Méthodes et exercices - Dunod

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
• Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications
linéaires, définition et propriétés de la norme |||.|||
• Définition de la compacité, image continue d’un compact, équivalence des
normes en dimension finie
• Définition d’une suite de Cauchy dans un evn de dimension finie, équivalence
logique entre suite de Cauchy et suite convergente dans un tel evn
• Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien,
inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et cas
d’égalité
• Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théorème
de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de projection
orthogonale sur un sev de dimension finie.
Les méthodes à retenir
On abrège :
espace vectoriel en ev
sous-espace vectoriel en sev
espace vectoriel normé en evn.
Pour montrer qu’une application
N : E −→ R est une norme sur un
K-espace vectoriel E
Revenir à la définition.
Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E, N(x) existe, en particulier
lorsque N(x) est donnée par une borne supérieure ou une
intégrale.
➥ Exercices 1.18 a), 1.19, 1.24.
Pour exprimer la distance d
associée à une norme sur un K-ev E
à partir de cette norme, ou pour
exprimer une norme à partir de la
distance associée d sur E
Utiliser les formules :
∀(x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = N(x − y),
∀x ∈ E, N(x) = d(0,x).
Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire :
Pour établir une inégalité
faisant intervenir
une norme ||.|| sur un K-ev
∀ (x,y) ∈ E 2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||,
ou l’inégalité triangulaire renversée :
∀ (x,y) ∈ E 2 , ∣ ∣||x|| − ||y|| ∣ ∣ ||x − y||.
➥ Exercices 1.1, 1.23.
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