Méthodes et exercices - Dunod

Les méthodes à retenir
Pour montrer que deux normes
N, N ′ sur un K-espace vectoriel E
sont équivalentes
• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la
définition, c’est-à-dire montrer :
∃ (α,β) ∈ (R ∗ + )2 , ∀,x ∈ E, αN(x) N ′ (x) βN(x).
➥ Exercices 1.3, 1.19, 1.24
• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes
sur E sont équivalentes.
Pour montrer que deux normes
N, N ′ sur un K-espace vectoriel E
ne sont pas équivalentes
Chercher une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que :
N ′ ( f n )
N( f n ) −−→ +∞ ou N( f n )
n ∞ N ′ ( f n ) −−→
n ∞
+∞.
➥ Exercices 1.13, 1.24.
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Pour montrer
qu’une partie A d’un evn E
est fermée dans E
Pour montrer
qu’une partie Ω d’un evn E
est ouverte dans E
• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisation
séquentielle des fermés :
la partie A de E est fermée dans E si et seulement si, pour toute suite
(a n ) n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A.
➥ Exercices 1.2 a), 1.11, 1.12
• Essayer de montrer que :
∗ A est une intersection de fermés de E
∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E
∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés
• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une
application continue.
• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que
∁ E (A) est ouvert dans E.
• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :
∀x ∈ Ω, ∃ r > 0, B(x ; r) ⊂ .
• Montrer que ∁ E (Ω) est un fermé de E
• Essayer de montrer que :
∗ Ω est une réunion d’ouverts de E
➥ Exercice 1.4 b)
PSI
∗ Ω est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E
• Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert par
une application continue.
➥ Exercices 1.4 a), 1.20.
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