TH `ESE Simulations aux grandes échelles de l ... - cerfacs

Numéro d’ordre : 2616
THÈSE
présentée afin d’obtenir le titre de
DOCTEUR DE
L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE
DE TOULOUSE
Ecole doctorale :
Spécialité :
Directeur de thèse :
MEGEP
Dynamique des Fluides
Bénédicte CUENOT
Par M. Jacques LAVEDRINE
Simulations aux grandes échelles de l’écoulement diphasique
dans des modèles d’injecteur de moteurs aéronautiques
Soutenue le 2 Juin 2008 devant le jury composé de :
Julien REVEILLON Professeur à l’Université de Rouen Rapporteur
Iskender GOKALP Directeur de Recherches, ICARE, Orléans Rapporteur
Gérard LAVERGNE Professeur à l’ISAE, Toulouse Examinateur
Sébastien DUCRUIX Chargé de Recherches, EM2C, Paris Examinateur
Matthieu RULLAUD Docteur-ingénieur, SNECMA, Villaroche Invité
Bénédicte CUENOT Chargé de Recherches, CERFACS, Toulouse Directeur de Thèse
Réf. interne au CERFACS : TH/CFD/08/47

Table des matières
Remerciements
Nomenclature
Table des figures
V
VII
XI
Introduction 1
I Modélisation par la Simulation aux Grandes Echelles des écoulements diphasiques 17
1 Présentation de la méthode SGE appliquée aux écoulements diphasiques turbulents 23
1.1 Notions sur la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Turbulence et spectre de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Principe de la Simulations aux Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 La phase dispersée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 L’approche Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 L’approche Eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Comparaison des approches Euler-Euler et Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Description des sprays monodisperses via le modèle Euler-Euler 39
2.1 Les équations de la phase porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Les équations de la phase dispersée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Les modèles de sous-maille sur la phase liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Intégration de la polydispersion dans le modèle Euler-Euler 59
3.1 Ecriture de la fonction de densité de présence en polydisperse . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Dérivation des moments de la PDF de diamètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Modélisation des effets polydisperses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Modélisation de l’injection de carburant liquide 71
4.1 Atomisation d’un jet liquide cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

TABLE DES MATIÈRES
4.2 Atomisation d’une nappe liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Modélisation de l’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Décalage de la position axiale de la condition limite d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Construction du modèle empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Construction du modèle semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Validation du modèle semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Conclusion sur le modèle d’injection semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Prédiction des écoulements diphasiques : le code AVBP 97
5.1 La génération du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Discrétisation spatiale : la méthode Cell-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Schémas numériques dans AVBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Modèles de viscosité artificielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II Application à la configuration académique de Sommerfeld et Qiu (1991) 109
6 Présentation de la configuration 113
6.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Précédentes études de la configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Aspects numériques des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Organisation des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Présentation des résultats 127
7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire . . . . . . . . . . . . . 174
7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
III Application à la configuration prototype TLC SNECMA 195
8 Présentation des configurations du projet TLC 199
8.1 Le projet TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9 Simulation SGE de la configuration non confinée 211
9.1 Rappel des données expérimentales sur la configuration non confinée . . . . . . . . . . . . . 211
9.2 Aspects numériques des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
II

TABLE DES MATIÈRES
10 Influence du modèle d’injection 269
10.1 Données d’entrée pour la condition limite d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.2 Observations de l’écoulement liquide dans l’injecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3 Profils radiaux de vitesse moyenne : Influence du modèle d’injection . . . . . . . . . . . . . 275
10.4 Conclusion sur l’apport du modèle d’injection dans la configuration TLC NC . . . . . . . . 277
10.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Conclusion générale 279
Bibliographie 281
Annexes 293
A Forces s’exerçant sur une particule isolée 295
B Produits des collisions binaires de gouttes 301
C Résumé accepté à la conférence : ”26th AIAA Applied Aerodynamics Conference” 307
III

TABLE DES MATIÈRES
IV

Remerciements
Le Carré des Poètes
Aux quatre coins d’un modeste paradis,
Nous sommes pourtant tous réunis,
Afin qu’aucune question ne nous mette au tapis.
Souvent animés d’une mordante ironie,
La chaleur du foyer toujours nous ragaillardit.
Jacques Lavedrine, poète du Carré
Les remerciements d’une thèse, le seul endroit à mon sens où chacun peut se rendre compte qu’une
thèse est un peu la réalisation d’une multitude d’acteurs et non la propriété exclusive du seul doctorant.
Cette assertion est particulièrement vraie dans l’équipe Combustion du CERFACS (Centre Européen de Recherche
et de Formation Avancée en Calcul Scientifique) où la communication et l’échange d’informations
sont devenus un art de vivre. Le directeur de l’équipe, Thierry Poinsot, l’a si bien compris qu’il organise le
lundi matin une grande messe (pardon, une grande réunion !) afin que chacun puisse exprimer son opinion 1 ,
opinion qu’il accueille souvent d’une oreille bienveillante avant d’entamer une réplique qui peut devenir
culte.
Afin de n’oublier personne (je suis peut-être un rien présomptueux mais d’aucun me pardonnera cet excès
de confiance !), on va faire les choses dans l’ordre :
Je tiens à remercier les membres du jury qui ont bien voulu prendre un peu de leur temps afin d’examiner
mon travail de thèse. Un grand merci aux deux rapporteurs : Julien Réveillon & Iskender Gokalp pour la
clairvoyance et la justesse de leur analyse. Je remercie bien sûr le président du jury Gérard Lavergne pour
les informations prodiguées sur les techniques expérimentales. Mes remerciements vont enfin tout naturellement
à Sébastien Ducruix dont j’ai toujours apprécié la réactivité et la clarté des remarques et à Matthieu
Rullaud pour sa disponibilité et les précisions qu’il m’a données durant toute ma participation au projet TLC.
L’équipe Combustion ne serait rien sans quelques encadrants pour diriger la masse laborieuse des thésards.
Je remercie donc Thierry Poinsot, directeur de l’équipe CFD, pour sa franchise et l’acuité de ses remarques.
Je remercie ma directrice de thèse Bénédicte Cuenot pour l’éclairage scientifique qu’elle a donné à mes
travaux et les multiples corrections qu’elle a apportées au manuscrit. Enfin, Laurent Gicquel mérite toute ma
gratitude pour son aide quant à l’interprétation physique des phénomènes, notamment dans la configuration
de Sommerfeld & Qiu [177], et ses connaissances sur la méthode SGE.
Le projet TLC m’a amené à interagir avec des intervenants de divers horizons et je tiens ici à leur rendre
1 Opinion, doléance ou réclamation ? Les avis divergent sur la question.

REMERCIEMENTS
hommage. Je remercie Carmen Jimenez qui nous a aidé très efficacement dans la réalisation des calculs SGE
sur la configuration confinée. Concernant la caractérisation expérimentale de ces configurations, Francis
Bisme et Renaud Lecourt nous ont fourni un grand nombre de mesures sur l’écoulement diphasique dans
chaque configuration de l’injecteur TLC SNECMA, j’ai apprécié la qualité de nos échanges. Je remercie
enfin Thomas Noel et Matthieu Rullaud pour leur réactivité et leur engagement durant tout l’avancement du
projet TLC au CERFACS. Je profite de l’occasion pour encourager Félix Jaegle qui reprend les calculs sur
la configuration confinée en Lagrangien.
Je voudrais aussi remercier l’ensemble des thésards qui se sont succédé au CERFACS durant mes quelques
années de thèse :
Dans l’équipe diphasique, je tiens à remercier les ”anciens” : Jean-Baptiste Mossa, Stéphane Pascaud,
Matthieu Boileau et Eléonore Riber car ils ont été les premiers à utiliser et améliorer au quotidien le code
diphasique initié par André Kaufmann. Parmi ceux qui m’ont précédé, ma gratitude se porte aussi vers Alois
Sengissen et Sébastien Roux qui m’ont aidé lors de mes premières déboires sur CFD-GEOM et CentaurSoft,
Laurent Benoit pour ses explications abondantes sur le code AVSP et Gabriel Staffelbach (alias Pablo) pour
sa patience et son écoute au quotidien ainsi qu’un intérêt partagé pour le jeu vidéo sur PC (merci de m’avoir
fait découvrir ce superbe jeu qu’est Supreme Commander !). Je ne veux pas non plus oublier Marta Garcia
sans qui ma bibliographie n’aurait pas sa forme actuelle.
Je voudrais saluer ici les doctorants qui ont commencé vers la même époque que moi : Guillaume Boudier,
Florent Duchaine, Nicolas Lamarque, Simon Mendez et un peu avant nous, Mauro Porta. Chacun d’entre
vous a toujours accepté de partager un peu de ses connaissances lorsque j’étais ignorant ou à court d’idée sur
un sujet scientifique ou pas. A cela s’ajoutent les nombreuses discussions à bâtons rompus que nous avons
eues, discussions qui m’ont toujours confirmé que je faisais partie d’une équipe dynamique et soudée.
Enfin, je tiens à encourager tous les doctorants qui vont bientôt passer ou qui ont encore un peu de temps
pour préparer leur thèse. Je pense en particulier à l’équipe des surfers de choc (Bon, je dois le reconnaître,
on était pas les premiers à être opérationnels mais je ne pouvais pas rater les premières chutes de Thomas
ou d’Anthony sur les pistes ou lors des remontées en tire-fesse 2 même si je suis mal placé pour parler de
chute.) : Anthony Roux, Thomas Schmitt et Claude Sensiau.
Je remercie l’ensemble administratif du CERFACS ainsi que la team CSG (Computer Support Group) car ils
sont définitivement des éléments clés dans le bon fonctionnement des équipes du CERFACS. Honnêtement,
je ne sais pas trop ce que l’on ferait sans vous.
Un mot sur le Carré des Poètes 3 , bureau que j’ai eu la chance et l’immense honneur de partager avec
trois personnalités très attachantes : Guillaume Boudier, spécialiste officiel des cris d’animaux : cela va du
dindon au gorille en passant par le cheval, Nicolas Lamarque, preuve vivante que la sagesse n’attend pas
le nombre des années (Je sais, j’en rajoute un peu beaucoup là...), et Claude Sensiau, le pape de l’acoustique,
l’empereur de l’impédance (historiquement, ces deux dernières dénominations sont des citations
de Thierry.). Votre bonne humeur et votre vivacité d’esprit ont coloré mon travail au quotidien. Un grand
MERCI à vous !
Last but not least, je remercie mon club de badminton pour m’avoir changé les idées lors de la rédaction du
manuscrit notamment.
2 OK, je pense surtout à Anthony là... Au fait, pas la peine de secouer la tête, Anthony, on a des photos ! ! !
3 La trouvaille du nom revient à Nico.
VI

Nomenclature
Lettres romaines
ṁ
C
N
T
A
F
H
N p
R
R ii
W p
A P
Débit massique
Terme collisionnel
Ensemble des entiers naturels
Terme de flux décorrélé polydisperse
Matrice Jacobienne du tenseur des flux
Tenseur des flux
Réalisation d’une phase de l’écoulement
fluide
Nombre de réalisations particulaires
Constante des gaz parfaits massique
Fonction d’autocorrélation
Fonction particulaire statistique
Aire de passage des conduits tangentiaux
A air core Aire du coeur d’air
A orifice Aire de l’orifice d’atomisation
c
c
C D
C d
C K
C S
C w
c p,k
C p,S
C p,Y
Vitesse dans l’espace des phases
Vitesse du son
Coefficient de traînée aérodynamique
Coefficient de décharge
Constante de Kolmogorov
Constante de Smagorinsky
Constante du modèle WALE
Capacité calorifique massique à pression
constante
Constante de Smagorinsky dans le modèle
mixte
Constante de Yoshizawa dans le modèle
mixte
C SF
Constante du modèle de Smagorinsky filtré
c v,k Capacité calorifique massique à volume
constant
D
d
D k
D S
D S
d St
E
E
e s
F
f
f n
f p
G
G T
G u
g ij
h s
i
J
J k
k
K γ
K e
Diamètre moyen
Diamètre
Coefficient de diffusion de l’espèce k
Diamètre de la chambre de swirl d’un atomiseur
simplex
Diamètre des conduits tangentiaux d’un atomiseur
simplex
Diamètre fictif de Stokes
Energie massique totale
Spectre d’énergie cinétique turbulente
Energie massique sensible
Force
Facteur correctif dans la loi de traînée
n ième fréquence propre acoustique
Fonction de densité de présence
Opérateur de filtrage
Distribution gaussienne sur la température
Distribution gaussienne sur la vitesse
Partie irrotationnelle du tenseur des contraintes
Enthalpie massique sensible
Imaginaire pur de module unitaire
Flux axial de quantité de mouvement axial
Flux diffusif de l’espèce k
Nombre d’onde
Approximation analytique à l’ordre γ
Taux d’entraînement du gaz par le spray

NOMENCLATURE
L
l t
L axial
L CT RZ
m
N d
n d
n p
P
Q
Q
q
Q γ
R
r
r
r 0
r α
r CL inj
S
S ij
S inj
T
t
t
T E
T R
t int
u ∞
Longueur caractéristique
Echelle intégrale
Distance entre l’orifice d’atomisation et la
CL d’injection
Longueur de la CTRZ
Masse
Distribution log-normale sur le diamètre
Nombre de dimensions spatiales
Nombre volumique de particules
Pression
Critère de détection des structures turbulentes
Transfert de chaleur
Transfert de chaleur par conduction et par
convection
Moment d’ordre γ de la PDF de diamètre
Rayon géométrique
Constante des gaz parfaits molaire
Coordonnée radiale
Rayon de l’orifice d’atomisation
Rayon correspondant à un pic de fraction volumique
de liquide
Rayon de la CL d’injection
Terme source
Tenseur des vitesses de déformation
Surface de la CL d’injection
Température
Epaisseur du film liquide
Variable temporelle
Temps de vie d’un tourbillon
Temps de résidence d’une particule dans un
tourbillon
Temps de convection des particules dans la
CTRZ
Vitesse consigne des gouttes inertielles
u i
u p avg
u ps
V c
i
V Ωj
W k
X
X
x i
X k
Y
Y k
Z
Z
n
R
w
Composante i du vecteur vitesse
Vitesse moyenne dans la CTRZ
Vitesse au point de stagnation amont
Vitesse de correction
Volume de la cellule
Masse molaire de l’espèce k
Coordonnée axiale
Facteur de contraction
Coordonnée i dans un repère spatial cartésien
Fraction molaire de l’espèce k
Coordonnée tangentielle
Fraction massique de l’espèce k
Coordonnée tangentielle
Impédance acoustique
Normale sortante
Résidu
Vecteur des variables conservatives
Lettres grecques
α
β
χ
δ ˘R l,ij
δ ˘S l,ij
δΩ
δθ l
∆t
∆
∆
δ
δ ij
ɛ
η K
Fraction volumique
Diamètre dans l’espace des phases
Fonction indicatrice de phase
Tenseur des vitesses particulaires
Tenseur du 3 ième moment des vitesses particulaire
Surface du volume de contrôle
Energie du mouvement décorrélé
Pas de temps
Longueur de maille caractéristique
Opérateur de gradient
Fonction de Dirac
Symbole de Kronecker
Dissipation volumique d’énergie
Echelle de Kolmogorov
VIII

Nomenclature
Γ
Circulation
P r
Nombre de Prandtl
γ
Coefficient polytropique du mélange
Re
Nombre de Reynolds
γ
λ
Ordre du moment de la PDF de diamètre
Conductivité thermique
µ Masse dans l’espace des phases
µ Viscosité dynamique
ν
Ω
ω
φ
ψ
ρ
Σ p
τ f
τ p
τ s
τ conv
τ f rot
τ ij
τ sep
θ
̂σ
ζ
ζ C Ω j
ζ J Ω j
σ p
σ r
σ
Viscosité cinématique
Volume de contrôle
Vitesse angulaire de rotation
Transformée de Fourier des corrélations
doubles en vitesse
Fonction particulaire
Masse volumique
Moyenne statistique de la densité de surface
particulaire
Temps de convection dans le fluide porteur
Temps de Stokes particulaire
Temps de convection dans le jet primaire
Temps caractéristique des gouttes à diamètre
d St
Temps de rotation dans le fluide porteur
Tenseur des contraintes de Reynolds
Temps de séparation des particules
Demi angle du spray
Variance de la distribution de diamètre
Température dans l’espace des phases
Senseur de Colin
Senseur de Jameson
Densité de surface particulaire
Facteur relatif à l’épaisseur du film liquide
Tension superficielle
Nombres adimensionnels
S
Sc
St
W e
Nombre de Swirl
Nombre de Schmidt
Nombre de Stokes
Nombre de Weber
Opérations de moyenne/filtrage
. ′ Grandeur fluctuante (Filtrage de Reynolds)
. ′′ Grandeur fluctuante (Filtrage de Favre)
< . > Moyenne temporelle
˘. Filtrage test dans l’identité de Germano
˘. Grandeur mésoscopique (corrélée)
δ. Grandeur décorrélée complémentaire de la
grandeur mésoscopique
〈.〉 l Moyenne statistique en masse
. Filtrage de Reynolds
̂. Filtrage de Favre (sur les particules)
̂. Grandeur acoustique indépendante du temps
dans l’hypothèse d’ondes harmoniques
˜. Filtrage de Favre (sur le gaz)
{.} l Moyenne statistique en nombre
Indices
0 Marque une grandeur moyenne acoustique
1 Marque une grandeur fluctuante acoustique
φ
θ
atom
ax
cell
Relatif à la phase φ
Relatif à la composante azimutale
Relatif à l’intérieur de l’atomiseur
Marque une composante axiale
Relatif à une cellule du maillage
CL inj Relatif à la condition limite d’injection
crit
e
Relatif à une valeur critique
Relatif à l’entrainement d’air
M
Nombre de Mach
g
Relatif au gaz
Oh
Nombre d’Ohnesorge
K
Relatif à l’échelle de Kolmogorov
IX

NOMENCLATURE
k
l
o
p
rad
ref
rel
Relatif à l’espèce chimique k
Relatif au spray de gouttes
Relatif à l’orifice d’atomisation
Relatif à une particule ou une goutte
Marque une composante radiale
Relatif à une valeur de référence
Marque l’écart entre les deux phases
RUM Relatif au mouvement décorrélé
t
tan
Exposants
(k)
∗
c
m
Relatif à une grandeur turbulente
Marque une composante tangentielle ou azimutale
Désigne la particule (k)
Marque une grandeur adimensionnée
Relatif à une correction
Relatif à une grandeur molaire
NonV isq Marque les termes non visqueux
RMS Marque une grandeur fluctuante RMS
t
V isq
Abréviations
CFD
CL
CRZ
Relatif à une grandeur turbulente
Marque les termes visqueux
Computational Fluid Dynamics
Condition Limite
Corner Recirculation Zone
CTRZ Central Toroidal Recirculation Zone
DNS
DPF
Direct Numerical Simulation
Discrete Probability Function
DQMOM Direct Quadrature Method of Moments
DSP
FDP
FFT
FV
ILES
Densité Spectrale de Puissance
Fonction de Densité de Présence
Fast Fourier Transform
Finite Volume
Implicit Large Eddy Simulation
LDA
LDI
LES
LIF
Laser Doppler Anemometry
Lean Direct Injection
Large Eddy Simulation
Laser-Induced Fluorescence
LODI Locally One-Dimensional and Inviscid
LP
LPP
LTO
LW
ME
Lean Premixed
Lean Premixed Prevaporized
Landing and Take-Off
Lax-Wendroff
Maximum d’Entropie
NSCBC Navier-Stokes Characteristic Boundary
Conditions
PDA
PDF
PIV
PVC
Phase Doppler Anemometry
Probability Density Function
Particle Image Velocimetry
Precessing Vortex Core
RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes
RFG
RMS
RUE
RUM
SGE
SGS
SMD
SND
Random Flow Generation
Root Mean Square
Random Uncorrelated Energy
Random Uncorrelated Motion
Simulation aux Grandes Echelles
Sub-Grid Scale
Sauter Mean Diameter
Simulation Numérique Directe
TARS Triple Annular Research Swirler
THI
TLC
TTG
Turbulence Homogène et Isotrope
Towards Lean Combustion
Two-step Taylor Galerkin
X

Table des figures
1 Raffinerie de pétrole brut (Feyzin, FRANCE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Turbine à gaz (Illustration SIEMENS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Tourbillonneur académique sans expansion du tube de test (extrait de Leibovich [101]). . . . 5
4 Cartographie (Re,x/R) des différents régimes de vortex breakdown (adapté de Kurosaka
et al. [93]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Schéma d’un tourbillonneur à expansion brusque dédié à l’étude du PVC (tiré de Anacleto
et al. [3]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Phénomènes mis en jeu dans un tourbillonneur à expansion brusque. On notera que la combinaison
de tous ces phénomènes est généralement observée pour des écoulements à S > S crit . 8
7 Structures associées au PVC et visualisation du PVC. La visualisation est obtenue par
éclairage de particules d’aluminium (tiré de Anacleto et al. [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Les deux principaux types de tourbillonneurs : axial et radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 Phénoménologie du spray en sortie d’atomiseur (adapté de la présentation de M. Herrmann
au Summer Programm 2006 du CTR - Stanford, USA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 Schéma d’un atomiseur ”plain-orifice”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11 Schéma d’un atomiseur simplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12 Schéma d’un atomiseur airblast ”plain-jet”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13 Schéma d’un atomiseur airblast à film liquide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Ombroscopie d’une couche de mélange hélium/azote tirée des expériences de Brown &
Roshko [23]. L’augmentation du nombre de Reynolds favorise l’apparition d’échelles de
plus en plus fines sans affecter notablement les grandes échelles. . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Comparaisons des données expérimentales compilées originellement par Chapman [28]
et complétées par Saddoughi & Veeravalli [155] avec le spectre modèle de Kolmogorov
(Eq. 1.14) pour des nombres de Reynolds variant de 23 à 3180. Les nombres à la fin de
chaque référence sont les nombres de Reynolds associés aux écoulements considérés. . . . . 28
1.3 Spectre idéalisé de la turbulence et domaines d’influence des approches SND, SGE et RANS. 30
1.4 Compilation de données expérimentales sur l’influence du rapport (d p /l t ) sur l’intensité
turbulente de l’écoulement de gaz (tiré de Gore & Crowe [66]). . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Illustration des effets du nombre de Stokes sur la trajectoire de particules (trait pointillé)
traversant une couche de mélange (trait plein) (adapté de Crowe et al. [37]). . . . . . . . . . 32
1.6 Cartographie suggérée par Elghobashi & Truesdell [51] concernant la modulation de turbulence
du fluide porteur par la phase dispersée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

TABLE DES FIGURES
2.1 Décomposition de la vitesse particulaire u p en une vitesse mésoscopique ŭ l et une vitesse
décorrélée δu p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Influence des variations de d 00 et ˆσ sur la loi log-normale (adapté de Babinsky & Sojka [7]). 61
3.2 Forme de la vitesse conditionnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Flux décorrélés polydisperses dans un nuage fictif de gouttes et représentation de leurs effets
via les vitesses moyennes (adapté de Mossa [124]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1 Atomisation de Rayleigh (haut : rupture du jet idéalisé ; bas : rupture du jet réel (photographie
de Rayleigh (Rayleigh [145]))). On remarquera que la rupture du jet réel fait aussi
intervenir de minuscules gouttes de diamètre très inférieur au diamètre du jet initial, appelées
gouttes satellites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Perturbations à la surface de la colonne liquide (gauche : Modèle de Reitz & Bracco [147] ;
droite : Jet liquide réel soufflé par de l’air (tiré de Marmottant [112])). . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Cartographie des régimes d’atomisation dans le plan (Re,Oh) (adapté de Lefebvre [98]). . . 76
4.4 Les 3 régimes d’atomisation de la nappe liquide : gauche : atomisation en bordure (photo
extraite de Bremond [22]) ; milieu : atomisation par ondulation (photo extraite de Van Dyke
[191]) ; droite : atomisation par perforation (photo extraite de Dombrowski & Fraser [46]). . 76
4.5 Position de la condition limite d’injection par rapport à la position de l’orifice d’atomisation. 78
4.6 Atomiseur pressurisé avec swirl de type simplex (gauche : schéma de principe avec les
dimensions caractéristiques ; droite : photo d’un atomiseur simplex expérimental en fonctionnement
(extrait de Jeng et al. [87])). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Profils des quantités utilisées par le modèle semi-empirique dans la chambre de swirl de
l’atomiseur, à l’orifice d’atomisation et sur la CL d’injection. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Schéma synthétique du fonctionnement du modèle semi-empirique. . . . . . . . . . . . . . 91
4.9 Evolution temporelle du profil normal des vitesses axiales de chaque phase normalisées
par la vitesse initiale des particules (trait plein : vitesse du gaz ; trait pointillé : vitesse des
particules) (Cas (St = 0.26, α p = 1.4 10 −3 ) tiré de Vermorel [193]). . . . . . . . . . . . . . . 94
4.10 Evolution du taux d’entraînement de gaz K e avec la distance à l’orifice d’atomisation dans
un spray conique creux (□ : mesures de Arbeau [5] ; trait avec ○ : modèle d’injection ; trait
avec △ : modèle d’injection corrigé). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Front d’avancement sur un cas 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Le critère de triangulation de Delauney en 2D (gauche : critère vérifié ; droite : critère non
vérifié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Raffinement localisé dans le maillage non structuré de la configuration TLC NC. . . . . . . 99
5.4 Définition des normales S i aux noeuds i sur une cellule triangulaire. On remarquera que
S 1 = −(S 2 + S 3 ) par construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Vue d’ensemble et dimensions du banc
expérimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des plans de coupe expérimentaux. 115
6.3 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Distribution expérimentale en nombre et en
volume des tailles de particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
XII

TABLE DES FIGURES
6.4 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - haut : Vue gobale du maillage ; bas : Coupe
médiane verticale avec détails du maillage dans l’injecteur et la chambre de test. . . . . . . . 121
6.5 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des conditions aux limites. . . . . 121
6.6 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Histogrammes : Distribution expérimentale en
nombre des tailles de particule ; trait avec symbole : Distribution analytique en nombre des
tailles de particule (loi log-normale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ de vitesse axiale gazeuse instantanée
(a. coupe transverse (Y=0) avec les 8 coupes axiales des stations de mesure ; b. les 8 coupes
axiales). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité gazeuse instantanée à
4000s −1 coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale). . . . . . . . . . 129
7.3 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité axiale gazeuse instantanée
à 4000s −1 coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale). . . . . . 129
7.4 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité azimutale gazeuse instantanée
à 4000s −1 coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale). . . . 130
7.5 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de critère Q coloriée par le rayon
(gauche : vue transverse ; droite : vue axiale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale moyenne < u g,x >
le long de l’axe central (symboles : mesures expérimentales ; traits plein : calcul M45 ; trait
pointillé : calcul de Apte et al. [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.7 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale fluctuante moyenne
u RMS
g,x le long de l’axe central (symboles : mesures expérimentales ; traits plein : calcul
M45 ; trait pointillé : calcul de Apte et al. [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.8 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Topologie de l’écoulement de gaz en sortie
d’injecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.9 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale (coupe transverse
en (Z = 0)) avec une iso-ligne de vitesse axiale nulle en blanc. . . . . . . . . . . . . . 133
7.10 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale fluctuante
(coupe transverse en (Z = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.11 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u g,x > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).135
7.12 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse azimutale moyenne
< u g,θ > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul
SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.13 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse radiale moyenne
< u g,r > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul
SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.14 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale fluctuante
u RMS
g,x aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein :
calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.15 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
fluctuante u RMS
g,θ
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein :
calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
XIII

TABLE DES FIGURES
7.16 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale fluctuante
u RMS
g,r aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein :
calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.17 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantanés de fraction volumique de
particules au sein du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul à 30µm ; milieu :
calcul à 45µm ; bas : calcul à 60µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.18 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantanés de vitesses particulaire
et gazeuse en coupe transverse (Y = 0) (a. champ gazeux ; b. champ particulaire du calcul
M30 ; c. champ particulaire du calcul M45 ; d. champ particulaire du calcul M60). . . . . . . 141
7.19 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de fraction volumique de
particules au sein du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul M30 ; milieu :
calcul M45 ; bas : calcul M60). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.20 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de nombres de Reynolds particulaires
axiaux en coupe transverse (Y = 0) (a. calcul M30 ; b. calcul M45 ; c. calcul M60). 143
7.21 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de traînée axiale en coupe
transverse (Y = 0) (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60). . . . . . . . . 144
7.22 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Diminution de la vitesse axiale moyenne des
particules le long de l’axe central dans la CTRZ (—○— : calcul M30 ; —□— : calcul M45 ;
—△— : calcul M60). L’abscisse (X = 0) correspond ici au point de stagnation amont de la
CTRZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.23 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Pseudo-lignes de courant dans la coupe transverse
(Y = 0) pour chaque calcul SGE monodisperse. Les pseudo-lignes de courant sont
extraites à partir de coupes transverses de champs moyens et débutent à la condition d’injection
primaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.24 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Lignes de courant dans le jet primaire puis dans
la chambre de test (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60). . . . . . . . . 150
7.25 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité des vitesses axiales
moyennes résolues de chaque phase dans la CTRZ (a. calcul M30 ; b. calcul M45 ; c. calcul
M60) - 105000 échantillons ± 5% dans les 3 calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.26 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 30 microns ; trait
plein : calcul M30). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.27 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 45 microns ; trait
plein : calcul M45). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.28 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 60 microns ; trait
plein : calcul M60). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.29 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante
u RMS
l,x
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 30 microns ; trait
plein : calcul M30). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.30 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante
u RMS
l,x
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 45 microns ; trait
plein : calcul M45). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
XIV

TABLE DES FIGURES
7.31 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante
u RMS
l,x
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 60 microns ; trait
plein : calcul M60). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.32 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne aux 8
stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures
à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.33 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse azimutale moyenne
aux 8 stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ :
mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.34 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse radiale moyenne aux
8 stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ :
mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.35 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - a. Profil de vitesse axiale des particules à 45
microns le long de l’axe central (—□— : calcul M45 ; —○— : mesures à 45 microns) ;
b. Traînée axiale des particules à 45 microns le long de l’axe central (- - - - : calcul M45 ;
—○— : mesures à 45 microns). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.36 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale fluctuante
aux 8 stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ;
□ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . . . . . 163
7.37 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
fluctuante aux 8 stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul
M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . 164
7.38 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale fluctuante
aux 8 stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ;
□ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ; △ : mesures à 60 µm). . . . . . . . . . . . . . 165
7.39 Rapport de l’énergie cinétique particulaire corrélée sur l’énergie cinétique particulaire totale
pour 3 nombres de Stokes (+ : St = 0.1625 ; △ : St = 0.65 ; ○ : St = 2.60) en fonction de y +
(Calcul de Vance et al. [192] sans les collisions inter-particules). . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.40 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de la corrélation des vitesses
axiales fluctuantes de chaque phase 〈ŭ ′ p,axial u′ g,axial 〉 l (a. : calcul M30 ; b. : calcul M45 ; c. :
calcul M60). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.41 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse
axiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante
corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . . . 169
7.42 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse
azimutale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . 169
7.43 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse
radiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)) . . . . . . . . . . . . . 170
7.44 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse
axiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante
corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . . . 170
XV

TABLE DES FIGURES
7.45 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse
azimutale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . 171
7.46 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse
radiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)) . . . . . . . . . . . . . 171
7.47 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse
axiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante
corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . . . 172
7.48 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse
azimutale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)). . . . . . . . . . . . . 172
7.49 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse
radiale fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse
fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)) . . . . . . . . . . . . . 173
7.50 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité en nombre et en masse
des diamètres moyens D 10 dans le calcul polydisperse P1 (haut : dans la CTRZ ; bas : dans
le jet swirlé). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.51 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité en nombre des vitesses
axiales particulaires dans les calculs monodisperses M30 et M45 et le calcul polydisperse
P1 (haut : particules à 30µm ; bas : particules à 45µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.52 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (— : calcul monodisperse M30 ; — — : calcul polydisperse
P1 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures globales polydisperses). . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.53 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (— : calcul monodisperse M45 ; — — : calcul polydisperse
P1 ; □ : mesures à 45 µm ; ○ : mesures globales polydisperses). . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.54 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne <
u l,x > aux 8 stations de mesure (— : calcul monodisperse M60 ; — — : calcul polydisperse
P1 ; □ : mesures à 60 µm ; ○ : mesures globales polydisperses). . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.55 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profil spatial de u ∞ appliqué dans les calculs
P1 et P2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.56 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de diamètre D 10 aux
8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ =
12m/s ; trait fin avec triangles : calcul SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE
à u ∞ = ŭ p ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.57 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale aux
8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ =
12m/s ; trait fin avec triangles : calcul SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE
à u ∞ = ŭ p ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.58 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞
= 12m/s ; trait fin avec triangles : calcul SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul
SGE à u ∞ = ŭ p ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
XVI

TABLE DES FIGURES
7.59 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale aux
8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ =
12m/s ; trait fin avec triangles : calcul SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE
à u ∞ = ŭ p ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.60 Effets d’un changement de τ sep sur la vitesse conditionnée des particules. . . . . . . . . . . 188
7.61 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de diamètre moyen en
nombre D 10 aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul
SGE avec τ sep = 7ms ; trait fin avec triangles : calcul SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec
losanges : calcul SGE avec τ sep = 50ms). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.62 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep =
7ms ; trait fin avec triangles : calcul SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul
SGE avec τ sep = 50ms). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.63 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec
τ sep = 7ms ; trait fin avec triangles : calcul SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges :
calcul SGE avec τ sep = 50ms). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.64 Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep =
7ms ; trait fin avec triangles : calcul SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul
SGE avec τ sep = 50ms). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.1 Formation des polluants en fonction de la charge du moteur. A charge très réduite, la combustion
incomplète produit du CO et des hydrocarbures imbrûlés tandis qu’à forte charge, la
formation de NOx et de suies est favorisée par les très hautes températures du milieu réactif. 200
8.2 Configuration TLC SNECMA - Schéma de l’injecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3 Configuration TLC SNECMA - Ecorché de l’injecteur comprenant le détail des flux d’air
dans le dispositif d’injection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Configuration TLC SNECMA - Localisations des deux systèmes d’amenée de carburant
dans l’injecteur. Pour des raisons de confidentialité, un seul trou du système d’injection
Multi-Points est visible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5 Configuration TLC SNECMA - Schéma de la configuration non confinée. . . . . . . . . . . 203
8.6 Configuration TLC SNECMA - Dispositifs de mesure montés sur le banc CAPITOL (photo
ONERA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.7 Configuration TLC SNECMA - Dispositif de mesure LDA monté sur le banc TOULOUSE
(photo ONERA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.8 Configuration TLC SNECMA - Schéma de la configuration confinée. . . . . . . . . . . . . 205
8.9 Configuration TLC SNECMA - Banc expérimental du centre ONERA de Fauga-Mauzac
(photo ONERA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.10 Configuration TLC SNECMA - Mesures de la distribution volumique du spray (photo
ONERA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.11 Schéma du dispositif optique d’un instrument Malvern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.12 Principe de la technique LDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.13 Principe de la technique PDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
XVII

