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Espaces de Sobolev
Louis Fauchier-Magnan, SMA - EPFL
Boris Buffoni, IACS
février 2006

Chapitre 1
Introduction
Le but de ce présent travail est d’introduire les espaces de Sobolev en dimension
N. Nous nous baserons principalement sur le livre de H. Brezis. Nous mettrons
en avant des résultats importants, comme les injections de Sobolev, particulièrement
délicates en dimension supérieure à un. Nous nous permettrons d’omettre
certaines preuves qui ne paraissent pas essentielles à la compréhension du sujet,
renvoyant par conséquent le lecteur au livre cité plus haut.
1

Table des matières
1 Introduction 1
2 Espace de Sobolev en dimension un 3
3 Espace de Sobolev en dimension N 16
2

Chapitre 2
Espace de Sobolev en dimension
un
Définition 2.0.1. Soit I = (a, b) un intervalle (pas forcément borné) et p ∈ R avec
1 p ∞.
On définit l’espace de Sobolev W 1,p (I) par :
{
∫ ∫
}
W 1,p (I) := u ∈ L p (I) | ∃g ∈ L p (I) t. q. uφ ′ = − gφ ∀φ ∈ C0 ∞ (I) (2.1)
I
I
En utilisant le Lemme fondamental de calcul des variations qui dit :
Soit f ∈ Lloc 1 (I) telle que
∫
I
f φ = 0 ∀φ ∈ C ∞ 0 (I)
alors f = 0
On peut conclure que dans la définition précédente, si g existe, elle est unique. On
pose alors g = u ′ .
Remarque 2.0.1. On munit W 1,p (I) de la norme :
Lemme 2.0.1. L’espace W 1,p (I) est :
‖u‖ W 1,p (I) := ‖u‖ L p (I) + ‖u ′ ‖ L p (I) (2.2)
– un espace de Banach pour 1 p ∞
– un espace réflexif pour 1 < p < ∞
– un espace séparable pour 1 p < ∞
Preuve :Ces propriétés découlent immédiatement des preuves pour les espaces L p
qui sont supposées connues.
3

Théorème 2.0.2. Soit u ∈ W 1,p (I) alors ∃ũ ∈ C(Ī) telle que :
ũ(x) − ũ(y) =
u = ũ pp sur I (2.3)
∫ y
x
u ′ (t)dt ∀x, y ∈ Ī (2.4)
Remarque 2.0.2. On constate clairement que le représentant continu de chaque
u ∈ W 1,p (I) est unique.
Preuve :
On utilisera les deux lemmes (sans preuve) :
Lemme 2.0.2. Soit g ∈ L 1 loc (I). Fixons y o ∈ I et posons :
v(x) :=
∫ x
y 0
g(t)dt , ∀x ∈ I
Alors v ∈ C(I) et v ′ = g au sens faible (c’est-à-dire au sens de Sobolev)
Lemme 2.0.3. Soit f ∈ Lloc 1 (I) telle que
∫
f φ ′ = 0 , ∀φ ∈ C0 ∞ (I)
alors il existe une constante C telle que f = C sur I.
Démonstration du théorème
Fixons y o ∈ I et posons :
I
ū(x) :=
∫ x
y 0
u ′ (t)dt
On sait d’après le premier lemme cité que ū ′ = u ′ et donc
∫ ∫ ∫
ūφ ′ = − u ′ φ = uφ ′ ∀φ ∈ C0 ∞ (I)
et donc
I
I
∫
(u − ū)φ ′ = 0 , ∀φ ∈ C0 ∞ (I)
I
En utilisant le second lemme, on sait qu’il existe C constante telle que u − ū = C
pp sur I.
On pose alors ũ := ū + C.
Proposition 2.0.1. Autre caractérisation d’appartenance à W 1,p (I) Soit u ∈ L p (I)
avec 1 < p ∞. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
I
1. u ∈ W 1,p (I)
4

2. Il existe une constante C telle que
∫ ∣ ∣∣∣∣ ∣ uφ ′ C‖φ‖ L p ′ (I) , ∀φ ∈ C∞ 0
(I) (2.5)
I
3. Il existe une constante C telle que pour tout ouvert ω ⊂⊂ I et tout h ∈ R avec
|h| < dist(ω, I c ), on a
‖τ h u − u‖ L p (ω) ≤ C|h| (2.6)
Où τ h u(x) := u(x + h) De plus, on peut choisir C = ‖u ′ ‖ L p (I) dans toute la
proposition.
Preuve :
(1) ⇒ (2)
Soit φ ∈ C ∞ 0 (I) alors, par définition de W1,p (I) et grâce à l’inégalité de Hölder,
(2) ⇒ (1)
La forme linéaire
∫ ∣ ∣∣∣∣ ∫
∣ uφ ′ =
∣ − u ′ φ
∣ ‖u′ φ‖ L 1 (I) ‖u ′ ‖ L p (I)‖φ‖ L p ′ (I)
I
I
∫
φ ↦→ uφ ′
est définie sur C0 ∞(I) qui est dense dans Lp′ (I), et elle est continue sur L p′ (I)(hypothèse
1). Par le théorème de Hahn-Banach, elle se prolonge en une forme linéaire continue
Ψ sur L p′ (I). Par le théorème de représentation de Riesz, ∃g ∈ L p (I) tel que
∫
Ψ(ϕ) = gϕ, ∀ϕ ∈ L p′ (I)
Par conséquent, on sait que
∫
∫
uφ ′ = Ψ(φ) =
I
En posant u ′ := −g on constate que u ∈ W 1,p (I).
(1) ⇒ (3)
D’après le théorème 2.0.2, ∀x ∈ ω,
I
I
I
∫
gφ = − (−g)φ, ∀φ ∈ C0 ∞ (I)
I
Donc
u(x + h) − u(x) =
∫ x+h
|u(x + h) − u(x)| |h|
x
u ′ (t)dt = h
∫ 1
0
∫ 1
0
|u ′ (x + sh)|ds
u ′ (x + sh)ds
5

Le résultat est évident si p = ∞. Supposons alors 1 < p < ∞. En appliquant
l’inégalité de Hölder, on trouve :
∫ 1
0
{ ∫ 1
|u ′ (x + sh)|ds
Et par conséquent,
{ ∫ 1
p
|u ′ (x + sh)|ds}
Ainsi,
Or
∫
ω
|u(x+h)−u(x)| p dx |h| p ∫
0
0
1/p { ∫ 1
|u ′ (x + sh)| ds} p ·
∫ 1
0
0
|u ′ (x + sh)| p ds
∫ 1
|u(x + h) − u(x)| p |h| p |u ′ (x + sh)| p ds
ω
dx
∫ 1
Or, pour 0 < s < 1, on a
∫
∫
|u ′ (x + sh)| p dx =
Par conséquent,
ω
0
0
|u ′ (x+sh)| p ds = |h| p ∫ 1
ω+sh
} 1/p ′
|1| p′ ds
}{{}
=1
∫
|u ′ (y)| p dy |u ′ (y)| p dy
‖τ h u − u‖ L p (ω) |h| · ‖u ′ ‖ L p (I)
I
0
∫
ds |u ′ (x+sh)| p dx
ω
(3) ⇒ (2)
Soit φ ∈ C0 ∞ (I). On choisit ω ⊂⊂ I tel que supp φ ⊂ ω. Pour h ∈ R avec |h| <
dist(ω, I c ), on obtient avec un changement de variables :
∫
∫
[u(x + h) − u(x)]φ(x)dx = u(x)[φ(x − h) − φ(x)]dx
I
En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient :
∫
∫
[u(x + h) − u(x)]φ(x)dx = [u(x + h) − u(x)]φ(x)dx ‖(τ h u − u)φ‖ L 1 (ω)
I
ω
‖τ h u − u‖ L p (ω)‖φ‖ L p ′ (I) C|h|‖φ‖ L p′ (I)
la dernière inégalité venant de l’hypothèse (3). Ainsi, pour h 0, on a :
∫ { }
φ(x + h) − φ(x)
u(x)
dx
∣
h ∣ C‖φ‖ L p′ (I)
I
En passant à la limite h → 0, on trouve :
∫ ∣ ∣∣∣∣ ∣ uφ ′ C‖φ‖ L p ′ (I) , ∀φ ∈ C∞ 0 (I)
I
I
6

Corolaire 2.0.1. Une fonction u ∈ L ∞ appartient à W 1,∞ (I) si et seulement s’il
existe une constante C > 0 telle que
|u(x) − u(y)| C|x − y| pp x, y ∈ I (2.7)
Preuve :
Il suffit d’appliquer la proposition précédente pour p = ∞
Théorème 2.0.3. Opérateur de prolongement
Soit 1 p ∞. Il existe un opérateur de prolongement
linéaire et continu tel que :
P : W 1,p (I) −→ W 1,p (R) (2.8)
1. (Pu) |I = u
2. ‖Pu‖ L p (R) C‖u‖ L p (I) ∀u ∈ W 1,p (I)
3. ‖Pu‖ W 1,p (R) C‖u‖ W 1,p (I) ∀u ∈ W 1,p (I)
où C = C(|I|)
Preuve :
Commençons par le cas où I = (0, ∞). On pose :
{
(Pu)(x) = u ∗ u(x) si x 0
(x) :=
u(−x) si x < 0
Il est tout d’abord évident que u ∗ |I
= u. De plus,
Ainsi
{ ∫
Ensuite, posons :
|u ∗ (x)| p dx
R
} 1
p
{ ∫ 0
} 1
p
{ ∫ ∞
|u(−x)| p dx +
−∞
0
{ ∫
1
p
2 |u(x)| dx} p = 2‖u‖L p (I)
I
v(x) :=
‖u ∗ ‖ L p (R) 2 ‖u‖ L p (I)
{ u ′ (x) si x > 0
−u ′ (−x) si x < 0
|u(x)| p dx} 1
p
=
Ainsi v est définie presque partout sur R et on constate que v ∈ L p (R).
De plus,
u ∗ (x) − u(0) =
∫ x
0
v(y)dy, ∀x ∈ R
7

