Stabilité des système dynamiques, Commande par retour d'état

Stabilité des système dynamiques, Commande par retour 

d’état 

Antoine Drouin 

ENAC 

21 septembre 2011 

Antoine Drouin ( ENAC ) 

Stabilité des système dynamiques, Commande par retour d’état 21 septembre 2011 1 / 28

1 Stabilité : Définitions générales 

2 Stabilité des système LTI 

3 Commande par retour d’état 



Stabilité : Définitions générales 

Stabilité 

Définition 

Un système est dit stable autour d’un point d’équilibre si lorsque de faibles 

perturbations sont appliquées, il reste au voisinage de ce point. 

Remarque 

Le point d’équilibre est un état d’équilibre ou une trajectoire de son 

vecteur d’état. 




État d’équilibre 

Soit un système dynamique défini par une représentation d’état 

Ẋ = f (X , U) 

État d’équilibre X e 

˙ X e = f (X e , 0) = 0 

∀t 

Trajectoire de référence X r (t), U r (t) 

∀t, 

f (X r (t), U r (t)) = Ẋ r (t) 




État d’équilibre : Exemples 

Masse-Ressort 

( 0 1 

Ẋ = 

−K 

m 

−f 

m 

) ) 0 

X +( 

1 U 

m 

Pendule 

( ) 

˙θ 

Ẋ (t) = f (X , U) = 

− g l 

sin(θ) 




Trajectoire de référence : Exemple 

Satellite 

Représentation d’état 

⎛ ⎞ 

θ 

X = ⎜ 

r 

⎟ 

⎝ ˙θ ⎠ 

ṙ 

⎛ 

⎞ 

˙θ 

ṙ 

Ẋ (t) = f (X , U) = ⎜ 2ṙ ˙θ 

⎝ − 

r 

+ u ⎟ 

θ 

r 

⎠ 

r ˙θ 2 − β + u 

r 2 r 

Trajectoire de référence 

( 0 

U ref (t) = 

0) 

⎛ 

X ref (t) = 

⎜ 

⎝ 

√ 

β 

r 3 0 

⎞ 

t + θ 0 

√ 

r 0 

β ⎟ 

r0 

3 ⎠ 

0 




État d’équilibre : cas LTI 

Théorème 

Un système LTI de matrice de dynamique A posséde : 

un point d’équilibre ( X = 0 n ) si A est inversible. 

une infinité de points d’équilibre ( le noyau de A) si A n’est pas 

inversible. 

Exemple : Masse-Ressort 

( 0 1 

Ẋ = 

−K 

m 

−f 

m 

) ) 0 

X +( 

1 U 

m 

un point d’équilibre si K ≠ 0 

une infinité de points d’équilibre si K = 0 




Stabilité EBSB (BIBO) 

Définition 

Un système est dit stable vis à vis de ses commandes ( entrées bornées, 

sorties bornées) si à toute entrée bornée, correspond une sortie bornée. 

∀t 0 , ∀ɛ, ∃η : |U(t)| < η, ∀t > t 0 ⇒ |Y (t)| < ɛ, ∀t > t 0 




Stabilité au sens de Lyapunov 

Définition 

Un état d’équilibre X e est stable si 

∀t 0 , ∀ɛ > 0, ∃η > 0 : |X (t 0 ) − X e | < η ⇒ |X (t) − X e | < ɛ, ∀t ≥ t 0 

Définition 

Un système est stable si tous ses points d’équilibre le sont 




Stabilité asymptotique 

Définition 

Un état d’équilibre X e est asymptotiquement stable s’il est stable au sens 

de Lyapunov, et si 

∃η, 

|X (t 0 ) − X e | < η ⇒ lim 

t→∞ 

|X (t) − X e | = 0 

Stabilité exponentielle 

Un état d’équilibre X e est exponentiellemnt stable s’il est stable au sens de 

Lyapunov, et si 

∃η, ∃α > 0, ∃β > 0 

|X (t 0 ) − X e | < η ⇒ |X (t) − X e | < αe −βt 


Stabilité des système dynamiques, Commande par retour 21 d’état septembre 2011 10 / 28


Illustration 




Méthode de Lyapunov 

Principe 

Si l’énergie totale d’un système est dissipée de manière continue, alors le 

système devra rejoindre un point d’équilibre. 

Méthode 

Générer pour le système une fonction scalaire “de type” énergie et en 

examiner la dérivée temporelle. 

Intéret 

Permet de conclure sur la stabilité d’un système sans résoudre 

explicitement les équations différentielles ( non linéaires). 




Méthode de Lyapunov 

locale 

V (X e ) = 0 

V (X ) > 0, ∀X ≠ X e , X ∈ Ω 

˙V (X ) 0, ∀X ≠ X e , X ∈ Ω 

˙V (X ) < 0, ∀X ≠ X e , X ∈ Ω 

globale asymptotique 

V (X e ) = 0 

V (X ) > 0, ∀X ≠ X e 

˙V (X ) < 0, ∀X ≠ X e 

lim |X |→+∞ ˙V (X ) = −∞ 




Exemple 

Pendule 

( ) 

˙θ 

Ẋ (t) = f (X , U) = 

− g l 

sin(θ) 

V (X ) = 1 2 ˙θ 2 + g (1 − cos(θ)) 

l 

V (0) = 0, 

˙V (X ) = ˙θ¨θ + g l 

˙θsin(θ) = 0 

Le système est donc stable autour de l’origine. 




