Méthodes et exercices - Dunod

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
2) De même pour ν 2 .
3) Remarquer que, pour toute f ∈ E :
ν 1 ( f ) 2ν 2 ( f ) et ν 2 ( f ) 2ν 1 ( f ).
1.4 a) Considérer, par exemple, pour a ∈ E fixé, la translation
de vecteur −a :
τ −a : E −→ E, y ↦−→ y − a.
b) Exprimer A + Ω à l’aide des {a}+Ω, a ∈ A.
1.5 1) Si ϕ est continue sur A × B, exprimer f à l’aide de ϕ,
pour déduire que f est continue sur A.
2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer ϕ à
l’aide de f,g et des projections canoniques, pour déduire que ϕ
est continue sur A × B.
1.6
Évaluer, pour (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 :
|| f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 )|| 1 .
1.7 Pour (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 , majorer convenablement | f (x 1 ,x 2 )| à
l’aide de Max (|x 1 |,|x 2 |), et chercher (x 1 ,x 2 ) ≠ (0,0) de façon
qu’il y ait égalité.
1.8
1) A n’est pas bornée.
2) B est fermée et bornée.
1.9 Majorer d(v p ,v q ) en intercalant u p et u q et utiliser les deux
hypothèses : la suite (u n ) n∈N est de Cauchy et d(u n ,v n ) −→ 0. n ∞
1.10 a) • Un sens est immédiat.
• Si B 1 ′ = B′ 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer 1
x, qui est
N 1 (x)
dans B 1 ′ , donc dans B′ 2 .
b) • Un sens est immédiat.
1
• Si B 1 = B 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer x, qui n’est
N 1 (x)
pas dans B 1 , donc pas dans B 2 .
1.11 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des
fermés.
2) Montrer : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, e t 2 + t.
En déduire que toute application constante supérieure ou égale
à 2 est dans A.
1.12 a) 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle
des fermés.
2) • Montrer : d(0,A) 1.
• Considérer f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ 1 − 2x.
1.13
b) 1) Comme en a)1).
2) • Montrer : d(0,B) 1.
• Considérer, pour tout n ∈ N ∗ , une application g n continue, affine
par morceaux, constante égale à 1 sauf près de 0, telle que
g n (0) = 0. Déduire d(0,B) = 1.
• Montrer que d(0,B) n’est pas atteinte, en raisonnant par l’absurde.
a) Revenir à la définition d’une norme.
b) 1) Remarquer d’abord :
∀ f ∈ E, N ∞ ( f ) N ∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ),
en utilisant l’inégalité des accroissements finis.
2) Trouver une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que, par exemple,
N ∞ ′ ( f n)
N ∞ ( f n ) −→ +∞. n ∞
1.14
b) 1) Remarquer : ∀ t ∈ R + ,
(
et déduire l’inclusion f (E) ⊂ B ′ 0 ; 1 2
(
2) Réciproquement, pour y ∈ B ′ 0 ; 1 2
pour que f (λy) = y.
t
1 + t 1 2 2 ,
)
.
)
fixé, chercher λ ∈ R
1.15 1) Montrer que E est fermée, comme image réciproque
d’un fermé par une application continue.
2) Montrer que E est bornée, en utilisant les coordonnées
polaires par exemple.
1.16
a) Soit g ∈ F ⊥ . Considérer l’application
f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ xg(x)
qui est dans F, et traduire < f,g > = 0.
1.17 Pour X = t (x 1 ,...,x n ) ∈ M n,1 (C), majorer convenablement
|| f (X)|| 1 en faisant intervenir ||X|| 1 .
n∑
Ayant obtenu le coefficient M = Max |a ij |, chercher
1 jn
i=1
X ≠ 0 de façon que : || f (X)|| 1 = M||X|| 1 .
1.18 a) • Montrer d’abord, pour tout (x,y) ∈ R 2 , l’existence de
|x + ty|
N(x,y), en montrant que l’application t ↦−→
est bornée
sur R.
1 + t + t2 • Revenir à la définition d’une norme.
b) Transformer la condition N(x,y) 1 en :
∀ t ∈ R, −1
x + ty
1 + t + t 2 1,
puis utiliser les résultats sur les trinômes réels.
c) Calculer l’aire comme intégrale double de la constante 1.
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