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Jean-Marie Monier<br />
mathémati ues<br />
Méthodes <strong>et</strong> <strong>exercices</strong><br />
PC-PSI-PT<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir<br />
Plus de 600 énoncés<br />
d’<strong>exercices</strong><br />
Indications pour bien<br />
démarrer<br />
Tous les corrigés détaillés
MATHÉMATIQUES<br />
MÉTHODES ET EXERCICES<br />
PC-PSI-PT<br />
Jean-Marie Monier<br />
Professeur<br />
en classe de Spéciales<br />
au lycée La Martinière-Monplaisir<br />
à Lyon
Table des matières<br />
1. Espaces vectoriels normés 1<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 2<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 6<br />
Du mal à démarrer ? 9<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 12<br />
2. Fonctions vectorielles<br />
d’une variable réelle 23<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 24<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 28<br />
Du mal à démarrer ? 35<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 39<br />
3. Intégration<br />
sur un intervalle quelconque 57<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 58<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 60<br />
Du mal à démarrer ? 68<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 74<br />
4. Séries 113<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 114<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 117<br />
Du mal à démarrer ? 125<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 129<br />
5. Suites <strong>et</strong> séries<br />
d’applications 157<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 159<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 165<br />
Du mal à démarrer ? 174<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 179<br />
6. Séries entières 221<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 222<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 226<br />
Du mal à démarrer ? 235<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 240<br />
7. Séries de Fourier 283<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 283<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 285<br />
Du mal à démarrer ? 289<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 292<br />
8. Équations différentielles 307<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 308<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 311<br />
Du mal à démarrer ? 319<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 323<br />
IV
Table des matières<br />
9. Fonctions<br />
de plusieurs variables réelles 349<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 350<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 353<br />
Du mal à démarrer ? 355<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 357<br />
10. Compléments<br />
d’algèbre linéaire 365<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 366<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 367<br />
Du mal à démarrer ? 372<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 376<br />
11. Déterminants,<br />
systèmes linéaires 389<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 389<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 391<br />
Du mal à démarrer ? 395<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 397<br />
12. Réduction<br />
des endomorphismes<br />
<strong>et</strong> des matrices carrées 407<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 408<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 410<br />
Du mal à démarrer ? 419<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 423<br />
13. Espaces préhilbertiens réels 447<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 448<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 451<br />
Du mal à démarrer ? 460<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 465<br />
14. Géométrie 489<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 490<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 493<br />
Du mal à démarrer ? 496<br />
Corrigés des <strong>exercices</strong> 499<br />
Index alphabétique 511<br />
V
· ·<br />
· ·<br />
Pour bien utiliser c<strong>et</strong> ouvrage<br />
La page d’entrée de chapitre<br />
Elle propose un plan du chapitre, les<br />
thèmes abordés dans les <strong>exercices</strong>, ainsi<br />
qu’un rappel des points essentiels du cours<br />
pour la résolution des <strong>exercices</strong>.<br />
−<br />
∗<br />
○<br />
·<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir<br />
(<br />
· )<br />
(<br />
·<br />
)<br />
C<strong>et</strong>te rubrique constitue une synthèse des principales<br />
méthodes à connaître,détaillées étape par<br />
étape, <strong>et</strong> indique les <strong>exercices</strong> auxquels elles se<br />
rapportent.<br />
∗<br />
○<br />
VI
Pour obtenir une égalité entre<br />
une fonction <strong>et</strong> une somme<br />
de série trigonométrique<br />
Pour obtenir une inégalité<br />
portant sur des intégrales<br />
( ) −<br />
Essayer d’appliquer un des deux théorèmes de Dirichl<strong>et</strong> à une fonction<br />
bien choisie.<br />
➥ Exercice 7.6.<br />
➥ Exercices 7.9, 7.11, 7.13.<br />
− − −<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong><br />
De nombreux <strong>exercices</strong> de difficulté croissante<br />
sont proposés pour s’entraîner. La difficulté de<br />
chaque exercice est indiquée sur une échelle de<br />
1 à 4.<br />
Pour relier entre elles des sommes Séparer, dans une somme partielle, les termes d’indices pairs, d’indices<br />
impairs, puis passer aux limites.<br />
de séries convergentes du genre<br />
+∞∑ 1<br />
+∞∑<br />
n , <strong>et</strong> 1<br />
2 (2p+1) 2<br />
n=1<br />
p=0<br />
Pour calculer<br />
les coefficients de Fourier<br />
d’une fonction,<br />
lorsque le calcul direct<br />
ne paraît pas faisable<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong><br />
➥ Exercices 7.1 c), 7.2 c), 7.7 c).<br />
Exprimer la fonction comme somme d’une série de fonctions <strong>et</strong> montrer<br />
que l’on peut permuter intégrale <strong>et</strong> série par l’une des trois<br />
méthodes habituelles (cf. les méthodes à r<strong>et</strong>enir du chapitre 5).<br />
PC, PSI<br />
➥ Exercices 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 a), 7.22 b)<br />
Ne pas confondre l’indice d’un terme de la sommation donnant f initialement,<br />
<strong>et</strong> l’indice concernant le terme d’une série de Fourier.<br />
de carrés de fonctions<br />
PSI<br />
Parseval.<br />
Essayer de se ramener, quand c’est possible, à une inégalité portant<br />
sur des sommes de séries numériques, en utilisant une formule de<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong><br />
7.1<br />
Exemple de développement en série de Fourier, créneau<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
7.2<br />
Soit f : R −→ R, 2π-périodique, paire, telle que, pour tout t ∈ [0 ; π] :<br />
f (t) = 1 si 0 t < π 2 , f (t) = 0 si t = π 2 , f (t) =−1 si π 2 < t π .<br />
a) Vérifier f ∈ CM2π <strong>et</strong> calculer les coefficients de Fourier (trigonométriques) de f.<br />
b) Étudier les convergences de la série de Fourier de f <strong>et</strong> préciser sa somme.<br />
+∞∑ (1) p +∞∑<br />
c) En déduire les sommes de séries suivantes :<br />
2p + 1 , 1<br />
+∞∑<br />
(2p + 1) , 1<br />
2 n . 2<br />
Exemple de développement en série de Fourier, dent de scie continue<br />
Soit f : R −→ R, 2π-périodique, impaire, telle que :<br />
p=0<br />
p=0<br />
n=1<br />
f (t) = t si 0 t < π 2 , f (t) = π − t si π 2 t π .<br />
285<br />
α<br />
−<br />
Du mal à démarrer ?<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− π π<br />
Des conseils méthodologiques sont proposés<br />
pour bien aborder la résolution des <strong>exercices</strong>.<br />
−<br />
−<br />
( )<br />
− −<br />
−<br />
∣<br />
∗<br />
○<br />
∣ ∼ −−−<br />
∼<br />
−<br />
−<br />
∣<br />
∗<br />
○<br />
∣<br />
Corrrigés des <strong>exercices</strong><br />
Tous les <strong>exercices</strong> sont corrigés de façon détaillée.<br />
∣<br />
∗<br />
○<br />
− ∼<br />
−<br />
−<br />
∣ ∼ −−−<br />
−<br />
∼<br />
∣ ∼ −−−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− −<br />
