Correction contrôle 4 - Département de Mathématiques d'Orsay
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D’après le DL <strong>de</strong> e u quand u → 0 on obtient<br />
(0,5 point)<br />
n 2<br />
(n+1) 2<br />
= ( n<br />
n+1 )2 = ( 1<br />
1+ 1 n<br />
élevant au carré il vient :<br />
e − 2 n = 1 + (−<br />
2<br />
n ) + 1 2 (− 2 n )2 + o( 1 n 2 ) = 1 − 2 n + 2 n 2 + o( 1 n 2 )<br />
) 2 . D’après le DL <strong>de</strong><br />
1<br />
1+u quand u → 0, on a 1<br />
1+ 1 n<br />
1<br />
(<br />
1 + 1 ) 2 = [1 − 1 n + 1 n<br />
n<br />
2 + o( 1 n 2 )]2 = 1 + 1 n 2 + 1 n 4 − 2 n + 2 n 2 − 2 n 3 + o( 1 n 2 )<br />
En regroupant tous les o( 1 n 2 ) on obtient donc :<br />
Donc α = 1, β = −2, γ = 3.<br />
(1,5 point)<br />
Ainsi<br />
n 2<br />
(n + 1) 2 = 1 + −2<br />
n + 3 n 2 + o( 1 n 2 )<br />
3<br />
= 1 − 1 n + 1 n 2 + o( 1 n 2 ). En<br />
b n = n 2 [(1 − 2 n + 2 n 2 + o( 1 −2<br />
)) − (1 +<br />
n2 n + 3 n 2 + o( 1 n 2 ))] = n2 (− 1 n 2 + o( 1 )) = −1 + o(1)<br />
n2 et donc b n → −1.<br />
(0,5 point)<br />
(c) : 3 points<br />
On a :<br />
r n =<br />
√<br />
√<br />
ln(α + βn k ) =<br />
√ln(n k (β + α √ln(n<br />
n k )) = k ) + ln(β + α n k ) = ln(n k )[1 + ln(β + α )<br />
n k<br />
ln(n k ]<br />
)<br />
Le facteur 1 + ln(β+ α n k )<br />
tend vers 1, donc r<br />
ln(n k ) n ∼ √ ln(n k ).<br />
(1 point)<br />
Or √ ln(n k ) = √ k ln(n) = √ k √ ln(n), donc r n ∼ √ k √ ln(n).<br />
(0,25 point)<br />
La suite c n considérée est fabriquée à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> trois suites du type (r n ) n∈N qu’on vient d’étudier.<br />
Le dénominateur √ ln(1 + n 3 ) est ainsi équivalent à √ 3 √ ln(n)<br />
(0,25 point)<br />
Etudions le numérateur √ ln(1 + n 2 )− √ ln(1 + 2n). On a √ ln(1 + n 2 ) ∼ √ 2 √ ln(n) et √ √<br />
ln(1 + 2n) ∼<br />
ln(n),<br />
(0,25 + 0,25 point)<br />
donc √ ln(1 + n 2 ) = √ 2 √ ln(n) + o( √ ln(n)) et √ ln(1 + 2n) = √ ln(n) + o( √ ln(n)) et on en déduit<br />
que √ ln(1 + n 2 ) − √ ln(1 + 2n) = ( √ 2 − 1) √ ln(n) + o( √ ln(n)).<br />
(0,5 point)<br />
Ainsi √ ln(1 + n 2 ) − √ ln(1 + 2n) ∼ ( √ 2 − 1) √ ln(n).<br />
(0,25 point)<br />
Par quotient dӎquivalents on obtient :<br />
c n ∼ (√ 2 − 1) √ ln(n)<br />
√<br />
3<br />
√<br />
ln(n)<br />
=<br />
√<br />
2 − 1<br />
√<br />
3