axes, il faut<br />

que les actions aux niveaux des liaisons soient réduites au minimum ou nulles.<br />

Les expressions précédentes montrent que les actions de liaison ont des valeurs minimales<br />

⎛ a = b = 0 ⎞<br />

lorsque nous avons les conditions suivantes : ⎜ ⎟<br />

⎝ D = E = 0⎠<br />

• a = b = 0 : implique que le centre de masse du rotor est situé sur l’axe de rotation du<br />

rotor. On dit alors que l’on a réalisé l’équilibrage statique. Le rotor a un équilibre statique<br />

indifférent.<br />

• D = E = 0 : les produits d’inertie sont nuls, et l’axe de rotation est un axe principal<br />

d’inertie.<br />

Lorsque les deux conditions sont réunies, on dit que l’on a réalisé un équilibrage dynamique.<br />

Dans ce cas les actions de liaisons sont réduites à :<br />

R1<br />

x<br />

R2<br />

x<br />

( c − L<br />

mg<br />

)<br />

2<br />

= −<br />

; R1 y<br />

= 0<br />

L2<br />

− L1<br />

( c − L )<br />

1<br />

= mg<br />

; R2 y<br />

= 0<br />

L2<br />

− L1<br />

En réalité, les machines tournantes, les rotors, les axes, …etc , sont équilibrés lors de la<br />

construction, et l’équilibrage est affiné par la suite par ajout de petites masses ponctuelles<br />

dans des plans orthogonaux à l’axe de rotation afin de ramener le centre d’inertie de<br />

l’ensemble sur l’axe de rotation et d’éliminer les produits d’inertie qui sont la source des<br />

vibrations.<br />

409


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Dans la pratique, lorsqu’une machine tournante fonctionne pendant un certain nombre<br />

d’années, elle perd les caractéristiques mécaniques initiales et des vibrations apparaissent.<br />

Pour les éliminer, on procède alors à un équilibrage. Celui-ci est réalisé à l’aide d’un système<br />

électronique (accéléromètres) permettant de mesurer les accélérations absolues ou relatives de<br />

paliers. Le signal électrique enregistré permet par une analyse de relever le spectre vibratoire<br />

et déterminer la nature du défaut qui a conduit à la vibration. Des calculs permettent de<br />

déterminer les valeurs des paramètres de l’équilibrage.<br />

7. Rotation d’un solide autour d’un point fixe : Angles d’Euler<br />

On considère un repère fixe orthonormé direct<br />

→<br />

→<br />

→<br />

R O<br />

( O,<br />

x0<br />

, y0<br />

, z0<br />

) et un solide (S) fixé au centre<br />

)<br />

O de ce repère. On choisit un repère orthonormé direct<br />

s<br />

→<br />

R ( O,<br />

x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

lié au solide tel que<br />

les axes<br />

→<br />

s<br />

→<br />

s<br />

→<br />

Ox , Oy , Oz<br />

s<br />

soient des axes principaux d’inertie.<br />

Les axes du repère<br />

sont repérés par les angles d’Euler par rapport au repère fixe<br />

Rs<br />

R0<br />

Le mouvement instantané du solide est composé de trois rotations exprimées par les angles<br />

d’Euler<br />

ψ , θ , ϕ .<br />

→<br />

z<br />

s<br />

•<br />

ϕ<br />

→<br />

z 0<br />

(S)<br />

x<br />

G<br />

θ<br />

o<br />

ψ<br />

→<br />

y 1<br />

→<br />

y 0<br />

→<br />

x<br />

0<br />

ψ<br />

→<br />

x 1,2<br />

→ • → • →<br />

Ω1 0<br />

z1<br />

0<br />

- la première rotation de vitesse angulaire = ψ z = ψ autour de l’axe<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

s’appelle : la précession du solide ;<br />

1<br />

- la seconde rotation de vitesse angulaire Ω θ x = θ autour de l’axe<br />

s’appelle : la nutation du solide ;<br />

→ • → • →<br />

2<br />

=<br />

1<br />

x2<br />

→ • → • →<br />

2<br />

s<br />

= ϕ z 2<br />

= ϕ z s<br />

- la troisième rotation de vitesse angulaire Ω autour de l’axe<br />

→ →<br />

x 1 ≡ x 2<br />

→ →<br />

z 2 ≡ z s<br />

s’appelle : la rotation propre du solide ;<br />

410


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La vitesse de rotation instantanée du solide par rapport au repère R 0<br />

