Résolution numérique de problèmes de contrôle optimal ... - Enseeiht
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Résolution numérique <strong>de</strong><br />
problèmes <strong>de</strong> contrôle <strong>optimal</strong> via<br />
la condition nécessaire, application<br />
au problème <strong>de</strong> transfert d’orbite à<br />
faible poussée<br />
Présentation TIPE 2003: contrôle <strong>optimal</strong><br />
14 janvier 2003 Lycée Fermat Toulouse<br />
J. Gergaud, J. Noailles<br />
gergaud@enseeiht.fr, jnoaille@enseeiht.fr<br />
ENSEEIHT-IRIT, UMR CNRS 5505<br />
Toulouse, FRANCE<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.1/40
Plan<br />
Principe du Maximum <strong>de</strong> Pontriaguine<br />
Exemples simples<br />
Application au problème <strong>de</strong> transfert d’orbite à<br />
poussée faible en temps minimum<br />
Application au problème <strong>de</strong> maximisation <strong>de</strong> la<br />
masse finale<br />
Les métho<strong>de</strong>s directes<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.2/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.3/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.4/40<br />
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Hypothèses simplifiées<br />
(i)<br />
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(ii) Les dérivées partielles<br />
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existent et sont continues<br />
(iii)<br />
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(iv)<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.5/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.6/40<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.7/40<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.8/40<br />
Problème aux <strong>de</strong>ux bouts<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.9/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.10/40<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.11/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.12/40<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.13/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.14/40<br />
Algorithme <strong>de</strong> Newton<br />
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Par définition <strong>de</strong> la dérivée on a au voisinage <strong>de</strong><br />
avec ici<br />
L’algorithme <strong>de</strong> Newton s’écrit alors <strong>de</strong> la même façon:<br />
Remarque . On n’inverse jamais un système linéaire pour résoudre une<br />
équation linéaire !!!<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.15/40
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k:=k+1<br />
Jusqu’à (k=nbitmax ou<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.16/40
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alors il existe tel que pour tout dans<br />
converge et la convergence est quadratique:<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.17/40
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Problèmes <strong>de</strong> transfert orbital<br />
CNES<br />
Forte excentricité initiale (<br />
Poussées faibles (60 à 0.2 Newtons)<br />
Minimisation <strong>de</strong><br />
Maximisation <strong>de</strong> la masse finale<br />
)<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.18/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.19/40<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.20/40
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Paramètres orbitaux<br />
Il faut, pour <strong>de</strong>s raisons <strong>de</strong> stabilité lors <strong>de</strong> l’intégration numérique travailler avec le système <strong>de</strong><br />
coordonnées <strong>de</strong> Gauss:<br />
où<br />
est le vecteur excentricité,<br />
.<br />
est le vecteur rotation du plan <strong>de</strong> l’orbite,<br />
est la longitu<strong>de</strong> vraie,<br />
Z<br />
satellite<br />
périgée<br />
plan équatorial<br />
w<br />
ω<br />
X<br />
orbite<br />
Ω<br />
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Figure : Coordonnées <strong>de</strong> Gauss<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.21/40
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O<br />
i<br />
Figure : Repère ortho-radial<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.22/40
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Problème en coordonnées <strong>de</strong><br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.23/40
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Conditions <strong>de</strong> transversalité<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.24/40
Résultats numériques<br />
Le calcul <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> tir nécessite l’intégration numérique d’un<br />
système différentiel ordinaire<br />
La dérivée <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> tir est approchée numériquement par<br />
différences finies<br />
Il faut faire <strong>de</strong> la mise à l’échelle (scaling) <strong>de</strong>s données<br />
Logiciel tfmin <strong>de</strong> J.B. Caillau<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.25/40
Résultats numériques: 60N<br />
P<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 5 10<br />
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t<br />
−20<br />
−40 −30 −20 −10 0 10<br />
r 1<br />
−2<br />
−40 −20 0 20 40<br />
r 2<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.26/40
Résultats numériques: 60N<br />
0.5<br />
0<br />
p P<br />
0<br />
p L<br />
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−0.5<br />
0 5 10<br />
40<br />
t<br />
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t<br />
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0 5 10<br />
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t<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.27/40
Résultats numériques: 3N<br />
P<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 50 100 150 200 250<br />
1<br />
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t<br />
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50<br />
