EFFET HALL DANS UN SEMI-CONDUCTEUR EXTRINSEQUE E ...
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<strong>EFFET</strong> <strong>HALL</strong> <strong>DANS</strong> <strong>UN</strong> <strong>SEMI</strong>-<strong>CONDUCTEUR</strong> <strong>EXTRINSEQUE</strong><br />
Cette manipulation a pour but la détermination de la nature des porteurs de charge majoritaires d'un semiconducteur<br />
extrinsèque et la mesure de leur concentration et de leur mobilité à la température ordinaire.<br />
1 - Rappel de l'effet Hall simple<br />
Considérons un solide non-isolant parallélépipédique placé dans une induction magnétique uniforme<br />
B r selon l'axe Oz, parcouru par un courant I perpendiculaire à B r (axe Ox) selon le schéma ci-contre.<br />
z<br />
O<br />
E r + v r ∧B r<br />
= 0 ==> E B<br />
H<br />
H<br />
= v<br />
y<br />
B<br />
- - - - - - - - - - - - - - - -<br />
E H<br />
+ + + + + + + + + + + +<br />
j<br />
x<br />
l y<br />
lz<br />
On constate qu'il existe une d.d.p. VH, dite tension<br />
de Hall, suivant Oy. L'explication du phénomène est liée<br />
au régime transitoire : au cours de celui-ci les trajectoires<br />
des porteurs (charge q) sont infléchies par la force de<br />
Laplace q r v ∧ B r<br />
et il apparaît une accumulation de<br />
charges opposées sur chacune des faces<br />
perpendiculaires à Oy (q>0 dans la figure ci-dessus).<br />
Cette polarisation crée un champ électrique qui s'oppose<br />
à l'action de l'induction. Le régime stationnaire est obtenu<br />
lorsque les lignes de courant sont parallèles à Ox, le<br />
champ ayant alors atteint la valeur telle que<br />
E H , v, B étant les mesures algébriques des vecteurs correspondants sur Oy, Ox, Oz.<br />
v =<br />
j<br />
n q = 1<br />
ly lz n q<br />
et E H =<br />
Semi-conducteurs – effet Hall -1<br />
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble<br />
V<br />
l<br />
H<br />
y<br />
entraînent<br />
V H = R I B<br />
H où R<br />
lz<br />
H = 1<br />
n q<br />
La constante de Hall RH fournit la densité de charges mobiles n q, donc le signe de ces charges dans la<br />
mesure où VH a été correctement orienté par rapport à Oy.<br />
La loi d'Ohm j r = σ<br />
E r<br />
x<br />
2 - Limite de cette théorie<br />
= v r n q s'applique à ce régime permanent et µ = σ<br />
n q<br />
est appelé la mobilité.<br />
Cette interprétation simplifiée, classique (c'est à dire non quantique), s'applique bien à certains métaux<br />
(Cu, Ag,...) où le signe négatif de RH confirme une conduction par électrons. Pour d'autres métaux (Zn,<br />
Be,...) où RH est positive, il a fallu attendre la théorie des bandes qui, en introduisant la conduction par trous,<br />
est venue lever cette apparente contradiction.<br />
Dans les semi-conducteurs on peut considérer qu'il n'existe qu'un seul type de porteurs si le dopage est<br />
assez important c'est à dire si n > 10 16 atomes/cm3 et la température assez élevée : T > 300K. L'effet Hall<br />
est alors bien décrit par la théorie ci-dessus. Dans les semi-conducteurs faiblement dopés à température<br />
ambiante ou fortement dopés à basse température, il y a à la fois conduction par électrons et par trous. La<br />
théorie ci-dessus n'est plus applicable : on constate que leur résistance en présence du champ magnétigue est<br />
supérieure à la valeur dite "ohmique" en champ nul. Une résistance est dite ohmique si elle ne dépend ni du<br />
sens du courant, ni de la présence d'un champ magnétique.<br />
Dans ce cas, il faut tenir compte des 2 types de porteurs qui ont des mouvements différents (voir le<br />
paragraphe 4).