TABLE DES FIGURES
9.1 Configuration TLC NC - Position des coupes de mesures expérimentales (seules les traversées
verticales sont visibles sur la figure). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.2 Configuration TLC NC - Localisation des simplifications géométriques. . . . . . . . . . . . 213
9.3 Configuration TLC NC - Vue gobale du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.4 Configuration TLC NC - Coupe médiane verticale avec détails du maillage dans le plenum
et l’injecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.5 Configuration TLC NC - Présentation des conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.6 Configuration TLC NC - Champ de vitesse axiale instantanée en coupe transverse (Y = 0). . 220
9.7 Configuration TLC NC - Champ de vorticité instantanée en coupe transverse (Y = 0). . . . . 220
9.8 Configuration TLC NC - Champ de vitesse azimutale instantanée en coupe transverse (Y = 0).221
9.9 Configuration TLC NC - Isosurface de vitesse azimutale instantanée à -20 m/s colorée par
la distance radiale à l’axe central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.10 Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant rapportées au plan (Y = 0) et extraites
de champs SGE instantanés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.11 Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant rapportées aux plans (X = -24mm),(X =
-20mm), (X = -12mm), (X = -2mm) et extraites d’un champ SGE instantané. Les lignes de
courant sur le profil à X = -20mm montrent clairement le décalage du PVC par rapport à
l’axe central de l’injecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.12 Configuration TLC NC - Isosurfaces de critère Q pour 3 instants représentatifs d’un quart
de période de rotation du PVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.13 Configuration TLC NC - Champ de vitesse axiale instantanée du gaz (en jaune : isosurface
de vitesse axiale nulle illustrant la CTRZ ; en bleu : isosurface de vorticité illustrant le PVC). 224
9.14 Configuration TLC NC - Maillage du sytème [plénum + injecteur] retenu pour le calcul des
modes propres acoustiques (saignée verticale dans le maillage). . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.15 Schéma d’un problème monodimensionnel d’acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.16 Configuration TLC NC - Localisation et identifiants des sondes. . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.17 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse axiale u pour les sondes Ax1 à
Ax8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.18 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse v pour les sondes Ax1 à Ax8. . 234
9.19 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse w pour les sondes Ax1 à Ax8. . 234
9.20 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes Ax1 à Ax8. . 235
9.21 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes P Ext1 à P Ext4.235
9.22 Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes Ext1 à Ext4. . 236
9.23 Configuration TLC NC - Carte spectrale à 2160 Hz sur la vitesse axiale (haut : coupe transverse
(Y = 0) ; bas : coupe transverse (Z = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.24 Configuration TLC NC - Carte spectrale à 2160 Hz sur la pression (haut : coupe transverse
(Y = 0) ; bas : coupe transverse (Z = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.25 Configuration TLC NC - Valeurs du nombre de swirl dans l’injecteur. . . . . . . . . . . . . 238
9.26 Configuration TLC NC - Profils de vitesse axiale (trait plein) et de variation de pression
normalisée (trait pointillé avec les symboles) le long de l’axe central ((X = 0) marque le
fond de chambre). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
XVIII

TABLE DES FIGURES
9.27 Configuration TLC NC - Champ moyen de vitesse axiale (gauche : plan (Z = 0), droite :
plan (Y = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.28 Configuration TLC NC - Champ moyen de vitesse azimutale (gauche : plan (Z = 0), droite :
plan (Y = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.29 Configuration TLC NC - Champ moyen d’énergie cinétique fluctuante (gauche : plan (Y =
0), droite : plan (Z = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.30 Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant (haut : plan (Y = 0) ; bas : plan (Z= 0)). . 243
9.31 Configuration TLC NC - Topologie de l’écoulement de gaz dans l’injecteur. . . . . . . . . . 244
9.32 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u g > aux 3 plans
de mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.33 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u g > aux 3 plans
de mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.34 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w g > aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.35 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w g > aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.36 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
g aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.37 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
g aux 3 plans
de mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.38 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse fluctuante wg
RMS aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.39 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse fluctuante wg
RMS aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.40 Configuration TLC C - Coupes transverse et axiale du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.41 Configuration TLC C - Profils de vitesse axiale et de variation de pression normalisée le
long de l’axe central (X = 0 marque le fond de chambre). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.42 Configuration TLC C - Champ moyen de vitesse axiale (haut : plan (Y = 0), bas : plan (Z =
0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.43 Configuration TLC C - Pseudo-lignes de courant (haut : plan (Y = 0) ; bas : plan (Z= 0)). . . 253
9.44 Configuration TLC C - Champ moyen d’énergie cinétique fluctuante (gauche : plan (Y = 0),
droite : plan (Z = 0)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.45 Configuration TLC NC - Comparaison des profils calculés horizontaux et verticaux de vitesse
axiale moyenne u g aux 3 plans de mesure (trait gras : profil horizontal ; trait pointillé :
profil vertical). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.46 Configuration TLC NC - Localisation du spray de gouttes dans l’expérience et le calcul SGE
(gouttes à 15µm) (gauche : tomographie laser du spray (photo ONERA) ; droite : Champ
moyen de fraction volumique de liquide en coupe transverse (Y = 0) dans le calcul (noir :
1.0 10 −7 ; blanc : 1.0 10 −4 )). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.47 Configuration TLC NC - Champs moyens de nombres de Reynolds axiaux des gouttes en
coupe transverse (Z = 0) (haut : calcul SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE à 15µm ; bas : calcul
SGE à 30µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
XIX

TABLE DES FIGURES
9.48 Configuration TLC NC - Champs moyens de traînée axiale des gouttes en coupe transverse
(haut : calcul SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE à 15µm ; bas : calcul SGE à 30µm). . . . . . 258
9.49 Configuration TLC NC - Lignes de courant extraites d’un champ moyen de vitesses avec
à droite une isosurface de u g = 50m/s (bleu) et une isosurface de u g nulle (rouge) (haut :
calcul SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE à 15µm ; bas : calcul SGE à 30µm). Les lignes de
courant démarrent à la condition d’injection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.50 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.51 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 plans
de mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.52 Configuration TLC NC - Profils verticaux mesurés de diamètre moyen en nombre D 10 aux
3 plans de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.53 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.54 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.55 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l
aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.56 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l
aux 3 plans
de mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.57 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse fluctuante wl
RMS aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.58 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse fluctuante wl
RMS aux 3 plans de
mesure (symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.59 Configuration TLC NC - Profils verticaux des nombres de gouttes détectées par la méthode
PDA aux 3 plans de mesure (□ : Nombre suffisant d’échantillons). . . . . . . . . . . . . . . 268
10.1 Configuration TLC NC - Vecteurs vitesse du gaz et fraction volumique de liquide sur la
surface d’injection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.2 Configuration TLC NC - Profils radiaux des quantités liquides sur la surface d’injection (a.
Fraction volumique de liquide ; b. Composantes de vitesse liquide). . . . . . . . . . . . . . . 270
10.3 Configuration TLC NC - Champ moyen de fraction volumique de liquide dans la coupe
transverse (Z = 0) de l’injecteur avec (a. Pseudo-lignes de courant du gaz rapportées au plan
transverse ; b. Contours de vitesse transverse du gaz entre -30 et 30m/s). . . . . . . . . . . . 271
10.4 Configuration TLC NC - a. maillage initial sans raffinement particulier dans le bol pilote ;
b. maillage raffiné dans le bol pilote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.5 Configuration TLC NC - Champ instantané de fraction volumique de liquide dans une coupe
transverse (Z = 0) avec les vecteurs vitesse sur la phase gazeuse. . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.6 Configuration TLC NC - Isosurfaces instantanées de critère Q (en bleu) et de fraction volumique
de liquide α l = 0.01 (en rouge). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.7 Configuration TLC NC - Champs instantanés de fraction volumique de liquide α l et vecteurs
vitesse du gaz en coupe axiale dans le bol pilote interne. . . . . . . . . . . . . . . . . 274
XX

TABLE DES FIGURES
10.8 Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 abscisses
de mesure (symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ;
trait pointillé : calcul SGE avec le modèle d’injection). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.9 Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 abscisses
de mesure (symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection
; trait pointillé : calcul SGE avec le modèle d’injection). . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.10Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 abscisses de
mesure (symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ; trait
pointillé : calcul SGE avec le modèle d’injection). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.11Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 abscisses
de mesure (symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ;
trait pointillé : calcul SGE avec le modèle d’injection). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
XXI

TABLE DES FIGURES
XXII

Introduction
La matière première : le pétrole
Une large gamme de procédés industriels utilise la combustion de carburants fossiles pour assurer la
production d’énergie. Parmi ces carburants fossiles, le pétrole représente certainement la ressource la plus
convoitée à l’heure actuelle. En effet, le pétrole brut fait l’objet d’un processus de distillation fractionnée
qui sépare ses composants en fonction des niveaux de température atteints dans les différents étages de
la colonne de fractionnement. En fonction de leur densité, les produits de distillation se séparent très
schématiquement du plus léger au plus lourd :
⊲ Les produits les plus légers sont gazeux à température et pression ordinaires. Ils sont le plus
généralement utilisés comme gaz combustibles (méthane, éthane, propane, butane, ...) et comme
matières premières pour la pétrochimie.
⊲ L’éther de pétrole résulte d’une ébullition de 20 à 60 ◦ C. C’est un solvant largement utilisé dans
l’industrie chimique.
⊲ Les produits d’une ébullition de 60 à 200 ◦ C constituent l’essence, base de la fabrication des carburants.
On compte également la partie appelée naphta qui constitue la matière première d’un vapocraquage
en vue d’applications pétrochimiques.
⊲ Principal produit d’une ébullition de 180 à 280 ◦ C, le kérosène est utilisé quotidiennement comme
carburant dans les turbines à gaz et comme combustible (fioul léger) pour le chauffage domestique.
⊲ La fraction du pétrole correspondant à une ébullition vers 350 ◦ C constitue le résidu atmosphérique
et est utilisée comme combustible (fioul lourd) pour le chauffage industriel (centrales thermiques).
Soumise à une distillation sous pression réduite, elle fournit des huiles lubrifiantes légères (ébullition
entre 300 et 400 ◦ C) et lourdes (ébullition pour des températures supérieures à 400 ◦ C). Les résidus de
cette distillation sous vide sont des asphaltes.
La Figure 1 offre une vue d’ensemble d’une raffinerie pétrolière avec notamment les colonnes de distillation.
On notera que la demande en dérivés du pétrole a migré vers le sommet de la colonne de distillation car
les besoins en carburant automobile ne cessent de croître tandis que le marché des fiouls lourds diminue au
profit du gaz naturel.
La combustion du kérosène : la turbine à gaz
Le kérosène constitue le carburant de prédilection des turbines à gaz. Un écorché d’une turbine à gaz
Siemens (série SGT) est présenté sur la Fig. 2. Ce modèle Siemens utilisé pour des applications industrielles
demandeuses d’énergie présente la plupart des caractéristiques d’une turbine à gaz moderne :
⊲ un compresseur à plusieurs étages afin d’augmenter la pression des gaz frais qui vont rentrer dans le

INTRODUCTION
FIG. 1 - Raffinerie de pétrole brut (Feyzin, FRANCE)
foyer,
⊲ un foyer qui est ici de type tubo-annulaire : chaque chambre de combustion est comprise dans un tube
séparé mais partage un contournement annulaire commun,
⊲ un contournement qui permet de séparer le débit d’air qui sert à la combustion du débit d’air qui
assure le refroidissement des parois du foyer,
⊲ un système d’échappement composé de pales de turbines fixes qui permettent de transformer la surpression
générée par la présence des gaz brûlés en vitesse,
⊲ une tuyère d’éjection.
Les foyers de moteurs aéronautiques sont plutôt de type annulaire, c’est-à-dire que tous les injecteurs
débouchent dans la même chambre de combustion annulaire. Ce type de chambre présente l’avantage
de diminuer globalement la perte de pression à travers l’étage de combustion mais entraîne un poids très
conséquent de la paroi de séparation chambre/contournement. De plus, le débit d’air requis pour fonctionner
à plein régime est généralement très important.
Un foyer de turbine à gaz comporte un injecteur qui contrôle l’arrivée de carburant. L’utilisation d’un
carburant liquide est d’une grande importance pour les turbines à gaz aéronautiques du fait de son faible
volume de stockage comparativement à un carburant gazeux. Néanmoins, utiliser un carburant liquide
entraîne un certain nombre de difficultés supplémentaires par rapport à l’utilisation d’un carburant gazeux.
En effet, les processus d’atomisation et d’évaporation du spray de carburant liquide sont de première
importance car ils conditionnent les performances d’allumage, les limites de stabilité et l’efficacité de la
combustion en termes de rendement et de formation des polluants.
Le design des injecteurs de turbines à gaz fait encore aujourd’hui l’objet d’intenses recherches car c’est
lui qui va piloter en grande partie la combustion. La section qui suit est consacrée à la description des
phénomènes principaux qui ont lieu dans les injecteurs industriels.
2

Introduction
4
6
5
2
3
1
1. Entrée de la turbine
2. Compresseur multi-étages
3. Foyer
4. Turbines
5. Système d’échappement
6. Diffuseur
FIG. 2 - Turbine à gaz (Illustration SIEMENS)
Un élément clé de la combustion dans la turbine à gaz : l’injecteur
Les injecteurs de turbines à gaz aéronautiques font généralement interagir deux grandes classes de
phénomènes :
⊲ les phénomènes liés à la mise en rotation de l’écoulement d’air dans l’injecteur. Ce mouvement giratoire
(en anglais ”swirl”) de l’air met en jeu des phénomènes tourbillonnaires tels que l’éclatement
tourbillonnaire (en anglais ”vortex breakdown”) sur des configurations académiques à un seul étage de
vrilles généralement. Un brûleur industriel peut utiliser plusieurs étages de vrilles pour entraîner l’air,
ce qui rend plus ardue la compréhension des phénomènes observés précédemment et renforce l’intérêt
de la simulation numérique dans la compréhension de ces phénomènes (section ).
⊲ les phénomènes liés à la phase liquide du carburant. La préparation du carburant consiste à le faire
passer de sa forme compacte de stockage liquide à une forme gazeuse bien adaptée à la combustion.
Cette préparation nécessite de maîtriser plusieurs étapes clés : la désintégration de la nappe liquide, la
dispersion et l’évaporation des gouttes de carburant produites. Enfin, différents concepts d’atomiseurs
peuvent préparer le carburant avant son entrée dans la chambre : on présente les deux types les plus
connus.
L’interaction entre ces deux classes de phénomène est cruciale pour prévoir l’écoulement diphasique dans
l’injecteur et a fortiori la combustion dans le foyer.
Phénomènes induits par le swirl de l’air
Le mouvement de swirl peut être caractérisé par un nombre sans dimensions noté S (le nombre de swirl)
qui rapporte le flux axial de quantité de mouvement azimutale au flux axial de quantité de mouvement axiale
3

INTRODUCTION
selon la relation :
S =
∫ R
0 ρuu θr 2 dr
R ∫ R
0 ρuurdr (1)
où u est la vitesse axiale, u θ la vitesse azimutale, ρ la densité du fluide et R un rayon caractéristique
de l’écoulement tournant. Dans les géométries complexes, ce nombre peut fortement varier du fait de la
structure locale de l’écoulement. Les écoulements tournants peuvent être classés en fonction du nombre de
swirl et d’une valeur critique S crit :
⊲ pour S < S crit , on n’observe pas de recirculation sur l’axe central et le jet arbore un profil parabolique
de vitesse. La pénétration et l’extension radiale du jet augmentent progressivement avec le nombre de
swirl.
⊲ pour S > S crit , on observe l’apparition d’une zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ) due à
un fort gradient axial adverse de pression. Cette CTRZ permet d’accrocher et de stabiliser la flamme
dans une chambre aéronautique en fournissant une poche recirculante de gaz brûlés. Elle permet ainsi
de réchauffer les gaz frais en provenance de l’injecteur tout en assurant un mélange intense par cisaillement
transverse avec l’écoulement directement issu de l’injecteur. Il s’agit aussi d’une zone morte dans
l’écoulement, ce qui accroît le temps de résidence du mélange des réactifs et favorise son allumage.
Le nombre de swirl critique S crit est environ égal à 0.6 dans un jet tournant confiné ou libre (Syred & Beer
[186], Lilley [106]), cette valeur pouvant être réduite par la présence d’un divergent (Syred & Beer [186]).
L’étude de Farhoki & Taghavi [56] a cependant montré que la forme de la distribution de vitesse azimutale
était plus déterminante que la valeur de S pour prédire la formation d’une CTRZ. Ainsi, Farhoki & Taghavi
[56] ont observé qu’à même nombre de Swirl (égal à 0.48), un profil sur la vitesse azimutale de type rotation
de corps solide (i.e. u θ = ω · r avec ω une vitesse de rotation constante) produisait un éclatement du jet
sans formation d’une CTRZ tandis qu’un profil proche de celui d’un vortex potentiel ( ou vortex libre) (i.e.
u θ =
Γ
2πr
avec Γ constant) aboutit à la formation d’une CTRZ.
On notera également que les effets du swirl dépendent d’autres facteurs tels que la géométrie de l’injecteur
(la présence d’un ”bluff-body” ou d’un divergent renforce la CTRZ), le confinement éventuel en sortie
d’injecteur ou le nombre de vrilles dans chaque étage. Galley [62] dérive les équations qui gouvernent les
jets tournants dans l’approximation quasi-cylindrique et dresse un état des lieux des théories recouvrant les
phénomènes engendrés par le swirl.
Observations dans les tourbillonneurs académiques
Deux phénomènes apparaissent souvent de manière conjointe dans les écoulements tournants :
l’éclatement tourbillonnaire et la précession d’un coeur de vorticité (en anglais ”precessing vortex core”).
Pour les observer, on utilise cependant des configurations académiques différentes : le vortex breakdown
est observé préférentiellement dans des tubes peu ou non divergents tandis que le precessing vortex core est
analysé dans des dispositifs à expansion plus ou moins brusque.
Le Vortex Breakdown La Figure 3 montre le dispositif généralement utilisé pour étudier le vortex
breakdown qui peut apparaître dans les écoulements tournants (Sarpkaya [158], Faler & Leibovich
[54], Leibovich [101], Lucca-Negro & O’Doherty [110], Kurosaka et al. [93] parmi bien d’autres).
4

Introduction
Vrilles
Corps central
Vrilles
Ecoulement d’air
Vortex Breakdown
FIG. 3 - Tourbillonneur académique sans expansion du tube de test (extrait de Leibovich [101]).
La définition la plus répandue du vortex breakdown est celle de Leibovich [101] : il s’agit du développement
d’un point de stagnation suivi par la croissance très rapide d’une région de vitesse axiale adverse. Cette
définition traduit un changement rapide et brutal de la topologie de l’écoulement tournant. On transite ainsi
d’un écoulement de jet à un écoulement de sillage induit par la présence du point d’arrêt.
Ce phénomène peut être observé pour une large gamme de nombres de Reynolds en entrée (Sarpkaya
[158], Faler & Leibovich [54, 55], Novak & Sarpkaya [127], Kurosaka et al. [93]) et conduit à une augmentation
des niveaux de turbulence dans l’écoulement en aval. A l’exception possible des écoulements
tournants confinés à très faibles nombres de Reynolds (Escudier et al. [53]), l’écoulement en aval du point
de stagnation contient des fluctuations qui ne sont pas axi-symétriques même si l’écoulement amont est
rigoureusement axi-symétrique. Or, les études théoriques depuis les premiers travaux de Benjamin [11]
ont toujours considéré les solutions analytiques axi-symétriques d’un écoulement tournant, ce qui pourrait
expliquer les difficultés à retrouver analytiquement les transitions du vortex breakdown.
Le vortex breakdown peut adopter trois grandes formes caractéristiques en fonction du nombre de Reynolds
de l’écoulement amont :
⊲ la double-hélice : le sillage est ici de forme triangulaire et s’enroule sur lui-même un peu plus loin en
aval.
⊲ la spirale : le point d’arrêt marque une déstabilisation du tourbillon qui adopte une trajectoire
hélicoïdale.
⊲ la bulle : le point d’arrêt de l’écoulement est suivi par un coeur de vorticité en forme de bulle.
La Figure 4 présente les différentes formes de vortex breakdown en fonction du nombre de Reynolds de
l’écoulement amont et de l’abscisse du point de stagnation (ce qui donne la localisation du vortex breakdown).
Les transitions entre ces différentes formes sont réalisées en changeant le nombre de Reynolds de
l’écoulement amont (Sarpkaya [158], Faler & Leibovich [54], Kurosaka et al. [93]). Avec l’augmentation du
nombre de Reynolds, on passe successivement de la forme bi-hélicoïdale à la forme spirale pour finir par la
forme bulle. Ces transitions s’accompagnent d’un déplacement du point de stagnation vers l’amont. Kuro-
5

INTRODUCTION
saka et al. [93] a aussi montré qu’une pertubation azimutale bien choisie du débit d’air en amont permettait
de transiter rapidement d’une forme à une autre. Novak & Sarpkaya [127] a étudié expérimentalement le
vortex breakdown pour des nombres de Reynolds très élevés (typiquement Re > 10 5 ) et a mis en avant une
forme conique très perturbée du vortex breakdown.
Re
Bulle
4000
Spirale
2000
Double hélice
0 5 10 15
Abscisse du point de
stagnation (x/R)
FIG. 4 - Cartographie (Re,x/R) des différents régimes de vortex breakdown (adapté de Kurosaka et al. [93]).
De nombreuses simulations numériques ont permis de retrouver les différentes formes du vortex breakdown.
Pour ne retenir que quelques références, Tromp & Beran [190] ont retrouvé la forme spirale du vortex
breakdown à Re = 250 en perturbant azimutalement un tube de vorticité axi-symétrique, Snyder & Spall
[175] ont montré que l’utilisation d’un profil bien choisi de vitesse en entrée conduisait aux mêmes résultats
qu’un maillage complet des vrilles pour un éclatement tourbillonnaire de type bulle à Re = 2000. Plus
récemment, Spall & Ashby [181] ont employé deux modèles de turbulence dans l’approche RANS afin de
modéliser le vortex breakdown d’un écoulement non confiné à Re = 10 4 .
Le Precessing Vortex Core Le PVC pour ”Precessing Vortex Core” est un coeur de vorticité qui précesse
autour de l’axe central (Chanaud [25]). Le PVC est généralement étudié dans des tourbillonneurs dotés
d’une expansion brusque même si l’étude de Rhode & Lilley [150] a montré qu’une ouverture plus graduelle
de l’écoulement en aval de l’injecteur avait surtout une influence sur les zones de recirculation de coin
(CRZ) et non sur la structure de la CTRZ ou sur le PVC. Un exemple de brûleur académique spécialement
dédié à l’étude du PVC est montré sur la Fig 5.
Ce type d’écoulement induit un grand nombre de mécanismes qui sont bien compartimentés comme on peut
le voir sur la Fig. 6. Ainsi, on peut identifier cinq zones :
⊲ Zone 1 : le mouvement giratoire induit par les vrilles du tourbillonneur entraine un gradient de pression
radial dans le tube de prémélange.
6

Introduction
FIG. 5 - Schéma d’un tourbillonneur à expansion brusque dédié à l’étude du PVC (tiré de Anacleto et al. [3]).
⊲ Zone 2 : l’expansion brusque cause une décroissance sur l’axe de la vitesse azimutale. Afin de conserver
le moment angulaire initialement acquis, le jet s’ouvre de plus en plus.
⊲ Zone 3 : cette ouverture du jet s’accompagne d’un gradient axial adverse de pression qui, pour une
valeur critique du nombre de swirl, entraine l’apparition d’une zone centrale toroidale de recirculation
(CTRZ). On observe également le PVC à la périphérie de cette zone.
⊲ Zone 4 : l’expansion brusque permet la présence de zones de recirculation de coin (CRZ). Une expansion
plus graduelle de la chambre de test comme celle testée par Rhode & Lilley [150] annihile les
CRZ et augmente les niveaux de vitesse axiale en périphérie de la CTRZ.
⊲ Zone 5 : le jet se referme avec la diminution de l’étendue radiale de la CTRZ.
Les études de Chanaud [25], Cassidy & Falvey [24], Gupta et al. [74], Dellenback et al. [44], Yazdabady
et al. [202], Anacleto et al. [3] ont montré que le PVC est un phénomène généralement associé aux
écoulements tournants à S > S crit . Seuls Hallett & Gunther [78] ont observé la formation du PVC pour des
écoulements à S < S crit .
Les structures générées par le PVC ainsi qu’une visualisation sont présentées sur la Fig. 7. La structure
hélicoïdale du PVC est avérée depuis plus d’une trentaine d’années (Syred & Beer [186], Lilley [106])
et donne souvent lieu à des mesures de fréquence et d’amplitude d’oscillation caractéristiques sur banc
expérimental. Une fois connue la fréquence caractéristique du PVC, son excitation fréquentielle permet
de renforcer la CTRZ tandis que la présence d’un jet turbulent sur l’axe central réduit la fréquence et
l’extension radiale du coeur de vorticité.
Concernant le sens de précession du PVC, l’étude de Dellenback et al. [44] a identifié deux régimes : le
PVC précesse dans le sens du swirl principal pour de faibles nombres de Swirl et en sens contraire pour
de forts nombres de Swirl. Les simulations numériques de Guo et al. [73] reproduisent les observations
expérimentales de Dellenback et al. [44]. Il n’existe cependant pas de consensus clair sur le lien entre le
sens de giration, le sens d’enroulement et le sens de précession du PVC (Syred [185]).
7

INTRODUCTION
Swirler
CRZ
4
1 2 CTRZ 3
5
Tube de
prémélange
4
CRZ
Expansion
brusque
Zone primaire
Zone secondaire
FIG. 6 - Phénomènes mis en jeu dans un tourbillonneur à expansion brusque. On notera que la combinaison de tous
ces phénomènes est généralement observée pour des écoulements à S > S crit .
Détachement périodique de structures
axiales/radiales au bout du PVC.
A
Coupe axiale (A-A)
A
FIG. 7 - Structures associées au PVC et visualisation du PVC. La visualisation est obtenue par éclairage de
particules d’aluminium (tiré de Anacleto et al. [3])
Observations dans les tourbillonneurs industriels
Il existe deux types principaux de tourbillonneurs comme on peut le voir sur la Fig. 8. Ces deux catégories
de tourbillonneurs se distinguent par l’agencement des pales :
8

Introduction
1. les tourbillonneurs axiaux comportent des vrilles disposés selon l’axe principal de la chambre. La
Figure 8 montre un tourbillonneur muni de vrilles plates. Cependant, l’utilisation de vrilles incurvées
est plus répandue dans les brûleurs industriels car elles limitent le décrochement des écoulements à la
surface des pales et augmentent ainsi le swirl effectif.
2. les tourbillonneurs radiaux constituent aujourd’hui une alternative aux tourbillonneurs axiaux même
si leurs propriétés sont moins bien connues.
Vrilles axiales
Vrilles radiales
FIG. 8 - Les deux principaux types de tourbillonneurs : axial et radial.
En orientant les pales de manière oblique par rapport à la direction principale de l’écoulement dans l’injecteur,
on obtient le cas intermédiaire d’un tourbillonneur diagonal. Les injecteurs académiques ne comportent
généralement qu’un seul étage de vrille mais l’ajout d’un étage supplémentaire peut favoriser le mélange
des réactifs et ainsi améliorer l’efficacité de la combustion.
Caractérisation expérimentale des tourbillonneurs industriels
Les brûleurs industriels récents utilisent plusieurs étages de vrilles pour assurer le mélange de l’air avec
le carburant. Ajouter un étage de vrilles donne lieu à de nouvelles structures de l’écoulement et permet de
réduire significativement les émissions d’oxydes d’azote en uniformisant plus rapidement le mélange des
réactifs en aval de l’injecteur (Toqan et al. [189], Terasaki & Hayashi [187]). De plus, l’orientation des
deux étages de vrilles permet de distinguer deux agencements des vrilles : si les deux étages sont orientés
dans le même sens, on parle de configuration co-rotative et dans le cas contraire, on parle de configuration
contra-rotative.
Les premières études de Habib & Whitelaw [76], Vu & Gouldin [194], Ramos & Somer [143], Chao [27] ont
amélioré la compréhension des différences entre ces deux types de configuration. En effet, la configuration
contra-rotative renforce la CTRZ en termes d’expansion radiale et axiale (Vu & Gouldin [194], Ramos &
Somer [143]). En parallèle, les niveaux de vitesse axiale adverse dans la CTRZ et les niveaux de fluctuation
turbulente dans la couche de mélange qui sépare les deux étages de vrille s’avèrent plus élevés dans le
cas contra-rotatif (Vu & Gouldin [194], Ramos & Somer [143]). Des études plus récentes ont permis de
caractériser l’influence d’un swirl co-rotatif ou contra-rotatif sur d’autres phénomènes comme un spray
liquide (Ateshkadi et al. [6]), une flamme parfaitement prémélangée (Gupta et al. [75]), le mélange des
réactifs de combustion (Merkle et al. [119]) et la génération de bruit (Singh et al. [170]).
9

INTRODUCTION
L’évolution du design des injecteurs industriels pointe vers une hausse du nombre d’étages de vrilles. Ainsi,
l’injecteur TARS (pour Triple Annular Research Swirler) développé par Li & Gutmark [103] combine deux
étages internes de vrilles axiales contra-rotatives avec un étage externe de vrilles radiales, ce qui constitue
l’un des injecteurs les plus complexes jamais étudiés sur un banc expérimental.
Simulations numériques des tourbillonneurs industriels
Si l’on s’attache uniquement aux Simulations aux Grandes Echelles (SGE) de tourbillonneurs de type
industriels, le nombre de simulations est restreint car ce type de calcul reste encore très coûteux en termes
de puissance informatique. Les plus récentes études sont les suivantes :
⊲ le brûleur industriel CFM56 conçu par General Electrics a été étudié expérimentalement puis dans
un deuxième temps numériquement via la méthode SGE (Wang & Yang [195]). Ce brûleur combine
deux étages de vrille : un étage interne axial et un étage externe radial. Les configurations co et contrarotatives
ont été étudiées.
L’écoulement moyen présente une grande CTRZ remontant profondément dans l’injecteur et des CRZ
réduites. Les dimensions de la CTRZ sont bien reproduites par la simulation numérique tout comme
les structures instationnaires de l’écoulement. En particulier, la simulation SGE a permis de montrer
que la fréquence du PVC augmentait de 15% quand on passait d’une configuration co-rotative à une
configuration contra-rotative.
⊲ un tourbillonneur à trois étages de vrilles radiales contra-rotatives a été étudié par la simulation SGE
en régime stationnaire dans un premier temps (Wang et al. [196]) puis en faisant osciller le débit
massique en entrée (Wang et al. [197]). Ce tourbillonneur n’est pas utilisé dans l’industrie mais sa
complexité l’en rapproche fortement.
Les simulations en régime stationnaire ont permis d’étudier l’écoulement pour deux nombres de swirl :
0.35 et 0.49 et ainsi mettre en évidence la remontée du vortex breakdown jusqu’au nez de l’atomiseur
avec l’augmentation du nombre de swirl (Wang et al. [196]). Ces simulations ont aussi mis en évidence
la génération importante de vorticité à l’interface entre les différents étages de vrille.
⊲ Moin & Apte [121] ont simulé un injecteur signé Pratt & Whitney comportant trois étages de vrilles
distincts associés à une injection de carburant liquide. Cette simulation SGE a clairement montré que
le spray de gouttes ne pénétrait pas dans la CTRZ et était accéléré par l’écoulement issu de la vrille
externe.
⊲ la simulation SGE d’un modèle de chambre de combustion avec l’intégration du tourbillonneur dans
le domaine de calcul a été réalisée chez Rolls-Royce (James et al. [85]). Cette simulation a surtout
permis de valider la faisabilité d’un calcul SGE dans un foyer aéronautique Rolls-Royce.
⊲ Au CERFACS, un grand nombre de simulations SGE ont été menées à bien sur des injecteurs industriels.
Légier [100] a étudié un injecteur LPP développé par SNECMA et comportant 2 étages
radiaux de vrilles co-rotatives. Dans cette configuration, la simulation SGE a capté une remontée de
la flamme avec une augmentation du niveau de swirl. Selle [163] a simulé l’écoulement issu d’un injecteur
SIEMENS à 2 étages de vrilles contra-rotatives. L’étage externe est diagonal tandis que l’étage
interne est axial. Les résultats de la simulation SGE se sont révélés en très bon accord avec les données
expérimentales et ont montré que l’étage interne avait très peu d’influence sur le swirl global en sortie
d’injecteur. Plus récemment, Boudier [19] a mené à bien l’étude d’un secteur de foyer d’hélicoptère
Turbomeca comportant un tourbillonneur à deux étages radiaux contra-rotatifs. A la différence de
Légier [100] et Selle [163], les pales de chaque étage étaient ici entièrement maillées, ce qui a permis
d’obtenir les niveaux de swirl dans chaque étage de l’injecteur. D’autre part, l’interaction des jets
primaires avec la CTRZ a été établie par Boudier [19].
10

