Pendules couplés
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Travaux pratiques débutants TPD Expérience N o 6<br />
<strong>Pendules</strong> couplés<br />
Introduction<br />
Assistant responsable<br />
Corsin Battaglia (209)<br />
10 octobre 2007<br />
1 Résumé de l’expérience<br />
Cette expérience est divisée en trois parties :<br />
1. Comparaison de la période expérimentale d’un pendule seul à la valeur<br />
théorique. Le calcul de la période fait intervenir la notion de moment<br />
d’inertie et le théorème de Steiner.<br />
2. Mesure des fréquences des pendules couplés en mode symétrique et antisymétrique<br />
et détermination de la fréquence de battement par calcul. Dans<br />
une deuxième partie, on mesure la fréquence de battement directement et<br />
compare cette valeur au résultat précédent.<br />
3. Mesure de la constante de rappel du ressort entre les deux pendules par<br />
une méthode statique et une méthode dynamique.<br />
2 Théorie<br />
2.1 Pendule simple<br />
Un pendule simple est constitué d’une masse m qui peut osciller librement<br />
sous l’effet de son poids −m⃗g autour d’un axe. La distance entre le centre de<br />
masse du pendule et l’axe de rotation est denoté par l. L’équation du mouvement<br />
se détermine via le théorème du moment cinétique :<br />
d ⃗ L<br />
dt = ∑ ⃗ M (1)<br />
où ⃗ L ≡ ⃗ l ∧ ⃗p est le moment cinétique, et ⃗ M ≡ ⃗ l ∧ ⃗ F le moment de force. En<br />
regardant le dessin, on voit que<br />
⃗M ≡ ⃗ l ∧ ⃗ F = − ⃗ l ∧ m⃗g = −mgl sin φê ⊥ (2)<br />
1
ê ⊥ étant un vecteur de longueur 1, perpendiculaire à ⃗ l et ⃗ F .<br />
l<br />
φ<br />
v<br />
m<br />
-mg<br />
Fig. 1 – Pendule simple<br />
En plus, puisque ⃗ l est perpendiculaire à ⃗v et v = l ˙φ<br />
A l’aide de l’équation (1), on trouve<br />
⃗L ≡ ⃗ l ∧ ⃗p = ⃗ l ∧ m⃗v = ml 2 ˙φê⊥ (3)<br />
Θ ¨φ = −mglφ avec Θ = ml 2 (4)<br />
où on a utilisé l’approximation sin φ ≈ φ, valable pour des petits angles. Θ<br />
s’appelle le moment d’inertie. La résolution de l’équation du mouvement (4)<br />
donne<br />
√<br />
mgl<br />
φ(t) = A sin(ωt + δ) avec ω =<br />
(5)<br />
Θ<br />
Les constantes A et δ se déterminent à l’aide des conditions intiales. La période<br />
est donné par<br />
√<br />
T ≡ 2π ω = 2π Θ<br />
(6)<br />
mgl<br />
2.1.1 Moment d’inertie et théorème de Steiner<br />
L’expression donnée pour Θ dans l’équation (4) n’est valable que pour un<br />
pendule formé par une masse ponctuelle (pendule mathématique). Dans le cas<br />
où la masse a une certaine extension spatiale (pendule physique), il faut tenir<br />
compte de sa géometrie. Dans notre cas, le pendule est formé par un cylindre<br />
creux attaché à une tige métallique, dont la masse n’est plus négligeable. Donc<br />
le centre de masse ne se trouve pas au centre du cylindre creux ! En plus, il<br />
faut tenir compte de la contribution de la tige au moment d’inertie total du<br />
2
pendule. Dans le cas général, l’expression de Θ donnée dans l’équation (4) doit<br />
être modifiée.<br />
∫<br />
Θ = r 2 dm (7)<br />
corps<br />
Ici, r est la distance entre un élément de masse dm et l’axe de rotation.<br />
r<br />
dm<br />
Fig. 2 – Illustration de la relation (7) définissant le moment d’inertie.<br />
