Mokhtar Djelloul - Université des Sciences et de la Technologie d ...

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère d’enseignement supérieur et de recherche scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed Boudiaf
Faculté des sciences
Département de Physique
Mémoire
en vue de l’obtention du
DIPLOME DE MAGISTERE
Spécialité : Physique
Option : Propriétés électroniques des Matériaux
Par
DJELLOUL MOKHTAR
Intitulé :
Etudes statistiques de l’exposant de Lyapunov d’un système
bidimensionnel désordonné
Soutenue le /06/2009 devant le jury composé de :
Président : Mr. M.Kameche Maître de conférences USTO
Examinateur : Mr. K.Senouci Maître de conférences USTO
Examinateur : Mr. B.A.Hammou Maître de conférences USTO
Rapporteur : Mr. N.Zekri Professeur USTO
Co-Rapporteur : Melle. A.Djeraba Chargé de cours USTO

Je remercie Dieu de m'avoir donner le courage, la volonté, et la patience de pouvoir
terminer cette thèse.
Ce travail a été réalisé dans le laboratoire d’Etude Physique des Matériaux LEPM de
l'université des sciences et de la technologie d'Oran –MOHAMED BOUDIAF-
Je tiens tout particulièrement à
remercier monsieur Nouredine Zekri, pour avoir guidé mes premiers pas dans la
recherche et pour avoir encadrer ce travail. Il a accepté de m'accueillir dans son
laboratoire.
J'adresse également mes remerciements à
Melle Aicha Djeraba, pour la confiance et l'intérêt avec lequel il a suivi et encouragé
le déroulement de mon travail.
Mes remerciements vont aussi à
Monsieur Mustapha Kameche pour avoir bien voulu présider le jury de ce mémoire.
Je remercie messieurs les membres de jury,
Khaled Senouci ; Bouziane Amine Hammou, d’avoir accepter de juger ce travail.
Je n’oublie pas mes enseignants pour leurs participations à ma formation
particulièrement Rachid Ouasti et Lotfi Zekri.
Je remercie aussi tous ceux qui ont contribué
de prés ou de loin
à ma formation.
M.Djelloul

Je dédie ce travail
Tout d’abord à mon père et à ma mère,
qui ont été toujours pour moi, un exemple de bonté et d’honnêteté,
en hommage à leur grand sacrifice, leur amour et leur dévouement pour mon bonheur
celui de toute la famille, qu’ils trouvent ici l’expression de toute mon
affection et ma profonde gratitude pour la sollicitude jamais
démentie qu’ils ont manifesté à mon égard,
mon frère, et mes sœurs.
Ainsi mes amis et mes meilleurs amis les plus proches:
R.Bouziane, B.Mokdes, B.Benoudina, A.Sikouk, B.Grairi, H.Madani, A.Djilali,
S.A.Bessadik, M.Benbiga, A.M.Abdeldjabar, N.Djebli, A.Aichouche, H.Boubaker,
D.Lahcene, R.Mustapha, B.Messani, O.Belguendouz, O.Benmoussa.
Mes collègues de post graduation: Physique, ETT et particulièrement LEPM.
Ainsi que tous ceux qui ont contribué
de prés ou de loin
à ma formation
M.Djelloul

Sommaire
Sommaire
Sommaire……………………………………………………………………………………………..I
Résumé….………………………………………………………………………………………….IV
Introduction générale………………………………………………………………………………..V
CHAPITRE I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
І.1. Introduction…………………………………………………………………………………...…1
I.2. Historique………………………………………………………………………………………..2
I.3. Désordre et structure………………………………………………………………………….....4
I.4. Désordre et propriétés électroniques…………………………………………………………….5
I.4.1. Etats électroniques des systèmes périodiques ……………………………………..……..…6
I.4.2. Etats électroniques des systèmes désordonnés ……………..…………….………….……...6
I.4.2.a. Etats électroniques des systèmes désordonnés sans interactions…………...……..……..6
I.4.2.b. Etats électroniques des systèmes désordonnés en présence des
interactions non linéaire …………………………………………………………………….8
I.5. Transition de phase Métal-isolant …………...……………………………………………...…10
I.6. Théorie d’échelle de localisation ………………………………………………………………11
I.7. Caractérisation des états électroniques ………………………………………………………...15
I.7.1. Rapport de participation inverse …………………………………………..………………15
I.7.2. Exposant de Lyapunov ………………………………………………………………........16
I.7.3. Longueur de localisation …………………………………………………………….........16
I.7.4. Le coefficient de transmission ……………………………………...…………………..…18
I.8. Transition métal-isolant en dimension deux ………………………………………………......18
I.9. L’auto-moyennage ……………………………………………………………………………..21
I.10. Régimes de transport………………………………………………………………………….22
I.10.a. Longueurs caractéristiques…………………………………………..……………………22
I.10.b. Divers régimes de transport…………………………………………………………….....24
I

Sommaire
Références bibliographiques I….………………………….……………………………………….26
CHAPITRE II:
Modèle et méthode de calcul
I. Introduction…………………………………………………………………………………...….29
II. Modèles théoriques ……………………………………………………………………………..30
II.1. Modèle d’Anderson ………….……………………………………………………………...32
II.1.a. Description ………………………….……………………………………………...…...32
II.1.b. Avantages………………………………………………………………………………..35
III. Distribution de l'exposant de Lyapunov à 1D……………………………………………….…35
VΙ. Modèle et méthode de calcul ……………………………………………...……………....…...38
VΙ.1. Modèle d’Anderson…………………………………….………………………………..…38
VΙ.2. Méthode de la matrice de transfert (TMM)………………………………………...……...39
VΙ.3. Définition de l’exposant de Lyapunov……………………………………………...………41
Références bibliographiques II……………………………………………………………………..43
CHAPITRE III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov
dans un système entre une et deux dimensions
I. Introduction……………………………………………………………………………...……..45
II. Simulation et discussion des résultats……………………………………………...……………46
II.1. Modèle d'Anderson (liaisons fortes)………………………………………………………...47
II.1.1. Formalisme…………………….……………...………………………………….……..47
II.1.2. Exposant de Lyapunov……………………………………………………………….…49
II-2. Résultats et discussion………………………………………………………………………50
II.2.1. Effet du désordre………………………………………………………………..……….50
II.2.2. Effet de taille……………………………………………………………..……………...51
II.2-3. Distribution de l'exposant de Lyapunov……...….…………………………...…….……..53
II.2.3.a. Effet de désordre et de taille……..……………...…..…………………………………53
II.2.3.b. Simple paramètre d’échelle de l’exposant de Lyapunov………………………….…..58
II

Sommaire
III.2.3.c Fluctuations de l’exposant de Lyapunov……………………………………………...61
II.3. Conclusion………………………………………………………………………………......64
Références bibliographiques III………………………………………………………………..…..65
Annexe A…………………………………………………………………………………………...66
Annexe B…………………………………………………………………………………………...67
III

Résumé
Résumé
Nous avons utilisé le modèle d'Anderson (Tight-binding) pour voir la nature des états
électroniques des systèmes désordonnés sans interactions entre 1D et 2D afin de déterminer
les exposants de Lyapunov à l'aide de la méthode de la matrice de transfert (MMT).
Nous avons examiné particulièrement l'effet du désordre et de la largeur du système sur les
états électroniques des systèmes désordonnés puis la statistique de l'exposant de Lyapunov
LE.
Une transition de la localisation en puissance à la localisation exponentielle est trouvée dans
les systèmes entre 1D et 2D contrairement aux résultats d'Abrahams et al.
La délocalisation des états électroniques est aussi démontrée par la statistique de l'exposant de
Lyapunov LE en accord avec les résultats de Slevin et al.
Mots clés: système désordonné – exposant de Lyapunov – états étendu – statistique.
IV

Introduction générale
Introduction générale
La physique des matériaux joue un rôle de plus en plus important dans les applications
technologiques, et ce rôle ne fera que progresser dans beaucoup de domaines. La conception
et la fabrication des matériaux nouveau, aux propriétés souvent étonnantes (alliages spéciaux,
matériaux composites très légers et très résistants, cristaux liquides, semi-conducteurs…...etc)
constitue un domaine très actif de la recherche et de la technologique moderne [56].
Les matériaux désordonnés présentent des phénomènes physiques qui, jusqu'à présent, ne sont
pas complètement maîtrisés, comme les phénomènes de localisation, les fluctuations de
conductances, l'effet Hall quantique……etc.
En 1958, Anderson prédit que dans un tel système sans interaction les interférences des
réflexions multiples des particules sur les impuretés mènent à la localisation des fonctions
d'onde. Le système est alors qualifié d'isolant d'Anderson. A trois dimensions, il existe
cependant une transition de cet état d'isolant vers un état métallique lorsque les fluctuations du
potentiel aléatoire deviennent suffisamment faibles. Dans un cadre plus général, Abrahams,
Anderson, Licciardello et Ramakrishnan montrèrent en 1979 grâce à une théorie d'échelle de
la localisation, qu'à température nulle et en l'absence d'interaction, l'état fondamental d'un
système désordonné est un isolant à une et à deux dimensions, et peut être métallique à trois
dimensions si le niveau de Fermi se situe dans une région du spectre où les états sont étendus.
Récemment quelques exemples des systèmes désordonnés à 2D ont présentés des états
délocalisés. En outre un modèle particulier de liaisons fortes avec désordre diagonal a montré
que les états électroniques sont étendus ceci nous permet de dire que le désordre peut aussi
mener à des interférences quantiques constructives. Dans ce contexte Asada et al [57] ont
prédit que l'exposant de Lyapunov dans les systèmes 2D présente des fluctuations faibles que
dans les systèmes 1D. Slevin et al [34] ont étudié les fluctuations de l'exposant de Lyapunov
d'un système à 2D en montrant l'existence d'états délocalisés.
Ce mémoire à pour but de contribuer à l'étude des propriétés de transport quantique des
systèmes désordonnés entre 1D et 2D à travers la statistique de l'exposant de Lyapunov.
V

Introduction générale
Le travail que nous présentons dans ce mémoire comprend les parties suivantes:
Le premier chapitre comporte une introduction présentant différentes théories physiques et
notions de base. Nous rappelons un historique sur le développement des systèmes
désordonnés, les états électroniques, la théorie d'échelle de localisation qui prédit une
dimension critique, transition métal-isolant. Ainsi que les différentes régimes de transport.
Dans le deuxième chapitre, nous introduisons certains modèles pour étudier les systèmes
désordonnés et en particulier le modèle d'Anderson. Nous présentons aussi la méthode de la
matrice de transfert et définissons l'exposant de Lyapunov pour un système bidimensionnel.
Le troisième chapitre est consacré aux résultats numériques obtenus lors de notre étude, leurs
interprétations ainsi qu'une comparaison avec certains travaux théoriques.
Finalement, notre travail est achevé par une conclusion générale.
VI

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
І.1. Introduction
Le cas du cristal parfait n’est en générale jamais rencontré dans les systèmes réels. Il y
a toujours des distorsions dans les systèmes complètement ordonnés dûes à la présence du
désordre de type impuretés, dislocations, trous et d’autres défauts qui perturbent
l’arrangement du potentiel cristallin. Ce désordre est causé par l’environnement de
l’élaboration du matériau. D’autre part, la mise en œuvre d’une nouvelle génération de
matériaux tels que les composites, les alliages amorphes et les polymères dopés fait apparaître
de nouveaux phénomènes physiques [1,2].
Ce chapitre est consacré à la description des notions de base concernant les systèmes
désordonnés. Nous rappelons les différents types de désordre qui peuvent exister, les états
électroniques, la transition d'Anderson, la théorie d'échelle et quelques critères de la
localisation qui permettent de distinguer entre état localisé et état étendu, comme le
coefficient de transmission, l'exposant de Lyapunov… .A la fin du chapitre nous abordons un
rappel sur les régimes de transport.
1

