Correction contrôle 4 - Département de Mathématiques d'Orsay
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Orsay 2008-2009 IFIPS S2 <strong>Mathématiques</strong> (M160).<br />
Corrigé et barême du <strong>contrôle</strong> numéro 4 (du 29 Mai 2009).<br />
Exercice 1 Sur 7 points.<br />
(a) : 2,5 points.<br />
Les vecteurs colonnes <strong>de</strong> A sont c 1 = (1, 2, −1), c 2 = (−2, 1, −1), c 3 = (−3, 4, −3). Pour déterminer<br />
une base <strong>de</strong> Im(A) on applique l’algorithme du rang à (c 1 , c 2 , c 3 ).<br />
(0,25 point)<br />
Clairement (c 1 , c 2 ) est libre. D’autre part on remarque que c 3 = 2c 2 + c 1 (ou alors on obtient cette<br />
relation en résolvant le système linéaire correspondant à l’équation c 3 = λc 1 + µc 2 ).<br />
(0,5 point)<br />
Donc une base <strong>de</strong> l’image <strong>de</strong> A est (c 1 , c 2 ) et rg(f) = 2.<br />
(0,25 point)<br />
Pour déterminer une base <strong>de</strong> Ker(A) on résout le système linéaire correspondant à AX = 0 :<br />
⎧<br />
⎧<br />
⎪⎨ x − 2y − 3z = 0 ⎪⎨ x − 2y − 3z = 0<br />
2x + y + 4z = 0 ⇐⇒ 5y + 10z = 0 (L 2 ← L 2 − 2L 1 )<br />
⎪⎩<br />
⎪⎩<br />
−x − y − 3z = 0 −3y − 6z = 0 (L 3 ← L 3 + L 1 )<br />
⎧<br />
⎪⎨ x − 2y − 3z = 0<br />
{<br />
{<br />
⇐⇒ y + 2z = 0 (L 2 ← L x − 2y − 3z = 0<br />
2<br />
5<br />
) ⇐⇒<br />
⎪⎩<br />
y + 2z = 0 (L 3 ← L 2<br />
−3 ) y + 2z = 0 ⇐⇒ x = −z<br />
y = −2z<br />
On obtient donc Ker(A) = {(−z, −2z, z), z ∈ R}, soit Ker(A) = Vect(−1, −2, 1). Or (−1, −2, 1) = −c 1<br />
et Vect(−c 1 ) = Vect(c 1 ). Donc pour finir (c 1 ) est une base <strong>de</strong> Ker(A).<br />
(1 point)<br />
On a Ker(A) = Vect(c 1 ) et c 1 est dans le sous-espace vectoriel image <strong>de</strong> A. Donc Ker(A) ⊂ Im(A),<br />
et Ker(A) ∩ Im(A) = Ker(A) ≠ {0}. Il en résulte que Im(A) et Ker(A) ne sont pas en somme directe,<br />
et a fortiori ils ne sont pas supplémentaires.<br />
(0,5 point)<br />
(b) : 3 points<br />
Pour montrer que B ′ est une base <strong>de</strong> R 3 il suffit <strong>de</strong> montrer qu’elle est génératrice (puisqu’elle a trois<br />
vecteurs). Pour cela on vérifie que chaque vecteur e 1 , e 2 , e 3 <strong>de</strong> la base canonique <strong>de</strong> R 3 est combinaison<br />
linéaire <strong>de</strong> u 1 , u 2 , u 3 .<br />
Après résolution <strong>de</strong> trois systèmes ou après quelques essais on obtient :<br />
e 1 = −(u 2 + u 3 ), e 2 = u 1 + 2u 2 + 3u 3 , e 3 = e 1 + 3e 2 + 5e 3<br />
Ainsi (u 1 , u 2 , u 3 ) est bien génératrice, et c’est donc une base <strong>de</strong> R 3 .<br />
(1 point)<br />
La matrice <strong>de</strong> passage <strong>de</strong> la base canonique B à la base B ′ est la matrice dont les colonnes sont les<br />
composantes <strong>de</strong>s vecteurs <strong>de</strong> B ′ , on trouve donc immédiatement :<br />
⎛<br />
P = ⎝ 1 −2 1<br />
⎞<br />
2 1 −1⎠<br />
−1 −1 1<br />
(0,5 point)<br />
