Méthodes et exercices - Dunod

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Pour manipuler
la distance d(x,A)
d’un point x d’un K-evn E
à une partie non vide A de E
Pour montrer
qu’une application
f : X ⊂ E −→ F
est continue
en un point a de X
Pour montrer
qu’une application
f : X ⊂ E −→ F
est continue sur X
Pour manipuler une application
f : X ⊂ E −→ Fk-lipschitzienne
Utiliser la définition :
ce qui revient à :
{ ∀ a ∈ A, d(x,A) d(x,a)
∀ k ∈ R + ,
d(x,A) = Inf
a∈A d(x,a),
( (∀,a
∈ A, k d(x,a)
)
⇒ k d(x,A)
)
.
On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalité
triangulaire renversée.
➥ Exercice 1.12.
• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité
en un point.
➥ Exercice 1.14
• Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonction-coordonnée
de f est continue en a.
• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :
( ) )
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ A,
(d E (x,a) η ⇒ d F f (x), f (a) ε .
• Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-dire
montrer que, pour toute suite (a n ) n dans A convergeant vers a, la
suite ( f (a n ) ) converge vers f (a).
n
• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité
sur une partie.
➥ Exercice 1.5
• Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux
méthodes vues plus haut.
• Se souvenir que le caractère lipschitzien entraîne la continuité.
Utiliser la définition :
∀ (x 1 ,x 2 ) ∈ X 2 (
, d F f (x1 ), f (x 2 ) ) kd(x 1 ,x 2 ).
➥ Exercice 1.6
Montrer d’abord qu’il existe M ∈ R + tel que :
∀ x ∈ E, || f (x)|| F M||x|| E ,
Pour calculer
la norme |||f|||
d’une application linéaire
f ∈ L(E,F) où E,F sont des evn
de dimensions finies
PSI
et on a alors ||| f ||| M, où, par définition :
|| f (x)|| F
||| f ||| = Sup
= Sup || f (x)|| F .
x∈E−{0} ||x|| E x∈B(0 ;1)
On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait :
||| f ||| = M.
On cherchera donc x 0 ∈ E −{0} de façon que || f (x 0)|| F
||x 0 || E
= M.
➥ Exercice 1.7, 1.17.
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