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
I.2. Historique
Le problème de la localisation dans les systèmes désordonnés a été étudié par
P.W.Anderson en (1958) [3]. Il a formulé en donnant une estimation quantitative de la force
du potentiel aléatoire qui est nécessaire pour l’absence de la diffusion dans certain réseau
aléatoire.
L’intérêt de la localisation concernant les propriétés de transport des semi-conducteurs
amorphes discuté par Mott (1968) [4], il a proposé le concept de front de mobilité, une
énergie séparant les états électroniques localisés des états étendus. Ainsi à température nulle,
la conductivité s’annule a partir d’un certain degré de désordre rendant le système isolant.
Pendant les années 70, Landauer [5,6] était le premier qui a relié le coefficient de transmission
T (paramètre microscopique) à la résistance R (paramètre macroscopique) pour les systèmes
unidimensionnels par :
R
= T
−1 − 1
(I.1)
En 1979 Abrahams et al [7] ont proposé une nouvelle théorie: Théorie d’Echelle de
localisation, qui prédit une dimension critique d = 2 en dessous de laquelle tous les états sont
localisés.
c
En 1998 Schreiber et al [55] ont utilisé le modèle d'Anderson pour étudier la localisation des
états électroniques d'un système bidimensionnel en présence d'un désordre non diagonal, ils
ont trouvé des états critiques à l'énergie E=0. Leurs résultats sont confirmés par l'étude du
comportement de la longueur de localisation réduite ξ M pour des systèmes quasi-1D à
l'aide de la méthode de la matrice de transfert (MMT).
Récemment Slevin et al [34] ont étudié numériquement les fluctuations de l'exposant de
Lyapunov (LE) d'un système à 2D en présence d'un désordre diagonal, ils ont trouvé que la
distribution de LE est approximativement normale (gaussienne) pour les régimes: localisé
( L > ξ ).
2

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Mott 1968
Concept du
front de mobilité
Langer et Neal 1966
diagrammes au
maximum croisés
Bergmann 1982
Localisation faible,
interférence
Hartstein …1982
Fluctuations de
conductance
Anderson 1958
Formulation du
Problème
Rosenbaum…1980
Transition dans Si :P
s =ν = 1/ 2 (exp)
Katsumoto 1980
Transition AlGaAs
s =ν = 1 (exp)
Thouless 1972
Conductance et conditions
aux limites
Wegner 1976
groupe de
renormalisation
Landauer 1970
Conductance et
transmission
Abrahams…1979
Théorie du simple
paramètre d’échelle
Vollhardt et
Wolfle 1980
Theory graphique
Mackinnon et
Kramer 1983
Échelle numérique
Figure.I.1 : Historique de la localisation [25].
front de
mobilité
conductivité
densité
d’état
états
localisés
états
étendus
Région
critique
énergie de Fermi
Figure.I.2 : Le concept du front de mobilité [25].
3

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
1.3. Désordre et structure
En physique de la matière condensé les matériaux peuvent être classés en deux types :
Les matériaux ordonnés qui sont les cristaux dont toutes les molécules sont disposés dans un
ordre géométrique précis.
Les matériaux désordonnés qui se trouvent abondamment dans la nature en phases amorphes
et qui sont caractérisés par l’absence apparente de l'ordre géométrique. On trouve dans ces
derniers différents types tels que:
Désordre structural (désordre spatial)
Dans ce cas de désordre, les atomes sont tous de même type mais disposés aléatoirement.
Ce désordre est typique des atomes en mouvement thermique aléatoire ou des matériaux
amorphes, voir figure.I.3. (b).
Désordre topologique
Les atomes sont disposés aléatoirement sur des sites fixes et le nombre de plus proches
voisins est constant, voir figure.I.3. (c).
Désordre compositionnel
On a deux types d’atomes ou plus disposés sur des sites qui forment un arrangement
régulier, voir figure.I.3.(d).
4

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure.I.3 : Différents types de désordre dans le cas d’un système :
(a) ordonné, (b) avec désordre structural, (c) avec désordre
topologique,
I.4. Désordre et propriétés électroniques
Un solide est un ensemble de noyaux chargés positivement et d’électrons, sa
description théorique, tant dans un état d’équilibre que sous l’influence de perturbation
extérieure, implique l’utilisation de la mécanique quantique appliquée aux mouvements des
noyaux comme ceux des électrons. Comme le nombre des particules (noyaux et électrons)
dans un solide est très grand, le problème devient très compliqué, d’autres approximations
s’imposent pour simplifier ce problème. Comme première approximation, on utilise celle de
Born et Oppenheimer qui consiste à fixer les noyaux (la masse des noyaux est beaucoup plus
lourde que celle des électrons) et les électrons sont dans un potentiel électrostatique qu’ils
créent. Comme deuxième approximation, on peut ramener le problème de N-électrons à un
problème d’un électron et on étudie le mouvement de chaque électron dans le potentiel moyen
statique, créé par les noyaux et les autres électrons.
Les propriétés électroniques d’un matériau découlent de la résolution de l’équation de
Schrödinger, laquelle dépend de la dimension du système et de la forme structurale du
matériau (ordre, désordre….).
5

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
I.4.1. Etats électroniques des systèmes périodiques
La répartition régulière, dans tout l’espace, d’unités structurales identiques décrit un
cristal idéal dont la périodicité de la structure atomique est bien défini.
La conséquence de la périodicité du système en est que toute grandeur liée au système doit
être périodique telle que l’énergie potentielle et la fonction d’onde.
Les travaux de Bloch en 1928[8] donnent les fonctions d’onde des états électroniques étendus
dans tout l’espace sous la forme d'onde de Bloch qui est le produit d’une onde plane
r r
r r r
exp( i.
. k ) par une fonction périodique U n
(r)
c'est-à-dire U ( + R)
= U (
) avec R r le
vecteur de translation du réseau, → k le vecteur d’onde et n l’indice de la bande.
n
n
r r
ψ = ( r)
exp( i.
k.
)
(I.2)
n , k
U n
r
Figure.I.4 : Représentation d’état étendu de Bloch d’un
système ordonné.
I.4.2. Etats électroniques des systèmes désordonnés
I.4.2.a. Etats électroniques des systèmes désordonnés sans interactions
En réalité, il n’y a pas de système idéalement ordonné, il y a toujours des déformations
dues à la présence d'impuretés, dislocations, lacunes et d’autres défauts. A cause de
l’existence de ces derniers dans les cristaux le théorème de Bloch n’est plus vérifié, les
fonctions d’onde perdent leur périodicité et le matériau devient désordonné. On distingue
deux types d’états électroniques : état délocalisé (étendu) et état localisé.
6

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Délocalisation des états électroniques
En présence d'un désordre faible, on peut utiliser les concepts de translation développés pour
les systèmes ordonnés, les états propres restent sous la forme de fonction de Bloch
« étendus » mais non périodiques :
r r
ψ ( r)
α exp( i.
k.
)
(I.3)
Dans les systèmes désordonnés, les états étendus n’existent que pour la dimension 3 [7,9].
FigureI.5:Représentation d’état étendu d’un système
faiblement désordonné.
Localisation des états électroniques
Si le désordre est assez fort, on a perdu toutes les symétries par translation, et
l’électron perd sa phase à cause des interférences destructives. Sa fonction d’onde devient
localisée [3] dans une région bien précise. Le comportement asymptotique des états localisés
est décrit par une décroissance exponentielle en fonction de la taille du système sous la
forme :
ψ ( L)
α exp( − L / ξ )
(I.4)
Où L est la taille du système et ξ la longueur de localisation, elle tend vers l’infinie lorsque
les états sont étendus.
Les états localisés peuvent s’expliquer physiquement par le fait que les électrons restent
piéger dans les puits de potentiel.
Le caractère étendu et localisé dépend de trois paramètres : le degré du désordre, l’énergie et
la dimension d du système; à 1D et 2D, tous les états sont localisés même pour des valeurs
intermédiaires du désordre [7].
7

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
En présence des excitations extérieures comme la température [10,11] et le champ électrique
[12,13] il existe les deux types d’états (étendus et localisés) séparés par des fronts de mobilité.
Ces états n’existent qu’en dimension 3,pour d = 2 et d = 1 seule la phase isolante existe .
Un autre type d’états a été observé [14] dans les systèmes désordonnés à 1D en présence de
champ électrique. Les fonctions d’onde correspondantes à ces états prennent la forme :
β
ψ ( L)
exp( − L ) avec β > 1
Ce comportement a été observé aussi dans les milieux fractales [15] et les états
correspondants sont dits « états super-localisés ».
Figure.I.6 : Représentation d’état localisé d’un
système totalement désordonné
I.4.2.b. Etats électroniques des systèmes désordonnés en présence des interactions non
linéaire
Dans les systèmes réels la nonlinéarité traduit l’effet des interactions électron-électron
et électron-phonon qu’on modélise par un terme non linéaireα dans l’équation de
Shrodinger, connue par l’équation de Shrodinger nonlinéaire (NL) [16]. L’origine de la
nonlinéarité peut correspondre aux différents phénomènes physiques. Dans les systèmes
électroniques, elle devrait correspondre à l’interaction coulombienne entre électrons confinés
alors que dans un superfluide, elle correspond à l’équation de Gross-Ptaevsky qui a plus
d’intérêt ces dernières années dans le domaine de la condensation Bose-Einstein des atomes
bosoniques piégés [17].
8

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Quand le désordre et la nonlinéarité cœxistent dans un système unidimensionnel, leurs
effets combinés conduit dans certain cas à la suppression de la localisation et dans d’autre cas
à la localisation partielle [18].
Plusieurs travaux ont été fait sur la nonlinéarité, la présence de la nonlinéarité dans un
système unidimensionnel change la décroissance exponentielle du coefficient de transmission
observé dans le régime linéaire vers une décroissance en loi en puissance [18,19], ce résultat
donne lieu à une délocalisation faible dûe à la nonlinéarité. Molina et al [20] en étudiant les
propriétés de transport d’un alliage binaire désordonné nonlinéaire et en utilisant un
Hamiltonien tight-binding, ont confirmé le comportement en puissance de la transmission
mais concluaient que l’exposant de décroissance ne dépend pas du degré de la nonlinéarité et
que la délocalisation disparaît quand la nonlinéarité devient faible.
Senouci et al [21] aboutissent, à l’aide du modèle de Kronig-Penney, aux mêmes résultats
pour des systèmes mixtes (barrières et puits mélangés) mais, pour des systèmes à barrières
uniquement, ils ont trouvé que l’exposant de décroissance dépend de l’intensité de la
nonlinéarité voir fig.I.7 et I.8 en accord avec les résultats de Cota et al [22].
18
15
12
9
6
3
0
16
12
a)
b)
8
4
0
2.0 2.5 3.0 3.5
Log(L)
Figure.I.7 : en fonction de Log(L) pour l’intensité de la non
linéarité |α| = 10 -15 ( diamant) ,10 -10 (symbole+), 10 -5 ( triangle vers le
haut), 10 -4 (carré), 10 -3 (étoile), 10 -2 (triangle vers le bas), 10 -1 (cercle) et
1. (Symbole x) pour α < 0. , W = 4., E = 10 et pour100 réalisations de
désordre a) cas mixte b) potentiels en barrières. Les lignes solides
correspondent à des "fittings"en une loi en puissance. [21]
9

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Exposant de la loi en puissance (γ)
3
2
1
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
Coefficient non linéaire ( Log )
α
Figure.I.8 : L’exposant γ en fonction de l’intensité non linéaire Log(|α|) pour
le cas mixte (carré noir) et les potentiels en barrières (carré blanc).[21]
I.5. Transition de phase Métal-isolant
Dans les limites de faible désordre et de fort désordre, les états au centre de la bande
sont étendus ou localisés respectivement. Pour les systèmes avec un degré intermédiaire de
désordre, on prévoit l’existence à la fois des états localisés et des états étendus qui sont
séparés en énergie par le front de mobilité fig.I.9 [4].Les états en bord de bande ont une
énergie cinétique plus faible que les états en milieu de la bande. Ainsi les états en bord de
bande sont plus facilement localisés que ceux en milieu de bande. Mott [4] a montré que des
états localisés et des états délocalisés ne peuvent pas coexister à la même énergie. En effet,
ces états coexistent à la même énergie sous l’effet d’une interaction alors l’état localisé doit
complètement se mélanger avec l’état étendu et la superposition résultante sera-elle même
qualifiée comme un état étendu. Un autre caractère important est la tendance des états
localisés dans les queues de bande plutôt qu'au centre.
0
Dans la limiteT
= 0 K , le couplage aux phonons est négligeable et seulement les électrons
dans les états étendus contribuent à la conduction dans la limite thermodynamique. Le front
de mobilité marque le changement des états localisés à ceux étendus, alors est une aide à
10