Pour calculer l’inverse <strong>de</strong> P on peut ou bien utiliser les métho<strong>de</strong>s classiques d’inversion d’une<br />
matrice, ou bien interprêter P −1 comme la matrice <strong>de</strong> passage <strong>de</strong> B ′ dans B. Alors les colonnes <strong>de</strong><br />
1
P −1 sont les coordonnées dans B ′ <strong>de</strong>s vecteurs <strong>de</strong> B. Et on a déjà déterminé ces coordonnées au début<br />
<strong>de</strong> la question. On obtient donc, sans calcul supplémentaire :<br />
⎛<br />
P −1 = ⎝ 0 1 1<br />
⎞<br />
−1 2 3⎠<br />
−1 3 5<br />
(1 point)<br />
Soient (x ′ , y ′ , z ′ ) les coordonnées <strong>de</strong> u = (0, 2, −1) dans B ′ . Alors nous savons que<br />
⎛<br />
⎝ 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
2 ⎠ = P ⎝ x′<br />
y ′ ⎠ , soit ⎝ x′<br />
y ′ ⎠ = P −1 ⎝ 0 ⎞<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
2 ⎠ , soit encore ⎝ x′<br />
y ′ ⎠ = ⎝ 1 ⎞<br />
1⎠ .<br />
−1 z ′ z ′ −1<br />
z ′ 1<br />
2<br />
(0,5 point)<br />
(c) :1,5 point<br />
⎛<br />
⎞<br />
En calculant A ⎝ x y⎠ on obtient f(x, y, z) = (x − 2y − 3z, 2x + y + 4z, −x − y − 3z).<br />
z<br />
(0,25 point)<br />
On sait que A ′ = P −1 AP ,<br />
(0,5 point)<br />
et on a déjà calculé P −1 . On obtient alors<br />
⎛<br />
A ′ = ⎝ 0 1 1<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
1 −2 −3<br />
−1 2 3⎠<br />
⎝ 2 1 4 ⎠ ⎝ 1 −2 1<br />
⎞ ⎛<br />
2 1 −1⎠ = ⎝ 0 1 1<br />
⎞ ⎛<br />
−1 2 3⎠<br />
⎝ 0 −1 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 −7 5 ⎠ = ⎝ 0 −3 2<br />
⎞<br />
0 −1 1⎠ .<br />
−1 3 5 −1 −1 −3 −1 −1 1 −1 3 5 0 4 −3 0 0 0<br />
(0,75 point)<br />
Exercice 2 Limites <strong>de</strong> suites : sur 8 points.<br />
(a) : 2,5 points<br />
On a (2 + 1 n )n = [2.(1 + 1<br />
2n )]n = 2 n (1 + 1<br />
2n )n . Or (1 + 1<br />
2n )n = e n ln(1+ 1<br />
2n ) . Et d’après le DL <strong>de</strong><br />
ln(1 + u) quand u → 0 on a ln(1 + 1<br />
2n ) = 1<br />
2n + o( 1<br />
1<br />
2n<br />
), soit ln(1 +<br />
2n ) = 1<br />
2n + o( 1 n<br />
). On en déduit<br />
(1 + 1<br />
2n )n = e 1 2 +o(1) , autrement dit (1 + 1<br />
2n )n ∼ √ e.<br />
Finalement par produit d’équivalents on a bien (2 + 1 n )n = 2 n (1 + 1<br />
2n )n ∼ √ e · 2 n .<br />
(1,25 point)<br />
La suite a n = n3 ln(n)+2 n<br />
est un quotient, et on vient <strong>de</strong> trouver un équivalent du dénominateur.<br />
(2+ 1 n )n<br />
Reste à traiter le numérateur.<br />
(0,25 point)<br />
Par croissances comparées on a ln(n) = o(n), donc par produit <strong>de</strong> suites négligeables on a n 3 ln(n) =<br />
o(n 4 ). A nouveau par croissances comparées on a n 4 = o(2 n ). Donc en composant les petit o on obtient<br />
n 3 ln(n) = o(2 n ).<br />
Il en résulte que n 3 ln(n) + 2 n ∼ 2 n .<br />
(0,75 point)<br />
Finalement a n ∼<br />
(0,25 point)<br />
(b) : 2,5 points<br />
√ 2n<br />
e·2 n . D’où a n ∼ √ 1 e<br />
et donc a n → √ 1 e<br />
.
