Pendules couplés

Travaux pratiques débutants TPD Expérience N o 6
Pendules couplés
Introduction
Assistant responsable
Corsin Battaglia (209)
10 octobre 2007
1 Résumé de l’expérience
Cette expérience est divisée en trois parties :
1. Comparaison de la période expérimentale d’un pendule seul à la valeur
théorique. Le calcul de la période fait intervenir la notion de moment
d’inertie et le théorème de Steiner.
2. Mesure des fréquences des pendules couplés en mode symétrique et antisymétrique
et détermination de la fréquence de battement par calcul. Dans
une deuxième partie, on mesure la fréquence de battement directement et
compare cette valeur au résultat précédent.
3. Mesure de la constante de rappel du ressort entre les deux pendules par
une méthode statique et une méthode dynamique.
2 Théorie
2.1 Pendule simple
Un pendule simple est constitué d’une masse m qui peut osciller librement
sous l’effet de son poids −m⃗g autour d’un axe. La distance entre le centre de
masse du pendule et l’axe de rotation est denoté par l. L’équation du mouvement
se détermine via le théorème du moment cinétique :
d ⃗ L
dt = ∑ ⃗ M (1)
où ⃗ L ≡ ⃗ l ∧ ⃗p est le moment cinétique, et ⃗ M ≡ ⃗ l ∧ ⃗ F le moment de force. En
regardant le dessin, on voit que
⃗M ≡ ⃗ l ∧ ⃗ F = − ⃗ l ∧ m⃗g = −mgl sin φê ⊥ (2)
1

ê ⊥ étant un vecteur de longueur 1, perpendiculaire à ⃗ l et ⃗ F .
l
φ
v
m
-mg
Fig. 1 – Pendule simple
En plus, puisque ⃗ l est perpendiculaire à ⃗v et v = l ˙φ
A l’aide de l’équation (1), on trouve
⃗L ≡ ⃗ l ∧ ⃗p = ⃗ l ∧ m⃗v = ml 2 ˙φê⊥ (3)
Θ ¨φ = −mglφ avec Θ = ml 2 (4)
où on a utilisé l’approximation sin φ ≈ φ, valable pour des petits angles. Θ
s’appelle le moment d’inertie. La résolution de l’équation du mouvement (4)
donne
√
mgl
φ(t) = A sin(ωt + δ) avec ω =
(5)
Θ
Les constantes A et δ se déterminent à l’aide des conditions intiales. La période
est donné par
√
T ≡ 2π ω = 2π Θ
(6)
mgl
2.1.1 Moment d’inertie et théorème de Steiner
L’expression donnée pour Θ dans l’équation (4) n’est valable que pour un
pendule formé par une masse ponctuelle (pendule mathématique). Dans le cas
où la masse a une certaine extension spatiale (pendule physique), il faut tenir
compte de sa géometrie. Dans notre cas, le pendule est formé par un cylindre
creux attaché à une tige métallique, dont la masse n’est plus négligeable. Donc
le centre de masse ne se trouve pas au centre du cylindre creux ! En plus, il
faut tenir compte de la contribution de la tige au moment d’inertie total du
2

pendule. Dans le cas général, l’expression de Θ donnée dans l’équation (4) doit
être modifiée.
∫
Θ = r 2 dm (7)
corps
Ici, r est la distance entre un élément de masse dm et l’axe de rotation.
r
dm
Fig. 2 – Illustration de la relation (7) définissant le moment d’inertie.
Z Il est important de comprendre que le moment d’inertie dépend du choix
de l’axe de rotation.
Dans la pratique, il s’avère souvent plus facile de calculer le moment d’inertie
Θ CM par rapport à un axe qui passe par le centre de masse CM d’un corps. Pour
déterminer ensuite le moment d’inertie par rapport à un autre axe, parallèle au
premier, le théorème de Steiner s’applique :
Θ = Θ CM + ml 2 (8)
où m est la masse totale du corps en rotation et l est la distance entre le centre
de masse et l’axe de rotation. Θ CM est le moment d’inertie par rapport à un axe
passant par le CM, Θ est le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation
qui nous intéresse. Lorsque ce dernier passe le CM, l = 0 et donc Θ = Θ CM ,
comme il faut.
3