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
expliquer la transition de l’isolant au métal observé dans certains semi-conducteurs dopés
désordonnés [4].
Quand le désordre augmente, la longueur de localisation diminue, la région localisée s’étend
et le front de mobilité se déplace vers l’intérieur. A un désordre critiqueW , le front de
mobilité se croise à l’énergie de Fermi et l’isolant d’Anderson apparaît.
c
ρ (E)
Etats localisés
ξ (E)
Etats étendus
Etats localisés
+ E
− E c 0
c
E
F
Figure.I.9 : Densité d'état pour le modèle d'Anderson à trois
dimensions [56].
I.6. Théorie d’échelle de localisation
Raisonnement de Thouless
Thouless [23] a considéré un cube désordonné de taille L. Le désordre du matériau se
reflète directement sur le spectre, considéré comme aléatoire. Un électron diffusant à travers
2
ce cube à une incertitude d’énergie (énergie de Thouless) δ E = hD / L , où D la constante de
diffusion. Il s’agit ici d’une hypothèse qui prend en compte les paramètres quantiques et
macroscopiques.
Collons maintenant plusieurs cubes de taille L. Chaque cube à un désordre microscopique qui
lui est propre et donc un spectre particulier. Un électron d’énergie E
1
ne pourra passer dans le
cube voisin que si
E 1
− E 2
≤ δE
où E 2 est le niveau d’énergie du nouveau cube le plus
proche de E 1 . Par la suite, la diffusion de cube en cube, ou au contraire la localisation de
11

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
l’électron dans un cube, dépend uniquement du rapport entre l’énergie de Thouless et
l’espacement entre niveaux d'énergie, appelé nombre de Thouless et noté g.
E h D n(
E)
g = δ =
(I.5)
2
∆ L
∆
δ E
δE
∆
< 1 : les états sont localisés
δE
∆
>1 : les états sont étendus
Or la relation d’Einstein relie la constante de diffusion à la conductivité du système σ :
2
σ = e Dν
( E)
(I.6)
Où ν ( E ) = n(
E)
/
d
L
est la densité d’état par unité de volume et par unité d'énergie.
Notons que la conductance du système est donnée par la loi d’Ohm :
d −2
G = σ L
(I.7)
On obtient :
h
= G
(I.8)
e
g
2
Cette variable appelée conductance généralisée sans dimension, joue un rôle important dans le
phénomène de localisation d’Anderson, qui a été choisi par Abrahams et al [7]; pour être la
variable d’échelle de leur théorie d’échelle. D’où l’intérêt d’étudier la conductance plutôt
qu’une autre grandeur physique. Thouless a défini une fonction d’échelle β (g)
donnée par:
12

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
∂ ln( g(
L))
β ( g)
=
(I.9)
∂ ln( L)
Cette fonction ne dépend que de g et d’aucun autre paramètre (énergie, désordre), elle est
étudiée plus tard par Abrahams et al [7].
Raisonnement d’Abrahams, Anderson, Licciardello et Ramakrishnan
En achevant le travail de Thouless, Abrahams, Anderson, Licciardello et
Ramakrishnan (dite « bande de quatre ») [7] déduisent la courbe β (g)
à grandes et petites
valeurs de g par interpolation entre deux régimes asymptotiques :
Forte conductance (g>>1)
La loi d’Ohm classique
d −2
g = σ L s’applique et par conséquent :
lim
g→∞
β ( g)
= d − 2
(I.10)
à 2D, β (g)
tends vers 0 ce qui traduit le fait bien connu que dans un plan la conductance est
indépendante de la taille du système. Un calcul perturbatif en puissance de g
−1
[7,24] donne la
déviation de β (g)
par rapport à sa valeur asymptotique (I.10):
Où a ≈1.
a −2
β ( g)
= d − 2 − + O(
g )
(I.11)
g
Faible conductance (g

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Où g
0
est un rapport sans dimension de l’ordre de 1, et ξ est la longueur de localisation. Il est
là aussi possible d’aller plus loin en faisant un développement perturbatif en W/V[3], donnant
une correction positive :
⎡ g ⎤
2
β ( g)
= ln⎢
⎥[1
+ α.
g + θ ( g )]
(I.13)
⎣ g
0 ⎦
D’après ces conditions, Abrahams et al [7] ont tracés la fonction β (g)
en faisant l’hypothèse
de continuité entre les deux limites (I.11) et (I.13), et en remarquant que β (g)
doit être
monotone étant donné qu’une diminution de W/V signifie plus de localisation. Cette fonction
est tracée pour les dimensions 1, 2 et 3 dans la Fig.I.10.
lng(g c )
région
critique
ln(g c )
Figure.I.10 : La fonction d'échelle β (g)
en fonction de la conductance à la
température nulle d’un système désordonné de dimension 1, 2 et 3.
Commentaires sur la courbe β (g)
β ( g)
> 0 , la conductance augmente lorsque la taille du système augmente, les électrons
sont délocalisés, on a un régime métallique.
β ( g)
< 0, la conductance diminue avec la taille du système, on a un régime isolant.
14

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
β ( g)
= 0 (à l’intersection avec l’axe horizontal au point g
c
), ce qui traduit une transition
de phase à grand échelle (d=3) dûe au désordre, d’un état isolant ( g <
métallique (g>g c
).
g
c
) vers un état
La grande limitation de la théorie d’échelle est le problème des fluctuations universelles
de conductance. Pour des échantillons macroscopiquement identiques, la conductance fluctue
d’un échantillon à l’autre, car elle dépend de la configuration du désordre. La théorie n’est
valable en moyenne que sur un grand nombre d’échantillons. D’après les études numériques
réalisées [25,56], il semble que la moyenne logarithmique < ln(g)
> vérifie le mieux cette
théorie.
I.7. Caractérisation des états électroniques
I.7.1. Rapport de participation inverse
Pour distinguer les états localisés des états étendus, il est parfois suffisant de
considérer le second membre de la probabilité appelé le rapport de participation inverse R . P.
I .
Il a été introduit par Bell et Dean [29] et donné par l’expression suivante :
1
R P.
I =
L ⎛
⎜
⎝
∑
i=
1 i
.
2
2
L
∑
i=
1
L
ψ
ψ
i
4
⎞
⎟
⎠
≤1
(I.14)
Où
ψ
i
est l’amplitude au site i de l’état propre ψ et L est la longueur du système
électronique.
Cette grandeur physique se comporte comme suit :
⎪⎧
R.
P.
I
si : ⎨
⎪⎩ R.
P.
I
α O(
L
α O(
L
−1
o )
)
états
états
étendus
localisés
15

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Son inverse est appelé le rapport de participation ( R. P ) qui représente l’extension spatiale des
états électroniques dominants de la fonction d’onde. Effectivement ces états dominants, dans
le cas des états localisés sont centrés sur une petite région du système, alors que dans le cas
des états étendus, tout les états ont la même importance et sont étalés sur tout le système.
I.7.2. Exposant de Lyapunov
L’exposant de Lyapunov [32,33] c’est un paramètre défini par l’expression suivante :
1
2
γ = lim[ log( ψ
N +
+ ψ
L→∞
L
1 N
2 1/ 2
)
]
(I.15)
Où
représente la moyenne.
γ représente le taux de décroissance de la fonction d’onde et s’annule aux énergies des états
étendus.
L’exposant de Lyapunov indique l’inverse de la longueur de localisation pour les systèmes
1
désordonnés quasi-1D [34,35,36] ; γ = . Il est utilisé pour le calcul direct de la conductance
ξ
g sans dimension (en unité
2
e / h ) [37]
g =
N
∑
j=
1
Coh
2
2
( γ
j
L
)
(I.16)
N étant le nombre d’états propres.
I.7.3. Longueur de localisation
Les systèmes désordonnés sont caractérisés par des fonctions d’onde dominantes
uniquement dans l’espace de dimension caractéristique ξ appelé « la longueur de
localisation », elle est définie comme étant la mesure de la prolongation spatiale de l’état
localisé.
Cette longueur décroît quand on se rapproche du bord de la bande (Fig.I.9) où les états sont
localisés et elle diverge quand on se rapproche du front de mobilité où les états sont étendus.
16

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Alors c’est un concept fondamental pour comprendre l’existence des métaux et des isolants et
en particulier pour expliquer la transition métal-isolant du système.
En dimension 1, la conductance disparaît quand L → ∞ . Les électrons sont exponentiellement
localisés sur une longueur de localisation
l 1D
loc
de l’ordre du libre parcours moyen l . Ce
résultat était déjà connu antérieurement grâce au travail de Mott et Thouless (1956) [30].
En dimension 2, on définit la longueur de localisation comme étant la longueur
L = telle
2D
l loc
que la conductance g (L)
soit de l’ordre de 1, en utilisant pour d=2 la correction (I.11), on a :
l D
2
loc
∝ exp( g 0
)
(I.17)
Où g
0
est la conductance pour L = l . Bien que la longueur de localisation
D
l 2
loc
puisse être très
grande si g
0
( l)
>> 1, elle reste tout de même finie (pas de divergence).
En dimension 3, l’espacement entre l’énergie de Fermi
E
F
et le front de mobilité
E
c
joue le
rôle de la position de g 0
par rapport à g c
. En modifiant l’énergie de Fermi en fixant le
désordre, il est possible de progresser du régime isolant ( g
0
< g
c
) vers un régime métallique
( g > g
c
0
). En gardant β pour des faibles variations de E
F
près de
E
c
on a
1 g − g
0 δg
β ( g)
= ( ) =
ν g ν
c
(I.18)
1
Où la pente de β au point ( g = g
c ) . L’intégrale de (I.18) de g = g 0
< g
c
pour L = l
ν
jusqu'à g

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
L’équation (I.19) donne alors l’expression de la longueur de localisation en trois
dimensions
3
l D
loc
∝ l
δ g
−ν
. Elle diverge avec un exposant critique ν et apparaît clairement
quand
E s’approche du front de mobilité E .
F
c
I.7.4. Le coefficient de transmission
Le coefficient de transmission est le paramètre le plus utilisé dans l’étude des
propriétés de transport électronique dans les super-réseaux [26] et le phénomène de
localisation dans les systèmes désordonnés [12,22,27,28]. Cette quantité physique est définie
comme la probabilité de transfert de l’onde électronique à l’autre extrémité du système.
A 1D le coefficient de transmission se comporte comme suit :
T α e
−2 γ L
(I.20)
Où γ et L étant l’exposant de Lyapunov et la longueur du système respectivement.
Dans le cas des états localisés l’électron se trouve confiner dans une région limitée du
système, par conséquent, le coefficient de transmission décroît rapidement.
I.8. Transition métal-isolant en dimension deux
Jusqu’en 1994, il semblait théoriquement bien établi qu’en mécanique quantique, un
électron placé dans un milieu désordonné plan ne peut diffuser indéfiniment. Ceci s’explique
par le caractère désordonné des systèmes réels (défauts cristallins, impuretés). Ce désordre
induit des termes d’interférences destructives dans les calculs de la fonction d’onde à un
électron. Celle-ci a alors une extension finie dans le plan en raison des propriétés
topologiques de l’espace à deux dimensions, et chaque électron ne peut donc se déplacer dans
tout le plan.
A partir de 1994, plusieurs expériences ont indiqué qu’au contraire, une transition métalisolant
apparaît lorsque l’on varie la densité de certains gaz d’électron réalisés à l’interface
entre deux semi-conducteurs à deux dimensions.
18