D’après le DL <strong>de</strong> e u quand u → 0 on obtient<br />
(0,5 point)<br />
n 2<br />
(n+1) 2<br />
= ( n<br />
n+1 )2 = ( 1<br />
1+ 1 n<br />
élevant au carré il vient :<br />
e − 2 n = 1 + (−<br />
2<br />
n ) + 1 2 (− 2 n )2 + o( 1 n 2 ) = 1 − 2 n + 2 n 2 + o( 1 n 2 )<br />
) 2 . D’après le DL <strong>de</strong><br />
1<br />
1+u quand u → 0, on a 1<br />
1+ 1 n<br />
1<br />
(<br />
1 + 1 ) 2 = [1 − 1 n + 1 n<br />
n<br />
2 + o( 1 n 2 )]2 = 1 + 1 n 2 + 1 n 4 − 2 n + 2 n 2 − 2 n 3 + o( 1 n 2 )<br />
En regroupant tous les o( 1 n 2 ) on obtient donc :<br />
Donc α = 1, β = −2, γ = 3.<br />
(1,5 point)<br />
Ainsi<br />
n 2<br />
(n + 1) 2 = 1 + −2<br />
n + 3 n 2 + o( 1 n 2 )<br />
3<br />
= 1 − 1 n + 1 n 2 + o( 1 n 2 ). En<br />
b n = n 2 [(1 − 2 n + 2 n 2 + o( 1 −2<br />
)) − (1 +<br />
n2 n + 3 n 2 + o( 1 n 2 ))] = n2 (− 1 n 2 + o( 1 )) = −1 + o(1)<br />
n2 et donc b n → −1.<br />
(0,5 point)<br />
(c) : 3 points<br />
On a :<br />
r n =<br />
√<br />
√<br />
ln(α + βn k ) =<br />
√ln(n k (β + α √ln(n<br />
n k )) = k ) + ln(β + α n k ) = ln(n k )[1 + ln(β + α )<br />
n k<br />
ln(n k ]<br />
)<br />
Le facteur 1 + ln(β+ α n k )<br />
tend vers 1, donc r<br />
ln(n k ) n ∼ √ ln(n k ).<br />
(1 point)<br />
Or √ ln(n k ) = √ k ln(n) = √ k √ ln(n), donc r n ∼ √ k √ ln(n).<br />
(0,25 point)<br />
La suite c n considérée est fabriquée à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> trois suites du type (r n ) n∈N qu’on vient d’étudier.<br />
Le dénominateur √ ln(1 + n 3 ) est ainsi équivalent à √ 3 √ ln(n)<br />
(0,25 point)<br />
Etudions le numérateur √ ln(1 + n 2 )− √ ln(1 + 2n). On a √ ln(1 + n 2 ) ∼ √ 2 √ ln(n) et √ √<br />
ln(1 + 2n) ∼<br />
ln(n),<br />
(0,25 + 0,25 point)<br />
donc √ ln(1 + n 2 ) = √ 2 √ ln(n) + o( √ ln(n)) et √ ln(1 + 2n) = √ ln(n) + o( √ ln(n)) et on en déduit<br />
que √ ln(1 + n 2 ) − √ ln(1 + 2n) = ( √ 2 − 1) √ ln(n) + o( √ ln(n)).<br />
(0,5 point)<br />
Ainsi √ ln(1 + n 2 ) − √ ln(1 + 2n) ∼ ( √ 2 − 1) √ ln(n).<br />
(0,25 point)<br />
Par quotient dӎquivalents on obtient :<br />
c n ∼ (√ 2 − 1) √ ln(n)<br />
√<br />
3<br />
√<br />
ln(n)<br />
=<br />
√<br />
2 − 1<br />
√<br />
3
4<br />
√<br />
donc c n → √ 2−1<br />
3<br />
(= √ 1 √<br />
6+ 3<br />
).<br />