Introduction
Phénomènes induits par la phase liquide du carburant
La forme liquide du carburant permet de stocker le carburant sous une forme compacte. Cette compacité
est particulièrement importante dans le cadre des moteurs aéronautiques pour des raisons d’encombrement
et de sécurité. Cependant, le carburant doit être sous forme gazeuse afin d’alimenter la zone de combustion.
L’injecteur doit donc transporter le carburant vers la flamme tout en assurant la meilleure transition vers la
forme gazeuse de ce dernier. Pour ce faire, deux technologies d’injection existent actuellement :
1. le carburant est vaporisé dans l’injecteur avant de transiter dans la chambre, d’où le terme de vaporisateur
pour cette technologie d’injection.
2. le carburant est fragmenté le plus finement possible afin d’être rapidement vaporisé par les gaz brûlés
présents dans la chambre, d’où la dénomination d’atomiseur pour cette technologie d’injection.
Ces deux types d’injecteur sont couramment rencontrés dans les turbines à gaz. Si l’on se penche sur la
seconde catégorie, les phénomènes mis en jeu sont multiples :
⊲ l’atomisation primaire correspond à l’érosion de la surface de la nappe liquide. Cette érosion est
principalement due au différentiel de vitesse entre les deux phases qui génère une instabilité de Kelvin-
Helmholtz à l’interface. Cette instabilité produit des ligaments de liquide de forme très disparate.
⊲ l’atomisation secondaire met en jeu les ligaments de liquide produits. Ces derniers subissent une
fragmentation en gouttes qui minimise leur énergie de surface. Ces gouttes de forme quelconque interagissent
entre elles par collisions. Les gouttes produites au cours de ces collisions sont de tailles très
diverses.
⊲ Du fait de leurs tailles différentes, les gouttes se dispersent de manière très différente. Dans le
même temps, elles se vaporisent, ce qui change leur taille et par là même leur dispersion. Les deux
phénomènes de dispersion et d’évaporation sont donc étroitement reliés.
La Figure 9 présente l’atomisation de la nappe liquide suivie de la dispersion et de l’évaporation du spray.
FIG. 9 - Phénoménologie du spray en sortie d’atomiseur (adapté de la présentation de M. Herrmann au Summer
Programm 2006 du CTR - Stanford, USA).
Il existe une grande variété d’atomiseurs qui assurent la préparation du carburant liquide. Les deux principaux
types d’atomiseurs utilisés dans les turbines à gaz sont : les atomiseurs pressurisés et les atomiseurs
”airblast”. Il existe d’autres concepts d’atomiseurs moins répandus et par conséquent non décrits ici (mais
présentés dans le chapitre 4 de Lefebvre [98].
11

INTRODUCTION
Les atomiseurs pressurisés
Les atomiseurs pressurisés transforment la haute pression du liquide en énergie cinétique afin d’obtenir
un fort différentiel de vitesse entre le jet liquide débouchant et le milieu gazeux. Ce type d’atomiseur est
largement répandu dans les systèmes d’injection actuels et comprend notamment les atomiseurs dits ”plain
orifice” et les atomiseurs simplex.
Atomiseur ”plain-orifice” Les atomiseurs ”plain-orifice” font passer du liquide sous pression à travers
un trou. A partir d’une surpression de 150kPa par rapport à la pression du gaz ambiant, le jet liquide
débouchant s’atomise rapidement. Une augmentation de la surpression favorise l’atomisation du jet liquide
en augmentant la turbulence dans l’écoulement de jet et en amplifiant les forces aérodynamiques de frottement
avec le gaz ambiant.
La Figure 10 schématise la structure interne d’un atomiseur ”plain-orifice”. Le spray obtenu présente un
angle d’ouverture assez faible (de 5 à 15 ◦ ). De plus, la granulométrie du spray dépend bien plus des propriétés
physiques du carburant (viscosité et tension de surface) et de la turbulence de l’écoulement liquide
que de la géométrie interne de l’atomiseur (Lefebvre [98]).
Carburant
liquide
FIG. 10 - Schéma d’un atomiseur ”plain-orifice”.
Une application des atomiseurs ”plain-orifice” correspond au système de post-combustion dans les moteurs
aéronautiques. Les atomiseurs sont alors répartis dans des tubes disposés radialement ou en anneau dans la
seconde partie du foyer.
Atomiseur simplex Si l’on ajoute un mouvement giratoire du carburant liquide à l’intérieur d’un atomiseur
”plain-orifice”, on obtient un atomiseur simplex. La Figure 11 donne un aperçu de la structure interne
d’un atomiseur simplex.
Carburant
liquide
FIG. 11 - Schéma d’un atomiseur simplex.
Ce type d’atomiseur permet d’obtenir un spray beaucoup plus ouvert que dans le cas d’un atomiseur ”plain
12

Introduction
orifice”, avec des valeurs de 60 à 80 ◦ pour l’angle de spray en général. Le liquide est mis en rotation à travers
un ou plusieurs conduits tangentiaux, ce qui génère l’ouverture du spray de carburant liquide. Les sprays
produits par ce type d’atomiseur peuvent être creux ou pleins. Les sprays en cône creux sont plus recherchés
dans les injecteurs de turbine à gaz car ils permettent de mieux contrôler l’étendue de la zone de combustion.
Le principal inconvénient de cette technologie d’injection réside dans le fait que le débit de fuel injecté varie
comme la racine carrée du différentiel de pression, ce qui limite la plage d’utilisation de ce type d’atomiseur
(Lefebvre [98]).
Les atomiseurs airblast
Les atomiseurs airblast s’appuient sur un écoulement d’air directement à l’intérieur de l’atomiseur pour
fragmenter le carburant liquide. Les atomiseurs airblast se distinguent par de faibles vitesses (120m/s au
maximum) associées à de larges débits d’air. L’air souffle les gouttes ainsi formées et va ensuite alimenter la
zone de combustion. Le concept des atomiseurs airblast permet de produire des sprays globalement plus fins
avec des surpressions du liquide moins fortes que dans les atomiseurs pressurisés. Les atomiseurs airblast
comprennent notamment les atomiseurs ”plain-jet” et les atomiseurs à film liquide pariétal.
Atomiseur ”plain-jet” L’atomiseur airblast ”plain-jet” est la forme la plus simple d’atomiseur airblast : un
atomiseur pressurisé est inclus dans un co-courant d’air. La Figure 12 montre le principe de fonctionnement
de ce type d’atomiseur.
Air
Carburant
liquide
Air
FIG. 12 - Schéma d’un atomiseur airblast ”plain-jet”.
L’addition d’un co-courant d’air permet de fragmenter le jet de carburant avant même son entrée dans le
foyer. L’atomiseur airblast plain-jet est cependant assez rare dans les systèmes d’injection actuels.
Atomiseur à film liquide La plupart des atomiseurs airblast fonctionnant dans les turbines à gaz actuels
sont des atomiseurs à film liquide. Le carburant liquide apparaît sous la forme d’une nappe liquide qui est
fragmentée par un écoulement d’air swirlé à haute vitesse. La Figure 13 montre que l’air passe par deux
conduits concentriques qui enserrent le conduit d’alimentation en carburant liquide. La nappe liquide est
atomisée sous l’action conjointe de ces deux flux d’air.
Pour des raisons d’encombrement et de poids, un atomiseur airblast à film liquide opère généralement à un
rapport (débit d’air/débit de fuel) maximal de l’ordre de 3. Concernant l’orientation des différents étages
13

INTRODUCTION
Carburant
liquide
Air
Air
Air
Carburant
liquide
Air
FIG. 13 - Schéma d’un atomiseur airblast à film liquide.
de vrille, l’étude de Chin et al. [30] a montré qu’un étage interne co-rotatif associé à un étage externe
contra-rotatif par rapport au sens de rotation du swirler de carburant produisait le spray le plus fin.
Développements et mise en oeuvre de la SGE des écoulements diphasiques
réactifs
Les écoulements turbulents diphasiques réactifs dans les foyers de turbines à gaz sont issus d’un grand
nombre de phénomènes qui interagissent entre eux et qui mettent en jeu les deux phases de l’écoulement :
⊲ l’écoulement de la phase porteuse est fortement turbulent dans les foyers aéronautiques. De plus, la
combustion s’effectue exclusivement en phase gazeuse et affecte localement ses propriétés physiques.
⊲ l’écoulement de la phase dispersée possède aussi sa propre turbulence, turbulence qui résulte d’une
interaction complexe avec la turbulence de l’écoulement du gaz. D’autre part, la combustion peut
indirectement affecter la dispersion du spray en augmentant localement la température du gaz et donc
le taux d’évaporation des gouttes. En s’évaporant, les gouttes de spray deviennent de plus en plus
petites et sont de plus en plus affectées par l’écoulement turbulent du fluide porteur.
Afin de construire un modèle représentatif de tous les phénomènes décrits précédemment, l’approche la
plus intuitive consiste à traiter des écoulements et des configurations géométriques de complexité croissante.
Précédentes études des écoulements diphasiques réactifs au CERFACS
Dans cette optique, l’approche Euler-Euler a été initialement implantée dans le code AVBP du CERFACS
par Kaufmann [89]. Cette approche a ensuite été appliquée à des écoulements diphasiques de plus en plus
complexes dans des configurations géométriques de plus en plus proches de l’industrie. Si l’on choisit de
classer ces simulations dans l’ordre croissant de complexité, on obtient la hiérarchie suivante :
⊲ THI : Kaufmann [89] a testé et validé l’approche Euler-Euler d’un écoulement diphasique à froid
d’une Turbulence Homogène et Isotrope (THI) sur un maillage cubique approprié. Riber [151] a repris
l’étude de Kaufmann [89] en utilisant un schéma numérique d’ordre spatial plus élevé sur la partie
convective. Boileau et al. [16] a inclus l’évaporation dans ses calculs de THI afin de caractériser les
variations spatiales de vapeur de carburant.
⊲ Configurations académiques : Riber [151] a validé la simulation de l’écoulement diphasique à froid
14

Introduction
dans les configurations académiques de Hishida et al. [82] et Borée et al. [18]. Mossa [124] a simulé
l’écoulement swirlé polydisperse non réactif de la configuration de Sommerfeld & Qiu [177].
⊲ Configurations industrielles : Pascaud [132] a simulé l’écoulement diphasique réactif dans un
secteur de foyer aéronautique. Boileau et al. [16] a simulé la phase d’allumage de tout un foyer
d’hélicoptère. Notons que dans ces deux cas, le système d’injection était remplacé par une condition
d’entrée mimant la sortie de l’injecteur.
⊲ Configuration prototype d’injecteur : Lamarque [94] a mené à bien la simulation de l’écoulement
diphasique réactif d’un prototype d’injecteur entièrement maillé dans les calculs.
Apports de cette thèse
Cette thèse s’inscrit dans la lignée des travaux du CERFACS en approfondissant certaines thématiques et
en augmentant la complexité géométrique de la configuration cible sur laquelle des données expérimentales
sont disponibles.
Les apports de cette thèse peuvent être divisés en 3 contributions principales :
1. Afin d’évaluer le potentiel du modèle polydisperse implanté par Mossa [124], des simulations monodisperses
et polydisperses de l’écoulement dans la configuration expérimentale de (Sommerfeld &
Qiu [177, 178]) sont menées à bien. La sensibilité du modèle polydisperse à deux paramètres clés est
évaluée.
2. Afin d’assurer une représentation correcte du spray généré par l’atomiseur, une condition limite
d’injection est mise en place. Cette condition limite d’injection simule la présence d’un spray en cône
creux et tient compte de l’entraînement d’air dans ce spray.
3. Une configuration d’injecteur prototype comprenant 3 étages de vrille est étudiée. Dans une telle
configuration, la dispersion de l’écoulement diphasique est pilotée par l’interaction du spray de
gouttes issu de l’atomiseur avec l’écoulement d’air issu de chaque étage de vrille. En particulier, les
effets d’un écoulement contra-rotatif d’air sur la dynamique du spray de gouttes sont étudiés.
Organisation du mémoire de thèse
Ce mémoire de thèse s’articule en trois grandes parties :
⋆ Partie I : Cette partie décrit les écoulements diphasiques turbulents (chapitre 1), présente l’approche
Euler-Euler des écoulements monodisperses (chapitre 2) puis l’étend aux écoulements polydisperses
(chapitre 3). La modélisation de l’injection de carburant fait l’objet du chapitre 4 tandis que les aspects
numériques du code sont abordés dans le chapitre 5.
⋆ Partie II : Cette partie présente la configuration académique de Sommerfeld & Qiu [177] (chapitre 6)
sur laquelle des simulations SGE monodisperses puis polydisperses sont réalisées (chapitre 7).
⋆ Partie III : Cette partie introduit les deux configurations étudiées dans le cadre du projet européen
TLC (chapitre 8). L’écoulement diphasique à froid dans la configuration non confinée est étudié dans
le chapitre 9. Enfin, l’influence du modèle d’injection de carburant est analysée dans la configuration
non confinée dans le chapitre 10.
15

INTRODUCTION
16

Première partie
Modélisation par la Simulation aux Grandes
Echelles des écoulements diphasiques

Table des Matières
1 Présentation de la méthode SGE appliquée aux écoulements diphasiques turbulents 23
1.1 Notions sur la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.1 Le nombre de Reynolds d’un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.2 Les échelles de longueur dans un écoulement turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Turbulence et spectre de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.1 Universalité de la turbulence à petite échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Les hypothèses de similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3 Lien avec les grandes échelles : la cascade énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.4 Le spectre d’énergie dans le domaine inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Principe de la Simulations aux Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 La phase dispersée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 L’approche Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 L’approche Eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Moyenne volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2 Moyenne statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Comparaison des approches Euler-Euler et Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Description des sprays monodisperses via le modèle Euler-Euler 39
2.1 Les équations de la phase porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Les équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 L’équation d’état du gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Conservation de la masse : Flux diffusifs des espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.4 Tenseur des contraintes visqueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.5 Vecteur des flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.6 Coefficients de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.7 Les équations de conservation filtrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.8 Le tenseur filtré des flux visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Concepts associés aux échelles de sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Les modèles de sous-maille pour les flux de chaleur et les flux d’espèce . . . . . . . 46
2.2.3 Les modèles de sous-maille pour le tenseur de Reynolds (τ t ij ) . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Les équations de la phase dispersée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Hypothèses de travail sur la phase dispersée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Opérations de moyenne dans l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Complémentarité des grandeurs mésoscopiques et décorrélées . . . . . . . . . . . . 51

TABLE DES MATIÈRES
2.3.4 Equation générale d’Enskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.5 Les équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.6 Fermeture des équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.7 Les équations de conservation filtrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Les modèles de sous-maille sur la phase liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Intégration de la polydispersion dans le modèle Euler-Euler 59
3.1 Ecriture de la fonction de densité de présence en polydisperse . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Distributions présumées de vitesse et de température . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Approches concernant la distribution de diamètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Dérivation des moments de la PDF de diamètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Modélisation des effets polydisperses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Différenciation des comportements de goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Forme présumée de la vitesse de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.3 Les équations de conservation filtrées dans l’approche polydisperse . . . . . . . . . 66
3.3.4 Fermeture des flux décorrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.5 Fermeture de la trainée dans l’approche polydisperse . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.6 Résumé des équations de conservation dans l’approche polydisperse . . . . . . . . . 70
4 Modélisation de l’injection de carburant liquide 71
4.1 Atomisation d’un jet liquide cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Atomisation d’une nappe liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Modélisation de l’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Décalage de la position axiale de la condition limite d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Construction du modèle empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 Construction des profils sur les grandeurs physiques des deux phases . . . . . . . . 79
4.6 Construction du modèle semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.1 Construction des profils sur les grandeurs liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2 Construction des profils sur les grandeurs gazeuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.3 Récapitulatif du fonctionnement du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7 Validation du modèle semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.1 Validation concernant la phase liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.2 Validation concernant l’entraînement de la phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.8 Conclusion sur le modèle d’injection semi-empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Prédiction des écoulements diphasiques : le code AVBP 97
5.1 La génération du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Discrétisation spatiale : la méthode Cell-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1 Approximation du résidu nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Schémas numériques dans AVBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.1 Le schéma Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.2 Le schéma TTGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Modèles de viscosité artificielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
20

TABLE DES MATIÈRES
5.4.1 Senseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.2 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5.1 Conditions aux limites de la phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.2 Conditions aux limites de la phase liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
21

TABLE DES MATIÈRES
22

Chapitre 1
Présentation de la méthode SGE appliquée
aux écoulements diphasiques turbulents
Introduction
Les écoulements turbulents interviennent dans de nombreux dispositifs industriels et notamment dans
les turbines à gaz. L’interaction très complexe entre la turbulence et la combustion a ainsi permis de réduire
drastiquement les dimensions des foyers aéronautiques. Cependant la notion de turbulence reste difficile à
aborder comme le montre la section 1.1 et il n’existe pas à l’heure actuelle de théorie quantitative de la turbulence.
Les travaux de Kolmogorov restent encore aujourd’hui une référence pour appréhender de manière
théorique les écoulements turbulents (section 1.2). Parallèlement aux avancées théoriques, l’avénement de
puissants moyens de calcul informatiques a permis le développement de la CFD (pour Computational Fluid
Dynamics). La CFD peut être divisée en trois catégories : la Simulation Numérique Directe (SND, en anglais
DNS pour Direct Numerical Simulation (Moin & Mahesh [122])), la Simulation aux Grandes Echelles
(SGE, en anglais LES pour Large Eddy Simulations (Piomelli & Chasnov [133], Sagaut [156])) et l’approche
RANS (pour Reynolds-averaged Navier-Stokes (Ferziger & Peric [58])). Seule l’approche SGE est
traitée dans la section 1.3.
1.1 Notions sur la turbulence
La différence entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent a été pour la première fois
identifiée par O. Reynolds en 1894 sur des écoulements d’eau en conduite (Reynolds [149]) :
Again, the internal motion of water assumes one or other of two broadly distinguishable forms
— either the elements of the fluid follow one another along lines of motion which lead in the
most direct manner to their destination, or they eddy about in sinuous paths, the most indirect
possible.
Cette première observation met en avant le caractère désordonné de la turbulence. Cet aspect visuel de
désordre traduit le fait que deux points ont une évolution statistiquement indépendante de leurs vitesses
respectives s’ils sont suffisamment loin, à savoir s’ils sont séparés de plus d’une longueur de corrélation
l correl . Ce désordre est aussi perceptible temporellement : en un point donné, la vitesse à un temps t 1 sera
statistiquement indépendante de la vitesse à un temps t 2 si |t 2 − t 1 | > t correl où t correl est un temps de
corrélation. La turbulence est donc une décorrélation spatio-temporelle des particules fluides.

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
1.1.1 Le nombre de Reynolds d’un écoulement
Reynolds [149] a ensuite dérivé un critère pour marquer la limite entre ces deux comportements très
différents de l’écoulement fluide : le nombre de Reynolds Re :
Re = ρUL
µ
(1.1)
avec ρ la densité, U une vitesse caractéristique de l’écoulement, L une longueur caractéristique de
l’écoulement et µ la viscosité dynamique du fluide. Ce nombre dépend donc à la fois des caractéristiques
de l’écoulement et des propriétés intrinsèques du fluide.
La Figure 1.1 présente l’émergence de structures de plus en plus fines dans une expérience de couche de
mélange avec l’augmentation du nombre de Reynolds (Brown & Roshko [23]).
Augmentation du nombre de Reynolds
Re = 850.000
Re = 400.000
Re = 85.000
FIG. 1.1 - Ombroscopie d’une couche de mélange hélium/azote tirée des expériences de Brown & Roshko [23].
L’augmentation du nombre de Reynolds favorise l’apparition d’échelles de plus en plus fines sans affecter
notablement les grandes échelles.
1.1.2 Les échelles de longueur dans un écoulement turbulent
On peut désormais introduire les échelles de longueur qui caractérisent la turbulence :
– l’échelle de longueur qui caractérise la décorrélation spatiale de deux éléments fluides est appelée
échelle intégrale.
– l’échelle de longueur qui caractérise les plus petites échelles perceptibles de la turbulence, aussi appelée
échelle de Kolmogorov et notée η K . Ces petites structures assurent la dissipation de l’énergie
cinétique turbulente.
Dans le cadre d’une turbulence isotrope, on peut calculer ces deux échelles de longueur.
24

1.2 Turbulence et spectre de Kolmogorov
L’échelle intégrale
L’échelle intégrale peut ainsi s’écrire :
l t =
avec R ii la fonction d’autocorrélation définie par :
∫ ∞
0
R ii (r, t)dr (1.2)
R ii = < u′ i (x i, t)u ′ i (x i + r, t) >
< (u ′ i )2 >
(1.3)
où r est la distance de séparation entre les deux points de l’écoulement, u ′ la fluctuation de vitesse due à la
turbulence et < . > représente une moyenne statistique d’ensemble. Si r et u ′ i sont orientés dans la même
direction, la fonction d’autocorrélation est dite longitudinale tandis que si r et u ′ i sont perpendiculaires, on
parle de fonction d’autocorrélation transverse.
L’échelle de Kolmogorov
L’échelle de Kolmogorov est la plus petite échelle de tourbillons que l’on peut trouver dans un écoulement
turbulent. Cette échelle marque la limite en dessous de laquelle toute l’énergie mécanique du tourbillon est
dissipée en chaleur par viscosité moléculaire, ce qui se traduit par un nombre de Reynolds unitaire à cette
échelle :
d’où :
Re = u(η K) η K
ν
η K =
ν
u(η K )
= 1 (1.4)
(1.5)
Séparation des échelles
La séparation des petites échelles dissipatives par rapport aux grandes échelles porteuses d’énergie est donc
donnée par le ratio lt
η K
que l’on reformule grace à l’Eq. 1.5 :
l t
= u(η K) l t
η K ν
(1.6)
Le nombre de Reynolds ainsi obtenu est peu aisé à manipuler car il fait intervenir à la fois une caractéristique
des grandes échelles (l t ) et une caractéristique des petites échelles (u(η K )). L’Equation 1.6 sera donc reformulée
dans le cadre de la théorie de Kolmogorov en section 1.2.
1.2 Turbulence et spectre de Kolmogorov
A. Kolmogorov a élaboré en 1941 une première théorie sur la turbulence des petites échelles qui reste
encore d’actualité de nos jours (Kolmogorov [92]). La revue de Hunt & Vassilicos [83] donne une idée du
foisonnement d’idées qui a suivi la publication de cette théorie.
25

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
1.2.1 Universalité de la turbulence à petite échelle
Cette théorie repose sur l’idée qu’il existe un état universel de la turbulence dans lequel l’évolution des
tourbillons n’est plus régie par les instabilités qui en sont à l’origine. Cet état doit être atteint pour des
échelles largement inférieures à l’échelle intégrale définie à l’Eq. 1.2. Kolmogorov introduisit alors une
quantité qui devait caractériser cet état d’équilibre : la dissipation volumique d’énergie ɛ. En supposant
que la dissipation provient d’un seul nombre d’onde noté k η ∼ 1/η K qui est directement relié aux petites
échelles, on peut écrire que :
< ɛ >∼ νk 2 ηu 2 (k η ) (1.7)
En s’appuyant sur la relation 1.4, on sait que u(k η ) = νk η , ce qui nous permet d’écrire une nouvelle
expression pour η K :
( ν
3
η K ∼
< ɛ >
) 1
4
(1.8)
1.2.2 Les hypothèses de similarité
Kolmogorov énonça ensuite deux hypothèses de similarité pour formuler sa théorie :
⋆ H1 : les statistiques de la vitesse ne dépendent que de la dissipation volumique d’énergie < ɛ > et de
la viscosité cinématique ν pour une turbulence homogène et isotrope. Cette hypothèse s’applique aux
échelles largement inférieures à l t (i.e. pour k >> 1/l t ) qui sont à l’équilibre statistique, c’est-à-dire
pour lesquelles on a :
∂E(k)
≃ 0 (1.9)
∂t
avec E(k) le spectre d’énergie cinétique turbulente associée au nombre d’onde k.
⋆ H2 : si le nombre de Reynolds est suffisamment grand, il existe un domaine d’échelles, le domaine
inertiel, pour lequel les statistiques de la vitesse ne dépendent plus que de < ɛ >. Cette hypothèse
induit que les grandes échelles sont largement séparés des petites échelles sur le spectre énergétique 1 .
1.2.3 Lien avec les grandes échelles : la cascade énergétique
L’hypothèse H2 impose que l’échelle de Kolmogorov soit la plus petite échelle de tourbillons qui
concentre encore toute l’énergie issue des grandes échelles. Pour une turbulence homogène et isotrope, on
sait d’après Batchelor [9] que l’énergie issue des grandes échelles évolue selon :
∂u 2 (l t )
∂t
∼ u3 (l t )
l t
(1.10)
En égalant la production d’énergie des grandes échelles (Eq. 1.10) avec le taux de dissipation d’énergie
(Eq. 1.7), on aboutit à :
( ) u(lt )l −
3
t
4
η K =
lt (1.11)
ν
1 D’après la relation 1.12, on sait que le flux d’énergie est non linéaire car E(k) dépend non seulement de k mais aussi d’une
plage de nombres d’onde autour de k. Kolmogorov a postulé que chacune de ces plages avait une étendue largement inférieure à la
séparation entre 1/l t et 1/η K pour justifier a priori son processus de cascade énergétique.
26

1.3 Principe de la Simulations aux Grandes Echelles
Le ratio (l t /η K ) varie donc comme Re 3/4
l t
, ce qui implique que le nombre de points d’une SND évolue
comme Re 9/4
l t
points pour capturer toutes les échelles représentatives du spectre énergétique. Dans une SND
pratique, on retient une limite de 10 η K comme plus petite échelle résolue dans un maillage comportant au
maximum quelques milliards de noeuds, ce qui limite les nombres de Reynolds accessibles par cette méthode
à quelques milliers.
1.2.4 Le spectre d’énergie dans le domaine inertiel
Le spectre d’énergie turbulente s’écrit dans l’espace de Fourier (Batchelor [9]) :
E(k) = 1 2 k2 ∫
4π
φ ii (k)dΩ k (1.12)
avec dΩ k l’angle solide élémentaire dans le domaine de Fourier et φ ij (k) la transformée de Fourier des
corrélations doubles dans un champ homogène de vitesse pour 2 points séparés de r dans l’espace de Fourier
:
φ ij = 1
(2π) 3 ∫
< u i (x i )u j (x i + r) > e −ik·r dr (1.13)
où i 2 = −1. L’hypothèse H2 permet aussi de déterminer une expression pour le spectre d’énergie turbulente
E(k) en se fondant sur des arguments dimensionnels :
E(k) = C K < ɛ > 2 3 k
− 5 3 (1.14)
où C K est la constante de Kolmogorov dont la valeur se situe entre 1.4 et 2.1 (une revue des différentes valeurs
de C K est donnée dans Chasnov [29]). Cette loi a été validée pour la première fois expérimentalement
sur près de trois décades de nombre d’onde avec la campagne de mesures de Grant & Moilliet [70] sur
le canal du Discovery Passage en 1962. La Figure 1.2 montre l’accord d’un grand nombre de mesures
expérimentales avec le modèle de Kolmogorov pour des nombres de Reynolds relativement variables
(Chapman [28], Saddoughi & Veeravalli [155]).
1.3 Principe de la Simulations aux Grandes Echelles
Le transfert d’énergie en cascade depuis les grandes échelles vers par les petites échelles implique que
si l’on capture correctement la dynamique des grandes échelles, il suffit que les petites échelles dissipent la
bonne quantité d’énergie (Piomelli & Chasnov [133]). Cette assertion est d’un grand intérêt pour la SGE
car elle implique qu’un modèle représentatif de la dynamique des petites échelles doit surtout dissiper la
bonne quantité d’énergie issue des grandes échelles (Piomelli & Chasnov [133]).
La Simulation aux Grandes Echelles sépare les grandes échelles des petites échelles via un filtrage spatial 2 .
Les filtres les plus utilisés dans l’espace physique sont les suivants (Piomelli & Chasnov [133], Sagaut
[156]) :
2 Il est aussi possible de filtrer dans le domaine spectral (Sagaut [156] présente l’exemple du filtre porte) et ainsi de dériver
un modèle de sous-maille spectral (la revue sur la SGE de Lesieur & Metais [102] explicite notamment le modèle spectral de
sous-maille de Kraichnan).
27

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
FIG. 1.2 - Comparaisons des données expérimentales compilées originellement par Chapman [28] et complétées par
Saddoughi & Veeravalli [155] avec le spectre modèle de Kolmogorov (Eq. 1.14) pour des nombres de Reynolds
variant de 23 à 3180. Les nombres à la fin de chaque référence sont les nombres de Reynolds associés aux
écoulements considérés.
28

1.4 La phase dispersée
⊲ le filtre boîte :
G(x) =
{
1
∆
si |x| < ∆ 2
0 sinon
(1.15)
⊲ le filtre gaussien :
√ ( )
6
G(x) =
π∆ 2 exp − 6x2
∆ 2
(1.16)
où G est la fonction de filtrage, x la coordonnée spatiale, ∆ la longueur de coupure du filtre. On remarquera
que ces deux filtres induisent un recouvrement fréquentiel des quantités filtrée et résiduelle. De plus, ces
deux filtres ne sont pas idempotents.
Le champ turbulent instantané f est donc filtré dans le domaine physique D selon la procédure suivante 3 :
∫
f(x) = f(x ′ )G ∆
(x − x ′ )dx ′ (1.17)
La quantité f peut donc s’écrire f = f + f ′ . On note que f ≠ f.
D
Pour les écoulements à densité variable, un filtrage au sens de Favre est mieux adapté :
˜f(x) = ρf(x)
ρ
(1.18)
On peut décomposer f de la même manière que précédemment : f = ˜f + f”.
Dans un calcul SGE, la procédure de filtrage décrite par l’Eq. 1.17 n’est pas explicite car c’est le maillage
qui tient lieu de filtre implicite.
La Figure 1.3 compare les approches SND, SGE et RANS sur un spectre idéalisé monodimensionnel de
l’énergie cinétique turbulente. La longueur de coupure ∆ marque la séparation entre les grandes échelles et
les petites échelles sur le spectre.
Les modèles de sous-maille utilisés dans le code de calcul seront explicités dans les sections 2.2 et 2.4 pour
les phases porteuse et dispersée respectivement.
1.4 La phase dispersée
L’atomisation de la nappe liquide issue d’un gicleur induit le plus souvent la génération d’une myriade
de gouttes de tailles très différentes. La présence de ces gouttes affecte plus ou moins l’écoulement de la
phase porteuse (ici l’écoulement gazeux) en fonction de la charge volumique en gouttes. On distingue ainsi
deux types d’écoulement diphasiques (Crowe [38]) :
3 Pour simplifier l’écriture, on ne note pas ici la dépendance en temps du filtre G et de la variable f.
29

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
Modélisé en RANS / Résolu en SND
Résolu en SGE
Modélisé en
SGE
Pente en -5/3 pour la turbulence pleinement développée
Grandes échelles
Petites échelles
FIG. 1.3 - Spectre idéalisé de la turbulence et domaines d’influence des approches SND, SGE et RANS.
1. les écoulements denses où le mouvement d’une goutte est contrôlé principalement par les interactions
avec les autres gouttes au travers des différents types de collision (les différents phénomènes
collisionnels sont abordés plus en détail dans l’annexe B).
2. les écoulements dilués pour lesquels le mouvement d’une goutte est dirigé par l’interaction avec
l’écoulement de la phase gazeuse (un bilan des forces s’exerçant sur une goutte isolée dans un
écoulement de phase porteuse est donné en annexe A).
Il est évident qu’un écoulement diphasique peut présenter localement un comportement d’écoulement
dense, par exemple dans le voisinage de l’atomiseur, tandis qu’il aura un comportement d’écoulement dilué
ailleurs. Ces deux aspects de l’écoulement diphasique induisent une modulation variable de la turbulence
de la phase porteuse : la Figure 1.4 présente une collection de résultats expérimentaux issue de Gore &
Crowe [66] qui indiquent que les grosses gouttes renforcent la turbulence de l’écoulement gazeux tandis
que les plus petites l’atténuent. La transition entre ces deux comportements se situe vers une taille de goutte
de l’ordre d’un dixième de l’échelle intégrale de l’écoulement gazeux.
Un paramètre très important pour qualifier la dynamique des particules est le nombre de Stokes qui divise
le temps de relaxation des particules noté τ p par un temps caractéristique de la phase porteuse noté τ f :
St = τ p
τ g
(1.19)
30

1.4 La phase dispersée
Changement d’intensité turbulente
pour la phase porteuse (en %)
FIG. 1.4 - Compilation de données expérimentales sur l’influence du rapport (d p /l t ) sur l’intensité turbulente de
l’écoulement de gaz (tiré de Gore & Crowe [66]).
Pour des gouttes sphériques indéformables, le temps de relaxation des particules peut s’écrire :
τ p =
ρ pd 2 p
18µ g f
(1.20)
où ρ p est la masse volumique du liquide, µ g la viscosité dynamique du gaz et f un facteur correctif qui
dépend du nombre de Reynolds particulaire Re p basé sur la différence de vitesse entre la goutte et le gaz
environnant :
Re p = d p|u p − u g |
ν g
(1.21)
où u p est la vitesse de la particule, u g est la vitesse du gaz et ν g est la viscosité cinématique du gaz.
La Table 1.1 présente les différentes formulations du facteur correctif f en fonction du nombre de Reynolds
particulaire.
Re p ≪ 1 < 1000 ≥ 1000
f 1 1 + 0.15 Re 0.687
p * 0.0183 Re p **
* Cette corrélation revient à Schiller & Nauman [160].
** Cette corrélation a été proposée par Putnam [141].
TAB. 1.1 - Formulation du facteur correctif f en fonction de Re p .
Un nombre de Stokes faible (St > 1), les gouttes ne sont pas ou peu affectées par
l’écoulement de gaz. Ces deux comportements sont représentés sur la Fig. 1.5.
31

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
FIG. 1.5 - Illustration des effets du nombre de Stokes sur la trajectoire de particules (trait pointillé) traversant une
couche de mélange (trait plein) (adapté de Crowe et al. [37]).
Si le temps τ g est caractéristique de la turbulence du gaz, on peut établir une cartographie de l’interaction
entre la turbulence du gaz et les caractéristiques des gouttes (St et α l la fraction volumique de la phase
liquide), ce que montre la Fig. 1.6 adaptée de Elghobashi & Truesdell [51].
FIG. 1.6 - Cartographie suggérée par Elghobashi & Truesdell [51] concernant la modulation de turbulence du fluide
porteur par la phase dispersée.
Les approches numériques des écoulements diphasiques retiennent généralement un couplage direct ou
direct-inverse pour représenter la dynamique des particules. Si la présence des particules affecte peu la
phase porteuse, ce qui est généralement le cas pour des charges très faibles en particules et/ou des nombres
de Stokes élevés (Crowe [39]), seul le couplage direct est appliqué. En revanche, le couplage direct-inverse
induit en plus un effet de la phase dispersée sur la phase porteuse, que ce soit sur les grandeurs moyennes
ou fluctuantes.
32

