Méthodes et exercices - Dunod

Énoncés des exercices
1.8
Une partie est-elle compacte, non compacte ?
⎧
⎨
On considère l’application f : R −→ R, x ↦−→ f (x) =
⎩
A = { x ∈ R ; f (x) = 0 } {
, B = x ∈ R ; f (x) 1 }
.
2
sin x
x
si x =/ 0
1 si x = 0
et on note :
Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ?
PSI
1.9
1.10
Suite proche d’une suite de Cauchy
Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (u n ) n∈N ,(v n ) n∈N deux suites dans E telles
que : d(u n ,v n ) −→ 0. Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi.
n ∞
Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes
Soient E un K-evn, N 1 ,N 2 deux normes sur E. On note, pour tout i ∈{1,2} :
B i = { x ∈ E ; N i (x)