Rapport bibliographique - Master Acoustique Marseille

INFLUENCE DE L'INHARMONICITÉ DU RÉSONATEUR
D'UNE FLÛTE À BEC
étude expérimentale, simulation temporelle
et analyse de bifurcations d'un modèle
Stage de Master 2
Rapport bibliographique Soizic TERRIEN
Encadré par:
Christophe VERGEZ
(LMA, CNRS UPR7051)
Benoît FABRE
(LAM, IJLRD, CNRS UMR7190)
Master Mécanique, Physique et Ingénierie
2ème année spécialité Acoustique
Université de Provence Aix-Marseille I
2010 - 2011

Table des matières
Introduction 1
1 Production du son dans une ûte à bec 3
1.1 Mécanisme de production du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Registres de l'instrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Inharmonicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Dispositifs expérimentaux 5
2.1 Bouche articielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Flûte instrumentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Mesures d'impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Modélisation temporelle et résolution numérique 7
3.1 Modélisation simple d'un instrument de la famille des ûtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Implémentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Amélioration du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Analyse de modèles, recherche de solutions périodiques et de bifurcations 9
4.1 Recherche de solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.1 Méthode de l'équilibrage harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.2 Méthode de recherche d'orbites temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Continuation de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 Méthode Prédicteur-Correcteur (MPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.2 Méthode Asymptotique Numérique (MAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Application à la ûte à bec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.1 Outils numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Conclusion 14
A Figures et Schémas 15
B Ecriture du modèle de ûte à bec dans le formalisme nécéssaire à DDE-Biftool 17
Bibliographie 19

Introduction
La production du son dans les instruments de musique est due au couplage entre un excitateur (archet,
anche...) et un résonateur (corde, colonne d'air contenue dans l'instrument...). Plus spéciquement, les instruments
à vent font partie des instruments auto-entretenus (ou auto-oscillants), dans la mesure où ils donnent
naissance à une vibration acoustique à partir d'une source d'énergie continue (par exemple, l'instrumentiste
soue à vitesse constante). La production de l'onde acoustique est alors directement liée à la nature non
linéaire de l'excitateur. Par conséquent, ces instruments auto-oscillants peuvent être modélisés et étudiés sous
l'angle des systèmes dynamiques non linéaires.
L'étude du comportement des modèles d'instruments en fonction de la valeur de leurs paramètres (liés à
la facture, comme l'inharmonicité, aussi bien qu'à l'instrumentiste, comme la pression d'alimentation) permet
d'une part de valider et d'améliorer les modèles physiques, et amène d'autre part une meilleure compréhension
de l'importance de certains "gestes" du facteur et du musicien sur les possibilités de jeu. La connaissance de
ces mécanismes, encore incomplète pour nombre d'instruments, peut alors trouver des applications aussi bien
au niveau de la facture instrumentale que de la pédagogie musicale ou de la synthèse sonore.
Dans le cadre de ce stage, nous nous intéressons plus particulièrement à l'inuence de l'inharmonicité du
résonateur sur le comportement des instruments de la famille des ûtes. On parle d'inharmonicité lorsque les
fréquences de résonance du résonateur ne sont pas exactement des multiples de la première fréquence de résonance.
Comme nous le verrons au chapite 1, ce paramètre constitue une contrainte importante, aussi bien pour
le facteur d'instruments que pour le musicien. De plus, des mesures antérieures permettent de supposer que
des comportements particuliers (présence de régimes quasi-périodiques notamment) sont observés pour certains
doigtés fortement inharmoniques. Le but de ce stage n'est pas d'étudier les diverses causes de l'inharmonicité,
mais ses conséquences sur les caractéristiques des régimes d'auto-oscillations.
Les mesures sur musicien, si elles peuvent être intéressantes an de comprendre l'inuence de l'instrumentiste
sur le comportement de l'instrument, sont parfois dicilement interprétables, d'une part parce qu'il
est dicile de xer et d'évaluer tous les paramètres qui entrent en jeu, et d'autre part parce qu'elles sont
souvent peu reproductibles. L'utilisation d'une bouche articielle (dispositif permettant de faire jouer l'instrument
sans musicien voir chapitre 2), en rendant possible le fait de xer certains paramètres et de contrôler
précisemment la pression d'alimentation, permet une étude plus précise du comportement de l'instrument. Ce
dispositif pourra notamment permettre de conrmer les premières hypothèses issues de mesures antérieures,
en comparant les comportements pour diérents doigtés à l'inharmonicité plus ou moins marquée.
Cependant, dans la mesure où l'inharmonicité du résonateur dépend directement de la forme de l'instrument,
il est dicilement envisageable expérimentalement de la faire varier continûment, et donc d'en déterminer
l'inuence précise. L'implémentation numérique d'un modèle physique de l'instrument est alors particulièrement
intéressante, puisque tous les paramètres peuvent être parfaitement et indépendamment contrôlés, ce
qui, dans notre cas, pourra permettre de modier le rapport des fréquences de résonance indépendamment
de tous les autres paramètres, et ce sur des plages de valeurs beaucoup plus larges que ne le permet l'étude
expérimentale (puisque les facteurs cherchent globalement à limiter l'inharmonicité). Cet aspect est plus particulièrement
développé dans le chapitre 3.
Néanmoins, accéder à des valeurs réalistes des paramètres d'un modèle physique peut s'avérer complexe.
Dans ce cadre, les résultats expérimentaux et ceux issus des méthodes d'intégration temporelle sont souvent
1