est donnée par :<br />

→ → → → • → • → • →<br />

0 2 1 0<br />

Ω<br />

s<br />

= Ω<br />

s<br />

+ Ω2<br />

+ Ω1<br />

= ϕ z2<br />

+ θ x1<br />

+ ψ z0<br />

Son expression dans le repère R s<br />

lié au solide est déjà déterminée en cinématique du solide :<br />

•<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

ψ sinθ<br />

sinϕ<br />

+ θ cosϕ<br />

→ •<br />

•<br />

0<br />

Ω<br />

s<br />

= ⎨ψ<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

−θ<br />

sinϕ<br />

; on pose<br />

• •<br />

⎪<br />

⎪ϕ+<br />

ψ cosθ<br />

⎩<br />

→<br />

0<br />

Ω<br />

s<br />

⎛Ω<br />

⎜<br />

= ⎜Ω<br />

⎜<br />

⎝Ω<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

La matrice d’inertie du solide est connue au point O dans le repère<br />

s<br />

→<br />

R ( O,<br />

x<br />

s<br />

→<br />

, y<br />

s<br />

→<br />

, z<br />

s<br />

) , elle est<br />

de la forme :<br />

I<br />

O<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

B<br />

⎥<br />

⎢<br />

0 0<br />

⎥<br />

;<br />

⎢⎣<br />

0 0 C⎥⎦<br />

R<br />

Nous traduirons les éléments cinétiques dans la même base.<br />

s<br />

Le moment cinétique du solide au point O est donné dans le repère R s<br />

par la relation :<br />

→<br />

→ −−→ →<br />

→<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

( O)<br />

= I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

+ OG∧<br />

mV ( O)<br />

= I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

σ<br />

⎡A<br />

→<br />

0<br />

σ ( O)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

B<br />

0<br />

0⎤<br />

⎛Ω<br />

⎜<br />

0<br />

⎥<br />

⎥ ⎜Ω<br />

C⎥<br />

⎜<br />

⎦ R ⎝Ω<br />

s<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

⎛ AΩ<br />

⎜<br />

= ⎜ BΩ<br />

⎜<br />

⎝CΩ<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

Le moment dynamique se déduit par dérivation :<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

0 0<br />

→ →<br />

0 d σ ( O)<br />

d σ ( O)<br />

0 0<br />

δ ( O)<br />

= = + Ω<br />

s<br />

∧ σ ( O)<br />

dt dt<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0 0 0<br />

δ ( O)<br />

= I ( S)<br />

Ω + Ω ∧σ<br />

( O)<br />

O<br />

→<br />

•<br />

1<br />

→<br />

s<br />

→<br />

411


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

•<br />

⎛<br />

⎜ AΩ<br />

sx<br />

→<br />

•<br />

0<br />

δ (O) =<br />

⎜<br />

⎜<br />

B Ω sy<br />

•<br />

⎜C<br />

Ω sz<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

⎛Ω<br />

⎜<br />

+ ⎜Ω<br />

⎜<br />

⎝Ω<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

⎛ AΩ<br />

⎜<br />

∧ ⎜ BΩ<br />

⎜<br />

⎝CΩ<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

=<br />

R<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

AΩ<br />

sx<br />

•<br />

⎪<br />

⎨B<br />

Ω sy<br />

⎪<br />

•<br />

⎪C<br />

Ω sz<br />

⎩<br />

s<br />

+ CΩ<br />

+ AΩ<br />

+ BΩ<br />

sy<br />

sx<br />

sy<br />

Ω<br />

Ω<br />

Ω<br />

sz<br />

sz<br />

sx<br />

− BΩ<br />

− CΩ<br />

− AΩ<br />

sy<br />

sx<br />

sy<br />

Ω<br />

Ω<br />

Ω<br />

sz<br />

sz<br />

sx<br />

Soient<br />

δ , δ , δ les composantes du moment dynamique exprimé dans le repère lié au<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

solide, nous obtenons les équations scalaires suivantes :<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