− − − − −<br />
( )<br />
−<br />
∣<br />
∗<br />
○<br />
∣<br />
∣<br />
∣ −−−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
∣<br />
∣<br />
∗<br />
○<br />
( )( ) −<br />
−<br />
( )<br />
( ) −−−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
VII
Préface<br />
Préface<br />
Alors que, récemment, je feuill<strong>et</strong>ais l’un des manuels de mathématiques qui servait de référence lorsque – voici<br />
quelques décennies ! – j’étais en prépa, me revinrent en mémoire certaines sensations : à la lecture des énoncés des<br />
<strong>exercices</strong> que j’avais jadis cochés, d’une concision à la fois élégante <strong>et</strong> provocante, je me rappelais le plaisir que j’avais<br />
éprouvé à la résolution de quelques-uns d’entre eux mais aussi, c<strong>et</strong>te étrange amertume, pas encore totalement estompée<br />
aujourd’hui, que j’avais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalés d’un simple astérisque,<br />
après de vains efforts <strong>et</strong> plusieurs tentatives avortées.<br />
Les volumes Méthodes <strong>et</strong> Exercices (pour MP d’une part, PC-PSI-PT d’autre part) que J.-M. Monier nous présente<br />
aujourd’hui semblent tout spécialement écrits pour éviter ce traumatisme aux étudiants d’aujourd’hui <strong>et</strong> de demain.<br />
Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties éminemment complémentaires :<br />
• Les méthodes constituent ce guide précieux qui perm<strong>et</strong> à l’étudiant de passer, confiant, efficacement « coaché », du<br />
cours qu’il apprend à la recherche nécessaire <strong>et</strong> fructueuse des <strong>exercices</strong>. Si les théorèmes du cours sont les outils de<br />
l’artisan-étudiant, les méthodes <strong>et</strong> techniques proposées ici en sont les modes d’emploi. Évidemment, ces conseils<br />
sont particulièrement soignés <strong>et</strong> pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue <strong>et</strong> multiple expérience de J.-M.<br />
Monier, pédagogue avéré, interrogateur recherché <strong>et</strong> auteur apprécié de maints ouvrages reconnus ?<br />
Pour une aide encore plus précise, chaque méthode est assortie de la liste des <strong>exercices</strong> dans lesquels sa mise en œuvre<br />
est souhaitable.<br />
• Les <strong>exercices</strong>, nombreux, variés <strong>et</strong> souvent originaux, couvrent la totalité du programme, chapitre après chapitre. Ils<br />
répondent parfaitement à un triple objectif :<br />
⋆ perm<strong>et</strong>tre d’assurer, d’approfondir <strong>et</strong> d’affiner, pendant son apprentissage, la compréhension du cours ;<br />
⋆ consolider <strong>et</strong> enrichir ses connaissances par la résolution d’<strong>exercices</strong> plus substantiels <strong>et</strong> de questions plus délicates<br />
;<br />
⋆ réaliser des révisions efficaces <strong>et</strong> ciblées lors de la préparation des épreuves écrites ou orales des concours.<br />
Ces <strong>exercices</strong> sont judicieusement classés en quatre niveaux de difficulté croissante, perm<strong>et</strong>tant ainsi aussi bien au néophyte<br />
de se m<strong>et</strong>tre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu’à l’étudiant chevronné de se<br />
mesurer à des <strong>exercices</strong> plus difficiles <strong>et</strong> délicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre<br />
est couvert par des <strong>exercices</strong> des quatre niveaux. L’abandon douloureux devant une question trop abruptement posée,<br />
dont je parlais au début, ne saurait se produire avec l’ouvrage de J.-M. Monier : en eff<strong>et</strong>, dans la rubrique « Du mal à<br />
démarrer », il apporte à l’étudiant(e) qui le souhaite une aide discrète, rappelant ici la méthode adéquate, donnant là<br />
une indication précieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche…<br />
Pour chaque exercice, l’auteur s’est imposé la rédaction complète <strong>et</strong> appliquée d’un corrigé clair, précis, détaillé, osons<br />
le mot, exemplaire. S’il est louable <strong>et</strong> formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel<br />
perm<strong>et</strong> à chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (<strong>et</strong> il en éprouve un indicible plaisir !), soit<br />
de s’aider du corrigé pour parvenir, rassuré <strong>et</strong> guidé, à c<strong>et</strong>te solution.<br />
Qu’il me soit aussi permis d’insister sur l’ampleur de ces volumes, liée à la grande variété des <strong>exercices</strong> choisis, <strong>et</strong> qui<br />
est rare à ce niveau d’études, en même temps que sur leur prix très modique !<br />
VIII
Préface<br />
Ces ouvrages de consultation particulièrement agréable constituent l’outil efficace <strong>et</strong> compl<strong>et</strong> qui perm<strong>et</strong>tra à chacun,<br />
à son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de développer son goût pour les mathématiques <strong>et</strong> ses compétences<br />
<strong>et</strong>, tout à la fois, de forger son succès.<br />
Quant à moi, un regr<strong>et</strong> est en train de m’assaillir : pourquoi n’ai-je pas attendu la rentrée prochaine pour commencer<br />
ma prépa ?<br />
H. Durand,<br />
professeur en Mathématiques Spéciales PT*<br />
au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon.<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
IX
Index alphabétique<br />
Remerciements<br />
Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit :<br />
Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin<br />
Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laffont, Cécile Lardon, Ibrahim<br />
Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.<br />
Jean-Marie Monier<br />
X
Programmes PC, PSI, PT<br />
Index alphabétique<br />
Chapitre 1 : Espaces vectoriels normés<br />
• Les étudiant(e)s de PT n’ont à connaître que le cas de R n muni de la norme euclidienne : norme euclidienne, distance<br />
associée, boules, parties ouvertes, parties fermées, parties bornées, suites dans R n ; toute suite convergente est<br />
bornée, opérations algébriques sur les suites.<br />
• Les étudiant(e)s de PC n’ont pas à connaître les notions suivantes : suite de Cauchy, point intérieur, caractérisation<br />
séquentielle des points adhérents ou des parties fermées, image réciproque d’une partie ouverte (resp. fermée) par<br />
une application continue.<br />
Chapitre 2 : Fonctions vectorielles d’une variable réelle<br />
• Pour les étudiant(e)s de PT, les fonctions de ce chapitre 2 sont à valeurs dans R n muni de son produit scalaire usuel<br />
<strong>et</strong> de la norme euclidienne associée.<br />
Chapitre 4 : Séries<br />
• La CNS de Cauchy de convergence d’une série à termes réels ou complexes ne concerne que les étudiant(e)s de PSI.<br />
• Les étudiant(e)s de PT n’ont pas à connaître la formule de Stirling ni le produit de deux séries numériques.<br />
Chapitre 5 : Suites <strong>et</strong> séries d’applications<br />
• Ce chapitre ne concerne pas les étudiant(e)s de PT.<br />
• Les étudiant(e)s de PC n’ont pas à connaître la notion de convergence uniforme. Son intervention est remplacée par<br />
celle de la convergence normale ou par un théorème sur les séries entières. Cependant, le programme PC comporte<br />
une étude de l’approximation uniforme.<br />
Chapitre 6 : Séries entières<br />
• Les programmes PC <strong>et</strong> PT, pour compenser l’absence de l’étude de la convergence uniforme, contiennent un théorème<br />
sur les séries entières appelé théorème de la limite radiale.<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
Chapitre 7 : Séries de Fourier<br />
• Le programme PT ne comporte pas l’étude des coefficients de Fourier exponentiels.<br />
• Le programme PT comporte une définition de a 0 différente de celle figurant dans les programmes MP, PC, PSI. Nous<br />
optons pour les formules classiques qui sont celles de ces derniers programmes, <strong>et</strong> qui donnent comme série de<br />
Fourier trigonométrique de f : a 0<br />
2 + ∑ (<br />
an cos nωt + b n sin nωt ) .<br />
n1<br />
Chapitre 8 : Équations différentielles<br />
• L’étude des systèmes autonomes ne figure qu’en PC.<br />