Z Il est important de comprendre que le moment d’inertie dépend du choix<br />
de l’axe de rotation.<br />
Dans la pratique, il s’avère souvent plus facile de calculer le moment d’inertie<br />
Θ CM par rapport à un axe qui passe par le centre de masse CM d’un corps. Pour<br />
déterminer ensuite le moment d’inertie par rapport à un autre axe, parallèle au<br />
premier, le théorème de Steiner s’applique :<br />
Θ = Θ CM + ml 2 (8)<br />
où m est la masse totale du corps en rotation et l est la distance entre le centre<br />
de masse et l’axe de rotation. Θ CM est le moment d’inertie par rapport à un axe<br />
passant par le CM, Θ est le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation<br />
qui nous intéresse. Lorsque ce dernier passe le CM, l = 0 et donc Θ = Θ CM ,<br />
comme il faut.<br />
3
2.2 <strong>Pendules</strong> couplés<br />
2.2.1 Equations du mouvement<br />
asinφ 2<br />
asinφ 1<br />
a<br />
k∆x<br />
a<br />
-k∆x<br />
l<br />
l<br />
φ 2<br />
-mg<br />
m<br />
v 1<br />
v 2<br />
m<br />
φ 1<br />
-mg<br />
Fig. 3 – <strong>Pendules</strong> couplés<br />
Considérons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de<br />
constante de rappel k à une distance a de l’axe de rotation. Pour déterminer<br />
les équations du mouvement pour les deux pendules, on utilise de nouveau le<br />
théorème du moment cinétique (1). Pour le pendule simple considéré dans le<br />
paragraphe précédent, il y avait seulement un moment de force dû au poids<br />
du pendule. Le ressort entre les deux pendules ajoute un moment de force<br />
supplémentaire. Avant de calculer ce moment de force, on doit déterminer la<br />
force due au ressort. La force d’un ressort est proportionnelle à l’élongation ∆x<br />
du ressort par rapport à sa longueur d’équilibre.<br />
⃗F = −k∆⃗x (9)<br />
∆x = ||∆⃗x|| s’obtient par des considérations géométriques (cf. dessin).<br />
∆x = (sin φ 1 − sin φ 2 )a ≈ (φ 1 − φ 2 )a (10)<br />
Le moment de force supplémentaire pour le pendule 1 vaut<br />
⃗M = ⃗a ∧ ⃗ F = aF sin(φ 1 + 90 o )ê ⊥ = aF cos φ 1 ê ⊥ ≈ aF ê ⊥ = −ka 2 (φ 1 − φ 2 )ê z<br />
(11)<br />
où on a utilisé l’approximation cos φ ≈ 1, valable pour des petits angles. Les<br />
équations du mouvement sont donc<br />
Θ ¨φ 1 = −mglφ 1 − ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (12)<br />
4
Θ ¨φ 2 = −mglφ 2 + ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (13)<br />
Z Remarquer que le moment de force dû au couplage a des signes opposés<br />
pour le pendule 1 et pour le pendule 2.<br />
Les équations (12) et (13) forment un système d’équations dites couplées, puisque<br />
φ 1 et φ 2 apparaissent dans chacun de ces deux equations. Pour découpler ces<br />
équations on ajoute et on soustrait l’équation (13) de (12) et on obtient<br />
Θ( ¨φ 1 + ¨φ 2 ) = −mgl(φ 1 + φ 2 ) (14)<br />
Θ( ¨φ 1 − ¨φ 2 ) = −(mgl + 2ka 2 )(φ 1 − φ 2 ) (15)<br />
Par le changement de variable ϕ 1 = φ 1 + φ 2 et ϕ 2 = φ 1 − φ 2 , on arrive à deux<br />
équations qui ne mélangent plus ϕ 1 et ϕ 2 ,<br />
et dont les solutions sont données par<br />
Θ ¨ϕ 1 = −mglϕ 1 (16)<br />
Θ ¨ϕ 2 = −(mgl + 2ka 2 )ϕ 2 (17)<br />
ϕ 1 (t) = A 1 cos(ω 1 + δ 1 ) avec ω =<br />
