Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain

Exercice : la frontière des portefeuilles
optimaux sans actif certain
Philippe Bernard
Ingénierie Economique & Financière
Université Paris-Dauphine
Février 2013
On considère un univers de titres constitué de trois titres risqués dont les
rendements nets, les volatilités (écart-types), et les coe¢ cients de corrélation
sont les suivants :
titres
rend. volatilité growth value
espérés (%) (%) stocks stocks
bonds
growth stocks 12 20 1 0:6 0:2
value stocks 10 16 0:6 1 0:1
bonds 6 6 0:2 0:1 1
1. Déterminer la matrice de covariances de l’univers dé…ni par ces trois
autres titres.
2. Déterminer le portefeuille le moins risqué de cet univers
3. On suppose que l’investisseur a comme critère d’évaluation
E [er p ]
2 2 (er p )
Donner le programme d’optimisation, ses conditions de premier ordre.
4. Calculer la composition des portefeuilles optimaux (ainsi que des couples
volatilités - risques) pour allant de 1 à 10 (avec un pas de 1).
(1) Pour calculer la matrice de covariances, on utilise la relation :
ij = ij i j (1)
reliant la covariance entre deux titres i et j ( ij ) à leur coe¢ cient de corrélation
( ij ) et à leurs volatilités ( i et j ). Cette relation peut-être généralisée
1

à la matrice des covariances en introduisant la matrice diagonales des volatilités
: 2
3
1 ::: 0 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5
0 ::: 0 ::: J
La matrice des covariances est alors donnée par le produit quadratique :
2
3 2
3
1 ::: 0 ::: 0 1 ::: 0 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
=
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5 Corr ::: ::: ::: ::: :::
6 0 ::: j ::: 0
7
4 ::: ::: ::: ::: ::: 5
0 ::: 0 ::: J 0 ::: 0 ::: J
où Corr est la matrice des coe¢ cients de corrélation. Numériquement dans
notre cas, on a donc :
2
0:2 0 0
3 2
1 0:6
3
0:2
= 4 0 0:16 0 5 4 0:6 1 0:1 5
0 0 0:06 0:2 0:1 1
2
4
2
= 4
dont l’inverse est égal à :
2
1 = 4
0:2 0 0
0 0:16 0
0 0 0:06
3
5
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
40:309 29:520 19:001
29:520 61:075 3:393 1
19:001 3:393 1 289:54
3
5 (2)
3
5 (3)
(2) Le portefeuille le moins risqué de cet univers va être la solution du
programme suivant : 8
<
:
min x1 ;x 2 ;x 3
2 p
sous la contrainte :
x 1 + x 2 + x 3 = 1
(4)
2

avec :
2
2 p = x 1 x 2
x 3
4
2
4
3
x 1
x 2
5
x 3
Le lagrangien du problème peut s’écrire :
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
L = 2 p + (x 1 + x 2 + x 3 1) (5)
où est le multiplicateur de lagrange. Les conditions de premier ordre (nécessaires
et su¢ santes ici) sont :
8
@
< @x 1
2 p + = 0
@
@x
: 2
2 p + = 0
@
@x 3
2 p + = 0
ou encore : 8
@
< @x 1
2 p =
@
@x
: 2
2 p =
@
@x 3
2 p =
ou encore comme
@
@x j
2 p = 2 P k x k jk :
8
< [1] x =
[2] x =
:
[3] x =
où [j] est le vecteur ligné constitué par la j-eme ligne de , x est le vecteur
colonne des parts. Matriciellement la soution est donc :
x =
où 1 est le vecteur colonne de J éléments égaux à 1. Le portefeuille optimal
est donc :
x = 1 1 (7)
Numériquement dans notre cas :
2
3 2
40:309 29:520 19:001
1 1 = 4 29:520 61:075 3:393 1 5 4
19:001 3:393 1 289:54
2 3
29: 79
= 4 28: 162 5
305: 15
3
1
1
1
1
3
5
3
5
(6)

