Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain

à la matrice des covariances en introduisant la matrice diagonales des volatilités
: 2
3
1 ::: 0 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5
0 ::: 0 ::: J
La matrice des covariances est alors donnée par le produit quadratique :
2
3 2
3
1 ::: 0 ::: 0 1 ::: 0 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
=
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5 Corr ::: ::: ::: ::: :::
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5
0 ::: 0 ::: J 0 ::: 0 ::: J
où Corr est la matrice des coe¢ cients de corrélation. Numériquement dans
notre cas, on a donc :
2
0:2 0 0
3 2
1 0:6
3
0:2
= 4 0 0:16 0 5 4 0:6 1 0:1 5
0 0 0:06 0:2 0:1 1
2
4
2
= 4
dont l’inverse est égal à :
2
1 = 4
0:2 0 0
0 0:16 0
0 0 0:06
3
5
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
40:309 29:520 19:001
29:520 61:075 3:393 1
19:001 3:393 1 289:54
3
5 (2)
3
5 (3)
(2) Le portefeuille le moins risqué de cet univers va être la solution du
programme suivant : 8
<
:
min x1 ;x 2 ;x 3
2 p
sous la contrainte :
x 1 + x 2 + x 3 = 1
(4)
2