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
Tout ceci a été remis en cause en 1994 quand S.V.Kravchenko et son équipe qui ont observé
un comportement métallique dans des MOSFETs silicium de très grande qualité [38,39,40].
Ce comportement apparaît en abaissant la densité du gaz d’électron 2D (Fig.I-11). Il se
caractérise par une augmentation de la résistance avec la température. Cette découverte a
déclanché une intense activité théorique et expérimentale dans le monde. Elle suggère en effet
une transition de phase quantique (en variant la densité) vers un nouvel état physique
caractérisé par des corrélations entre électrons induites par leurs interactions coulombienne
répulsive. On sait que si la densité du gaz d’électrons est élevée, cette interaction est
négligeable : on a un liquide (le liquide de Fermi [41]) de quasi-particules indépendantes,
leurs interactions mutuelles étant écrantées par le système lui-même. C’est aussi le cas des
métaux usuels. Cet écrantage ne peut subsister à basse densité et le système doit s’ordonner
dès que l’énergie cinétique dûe au confinement spatial de fermions devient faible devant
l’énergie d’interaction coulombienne. Le nouveau « métal » serait alors un état intermédiaire
entre le liquide de Fermi et un système très « corrélé » (cristal ou verre de Wigner).
Figure.I.11: Résistivité ρ d’un gaz 2D d’électrons mesurée en fonction
de sa température T, pour différentes valeurs de sa densité n s [39,40].
On voit sur la figure I.11 que, pour des densités n s
inférieurs à une certaine valeur
critique n
c
, ρ(T
) est décroissante signe d'un comportement isolant, alors que pour n
s
> nc
,
ρ (T ) croissante signe d'un comportement métallique. On a donc une transition métal-isolant
pour n
s
11 −2
= nc
= 0.89×
10 cm
. Comme il s’agit d’une transition de phase induite par une
19

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
variation de densité à
0
T ≈ 0 K , on parle d’une transition de phase quantique, c'est-à-dire
qu’elle concerne l’état fondamental du système.
La figure insérée donne des résultats similaires à ceux de la figure principale, mais présentés
en fonction du rapport
δ n
T
1 / zυ
/ où n
δ est l’écart relatif à la densité critique, z et υ les
exposants critiques, et T la température. L’ensemble des courbes ρ (T ) à n s
donné se
rassemble en une seule courbe à deux branches correspondant à l’isolant et au métal
(pour z υ =1. 2 ), ce qui vérifie l’invariance d’échelle.
Suite à ces premières expériences, plusieurs équipes dans le monde ont mis en
évidence des comportements similaires, dans d’autres systèmes parmi lesquels les MOSFETs
silicium : gaz 2D de trous aux interfaces AsGa/AsGaAl [42,43].
Figure.I.12 : Valeur relative de la puissance du bruit de résistance,
mesurée sur un système à deux dimensions AsGa/AlAsGa. (a) : en
fonction de la température, (b) : en fonction de la résistance.La ligne
blue correspond à une loi de puissance d’exposant 2,4.
La figure (I-12-a) montre que l’amplitude moyenne relative des fluctuations de résistance
dépend de la densité. De façon remarquable, on observe que les lois de puissance de la
résistance (I-12-b) [44] : Ce comportement est typique de « l’invariance d’échelle » près
d’une transition de phase dont on peut estimer la densité critique. Celle-ci serait inférieure à la
densité où est observée la transition de Kravchenko [40,41,44,45]. Il y aurait donc bien une
transition de phase, mais d’une nature différente de la transition métal-isolant.
Des calculs théoriques [45] suggèrent que cette transition soit une transition de percolation.
Cela permettrait de comprendre la valeur de l’exposant critique 2,4 (voir figure I-12-b ), ainsi
20

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
que le lien avec les transitions métal-isolant en champ magnétique. Il y aurait une séparation
spatiale entre deux phases haute et basse densité, la première "s’écoulant" à travers la seconde
(Fig.I.13).
Figure.I.13 : Exemple de distribution spatiale de densité pour
le AsGa /AlAsGa, près de la transition métal-isolant [45].
Il a été trouvé, dans les systèmes unidimensionnels désordonnés, que des états
électroniques étendus peuvent exister en présence de la corrélation. Par exemple pour les
dimers aléatoires, il a été vérifié expérimentalement avec les super-réseau GaAs-AlGaAs,
l’apparition d’états étendus [46,47]. Il y’a l’existence d’état métallique dans une classe de
polymère unidimensionnel, tels que la polyaniline et les polyacetylenes fortement dopés, a été
trouvé par Dunlap et al [48,46].
I.9. L’auto-moyennage
En mécanique statistique, on a un grand système composé de plusieurs petits
systèmes statistiquement identiques. La distribution de probabilité pour une quantité x(L)
est
piquée autour de la valeur moyenne quand la taille du système augmente. Dans la limite
thermodynamique ( L → ∞
c'est-à-dire la moyenne configurationnelle < x (L)
> :
), la valeur la plus probable devient égale à la valeur moyenne
x
≈< x(L)
En terme de la variance, la quantité x(L)
s’auto-moyenne, est donnée par :
>
2
2
< ( x(
L))
> − < x(
L)
> 1
≈
2
k
< x(
L)
> L
;(k>0)
(I.21)
21

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
En mécanique statistique classique k sera égal à la dimension du système. Cependant,
plusieurs quantités de transport, en général ne s’auto-moyennent pas car les effets
d’interférence quantique sont très sensibles à la distribution microscopique du désordre. Pour
les systèmes unidimensionnels le logarithme de g s’auto-moyenne tant que la conductance g
ne s’auto-moyenne pas [49,50].
2
2
< log( g)
> − < log( g)
> 1
≈
2
< log( g)
> L
(I.22)
Dans le régime métallique à 3D la conductance s’auto-moyenne comme [51]:
g
2
− g
g
2
2
≈
L
1
2( d −2)
(I.23)
avec d la dimension du système.
I.10. Régimes de transport
Il est possible d'identifier plusieurs régimes et de les caractériser par leurs propriétés
de transport (Tableau I.1).
L'étude du transport électronique dans les systèmes désordonnés met en évidence des
longueurs caractéristiques, comme la longueur d'onde de Fermi λ
F
, le libre parcours moyen
l , la longueur de cohérence de phase l Φ
ainsi que la longueur de localisation ξ . Ces
grandeurs physiques vont permettre de distinguer et définir les divers régimes de transport.
I.10.a. Les longueurs caractéristiques
Longueur d'onde de Fermi
Dans les métaux usuels, et à température nulle, les électrons occupent les états qui ont des
énergies inférieurs ou égales à l'énergie de Fermi E F (E F est l'énergie au dessus de laquelle, à
0
T = 0 K , tous les états électroniques sont vides, tandis que tous les états sont occupés au
22

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
dessous de E F ). Les électrons proches de niveau de Fermi E F sont les seuls a participer dans la
conduction. Ces électrons vont être reliés à la longueur d'onde de Fermi λ
F
2
λ = 2π / avec k = (2 m )
1/ / h
(I.24)
F
k F
F
E F
λF
est très petite, de l'ordre de quelques dizaines d'Angstrom dans les métaux et peut être plus
grande dans les semi-conducteurs [52,53].
Libre parcours moyen
Le libre parcours moyen l e
est défini comme la distance moyenne traversée par l'électron
entre événement de diffusion [54]. Les électrons participant à la conduction se déplacent à la
vitesse de Fermi v
F
et on a:
l
= τ
(I.25)
e
v F
e
où τ
e
est le temps de relaxation de la quantité du mouvement due aux collisions élastiques.
p = m v = −e Eτ
(I.26)
e
Longueur de cohérence de phase
Longueur de cohérence de phase est la longueur sur laquelle l'électron garde la mémoire
de sa phase [54,55]. Soit τ Φ
la durée lors de laquelle la cohérence de phase est considirée
comme conservée.
Lorsque
τ
Φ
≤τ
e
, c'est-à-dire quand les électrons se déplacent en ligne droite entre deus
collisions inélastiques, on écrit:
l = τ Φ
v F Φ
(I.27)
23

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
quand τ >>τ , les électrons subissent plusieurs collisions avant de perdre la mémoire de
Φ
e
leur phase et le trajet moyen n'est donc pas une ligne droite. Il faut alors moyenner la distance
parcourue [52]. On a:
τ
1/ 2
l
Φ
= ( D.
Φ
)
(I.28)
où D le coefficient de diffusion.
D = ( v . l ) d
(I.29)
F e
/
avec d est la dimension du système, ainsi:
l
= (( v . . l ) / d)
2
1/ 2
Φ F
τ e e
(I.30)
I.10.b. Les divers régimes de transport
Considérons un système de longueur L. Comparer cette longueur L avec les
différentes longueurs caractéristiques ( λ
F
, l e
, l Φ
) va permettre de distinguer divers régimes de
transport.
Régime localisé (régime isolant)
On se trouve dans le cas où λ ≤ l et l > L > ξ . Le système est un isolant et les fonctions
F
e
Φ
d'onde sont localisées dans des régions bien déterminées dans l'espace. Le désordre peut être à
l'origine de cette localisation et est responsable d'une transition métal-isolant.
Pour des températures très basses, le transport ne se produit que par des sauts des électrons
entre les états localisés [53].
Régime diffusif (régime métallique)
On se place toujours dans le cas de faible désordre ( λ lΦ
et
l'électron subit un grand nombre de collisions lors de la traversée de l'échantillon [701]. Le
temps de diffusion s'écrit classiquement:
F
e
τ α L
2 D
(I.31)
D
/
24

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
avec D la constante de diffusion.
Régime balistique
Lorsque
L < le < l , quand les dimensions du système sont inférieurs au libre parcours
Φ
moyen, le transport est dit balistique. Les électrons se déplacent librement sans rencontrer
aucune collision d'aucune sorte, ni élastique ni inélastique, sauf sur les bords de l'échantillon.
Ce cas correspond au régime de faible désordre, c'est-à-dire lorsque λ l
F
e
λ > 1, UCF
Balistique
L
<
e
<
Φ
F
l
λ

Chapitre I:
Généralités sur les systèmes désordonnés
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[55] M.Schreiber et al, Eur.Phys.J.B1, 29-38 (1998).
28

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
I. Introduction
La théorie des systèmes désordonnés a été développée par Anderson [1] en 1958, c’est
le premier qui a introduit le phénomène de localisation comme conséquence de la perte de
toutes les symétries par translation, ce qui implique que le théorème de Bloch n’est plus
valable.
29

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
Anderson proposa un modèle qui consiste à tenir compte du désordre soit en terme d'énergie
des sites « désordre diagonal » aléatoirement distribuées avec un écart entre la valeur
maximale et minimale de l'énergie noté W, soit en terme d'échange entre les sites voisins
« désordre non-diagonal » noté V
ij
.
Il a montré que la probabilité de trouver l'électron aux extrémités du système est négligeable
où le potentiel d'interaction est aléatoire. L'électron est resté confiné dans une région finie de
l’espace, il a conclu que les états électroniques sont localisés même pour des valeurs
infinitésimales de désordre, ce phénomène de localisation est justifié par l'effet d'interférences
quantiques destructives des ondes dûes au désordre.
Le phénomène de localisation des états électroniques des systèmes désordonnés à 1D à été
largement étudié à la fois numériquement et analytiquement. Les deux modèles utilisés pour
étudier les propriétés de transport de ces systèmes sont : le modèle de Tight-Binding [10,11]
et de Kronig-Penny [12,13]. Ces derniers couvrent un large domaine de la localisation dans
les liquides et les solides désordonnés.
Dans ce deuxième chapitre nous présentons quelques modèles théoriques qui sont utilisés
dans l'étude des systèmes désordonnés et en particulier le modèle d'Anderson que nous
utilisons dans nos calculs, via la méthode de la matrice de transfert (TMM) nous définissons
l'exposant de Lyapunov (LE) pour un système 2D.
II. Modèles théoriques
Les systèmes désordonnés ont fait l’objet de plusieurs études. Anderson [1] fut le
premier à prédire le phénomène de localisation dans ces systèmes. Depuis, plusieurs modèles
ont été proposés (Tableau.II.1)
30

