Les TD - Université Jean Monnet

CITSE 2
Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne
TD Phénomènes vibratoires 2009-2010
N°1
Exercice 1
On considère un oscillateur mécanique amorti constitué d'une masse m attachée à l'extrémité
d'un ressort horizontal, l'autre extrémité étant fixe.
Le système est en oscillation et on mesure la position instantanée de la masse. Le graphe
suivant décrit cette évolution.
1. Quel est le régime d'évolution de l'oscillateur ? Donner l'équation différentielle faisant
intervenir le coefficient d'amortissement et la pulsation propre 0 à laquelle satisfait
x(t). Donner l'expression générale de x(t).
2. Déterminer graphiquement la pseudo-période d'oscillation que l'on notera T 1 .
1 x(t)
3. On rappelle que le décrément logarithmique est donné par ln .
n x(t nT
1)
Déterminez-le graphiquement, puis exprimez-le littéralement en fonction du
coefficient d'amortissement et de la pseudo-période.
4. Déduire les valeurs du coefficient d'amortissement, de la période propre et du facteur
de qualité.

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Exercice 2
Un piston de section S, de masse m, mobile sans frottement dans un cylindre, emprisonne au
repos un volume V 0 d’air sous la pression atmosphérique P 0 et à la température T 0 . On donne
une impulsion sur le piston initialement immobile. On néglige la viscosité de l’air.
1. Dans l’hypothèse où la masse d’air emprisonnée suit la loi d’évolution adiabatique
P.V =cte, établir différentielle en x(t) qui régit le mouvement du piston.
On prendra |V’|

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Ce courant est créé par le phénomène d’induction magnétique et son expression est donnée
Blv
par : i
R
La force F 2
agissant sur D est la somme d'une force F a
= F a u d'origine acoustique et d'une
force F
e
= F 2 2
Blv
e u = u d'origine électromagnétique ( u vecteur unitaire porté par l'axe
R
Ox de la bobine).
1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x.
Montrer que cette équation différentielle peut se mettre sous la forme :
m
x
f' x
kx
Donner f' en fonction de f, B, l et R.
2. Une onde sonore sinusoïdale est envoyée sur le microphone et crée une force
F a
= F a cos(t) u . Calculer, en régime permanent, la tension u R aux bornes du
conducteur ohmique, signal électrique fourni par le microphone. On écrira
u R = U RM cos(t + ').
3. Application numérique : m = 10 -3 kg ; k = 10 4 N.m -1 . Calculer la fréquence N o , pour
laquelle U RM est maximal.
F a
Exercice 4 : ensemble de poulies
Chercher la fréquence propre du système en admettant que le fil est inextensible et que les
poulies ont une masse nulle
k 1 k 1 x 1
x
x 1 T T
x 2
T
k 2
m x
m
Exercice 5 : cylindre lesté
Le système pendulaire ci-dessus roule
sans glisser sur un plan horizontal. Il est
constitué d’un cylindre de masse M, de
moment d’inertie J, relié rigidement par
une tige à une masse m supposée
ponctuelle. La masse de la tige étant
négligeable, établir, par dérivation de
l’énergie mécanique, l’équation
m
C
C’
O x O’
y
L
A’
A

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différentielle des petits mouvements
autour de la position d’équilibre.
Rappels :
L’énergie ménanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
L’énergie du système est la somme de l’énergie de la masse et de l’énergie du cylindre.
Pour le cylindre, l’énergie cinétique présente une composante liée à la translation du centre
d’inertie et une composante liée à la rotation du cylindre.
Exercice 6 : mesure du coefficient de viscosité d’un liquide
Une masse sphérique de centre C, de rayon R, de
masse volumique est suspendue en O par un fil de
masse négligeable de longueur L = OC. Elle est
complètement immergée dans de l’huile de masse
volumique ’. On supposera R