1.5 L’approche Lagrangienne
Deux classes d’approches numériques peuvent être utilisées pour traiter la phase dispersée : le formalisme
Lagrangien (section 1.5) et le formalisme Eulérien (section 1.6).
1.5 L’approche Lagrangienne
Le formalisme Euler-Lagrange a été originellement décrit par Dukowicz [50]. Sachant que les
écoulements diphasiques industriels font intervenir un nombre très important de gouttes (de quelques
millions dans les bancs expérimentaux jusqu’à plusieurs milliards dans les sprays industriels), on représente
un certain nombre (généralement de quelques dizaines à quelques centaines) de gouttes physiques rigoureusement
identiques par une seule goutte numérique. L’hypothèse que des gouttes initialement identiques
le restent tout au long du calcul peut cependant conduire à des statistiques médiocres sur la phase dispersée
(Moin [120]).
Le formalisme Euler-Lagrange consiste donc à décrire la dynamique de ces gouttes numériques en résolvant
à chaque pas de temps Lagrangien les équations suivantes :
dX p,i
dt
= V p,i (1.22)
d
dt (m pV p,i ) = F p,i (1.23)
d
dt (m pC p T p ) = ˙Q p (1.24)
avec ⃗ X p la position de la goutte, ⃗ V p sa vitesse, m p sa masse, C p sa chaleur spécifique à pression constante,
T p sa température, F p les forces extérieures agissant sur la goutte et ˙Q p le taux de transfert de chaleur avec
le gaz.
L’équation du mouvement de la goutte (Eq. 1.23) est généralement identifiée comme l’équation BBO (pour
Basset-Boussinesq-Oseen). Maxey & Riley [116] ont dérivé l’équation BBO à partir des premiers principes
de la Mécanique pour des nombres de Reynolds particulaires très faibles (Re p < 1). Pour des écoulements
gaz-particules où (ρ p /ρ f ) ∼ 10 3 , on peut réduire les forces qui s’appliquent à la particule à la seule force
de trainée (l’annexe A précise les autres forces qui peuvent s’appliquer à une goutte isolée.).
Le principal avantage de la méthode Lagrangienne est le traitement naturel des phénomènes associés à la
présence simultanée de gouttes de diamètres très différents dans un écoulement de phase porteuse :
⊲ la dispersion différenciée de ces gouttes suivant leur taille,
⊲ les croisements des trajectoires de goutte,
⊲ les collisions goutte/goutte et goutte/parois.
Cependant, l’interaction de la particule avec la turbulence du fluide porteur reste une difficulté de taille pour
les approches RANS et SGE où la vitesse locale et instantanée du gaz autour de la goutte est inconnue.
Crowe et al. [40] proposent une revue des modèles stochastiques qui ont été élaborés pour prendre en
compte cette interaction. On peut citer notamment les travaux suivants :
⊲ Yuu et al. [205] proposent de conserver la particule dans un tourbillon de la phase porteuse tant que ce
dernier n’est pas dissipé puis de la transférer ensuite à une autre structure (on suppose implicitement
33

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
que le pas de temps Lagrangien est égal à la durée de vie des grandes échelles) 4 . La vitesse locale de
la phase porteuse est la somme de la vitesse locale moyenne du gaz et d’une vitesse fluctuante tirée
d’une distribution gaussienne de vitesses dont la variance est proportionnelle à l’énergie turbulente du
gaz.
⊲ Dukowicz [50] a plutôt choisi de déplacer à chaque pas de temps la particule d’une distance choisie
aléatoirement dans une distribution gaussienne. Tout comme la précédente, cette méthode est incapable
de traiter le ”crossing trajectory effect”.
⊲ Gosman & Ioannides [68] ont introduit une vitesse relative entre les échelles turbulentes et la particule
dans le cadre d’un modèle RANS du type k−ɛ pour la turbulence du fluide porteur. Dans ce modèle, on
compare le temps de vie d’un tourbillon T E et le temps de résidence de la particule dans le tourbillon
T R qui s’écrit :
T R =
l
|⃗u rel |
(1.25)
où ⃗u rel est la vitesse relative entre le tourbillon et la particule. Le minimum de ces deux temps est le
temps d’interaction entre la particule et le tourbillon, ce qui permet de simuler le ”crossing trajectory
effect”. Ce modèle stochastique a prouvé sa robustesse (Mostafa & Mongia [125], Sommerfeld &
Krebs [176]) et reste le modèle employé dans la grande majorité des codes commerciaux.
La méthode Lagrangienne a été utilisée avec succès dans les approches SGE (Sankaran & Menon
[157], Apte et al. [4], Ham et al. [79], Moin [120]). L’implantation de cette méthode dans un code de calcul
nécessite cependant un certain nombre de développements critiques pour l’efficacité du calcul qui sont :
• l’algorithme de recherche des particules sur la grille eulérienne (Lohner [109]). Par ordre d’efficacité,
on peut distinguer l’algorithme dit ”brute-force” (recherche systématique de la particule sur tous
les éléments de la grille), l’algorithme dit ”modified brute-force” (recherche dans le voisinage de la
position précédente de la particule) et l’algorithme dit ”known-vicinity” (recherche dans un voisinage
encore plus réduit par la connaissance de la vitesse de la particule à l’instant précédent).
• l’algorithme de localisation de la particule dans l’élément de la grille eulérienne ( Westermann
[199]). Cet algorithme est particulièrement critique pour un maillage non structuré.
• une méthode d’interpolation qui permet de retrouver les propriétés du gaz à l’endroit où se situe la
particule dans le volume de contrôle.
• la méthode de parallélisation (García et al. [63]). Pour une très faible charge en particules dans des
géométries simples, on peut séparer les processeurs qui résolvent uniquement l’écoulement du gaz
de ceux qui résolvent celui des gouttes. Par contre, pour des nombres plus élevés de particules dans
des géométries complexes, il est nécessaire d’utiliser plus de processeurs et donc de partitionner le
domaine de calcul en sous-domaines où chaque processeur traite les deux phases. De plus, la partition
du domaine doit être dynamique car la localisation spatiale de la charge liquide varie dans le temps.
1.6 L’approche Eulérienne
L’approche Euler-Euler conduit à assimiler la phase dispersée à une phase continue décrites par des
grandeurs moyennes. En fonction de l’opération de moyenne (volumique ou statistique), on distingue deux
4 Cette approche n’est clairement pas applicable à des particules fortement inertielles (St >> 1) qui peuvent traverser plusieurs
des grandes structures de l’écoulement gazeux pendant la durée de vie caractéristique de ces grandes structures. Cet effet appelé
”crossing trajectory effect” a été identifié par Csandy [41].
34

1.6 L’approche Eulérienne
formalismes qui aboutissent à des jeux d’équations très similaires.
1.6.1 Moyenne volumique
Une description de l’approche eulérienne en moyenne volumique est donnée dans Simonin & Février
[168] et Kaufmann [89].
On peut écrire localement les équations de Navier-Stokes sans savoir a priori pour quelle phase car ces
équations arborent la même forme dans chaque phase :
∂
∂t (ρu i) +
∂
∂t (ρ) + ∂ (ρu j ) = S ρ (1.26)
∂x j
∂
∂x j
(ρu i u j ) =
∂
∂t (ρh) + ∂ (ρu j h) = − ∂ (q j ) + d ∂x j ∂x j dt (p) + τ ij
∂
∂x j
(σ ij ) + S u (1.27)
∂
(u i ) + S h (1.28)
∂x j
avec S ρ , S u et S h les termes d’échanges entre phases. Les grandeurs utilisées dans les équations 1.26 à 1.28
ne prennent tout leur sens que quand on sait quelle phase est traitée. Pour ce faire, on identifie la phase par
une fonction indicatrice χ φ définie comme suit :
{ 1 si le volume élémentaire est dans la phase φ
χ φ =
0 sinon
(1.29)
Une fois multipliées par la fonction indicatrice, les équations 1.26 à 1.28 sont moyennées en volume.
L’opération de moyenne < . > Ω en volume de la fonction indicatrice de phase définit la fraction volumique
α φ de la phase φ dans le volume de contrôle arbitraire noté Ω :
α φ =< χ φ > Ω = 1 Ω
∫
Ω
χ φ dΩ (1.30)
La moyenne volumique de toute quantité g notée G φ est obtenue en la multipliant par χ φ et en l’intégrant
sur le volume de contrôle :
α φ G φ =< χ φ g > Ω = 1 Ω
∫
Ω
gχ φ dΩ (1.31)
L’opération de moyenne en volume possède les propriétés suivantes, dites de l’axiome de Reynolds :
1. Linéarité :
< f + g > Ω =< f > Ω + < g > Ω (1.32)
< λf > Ω = λ < f > Ω (1.33)
2. Idempotence :
Ω g > Ω =< f > Ω < g > Ω (1.34)
35

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
3. Commutation avec les opérateurs de dérivation spatiale et temporelle :
< ∂
∂x j
f > Ω =
∂
∂x j
< f > Ω (1.35)
< ∂ ∂t f > Ω= ∂ ∂t < f > Ω (1.36)
Les différentes étapes qui mènent aux équations moyennées peuvent donc être listées de la manière suivante :
1. on multiplie les équations par la fonction indicatrice de phase χ φ ;
2. on commute les opérateurs de dérivation et la fonction indicatrice χ φ ;
3. on applique l’opérateur de moyenne volumique Ω sur le volume de contrôle Ω ;
4. on modélise les termes non résolus.
Ces étapes permettent d’aboutir aux équations moyennées de la phase liquide :
∂
∂t ρ φα φ +
∂ ρ φ α φ U φ,j = S α,φ (1.37)
∂x j
∂
∂t ρ φα φ U φ,i +
∂ ρ φ α φ U φ,j U φ,i = S ui ,φ (1.38)
∂x j
où α φ =< χ φ > Ω est la fraction volumique de la phase φ, ρ φ sa masse volumique et U φ,i sa vitesse
moyennée au sens de Favre (α φ ρ φ U φ,i =< ρ φ u φ χ φ > Ω ). S α,φ et S u,φ sont des termes à modéliser comprenant
les effets de la pression, de la viscosité, des échanges entre phases et des fluctuations d’échelles
inférieures à Ω.
1.6.2 Moyenne statistique
Une autre méthode consiste à considérer l’ensemble des particules présentes comme des particules
statistiques. Cette méthode est à mettre en parallèle avec la théorie cinétique des gaz (Grad [69]) et est
présentée par Simonin & Février [168]. Elle permet notamment d’introduire le mouvement décorrélé de
la particule par analogie avec le mouvement brownien des molécules d’un gaz, et la notion de champ
mésoscopique (Février et al. [59]) défini comme la moyenne d’un ensemble de réalisations particulaires
conditionnée par une seule réalisation du champ de phase porteuse.
Cette moyenne est décrit par une fonction de densité de présence f p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f ) basée sur la
fonction particulaire W p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f ) définie par :
W p = δ( −→ u p − −→ c p (t))δ(T p − ζ p (t))δ(d p − β p (t))δ( −→ x − −→ x p (t))|H f ) (1.39)
où δ est la distribution de Dirac, −→ c p , ζ p et β p sont respectivement la vitesse, la température et diamètre des
particule dans l’espace des phases. En supposant l’écoulement dilué, les corrélations qui apparaissent dans
la phase dispersée sont uniquement dues à l’interaction des particules avec le fluide porteur environnant.
En supposant les particules reliées à une seule réalisation de la phase porteuse, f p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f )
représente une moyenne notée < .|H f > de la fonction particulaire W p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f ) sur un grand
nombre de réalisations du champ particulaire, soit :
36

1.6 L’approche Eulérienne
f p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f ) = < W p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f )|H f >
⎡
⎤
= lim ⎣ 1 N
∑ ∑ p
W p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f ) ⎦ (1.40)
N p
N p→+∞
f p ( −→ c p , ζ p , β p , −→ x p , t, H f )∂ −→ c p ∂ζ p ∂β p ∂ −→ x p ∂t est donc le nombre de particules dont les centres de masse à
l’instant t sont définis par :
• une position −→ x p dans l’intervalle [ −→ x , −→ x + ∂ −→ x ],
• une vitesse −→ u p ∈ [ −→ c p , −→ c p + ∂ −→ c p ],
• une température T p ∈ [ζ p , ζ p + ∂ζ p ],
• un diamètre d p ∈ [β p , β p + ∂β p ].
Il est important de noter que le formalisme mésoscopique utilisé par Boileau [15] et Lamarque [94] introduit
une fonction de densité de présence f p ( −→ c p , ζ p , µ p , −→ x p , t, H f ) qui s’appuie notamment sur µ p la masse des
particules et non le diamètre afin de prendre en compte l’évaporation d’un spray monodisperse. On reprend
cette formulation dans la section 2.3 pour dériver les équations d’un spray monodisperse. Mossa [124] a
préféré employer la formulation de f p donnée dans l’Eq. 1.40 qui fait apparaître le diamètre β p dans l’espace
des phases. Cette formulation est reprise dans le chapitre 3 afin de dériver les termes spécifiquement reliés
à la polydispersion.
N p
m=1
Cette fonction de densité de présence (FDP) f p 5 est classiquement gouvernée par une équation de Boltzmann
:
∂f p
∂t + ∂−→ c p f p
= − ∂ (
〈 d−→ u p,i
∂x i ∂c p,i dt
| −→ )
c p , ζ p , β p 〉f p −
∂ (
〈 dT )
p
∂ζ p dt |−→ c p , ζ p , β p 〉f p
( ) ∂fp
∂t
− ∂
∂β p
(
〈 d d p
dt |−→ c p , ζ p , β p 〉f p
)
+
collision
(1.41)
∂
Dans l’Eq. 1.41,
∂t
traduit la variation temporelle de n’importe quelle quantité physique se rapportant à
la particule p et mesurée d’un point de vue Lagrangien (c’est-à-dire en suivant la particule le long de sa
trajectoire). 〈.| −→ )
c p , ζ p , β p 〉 est une moyenne d’ensemble des réalisations de la phase liquide.
(
∂fp
∂t
collision
est la variation temporelle de la FDP induite par les collisions, quels que soient les produits de ces collisions
(rebond, coalescence ou fragmentation).
Dans la section 2.3, on décrit les principales étapes qui permettent d’obtenir les équations de conservation
sur les grandeurs pertinentes de la phase dispersée à partir de l’Eq. 1.41 sur la FDP :
1. grâce à la FDP, on définit une moyenne statistique locale des propriétés du spray (section 2.3.2) ;
2. on multiplie l’Eq. 1.41 par une fonction particulaire Ψ, puis on la filtre grâce à la moyenne définie
précédemment afin d’établir l’équation générale d’Enskog (section 2.3.4) ;
3. en remplaçant Ψ par les quantités pertinentes afin d’établir un système d’équations de conservation
sur la partie corrélée du mouvement de la phase dispersée (section 2.3.5) ;
4. on applique des modèles de fermeture pour le mouvement décorrélé et pour les termes d’échange avec
la phase porteuse (section 2.3.6).
5 On notera que f p n’est pas une fonction de densité de probabilité au sens strict. En effet, son intégrale dans l’espace des phases
n’est pas normée puisqu’égale au nombre volumique de particules sur le domaine d’intégration.
37

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE SGE APPLIQUÉE AUX ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES TURBULENTS
1.7 Comparaison des approches Euler-Euler et Euler-Lagrange
La Table 1.2 donne un aperçu des qualités et des défauts des méthodes Euler-Euler et Euler-Lagrange
dans le cadre de simulations SGE.
Pour la méthode Lagrangienne, on retiendra principalement son traitement relativement intuitif de la polydispersion
allié à un coût de calcul qui croit fortement avec le nombre de particules considérées. Concernant
la méthode Eulérienne, son implantation assez aisée est contrebalancée par le surcoût induit par la prise
en compte de la polydispersion et une modélisation plus difficile. En particulier, si la polydispersion est
traitée par une méthode sectionnelle (Greenberg et al. [71]), le surcoût engendré est directement relié au
nombre de classes de taille considéré. Afin de pallier ce défaut, Mossa [124] a proposé une méthode de pdf
présumée pour la distribution des tailles de goutte (cette méthode est brièvement décrite dans le chapitre 3).
Approche Euler-Euler
Approche Euler-Lagrange
AVANTAGES
⋆ Traitement simple des zones denses ⋆ Traitement ”naturel” des effets liés à
la polydispersion
⋆ Equations similaires à celles du gaz ⋆ Possibilité d’inclure facilement plus
de forces sur les gouttes
⋆ Transport direct des grandeurs ⋆ Séparation intrinsèque des pas de
Eulériennes
temps pour chaque phase
⋆ Parallélisme facile à implanter ⋆ Qualité et précision des résultats SGE
INCONVENIENTS
⋆ Coût et implantation de la polydispersion
(surtout pour les méthodes dites
⋆ Coût de l’algorithme de détection des
particules
”multi-fluides”)
⋆ Limitation de la méthode dans les ⋆ Parallélisme délicat à implanter
zones très diluées
⋆ Difficulté à traiter correctement les
croisements de sprays*
⋆ Utilisation de paquets numériques
regroupant plusieurs particules physiques
⋆ Le couplage inverse reste une question
ouverte.
L’interaction avec la turbulence de sous-maille
du fluide porteur s’avère difficile à déterminer.
* Desjardins et al. [45] a montré qu’une formulation Eulérienne du type DQMOM (pour Direct Quadrature Method Of Moments)
est capable de décrire les croisements de sprays.
TAB. 1.2 - Avantages et inconvénients des approches Euler-Euler et Euler-Lagrange dans le cadre des simulations
SGE.
38

Chapitre 2
Description des sprays monodisperses via le
modèle Euler-Euler
2.1 Les équations de la phase porteuse
Les équations de la phase porteuse sont écrites pour l’écoulement fluide d’un mélange compressible en
l’absence de combustion.
2.1.1 Les équations de conservation
Pour chaque quantité représentative du fluide porteur, on écrit une équation de conservation qui régit
son évolution spatio-temporelle. Ces quantités représentatives sont la masse, la quantité de mouvement,
la fraction massique des espèces et l’énergie. On dérive les équations de conservation pour l’écoulement
monophasique d’un mélange compressible de plusieurs espèces chimiques sans réaction de combustion.
Dans ce chapitre, une sommation s’applique implicitement à toutes les grandeurs indicées en espace i ou j
dans les termes où cet indice se répète. L’indice k échappe ici à la notation einsteinienne et la sommation
sur k est formellement explicitée.
Le système des équations de conservation décrivant l’évolution d’un écoulement de fluide compressible sans
réaction de combustion ni terme source radiatif s’écrit :
∂ρ u i
∂t
+ ∂ (ρ u i u j ) = −
∂ [P δ ij − τ ij ] (2.1)
∂x j ∂x j
∂ρ E
∂t
+ ∂ (ρ E u j ) = −
∂ [u i (P δ ij − τ ij ) + q j ] (2.2)
∂x j ∂x j
∂ρ k
∂t +
∂
∂x j
(ρ k u j ) = −
∂
∂x j
[J j,k ] (2.3)
Les Eq. 2.1 à 2.3 correspondent respectivement à la conservation de la quantité de mouvement (le vecteur
ρ u), la conservation de l’énergie totale (ρE) et des densités partielles de chaque espèce (ρ k = ρY k ∀ k ∈
[[1, N]] avec N le nombre total d’espèces), où ρ est la masse volumique du mélange.
Il est d’usage de scinder le tenseur des flux en une partie convective et une partie visqueuse. On les note de
la manière suivante pour les trois équations de conservation (Eq. 2.1 à 2.3) :

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
Termes non visqueux :
⎛
⎝
ρ u i u j + P δ ij
(ρE + P δ ij ) u j
ρ k u j
⎞
⎠ (2.4)
où la pression hydrostatique P est obtenue grâce à l’équation d’état d’un gaz parfait (Eq. 2.12)).
Termes visqueux :
Les composantes du tenseur des flux visqueux s’écrivent :
⎛
⎝
−τ ij
−(u i τ ij )
J j,k
⎞
⎠ (2.5)
où J k est le flux diffusif de l’espèce k décrit en détail dans la section 2.1.3. Le tenseur des contraintes τ ij
est explicité dans la section 2.1.4.
L’état de référence qui est choisi correspond à P 0 = 1bar et T 0 = 0K. Les enthalpies massiques sensibles
(h s,k ) et entropies massiques (s k ) de chaque espèce sont tabulées de 0 à 5000K par pas de 100K pour un
total de 51 valeurs. Ces quantités sont évaluées comme suit :
h s,k (T i ) =
∫ Ti
T 0 =0K
C p,k dT = hm s,k (T i) − h m s,k (T 0)
W k
et (2.6)
s k (T i ) = sm k (T i) − s m k (T 0)
W k
avec i ∈ [[1, 51]] (2.7)
L’exposant m indique des quantités molaires. Les valeurs tabulées de h s,k (T i ) et s k (T i ) sont disponibles
dans les tables JANAF (Stull & Prophet [184]). L’énergie sensible de chaque espèce peut être reconstruite
de la manière suivante :
e s,k (T i ) =
∫ Ti
T 0 =0K
C v,k dT = h s,k (T i ) − r k T i avec i ∈ [[1, 51]] (2.8)
On remarquera que les capacités calorifiques à pression constante en masse (c p,k ) et en volume (c v,k ) sont
supposées constantes entre T i et T i+1 (=T i +100). Ces capacités définissent les pentes de h s,k (T ) et s k (T ).
L’énergie varie continûment avec la température et est obtenue par interpolation linéaire :
e s,k (T ) = e s,k (T i ) + (T − T i ) e s,k(T i+1 ) − e s,k (T i )
T i+1 − T i
(2.9)
L’énergie et l’enthalpie sensible du mélange s’expriment dès lors sous la forme :
ρe s =
ρh s =
N∑
N∑
ρ k e s,k = ρ Y k e s,k (2.10)
k=1
k=1
k=1
N∑
N∑
ρ k h s,k = ρ Y k h s,k (2.11)
40
k=1

2.1 Les équations de la phase porteuse
2.1.2 L’équation d’état du gaz
L’équation d’état pour un mélange parfait de gaz parfaits s’écrit :
P = ρ r T (2.12)
où r est la constante molaire du mélange des gaz parfaits qui dépend de l’espace et du temps. La constante
massique du mélange de gaz parfaits est calculée par r = R/W avec W la masse molaire du mélange
d’espèces défini par :
1
N
W = ∑ Y k
(2.13)
W k
La constante r et les capacités calorifiques dépendent de la composition locale du mélange :
r = R W = N ∑
k=1
C p =
C v =
k=1
Y k
W k
R =
N∑
Y k r k (2.14)
k=1
N∑
Y k C p,k (2.15)
k=1
N∑
Y k C v,k (2.16)
k=1
avec R = 8.314 J/mol.K. Le coefficient polytropique du mélange est donné par γ = C p /C v . En conséquence,
la constante des gaz, les capacités calorifiques ainsi que le coefficient polytropique ne sont plus constants.
Ces quantités dépendent de la composition locale du mélange et s’expriment en fonction des fractions massiques
locales de chaque espèce Y k (x, t) :
r = r(x, t), C p = C p (x, t), C v = C v (x, t), et γ = γ(x, t) (2.17)
La température est déduite de l’enthalpie sensible en utilisant les Eq. 2.9 et 2.10. Par ailleurs, les conditions
aux limites nécessitent la connaissance de la vitesse du son c dans le mélange qui est donnée par :
c = √ γ r T (2.18)
2.1.3 Conservation de la masse : Flux diffusifs des espèces
Dans les écoulements de mélange multi-espèces, la conservation de la masse totale du mélange implique
la relation suivante :
N∑
k=1
Y k V k
i = 0 (2.19)
41

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
avec Vi
k les composantes de la vitesse diffusive de l’espèce k dans les directions (i = 1, 2, 3). En utilisant
l’approximation de Hirschfelder & Curtis (Hirschfelder et al. [81]), on les exprime sous forme de gradients :
X k V k
i
= −D k
∂X k
∂x i
(2.20)
où X k est la fraction molaire de l’espèce k : X k = Y k (W/W k ). Si on exprime l’Eq. 2.20 en fonction de la
fraction massique, on aboutit à :
Y k V k
i
= −D k
W k
W
∂X k
∂x i
(2.21)
La sommation de l’Eq. 2.21 sur toutes les espèces doit redonner la conservation de la masse totale du
mélange. Pour ce faire, une vitesse de correction notée Vi
c est introduite (chapitre 1 de Poinsot & Veynante
[138]) :
V c
i =
N∑
k=1
D k
W k
W
∂X k
∂x i
(2.22)
Cette vitesse correctrice permet de finaliser l’expression du tenseur des flux diffusifs pour chaque espèce k,
soit :
(
)
W k ∂X k
J i,k = −ρ D k − Y k Vi
c
W ∂x i
(2.23)
Dans l’Eq. 2.23, le facteur D k est le coefficient de diffusion de l’espèce k dans le mélange.
2.1.4 Tenseur des contraintes visqueuses
En s’appuyant sur une hypothèse de Boussinesq, le tenseur des contraintes visqueuses τ ij peut s’écrire :
avec
τ ij = 2µ(S ij − 1 3 δ ijS ll ) (2.24)
Il est possible de réécrire l’Eq. 2.24 sous la forme :
S ij = 1 2 (∂u j
∂x i
+ ∂u i
∂x j
) (2.25)
τ xx = 2µ 3
τ yy = 2µ 3
τ zz = 2µ 3
(2
∂u
∂x − ∂v
∂y − ∂w
∂z ),
∂z ),
(2
∂v
∂y − ∂u
∂x − ∂w
(2
∂z
∂w − ∂u
∂x − ∂v
∂y ),
τ xy = µ( ∂u
∂y + ∂v
∂x )
τ xz = µ( ∂u
∂z + ∂w
∂x )
τ yz = µ( ∂v
∂z + ∂w
∂y ) (2.26)
où µ est la viscosité dynamique du fluide porteur.
42

2.1 Les équations de la phase porteuse
2.1.5 Vecteur des flux de chaleur
Dans les écoulements de mélange multi-espèces, un terme additionnel de flux de chaleur apparaît dans
le flux diffusif de chaleur. Ce terme recouvre le transport de chaleur à travers la diffusion moléculaire des
espèces. Le vecteur des flux de chaleur s’écrit alors :
q i = −λ ∂T
∂x i
} {{ }
Conduction de chaleur
= −λ ∂T
∂x i
+
N∑
(
)
W k ∂X k
−ρ D k − Y k Vi
c h s,k
W ∂x i
k=1
} {{ }
Flux de chaleur par diffusion moléculaire
N∑
J i,k h s,k (2.27)
k=1
avec λ = (µC p )/(P r) la conductivité thermique qui fait intervenir le nombre de Prandtl, X k la fraction
molaire de l’espèce k et W la masse molaire du mélange définie par 1/W = ∑ N
k=1 (Y k/W k ).
2.1.6 Coefficients de transport
Une hypothèse particulièrement répandue consiste à supposer que la viscosité dynamique µ est
indépendante de la composition du mélange et proche de celle de l’air, ce qui permet d’utiliser la loi de
Sutherland :
µ = c 1
T 3/2
T + c 2
T ref + c 2
T 3/2
ref
(2.28)
avec des coefficients c 1 et c 2 qui doivent être ajustés afin de s’approcher de la viscosité réelle du mélange.
En particulier, pour l’air à T ref = 273K, c 1 vaut 1.71 10 −5 kg/m.s et c 2 vaut 110.4 K (White [200]). Une
autre relation en puissance de T est également utilisée :
où b se situe typiquement entre 0.5 et 1.0 (0.76 pour l’air).
µ = c 1 ( T
T ref
) b (2.29)
La conductivité thermique du mélange est calculée en tenant compte du nombre de Prandtl moléculaire soit :
λ = µ C p
P r
avec P r que l’on suppose constant dans le temps et dans le domaine de calcul.
(2.30)
La détermination du coefficient de diffusion D k relatif à l’espèce k dans le mélange est un problème à part
entière. De tels coefficients devraient être exprimés en fonction des coefficients binaires D ij qui apparaissent
dans la théorie cinétique des gaz (Hirschfelder et al. [81]). Le coefficient D k est calculé selon la relation
(Bird et al. [14]) :
D k =
1 − Y k
∑ N
j≠k X j/D jk
(2.31)
43

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
Les termes D ij sont des fonctions complexes qui font intervenir des intégrales de collision inter-moléculaire
et des variables thermodynamiques particulières. Dans une approche SND reposant sur des schémas
cinétiques complets, utiliser l’Eq. 2.31 est approprié. Dans tous les autres cas, modéliser la diffusivité
moléculaire de chaque espèce du mélange de manière précise n’a que peu d’intérêt. C’est pourquoi D k est
souvent approximé. En supposant les nombres de Schmidt de chaque espèce Sc k constants, l’expression du
coefficient de diffusion D k se réduit à :
D k = µ
ρSc k
(2.32)
On notera que les nombres P r and Sc k évaluent respectivement la diffusion thermique et moléculaire par
rapport à la diffusion de quantité de mouvement.
2.1.7 Les équations de conservation filtrées
La quantité filtrée f est directement résolue dans la simulation tandis que la quantité résiduelle f ′ = f −f
doit être modélisée. L’opération de filtrage liée à la méthode SGE et définie dans la section 1.3 est donc
appliquée aux équations de conservation présentées dans la section 2.1.1 :
∂ρ ũ i
∂t
+ ∂ (ρ ũ i ũ j ) = −
∂ [P δ ij − τ ij − τ t ij ] (2.33)
∂x j ∂x j
∂ρ Ẽ
∂t
+ ∂ (ρ
∂x Ẽ ũ j) = −
∂ [u i (P δ ij − τ ij ) + q j + q t j ] + Q r (2.34)
j ∂x j
∂ρ Ỹk
∂t
+ ∂ (ρ
∂x Ỹk ũ j ) = −
∂
t
[J j,k + J j,k ] (2.35)
j ∂x j
Les Equations 2.33 à 2.35 mettent en jeu des tenseurs de flux que l’on peut scinder en trois contributions :
non-visqueuse, visqueuse et turbulente de sous-maille. Leurs expressions sont les suivantes :
Tenseur non visqueux :
Les composantes du tenseur des flux non visqueux adoptent la même forme que celles utilisées en SND
(section 2.1.1) mais avec les grandeurs filtrées :
Tenseur visqueux :
⎛
⎝
ρũ i ũ j + P δ ij
ρẼũ j + P u j δ ij
ρ k ũ j
Les composantes du tenseur des flux visqueux s’écrivent :
⎛
⎝
−τ ij
−(u i τ ij ) + q j
J j,k
⎞
⎠ (2.36)
⎞
⎠ (2.37)
L’opération de filtrage induit la présence de termes non fermés que l’on doit modéliser :
Termes relatifs à la turbulence de sous-maille :
44

2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse
Les flux turbulents de sous-maille sont exprimés sous la forme :
⎛
⎝
−τ ij
t
q j
t
J j,k
t
⎞
⎠ (2.38)
2.1.8 Le tenseur filtré des flux visqueux
Les termes de diffusion filtrés sont les suivants (chapitre 4 de Poinsot & Veynante [138]) :
• le tenseur filtré des contraintes laminaires ˜τ ij est donné par la relation :
τ ij = 2µ(S ij − 1 3 δ ijS ll )
≈ 2µ( ˜S ij − 1 3 δ ij ˜S ll )
(2.39)
dans laquelle on a :
L’Equation 2.39 peut aussi prendre la forme suivante :
τ xx ≈ 2µ 3
τ yy ≈ 2µ 3
τ zz ≈ 2µ 3
˜S ij = 1 2 (∂ũ j
∂x i
+ ∂ũ i
∂x j
), (2.40)
(2
∂eu
∂x − ∂ev
∂y − ∂ ew
∂z ),
∂z ),
(2
∂ev
∂y − ∂eu
∂x − ∂ ew
(2
∂ ew
∂z − ∂eu
∂x − ∂ev
∂y ),
• le flux diffusif des espèces est calculé via la relation :
J i,k
(
= −ρ
≈ −ρ
W
D k ∂X k k W
∂X e k
∂x i
(
D k
W k
W
dans laquelle on a négligé les corrélations d’ordre élevé.
• le flux de chaleur filtré s’écrit :
q i
τ xy ≈ µ( ∂eu
∂y + ∂ev
∂x )
τ xz ≈ µ( ∂eu
∂z + ∂ ew
∂x )
τ yz ≈ µ( ∂ev
∂z + ∂ ew
∂y ) (2.41)
∂x i
− Y k V i
c )
− ỸkṼi
c ) ,
(2.42)
= −λ ∂T
∂x i
+ ∑ N
k=1 J i,kh s,k
≈ −λ ∂ T e
∂x i
+ ∑ N
k=1 J i,k ˜h
(2.43)
s,k
Ces différentes expressions reposent sur l’hypothèse que les variations spatiales des flux de diffusion
moléculaires sont négligeables et que ces derniers peuvent être modélisés sous forme de gradients.
2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse
L’opération de filtrage permet de séparer les grandes échelles des petites échelles, ou échelle de sousmaille.
La section 2.2.1 précise les concepts associés aux échelles de sous-maille. La section 2.2.2 se penche
sur la fermeture des flux de chaleur et de diffusion moléculaire des espèces. Le cas particulier du tenseur
SGS (pour ”Sub-Grid Scale”) des contraintes de Reynolds est traité dans la section 2.2.3.
45

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
2.2.1 Concepts associés aux échelles de sous-maille
La section 1.2 a présenté l’expression déterminée par Kolmogorov [92] du spectre d’énergie cinétique
turbulente dans le sous-domaine inertiel pour une turbulence homogène et isotrope. On a vu que ce domaine
relie les plus grandes aux plus petites échelles exclusivement via le flux d’énergie qui y circule.
La contribution des plus petites échelles est principalement d’ordre énergétique et est étroitement reliée au
flux d’énergie qui parcourt le sous-domaine inertiel. La très grande majorité des approches SGE existantes
considère uniquement le processus de cascade directe d’énergie, c’est-à-dire en modélisant uniquement le
transfert d’énergie des plus grandes échelles vers les plus petites. Cette hypothèse de travail est généralement
justifiée par la très faible remontée d’énergie des plus petites échelles vers les plus grandes échelles (i.e. la
cascade inverse ou ”backscatter” en anglais) comparativement à la cascade directe. L’étude du ”backscatter”
par la méthode SND de Piomelli et al. [135] a cependant montré que ce phénomène augmentait fortement
avec le nombre de Reynolds de l’écoulement. Le modèle de forçage stochastique de Chasnov [29] constitue
l’un des rares modèles à prendre en compte à la fois les cascades directe et inverse d’énergie.
Si la contribution de sous-maille est modélisée dans le domaine spatial, deux voies s’offrent à l’utilisateur
de la SGE :
• les termes de sous-maille sont calculés explicitement. Le concept de viscosité de sous-maille (ou
hypothèse de Boussinesq) permet alors de simuler l’action dissipative des plus petites échelles par une
viscosité analogue à la diffusion moléculaire.
• les effets dissipatifs des termes de sous-maille sont inclus implicitement dans l’erreur de troncature
du schéma numérique. Cette implicitation des termes de sous-maille (souvent référencé sous le nom
de ILES pour ”Implicit Large Eddy Simulations”) peut notamment s’appuyer sur un décentrement du
terme convectif pour induire artificiellement une dissipation (Oran & Boris [130], Fureby et al. [61]).
2.2.2 Les modèles de sous-maille pour les flux de chaleur et les flux d’espèce
Le vecteur des flux SGS de diffusion des espèces s’écrit formellement :
J i,k
t
est modélisé de la manière suivante :
J i,k
t
= ρ ( ũ i Y k − ũ i Ỹ k ) (2.44)
J i,k
t
= −ρ
(
D k
t W k
W
∂ ˜X k
∂x i
)
− ỸkṼi
c,t
(2.45)
avec :
D t k =
ν t
Sc t k
(2.46)
Le nombre de Schmidt turbulent Sc t k
est pris égal à 1 pour toutes les espèces. On remarquera que prendre
un seul nombre de Schmidt turbulent pour toutes les espèces n’implique pas que Ṽ c,t = 0 du fait du facteur
W k /W dans l’Eq. 2.45. Les vitesses de correction de la diffusion sont obtenues en séparant les contributions
46