Par conséquent le portefeuille optimal est en fonction de :
2
29: 79
3
x = 4 28: 162 5 (8)
305: 15
Ici n’est pas un coe¢ cient d’aversion au risque, un paramètre exogène, mais
un multiplicateur de lagrange, donc une variable endogène dont la valeur
est une des solutions du problème. Pour trouver , il nous faut utiliser une
relation du problème non encore utilisée dans la résolution : la contrainte
budgétaire :
x 1 + x 2 + x 3 = 1 (9)
ou encore :
1 T x = 1 (10)
En injectant dans la contrainte budgétaire la valeur des parts, on a donc :
2 3
1 T x = 1 1 1 29: 79
4 28: 162 5
305: 15
= 363: 1
Par conséquent, la valeur de dans notre problème est :
1
=
363: 1
et donc on trouve le portefeuille optimal :
x = 1
363: 1
2
4
29: 79
28: 16
305: 15
3
2
5 = 4
3
8: 20 10 2
7: 76 10 2 5 (11)
84:04 10 2
Ses performances (rendements espérés, volatilité, ratio de Sharpe) peuvent
s’écrire :
2
3
Eer min var = 0:12 0:1 0:06 8: 20 10 2
4 7: 76 10 2 5 ' 6: 802 4 10 2 (12)
84:04 10 2
2
2 min var = 0:082 0:077 6 0:840 4 4
2
4
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
3
5
3
8: 20 10 2
7: 76 10 2 5 (13)
84:04 10 2
4

min var ' 5:247 9 10 2
2
6:802 4 10
S p = ' 1:296 (14)
5:247 9 10
2
où le ratio de Sharpe est calculée comme le rapport du rendement espéré à
la volatilité en l’absence d’un taux d’intérêt certain:
(3) Si l’on adopte comme fonction objectif le modèle espérance variance,
alors le programme d’optimisation s’écrit :
8
<
:
dont le lagrangien peut s’écrire :
Comme :
L = Eer p
max x1 ;x 2 ;x 3
Eer p
2 2 p
sous la contrainte :
x 1 + x 2 + x 3 = 1
(15)
2 2 p (x 1 + x 2 + x 3 1) (16)
Eer p = 0:12x 1 + 0:1x 2 + 0:06x 2 (17)
2
2 p = x 1 x 2
x 3
4
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
3 2
5 4
3
x 1
x 2
5
x 3
= 0:04x 2 1 + 0:038 4x 1 x 2 0:004 8x 1 x 3 + 0:025 6x 2 2 0:001 92x 2 x 3 + 0:003 6x 2 3
les conditions de premier ordre (nécessaires et su¢ santes ici) sont :
8
< 0:12 (0:04x 1 + 0:0192x 2 0:0024x 3 ) = 0
0:1 (0:0192x 1 + 0:0256x 2 0:00096x 3 ) = 0
:
0:06 ( 0:0024x 1 0:00096x 2 + 0:00036x 3 ) = 0
ou sous forme matricielle :
2 3
0:12
2 3
1
2
4 0:10 5 4 1 5 = 4
0:06 1
0:04 0:019 2 0:002 4
0:019 2 0:025 6 0:000 96
0:002 4 0:000 96 0:003 6
3 2
5 4
3
x 1
x 2
5 (18)
x 3
En mettant divisant par , puis en pré-multipliant par 1 on trouve :
2 3 2 3 2
3 2 3
0:12
1
4 0:10 5 1 0:04 0:019 2 0:002 4 x 1
4 1 5 = 4 0:019 2 0:025 6 0:000 96 5 4 x 2
5 (19)
0:06 1 0:002 4 0:000 96 0:003 6 x 3
5

