Méthodes et exercices - Dunod

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Énoncés des exercices
1.1
Inégalité sur des normes
Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t ∈ E. Montrer :
||x − y|| + ||z − t|| ||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||.
1.2
Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ?
On note E le R-ev des applications continues bornées de R dans R, muni de ||.|| ∞ .
a) Est-ce que F = { f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) 0 } est fermée dans E ?
{
b) Est-ce que U = f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) >0}
est ouverte dans E ?
1.3
Exemple de deux normes équivalentes
On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) et ν 1 ,ν 2 les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E,
par : ν 1 ( f ) =|f (0)|+2
∫ 1
| f ′ (t)| dt, ν 2 ( f ) = 2| f (0)|+
∫ 1
0
0
Montrer que ν 1 et ν 2 sont des normes sur E et qu’elles sont équivalentes.
| f ′ (t)| dt.
PSI
1.4
Somme d’une partie et d’un ouvert
Soient E un evn, Ω un ouvert de E.
a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la partie {a}+Ω = { a + x ; x ∈ Ω } est un ouvert de E.
b) En déduire que, pour toute partie A de E, la partie A + Ω = { a + x ; (a,x) ∈ A × Ω } est un
ouvert de E.
1.5
Fonction continue à deux variables
Soient E,F,G des evn, A ⊂ E telle que A =/ ∅, B ⊂ F telle que B =/ ∅, et
f : A −→ G, g : B −→ G deux applications.
On note :
ϕ : A × B −→ G, (x,y) ↦−→ ϕ(x,y) = f (x) + g(y).
Montrer que ϕ est continue sur A × B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue
sur B.
PSI
1.6
1.7
Exemple d’application lipschitzienne
Soit (a,b) ∈ (R + ) 2 . On munit R 2 de la norme ||.|| 1 définie, pour tout (x,y) ∈ R 2 , par :
||(x 1 ,x 2 )|| 1 =|x 1 |+|x 2 |. On note f : R 2 −→ R 2 , (x 1 ,x 2 ) ↦−→ f (x 1 ,x 2 ) = (ax 2 , bx 1 ).
Montrer que f est lipschitzienne.
Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire
en dimensions finies
On note f : R 2 −→ R, (x 1 ,x 2 ) ↦−→ 2x 1 − 3x 2 . Vérifier que f est linéaire et calculer ||| f |||
lorsque R 2 est muni de ||.|| ∞ et R est muni de |.|.
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