En effet, en utilisant le théorème 2.0.2, pour x 0,
∫ x
0
v(t)dt =
Ensuite, pour x < 0, on a que
∫ x
0
v(y)dy = −
∫ −x
0
∫ 0
x
∫ x
0
u ′ (t)dt = u(x) − u(0) = u ∗ (x) − u(0)
v(y)dy = −
∫ 0
x
−u ′ (−y)dy =
∫ 0
u ′ (t)dt = u(−x) − u(0) = u ∗ (x) − u(0)
x
u ′ (−y)dy =
Par conséquent, en utilisant le lemme 2.0.2, on constate que u ∈ W 1,p (I) avec
(u ∗ ) ′ = v, et de plus,
‖u ∗ ‖ W 1,p (R) 2‖u‖ W 1,p (I)
Considérons maintenant un intervalle borné I. On peut toujours se ramener au
cas I = (0, 1) Fixons une fonction η ∈ C 1 (R), 0 η 1 telle que
⎧
1 si x <
⎪⎨
1 4
η(x) =
⎪⎩ 0 si x > 3 4
Ensuite, ∀ f ∈ R (0,1) on définit f˜
∈ R (0,∞) par :
{
f ˜ f (x) si 0 < x < 1
(x) :=
0 si x 1
Ensuite, pour u ∈ W 1,p (I), on a :
On va ensuite utiliser le lemme suivant :
Lemme 2.0.4. Soit u ∈ W 1,p (I), alors
Preuve :
Soit ϕ ∈ C0 ∞ (0, ∞) On a :
∫ ∞
0
ηũϕ ′ =
∫ 1
0
ηuϕ ′ =
u = ηu + (1 − η)u
ηũ ∈ W 1,p (0, ∞) et (ηũ) ′ = η ′ ũ + ηũ ′
∫ 1
0
u[(ηϕ) ′ −η ′ ϕ] = −
∫ 1
0
u ′ ηϕ −
∫ 1
0
uη ′ ϕ = −
∫ ∞
0
(ũ ′ η+ũη ′ )ϕ
On s’occupe tout d’abord de ηu. On prolonge cette application, définie d’abord
sur (0, 1), à (0, ∞) grâce à ηũ. On constate, à l’aide du lemme précédent, que ηũ ∈
8

W 1,p (0, ∞). On la prolonge ensuite par réflexion à R tout entier. On obtient ainsi
une fonction w 1 ∈ W 1,p (R) vérifiant :
‖w 1 ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) et ‖w 1 ‖ W 1,p (R) C‖u‖ W 1,p (I)
On procède de manière analogue pour (1 − η)u. On la prolonge d’abord à
(−∞, 1) en la posant égale à 0 sur (−∞, 0] et on la prolonge ensuite à R par réflexion
mais cette fois-ci par rapport au point 1. On obtient ainsi une fonction w 2 ∈ W 1,p (R)
qui prolonge (1 − η)u et qui vérifie :
On pose ensuite
‖w 2 ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) et ‖w 2 ‖ W 1,p (R) C‖u‖ W 1,p (I)
Pu := w 1 + w 2
Reste à décrire un peu plus en détail la constante C : On a
‖w 1 ‖ W 1,p (R) = ‖w 1 ‖ L p (R) + ‖w ′ 1 ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖(ηu) ′ ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖η ′ u +
ηũ ′ ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖η ′ u‖ L p (R) + ‖ηũ ′ ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖η ′ ‖ L ∞ (R)‖u‖ L p (I) +
‖ũ ′ ‖ L p (0,∞) 3‖u‖ L p (I) + ‖η ′ ‖ L ∞ (R)‖u‖ L p (I) max { 3, ‖η ′ ‖ L (R)} ∞ ‖u‖L p (I)
et
‖w 2 ‖ W 1,p (R) = ‖w 2 ‖ L p (R) + ‖w ′ 2 ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖[(1 − η)u] ′ ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) +
‖(1 − η) ′ u + (1 − η)ũ ′ ‖ L p (R) 2‖u‖ L p (I) + ‖(1 − η) ′ u‖ L p (R) + ‖(1 − η)ũ ′ ‖ L p (R)
2‖u‖ L p (I) + ‖(1 − η) ′ ‖ L ∞ (R)‖u‖ L p (I) + ‖ũ ′ ‖ L p (0,∞) 3‖u‖ L p (I) + ‖(1 − η) ′ ‖ L ∞ (R)‖u‖ L p (I)
max { 3, ‖(1 − η) ′ ‖ L (R)} ∞ ‖u‖L p (I)
On pose alors
C := max { 3, ‖η ′ ‖ L ∞ (R), ‖(1 − η) ′ }
‖ L ∞ (R)
(2.9)
Lemme 2.0.5. Densité
Soit u ∈ W 1,p (I) avec 1 p < ∞. Alors il existe une suite ( u n
)n∈N ⊂ C∞ 0 (R)
telle que
u n|I −→ u dans W 1,p (I) (2.10)
Nous allons tout d’abord énoncer une technique très courante en analyse fonctionnelle
que nous utiliserons plus loin : les suites régularisantes
On appelle suite régularisante toute suite de fonctions (φ n ) n∈N telle que :
φ n ∈ C0 ∞ (R), supp φ n ⊂ B ( 0, 1 )
∫
, φ n = 1, φ n 0 (2.11)
n
Ces fonctions sont très utiles, car elles vérifient :
Soit 1 p < ∞ et f ∈ L p (R). Alors φ n ∗ f ∈ C ∞ 0 (R) et ‖φ n ∗ f − f ‖ L p (R) −→ 0
Ensuite, nous utilisons les deux lemmes suivants (sans preuve) :
Lemme 2.0.6. Convolution
Soit η ∈ L 1 (R) et soit v ∈ W 1,p (R) avec 1 p ∞. Alors
η ∗ v ∈ W 1,p (R) et (η ∗ v) ′ = η ∗ v ′ (2.12)
9

Lemme 2.0.7. Troncature
On fixe une fonction ξ ∈ C0 ∞ (R) telle que 0 ξ 1 et
ξ(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 si |x| 1
0 si |x| 2
On pose ensuite, ∀n ∈ N, ξ n (x) := ξ( x n
). On sait, grâce au théorème de convergence
dominée, que ∀u ∈ L p (R), ξ n u −→ u dans L p (R). De plus, par définition de ξ on
constate que ξ n u est à support compact ∀n ∈ N.
Revenons à notre lemme initial. Nous choisissons une suite régularisante ( ρ n
)n∈N
et nous allons montrer que la suite
u n := ξ n (ρ n ∗ u)
converge vers u dans W 1,p (I) Tout d’abord ‖u n − u‖ L p (I) −→ 0. En effet,
et donc
u n − u = ξ n [(ρ n ∗ u) − u] + [ξ n u − u]
‖u n −u‖ L p (I) ‖ξ n [(ρ n ∗u)−u]‖ L p (I)+‖ξ n u−u‖ L p (I) ‖ξ n ‖ L ∞ (I)‖(ρ n ∗u)−u‖ L p (I)+‖ξ n u−u‖ L p (I)
or 0 ξ n 1 et donc ‖ξ n ‖ L ∞ (I) 1. Par conséquent :
‖u n − u‖ L p (I) ‖(ρ n ∗ u) − u]‖ L p (I) + ‖ξ n u − u‖ L p (I) −→ 0
le dernier résultat venant des commentaires précédents.
Ensuite, on sait que
u ′ n = ξ ′ n(ρ n ∗ u) + ξ n (ρ ∗ u ′ )
Par conséquent :
‖u ′ n − u ′ ‖ L p (I) ‖ξ ′ n(ρ n ∗ u)‖ L p (I) + ‖ξ n (ρ n ∗ u ′ ) − u ′ ‖ L p (I)
‖ξ ′ ‖ L ∞ (R)
‖u‖ L
n
p (I) + ‖(ρ n ∗ u ′ ) − u ′ ‖ L p (I) + ‖ξ n u ′ − u ′ ‖ L p (I) −→ 0
Théorème 2.0.4. Injections de Sobolev Il existe une constante C dépendant
de |I| ∞ telle que
‖u‖ L ∞ (I) C‖u‖ W 1,p (I) ∀u ∈ W 1,p (I) ∀ 1 p ∞ (2.13)
Autrement dit, W 1,p (I) ⊂ L ∞ (I) avec injection continue ∀ 1 p ∞ De plus,
lorsque I est borné, on a :
L’injection W 1,p (I) ⊂ C(Ī) est compacte pour 1 < p ∞ (2.14)
10