AΩ<br />

sx<br />

•<br />

⎪<br />

⎨B<br />

Ω sy<br />

⎪ •<br />

⎪C<br />

Ω sz<br />

⎩<br />

+ ( C − B)<br />

Ω<br />

+ ( A − C)<br />

Ω<br />

+ ( B − A)<br />

Ω<br />

sy<br />

sx<br />

sy<br />

Ω<br />

Ω<br />

Ω<br />

sz<br />

sz<br />

sx<br />

= δ<br />

= δ<br />

= δ<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

Ce système d’équation dépend des angles d’Euler et de leurs dérivées premières et secondes,<br />

il est assez difficile de le résoudre dans le cas général. Ces équations ne peuvent trouver<br />

solution que dans quelques cas particuliers que nous exposons ici .<br />

• Cas où le moment des forces extérieures, est nul, c’est le cas d’un solide en mouvement de<br />

rotation autour de son centre d’inertie. Ce cas est appelé problème d’Euler-Poinsot.<br />

• Cas d’un solide ayant un ellipsoïde central d’inertie, c’est à dire le point fixe est situé sur<br />

l’axe de révolution et le solide est soumis à la seule force de pesanteur. Ce cas est appelé<br />

problème de Lagrange-Poisson.<br />

• Cas d’un solide ou l’ellipsoïde central d’inertie est de révolution :A= B et en plus<br />

A =2C. le centre de masse est situé dans le plan équatorial. Ce cas est appelé problème de<br />

Kovalevskaia.<br />

7.1 Le point fixe O est confondu avec le centre d’inertie G du solide :<br />

Cas d’Euler-Poinsot<br />

La seule force appliquée est le poids en G, donc le moment des forces extérieures en ce point<br />

est nul, alors le système d’équation s’écrit :<br />

→<br />

0<br />

→<br />

0<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 d σ ( G)<br />

0<br />

0<br />

δ ( G)<br />

= = 0 ⇒ σ ( G)<br />

= I<br />

G<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

= Cte<br />

dt<br />

412


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

R<br />

•<br />

⎧<br />

⎪<br />

AΩ<br />

sx<br />

•<br />

⎪<br />

⎨B<br />

Ω sy<br />

⎪<br />

•<br />

⎪C<br />

Ω sz<br />

⎩<br />

s<br />

+ ( C − B)<br />

Ω<br />

+ ( A − C)<br />

Ω<br />

+ ( B − A)<br />

Ω<br />

sy<br />

sx<br />

sy<br />

Ω<br />

Ω<br />

Ω<br />

sz<br />

sz<br />

sx<br />

= 0<br />

= 0<br />

= 0<br />

⎡A<br />

0 0⎤<br />

⎛Ω<br />

→<br />

→<br />

sx ⎞ ⎛ AΩ<br />

sx ⎞<br />

0<br />

0<br />

σ ( G)<br />

= I<br />

G<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

= Cte ⇔<br />

⎢<br />

B<br />

⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎢<br />

0 0<br />

⎥ ⎜Ω<br />

sy ⎟ = ⎜ BΩ<br />

sy ⎟ = Cte<br />

⎢ C⎥<br />

⎜ ⎟ ⎜<br />

R sz R C ⎟<br />

⎣0<br />

0 ⎦ ⎝Ω<br />

⎠ ⎝ Ω<br />

sz ⎠R<br />

Le moment cinétique est constant donc son module est aussi constant, on a alors:<br />

2 2 2 2 2 2<br />

A Ω<br />

sx<br />

+ B Ω<br />

sy<br />

+ C Ω<br />

sz<br />

= Cte<br />

s<br />

s<br />

s<br />

Le centre d’inertie du solide est un point fixe donc son énergie potentielle<br />