2.2 Pendules couplés
2.2.1 Equations du mouvement
asinφ 2
asinφ 1
a
k∆x
a
-k∆x
l
l
φ 2
-mg
m
v 1
v 2
m
φ 1
-mg
Fig. 3 – Pendules couplés
Considérons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de
constante de rappel k à une distance a de l’axe de rotation. Pour déterminer
les équations du mouvement pour les deux pendules, on utilise de nouveau le
théorème du moment cinétique (1). Pour le pendule simple considéré dans le
paragraphe précédent, il y avait seulement un moment de force dû au poids
du pendule. Le ressort entre les deux pendules ajoute un moment de force
supplémentaire. Avant de calculer ce moment de force, on doit déterminer la
force due au ressort. La force d’un ressort est proportionnelle à l’élongation ∆x
du ressort par rapport à sa longueur d’équilibre.
⃗F = −k∆⃗x (9)
∆x = ||∆⃗x|| s’obtient par des considérations géométriques (cf. dessin).
∆x = (sin φ 1 − sin φ 2 )a ≈ (φ 1 − φ 2 )a (10)
Le moment de force supplémentaire pour le pendule 1 vaut
⃗M = ⃗a ∧ ⃗ F = aF sin(φ 1 + 90 o )ê ⊥ = aF cos φ 1 ê ⊥ ≈ aF ê ⊥ = −ka 2 (φ 1 − φ 2 )ê z
(11)
où on a utilisé l’approximation cos φ ≈ 1, valable pour des petits angles. Les
équations du mouvement sont donc
Θ ¨φ 1 = −mglφ 1 − ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (12)
4

Θ ¨φ 2 = −mglφ 2 + ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (13)
Z Remarquer que le moment de force dû au couplage a des signes opposés
pour le pendule 1 et pour le pendule 2.
Les équations (12) et (13) forment un système d’équations dites couplées, puisque
φ 1 et φ 2 apparaissent dans chacun de ces deux equations. Pour découpler ces
équations on ajoute et on soustrait l’équation (13) de (12) et on obtient
Θ( ¨φ 1 + ¨φ 2 ) = −mgl(φ 1 + φ 2 ) (14)
Θ( ¨φ 1 − ¨φ 2 ) = −(mgl + 2ka 2 )(φ 1 − φ 2 ) (15)
Par le changement de variable ϕ 1 = φ 1 + φ 2 et ϕ 2 = φ 1 − φ 2 , on arrive à deux
équations qui ne mélangent plus ϕ 1 et ϕ 2 ,
et dont les solutions sont données par
Θ ¨ϕ 1 = −mglϕ 1 (16)
Θ ¨ϕ 2 = −(mgl + 2ka 2 )ϕ 2 (17)
ϕ 1 (t) = A 1 cos(ω 1 + δ 1 ) avec ω =
√
mgl
Θ
(18)
√
mgl + 2ka
2
ϕ 2 (t) = A 2 cos(ω 2 + δ 2 ) avec ω =
(19)
Θ
A 1 , A 2 , δ 1 et δ 2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales. La
solution de l’équation du mouvement pour le pendule 1 et 2 est donc de la forme
2.2.2 Conditions initiales
φ 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + δ 1 ) − A 2 cos(ω 2 t + δ 2 ) (20)
φ 2 (t) = A 1 cos(ω 1 t + δ 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + δ 2 ) (21)
On distingue trois types fondamentaux d’oscillations.
Oscillations symétriques Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 2 (0) = φ 0 et
˙φ 1 = ˙φ 2 = 0
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = φ 0 , A 2 = 0, δ 1 = 0, δ 2
indéterminé
Solution : φ 1 (t) = φ 2 (t) = φ 0 cos(ω 1 t)
Il s’agit d’une oscillations à une seule fréquence. Le couplage ne joue aucun
rôle, puisque le ressort reste toujours dans le même état de tension. Il est alors
naturel qu’on retrouve la période du pendule simple.
T ω1
= 2π
ω 1
= 2π
√
Θ
mgl
(22)
5