L’injection W 1,1 (I) ⊂ L q (I) est compacte pour 1 q < ∞ (2.15)
Nous rappelons qu’injection compacte de A dans B signifie que la boule unité de
A, vue dans B, est relativement compacte, c’est-à-dire que B A (0, 1) est compacte
dans B.
Preuve :
On commence par prouver (2.13) pour I = R. Tout d’abord, si p = ∞ le résultat
est trivial. Soit v ∈ C0 ∞(R) et 1 p < ∞. On pose G(s) := s|s|p−1 ∀s ∈ R. On
considère la fonction w := G(v), qui appartient à C0 1 (R) et on voit que
Donc pour x ∈ R, on a :
w ′ = G ′ (v)v ′ = p|v| p−1 v ′
G(v(x)) =
∫ x
−∞
p|v(t)| p−1 v ′ (t)dt
et en utilisant l’inégalité de Hölder, on trouve que |v(x)| p
D’où, en utilisant l’inégalité de Young, on a :
p‖v‖ p−1
L p (R) ‖v′ ‖ L p (R).
|v(x)| p √
p‖v‖ p−1
L p (R) ‖v′ ‖ L p (R) p √
p‖v‖ p−1
W 1,p (R) ‖v‖ W 1,p (R) = p√ p‖v‖ W 1,p (R)
Or en utilisant le résultat suivant :
on pose C := e 1/e et on trouve
p 1/p e 1/e , ∀p 1
‖v‖ L ∞ (R) C‖v‖ W 1,p (R) ∀v ∈ C ∞ 0 (R)
Ensuite, par densité, soit u ∈ W 1,p (R). On sait qu’il existe une suite (u n ) ⊂ C0 ∞(R)
telle que u n −→ u dans W 1,p (R). Elle est donc de Cauchy dans W 1,p (R), et grâce
à l’inégalité précédente, on voit qu’elle est de Cauchy dans L ∞ (R), qui est complet.
Elle converge donc dans L ∞ (R) vers une certaine limite v. On sait que u, v ∈
Lloc 1 (R). Soit φ ∈ C∞ 0
(R), alors
∫ ∫ ∫
uφ = lim u n φ = vφ
n→∞
car φ est à support compact, on a donc :
∫
(u − v)φ = 0, ∀φ ∈ C ∞ 0 (R)
Par conséquent u = v. Le résultat suit par continuité des normes.
Prouvons maintenant à (2.14). L’application injective à considérer est le représentant
continu, que nous avons traiter au théorème 2.0.2. Reste à montrer que l’injection
11

est compacte. Soit S la boule unité de W 1,p (I) et soit u ∈ S . On sait alors, grâce à
l’inégalité de Young, que :
∫ y
|u(x) − u(y)| =
∣ u ′ (t)dt
∣ ‖u′ ‖ L p (I)|x − y| 1 p ′ |x − y| 1 p ′ ∀x, y ∈ I
x
On constate donc que S vue dans C(I) est équicontinue. De plus, comme I est
borné, I est compact. Par le théorème d’Ascoli, S est relativement compacte dans
C(I) et l’injection est donc compacte.
Reste à montrer (2.15). On utilise pour cela un corollaire de théorie de l’intégration,
que l’on trouve à [BRE], p. 74 :
Corolaire 2.0.2. Supposons dans les hypothèses du théorème que :
∀ɛ > 0, ∀ω ⊂⊂ I, ∃0 < δ < dist(ω, I c ) t. q. ∀|h| < δ et ∀u ∈ S
‖τ h u − u‖ L p (ω) < ɛ (2.16)
∀ɛ > 0, ∃ω ⊂⊂ I t. q. ‖u‖ L p (I−ω) < ɛ, ∀u ∈ S (2.17)
Alors S est relativement compacte dans L p (I).
Vérifions alors la condition 2.16.
Soit ω ⊂⊂ I, u ∈ S et |h| < dist(ω, I c ). D’après la proposition 2.0.1,
Donc
∫
Et donc
ω
∫
|u(x + h) − u(x)| q dx =
‖τ h u − u‖ L 1 (ω) |h|‖u ′ ‖ L 1 (I) |h| (2.18)
ω
|u(x + h) − u(x)| · |u(x + h) − u(x)| q−1 dx
(
q−1
∫
2‖u‖ L (I)) ∞ · |u(x + h) − u(x)|dx C‖u‖ W 1,1 (I)|h| C|h|
ω
‖τ h u − u‖ L q (ω) C 1 q
|h| 1 q
< ɛ , si |h| < δ (2.19)
Passons maintenant à la seconde condition : Pour u ∈ S , on a :
‖u‖ L q (I−ω) ‖u‖ L ∞ (I) |I − ω| 1 q
C |I − ω| 1 q
< ɛ , si |I − ω| est assez petit.
On sait donc, par le corollaire (2.0.2) que S est relativement compacte dans L q (I)
pour 1 q < ∞. Par conséquent l’injection est compacte.
12

Corolaire 2.0.3. Supposons I non-borné et soit u ∈ W 1,p (I) avec 1 p ∞. Alors
on a :
lim u(x) = 0 (2.20)
x∈I, |x|→∞
Preuve :
On sait qu’il existe une suite ( u n ) ⊂ C ∞ 0 (R) telle que u n|I −→ u dans W 1,p (I). On
déduit de (2.13) que ‖u n − u‖ L ∞ (I) −→ 0. Ainsi, soit ɛ > 0, on peut choisir n ∈ N
assez grand pour que ‖u n − u‖ L ∞ (I) < ɛ. Or pour |x| assez grand, on a u n (x) = 0, et
donc |u(x)| < ɛ. Attention, on travaille ici avec ũ ∈ C(I).
Théorème 2.0.5. Dérivation d’un produit et d’une composition de fonctions
Ce théorème généralise les formules connues pour la dérivation au sens usuel.
Soit u, v ∈ W 1,p (I) avec 1 p ∞, alors
uv ∈ W 1,p (I) et (uv) ′ = u ′ v + uv ′ (2.21)
Soit G ∈ C 1 (R) telle que G(0) = 0 et soit u ∈ W 1,p (I). Alors
G ◦ u ∈ W 1,p (I) et (G ◦ u) ′ = (G ′ ◦ u) · u ′ (2.22)
Preuve :
Ces formules sont une conséquence de la densité de C ∞ 0 (R) dans W1,p (I) (à restriction
des fonctions près). Nous renvoyons à [BRE], p. 131 pour plus de détails.
Remarque 2.0.3. L’équation (2.21) donne à W 1,p (I) une structure d’algèbre.
Définition 2.0.6. Soit un entier m 2 et 1 p ∞. On pose
{
∫
∫
W m,p (I) := u ∈ L p (I) | ∃g 1 , . . . , g m ∈ L p (I) t. q. uD j φ = (−1) j
g j φ ∀ j ∈ {1, . . . , n} ∀φ ∈ C ∞ 0 (I) }
Où D j φ = ∂ j φ
∂x j . Grâce au lemme fondamental du calcul des variations, on sait que
les g j sont uniques. On notera alors Du = g 1 , D 2 u = g 2 , . . . , D j u = g j , . . . . On
munit cet espace de la norme :
‖u‖ W m,p (I) := ‖u‖ L p (I) +
m∑
∥
∥D j u ∥ ∥L p (I)
j=1
(2.23)
Définition 2.0.7. On va maintenant s’intéresser à un sous-espace de W 1,p (I) qui
tient une place importante dans l’étude des équations aux dérivées partielles.
Etant donné 1 p < ∞, on définit
W 1,p
0 (I) := C∞ 0 (I) dans W1,p (I) (2.24)
On le munit de la norme induite par W 1,p (I), qui lui donne une structure d’espace
de Banach séparable (lemme 2.0.1). De plus il est réflexif si p > 1.
13

Remarque 2.0.4. On constate que W 1,p
0 (R) = W1,p (R), grâce à la densité de C ∞ 0 (R)
dans W 1,p (R)
Théorème 2.0.8. Autre caractérisation d’appartenance à W 1,p
0 (I)
Soit u ∈ W 1,p (I). Alors
u ∈ W 1,p
0
(I) ⇐⇒ u = 0 sur ∂I (2.25)
Remarque 2.0.5. Il est important de noter que l’on peut parler de valeur de u sur ∂I
qui est de mesure nulle, grâce au représentant continu (théorème 2.0.2).
Preuve :
=⇒
Soit u ∈ W 1,p
0 (I). Il existe une suite ( )
u n ⊂ C
∞
0
(I) telle que u n −→ u dans W 1,p (I).
Par le choix du représentant continu, on peut supposer que u ∈ C(I). Par conséquent,
on voit que la convergence est uniforme, et comme u n = 0 sur ∂I ∀n ∈ N, u = 0
sur ∂I.
⇐=
Soit u ∈ W 1,p (I) telle que u = 0 sur ∂I. On fixe une fonction G ∈ C ∞ (I) telle que
et
G(t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 si |t| 1
t si |t| 2
|G(t)| |t| , ∀t ∈ R
On pose ensuite u n := 1 n G(nu). Ainsi u n ∈ W 1,p (I), par le théorème précédent.
D’autre part
{
supp u n ⊂ x ∈ I | |u(x)| 1 }
n
Par conséquent supp u n est un compact dans I. En effet, il est borné, car u = 0 sur ∂I
et u(x) −→ 0 quand |x| −→ ∞, x ∈ I. Par conséquent on sait que u n ∈ W 1,p
0
(I) (car
elle est à support compacte ∀n ∈ N), et par le théorème de convergence dominée,
on constate que u n −→ u dans W 1,p (I).
Proposition 2.0.2. Inégalité de Poincaré
Supposons I = (a, b) borné. Alors il existe une constante C qui dépend de |I| et de
p telle que
‖u‖ W 1,p (I) C‖u ′ ‖ L p (I) ∀u ∈ W 1,p
0
(I) (2.26)
Preuve :
Soit u ∈ W 1,p
0 (I). On a |u(x)| = |u(x) − u(a)| = ∣ ∫ x ∣
a u′ (t)dt ∣ ∣ ‖u ′ ‖ L 1 (I)∀x ∈ I. Par
conséquent ‖u‖ L ∞ (I) ‖u ′ ‖ L 1 (I). Par l’inégalité de Hölder, on déduit (2.26).
14