2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse
laminaire et turbulente, soit :
Ṽ c
i
+ Ṽ c,t
i
=
N∑
k=1
( µ
ρSc k
+
Le vecteur SGS des flux de chaleur s’écrit formellement :
µ t
ρSc t k
)
Wk
W
∂ ˜X k
∂x i
(2.47)
où e s est l’énergie massique.
q i t = ρ(ũ i e s − ũ i ẽ s ) (2.48)
˜q t est modélisé en prenant en compte un flux de chaleur par conduction (loi de Fourier) associé à un flux de
chaleur par diffusion des espèces :
avec
q i t = −λ t
∂ ˜T
∂x i
+
N∑
J i,kt ˜hs,k (2.49)
k=1
Le nombre de Prandtl turbulent P r t est pris égal à 0.9.
λ t = µ tC p
P r t (2.50)
2.2.3 Les modèles de sous-maille pour le tenseur de Reynolds (τ ij t )
Les modèles du tenseur SGS des contraintes de Reynolds disponibles dans le code de calcul sont :
⊲ le modèle de Smagorinsky,
⊲ le modèle de Smagorinsky filtré,
⊲ le modèle de Smagorinsky dynamique,
⊲ le modèle WALE pour ”Wall-Adapting Local Eddy-viscosity”.
Ces modèles s’appuient tous sur la même hypothèse théorique d’invariance spatiale et temporelle du filtre
SGE. Des variations dans la taille du filtre dues à un maillage non uniforme ou à un maillage mobile ne
sont pas directement prises en compte. Le changement de topologie de la cellule n’est pris en compte qu’au
travers du calcul local de la taille de maille caractéristique : ∆ = V 1/3
cell .
L’influence de la sous-maille sur la quantité de mouvement des échelles résolues est prise en compte au
travers d’un modèle SGS utilisant une viscosité turbulente que l’on note ν t . Une telle approche suppose que
les effets de sous-maille soient uniquement d’ordre dissipatif. Cette hypothèse est valide si l’on applique la
théorie de Kolmogorov [92]. En introduisant la notion de viscosité turbulente, on définit la forme générale
suivante pour les modèles SGS :
modélisé par :
τ ij
t
τ ij
t
= −ρ (ũ i u j − ũ i ũ j ) (2.51)
= 2 ρ ν t ˜Sij − 1 3 τ ll t δ ij (2.52)
avec : ˜Sij = 1 2
47
( ∂ũi
∂x j
+ ∂ũ j
∂x i
)
− 1 3
∂ũ k
∂x k
δ ij (2.53)

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
où τ ij t est le tenseur des contraintes de Reynolds, ν t est la viscosité turbulente de sous-maille, ũ i est la
composante i filtrée du vecteur vitesse et ˜S ij est le tenseur des vitesses de déformation filtré.
Le modèle de Smagorinsky standard
Dans le modèle de Smagorinsky standard (Smagorinsky [173]), on suppose que la diffusion des échelles
de sous-maille est égale à la production des grandes échelles, ce qui traduit l’hypothèse d’équilibre local
< −τ ij S ij >=< ɛ > (Sagaut [156], Piomelli & Chasnov [133]) à l’échelle de coupure du filtre. La viscosité
turbulente ν t s’écrit alors :
ν t = ( C S ∆ ) 2 √ 2 ˜S ij ˜Sij (2.54)
(2.55)
avec ∆ l’échelle de coupure du filtre qui est généralement assimilée à la taille locale de maille. La longueur
de coupure du filtre associé au modèle standard de Smagorinsky est donc implicitement C S ∆ avec C S la
constante de Smagorinsky. Cette constante a été déterminée analytiquement par Lilly [107] en supposant
que le nombre d’onde à la coupure k c = π/∆ appartient au domaine inertiel (i.e. l’énergie turbulente à la
coupure s’écrit à partir de l’Eq. 1.14), ce qui permet d’écrire :
C S = 1 π
( 2
3C K
) 3/4
≃ 0.18 avec C K = 1.4 (2.56)
Cette valeur de 0.18 pour C S a été battue en brèche par les simulations de Deardorff [43], Piomelli et al.
[134] qui pointent vers une valeur plus faible de 0.1. En effet, le modèle de Smagorinsky surprédit la
diffusion des grandes échelles, ce qui est dommageable en proche paroi ou lorsque l’écoulement transite
vers la turbulence.
Dans ce travail, l’expression de ν t n’est pas rigoureusement celle de l’Eq. 2.55 car on n’utilise pas l’expression
exacte de ˜S ij (Eq. 2.53) mais une expression approchée dans laquelle les effets de compressibilité
associés au terme −(1/3) (∂ũ k /∂x k ) δ ij sont négligés. Erlebacher et al. [52] a montré que cette
approximation était valide si le nombre de Mach de sous-maille (M SGS ) restait inférieur à 0.4, sachant que
τ kk = γM 2 SGS p.
Le modèle de Smagorinsky filtré
Dans le modèle de Smagorinsky filtré (Ducros et al. [48]), la viscosité turbulente s’écrit :
ν t = (C SF △) 2 √2 HP ( ˜S ij ) HP ( ˜S ij ) avec C SF = 0.37 (2.57)
Dans l’Eq. 2.57, HP ( ˜S ij ) est le tenseur des vitesses de déformation résolu et filtré qui permet a priori
de récupérer la dynamique des petites échelles (le filtre noté HP est de type passe-haut). Le filtrage du
terme ˜S ij est donc explicite, ce qui peut induire des erreurs de commutation entre le filtre et l’opérateur
de dérivation spatiale inclus dans S ij , surtout sur une grille non structurée (Marsden & Vasilyev [113]).
Gullbrand [72], Brandt [20, 21] ont étudié l’effet d’un découplage de la longueur du filtre explicite avec la
longueur du modèle de Smagorinsky (reliée implicitement à la longueur du maillage) dans un écoulement
de canal turbulent. Ces études ont montré en particulier qu’une augmentation de la taille du filtre par rapport
à la taille de maille conduisait à une meilleure représentation des phénomènes locaux liés à la turbulence.
De plus, le modèle de Smagorinsky filtré prédit une meilleure transition vers la turbulence (Ducros et al.
[48]).
48

2.2 Les modèles de sous-maille sur la phase gazeuse
Le modèle de Smagorinsky dynamique
Le modèle de Smagorinsky dynamique (Germano et al. [64], Lilly [108]) détermine localement et dynamiquement
une valeur pour la constante de Smagorinsky C S . Ce modèle repose sur l’identité de Germano
(Germano et al. [64]) qui s’écrit pour un filtrage de Favre :
avec :
L ij = ˜τ ij − ˇ˜τ ij (2.58)
(
L ij = ρ ũ i ˇ ũ j − ˇũ
)
i ˇũj
(
ˇ˜τ ij = ρ ˇũi u j − ˇũ
)
i ˇũj
(2.59)
(2.60)
˜τ ij = ρ (ũ i u j − ũ i ũ j ) (2.61)
où le symbole ˇ désigne ici un filtre test. Germano et al. [64] a montré que la valeur du ratio des tailles de
filtre ˇ∆/∆ influait très peu sur les grandeurs moyennes et fluctuantes de l’écoulement, ce qui permet de fixer
arbitrairement ce ratio à 2 par exemple. Les tenseurs ˜τ et ˇ˜τ sont respectivement les tenseurs de sous-maille
correspondant à un et deux niveaux de filtrage. Ces deux tenseurs sont écrits avec le modèle de Smagorinsky
(Eq. 2.55), ce qui permet d’exprimer le tenseur L sous la forme :
( [
L ij = ρ(CS)
2 −2 ( ˇ∆ 2√ 2 ˇ˜Sij ˇ˜Sij ) − (∆ 2√ ])
2 ˜S ij ˜Sij )
= ρ(C 2 S)M ij (2.62)
L’Equation 2.62 permet d’exprimer la constante C S en fonction de quantités résolues. Plusieurs possibilités
ont été explorées pour calculer C S :
⊲ Germano et al. [64] a proposé de multiplier chaque membre de l’Eq. 2.62 par ˜S ij afin d’écrire la
constante C S comme C 2 S = (< L ij ˜S ij >)/(< M ij ˜Sij >). Le symbole < . > marque ici une moyenne
suivant des plans où l’écoulement est homogène. Cette méthode s’avère problématique quand ˜S ij −→
0 ou quand la constante C S dépend de plusieurs coordonnées spatiales.
⊲ Lilly [108] s’appuie sur une minimisation de la norme L2 de la différence L ij − (ˇ˜τ ij − ˇτ ij ) sur un
large volume d’écoulement.
On notera que l’Eq. 2.62 fait apparaître deux tenseurs de norme comparable, ce qui peut induire une viscosité
turbulente négative généralement interprétée comme un effet de ”backscatter” (section 2.2.1). Dans le code
de calcul, une viscosité négative n’est pas souhaitable car elle peut déstabiliser localement le calcul, ce qui
explique que de telles valeurs soient automatiquement évitées dans le code. La revue de Meneveau & Katz
[118] présente un large panel d’écoulements où le modèle de Smagorinsky dynamique a été employé avec
succès. Cependant, cette réussite semble encore mal comprise et la justification classique via l’hypothèse de
similarité d’échelles est largement remise en cause (Jiménez [88], Pope [139]).
Le modèle WALE
Le modèle WALE a été développé par Ducros et al. [49] afin de pallier le défaut du modèle de Smagorinsky
classique concernant les écoulements en proche paroi. Dans ce modèle, la viscosité turbulente est
définie par :
ν t = (C w ∆) 2 (s d ij sd ij )3/2
( ˜S ij ˜Sij ) 5/2 +(s d ij sd ij )5/4 (2.63)
49

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
C w est la constante du modèle de Smagorinsky dont la valeur est fixée à : C w = 0.4929, s d ij
déviatrice du taux de déformations résolu :
est la partie
s d ij = 1 2 (˜g2 ij + ˜g 2 ji) − 1 3 ˜g2 kk δ ij (2.64)
où ˜g ij = ∂eu i
∂x j
.
Par construction, la viscosité turbulente est nulle dans un écoulement 2D ce qui améliore la transition laminaire/turbulent
et permet de retrouver les lois d’échelle en proche paroi. Thobois [188] a d’ailleurs montré
que l’erreur liée à l’absence de traitement aux parois (via les lois de paroi développées par Schmitt et al.
[161]) pouvait être réduite en utilisant le modèle WALE plutôt que le modèle standard de Smagorinsky
(section 2.2.3).
2.3 Les équations de la phase dispersée
Les équations de la phase dispersée utilisées dans cette thèse sont dérivées du filtrage statistique proposé
par Simonin & Février [168], Février et al. [59]. Introduite dans la section 1.6.2, cette méthode repose
sur la définition d’une fonction de densité de présence (FDP) représentative de la population de particules.
L’équation de Boltzmann (Eq. 1.41) qui gouverne cette FDP permet d’écrire les équations de la phase
dispersée.
2.3.1 Hypothèses de travail sur la phase dispersée
Un certain nombre d’hypothèses sont utilisées pour écrire les équations de conservation sur la phase
dispersée. Elles sont explicitement données ici :
H1 - Les particules sont des gouttes sphériques et indéformables, ce qui est vérifié si la tension superficielle
de la goutte est supérieure aux forces aérodynamiques extérieures.
H2 - Le ratio des masses volumiques du liquide et du gaz permet de supposer que la seule force exercée
par le fluide porteur sur les gouttes est la traînée.
H3 - La température (donc l’enthalpie sensible) est homogène à l’intérieur de chaque goutte. Cela revient
à supposer une conductivité infinie dans la phase liquide.
H4 - L’effet de la gravité est négligeable 1 .
H5 - La taille des gouttes est bien inférieure à l’échelle de Kolmogorov, ce qui permet de justifier l’emploi
du formalisme mésoscopique.
H6 - L’écoulement est dilué (typiquement α l < 0.01). Par conséquent, les effets d’encombrement volumique
de la phase dispersée sur la phase porteuse sont négligeables : la fraction volumique gazeuse
vaut 1 − α l = 1.
H7 - Grâce à l’hypothèse H6, les interactions goutte-goutte sont négligeables : C = 0.
H8 - Grâce à l’hypothèse H6, la phase porteuse est faiblement altérée par la présence du spray ce qui
permet d’utiliser une FDP conditionnée par une seule réalisation de la phase porteuse.
1 Cette hypothèse peut être facilement relaxée par l’ajout d’un terme source dans l’équation de conservation de la quantité de
mouvement (Eq. 2.81).
50

2.3 Les équations de la phase dispersée
2.3.2 Opérations de moyenne dans l’espace des phases
L’équation de transport pour un moment de la FDP f p s’obtient en multipliant l’Eq. 1.41 par la fonction
particulaire ψ(⃗c p , ζ p , µ p ) puis en intégrant l’équation obtenue dans l’espace des phases. La moyenne de
phase de cette fonction ψ(⃗c p , ζ p , µ p ) est définie par :
{ψ} l = 1˘n l
∫
ψ(⃗c p , ζ p , µ p )f p (⃗c p , ζ p , µ p ; ⃗x, t|H f )d⃗c p dζ p dµ p (2.65)
˘n l est le nombre de particules par unité de volume. Celui-ci s’obtient en moyennant la FDP sur l’ensemble
des réalisations possibles, soit :
∫
˘n l =
f p (⃗c p , ζ p , µ p ; ⃗x, t|H f )d⃗c p dζ p dµ p (2.66)
La moyenne de phase de ψ(⃗c p , ζ p , µ p ) représente la moyenne de ψ sur l’ensemble des réalisations possibles
de la phase dispersée (conditionnée sur une réalisation de la phase gazeuse). Cette moyenne est une
moyenne d’ensemble dite statistique.
Si le poids m p des particules varie localement (du fait de l’évaporation notamment), il est plus judicieux
d’utiliser une moyenne d’ensemble dite massique 2 notée < . > p par analogie avec la moyenne de Favre :
˘ψ = 〈ψ〉 l
= 1
ρ l ᾰ l
∫
µ p ψ(⃗c p , ζ p , µ p )f p (⃗c p , ζ p , µ p ; ⃗x, t|H f )d⃗c p dζ p dµ p (2.67)
où ρ l est la masse volumique des particules et ᾰ l est la fraction volumique en particules. Cette dernière est
définie par :
∫
ρ l ᾰ l = ˘n l {m p } l =
µ p f p (⃗c p , ζ p , µ p ; ⃗x, t|H f )d⃗c p dζ p dµ p (2.68)
2.3.3 Complémentarité des grandeurs mésoscopiques et décorrélées
Dans l’approche statistique de Simonin & Février [168] et Février et al. [59], si l’on connaît la réalisation
de la phase porteuse, les quantités liées au mouvement particulaire se décomposent en deux contributions :
1. une contribution corrélée dite mésoscopique, définie par l’Eq. 2.67 et qui correspond à une moyenne
sur l’ensemble des réalisations de la phase dispersée compatibles avec la réalisation de la phase porteuse.
Cette quantité est représentative du mouvement d’ensemble des particules. Ainsi, la vitesse
mésoscopique est notée ŭ l .
2. une contribution décorrélée qui traduit la déviation individuelle de chaque particule par rapport à
la quantité mésoscopique. Cette quantité décorrélée est intrinsèquement rattachée au mouvement
décorrélé (en anglais RUM pour Random Uncorrelated Motion) de la phase dispersée. Ainsi, la vitesse
décorrélée est notée δu p .
La Figure 2.1 schématise les contributions mésoscopique et décorrélée sur la vitesse particulaire. La vitesse
Lagrangienne de la particule numérotée k est donc la somme des deux composantes définies précédemment :
u (k)
p,j
(
(t) = ŭ(k)
l,j
⃗x (k)
p
)
(t), t∣ H f
+ δu (k)
p,j
(t) (2.69)
2 Il s’agit ici d’un abus de langage : la moyenne massique recouvre en fait une moyenne statistique sur la masse locale des
particules tandis que la moyenne statistique désigne une moyenne statistique sur le nombre local de particules.
51

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
Vitesse particulaire totale
Vitesse particulaire
mésoscopique
Vitesse particulaire
décorrélée
FIG. 2.1 - Décomposition de la vitesse particulaire u p en une vitesse mésoscopique ŭ l et une vitesse décorrélée δu p .
Seule la vitesse mésoscopique est définie comme une grandeur Eulérienne, puisque c’est une vitesse qui
se rapporte à l’ensemble des particules. A l’inverse, les vitesses Lagrangiennes et décorrélées sont définies
individuellement pour chaque particule. Par définition, on a :
〈δu p,j 〉 l
= 0
Pour décrire les vitesses fluctuantes, on utilise le tenseur des vitesses décorrélées qui s’écrit :
δ ˘R l,ij (x, t|H f ) = 〈δu p,i δu p,j 〉 l
= 1
ρ l ᾰ l
∫
µ p [c p,i − ŭ l,i ] [c p,j − ŭ l,j ] f p d⃗c p dζ p dµ p (2.70)
Moreau [123] et Riber [151] décrivent les équations de transport pour les 6 composantes du tenseur (la
symétrie du tenseur explique ce nombre réduit), ainsi que le transport de δ ˘S l,ijk , qui correspond au troisième
moment des vitesses particulaires :
δ ˘S l,ijk (x, t|H f ) = 〈δu p,i δu p,j δu p,k 〉
∫
l
1
= µ p [c p,i − ŭ l,i ] [c p,j − ŭ l,j ] [c p,k − ŭ l,k ] f p d⃗c p dζ p dµ p (2.71)
ρ l ᾰ l
Afin de limiter le nombre d’équations transportées sur la phase liquide, les équations liées au tenseur des
vitesses décorrélées ne sont pas résolues. On réduit le transport de ce tenseur au transport d’une énergie du
mouvement décorrélé (en anglais RUE pour Random Uncorrelated Energy) notée δ˘θ l . Cette grandeur a été
introduite par Simonin et al. [169]. Elle correspond à la moitié de la trace du tenseur δ ˘R l,ij , soit :
δ˘θ l = 1 2 δ ˘R l,kk = 1 2 〈δu p,kδu p,k 〉 l
(2.72)
2.3.4 Equation générale d’Enskog
Après multiplication de l’Eq. 1.41 par ψ(⃗c p , ζ p , µ p ) puis intégration dans l’espace des phases (chapitre 3
de Mossa [124]), on obtient l’équation générale d’Enskog qui décrit l’évolution de la fonction particulaire
mésoscopique ˘ψ et s’écrit :
52

2.3 Les équations de la phase dispersée
∂
∂t ρ lᾰ l 〈ψ〉 l
+
∂ ρ l ᾰ l 〈u p,j ψ〉
∂x l
= C(m p ψ)
j
+ ρ l ᾰ l
〈
dup,j
dt
+ ρ l ᾰ l
〈 dmp
dt
∂ψ
∂u p,j
〉l
( ∂ψ
+ ρ l ᾰ l
〈 dTp
dt
∂m p
+ ψ m p
)〉l
∂ψ
∂T p
〉l
(2.73)
Le terme collisionnel C(m p ψ) correspond à la variation de ρ l ᾰ l ˘ψ induite par les variations de mp ψ lors de
collisions.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique aux particules, il vient :
〈
dup,j
dt
〉
l
=
〈
Fp,j
m p
〉l
(2.74)
⃗F p sont les forces extérieures qui agissent sur les particules. Dans le cadre des hypothèses de ce travail,
la somme des forces extérieures se réduit à la traînée de Stokes (l’annexe A décrit les forces qui peuvent
s’appliquer sur une goutte isolée), soit :
F p,j = m p
τ p
(u p,j − u j ) (2.75)
où u j est la vitesse du fluide et τ p un temps de relaxation de la phase particulaire 3 défini dans la section 1.4.
L’équation d’Enskog (Eq. 2.74) devient :
∂
∂t ρ lᾰ l 〈ψ〉 l
+
∂ ρ l ᾰ l 〈u p,j ψ〉
∂x l
= C(m p ψ) − ˘n {
l
(u p,j − u j ) ∂ψ
j ˘τ p ∂u p,j
}l
+ ρ l ᾰ l
〈 dTp
dt
+ ρ l ᾰ l
〈 dmp
dt
∂ψ
∂T p
〉l
( ∂ψ
∂m p
+ ψ m p
)〉l
(2.76)
Enfin, si la fonction ψ dépend aussi de l’espace et du temps, alors on ajoute dans le membre de droite des
Eq. 2.74 et 2.77 les termes suivants :
2.3.5 Les équations de conservation
〈 〉 〈 ∂ψ
∂ψ
ρ l ᾰ l + ρ l ᾰ l
∂t
l
∂x j
〉l
(2.77)
On écrit maintenant les équations de conservation à partir de l’équation générale d’Enskog (Eq. 2.77) en
remplaçant ψ par la quantité appropriée.
3 Le temps de relaxation est défini à partir de la vitesses mésoscopique de la phase dispersée.
53

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
Conservation du nombre volumique de particules
On pose ici ψ = 1
m p
pour obtenir :
∂
∂t ˘n l +
∂ ˘n l ŭ l,j = − ∂ ˘n l {δu p,j }
∂x j ∂x l
+ C(1) (2.78)
j
Dans un écoulement monodisperse, les moyennes statistiques en masse et en nombre sont équivalentes, ce
qui induit que 〈δu p 〉 l
= {δu p } l = 0, ce qui annule le terme − ∂
∂x j
˘n l {δu p,j } l
. D’autre part, le terme collisionnel
C(1) induit un changement local du nombre de particules uniquement si les particules à l’intérieur du
volume de contrôle subissent une coalescence ou une fragmentation. Si le terme C ne prend en compte que
les rebonds de particules, le terme C(1) s’annule car on ne change pas localement le nombre de particules.
Conservation de la fraction volumique
On pose ψ = 1 et on a :
{ }
dmp
Le terme ˘n l dt
l
∂
∂t ρ lᾰ l +
∂
{ } dmp
ρ l ᾰ l ŭ l,j = ˘n l + C(m p ) (2.79)
∂x j dt
l
traduit la variation temporelle de masse de chaque goutte dans le volume de contrôle.
Ce terme est positif si l’on prend en compte la condensation de particules et négatif si l’on prend en compte
la vaporisation de particules. Dans le cadre de cette thèse, on ne prend pas en compte ces effets et ce terme
est nul.
Conservation de la quantité de mouvement
On pose ψ = ˘c p,i et on a :
∂
∂t ρ lᾰ l ŭ l,i +
∂ ρ l ᾰ l ŭ l,i ŭ l,j = −δρ l ᾰ l δ
∂x ˘R l,ij ∗ − 2 ∂
ρ l ᾰ l δ˘θ l
j 3 ∂x i
−
ρ lᾰ l
(ŭ l,i − u i ) (2.80)
˘τ p
{ } dmp
+ ˘n l
dt ŭl,i + C(m p ŭ l,i )
On remarquera que l’on a décomposé le terme δ ˘R l,ij dans l’Eq. 2.81 sous une forme qui fait apparaitre son
déviateur δ ˘R ∗ l,ij : δ ˘R l,ij = δ ˘R ∗ l,ij + 2 3 δθ lδ ij (2.81)
l
Conservation de l’énergie du mouvement décorrélé (RUE)
On choisit ici ψ = 1 2 (c p,i − ŭ l,i ) (c p,i − ŭ l,i ). Comme dans le cas présent, ψ dépend de l’espace et du
temps, alors on utilise l’Eq. 2.77 à laquelle on ajoute les termes associés à l’Eq. 2.77. Après calcul, on
obtient :
54

2.3 Les équations de la phase dispersée
∂
∂t ρ lᾰ l δ˘θ l +
∂ ρ l ᾰ l ŭ l,j δ˘θ l = − 1 ∂x j 2 δρ lᾰ l δ ˘S l,iik − 2˘τ ˘θp
p
−
ρ l ᾰ l δ ˘R l,ij
∗ ∂
ŭ l,i − 2 ∂x j 3 ρ ∂
lᾰ l δ˘θ l ŭ l,i (2.82)
∂x j
{ 1 dm p
+ ˘n l
2 dt δu p,iδu p,i + C(
}l
1 2 m pδu p,i δu p,i )
Dans les Eq. 2.81 et 2.83, on rappelle que δ ˘R l,ij ∗ est le déviateur du tenseur des vitesses décorrélées défini
formellement dans l’Eq. 2.70. Son modèle de fermeture est décrit dans la section 2.3.6 tout comme celui de
δ ˘S l,ijk .
2.3.6 Fermeture des équations de conservation
Fermeture des termes de mouvement décorrélé
Le déviateur du tenseur des vitesses décorrélées δ ˘R l,ij ∗ qui apparait dans l’Eq. 2.83 doit être modélisé
puisqu’il n’est pas transporté. Le modèle retenu est basé sur une hypothèse d’équilibre local du tenseur
des vitesses décorrélées (moment d’ordre 2). On néglige de fait toute contribution des moments d’ordre
supérieur. En supposant en outre que la partie déviatrice de δ ˘R ij est petite devant la partie sphérique, alors
on peut modéliser ce tenseur par un terme visqueux (Simonin et al. [169], Riber [151]) :
δ ˘R ∗ l,ij = ν RUM
( ∂
∂x i
ŭ l,j +
∂ ŭ l,i − 2 )
∂
ŭ l,k δ ij
∂x j 3 ∂x k
où ν RUM est une viscosité liée au mouvement décorrélé et qui s’écrit :
ν RUM = ˘τ p
3 δ˘θ l
(2.83)
Il faut d’autre part modéliser la contribution du 3 ième moment δ ˘S l,iik . Kaufmann [89] propose de le
modéliser par analogie avec la loi de Fick :
δ ˘S l,iik = κ p,RUM
∂
∂x j
δ˘θ l
où κ p,RUM est un coefficient de diffusion qui vaut (Boileau [15], Riber [151]) :
2.3.7 Les équations de conservation filtrées
κ p,RUM = 10
27 ˘τ pδ˘θ l .
De même que pour la phase gazeuse, l’opération de filtrage SGE présentée dans la section 1.3 est
appliquée aux équations de conservation de la phase liquide présentées dans la section 2.3.5.
La grandeur particulaire filtrée ̂f p prend ainsi la forme :
̂f p = ᾰlf p
α l
(2.84)
55

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
La grandeur ᾰ l est ici utilisée pour réaliser une moyenne de Favre sur la phase dispersée, à la différence de
Riber [151] qui a préféré employer la variable ˘n l comme pondération. Dans un écoulement monodisperse,
les deux opérations de filtrage sont équivalentes (Boileau [15]) :
˘n l ˘fp = 6ᾰ l ˘f p
π ˘d 3 p
˘f p
= 6ᾰ l ˘f p
π ˘d 3 p
̂˘f p
= n p
̂˘fp (2.85)
Avant d’entamer le processus de filtrage SGE sur les équations de la phase dispersée, on souligne ici que
les termes de collision notés C sont systématiquement supprimés en accord avec l’hypothèse d’écoulement
dilué (section 2.3.1). De plus, avec l’opération de filtrage SGE, on décide d’omettre le symbole ˘ afin de ne
pas surcharger l’écriture des termes filtrés.
• Conservation du nombre de particules
∂
∂t n p +
∂ n p û l,i = 0 (2.86)
∂x i
Il n’y a pas de terme source dans l’Eq. 2.86 car on ne prend pas en compte la contribution des
collisions (négative ou positive suivant que l’on produit des gouttes par fragmentation ou que l’on en
détruit par coalescence).
• Conservation de la fraction volumique
∂
∂t ρ lα l +
∂ ρ l α l û l,i = 0 (2.87)
∂x i
Le terme puits d’évaporation n’apparaît pas dans l’Eq. 2.87 car ce phénomène n’est pas pris en compte
ici.
• Conservation de la quantité de mouvement
∂
∂t ρ lα l û l,i +
∂ ρ l α l û l,i û l,j = − ρ lα l
(û l,i − û i )
∂x j τ p
− ∂
∂x j
ρ l α l
(
τ t l,ij + ̂δR l,ij
) (2.88)
Le terme τ t l,ij
représente le tenseur SGS des contraintes de Reynolds de la phase dispersée. Un modèle
de fermeture initialement proposé par Moreau [123], Riber et al. [152], Riber [151]) est décrit dans la
section 2.4.
• Conservation de l’énergie du mouvement décorrélé (RUE)
Le filtrage de l’équation d’énergie décorrélée adopte la forme suivante :
56

2.4 Les modèles de sous-maille sur la phase liquide
∂
∂t ρ lα l ̂δθl +
∂ ρ l α l ̂δθl û l,j = −2 ρ lα l
∂
̂δθl − ρ l α l ̂δRl,ij û l,i (2.89)
∂x j τ p ∂x j
+Π δθl − ∂ (
)
1
ρ l α l
∂x j 2 ̂δS l,iij + Q l,j
Dans le membre de droite de l’Eq. 2.90, le premier terme correspond à la destruction de RUE par la
traînée, le second est un terme de production associé au tenseur des vitesses décorrélés, le terme Π δθl
est un terme de production de sous-maille tandis que le dernier terme inclut la diffusion due au terme
filtré ̂δS l,iij et une diffusion de sous-maille. Les deux derniers termes sont explicités plus en détail
dans Riber et al. [152]. La fermeture de ces deux termes ne sera pas abordée ici mais est réalisée dans
Riber et al. [152].
2.4 Les modèles de sous-maille sur la phase liquide
Le tenseur SGS des contraintes de Reynolds sur la phase dispersée τ t l,ij
(Eq. 2.88) doit être fermé. Pour
ce faire, Moreau [123], Riber et al. [152] ont proposé un modèle de viscosité de sous-maille à l’instar de ce
qui est réalisé pour la phase gazeuse. Cependant, la phase dispersée présente une compressibilité qui traduit
le fait que les gouttes peuvent très localement s’accumuler. La partie diagonale du tenseur SGS de Reynolds
doit donc être prise en compte car elle représente la dilatation/compression de la phase dispersée à l’échelle
de la sous-maille. Le modèle suivant est adopté :
τ t l,ij = 2 3 ρ lα l C p,Y ∆ 2 |Ŝl| 2 δ ij − 2ρ l α l (C p,S ∆) 2 |Ŝ∗ l |2 Ŝl
∗
} {{ } } {{ }
T erme de Smagorinsky
T erme de Y oshizawa
(2.90)
Le tenseur |Ŝl| pour la phase dispersée s’écrit :
√
|Ŝl| =
2Ŝl,ijŜl,ij (2.91)
Le terme Ŝl,ij prend la forme suivante pour la phase dispersée :
Ŝ l,ij = 1 2
(
∂ûl,i
∂x j
+ ∂û )
l,j
∂x i
(2.92)
Les constantes C p,Y et C p,S ont été déterminées par Moreau [123] sur des tests a priori en turbulence
homogène et isotrope : elles ont été évaluées à C p,Y = 0.116 et C p,S = 0.16.
57

DESCRIPTION DES SPRAYS MONODISPERSES VIA LE MODÈLE EULER-EULER
58

Chapitre 3
Intégration de la polydispersion dans le
modèle Euler-Euler
3.1 Ecriture de la fonction de densité de présence en polydisperse
Suivant l’approche de Mossa [124], la fonction de densité de présence du spray décrite dans la section
1.6.2 est décomposée en 4 termes distincts :
f p ( −→ c p , ζ p , β p ; −→ x p , t, H f ) = n p N d (β p ; −→ x , t)G u (β p , −→ c p ; −→ x , t)G T (β p , ζ p ; −→ x , t) (3.1)
Le terme n p est la densité volumique de nombre particules, N d (β p ; −→ x , t) est une fonction de distribution
du diamètre, G u (β p , −→ c p ; −→ x , t) est une fonction de distribution de la vitesse et G T (β p , ζ p ; −→ x , t) est une
fonction de distribution de la température. L’influence de la température β p sur la distribution de diamètres
est difficile à quantifier, son effet n’est donc pas explicitement pris en compte dans N d , tout comme l’effet
local de la vitesse particulaire −→ c p .
La section 3.1.1 présente les formes présumées de PDF pour la vitesse et la température des gouttes. La
section 3.1.2 présente les différentes méthodes qui existent pour obtenir la distribution de taille des gouttes.
3.1.1 Distributions présumées de vitesse et de température
Reprenant l’étude de Réveillon et al. [148], Mossa [124] a proposé une forme gaussienne pour la distribution
des vitesses de goutte G u :
G u (β p , −→ c p ; −→ x , t) =
1
√ 2πEτ
e − (−→ c p− −→ u τ (βp)) 2
2Eτ (3.2)
où E τ est une pseudo-énergie cinétique et u τ (d p ) est une vitesse représentative des gouttes de diamètre d p .
Cette dernière est définie par la formule suivante :
u τ (d p ) =
1
∫
fp ( −→ c p , ζ p , β p = d p ; −→ x p , t, H f )d −→ c p dζ p
∫
−→c
p f p ( −→ c p , ζ p , β p = d p ; −→ x p , t, H f )d −→ c p dζ p
(3.3)
Dans l’Eq. 3.3, on remarquera que la FDP est conditionnée par le diamètre d p , il faut donc en toute rigueur
diviser par le nombre de particules présentant ce diamètre pour obtenir une vitesse représentative.