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50<br />
t<br />
−20<br />
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0<br />
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0 50 100 150 200 250<br />
t<br />
−40<br />
−60 −40 −20 0 20 40<br />
r 1<br />
−2<br />
−40 −20 0 20 40<br />
r 2<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.28/40
Résultats numériques: 0.2N<br />
P<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 1000 2000 3000 4000<br />
1<br />
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L<br />
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0<br />
0 1000 2000 3000 4000<br />
0.1<br />
t<br />
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0 1000 2000 3000 4000<br />
t<br />
0<br />
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0 1000 2000 3000 4000<br />
1500<br />
t<br />
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−0.1<br />
0 1000 2000 3000 4000<br />
t<br />
h y<br />
1 x 10−4 0<br />
t<br />
−1<br />
0 1000 2000 3000 4000<br />
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m<br />
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−20<br />
−20<br />
1300<br />
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000<br />
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0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000<br />
5<br />
t<br />
20<br />
1<br />
u 2<br />
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0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000<br />
5<br />
t<br />
−20<br />
−1<br />
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0<br />
−5<br />
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000<br />
t<br />
−40<br />
−60 −40 −20 0 20 40<br />
r 1<br />
−2<br />
−40 −20 0 20 40<br />
r 2<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.29/40
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3N 285.6 h<br />
0.2N 4260.6 h<br />
12 jours<br />
6 mois<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.30/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.31/40<br />
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L’Hamiltonien est<br />
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Si<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.32/40
Difficultés<br />
Le contrôle Bang-Bang induit un second membre d’équation<br />
différentiel discontinu.<br />
Dérivabilité <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> tir?<br />
Le tir simple diverge ici<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.33/40
Resultats pour 2.5N,<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0 200 400<br />
1500<br />
1450<br />
1400<br />
1350<br />
0 200 400<br />
6<br />
4<br />
2<br />
1<br />
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0<br />
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0.1<br />
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0 200 400<br />
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0 200 400<br />
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0 200 400<br />
0<br />
0 200 400<br />
−1<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400<br />
Figure : état et contrôle<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.34/40
Resultats pour 2.5N,<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450<br />
Figure : contrôle<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.35/40
£<br />
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Métho<strong>de</strong>s directes<br />
Problème <strong>de</strong> Mayer<br />
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Remarque . On peut toujours se ramener à un problème <strong>de</strong> Mayer. Il<br />
suffit <strong>de</strong> définir un état tel que:<br />
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On prendra<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.36/40
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.37/40<br />
Discrétisation d’une EDO<br />
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On pose<br />
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L’erreur locale (c’est-à-dire l’erreur d’un pas) <strong>de</strong> ce schéma est en<br />
Métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s trapèzes<br />
On prend le schéma:<br />
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111<br />
111<br />
<br />
<br />
Métho<strong>de</strong> directe<br />
On discrétise l’équation d’état et on obtient le problème d’optimisation en<br />
dimension finie suivant:<br />
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TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.38/40
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<br />
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Tir direct<br />
On réduit l’espace <strong>de</strong>s contrôles:<br />
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constant sur<br />
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¥<br />
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affine sur<br />
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*<br />
...<br />
et<br />
Cas <strong>de</strong>s contrôles constants par morceaux On peut alors en fonction <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>s calculer , puis ,... ,et enfin<br />
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D’où le problème d’optimisation en dimension finie<br />
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<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.39/40
Remarques<br />
Les métho<strong>de</strong>s directes sont plus robustes<br />
Il est plus facile d’introduire <strong>de</strong>s contraintes sur l’état avec les<br />
métho<strong>de</strong>s directes<br />
Les résultats <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s directes sont moins précis, en particulier sur<br />
le contrôle<br />
L’interaction mathématique-numérique est fondamentale ici.<br />
Cette présentation peut aussi concerner le point discret, continu<br />
TIPE contrôle <strong>optimal</strong>, 2002-2003 – p.40/40
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