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
Modèles
Équations
Chaîne
anharmonique
désordonné
[2]
m
n
dU
dt
n
= U
2 n+ 1
− 2U
n
−U
n−1
U
n
: déplacement de la
position d’équilibre
ème
m : la masse du n atome
n
Si le désordre est non-diagonal,
tous les ε
i
sont les mêmes
Liaisons
H = ε
0
∑
i
i
i
+
∑
i≠
j
t
ij
i
j
Fortes
∑
H = ε
i
i
i
i
+
∑
i≠
j
t
ij
i
j
Si le désordre est diagonal, les
tij
sont constants
∑
H = ε i
i
i
i + t
∑
i≠
j
i
j
[2,3]
Kronig-Penny
2
dψ
( x)
[3,4] − + Vψ
( x)
= Eψ
( x)
2
dx
Dans le modèle de Llyord à 1D,
les ε
i
sont donnés par la loi de
probabilité :
δ
P
iδ
=
π ( ε
2 + δ )
− ∞ ≤ ε ≤ +∞
i
Pour les alliages dans les systèmes
désordonnés 1D :
i
N
∑V n
n=
0
ème
V ( x)
= δ
x−n
V
n
: la force du n pic
Les liquides à 1D avec des
potentielsδ :
V ( x)
= −V0 δ ( x)
Aubry
[6]
ψ + ψ
+
+ λ cos(2π γ m)
ψ
n n 1
n
=
λ : force du potentiel
γ : modulation
E
On utilise se modèle pour les
quasicristaux avec un potentiel
incommensurable
Tableau.II.1: Les modèles théoriques.
31

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
II.1. Modèle d’Anderson
II.1.a. Description
Le modèle d’Anderson (1958) [1] est un paradigme pour décrire les systèmes
désordonnés sans interaction, en tenant compte du désordre à température nulle ( T = 0 K)
. Il
considère un réseau régulier d’impuretés auxquelles il associe des niveaux d’énergie
différents.
o
Ce modèle fut très utilisé au début de l’étude de la localisation et peut être défini à une ou
plusieurs dimensions, à une dimension le potentiel est présenté sur (figure.II.1).
L’hamiltonien du système considéré, basé sur un modèle quantique qui est une variante du
modèle de liaisons fortes (Tight-Binding) dans l’approximation à un électron:
H
=
∑
i
ε i
i
i
+
∑
i≠
j
V
ij
i
j
(II.1)
Où i et j sont les différents sites du réseau de volume L d avec des conditions aux bords
périodiques. Les
ε
i
sont les énergies aléatoires des sites i distribuées dans
l’intervalle [ − W / 2, W / 2]
, elles modélisent les fluctuations énergétiques dues au désordre. Le
paramètre W mesure la force du désordre et V ij
est l’amplitude de probabilité pour une
particule de sauter sur un des sites les plus proches.
Dans le modèle d’Anderson, on peut introduire deux types de désordre :
Désordre diagonal
Les atomes sont identiques aux nœuds d’un réseau, les énergies de sites ε i
sont reparties
aléatoirement, tandis que le terme d’échange V
ij
est constant.
⎧V
V ij
= ⎨
⎩0
0
i et j sont
ailleurs
les
proches voisin
s
32

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
Désordre non diagonal
Contrairement au désordre diagonal, le terme d’échange V ij
des plus proches voisins est
aléatoire et les énergies des sites sont maintenues constantes.
Ce modèle conduit pour des systèmes à une ou deux dimensions à des états exponentiellement
localisés quelque soit la force du désordre introduit, à cause des interférences destructives
dues aux impuretés qui mènent à la localisation.
En trois dimensions, Anderson a montré que le paramètre pertinent de son modèle était le
rapportW / V . Pour un désordre suffisamment fort ( W / V grand) tous les états sont localisés,
la conductivité du système à température nulle tend vers zéro et l’on a un comportement
isolant. Lorsque le désordre diminue, le recouvrement progressif des fonctions d’onde permet
une conduction métallique et décrit la transition métal-isolant d’Anderson. Il apparaît donc un
paramètre critique
( W / V ) séparant les deux types de régime de conduction.
c
V
W/2
-W/2
x
Figure.II.1: Profil du potentiel dans le modèle d'Anderson.
Tous les systèmes ne présentent pas obligatoirement une transition de phase. En général,
l'existence d'une transition de phase dépend des excitations extérieures, telles que:
• La température:
La localisation a été étudiée théoriquement et expérimentalement dans les systèmes 2D
et 3D [15]. Cependant, les systèmes à 1D n'ont été étudiés que théoriquement: ces systèmes
33

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
étaient inaccessibles expérimentalement. Thouless [15,16] a assimilé ces systèmes à des fils
suffisamment longs dont la section est négligeable (c à d faible devant la longueur), et a
constaté que dans ces systèmes à 1D, la résistance est de l'ordre de8 KΩ
. Ces systèmes sont
isolants au zéro absolu et deviennent conducteurs à basse température. La température pour
laquelle on a observé cet effet est une certaine températureT L
qui augmente si la section du
fil diminue et si la résistance d'impureté augmente. On a obtenu TL
de l'ordre de
1 o K pour un
−11
2
fil de section 2,5 10 cm . Ce résultat a été vérifié expérimentalement par Giordano en 1980
[17].
• Le champ électrique:
Dans les systèmes désordonnés à une dimension, le champ électrique peut aussi mener
à une transition d'états exponentiellement localisés vers des états faiblement localisés puis
vers des états étendus [18-21]. Pour ces systèmes, il a été prouvé qu'il existe un champ
électrique critique F c
pour lequel l'énergie électrostatique est égale à l'énergie de l'électron
( F c
L = E ) où L est la taille du système et E est l'énergie de l'électron à la transition.
On définit un paramètre X = FL / E , si X = 1 les systèmes désordonnés à 1D sous
l'influence d'un champ électrique présentent donc une transition métal-isolant [19,22,20].
• Le champ magnétique:
L'application d'un champ magnétique sur un échantillon désordonné constitue une des
méthodes les plus utilisées expérimentalement pour supprimer la localisation.
Dernièrement, trois résultats importants ont considérablement contribué au développement
des applications expérimentales. Premièrement, l'application d'un champ magnétique induit
un changement caractéristique de la phase de la fonction d'onde, ainsi qu'un changement
important dans les interférences des ondes électroniques. Ceci peut être obtenu
analytiquement par l'étude des propriétés cohérentes du système en mécanique quantique [23].
Le second résultat est la conductivité de Hall en unité
2
e / h
à basse température [24]. La
compréhension théorique de cet effet n'est pas complètement comprise, bien que l'étude des
propriétés de localisation en présence de champ magnétique fort soit toujours un des sujets les
34

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
plus étudiés à l'heure actuelle. Le troisième résultat concerne la transition métal-isolant qui a
comme conséquence un comportement critique de la conductivité en courant continu, c'est-àdire
comment celle-ci s'annule lorsqu'on s'approche du point critique en changeant la position
de l'énergie de Fermi [9].
II.1.b. Avantages
L’avantage du modèle d’Anderson est qu’il se prête aisément à des calculs
numériques. Il a permis de mettre en évidence l’existence d’un seuil de localisation dans les
systèmes tridimensionnels, c'est-à-dire d’une valeur critique du rapport
( W / V ) au-delà de
laquelle le système change qualitativement de nature. Lorsque se rapport passe en dessous
d’une valeur critique
( W / V ) des états délocalisés commencent à apparaître en milieu de
c
bande. Pour une valeur faible de ( W / V ) , la région des états délocalisés devient large,
recouvrant quasiment toute la bande (voir figure I.9) [9].
c
c
III. Distribution de l'exposant de Lyapunov à 1D
Dans les systèmes unidimensionnels désordonnés l'exposant de Lyapunov à une
distribution normale (Gaussienne), sa valeur moyenne γ > est reliée à sa variance
[25] par:
< 1D
2
σ
1D
2
σ
1
τ =
(II.2)
< γ >
D
L
1D
Où τ est le simple paramètre d'échelle de l’exposant de Lyapunov, < ... > représente la
moyenne statistique des réalisations du potentiel aléatoire et L étant la taille du système.
35

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
P(γ)
Figure.II.2: Distribution de probabilité P(γ ) pour un nombre
d'échantillon N=10 7 , longueur L=300, énergie E=1 et
désordre W=1 [30].
γ
Cette quantité permet de mieux comprendre le comportement statistique de l'exposant de
Lyapunov, analytiquement τ est égale à l'unité [8,26,27,28,29] et il est indépendant du
désordre et de la taille du système dans le régime isolant.
Figure.II.3 : Paramètre d’échelle τ en fonction de
la taille du système avec E=8 pour les deux types
de désordre (topologique et spatial) [14].
La validité de l'hypothèse du simple paramètre d'échelle (SPS) a été confirmée
analytiquement pour le modèle d'Anderson à fort désordre [31,32], où la longueur de
36

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
localisation devient microscopique et comparable au paramètre du réseau ( ξ ≈ a)
, de même
pour les systèmes 2D sans interaction avec un désordre diagonal [8].
Cette hypothèse devient invalide à faible désordre où la longueur de localisation est
comparable à la taille du système.
Figure.II.4 : Paramètre d’échelle τ en fonction du désordre avec E=8 et L=1500.
a)désordre topologique, b) désordre spatial pour V=4 [14].
La figure II.3 et la figure II.4 montrent le comportement de τ en fonction de L et W. On voit
que l'hypothèse du SPS est universelle dans le sens où elle est indépendante du désordre ou de
la taille du système.
37

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
Pour un système 1D suffisamment long le logarithme de la conductance [25] est donné par :
ln g = −2 γ L
(II.3)
Où γ est l'exposant de Lyapunov et L la longueur du système.
VΙ. Modèle et méthode de calcul
Il y’a quelques décennies, Anderson proposa que le désordre induit une transition
métal-isolant (TMI), et jusqu'à ce jour le problème de localisation demeure encore au centre
d’intérêt.
L’exposant de Lyapunov est une propriété intrinsèque pour les systèmes désordonnés, il
permet de connaître la distribution spatiale des fonctions d’onde qui sont responsables des
propriétés de transport [8].
Dans le premier chapitre nous avons cité l’exposant de Lyapunov pour un système
désordonné à 1D. Dans ce qui suit, nous décrivons le modèle et la méthode qui permettent de
calculer l'exposant de Lyapunov pour un système 2D.
VΙ.1. Modèle d’Anderson
L'hamiltonien d'Anderson pour un réseau cubique simple peut être écrit sous la forme:
H
=
∑
i
ε lm lm + V lm pq
(II.4)
l,
m
∑
l,
m≠
p,
q
Où lm est l'orbitale atomique à la position
r l , m
= l i + m j .
Les fonctions d'onde électroniques (c'est-à-dire chacun des électrons du cristal) peuvent être
exprimées sous la forme de combinaison linéaire d'orbitale atomique:
38

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
1
Ψ =
1/
N
1
=
1/
N
2
∑
2
l,
m
∑
j
C
l,
m
l,
m
exp( i.
k.
r )
j
(II.5)
Où N est le nombre de cellule.
Les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice
sont donc donnés par:
Ψ
i
H Ψi
, les états d'énergie
1
1
E( k)
= ∑ i H i + ∑ i H j exp( i.
k.
r)
(II.6)
N
N
i
i,
j
Notre approche numérique de ce modèle est basée sur la récurrence de l’équation de
Schrödinger correspondant à l’hamiltonien (II.1), ceci fournit le point de départ de la méthode
de la matrice de transfert (MMT) en prenant les conditions aux limites périodiques dans la
direction transversale du système.
VΙ.2. Méthode de la matrice de transfert (MMT)
La méthode la plus appropriée pour estimer directement les propriétés de localisation
des systèmes désordonnés sans interactions est le calcul des longueurs d’affaiblissement des
fonctions d’onde pour une bande quasi-1D de largeur M et de longueur L (L>>M) à l’aide de
la MMT [5,7].
Les fonctions d’onde peuvent être calculées en résolvant l’équation de Schrödinger :
H ψ = Eψ
(II.7)
E étant l’énergie de la particule. L’équation de Schrödinger indépendante du temps est
exprimée comme le produit de matrices de transfert aléatoires pour lesquelles nous divisons le
système en L couches dans la direction longitudinale (voir figureII.5).
Pour le modèle habituel d’Anderson l’équation (II.7) s’écrit sous la forme:
39