=
2
3 2 3 2
3 2 3
40:309 29:520 19:001 0:12
1
4 29:520 61:075 3:393 1 5 4 0:10 5 40:309 29:520 19:001 1
4 29:520 61:075 3:393 1 5 4 (20 1 5
19:001 3:393 1 289:54 0:06 19:001 3:393 1 289:54 1
2 3
x 1
4 x 2
5 (21
x 3
et donc comme :
2
40:309 29:520 19:001
3 2
4 29:520 61:075 3:393 1 5 4
19:001 3:393 1 289:54
2
4
on a : 2
40:309 29:520 19:001
29:520 61:075 3:393 1
19:001 3:393 1 289:54
4
3 2
x 1
x 2
5 = 1 4
x 3
3: 025 1
2: 361 5
19: 313
3
3 2
5 4
0:12
0:10
0:06
1
1
1
2
5 4
3
3
2
5 = 4
2
5 = 4
29: 79
28: 162
305: 15
3: 025 1
2: 361 5
19: 313
29: 79
28: 162
305: 15
3
3
5
3
5
5 (22)
Le portefeuille est la somme de deux vecteurs, de deux portefeuilles. Le dernier
a déjà été calculer : il s’agit du portefeuille de variance minimale. Si est
nul, on remarque que ce portefeuille ne contribuera pas à déterminer le portefeuille.
Mais = 0 est équivalent à négliger la contrainte budgéaire puisque
est la pénalité appliquée pour inciter l’investisseur à respecter sa contrainte
budgétaire. Ceci indique que dans la détermination du portefeuille optimal,
on utilise le portefeuille de variance minimale pour équilibrer la contrainte
budgétaire. Le premier portefeuille sera négligable dans le portefeuille lorsque
l’investisseur sera très prudent. En fait ce second portefeuille est un instrument
permettant non d’équilibrer la contrainte budgétaire mais d’augmenter
la performance.
Des deux variables et , est une variable exogène, est une variable
endogène, une solution du système. Donc il est nécessaire de la déterminer en
fonction des paramètres du problème. Pour cela, on doit utiliser la relation
non encore utilisée : la contrainte budgétaire. Comme :
x 1 + x 2 + x 3 = 1
2
1 1
1 4
6
3
x 1
x 2
5 = 1
x 3

aversion lambda x1 x2 x3 volatilite Er Sharpe
1 0,07 1,08 0,52 ­0,60 28,4% 14,6% 0,51
2 0,06 0,58 0,30 0,12 14,9% 10,7% 0,72
3 0,06 0,41 0,23 0,36 10,7% 9,4% 0,88
4 0,06 0,33 0,19 0,48 8,7% 8,7% 1,00
5 0,05 0,28 0,17 0,55 7,7% 8,4% 1,09
6 0,05 0,25 0,15 0,60 7,0% 8,1% 1,16
7 0,05 0,22 0,14 0,63 6,6% 7,9% 1,20
8 0,05 0,21 0,13 0,66 6,3% 7,8% 1,23
9 0,04 0,19 0,13 0,68 6,1% 7,7% 1,26
10 0,04 0,18 0,12 0,70 5,9% 7,6% 1,28
on a donc en replaçant les parts par leurs expressions :
2 3 2 3
3: 025 1
1
1 1 1 ( 4 2: 361 5 5 29: 79
4 28: 162 5) = 1
19: 313 305: 15
ou encore :
2
1
1
1
1 4
3: 025 1
2: 361 5
19: 313
3
24: 700
5
2
1 1
1 4
363: 1
= 1
29: 79
28: 162
305: 15
3
5) = 1
= 6:802 5 10 2 2: 754 1 10 3 (23)
Le tableau ci-dessous donne en fonction de la valeur du coe¢ cient d’aversion
les valeurs de lambda, des parts des portefeuilles, de l’espérance des
rendements, de leurs volatilités et du ratio de Sharpe.
On remarque dans le tableau comme dans le 1er graphique que l’évolution
des parts est monotone : lorsque l’aversion est élevée, le portefeuille comprend
essentiellement le titre 3 (à plus des 2=3) et à part égale les titres 1 et 2 ;
puis plus l’aversion diminue, plus le poids des titres les plus rentables (les
titres 1 et 2) augmentent et le titre 3 devient un actif de …nancement (sa
part devient négative).
Sur le dernier graphique sont reportés les couples (volatilités, rendements
espérés). En bleu, les portefeuilles optimaux, en rouge e portefeuille de variance
minimale. Ce dernier est la base de la frontière des portefeuilles optimaux.
En l’absence d’un actif certain, cette frontière n’est pas une droite,
mais une parabole inversée dont la base est le portefeuille de variance minimale.
7

1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
­0,20
­0,40
­0,60
­0,80
0 2 4 6 8 10 12
x1
x2
x3
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
frontière
min variance
0,04
0,02
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
8