(0,25 point)<br />
Exercice 3 Sur 6 points.<br />
(a) : 0,5 point.<br />
On a n −2 = 1 avec b = 2 > 0, et 2 −n = 1<br />
n b a n avec a = 2 > 1. Donc par croissance comparée<br />
2 −n = o(n −2 ).<br />
(b) : 0,75 point.<br />
D’après le DL <strong>de</strong> cos(u) quand u → 0 on a 1 − cos( 1 n ) = 1 − (1 − 1 + o( 1 )).<br />
2n 2 n 2<br />
(0,25 point)<br />
Donc v n = 1 + o( 1 ) + 2 −n .<br />
2n 2 n 2<br />
v n = 1 + o( 1 ).<br />
2n 2 n 2 Comme on vient <strong>de</strong> le voir on a 2 −n = o( 1 ), donc finalement<br />
n 2<br />
(0,25 point)<br />
Ceci nous donne l’équivalent : v n ∼ 1 .<br />
2n 2<br />
(0,25 point)<br />
(c) 1,25 point<br />
La suite (u n ) n∈N<br />
dénominateur. Il reste à trouver un équivalent du numérateur n2 −ln(n)<br />
est le quotient <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux suites, et nous venons <strong>de</strong> donner un équivalent du<br />
. Or cette suite est elle-même<br />
n 4 +ln(n)<br />
un quotient, pour lequel on trouve facilement un équivalent.<br />
En effet par croissance comparée on a − ln(n) = o(n 2 ), donc n 2 − ln(n) ∼ n 2 . Et <strong>de</strong> même<br />
n 4 + ln(n) ∼ n 4 .<br />
(0,25 point+0,25 point)<br />
Ainsi par quotient d’équivalents n2 −ln(n)<br />
n 4 +ln(n) ∼ n2<br />
n 4 = 1 n 2 .<br />
(0,25 point)<br />
Alors à nouveau par quotients d’équivalents on obtient<br />
u n ∼<br />
1<br />
n 2<br />
1<br />
2n 2 = 2<br />
Ceci montre que lim n→∞ u n = 2.<br />
(0,5 point)<br />
(d) : 3,5 points<br />
Calculons u n − 2 en réduisant au même dénominateur :<br />
u n − 2 =<br />
n 2 −ln(n)<br />
n 4 +ln(n) − 2 + 2 cos( 1 n ) − 2.2−n<br />
1 − cos( 1 n ) + 2−n<br />
Pour étudier u n − 2, nous nous concentrons sur le numérateur, puisque nous disposons déjà d’un<br />
équivalent du dénominateur par le (b).<br />
D’abord en reprenant l’argument du (b), mais en poussant le DL <strong>de</strong> cos(u) quand u → 0 à l’ordre<br />
quatre, nous obtenons −2 + 2 cos( 1 n ) − 2.2−n = − 1 + 1 + o( 1 ).<br />
n 2 12n 4 n 4<br />
(0,5 point)<br />
Traitons maintenant le terme n2 −ln(n)<br />
n 4 +ln(n) . Pour cela on écrit n2 −ln(n)<br />
n 4 +ln(n) = ( 1 − ln(n) 1<br />
)( ).<br />
n 2 n 4 1+ ln(n)<br />
n 4
:<br />
Par croissance comparée ln(n)<br />