dicilement comparables. Cette problématique est encore accentuée par la sensibilité de l'instrument et du
modèle physique aux conditions initiales, et par le fait que les mesures comme les simulations ne donnent
une vision de l'instrument qu'en "un point", c'est à dire pour un jeu de paramètres et de conditions initiales
bien précis. La mise en oeuvre d'outils d'analyse de modèle, en donnant accès aux diagrammes de bifurcation,
peut permettre de dépasser cette diculté. Ces diagrammes représentent idéalement l'ensemble des régimes
périodiques stables et instables du système dynamique étudié, en fonction de la valeur d'un ou de plusieurs
paramètres (dans le cas de l'étude des instruments à vent, c'est le plus souvent la pression d'alimentation).
Ils permettent alors d'avoir une lecture globale de l'évolution des diérents régimes périodiques possibles de
l'instrument en fonction de la valeur des paramètres. Dans le cadre de ce stage, ces outils (présentés au chapitre
4) pourront se révéler particulièrement utiles pour analyser les résultats expérimentaux et de simulation
temporelle, et pour les confronter entre eux.
Des études de ce type ont été eectuées pour les instruments à anche (notamment la clarinette), et ont
montré la richesse des informations accessibles [4], [5]. Il ne semble pas exister d'analyses comparables pour les
instruments de la famille des ûtes, qui dièrent considérablement des premiers (ce qui est mis en évidence au
chapitre 1).
2

Chapitre 1
Production du son dans une ûte à bec
On trouve à l'intérieur de la famille des ûtes des instruments très nombreux et très divers, parmi lesquels
on peut citer la ûte traversière, les ûtes à bec ou les tuyaux d'orgue à bouche. Si ces instruments sont liés par
leur mécanisme de production du son, ils n'en présentent pas moins des diérences importantes. Par exemple,
certains paramètres géométriques sont xés par le facteur dans le cas de l'orgue, alors qu'ils sont contrôlés par
le musicien dans le cas de la ûte traversière. Selon l'instrument considéré, le musicien a donc une inuence
plus ou moins grande sur le son qu'il produit.
1.1 Mécanisme de production du son
En physique des instruments de musique, il est classique de modéliser un instrument par un système
excitateur couplé à un résonateur [20]. Les instruments à embouchure de ûte ont ceci de particulier que
leur mécanisme excitateur est constitué de l'interaction d'un jet d'air avec un biseau (voir gure 1.1 pour le
vocabulaire). Ils se distinguent par là d'autres instruments à vent tels que les instruments à anche (clarinette,
hautbois...) ou les cuivres, pour lesquels l'excitation fait intervenir la vibration d'un corps solide (anche ou
lèvres).
Le mécanisme de production du son dans un instrument de la famille des ûtes peut être décrit de la façon
suivante (chap. 10 in [8]):
La surpression dans la bouche du musicien provoque un écoulement dans le canal.
A la sortie du canal, cet écoulement donne naissance à un jet naturellement instable, dont la vitesse est
liée à la pression d'alimentation par la loi de Bernoulli.
Le jet, en percutant le biseau, se met à osciller de part et d'autre de ce biseau, provoquant une injection
de débit dans le résonateur par intermittence. C'est ce qui constitue la source aéro-acoustique, de nature
dipolaire.
Les ondes acoustiques ainsi générées se propagent dans le résonateur, et viennent perturber en retour le
jet au niveau de la sortie du canal.
La perturbation est convectée et ampliée le long du jet, ce qui en entretient les oscillations de part et
d'autre du biseau (voir schéma A.1 en annexe).
La nature auto-oscillante de l'instrument se manisfeste d'une part par le fait que la source d'énergie continue
(injectée par l'instrumentiste) est convertie en énergie acoustique, et d'autre part par le fait que la perturbation
du jet soit entretenue par le champ acoustique présent dans le résonateur. Le fonctionnement général peut être
Figure 1.1 Coupe d'une ûte à bec, représentant les principaux éléments intervenant dans le mécanisme de
production du son.
3

Figure 1.2 Système bouclé modélisant le mécanisme d'auto-oscillation dans une ûte. D'après Fabre, chap.
10 in [8]
représenté par un système bouclé, comme sur la gure 1.2 (d'après [8]).
La principale spécicité de cette famille d'instruments réside dans la présence d'un retard au niveau de
l'excitateur, dû au temps de convection de la perturbation sur le jet. Etant donné que le champ acoustique
perturbe le jet au niveau de la sortie du canal (voir schéma A.1 en annexe), il faut tenir compte du temps
qu'elle met à atteindre le biseau. Diérents travaux, théoriques et expérimentaux, ont permis d'établir que la
vitesse de convection des perturbations sur le jet est comprise entre 0.3 et 0.5 fois la vitesse du jet lui-même
[29], [27], [28].
1.2 Registres de l'instrument
Selon la théorie des oscillateurs (critère de Barkhausen), la présence d'un régime stable d'auto-oscillations
dans un système bouclé tel que celui représenté par la schéma 1.2 n'est possible que si le déphasage total dans
la boucle est un multiple de 2π. Ici, les termes non constants contribuant au déphasage sont le retard dû à
la convection des perturbations sur le jet et la phase liée au retour acoustique du résonateur (dépendante de
la fréquence de jeu). Lorsque, pour un doigté donné (c'est à dire pour une longueur de résonateur donnée)
l'instrumentiste soue de plus en plus fort, la vitesse du jet et donc la vitesse de convection des perturbations
sur le jet augmentent. Par conséquent, le retard lié à ce temps de convection diminue, et on observe alors une
légère augmentation de la fréquence, nécéssaire pour maintenir un déphasage total égal à 2nπ (avec n entier).
Lorsque la vitesse de jet devient trop importante, il devient impossible de maintenir ce déphasage égal à 2nπ et
l'instrument bascule sur un autre mode du résonateur, dont la fréquence est plus compatible avec la condition
de déphasage. Il y a un changement brutal de la fréquence de jeu, et on peut alors parler de bifurcation. Ainsi,
le musicien peut choisir le registre sur lequel il va jouer en souant plus ou moins fort.
1.3 Inharmonicité
Dans le cas idéal d'un résonateur parfaitement harmonique, les fréquences de résonance sont des multiples
entiers de la première de ces fréquences de résonance. En réalité, les diérents pics sont légèrement "décalés"
les uns par rapport aux autres, et on parle alors d'inharmonicité. Les diverses sources de ce phénomène sont
autant de contraintes pour le facteur d'instrument, et l'obligent à chercher des compromis entre inharmonicité,
justesse, et facilité de jeu. On peut prendre comme exemple le cas du choix du diamètre du résonateur: un
faible diamètre augmente l'importance relative des pertes visco-thermiques, qui sont source d'inharmonicité,
mais le choix d'un diamètre trop important favorisera les pertes par rayonnement, rendant ainsi plus dicile
la mise en auto-oscillation de l'instrument [8]. De même, la position et le diamètre des trous latéraux sont des
paramètres très importants pour la justesse, mais il faut également tenir compte du fait qu'un faible diamètre
sera source d'une plus grande inharmonicité [19]. Du point de vue du musicien, une inharmonicité trop marquée
rend dicile le contrôle de la justesse entre les diérents registres, et est source d'une sonorité "sombre" (le
contenu spectral d'une note étant d'autant plus pauvre que le résonateur est inharmonique) [19].
Des travaux antérieurs sur la ûte à bec [21] semblent mettre en évidence des comportements particuliers
pour les "doigtés de fourche", notamment l'apparition de régimes quasi-périodiques. Ces doigtés, caractérisés
par la présence d'un ou deux trous fermés après le premier trou ouvert, sont connus pour être particulièrement
inharmoniques [19]. En ce sens, il semble donc intéressant d'étudier l'inuence de l'inharmonicité sur les
caractéristiques des régimes d'auto-oscillations.
4