• Les étudiant(e)s de PT n’ont pas à connaître la notion de wronskien.<br />
XI
Programmes PC, PSI, PT<br />
Chapitre 9 : Fonctions de plusieurs variables réelles<br />
• L’inégalité des accroissements finis pour une application f : U −→ R de classe C 1 sur un ouvert convexe U de R p<br />
ne concerne que les étudiant(e)s de PSI.<br />
• La condition suffisante d’extrémum local pour une application f : U −→ R de classe C 2 sur un ouvert U de R 2 ,faisant<br />
intervenir l’expression s 2 − rt, ne concerne que les étudiant(e)s de PT.<br />
Chapitre 10 : Compléments d’algèbre linéaire<br />
• Pour les étudiant(e)s de PT, la notion de somme directe n’est au programme que dans le cas de deux sous-espaces<br />
vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.<br />
• L’étude de l’interpolation du point de vue de l’algèbre linéaire <strong>et</strong> la dualité ne sont pas au programme PT.<br />
• Les notions de base duale <strong>et</strong> de base préduale ne sont qu’au programme PSI.<br />
Chapitre 11: Déterminants<br />
• L’étude du groupe symétrique <strong>et</strong> la définition <strong>et</strong> les propriétés de la comatrice ne sont qu’au programme PSI.<br />
Chapitre 12: Réduction des endomorphismes <strong>et</strong> des matrices carrées<br />
• Les notions de polynôme d’endomorphisme <strong>et</strong> de polynôme de matrice carrée ne sont pas au programme PT.<br />
• Le théorème de Cayley <strong>et</strong> Hamilton <strong>et</strong> l’étude des idéaux de K [X] ne sont qu’au programme PSI.<br />
Chapitre 13: Espaces préhilbertiens réels<br />
• L’étude des formes bilinéaires symétriques <strong>et</strong> des formes quadratiques n’est pas au programme PC.<br />
• La notion d’adjoint <strong>et</strong> la réduction simultanée ne sont qu’au programme PSI.<br />
Chapitre 14 : Géométrie<br />
• L’enveloppe d’une famille de droites du plan, le centre de courbure, la développée d’une courbe du plan <strong>et</strong> les développantes<br />
d’une courbe du plan, les surfaces réglées, les surfaces développables, les courbes tracées sur une surface<br />
<strong>et</strong> satisfaisant une condition différentielle ne sont qu’au programme PT.<br />
• Les cylindres, cônes, surfaces de révolution ne sont pas au programme PSI.<br />
XII
Espaces vectoriels<br />
normés<br />
1<br />
CHAPITRE<br />
Plan<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir 2<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong> 6<br />
Du mal à démarrer ? 9<br />
Corrigés 12<br />
Ce chapitre 1 ne concerne que les filières PC <strong>et</strong> PSI, <strong>et</strong> non la filière PT.<br />
Thèmes abordés dans les <strong>exercices</strong><br />
• Montrer qu'une application est une norme<br />
• Obtention d’inégalités portant sur des normes<br />
• Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes<br />
• Montrer qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, est (n’est pas) ouverte<br />
• Manipulation de fermés, d’ouverts<br />
• Calcul de la distance d’un point à une partie<br />
• Utilisation de la continuité, du caractère lipschitzien<br />
• Montrer qu’une application linéaire f est continue, calculer ||| f |||<br />
• Montrer qu’une partie est (n’est pas) compacte, manipulation de parties compactes<br />
• Utilisation d’une suite de Cauchy<br />
• Montrer qu’une application est un produit scalaire<br />
• Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien<br />
Points essentiels du cours<br />
pour la résolution des <strong>exercices</strong><br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
• Définition de norme, espace vectoriel normé, distance associée à une norme,<br />
inégalité triangulaire renversée, normes équivalentes<br />
• Définition de boule ouverte, boule fermée, parties bornées<br />
• Définition <strong>et</strong> propriétés de : ouvert, fermé, point adhérent<br />
• Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E, caractérisation<br />
de d(x,A) = 0<br />
• Définition <strong>et</strong> propriétés de la convergence des suites, suites extraites<br />
• Définition <strong>et</strong> propriétés des limites, de la continuité en un point, de la continuité<br />
sur une partie<br />
• Définition du caractère lipschitzien, lien entre continue <strong>et</strong> lipschitzienne<br />
1
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés<br />
• Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications<br />
linéaires, définition <strong>et</strong> propriétés de la norme |||.|||<br />
• Définition de la compacité, image continue d’un compact, équivalence des<br />
normes en dimension finie<br />
• Définition d’une suite de Cauchy dans un evn de dimension finie, équivalence<br />
logique entre suite de Cauchy <strong>et</strong> suite convergente dans un tel evn<br />
• Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien,<br />
inégalité de Cauchy <strong>et</strong> Schwarz <strong>et</strong> cas d’égalité, inégalité de Minkowski <strong>et</strong> cas<br />
d’égalité<br />
• Définition <strong>et</strong> propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théorème<br />
de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de projection<br />
orthogonale sur un sev de dimension finie.<br />
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir<br />
On abrège :<br />
espace vectoriel en ev<br />
sous-espace vectoriel en sev<br />
espace vectoriel normé en evn.<br />
Pour montrer qu’une application<br />
N : E −→ R est une norme sur un<br />
K-espace vectoriel E<br />
Revenir à la définition.<br />
Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E, N(x) existe, en particulier<br />
lorsque N(x) est donnée par une borne supérieure ou une<br />
intégrale.<br />
➥ Exercices 1.18 a), 1.19, 1.24.<br />
Pour exprimer la distance d<br />
associée à une norme sur un K-ev E<br />
à partir de c<strong>et</strong>te norme, ou pour<br />
exprimer une norme à partir de la<br />
distance associée d sur E<br />
Utiliser les formules :<br />
∀(x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = N(x − y),<br />
∀x ∈ E, N(x) = d(0,x).<br />
Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire :<br />
Pour établir une inégalité<br />
faisant intervenir<br />
une norme ||.|| sur un K-ev<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||,<br />
ou l’inégalité triangulaire renversée :<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , ∣ ∣||x|| − ||y|| ∣ ∣ ||x − y||.<br />
➥ Exercices 1.1, 1.23.<br />
2
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir<br />
Pour montrer que deux normes<br />
N, N ′ sur un K-espace vectoriel E<br />
sont équivalentes<br />
• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la<br />
définition, c’est-à-dire montrer :<br />
∃ (α,β) ∈ (R ∗ + )2 , ∀,x ∈ E, αN(x) N ′ (x) βN(x).<br />
➥ Exercices 1.3, 1.19, 1.24<br />
• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes<br />
sur E sont équivalentes.<br />
Pour montrer que deux normes<br />
N, N ′ sur un K-espace vectoriel E<br />
ne sont pas équivalentes<br />
Chercher une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que :<br />
N ′ ( f n )<br />
N( f n ) −−→ +∞ ou N( f n )<br />
n ∞ N ′ ( f n ) −−→<br />
n ∞<br />
+∞.<br />
➥ Exercices 1.13, 1.24.<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
Pour montrer<br />
qu’une partie A d’un evn E<br />
est fermée dans E<br />
Pour montrer<br />
qu’une partie Ω d’un evn E<br />
est ouverte dans E<br />
• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisation<br />
séquentielle des fermés :<br />
la partie A de E est fermée dans E si <strong>et</strong> seulement si, pour toute suite<br />
(a n ) n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A.<br />
➥ Exercices 1.2 a), 1.11, 1.12<br />
• Essayer de montrer que :<br />
∗ A est une intersection de fermés de E<br />
∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E<br />
∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés<br />
• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une<br />
application continue.<br />
• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que<br />
∁ E (A) est ouvert dans E.<br />
• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :<br />
∀x ∈ Ω, ∃ r > 0, B(x ; r) ⊂ .<br />