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
"
⊥
⊥
"
V
n+ 1 , m n+
1, m
= ( E − ε
n,
m
) ψ
n,
m
−Vn,
m+
1ψ
n,
m+
1
−Vn,
mψ
n,
m−1
−Vn,
mψ
n−1,
m
ψ (II.8)
Où
ψ est la fonction d’onde au site ( n , m)
,
n, m
V ,
représente l’élément d’échange de site
⊥
n m
( n , m)
au site ( n , m −1)
et V " n,m
représente l’élément d’échange de ( n − 1, m)
à ( n , m)
.
L’équation (II.8) peut être écrite sous la forme matricielle suivante :
⎡ψ
n
⎢
⎣ψ
n
+ 1
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎦ ⎢⎣
" −1
"
[ V ] ( E − ε − H ) − [ V ]
n+
1
1
n
⊥
−1
n+
1
0
V
"
n
⎤ ⎡Ψ
⎥ ⎢
⎥⎦
⎣Ψ
n
n−1
⎤
⎥ = T
⎦
n
⎡ψ
n
⎢
⎣ψ
n
−1
⎤
⎥
⎦
(II.9)
Où
ψ = indique la fonction d’onde de tous les sites de la n ième couche,
T
n
( ψ
n, 1,
ψ
n,2
,...., ψ
n,
M
)
"
" " "
ε
n
= diag( ε
n, 1,
ε
n,2,.....,
ε
n,
M
) , V
n
= diag(
Vn,1,
Vn,2
,...., Vn,
M
) la matrice diagonale des éléments
d’échanges reliant la couche n-1 avec la couche n et
H
⊥
L’hamiltonien d’échange de la couche n.
L
m-1
m
m+1
d −1
Figure.II.5: Système quasi-1D de dimension L × M .
L’évolution de la fonction d’onde d’une extrémité à l’autre du système est donnée par le
produit :
T
L
= T T ..........T L L−1 1
(II.10)
40

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
À partir du calcul de T L
, on peut déterminer les paramètres qui caractérisent les états
électroniques des systèmes désordonnés particulièrement l’exposant de Lyapunov minimum
qui représente l’inverse de la longueur de localisation.
VΙ.3. Définition de l’exposant de Lyapunov
Nous calculons les exposants de Lyapunov LEs d’un système quasi-1D en utilisant la
méthode standard de la reorthonormalisation de Gram-Schmidt [9] (voir annexe A) après dix
multiplications de matrices de transfert pour éviter les difficultés numériques.
Cette procédure correspond à la factorisation de la matrice T L
en un produit d’une matrice
orthogonale Q, une matrice diagonale D avec des éléments positifs et une matrice triangulaire
supérieure R avec des éléments diagonaux qui sont égaux à l’unité,
T Q0 = Q D R
(II.11)
Où Q
0
une matrice orthogonale initiale, le choix de Q
0
n’a aucun effet sur les résultats et
nous l’avons prise égale à la matrice unité [8].
Les exposants de Lyapunov
LEs : γ , γ ,......, γ sont donnés par:
(1)
L
(2)
L
( L)
L
( n)
1
γ
L
= Dn
L ln
(II.12)
Où
D n
est le n ième élément diagonal.
L’équation (II.12) défini les exposants de Lyapunov à partir de l’orthonormalisation de Gram-
Schmidt telle que les LEs sont les éléments diagonaux de la matrice D. Notons qu’il existe
une autre définition qui donne les LEs par les valeurs propres de
+
T T (T est la matrice de
transfert). Ces deux définitions ne diffèrent plus quand
L → ∞ [8] (voir annexe B).
Pour une largeur M fixée et quand
valeurs limites ;
L → ∞ les LEs tendent toujours vers les mêmes
41

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
n n
lim γ
L
= γ
L
(II.13)
L→∞
(1)
LE (le plus petit) est le plus significatif physiquement, γ = γ est l’inverse de la longueur
de localisation ξ d’un système quasi-1D de largeur M et de longueur L (L>>M):
min
γ
(1)
1
= (II.14)
ξ
Notons qu’à 2D la conductance est donnée par la formule de Landauer [33]:
g =
2 e
h
2
M
∑ i = 1
Ti
1 − T
i
(II.15)
Où T est le coefficient de transmission, se comporte comme :
T α L
−β
(II.16)
42

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
Références bibliographiques ΙΙ
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43

Chapitre II:
Modèle et méthode de calcul
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[30] P.Markos et B.Kramer, Ann.Physik 2 (1993) 339-360.
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[33] R.Landauer, Philo.Mag.21,863(1970).
44

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
I. Introduction
Quand le désordre est introduit dans les systèmes ordonnés la symétrie du réseau est
brisée et le théorème de Bloch [1] n’est plus valable. La fonction d’onde doit être calculée
pour plusieurs échantillons et les quantités physiques sont évaluées en prenant les moyennes.
Anderson [2] montra que la présence du désordre dans un système électronique conduit à la
présence d’états énergétiques localisés, c'est-à-dire la fonction d’onde est restreinte à une
région donnée de l’espace. Pour des systèmes tri- dimensionnels, il existe un désordre critique
au-delà duquel tous les états deviennent localisés. D’après la théorie d’échelle, à une et deux
dimensions, pour le moindre désordre tous les états sont localisés; ou, d’après Mott ces
systèmes sont des isolants. Dans ce cas les particules sont piégées dans des régions de taille
finie et la probabilité de les trouver en dehors de ces régions décroît à 1D exponentiellement
en s’éloignement de ces régions (états fortement localisés : ψ ( x)
~ exp( − L / ξ ) où ξ est la
longueur de localisation), alors qu’à 2D, cette probabilité décroît en puissance ψ ( x ) ~ L
(états faiblement localisés).
−α
45

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Récemment Slevin et al [5] ont montrés numériquement les fluctuations de l’exposant de
Lyapunov (LE) d’un système désordonné bidimensionnel sans interactions montrant
l’existence d’états délocalisés. Dans ce contexte nous étudions l’effet d’échelle et du désordre sur
la nature des états des systèmes 1D et 2D en utilisant le modèle d'Anderson.
Parmi les moyens de réaliser un système de dimension entre 1 et 2 on peut citer :
• objet fractal (ex ensemble de Koch)
• ruban de largeur finie M et de longueur infinie (très grande). 1D lorsque M → 0 , 2D
lorsque
M → ∞. Pour toute largeur finie : la dimension du système est entre 1D et 2D.
Nous considérons ce second modèle.
II. Simulation et discussion des résultats
Aujourd'hui la simulation numérique occupe une place aussi importante que la théorie
et l'expérience. C'est la troisième voie qui complète ces deux dernières. Une des raisons du
développement rapide des méthodes de simulation est le fait que l'on étudie de plus en plus
des systèmes très complexes. La théorie ne peut, dans la plupart des cas, apporter des
réponses claires et satisfaisantes. Souvent, elle a recours à des approximations. La simulation
permet alors de tester la validité de ces approximations théoriques et de proposer des
mécanismes qui permettent à la théorie d'améliorer à son tour les modèles. De même, la
simulation numérique permet une compréhension quantitative avec des donnés
expérimentables. Les systèmes réels sont souvent complexes, mais beaucoup de cas, seul un
petit nombre de paramètres interviennent dans les propriétés du matériau étudié. C'est là que
la simulation est très utile: on peut faire des simulations pour identifier les ingrédients
essentiels qui sont à l'origine d'une propriété observée ou que l'on désire observer avant de
réaliser l'expérience [4].
En ce sens, les simulations sont considérées comme des "expériences numériques", elles sont
plus utilisées pour étudier les phénomènes critiques et les transitions de phase. Pour cette
raison, on choisi le modèle d'Anderson pour étudier les systèmes désordonnés.
46

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
II.1. Modèle d'Anderson (liaisons fortes)
La méthode des liaisons fortes pour modéliser les matériaux se trouve entre les méthodes
très coûteuses en temps de calcul telles que les méthodes ab-initio et les méthodes rapides
empiriques [3]. Elle a été introduite pendant les années 50 [2], mais c'est seulement depuis
une dizaine d'années, grâce à la monté en puissance des ordinateurs en particulier des
ordinateurs personnels, que la simulation de cette méthode devient populaire et disponible
dans l'étude des propriétés de la matière.
II.1.1. Formalisme
On considère un modèle d'Anderson, appliqué à un système électronique sans interactions
(interaction électron-électron et électron-phonon est négligeable) s'écrit comme:
H
=
∑
i
∑
ε i i + V i j
(III.1)
i
i,
j
i≠
j
ij
Les sites ( i , j)
forment un réseau de taille N = L × M , ε
i
sont les énergies de sites, sont
distribuées aléatoirement sur [ − W / 2, W / 2]
où W est le degré du désordre diagonal (voir
figure III.1).
Les
V
ij
sont les termes d’échange (énergies cinétiques) distribués aléatoirement sur
[ c − w/
2, c + w/
2] où w et c sont le degré et le centre du désordre non diagonal respectivement.
Figure.III.1 : Système 2D modeler par un ruban où chaque
site à une énergie de site aléatoire entre -W/2 et W/2.
47

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Le modèle d’Anderson est très utilisé pour le calcul des états propres et la densité d’état. La
figure III.2 et la figure III.3 montre la densité d’état en fonction de l’énergie pour le désordre
diagonal et non diagonal respectivement.
Les densités d’état pour un faible désordre diagonal (W=0.5) et non-diagonal (c=1) sont
identiques, par contre pour un fort désordre elles sont qualitativement différentes. Au centre
d’énergie (E=0) le pic est plus prononcé, ce qui est probablement un signature d’états
critiques [16].
0,06
(a)
densité d'état
0,05
0,04
0,03
0,02
w=0.5
w=1
w=2
w=3
w=5
w=10
w=15
0,01
0,00
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Energie
Figure.III.2 : Densité d’état en fonction de l’énergie pour différentes
valeurs du désordre diagonal.
0,030
0,025
(b)
c=0
c=2
------- c=1
densité d'état
0,020
0,015
0,010
0,005
E
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Energie
Figure.III.3 : Densité d’état en fonction de l’énergie pour
différentes valeurs du désordre non-diagonal.
48

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
II.1.2. Exposant de Lyapunov
Les exposants de Lyapunov doivent être déterminés en considérant le problème de la
matrice de transfert [7,12]:
⎡Ψ
⎢
⎣Ψ
n+
1
n
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎦ ⎢⎣
" −1
"
[ t ] − [ t ]
= T
n+
1
1
⎡Ψn
⎢
⎣Ψn−
1
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥⎦
−1
n+
1
0
⎡ψ
n
⎢
⎣Ψn
−1
⎤
⎥
⎦
(III.2)
Où T est la matrice de transfert qui caractérise l’évolution de la fonction d'onde d’une
extrémité à l’autre du système et les autres termes sont défini dans le chapitre II.
On reorthonorme par Gram-Schmidt la matrice de transfert on atteindre à l'équation:
TQ
0
= Q D R
= Q D R
(III.3)
avec Q
0
: une matrice orthogonale initiale.
Q: une matrice orthogonale.
D: une matrice diagonale avec des éléments positifs ;
⎛ D
⎜
⎜ 0
D = ⎜
M
⎜
⎝ 0
1
0
D
2
O
L
L
O
O
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
M
⎟
⎟
⎠
D M
(III.4)
R: une matrice triangulaire supérieure avec des éléments diagonaux qui sont égaux
à l’unité.
Les exposants de Lyapunov sont les éléments diagonaux de la matrice D;
49