Chapitre 2
Dispositifs expérimentaux
2.1 Bouche articielle
2.1.1 Intérêt
Dans le cadre de mesures sur musicien, il peut être très compliqué de contrôler, et même seulement d'estimer
la valeur des paramètres (comme par exemple la pression d'alimentation, l'inuence de la forme du conduit
vocal...). La bouche articielle [14], dispositif permettant de faire jouer l'instrument sans musicien, permet de
xer certains de ces paramètres, ou de les contrôler pendant toute la durée de la mesure. En permettant d'étudier
l'inuence de la variation d'un unique paramètre (la pression d'alimentation) sur les régimes d'oscillation,
l'utilisation de ce dispositif expérimental amène une connaissance plus complète et plus précise des diérents
comportements possibles de l'instrument, et cela même en dehors des plages de jeu habituellement utilisées
dans un cadre musical.
2.1.2 Fonctionnement
La bouche articielle asservie développée par D. Ferrand et C. Vergez [14] permet de contrôler de façon très
précise la pression d'alimentation de la ûte (correspondant à la pression dans la bouche du musicien, c'est à
dire au fait que l'instrumentiste soue "fort" ou non). En pratique, la ûte est reliée à une cavité représentant
la bouche du musicien, alimentée par un réservoir d'air comprimé. Une électrovanne s'ouvrant plus ou moins
en fonction de son courant d'alimentation permet de moduler le débit injecté dans la bouche. Cette commande
en courant est controlée par ordinateur, via une carte de contrôle en temps réel.
Une approche simple serait de considérer que l'ouverture de l'électrovanne est une fonction connue du
courant d'alimentation, et de calculer le courant nécessaire en fonction de la valeur de pression d'alimentation
recherchée. Cependant, cette méthode serait assez peu able, puisque le résultat obtenu ne serait pas vérié.
Un système en boucle fermée a donc été adopté, dans lequel le résultat obtenu (la pression dans la bouche,
mesurée en permanence) est comparé avec la consigne. L'ouverture de l'électrovanne est alors adaptée de façon
à minimiser la diérence entre ces deux valeurs. Cette opération, répétée toutes les 40 µs, permet une grande
précision (en supposant la convergence du processus itératif), que le but recherché soit de xer la pression
d'alimentation à une valeur donnée, ou bien de suivre une consigne lentement variable dans le temps. Le
principe général de l'asservissement est résumé par la gure A.2, donnée en annexe.
2.2 Flûte instrumentée
Lors de travaux antérieurs [21], un bec de ûte avait été adapté an de pouvoir mesurer d'une part la
pression d'alimentation (dans la bouche) et d'autre part la pression acoustique à l'intérieur du résonateur, sous
le biseau. Cette dernière mesure donne notamment accès à la fréquence de jeu. La mise en relation de ces deux
mesures permet de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de pression d'alimentation une bifurcation (c'est à dire
un changement qualitatif du régime d'oscillation de l'instrument) apparaît. Les outils numériques utiles pour
ce type d'analyse ont été développés lors d'un précédent stage [21].
5

2.3 Mesures d'impédances
An d'évaluer le caractère plus ou moins inharmonique du résonateur pour les diérents doigtés que nous
seront amenés à étudier, il est envisageable d'utiliser un banc d'impédance [22]. Ce dispositif développé par le
LAUM, permet, par la mesure de la pression acoustique et du débit acoustique dans un instrument, de déduire
l'impédance d'entrée Z in , dénie (en fréquentiel) par:
Z in = P (ω)
U(ω)
(2.1)
où P(ω) et U(ω) sont respectivement les transformées de Fourier de la pression et du débit acoustiques à
l'entrée du résonateur.
Si cette mesure est susamment peu bruitée, nous pourrons en déduire l'admittance d'entrée Y in = 1
Z in
.
Les rapports des fréquences des diérents pics permettraient alors d'évaluer l'inharmonicité du résonateur de
l'instrument, ce qui apporterait un éclairage sur les résultats des mesures à la bouche articielle. De plus,
ces courbes d'admittances pourraient être implémentées dans la simulation temporelle présentée au chapitre
suivant. Il serait par exemple envisageable d'en faire une décomposition modale, dans l'esprit de ce qui est
eectué pour un modèle de clarinette par F. Silva [23]. Cela permettrait de disposer de modèles de résonateur
plus réalistes pour la simulation temporelle.
6