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On considère le mouvement d'un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement
sont inexistantes.
Le pendule est constitué d'un objet ponctuel M de masse m, accroché par l'intermédiaire d'un fil rigide
au point O fixe. On suppose le fil rigide sans masse. L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur
terrestre uniforme. On écarte le fil de sa position d'équilibre d'un angle q(t=0) = q 0 et on le lâche sans
vitesse initiale.
OM=l=1,0 m
Oscillations de faible amplitude :
1. Enoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel.
2. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'angle (t) en fonction du temps. Donner
l'expression de la pulsation 0 du mouvement.
3. On mesure pour 20 périodes une durée de 40,12 s. En déduire la valeur de g.
Cas général :
On se place dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par E m l'énergie
mécanique, E p l'énergie potentielle et E c l'énergie cinétique du pendule.
1. Donner les expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de m, g,l , et d/dt.
On prend l'origine de l'énergie potentielle pour = 0.
2. En déduire que l'équation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de coordonées (t)
et y = 1/ 0 d/dt peut se mettre sous la forme : y 2 + 2(1-cos) = 2E m / (mgl).
L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée ci-dessous :
3. Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à E m

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d2uc
différentielle : R duc
1 uc0
dt 2 . On donne successivement à la valeur de la résistance 3
L dt LC
valeurs différentes : 100 , 150 et 250
1. Déterminer dans chacun des cas le régime de fonctionnement de cet oscillateur. Dans quel(s)
cas observe-t-on des oscillations ? En déduire alors la pseudo-période. (3 pts)
2. Quelle valeur faut-il donner à R pour être en régime critique ? (2 pts)
Exercice 10 : Vibrations longitudinales d’une molécule diatomique
Deux particules M 1 et M 2 ponctuelles, de masses respectives m 1 et m 2 , sont reliées par un
ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 . Les deux masses mobiles sans frottement sur une
tige fixe horizontale, sont écartées de leur position d’équilibre puis relâchées sans vitesse ;
elles sont repérées à chaque instant t par les abscisses x 1 (t)= GM 1 et x 2 (t)= GM 2 où G désigne
le centre de masse des particules.
1- Si on pose X(t)=x 2 (t)-x 1 (t), établir l’équation différentielle du 2 nd ordre dont X(t) est
solution.
2- Exprimer en fonction de m 1 , m 2 et k, la période T avec laquelle les masses oscillent l’une
par rapport à l’autre.
3-Deux masses égales (m1=m2=m=0,1 Kg) couplées oscillent avec une période de 1s ;
calculer la raideur du ressort de couplage.
4-Ce système modélise les vibrations longitudinales d’une molécule d’oxyde de carbone CO
dont la longueur d’onde associée à la fréquence propre f 0 est 0 = 4,6 µm. Calculer f 0 et le k de
la liaison atomique C-O avec m C =2.10 -26 kg et m O =2,67.10 -26 kg.
Exercice 11 : Oscillations forcées d’un système couplé à 2 ressorts
On considère les mouvements de translation verticale de M 1 et de M 2 définis par leurs
abscisses x 1 (t) et x 2 (t) repérées par rapport à leur position d’équilibre x 10 et x 20 La masse M 2
est soumise à une force excitatrice sinusoïdale (régime harmonique) de pulsation w réglable :
F(t)=F 0 cos(t)
1- Ecrire le système d’équations différentielles du second ordre en x 1 et
x 2 2- En régime forcé, une solution particulière de ce système d’équations
k
est de la forme (en notation complexe)
j t 1
x1 A1e
j t 2
, x2 A2e
a- pour quelle valeur 0 de la masse M 2
demeure-t-elle immobile?
M m
k
b-Pour quelles valeurs ’ et ’’ de , en fonction de 0 , le système est-il
en résonance d’amplitude?
3- Dans quels domaines de pulsations les masses vibrent-elles en phase et
en opposition de phase avec la force extérieure?
M
4- Tracer l’allure des graphes A 1 () et A 2 ()
m
Exercice 12 : Circuits L-C couplés par une inductance L 0 . Pulsations propres en
régime libre. Régime forcé
On considère deux circuits oscillants L-C identiques, couplé par une bobine d’inductance
propre L 0 . On négligera les résistances électriques.

