Méthodes et exercices - Dunod

Du mal à démarrer ?
PSI
1.21
1.22
1.23
1.24
Applications continues de limites infinies en +∞ et en −∞
Soit f : R −→ R une application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux à
deux équivalentes :
(i) L’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R
(ii) lim | f |=+∞
−∞
et lim | f |=+∞
+∞
(
)
(iii) lim f =−∞ou lim f =+∞
−∞ −∞
et
(
)
lim f =−∞ou lim f =+∞ .
+∞ +∞
Exemple de norme issue d’un produit scalaire
On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) et N : E −→ R l’application définie par :
Montrer que N est une norme sur E.
( ∫ 1 1
∀ f ∈ E, N( f ) = f ′2 2
+ f (0) f (1))
.
0
Inégalité sur des normes
Soient (E,||.||) un evn, x,y ∈ E −{0}. Démontrer :
x
∣∣
||x|| − y
||y|| ∣∣ 2 ||x − y||
Max (||x||, ||y||) .
Exemple de norme paramétrée par une fonction
On note E = C ( [0; 1],R ) et, pour ϕ ∈ E, Nϕ : E −→ R l’application définie par :
∀ f ∈ E, N ϕ ( f ) =||f ϕ|| ∞ .
a) Montrer que Nϕ est une norme sur E si et seulement si ( ϕ −1 ({0}) ) ◦
= ∅.
b) Montrer que Nϕ et || · || ∞ sont des normes sur E équivalentes si et seulement si ϕ −1 ({0}) = ∅.
PSI
1.25
Endomorphismes continus tels que u ◦ v − v ◦ u = e
Soit E un evn distinct de {0}. On note e = Id E .
On suppose qu’il existe (u,v) ∈ ( LC(E) ) 2
tel que : u ◦ v − v ◦ u = e.
a) Montrer : ∀ n ∈ N, u ◦ v n+1 − v n+1 ◦ u = (n + 1)v n .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
b) En déduire : ∀ n ∈ N, (n + 1)|||v n ||| 2 |||u||| |||v||| |||v n |||.
c) Conclure.
Du mal à démarrer ?
1.1 Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité triangulaire.
1.2 a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des
fermés.
b) Montrer que U n’est pas ouvert, en trouvant f ∈ U telle que,
pour tout ε ∈ R ∗ + , B( f ; ε) U.
1.3 1) Montrer que ν 1 est une norme sur E en revenant à la
définition d’une norme.
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