Chapitre 3
Modélisation temporelle et résolution
numérique
L'étude d'un modèle de simulation temporelle basé sur le fonctionnement physique de l'instrument apparaît
ici importante en parallèle de l'étude expérimentale. Nous favoriserons (comme nous l'avons évoqué au chapitre
2) une modélisation du résonateur permettant d'une part de ne faire varier que l'inharmonicité en étant certain
que tous les autres paramètres restent xes, et d'autre part de faire varier ce paramètre d'inharmonicité de
façon continue. Une telle formulation devrait alors nous permettre d'étudier de façon plus systématique et plus
précise l'inuence du paramètre étudié. Cependant, il reste indispendable de s'appuyer sur les mesures, étant
donné que le modèle n'est qu'une simplication du fonctionnement de l'instrument, et ne reproduit donc pas
tous les phénomènes observables. De plus, certains paramètres du modèle ne peuvent être qu'évalués, et il est
donc tout à fait possible d'avoir un modèle très éloigné de la réalité physique.
3.1 Modélisation simple d'un instrument de la famille des ûtes
Des travaux précédents [9] ont montré qu'un modèle basé sur les principaux éléments de l'instrument
(représentés sur la gure 1.2) permet de modéliser (certes de façon très simpliée) le fonctionnement d'une
ûte. Ce modèle comprend donc trois éléments, associés chacun à une équation. Il est représenté par le système
suivant [9]:
⎧
⎨
⎩
η = v ac (t − τ)
∆p = α · tanh(η)
V ac = Y · ∆P
(a)
(b)
(c)
: système à retard (convection de la perturbation sur le jet)
: terme d'interaction du jet avec le biseau
: résonateur, modélisé par son admittance d'entrée
où η est le déplacement transversal du jet au niveau du biseau, τ le retard dû à la convection de la perturbation
sur le jet, ∆p la source de pression au niveau du biseau (créée par le dipôle représentant l'oscillation du jet),
v ac la vitesse acoustique dans le résonateur et Y l'admittance du résonateur (voir chapite 1). On peut noter
que les équations (a) et (b) du système 3.1 sont écrites dans le domaine temporel alors que l'équation (c) est
écrite dans le domaine fréquentiel.
3.2 Implémentation du modèle
Ce modèle très simple pourra être implémenté sous Matlab (via Simulink), en repartant des travaux présentés
dans [9]. Il est envisagé d'utiliser la décomposition modale pour modéliser le résonateur (comme cela
est fait dans [23]), en se limitant dans un premier temps à une somme de deux modes. Un avantage de cette
représentation réside dans le fait qu'elle permet de modier facilement les fréquences des diérents pics d'admittance,
et cela indépendamment les uns des autres, ce qui est bien sûr particulièrement important dans le
cadre d'une étude sur l'inuence de l'inharmonicité.
(3.1)
7

3.3 Amélioration du modèle
Dans le cadre d'un précédent stage [21], un modèle plus proche du fonctionnement physique d'une ûte à
bec (décrit dans le chapitre 10 de [8]) a été implémenté dans Simulink, et pourra éventuellement être étudié
dans un second temps. Il inclut notamment une description plus ne de l'interaction entre le jet et le biseau,
et des termes de pertes, également au niveau du biseau. Les diérents éléments pris en compte dans ce modèle
sont représentés sur la gure 3.1, où U j est la vitesse du jet, η est le déplacement transversal du jet au niveau
du biseau, Q in est le débit d'air entrant dans le résonateur, ∆P dip est la diérence de pression créée par la
source dipolaire au niveau du biseau (source aéro-acoustique) et v ac est la vitesse acoustique dans le résonateur
au niveau de la sortie du canal. Les équations correspondantes sont développées dans le chapitre 10 de [8].
Figure 3.1 Représentation des éléments pris en compte dans le second modèle. D'après chap. 10 in [8].
Ce modèle est plus satisfaisant que le premier dans le sens où les diérentes variables correspondent à
de véritables grandeurs physiques, et où il prend en compte des phénomènes importants négligés dans le
premier modèle. L'importance du terme de pertes par séparation d'écoulement au niveau du biseau dans le
mécanisme de saturation est notamment soulignée dans le chapitre 10 de [8]. Par ailleurs, là où le premier
modèle ne comporte qu'un seul paramètre de gain α particulièrement dicile à évaluer, ce second modèle
sépare les diérents termes de gain, et certains peuvent ainsi être évalués plus précisemment (par exemple à
partir de données géométriques de l'instrument décrites précisemment dans [33] ou de résultats de travaux
expérimentaux sur l'amplication de la perturbation sur le jet, comme dans le chapitre 2 de [32]).
8