E<br />

p<br />

= E p0<br />

reste<br />

constante. Comme le champ des forces est conservatif nous pouvons écrire :<br />

E + E = E + E<br />

c<br />

p<br />

c<br />

p0<br />

L’énergie cinétique du solide est donnée par :<br />

⎡A<br />

⎤ ⎛Ω<br />

sx ⎞<br />

T<br />

⎜ ⎟<br />

Ec =<br />

1 →<br />

0 0<br />

→<br />

0<br />

1<br />

Ω I<br />

G<br />

( S)<br />

Ω<br />

0<br />

1<br />

1<br />

=<br />

sx sy sz<br />

⎢ ⎥ ⎜ sy ⎟ =<br />

2<br />

2<br />

⎢ C⎥<br />

⎜ ⎟<br />

⎣0<br />

0 ⎦ R ⎝Ω<br />

sz ⎠R<br />

2 2 2<br />

d’où AΩ<br />

sx<br />

+ BΩ<br />

sy<br />

+ CΩ<br />

sz<br />

= Cte<br />

( Ω , Ω , Ω )<br />

⎢<br />

0 B 0<br />

⎥<br />

Ω Cte<br />

Les composantes de la vitesse de rotation ( Ω Ω , Ω )<br />

car elles sont solutions du système d’équations précédentes.<br />

sx<br />

sy<br />

s<br />

sz<br />

s<br />

, en fonction du temps, sont connues<br />

Pour trouver la valeur des angles d’Euler en fonction du temps, on choisit l’axe<br />

→ →<br />

z 0 ≡ z 1<br />

comme étant l’axe du moment cinétique 0 0<br />

σ ( G)<br />

, alors il sera parallèle à = ψ ; on peut<br />

→<br />

0<br />

alors écrire : σ ( G)<br />

λ z or nous pouvons exprimer le vecteur z dans le repère R par les<br />

matrices de passage :<br />

→<br />

z<br />

0<br />

⎡0⎤<br />

=<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

0<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

1⎥⎦<br />

R<br />

0<br />

⎡0⎤<br />

=<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

0<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

1⎥⎦<br />

R<br />

1<br />

→<br />

=<br />

0<br />

⎡ 0 ⎤<br />

=<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

sinθ<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

cosθ<br />

⎥⎦<br />

R<br />

2<br />

→<br />

⎡sinθ<br />

sinϕ<br />

⎤<br />

=<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

sinθ<br />

cosϕ<br />

⎥<br />

⎢⎣<br />

cosθ<br />

⎥⎦<br />

R s<br />

→<br />

0<br />

→ • →<br />

Ω1 z0<br />

s<br />

413


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

⎡ λ sinθ<br />

sinϕ<br />

⎤<br />

⎛ AΩ<br />

→<br />

→<br />

G =<br />

⎢<br />

⎥<br />

⎜<br />

0<br />

0<br />

σ ( )<br />

⎢<br />

λ sinθ<br />

cosϕ<br />

⎥<br />

or nous avons aussi σ ( G)<br />

= ⎜ BΩ<br />

⎢⎣<br />

λ cosθ<br />

⎥<br />

⎜<br />

⎦<br />

⎝CΩ<br />

R s<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

s<br />

d’où :<br />

⎧ AΩ<br />

⎪<br />

⎨BΩ<br />

sy<br />

⎪<br />

⎩ CΩ<br />

sx<br />

sz<br />

= λ sinθ<br />

sinϕ<br />

= λ sinθ<br />

cosϕ<br />

= cosθ<br />

AΩ<br />

Le rapport entre l’équation (2) et (1) donne : ϕ = arctg<br />

B Ω<br />

L’équation (3) donne :<br />

CΩ<br />

θ = ar cos<br />

λ<br />

sz<br />

(1)<br />

(2)<br />

(3)<br />

Nous pouvons aussi déduire la vitesse de précession à partir des composantes du vecteur<br />

rotation instantané du solide (S) par rapport au repère R 0<br />

.<br />

sx<br />

sy<br />

7.2 Le point fixe O est sur l’axe de révolution de l’ellipsoïde d’inertie G :<br />

Cas de Lagrange-Poisson<br />

Le solide a une symétrie de révolution ( A= B) , alors le tenseur est le même dans la base<br />