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A- régime libre
1-Etablir le système de 2 équations différentielles vérifiées par les tensions u 1 et u 2 aux bornes
de chacun des deux condensateurs.
2-Montrer que tout état de ce système est la superposition de 2 modes propres d’oscillations
électriques sinusoïdales dont on exprimera les pulsations ’ et ’’ en fonction de L, C et L 0 .
3-Interpréter physiquement les expressions des pulsations ’ et ’’ des modes propres de ce
système couplé.
B-Régime forcé
Le circuit précédent est alimenté par un générateur BF de fém e 1 =E 1 exp(j t) de pulsation
réglable et d’impédance négligeable. On notera u 1 =V 1 exp(j t) et u 2 =V 2 exp(j t) les ddp
complexes aux bornes de chacun des 2 condensateurs, en régime forcé.
1- Calculer les amplitudes complexes V 1 et V 2 de ces tensions en régime forcé, en fonction de
la pulsation du générateur.
2- Calculer les pulsations de résonance et d’antirésonance de la ddp u 1
3- Allure des graphes V 1 () et V 2 ().
Exercice 13 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle. Régime libre. Régime
forcé
A- Régime libre
Soient 2 circuits LC identiques, de résistance négligeable. Le couplage par inductance
mutuelle est caractérisé par le coefficient de couplage k=M/L. On posera 0²=1/LC.
1- Ecrire les 2 équations différentielles vérifiées par les charges q 1 et q 2 des condensateurs des
circuits 1 et 2
2- En déduire les équations différentielles vérifiées par la somme S= q 1 + q 2 et la différence
D= q 1 - q 2. Déterminer les pulsations propres ’ et ’’ en fonction de 0 et k.
3- On admet le couplage lâche (k

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4- Tracer l’allure des graphes q 1 (t) et q 2 (t) . Donner l’expression de la pseudo-période T, de la
période des battements T B et de la période T A pour l’amplitude.
B- Régime forcé
Le circuit primaire est maintenant alimenté par un générateur sinusoidal de fém e 1 =E 1 cos(wt).
On étudie le circuit en régime forcé permanent.
1- Exprimer en régime forcé les charges q 1 (t) et q 2 (t) sous la forme : q(t) 1
Q 1
cost,
q(t)
2
Q2
cost, où on déterminera les amplitudes Q 1 () et Q 2 () en fonction de E 1 , L, 0
et k.
2-Déterminer la pulsation d’antirésonance pour laquelle Q 1 ( A ) = 0 ; en déduire Q 2 ( A ).
3- Tracer l’allure des graphes |Q 1 ()| et |Q 2 ()|.

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Exercice 14 : Pendule double
O
x
l
A
T A
2m
l
m
B
y
OA et AB : tiges rigides de masse négligeable de
longueur l. On néglige les frottements. T A module de
la force que la tige OA exerce sur la tige AB. G :
centre de masse de la tige AB.
1- Ecrire le moment cinétique de la tige AB (avec les
masses m et 2m aux extrémités B et A respectivement)
en G.
2- Appliquer le théorème du moment cinétique en G et
déterminer une des équations différentielles régissant
le mouvement de la tige.
3- Trouver deux autres équations différentielles en
appliquant le principe fondamental de la dynamique à
la tige AB.
4- On suppose que le pendule n’est soumis qu’à de
petites oscillations. Faire un DL au premier ordre des 3
équations du mouvement et en déduire 2 équations
différentielles du 2 nd
intervenir le paramètre 0 =(g/l) 0.5 .
5- Quelles sont les pulsations propres de ce pendule double ?
6- Exprimer l’énergie mécanique.
Exercice 15 : Chaine de pendules
Considérons les trois pendules représentés cicontre,
de longueur L. A l’équilibre ces trois
pendules sont verticaux, les trois masses sont
équidistantes sur une même horizontale et les
ressorts ont leur longueur naturelle.
On pose 2 0 =k/m et 2 0 =g/l
1- Ecrire l’énergie cinétique et l’énergie
potentielle du système et utiliser les equations
de Lagrange-Euler pour déterminer le système
d’équations différentielles vérifiées par les
élongations angulaires i pour de petites
oscillations.
2- Déterminer les pulsations propres de ce système.
ordre en et en faisant
3- Déterminer les matrices de raideur et d’inertie du système. Et montrer que E
1 T
et que E p
K
2
2m
4- Déterminer les rapports des amplitudes angulaires
1m
propres.
et
1
2 3
k
k
m m m
3m
1m
1
2
T
c M
pour chacun des modes