√<br />
mgl<br />
Θ<br />
(18)<br />
√<br />
mgl + 2ka<br />
2<br />
ϕ 2 (t) = A 2 cos(ω 2 + δ 2 ) avec ω =<br />
(19)<br />
Θ<br />
A 1 , A 2 , δ 1 et δ 2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales. La<br />
solution de l’équation du mouvement pour le pendule 1 et 2 est donc de la forme<br />
2.2.2 Conditions initiales<br />
φ 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + δ 1 ) − A 2 cos(ω 2 t + δ 2 ) (20)<br />
φ 2 (t) = A 1 cos(ω 1 t + δ 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + δ 2 ) (21)<br />
On distingue trois types fondamentaux d’oscillations.<br />
Oscillations symétriques Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 2 (0) = φ 0 et<br />
˙φ 1 = ˙φ 2 = 0<br />
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = φ 0 , A 2 = 0, δ 1 = 0, δ 2<br />
indéterminé<br />
Solution : φ 1 (t) = φ 2 (t) = φ 0 cos(ω 1 t)<br />
Il s’agit d’une oscillations à une seule fréquence. Le couplage ne joue aucun<br />
rôle, puisque le ressort reste toujours dans le même état de tension. Il est alors<br />
naturel qu’on retrouve la période du pendule simple.<br />
T ω1<br />
= 2π<br />
ω 1<br />
= 2π<br />
√<br />
Θ<br />
mgl<br />
(22)<br />
5
T ω1<br />
4<br />
φ 1<br />
[ ]<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
t [s]<br />
φ 2<br />
[ ]<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
T ω1<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
t [s]<br />
Fig. 4 – Oscillations symétriques<br />
Oscillations asymétriques Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 0 , φ 2 (0) = −φ 0<br />
et ˙φ 1 = ˙φ 2 = 0<br />
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = 0, A 2 = φ 0 , δ 1 indéterminé,<br />
δ 2 = 0<br />
Solution : φ 1 (t) = −φ 2 (t) = φ 0 cos(ω 2 t)<br />
Il s’agit de nouveau d’une oscillation à une seule fréquence, mais le couplage<br />
entre les deux pendules résulte en une diminuation de la période (équivalent à<br />
une augmentation de la fréquence).<br />
√<br />
T ω2 = 2π<br />
Θ<br />
= 2π<br />
ω 2 mgl + 2ka 2 (23)<br />
6
T ω2<br />
4<br />
2<br />
φ 1<br />
[ ]<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0<br />
2<br />
4<br />
t [s]<br />
6<br />
8<br />
10<br />
T ω2<br />
4<br />
2<br />
φ 2<br />
[ ]<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0<br />
2<br />
4<br />
t [s]<br />
6<br />
8<br />
10<br />
Fig. 5 – Oscillations asymétriques<br />
Oscillations avec battements Conditions initiales : φ 1 (0) = φ 0 , φ 2 (0) = 0<br />
et ˙φ 1 = ˙φ 2 = 0<br />
Introduites dans (20) et (21) cela donne : A 1 = A 2 = φ 0 /2, δ 1 = δ 2 = 0<br />
Solution : En utilisant des relations trigonométriques des tables on obtient<br />
φ 1 (t) = φ 0 cos( ω 2 − ω 1<br />
2<br />
t) cos( ω 2 + ω 1<br />
t) (24)<br />
2<br />
φ 2 (t) = φ 0 sin( ω 2 − ω 1<br />
t) sin( ω 2 + ω 1<br />
t) (25)<br />
2<br />
2<br />
Si le moment de force dû au couplage est faible vis-à-vis du moment de force<br />
dû au poids, alors ka 2 ≪ mgl, et on voit, d’après (22) et (23), que ω 1 est voisin<br />
de ω 2 , c-à-d ω 2 − ω 1 ≪ ω 2 + ω 1 . Il s’ensuit que les fonctions sin( ω 2−ω 1<br />
2<br />
t) et<br />
cos( ω 2−ω 1<br />
2<br />
t) varient lentement par rapport à sin( ω 2+ω 1<br />