R s<br />

liée au solide et dans la base intermédiaire<br />

R 2<br />

. De plus le centre d’inertie G du solide est situé<br />

sur le même axe que le point O tel que<br />

−−→ →<br />

OG = L z2<br />

. Les seules actions extérieures agissant sur<br />

le solide sont les actions de pesanteur.<br />

Le tenseur d’inertie en O s’écrit :<br />

I<br />

O<br />

⎡A<br />

( S)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

C⎥⎦<br />

R<br />

s<br />

⎡A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤<br />

0<br />

⎥<br />

⎥<br />

C⎥⎦<br />

R<br />

2<br />

Nous exprimerons tous les calculs dans le repère R 2<br />

.<br />

Dans ce repère, la vitesse instantanée de rotation du solide par rapport au repère<br />

expression :<br />

R 0<br />

aura pour<br />

414


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

→<br />

0<br />

s<br />

Ω<br />

•<br />

⎡ ⎤<br />

⎢<br />

θ<br />

• ⎥<br />

= ⎢ψ<br />

sinθ<br />

⎥<br />

⎢ •<br />

• ⎥<br />

⎢ψ<br />

cosθ<br />

+ ϕ⎥<br />

⎣ ⎦ R<br />

2<br />

⎛Ω<br />

⎜<br />

= ⎜Ω<br />

⎜<br />

⎝Ω<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

2<br />

Le moment cinétique par rapport au point fixe O est égal à :<br />

→<br />

0<br />

σ ( O)<br />

= I<br />

O<br />

→<br />

0<br />

s<br />

( S)<br />

Ω<br />

⎡A<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

0⎤<br />

⎛Ω<br />

0<br />

⎥ ⎜<br />

⎥ ⎜Ω<br />

C⎥<br />

⎜<br />

⎦ R ⎝Ω<br />

2<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

2<br />

⎛ AΩ<br />

⎜<br />

= ⎜ AΩ<br />

⎜<br />

⎝CΩ<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

2<br />

Le moment dynamique est déduit à partir de la dérivée du moment cinétique :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