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Exercice 16 : Corde plombée en oscillations transversales
On dispose sur un plan horizontal parfaitement lisse N plombs (ponctuels) de même masse m,
reliés entre eux et reliés aux points fixes A et B par des cordes élastiques de masse
F
négligeable de même longueur l, tendues avec une tension F. On posera 0
et on
ml
notera y 1 , y 2 ,…,y n les eptits déplacements transversaux des plombs par rapport à leur position
d’équilibre sur la droite AB.
1- Corde à N=2 plombs
1.a- Etablir les 2 équations différentielles en y 1 (t) et y 2 (t).
1.b- Calculer les pulsations propres d’oscillation en fonction de
0
.
2- Corde à N=3 plombs
2.a- Etablir les 3 équations différentielles en y 1 (t), y 2 (t) et y 3 (t).
2.b- Calculer les pulsations propres d’oscillation en fonction de
0
.
3- Corde à N plombs
3.a- Ecrire l’équation différentielle qui lie le déplacement du n ème
déplacements transversaux y n-1 , y n+1 des plombs voisins.
plomb (1nN) aux

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3.b- On cherche des solutions du type y A cos t
pulsation
. On posera
n
n
, où tous les plombs vibrent à la même
²
cos 1 . 2
2
0
N
On notera le déterminant d’ordre N des coefficients A n . Déterminer, d’après les questions
1 et 2, les déterminants 1 , 2 et 3 en fonction du seul paramètre , sous forme d’un rapport
de 2 sinus. En déduire, par récurrence, l’expression du déterminant
N
en fonction de N et .
3.c- En déduire que les pulsations propres p de la corde à N plombs équidistants sont
p
données par : p
20.sin où p est un entier compris entre 1 et N.
2N
1
Exercice 17 : modes propres de torsion et oscillations forcées d’un système de
trois disques couplés
Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O et O’,
sont fixés 3 disques (D 1 ), (D 2 ) et (D 3 ) de centres respectifs O 1 , O 2 et O 3 et de même moment
d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera par 1 (t), 2 (t) et 3 (t), les angles
de rotation de chacun des 3 disques par rapport à leur position de repos.
Les quatre parties de l’arbre OO 1 , O 1 O 2 , O 2 O 3 et O 3 O ’ de l’arbre ont même constante de
C
torsion C. On posera 0
.
J
1- Régime libre. Modes propres.
1.a- Ecrire les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles 1 (t), 2 (t) et
3 (t).
1.b- En déduire les trois pulsations propres , ’, ’’ de ce système en fonction de . 0
1.c- Déterminer pour chacun des 3 modes propres les amplitudes angulaires des disques (D 2 )
et (D 3 ) si l’amplitude angulaire de (D 1 ) est 10 =1 radian.
1.d- Calculer l’énergie macanique totale E de cette chaîne de 3 disques, pour chacun des
modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du disque (D 1 ).
2- Régime forcé. Résonance.
On applique au seul disque (D 1 ) un couple moteur sinusoïdal de moment
pulsation réglable et d’amplitude .
1
2
.cos
1 t
, de
1.a- Etablir en fonction du paramètre fréquentiel X
, les amplitudes angulaires A 1 , A 2
0
et A 3 de chacun des disques en régime forcé.
1.b- pour quelles valeurs de X ce système est-il en résonance ?