2<br />
t) et cos( ω 2+ω 1<br />
2<br />
t).<br />
7
τ<br />
T b<br />
4<br />
2<br />
φ 1<br />
[ ]<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0<br />
τ<br />
2<br />
4<br />
t [s]<br />
6<br />
8<br />
10<br />
T b<br />
4<br />
2<br />
φ 2<br />
[ ]<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0<br />
2<br />
4<br />
t [s]<br />
6<br />
8<br />
10<br />
Fig. 6 – Oscillations avec battements<br />
Z On observe que l’amplitude d’un des pendules, variant à la fréquence<br />
ω 2+ω 1<br />
2<br />
, est modulée par la faible fréquence ω2−ω1<br />
2<br />
. Le déphasage de π 2 entre<br />
le sinus et le cosinus traduit les battements entre les deux pendules : lorsque<br />
un pendule a son amplitude maximale, l’autre est arrêté. L’énergie mécanique<br />
passe progressivement à chaque oscillation d’un des pendules sur l’autre par<br />
l’intermédiaire du ressort de couplage.<br />
La période d’oscillation τ vaut<br />
τ =<br />
2π<br />
ω 2+ω 1<br />
2<br />
= 2T ω 1<br />
T ω2<br />
T ω1 + T ω2<br />
(26)<br />
et la période de battement T b (qui correspond au temps compris entre trois<br />
arrêts consécutifs du même pendule)<br />
T b =<br />
2π<br />
ω 2 −ω 1<br />
2<br />
= 2T ω 1<br />
T ω2<br />
T ω1 − T ω2<br />
(27)<br />
8
2.2.3 Détermination de la constante de rappel k du ressort<br />
Méthode dynamique On peut déterminer la constante de rappel k du ressort<br />
en mesurant les périodes T ω1 et T ω2 des pendules couplés.<br />
k = mgl ( T<br />
2 )<br />
ω1<br />
2a 2 Tω 2 − 1<br />
2<br />
(28)<br />
Cette égalité peut être vérifiée en substituant les expressions (22) et (23) pour<br />
T ω1 et T ω2 .<br />
Méthode statique La méthode consiste à maintenir le deuxième pendule<br />
dans la position φ 2 , pendant qu’on mesure la deviation φ 1 du pendule 1. Dans<br />
le cas statique l’accélération angulaire ¨φ 1 = ¨φ 2 = 0. De l’équation (12), on tire<br />
alors<br />
0 = −mglφ 1 − ka 2 (φ 1 − φ 2 ) (29)<br />
d’où<br />
3 Manipulations<br />
k = mgl<br />
a 2 φ 1<br />
φ 2 − φ 1<br />
(30)<br />
<br />
Pour ne pas endommager les paliers de suspension des pendules, il faut éviter<br />
toute sollicitation du pendule hors de son plan d’oscillation. Les pendules restent<br />
suspendus pendant la mesure des différentes dimensions. Dans toutes les<br />
mesures, on veillera à ce que les amplitudes soient suffisamment faibles pour<br />
pouvoir utiliser l’approximation sin φ ≈ tan φ ≈ φ (φ ≤ 5 o ).<br />
3.1 Exercice 1 : Pendule seul<br />
Décrocher le ressort sans enlever les bagues de fixation dont l’influence est<br />
négligeable.<br />
Mesure Mesurer la période d’oscillation du pendule seul en prenant 3 mesures<br />
à 50 périodes. Puis calculer la période moyenne ¯T exp .<br />
Z Calculer la période théorique T th et comparer avec le résultat expérimental<br />
¯T exp .<br />
Calcul de T th Calculer le moment d’inertie Θ tot du pendule en tenant compte<br />
du cylindre creux (il ne faut pas oublier qu’il est creux !) et de la tige métallique.<br />
Pour un cylindre de rayon r et de hauteur h, le moment d’inertie par rapport à<br />
un axe passant par le centre de masse CM ( !) et perpendiculaire à son axe de<br />
