Méthodes et exercices - Dunod

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
a) Montrer que N ∞ , N
∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E.
b) Comparer les normes N ∞ , N
∞ ′ , N ∞ ′′ pour la relation d’équivalence entre normes.
1.14
Exemple d’application continue
Soit (E,||.||) un evn. On considère l’application f : E −→ E, x ↦−→ f (x) =
(
Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B ′ 0 ; 1 )
.
2
x
1 +||x|| 2 .
PSI
1.15
Exemple de partie compacte de R 2
{
}
La partie E = (x,y) ∈ R 2 ; x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4) = 0 de R 2 est-elle compacte ?
PSI
1.16
1.17
Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E,
tel que F ⊥ ne soit pas un supplémentaire de F dans E
On note E = C ( [0 ; 1] ; R ) , muni du produit scalaire ( f,g) ↦−→< f , g > =
considère F = { f ∈ E ; f (0) = 0 } .
Montrer : a) F ⊥ ={0} b) F ⊕ F ⊥ =/ E.
∫ 1
0
fg et on
Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire
en dimension finie
Soient n ∈ N ∗ , A = (a ij ) ij ∈ M n (C), f l’endomorphisme de M n,1 (C) représenté par A dans la
base canonique. Calculer la norme subordonnée de f lorsque M n,1 (C) est muni, au départ et à l’arrivée,
de ||.|| 1 .
1.18
Exemple de norme sur R 2 , détermination d’une boule
On note N : R 2 −→ R, (x,y) ↦−→ Sup
t∈R
a) Montrer que N est une norme sur R 2 .
|x + ty|
1 + t + t 2 .
b) Représenter graphiquement la boule B ′ N (0 ; 1) = { (x,y) ∈ R 2 ; N(x,y) 1 } dans le plan
usuel.
c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de B
N ′ (0 ; 1).
PSI
1.19
1.20
Exemple de deux normes équivalentes
On note E le R-ev des applications f :[0; 1] −→ R de classe C 1 sur [0; 1] et telles
que f (0) = 0 . Pour f ∈ E, on note N( f ) = Sup | f (x)|+ Sup | f ′ (x)| et
x∈[0;1]
x∈[0;1]
ν( f ) = Sup | f (x) + f ′ (x)|. Montrer que N et ν sont des normes sur E, et qu’elles sont équivalentes.
x∈[0;1]
Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints
Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F ∩ G = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts
U,V de E tels que : F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅.
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