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
Concernant la distribution des températures de gouttes au sein d’un spray polydisperse, sa forme est arbitrairement
choisie gaussienne car aucune référence bibliographique solide n’existe sur ce sujet. G T s’écrit
donc :
G T (β p , ζ p ; −→ x , t) =
1
√ 2πEΓ
e − (ζp−T Γ (βp))2
2E Γ (3.4)
où E Γ est un paramètre dispersif et T Γ (d p ) est une température représentative des gouttes de diamètre d p .
Tout comme pour la vitesse, cette dernière est définie par la formule suivante :
T Γ (d p ) =
∫
1
∫
fp ( −→ c p , ζ p , β p = d p ; −→ x p , t, H f )d −→ c p dζ p
ζ p f p ( −→ c p , ζ p , β p = d p ; −→ x p , t, H f )d −→ c p dζ p (3.5)
3.1.2 Approches concernant la distribution de diamètre
Afin de représenter fidèlement la dispersion des tailles de goutte dans un formalisme Euler-Euler, il
convient d’abord de choisir une méthode pour représenter le comportement de chaque classe de taille de
goutte. Il existe trois grandes classes de méthode pour modéliser la distribution de tailles de goutte :
1. La première méthode est purement empirique : elle exige la connaissance préalable de la distribution
de tailles de goutte dans le spray considéré. Il s’agit ensuite de discrétiser ou d’approcher analytiquement
la forme de cette distribution expérimentale.
2. La seconde méthode dite méthode du maximum d’entropie (ME) est purement théorique et s’appuie
sur les travaux de Sellens & Brzustowski [164]. L’idée principale est de considérer le processus d’atomisation
comme un phénomène de transformation du liquide régi par un certain nombre de contraintes
telles que les relations de conservation de masse, de quantité de mouvement, d’énergie, etc... Le principe
de la méthode ME postule ensuite que la distribution de tailles la plus probable est celle qui
maximise l’entropie du système sous les contraintes considérées. Cette méthode a été utilisée par Li
& Tankin [104], Cousin et al. [35] sur différents types d’atomiseur.
3. La dernière méthode repose sur une fonction de probabilité discrète (DPF pour ”Discrete Probability
Function”) pour diviser le processus de formation du spray liquide (Sivathanu & Gore [172]) en étapes
déterministes et non déterministes. Les étapes déterministes comptent sur une analyse de stabilité
(linéaire ou non) pour décrire le processus d’atomisation des plus grosses structures du jet liquide
tandis que les étapes non déterministes estiment l’influence des fluctuations de l’initialisation sur la
distribution résultante.
Si l’on s’intéresse de plus près à la première méthode, deux catégories se détachent pour décrire les
distributions de tailles de goutte très variées que l’on rencontre dans les dispositifs d’atomisation :
⊲ La première catégorie appelée méthode sectionnelle (en anglais Spray sectional method) divise la
distribution de tailles de goutte en un nombre limité de classes de taille de particule (Greenberg et al.
[71], Réveillon et al. [148], Laurent et al. [95]). Pour chaque classe de taille, l’ensemble des équations
de conservation est obtenu. Les termes de couplage doivent être intégrés entre chaque classe de taille de
particule et la phase porteuse pour prendre en compte la force de traînée et les termes d’évaporation.
De plus, si l’écoulement de la phase dispersée est dense, il faut prendre en compte les collisions
entre les différentes classes de particules via de nouveaux termes de couplage. Manifestement, cette
60

3.1 Ecriture de la fonction de densité de présence en polydisperse
méthode induit un très grand nombre d’équations de conservation supplémentaires à résoudre, ce qui
peut s’avérer très lourd en termes de temps de calcul. De plus, Greenberg et al. [71] a indiqué que dix
classes de taille s’avéraient nécessaires pour prédire correctement les statistiques de l’écoulement de
la phase dispersée. Cette dernière assertion est cependant tempérée par Laurent et al. [95].
⊲ La seconde catégorie repose sur le choix d’une forme analytique présumée pour la distribution de
tailles de goutte. Il existe une très large gamme de fonctions analytiques pouvant raisonnablement
s’adapter à toute distribution de tailles de goutte suffisamment régulière comme on peut le voir dans
Babinsky & Sojka [7] ou le chapitre 3 de Lefebvre [98]. On distingue généralement les fonctions
analytiques reposant sur le nombre de particules (la distribution log-normale introduite par Kolmogorov
(Crow & Shimizu [36]) ou la fonction de Nukiyama-Tanasawa (Nukiyama & Tanasawa [128])
sont de parfaits exemples) de celles qui reposent sur le volume des particules (la fonction de Rosin-
Ramler développée par Rosin & Rammler [154] ou la fonction dite ”root-normal” sont des exemples
typiques). Toutes ces fonctions s’appuient sur au moins deux paramètres à ajuster. Présupposer une
forme analytique est une approche empirique et limitée car elle repose sur l’hypothèse que la fonction
choisie s’adapte à toutes les variations locales de la distribution de taille de particule. En vérité, aucune
distribution analytique n’est universelle et le type de spray conditionne souvent le choix d’une
formulation au lieu d’une autre (Babinsky & Sojka [7]).
Mossa [124] a initialement choisi de présumer la forme de la distribution de tailles de goutte avec une fonction
log-normale légèrement modifiée. Ce choix découle de la simplicité des développements analytiques
d’une telle loi qui ne repose que sur deux paramètres : un diamètre caractéristique que l’on note d 00 et la
variance de la loi log-normale que l’on note ˆσ. Cette fonction notée N d s’écrit donc :
N d (β p ; −→ x , t) =
h i
1
√ exp − ln(βp/d00 ) 2
ˆσ
(3.6)
πˆσβp
En jouant sur les deux paramètres de la loi log-normale, on peut obtenir des formes de distribution très
variées comme on peut le voir sur la Fig. 3.1.
FIG. 3.1 - Influence des variations de d 00 et ˆσ sur la loi log-normale (adapté de Babinsky & Sojka [7]).
61

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
3.2 Dérivation des moments de la PDF de diamètre
Le moment Q γ d’ordre γ de la fonction de distribution N d est défini par :
Q γ =
∫ ∞
0
β γ p N d (β p ; ⃗x, t)dβ p (3.7)
La loi log-normale choisie pour la fonction N d permet l’intégration de l’Eq. 3.7 afin de donner une expression
analytique pour le moment d’ordre γ :
(
Q γ = n l d γ ˆσ 2
00 exp γ 2 )
Les quatre premiers moments (Q 0 à Q 3 ) de la distribution de tailles de particule sont particulièrement
importants car ils contiennent une grande partie de l’information physique qui permet de caractériser le
spray. Ils s’écrivent de la manière suivante :
4
(3.8)
Q 0 = n l (3.9)
( ) ˆσ
2
Q 1 = n l d 00 exp
4
(3.10)
( ) 4ˆσ
Q 2 = n l d 2 2
00exp = 1 4 π Σ l (3.11)
( ) 9ˆσ
Q 3 = n l d 3 2
00exp = 6 4 π α l (3.12)
Si l’on suppose que les gouttes sont parfaitement rigides et sphériques, les moments d’ordre 2 et 3 sont
proportionnels à la densité de surface de gouttes Σ l et à la fraction volumique de gouttes α l respectivement.
Il est désormais possible de relier ces deux dernières quantités aux paramètres caractéristiques de la loi
log-normale :
Σ l = πn l d 2 00exp (ˆσ 2) (3.13)
α l = π ( ) 9ˆσ
6 n ld 3 2
00exp
4
(3.14)
Pour représenter la polydispersion en diamètre du spray, il convient donc d’écrire au moins une équation
supplémentaire pour transporter la densité de surface des gouttes. Cette équation sera présentée dans la
section 3.3.6.
Avec les quatre premiers moments (Eq. 3.9 à 3.12), il est possible d’écrire un grand nombre de diamètres
moyens qui permettent de caractériser la distribution de tailles de gouttes. L’expression du diamètre moyen
fait intervenir deux moments sur le diamètre d’ordre p et q (p ≠ q).
D pq = ( Q p
Q q
) 1
p−q
( ) ˆσ
2
= d 00 exp
4 (p + q)
(3.15)
La Table 3.1 recense quelques diamètres moyens très répandus que l’on peut construire à partir des quatre
premiers moments de la distribution de tailles (Lefebvre [98]).
62

p q Ordre (p+q) Symbole Nom usuel Formule
1 0 1 D 10 Longueur
2 0 2 D 20 Surface
3 0 3 D 30 Volume
2 1 3 D 21 Surface-Longueur
3 1 4 D 31 Volume - Longueur
3 2 5 D 32 Sauter (SMD)
3.3 Modélisation des effets polydisperses
P ni d p,i P ni
( P ) 1
ni d
P 2 2
p,i
ni
( P ) 1
ni d
P 3 3
p,i
ni
( P )
ni d
P 2 p,i
ni d p,i
( P ) 1
ni d
P 3 2
p,i
ni d p,i
( P ni d 3 p,i P ni d 2 p,i
TAB. 3.1 - Liste des diamètres moyens usuels reconstruits à partir des quatre premiers moments de la distribution de
diamètres (adapté de Lefebvre [98]).
)
On notera que seuls les diamètres moyens qui s’écrivent sous la forme D p(p−1) avec p ∈ N ∗ sont des
diamètres moyens au sens statistique (Sowa [180]). En effet, ce type de diamètre s’écrit :
D p(p−1) = ∑ i
d p,i p i (3.16)
avec p i qui représente la probabilité d’occurence pour le diamètre d i . Ainsi, la probabilité en nombre ( n i
ou en surface ( s i
S ) permet d’écrire respectivement le nombre D 10 ou D 32 . D 10 et D 32 sont donc les nombres
moyens statistiques associés aux distributions en nombre et en surface de goutte. Le diamètre moyen de
Sauter est notamment le diamètre qui représente le mieux l’évaporation d’un spray polydisperse (Alkidas
[2]).
D 20 et D 30 ne sont pas des diamètres moyens au sens statistique mais peuvent présenter une grande utilité.
En effet, ces deux nombres apportent des informations sur l’épaisseur et la symétrie de la distribution de
tailles en nombre rapporté au D 10 . Aggarwal & Sirignano [1] ont remarqué que le nombre D 20 était celui
qui était le plus représentatif de l’allumage d’un spray polydispersé.
N )
3.3 Modélisation des effets polydisperses
Les moments de la distribution de taille dérivés dans la section 3.2 doivent être transportés afin de
représenter la dynamique de l’écoulement de la phase dispersée. Cependant, si chaque moment doit être
transporté, rien n’impose la même vitesse de convection pour tous les moments de la distribution. Intuitivement,
on comprend bien que la fraction volumique de liquide α l contenue dans le moment d’ordre 3
sera plutôt transportée par une moyenne massique de la vitesse notée < u p > l , dominée par les gouttes les
plus massives. Par contre, la densité de particules devrait être convectée à une moyenne statistique de la vitesse
notée {u p } l . Cette dernière est plus proche de la vitesse des plus petites particules, les plus nombreuses.
Parmi les quatre premiers moments du diamètre, seuls les moments d’ordre pair sont convectés à la vitesse
moyenne statistique tandis que les moments d’ordre impair sont convectés à la vitesse moyenne massique.
Dans ce travail, le choix est fait de convecter toutes les grandeurs à la vitesse moyenne massique. Il faut
63

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
donc ajouter un flux correctif dans les équations de transport des moments Q 0 et Q 2 , nommément pour la
densité particulaire n l et la densité de surface Σ l .
L’écriture de ces flux correctifs nécessite dans un premier temps de dériver une expression pour la vitesse
de correction {u” p } l 1 qui lie les moyennes massique et statistique de vitesse :
{u p } l =< u p > l +{u” p } l (3.17)
3.3.1 Différenciation des comportements de goutte
La vitesse correctrice peut être dérivée à partir de l’Eq. 3.17 :
{u” p } l = {u p } l − < u p > l
= ∫ ∞
0 (c p − µp
(3.18)
α l ρ l
)N d (β p ; ⃗x, t)dβ p dc p
Pour des gouttes soumises exclusivement à un effort de trainée, cette vitesse est directement reliée au nombre
de Stokes St = (τ p /τ conv ) avec τ conv un temps caractéristique de convection de la phase porteuse et τ p un
temps de relaxation de la particule défini dans l’Eq. 1.20. Il est alors possible de distinguer 3 régimes de
déplacement des particules en fonction du nombre de Stokes :
⊲ Régime 1 (St ≪ 1) : les gouttes peuvent être assimilées à des traceurs de la phase gazeuse. Leur
vitesse se rapproche de la vitesse locale du gaz à mesure que leur nombre de Stokes diminue.
⊲ Régime 2 (St ≃ 1) : les effets de ségrégation sont maximaux dans ce régime (Février et al. [59]).
⊲ Régime 3 (St ≫ 1) : les gouttes ne sont pas affectées par le gaz et suivent leur propre trajectoire.
Leur vitesse s’éloigne de moins en moins de leur valeur initiale (i.e. de leur valeur à l’injection) à
mesure que le nombre de Stokes augmente.
Le nombre de Stokes St étant un paramètre qui dépend à la fois des propriétés de la phase dispersée et de la
phase porteuse, deux populations de gouttes de diamètres très différents peuvent avoir le même nombre de
Stokes à deux endroits différents du même écoulement de phase porteuse.
3.3.2 Forme présumée de la vitesse de correction
Dès lors, la forme présumée de la vitesse conditionnée doit respecter ces 3 régimes. Mossa [124] a proposé
la forme analytique suivante pour écrire la vitesse conditionnée par le diamètre des gouttes :
[
u τ = u + (u ∞ − u)exp −( d ]
St
) 2
d p
(3.19)
La Figure 3.2 présente la forme typique de cette vitesse conditionnée des gouttes en fonction du rapport
(d p /d St ) dans le cas u ∞ > u.
Le paramètre u ∞ est une vitesse représentative de la vitesse des gouttes les plus inertielles de la distribution.
Le paramètre d St dans l’Eq. 3.19 est la valeur du diamètre qui marque la séparation entre les régimes 1 et 3.
Il est défini par St(d St ) = 1, ce qui entraîne :
d St =
√
18µ f
ρ l
τ conv (3.20)
1 La vitesse u” p traduit l’écart à la moyenne mésoscopique en masse de la vitesse particulaire (u” p = u p− < u p > l ) tandis
que δu p traduit l’écart à la moyenne mésoscopique en nombre de la vitesse particulaire (δu p = u p − {u p} l ).
64

3.3 Modélisation des effets polydisperses
FIG. 3.2 - Forme de la vitesse conditionnée.
Un paramètre sans dimensions noté d ∗ permet de caractériser l’écartement du diamètre d 00 à la valeur de
d St :
d ∗ =
√
St(d00 )
√
St(dSt ) = d 00
d St
(3.21)
En intégrant la forme présumée de la vitesse conditionnée (Eq. 3.19) dans l’Eq. 3.18, on obtient une expression
purement analytique pour la vitesse conditionnée :
{u” p } l = ∫ ∞
0 (u τ − u) N d dβ p + (u− < u p > l )
= ∫ ( )
∞
0 (u ∞ − u)exp −( d St
β p
) 2 N d dβ p + (u− < u p > l )
(3.22)
Le terme du membre de droite ∫ ∞
0 (u ∞ − u) exp ( −(d St /β p ) 2) N d dβ p ne peut pas être intégré analytiquement.
∫
Ce terme est approximé par une décomposition en puissances de β p , faisant apparaître la quantité
β
γ
p N d dβ p qui est calculable :
∫
β
γ
p N d dβ p = ∫ h i
βp
γ √ 1
πˆσβp
exp − ln(βp/d00 ) 2
ˆσ
dβ
( p
) (3.23)
= 1 2 dγ 00 exp(( γbσ ln(βp/d
2 )2 )erf
00 )
bσ
− γbσ 2
où erf est la fonction erreur. En écrivant l’exponentielle dans l’Eq. 3.22 sous la forme :
⎧
( ) ⎨
exp − d2 St
βp
2 =
⎩
c 1
(
βp
d St
) p1
si d p ∈ [0, d St ]
1 − c 2
(
βp
d St
) p2
si d p ∈ [d St , +∞]
(3.24)
l’intégrale ∫ ∞
0 (u ∞ − u)exp ( −(d St /β p ) 2) N d dβ p peut être évaluée analytiquement. Mossa [124] a
déterminé les valeurs optimales pour les coefficients c 1 , c 2 , p 1 et p 2 qui apparaissent dans l’Eq. 3.24 :
c 1 = 0.5, c 2 = 0.5, p 1 = 3.0 et p 2 = −1.0.
65

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
Une fois déterminée la formule analytique approchée du terme exp ( −(d St /β p ) 2) , on couple l’Eq. 3.24 à
l’Eq. 3.23 afin de produire une formule analytique pour K γ (d ∗ ) = ∫ β γ p e −(d St/β p) 2 N d dβ p :
K γ (d ∗ ) = c ( (
1
2 (d∗ ) p 1
e (p2 1 +2p 1 γ)bσ2
ln(d ∗ )
4 1 − Erf
̂σ
+ 1 ( ( ln(d ∗ )
1 + Erf + γ ))
2
̂σ 2 ̂σ
− c ( (
2
2 (d∗ ) p 2
e (p2 2 +2p 2 γ)bσ2
ln(d ∗ )
4 1 + Erf
̂σ
+ (p ))
1 + γ)̂σ
2
+ (p ))
2 + γ)̂σ
2
(3.25)
Il est désormais possible de fermer l’expression de la vitesse de correction en injectant l’Eq. 3.25 (avec
γ = 0) dans l’Eq. 3.22 :
{u” p } l = (u ∞ − u)K 0 (d ∗ ) + (u− < u p > l ) (3.26)
3.3.3 Les équations de conservation filtrées dans l’approche polydisperse
Si on reprend les équations de conservation filtrées de la section 2.3.7, on doit ajouter une équation de
transport de la densité de surface et ajouter un terme de flux décorrélé induit par la différence entre les
moyennes massiques et statistiques. On notera que ces flux sont nuls en monodisperse. Le système des
équations pour la phase liquide polydisperse fait alors intervenir ce terme de flux décorrélé filtré qui s’écrit
pour la fonction particulaire ψ :
̂T(ψ) = − ∂
∂x i
(α l ρ l ) < û” p,i ψ > l
= − ∂
∂x i
n p {m p û” p,i ψ} l (3.27)
avec u” p,i la composante dans la direction i de la vitesse de correction définie dans l’Eq. 3.26.
• Conservation du nombre de gouttes
• Conservation de la fraction volumique de liquide
∂
∂t n p +
∂ n p û l,i =
∂x ̂T( 1 ) (3.28)
i m p
∂
∂t ρ lα l +
∂ ρ l α l û l,i = 0 (3.29)
∂x i
Pour la fraction volumique de liquide α l , aucun terme de flux décorrélé dû à la polydispersion n’apparaît
car cette grandeur est transportée à la vitesse liquide en moyenne massique.
• Conservation de la densité de surface de liquide
La densité de surface du liquide est la surface moyenne de l’interface du spray de gouttes par unité de
volume. En vertu de l’hypothèse H1 (cf. la section 2.3.1), les gouttes sont supposées sphériques, ce
qui permet d’écrire :
Σ l = n l {πd 2 p} l
= n l {Σ l } l (3.30)
66

3.3 Modélisation des effets polydisperses
où Σ l est la surface d’une particule de diamètre d p . En posant ψ = Σ l
m p
d’Enskog, on trouve finalement l’équation de transport filtrée de Σ l :
dans l’équation généralisée
• Conservation de la quantité de mouvement
∂
∂t ̂Σ l +
∂ û l,i Σ l =
∂x ̂T( Σ l
) (3.31)
i m p
∂
∂t ρ lα l û l,i +
∂ ρ l α l û l,i û l,j =
∂x ̂T(u” p,i ) − ρ lα l
(û l,i − û i )
j τ p
• Conservation de l’énergie du mouvement décorrélé (RUE)
− ∂
∂x j
ρ l α l
(
τ t l,ij + ̂δR l,ij
) (3.32)
∂
∂t ρ lα l ̂δθl +
∂
∂x j
ρ l α l ̂δθl û l,j = ̂T( 1 2 u” p,ju” p,j ) − 2 ρ lα l
τ p
̂δθl − ρ l α l ̂δRl,ij
∂
∂x j
û l,i (3.33)
+Π δθl − ∂
∂x j
(
ρ l α l
1
2 ̂δS l,iij + Q l,j
)
Les flux décorrélés présents dans les Eq. 3.28, 3.31, 3.32 et 3.34 sont fermés dans la section 3.3.4.
3.3.4 Fermeture des flux décorrélés
Les flux décorrélés quantifient l’écart du transport polydisperse de la quantité liquide par rapport à la
moyenne massique de ce transport. Dans un spray monodisperse, de tels flux sont nuls car la moyenne
massique est équivalente à la moyenne statistique dans ce cas précis. Dans un spray polydisperse, si on
transporte les particules les plus petites (i.e. les plus nombreuses sauf exception) avec la moyenne massique
de la vitesse liquide, on introduit un biais puisque cette moyenne est surtout représentative de la vitesse des
plus grosses particules. La Figure 3.3 illustre cette décorrélation des vitesses des plus petites gouttes par
rapport à la moyenne massique des vitesses. De plus, la Figure 3.3 montre clairement une autre relation
entre les moyennes massique et statistique de vitesse et la vitesse du fluide porteur : si la traînée est la seule
force qui s’exerce sur les gouttes, les grosses particules sont celles qui relaxent le moins vite vers la vitesse
du fluide porteur, ce qui se traduit par :
u ∞ − u = k 1 (< u p > l −u) (3.34)
< u p > l −u = k 2 ({u p } l − u) (3.35)
avec 0 ≤ k 2 ≤ k 1 ≤ 1, ce qui permet de situer ”géométriquement” le vecteur vitesse des plus petites particules
entre le vecteur vitesse des particules les plus inertielles et le vecteur vitesse du fluide porteur. Cette
propriété permet de dégager les trajectoires les plus probables des gouttes au sein d’un nuage polydisperse.
• Flux décorrélé du nombre de gouttes
Le nombre volumique de particules doit être transporté à la vitesse {u p } l . Pour ce faire, un flux
décorrélé est à prendre en compte. Ce flux s’écrit :
T( 1 m p
) = − ∂
∂x i
n l {u” p,i } l (3.36)
67

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
FIG. 3.3 - Flux décorrélés polydisperses dans un nuage fictif de gouttes et représentation de leurs effets via les
vitesses moyennes (adapté de Mossa [124]).
En utilisant la formulation de la vitesse de correction (Eq. 3.26), il vient simplement :
• Flux décorrélé de la densité de surface
T( 1 m p
) = − ∂
∂x i
(n l (u ∞ − u)K 0 (d ∗ ) + (u− < u p > l )) (3.37)
La densité de surface doit aussi être transportée avec la moyenne statistique de la vitesse liquide, ce
qui donne lieu à un flux décorrélé de la densité de surface qui s’écrit :
Si l’on cherche à réexprimer le terme n l {Σ l u” p,i } l , on obtient :
T( Σ l
m p
) = − ∂
∂x i
n l {Σ l u” p,i } l (3.38)
n l {Σ l u” p } l = n l {Σ l ({u p } l − < u p > l )} l
= n l {Σ l {u p } l } l − n l {Σ l < u p > l )}
∫
l
= Σ l c p f p (⃗c p , ζ p , β p ; ⃗x, t)dc p dζ p dβ p − Σ l < u p > l (3.39)
En remplaçant f p par sa forme présumée (Eq. 3.1), puis en simplifiant l’écriture, il vient :
∫
n l {Σ l u” p } l = n l π βpu 2 τ (β p )N d (β p ; ⃗x, t)dβ p − Σ l < u p > l (3.40)
Le premier terme du membre de droite de l’Eq. 3.40 est développé en injectant la forme présumée de
u τ (Eq. 3.19), ce qui donne :
∫
β 2 pu τ (β p )N d dβ p =
∫
β 2 p
[
(
(u ∞ − u)exp −( d St
∫
= uΣ l + (u ∞ − u)
En utilisant la définition de K γ pour γ = 2, il vient finalement :
β 2 pexp
)]
) 2 N d dβ p
β p
(
−( d )
St
) 2 N d β p (3.41)
β p
n l {Σ l u” p } l = (u− < u p > l )Σ l + (u ∞ − u)K 2 (d ∗ )Σ l (3.42)
68

3.3 Modélisation des effets polydisperses
• Flux décorrélé de la quantité de mouvement
Le transport de la quantité de mouvement met en jeu le terme de flux décorrélé T(u” p ). Ce terme est
décomposé en une pression pour les termes diagonaux et une viscosité pour les termes non-diagonaux
de manière analogue à ce qui est réalisé en monodisperse (cf. la section 2.3.6) soit :
avec
T(u” p,i ) = − ∂
∂x i
n l {u” p,j u” p,i } l
= − ∂
∂x i
[
p RUM δ ij + ν RUM
( ∂
∂x i
ŭ p,j +
∂ ŭ p,i − 2 )]
∂
ŭ p,k δ ij
∂x j 3 ∂x k
(3.43)
p RUM = 1 3 n l < u” p,k u” p,k > l (3.44)
L’Equation 3.44 est ici l’équivalent d’une équation d’état pour la phase dispersée.
• Flux décorrélé de l’énergie du mouvement décorrélé
Le tenseur des flux décorrélés sur l’énergie du mouvement décorrélé est obtenu rigoureusement de la
même manière que dans le cas du spray monodisperse (cf. la section 2.3.6), soit :
Σ l
T( ) = − ∂ n l {u” p,j u” p,i u” p,i } l
u” p,i u” p,i ∂x i
= − ∂ [
]
∂
−κ p,RUM < u” p,j u” p,i u” p,i > l
∂x i ∂x j
(3.45)
où κ p,RUM est un coefficient de diffusion qui vaut (Boileau [15], Riber [151]) :
κ p,RUM = 5 3 ˘τ p( 1 2 < u” p,ju” p,i u” p,i > l ).
3.3.5 Fermeture de la trainée dans l’approche polydisperse
La moyenne massique de la force de traînée s’écrit de la manière suivante :
F d = α l ρ l < F m p
> l
= α l ρ l < u − u p
τ p (β p ) > l
(3.46)
La définition de la moyenne massique permet d’écrire l’Eq. 3.46 sous la forme qui suit :
F d = πρ ∫
l
β 3
6
p( u − u p
τ p (β p ) )f p(c p , ζ p , β p ; ⃗x, t)dc p,i dζ p dβ p
∫
α l ρ l 1
=
β
τ p (d 00 ) d 00 e 9bσ2 /4 p (u − u τ )N d dβ p
(3.47)
69

INTÉGRATION DE LA POLYDISPERSION DANS LE MODÈLE EULER-EULER
En injectant la forme de la vitesse conditionnée par le diamètre u τ (Eq. 3.19), l’Eq. 3.48, on obtient finalement
:
F d =
∫
α l ρ l 1
τ p (d 00 ) d 00 e 9bσ2 /4
∫
1
d 00 e 9bσ2 /4
= α l ρ l
(u − u ∞ )
τ p (d 00 )
β p (u − u ∞ )e −( d St
βp )2 N d dβ p
β p e −( d St
βp )2 N d dβ p
} {{ }
=K 1 (d ∗ )
(3.48)
Le terme K 1 (d ∗ ) est déterminé dans l’Eq. 3.25 en prenant γ = 1.
3.3.6 Résumé des équations de conservation dans l’approche polydisperse
Dans l’approche polydisperse sans prise en compte des collisions, les équations de conservation sont
écrites de la manière suivante :
∂
∂t ρ lα l û l,i +
∂
∂t n p +
∂ n p û l,i =
∂x ̂T( 1 )
i m p
∂
∂t ρ lα l +
∂ ρ l α l û l,i = 0
∂x i
∂
∂t ̂Σ l +
∂ û l,i Σ l =
∂x ̂T( Σ l
)
i m p
∂
∂x j
ρ l α l û l,i û l,j = ̂T(u” p,i ) − ρ lα l
τ p
(û l,i − û f,i )
− ∂
∂x j
ρ l α l
(
τ t l,ij + ̂δR l,ij
)
∂
∂t ρ lα l ̂δθl +
∂ ρ l α l ̂δθl û l,j =
∂x ̂T( 1
j 2 u” p,ju” p,j ) − 2 ρ lα l
∂
̂δθl − ρ l α l ̂δRl,ij û l,i
τ p ∂x j
+Π δθl − ∂ (
)
1
ρ l α l
∂x j 2 ̂δS l,iij + Q p,j
70

Chapitre 4
Modélisation de l’injection de carburant
liquide
La fragmentation d’un jet ou d’une nappe liquide en une myriade de gouttelettes est un processus
d’importance dans un grand nombre d’applications industrielles comme les systèmes de suppression
d’incendie, les systèmes d’épandage dans l’agriculture ou, dans un domaine qui retient plus spécifiquement
notre attention : les systèmes d’injection dans les moteurs à carburant liquide. Dans ces derniers, si la
fragmentation du liquide est efficace, un grand nombre de gouttes plus ou moins sphériques est produite et
on préfère alors le terme d’atomisation.
Cependant, le phénomène d’atomisation de la phase liquide est encore bien mal compris. La formation
de gouttes à partir d’un jet liquide débouchant dans l’atmosphère a constitué le premier jalon historique
dans l’étude de l’atomisation (section 4.1). Cependant, le spray de gouttes produit dans les applications
industrielles résulte généralement de l’atomisation d’une nappe liquide plutôt que d’un jet cylindrique
(section 4.2). Enfin, la qualité de l’atomisation est étroitement reliée à la technologie d’injection employée
comme on l’a vu en introduction.
4.1 Atomisation d’un jet liquide cylindrique
Les observations de Savart [159] constituent les premières données expérimentales collectées sur l’atomisation
d’un jet liquide cylindrique. Savart a notamment montré qu’à diamètre de jet constant, la longueur
du jet non fragmenté est proportionnelle à la vitesse du jet en entrée. A l’inverse, si la vitesse du jet en
entrée est fixée, la longueur du jet non fragmenté s’est avérée directement reliée au diamètre du jet.
Plateau [136] a le premier formulé une explication théorique de l’atomisation d’un jet cylindrique en
soutenant que la tension de surface tend à minimiser la surface du jet cylindrique. Son analyse théorique
aboutit à la formation de segments liquides de longueur égale à 9 fois le rayon du jet, ce qui correspond à
des gouttes sphériques ayant la plus petite énergie de surface par rapport au volume du jet liquide initial.
Rayleigh [144] a prolongé l’analyse de Plateau [136] en perturbant initialement le jet cylindrique avec
des ondes de surface et en analysant la croissance temporelle de ces perturbations. Ses développements

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
théoriques ont permis d’exprimer l’énergie potentielle du jet perturbé par rapport à celle du jet au repos :
E s = πσ (
( 2π )
2d λ )2 + n 2 − 1
(4.1)
avec E s l’énergie potentielle de surface, σ la tension de surface, d le diamètre du jet, b n un coefficient d’expansion
de la série de Fourier, λ la longueur d’onde des perturbations et n un entier positif. Rayleigh a fait
l’hypothèse d’une croissance exponentielle pour le terme b n , soit b n ∝ exp(qt) avec q le taux de croissance
temporelle de la perturbation. Rayleigh a montré que le taux de croissance le plus rapide s’exprimait sous la
forme :
√ ( ) σ
q max = 0.97
ρ L d 3
(4.2)
A ce taux de croissance q max correspond une longueur d’onde notée λ opt :
λ opt = 4.51d (4.3)
En supposant que ce segment de jet liquide forme une goutte sphérique de même volume, cette goutte doit
avoir un diamètre égal à 1.89 fois le diamètre du jet. La Figure 4.1 donne un aperçu du mode d’atomisation
décrit par Rayleigh.
FIG. 4.1 - Atomisation de Rayleigh (haut : rupture du jet idéalisé ; bas : rupture du jet réel (photographie de
Rayleigh (Rayleigh [145]))). On remarquera que la rupture du jet réel fait aussi intervenir de minuscules gouttes de
diamètre très inférieur au diamètre du jet initial, appelées gouttes satellites.
Weber [198] puis plus tard Chandrasekhar [26] ont ajouté la contribution de la viscosité du liquide dans
les équations de Rayleigh. Cette contribution visqueuse induit principalement une réduction du taux d’accroissement
des perturbations et décale la perturbation la plus rapidement amplifiée vers de plus grandes
longueurs d’onde.
Keller et al. [90] a le premier remarqué que les précédentes études considéraient une instabilité purement
temporelle du jet alors que l’instabilité observée est spatialement convectée suivant la direction du jet. En
particulier, la perturbation proche du nez de l’injecteur ne s’amplifie pas avec le temps. Keller et al. [90] a
ainsi montré que le mode de rupture décrit par Rayleigh est valable uniquement pour des nombres de Weber
très inférieurs à l’unité. Le nombre de Weber W e est défini comme le rapport entre la tension de surface σ
72

4.1 Atomisation d’un jet liquide cylindrique
des gouttes et le différentiel d’inertie entre le gaz et le liquide :
W e = ρ|u − u l| 2 d p
σ
(4.4)
Keller et al. [90] a ainsi identifié un nouveau mode d’instabilité relié à de plus grandes longueurs d’onde
pour W e > 1.
L’interaction du jet liquide avec l’air environnant est un point crucial qui a été négligé dans toutes les approches
analytiques décrites précédemment. D’autre part, ces analyses théoriques conduisent uniquement à
des gouttes de taille similaire au diamètre du jet liquide initial, ce qui n’est pas le cas dans la réalité (Fig. 4.1).
Reitz & Bracco [147] ont proposé une théorie qui prend en compte l’interaction du liquide avec le gaz. Cette
théorie prédit aussi différentes tailles de goutte, que ce soit les grosses gouttes issues du mode de rupture
de Rayleigh ou les petites gouttes générées lors de l’atomisation du jet. Cette théorie repose notamment
sur la symétrie axiale du jet, l’incompressibilité de l’écoulement pour chaque phase et l’absence d’effets
visqueux. Les perturbations sont aussi supposées de faible amplitude par rapport au diamètre du jet liquide
non perturbé.
Le point de départ de cette théorie est l’application d’une perturbation de surface sur une colonne liquide
de rayon a et de longueur infinie dans la direction axiale notée (z). La Figure 4.2 présente le modèle de
colonne perturbée par rapport à un jet liquide réel soufflé par l’air environnant.
r
Z
a
! e "t
0
#
FIG. 4.2 - Perturbations à la surface de la colonne liquide (gauche : Modèle de Reitz & Bracco [147] ; droite : Jet
liquide réel soufflé par de l’air (tiré de Marmottant [112])).
Pour une telle colonne, l’équation de variation de la surface se réduit à une équation sur le rayon de la
colonne (Lee & Chen [97]) :
(
r = a + η avec η = Re η 0 e ikz+ωt) (4.5)
où η 0 est l’amplitude de la perturbation initiale, a est le rayon de la colonne non perturbée et ω le taux
d’amplification de la perturbation. Reprenant les notations de Lee & Chen [97], les vitesses (axiale (û)
et radiale (û r )) et pression (̂p) instantanées dans chaque phase se décomposent suivant une composante
73