n 4 → 0 , donc on peut utiliser le DL <strong>de</strong><br />
1<br />
1+u<br />
(0,5 point)<br />
Ceci donne :<br />
n 2 − ln(n)<br />
n 4 + ln(n) = ( 1 n 2 − ln(n)<br />
n 4<br />
(0,5 point)<br />
Clairement ln(n)<br />
n 6<br />
o( ln(n)<br />
n 6<br />
simplifie :<br />
1<br />
1 + ln(n)<br />
n 4<br />
)(1 −<br />
ln(n)<br />
n 4<br />
= 1 − ln(n)<br />
n 4<br />
+ o( ln(n)<br />
n 4 )<br />
quand u → 0, et on obtient<br />
+ o( ln(n)<br />
n 4 )) = 1 n 2 − ln(n)<br />
n 4 − ln(n)<br />
n 6 + (ln(n))2<br />
n 8 + o( ln(n)<br />
n 6 ).<br />
= o( ln(n) . Par croissance comparée on a aussi (ln(n))2<br />
n 4<br />
n 8<br />
5<br />
= o( ln(n) ). Enfin évi<strong>de</strong>mment<br />
n 4<br />
) = o( ln(n)<br />
n 4 ) (le quotient est o( 1 n 2 ), donc tend vers 0). Finalement l’expression ci-<strong>de</strong>ssus se<br />
n 2 − ln(n)<br />
n 4 + ln(n) = 1 n 2 − ln(n)<br />
n 4 + o( ln(n)<br />
n 4 ).<br />
(0,5 point)<br />
Le numérateur <strong>de</strong> u n − 2 <strong>de</strong>vient donc :<br />
n 2 − ln(n)<br />
n 4 + ln(n) − 2 + 2 cos( 1 n ) − 2.2−n = 1 n 2 − ln(n)<br />
n 4 + o( ln(n)<br />
n 4 ) − 1 n 2 + 1<br />
12n 4 + o( 1 n 4 ) − 2.2−n<br />
(0,5 point)<br />
Par croissance comparée on a<br />
1<br />
12n 4<br />
= − ln(n)<br />
n 4 + 1<br />
12n 4 + o(ln(n) n 4 )) + o( 1 n 4 ) − 2.2−n .<br />
= o( ln(n)<br />
n 4<br />
finalement en regroupant tous les o( ln(n)<br />
n 4 ) :<br />
), o( 1 n 4 ) = o( ln(n)<br />
n 4<br />
n 2 − ln(n)<br />
n 4 + ln(n) − 2 + 2 cos( 1 n ) − 2.2−n = − ln(n)<br />
n 4 + o( ln(n)<br />
n 4 ))<br />
<strong>de</strong> sorte que n2 −ln(n)<br />
n 4 +ln(n) − 2 + 2 cos( 1 n ) − 2.2−n ∼ − ln(n)<br />
Alors par quotient d’équivalents on a<br />
n 4 .<br />
u n − 2 ∼ − ln(n)<br />
n 4<br />
1<br />
2n 2<br />
= − 2 ln(n)<br />
n 2<br />
), et enfin −2.2 −n . = o( ln(n) ). Donc<br />
n 4<br />
(0,5 point)<br />
En divisant cet équivalent par 1 2 ln(n)<br />
n<br />
on trouve −<br />
n<br />
, qui tend vers 0 par croissance comparée. Donc<br />
u n − 2 = o( 1 n ).<br />
(0,25 point)<br />
Mais quand on divise l’équivalent par 1 on trouve −2 ln(n), qui tend vers +∞. Donc u<br />
n 2<br />
n − 2 n’est<br />
pas grand O <strong>de</strong> 1 .<br />
n 2<br />
(0,25 point)