Exemple 

Pendule amorti 

( 

) 

˙θ 

Ẋ (t) = f (X , U) = 

− g l 

sin(θ) − f | ˙θ| ˙θ 

V (X ) = 1 2 ˙θ 2 + g (1 − cos(θ)) 

l 

V (0) = 0, 

˙V (X ) = ˙θ¨θ + g l 

˙θsin(θ) = −f ˙θ 2 | ˙θ| < 0 

Le système est donc asymptotiquement stable autour de l’origine. 




Exemple 

S 

{ 

x1 ˙ (t) = 2x 1 (x2 2 − 1) 

x˙ 

2 (t) = −x 2 (x1 2 + 1) 

U 1 (x 1 , x 2 ) = x2 1 +x2 2 

2 

U˙ 

1 (x 1 , x 2 ) = x 1 x˙ 

1 + x 2 x˙ 

2 

U˙ 

1 (x 1 , x 2 ) = x1 2x 2 2−2x 1 2−x 2 

2 

U 2 (x 1 , x 2 ) = x2 1 +2x2 2 

2 

U˙ 

2 (x 1 , x 2 ) = x 1 x˙ 

1 + 2x 2 ˙ 

U˙ 

2 (x 1 , x 2 ) = −2x1 2 − 2x 2 

2 

x 2 



Stabilité des système LTI 

Méthode de Lyapunov dans le cas LTI 




Stabilité Asymptotique dans le cas LTI 

On a montré 

X (t) = e A(t−t 0) X (t 0 ) = Pe Λ(t−t 0) P −1 X (t 0 ) 

CNS de stabilité asymptotique : Les racines du polynome 

caractéristique sont à partie réelle négative 

Si une racine du polynome caractéristique est nulle non dégénérée, le 

système est stable, non asymptotiquement. 

Si une racine du polynome caractéristique est nulle et dégénérée, le 

système est instable. 




Stabilité EBSB dans le cas LTI 

S stable EBSB ⇔ 

∫ ∞ 

0 

CΦ(t, τ)BU(τ)dτ < ∞ 

Pour un système LTI, Stabilité Asymptotique ⇒ Stabilité EBSB 

( mais pas l’inverse ) 




Critère de Routh/Hurwitz 

P(λ) = a n λ n + a n−1 λ n−1 + · · · + a 1 λ + a 0 

Si un des coefficients est nul ou négatif alors qu’un autre au moins est 

positif, le polynome admet au moins une racine à partie réelle positive. 

Si tous les coefficients sont positifs, on calcule le tableau de Routh 

(http ://en.wikipedia.org/wiki/Routh-Hurwitz stability criterion) 



Commande par retour d’état 

Principe 

n∏ 

P(λ) = (λ − λ k ) 

k=1 




Principe 

n∏ 

P(λ) = (λ − λ k ) 

k=1 




Retour d’état 

Ẋ = AX + BU 

U = E − KX 

Ẋ = (A − BK)X + BE 





⎛ 

⎞ 

0 1 0 · · · · · · 0 ⎛ ⎞ 

. . .. . .. . .. 0 

. 

. 

Ẋ = 

. 

.. . .. . .. 0 

. 

X + 

0 

. 

⎜ . 

.. . .. 0 

⎜0 

U 

⎟ 

⎟ ⎝0⎠ 

⎝ 0 · · · · · · · · · 0 1 ⎠ 

1 

−a 0 −a 1 −a 2 · · · · · · −a n−1 

⎛ 

⎞ 

0 1 0 · · · · · · 0 

. . 

.. . .. . .. . 

. 

A−BK = 

. 

.. . .. . .. . . 

⎜ . 

.. . .. 0 

⎟ 

⎝ 0 · · · · · · · · · 0 1 ⎠ 

−(a 0 + k 0 ) −(a 1 + k 1 ) −(a 2 + k 2 ) · · · · · · −(a n−1 + k n−1 ) 





Dynamique souhaitée 

d’ou ∀i, 

n∏ 

n∑ 

P(λ) = (λ − λ bk ) = b i λ i 

k=1 

i=0 

⎛ 

⎞ 

0 1 0 · · · · · · 0 

. . .. . .. . .. . 

. . 

.. . .. . .. . 

. 

⎜ . 

.. . .. 0 

⎟ 

⎝ 0 · · · · · · · · · 0 1 ⎠ 

−b 0 −b 1 −b 2 · · · · · · −b n−1 

k i = b i − a i 




Exemple 

Soit un hélicoptère assimilé à un point de masse m se déplacant sur un axe 

vertical, soumis à son poids, à une force de frottement de coefficient C d et 

à la poussée de son rotor F . 

Mettre en place une commande par retour d’état ammenant le système en 

boucle fermée à une pulsation caractéristique ω = 1rad/s et à un 

amortissement ζ = 0.75. 




Remarque 1 

Notre commande par retour d’état permet en théorie de choisir 

indépendament la pulsation caractéristique et le facteur d’amortissement. 

On pourrait donc en théorie construire un système infiniment rapide et non 

oscillant. 

Dans la pratique, des considérations désagréables comme la limite de 

validité de nos hypothèses de linéarisation ou la saturation des actuateurs 

obligent à limiter la dynamique du système en boucle fermée. 




Remarque 2 

Dans la vraie vie, l’état du système n’est généralement pas disponible. 

Recommencons l’exemple précedent en supposant qu’on ne dispose que 

d’un capteur altimétrique et réalisons une commande par retour de sortie.

Stabilité des système dynamiques, Commande par retour d'état

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