Définition 2.0.9. On désigne par W −1,p′ l’espace dual de W 1,p
0
(I) avec 1 p < ∞.
Grâce au théorème de représentation de Riesz, on peut identifier L 2 et son dual. Par
conséquent, si I est borné, on a
W 1,p
0 (I) ⊂ L2 ⊂ W −1,p′ ∀1 p < ∞ (2.27)
Ceci vient du fait que si I est borné, L p (I) ⊂ L 2 (I).
Proposition 2.0.3. Soit F ∈ W −1,p′ . Alors il existe f 0 , f 1 ∈ L p′ tels que
∫ ∫
F(v) = f 0 v + f 1 v ′ ∀v ∈ W 1,p
0
(I) (2.28)
et
{
}
‖F‖ = max ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) , ‖ f 1‖ L p ′ (I)
Preuve :
On munit l’espace E = L p × L p de la norme
‖h‖ = ‖h 0 ‖ L p (I) + ‖h 1 ‖ L p (I) où h = (h 0 , h 1 )
(2.29)
L’application T : W 1,p
0 (I) −→ E : u ↦→ (u, u′ ) est une isométrie de W 1,p
0
(I) dans
E. On pose G := T ( W 1,p
0 (I)) et on le munit de la norme induite par E. On définit
ensuite S := T −1 : G −→ W 1,p
0
(I). L’application G −→ R : h ↦→ F(S (h)) est
linéaire et continue, car F et S le sont. Par le théorème de Hahn-Banach, on peut
la prolonger en une forme linéaire continue Φ avec ‖Φ‖ E ′ = ‖F‖. De plus, par le
théorème de représentation de Riesz, ∃ f 0 , f 1 ∈ L p′ avec Φ(v, w) = ∫ f 0 v + ∫ f 1 w.
Ainsi, F(v) = ∫ f 0 v + ∫ f 1 v ′ .
{
}
Posons M ≡ max ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) , ‖ f 1‖ L p ′ (I) . Soient (v, w) ∈ E. On a
∫ ∫
|Φ(v, w)| =
∫ ∫
∣ f 0 v + f 1 w
∣ | f 0 v|+ | f 1 w| ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) ‖v‖ L p (I)+‖ f 1 ‖ L p ′ (I) ‖w‖ L p (I) M‖(v, w)‖
On a donc ‖Φ‖ E ′ M. Montrons que le sup est atteint. Supposons tout d’abord que
M = ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) . On sait qu’il existe ( )
v n ⊂ L p (I), ‖v n ‖ L p (I) = 1, ∀n t.q.
∫
‖ f 0 ‖ L p ′ (I) = lim f o · v n
n→∞
Ainsi
{ ∫
lim
n→∞
∫
M = ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) = lim
n→∞
}
∫
f o · v n +
f 1 · 0
{ ∫
f o · v n = lim
n→∞
= lim
n→∞
Φ(v n , 0) ‖Φ‖ E ′
} ∫
f o · v n +
f 1 · 0 =
lim
n→∞
‖(v n , 0)‖ = ‖Φ‖ E ′
Si M = ‖ f 1 ‖ L p ′ (I), on procède de manière analogue. Par conséquent
{
}
‖F‖ = ‖Φ‖ E ′ = max ‖ f 0 ‖ L p ′ (I) , ‖ f 1‖ L p ′ (I)
15

Chapitre 3
Espace de Sobolev en dimension
N
Définition 3.0.10. Soit Ω ⊂ R N un ouvert et 1 p ∞. On définit l’espace de
Sobolev :
{
∫
W 1,p (Ω) := u ∈ L p (Ω) | ∃g 1 , . . . , g N ∈ L p (Ω) t.q. u ∂φ ∫
}
= − g i φ ∀φ ∈ C0 ∞ Ω ∂x (Ω), ∀i = 1, . . . , N i Ω
Grâce au lemme fondamental du calcul des variations, on note :
∂u
( ∂u ∂u
)
= g i ∀i = 1, . . . , N et ∇u = , . . . , = grad u (3.1)
∂x i ∂x 1 ∂x N
On munit cet espace de la norme :
‖u‖ W 1,p (Ω) := ‖u‖ L p (Ω) +
Proposition 3.0.4. L’espace W 1,p (Ω) est :
– un espace de Banach pour 1 p ∞
– un espace réflexif pour 1 < p < ∞
– un espace séparable pour 1 p < ∞
Preuve :
Similaire au cas N = 1
N∑
∥ ∂u ∥∥∥∥L ∥∂x i p (Ω)
i=1
(3.2)
Remarque 3.0.6. Soit (u n ) une suite de W 1,p (Ω) telle que u n −→ u dans L p (Ω) et
(∇u n ) converge vers une limite dans L p (Ω) N , alors u ∈ W 1,p (Ω) et ‖u n −u‖ W 1,p (Ω) −→
0. Lorsque p > 1, il suffit de savoir que u n −→ u dans L p (Ω) et (∇u n ) reste bornée
dans L p (Ω) N pour conclure que u ∈ W 1,p (Ω)
16

Remarque 3.0.7. Soit f ∈ R Ω . On définit
{ f (x) si x ∈ Ω
f (x) :=
0 si x ∈ R N − Ω
Soient u ∈ W 1,p (Ω) et α ∈ C0 ∞ (Ω) alors,
Preuve :
Soit φ ∈ C ∞ 0 (RN ), alors
∫
R N αu ∂φ
∂x i
=
∫
Ω
αu ∈ W 1,p (R N ) et
∂
(αu) = α ∂u + ∂α u (3.3)
∂x i ∂x i ∂x i
αu ∂φ ∫ [ ∂
= u (αφ)− ∂α ] ∫ ( ∂u
φ = − αφ+u ∂α ) (
φ = − α
∂x i Ω ∂x i ∂x i Ω ∂x i ∂x i
∫R ∂u + u ∂α )
φ
N ∂x i ∂x i
Théorème 3.0.11. Friedrichs Soit u ∈ W 1,p (Ω) avec 1 p < ∞. Alors il existe
une suite (u n ) ⊂ C ∞ 0 (RN ) telle que
u n|Ω −→ u dans L p (Ω) (3.4)
∇u n|ω −→ ∇u |ω dans L p (ω) N pour tout ω ⊂⊂ Ω (3.5)
Preuve :
On utilise le lemme suivant, dont la preuve est similaire à 2.0.6 :
Lemme 3.0.8. Soit ρ ∈ L 1 (R N ) et v ∈ W 1,p (R N ) avec 1 p ∞. Alors
ρ ∗ v ∈ W 1,p (R N ) et
∂
∂x i
(ρ ∗ v) = ρ ∗ ∂v
∂x i
, ∀i = 1, . . . , N
Revenons au théorème de Friedrichs. On choisit une suite régularisante (ρ n ) ⊂
C0 ∞(RN ) (adapter pour R N la définition du point 2.11). On pose, ∀n ∈ N, v n := ρ n ∗u
On sait que v n ∈ C ∞ (R N ) et v n −→ u dans L p (R N ). Montrons que ∇u n|ω −→
∇u |ω dans L p (ω) N pour tout ω ⊂⊂ Ω. Etant donné ω ⊂⊂ Ω, on fixe une fonction
α ∈ C0 ∞ (Ω) telle que 0 α 1 et α = 1 sur un voisinage de ω. Notons que pour n
assez grand, on a
ρ n ∗ αu = ρ n ∗ u sur ω (3.6)
En effet, supp(ρ n ∗ αu − ρ n ∗ u) = supp(ρ n ∗ (1 − α)u) ⊂ supp ρ n + supp((1 − α)u) ⊂
B ( 0, n) 1 + supp(1 − α) ⊂ ω c pour n assez grand. De plus, d’après la remarque 3.0.7
et le lemme 3.0.8,
∂
(ρ n ∗ αu) = ρ n ∗ ( α ∂u + ∂α u )
∂x i ∂x i ∂x i
et donc
∂
∂x i
(ρ n ∗ αu) −→ α ∂u
∂x i
+ ∂α
∂x i
u dans L p (R N )
17