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
moyenne et une composante de perturbation :
û z = U + u z ; û r = u r ; ̂p = P + p (4.6)
avec u z , u r et p les vitesses et pression de la perturbation à l’interface.
En substituant les grandeurs définies dans l’Eq. 4.6 dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement
dans chaque phase puis en négligeant les termes non linéaires, on aboutit aux équations linéarisées
de la perturbation.
On marque par l’indice i chaque phase de l’écoulement (i = g pour le gaz ambiant et i = l pour le jet
liquide). Dans un repère cylindrique associé au mouvement relatif du jet par rapport à l’air, l’équation de
continuité de chaque phase s’écrit :
L’équation de quantité de mouvement linéarisée pour chaque phase s’écrit :
∇u i = 0 (4.7)
∂u i
∂t + U ∂u i
i
∂z = − 1 ∇p i (4.8)
ρ i
En supposant que l’amplitude des perturbations de surface est très faible devant le rayon de la colonne
liquide (η

4.2 Atomisation d’une nappe liquide
( I
ω 2 + 2ν g k 2 ′
ω 1 (ka)
I 0 (ka) − 2kl I 1 (ka)
k 2 + l 2 I 0 (ka)
= σk
( l
ρ g a 2 (1 − a2 k 2 2 − k 2 )
I1 (ka)
)
l 2 + k 2 I 0 (ka)
+ ρ g
ρ l
(U 2 − iω k
I 1 ′ (la) )
I 1 (la)
) ( l
k 2 2 − k 2 )
I1 (ka)K 0 (ka)
l 2 + k 2 I 0 (ka)K 1 (ka)
(4.13)
où I n et K n sont les fonctions de Bessel de première et seconde espèce à l’ordre n respectivement, l est
définie par l 2 = k 2 + ω ν l
et le symbole ′ marque une différenciation. L’Eq. 4.13 permet notamment de
retrouver le mode de Rayleigh qui correspond à un jet liquide non visqueux (ν l = 0) de faible vitesse
(U 2 = 0) et n’interagissant pas avec le gaz (ρ g = 0). Cependant, l’atomisation du jet liquide correspond
plutôt au cas limite (ka → ∞), ce qui donne une relation explicitée dans Reitz & Bracco [147] qui ne
dépend plus de la taille a de la colonne liquide.
A partir de l’Eq. 4.13, Reitz [146] a défini 4 modes de désintégration du jet liquide :
1. le mode de rupture de Rayleigh. Ce mode apparaît pour de faibles nombres de Weber et traduit un
équilibre entre l’inertie et la tension de surface du jet dans l’Eq. 4.12. Les gouttes sont ici plus grosses
que le diamètre du jet et apparaissent assez loin de l’entrée du jet liquide.
2. le mode dit ”first wind-induced”. Une augmentation du nombre de Weber augmente la fréquence
d’apparition des gouttes mais leur taille reste comparable à celle du jet initial.
3. le mode dit ”second wind-induced”. Le jet transite brutalement vers un état très perturbé en surface.
Les gouttes formées par ce processus sont dès lors bien plus petites que la taille caractéristique de la
colonne liquide non perturbée.
4. l’atomisation. Ce mode correspond au régime nominal de la grande majorité des atomiseurs de turbine
à gaz et intervient pour de forts nombres de Weber. L’atomisation du jet a lieu pratiquement dès sa
pénétration dans l’atmosphère, ce qui le distingue des trois autres régimes.
Reitz [146] a délimité ces 4 modes de rupture du jet dans le plan (Re, Oh) (Fig. 4.3) avec Oh le nombre
d’Ohnesorge défini par Oh =
√
W e
Re .
4.2 Atomisation d’une nappe liquide
La plupart des atomiseurs rencontrés dans les systèmes d’injection de turbines à gaz ne produisent pas
des jets liquides mais plutôt des nappes liquides de forme plane ou conique. Les nappes liquides de forme
conique peuvent être générées en forçant le liquide dans un orifice annulaire ou en lui imprimant un mouvement
giratoire. Ce mouvement giratoire peut être généré directement comme dans les atomiseurs pressurisés
avec swirl interne ou indirectement par interaction avec l’air tournant comme dans les atomiseurs ”airblast”
à film liquide. Une nappe plane peut être obtenue en injectant du liquide à partir du centre d’un disque
tournant.
Dans la pratique, un atomiseur peut exhiber 3 régimes d’atomisation de la nappe (Fraser & Eisenklam [60]) :
⊲ une atomisation par la bordure. Ce régime d’atomisation dit ”régime en drapeau” correspond à
une atomisation du bourrelet au bord de la nappe liquide. La nappe est déstabilisée et bat comme
un drapeau. Ce régime est observé uniquement pour un écoulement laminaire et a été étudié
expérimentalement par Bremond [22].
75

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
1
10
Nombre d’Ohnesorge (Oh)
0
10
-1
10
-2
10
Mode de
Rayleigh
Second Wind Induced breakup
First Wind Induced breakup
Atomisation
-3
10
0 1 2 3 4
10 10 10 10 10
Nombre de Reynolds (Re)
10 5
FIG. 4.3 - Cartographie des régimes d’atomisation dans le plan (Re,Oh) (adapté de Lefebvre [98]).
⊲ une atomisation par ondulation. Ce régime se distingue du précédent par la fragmentation de morceaux
de la nappe liquide au passage de l’onde de déstabilisation. Cette désintégration de la nappe
liquide est très irrégulière et donne lieu à une forte polydispersion du spray résultant.
⊲ une atomisation par perforation. Dans ce régime, la nappe est percée de trous. La multiplication de
ces trous forme rapidement un réseau de ligaments qui se scindent en gouttes de diamètres variés.
La Figure 4.4 présente ces 3 types d’atomisation observés sur une nappe liquide plane.
Atomisation en bordure
(mode drapeau)
Atomisation par
ondulation
Atomisation par
perforation
FIG. 4.4 - Les 3 régimes d’atomisation de la nappe liquide : gauche : atomisation en bordure (photo extraite de
Bremond [22]) ; milieu : atomisation par ondulation (photo extraite de Van Dyke [191]) ; droite : atomisation par
perforation (photo extraite de Dombrowski & Fraser [46]).
76

4.3 Modélisation de l’injection
L’onde qui déstabilise la nappe liquide résulte d’une instabilité de Kelvin-Helmholtz qui tord l’interface
entre le liquide et le gaz environnant. Pour une nappe liquide plane, l’analyse linéaire de stabilité a été menée
en parallèle par Squire [182], York et al. [203], Hagerty & Shea [77]. En supposant que l’instabilité qui croit
le plus vite est celle qui conduit à la fragmentation, l’analyse linéaire de stabilité permet d’exprimer le taux
de croissance q max et la longueur d’onde λ opt du phénomène de déstabilisation. Si la nappe est d’épaisseur
h et de vitesse u l , on peut écrire :
q max =
ρ gu 2 l
√ 4ρl hσ
(4.14)
λ opt = 4πσ
ρ g u 2 l
(4.15)
York et al. [203] a suggéré un processus de fragmentation de la nappe en gouttes. Dans ce processus, la
nappe se découpe en bandes de longueur λ opt et d’épaisseur h b qui correspond à l’épaisseur de la nappe à
l’endroit de la rupture. Les bandes de liquide ainsi formées prennent la forme de ligaments qui se scindent
en gouttes suivant le mécanisme de Rayleigh.
Plus récemment, Senecal et al. [166] a proposé un modèle d’atomisation de la nappe liquide qui inclut la
viscosité et la tension de surface du liquide ainsi que l’influence du gaz environnant. Ce modèle ne s’appuie
pas sur l’hypothèse de grande longueur d’onde utilisée dans la plupart des modèles précédents. Cette étude
théorique a ainsi permis de retrouver certaines caractéristiques comme la pénétration axiale du spray ou le
SMD de la distribution de gouttes dans le cas d’un atomiseur pressurisé avec swirl interne.
4.3 Modélisation de l’injection
Contrairement aux atomiseurs que l’on trouve typiquement dans les moteurs diesel, les atomiseurs
pilotes présents dans les turbines à gaz de moteurs aéronautiques mettent en jeu des sprays beaucoup plus
ouverts (typiquement 60 ◦ d’angle total d’ouverture voir bien plus encore). On a vu dans l’Introduction
de cette thèse que l’utilisation d’atomiseurs de type ”simplex” ou ”airblast” permet d’obtenir des sprays
compatibles avec des applications aéronautiques.
Cependant, avant d’aboutir à un spray finement atomisé, la phase liquide doit subir une phase d’atomisation.
Comme on a pu le voir dans la section 4.1, l’atomisation d’un jet et a fortiori celle d’une nappe
liquide, est un phénomène qui nécessite dans la pratique une modélisation très fine. De plus, il est souvent
difficile de connaître à l’avance toutes les échelles de taille impliquées et par conséquent, la résolution de
la grille numérique doit souvent être très fine par défaut. Ainsi, pour résoudre convenablement le spray en
sortie d’un atomiseur de 0.2 mm de diamètre, il faudrait compter sur une taille caractéristique de maille
de l’ordre de 20 µm. De plus, les vitesses d’injection peuvent être très élevées (on peut monter jusqu’à
600 m/s dans un spray diesel). Dans ces conditions, le pas de temps s’effondre et le nombre de mailles
augmente drastiquement. Par ailleurs, la zone d’atomisation entretient localement de très forts gradients de
vitesse et de fraction volumique de liquide, ce qui peut s’avérer un problème aussi bien pour une approche
Lagrangienne (Moin [120]) que pour une approche Eulérienne (Sirignano [171]). L’atomisation primaire de
la nappe liquide reste d’ailleurs un sujet difficile même dans l’approche SND (Gorokhovski & Herrmann
[67]) et a fortiori dans l’approche SGE (Bellan [10]).
77

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
Reprenant l’idée de Martinez [114], on décide de ne pas modéliser la phase d’atomisation et d’injecter
directement un spray de gouttes dans le domaine de calcul. La difficulté est ici d’établir des conditions
d’injection en adéquation avec le régime de fonctionnement et la position réelle de l’atomiseur. Il convient
donc de déterminer :
⊲ la position de la condition limite d’injection,
⊲ le profil spatial de fraction volumique de liquide,
⊲ les profils spatiaux de vitesse pour chaque phase,
⊲ le profil spatial de diamètres de gouttes.
Une exigence évidente consiste à s’assurer que le modèle s’accorde avec des grandeurs macroscopiques du
spray comme son angle d’ouverture et son débit massique de carburant. Dans cette optique, on dérive deux
modèles de conditions limites pour injecter du carburant dans le domaine de calcul :
1. Un premier modèle consiste à imposer des profils de vitesse sur les deux phases reconstruits par
similarité avec les profils de vitesse mesurés plus loin en aval. Ce modèle dit ”empirique” est présenté
dans la section 4.5.
2. Le modèle d’atomiseur que l’on présente dans la section 4.6 s’attache à reproduire le spray issu d’un
atomiseur pressurisé avec un mouvement de swirl interne (du type simplex). Ce modèle est dit ”semiempirique”
car il repose sur des données macroscopiques du spray pour déduire les grandeurs d’entrée
de la condition limite d’injection.
4.4 Décalage de la position axiale de la condition limite d’injection
Puisque les problèmes liés à l’atomisation du film liquide sont ignorées, la condition limite d’injection
est repoussée en aval de la position réelle de l’orifice d’atomisation. Ce décalage permet aussi d’assurer un
nombre suffisant de points dans la condition limite d’entrée.
Zone
d’atomisation
Spray de
gouttes
Atomiseur
r CL inj
r o
!: Demi angle du spray
L axial
Position de
l’orifice
d’atomisation
Position de la
condition limite
d’injection
: géométrie réelle
de l’atomiseur
: géométrie
modifiée
FIG. 4.5 - Position de la condition limite d’injection par rapport à la position de l’orifice d’atomisation.
La Figure 4.5 montre clairement le décalage de la condition limite d’injection par rapport à l’orifice d’atomisation.
Dans la pratique, la zone d’atomisation s’étend axialement sur une distance équivalente à quelques
78

4.5 Construction du modèle empirique
diamètres de l’orifice de l’atomiseur. Afin de s’éloigner suffisamment de cette région, on déplace la condition
d’injection d’au moins 2 mm en aval, ce qui correspond à quelques diamètres de l’orifice d’injection.
On retrouve le rayon r CL inj de la condition limite via l’Eq. 4.16 :
r CL inj = r 0 + tan(θ) ∗ (L axial ) (4.16)
avec L axial la distance de décalage axial de la condition limite et θ le demi-angle du spray. On notera que la
condition limite d’injection est de forme circulaire par construction.
4.5 Construction du modèle empirique
Le modèle d’injection empirique construit les profils des grandeurs physiques de chaque phase au niveau
de la condition limite par similarité avec les profils expérimentaux obtenus en aval de l’injecteur. Cette
construction se fait en deux temps :
1. on détermine d’abord le décalage axial de la condition limite d’injection par rapport à la position
réelle du nez de l’atomiseur,
2. on construit ensuite les profils des grandeurs physiques pertinentes pour chaque phase de manière
totalement séparée.
4.5.1 Construction des profils sur les grandeurs physiques des deux phases
Sur chaque phase, les profils des trois composantes de vitesse sont construits en respectant la forme et
les niveaux des profils expérimentaux les plus proches de la condition limite d’injection. Pour ce faire, la
forme des profils de vitesse mesurés à l’abscisse la plus proche de la condition d’injection est reproduite
par similarité d’échelles sur la condition limite d’injection. Par exemple, si un pic de vitesse est mesuré à
2/3 du rayon maximal sur le profil expérimental le plus proche de la condition limite d’injection, le niveau
du pic est conservé et sa position radiale correspond alors aux 2/3 du rayon maximal de la CL d’injection.
Cette méthode atteint ses limites si les profils de vitesse expérimentaux sont très éloignés de la condition
limite d’injection. Pour mémoire, Lamarque [94] a obtenu une comparaison calculs/expérience de qualité
en s’appuyant sur des profils de vitesses liquides mesurés à 17mm en aval de la condition limite d’injection.
Le diamètre de l’atomiseur simulé par Lamarque [94] était d’environ 0.5mm.
Sur la phase liquide, le décalage de la condition limite permet non seulement d’augmenter la surface d’injection
mais aussi de réduire fortement la valeur de la fraction volumique de liquide comparativement à la
valeur unitaire en sortie d’atomiseur. Dans un calcul monodisperse, il n’y a pas de fluctuation du diamètre
dans la maille mais il est tout-à-fait envisageable d’imposer une variation spatiale du diamètre sur la condition
limite d’injection. Dans tous les cas, le débit liquide ṁ l permet de déterminer la fraction volumique de
liquide α l à partir du profil de vitesse axiale du liquide :
∫∫
ṁ l =
n l (r)πd 3 l
ρ (r)
l
S inj
6
} {{ }
=α l (r)
u l,ax dS (4.17)
79

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
4.6 Construction du modèle semi-empirique
Le modèle d’injection semi-empirique construit les profils des grandeurs physiques pertinentes en trois
temps :
1. on détermine le décalage axial de la condition limite d’injection qui convient,
2. les profils des grandeurs liquides sont construits en s’appuyant sur des corrélations empiriques valides
pour un atomiseur simplex,
3. on calcule le flux d’air entrainé par le spray suivant l’approche développée par Cossali [34] afin de
déterminer des profils de vitesse sur la phase gazeuse.
4.6.1 Construction des profils sur les grandeurs liquides
L’atomiseur ”simplex” est l’atomiseur pressurisé avec swirl interne le plus simple qui existe. En effet, il
ne comporte qu’un seul circuit de carburant (Lefebvre [98]). Ce type d’atomiseur est très répandu dans les
turbines à gaz car son concept très simple permet d’obtenir des sprays bien ouverts pleins ou creux (l’angle
total se situe généralement entre 60 et 80 ◦ , rien n’empêchant d’atteindre 180 ◦ avec ce type d’atomiseur
(Lefebvre [98])).
La Figure 4.6 présente un schéma de principe d’un atomiseur simplex. La présence d’un coeur d’air au
centre de l’atomiseur est la conséquence du swirl du liquide. Ainsi, la section de passage du carburant est
diminuée en sortie d’atomiseur selon le ratio X = A air core /A orifice avec A air core l’aire du coeur d’air au
niveau de l’orifice et A orifice l’aire totale de l’orifice d’atomisation.
Entrées de carburant
A
A
d p
l S
D S
Cœur
d’air
l o
d o
l p
Vue A-A
Cône creux du spray liquide
FIG. 4.6 - Atomiseur pressurisé avec swirl de type simplex (gauche : schéma de principe avec les dimensions
caractéristiques ; droite : photo d’un atomiseur simplex expérimental en fonctionnement (extrait de Jeng et al. [87])).
Pour les atomiseurs pressurisés avec swirl interne comme le simplex, il existe des corrélations empiriques
qui permettent de retrouver des grandeurs utiles pour le calcul de profils d’injection liquide. Sachant que l’on
dispose généralement de très peu d’informations sur les dimensions internes d’un atomiseur, la corrélation
80

4.6 Construction du modèle semi-empirique
empirique de Rizk & Lefebvre [153] revêt un grand intérêt car elle relie le demi-angle du spray directement
au rapport X des surfaces d’air et de liquide en sortie d’atomiseur soit :
cos 2 (θ) = 1 − X
1 + X
(4.18)
On connaît généralement θ le demi-angle du spray, ce qui permet d’écrire plutôt :
X =
sin2 (θ)
1 + cos 2 (θ)
(4.19)
L’analyse de Giffen & Muraszew [65] d’un écoulement stationnaire de fluide non visqueux permet d’aboutir
à la formule théorique suivante pour le facteur de contraction X (Lefebvre [98]) :
sin(θ) = 2 √ X
2
(1 + √ X) √ 1 + X
(4.20)
La Table 4.1 donne les valeurs de X calculé par les Eq. 4.19 et 4.20 pour un demi-angle de spray variant
de 30 à 60 ◦ . Le facteur X augmente avec θ, car une augmentation de l’angle du spray correspond à une
augmentation du swirl à l’intérieur de l’atomiseur et donc à un renforcement du coeur d’air (Fig. 4.6).
θ [ ◦ ] 30 35 40 45 50 55 60
X[−] (calculé par l’Eq. 4.19) 0.143 0.197 0.260 0.333 0.415 0.505 0.600
X[−] (calculé par l’Eq. 4.20) 0.317 0.387 0.461 0.537 0.613 0.688 0.760
TAB. 4.1 - Variation du facteur X avec le demi-angle d’ouverture du spray θ.
Le profil de vitesse axiale de liquide est uniforme sur la surface d’injection tandis que le profil de vitesse
radiale est construit de manière à respecter l’angle du spray. Le profil de vitesse azimutale repose sur la
conservation du moment angulaire entre le mouvement giratoire à l’intérieur de l’atomiseur simplex et le
mouvement giratoire à l’injection. Le profil de fraction volumique de liquide permet d’imposer un cône
creux tandis que le diamètre est arbitrairement uniforme sur la surface d’injection.
La construction des profils de vitesses axiales et tangentielles via le modèle semi-empirique nécessite
de connaître certaines quantités à l’intérieur de l’atomiseur et au niveau de l’orifice d’atomisation. La
Figure 4.7 définit ces quantités et permet de visualiser les profils des quantités liquides sur la condition
limite d’injection.
Construction du profil de vitesse axiale de liquide
La vitesse axiale débitante au niveau de l’orifice d’atomisation u l,ax o vaut :
u l,ax o =
ṁ l
ρ l A orifice (1 − X)
(4.21)
La vitesse axiale des gouttes est uniformément imposée sur toute la surface d’injection et est supposée égale
à la vitesse à l’orifice 1 soit :
1 Cette hypothèse est raisonnable si la CL d’injection reste proche de l’orifice d’atomisation.
81

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
Dans l’atomiseur
(Grandeurs notées avec l’indice atom)
1
2
1
2
Profil de
Profil de
A l’orifice d’atomisation
(Grandeurs notées avec l’indice o)
1 2
1
2
Profil de
Profil de
A la condition limite d’injection
(Grandeurs notées avec l’indice CL inj)
2
3
1
4
1
2
3
4
Profil de
Profil de
Profil de
Profil de
FIG. 4.7 - Profils des quantités utilisées par le modèle semi-empirique dans la chambre de swirl de l’atomiseur, à
l’orifice d’atomisation et sur la CL d’injection.
u l,ax CL inj = u l,ax o (4.22)
=
ṁ l
ρ l A orifice (1 − X)
82

4.6 Construction du modèle semi-empirique
On remarquera que la vitesse du liquide est non nulle au centre de la surface d’injection où il n’y a pas de
gouttes mais le profil de fraction volumique de liquide corrigera cet effet.
Construction du profil de vitesse radiale de liquide
La vitesse radiale du liquide u l,rad CL inj est reconstruite ad hoc de manière à respecter le demi-angle θ du
spray liquide, soit :
u l,rad CL inj (r) = u l,ax CL inj ∗ tan(θ) ∗ (r/r CL inj ) (4.23)
où r est la coordonnée radiale de la surface d’injection et r CL inj est le rayon maximal de cette même
surface.
Construction du profil de vitesse tangentielle de liquide
En premier lieu, on estime la vitesse tangentielle (orthoradiale) du liquide dans l’atomiseur. Connaissant
le débit massique de carburant dans l’atomiseur (ṁ l ), on suppose que le carburant liquide arrive dans la
chambre par des conduits tangentiaux (cf. la vue A-A de la Fig. 4.6). La vitesse tangentielle moyenne dans
l’atomiseur u l,tan atom s’écrit alors :
u l,tan atom =
ṁl
ρ l A P
(4.24)
avec A P la section de passage des conduits tangentiaux (cf. la vue A-A de la Fig. 4.6).
A titre d’exemple, on peut reprendre les données collectées par Lefebvre [98] sur la géométrie interne des
atomiseurs simplex pour calculer la section A P en fonction du diamètre de l’orifice d o :
⊲ le carburant liquide entre dans la chambre interne du simplex par 4 conduits tangentiaux (cf. la vue
A-A de la Fig. 4.6),
⊲ le rapport A P /(D S ∗ d o ) est pris égal à 0.52 (valeur extraite de la p. 172 de Lefebvre [98]) avec A P
la section de passage des conduits tangentiaux, D S le diamètre de la chambre de swirl et d o est le
diamètre de l’orifice,
⊲ le rapport D S /d o est pris égal à 2.7 (valeur extraite de la p. 172 de Lefebvre [98]).
Avec les trois hypothèses précédentes, on sait que K = D P /d o = √ A P /(πd 2 o) = √ (0.52 ∗ 2.7)/π ≃
0.67. Si les dimensions internes de l’atomiseur simplex sont connues, il est évidemment recommandé
d’affiner les 3 hypothèses précédentes.
Si les gouttes qui modélisent le spray sont très inertielles, leur dynamique est peu modifiée par le gaz
environnant, tout du moins sur la distance de décalage axial de la CL d’injection. On fait alors l’hypothèse
(très forte) que le moment angulaire de ces gouttes se conserve entre l’atomiseur et la CL d’injection. Cette
hypothèse permet de déterminer la vitesse tangentielle maximale au niveau de la surface d’injection :
max(u l,tan CL inj ) =
(
DS
83
2r CL inj
)
u l,tan atom (4.25)

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
On construit ensuite un profil radial linéaire de vitesse tangentielle au niveau de la condition limite :
u l,tan CL inj (r) =
D S
2r CL inj
r
r CL inj
u l,tan atom (4.26)
Construction du profil de fraction volumique de liquide
Dans un premier temps, il convient de localiser le pic de fraction volumique de liquide α l . On introduit
donc l’épaisseur t du film liquide dans la définition du facteur de contraction X, soit :
X = A air core
A orifice
= π(d o − 2t) 2
πd 2 o
(4.27)
ce qui donne après simplification :
t = d o
2 (1 − √ X) (4.28)
En supposant que le rapport X se conserve jusqu’au niveau de la condition limite d’injection, l’épaisseur du
spray est égale à l’épaisseur du film liquide (donc notée également t) et s’écrit t = (1 − √ X)r CL inj . Le
pic de α l se situe au rayon r α :
r α = r CL inj − t 2
= 1 + √ X
r CL inj (4.29)
2
On se donne une forme gaussienne pour le profil radial de α l :
( ( ) )
r −
2
rα
α l CL inj (r) = α l,max exp −
σ r
(4.30)
On pose arbitrairement σ r = 0.3r CL inj car l’épaisseur du film ne peut être discrétisée convenablement
avec les résolutions de maillage accessibles au niveau de la condition limite d’injection. Pour déterminer
l’amplitude α l,max du pic de fraction volumique de liquide, on écrit le débit massique de carburant ṁ l sous
la forme :
ṁ l =
=
∫ rCL inj
0
∫ rCL inj
0
ρ l (u l,ax CL inj )(α l CL inj (r))2πrdr
( ( ) )
r −
2
rα
ρ l u l,ax α l,max exp −
2πrdr (4.31)
σ r
A partir de l’Eq. 4.31, α l,max s’écrit :
α l,max =
∫ rCL inj
ṁ l
0
ρ l (u l,ax CL inj )exp(−( r−rα
σ r
84
) 2 )2πrdr
(4.32)

4.6 Construction du modèle semi-empirique
Construction des profils de diamètre et de nombre volumique de goutte
La distribution de tailles de goutte peut être obtenue via l’approche SND ou par des mesures. Dans le
cadre de ce travail, cette distribution est a priori inconnue et le diamètre des gouttes d l est choisi uniforme
sur toute la condition limite d’injection, ce qui simplifie le calcul du nombre volumique de goutte à cet
endroit n l CL inj :
n l CL inj (r) = 6(α l CL inj(r))
πd 3 l
(
= 6α ( ) )
l,max r − 2 rα
πd 3 exp −
l
σ r
(4.33)
4.6.2 Construction des profils sur les grandeurs gazeuses
Sur la phase gazeuse, un profil uniforme de vitesse axiale est imposé à partir du débit d’air entraîné dans
le spray. Les composantes radiale et tangentielle de vitesse du gaz sont déduites de la même manière que
pour le liquide.
Construction du profil de vitesse axiale gazeuse
Dans un atomiseur pressurisé, il n’existe aucun circuit d’air dans l’atomiseur, à la différence des atomiseurs
”airblast”. Cependant, si l’air n’est pas directement soufflé dans l’atomiseur, une certaine quantité
d’air est entraînée par le spray. Cossali [34] propose un modèle intégral qui permet de déterminer le débit
massique axial de gaz entraîné dans un spray du type cône plein. On reprend ce modèle pour un spray
en cône creux mais en utilisant des profils de vitesse uniforme, ce qui simplifie grandement l’écriture du
modèle.
Les hypothèses et limitations suivantes sont nécessaires pour utiliser le modèle d’injection semi-empirique :
H1 - Les phénomènes mis en jeu présentent une symétrie de révolution par rapport à l’axe central de
l’atomiseur.
H2 - Les deux phases sont incompressibles.
H3 - Le spray liquide ne s’évapore pas, du moins jusqu’à la condition limite d’injection.
H4 - Un seul diamètre de goutte est représentatif du spray.
H5 - La turbulence de l’écoulement de chaque phase n’est pas prise en compte.
H6 - Les profils de vitesse axiale sont uniformes pour chaque phase.
On pose que l’orifice d’atomisation est situé à l’abscisse z o = 0 tandis que la condition limite d’injection
correspond à l’abscisse z. Les hypothèses H1 à H6 permettent de calculer le transfert de quantité de
mouvement axial entre les deux phases, puis le débit d’air entraîné connaissant le débit liquide.
Flux de quantité de mouvement axial du gaz
A l’abscisse z, le flux axial de quantité de mouvement axial du gaz s’écrit :
J g (z) =
∫ ∞
0
= 2πρ g u 2 g,ax
85
ρ g u 2 g,ax(r, z)2πrdr
∫ ∞
0
rdr (4.34)

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
De même, le débit d’air entraîné ṁ e s’écrit :
ṁ e =
∫ ∞
0
ρ g u g,ax (r, z)2πrdr
∫ ∞
= 2πρ g u g,ax rdr (4.35)
On définit le flux de quantité de mouvement axial entre l’orifice et la condition limite J g s (0, z) par :
Js g (0, z) = J g (z) − J g (0) = 2πρ
} {{ } g u 2 g,ax
=0
0
∫ ∞
0
rdr =
ṁ 2 e
2πρ g
∫ ∞
0
rdr
Par construction, la quantité de mouvement axiale du gaz au nez de l’atomiseur est nulle soit J g (0) = 0.
Flux de quantité de mouvement axial du liquide
(4.36)
Pour un profil uniforme de vitesse axiale, le débit massique de carburant en sortie d’atomiseur s’écrit simplement
:
ṁ o =
∫ do/2
0
ρ l u l,ax (0, r)2πrdr = ρ l u l,ax (z = 0) πd2 o
4
(4.37)
avec u l,ax (z = 0) = u l,ax o la vitesse débitante de carburant en sortie d’atomiseur. De même, on définit le
flux de quantité de mouvement axial à l’orifice :
J o =
∫ ∞
0
ρ l u l,ax (0, r) 2 2πrdr = ρ l u 2 πd 2 o
l,ax o
4 = 4ṁ2 o
ρ l πd 2 o
A l’abscisse z, on peut écrire à nouveau le débit massique de carburant :
(4.38)
ṁ l (z) =
∫ ∞
En injectant l’Eq. 4.30 dans l’Eq. 4.39, on trouve :
avec
α l,max (z) =
ṁ l (z) = 2πρ l u l,ax α l,max (z)
∫ r=do/2+z∗tan(θ)
0
ρ l u l,ax exp
0
ρ l α l (r, z)u l,ax (r, z)2πrdr
= ṁ o (4.39)
∫ ∞
Le flux de quantité de mouvement axial donne à l’abscisse z :
J l (z) =
∫ ∞
0
0
(
( ( ) )
r −
2
rα
exp −
rdr (4.40)
σ r
−
ṁ l
(
r− 1+√ X
2 (d o/2+z∗tan(θ))
σ r
) 2
)
2πrdr
ρ l α l (r, z)u 2 l,ax (r, z)2πrdr (4.41)
86

4.6 Construction du modèle semi-empirique
En injectant l’Eq. 4.30 dans l’Eq. 4.41, on trouve :
J l (z) = 2πρ l u 2 l,ax α l,max(z)
∫ ∞
0
( ( ) )
r −
2
rα
exp −
rdr (4.42)
σ r
On définit le flux axial de quantité de mouvement axial entre l’orifice d’atomisation et la condition limite
par :
J l s(0, z) = J l (z) − J l (0)
} {{ }
=J o
(4.43)
La quantité de mouvement axiale des deux phases se conserve entre (z = 0) et (z), ce qui permet d’écrire :
J l s(0, z) = −J g s (0, z) (4.44)
Le terme puits de quantité de mouvement axial du liquide J l s(0, z) est estimé comme étant la force de traînée
F D qui s’exerce sur toutes les gouttes comprises entre les plans (z = 0) et (z).
Ecrivons n l (r, z) sous la forme :
n l (r, z) = 6α l,max(z)
πd 3
Le terme J l s(0, z) s’exprime alors comme :
⎛
exp ⎝−
(
r −
1+ √ X
2
(d o /2 + z ∗ tan(θ))
σ r
) 2
⎞
⎠
J l s(0, z) =
=
∫ z ∫ ∞
0 0
∫ z ∫ ∞
0
×
{
0
n l (r, z)F D 2πrdrdz
⎛ (
6α l,max (z) r −
1+ √ X
πd 3 exp ⎝−
3πµ g d l (u g − u l )
(
1 + 1 6
2
(d o /2 + z ∗ tan(θ))
σ r
) )} 2/3
µ g
(
ρg |u g − u l |d l
) 2
⎞
⎠
2πrdrdz (4.45)
Equation d’entraînement du gaz
Afin d’expliciter l’entraînement du gaz par le spray, on introduit la quantité adimensionnée Λ(z) en combinant
les Eq. 4.37 et 4.35 :
Λ(z) = ṁe(z)d o
ṁ o z
( ∫ ∞ 8
=
0
rdr
z 2
) 1/2 (
ρg
ρ l
) 1/2 ( J
g
s (0, z)
J o
) 1/2
(4.46)
L’Equation 4.46 montre que le débit d’air entraîné à l’abscisse z varie principalement avec le terme
√
J
g
s (0, z). Or, d’après l’Eq. 4.43, on sait que J l s(0, z) = −J g s (0, z). On cherche donc à expliciter le terme
J l s(0, z) en fonction de Λ(z) afin de dériver une équation de transport sur Λ(z). Pour simplifier l’écriture
des équations, on omet l’indice ax qui marque la composante axiale des vitesses de chaque phase : u l et u g
87

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
font donc référence aux composantes axiales des vitesses liquide et gazeuse respectivement.
En combinant les Eq. 4.39 et 4.45, on aboutit à :
J l s(0, z) = 18µ gṁ o
ρ l d 2 l
∫ z
0
( u g
u l
− 1)
(
1 + 1 6
De plus, J l s(0, z) (= −J g s (0, z)) peut être exprimé en fonction de Λ(z) :
( ) )
ρg |u g − u l |d 2/3
l
dz (4.47)
µ g
( ) z
Js(0, l z) = −Λ 2 2 ṁ2
(z) ∫ o
∞
0
rdr 2πρ g d 2 0
(4.48)
En associant les Eq. 4.47 et 4.48 puis en dérivant sur z, une équation sur Λ(z) apparaît :
dΛ 2 (z)
dz
= − 18µ gd 2 o
ṁ o
( ∫ ∞ )
ρ g 2π
0
rdr 1
ρ l z 2 d 2 l
( u g
u l
− 1)
(
1 + 1 6
( )
ρg u l d 2/3 ∣ l ∣∣∣ u g
)
− 1∣
µ g u
∣2/3
(4.49)
l
Pour fermer l’Eq. 4.49, les vitesses u l et u g doivent être exprimées en fonction de Λ(z) :
On définit la fonction G(z) telle que :
u g =
u l = 4ṁ (
o
ρ l πd 2 1 − ρ l
o
ṁozΛ(z)
2πρ g
∫ ∞
0
rdr
z 2
ρ g 8 ∫ ∞
)
0
rdr Λ2 (z)
(4.50)
(4.51)
G(z) = u g
u l
− 1 =
d
∫ 2 ozΛ(z)
8 ρg ∞
ρ l 0
rdr − z 2 Λ 2 (z) − 1 (4.52)
En injectant les Eq. 4.50, 4.51 et 4.52 dans l’Eq. 4.49, on parvient à une équation où Λ(z) est la seule
inconnue, soit :
dΛ 2 (z)
dz
= − 18µ gd 2 ( ∫ ∞ )
o ρ g 2π
0
rdr 1
ṁ o ρ l z 2 d 2 G(z)
l
⎛ ⎛ (
⎝ ρ g 4ṁo
ρ l
1 − ρ πd 2 l z 2
o ρ g 8 R ∞
⎜
× ⎝1 + 1 6
) ⎞
0 rdr Λ2 (z) d l
⎠
µ g
2/3
|G(z)| 2/3 ⎞
⎟
⎠ (4.53)
L’Equation 4.53 est l’équation d’entraînement du gaz par le spray.
Solutions limites et dérivation de la vitesse axiale du gaz
Une première solution limite est trouvée quand z → +∞. Dans ce cas, les vitesses axiales du gaz et du
spray doivent être égales et on a la relation suivante sur G(z) :
88