Chapitre 4
Analyse de modèles, recherche de solutions
périodiques et de bifurcations
La comparaison entre des résultats expérimentaux (chapitre 2) et des résultats de simulations temporelles
(chapitre 3) peut s'avérer complexe. En eet, on obtient dans les deux cas des résultats pour un jeu de
paramètres et de conditions initiales donnés. La comparaison ne peut donc se faire qu'en quelques points précis.
De ce fait, un "calage" des paramètres du modèle par rapport aux observations expérimentales comportera
toujours des incertitudes importantes. Pour envisager d'avoir une vision plus globale du comportement de
l'instrument, il faudrait donc eectuer un nombre très important de mesures et de simulations.
De plus, dans les deux cas, on ne peut observer ni les régimes instables, ni la coexistence de plusieurs
régimes stables. Une partie de la dynamique du système reste donc "invisible", alors que sa connaissance peut
permettre de comprendre certains phénomènes (d'hysteresis, par exemple), et de nuancer certaines diérences
entre mesures et simulations (ce qui est illustré par exemple dans [24]).
Comme nous l'avons vu, il est possible d'envisager les instruments auto-oscillants comme des systèmes
dynamiques non linéaires. En utilisant des outils d'analyse adaptés à ce type de sytèmes, il est possible d'accéder
à une connaissance plus globale du fonctionnement des instruments, notamment par le tracé des diagrammes
de bifurcation.
4.1 Recherche de solutions périodiques
Il existe globalement deux catégories de méthodes d'analyse de systèmes dynamiques non linéaires: les
méthodes fréquentielles et les méthodes temporelles. De nombreuses méthodes appartenant à l'une ou l'autre
de ces catégories sont utilisées dans des domaines très divers de la Physique. Nous présentons ici quelques unes
de ces méthodes qui ont été appliquées dans le cadre de l'acoustique musicale.
4.1.1 Méthode de l'équilibrage harmonique
Principe général
La méthode de l'équilibrage harmonique est une méthode numérique permettant de déterminer les solutions
périodiques de systèmes dynamiques non linéaires. Le principe général de cette méthode fréquentielle,
initialement utilisée pour les systèmes électriques et mécaniques en oscillations forcées, puis adaptée pour des
systèmes auto-oscillants, peut être décrit de la façon suivante [1],[2]:
Chaque variable du problème est décomposée en série de Fourier, tronquée à N harmoniques
La recherche de solutions périodiques (en régime permanent) du système d'équations initial peut alors
se ramener à la résolution d'un système d'équations algébriques dont les inconnues sont l'amplitude de
chacun des N harmoniques (et, dans le cas d'oscillations auto-entretenues, la fréquence d'oscillation)
Dans le cas des systèmes auto-oscillants, on peut alors dénir un vecteur d'inconnues X contenant 2N+3
composantes réelles (d'après [1]):
la partie réelle de la composante continue (notée X 1 )
la partie réelle de chacun des N harmoniques (X 2 à X N+1 )
la partie imaginaire de la composante continue (X N+2 )
la partie imaginaire de chacun des N harmoniques (X N+3 à X 2N+2 ).
9

la fréquence d'oscillation
On a alors 2N+3 inconnues et 2N+2 équations (obtenues en réinjectant les décompositions en séries de Fourier
dans les équations du système). Le système à résoudre étant sous déterminé, il est classique de xer la partie
imaginaire du premier harmonique à 0, et de remplacer la composante X N+3 du vecteur d'inconnues par la
fréquence d'oscillation f. Cette condition supplémentaire permet d'une part de particulariser la solution en
xant l'origine des phases et d'autre part d'équilibrer le nombre d'inconnues et d'équations.
Application à des modèles d'instruments de musique
Dans le cadre de l'acoustique musicale, l'équilibrage harmonique a principalement été utilisé pour des
modèles d'instruments à anche (en particulier la clarinette) [2], [4], [5] et [3]. Diérentes approches peuvent
être utilisées pour résoudre le système d'équations algébriques obtenu, et pour s'aranchir des dicultés liées
à la présence de fortes non linéarités dans le modèle.
Une première approche possible consiste à écrire les équations linéraires dans le domaine fréquentiel et les
équations non linéaires dans le domaine temporel, le passage d'un domaine à l'autre se faisant par transformées
de Fourier directes et inverses. C'est l'approche AFT (alternating frequency/time domain), développée
notamment dans [1]. Dans ces travaux, la recherche de la solution se fait de manière itérative à partir d'une estimation
X 0 du vecteur d'inconnues X, dont la réponse F(X 0 ) du système dynamique est calculée. L'estimation
est alors corrigée par un algorithme de Newton-Raphson, jusqu'à ce que ces deux valeurs soient identiques, ce
qui correspond à une solution périodique. Ce processus de résolution est schématisé en annexe, par la gure
A.3.
Une seconde approche, developpée dans [7], consiste à reformuler les équations du modèle de façon à ce
que les non linéarités soient limitées à des formes quadratiques. On se reportera à [7] pour les détails de
l'application de l'équilibrage harmonique à ce type de systèmes. Un des avantages de cette méthode réside
dans la possibilité de prendre en compte un nombre d'harmoniques arbitraire, tout en conservant une écriture
explicite du système algébrique à résoudre.
4.1.2 Méthode de recherche d'orbites temporelles
Les méthodes de recherche de solutions périodiques des systèmes dynamiques fonctionnant dans le domaine
temporel reposent sur le principe suivant [16]: une unique période du régime permanent est discrétisée en N
points, avec une fréquence d'échantillonnage choisie en fonction du nombre d'harmoniques que l'on souhaite
prendre en compte (théorème de Nyquist). Les inconnues sont alors les valeurs du signal aux instants discrets
[t 0 , t 1 , t 2 , . . . , t N−2 , t N−1 =t 0 +T] avec T la période d'oscillation. Etant donné que les équations du système
doivent être vériées à chaque instant, on obtient, comme dans la méthode de l'équilibrage harmonique, un
système de N équations algébriques. Comme précédemment, le système est au départ sous déterminé puisque
la période T est inconnue. Il est "fermé" en tenant compte de la condition de périodicité: x(t 0 +T)=x(t 0 ) (où
x(t) est le vecteur d'inconnues à l'instant t).
4.2 Continuation de solutions
Les méthodes décrites ci dessus permettent de trouver les solutions périodiques d'un système dynamique
non linéaire pour un jeu de paramètres donné. Il peut être intéressant de connaître l'évolution des diérentes
solutions lorsqu'un ou plusieurs paramètres varient. Pour les instruments de musique à vent, il est notamment
intéressant d'observer l'évolution des comportements possibles de l'instrument lorsque la pression d'alimentation
évolue au cours du temps. On peut pour cela utiliser des méthodes numériques de continuation [17], qui
ont pour but de suivre l'évolution d'une solution donnée en fonction de la variation d'un (ou de plusieurs) des
paramètres du système étudié.
On considère un système dynamique décrit par un ensemble d'équations diérentielles de la forme:
dy
dt
= h(y, λ) (4.1)
où λ est l'ensemble des paramètres et y la variable représentant l'état du sytème.
Cette équation peut également s'écrire sous la forme:
K(y, λ) = 0 (4.2)
10