En particulier, comme α |ω = 1,
et grâce à (3.6),
∂
(ρ n ∗ αu) −→ ∂u dans L p (ω)
∂x i ∂x i
∂
(ρ n ∗ u) −→ ∂u dans L p (ω)
∂x i ∂x i
Finalement, on tronque la suite v n comme dans le lemme 2.0.7, pour arriver à une
suite (u n ) ⊂ C ∞ 0 (RN ), t.q. u n −→ u dans L p (Ω) et ∇u n −→ ∇u dans L p (ω) N
Proposition 3.0.5. Soit u ∈ L p (Ω) avec 1 < p ∞. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
1. u ∈ W 1,p (Ω)
2. Il existe une constante C telle que
∫
∣ u ∂φ ∣ ∣∣∣∣
C‖φ‖
∂x L p ′ (Ω) , ∀φ ∈ C∞ 0
(Ω) ∀i = 1, . . . , N (3.7)
i
I
3. Il existe une constante C telle que pour tout ouvert ω ⊂⊂ Ω et tout h ∈ R N
avec |h| < dist(ω, Ω c ), on a
‖τ h u − u‖ L p (ω) ≤ C|h| (3.8)
Où τ h u(x) := u(x + h) De plus, on peut choisir C = ‖∇u‖ L p (Ω) dans toute la
proposition.
Preuve :
Cette proposition est la généralisation en dimension N de la proposition 2.0.1.
L’équivalence entre 1. et 2. est la même que celle en dimension 1.
(1) ⇒ (3)
Supposons tout d’abord que u ∈ C ∞ 0 (RN ). Soit h ∈ R N et définissons
Alors v ′ (t) = h · ∇u(x + th) et donc
u(x + h) − u(x) = v(1) − v(0) =
Par suite, comme dans la preuve de 2.0.1
v(t) := u(x + th) ∀t ∈ R (3.9)
∫ 1
0
v ′ (t)dt =
∫ 1
∫ 1
|τ h u(x) − u(x)| p |h| p |∇u(x + th)| p dt
18
0
0
h · ∇u(x + th)dt

et
∫
ω
|τ h u(x) − u(x)| p dx |h| p ∫
ω
dx
∫ 1
0
|∇u(x + th)| p dt
∫ 1 ∫
∫ 1 ∫
|h| p dt |∇u(x + th)| p dx = |h| p dt |∇u(y| p dy
0 ω
0 ω+th
Si nous fixons |h| < dist(ω, Ω c ), il existe un ouvert ω ′ ⊂⊂ Ω t.q. ω + th ⊂ ω ′ pour
tout t ∈ [0, 1] et donc,
{ ∫ } 1
‖τ h u − u‖ L p (ω) |h| |∇u| p p
|h|‖∇u‖L p (ω ′ ) (3.10)
ω ′
Maintenant, considérons le cas général où u ∈ W 1,p (Ω) et p ∞. On sait qu’il
existe une suite (u n ) ⊂ C ∞ 0 (RN ) t.q. u n −→ u dans L p (Ω) et ∇u n −→ ∇u dans
L p (ω) N . En appliquant l’inégalité (3.10), on arrive au résultat cherché. Lorsque
p = ∞, on utilise le résultat (que l’on trouve dans [ADA], p. 25) :
lim ‖u‖ L
p→∞ p (K) = ‖u‖ L ∞ (K), ∀u ∈ L ∞ (K), avec K ⊂ Ω compact
qui nous permet de conclure.
(3) ⇒ (2)
Soit φ ∈ C0 ∞(RN ). On considère un ouvert ω t.q. supp φ ⊂ ω ⊂⊂ Ω. Soit h ∈ R N
avec |h| < dist(ω, Ω c ). Par l’inégalité de Hölder et l’hypothèse (3), on a
∫
∣ ∣ (τ h u − u)φ
∣∣∣∣
∫
∣ (τ h u − u)φ
∣ ‖τ hu − u‖ L p (ω)‖φ‖ L p ′ (Ω) C|h|‖φ‖ L p′ (Ω) (3.11)
Ω
ω
D’autre part, comme
∫
∫
(u(x + h) − u(x))φ(x)dx =
Ω
Ω
u(y)(φ(y − h) − φ(y))dy (3.12)
il vient
∣ ∣∣∣∣∣ ∫ ( )
φ(y − h) − φ(y) u(y)
dy
Ω |h| ∣ C‖φ‖ L p′ (Ω) (3.13)
En choisissant h = te i avec |t| < dist(ω, Ω c ) et en passant à la limite t −→ 0, on
obtient le résultat voulu.
Théorème 3.0.12. Dérivation d’un produit et d’une composition de fonctions
Soient u, v ∈ W 1,p (Ω) ∩ L ∞ (Ω) avec 1 p ∞. Alors uv ∈ W 1,p (Ω) ∩ L ∞ (Ω) et
∂
(uv) = ∂u v + u ∂v ∀i = 1, . . . , N (3.14)
∂x i ∂x i ∂x i
Soit G ∈ C 1 (R) t.q. G(0) = 0 et |G ′ (s)| M ∀s ∈ R et soit u ∈ W 1,p (Ω). Alors
G ◦ u ∈ W 1,p (Ω) et
∂
∂x i
(G ◦ u) = (G ′ ◦ u) ∂u
∂x i
(3.15)
Preuve :
De même qu’au théorème 2.0.5, nous ne mentionnons pas la preuve. Nous renvoyons
à [BRE], p. 155.
19

Proposition 3.0.6. Soient Ω et Ω ′ deux ouverts de R N et H : Ω ′
application bijective t.q.
−→ Ω une
H ∈ C 1 (Ω ′ ) H −1 ∈ C 1 (Ω) JacH ∈ L ∞ (Ω ′ ) JacH −1 ∈ L ∞ (Ω) (3.16)
( )
où JacH désigne la matrice jacobienne de H : ∂Hi
∂y j
Soit u ∈ W 1,p (Ω). Alors u ◦ H ∈ W 1,p (Ω ′ ) et
1i, jN
∂ ( ) ∑ ∂u ( )∂H i
u ◦ H (y) = H(y) (y) ∀ j = 1, . . . , N (3.17)
∂y j ∂x i ∂y j
Preuve :
Nous renvoyons à [BRE], p. 156
i
Définition 3.0.13. Nous appelons multi-indice tout α ∈ N N , α = (α 1 , . . . , α N ). On
définit
N∑
|α| :=
et
D α :=
i=1
∂ |α|
α i
∂x α 1
1 ∂xα 2
2 . . . ∂xα N
N
Définition 3.0.14. Soit m 1 un entier et soit p ∈ R avec 1 p ∞. On définit
{
∫
∫
W m,p (Ω) := u ∈ L p (Ω) | ∀α avec |α| m ∃g α ∈ L p (Ω) t.q. uD α φ = (−1) |α|
On pose, grâce au lemme fondamental du calcul des variations, D α u := g α On le
munit de la norme
∑
‖u‖ W m,p (Ω) :=
∥
∥D α u ∥ ∥L (3.18)
p (Ω)
|α|m
qui lui donne une structure d’espace de Banach.
Ω
Ω
g α φ , ∀φ ∈ C ∞ 0 (Ω) }
20

Opérateurs de prolongement L’idée de ce paragraphe est de trouver la généralisation
en dimension N du théorème 2.0.3. Cependant, en dimension 1, nous ne considérions
que des intervalles, qui sont des ouverts particuliers. Ici, nous considérons des ouverts
Ω ⊂ R N quelconques. Il paraît donc normal de rajouter des hypothèses de
régularité sur Ω pour arriver à un résultat utile. Commençons par l’écriture :
Notations : Soit x ∈ R N . On écrit :
x = (x ′ , x N ) avec x ′ = (x 1 , . . . , x N−1 )
et on pose
On note
|x ′ | :=
√
x 2 1 + · · · + x2 N−1
R N + := { x = (x ′ , x N ) | x N > 0 }
Q := { x = (x ′ , x N ) | |x ′ | < 1 et |x N | < 1 }
Q + := Q ∩ R N +
Q 0 := { x = (x ′ , x N ) | |x ′ | < 1 et x N = 0 }
Définition 3.0.15. Un ouvert Ω de R N est de classe C 1 si pour tout x ∈ Γ = ∂Ω, il
existe un voisinage U de x dans R N et une application H : Q −→ U bijective t.q.
H ∈ C 1 (Q) H −1 ∈ C 1 (U) H(Q + ) = U ∩ Ω et H(Q 0 ) = U ∩ Γ (3.19)
Lemme 3.0.9. Partitions de l’unité
On énonce ici le lemme de partition de l’unité qui nous sera très utile pour prouver
notre théorème de prolongement. Soient Γ ⊂ R N un compact et { U 1 , . . . , U k
} un
recouvrement ouvert de Γ.
Alors il existe θ 0 , θ 1 , . . . , θ k ∈ C ∞ (R N ) t.q.
0 θ i 1 ∀i = 0, 1, . . . , k (3.20)
k∑
θ i = 1 sur R N (3.21)
i=0
supp θ i est compact et supp θ i ⊂ U i ∀i = 1, . . . , k (3.22)
supp θ 0 ⊂ R N − Γ (3.23)
De plus, lorsque Ω est un ouvert borné et Γ = ∂Ω, alors θ 0|Ω est à support compact.
21

Lemme 3.0.10. Prolongement par réflexion
Etant donnée u ∈ W 1,p (Q + ), on définit sur Q la fonction u ∗ prolongée par réflexion,
ie
{
u ∗ (x ′ u(x
, x N ) :=
′ , x N ) si x N > 0
u(x ′ , −x N ) si x N < 0
La fonction est pp sur Q. Alors u ∗ ∈ W 1,p (Q) et
‖u ∗ ‖ L p (Q) 2‖u‖ L p (Q + ) et ‖u ∗ ‖ W 1,p (Q) 2‖u‖ W 1,p (Q + ) (3.24)
Nous renvoyons à [BRE], p. 158.
Remarque 3.0.8. Le même énoncé reste valable pour R N +
Théorème 3.0.16. Prolongement
Soit Ω un ouvert de R N de classe C 1 avec Γ borné (ou alors Ω = R N + ). Alors il
existe un opérateur de prolongement
linéaire t.q. ∀u ∈ W 1,p (Ω),
1. (Pu) |Ω = u
2. ‖Pu‖ L p (R N ) C‖u‖ L p (Ω) ∀u ∈ W 1,p (Ω)
3. ‖Pu‖ W 1,p (R N ) C‖u‖ W 1,p (Ω) ∀u ∈ W 1,p (Ω)
P : W 1,p (Ω) −→ W 1,p (R N ) (3.25)
où C = C(|Ω|)
Preuve :
On sait que Γ est compact et de classe C 1 , il existe donc des ouverts U 1 , . . . , U k
de R N t.q.
k⋃
Γ ⊂
i=1
U i
et des applications H i : Q −→ U i bijectives t.q.
H i ∈ C 1 (Q)
H −1
i ∈ C 1 (U i ) H i (Q + ) = U i ∩ Ω et H i (Q 0 ) = U i ∩ Γ (3.26)
On considère les fonctions θ 0 , θ 1 , . . . , θ k introduites au lemme des partitions de
l’unité. Ainsi, pour u ∈ W 1,p (Ω), on écrit
u =
k∑
θ i u =
i=0
k∑
u i où u i := θ i u (3.27)
i=0
22