0 0<br />

0 0<br />

→ →<br />

0<br />

0 → →<br />

0 d σ ( O)<br />

d σ ( O)<br />

0 0 d ( I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

) 0 0<br />

δ ( O)<br />

= = + Ω<br />

2<br />

∧ σ ( O)<br />

=<br />

+ Ω<br />

2<br />

∧ σ ( O)<br />

dt dt<br />

dt<br />

→<br />

→<br />

0<br />

0 0 0<br />

δ ( O)<br />

= I ( S)<br />

Ω + Ω ∧ σ ( O)<br />

O<br />

→<br />

•<br />

s<br />

→<br />

2<br />

→<br />

→<br />

R2<br />

0<br />

Ω 0 2<br />

: est la vitesse du repère par rapport au repère R , il est donné par :<br />

→ → →<br />

0 1 0<br />

2<br />

= Ω<br />

2<br />

+ Ω1<br />

,<br />

Ω<br />

→<br />

0<br />

3<br />

Ω<br />

→<br />

2<br />

3<br />

= Ω<br />

→<br />

0<br />

2<br />

+ Ω<br />

on déduit :<br />

→<br />

0<br />

2<br />

Ω<br />

→<br />

0<br />

3<br />

= Ω<br />

→<br />

2<br />

3<br />

− Ω<br />

→<br />

0<br />

3<br />

• →<br />

= Ω −ϕ<br />

z<br />

2<br />

•<br />

⎡ ⎤<br />

⎢<br />

θ<br />

• ⎥<br />

= ⎢ψ<br />

sinθ<br />

⎥<br />

⎢ • ⎥<br />

⎢ψ<br />

cosθ<br />

⎥<br />

⎣ ⎦ R<br />

2<br />

⎛<br />

⎜Ω<br />

= ⎜Ω<br />

⎜<br />

⎝ Ω<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

•<br />

⎟<br />

−ϕ<br />

⎠R<br />

2<br />

⎡A<br />

→<br />

0<br />

δ ( O)<br />

=<br />

⎢<br />

⎢<br />

0<br />

⎢⎣<br />

0<br />

0<br />

A<br />

0<br />

⎛<br />

0⎤<br />

⎜Ω<br />

0<br />

⎥ ⎜<br />

⎥ ⎜<br />

Ω<br />

C⎥⎦<br />

R<br />

⎜Ω<br />

2<br />

⎝<br />

•<br />

⎞<br />

sx ⎟<br />

•<br />

⎟<br />

sy<br />

⎟<br />

•<br />

⎟<br />

sz<br />

⎠R2<br />

⎛<br />

⎜Ω<br />

+ ⎜Ω<br />

⎜<br />

⎝Ω<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

•<br />

⎟<br />

− ϕ<br />

⎠R<br />

2<br />

∧<br />

⎛ AΩ<br />

⎜<br />

⎜ AΩ<br />

⎜<br />

⎝CΩ<br />

sx<br />

sy<br />

sz<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠R<br />

2<br />

⎧<br />

⎪<br />

AΩ<br />

→<br />

0 ⎪<br />

δ ( O)<br />

= ⎨AΩ<br />

⎪<br />

⎪ C Ω<br />

R ⎩<br />

2<br />

•<br />

sx + ( C − A)<br />

Ω<br />

sy<br />

•<br />

sy + ( A − C)<br />

Ω<br />

sx<br />

•<br />

sz<br />

Ω<br />

Ω<br />

sz<br />

sz<br />

•<br />

+ Aϕ<br />

Ω<br />

sy<br />

•<br />

− Aϕ<br />

Ω<br />

sx<br />

415


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Le moment des actions extérieures est donné par :<br />

−→<br />

−−→<br />

→<br />

M ext<br />

( O)<br />

= OG∧<br />

m g<br />

⎧0<br />

−−→<br />

⎪<br />

Nous avons : OG=<br />

⎨0<br />

;<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

2<br />

→<br />

=<br />

m g<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨−<br />

mg sinθ<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

mg cosθ<br />

2<br />

−→<br />

M ext<br />

⎧0<br />

−−→ →<br />

⎪<br />

( O)<br />

= OG∧<br />

m g=<br />

⎨0<br />

⎪<br />

R ⎩L<br />

2<br />

∧<br />

⎧ 0<br />

⎪<br />

⎨−<br />

mg sinθ<br />

⎪<br />

R ⎩−<br />

mg cosθ<br />

2<br />

=<br />

⎧mgLsinθ<br />

⎪<br />

⎨ 0<br />

⎪<br />

R ⎩ 0<br />

2<br />

L’égalité entre le moment dynamique et le moment des actions extérieures donne les relations<br />

suivantes :<br />

⎧<br />

⎪<br />

AΩ<br />

⎪<br />

⎨ AΩ<br />

⎪<br />

⎪ C Ω<br />

⎩<br />

•<br />

sx + ( C − A)<br />

Ω<br />

sy<br />

•<br />

sy + ( A − C)<br />

Ω<br />

sx<br />

•<br />

sz<br />

= 0<br />

Ω<br />

Ω<br />

•<br />

sz<br />

+ Aϕ<br />

Ω<br />

sy<br />

•<br />

sz<br />

− Aϕ<br />

Ω<br />

sx<br />

= mgLsinθ<br />

= 0<br />

La dernière équation montre que nous avons une intégrale première donnée par :<br />

Ω • sz<br />

= 0<br />

d’où :<br />

• + •<br />

ϕ<br />

Ω sz = Cte ⇔ ψ cosθ = K = Cte<br />

Une deuxième équation provient du fait que nous avons un champ de force conservatif, ce qui<br />