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
avec n=1,……M
( n)
1
γ
L
= Dn
L ln
(III.5)
Le nombre des exposants de Lyapunov est inférieur ou égale à la taille du système considéré
et le petit exposant représente l'inverse de la longueur de localisation
(1) 1
γ
L
=
(III.6)
ξ
II.2. Résultats et discussion
Dans ce chapitre, nous utilisons le modèle de liaison forte (Tight-binding) pour
déterminer les exposants de Lyapunov à l’aide de la méthode de la matrice de transfert
(MMT). Une réalisation de 50000 échantillons avec une précision de 1% sur l’exposant de
Lyapunov est effectuée. Nous examinons en particulier:
• l'effet du désordre diagonal W et de la largeur M du système sur les états
électroniques des systèmes désordonnés à travers le comportement de la longueur de
localisation.
• la statistique de l'exposant de Lyapunov.
II.2.1. Effet du désordre
Nous présentons les résultats de l'effet du désordre diagonal W sur les propriétés de
transport quantique des systèmes désordonnés sans interactions. Nous rappelons que la
longueur de localisation est l’inverse du plus petit exposant de Lyapunov.
Dans la figure III.4, nous remarquons, lorsque le système est quasi bidimensionnel (M=32 et
128), que la longueur de localisation décroît de manière différente dans trois régions
différentes du désordre W ; Dans la région de faible désordre (W ≤ 3) la longueur de
localisation est comparable à la taille du système et décroît en puissance avec un exposant qui
semble tendre vers -2 (la dimension du système) lorsque M devient infini. Dans cette région,
l’électron se déplace dans les deux directions du système qui est considéré comme
bidimensionnel et la fonction d’onde est localisée en puissance. Dans la région de fort
50

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
désordre (W>20), la longueur de localisation devient très petite devant la taille du système et
l’électron est complètement localisé. Dans ce cas le désordre n’a pas d’influence sur l’état du
système. Dans la région intermédiaire (appelée « crossover » dans la figure III.4), la
décroissance de ζ devient plus prononcée pour de grandes valeurs de M. Cette région
représente le passage de la localisation en puissance à la localisation exponentielle. Elle
disparaît pour M petit (voir M=5 dans la figure III.4) où la localisation est exponentielle quel
que soit le désordre [6]. Dans ce cas, le transport devient quasi unidimensionnel.
Nous avons remarqué dans la figure III.4 que pour des désordres faibles et des largeurs M
suffisamment grandes, la longueur de localisation peut dépasser la largeur M ce qui indique
une délocalisation dans une direction de propagation. Mais les états ne sont pas pour autant
étendus. Une étude de l’effet de taille est nécessaire pour le voir.
100
ξ α W -1.8
crossover
M=128
fit de M=128 comme w -1.82
M=32
fit de M=32 comme w -1.79
M=5
fit de M=5 comme w -1.61
10
ζ
1
pas d'effet du désordre
0,1
Figure.III.4: Longueur de localisation ζ en fonction du désordre diagonal W
( V = 1) pour des largeurs différentes du système M=5, 32 et 128 au centre de
ij
1 10 100
W
bande E=0.
II.2.2. Effet de taille
Comme observé précédemment, il est nécessaire de voir l’effet de la largeur M pour
différents désordres. Un état étendu signifie que la longueur de localisation est plus grande
51

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
que la largeur quelle que soit cette largeur. Il faut souligner ici que lorsque M augmente on
passe d’un système unidimensionnel vers un système bidimensionnel.
La figure III.5 montre l’effet de la largeur du système M sur ζ pour différents désordres W,
au centre d'énergie E=0. On remarque que pour un faible désordre (W=1 et 3), une
augmentation de M nous fait passer d'un comportement 1D (pour M petit), avec localisation
exponentielle (ou forte) où ζ ne fluctue pas beaucoup, vers un comportement 2D (pour M
grand) avec de larges fluctuations de ζ, signature d'une localisation faible (ou en puissance).
Cette transition a lieu vers M=100. Notons, pour de faibles désordres une augmentation de ζ
en puissance avec M, et que pour W=1, La longueur de localisation semble rester plus grande
que la largeur du système même en l’augmentant, ce qui nous conduit à conclure que
probablement les états deviennent étendus, sauf s’il existe une taille pour laquelle ζ cesse
d’augmenter (ceci fera l’objet d’une investigation future). Pour de grands désordres (W=10 et
14) la longueur de localisation tend à saturer à une valeur constante, car elle est très petite
devant la taille du système. Cet ordre du désordre correspond à la 3 ème zone de la figure III.4,
où le désordre et la taille n’ont aucune influence sur l’état du système.
(a)
100
W=1
ξ=Μ
ζ
10
W=3
1
W=10
W=14
0,1
10 100
M
Figure.III.5: Longueur de localisation ζ en fonction de la taille du système M pour
un désordre diagonal à l’énergie E=0. W=1(carré vide), W=3 (carré plein), W=10
(cercle plein), W=14 (étoile). La ligne représente ζ=M.
52

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
II.2.3. Distribution de l'exposant de Lyapunov
On avoir vu l’effet du désordre W et de la largeur du système M sur la nature des états
électroniques à travers le comportement de la longueur de localisation, nous présentons
maintenant ces deux effets à travers le comportement statistique de l’exposant de Lyapunov
LE.
L’exposant de Lyapunov joue un rôle crucial dans l’étude des systèmes désordonnés, il
caractérise les états électroniques en permettant de connaitre la distribution spatiale des
fonctions d’onde qui sont responsables des propriétés du transport.
Nous avons simulé les systèmes au centre d'énergie E=0, désordre diagonal1 ≤ W ≤ 100 . Nous
avons pris pour le désordre non diagonal; le centre c=1 et le degré w=0 (c à d les termes
d’échanges (hopping) V = 1).
ij
II.2.3.a Effet de désordre et de taille
Toujours dans le but de déterminer la nature des états électroniques d’un système de
dimension entre 1et 2, les figures III.6, III.7 et III.8 montrent que :
-Le désordre peut localiser fortement comme il peut localiser faiblement les états de ce
système selon son degré.
-L’effet de taille apparaît en augmentant la largeur du système.
Système quasi-1D :
La figure III.6 montre la distribution des exposants de Lyapunov LEs d’un système de
petite largeur de bande (M=5) pour différentes degrés du désordre. On remarque plusieurs
pics ; chacun semble correspondre à un exposant qui représente un canal de propagation.
Comme la distribution de l’exposant de lyapunov 1D devrait être Gaussienne, donc les pics
ajustant bien une Gaussienne correspondent à des exposants de Lyapunov. De ce qui précède,
le pic correspondant au plus petit exposant est montré dans la figure insérée et la longueur de
localisation est autour de 11 unités de longueur arbitraire (supérieur à M) pour un désordre
W=1. Les états sont donc étendus. Ils sont localisés pour de plus grands désordres.
53

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
0,10
0,08
(a)
0,024
0,022
0,020
0,018
0,016
0,014
0,012
0,06
0,010
0,008
0,0900 0,0905 0,0910 0,0915 0,0920
p(γ)
0,04
R^2 = 0.98635
0,02
0,00
0,090 0,092 0,094 0,096 0,098 0,100
γ
0,12
0,10
(b)
0,12
0,10
0,08
0,08
0,06
p(γ)
0,06
0,04
0,04
1,3140 1,3145 1,3150 1,3155 1,3160
R^2 = 0.99772
0,02
0,00
1,31 1,32 1,33
γ
0,012
(c)
0,010
0,008
p(γ)
0,006
0,004
0,002
0,000
3,90 3,92
γ
Figure.III.6: Distribution des exposants de Lyapunov d'un système quasi-
1D (M=5), en utilisant un ajustement Gaussien, avec E=0, W=1(a),
W=5(b) et W=10(c).
54

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
R² est le coefficient de corrélation au carré, il mesure le rapport de dérivation par rapport à
l’erreur,
Notons que
⎧−1
≤ R ≤ 1
⎨
⎩R
= 1 fit
parfait
Ce résultat semble similaire aux résultats de K.Slevin et P.Markos [5,14].
Système quasi-2D
La figure III.7 et III.8 donnent le comportement statistique de l’exposant de Lyapunov LE
pour différentes degrés du désordre d’un système quasi-2D de largeur M=32 et M=128
respectivement.
55

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
0.049
(a)
0.042
0.035
0.028
p(γ)
0.021
0.014
0.007
0.000
0.0150 0.0153 0.0156 0.0159 0.0162 0.0165 0.0168 0.0171
γ
0.18
(b)
0.16
0.14
0.12
p(γ)
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.350 0.352 0.354 0.356 0.358 0.360 0.362 0.364 0.366 0.368 0.370
γ
0.035
(c)
0.030
0.025
0.020
p(γ)
0.015
0.010
0.005
2.182 2.183 2.184 2.185 2.186 2.187
γ
Figure.III.7: Distribution de LE d'un système quasi-2D (M=32) pour
différentes degré du désordre ; W=1(a), W=5(b) et W=10(c).
56

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
0.05
(a)
0.04
p(γ)
0.03
0.02
0.01
0.00
0.0039 0.0042 0.0045 0.0048
γ
0.06
(b)
0.05
0.04
p(γ)
0.03
0.02
0.01
0.00
0.163 0.164 0.165 0.166 0.167
γ
0.040
0.035
(c)
0.030
0.025
p(γ)
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90
γ
Figure.III.8: Distribution de LE d'un système quasi-2D
(M=128) pour différentes degré du désordre ; W=1(a),
57

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
On remarque que la distribution de cet exposant est beaucoup plus large et que la gaussienne
est mal ajustée. Nous utilisons donc une statistique plus généralisée qui présente la
décroissance en puissance de la distribution (Distribution de Lévy) avec un exposant µ avec :
p(
γ ) α γ
−(1+
µ )
⎧0
< µ < 2
: ⎨
⎩µ
> 2
divergence des moments
convergence ( distribution
gaussienne)
(III.7)
Dans ce cas le paramètre µ joue un rôle important pour distinguer les états fortement localisés
(1D) des états faiblement localisés (2D).
1000
100
µ
10
1
10 100
M
Figure.III.9 : Paramètre µ en fonction de la largeur du système pour
différentes valeurs du désordre. W=1(carré), W=5(cercle), W=10(triangle).
La figure III.9 montre le comportement du paramètre µ en fonction de la largeur du système
pour différents degrés du désordre. On remarque pour le désordre (W=5 et 10) que µ a une
valeur importante (µ>>2) où les fluctuations de l’exposant de Lyapunov convergent
(fluctuations finies) ce qui signifie que les états électroniques sont fortement localisés
quelque soit la taille du système.
58

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Par contre, on trouve une transition de la localisation exponentielle avec des exposants à
fluctuations finies à la localisation en puissance avec des exposants de lyapunov fluctuant
largement à faible désordre (W=1) et à la largeur M=300 avec µ est inférieur à 2.
Ce résultat peut être obtenu en considérant le simple paramètre d’échelle de l’exposant de
Lyapunov (voir figure III.10,11) et le comportement de l’erreur relative de l’exposant de
Lyapunov (voir figure III.12,13).
Le calcul de l’exposant de Lyapunov au-delà de la taille 300 nécessite un temps beaucoup
plus long (plus de 48 heures sur un Pentium IV). En effet les moyens informatiques que nous
disposons ne permettent pas d’aboutir à des résultats pour de grandes tailles.
II.2.3.b Simple paramètre d’échelle de l’exposant de Lyapunov
On définit la quantité sans dimension τ (simple paramètre d’échelle) [13,7,8 ,9] de
l’exposant de Lyapunov donné par[10,11] :
2
σ L
τ = (III.8)
γ
L
2
L étant la taille du système, σ et γ
L
étant la variance et la valeur moyenne de l’exposant de
Lyapunov respectivement.
A 1D l’hypothèse du simple paramètre d’échelle est invalide lorsque la longueur de
localisation est comparable à la taille du système et valide quand la longueur de localisation
2
est comparable au paramètre du réseau (désordre fort) et. En effet σ et
universellement [11].
γ
L
sont reliés
Slevin et al [5] ont défini à 2D le paramètre d’échelle τ pour le plus petit exposant de
Lyapunov par une fonction de K /ξ"
et M /ξ
⊥
avec M et ξ
"(
⊥)
étant respectivement la largeur
du système et la longueur de localisation dans la direction parallèle (perpendiculaire) de la
chaîne.
A la limite M / → 0 le système quasi-1D tend vers 1D.
ξ ⊥
59