On va maintenant prolonger chacune de ces fonctions à R N .
Prolongement de u 0 :
On rappelle que θ 0 ∈ C ∞ (R N ) ∩ L ∞ (R N ) et ∇θ 0 ∈ L ∞ (R N ), car
∇θ 0 = −
k∑
∇θ i
est à support compact et supp θ 0 ⊂ R N − Γ. On définit alors
{
u0 (x) si x ∈ Ω
u 0 (x) :=
0 si x ∈ R N − Ω
On sait donc par la remarque 3.0.7 que
i=1
u 0 ∈ W 1,p (R N ) et
∂ ( ) ∂u
u0 = θ0 + ∂θ 0
u (3.28)
∂x i ∂x i ∂x i
Par conséquent, il existe une constante C qui dépend de ‖ ∂θ 0
∂x i
‖ L ∞ (R N ), 1 i N, t.q.
Prolongement de u i , i = 1, . . . , k :
‖u 0 ‖ W 1,p (R N ) C‖u‖ W 1,p (Ω) (3.29)
On considère la restriction de u à U i ∩Ω. On pose ensuite v i (y) := u(H i (y)) ∀y ∈ Q + .
On sait, par la proposition 3.0.6 du changement de variable, que v i ∈ W 1,p (Q + ). On
définit ensuite le prolongement par réflexion de v i sur Q, que l’on note v ∗ i
. Par le
lemme 3.0.10, v ∗ i
∈ W 1,p (Q). On définit ensuite
w i (x) := v ∗ i ◦ H −1
i (x) pour x ∈ U i (3.30)
De nouveau grâce au changement de variables, on sait que
et par définition de H i et H −1
i
,
w i ∈ W 1,p (U i ) (3.31)
w i = u sur U i ∩ Ω (3.32)
et il existe une constante K > 0 dépendant de H i , Hi
−1 ainsi que de leurs dérivées
t.q.
‖w i ‖ W 1,p (U i ) K‖u‖ W 1,p (U i ∩Ω) (3.33)
Finalement, on prolonge w i et donc u i avec pour x ∈ R N
{
θi w
û i (x) := i (x) si x ∈ U i
0 si x ∈ R N − U i
23

Par la remarque 3.0.7, on sait que û i ∈ W 1,p (R N ) et par (3.32), û i = u i sur Ω.
Finalement
‖û i ‖ W 1,p (R N ) ˜K‖u‖ W 1,p (U i ∩Ω) (3.34)
avec ˜K > 0. Par conséquent, on pose
Pu := u 0 +
k∑
û i (3.35)
i=1
On constate que P est linéaire par définition et qu’il vérifie les propriétés voulues.
Corolaire 3.0.4. Densité
Supposons Ω de classe C 1 . Soit u ∈ W 1,p (Ω) avec 1 p < ∞. Alors il existe
une suite ( u n
) ⊂ C
∞
0
(R N ) t.q. u n|Ω −→ u dans W 1,p (Ω). Autrement dit, les restrictions
Ω des fonctions de C ∞ 0 (RN ) forment un sous-espace dense de W 1,p (Ω).
Preuve :
Supposons tout d’abord Γ = ∂Ω borné. Alors, avec le notations du lemme 2.0.7,
en prenant une suite tronquante ( ξ n
) ⊂ C
∞
0
(R N ) et une suite régularisante ( ρ n
) ⊂
C ∞ 0 (RN ), la suite ξ n
(
ρn ∗ Pu ) ⊂ C ∞ 0 (RN ) converge vers Pu dans W 1,p (R N ). Elle
répond donc à la question voulue.
Si Γ n’est pas borné, on considère la suite ξ n u. Pour tout ɛ > 0, on fixe N ɛ ∈ N
t.q. ‖ξ Nɛ u − u‖ W 1,p (Ω) < ɛ. On peut alors prolonger ξ Nɛ u à W 1,p (R N ), puisqu’à ce
moment on ne considérera que l’intersection de Γ avec une grande boule, ce qui
nous donnera un ensemble borné. On nomme ce prolongement ξ Nɛ
˜ u. Par le point
précédent, il existe w ∈ C0 ∞(RN ) t.q. ‖ ξ Nɛ
˜ u − w‖ W 1,p (R N ) < ɛ.
24

Inégalités de Sobolev Nous allons ici nous intéresser aux possibilités d’injecter
W 1,p (Ω) de façon continue ou même compacte dans des espace plus simples,
comme L p (Ω) avec 1 p ∞ voir même, dans certains cas, C(Ω). Ce paragraphe
est plus qu’une généralisation du théorème 2.0.4, les nuances sont ici plus subtiles
et utilisent en profondeur la théorie de l’intégrale de Lebesgue.
Lemme 3.0.11. Commençons tout d’abord par un lemme technique :
Soient N 2 et f 1 , f 2 , . . . , f N ∈ L N−1 (R N−1 ). pour x ∈ R N et i = 1, . . . , N on
pose
˜x i := (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x N ) ∈ R N−1 (3.36)
Alors la fonction
appartient à L 1 (R N ) et
f (x) := f 1 ( x˜
1 ) f 2 ( x˜
2 ) . . . f N ( x˜
N ), ∀x ∈ R N (3.37)
‖ f ‖ L 1 (R N )
N∏
‖ f i ‖ L N−1 (R N−1 ) (3.38)
i=1
Preuve :
La preuve de ce lemme n’étant pas en rapport direct avec les espaces de Sobolev,
nous renvoyons à [BRE], p. 163.
25

Théorème 3.0.17. Sobolev, Gagliardo, Nirenberg
Soit 1 p < N. On définit p ∗ :=
N p
N−p ou de façon équivalente par 1 p ∗
Alors
= 1 p − 1 N
W 1,p (R N ) ⊂ L p∗ (R N ) (3.39)
De plus, il existe une constante C = C(p, N) telle que
On remarque que p ∗ ∈ (p, ∞)
Preuve :
‖u‖ L p ∗ (R N ) C‖∇u‖ L p (R N ) ∀u ∈ W 1,p (R N ) (3.40)
Commençons par p = 1. Soit u ∈ C ∞ 0 (RN ), on a
|u(x 1 , x 2 , . . . , x N )| =
∣
∫ x1
−∞
∂u
∣
(t, x 2 , . . . , x N )dt
∣∣∣∣
∫ ∞
∂x 1
∣ ∂u
(t, x 2 , . . . , x N )dt
∂x 1
∣
et de même pour tout 1 i N,
∫ ∞
|u(x)|
∂u
∣ (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )dt
∂x i
∣ ≡ f i( ˜x i ) (3.41)
Donc
−∞
On déduit du lemme 3.0.11 que
Par conséquent,
|u(x)| N
i=1
−∞
N∏
f i ( ˜x i ) (3.42)
i=1
∫
N∏
N∏
N
|u(x)| N−1 dx
N−1
‖ f i ‖ 1
L 1 (R N−1 ) = ∥ ∂u ∥∥∥∥
1
∥∂x i
i=1
N∏
‖u‖ N ∥ ∂u ∥∥∥∥
1
N L N−1 (R N ) ∥∂x i L 1 (R N )
Soit t 1. On applique (3.44) à |u| t−1 u au lieu de u. On a donc :
‖u‖ t t
L N−1 tN (R N )
N∏
∥
i=1
|u|t−1
∂u
∂x i
∥ ∥∥∥∥
1
N
L 1 (R N )
i=1
t‖u‖ t−1
L p′ (t−1) (R N )
N−1
L 1 (R N )
N∏
∥ ∂u ∥∥∥∥
1
N ∥∂x i L p (R N )
i=1
(3.43)
(3.44)
(3.45)
tN
Ensuite, on choisit t t.q.
N−1 = p′ (t − 1), ce qui nous donne t = N−1
N
p∗ , de plus
t 1, car 1 p < N. On obtient finalement
N∏
‖u‖ L p ∗ (R N ) t ∥ ∂u ∥∥∥∥
1
N ∥∂x i L 1 (R N )
i=1
26
(3.46)