avec:
K(y, λ) = dy − h(y, λ) (4.3)
dt
Si une solution statique ou périodique (y 0 ,λ 0 ) est connue (déterminée par exemple par la méthode de
l'équilibrage harmonique), on peut montrer, sous réserve d'une régularité susante de h en (y 0 ,λ 0 ), qu'il
existe un continuum de solutions du même type pour des jeux de paramètres λ 1 proches de λ 0 (pour les
démonstrations et plus de détails, on peut se reporter à [16] et [17]). Les méthodes de continuation consistent
à utiliser la solution initialement connue pour déterminer les solutions "voisines". De proche en proche, cela
permet de déterminer des branches de solutions en fonction de la valeur d'un ou de plusieurs paramètres du
système. Là encore, il existe diérentes méthodes de continuation de solutions. Nous en décrivons ici deux, qui
ont été plus particulièrement appliquées dans le cadre de l'acoustique musicale, et notamment pour un modèle
de clarinette.
4.2.1 Méthode Prédicteur-Correcteur (MPC)
Cette méthode de continuation permet de déterminer une branche de solutions statiques ou périodiques en
la discrétisant: les solutions sont calculées en un nombre ni de points, et la branche est ensuite déterminée en
procédant par interpolation entre ces diérents points.
En partant d'une solution connue (y 0 , λ 0 ), on cherche à déterminer une solution pour le jeu de paramètres
λ 0 +∆λ. Une première approximation est calculée par une méthode de prédiction (en général celle du prédicteur
tangent), c'est à dire que l'on considère que la valeur de la solution y pour un jeu de paramètres λ 0 +∆λ est
égal à:
y λ0 +∆λ = y 0 + ∆λ. dy
∣
(4.4)
dλ
∣
(λ0 ,y 0 )
Cette première approximation est ensuite améliorée de façon itérative par un algorithme de correction (par
exemple un algorithme de Newton-Raphson).
Cette méthode peut poser problème lorsque la tangente à la courbe représentant y en fonction de λ devient
quasi-verticale. En eet, dans ce cas la valeur de la dérivée dy
dλ
devient innie. Pour éviter ce type de divergence,
on peut choisir d'utiliser un paramètre de chemin s (assimilable par exemple à une abscisse curviligne), lié à λ,
mais qui s'adapte à la forme de la courbe, et diverge alors plus dicilement. C'est en général la pseudo-longueur
d'arc de Keller qui est choisie comme paramètre de chemin [16].
Par un ensemble de deux processus itératifs (l'un pour le calcul des diérents points et l'autre pour la
correction de la solution calculée en chaque point), cette méthode permet donc de tracer une branche de
solutions en ne connaissant initialement qu'un seul point de celle-ci.
Cette méthode a été implémentée dans le logiciel AUTO [25], développé par Doedel, et utilisée notamment
pour des études sur un modèle de clarinette [5].
4.2.2 Méthode Asymptotique Numérique (MAN)
Cette méthode de continuation présente l'avantage de calculer des parties continues des branches de solutions.
Connaissant une solution pour un point donné (calculée par exemple par équilibrage harmonique),
l'ensemble des solutions sur une partie de la branche va être exprimé par un développement en série entière
en fonction du jeu de paramètres λ (ou, comme pour la Méthode Prédicteur-Correcteur, en fonction d'un
paramètre de chemin s lié à λ):
⎧
∞∑
⎪⎨ y(s) = y 0 + s n · y 0,n
n=1
∞∑
(4.5)
⎪⎩
λ(s) = λ 0 + s n · λ 0,n
n=1
Tous les points dénis par ces fonctions de s doivent vérier l'équation 4.1 du système étudié, ce qui donne,
après développement de Taylor autour du point(y 0 ,λ 0 ), une équation de la forme suivante pour chaque valeur
de n (pour le détail des calculs, on pourra se reporter au 1 er chapitre de [16]):
11