T ω1
4
φ 1
[ ]
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
t [s]
φ 2
[ ]
4
2
0
-2
-4
T ω1
0
2
4
6
8
10
t [s]
Fig. 4 – Oscillations symétriques
Oscillations asymétriques Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 0 , φ 2 (0) = −φ 0
et ˙φ 1 = ˙φ 2 = 0
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = 0, A 2 = φ 0 , δ 1 indéterminé,
δ 2 = 0
Solution : φ 1 (t) = −φ 2 (t) = φ 0 cos(ω 2 t)
Il s’agit de nouveau d’une oscillation à une seule fréquence, mais le couplage
entre les deux pendules résulte en une diminuation de la période (équivalent à
une augmentation de la fréquence).
√
T ω2 = 2π
Θ
= 2π
ω 2 mgl + 2ka 2 (23)
6

T ω2
4
2
φ 1
[ ]
0
-2
-4
0
2
4
t [s]
6
8
10
T ω2
4
2
φ 2
[ ]
0
-2
-4
0
2
4
t [s]
6
8
10
Fig. 5 – Oscillations asymétriques
Oscillations avec battements Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 0 , φ 2 (0) = 0
et ˙φ 1 = ˙φ 2 = 0
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = A 2 = φ 0 /2, δ 1 = δ 2 = 0
Solution : En utilisant des relations trigonométriques des tables on obtient
φ 1 (t) = φ 0 cos( ω 2 − ω 1
2
t) cos( ω 2 + ω 1
t) (24)
2
φ 2 (t) = φ 0 sin( ω 2 − ω 1
t) sin( ω 2 + ω 1
t) (25)
2
2
Si le moment de force dû au couplage est faible vis-à-vis du moment de force
dû au poids, alors ka 2 ≪ mgl, et on voit, d’après (22) et (23), que ω 1 est voisin
de ω 2 , c-à-d ω 2 − ω 1 ≪ ω 2 + ω 1 . Il s’ensuit que les fonctions sin( ω 2−ω 1
2
t) et
cos( ω 2−ω 1
2
t) varient lentement par rapport à sin( ω 2+ω 1
2
t) et cos( ω 2+ω 1
2
t).
7

τ
T b
4
2
φ 1
[ ]
0
-2
-4
0
τ
2
4
t [s]
6
8
10
T b
4
2
φ 2
[ ]
0
-2
-4
0
2
4
t [s]
6
8
10
Fig. 6 – Oscillations avec battements
Z On observe que l’amplitude d’un des pendules, variant à la fréquence
ω 2+ω 1
2
, est modulée par la faible fréquence ω2−ω1
2
. Le déphasage de π 2 entre
le sinus et le cosinus traduit les battements entre les deux pendules : lorsque
un pendule a son amplitude maximale, l’autre est arrêté. L’énergie mécanique
passe progressivement à chaque oscillation d’un des pendules sur l’autre par
l’intermédiaire du ressort de couplage.
La période d’oscillation τ vaut
τ =
2π
ω 2+ω 1
2
= 2T ω 1
T ω2
T ω1 + T ω2
(26)
et la période de battement T b (qui correspond au temps compris entre trois
arrêts consécutifs du même pendule)
T b =
2π
ω 2 −ω 1
2
= 2T ω 1
T ω2
T ω1 − T ω2
(27)
8

2.2.3 Détermination de la constante de rappel k du ressort
Méthode dynamique On peut déterminer la constante de rappel k du ressort
en mesurant les périodes T ω1 et T ω2 des pendules couplés.
k = mgl ( T
2 )
ω1
2a 2 Tω 2 − 1
2
(28)
Cette égalité peut être vérifiée en substituant les expressions (22) et (23) pour
T ω1 et T ω2 .
Méthode statique La méthode consiste à maintenir le deuxième pendule
dans la position φ 2 , pendant qu’on mesure la deviation φ 1 du pendule 1. Dans
le cas statique l’accélération angulaire ¨φ 1 = ¨φ 2 = 0. De l’équation (12), on tire
alors
0 = −mglφ 1 − ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (29)
d’où
3 Manipulations
k = mgl
a 2 φ 1
φ 2 − φ 1
(30)
Pour ne pas endommager les paliers de suspension des pendules, il faut éviter
toute sollicitation du pendule hors de son plan d’oscillation. Les pendules restent
suspendus pendant la mesure des différentes dimensions. Dans toutes les
mesures, on veillera à ce que les amplitudes soient suffisamment faibles pour
pouvoir utiliser l’approximation sin φ ≈ tan φ ≈ φ (φ ≤ 5 o ).
3.1 Exercice 1 : Pendule seul
Décrocher le ressort sans enlever les bagues de fixation dont l’influence est
négligeable.
Mesure Mesurer la période d’oscillation du pendule seul en prenant 3 mesures
à 50 périodes. Puis calculer la période moyenne ¯T exp .
Z Calculer la période théorique T th et comparer avec le résultat expérimental
¯T exp .
Calcul de T th Calculer le moment d’inertie Θ tot du pendule en tenant compte
du cylindre creux (il ne faut pas oublier qu’il est creux !) et de la tige métallique.
Pour un cylindre de rayon r et de hauteur h, le moment d’inertie par rapport à
un axe passant par le centre de masse CM ( !) et perpendiculaire à son axe de
révolution est
Θ = m 12 (3r2 + h 2 ) (31)
9

