Option Magnétisme Travaux dirigés N°2 1) Ecran magnétique ...

Maîtrise 1 de physique et ingénierie: Option Magnétisme
Travaux dirigés N°2
1) Ecran magnétique cylindrique (cf. TP SQUID)
On veut calculer l'effet d'écrantage d'un cylindre, en matériau de
grande perméabilité
r
relative µ r , sur une induction magnétique
uniforme B (attention, très calculatoire à partir de la question c).
a) Rappeler l'effet sur les lignes de champ de l'induction B d'un fort
contraste de perméabilité à l'interface de deux milieux. En déduire une
représentation schématiquement de l'effet de l'écran sur les lignes de
€
champ de l'induction B.
b) On suppose le matériau parfaitement linéaire, homogène et
isotrope. Dans l'approche coulombienne, que peut-on en conclure
quant aux densités volumiques de charges ? Quelle équation doit vérifier le potentiel
coulombien dans les trois zones (r < R i , R i < r < R e , r > R e ).
c) Montrer qu'un potentiel coulombien de forme V (r,ϕ) = (α r + β /r)cosϕ satisfait à cette
r
équation (ϕ est l'angle entre la direction de B et le rayon r repérant le point considéré).
d) Exprimer les densités surfaciques de charges magnétiques qui en découlent sur les faces
intérieures et extérieures du cylindre. Que € peut-on en conclure quant au champ pour r < R i ?
e) En appliquant des conditions de € passage aux € rayons R i et R e , identifier les constantes α, β
des trois régions. Retrouver ainsi le facteur d'écrantage : τ = 1/[1+ (µ r −1)2 (1− R i 2
4µ
2 r R )].
e
2) Etude du solénoïde épais
On désire produire un champ au
moyen d'un solénoïde constitué par €
l'enroulement d'un seul fil de cuivre
de diamètre d. Ce diamètre sera
considéré comme petit par rapport
aux autres dimensions L, D i et D e du
système. Ce fil est bobiné sur un
mandrin dont les dimensions sont fixées par des impératifs pratiques.
Pour les applications numériques : L = 15 cm, D i = 3 cm, D e = 5 cm, d = 0,4 mm
résistivité du cuivre ρ = 1,8 10 -8 Ω.m à 300 K.
a) Exprimer le champ produit sur l'axe du solénoïde, en supposant qu'il existe une densité de
courant circulaire, d'amplitude uniforme j, sur l'ensemble de l'espace dévolu au bobinage. On
pourra utiliser le résultat de l'exercice 3/TD 1. On rappelle que la primitive de 1/ 1+ x 2 est
arcsh(x).
b) En réalité, le bobinage ne peut assurer un remplissage continu de l'espace. La figure montre
l'exemple d'un bobinage formant un réseau carré. En négligeant l'épaisseur d'isolant entourant
le fil, calculer le taux de remplissage τ (surfacique) pour un réseau carré
€
et pour un réseau
hexagonal. Corriger en conséquence l'expression du champ en y faisant apparaître le courant I
au lieu de la densité j.
c) Calculer la résistance du bobinage (indication : passer par le volume occupé). En déduire la
puissance P dissipée par effet Joule. L'exprimer aussi en fonction du champ produit au centre
du solénoïde. Calculer I, P et la tension V correspondant à un champ de 0,1 T (au centre) pour
un remplissage hexagonal.
O
B
Re
Ri

d) On dispose d'une source continue (max. : 8 A - 40 V) pour alimenter le solénoïde. Faire un
schéma V-I, où l'on représentera la caractéristique du solénoïde et une courbe de puissance
dissipée constante. En supposant que la puissance dissipée maximale correspond au champ de
0,1 T, entre quelles valeurs extrêmes doit-on choisir le diamètre du fil ?
3) Mesure de la susceptibilité magnétique
Pour réaliser des mesures de susceptibilité, on peut utiliser un dispositif (figure ci-contre)
constitué de deux systèmes de bobines. Une bobine d'excitation n°1, de longueur très
supérieure
r
à son rayon, parcourue par un courant I et comportant ρ spires/m. Elle génère un
champ H 0 dans lequel sont placées deux bobines identiques, n°2 et n°3. Ces deux bobines
comportent chacune N spires de section S et sont montées en série-opposition. L'une d'entre
elles enferme l'échantillon homogène, de susceptibilité magnétique
χ, de forme ellipsoïdale, de volume V et de coefficient de champ
€
démagnétisant n selon H r
Mesure
0. On considèrera que les dimensions de
l'échantillon sont faibles par rapport à celles des bobines de
H
détection.
a) Exprimer M r
, H r
et B r
0
r
au sein de l'échantillon en fonction de χ,
H 0 et n.
r r
3
Bobines
r B
b) On appelle g 2 = 2 r B
et g 3 = 3
de détection
les facteurs géométriques de
I 2 I
r 3
couplage entre le moment m de l'échantillon et, respectivement, les
r r
Echantillon
bobines 2 et 3. Exprimer, en fonction de I, ρ, n, χ, g 2 et g 3 le flux
2
magnétique capté par les enroulements (2+3)
€ €
c) Le courant I est
€
de forme sinusoïdale I(t) = I 0 cos(ωt). Exprimer,
r r
en fonction de ρ, I 0 , n, g 2 , g 3 et χ, l'amplitude € e€
0 de la f.e.m. qui se Solénoïde d'excitation 1
développe sur l'enroulement de détection (2+3).
d) On souhaite vérifier une loi de Curie χ (T ) = C /T en utilisant le dispositif en température
variable. Donner l'allure des courbes e
€ €
0 (T) et 1/e 0 (T) telles que l'on peut les attendre si la loi
de Curie est parfaitement respectée. On précisera le lieu de la divergence ou de la nullité de
e 0 (T) et 1/e 0 (T).
€
e) On envisage maintenant une loi de Curie-Weiss χ (T ) = C /(T −T C ) pour un système
s'ordonnant ferromagnétiquement à T = T C . Représenter e 0 (T) et 1/e 0 (T) sans oublier les
températures inférieures à T C . En quoi le coefficient de champ démagnétisant affecte-t-il le
tracé de 1/e 0 (T) par rapport à celui de 1/χ ?
€
4) Magnétomètre à échantillon vibrant
Le dispositif, dont on utilise une variante en TP, emploie un système de bobines d'excitationdétection
semblable à celui de l'ex. 3. Cependant le champ appliqué est ici statique et c'est
l'échantillon qui évolue verticalement selon z(t) = a 0 cos(ωt).
r
a) Justifier que flux capté par le système de bobines de détection, dû au moment m , puisse
s'écrire Φ = g r ( z ). r r
m où g (z) est un facteur géométrique.
b) Montrer que pour une faible amplitude a 0 la tension détectée est :
e( t ) =ω a €
0 sin(ωt ) dr g ⎞ r
⎟ m
€
€ dz ⎠ z=0
c) Sans calcul, définir la position z = 0 et l'écart des bobines optimaux.
€