Méthodes et exercices - Dunod

Nous allons montrer que N
∞ ′′ est une norme sur E, les preuves
pour N ∞ et N
∞ ′ étant analogues et plus simples.
• On a, pour toutes f,g ∈ E :
puis :
| f (x)| = ∣ ∣ f (0) + ( f (x) − f (0) )∣ ∣
| f (0)|+|f (x) − f (0)|
N ′′ ∞ ( f + g)
=|( f + g)(0)|+|( f + g) ′ (0)|+ Sup |( f + g) ′′ (x)|
x∈[0;1]
( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| )
(
+ Sup | f ′′ (x)|+|g ′′ (x)| )
x∈[0;1]
( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| )
+ Sup | f ′′ (x)|+ Sup |g ′′ (x)|
x∈[0;1]
x∈[0;1]
= ( | f (0)|+|f ′ (0)|+ Sup | f ′′ (x)| )
x∈[0;1]
=N ′′ ∞ ( f ) + N ′′ ∞ (g).
+ ( |g(0)|+|g ′ (0)|+ Sup |g ′′ (x)| )
x∈[0;1]
• On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E :
N ′′ ∞ (α f ) =|(α f )(0)|+|(α f )′ (0)|+ Sup |(α f ) ′ (x)|
x∈[0;1]
=|α||f (0)|+|α||f ′ (0)|+|α| Sup | f ′′ (x)| =|α|N ′′ ∞ ( f ) .
x∈[0;1]
• Soit f ∈ E telle que N
∞ ′′ ( f ) = 0.
On a alors : | f (0)| +|f ′ (0)| + Sup | f ′′ (x)| = 0,
} {{ } } {{ } x∈[0;1]
0 0 } {{ }
0
donc f (0) = 0, f ′ (0) = 0, Sup | f ′′ (x)| =0.
x∈[0;1]
Il en résulte f ′′ = 0. Il existe donc (a,b) ∈ R 2 tel que :
∀ x ∈ [0; 1], f (x) = ax + b .
{ f (0) = 0
{ a = 0
De plus :
f ′ (0) = 0 ⇐⇒ d’où f = 0.
b = 0
On conclut : N ∞ , N
∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E.
b) 1) • Soit f ∈ E.
Pour tout x ∈ [0 ; 1],d’après l’inégalité des accroissements finis,
appliquée à f sur [0 ; x], on a :
| f (x) − f (0)| x Sup | f ′ (t)| 1 Sup | f ′ (t)| ,
t∈[0;x]
x∈[0;1]
| f (0)|+ Sup | f ′ (t)| =N ′ ∞ ( f ).
t∈[0;1]
Il en résulte : N ∞ ( f ) N
∞ ′ ( f ).
• De même : ∀ f ∈ E, N
∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ) .
2) Montrons que les normes N ∞ , N
∞ ′ , N ∞ ′′ sont deux à deux
non équivalentes :
Considérons la suite ( f n ) n∈N ∗ d’applications de [0 ; 1] dans R
définies, pour tout n ∈ N ∗ , par :
∀ x ∈ [0 ; 1], f n (x) = sin (πnx) .
On a, pour tout n ∈ N ∗ , f n ∈ E et, pour tout x ∈ [0 ; 1] :
f n (x) = sin (πnx), f ′
n
(x) = πn cos (πnx),
f ′′
n (x) =−π2 n 2 sin (πnx) ,
d’où, pour tout n ∈ N ∗ :
N ∞ ( f n ) = 1, N ′ ∞ ( f n) = πn, N ′′ ∞ ( f n) = πn + π 2 n 2 .
Il s’ensuit :
N
∞ ′ ( f n)
= πn −−−→ +∞, N ∞ ′′ ( f n)
N ∞ ( f n ) n ∞ N
∞ ′ ( f = 1 + πn −−−→ +∞,
n) n ∞
N
∞ ′′ ( f n)
N ∞ ( f n ) = πn + π2 n 2 −−−→ +∞.
n ∞
Ainsi, les rapports N ∞ ′ ( f )
N ∞ ( f ) , N ∞ ′′ ( f )
N
∞ ′ ( f ) , N ∞ ′′ ( f ) ne sont pas bornés
lorsque f décrit E −{0}, donc les normes N ∞ , N
N ∞ ( f )
∞ ′ , N ∞
′′
sont deux à deux non équivalentes.
1.14 a) L’application
x
f : E −→ E, x ↦−→ f (x) =
1 +||x|| 2
est continue par opérations sur les applications continues.
b) 1) On a : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x||
1 +||x|| 1 2 2 ,
car : ∀ t ∈ R + ,
t
1 + t − 1 2 2
)
.
d’où : f (E) ⊂ B ′ (
0 ; 1 2
=
−(1 − t)2
2(1 + t 2 ) 0.
(
2) Réciproquement, soit y ∈ B ′ 0 ; 1 )
.
2
Cherchons λ ∈ R pour que f (λy) = y. On a :
f (λy) = y ⇐⇒
λy
1 +||λy|| = y 2 ⇐ || y|| 2 λ 2 − λ + 1 = 0.
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