• Montrer que ∁ E (Ω) est un fermé de E<br />
• Essayer de montrer que :<br />
∗ Ω est une réunion d’ouverts de E<br />
➥ Exercice 1.4 b)<br />
PSI<br />
∗ Ω est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E<br />
• Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert par<br />
une application continue.<br />
➥ Exercices 1.4 a), 1.20.<br />
3
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés<br />
Pour manipuler<br />
la distance d(x,A)<br />
d’un point x d’un K-evn E<br />
à une partie non vide A de E<br />
Pour montrer<br />
qu’une application<br />
f : X ⊂ E −→ F<br />
est continue<br />
en un point a de X<br />
Pour montrer<br />
qu’une application<br />
f : X ⊂ E −→ F<br />
est continue sur X<br />
Pour manipuler une application<br />
f : X ⊂ E −→ Fk-lipschitzienne<br />
Utiliser la définition :<br />
ce qui revient à :<br />
{ ∀ a ∈ A, d(x,A) d(x,a)<br />
∀ k ∈ R + ,<br />
d(x,A) = Inf<br />
a∈A d(x,a),<br />
( (∀,a<br />
∈ A, k d(x,a)<br />
)<br />
⇒ k d(x,A)<br />
)<br />
.<br />
On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalité<br />
triangulaire renversée.<br />
➥ Exercice 1.12.<br />
• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité<br />
en un point.<br />
➥ Exercice 1.14<br />
• Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonction-coordonnée<br />
de f est continue en a.<br />
• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :<br />
( ) )<br />
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ A,<br />
(d E (x,a) η ⇒ d F f (x), f (a) ε .<br />
• Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-dire<br />
montrer que, pour toute suite (a n ) n dans A convergeant vers a, la<br />
suite ( f (a n ) ) converge vers f (a).<br />
n<br />
• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité<br />
sur une partie.<br />
➥ Exercice 1.5<br />
• Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux<br />
méthodes vues plus haut.<br />
• Se souvenir que le caractère lipschitzien entraîne la continuité.<br />
Utiliser la définition :<br />
∀ (x 1 ,x 2 ) ∈ X 2 (<br />
, d F f (x1 ), f (x 2 ) ) kd(x 1 ,x 2 ).<br />
➥ Exercice 1.6<br />
Montrer d’abord qu’il existe M ∈ R + tel que :<br />
∀ x ∈ E, || f (x)|| F M||x|| E ,<br />
Pour calculer<br />
la norme |||f|||<br />
d’une application linéaire<br />
f ∈ L(E,F) où E,F sont des evn<br />
de dimensions finies<br />
PSI<br />
<strong>et</strong> on a alors ||| f ||| M, où, par définition :<br />
|| f (x)|| F<br />
||| f ||| = Sup<br />
= Sup || f (x)|| F .<br />
x∈E−{0} ||x|| E x∈B(0 ;1)<br />
On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait :<br />
||| f ||| = M.<br />
On cherchera donc x 0 ∈ E −{0} de façon que || f (x 0)|| F<br />
||x 0 || E<br />
= M.<br />
➥ Exercice 1.7, 1.17.<br />
4
Les méthodes à r<strong>et</strong>enir<br />
Pour montrer<br />
qu’une partie X d’un evn E<br />
de dimension finie<br />
est compacte<br />
Pour montrer<br />
qu’une suite (u n ) n d’un evn E<br />
de dimension finie<br />
est de Cauchy<br />
• Essayer de faire apparaître X comme image directe d’un compact<br />
par une application continue.<br />
• Essayer de montrer que X est fermée <strong>et</strong> bornée.<br />
➥ Exercices 1.8, 1.15, 1.21.<br />
Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :<br />
( { p N<br />
)<br />
∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀(p,q) ∈ N 2 ,<br />
q N ⇒ d(u p,u q ) ε .<br />
➥ Exercice 1.9.<br />
Pour montrer qu’une application<br />
ϕ : E × E −→ R est un produit<br />
scalaire, où E est un K-ev<br />
Revenir à la définition.<br />
Utiliser la formule qui exprime φ à l’aide de ϕ :<br />
➥ Exercice 1.22.<br />
Pour relier un produit scalaire<br />
ϕ : E × E −→ K <strong>et</strong> la forme<br />
quadratique φ : E −→ R associée<br />
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x),<br />
ou, si K = R, une des formules exprimant ϕ à l’aide de φ :<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = 1 2(<br />
φ(x + y) − φ(x) − φ(y)<br />
)<br />
,<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = 1 4(<br />
φ(x + y) − φ(x − y)<br />
)<br />
.<br />
Utiliser l’inégalité de Cauchy <strong>et</strong> Schwarz :<br />
Pour obtenir des inégalités<br />
dans un contexte<br />
d’espace préhilbertien ( E,(. | .) )<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , |(x | y)| ||x|| ||y||,<br />
ou l’inégalité de Minkowski, c’est-à-dire l’inégalité triangulaire pour<br />
la norme associée au produit scalaire :<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
Pour manipuler<br />
des orthogonaux de parties<br />
dans un espace préhilbertien<br />
(<br />
E,(. | .)<br />
)<br />
∀ (x,y) ∈ E 2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||.<br />
• Revenir à la définition de l’orthogonal d’une partie A de E :<br />
A ⊥ = { x ∈ E ;∀a ∈ A, (x | a) = 0 } .<br />
• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) de l’orthogonalité :<br />
∗ A ⊂ B ⇒ A ⊥ ⊃ B ⊥<br />
∗ A ⊥ = ( Vect (A) ) ⊥<br />
∗ A ⊂ A ⊥⊥ , E ⊥ ={0}, {0} ⊥ = E<br />
∗ A ∩ A ⊥ ⊂{0}.<br />
➥ Exercice 1.16.<br />
• Se rappeler que, d’après le théorème de projection orthogonale sur<br />
un sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors :<br />
F ⊕ F ⊥ = E.<br />
5
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés<br />
Énoncés des <strong>exercices</strong><br />
1.1<br />
Inégalité sur des normes<br />
Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t ∈ E. Montrer :<br />
||x − y|| + ||z − t|| ||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||.<br />
1.2<br />
Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ?<br />
On note E le R-ev des applications continues bornées de R dans R, muni de ||.|| ∞ .<br />
a) Est-ce que F = { f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) 0 } est fermée dans E ?<br />
{<br />
b) Est-ce que U = f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) >0}<br />
est ouverte dans E ?<br />
1.3<br />
Exemple de deux normes équivalentes<br />
On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) <strong>et</strong> ν 1 ,ν 2 les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E,<br />
par : ν 1 ( f ) =|f (0)|+2<br />
∫ 1<br />
| f ′ (t)| dt, ν 2 ( f ) = 2| f (0)|+<br />
∫ 1<br />
0<br />
0<br />
Montrer que ν 1 <strong>et</strong> ν 2 sont des normes sur E <strong>et</strong> qu’elles sont équivalentes.<br />
| f ′ (t)| dt.<br />
PSI<br />
1.4<br />
Somme d’une partie <strong>et</strong> d’un ouvert<br />
Soient E un evn, Ω un ouvert de E.<br />
a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la partie {a}+Ω = { a + x ; x ∈ Ω } est un ouvert de E.<br />
b) En déduire que, pour toute partie A de E, la partie A + Ω = { a + x ; (a,x) ∈ A × Ω } est un<br />
ouvert de E.<br />
1.5<br />
Fonction continue à deux variables<br />
Soient E,F,G des evn, A ⊂ E telle que A =/ ∅, B ⊂ F telle que B =/ ∅, <strong>et</strong><br />
f : A −→ G, g : B −→ G deux applications.<br />
On note :<br />
ϕ : A × B −→ G, (x,y) ↦−→ ϕ(x,y) = f (x) + g(y).<br />
Montrer que ϕ est continue sur A × B si <strong>et</strong> seulement si : f est continue sur A <strong>et</strong> g est continue<br />
sur B.<br />
PSI<br />
1.6<br />
1.7<br />
Exemple d’application lipschitzienne<br />
Soit (a,b) ∈ (R + ) 2 . On munit R 2 de la norme ||.|| 1 définie, pour tout (x,y) ∈ R 2 , par :<br />
||(x 1 ,x 2 )|| 1 =|x 1 |+|x 2 |. On note f : R 2 −→ R 2 , (x 1 ,x 2 ) ↦−→ f (x 1 ,x 2 ) = (ax 2 , bx 1 ).<br />
Montrer que f est lipschitzienne.<br />
Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire<br />
en dimensions finies<br />
On note f : R 2 −→ R, (x 1 ,x 2 ) ↦−→ 2x 1 − 3x 2 . Vérifier que f est linéaire <strong>et</strong> calculer ||| f |||<br />
lorsque R 2 est muni de ||.|| ∞ <strong>et</strong> R est muni de |.|.<br />
6
Énoncés des <strong>exercices</strong><br />
1.8<br />
Une partie est-elle compacte, non compacte ?<br />
⎧<br />
⎨<br />
On considère l’application f : R −→ R, x ↦−→ f (x) =<br />
⎩<br />
A = { x ∈ R ; f (x) = 0 } {<br />
, B = x ∈ R ; f (x) 1 }<br />
.<br />
2<br />
sin x<br />
x<br />
si x =/ 0<br />
1 si x = 0<br />
<strong>et</strong> on note :<br />
Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ?<br />
PSI<br />
1.9<br />
1.10<br />
Suite proche d’une suite de Cauchy<br />
Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (u n ) n∈N ,(v n ) n∈N deux suites dans E telles<br />
que : d(u n ,v n ) −→ 0. Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi.<br />
n ∞<br />
Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes<br />
Soient E un K-evn, N 1 ,N 2 deux normes sur E. On note, pour tout i ∈{1,2} :<br />
B i = { x ∈ E ; N i (x)
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés<br />
a) Montrer que N ∞ , N<br />
∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E.<br />
b) Comparer les normes N ∞ , N<br />
∞ ′ , N ∞ ′′ pour la relation d’équivalence entre normes.<br />
1.14<br />
Exemple d’application continue<br />
Soit (E,||.||) un evn. On considère l’application f : E −→ E, x ↦−→ f (x) =<br />
(<br />
Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B ′ 0 ; 1 )<br />
.<br />
2<br />
x<br />
1 +||x|| 2 .<br />
PSI<br />
1.15<br />
Exemple de partie compacte de R 2<br />
{<br />
}<br />
La partie E = (x,y) ∈ R 2 ; x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4) = 0 de R 2 est-elle compacte ?<br />
PSI<br />
1.16<br />
1.17<br />
Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E,<br />
tel que F ⊥ ne soit pas un supplémentaire de F dans E<br />
On note E = C ( [0 ; 1] ; R ) , muni du produit scalaire ( f,g) ↦−→< f , g > =<br />
considère F = { f ∈ E ; f (0) = 0 } .<br />
Montrer : a) F ⊥ ={0} b) F ⊕ F ⊥ =/ E.<br />
∫ 1<br />
0<br />
fg <strong>et</strong> on<br />
Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire<br />
en dimension finie<br />
Soient n ∈ N ∗ , A = (a ij ) ij ∈ M n (C), f l’endomorphisme de M n,1 (C) représenté par A dans la<br />
base canonique. Calculer la norme subordonnée de f lorsque M n,1 (C) est muni, au départ <strong>et</strong> à l’arrivée,<br />
de ||.|| 1 .<br />
1.18<br />
Exemple de norme sur R 2 , détermination d’une boule<br />
On note N : R 2 −→ R, (x,y) ↦−→ Sup<br />
t∈R<br />
a) Montrer que N est une norme sur R 2 .<br />
|x + ty|<br />
1 + t + t 2 .<br />
b) Représenter graphiquement la boule B ′ N (0 ; 1) = { (x,y) ∈ R 2 ; N(x,y) 1 } dans le plan<br />
usuel.<br />
c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de B<br />
N ′ (0 ; 1).<br />
PSI<br />
1.19<br />
1.20<br />
Exemple de deux normes équivalentes<br />
On note E le R-ev des applications f :[0; 1] −→ R de classe C 1 sur [0; 1] <strong>et</strong> telles<br />
que f (0) = 0 . Pour f ∈ E, on note N( f ) = Sup | f (x)|+ Sup | f ′ (x)| <strong>et</strong><br />
x∈[0;1]<br />
x∈[0;1]<br />
ν( f ) = Sup | f (x) + f ′ (x)|. Montrer que N <strong>et</strong> ν sont des normes sur E, <strong>et</strong> qu’elles sont équivalentes.<br />
x∈[0;1]<br />
Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints<br />
Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F ∩ G = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts<br />
U,V de E tels que : F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅.<br />
8
Du mal à démarrer ?<br />
PSI<br />
1.21<br />
1.22<br />
1.23<br />
1.24<br />
Applications continues de limites infinies en +∞ <strong>et</strong> en −∞<br />
Soit f : R −→ R une application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux à<br />
deux équivalentes :<br />
(i) L’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R<br />
(ii) lim | f |=+∞<br />
−∞<br />
<strong>et</strong> lim | f |=+∞<br />
+∞<br />
(<br />
)<br />
(iii) lim f =−∞ou lim f =+∞<br />
−∞ −∞<br />
<strong>et</strong><br />
(<br />
)<br />
lim f =−∞ou lim f =+∞ .<br />
+∞ +∞<br />
Exemple de norme issue d’un produit scalaire<br />
On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) <strong>et</strong> N : E −→ R l’application définie par :<br />
Montrer que N est une norme sur E.<br />
( ∫ 1 1<br />
∀ f ∈ E, N( f ) = f ′2 2<br />
+ f (0) f (1))<br />
.<br />
0<br />
Inégalité sur des normes<br />
Soient (E,||.||) un evn, x,y ∈ E −{0}. Démontrer :<br />
x<br />
∣∣<br />
||x|| − y<br />
||y|| ∣∣ 2 ||x − y||<br />
Max (||x||, ||y||) .<br />
Exemple de norme paramétrée par une fonction<br />
On note E = C ( [0; 1],R ) <strong>et</strong>, pour ϕ ∈ E, Nϕ : E −→ R l’application définie par :<br />
∀ f ∈ E, N ϕ ( f ) =||f ϕ|| ∞ .<br />
a) Montrer que Nϕ est une norme sur E si <strong>et</strong> seulement si ( ϕ −1 ({0}) ) ◦<br />
= ∅.<br />
b) Montrer que Nϕ <strong>et</strong> || · || ∞ sont des normes sur E équivalentes si <strong>et</strong> seulement si ϕ −1 ({0}) = ∅.<br />
PSI<br />
1.25<br />
Endomorphismes continus tels que u ◦ v − v ◦ u = e<br />
Soit E un evn distinct de {0}. On note e = Id E .<br />
On suppose qu’il existe (u,v) ∈ ( LC(E) ) 2<br />
tel que : u ◦ v − v ◦ u = e.<br />
a) Montrer : ∀ n ∈ N, u ◦ v n+1 − v n+1 ◦ u = (n + 1)v n .<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
b) En déduire : ∀ n ∈ N, (n + 1)|||v n ||| 2 |||u||| |||v||| |||v n |||.<br />
c) Conclure.<br />
Du mal à démarrer ?<br />
1.1 Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité triangulaire.<br />
1.2 a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des<br />
fermés.<br />
b) Montrer que U n’est pas ouvert, en trouvant f ∈ U telle que,<br />
pour tout ε ∈ R ∗ + , B( f ; ε) U.<br />
1.3 1) Montrer que ν 1 est une norme sur E en revenant à la<br />
définition d’une norme.<br />
9
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés<br />
2) De même pour ν 2 .<br />
3) Remarquer que, pour toute f ∈ E :<br />
ν 1 ( f ) 2ν 2 ( f ) <strong>et</strong> ν 2 ( f ) 2ν 1 ( f ).<br />
1.4 a) Considérer, par exemple, pour a ∈ E fixé, la translation<br />
de vecteur −a :<br />
τ −a : E −→ E, y ↦−→ y − a.<br />
b) Exprimer A + Ω à l’aide des {a}+Ω, a ∈ A.<br />
1.5 1) Si ϕ est continue sur A × B, exprimer f à l’aide de ϕ,<br />
pour déduire que f est continue sur A.<br />
2) Si f est continue sur A <strong>et</strong> g est continue sur B, exprimer ϕ à<br />
l’aide de f,g <strong>et</strong> des projections canoniques, pour déduire que ϕ<br />
est continue sur A × B.<br />
1.6<br />
Évaluer, pour (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 :<br />
|| f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 )|| 1 .<br />
1.7 Pour (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 , majorer convenablement | f (x 1 ,x 2 )| à<br />
l’aide de Max (|x 1 |,|x 2 |), <strong>et</strong> chercher (x 1 ,x 2 ) ≠ (0,0) de façon<br />
qu’il y ait égalité.<br />
1.8<br />
1) A n’est pas bornée.<br />
2) B est fermée <strong>et</strong> bornée.<br />
1.9 Majorer d(v p ,v q ) en intercalant u p <strong>et</strong> u q <strong>et</strong> utiliser les deux<br />
hypothèses : la suite (u n ) n∈N est de Cauchy <strong>et</strong> d(u n ,v n ) −→ 0. n ∞<br />
1.10 a) • Un sens est immédiat.<br />
• Si B 1 ′ = B′ 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer 1<br />
x, qui est<br />
N 1 (x)<br />
dans B 1 ′ , donc dans B′ 2 .<br />
b) • Un sens est immédiat.<br />
1<br />
• Si B 1 = B 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer x, qui n’est<br />
N 1 (x)<br />
pas dans B 1 , donc pas dans B 2 .<br />
1.11 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des<br />
fermés.<br />
2) Montrer : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, e t 2 + t.<br />
En déduire que toute application constante supérieure ou égale<br />
à 2 est dans A.<br />
1.12 a) 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle<br />
des fermés.<br />
2) • Montrer : d(0,A) 1.<br />
• Considérer f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ 1 − 2x.<br />
1.13<br />
b) 1) Comme en a)1).<br />
2) • Montrer : d(0,B) 1.<br />
• Considérer, pour tout n ∈ N ∗ , une application g n continue, affine<br />
par morceaux, constante égale à 1 sauf près de 0, telle que<br />
g n (0) = 0. Déduire d(0,B) = 1.<br />
• Montrer que d(0,B) n’est pas atteinte, en raisonnant par l’absurde.<br />
a) Revenir à la définition d’une norme.<br />
b) 1) Remarquer d’abord :<br />
∀ f ∈ E, N ∞ ( f ) N ∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ),<br />
en utilisant l’inégalité des accroissements finis.<br />
2) Trouver une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que, par exemple,<br />
N ∞ ′ ( f n)<br />
N ∞ ( f n ) −→ +∞. n ∞<br />
1.14<br />
b) 1) Remarquer : ∀ t ∈ R + ,<br />
(<br />
<strong>et</strong> déduire l’inclusion f (E) ⊂ B ′ 0 ; 1 2<br />