∂K
∂y ∣ · y 0,n + ∂K
y0 ,λ 0
∂λ ∣ · λ 0,n = A n (4.6)
y0 ,λ 0
où A n ne dépend que des variables aux ordres strictement inférieurs à n, et où K est déni par l'équation
4.3. Ce système d'équations est résolu pour chaque valeur de n, jusqu'à la valeur n max à laquelle on choisit
de tronquer les séries. Ainsi, la valeur de A n pour un ordre n donné est calculée à partir des résultats précédents.
Les développements en série entière des équations 4.5 n'étant valables que dans un certain voisinage de la
solution initiale (y 0 ,λ 0 ), il est nécessaire d'eectuer plusieurs fois ce processus de résolution, le dernier point
d'une portion servant de point de départ à la suivante. On obtient alors un ensemble de portions de branche,
qu'il sut de mettre bout à bout pour obtenir la branche complète.
Les principaux avantages de la MAN par rapport à la MPC sont d'une part le fait que les branches sont
calculées de façon continue, et d'autre part que le domaine de validité de la portion de branche calculée est
déterminé a posteriori, ce qui permet un choix du pas automatique et adaptatif à la forme de la branche de
solutions, là où ce pas doit être déterminé avant le calcul dans la méthode MPC. On peut se reporter à [16]
pour plus de précisions. La MAN peut être vue comme un prédicteur d'ordre élevé (là où le prédicteur est
d'ordre 1 dans la MPC). Un correcteur peut lui être adjoint, mais l'expérience montre que celui-ci n'est pas
nécessaire [5].
4.3 Conclusion
L'utilisation combinée de méthodes de recherche de solutions périodiques et de méthodes de continuation
de branches de solutions permet une analyse poussée des régimes périodiques de systèmes dynamiques non linéaires.
Ces méthodes ont été adaptées et implémentées pour des applications à l'acoustique musicale au travers
des logiciels AUTO [25], Harmbal [2] ou Manlab [4]. Les études faites jusqu'à présent se sont principalement
portées sur les modèles d'instruments à anche. De part leur indépendance vis à vis des conditions initiales et
du fait qu'elles permettent en théorie de déterminer toutes les solutions périodiques stables et instables du modèle
de l'instrument en fonction des valeurs de ses paramètres, ces méthodes d'analyse apportent un éclairage
intéressant sur le comportement des instruments. Notamment, la connaissance des diagrammes de bifurcations
(dont un exemple obtenu pour un modèle de clarinette est représenté en annexe sur la gure A.4) donne une
vision globale des diérentes possibilités de jeu. De plus, il est possible, avec certaines de ces méthodes, de
regarder l'évolution d'un point particulier (par exemple celui correspondant à la première bifurcation de Hopf,
c'est à dire le seuil d'oscillation) en fonction d'un second paramètre du modèle (qui serait dans notre cas le
facteur d'inharmonicité); c'est par exemple ce qui est fait dans [31] pour un modèle de clarinette.
4.4 Application à la ûte à bec
Si des travaux de recherche de solutions périodiques ont été eectués sur des modèles de ûte [13] [15], les
méthodes développées restent limitées tant au niveau de l'évaluation de la fréquence de jeu que du nombre
d'harmoniques pouvant être pris en compte. De plus, il ne semble pas exister pour la ûte de travaux semblables
à ceux cités ci-dessus pour la clarinette.
La spécicité des instruments de la famille des ûtes, mise en avant dans le chapitre 1, consiste en la
présence d'un retard dû à la convection de la perturbation sur le jet issu du canal. La présence de ce retard ne
permet pas l'implémentation d'un modèle de cette famille d'instruments dans les logiciels cités plus haut, et qui
ont pu être utilisés pour les modèles d'instruments à anche. L'utilisation de méthodes telles que l'équilibrage
harmonique reste cependant tout à fait possible pour des systèmes à retards, comme on peut le voir dans [12]
ou dans [11] par exemple.
4.4.1 Outils numériques
Logiciel DDE-Biftool
Un outil permettant l'analyse de bifurcations pour des systèmes d'équations diérentielles à retards, DDE-
Biftool [18] semble être utilisable pour le type de modèle que nous souhaitons étudier. Une première étude
12

dans le cadre de ce stage a permis de montrer que le système d'équations 3.1 correspondant à un modèle très
simple de ûte pouvait s'écrire dans le formalisme nécessaire à son implémentation dans DDE-Biftool, de la
façon suivante (se reporter à l'annexe B pour le calcul détaillé):
{
˙vac (t) = z(t)
ż = −α · z(t − τ) · [1 − tanh 2 (v ac (t − τ)] − ω 2 n · v ac + ω n
Q n
z(t)
(4.7)
Le paramètre de bifurcation "usuel" pour les instruments à vent étant la pression dans la bouche, c'est ici
la valeur du retard τ que l'on fera varier. En eet, la modication de la pression dans la bouche se répercute
sur la vitesse de jet (par la relation de Bernoulli), et donc sur la vitesse de convection des perturbation sur le
jet (comme nous l'avons vu au chapitre 1), et par conséquent sur le retard dû à cette convection.
Ce premier modèle, à un seul mode de résonance, sera dans un premier temps utilisé pour vérier que le
type de modèle étudié ici est implémentable dans ce logiciel de résolution permettant le calcul des branches
de solutions statiques et périodiques et l'analyse de stabilité de ces branches. Une deuxième étape consistera
à utiliser un modèle de résonateur à deux modes, de la même façon que dans la simulation temporelle décrite
au chapitre 3.
Par ailleurs, une première étude nous a permis de montrer que le second modèle évoqué au paragraphe 3.3
ne pouvait pas s'exprimer dans le formalisme nécessaire à sa résolution par DDE-Biftool. Ce second modèle,
plus satisfaisant physiquement, est en eet représenté par un système neutre (c'est à dire un système dans
lequel le retard intervient dans le terme dérivé), beaucoup plus complexe d'un point de vue théorique. De
ce fait, les outils numériques permettant la résolution de ces systèmes sont beaucoup plus rares. Il existe
cependant des travaux visant à adapter DDE-Biftool an de résoudre ce type de problèmes [30], et nous
pourrons éventuellement essayer de les adapter à notre modèle.
Adaptation de Manlab aux systèmes à retards
Des travaux actuellement en cours laissent penser qu'il serait possible d'adapter le logiciel Manlab cité
précédemment à la recherche de solutions périodiques de systèmes à retards. Dans ce cas, une comparaison des
résultats obtenus par les diérentes approches permettrait d'en vérier la validité.
13