Et donc
‖u‖ L p ∗ (R N ) C‖∇u‖ L p (R N ) (3.47)
Prenons maintenant u ∈ W 1,p (R N ). On sait qu’il existe une suite ( u n
) ⊂ C
∞
0
(R N )
t.q. u n −→ u dans W 1,p (R N ) On sait donc que u n −→ u pp dans R N . Par (3.47), on
sait que ∀n ∈ N,
‖u n ‖ L p ∗ (R N ) C‖∇u n‖ L p (R N ) (3.48)
Par le lemme de Fatou, on a finalement que :
Corolaire 3.0.5. Soit 1 p < N, alors
avec injection continue
Preuve :
Soit q ∈ [p, p ∗ ], alors ∃α ∈ [0, 1] t.q.
Par l’inégalité d’interpolation,
u ∈ L p∗ (R N ) et ‖u‖ L p ∗ (R N ) C‖∇u‖ L p (R N ) (3.49)
W 1,p (R N ) ⊂ L q (R N ) ∀q ∈ [p, p ∗ ] (3.50)
1
q = α p + 1 − α
p ∗ (3.51)
‖u‖ L q (R N ) ‖u‖ α L p (R N ) ‖u‖1−α L p∗ (R N )
(3.52)
En utilisant l’inégalité de Young, on obtient :
‖u‖ α L p (R N ) ‖u‖1−α L p∗ (R N ) α‖u‖ L p (R N ) + (1 − α)‖u‖ L p ∗ (R N ) ‖u‖ L p (R N ) + ‖u‖ L p ∗ (R N )
et donc, par (3.49),
‖u‖ L q (R N ) C‖u‖ W 1,p (R N ) ∀u ∈ W 1,p (R N ) (3.53)
Corolaire 3.0.6.
[
W 1,N (R N ) ⊂ L q (R N N
)
) ∀q ∈
N − 1 , ∞ (3.54)
Preuve :
Nous allons à nouveau raisonner par densité. Supposons que u ∈ C0 ∞(RN ). On
applique (3.45) avec p = N :
‖u‖ t L tN
N−1 (R N )
On applique t =1, ce qui nous donne
t‖u‖ t−1 ‖∇u‖
L (t−1)N L N (R N ) ∀t 1 (3.55)
N−1 (R N )
‖u‖ L
N
N−1 (R N ) ‖∇u‖ L N (R N ) ‖u‖ W 1,N (R N ) (3.56)
27

On veut démonter l’hypothèse de récurrence, pour k ∈ N, que l’on note Λ(k) :
W 1,N (R N ) ⊂ L kN
N−1 (R N ) (3.57)
On sait que Λ(1) est vraie par (3.56). Montrons que Λ(k) ⇒ Λ(k + 1), ∀k ∈ N
En appliquant t = k + 1 à (3.55), on trouve
‖u‖ k+1 (k + 1)‖u‖ k ‖∇u‖
L (k+1)N
N−1 (R N )
L N−1 kN
L
(R N N (R N ) C k ‖u‖ k W
)
1,N (R N ) ‖u‖ W 1,N (R N )
pour une constante C k > 0 (hypothèse de récurrence). On voit donc que
‖u‖ (k+1)N { } 1
C
k+1 k ‖u‖
L N−1 W
(R N ) 1,N (R N )
ce qui signifie que Λ(k + 1) est vraie. On sait donc que
W 1,N (R N ) ⊂ L kN
N−1 (R N ), ∀k ∈ N (3.58)
L’inégalité d’interpolation nous permet d’arriver au résultat voulu. Finalement,
pour traiter le cas général u ∈ W 1,N (R N ), on procède par densité.
Théorème 3.0.18. Morrey
Soit p > N, alors
W 1,p (R N ) ⊂ L ∞ (R N ) (3.59)
avec injection continue. De plus, la preuve nous donne la formule, pour u ∈ W 1,p (R N ),
|u(x) − u(y)| C|x − y| α ‖∇u‖ L p (R N ) pp x, y ∈ R N (3.60)
avec α = 1 − N p
> 0 et C une constante qui dépend de p et N.
Preuve :
Nous allons commencer par prouver (3.60). Soient u ∈ C0 ∞(RN ), et Q un cube
ouvert, contenant 0, dont les côtés, de longueur r, sont parrallèles aux axes de coordonnées.
Pour x ∈ Q, on a
et donc,
|u(x) − u(0)|
∫ 1
0
u(x) − u(0) =
∫ 1
N∑
|x i |
∂u
N∑
∣ (tx)
∂x i
∣ dt r
i=1
0
d
u(tx)dt (3.61)
dt
i=1
∫ 1
0
∂u
∣ (tx)
∂x i
∣ dt (3.62)
∫
On pose ensuite u ≡ 1
|Q| u(x)dx, la moyenne de u sur Q. En intégrant (3.62) sur
Q, on obtient
|u − u(0)| r ∫ N∑ ∫ 1
dx
∂u
|Q|
∣ (tx)
Q 0 ∂x i
∣ dt =
28
i=1

∫
1 1
r N−1
0
∫
dt
Q
N∑
∂u
∣ (tx)
∂x i
∣ dx = 1 ∫ 1
r N−1
i=1
Cependant, avec l’inégalité de Hölder,
∫ N∑
( ∂u
∫
∣ (y)
∂x i
∣ dy
tQ i=1
puisque pour 0 < t < 1, tQ ⊂ Q.
On en déduit que
|u − u(0)| 1
r N−1 ‖∇u‖ L p (Q) r N p ′ ∫ 1
0
Q
0
∫
dt
tQ
N∑
∂u
∣ (y)
dy
∂x i
∣ t N
i=1
∂u
∂x i
p ) 1
p
· |tQ|
1
p ′ (3.63)
t N p ′
N
t N dt = r1− p
1 − N ‖∇u‖ L p (Q) (3.64)
p
Par translation, cette inégalité reste vraie pour tout cube Q de côté r dont les côtés
sont parrallèles aux axes de coordonnées ; d’où
|u − u(x)| r1− N p
1 − N p
Finalement, grâce à l’inégalité triangulaire, on obtient
‖∇u‖ L p (Q) ∀x ∈ Q (3.65)
N
|u(x) − u(y)| 2r1− p
1 − N ‖∇u‖ L p (Q) ∀x, y ∈ Q (3.66)
p
Prenons maintenant x, y ∈ R N quelconques. Il existe un cube de côté r = 2|x − y|
contenant x et y. En posant α = 1 − N p , on obtient (3.60) pour u ∈ C∞ 0 (RN ). Pour
u ∈ W 1,p (R N ) quelconque, on procède par densité et en utilisant (3.66). Occuponsnous
maintenant de (3.59). Soient u ∈ C ∞ 0 (RN ), x ∈ R N et Q un cube de côté r = 1
contenant x. D’après (3.65), on a
où C ≡ 1
1− N p
|u(x)| |u| + C‖∇u‖ L p (Q) C‖u‖ W 1,p (Q) C‖u‖ W 1,p (R N )
Par conséquent,
‖u‖ L ∞ (R N ) C‖u‖ W 1,p (R N ) ∀u ∈ C ∞ 0 (RN ) (3.67)
On procède également par densité pour u ∈ W 1,p (R N ) quelconque.
Remarque 3.0.9. Il est très important de remarque que (3.60) nous montre ∀u ∈
W 1,p (R N ) il existe une fonction ũ ∈ C(R N ) t.q. ũ ∈ u. Autrement dit, on peut
associer un représentant continu à tout u ∈ W 1,p (R N ), pour p > N
Remarque 3.0.10. On déduit également de (3.59) que si u ∈ W 1,p (R N ) avec N <
p < ∞, alors
lim u(x) = 0 (3.68)
|x|−→∞
Preuve :
Il existe une suite ( )
u n ⊂ C
∞
0
(R N ) t.q. u n −→ u dans W 1,p (R N ). D’après (3.59), u
est également limite uniforme des u n dans R N .
29

Corolaire 3.0.7. Soit Ω un ouvert de classe C 1 de R N avec Γ = ∂Ω borné et
1 p ∞. Par conséquent,
si 1 p < N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L p∗ (Ω) où 1 p ∗ = 1 p − 1 N
si p = N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω) ∀q ∈ [p, ∞)
si p > N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L ∞ (Ω)
avec injections continues.
De plus, si p > N, on a ∀u ∈ W 1,p (Ω),
|u(x) − u(y)| C|x − y| α ‖u‖ W 1,p (Ω) pp x, y ∈ Ω (3.69)
avec α = 1 − N p
> 0 et C une constante qui dépend de p, N et Ω. En particulier,
W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω)
Preuve :
On utilise le théorème 3.0.16 de prolongement. On applique ensuite le corollaire
3.0.5, le corollaire 3.0.6 ou le théorème 3.0.18 suivant le cas souhaité. Puis on
conclut en utlisant que L p (R N ) ⊂ L p (Ω) ∀1 p ∞.
Théorème 3.0.19. Rellich - Kondrachov
Soit Ω un ouvert de classe C 1 de R N borné. Alors,
si p < N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [1, p ∗ ) où 1 p ∗ = 1 p − 1 N
si p = N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [p, ∞)
si p > N, alors W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω)
avec injections compactes.
Remarque 3.0.11. On remarque en particulier que
avec injection compacte ∀1 p ∞.
W 1,p (Ω) ⊂ L p (Ω) (3.70)
Preuve :
Tout d’abord, examinons le cas p > N. La compacité de l’injection découle de
30