(<br />
2) Réciproquement, pour y ∈ B ′ 0 ; 1 2<br />
pour que f (λy) = y.<br />
t<br />
1 + t 1 2 2 ,<br />
)<br />
.<br />
)<br />
fixé, chercher λ ∈ R<br />
1.15 1) Montrer que E est fermée, comme image réciproque<br />
d’un fermé par une application continue.<br />
2) Montrer que E est bornée, en utilisant les coordonnées<br />
polaires par exemple.<br />
1.16<br />
a) Soit g ∈ F ⊥ . Considérer l’application<br />
f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ xg(x)<br />
qui est dans F, <strong>et</strong> traduire < f,g > = 0.<br />
1.17 Pour X = t (x 1 ,...,x n ) ∈ M n,1 (C), majorer convenablement<br />
|| f (X)|| 1 en faisant intervenir ||X|| 1 .<br />
n∑<br />
Ayant obtenu le coefficient M = Max |a ij |, chercher<br />
1 jn<br />
i=1<br />
X ≠ 0 de façon que : || f (X)|| 1 = M||X|| 1 .<br />
1.18 a) • Montrer d’abord, pour tout (x,y) ∈ R 2 , l’existence de<br />
|x + ty|<br />
N(x,y), en montrant que l’application t ↦−→<br />
est bornée<br />
sur R.<br />
1 + t + t2 • Revenir à la définition d’une norme.<br />
b) Transformer la condition N(x,y) 1 en :<br />
∀ t ∈ R, −1 <br />
x + ty<br />
1 + t + t 2 1,<br />
puis utiliser les résultats sur les trinômes réels.<br />
c) Calculer l’aire comme intégrale double de la constante 1.<br />
10
Du mal à démarrer ?<br />
1.19 1) Montrer que N <strong>et</strong> ν sont des normes. Pour montrer<br />
l’implication ν(f ) = 0 ⇒ f = 0, utiliser la résolution d’une<br />
équation différentielle.<br />
2) • Montrer : ∀ f ∈ E, ν(f ) N( f ).<br />
• Pour f ∈ E, considérer<br />
g :[0; 1] −→ R, x ↦−→ e x f (x),<br />
exprimer g ′ , puis déduire des majorations de |g(x)|,<br />
| f (x)|, | f ′ (x)|, à l’aide de ν(f ).<br />
1.20<br />
Considérer l’application<br />
ϕ : E −→ R, x ↦−→ d(x,G) − d(x,F)<br />
<strong>et</strong> les parties U = ϕ −1 (]0 ;+∞[), V = ϕ −1 (] −∞;0[) de E.<br />
1.21 (i) ⇒ (ii) : Appliquer l’hypothèse au compact [−A ; A],<br />
pour A ∈ R ∗ + fixé.<br />
(ii) ⇒ (iii) : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.<br />
(iii) ⇒ (i) : Soit K un compact de R. Il existe A ∈ R ∗ + tel que :<br />
K ⊂ [−A ; A]. Appliquer l’hypothèse pour déduire que f −1 (K )<br />
est borné, puis est compact.<br />
1.22 Vu l’exposant 1 2 <strong>et</strong> le carré dans l’intégrale, on peut conjecturer<br />
que N soit une norme associée à un produit scalaire.<br />
Montrer que l’application ϕ : E × E −→ R définie, pour tout<br />
( f,g) ∈ E × E par :<br />
∫ 1<br />
ϕ( f,g) = f ′ g ′ + 1 ( )<br />
f (0)g(1) + f (1)g(0)<br />
2<br />
0<br />
est un produit scalaire <strong>et</strong> que N est la norme associée à ϕ.<br />
1.23 Dans le premier membre de l’inégalité demandée, intercaler,<br />
par exemple, , puis utiliser l’inégalité triangulaire <strong>et</strong> les<br />
x<br />
||y||<br />
rôles symétriques de x <strong>et</strong> y .<br />
1.24 a) Montrer que, pour ϕ ∈ E fixée, N ϕ vérifie une partie de la<br />
définition d’une norme.<br />
1.25<br />
1) Supposer ( ϕ −1 ({0}) ) ◦<br />
= ∅. Montrer qu’alors :<br />
∀ f ∈ E, ( Nϕ( f ) = 0 ⇒ f = 0 ) .<br />
2) Supposer ( ϕ −1 ({0}) ) ◦<br />
=/ ∅.Construire un élément f de E tel<br />
que : f ≠ 0 <strong>et</strong> N ϕ ( f ) = 0.<br />
b) Soit ϕ ∈ E fixée.<br />
1) Supposer ϕ −1 ({0}) = ∅. Montrer qu’alors N ϕ <strong>et</strong> ||.|| ∞ sont<br />
équivalentes, en faisant intervenir 1 ϕ .<br />
2) Supposer ϕ −1 ({0}) ≠ ∅. Construire alors une suite ( f n ) n∈N ∗<br />
|| f n || ∞<br />
dans E −{0} telle que :<br />
N ϕ ( f n ) −→ +∞. n ∞<br />
a) Récurrence sur n.<br />
b) Utiliser a) <strong>et</strong> la sous-multiplicativité de |||.|||.<br />
c) • Montrer, en utilisant a), qu’on ne peut pas avoir :<br />
∀ n ∈ N, v n ≠ 0.<br />
• Considérer l’ensemble {n ∈ N ; v n = 0}, son plus p<strong>et</strong>it élément,<br />
<strong>et</strong> obtenir une contradiction à l’aide de b)}.<br />
On conclut qu’il n’existe pas de tel couple (u,v).<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
11
Corrigés des <strong>exercices</strong><br />
1.1 On applique l’inégalité triangulaire, de deux façons à<br />
chaque fois, pour majorer ||x − y|| <strong>et</strong> pour majorer ||z − t|| :<br />
{ ||x − y|| ||x − z|| + ||z − y||<br />
||x − y|| ||x − t|| + ||t − y||<br />
{ ||z − t|| ||z − x|| + ||x − t||<br />
||z − t|| ||z − y|| + ||y − t||.<br />
Ensuite, on additionne ces quatre inégalités, on simplifie par<br />
un coefficient 2, <strong>et</strong> on obtient l’inégalité voulue :<br />
||x − y|| + ||z − t||<br />
||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||.<br />
1.2 a) Nous allons montrer que F est fermé dans E en utilisant<br />
la caractérisation séquentielle des fermés.<br />
Soient ( f n ) n∈N une suite dans F, <strong>et</strong> f ∈ E tels que f n −→ f<br />
n∞<br />
dans (E,||.|| ∞ ).<br />
On a : ∀ x ∈ R, | f n (x) − f (x)| || f n − f || ∞ −→ 0,<br />
n ∞<br />
donc : ∀ x ∈ R, f n (x) −→ f (x).<br />
n ∞<br />
Comme, par hypothèse :<br />
∀ x ∈ R, ∀ n ∈ N, f n (x) 0,<br />
il s’ensuit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque<br />
l’entier n tend vers l’infini :<br />
∀ x ∈ R, f (x) 0,<br />
<strong>et</strong> donc : f ∈ F.<br />
On conclut que F est fermé dans E.<br />
b) Nous allons montrer que U n’est pas ouvert dans E, en trouvant<br />
f ∈ U telle que, pour tout ε ∈ R ∗ +<br />
, on ait : B( f ; ε) /⊂ U.<br />
Considérons f : R −→ R, x ↦−→ f (x) = 1<br />
x 2 + 1 .<br />
Il est clair que f est continue <strong>et</strong> bornée, donc f ∈ E.<br />
Soit ε ∈ R ∗ + fixé.<br />
Considérons l’application g = f − ε 2 .<br />
On a : g ∈ E, || f − g|| ∞ = ε 2 < ε,<br />
donc g ∈ B( f ; ε).<br />
Mais g /∈ U car g(x) −→ − ε < 0, donc g prend des valeurs<br />
x−→+∞ 2<br />
0.<br />
Ceci montre : ∀ ε ∈ R ∗ +<br />
, B( f,ε) /⊂ U,<br />
<strong>et</strong> on conclut que U n’est pas ouvert dans E.<br />
1.3 1) • Il est clair que, pour toute f ∈ E, ν 1 ( f ) existe.<br />
• On a, pour tout α ∈ R <strong>et</strong> toute f ∈ E :<br />
ν 1 (α f ) =|(α f )(0)|+2<br />
∫ 1<br />
=|α||f (0)|+2|α|<br />
• On a, pour toutes f,g ∈ E :<br />
ν 1 ( f + g)<br />
=|( f + g)(0)|+2<br />
=|f (0) + g(0)|+2<br />
0<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
|(α f ) ′ (t)| dt<br />
∫ 1<br />
0<br />
|( f + g) ′ (t)| dt<br />
0<br />
∫ 1<br />
| f ′ (t)| dt =|α|ν 1 ( f ).<br />
| f ′ (t) + g ′ (t)| dt<br />
(| f (0)|+|g(0)|) + 2<br />
(<br />
| f ′ (t)|+|g ′ (t)| ) dt<br />
0<br />
( ∫ 1<br />
)<br />
= | f (0)|+2 | f ′ (t)| dt<br />
= ν 1 ( f ) + ν 1 (g).<br />
(<br />
+ |g(0)|+2<br />
• Soit f ∈ E telle que ν 1 ( f ) = 0.<br />
On a alors : | f (0)|+2<br />
donc f (0) = 0 <strong>et</strong><br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
| f ′ (t)| dt = 0,<br />
| f ′ (t)| dt = 0.<br />
)<br />
|g ′ (t)| dt<br />
Puisque | f ′ | est continue <strong>et</strong> 0, il en résulte f ′ = 0, donc f<br />
est constante, f = f (0) = 0.<br />
Ceci montre que ν 1 est une norme sur E.<br />
2) De même, ν 2 est aussi une norme sur E.<br />
De manière plus générale, pour tout (a,b) ∈ (R ∗ + )2 ,<br />
l’application f ↦−→ a| f (0)|+b<br />
est une norme sur E.<br />
∫ 1<br />
0<br />
| f ′ (t)| dt<br />
1<br />
3) On a, pour toute f ∈ E :<br />
2 ν 1( f ) ν 2 ( f ) 2ν 1 ( f ),<br />
donc les normes ν 1 <strong>et</strong> ν 2 sur E sont équivalentes.<br />
12
1.4 a) Soit a ∈ E.<br />
Considérons l’application τ −a : E −→ E, y ↦−→ y − a<br />
qui est la translation de vecteur −a.<br />
On a, pour tout y ∈ E : y ∈{a}+Ω ⇐⇒ y − a ∈ Ω,<br />
donc : {a}+Ω = { y ∈ E ; τ −a (y) ∈ } Ω = τ −1<br />
−a (Ω).<br />
Ainsi, {a}+Ω est l’image réciproque de l’ouvert Ω par l’application<br />
continue τ −a , donc {a}+Ω est un ouvert de E.<br />
b) Soit A ⊂ E. On a : A + Ω = ⋃ a∈A({a}+Ω).<br />
Ainsi, A + Ω est une réunion d’ouverts de E, donc est un ouvert<br />
de E.<br />
1.5 1) Supposons ϕ continue sur A × B.<br />
Puisque B =/ ∅, il existe b ∈ B. On a alors :<br />
∀ x ∈ A, f (x) = ϕ(x,b) − g(b) .<br />
Comme ϕ est continue sur A × B, par composition,<br />
l’application x ↦−→ ϕ(x,b) est continue sur A, puis, par addition<br />
d’une constante, f est continue sur A.<br />
De même, g est continue sur B.<br />
2) Réciproquement, supposons f continue sur A <strong>et</strong> g continue<br />
sur B.<br />
Notons : pr 1 : E × F −→ E, (x,y) ↦−→ x ,<br />
pr 2 : E × F −→ F, (x,y) ↦−→ y<br />
les deux projections canoniques, qui, d’après le cours, sont continues<br />
sur E × F.<br />
On a alors : ϕ = f ◦ pr 1 + g ◦ pr 2 ,<br />
donc, par composition, ϕ est continue sur E × F.<br />
1.6 Soient (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 . On a :<br />
∣ ∣ f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ 1<br />
= ∣ ∣ ∣(ax 2 ,bx 1 ) − (ay 2 ,by 1 ) ∣ ∣ 1<br />
On a donc, par définition de la norme subordonnée :<br />
| f (x 1 ,x 2 )|<br />
||| f ||| = Sup<br />
.<br />
(x 1 ,x 2 )∈R 2 −{(0,0)} ||(x 1 ,x 2 )|| ∞<br />
• On a, pour tout (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 :<br />
| f (x 1 ,x 2 )|=|2x 1 − 3x 2 | 2|x 1 |+3|x 2 |<br />
q 5 Max (|x 1 |,|x 2 |) = 5 ||(x 1 ,x 2 )|| ∞ .<br />
Il en résulte, d’après la définition de la norme subordonnée :<br />
||| f ||| 5.<br />
• De plus, en notant X = (1,−1), on a X =/ (0,0) <strong>et</strong> :<br />
On conclut : ||| f ||| = 5.<br />
| f (X)|<br />
||X|| ∞<br />
= 5 1 = 5.<br />
1.8 Par théorèmes généraux, f est continue sur R ∗ , <strong>et</strong>,<br />
comme f (x) = sin x −→<br />
x<br />
1 = f (0),<br />
x−→0<br />
f est continue en 0, donc f est continue sur R.<br />
Traçons d’abord l’allure de la courbe représentative de f :<br />
−2π<br />
−π<br />
y<br />
1<br />
1<br />
2<br />
O<br />
B<br />
π<br />
A<br />
2π<br />
x<br />
= ∣ ∣ ∣ ∣(ax 2 − ay 2 , bx 1 − by 1 ) ∣ ∣ ∣ ∣<br />
1<br />
= ∣ ∣ ∣ ∣ ( a(x 2 − y 2 ), b(x 1 − y 1 ) )∣ ∣ ∣ ∣<br />
1<br />
=|a(x 2 − y 2 )|+|b(x 1 − y 1 )|=a|x 2 − y 2 |+b|x 1 − y 1 | .<br />
En notant k = Max (a,b) ∈ R + , on a donc :<br />
∣ ∣ ∣ f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣<br />
1<br />
k|x 2 − y 2 |+k|x 1 − y 1 |<br />
= k ∣ ∣ ∣ ∣(x 1 − y 1 , x 2 − y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣<br />
1<br />
= k ∣ ∣ ∣ ∣(x 1 ,x 2 ) − (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣<br />
1<br />
.<br />
On conclut que f est lipschitzienne.<br />
1.7<br />
• Il est clair que l’application<br />
f : R 2 −→ R, (x 1 ,x 2 ) ↦−→ 2x 1 − 3x 2<br />
est linéaire.<br />
1) On a : A = πZ ∗ , donc A n’est pas bornée, donc n’est pas<br />
compacte.<br />
2) • Puisque B = f −1 ([ 1<br />
2 ;+∞ [), que f est continue <strong>et</strong> que<br />
[ 1<br />
2 ;+∞ [<br />
, est fermé dans R, d’après le cours, B est fermée<br />
dans R.<br />
• On a, pour tout x ∈ R :<br />
|x| > 2 ⇒ | f (x)| =<br />
∣<br />
sin x<br />
x<br />
∣ 1 x < 1 ⇒ x /∈ B ,<br />
2<br />
donc : B ⊂ [−2 ; 2], donc B est bornée.<br />
Ainsi, B est une partie fermée bornée de R, donc B est<br />
compacte.<br />
13
1.9 Supposons, par exemple, que (u n ) n∈N est de Cauchy.<br />
Soit ε > 0.<br />
Puisque d(u n ,v n ) −→ 0, il existe N 1 ∈ N tel que :<br />
n ∞<br />
∀ n N 1 , d(u n ,v n ) ε 3 .<br />
D’autre part, puisque (u n ) n∈N est de Cauchy, il existe N 2 ∈ N<br />
tel que :<br />
∀ p N 2 , ∀ q N 2 , d(u p ,u q ) ε 3 .<br />
Notons N = Max (N 1 ,N 2 ) ∈ N . On a alors, pour tout<br />
(p,q) ∈ N 2 tel que p N <strong>et</strong> q N :<br />
d(v p ,v q ) d(v p ,u p ) + d(u p ,u q ) + d(u q ,v q ) 3 ε 3 = ε .<br />
Ceci montre que (v n ) n∈N est de Cauchy dans E.<br />
1.10 a) • L’implication N 1 = N 2 ⇒ B 1 ′ = B′ 2 est évidente.<br />
• Réciproquement, supposons B 1 ′ = B′ 2 .<br />
Soit x ∈ E tel que x =/ 0.<br />
∗ Considérons y = 1 x. On a :<br />
N 1 (x)<br />
( ) 1<br />
N 1 (y) = N 1<br />
N 1 (x) x = 1<br />
N 1 (x) N 1(x) = 1 ,<br />
donc y ∈ B 1 ′ = B′ 2 , d’où N 2(y) 1.<br />
( ) 1<br />
Mais : N 2 (y) = N 2<br />
N 1 (x) x = 1<br />
N 1 (x) N 2(x).<br />
1<br />
On a donc :<br />
N 1 (x) N 2(x) 1, d’où : N 2 (x) N 1 (x).<br />
∗ Puisque N 1 <strong>et</strong> N 2 jouent des rôles symétriques, on a aussi<br />
N 1 (x) N 2 (x), d’où : N 1 (x) = N 2 (x).<br />
Enfin, pour x = 0, l’égalité N 1 (x) = N 2 (x) est triviale.<br />
On conclut : N 1 = N 2 .<br />
b) • L’implication N 1 = N 2 ⇒ B 1 = B 2 est évidente.<br />
• Réciproquement, supposons B 1 = B 2 .<br />
Nous allons adopter la même méthode que dans la solution<br />
de a).<br />
Soit x ∈ E tel que x =/ 0.<br />
∗ Considérons y = 1<br />
N 1 (x) x. On a alors N 1(y) = 1, donc<br />
y /∈ B 1 = B 2 , d’où N 2 (y) 1.<br />
Mais N 2 (y) = 1<br />
N 1 (x) N 2(x), d’où N 2 (x) N 1 (x).<br />
∗ Puisque N 1 <strong>et</strong> N 2 jouent des rôles symétriques, on a aussi<br />
N 1 (x) N 2 (x), d’où : N 1 (x) = N 2 (x).<br />
Enfin, pour x = 0, l’égalité N 1 (x) = N 2 (x) est triviale.<br />
On conclut : N 1 = N 2 .<br />
1.11 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée de E<br />
en utilisant la caractérisation séquentielle des parties fermées.<br />
Soient ( f n ) n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que f n −→ f dans<br />
n ∞<br />
(E,||.|| ∞ ) .<br />
On a, pour tout x ∈ [0 ; 1] :<br />
| f n (x) − f (x)| || f n − f || ∞ −→ 0 ,<br />
n ∞<br />
donc : f n (x) −→ f (x).<br />
n ∞<br />
D’autre part :<br />
∀ x ∈ [0 ; 1], ∀ n ∈ N, e fn(x) 2 + f n (x) .<br />
On déduit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque<br />
l’entier n tend vers l’infini :<br />
∀ x ∈ [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x) ,<br />
<strong>et</strong> donc : f ∈ A.<br />
Ceci montre que A est une partie fermée de E.<br />
2) • Montrons : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, e t 2 + t.<br />
L’application<br />
ϕ :[2;+∞[−→ R, t ↦−→ ϕ(t) = e t − (2 + t)<br />
est dérivable <strong>et</strong>, pour tout t ∈ [2 ;+∞[ :<br />
ϕ ′ (t) = e t − 1 > 0 ,<br />
donc ϕ est strictement croissante.<br />
De plus : ϕ(2) = e 2 − 4 > 0 .<br />
On déduit : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, ϕ(t) 0,<br />
d’où l’inégalité voulue.<br />
• Soient t ∈ [2 ;+∞[ <strong>et</strong> f t :[0; 1] −→ R, x ↦−→ t l’application<br />
constante égale à t. On a alors :<br />
∀ t ∈ [2 ;+∞[,<br />
ce qui montre que A n’est pas bornée.<br />
(<br />
)<br />
f t ∈ A <strong>et</strong> || f t || = |t| =t ,<br />
1.12 a) 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée<br />
de E, en utilisant la caractérisation séquentielle des fermés.<br />
Soient ( f n ) n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que f n −→<br />
n ∞<br />
(E,||.|| ∞ ) .<br />
• On a : | f n (0) − f (0| || f n − f || ∞ −→ 0,<br />
n ∞<br />
donc : f n (0) −→ f (0).<br />
n ∞<br />
Mais : ∀ n ∈ N, f n (0) = 1, d’où : f (0) = 1.<br />
f dans<br />
14
• On a :<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
∣ ∫ ∣∣∣ 1<br />
∣ f n − f<br />
∣ = ( f n − f )<br />
∣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
donc :<br />
∫ 1<br />
0<br />
Mais : ∀ n ∈ N,<br />
<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
f n −→ f.<br />
n ∞<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
| f n − f | (1 − 0)|| f n − f || ∞ −→<br />
n ∞<br />
0,<br />
f n = 0, donc :<br />
∫ 1<br />
0<br />
f = 0.<br />
On déduit : f ∈ A.<br />
On conclut que A est une partie fermée de E.<br />
• Considérons, pour tout n ∈ N ∗ , l’application<br />
g n :[0; 1] −→ R définie, pour tout x ∈ [0 ; 1], par :<br />
⎧<br />
⎪⎨ na n x si 0 x 1 n<br />
g n (x) =<br />
,<br />
⎪⎩<br />
1<br />
a n si<br />
n < x 1<br />
où a n est à calculer pour que<br />
y<br />
a<br />
1<br />
n<br />
∫ 1<br />
0<br />
g n = 1.<br />
2) • Soit f ∈ A.<br />
On a : || f − 0|| ∞ =||f || ∞ | f (0)| =1,<br />
donc : d(0,A) || f − 0|| ∞ 1.<br />
• L’application f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ 1 − 2x<br />
est dans A <strong>et</strong> : d(0, f ) =||f || ∞ = 1.<br />
On conclut : d(0,A) = 1, <strong>et</strong> c<strong>et</strong>te borne est atteinte, par f<br />
ci-dessus <strong>et</strong> représentée graphiquement ci-après.<br />
y<br />
On a :<br />
O<br />
1 1 x<br />
n<br />
1<br />
∫ 1<br />
0<br />
g n = 1 ⇐⇒ a n − a n<br />
2n = 1 ⇐⇒ a n =<br />
2n<br />
2n − 1 .<br />
O<br />
y = f(x)<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x<br />
On a alors : ∀ n ∈ N ∗ , g n ∈ B <strong>et</strong> :<br />
||g n − 0|| ∞ = a n =<br />
d’où l’on conclut : d(0,B) 1.<br />
2n<br />
2n − 1 −→<br />
n ∞ 1 ,<br />
• Supposons qu’il existe f ∈ B telle que d(0,B) =||f || ∞ .<br />
On a :<br />
0 <br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
|| f ||∞ − f ) ∫ 1<br />
=||f || ∞ − f = 1 − 1 = 0 ,<br />
0<br />
− 1<br />
b) 1) On montre que B est une partie fermée de E par la même<br />
méthode qu’en a) 1).<br />
2) • Soit f ∈ B. On a :<br />
1 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
f <br />
∫ 1<br />
donc : d(0,B) 1.<br />
0<br />
| f | (1 − 0)|| f || ∞ =||f − 0|| ∞ ,<br />
donc, puisque || f || ∞ − f est continue <strong>et</strong> 0, on a :<br />
|| f || ∞ − f = 0, f =||f || ∞ , f est une constante.<br />
Mais f (0) = 0, donc f = 0, contradiction avec<br />
Ceci montre que d(0,B) n’est pas atteinte.<br />
∫ 1<br />
0<br />
f = 1.<br />
1.13 a) • D’abord, E est bien un R-ev, <strong>et</strong> N ∞ ,N<br />
∞ ′ ,N ∞ ′′ sont<br />
définies, car, si f ∈ E, alors f, f ′ , f ′′ sont continues sur le segment<br />
[0 ; 1] , donc sont bornées, d’où l’existence de<br />
N ∞ ( f ), N<br />
∞ ′ ( f ), N ∞ ′′ ( f ).<br />
15
Nous allons montrer que N<br />
∞ ′′ est une norme sur E, les preuves<br />
pour N ∞ <strong>et</strong> N<br />
∞ ′ étant analogues <strong>et</strong> plus simples.<br />
• On a, pour toutes f,g ∈ E :<br />
puis :<br />
| f (x)| = ∣ ∣ f (0) + ( f (x) − f (0) )∣ ∣<br />
| f (0)|+|f (x) − f (0)|<br />
N ′′ ∞ ( f + g)<br />
=|( f + g)(0)|+|( f + g) ′ (0)|+ Sup |( f + g) ′′ (x)|<br />
x∈[0;1]<br />
( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| )<br />
(<br />
+ Sup | f ′′ (x)|+|g ′′ (x)| )<br />
x∈[0;1]<br />
( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| )<br />
+ Sup | f ′′ (x)|+ Sup |g ′′ (x)|<br />
x∈[0;1]<br />
x∈[0;1]<br />
= ( | f (0)|+|f ′ (0)|+ Sup | f ′′ (x)| )<br />
x∈[0;1]<br />
=N ′′ ∞ ( f ) + N ′′ ∞ (g).<br />
+ ( |g(0)|+|g ′ (0)|+ Sup |g ′′ (x)| )<br />
x∈[0;1]<br />
• On a, pour tout α ∈ R <strong>et</strong> toute f ∈ E :<br />
N ′′ ∞ (α f ) =|(α f )(0)|+|(α f )′ (0)|+ Sup |(α f ) ′ (x)|<br />
x∈[0;1]<br />
=|α||f (0)|+|α||f ′ (0)|+|α| Sup | f ′′ (x)| =|α|N ′′ ∞ ( f ) .<br />
x∈[0;1]<br />
• Soit f ∈ E telle que N<br />
∞ ′′ ( f ) = 0.<br />
On a alors : | f (0)| +|f ′ (0)| + Sup | f ′′ (x)| = 0,<br />
} {{ } } {{ } x∈[0;1]<br />
0 0 } {{ }<br />
0<br />
donc f (0) = 0, f ′ (0) = 0, Sup | f ′′ (x)| =0.<br />
x∈[0;1]<br />
Il en résulte f ′′ = 0. Il existe donc (a,b) ∈ R 2 tel que :<br />
∀ x ∈ [0; 1], f (x) = ax + b .<br />
{ f (0) = 0<br />
{ a = 0<br />
De plus :<br />
f ′ (0) = 0 ⇐⇒ d’où f = 0.<br />
b = 0<br />
On conclut : N ∞ , N<br />
∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E.<br />
b) 1) • Soit f ∈ E.<br />
Pour tout x ∈ [0 ; 1],d’après l’inégalité des accroissements finis,<br />
appliquée à f sur [0 ; x], on a :<br />
| f (x) − f (0)| x Sup | f ′ (t)| 1 Sup | f ′ (t)| ,<br />
t∈[0;x]<br />
x∈[0;1]<br />
| f (0)|+ Sup | f ′ (t)| =N ′ ∞ ( f ).<br />
t∈[0;1]<br />
Il en résulte : N ∞ ( f ) N<br />
∞ ′ ( f ).<br />
• De même : ∀ f ∈ E, N<br />
∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ) .<br />
2) Montrons que les normes N ∞ , N<br />
∞ ′ , N ∞ ′′ sont deux à deux<br />
non équivalentes :<br />
Considérons la suite ( f n ) n∈N ∗ d’applications de [0 ; 1] dans R<br />
définies, pour tout n ∈ N ∗ , par :<br />
∀ x ∈ [0 ; 1], f n (x) = sin (πnx) .<br />
On a, pour tout n ∈ N ∗ , f n ∈ E <strong>et</strong>, pour tout x ∈ [0 ; 1] :<br />
f n (x) = sin (πnx), f ′<br />
n<br />
(x) = πn cos (πnx),<br />
f ′′<br />
n (x) =−π2 n 2 sin (πnx) ,<br />
d’où, pour tout n ∈ N ∗ :<br />
N ∞ ( f n ) = 1, N ′ ∞ ( f n) = πn, N ′′ ∞ ( f n) = πn + π 2 n 2 .<br />
Il s’ensuit :<br />
N<br />
∞ ′ ( f n)<br />
= πn −−−→ +∞, N ∞ ′′ ( f n)<br />
N ∞ ( f n ) n ∞ N<br />
∞ ′ ( f = 1 + πn −−−→ +∞,<br />
n) n ∞<br />
N<br />
∞ ′′ ( f n)<br />
N ∞ ( f n ) = πn + π2 n 2 −−−→ +∞.<br />
n ∞<br />
Ainsi, les rapports N ∞ ′ ( f )<br />
N ∞ ( f ) , N ∞ ′′ ( f )<br />
N<br />
∞ ′ ( f ) , N ∞ ′′ ( f ) ne sont pas bornés<br />
lorsque f décrit E −{0}, donc les normes N ∞ , N<br />
N ∞ ( f )<br />
∞ ′ , N ∞<br />
′′<br />
sont deux à deux non équivalentes.<br />
1.14 a) L’application<br />
x<br />
f : E −→ E, x ↦−→ f (x) =<br />
1 +||x|| 2<br />
est continue par opérations sur les applications continues.<br />
b) 1) On a : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x||<br />
1 +||x|| 1 2 2 ,<br />
car : ∀ t ∈ R + ,<br />
t<br />
1 + t − 1 2 2<br />
)<br />
.<br />
d’où : f (E) ⊂ B ′ (<br />
0 ; 1 2<br />
=<br />
−(1 − t)2<br />
2(1 + t 2 ) 0.<br />
(<br />
2) Réciproquement, soit y ∈ B ′ 0 ; 1 )<br />
.<br />
2<br />
Cherchons λ ∈ R pour que f (λy) = y. On a :<br />
f (λy) = y ⇐⇒<br />
λy<br />
1 +||λy|| = y 2 ⇐ || y|| 2 λ 2 − λ + 1 = 0.<br />
16
Si y = 0, on peut choisir λ = 0.<br />
Supposons y =/ 0. L’équation du second degré précédente, d’inconnue<br />
λ ∈ R, adm<strong>et</strong> au moins une solution puisque son discriminant<br />
1 − 4||y|| 2 est 0, car ||y|| 1 2 .<br />
(<br />
Ceci montre : B ′ 0 ; 1 )<br />
⊂ f (E).<br />
2<br />
(<br />
On conclut : f (E) = B ′ 0 ; 1 )<br />
.<br />
2<br />
Remarque :<br />
Le résultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme<br />
|.| usuelle :<br />
Représentation graphique de f : x ↦→<br />
[<br />
On a ici : f (R) = − 1 2 ; 1 ] (<br />
= B ′ 0 ; 1 )<br />
.<br />
2 2<br />
y<br />
0<br />
1<br />
x<br />
1 + x 2<br />
1.15 1) L’application<br />
f : R 2 −→ R, (x,y) ↦−→ x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4)<br />
est continue <strong>et</strong> {0} est fermé dans R, donc E = f −1 ({0}) est<br />
fermé dans R 2 , comme image réciproque d’un fermé par une<br />
application continue.<br />
2) Montrons que E est bornée, en utilisant les coordonnées polaires.<br />
Notons, pour (x,y) ∈ R 2 : ρ = √ x 2 + y 2 .<br />
On a, pour tout (x,y) ∈ R 2 :<br />
(x,y) ∈ E ⇐⇒ x 4 − 4x 3 + 3x 2 + y 4 − 4y 2 = 0<br />
⇐⇒ x 4 + y 4 = 4x 3 − 3x 2 + 4y 2 ,<br />
d’où, pour tout (x,y) ∈ E :<br />
ρ 4 = (x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 )<br />
= 2(4x 3 − 3x 2 + 4y 2 ) 2(4ρ 3 + 4ρ 2 ) = 8ρ 3 + 8ρ 2 .<br />
En supposant ρ 1, on a donc, si (x,y) ∈ E :<br />
ρ 4 16ρ 3 ,d’où : ρ 16.<br />
Ceci montre : ∀ (x,y) ∈ E, √ x 2 + y 2 16,<br />
donc E est bornée.<br />
Ainsi, E est une partie fermée bornée de R 2 , qui est un evn de<br />
dimension finie, donc E est compacte.<br />
x<br />
1.16 a) Soit g ∈ F ⊥ .<br />
Considérons l’application<br />
On a f ∈ F, donc :<br />
f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ f (x) = xg(x) .<br />
0 = < f , g > =<br />
∫ 1<br />
0<br />
f (x)g(x) dx =<br />
∫ 1<br />
0<br />
x ( g(x) ) 2<br />
dx .<br />
Comme x ↦−→ x ( g(x) ) 2<br />
est continue <strong>et</strong> 0, on déduit :<br />
∀ x ∈ [0 ; 1], x ( g(x) ) 2<br />
= 0 ,<br />
puis : ∀ x ∈ ]0 ; 1], g(x) = 0.<br />
Comme g est continue en 0, il en résulte g = 0.<br />
On conclut : F ⊥ ={0}.<br />
b) On a donc : F ⊕ F ⊥ = F ⊕{0} =F.<br />
Il est clair que F =/ E, puisque l’application constante égale<br />
à 1 est dans E <strong>et</strong> n’est pas dans F.<br />
On conclut : F ⊕ F ⊥ =/ E.<br />
1.17 Par commodité typographique, un élément de M n,1 (C)<br />
peut être noté en ligne au lieu de colonne.<br />
1) On a, pour tout X = (x 1 ,...,x n ) ∈ M n,1 (C) :<br />
=<br />
|| f (X)|| 1 =<br />
n∑<br />
n∑ ∣ ∣∣<br />
∣ a ij x j <br />
i=1<br />
j=1<br />
n∑ ( n∑ ) (<br />
|a ij | |x j | <br />
j=1<br />
i=1<br />
Max<br />
1 jn<br />
n∑ ( n∑ )<br />
|a ij ||x j |<br />
i=1<br />
j=1<br />
n∑ ) n∑<br />
|a ij | |x j |<br />
i=1<br />
} {{ }<br />
notée M<br />
j=1<br />
= M||X|| 1 .<br />
Ceci montre que la norme subordonnée de f, notée ||| f |||, vérifie<br />
: ||| f ||| M.<br />
2) Montrons qu’il existe X =/ 0 réalisant des égalités dans la<br />
chaîne d’inégalités précédentes.<br />
n∑<br />
Il existe j 0 ∈{1,...,n} tel que : M = |a ij0 |.<br />
Considérons X = (0,...,0,1,0,...,0), dont toutes les coordonnées<br />
sont nulles, sauf la j 0 -ème qui est égale à 1.<br />
On a alors, d’une part,||X 0 || 1 = 1, <strong>et</strong>, d’autre part,<br />
f (X 0 ) = (a 1 j0 ,...,a nj0 ), donc :<br />
n∑<br />
|| f (X)|| 1 = |a ij0 |=M.<br />
i=1<br />
Ainsi : X =/ 0 <strong>et</strong> || f (X)|| 1<br />
||X|| 1<br />
= M.<br />
Finalement : ||| f ||| = Max<br />
1 jn<br />
( n∑<br />
i=1<br />
i=1<br />
)<br />
|a ij | .<br />
17