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
2
En tenant compte que la dimension de γ L
est 1/M et que sa variance σ est 1/M 2 , nous
définissons la quantitéτ par :
2
σ M
τ = (III.9)
γ
L
La figure III.10 présente le comportement du simple paramètre d'échelle de l'exposant de
Lyapunov τ en fonction du désordre pour différentes valeurs de la largeur du système. On
remarque pour un système quasi-1D (M=5) que la validité de l'hypothèse du simple paramètre
d'échelle SPS apparaît où la longueur de localisation est comparable au paramètre du réseau.
Ce résultat semble similaire aux résultats obtenus par Y.Y.Zhang et al [11].
1
τ
0,1
0,01
1 10 100
W
Figure.III.10 : Le simple paramètre d’échelle en fonction de
désordre diagonal pour différentes largeurs du système.
M=5(étoile), M=32(carré) et M=128(triangle).
On remarque également pour un système quasi-2D (M=32) que τ est prés de l'unité à fort
désordre ceci indique que les fluctuations de l'exposant de Lyapunov sont compatible avec
l'hypothèse du SPS. Un travail récent de K.Slevin et al [5] sur les fluctuations de L'exposant
de Lyapunov des systèmes à 2D, montre que l'hypothèse du SPS est vérifiée.
60

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Par contre pour un système quasi-2D (M=128) on remarque qu'il y a une violation de
l'hypothèse du simple paramètre d'échelle au-delà de W∼16.
Les fluctuations de l'exposant de Lyapunov LE pour systèmes quasi-2D croît comme W 1/2
(τ α W 1/2 ) au-delà de W∼40. Cela est similaire au comportement dans les systèmes quasi-1D
où les fluctuations de LE croît comme W 1/2 .
La figure III.11 présente le comportement de τ en fonction de la largeur du système pour
différentes degrés du désordre. On voit que pour le désordre (W=1 et W=5) l’hypothèse du
SPS est valable ce qui indique que la longueur de localisation est comparable au paramètre du
réseau.
On remarque également au-delà de M∼180 à fort désordre (W=10) que le simple paramètre
d'échelle violé.
1
τ
0,1
0,01
10 100
M
Figure.III.11 : Le simple paramètre d’échelle en fonction de la
largeur du système pour désordre diagonal.W=1(carré),
W=5(cercle) et W=10(triangle).
Pour confirmer nos résultats, une vue des grandeurs physiques complémentaires est
essentielle.
61

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
II.2.3.c Fluctuations de l'exposant de Lyapunov
Autre grandeur physique est souvent utilisée dans notre travail en l'étude des systèmes
désordonnés, c'est l’erreur relative de l'exposant de Lyapunov. Cette grandeur permet de
déterminer les fluctuations de LE dans ces systèmes.
Dans la figure III.12 nous présentons le comportement de l’erreur relative de l'exposant de
Lyapunov en fonction du désordre pour différentes largeurs du système. On remarque pour un
faible désordre, lorsque le système est quasi-1D (M=5), que σ/γ est supérieur à la valeur de la
précision de nos calculs 0.001, ceci indique que le système ne fluctue pas beaucoup. On
constate pour cela, que les états électroniques sont fortement localisés.
Ce résultat est cohérent au résultat présenté dans la figure III.9 où le paramètre µ est supérieur
à 2.
0,1
σ / γ L
0,01
1E-3
pas d'effet du
désordre
1 10 100
W
Figure.III.12 : L’erreur relative σ/γ de l’exposant de Lyapunov en
fonction du désordre pour différentes largeurs du système.M=5(carré),
M=32(cercle), M=128(triangle).
Par contre, les moments de la distribution σ/γ et γ divergent pour les systèmes quasi-2D
(M=32 et 128) et prennent des valeurs plus grandes que la valeur de la précision de nos
résultats.
62

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Pour un fort désordre (W≥25) on remarque que l’erreur relative de l’exposant de Lyapunov
σ/γ converge quelque soit la largeur du système en atteignant la précision où le désordre n’a
aucun effet.
La figure III.13 montre le comportement de l’erreur relative de l’exposant de Lyapunov en
fonction de la largeur du système pour différentes valeurs du désordre. On remarque que pour
un faible désordre (W=1), une augmentation de M nous fait passer d’un système quasi-1D
(pour M petit), où σ/γ ne fluctue pas beaucoup, vers un système quasi-2D (pour M grand)
avec des fluctuations importantes de
σ / γ
L
causées par la distribution non gaussienne où
σ / γ L
α
M
, ceci indique que l’exposant de Lyapunov présente de larges fluctuations dans
les systèmes à 2D que dans les systèmes à 1D contrairement au résultat de Asada et al [15].
0,1
Fit de W=1 comme M 0,50
σ / γ L
0,01
1E-3
10 100
M
Figure.III.13 : L’erreur relative de l’exposant de Lyapunov
σ / γ en fonction de la largeur du système pour différentes
degrés du désordre.W=1(carré), W=5(cercle), W=10(triangle).
Pour le désordre (W=5 et 10) σ / γ
L
tend à saturer à une valeur constante car l’exposant de
Lyapunov ne fluctue pas beaucoup. Cet ordre du désordre correspond à la deuxième zone
dans la figure III.12, où le désordre et la taille n’ont aucune influence sur l’état du système.
Ces deux derniers résultats confirment ce qu’on a trouvé précédemment (voir figure III.4,5).
63

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
II.3. Conclusion
Au cours de ce travail, nous avons étudié la nature des états électroniques des
systèmes désordonnés sans interactions à température nulle. Pour cela nous avons utilisé le
modèle d'Anderson (Tight-binding) à l'aide de la méthode de la matrice de transfert (MMT).
Cette méthode permet de déterminer les exposants de Lyapunov LE d'un réseau (L×M) avec
L>>M, ce réseau peut être unidimensionnel (M→0), bidimensionnel (M→L) et entre 1D et
2D (M finie).
Nous nous sommes intéressés à l'exposant de Lyapunov minimum qui représente
l'inverse de la longueur de localisation. Nous avons examiné l'effet du désordre diagonal et de
la largeur du système sur la nature des états électroniques des systèmes désordonnés à travers
le comportement de la longueur de localisation, puis à travers le comportement statistique de
l'exposant de Lyapunov.
Dans un premier temps une décroissance suivant une loi de puissance de la longueur
de localisation ( ξ α W
−β
) est observée pour de faibles désordre dans les systèmes quasibidimensionnels
désordonnés.
Nous avons aussi montré, qu'il existe un effet de largeurs qui se manifeste en présence
du désordre faible car la longueur de localisation possède des valeurs plus grandes et croît
plus vite pour des grandes largeurs (système quasi-2D) que pour de petites largeurs (système
quasi-1D).
Dans un deuxième temps nous avons trouvé les mêmes résultats en analysant le
comportement statistique de l'exposant de Lyapunov à travers la distribution de Lévy et son
exposant µ. En effet les moments de la distribution convergent pour de petites valeurs de M et
divergent pour de grandes largeurs M.
Enfin Nous avons trouvé qu'il existe un effet de désordre et de largeur du système en
utilisant l'hypothèse du simple paramètre d'échelle de l'exposant de Lyapunov. Cette
hypothèse est vérifiée à des désordres et largeurs importants.
64

Chapitre III:
Caractérisation des exposants de Lyapunov d’un système de dimension entre 1D et 2D
Références bibliographiques III
[1] F.Bloch,Z.Phys.52,555(1928).
[2] P.W.Anderson,Phys.Rev.109,1493 (1958).
[3] C.M.Goringe,D.R.Bowler et E.Hernandez, Rep.Prog.Phys.60(1997) 1447-1512.
[4] Hung T.Diep, "physique de la matière condensée",DUNOD (février 2003).
[5] K.Slevin et al , Phys.Rev.B70,054201 (2004).
[6] E.Abrahams et al,Phys.Rev.Lett.42,673(1979).
[7] A.Mackinnon et B.Kramer,Phys B.cond.Matt53,1(1983).
[8] F.J.Wegner,Z.Phys.B25,327(1976).
[9] P.W.Anderson et al,Phys.Rev.B22,3519(1980).
[10] L.I.Deych et al,Phys.Rev.B68,174203(2003).
[11] Y.Y.Zhang et S-J.Xiong,Phys.Rev.B72,132202(2005).
[12] J.L.Pichard, G.Sarma, J.Phys.C14, L217 (1981).
[13] E.Abrahams et al, Phys.Rev.Lett.42,673 (1983).
[14] P.Markos et B.Kramer, Ann.Physik 2 (1993) 339-360.
[15] Y.Asada,K.Slevin,T.Ohtsuki et L.Deych, J.Phys.Soc.Jpn.Vol.72(2003) Suppl.A pp.173-
[16] M.Schreiber et al, Eur.Phys.J.B1, 29-38 (1998).
65

Annexe A
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
L’orthonormalisation de Gram-Schmidt consiste à former une base orthonormée à partir d’une
base quelconque.
La procédure la plus adaptée pour prendre un ensemble de n vecteurs
a ,......,
1
, a2
an
et obtenir
un ensemble de m vecteurs orthonormés
l’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
q ,.......,
1
, q2
qm
appartenant au même espace est
La dimension de l’ensemble orthonormé sera toujours inférieure à la dimension de l’ensemble
initiale c-à-d (m

Annexe B
Calcul des exposants de Lyapunov à l’aide de théorème d’Oseledec
Dans cette annexe nous donnons l’expression de l’exposant de Lyapunov LE en utilisant le
théorème d’Oseledec.
Pour un système quasi-1D de longueur L et de largeur M (L>>M) les fonctions d’onde
peuvent être calculées en résolvant l’équation de Schrödinger pour l’hamiltonien d’Anderson :
"
⊥
⊥
"
t
n+ 1 , m n+
1, m
= ( E − ε
n,
m
) ψ
n,
m
− tn,
m+
1ψ
n,
m+
1
− tn,
mψ
n,
m−1
− tn,
mψ
n−1,
m
ψ (B1)
Où
ψ est la fonction d’onde au site ( n , m)
,
n, m
t ,
représente l’élément d’échange de site
⊥
n m
( n , m)
au site ( n , m −1)
et t " n,m
représente l’élément d’échange de ( n − 1, m)
à ( n , m)
.
L’équation (B1) peut être écrite sous la forme matricielle suivante :
⎡ψ
n
⎢
⎣ψ
n
+ 1
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎦ ⎢⎣
" −1
"
[ t ] ( E − ε − H ) − [ t ]
n+
1
1
n
⊥
−1
"
n+
1
tn
0
⎤ ⎡Ψ
⎥ ⎢
⎥⎦
⎣Ψ
n
n−1
⎤
⎥ = T
⎦
n
⎡ψ
n
⎢
⎣ψ
n
−1
⎤
⎥
⎦
(B2)
Où
ψ = indique la fonction d’onde de tous les sites de la n ième couche,
T
n
( ψ
n, 1,
ψ
n,2
,...., ψ
n,
M
)
"
" " "
ε
n
= diag( ε
n, 1,
ε
n,2,.....,
ε
n,
M
) , t = diag(
t , t ,...., t ) la matrice diagonale des éléments
n
n,1
n,2
d’échanges reliant la couche n-1 avec la couche n et
n,
M
H
⊥
L’hamiltonien d’échange de la couche n.
L’évolution de la fonction d’onde d’une extrémité à l’autre du système est donnée par le
produit :
T
L
= T T ..........T L L−1 1
(B3)
D’après le théorème d’Oseledec [1] on a :
2L
Ω = lim ( T
+ T )
1/
(B4)
L→∞
67

Annexe B
Les exposants de Lyapunov sont obtenus à partir des valeurs propres de la matrice Ω
(1) (2)
( M )
{ υ , υ ,........, υ } tel que :
( i)
υ = exp[2γ
( M ) M ]
(B5)
i
D’où :
( i)
lnυ
γ
i
= (B6)
2 M
[1] V.I.Oseledec, Trans.Moscow Math.Soc.19, 197 (1968).
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