3 - Partie pratique<br />
3-1) Tracer la courbe d'étalonnage de l'électroaimant : champ B dans l'entrefer en fonction de IB,<br />
intensité dans les bobines. L'appareil de mesure du champ est étalonné en Gauss : 1 Gauss vaut 10 -4 Tesla.<br />
Observer le sens des enroulements et la polarité du courant pour déterminer la direction de B r .<br />
3-2) Afin de déterminer la résistivité de l'échantillon utilisé, tracer la caractéristique I(V) de la sonde<br />
pour un courant IS parcourant la sonde variant de 0,5 à 3 mA. En déduire la résistance de la sonde et<br />
l'incertitude sur cette résistance.,<br />
Calculer la résistivité du matériau (silicium) constituant la sonde et son incertitude.<br />
On vérifiera que les contacts sont ohmiques et qu'il n'y a pas de magnétorésistance.<br />
3-3) Réaliser le montage ci-dessous<br />
C<br />
R<br />
A<br />
D<br />
Le curseur A du potentiomètre est réglé<br />
pour obtenir VH = 0 dans un champ nul, et<br />
ceci pour chaque valeur de IS.<br />
B<br />
Tracer VH en fonction de IS pour IB = 2 ampères.<br />
Tracer VH en fonction de B pour IS = 3 mA.<br />
Déduire de ces courbes la constante de Hall RH et son incertitude.<br />
Quel est le signe des porteurs majoritaires ? n ou p ?<br />
3-4) Calculer le nombre de porteurs par unité de volume.<br />
Effectuer, si nécessaire, les changements d'unités permettant de se reporter aux courbes du classeur<br />
donnant la résistivité ρ en fonction du nombre de porteurs. Conclusion ?<br />
3-5) En déduire la mobilité µ des porteurs majoritaires.<br />
4 - Complément sur l'effet Hall<br />
(conduction simultanée électrons/trous)<br />
La théorie classique simplifiée de l'effet Hall considère qu'il n'existe qu'un seul type de porteurs, c'est à<br />
dire que les effets des porteurs minoritaires sur la conduction peuvent être négligés. Lorsque cette hypothèse<br />
simplificatrice n'est pas justifiée, il faut une théorie plus élaborée.<br />
4-1) Cas de deux types de porteurs<br />
Soient qi= ± e, mi, v r ,<br />
i<br />
ni la charge, la masse effective, la vitesse moyenne et le nombre de porteurs i par<br />
unité de volume. Ces particules sont accélérées par le champ électrique extérieur, mais entrent en collision<br />
avec les autres composants du solide. Nous admettrons qu'entre deux chocs elles acquièrent leur vitesse<br />
moyenne en un temps τi supposé être le même pour toutes ( τi est appelé temps de relaxation ).<br />
On a alors:<br />
qi { E r + r v i ∧ r<br />
d'où la densité du courant de porteurs du type i:<br />
B } ≈ mi<br />
r<br />
v i<br />
t<br />
i<br />
Semi-conducteurs – effet Hall -2<br />
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
j<br />
i<br />
= n q<br />
i<br />
i<br />
r<br />
j i<br />
t<br />
iqi<br />
m<br />
v r<br />
= ni qi i<br />
r t<br />
iqi<br />
E +<br />
m<br />
i<br />
i<br />
r<br />
j<br />
i<br />
r<br />
B<br />
La mobilité des porteurs i est :<br />
µi =<br />
τi |qi |<br />
mi<br />
En choisissant les axes de sorte que E r ait pour composantes (Ex, Ey, 0) et B r ait pour composantes<br />
(0,0,B), on obtient :<br />
{ }<br />
jix = m<br />
n iq i m i<br />
1 + m i 2 B 2 E x ± m i B E y<br />