Conclusion
Nous nous proposons lors de ce stage d'étudier l'inuence de l'inharmonicité du résonateur d'une ûte à
bec sur les possibilités de jeu de l'instrument.
Des questionnements soulevés lors d'un précédent stage nous poussent à regarder plus particulièrement
l'inuence de ce paramètre sur les trois aspects suivants:
l'évolution de l'amplitude du régime périodique depuis le seuil
la "couleur" du son, c'est à dire l'amplitude relative des diérents harmoniques du régime périodique
la perte de stabilité de ce régime périodique, qui semble mener à un régime quasi-périodique dans le cas
d'une forte inharmonicité
Dans ce but, la confrontation à la fois de résultats expérimentaux, de résultats de simulations temporelles, et
de diagrammes de bifurcations obtenus par des outils d'analyse de modèle semble particulièrement intéressante
au regard des résultats obtenus pour d'autres types d'instruments. Cependant, les instruments de la famille des
ûtes étant des systèmes à retard, ils constituent des objets d'étude bien particuliers, pour lesquels les outils
numériques existants devront être adaptés. De ce fait, nous nous proposons dans un premier temps d'étudier
un modèle très simplié, qui pourra éventuellement être ané par la suite.
Au delà des problématiques de recherche en physique des instruments de musique, la connaissance de
l'impact de l'inharmonicité sur le jeu d'un instrument peut trouver des applications au niveau de la facture
instrumentale. Ainsi, la connaissance des liens entre les paramètres de facture et les régimes d'oscillations
de l'instrument pourrait permettre au facteur de maximiser les plages de paramètres à partir desquelles le
musicien pourra produire un son périodique (pour les instruments dits "classiques") ou un son quasi-périodique,
comme cela est recherché dans certaines esthétiques musicales. On peut par exemple citer le cas des ûtes
Chinos, instruments traditionnels chiliens produisant des sons quasi-périodiques [26] et dont le processus de
fabrication n'est plus connu aujourd'hui, ou encore le cas de la musique contemporaine avec la recherche de
sons "multiphoniques".
14

Annexe A
Figures et Schémas
Figure A.1 Représentation schématique du comportement du jet. D'après Fabre, chap. 10 in [8].
Figure A.2 Représentation schématique du fonctionnement de la bouche articielle asservie. D'après [14].
15

Figure A.3 Détermination itérative des solutions périodiques d'un système dynamique non linéaire par
l'approche AFT de la méthode de l'équilibrage harmonique. V est le vecteur des inconnues. Schéma d'après
[1] et [2].
Figure A.4 Diagramme de bifurcation d'un modèle de clarinette, on observe les diérents régimes périodiques,
stables et instables, issus de la perte de stabilité de la branche statique. En abscisse: pression
d'alimentation; en ordonnée: amplitude de la pression acoustique. Tirée de [5].
16

Annexe B
Ecriture du modèle de ûte à bec dans le
formalisme nécéssaire à DDE-Biftool
An d'être implémentable dans le logiciel DDE-Biftool, le modèle doit pouvoir s'écrire sous une forme
particulière, dans la mesure où l'on doit exprimer la dérivée de chacune des variables du problème comme une
fonction de la variable elle-même et/ou de toutes les autres variables, à l'instant courant ou à des instants
antérieurs.
Si l'on considère par exemple un système à deux variables x 1 et x 2 , on doit pouvoir écrire le modèle sous
la forme suivante:
{
ẋ1 (t) = f(x 1 (t), x 1 (t − τ 1 ), . . . , x 1 (t − τ n ), x 2 (t), x 2 (t − τ 1 ), . . . , x 2 (t − τ n ))
(B.1)
ẋ 2 (t) = f(x 2 (t), x 2 (t − τ 1 ), . . . , x 2 (t − τ n ), x 1 (t), x 1 (t − τ 1 ), . . . , x 1 (t − τ n ))
où τ 1 , τ 2 , . . ., τ n sont des retards xes.
Nous devons donc reformuler sous cette forme le système d'équations 3.1, an de pouvoir l'implémenter dans
DDE-Biftool.
Dans un premier temps, nous nous plaçons dans le cas très simple d'un résonateur avec un seul mode. Nous
pouvons alors écrire l'admittance sous la forme suivante:
Y =
jω
ω 2 − ω 2 n + jω·ωn
Q n
(B.2)
où ω n est la pulsation de résonance, Q n est le facteur de qualité du pic de résonance, et ω est la pulsation.
En reportant cette expression dans l'équation (c) du système 3.1, on obtient:
En écrivant cette équation dans le domaine temporel:
V ac · [ω 2 − ω 2 n + jω · ω n
Q n
] = jω · ∆P (B.3)
−¨v ac − ωn 2 · v ac + ω n
· ˙v ac = ∆P
Q ˙
n
(B.4)
On pose une nouvelle variable z= ˙v ac , ce qui permet de réécrire l'équation B.4 sous la forme:
ż = − ˙ ∆p − ω 2 n · v ac + ω n
Q n
· z
(B.5)
En dérivant par rapport au temps l'équation (b) du système 3.1, on écrit par ailleurs:
˙ ∆p = α ˙η[1 − tanh 2 (η)]
(B.6)
et en exprimant η par l'équation (a) du système 3.1, on obtient:
˙ ∆p = α · z(t − τ) · [1 − tanh 2 (v ac (t − τ)]
(B.7)
17

et en reportant cette dernière équation dans B.5, on obtient:
ż = −α · z(t − τ) · [1 − tanh 2 (v ac (t − τ)] − ω 2 n · v ac + ω n
Q n
z(t)
(B.8)
Finalement, le modèle simplié de ûte, donné par le système d'équations 3.1 peut se réécrire de la façon
suivante:
{
˙vac (t) = z(t)
ż = −α · z(t − τ) · [1 − tanh 2 (v ac (t − τ)] − ωn 2 · v ac + ω n
z(t)
(B.9)
Q n
18

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