Appliquer le théorème de Steiner séparément au cylindre creux et à la tige
métallique. Sommer les deux moments d’inertie partiels pour obtenir le moment
d’inertie total Θ tot du pendule.
m c
ε
m t
l t
CM t
CM c
l
Fig. 7 – Schéma pour le calcul de la longueur réduite du pendule (équation
(33).
La période du pendule s’obtient à l’aide de l’équation (6).
√
Θ tot
T = 2π
mgl
(32)
où m est la masse totale ( !) du pendule. La distance l, appelée la longueur
réduite, entre l’axe de rotation et le centre de masse du pendule entier, i.e.
cylindre et tige, est donnée par
l = m cl ′ + m t
l t2
m c + m t
+ ɛ (33)
Z Ce calcul peut se faire déjà avant la séance des TP. En cas de questions
n’hésiter pas à contacter un assistant.
3.2 Exercice 2 : Pendules couplés
Ajuster les deux cylindres de façon à ce que les deux pendules aient la même
période. Fixer le ressort de couplage à la même distance de l’axe de rotation sur
les deux pendules (a=20 cm). La distance horizontale entre les deux pendules
doit être suffisante pour que le ressort ait toujours une certaine tension, i.e. la
position au repos des pendules n’est pas la verticale 1 .
1 Lorsque on tient compte de cette déviation, on obtient néanmoins les mêmes équations
de mouvements des pendules couplées (12) et (13).
10

Mode symétrique et antisymétrique Mesurer la période d’oscillation symétrique
T ω1 et antisymétrique T ω2 des pendules couplés en prenant 3 mesures à 50
périodes. Puis calculer la période moyenne ¯T ω1 et ¯T ω2 .
Z A l’aide des équations (26) et (27) de l’introduction, calculer τ calc et T b,calc .
Oscillations avec battements Mesurer la période τ, en prenant 4 mesures
à 6 périodes bien visibles entre deux arrêts successifs du même pendule. Puis
calculer la période moyenne ¯τ. Mesurer la période de battement ¯T b en prenant
4 mesures, puis en les moyennant.
Z Comparer ¯τ et ¯T b avec τ calc et T b,calc .
3.3 Exercice 3 : Constante de rappel du ressort
Méthode statique Ecarter le pendule à gauche d’un angle φ 2 et lire l’écartement
φ 1 du pendule à droite. Bien ajuster le zéro des échelles aux positions d’équilibre
des pendules. Reporter φ 2 − φ 1 en fonction de φ 1 , i.e. φ 2 − φ 1 = f(φ 1 ).
Z A partir de la pente et à l’aide de l’équation (30) calculer k stat .
Méthode dynamique Utiliser les périodes des modes symétriques T ω1 et antisymétriques
T ω2 déterminées auparavant.
Z Utiliser la relation (28) de l’introduction pour calculer k dyn et comparer
le résultat avec k stat .
4 Présentation à la fin de la séance
1. Feuille de mesure remplie
2. Calcul du moment d’inertie Θ tot et T th
3. Comparaison entre T th et T exp pour le pendule simple
4. Comparaison de ¯τ et ¯T b avec τ calc et T b,calc
5. Graphe de φ 2 − φ 1 = f(φ 1 )
6. Comparaison entre k stat et k dyn avec calcul d’erreur
11