jiy = m<br />
{ }<br />
n iq i m i<br />
1+ m i 2 B 2 E y ± m i B E x<br />
Les signes du dessus sont relatifs aux électrons et ceux du dessous aux trous.<br />
La densité de courant totale est :<br />
En particulier :<br />
r<br />
j<br />
v<br />
= je<br />
+<br />
⎪⎧ ne e µe<br />
⎪⎫<br />
jy = ⎨<br />
⎬<br />
⎩⎪ 1 + µe 2 B 2 + nt e µt<br />
1 + µt 2 B 2 Ey +<br />
⎭⎪ ⎩ ⎪ ⎨⎪⎧ ne e µe 2<br />
1 + µe 2 B 2 + nt e µt 2<br />
1 + µt 2 B 2 ⎭⎪ ⎬⎪⎫ B Ex<br />
v<br />
jt<br />
Le régime permanent est établi (équilibre électrique) lorsque jy = 0.<br />
ne e µe<br />
Posons Ke =<br />
1 + µe 2 B 2 et Kt =<br />
Le champ de Hall est la valeur de Ey à l'équilibre. Il vient:<br />
E H = µ t Kt - µe Ke<br />
Kt +<br />
B<br />
Ke<br />
Ex<br />
La constante de Hall est définie par le rapport R H = E H<br />
jx B<br />
De même la conductivité est<br />
σ = j x<br />
Ex<br />
nt e µt<br />
1 + µt 2 B 2<br />
On obtient<br />
R H =<br />
µt Kt - µe Ke<br />
(Kt + Ke) 2 + ( µt Kt - µe Ke ) 2 B 2<br />
σ = (K t + Ke) 2 + ( µt Kt - µe Ke ) 2 B 2<br />
Kt + Ke<br />
Dans le cas d'un seul type de porteur (µe = 0 ou µt = 0), on retrouve les expressions obtenues dans la<br />
théorie simplifiée. Par contre, il apparaît que la constante de Hall est maintenant reliée aux densités de<br />
porteurs par une fonction dépendant de B. Elle peut, suivant les valeurs des mobilités et des densités, avoir un<br />
signe quelconque. Qualitativement, le champ de Hall ne peut plus compenser la force de Laplace à la fois sur<br />
les deux types de porteurs. Les électrons et les trous sont déviés vers une même face du parallélépipède mais<br />
les densités de courant associées à ces mouvements transverses sont opposées.<br />
Semi-conducteurs – effet Hall -3<br />
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
y<br />
E x j<br />
+ -<br />
+ -<br />
x<br />
De même, la conductivité varie avec l'induction magnétique : c'est le phénomène dit de<br />
magnétorésistance.<br />
4-2) Approximation des champs faibles - trajectoires rectilignes<br />
Les expressions ci-dessus sont compliquées en particulier à cause des termes<br />
1 + µi 2 B 2 où µi B = e τ i<br />
=<br />
mi<br />
ωi τi<br />
ωi est la vitesse angulaire qu'aurait le porteur i dans le seul champ B r (trajectoire circulaire). La quantité<br />
1 / τi caractérise la fréquence des collisions subies dans le solide. Si cette fréquence est grande par rapport à<br />
ωi , la courbure de la trajectoire entre deux chocs successifs peut être négligée. Le produit µi B = ωi τi est<br />
alors négligeable devant 1. Un développement donne alors pour σ :<br />
σ = ne µe e + nt µt e - O(B 2)<br />
Le terme du 2ème ordre O(B2) est petit mais positif et a donc pour effet de diminuer la conductivité. Ce<br />
résultat est compatible avec le fait que les trajectoires entre deux chocs ne sont plus linéaires mais incurvées,<br />
donc allongées.<br />
En ce qui concerne R H , on arrive à:<br />
R H =<br />
nt µt 2 - ne µe 2<br />
e (nt µt + ne µe) 2<br />
Semi-conducteurs – effet Hall -4<br />
Plate-forme Matière Condensée et Cristallographie ( MCC) --- C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble