MÃ©thodes et exercices - Dunod

Jean-Marie Monier 

mathémati ues 

Méthodes et exercices 

PC-PSI-PT 

Les méthodes à retenir 

Plus de 600 énoncés 

d’exercices 

Indications pour bien 

démarrer 

Tous les corrigés détaillés

MATHÉMATIQUES 

MÉTHODES ET EXERCICES 

PC-PSI-PT 


Professeur 

en classe de Spéciales 

au lycée La Martinière-Monplaisir 

à Lyon

Table des matières 

1. Espaces vectoriels normés 1 

Les méthodes à retenir 2 

Énoncés des exercices 6 

Du mal à démarrer ? 9 

Corrigés des exercices 12 

2. Fonctions vectorielles 

d’une variable réelle 23 





3. Intégration 

sur un intervalle quelconque 57 





4. Séries 113 





5. Suites et séries 

d’applications 157 





6. Séries entières 221 





7. Séries de Fourier 283 





8. Équations différentielles 307 





IV

Table des matières 

9. Fonctions 

de plusieurs variables réelles 349 





10. Compléments 

d’algèbre linéaire 365 





11. Déterminants, 

systèmes linéaires 389 





12. Réduction 

des endomorphismes 

et des matrices carrées 407 





13. Espaces préhilbertiens réels 447 





14. Géométrie 489 





Index alphabétique 511 

V

· · 

· · 

Pour bien utiliser cet ouvrage 

La page d’entrée de chapitre 

Elle propose un plan du chapitre, les 

thèmes abordés dans les exercices, ainsi 

qu’un rappel des points essentiels du cours 

pour la résolution des exercices. 

− 

∗ 

○ 

· 


( 

· ) 

( 

· 

) 

Cette rubrique constitue une synthèse des principales 

méthodes à connaître,détaillées étape par 

étape, et indique les exercices auxquels elles se 

rapportent. 

∗ 

○ 

VI

Pour obtenir une égalité entre 

une fonction et une somme 

de série trigonométrique 

Pour obtenir une inégalité 

portant sur des intégrales 

( ) − 

Essayer d’appliquer un des deux théorèmes de Dirichlet à une fonction 

bien choisie. 

➥ Exercice 7.6. 

➥ Exercices 7.9, 7.11, 7.13. 

− − − 

Énoncés des exercices 

De nombreux exercices de difficulté croissante 

sont proposés pour s’entraîner. La difficulté de 

chaque exercice est indiquée sur une échelle de 

1 à 4. 

Pour relier entre elles des sommes Séparer, dans une somme partielle, les termes d’indices pairs, d’indices 

impairs, puis passer aux limites. 

de séries convergentes du genre 

+∞∑ 1 

+∞∑ 

n , et 1 

2 (2p+1) 2 

n=1 

p=0 

Pour calculer 

les coefficients de Fourier 

d’une fonction, 

lorsque le calcul direct 

ne paraît pas faisable 


➥ Exercices 7.1 c), 7.2 c), 7.7 c). 

Exprimer la fonction comme somme d’une série de fonctions et montrer 

que l’on peut permuter intégrale et série par l’une des trois 

méthodes habituelles (cf. les méthodes à retenir du chapitre 5). 

PC, PSI 

➥ Exercices 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 a), 7.22 b) 

Ne pas confondre l’indice d’un terme de la sommation donnant f initialement, 

et l’indice concernant le terme d’une série de Fourier. 

de carrés de fonctions 

PSI 

Parseval. 

Essayer de se ramener, quand c’est possible, à une inégalité portant 

sur des sommes de séries numériques, en utilisant une formule de 


7.1 

Exemple de développement en série de Fourier, créneau 

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 

7.2 

Soit f : R −→ R, 2π-périodique, paire, telle que, pour tout t ∈ [0 ; π] : 

f (t) = 1 si 0 t < π 2 , f (t) = 0 si t = π 2 , f (t) =−1 si π 2 < t π . 

a) Vérifier f ∈ CM2π et calculer les coefficients de Fourier (trigonométriques) de f. 

b) Étudier les convergences de la série de Fourier de f et préciser sa somme. 

+∞∑ (1) p +∞∑ 

c) En déduire les sommes de séries suivantes : 

2p + 1 , 1 

+∞∑ 

(2p + 1) , 1 

2 n . 2 

Exemple de développement en série de Fourier, dent de scie continue 

Soit f : R −→ R, 2π-périodique, impaire, telle que : 

p=0 

p=0 

n=1 

f (t) = t si 0 t < π 2 , f (t) = π − t si π 2 t π . 

285 

α 

− 

Du mal à démarrer ? 

− 

− 

− 

− π π 

Des conseils méthodologiques sont proposés 

pour bien aborder la résolution des exercices. 

− 

− 

( ) 

− − 

− 

∣ 

∗ 

○ 

∣ ∼ −−− 

∼ 

− 

− 

∣ 

∗ 

○ 

∣ 

Corrrigés des exercices 

Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée. 

∣ 

∗ 

○ 

− ∼ 

− 

− 

∣ ∼ −−− 

− 

∼ 

∣ ∼ −−− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− − 

− − − − − 

( ) 

− 

∣ 

∗ 

○ 

∣ 

∣ 

∣ −−− 

− 

− 

− 

∣ 

∣ 

∗ 

○ 

( )( ) − 

− 

( ) 

( ) −−− 

− 

− 

− 

VII

Préface 

Préface 

Alors que, récemment, je feuilletais l’un des manuels de mathématiques qui servait de référence lorsque – voici 

quelques décennies ! – j’étais en prépa, me revinrent en mémoire certaines sensations : à la lecture des énoncés des 

exercices que j’avais jadis cochés, d’une concision à la fois élégante et provocante, je me rappelais le plaisir que j’avais 

éprouvé à la résolution de quelques-uns d’entre eux mais aussi, cette étrange amertume, pas encore totalement estompée 

aujourd’hui, que j’avais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalés d’un simple astérisque, 

après de vains efforts et plusieurs tentatives avortées. 

Les volumes Méthodes et Exercices (pour MP d’une part, PC-PSI-PT d’autre part) que J.-M. Monier nous présente 

aujourd’hui semblent tout spécialement écrits pour éviter ce traumatisme aux étudiants d’aujourd’hui et de demain. 

Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties éminemment complémentaires : 

• Les méthodes constituent ce guide précieux qui permet à l’étudiant de passer, confiant, efficacement « coaché », du 

cours qu’il apprend à la recherche nécessaire et fructueuse des exercices. Si les théorèmes du cours sont les outils de 

l’artisan-étudiant, les méthodes et techniques proposées ici en sont les modes d’emploi. Évidemment, ces conseils 

sont particulièrement soignés et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple expérience de J.-M. 

Monier, pédagogue avéré, interrogateur recherché et auteur apprécié de maints ouvrages reconnus ? 

Pour une aide encore plus précise, chaque méthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en œuvre 

est souhaitable. 

• Les exercices, nombreux, variés et souvent originaux, couvrent la totalité du programme, chapitre après chapitre. Ils 

répondent parfaitement à un triple objectif : 

⋆ permettre d’assurer, d’approfondir et d’affiner, pendant son apprentissage, la compréhension du cours ; 

⋆ consolider et enrichir ses connaissances par la résolution d’exercices plus substantiels et de questions plus délicates 

; 

⋆ réaliser des révisions efficaces et ciblées lors de la préparation des épreuves écrites ou orales des concours. 

Ces exercices sont judicieusement classés en quatre niveaux de difficulté croissante, permettant ainsi aussi bien au néophyte 

de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu’à l’étudiant chevronné de se 

mesurer à des exercices plus difficiles et délicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre 

est couvert par des exercices des quatre niveaux. L’abandon douloureux devant une question trop abruptement posée, 

dont je parlais au début, ne saurait se produire avec l’ouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique « Du mal à 

démarrer », il apporte à l’étudiant(e) qui le souhaite une aide discrète, rappelant ici la méthode adéquate, donnant là 

une indication précieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche… 

Pour chaque exercice, l’auteur s’est imposé la rédaction complète et appliquée d’un corrigé clair, précis, détaillé, osons 

le mot, exemplaire. S’il est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel 

permet à chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en éprouve un indicible plaisir !), soit 

de s’aider du corrigé pour parvenir, rassuré et guidé, à cette solution. 

Qu’il me soit aussi permis d’insister sur l’ampleur de ces volumes, liée à la grande variété des exercices choisis, et qui 

est rare à ce niveau d’études, en même temps que sur leur prix très modique ! 

VIII

Préface 

Ces ouvrages de consultation particulièrement agréable constituent l’outil efficace et complet qui permettra à chacun, 

à son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de développer son goût pour les mathématiques et ses compétences 

et, tout à la fois, de forger son succès. 

Quant à moi, un regret est en train de m’assaillir : pourquoi n’ai-je pas attendu la rentrée prochaine pour commencer 

ma prépa ? 

H. Durand, 

professeur en Mathématiques Spéciales PT* 

au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon. 


IX

Index alphabétique 

Remerciements 

Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : 

Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin 

Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laffont, Cécile Lardon, Ibrahim 

Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier. 


X

Programmes PC, PSI, PT 

Index alphabétique 

Chapitre 1 : Espaces vectoriels normés 

• Les étudiant(e)s de PT n’ont à connaître que le cas de R n muni de la norme euclidienne : norme euclidienne, distance 

associée, boules, parties ouvertes, parties fermées, parties bornées, suites dans R n ; toute suite convergente est 

bornée, opérations algébriques sur les suites. 

• Les étudiant(e)s de PC n’ont pas à connaître les notions suivantes : suite de Cauchy, point intérieur, caractérisation 

séquentielle des points adhérents ou des parties fermées, image réciproque d’une partie ouverte (resp. fermée) par 

une application continue. 

Chapitre 2 : Fonctions vectorielles d’une variable réelle 

• Pour les étudiant(e)s de PT, les fonctions de ce chapitre 2 sont à valeurs dans R n muni de son produit scalaire usuel 

et de la norme euclidienne associée. 

Chapitre 4 : Séries 

• La CNS de Cauchy de convergence d’une série à termes réels ou complexes ne concerne que les étudiant(e)s de PSI. 

• Les étudiant(e)s de PT n’ont pas à connaître la formule de Stirling ni le produit de deux séries numériques. 

Chapitre 5 : Suites et séries d’applications 

• Ce chapitre ne concerne pas les étudiant(e)s de PT. 

• Les étudiant(e)s de PC n’ont pas à connaître la notion de convergence uniforme. Son intervention est remplacée par 

celle de la convergence normale ou par un théorème sur les séries entières. Cependant, le programme PC comporte 

une étude de l’approximation uniforme. 

Chapitre 6 : Séries entières 

• Les programmes PC et PT, pour compenser l’absence de l’étude de la convergence uniforme, contiennent un théorème 

sur les séries entières appelé théorème de la limite radiale. 


Chapitre 7 : Séries de Fourier 

• Le programme PT ne comporte pas l’étude des coefficients de Fourier exponentiels. 

• Le programme PT comporte une définition de a 0 différente de celle figurant dans les programmes MP, PC, PSI. Nous 

optons pour les formules classiques qui sont celles de ces derniers programmes, et qui donnent comme série de 

Fourier trigonométrique de f : a 0 

2 + ∑ ( 

an cos nωt + b n sin nωt ) . 

n1 

Chapitre 8 : Équations différentielles 

• L’étude des systèmes autonomes ne figure qu’en PC. 

• Les étudiant(e)s de PT n’ont pas à connaître la notion de wronskien. 

XI

Programmes PC, PSI, PT 

Chapitre 9 : Fonctions de plusieurs variables réelles 

• L’inégalité des accroissements finis pour une application f : U −→ R de classe C 1 sur un ouvert convexe U de R p 

ne concerne que les étudiant(e)s de PSI. 

• La condition suffisante d’extrémum local pour une application f : U −→ R de classe C 2 sur un ouvert U de R 2 ,faisant 

intervenir l’expression s 2 − rt, ne concerne que les étudiant(e)s de PT. 

Chapitre 10 : Compléments d’algèbre linéaire 

• Pour les étudiant(e)s de PT, la notion de somme directe n’est au programme que dans le cas de deux sous-espaces 

vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie. 

• L’étude de l’interpolation du point de vue de l’algèbre linéaire et la dualité ne sont pas au programme PT. 

• Les notions de base duale et de base préduale ne sont qu’au programme PSI. 

Chapitre 11: Déterminants 

• L’étude du groupe symétrique et la définition et les propriétés de la comatrice ne sont qu’au programme PSI. 

Chapitre 12: Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 

• Les notions de polynôme d’endomorphisme et de polynôme de matrice carrée ne sont pas au programme PT. 

• Le théorème de Cayley et Hamilton et l’étude des idéaux de K [X] ne sont qu’au programme PSI. 

Chapitre 13: Espaces préhilbertiens réels 

• L’étude des formes bilinéaires symétriques et des formes quadratiques n’est pas au programme PC. 

• La notion d’adjoint et la réduction simultanée ne sont qu’au programme PSI. 

Chapitre 14 : Géométrie 

• L’enveloppe d’une famille de droites du plan, le centre de courbure, la développée d’une courbe du plan et les développantes 

d’une courbe du plan, les surfaces réglées, les surfaces développables, les courbes tracées sur une surface 

et satisfaisant une condition différentielle ne sont qu’au programme PT. 

• Les cylindres, cônes, surfaces de révolution ne sont pas au programme PSI. 

XII

Espaces vectoriels 

normés 

1 

CHAPITRE 

Plan 




Corrigés 12 

Ce chapitre 1 ne concerne que les filières PC et PSI, et non la filière PT. 

Thèmes abordés dans les exercices 

• Montrer qu'une application est une norme 

• Obtention d’inégalités portant sur des normes 

• Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes 

• Montrer qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, est (n’est pas) ouverte 

• Manipulation de fermés, d’ouverts 

• Calcul de la distance d’un point à une partie 

• Utilisation de la continuité, du caractère lipschitzien 

• Montrer qu’une application linéaire f est continue, calculer ||| f ||| 

• Montrer qu’une partie est (n’est pas) compacte, manipulation de parties compactes 

• Utilisation d’une suite de Cauchy 

• Montrer qu’une application est un produit scalaire 

• Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien 

Points essentiels du cours 

pour la résolution des exercices 


• Définition de norme, espace vectoriel normé, distance associée à une norme, 

inégalité triangulaire renversée, normes équivalentes 

• Définition de boule ouverte, boule fermée, parties bornées 

• Définition et propriétés de : ouvert, fermé, point adhérent 

• Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E, caractérisation 

de d(x,A) = 0 

• Définition et propriétés de la convergence des suites, suites extraites 

• Définition et propriétés des limites, de la continuité en un point, de la continuité 

sur une partie 

• Définition du caractère lipschitzien, lien entre continue et lipschitzienne 

1

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 

• Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications 

linéaires, définition et propriétés de la norme |||.||| 

• Définition de la compacité, image continue d’un compact, équivalence des 

normes en dimension finie 

• Définition d’une suite de Cauchy dans un evn de dimension finie, équivalence 

logique entre suite de Cauchy et suite convergente dans un tel evn 

• Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien, 

inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et cas 

d’égalité 

• Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théorème 

de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de projection 

orthogonale sur un sev de dimension finie. 


On abrège : 

espace vectoriel en ev 

sous-espace vectoriel en sev 

espace vectoriel normé en evn. 

Pour montrer qu’une application 

N : E −→ R est une norme sur un 

K-espace vectoriel E 

Revenir à la définition. 

Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E, N(x) existe, en particulier 

lorsque N(x) est donnée par une borne supérieure ou une 

intégrale. 

➥ Exercices 1.18 a), 1.19, 1.24. 

Pour exprimer la distance d 

associée à une norme sur un K-ev E 

à partir de cette norme, ou pour 

exprimer une norme à partir de la 

distance associée d sur E 

Utiliser les formules : 

∀(x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = N(x − y), 

∀x ∈ E, N(x) = d(0,x). 

Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire : 

Pour établir une inégalité 

faisant intervenir 

une norme ||.|| sur un K-ev 

∀ (x,y) ∈ E 2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||, 

ou l’inégalité triangulaire renversée : 

∀ (x,y) ∈ E 2 , ∣ ∣||x|| − ||y|| ∣ ∣ ||x − y||. 

➥ Exercices 1.1, 1.23. 

2


Pour montrer que deux normes 

N, N ′ sur un K-espace vectoriel E 

sont équivalentes 

• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la 

définition, c’est-à-dire montrer : 

∃ (α,β) ∈ (R ∗ + )2 , ∀,x ∈ E, αN(x) N ′ (x) βN(x). 

➥ Exercices 1.3, 1.19, 1.24 

• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes 

sur E sont équivalentes. 

Pour montrer que deux normes 

N, N ′ sur un K-espace vectoriel E 

ne sont pas équivalentes 

Chercher une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que : 

N ′ ( f n ) 

N( f n ) −−→ +∞ ou N( f n ) 

n ∞ N ′ ( f n ) −−→ 

n ∞ 

+∞. 

➥ Exercices 1.13, 1.24. 


Pour montrer 

qu’une partie A d’un evn E 

est fermée dans E 

Pour montrer 

qu’une partie Ω d’un evn E 

est ouverte dans E 

• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisation 

séquentielle des fermés : 

la partie A de E est fermée dans E si et seulement si, pour toute suite 

(a n ) n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A. 

➥ Exercices 1.2 a), 1.11, 1.12 

• Essayer de montrer que : 

∗ A est une intersection de fermés de E 

∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E 

∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés 

• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une 

application continue. 

• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que 

∁ E (A) est ouvert dans E. 

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : 

∀x ∈ Ω, ∃ r > 0, B(x ; r) ⊂ . 

• Montrer que ∁ E (Ω) est un fermé de E 

• Essayer de montrer que : 

∗ Ω est une réunion d’ouverts de E 

➥ Exercice 1.4 b) 

PSI 

∗ Ω est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E 

• Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert par 

une application continue. 

➥ Exercices 1.4 a), 1.20. 

3


Pour manipuler 

la distance d(x,A) 

d’un point x d’un K-evn E 

à une partie non vide A de E 

Pour montrer 

qu’une application 

f : X ⊂ E −→ F 

est continue 

en un point a de X 

Pour montrer 

qu’une application 

f : X ⊂ E −→ F 

est continue sur X 

Pour manipuler une application 

f : X ⊂ E −→ Fk-lipschitzienne 

Utiliser la définition : 

ce qui revient à : 

{ ∀ a ∈ A, d(x,A) d(x,a) 

∀ k ∈ R + , 

d(x,A) = Inf 

a∈A d(x,a), 

( (∀,a 

∈ A, k d(x,a) 

) 

⇒ k d(x,A) 

) 

. 

On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalité 

triangulaire renversée. 


• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité 

en un point. 

➥ Exercice 1.14 

• Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonction-coordonnée 

de f est continue en a. 

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : 

( ) ) 

∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ A, 

(d E (x,a) η ⇒ d F f (x), f (a) ε . 

• Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-dire 

montrer que, pour toute suite (a n ) n dans A convergeant vers a, la 

suite ( f (a n ) ) converge vers f (a). 

n 

• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la continuité 

sur une partie. 


• Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux 

méthodes vues plus haut. 

• Se souvenir que le caractère lipschitzien entraîne la continuité. 

Utiliser la définition : 

∀ (x 1 ,x 2 ) ∈ X 2 ( 

, d F f (x1 ), f (x 2 ) ) kd(x 1 ,x 2 ). 


Montrer d’abord qu’il existe M ∈ R + tel que : 

∀ x ∈ E, || f (x)|| F M||x|| E , 

Pour calculer 

la norme |||f||| 

d’une application linéaire 

f ∈ L(E,F) où E,F sont des evn 

de dimensions finies 

PSI 

et on a alors ||| f ||| M, où, par définition : 

|| f (x)|| F 

||| f ||| = Sup 

= Sup || f (x)|| F . 

x∈E−{0} ||x|| E x∈B(0 ;1) 

On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait : 

||| f ||| = M. 

On cherchera donc x 0 ∈ E −{0} de façon que || f (x 0)|| F 

||x 0 || E 

= M. 

➥ Exercice 1.7, 1.17. 

4


Pour montrer 

qu’une partie X d’un evn E 

de dimension finie 

est compacte 

Pour montrer 

qu’une suite (u n ) n d’un evn E 

de dimension finie 

est de Cauchy 

• Essayer de faire apparaître X comme image directe d’un compact 

par une application continue. 

• Essayer de montrer que X est fermée et bornée. 

➥ Exercices 1.8, 1.15, 1.21. 

Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : 

( { p N 

) 

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀(p,q) ∈ N 2 , 

q N ⇒ d(u p,u q ) ε . 


Pour montrer qu’une application 

ϕ : E × E −→ R est un produit 

scalaire, où E est un K-ev 

Revenir à la définition. 

Utiliser la formule qui exprime φ à l’aide de ϕ : 


Pour relier un produit scalaire 

ϕ : E × E −→ K et la forme 

quadratique φ : E −→ R associée 

∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x), 

ou, si K = R, une des formules exprimant ϕ à l’aide de φ : 

∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = 1 2( 

φ(x + y) − φ(x) − φ(y) 

) 

, 

∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = 1 4( 

φ(x + y) − φ(x − y) 

) 

. 

Utiliser l’inégalité de Cauchy et Schwarz : 

Pour obtenir des inégalités 

dans un contexte 

d’espace préhilbertien ( E,(. | .) ) 

∀ (x,y) ∈ E 2 , |(x | y)| ||x|| ||y||, 

ou l’inégalité de Minkowski, c’est-à-dire l’inégalité triangulaire pour 

la norme associée au produit scalaire : 


Pour manipuler 

des orthogonaux de parties 

dans un espace préhilbertien 

( 

E,(. | .) 

) 

∀ (x,y) ∈ E 2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||. 

• Revenir à la définition de l’orthogonal d’une partie A de E : 

A ⊥ = { x ∈ E ;∀a ∈ A, (x | a) = 0 } . 

• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) de l’orthogonalité : 

∗ A ⊂ B ⇒ A ⊥ ⊃ B ⊥ 

∗ A ⊥ = ( Vect (A) ) ⊥ 

∗ A ⊂ A ⊥⊥ , E ⊥ ={0}, {0} ⊥ = E 

∗ A ∩ A ⊥ ⊂{0}. 


• Se rappeler que, d’après le théorème de projection orthogonale sur 

un sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors : 

F ⊕ F ⊥ = E. 

5



1.1 

Inégalité sur des normes 

Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t ∈ E. Montrer : 

||x − y|| + ||z − t|| ||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||. 

1.2 

Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ? 

On note E le R-ev des applications continues bornées de R dans R, muni de ||.|| ∞ . 

a) Est-ce que F = { f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) 0 } est fermée dans E ? 

{ 

b) Est-ce que U = f ∈ E ;∀x ∈ R, f (x) >0} 

est ouverte dans E ? 

1.3 

Exemple de deux normes équivalentes 

On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) et ν 1 ,ν 2 les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E, 

par : ν 1 ( f ) =|f (0)|+2 

∫ 1 

| f ′ (t)| dt, ν 2 ( f ) = 2| f (0)|+ 

∫ 1 

0 

0 

Montrer que ν 1 et ν 2 sont des normes sur E et qu’elles sont équivalentes. 

| f ′ (t)| dt. 

PSI 

1.4 

Somme d’une partie et d’un ouvert 

Soient E un evn, Ω un ouvert de E. 

a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la partie {a}+Ω = { a + x ; x ∈ Ω } est un ouvert de E. 

b) En déduire que, pour toute partie A de E, la partie A + Ω = { a + x ; (a,x) ∈ A × Ω } est un 

ouvert de E. 

1.5 

Fonction continue à deux variables 

Soient E,F,G des evn, A ⊂ E telle que A =/ ∅, B ⊂ F telle que B =/ ∅, et 

f : A −→ G, g : B −→ G deux applications. 

On note : 

ϕ : A × B −→ G, (x,y) ↦−→ ϕ(x,y) = f (x) + g(y). 

Montrer que ϕ est continue sur A × B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue 

sur B. 

PSI 

1.6 

1.7 

Exemple d’application lipschitzienne 

Soit (a,b) ∈ (R + ) 2 . On munit R 2 de la norme ||.|| 1 définie, pour tout (x,y) ∈ R 2 , par : 

||(x 1 ,x 2 )|| 1 =|x 1 |+|x 2 |. On note f : R 2 −→ R 2 , (x 1 ,x 2 ) ↦−→ f (x 1 ,x 2 ) = (ax 2 , bx 1 ). 

Montrer que f est lipschitzienne. 

Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire 

en dimensions finies 

On note f : R 2 −→ R, (x 1 ,x 2 ) ↦−→ 2x 1 − 3x 2 . Vérifier que f est linéaire et calculer ||| f ||| 

lorsque R 2 est muni de ||.|| ∞ et R est muni de |.|. 

6


1.8 

Une partie est-elle compacte, non compacte ? 

⎧ 

⎨ 

On considère l’application f : R −→ R, x ↦−→ f (x) = 

⎩ 

A = { x ∈ R ; f (x) = 0 } { 

, B = x ∈ R ; f (x) 1 } 

. 

2 

sin x 

x 

si x =/ 0 

1 si x = 0 

et on note : 

Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ? 

PSI 

1.9 

1.10 

Suite proche d’une suite de Cauchy 

Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (u n ) n∈N ,(v n ) n∈N deux suites dans E telles 

que : d(u n ,v n ) −→ 0. Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi. 

n ∞ 

Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes 

Soient E un K-evn, N 1 ,N 2 deux normes sur E. On note, pour tout i ∈{1,2} : 

B i = { x ∈ E ; N i (x)


a) Montrer que N ∞ , N 

∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E. 

b) Comparer les normes N ∞ , N 

∞ ′ , N ∞ ′′ pour la relation d’équivalence entre normes. 

1.14 

Exemple d’application continue 

Soit (E,||.||) un evn. On considère l’application f : E −→ E, x ↦−→ f (x) = 

( 

Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B ′ 0 ; 1 ) 

. 

2 

x 

1 +||x|| 2 . 

PSI 

1.15 

Exemple de partie compacte de R 2 

{ 

} 

La partie E = (x,y) ∈ R 2 ; x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4) = 0 de R 2 est-elle compacte ? 

PSI 

1.16 

1.17 

Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E, 

tel que F ⊥ ne soit pas un supplémentaire de F dans E 

On note E = C ( [0 ; 1] ; R ) , muni du produit scalaire ( f,g) ↦−→< f , g > = 

considère F = { f ∈ E ; f (0) = 0 } . 

Montrer : a) F ⊥ ={0} b) F ⊕ F ⊥ =/ E. 

∫ 1 

0 

fg et on 

Exemple de calcul de la norme subordonnée d’une application linéaire 

en dimension finie 

Soient n ∈ N ∗ , A = (a ij ) ij ∈ M n (C), f l’endomorphisme de M n,1 (C) représenté par A dans la 

base canonique. Calculer la norme subordonnée de f lorsque M n,1 (C) est muni, au départ et à l’arrivée, 

de ||.|| 1 . 

1.18 

Exemple de norme sur R 2 , détermination d’une boule 

On note N : R 2 −→ R, (x,y) ↦−→ Sup 

t∈R 

a) Montrer que N est une norme sur R 2 . 

|x + ty| 

1 + t + t 2 . 

b) Représenter graphiquement la boule B ′ N (0 ; 1) = { (x,y) ∈ R 2 ; N(x,y) 1 } dans le plan 

usuel. 

c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de B 

N ′ (0 ; 1). 

PSI 

1.19 

1.20 

Exemple de deux normes équivalentes 

On note E le R-ev des applications f :[0; 1] −→ R de classe C 1 sur [0; 1] et telles 

que f (0) = 0 . Pour f ∈ E, on note N( f ) = Sup | f (x)|+ Sup | f ′ (x)| et 

x∈[0;1] 

x∈[0;1] 

ν( f ) = Sup | f (x) + f ′ (x)|. Montrer que N et ν sont des normes sur E, et qu’elles sont équivalentes. 

x∈[0;1] 

Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints 

Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F ∩ G = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts 

U,V de E tels que : F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅. 

8


PSI 

1.21 

1.22 

1.23 

1.24 

Applications continues de limites infinies en +∞ et en −∞ 

Soit f : R −→ R une application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux à 

deux équivalentes : 

(i) L’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R 

(ii) lim | f |=+∞ 

−∞ 

et lim | f |=+∞ 

+∞ 

( 

) 

(iii) lim f =−∞ou lim f =+∞ 

−∞ −∞ 

et 

( 

) 

lim f =−∞ou lim f =+∞ . 

+∞ +∞ 

Exemple de norme issue d’un produit scalaire 

On note E = C 1( [0 ; 1] ; R ) et N : E −→ R l’application définie par : 

Montrer que N est une norme sur E. 

( ∫ 1 1 

∀ f ∈ E, N( f ) = f ′2 2 

+ f (0) f (1)) 

. 

0 

Inégalité sur des normes 

Soient (E,||.||) un evn, x,y ∈ E −{0}. Démontrer : 

x 

∣∣ 

||x|| − y 

||y|| ∣∣ 2 ||x − y|| 

Max (||x||, ||y||) . 

Exemple de norme paramétrée par une fonction 

On note E = C ( [0; 1],R ) et, pour ϕ ∈ E, Nϕ : E −→ R l’application définie par : 

∀ f ∈ E, N ϕ ( f ) =||f ϕ|| ∞ . 

a) Montrer que Nϕ est une norme sur E si et seulement si ( ϕ −1 ({0}) ) ◦ 

= ∅. 

b) Montrer que Nϕ et || · || ∞ sont des normes sur E équivalentes si et seulement si ϕ −1 ({0}) = ∅. 

PSI 

1.25 

Endomorphismes continus tels que u ◦ v − v ◦ u = e 

Soit E un evn distinct de {0}. On note e = Id E . 

On suppose qu’il existe (u,v) ∈ ( LC(E) ) 2 

tel que : u ◦ v − v ◦ u = e. 

a) Montrer : ∀ n ∈ N, u ◦ v n+1 − v n+1 ◦ u = (n + 1)v n . 


b) En déduire : ∀ n ∈ N, (n + 1)|||v n ||| 2 |||u||| |||v||| |||v n |||. 

c) Conclure. 


1.1 Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité triangulaire. 

1.2 a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des 

fermés. 

b) Montrer que U n’est pas ouvert, en trouvant f ∈ U telle que, 

pour tout ε ∈ R ∗ + , B( f ; ε) U. 

1.3 1) Montrer que ν 1 est une norme sur E en revenant à la 

définition d’une norme. 

9


2) De même pour ν 2 . 

3) Remarquer que, pour toute f ∈ E : 

ν 1 ( f ) 2ν 2 ( f ) et ν 2 ( f ) 2ν 1 ( f ). 

1.4 a) Considérer, par exemple, pour a ∈ E fixé, la translation 

de vecteur −a : 

τ −a : E −→ E, y ↦−→ y − a. 

b) Exprimer A + Ω à l’aide des {a}+Ω, a ∈ A. 

1.5 1) Si ϕ est continue sur A × B, exprimer f à l’aide de ϕ, 

pour déduire que f est continue sur A. 

2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer ϕ à 

l’aide de f,g et des projections canoniques, pour déduire que ϕ 

est continue sur A × B. 

1.6 

Évaluer, pour (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 : 

|| f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 )|| 1 . 

1.7 Pour (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 , majorer convenablement | f (x 1 ,x 2 )| à 

l’aide de Max (|x 1 |,|x 2 |), et chercher (x 1 ,x 2 ) ≠ (0,0) de façon 

qu’il y ait égalité. 

1.8 

1) A n’est pas bornée. 

2) B est fermée et bornée. 

1.9 Majorer d(v p ,v q ) en intercalant u p et u q et utiliser les deux 

hypothèses : la suite (u n ) n∈N est de Cauchy et d(u n ,v n ) −→ 0. n ∞ 

1.10 a) • Un sens est immédiat. 

• Si B 1 ′ = B′ 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer 1 

x, qui est 

N 1 (x) 

dans B 1 ′ , donc dans B′ 2 . 

b) • Un sens est immédiat. 

1 

• Si B 1 = B 2 , pour x ∈ E −{0}, considérer x, qui n’est 

N 1 (x) 

pas dans B 1 , donc pas dans B 2 . 

1.11 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des 

fermés. 

2) Montrer : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, e t 2 + t. 

En déduire que toute application constante supérieure ou égale 

à 2 est dans A. 

1.12 a) 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle 

des fermés. 

2) • Montrer : d(0,A) 1. 

• Considérer f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ 1 − 2x. 

1.13 

b) 1) Comme en a)1). 

2) • Montrer : d(0,B) 1. 

• Considérer, pour tout n ∈ N ∗ , une application g n continue, affine 

par morceaux, constante égale à 1 sauf près de 0, telle que 

g n (0) = 0. Déduire d(0,B) = 1. 

• Montrer que d(0,B) n’est pas atteinte, en raisonnant par l’absurde. 

a) Revenir à la définition d’une norme. 

b) 1) Remarquer d’abord : 

∀ f ∈ E, N ∞ ( f ) N ∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ), 

en utilisant l’inégalité des accroissements finis. 

2) Trouver une suite ( f n ) n dans E −{0} telle que, par exemple, 

N ∞ ′ ( f n) 

N ∞ ( f n ) −→ +∞. n ∞ 

1.14 

b) 1) Remarquer : ∀ t ∈ R + , 

( 

et déduire l’inclusion f (E) ⊂ B ′ 0 ; 1 2 

( 

2) Réciproquement, pour y ∈ B ′ 0 ; 1 2 

pour que f (λy) = y. 

t 

1 + t 1 2 2 , 

) 

. 

) 

fixé, chercher λ ∈ R 

1.15 1) Montrer que E est fermée, comme image réciproque 

d’un fermé par une application continue. 

2) Montrer que E est bornée, en utilisant les coordonnées 

polaires par exemple. 

1.16 

a) Soit g ∈ F ⊥ . Considérer l’application 

f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ xg(x) 

qui est dans F, et traduire < f,g > = 0. 

1.17 Pour X = t (x 1 ,...,x n ) ∈ M n,1 (C), majorer convenablement 

|| f (X)|| 1 en faisant intervenir ||X|| 1 . 

n∑ 

Ayant obtenu le coefficient M = Max |a ij |, chercher 

1 jn 

i=1 

X ≠ 0 de façon que : || f (X)|| 1 = M||X|| 1 . 

1.18 a) • Montrer d’abord, pour tout (x,y) ∈ R 2 , l’existence de 

|x + ty| 

N(x,y), en montrant que l’application t ↦−→ 

est bornée 

sur R. 

1 + t + t2 • Revenir à la définition d’une norme. 

b) Transformer la condition N(x,y) 1 en : 

∀ t ∈ R, −1 

x + ty 

1 + t + t 2 1, 

puis utiliser les résultats sur les trinômes réels. 

c) Calculer l’aire comme intégrale double de la constante 1. 

10


1.19 1) Montrer que N et ν sont des normes. Pour montrer 

l’implication ν(f ) = 0 ⇒ f = 0, utiliser la résolution d’une 

équation différentielle. 

2) • Montrer : ∀ f ∈ E, ν(f ) N( f ). 

• Pour f ∈ E, considérer 

g :[0; 1] −→ R, x ↦−→ e x f (x), 

exprimer g ′ , puis déduire des majorations de |g(x)|, 

| f (x)|, | f ′ (x)|, à l’aide de ν(f ). 

1.20 

Considérer l’application 

ϕ : E −→ R, x ↦−→ d(x,G) − d(x,F) 

et les parties U = ϕ −1 (]0 ;+∞[), V = ϕ −1 (] −∞;0[) de E. 

1.21 (i) ⇒ (ii) : Appliquer l’hypothèse au compact [−A ; A], 

pour A ∈ R ∗ + fixé. 

(ii) ⇒ (iii) : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. 

(iii) ⇒ (i) : Soit K un compact de R. Il existe A ∈ R ∗ + tel que : 

K ⊂ [−A ; A]. Appliquer l’hypothèse pour déduire que f −1 (K ) 

est borné, puis est compact. 

1.22 Vu l’exposant 1 2 et le carré dans l’intégrale, on peut conjecturer 

que N soit une norme associée à un produit scalaire. 

Montrer que l’application ϕ : E × E −→ R définie, pour tout 

( f,g) ∈ E × E par : 

∫ 1 

ϕ( f,g) = f ′ g ′ + 1 ( ) 

f (0)g(1) + f (1)g(0) 

2 

0 

est un produit scalaire et que N est la norme associée à ϕ. 

1.23 Dans le premier membre de l’inégalité demandée, intercaler, 

par exemple, , puis utiliser l’inégalité triangulaire et les 

x 

||y|| 

rôles symétriques de x et y . 

1.24 a) Montrer que, pour ϕ ∈ E fixée, N ϕ vérifie une partie de la 

définition d’une norme. 

1.25 

1) Supposer ( ϕ −1 ({0}) ) ◦ 

= ∅. Montrer qu’alors : 

∀ f ∈ E, ( Nϕ( f ) = 0 ⇒ f = 0 ) . 

2) Supposer ( ϕ −1 ({0}) ) ◦ 

=/ ∅.Construire un élément f de E tel 

que : f ≠ 0 et N ϕ ( f ) = 0. 

b) Soit ϕ ∈ E fixée. 

1) Supposer ϕ −1 ({0}) = ∅. Montrer qu’alors N ϕ et ||.|| ∞ sont 

équivalentes, en faisant intervenir 1 ϕ . 

2) Supposer ϕ −1 ({0}) ≠ ∅. Construire alors une suite ( f n ) n∈N ∗ 

|| f n || ∞ 

dans E −{0} telle que : 

N ϕ ( f n ) −→ +∞. n ∞ 

a) Récurrence sur n. 

b) Utiliser a) et la sous-multiplicativité de |||.|||. 

c) • Montrer, en utilisant a), qu’on ne peut pas avoir : 

∀ n ∈ N, v n ≠ 0. 

• Considérer l’ensemble {n ∈ N ; v n = 0}, son plus petit élément, 

et obtenir une contradiction à l’aide de b)}. 

On conclut qu’il n’existe pas de tel couple (u,v). 


11

Corrigés des exercices 

1.1 On applique l’inégalité triangulaire, de deux façons à 

chaque fois, pour majorer ||x − y|| et pour majorer ||z − t|| : 

{ ||x − y|| ||x − z|| + ||z − y|| 

||x − y|| ||x − t|| + ||t − y|| 

{ ||z − t|| ||z − x|| + ||x − t|| 

||z − t|| ||z − y|| + ||y − t||. 

Ensuite, on additionne ces quatre inégalités, on simplifie par 

un coefficient 2, et on obtient l’inégalité voulue : 

||x − y|| + ||z − t|| 

||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||. 

1.2 a) Nous allons montrer que F est fermé dans E en utilisant 

la caractérisation séquentielle des fermés. 

Soient ( f n ) n∈N une suite dans F, et f ∈ E tels que f n −→ f 

n∞ 

dans (E,||.|| ∞ ). 

On a : ∀ x ∈ R, | f n (x) − f (x)| || f n − f || ∞ −→ 0, 

n ∞ 

donc : ∀ x ∈ R, f n (x) −→ f (x). 

n ∞ 

Comme, par hypothèse : 

∀ x ∈ R, ∀ n ∈ N, f n (x) 0, 

il s’ensuit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque 

l’entier n tend vers l’infini : 

∀ x ∈ R, f (x) 0, 

et donc : f ∈ F. 

On conclut que F est fermé dans E. 

b) Nous allons montrer que U n’est pas ouvert dans E, en trouvant 

f ∈ U telle que, pour tout ε ∈ R ∗ + 

, on ait : B( f ; ε) /⊂ U. 

Considérons f : R −→ R, x ↦−→ f (x) = 1 

x 2 + 1 . 

Il est clair que f est continue et bornée, donc f ∈ E. 

Soit ε ∈ R ∗ + fixé. 

Considérons l’application g = f − ε 2 . 

On a : g ∈ E, || f − g|| ∞ = ε 2 < ε, 

donc g ∈ B( f ; ε). 

Mais g /∈ U car g(x) −→ − ε < 0, donc g prend des valeurs 

x−→+∞ 2 

0. 

Ceci montre : ∀ ε ∈ R ∗ + 

, B( f,ε) /⊂ U, 

et on conclut que U n’est pas ouvert dans E. 

1.3 1) • Il est clair que, pour toute f ∈ E, ν 1 ( f ) existe. 

• On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E : 

ν 1 (α f ) =|(α f )(0)|+2 

∫ 1 

=|α||f (0)|+2|α| 

• On a, pour toutes f,g ∈ E : 

ν 1 ( f + g) 

=|( f + g)(0)|+2 

=|f (0) + g(0)|+2 

0 

0 

∫ 1 

0 

∫ 1 

|(α f ) ′ (t)| dt 

∫ 1 

0 

|( f + g) ′ (t)| dt 

0 

∫ 1 

| f ′ (t)| dt =|α|ν 1 ( f ). 

| f ′ (t) + g ′ (t)| dt 

(| f (0)|+|g(0)|) + 2 

( 

| f ′ (t)|+|g ′ (t)| ) dt 

0 

( ∫ 1 

) 

= | f (0)|+2 | f ′ (t)| dt 

= ν 1 ( f ) + ν 1 (g). 

( 

+ |g(0)|+2 

• Soit f ∈ E telle que ν 1 ( f ) = 0. 

On a alors : | f (0)|+2 

donc f (0) = 0 et 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

| f ′ (t)| dt = 0, 

| f ′ (t)| dt = 0. 

) 

|g ′ (t)| dt 

Puisque | f ′ | est continue et 0, il en résulte f ′ = 0, donc f 

est constante, f = f (0) = 0. 

Ceci montre que ν 1 est une norme sur E. 

2) De même, ν 2 est aussi une norme sur E. 

De manière plus générale, pour tout (a,b) ∈ (R ∗ + )2 , 

l’application f ↦−→ a| f (0)|+b 

est une norme sur E. 

∫ 1 

0 

| f ′ (t)| dt 

1 

3) On a, pour toute f ∈ E : 

2 ν 1( f ) ν 2 ( f ) 2ν 1 ( f ), 

donc les normes ν 1 et ν 2 sur E sont équivalentes. 

12

1.4 a) Soit a ∈ E. 

Considérons l’application τ −a : E −→ E, y ↦−→ y − a 

qui est la translation de vecteur −a. 

On a, pour tout y ∈ E : y ∈{a}+Ω ⇐⇒ y − a ∈ Ω, 

donc : {a}+Ω = { y ∈ E ; τ −a (y) ∈ } Ω = τ −1 

−a (Ω). 

Ainsi, {a}+Ω est l’image réciproque de l’ouvert Ω par l’application 

continue τ −a , donc {a}+Ω est un ouvert de E. 

b) Soit A ⊂ E. On a : A + Ω = ⋃ a∈A({a}+Ω). 

Ainsi, A + Ω est une réunion d’ouverts de E, donc est un ouvert 

de E. 

1.5 1) Supposons ϕ continue sur A × B. 

Puisque B =/ ∅, il existe b ∈ B. On a alors : 

∀ x ∈ A, f (x) = ϕ(x,b) − g(b) . 

Comme ϕ est continue sur A × B, par composition, 

l’application x ↦−→ ϕ(x,b) est continue sur A, puis, par addition 

d’une constante, f est continue sur A. 

De même, g est continue sur B. 

2) Réciproquement, supposons f continue sur A et g continue 

sur B. 

Notons : pr 1 : E × F −→ E, (x,y) ↦−→ x , 

pr 2 : E × F −→ F, (x,y) ↦−→ y 

les deux projections canoniques, qui, d’après le cours, sont continues 

sur E × F. 

On a alors : ϕ = f ◦ pr 1 + g ◦ pr 2 , 

donc, par composition, ϕ est continue sur E × F. 

1.6 Soient (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 . On a : 

∣ ∣ f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ 1 

= ∣ ∣ ∣(ax 2 ,bx 1 ) − (ay 2 ,by 1 ) ∣ ∣ 1 

On a donc, par définition de la norme subordonnée : 

| f (x 1 ,x 2 )| 

||| f ||| = Sup 

. 

(x 1 ,x 2 )∈R 2 −{(0,0)} ||(x 1 ,x 2 )|| ∞ 

• On a, pour tout (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 : 

| f (x 1 ,x 2 )|=|2x 1 − 3x 2 | 2|x 1 |+3|x 2 | 

q 5 Max (|x 1 |,|x 2 |) = 5 ||(x 1 ,x 2 )|| ∞ . 

Il en résulte, d’après la définition de la norme subordonnée : 

||| f ||| 5. 

• De plus, en notant X = (1,−1), on a X =/ (0,0) et : 

On conclut : ||| f ||| = 5. 

| f (X)| 

||X|| ∞ 

= 5 1 = 5. 

1.8 Par théorèmes généraux, f est continue sur R ∗ , et, 

comme f (x) = sin x −→ 

x 

1 = f (0), 

x−→0 

f est continue en 0, donc f est continue sur R. 

Traçons d’abord l’allure de la courbe représentative de f : 

−2π 

−π 

y 

1 

1 

2 

O 

B 

π 

A 

2π 

x 

= ∣ ∣ ∣ ∣(ax 2 − ay 2 , bx 1 − by 1 ) ∣ ∣ ∣ ∣ 

1 

= ∣ ∣ ∣ ∣ ( a(x 2 − y 2 ), b(x 1 − y 1 ) )∣ ∣ ∣ ∣ 

1 

=|a(x 2 − y 2 )|+|b(x 1 − y 1 )|=a|x 2 − y 2 |+b|x 1 − y 1 | . 

En notant k = Max (a,b) ∈ R + , on a donc : 

∣ ∣ ∣ f (x 1 ,x 2 ) − f (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ 

1 

k|x 2 − y 2 |+k|x 1 − y 1 | 

= k ∣ ∣ ∣ ∣(x 1 − y 1 , x 2 − y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ 

1 

= k ∣ ∣ ∣ ∣(x 1 ,x 2 ) − (y 1 ,y 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ 

1 

. 

On conclut que f est lipschitzienne. 

1.7 

• Il est clair que l’application 

f : R 2 −→ R, (x 1 ,x 2 ) ↦−→ 2x 1 − 3x 2 

est linéaire. 

1) On a : A = πZ ∗ , donc A n’est pas bornée, donc n’est pas 

compacte. 

2) • Puisque B = f −1 ([ 1 

2 ;+∞ [), que f est continue et que 

[ 1 

2 ;+∞ [ 

, est fermé dans R, d’après le cours, B est fermée 

dans R. 

• On a, pour tout x ∈ R : 

|x| > 2 ⇒ | f (x)| = 

∣ 

sin x 

x 

∣ 1 x < 1 ⇒ x /∈ B , 

2 

donc : B ⊂ [−2 ; 2], donc B est bornée. 

Ainsi, B est une partie fermée bornée de R, donc B est 

compacte. 

13

1.9 Supposons, par exemple, que (u n ) n∈N est de Cauchy. 

Soit ε > 0. 

Puisque d(u n ,v n ) −→ 0, il existe N 1 ∈ N tel que : 

n ∞ 

∀ n N 1 , d(u n ,v n ) ε 3 . 

D’autre part, puisque (u n ) n∈N est de Cauchy, il existe N 2 ∈ N 

tel que : 

∀ p N 2 , ∀ q N 2 , d(u p ,u q ) ε 3 . 

Notons N = Max (N 1 ,N 2 ) ∈ N . On a alors, pour tout 

(p,q) ∈ N 2 tel que p N et q N : 

d(v p ,v q ) d(v p ,u p ) + d(u p ,u q ) + d(u q ,v q ) 3 ε 3 = ε . 

Ceci montre que (v n ) n∈N est de Cauchy dans E. 

1.10 a) • L’implication N 1 = N 2 ⇒ B 1 ′ = B′ 2 est évidente. 

• Réciproquement, supposons B 1 ′ = B′ 2 . 

Soit x ∈ E tel que x =/ 0. 

∗ Considérons y = 1 x. On a : 

N 1 (x) 

( ) 1 

N 1 (y) = N 1 

N 1 (x) x = 1 

N 1 (x) N 1(x) = 1 , 

donc y ∈ B 1 ′ = B′ 2 , d’où N 2(y) 1. 

( ) 1 

Mais : N 2 (y) = N 2 

N 1 (x) x = 1 

N 1 (x) N 2(x). 

1 

On a donc : 

N 1 (x) N 2(x) 1, d’où : N 2 (x) N 1 (x). 

∗ Puisque N 1 et N 2 jouent des rôles symétriques, on a aussi 

N 1 (x) N 2 (x), d’où : N 1 (x) = N 2 (x). 

Enfin, pour x = 0, l’égalité N 1 (x) = N 2 (x) est triviale. 

On conclut : N 1 = N 2 . 

b) • L’implication N 1 = N 2 ⇒ B 1 = B 2 est évidente. 

• Réciproquement, supposons B 1 = B 2 . 

Nous allons adopter la même méthode que dans la solution 

de a). 

Soit x ∈ E tel que x =/ 0. 

∗ Considérons y = 1 

N 1 (x) x. On a alors N 1(y) = 1, donc 

y /∈ B 1 = B 2 , d’où N 2 (y) 1. 

Mais N 2 (y) = 1 

N 1 (x) N 2(x), d’où N 2 (x) N 1 (x). 

∗ Puisque N 1 et N 2 jouent des rôles symétriques, on a aussi 

N 1 (x) N 2 (x), d’où : N 1 (x) = N 2 (x). 

Enfin, pour x = 0, l’égalité N 1 (x) = N 2 (x) est triviale. 

On conclut : N 1 = N 2 . 

1.11 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée de E 

en utilisant la caractérisation séquentielle des parties fermées. 

Soient ( f n ) n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que f n −→ f dans 

n ∞ 

(E,||.|| ∞ ) . 

On a, pour tout x ∈ [0 ; 1] : 

| f n (x) − f (x)| || f n − f || ∞ −→ 0 , 

n ∞ 

donc : f n (x) −→ f (x). 

n ∞ 

D’autre part : 

∀ x ∈ [0 ; 1], ∀ n ∈ N, e fn(x) 2 + f n (x) . 

On déduit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque 

l’entier n tend vers l’infini : 

∀ x ∈ [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x) , 

et donc : f ∈ A. 

Ceci montre que A est une partie fermée de E. 

2) • Montrons : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, e t 2 + t. 

L’application 

ϕ :[2;+∞[−→ R, t ↦−→ ϕ(t) = e t − (2 + t) 

est dérivable et, pour tout t ∈ [2 ;+∞[ : 

ϕ ′ (t) = e t − 1 > 0 , 

donc ϕ est strictement croissante. 

De plus : ϕ(2) = e 2 − 4 > 0 . 

On déduit : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, ϕ(t) 0, 

d’où l’inégalité voulue. 

• Soient t ∈ [2 ;+∞[ et f t :[0; 1] −→ R, x ↦−→ t l’application 

constante égale à t. On a alors : 

∀ t ∈ [2 ;+∞[, 

ce qui montre que A n’est pas bornée. 

( 

) 

f t ∈ A et || f t || = |t| =t , 

1.12 a) 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée 

de E, en utilisant la caractérisation séquentielle des fermés. 

Soient ( f n ) n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que f n −→ 

n ∞ 

(E,||.|| ∞ ) . 

• On a : | f n (0) − f (0| || f n − f || ∞ −→ 0, 

n ∞ 

donc : f n (0) −→ f (0). 

n ∞ 

Mais : ∀ n ∈ N, f n (0) = 1, d’où : f (0) = 1. 

f dans 

14

• On a : 

∫ 1 ∫ 1 

∣ ∫ ∣∣∣ 1 

∣ f n − f 

∣ = ( f n − f ) 

∣ 

0 

0 

0 

donc : 

∫ 1 

0 

Mais : ∀ n ∈ N, 

 

∫ 1 

0 

∫ 1 

f n −→ f. 

n ∞ 

0 

∫ 1 

0 

| f n − f | (1 − 0)|| f n − f || ∞ −→ 

n ∞ 

0, 

f n = 0, donc : 

∫ 1 

0 

f = 0. 

On déduit : f ∈ A. 

On conclut que A est une partie fermée de E. 

• Considérons, pour tout n ∈ N ∗ , l’application 

g n :[0; 1] −→ R définie, pour tout x ∈ [0 ; 1], par : 

⎧ 

⎪⎨ na n x si 0 x 1 n 

g n (x) = 

, 

⎪⎩ 

1 

a n si 

n < x 1 

où a n est à calculer pour que 

y 

a 

1 

n 

∫ 1 

0 

g n = 1. 

2) • Soit f ∈ A. 

On a : || f − 0|| ∞ =||f || ∞ | f (0)| =1, 

donc : d(0,A) || f − 0|| ∞ 1. 

• L’application f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ 1 − 2x 

est dans A et : d(0, f ) =||f || ∞ = 1. 

On conclut : d(0,A) = 1, et cette borne est atteinte, par f 

ci-dessus et représentée graphiquement ci-après. 

y 

On a : 

O 

1 1 x 

n 

1 

∫ 1 

0 

g n = 1 ⇐⇒ a n − a n 

2n = 1 ⇐⇒ a n = 

2n 

2n − 1 . 

O 

y = f(x) 

1 

2 

1 

x 

On a alors : ∀ n ∈ N ∗ , g n ∈ B et : 

||g n − 0|| ∞ = a n = 

d’où l’on conclut : d(0,B) 1. 

2n 

2n − 1 −→ 

n ∞ 1 , 

• Supposons qu’il existe f ∈ B telle que d(0,B) =||f || ∞ . 

On a : 

0 

∫ 1 

0 

( 

|| f ||∞ − f ) ∫ 1 

=||f || ∞ − f = 1 − 1 = 0 , 

0 

− 1 

b) 1) On montre que B est une partie fermée de E par la même 

méthode qu’en a) 1). 

2) • Soit f ∈ B. On a : 

1 = 

∫ 1 

0 

f 

∫ 1 

donc : d(0,B) 1. 

0 

| f | (1 − 0)|| f || ∞ =||f − 0|| ∞ , 

donc, puisque || f || ∞ − f est continue et 0, on a : 

|| f || ∞ − f = 0, f =||f || ∞ , f est une constante. 

Mais f (0) = 0, donc f = 0, contradiction avec 

Ceci montre que d(0,B) n’est pas atteinte. 

∫ 1 

0 

f = 1. 

1.13 a) • D’abord, E est bien un R-ev, et N ∞ ,N 

∞ ′ ,N ∞ ′′ sont 

définies, car, si f ∈ E, alors f, f ′ , f ′′ sont continues sur le segment 

[0 ; 1] , donc sont bornées, d’où l’existence de 

N ∞ ( f ), N 

∞ ′ ( f ), N ∞ ′′ ( f ). 

15

Nous allons montrer que N 

∞ ′′ est une norme sur E, les preuves 

pour N ∞ et N 

∞ ′ étant analogues et plus simples. 

• On a, pour toutes f,g ∈ E : 

puis : 

| f (x)| = ∣ ∣ f (0) + ( f (x) − f (0) )∣ ∣ 

| f (0)|+|f (x) − f (0)| 

N ′′ ∞ ( f + g) 

=|( f + g)(0)|+|( f + g) ′ (0)|+ Sup |( f + g) ′′ (x)| 

x∈[0;1] 

( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| ) 

( 

+ Sup | f ′′ (x)|+|g ′′ (x)| ) 

x∈[0;1] 

( | f (0)|+|g(0)| ) + ( | f ′ (0)|+|g ′ (0)| ) 

+ Sup | f ′′ (x)|+ Sup |g ′′ (x)| 

x∈[0;1] 

x∈[0;1] 

= ( | f (0)|+|f ′ (0)|+ Sup | f ′′ (x)| ) 

x∈[0;1] 

=N ′′ ∞ ( f ) + N ′′ ∞ (g). 

+ ( |g(0)|+|g ′ (0)|+ Sup |g ′′ (x)| ) 

x∈[0;1] 

• On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E : 

N ′′ ∞ (α f ) =|(α f )(0)|+|(α f )′ (0)|+ Sup |(α f ) ′ (x)| 

x∈[0;1] 

=|α||f (0)|+|α||f ′ (0)|+|α| Sup | f ′′ (x)| =|α|N ′′ ∞ ( f ) . 

x∈[0;1] 

• Soit f ∈ E telle que N 

∞ ′′ ( f ) = 0. 

On a alors : | f (0)| +|f ′ (0)| + Sup | f ′′ (x)| = 0, 

} {{ } } {{ } x∈[0;1] 

0 0 } {{ } 

0 

donc f (0) = 0, f ′ (0) = 0, Sup | f ′′ (x)| =0. 

x∈[0;1] 

Il en résulte f ′′ = 0. Il existe donc (a,b) ∈ R 2 tel que : 

∀ x ∈ [0; 1], f (x) = ax + b . 

{ f (0) = 0 

{ a = 0 

De plus : 

f ′ (0) = 0 ⇐⇒ d’où f = 0. 

b = 0 

On conclut : N ∞ , N 

∞ ′ , N ∞ ′′ sont des normes sur E. 

b) 1) • Soit f ∈ E. 

Pour tout x ∈ [0 ; 1],d’après l’inégalité des accroissements finis, 

appliquée à f sur [0 ; x], on a : 

| f (x) − f (0)| x Sup | f ′ (t)| 1 Sup | f ′ (t)| , 

t∈[0;x] 

x∈[0;1] 

| f (0)|+ Sup | f ′ (t)| =N ′ ∞ ( f ). 

t∈[0;1] 

Il en résulte : N ∞ ( f ) N 

∞ ′ ( f ). 

• De même : ∀ f ∈ E, N 

∞ ′ ( f ) N ∞ ′′ ( f ) . 

2) Montrons que les normes N ∞ , N 

∞ ′ , N ∞ ′′ sont deux à deux 

non équivalentes : 

Considérons la suite ( f n ) n∈N ∗ d’applications de [0 ; 1] dans R 

définies, pour tout n ∈ N ∗ , par : 

∀ x ∈ [0 ; 1], f n (x) = sin (πnx) . 

On a, pour tout n ∈ N ∗ , f n ∈ E et, pour tout x ∈ [0 ; 1] : 

f n (x) = sin (πnx), f ′ 

n 

(x) = πn cos (πnx), 

f ′′ 

n (x) =−π2 n 2 sin (πnx) , 

d’où, pour tout n ∈ N ∗ : 

N ∞ ( f n ) = 1, N ′ ∞ ( f n) = πn, N ′′ ∞ ( f n) = πn + π 2 n 2 . 

Il s’ensuit : 

N 

∞ ′ ( f n) 

= πn −−−→ +∞, N ∞ ′′ ( f n) 

N ∞ ( f n ) n ∞ N 

∞ ′ ( f = 1 + πn −−−→ +∞, 

n) n ∞ 

N 

∞ ′′ ( f n) 

N ∞ ( f n ) = πn + π2 n 2 −−−→ +∞. 

n ∞ 

Ainsi, les rapports N ∞ ′ ( f ) 

N ∞ ( f ) , N ∞ ′′ ( f ) 

N 

∞ ′ ( f ) , N ∞ ′′ ( f ) ne sont pas bornés 

lorsque f décrit E −{0}, donc les normes N ∞ , N 

N ∞ ( f ) 

∞ ′ , N ∞ 

′′ 

sont deux à deux non équivalentes. 

1.14 a) L’application 

x 

f : E −→ E, x ↦−→ f (x) = 

1 +||x|| 2 

est continue par opérations sur les applications continues. 

b) 1) On a : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x|| 

1 +||x|| 1 2 2 , 

car : ∀ t ∈ R + , 

t 

1 + t − 1 2 2 

) 

. 

d’où : f (E) ⊂ B ′ ( 

0 ; 1 2 

= 

−(1 − t)2 

2(1 + t 2 ) 0. 

( 

2) Réciproquement, soit y ∈ B ′ 0 ; 1 ) 

. 

2 

Cherchons λ ∈ R pour que f (λy) = y. On a : 

f (λy) = y ⇐⇒ 

λy 

1 +||λy|| = y 2 ⇐ || y|| 2 λ 2 − λ + 1 = 0. 

16

Si y = 0, on peut choisir λ = 0. 

Supposons y =/ 0. L’équation du second degré précédente, d’inconnue 

λ ∈ R, admet au moins une solution puisque son discriminant 

1 − 4||y|| 2 est 0, car ||y|| 1 2 . 

( 

Ceci montre : B ′ 0 ; 1 ) 

⊂ f (E). 

2 

( 

On conclut : f (E) = B ′ 0 ; 1 ) 

. 

2 

Remarque : 

Le résultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme 

|.| usuelle : 

Représentation graphique de f : x ↦→ 

[ 

On a ici : f (R) = − 1 2 ; 1 ] ( 

= B ′ 0 ; 1 ) 

. 

2 2 

y 

0 

1 

x 

1 + x 2 

1.15 1) L’application 

f : R 2 −→ R, (x,y) ↦−→ x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4) 

est continue et {0} est fermé dans R, donc E = f −1 ({0}) est 

fermé dans R 2 , comme image réciproque d’un fermé par une 

application continue. 

2) Montrons que E est bornée, en utilisant les coordonnées polaires. 

Notons, pour (x,y) ∈ R 2 : ρ = √ x 2 + y 2 . 

On a, pour tout (x,y) ∈ R 2 : 

(x,y) ∈ E ⇐⇒ x 4 − 4x 3 + 3x 2 + y 4 − 4y 2 = 0 

⇐⇒ x 4 + y 4 = 4x 3 − 3x 2 + 4y 2 , 

d’où, pour tout (x,y) ∈ E : 

ρ 4 = (x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 ) 

= 2(4x 3 − 3x 2 + 4y 2 ) 2(4ρ 3 + 4ρ 2 ) = 8ρ 3 + 8ρ 2 . 

En supposant ρ 1, on a donc, si (x,y) ∈ E : 

ρ 4 16ρ 3 ,d’où : ρ 16. 

Ceci montre : ∀ (x,y) ∈ E, √ x 2 + y 2 16, 

donc E est bornée. 

Ainsi, E est une partie fermée bornée de R 2 , qui est un evn de 

dimension finie, donc E est compacte. 

x 

1.16 a) Soit g ∈ F ⊥ . 

Considérons l’application 

On a f ∈ F, donc : 

f :[0; 1] −→ R, x ↦−→ f (x) = xg(x) . 

0 = < f , g > = 

∫ 1 

0 

f (x)g(x) dx = 

∫ 1 

0 

x ( g(x) ) 2 

dx . 

Comme x ↦−→ x ( g(x) ) 2 

est continue et 0, on déduit : 

∀ x ∈ [0 ; 1], x ( g(x) ) 2 

= 0 , 

puis : ∀ x ∈ ]0 ; 1], g(x) = 0. 

Comme g est continue en 0, il en résulte g = 0. 

On conclut : F ⊥ ={0}. 

b) On a donc : F ⊕ F ⊥ = F ⊕{0} =F. 

Il est clair que F =/ E, puisque l’application constante égale 

à 1 est dans E et n’est pas dans F. 

On conclut : F ⊕ F ⊥ =/ E. 

1.17 Par commodité typographique, un élément de M n,1 (C) 

peut être noté en ligne au lieu de colonne. 

1) On a, pour tout X = (x 1 ,...,x n ) ∈ M n,1 (C) : 

= 

|| f (X)|| 1 = 

n∑ 

n∑ ∣ ∣∣ 

∣ a ij x j 

i=1 

j=1 

n∑ ( n∑ ) ( 

|a ij | |x j | 

j=1 

i=1 

Max 

1 jn 

n∑ ( n∑ ) 

|a ij ||x j | 

i=1 

j=1 

n∑ ) n∑ 

|a ij | |x j | 

i=1 

} {{ } 

notée M 

j=1 

= M||X|| 1 . 

Ceci montre que la norme subordonnée de f, notée ||| f |||, vérifie 

: ||| f ||| M. 

2) Montrons qu’il existe X =/ 0 réalisant des égalités dans la 

chaîne d’inégalités précédentes. 

n∑ 

Il existe j 0 ∈{1,...,n} tel que : M = |a ij0 |. 

Considérons X = (0,...,0,1,0,...,0), dont toutes les coordonnées 

sont nulles, sauf la j 0 -ème qui est égale à 1. 

On a alors, d’une part,||X 0 || 1 = 1, et, d’autre part, 

f (X 0 ) = (a 1 j0 ,...,a nj0 ), donc : 

n∑ 

|| f (X)|| 1 = |a ij0 |=M. 

i=1 

Ainsi : X =/ 0 et || f (X)|| 1 

||X|| 1 

= M. 

Finalement : ||| f ||| = Max 

1 jn 

( n∑ 

i=1 

i=1 

) 

|a ij | . 

17

MÃ©thodes et exercices - Dunod

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