se traduit par la conservation de l’énergie totale :<br />

L’énergie cinétique s’écrit :<br />

E<br />

+ E<br />

C P<br />

=<br />

Cte<br />

E<br />

C<br />

E C<br />

→<br />

→<br />

1 0T<br />

0 1 0T<br />

→<br />

= Ω<br />

s<br />

I<br />

O<br />

( S)<br />

Ω<br />

s<br />

= Ω<br />

s<br />

• σ<br />

0<br />

( S)<br />

2<br />

2<br />

=<br />

1<br />

2<br />

⎡<br />

• •<br />

⎛ 2 2<br />

⎢A⎜θ<br />

+ ψ sin<br />

⎢⎣<br />

⎝<br />

2<br />

→<br />

⎞<br />

•<br />

•<br />

2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

θ ⎟ + C⎜ψ<br />

cosθ<br />

+ ϕ ⎟ ⎥ =<br />

⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦<br />

1<br />

2<br />

• •<br />

⎡ ⎛ 2 2<br />

⎢A⎜θ<br />

+ ψ sin<br />

⎣ ⎝<br />

2<br />

⎞<br />

θ ⎟ + CK<br />

⎠<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

2<br />

416


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

L’énergie potentielle s’écrit :<br />

E P<br />

= mgLcosθ<br />

on a alors :<br />

1 • •<br />

⎡ ⎛ 2 2 2 ⎞ ⎤<br />

⎢A ⎜θ<br />

+ ψ sin θ ⎟ + CK<br />

2<br />

⎥ + mgLcosθ<br />

= Cte<br />

2 ⎣ ⎝<br />

⎠ ⎦<br />

A l’aide ces deux intégrales premières nous pouvons déduire l’expression de<br />

•<br />

ψ<br />

et déduire<br />

•<br />

→<br />

par la suite celle de θ en choisissant la direction du moment dynamique suivant l’axe z 0<br />

.<br />

8. L’effet gyroscopique<br />

Un solide à symétrie de révolution (Toupie) ayant une vitesse de rotation autour de son axe,<br />

très élevée est appelé gyroscope. Sa grande vitesse de rotation (rotation propre) permet de<br />

simplifier les équations et faire des approximations afin de déterminer des relations avec la<br />

vitesse de rotation de précession et de nutation.<br />

8.1 L’approximation gyroscopique<br />

On dit qu’un solide à symétrie de révolution, satisfait à l’approximation gyroscopique lorsque<br />

sa vitesse de rotation propre est très grande devant la vitesse de nutation et de précession.<br />

• •<br />

• •<br />

ϕ >>ψ et ϕ >> θ<br />

Dans ce cas la vitesse de rotation du solide est portée par un axe (Δ)<br />

défini par : ( O , Δ )<br />

→ • →<br />

•<br />

Tel que : Ω<br />

Δ<br />

= ϕ eΔ<br />

; où ϕ : est la vitesse de rotation propre<br />

8.2 Couple gyroscopique appliqué à une toupie (Règle de Foucault)<br />

On applique le théorème du moment cinétique au point O à une toupie de masse m , de centre<br />

d’inertie G ayant un axe de révolution (Δ)<br />

et soumise à la seule force de pesanteur due à son<br />

propre poids. Le moment dynamique de la toupie qui est la dérivée du moment cinétique est<br />

égal au moment des actions extérieures. Dans ce cas la seule action extérieure est due au poids<br />

de la toupie, on obtient alors la relation :<br />

→<br />

e<br />

d<br />

0<br />

→<br />

σ<br />

0<br />

( S)<br />

dt<br />

−→<br />

−−→<br />

→<br />

= M = OG∧<br />

m g<br />

0 Fext<br />

Dans l’approximation gyroscopique, le vecteur moment cinétique<br />

constant et sa direction est portée par l’axe<br />

(Δ)<br />

.<br />

→<br />

σ<br />

0<br />

( S)<br />

a un module<br />

417


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Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