(3.69) et du théorème d’Ascoli-Arzela.
Ensuite si p < N. On utilise le corolaire 2.0.2 avec S la boule unité de W 1,p (Ω).
Tout d’abord 2.16 :
Comme 1 q < p ∗ , ∃α ∈ (0, 1] t.q.
1
q = α 1 + 1 − α
p ∗
Soient ω ⊂⊂ Ω, u ∈ S , et |h| < dist(ω, Ω c ). Grâce à l’inégalité d’interpolation, on
a que
‖τ h u − u‖ L q (ω) ‖τ h u − u‖ α L 1 (ω) ‖τ hu − u‖ 1−α
(3.71)
L p∗ (ω)
Or, d’après la proposition 3.0.5, ‖τ h u − u‖ L 1 (ω) |h|‖∇u‖ L 1 (Ω). Par conséquent
‖τ h u − u‖ L q (ω) ( |h|‖∇u‖ L 1 (Ω)) α ( 2‖u‖L p ∗ (Ω)) 1−α
(3.72)
Or, par 3.0.7, ‖u‖ L p ∗ (Ω) C‖u‖ W 1,p (Ω) et par Hölder, ‖∇u‖ L 1 (Ω) ‖∇u‖ L p (Ω) |Ω| p′ et
donc
‖τ h u − u‖ L q (ω) C|h| α < ɛ (3.73)
pour |h| assez petit.
Maintenant 2.17 :
Soit u ∈ S . d’après l’inégalité de Hölder,
‖u‖ L q (Ω−ω) ‖u‖ L p ∗ (Ω−ω) |Ω − ω|1− q p ∗ |Ω − ω| 1− q p ∗ < ɛ (3.74)
Pour ω ⊂⊂ Ω convenablement choisi. Par conséquent, grâce à 2.0.2, on conclut
que S est relativement compacte dans L q (Ω), ∀q ∈ (1, p ∗ ].
Le cas p = N se déduit finalement comme limite p −→ N, p N.
Corolaire 3.0.8. Soient m 1 un entier et 1 p < ∞. On a :
si
1
p − m N > 0, alors Wm,p (R N ) ⊂ L q (R N ) où 1 q = 1 p − m N
si
1
p − m N = 0, alors Wm,p (R N ) ⊂ L q (R N ) ∀q ∈ [p, ∞)
si
1
p − m N < 0, alors Wm,p (R N ) ⊂ L ∞ (R N )
avec injections continues.
Preuve :
Ces résultats s’obtiennent par applications répétées de 3.0.5, 3.0.6 et 3.0.18. Par
exemple, nous montrons le cas m = 2 et 1 p − 2 N
> 0. Soit u ∈ W2,p (R N ). On
sait donc que ∇u ∈ { W 1,p (R N ) }N . Par conséquent, grâce à (3.39), u ∈ L q (R N ) et
∇u ∈ { L q (R N ) }N avec 1 q = 1 p − 1 N > 1 p − 2 N > 0. On sait donc que u ∈ W1,q (R N ), et
1
q − 1 N = 1 p − 2 N > 0 par hypothèse. Ainsi u ∈ L˜q (R N ) avec 1˜q = 1 q − 1 N = 1 p − 2 N
31

Définition 3.0.20. Etant donné 1 p < ∞, on définit
W 1,p
0 (Ω) ≡ C∞ 0 (Ω) dans W1,p (Ω) (3.75)
On le munit de la norme induite par W 1,p (Ω), qui lui donne une structure d’espace
de Banach séparable (proposition 3.0.4). De plus il est réflexif si p > 1.
Remarque 3.0.12. On constate que W 1,p
0 (RN ) = W 1,p (R N ), grâce à la densité de
C ∞ 0 (RN ) dans W 1,p (R N )
Lemme 3.0.12. Soit u ∈ W 1,p (I), 1 p < ∞ avec supp u ⊂ Ω. Alors u ∈ W 1,p
0 (Ω).
Preuve :
On fixe un ouvert ω t.q. supp u ⊂ ω ⊂⊂ Ω et on choisit α ∈ C ∞ 0 (ω) t.q. α |supp u ≡ 1.
Par conséquent, αu = u. D’autre part, ∃ ( u n
) ⊂ C
∞
0
(R N ) t.q. u n −→ u dans L p (Ω)
et ∇u n −→ ∇u dans L p (ω) N . Par conséquent, αu n −→ αu dans W 1,p (Ω). Or
( αun
) ⊂ C
∞
0
(Ω) et donc u = αu ∈ W 1,p
0 (Ω).
Théorème 3.0.21. Soit Ω de classe C 1 , et
u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C(Ω) avec 1 p < ∞
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. u ≡ 0 sur Γ ≡ ∂Ω
2. u ∈ W 1,p
0 (Ω)
Preuve :
(1) ⇒ (2)
Supposons tout d’abord supp u borné. On fixe une fonction G ∈ C 1 (R) t.q.
et
G(t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 si |t| 1
t si |t| 2
|G(t)| |t| , ∀t ∈ R
On pose ensuite u n := 1 n G(nu). Ainsi u n ∈ W 1,p (Ω), par le 3.0.12. D’autre part
supp u n ⊂
{
x ∈ Ω | |u(x)| 1 }
n
Par conséquent supp u n est un compact dans Ω. Par le lemme précédent, on voit
que u n ∈ W 1,p
0
(Ω). De plus, par le théorème de convergence dominée, on sait que
u n −→ u dans W 1,p (Ω). Par conséquent u ∈ W 1,p
0 (Ω).
Si supp u n’est pas borné, on utilise une suite tronquante.
(2) ⇒ (1)
32

Grâce à des cartes locales, on se ramène à : Soit u ∈ W 1,p (Q + ) ∩ C(Q + ) ; montrer
que u ≡ 0 sur Q 0 . Soit ( )
u n ⊂ C
∞
0
(Q + ) t.q. u n −→ u dans W 1,p (Q + ). On a, pour
(x ′ , x N ) ∈ Q + ∫ xN
|u n (x ′ , x N )|
∂u n
∣ (x ′ , t)
∂x N
∣ dt (3.76)
et donc, pour 0 < ɛ < 1,
∫ ∫
1
ɛ
∫
|u n (x ′ , x N )|dx ′ dx N
ɛ
|x ′ |

Par conséquent, u ∈ W 1,p (R N ) par 3.0.5.
(3) ⇒ (1)
On supposer Ω borné (si ce n’est pas le cas, on peut s’y ramener à l’aide d’une suite
tronquante). Par cartes locales et partition de l’unité, on se ramène au problème
suivant :
Soit u ∈ L p (Q + ). On suppose que la fonction
{ u(x) si x ∈ Q, xN > 0
u(x) :=
0 si x ∈ Q, x N < 0
appartient à W 1,p (Q). Il faut montrer que αu ∈ W 1,p
0 (Q +) ∀α ∈ C ∞ 0 (Q +). Soit
(
ρn
) ⊂ C
∞
0
(Q) une suite régularisante t.q.
supp ρ n ⊂
{
x ∈ R N |
Alors ρ n ∗ ( αu ) → αu dans W 1,p (R N ). D’autre part,
pour n assez grand. Ainsi
et donc
1
2n < x N < 1 }
n
supp ( ρ n ∗ αu ) ⊂ supp ρ n + supp ( αu ) ⊂ Q + (3.82)
ρ n ∗ ( αu ) ∈ C ∞ 0 (Q +)
αu ∈ W 1,p
0 (Q +) ∀α ∈ C0 ∞ (Q) (3.83)
Remarque 3.0.13. On voit que cette dernière proposition implique un raffinement
de 3.0.17 : Soit Ω un ouvert quelconque de R N et 1 p < N. Alors il existe C > 0
t.q. :
‖u‖ L p ∗ (Ω) C‖∇u‖ L p (Ω) ∀u ∈ W 1,p
0
(Ω) (3.84)
De plus, si Ω est borné, en se basant sur :
L p∗ (Ω) ⊂ L p (Ω), car 1 p < p ∗ < ∞ (3.85)
avec injection continue. (On peut consulter [ADA], p. 25). Par conséquent, ∃K > 0
t.q.
‖u‖ L p (Ω) K‖u‖ L p ∗ (Ω) ∀u ∈ W1,p
0
(Ω) (3.86)
On combine finalement (3.84) et (3.86) pour arriver à :
Corolaire 3.0.9. Inégalité de Poincaré
Soit Ω un ouvert borné de R N . Alors il existe une constante C > 0 t.q.
‖u‖ L p (Ω) C‖∇u‖ L p (Ω) ∀u ∈ W 1,p
0
(Ω) (3.87)
ie ‖∇u‖ L p (Ω) est une norme équivalente sur W 1,p
0 (Ω) à la norme ‖u‖ W 1,p (Ω)
Preuve :
Cela résulte de la remarque 3.0.13.
34

Définition 3.0.22. On désigne par W −1,p′ l’espace dual de W 1,p
0
(Ω) avec 1 p <
∞. Grâce au théorème de représentation de Riesz, on peut identifier L 2 et son dual.
Par conséquent, si Ω est borné, on a
Si Ω n’est pas borné, on a
W 1,p
0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ W −1,p′ si
W 1,p
0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ W −1,p′ si
2N
N + 2 p < ∞ (3.88)
2N
N + 2 p 2 (3.89)
Preuve :
On veut prouver que W 1,p
0 (Ω) ⊂ L2 (Ω). On utilise pour cela Rellich-Kondrachov.
La condition 2N
N+2 p est équivalente à 2 p∗ , avec p ∗ défini comme au théorème
3.0.19.
Proposition 3.0.8. Soit F ∈ W −1,p′ . Alors il existe f 0 , f 1 , . . . , f N ∈ L p′ tels que
et
∫
F(v) =
f 0 v +
N∑ ∫
i=1
}
‖F‖ = max
{‖ f i ‖ L p ′ (Ω) | 0 i N
∂v
f i ∀v ∈ W 1,p
∂x
0
(Ω) (3.90)
i
Preuve :
La preuve est analogue au cas N = 1. On renvoit à la proposition 2.0.3.
(3.91)
35

Bibliographie
[BRE] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle, Masson, Paris, 1987
[ADA] Robert Adams, Sobolev Spaces, Eilenberg - Bass, New York, 1970
36