révolution est<br />
Θ = m 12 (3r2 + h 2 ) (31)<br />
9
Appliquer le théorème de Steiner séparément au cylindre creux et à la tige<br />
métallique. Sommer les deux moments d’inertie partiels pour obtenir le moment<br />
d’inertie total Θ tot du pendule.<br />
m c<br />
ε<br />
m t<br />
l t<br />
CM t<br />
CM c<br />
l<br />
Fig. 7 – Schéma pour le calcul de la longueur réduite du pendule (équation<br />
(33).<br />
La période du pendule s’obtient à l’aide de l’équation (6).<br />
√<br />
Θ tot<br />
T = 2π<br />
mgl<br />
(32)<br />
où m est la masse totale ( !) du pendule. La distance l, appelée la longueur<br />
réduite, entre l’axe de rotation et le centre de masse du pendule entier, i.e.<br />
cylindre et tige, est donnée par<br />
l = m cl ′ + m t<br />
l t2<br />
m c + m t<br />
+ ɛ (33)<br />
Z Ce calcul peut se faire déjà avant la séance des TP. En cas de questions<br />
n’hésiter pas à contacter un assistant.<br />
3.2 Exercice 2 : <strong>Pendules</strong> couplés<br />
Ajuster les deux cylindres de façon à ce que les deux pendules aient la même<br />
période. Fixer le ressort de couplage à la même distance de l’axe de rotation sur<br />
les deux pendules (a=20 cm). La distance horizontale entre les deux pendules<br />
doit être suffisante pour que le ressort ait toujours une certaine tension, i.e. la<br />
position au repos des pendules n’est pas la verticale 1 .<br />
1 Lorsque on tient compte de cette déviation, on obtient néanmoins les mêmes équations<br />
de mouvements des pendules couplées (12) et (13).<br />
10
Mode symétrique et antisymétrique Mesurer la période d’oscillation symétrique<br />
T ω1 et antisymétrique T ω2 des pendules couplés en prenant 3 mesures à 50<br />
périodes. Puis calculer la période moyenne ¯T ω1 et ¯T ω2 .<br />
Z A l’aide des équations (26) et (27) de l’introduction, calculer τ calc et T b,calc .<br />
Oscillations avec battements Mesurer la période τ, en prenant 4 mesures<br />
à 6 périodes bien visibles entre deux arrêts successifs du même pendule. Puis<br />
calculer la période moyenne ¯τ. Mesurer la période de battement ¯T b en prenant<br />
4 mesures, puis en les moyennant.<br />
Z Comparer ¯τ et ¯T b avec τ calc et T b,calc .<br />
3.3 Exercice 3 : Constante de rappel du ressort<br />
Méthode statique Ecarter le pendule à gauche d’un angle φ 2 et lire l’écartement<br />
φ 1 du pendule à droite. Bien ajuster le zéro des échelles aux positions d’équilibre<br />
des pendules. Reporter φ 2 − φ 1 en fonction de φ 1 , i.e. φ 2 − φ 1 = f(φ 1 ).<br />
Z A partir de la pente et à l’aide de l’équation (30) calculer k stat .<br />
Méthode dynamique Utiliser les périodes des modes symétriques T ω1 et antisymétriques<br />
T ω2 déterminées auparavant.<br />
Z Utiliser la relation (28) de l’introduction pour calculer k dyn et comparer<br />
le résultat avec k stat .<br />
4 Présentation à la fin de la séance<br />
1. Feuille de mesure remplie<br />
2. Calcul du moment d’inertie Θ tot et T th<br />
3. Comparaison entre T th et T exp pour le pendule simple<br />
4. Comparaison de ¯τ et ¯T b avec τ calc et T b,calc<br />
5. Graphe de φ 2 − φ 1 = f(φ 1 )<br />
6. Comparaison entre k stat et k dyn avec calcul d’erreur<br />
11