La dérivée<br />

d σ<br />

0<br />

( S)<br />

dt<br />

0 →<br />

correspond en fait à la vitesse de l’extrémité du vecteur moment<br />

cinétique dans son mouvement de rotation autour de l’axe fixe<br />

→<br />

z 0<br />

à une vitesse angulaire de<br />

→ • →<br />

Ω =<br />

0<br />

précession :<br />

prec<br />

ψ z , qui se traduit par la relation :<br />

d<br />

→<br />

0<br />

σ<br />

0<br />

( S)<br />

→ → →<br />

→<br />

= Ω<br />

prec<br />

∧ σ<br />

0<br />

( S)<br />

= Ω<br />

prec<br />

∧ I<br />

Δ<br />

Ω<br />

Δ<br />

dt<br />

I<br />

Δ<br />

: est le moment d’inertie par rapport à l’axe Δ .<br />

On déduit :<br />

→<br />

Ω<br />

prec<br />

∧ I<br />

Δ<br />

→<br />

Ω<br />

Δ<br />

−−→<br />

→<br />

= OG∧<br />

m g<br />

qui peut s’écrire aussi sous la forme<br />

→ → −−→ → →<br />

I<br />

Δ<br />

Ω<br />

Δ<br />

∧ Ω<br />

prec<br />

+ OG∧<br />

m g = 0<br />

On défini ainsi le couple gyroscopique qui a pour expression :<br />

−→<br />

→ → → →<br />

M<br />

Gyros<br />

= I<br />

Δ<br />

Ω<br />

Δ<br />

∧ Ω<br />

prec<br />

= σ<br />

0<br />

( S)<br />

∧ Ω<br />

prec<br />

Nous avons alors à chaque instant l’égalité :<br />

−→<br />

−→<br />

→<br />

M Gyros<br />

+ M Fext<br />

= 0<br />

On déduit alors une relation entre la vitesse de rotation propre et la vitesse de rotation de<br />

précession en développant la relation :<br />

I<br />

→ → −−→ → →<br />

Δ<br />

Ω<br />

Δ<br />

∧ Ω<br />

prec<br />

+ OG∧<br />

m g = 0<br />

I<br />

• → • → →<br />

→ →<br />

Δ<br />

ϕ eΔ<br />

∧ψ<br />

z0 + a eΔ<br />

∧ −mg<br />

z 0<br />

= 0<br />

I<br />

• • → →<br />

→ → →<br />

Δ<br />

ϕ ψ ( eΔ<br />

∧ z0 ) − mga(<br />

eΔ<br />

∧ z0<br />

) = 0<br />

• •<br />

•<br />

mga<br />

ϕ ⇒ I<br />

Δ<br />

ϕψ<br />

− mga = 0 ⇔ ψ =<br />

•<br />

I ϕ<br />

• •<br />

→ → →<br />

( I<br />

Δ<br />

ψ − mga)(<br />

eΔ<br />

∧ z0<br />

) = 0<br />

Le résultat ci dessus montre que si la rotation propre est assez grande, la nutation est<br />

négligeable et la précession pratiquement uniforme, elle s’effectue avec une vitesse angulaire<br />

inversement proportionnelle à la vitesse de rotation propre.<br />

Δ<br />

418


UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

Lorsqu’un gyroscope est soumis à une rotation imposée, il réagit en créant un couple<br />

gyroscopique et adoptant une rotation qui envoie l’axe du gyroscope s’aligner sur l’axe de la<br />

rotation imposé.<br />

Plus simplement, on peut dire que l’axe du gyroscope tend, en empruntant le plus court<br />

chemin, à s’aligner sur l’axe du vecteur du moment extérieur du aux actions extérieures.<br />

Dans le cas de l’approximation gyroscopique, deux cas peuvent se présenter :<br />

a) Si le moment des actions extérieures est nul, l’axe du gyroscope garde une direction<br />

−→ →<br />

0<br />

d σ<br />

0<br />

( S)<br />

→ →<br />

constante : M<br />

0 Fext<br />

= 0 ⇒ = 0 ⇒ σ<br />

0<br />

( S)<br />

= Cte<br />

dt<br />

→<br />

;<br />

−→<br />

M<br />

0 Fext<br />

→<br />

b) Si = M y alors : I Ω ∧ Ω + 0 ⇒ I<br />

0<br />

→ → −−→ →<br />

Δ Δ prec<br />

M 0 Fext<br />

=<br />

→ • → → →<br />

Δ<br />

Ω<br />

Δ<br />

∧ψ<br />

z0 + M x 0<br />

= 0<br />

→<br />

Ω Δ<br />

→<br />

x 0<br />

: doit être porté par l’axe pour que l’équation puisse avoir une solution.<br />

• → • → → →<br />

• •<br />

Δ<br />

ϕ x0 ∧ψ<br />

z0<br />

+ M y<br />

0<br />

= 0 ⇔ − I<br />

Δ<br />

ϕ ψ + M = 0<br />

I<br />

•<br />

=<br />

•<br />

I<br />

Δ<br />

ψ<br />

ϕ<br />

M<br />

Ce phénomène s’appelle effet gyroscopique.<br />

En d’autre terme pour un gyroscope ayant une rotation propre élevée, si vous appliquer<br />

une action sur l’armature pour obtenir une précession, vous faites apparaître la<br />

nutation. Pour un gyroscope à cardan cela signifie que si vous lui donner du ψ , il vous<br />

donnera du θ .<br />

419

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