4.6 Construction du modèle semi-empirique
lim G(z) = 0
z→+∞
On trouve alors :
dΛ 2 (z)
dz
= 0 (4.54)
La solution de l’Eq. 4.54 est alors Λ(z) = constante. Cette solution correspond à l’entraînement du gaz
environnant par un jet purement gazeux.
La solution limite qui nous intéresse plus particulièrement correspond au cas (z → 0) pour lequel on a
u g = 0, ce qui se traduit par :
On peut alors simplifier l’Eq. 4.53 qui devient :
lim G(z) = −1
z→0
dΛ 2 (z)
dz
= 18µ gd 2 ( ∫ ∞ )
o ρ g 2π
0
rdr 1
ṁ o ρ l z 2 d 2 l
⎛ ⎛ (
⎜
× ⎝1 + 1 ⎝ ρ g 4ṁo 1 − ρ ρ l πd 2 l
o
6
) ⎞
0 rdr Λ2 (z) d l
µ g
z 2
ρ g 8 R ∞
⎠2/3 ⎞ ⎟ ⎠ (4.55)
En posant :
K = 18µ gd 2 o
ṁ o
( ∫ ∞ )
ρ g 2π
0
rdr 1
ρ l z 2 d 2 l
( 4ρg ṁ o d l
) 2/3
L = 1 6
ρ l πµ g d 2 o
M = ρ l
ρ g
z 2
8 ∫ ∞
0
rdr
on peut écrire une forme compacte de l’Eq. 4.55 pour la fonction φ(z) = MΛ 2 (z) :
dφ(z)
dz
= KM
La solution de l’Eq. 4.56 s’écrit sous forme implicite :
(
1 + L(1 − φ) 2/3) (4.56)
⎛ (
z = 1 ⎝ −3 arctan( √ L(φ − 1) 1/3 ) − √ ) ⎞
L(φ − 1) 1/3 ⎠ + C 0 (4.57)
KM
avec C 0 = −(1/(KM))×(3 arctan( √ L)+ √ L)/L 3/2 sachant que φ(z = 0) = 0 (i. e. pas d’entraînement
du gaz au niveau de l’orifice d’atomisation).
L 3/2
89

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
Un développement de Taylor en φ → 0 du membre de droite de l’Eq. 4.57 permet d’écrire très simplement
à l’ordre 1 :
En utilisant la définition de φ(z), on écrit l’Eq. 4.58 sous la forme :
φ(z) ≃ KM(1 + L)z (4.58)
Λ(z) = (K(1 + L)z) 1/2 (4.59)
En utilisant l’Eq. 4.46 et les définitions de K et L, on aboutit après simplification à l’expression suivante
pour le débit d’air entraîné :
√
ṁ e =
√ 18ṁ oµ g
d 2 l
∫
ρ ∞
g r
(2π
(1
ρ l 0 z d r z ) + 1 6
( ) )
4ρg ṁ o d 2/3
l
ρ l πµ g d 2 z 3/2 (4.60)
o
L’Eq. 4.60 montre une dépendance en z 3 2 sur le débit d’air entraîné, et donc une dépendance en z 1 2 sur le
débit normalisé Λ(z) d’air entraîné, ce qui rejoint les tendances trouvées par Cossali [34].
On peut désormais dériver une expression pour la vitesse axiale du gaz sur la surface d’injection en combinant
les Eq. 4.35 et 4.60 :
u g,ax CL inj = √
9ṁ ∫
oµ g 1
∞
(1 + 1 ( ) )
4ρg ṁ o d 2/3
l
0
rdr ρ g ρ l 6 ρ l πµ g d 2 z (4.61)
o
πd 2 l
Construction du profil de vitesse radiale gazeuse
La vitesse radiale du gaz est construite exactement de la même manière que pour le liquide. Ainsi, la
vitesse radiale du gaz u g,rad est reconstruite afin de respecter le demi-angle θ du spray liquide, soit :
u g,rad CL inj (r) = u g,ax CL inj ∗ tan(θ) ∗ (r/r CL inj ) (4.62)
où r est la coordonnée radiale de la surface d’injection et r CL inj son rayon maximal.
Construction du profil de vitesse tangentielle gazeuse
La vitesse tangentielle du gaz au niveau de la condition limite d’injection est principalement due au
mouvement giratoire du spray. Le profil de vitesse tangentielle du gaz étant très difficile à déterminer à
priori, on décide de reprendre le profil de vitesse tangentielle du liquide (Eq. 4.26), soit :
u g,tan CL inj (r) = u l,tan CL inj (r) (4.63)
4.6.3 Récapitulatif du fonctionnement du modèle
La Figure 4.8 est une synthèse du fonctionnement du modèle semi-empirique. Le modèle semi-empirique
s’appuie à la fois sur des dimensions caractéristiques de l’atomiseur (ses dimensions internes et le diamètre
de son orifice d’éjection) et sur des données du spray (l’angle d’ouverture du spray et le débit de carburant
liquide). A partir de ces données, le modèle calcule d’abord les grandeurs représentatives de la phase liquide
puis passe à l’écriture des profils de vitesse sur le gaz.
90

4.6 Construction du modèle semi-empirique
Diamètre de l’orifice
d’atomisation
Demi-angle du
spray
L
I
Q
U
I
D
E
Profil de vitesse
radiale (Eq.4.23)
Surface de la
condition limite
Facteur de
contraction X
Epaisseur du film
liquide t
Profil de fraction
volumique (Eq.4.30) Profil de vitesse
axiale (Eq.4.22)
Décalage axial de la
condition limite d’injection
Diamètre de l’orifice
d’atomisation
Débit de
carburant
G
A
Z
Profil de vitesse
radiale (Eq.4.62)
Profil de vitesse
axiale (Eq.4.61)
Dimensions internes de
l’atomiseur
Profil de vitesse
tangentielle (Eq.4.26)
Profil de vitesse
tangentielle (Eq.4.63)
FIG. 4.8 - Schéma synthétique du fonctionnement du modèle semi-empirique.
91

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
4.7 Validation du modèle semi-empirique
La validation du modèle semi-empirique est réalisée séparément pour chaque phase. Ainsi, dans un
premier temps, les prédictions du modèle sur le liquide sont comparées aux données expérimentales de Jeng
et al. [87] et Xue et al. [201].
Dans un deuxième temps, le modèle semi-empirique est comparé aux données expérimentales de Arbeau
[5] qui sont les seules à la connaissance de l’auteur à porter sur l’entraînement d’air dans un spray conique
creux obtenu en sortie d’atomiseur simplex.
4.7.1 Validation concernant la phase liquide
Les mesures expérimentales de Jeng et al. [87] et Xue et al. [201] ont été réalisées sur des maquettes
d’atomiseurs simplex environ 40 fois plus grandes que les atomiseurs utilisés dans l’industrie. D’autre
part, le liquide utilisé est toujours de l’eau et le film liquide débouche dans une atmosphère à pression
atmosphérique et température ambiante (293K).
Comparaison avec les mesures de Xue et al. [201]
Dans le cas de Xue et al. [201], les dimensions internes et la géométrie des pièces de l’atomiseur sont
changés afin d’observer leurs effets sur les trois quantités suivantes :
⊲ le demi angle du spray θ,
⊲ le coefficient de décharge C d ,
⊲ l’épaisseur adimensionnée du film liquide t.
Dans le modèle semi-empirique, on s’appuie sur la mesure de l’angle du spray pour dériver les profils
des grandeurs liquides. Pour réaliser la comparaison entre les données expérimentales et les prédictions
du modèle, on reprend donc l’angle fourni par les mesures et on compare les valeurs de X, C d et t ∗ . Le
coefficient de décharge est obtenu théoriquement pour l’écoulement stationnaire d’un fluide non visqueux
(Giffen & Muraszew [65]) :
[ ] (1 − X)
3 0.5
C d =
(4.64)
1 + X
L’épaisseur adimensionnée de film liquide s’écrit t ∗ = 1 − √ X. La Table 4.2 compare les mesures de Xue
et al. [201] avec les prédictions du modèle semi-empirique.
Mesures de Erreur sur Modèle semi-empirique Modèle semi-empirique
Xue et al. [201] la mesure (basé sur l’Eq. 4.19) (basé sur l’Eq.4.20)
θ [ ◦ ] 42.9 < 2 ◦ 42.9 42.9
X [−] 0.44 - 0.30 0.51
t ∗ [−] 0.33 < 15% 0.45 0.29
C d [−] 0.28 < 5% 0.51 0.28
TAB. 4.2 - Comparaison des mesures de Xue et al. [201] avec les prédictions du modèle semi-empirique.
La formule empirique de Rizk & Lefebvre [153] semble ici mal adaptée avec une sous-estimation de 50% du
facteur de contraction X. Par contre, la formule théorique déterminée par Giffen & Muraszew [65] s’avère
92

4.7 Validation du modèle semi-empirique
un bon estimateur de X avec seulement 16% d’erreur sur sa valeur. L’épaisseur du film est proche de la
valeur expérimentale avec une valeur calculée comprise dans l’intervalle d’erreur de la mesure.
Comparaison avec les mesures de Jeng et al. [87]
Les mesures de Jeng et al. [87] donnent accès à la vitesse et l’épaisseur du film liquide au niveau de l’orifice
d’atomisation, des données d’entrée pour la condition limite d’injection. La Table 4.3 recense les données
disponibles sur le modèle d’atomiseur de Jeng et al. [87].
Débit massique du spray (ṁ l ) [kg/s] 1.5
Demi angle du spray (θ) [ ◦ ] ≃ 35.0
Diamètre de l’orifice d’atomisation (d o ) [mm] 18
Diamètre de la chambre de swirl (D S ) [mm] 74
Nombre de conduits tangentiaux [−] 4
Diamètre des conduits tangentiaux (D p ) [mm] ≃15
TAB. 4.3 - Propriétés du spray et géométrie interne de l’atomiseur de Jeng et al. [87]. Les dimensions internes de
l’atomiseur simplex sont données sur la Fig. 4.6.
La Table 4.4 compare les mesures de Jeng et al. [87] au niveau de l’orifice d’atomisation avec les prédictions
du modèle semi-empirique.
Mesures de Erreur sur Modèle semi-empirique Modèle semi-empirique
Jeng et al. [87] la mesure (basé sur l’Eq. 4.19) (basé sur l’Eq. 4.20)
θ [ ◦ ] ≃ 35.0 < 2 ◦ 35.0 35.0
X [−] 0.50 - 0.20 0.39
t [mm] 2.6 < 15% 5.0 3.4
u l,ax o [m/s] 14.6 < 5% 7.4 9.6
max(u l,tan o ) [m/s] 12.0 < 5% 10.0 11.2
TAB. 4.4 - Comparaison des mesures de Jeng et al. [87] avec les prédictions du modèle semi-empirique.
La comparaison avec les mesures expérimentales de Jeng et al. [87] confirme que la formule de Rizk &
Lefebvre [153] mésestime largement le facteur de contraction X sur cette configuration. Si le facteur de
contraction est sous-estimée, la surface occupée par le coeur d’air est trop faible, ce qui conduit à une
estimation des vitesses trop faibles, surtout sur la composante axiale. La formule théorique de Giffen &
Muraszew [65] semble ici mieux adaptée avec la prédiction de vitesses axiale et azimutale plus proches des
valeurs relevées dans l’expérience.
Jeng et al. [87] indique aussi que l’épaisseur du film liquide diminue à mesure que l’on s’éloigne de l’orifice
d’atomisation, ce qui induit une faible augmentation de la vitesse liquide. Le facteur X n’est donc pas ici
conservé mais semble diminuer quand on se rapproche de l’orifice d’atomisation.
4.7.2 Validation concernant l’entraînement de la phase gazeuse
L’entraînement d’air dans un spray liquide résulte du couplage inverse de la traînée des gouttes dans l’air
ambiant. L’entraînement d’air n’intervient véritablement que quand les premières gouttes du spray sont
93

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
formées. Sur les premiers millimètres en aval de l’orifice d’injection, la nappe se désagrège en une multitude
de gouttes. Les gouttes présentent une bien plus grande surface de contact avec l’air ambiant que la nappe
liquide et l’entraînement d’air augmente alors en fonction de trois paramètres principaux :
⊲ l’inertie des gouttes,
⊲ la charge en particules,
⊲ le différentiel de vitesse entre le gaz et les gouttes.
Vermorel [193] a étudié l’entraînement d’air dans des calculs de nappe 2D de gouttes dans l’approche SND
en utilisant le formalisme Euler-Lagrange. Les particules sont animées d’une vitesse d’environ 70m/s tandis
que l’air est initialement au repos. Au temps initial, le différentiel de vitesse est maximal entre les deux
phases.
Vermorel [193] a identifié des tendances fortes liées aux deux premiers paramètres cités auparavant :
⊲ Concernant l’inertie des gouttes, à charge massique égale, des gouttes plus inertielles (i.e. plus
grosses) entraînent moins vite le gaz à l’équilibre cinétique que des gouttes plus petites. La vitesse
d’équilibre cinétique des deux phases se conserve pour une charge massique donnée.
⊲ Concernant la charge en particules, une charge en particules élevée conduit à une vitesse d’équilibre
cinétique plus proche de la vitesse initiale des particules.
A titre d’exemple, la Figure 4.9 présente l’évolution temporelle de l’entraînement d’air dans une nappe
faiblement chargée en particules peu inertielles (Vermorel [193]).
FIG. 4.9 - Evolution temporelle du profil normal des vitesses axiales de chaque phase normalisées par la vitesse
initiale des particules (trait plein : vitesse du gaz ; trait pointillé : vitesse des particules) (Cas (St = 0.26, α p = 1.4
10 −3 ) tiré de Vermorel [193]).
Arbeau [5] a mené à bien une étude expérimentale de l’entraînement d’air dans les sprays coniques creux
en s’appuyant sur la méthode PIV. Le spray possède les propriétés macroscopiques présentées dans la
Table 4.5. Arbeau [5] a observé que l’angle du spray changeait très peu (variation inférieure à 5%) avec
une augmentation de la pression d’injection ou lors d’une montée en pression dans la chambre. Le liquide
injecté est du white spirit de masse volumique ρ l = 760kg/m 3 . Ce liquide permet d’obtenir un spray qui
ne s’évapore pratiquement pas dans la zone de mesure.
Pour effectuer la validation du modèle d’entraînement, on choisit le débit le plus faible parmi ceux testés
par Arbeau [5] car ce débit s’avère le plus proche des valeurs qui sont courantes dans les turbines à gaz des
foyers aéronautiques. Pour le calcul, on retient un diamètre des gouttes de 60µm et une pression de l’air à 1
94

4.7 Validation du modèle semi-empirique
Diamètre de l’orifice d’atomisation (d o ) [µm] 700
Débit massique du spray (ṁ l ) [g/s] variable (8.8, 12.4, 15.1 et 16.4)
Demi angle du spray (θ) [ ◦ ] 33.0
Pression dans la chambre [bars] variable (1, 5 et 8)
Température dans la chambre [K] 293
TAB. 4.5 - Propriétés du spray et conditions dans la chambre de test (Arbeau [5]).
bar. On définit le taux d’entraînement du gaz par le spray K e de manière similaire à Arbeau [5], soit :
K e = ṁe
ṁ l
(4.65)
La Figure 4.10 présente l’évolution du taux d’entraînement de gaz avec la distance de séparation à l’orifice
d’atomisation pour les mesures de Arbeau [5] et le calcul du modèle d’injection.
Taux d'entrainement du gaz (%)
30
25
20
15
10
Entrainement du gaz mesuré
Entrainement calculé par le modèle d'injection
Entrainement du modèle corrigé
5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
Distance au nez de l'atomiseur (mm)
8.0
9.0
10.0
FIG. 4.10 - Evolution du taux d’entraînement de gaz K e avec la distance à l’orifice d’atomisation dans un spray
conique creux (□ : mesures de Arbeau [5] ; trait avec ○ : modèle d’injection ; trait avec △ : modèle d’injection
corrigé).
L’Eq. 4.60 du modèle d’injection surestime largement le débit d’air entrainé sur toutes les abscisses relevées.
Ce résultat était attendu car l’approche de Cossali [34] est fondée sur un spray en cône plein, ce qui n’est
pas le cas ici. On prédit notamment de l’entraînement d’air avec le spray dans le coeur d’air recirculant,
soit une zone où il n’y a pas de liquide. Pour pallier à ce problème, une solution consiste à multiplier le
taux d’entraînement du gaz par le facteur (1-X) afin de prendre en compte la présence du coeur d’air, ce qui
correspond à l’entraînement corrigé sur la Fig. 4.10. Cette solution permet de se rapprocher des mesures
expérimentales.
95

MODÉLISATION DE L’INJECTION DE CARBURANT LIQUIDE
La correction proposée s’appuie sur le facteur de contraction X déterminé au niveau de l’orifice d’atomisation.
Les mesures semblent indiquer que ce facteur augmente avec la distance de séparation, ce qui implique
que le modèle corrigé surprédit toujours le débit d’air entrainé à mesure que l’on s’éloigne de l’orifice d’atomisation.
La condition limite d’injection doit donc être relativement proche de la position réelle du nez de
l’atomiseur, sachant qu’une distance de 10 mm conduit ici à une erreur de 50% sur le débit d’air calculé par
le modèle d’injection corrigé.
4.8 Conclusion sur le modèle d’injection semi-empirique
Le modèle d’injection semi-empirique s’appuie sur les caractéristiques d’un atomiseur simplex pour
définir les profils des grandeurs caractéristiques de la phase liquide. En particulier, le coeur d’air qui se
situe au centre du spray est pris au compte à travers le profil de fraction volumique de liquide. Une fois
déterminée la vitesse de la phase liquide, l’entraînement d’air dans le spray est modélisé en s’inspirant des
travaux de Cossali [34].
La comparaison avec les mesures expérimentales s’est effectuée en deux temps :
⊲ dans un premier temps, les prédictions du modèle montrent un bon accord avec les mesures de Xue
et al. [201], Jeng et al. [87] concernant les caractéristiques macroscopiques du spray. Cette évaluation
du modèle a notamment montré que la formule de Giffen & Muraszew [65] (Eq. 4.20) était plus fiable
pour définir le facteur de contraction X. De plus, les mesures montrent que X augmente quand on
s’éloigne de l’atomiseur, une variation qui n’est pas prise en compte dans le modèle.
⊲ dans un deuxième temps, la comparaison de l’entraînement d’air prédit par le modèle avec les mesures
de Arbeau [5] sur un spray en cône creux a clairement indiqué que le taux d’entraînement (Eq. 4.65)
était surestimé. Cette surestimation était prévisible car le modèle de Cossali [34] repose sur l’hypothèse
d’un spray en cône plein. Une correction prenant en compte le coeur d’air recirculant est proposée.
Cette étude a aussi montré que la distance de séparation entre l’orifice d’atomisation et la condition limite
d’injection ne doit pas excéder quelques mm pour que le modèle reste valide. L’apport du modèle d’injection
semi-empirique est estimé sur un injecteur industriel dans le chapitre 10.
96

Chapitre 5
Prédiction des écoulements diphasiques : le
code AVBP
Le code AVBP a été initié conjointement par l’Université d’Oxford et le CERFACS en 1993. Ce code
est aujourd’hui la propriété commune de l’IFP (Institut Français du Pétrole) et du CERFACS. A l’origine,
ce code a été conçu afin de résoudre les équations de Navier-Stokes d’un écoulement monophasique
compressible sur des maillages non structurés et hybrides (Schönfeld & Rudgyard [162]). Ce code présente
une autre spécificité qui lui vaut une bonne part de son succès actuel : il est capable d’exploiter efficacement
l’architecture parallèle des supercalculateurs actuels (Staffelbach et al. [183]), notamment avec un speed-up
qui ne chute pas avec une augmentation du nombre de processeurs.
L’utilisation du code AVBP met en jeu plusieurs thématiques :
⊲ le maillage : étape préliminaire indispensable à toute simulation, le maillage (section 5.1) conditionne
beaucoup la qualité des résultats, particulièrement dans l’approche SGE retenue dans AVBP.
⊲ la méthode de discrétisation spatiale : le code AVBP repose sur la méthode cell-vertex qui fait l’objet
de la section 5.2.
⊲ les schémas numériques : les deux schémas numériques les plus employés dans AVBP sont présentés
dans la section 5.3.
⊲ la viscosité artificielle : la partie convective des schémas numériques est centrée en espace, ce qui
conduit à des oscillations haute fréquence. Les opérateurs de viscosité artificielle (section 5.4) se
chargent de dissiper ces oscillations.
⊲ les conditions aux limites : elles sont différentes pour chaque phase, notamment parce que la compressibilité
de la phase gazeuse est explicitement prise en compte (section 5.5).
5.1 La génération du maillage
La première étape de toute simulation numérique en mécanique des fluides passe par la génération d’un
maillage qui discrétise un volume fluide donné pour avoir accès à des propriétés locales et explicites à
l’échelle de la maille.
Dans l’approche SND, les tailles de maille sont directement conditionnées par l’échelle de Kolmogorov
(section 1.1.2). En dessous d’une taille de maille environ égale à 0.5 η K (Piomelli & Chasnov [133]), la
partie dissipative du spectre de l’énergie cinétique turbulente est correctement résolue à l’échelle de la
maille et les résultats d’une SND ne sont plus affectées par la résolution en maillage.
Dans l’approche RANS, le maillage n’est pas partout un facteur de première importance car la turbulence

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
de l’écoulement fluide n’est pas résolue mais modélisée à l’échelle de la maille. Le RANS cherche donc à
obtenir des résultats indépendants du maillage.
L’approche SGE est à mi-chemin entre les approche SND et RANS et la la résolution du maillage est ici
un facteur important. En effet, une réduction de la taille de maille va induire une meilleure résolution de la
turbulence de l’écoulement fluide.
Il existe deux grandes catégories de maillage :
⊲ les maillages structurés où la discrétisation spatiale au bord du domaine conditionne la discrétisation
à l’intérieur du domaine,
⊲ les maillages non-structurés où la discrétisation spatiale est beaucoup plus flexible avec une variation
possible de la forme de maille dans le domaine.
Dans le code AVBP, le maillage est non-structuré et hybride car ce type de maillage permet de mailler les
géométries les plus complexes tout en autorisant un raffinement très localisé. Pour produire des maillages
non-structurés de triangles/tétrahèdres, on peut citer les deux techniques les plus répandues (Mavriplis [115],
Owen [131]) :
⊲ la technique de front d’avancement : cette méthode repose sur l’ajout itératif de cellules à partir des
bords vers l’intérieur du domaine de calcul comme on peut le voir sur la Fig. 5.1.
FIG. 5.1 - Front d’avancement sur un cas 2D.
Un problème critique de cette méthode consiste à placer de nouveaux points pour étendre le front,
notamment quand le front se referme sur lui-même. Les nouveaux points ne doivent pas conduire
notamment à des éléments trop étirés, notamment en respectant un critère de distance aux points qui
existent déjà.
⊲ la technique de triangulation de Delauney : la triangulation de Delauney fournit un critère pour
placer les points qui vont former le maillage. Ce critère stipule que seuls les sommets d’un tétrahèdre
appartiennent à la sphère circonscrite à ce même tétrahèdre. La Figure 5.2 illustre ce critère sur un cas
2D.
FIG. 5.2 - Le critère de triangulation de Delauney en 2D (gauche : critère vérifié ; droite : critère non vérifié).
L’insertion de points peut être faite en s’appuyant sur une grille cartésienne rudimentaire à partir de
laquelle une série de triangulations est effectuée pour améliorer localement la forme des mailles.
Le mailleur utilisé (CENTAURSOFT) s’appuie sur une méthode de triangulation pour générer le maillage
non-structuré. Ce mailleur offre la possibilité de contrôler localement la taille des mailles par le biais de
98

5.2 Discrétisation spatiale : la méthode Cell-Vertex
”sources volumiques”, comme le montre la Fig. 5.3.
FIG. 5.3 - Raffinement localisé dans le maillage non structuré de la configuration TLC NC.
5.2 Discrétisation spatiale : la méthode Cell-Vertex
Les trois classes de méthodes Volumes Finis (FV pour ”Finite Volume”) les plus employées sont :
”cell-centred”, ”vertex-centred” et ”cell-vertex”. Les deux premières méthodes s’appuient sur le même
volume de contrôle pour stocker au centre les grandeurs discrètes et calculer sur les frontières les termes de
flux. Pour la méthode ”cell-centred”, le volume de contrôle est la cellule primale tandis que pour la méthode
”vertex-centred”, le volume de contrôle est la cellule duale. En revanche, la méthode ”cell-vertex” stocke
les grandeurs discrètes aux sommets des cellules du maillage (i. e. aux noeuds du maillage) alors que les
flux sont calculés aux frontières des cellules du maillage.
La méthode ”cell-vertex” est la méthode retenue dans le code de calcul AVBP car elle gère facilement des
maillages non structurés et hybrides sans induire beaucoup d’efforts supplémentaires pour l’implanter dans
un code par rapport aux deux autres méthodes FV.
5.2.1 Approximation du résidu nodal
On considère la formulation conservative des équations de Navier-Stokes laminaires pour écrire le résidu
nodal :
∂w
∂t + ˜∇ · ⃗F = ⃗0 (5.1)
où w = {ρ, ρu, ρv, ρw, ρE} T est le vecteur des variables conservatives et F ⃗ est le tenseur des flux
correspondants. Le tenseur des flux se divise en deux contributions : F ⃗ = F ⃗ NonV isq (w) + F ⃗ V isq (w, ˜∇w).
Les termes spatiaux des équations sont approximés dans chaque cellule de volume Ω j pour donner une
formulation intégrale du résidu. Cette formulation s’appuie sur l’intégrale du tenseur ⃗ F sur la surface de la
99

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
cellule obtenue à partir de la formule de Green-Ostrogradsky :
R Ωj = 1
V Ωj
∫
∂Ω j
⃗ F · ⃗n dS (5.2)
où ∂Ω j fait référence à la surface de la cellule de volume Ω j et n est la normale sortante à la cellule.
L’Eq. 5.2 est applicable à tout type de cellule, ce qui assure la compatibilité de la méthode avec des maillages
hybrides. Dans le code de calcul, il est nécessaire d’approximer le résidu à la cellule exact (Eq. 5.2) par une
intégration discrète :
R Ωj = − 1
n d V Ωj
∑
k∈Ω j
⃗ Fk · S k (5.3)
avec ⃗ F k une approximation de ⃗ F au noeud, n d est le nombre de dimensions spatiales, k ∈ Ω j sont les sommets
de la cellule Ω j . Cette formulation concentre l’information géométrique de la cellule dans les termes
S k associés aux noeuds et non pas aux faces de la cellule Ω j . S k n’est rien d’autre qu’une combinaison
linéaire des normales adjacentes au noeud k (normales pondérées par leur surface portante respective). La
Figure 5.4 précise les normales pour une cellule triangulaire.
1
S 2
S 3
S 3
S 2
S 1
S 1
2
3
FIG. 5.4 - Définition des normales S i aux noeuds i sur une cellule triangulaire. On remarquera que
S 1 = −(S 2 + S 3 ) par construction.
Une fois les résidus calculés, on définit le schéma semi-discret par :
dw i
dt
= − 1 V i
∑
j|i∈Ω j
D i Ω j
V Ωj R Ωj , (5.4)
où D i Ω j
est la matrice de distribution qui fait une projection pondérée du centre Ω j vers le noeud i (scatter)
et V i est le volume de contrôle associé à chaque noeud i. La conservation est garantie si ∑ i∈Ω j
D i Ω j
= I.
L’Eq. 5.4 est résolue en utilisant une méthode explicite Euler ou une méthode Runge-Kutta à plusieurs
étapes en temps.
100

5.3 Schémas numériques dans AVBP
5.3 Schémas numériques dans AVBP
Cette section présente deux schémas numériques implantés dans AVBP : le schéma Lax-Wendroff et le
schéma TTGC.
5.3.1 Le schéma Lax-Wendroff
Le schéma Lax-Wendroff (Lax & Wendroff [96]) est précis à l’ordre 2 en espace et en temps. Son écriture
s’appuie sur une décomposition de Taylor en temps de la solution notée U :
U n+1 = U n + ∆t
( ) ∂U n
+ 1 ( ∂ 2 ) n
U
∂t 2 ∆t2 ∂t 2 + O(∆t 3 ) (5.5)
En s’appuyant sur l’Eq. 5.1, on peut écrire l’équation transformée en substituant les dérivées temporelles
par l’expression équivalente dans l’espace. Pour la dérivée temporelle première, on trouve évidemment :
∂U
∂t = −⃗ ∇ · ⃗F (5.6)
Pour la dérivée temporelle seconde, la commutation des opérateurs de dérivation spatiale et temporelle
permet d’aboutir à :
∂ 2 U
∂t 2 = ∂ ∂t (−⃗ ∇ · ⃗F) = −∇ ⃗ · ∂ F ⃗
[ ( )]
∂t
= −∇ ⃗ ∂U
· ⃗A = ∇
∂t
⃗ · [ A( ⃗ ∇ ⃗ · ⃗F)] (5.7)
où ⃗ A = ∂ ⃗ F
∂U est la matrice jacobienne du tenseur des flux ⃗ F. L’équation transformée s’écrit donc (les termes
d’ordre supérieur ou égal à ∆t 3 sont omis) :
{
U n+1 = U n − ∆t ⃗∇ · ⃗F − 1 }
2! ∆t⃗ ∇ · [ A( ⃗ ∇ ⃗ · ⃗F)]
(5.8)
La projection discrète de l’Eq. 5.8 suivant la méthode cell-vertex se fait en deux temps. En premier lieu, on
définit le résidu (R i|Ωj ) de chaque élément j de la cellule Ω j au noeud de calcul i :
R i|Ωj = R Ωj
V Ωj
n v (Ω j ) − LW i|Ω j
(5.9)
Le premier terme du membre de droite de l’Eq. 5.9 est le résidu à la cellule pondéré par le rapport du
volume de la cellule (Ω j ) divisé par le nombre de sommets composant la cellule (n v (Ω j )). Le second terme
du membre de droite de l’Eq. 5.9 est le terme caractéristique du schéma Lax-Wendroff que l’on calcule sur
la cellule duale (C i ) associée au noeud i. Le calcul volumique de ce terme est ramené à un calcul surfacique
grâce à la formule de Green-Ostrogradsky :
LW i|Ωj = 1 2! ∆t ∫∫∫Ω j ∩C i
⃗ ∇ · [ ⃗ A( ⃗ ∇ · ⃗ F)]dV
= 1 2! ∆t ∫∫∂C i
⃗ A( ⃗ ∇ · ⃗ F)⃗ndS (5.10)
101

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
L’Eq. 5.10 est approximée sous la forme :
LW i|Ωj ≃ 1 2 ∆t[ ⃗ A( ⃗ ∇ · ⃗F)] Ωj · Si|Ω j
n d
(5.11)
où S i|Ωj est la normale associée au noeud i et à la cellule j. Il est dès lors possible d’écrire une formule
discrète pour le résidu R i|Ωj en injectant l’Eq. 5.11 dans l’Eq. 5.9 :
R i|Ωj = R Ωj
(
V Ωj
I − ∆t
)
n v (Ω j )
( A
n v (Ω j ) 2n d V ⃗ Ωj · S i|Ωj )
Ωj
(5.12)
Une fois obtenu le résidu R i|Ωj , on peut construire le résidu nodal R i (i. e. le résidu de la cellule duale) en
effectuant une somme des R i|Ωj pondérés par le volume de la cellule duale (V i ) :
R i = 1 ∑
R
V i|Ωj (5.13)
i
j|i∈Ω j
5.3.2 Le schéma TTGC
Afin de pallier les lacunes du schéma Lax-Wendroff en termes de précision, le schéma TTGC a été
développé par Colin & Rudgyard [33]. Ce schéma est en fait une extension de la famille des schémas Taylor-
Galerkin initialement proposés par Donea [47] et étendus par Quartapelle & Selmin [142]. Les schémas
TTG (Two-step Taylor-Galerkin) s’appuient sur le couplage d’un développement de Taylor à l’ordre 3 en
2 étapes et d’une discrétisation spatiale suivant la méthode de Galerkin. L’idée de Colin & Rudgyard [33]
a été de dériver un schéma numérique inspiré des schémas TTG et adapté à la LES, c’est-à-dire qui soit
suffisamment précis et peu dissipatif pour capturer correctement la dynamique des grandes échelles.
Le schéma TTGC s’appuie donc sur un développement à 2 étapes pour atteindre l’ordre 3 en espace et en
temps :
Ũ n = U n + ( 1 ( ) ∂U n
2 − γ)∆t + 1 ( ∂ 2 ) n
U
∂t 6 ∆t2 ∂t 2 (5.14)
U n+1 = U n + ∆t
(
) n (
∂Ũ
∂
+ γ∆t 2 2 ) n
U
∂t
∂t 2 (5.15)
De même que pour le schéma Lax-Wendroff, on dérive les équations transformées des Eq. 5.14 et 5.15 en
substituant les dérivées temporelles par une expression équivalente dans l’espace via l’Eq. 5.1 :
Ũ n = U n − ( 1 (
2 − γ)∆t ⃗∇ · F ⃗ ) n
+ 1 ( 6 ∆t2 [ A( ⃗ ∇ ⃗ · ⃗F
)
n )]
(
U n+1 = U n + ∆t ⃗∇ · ˜⃗
) (
F n + γ∆t 2 [ A( ⃗ ∇ ⃗ · ⃗F
)
n )]
(5.16)
(5.17)
Suivant la méthode Galerkin des éléments finis, on multiplie ensuite les Eq. 5.16 et 5.17 par un ensemble de
fonctions tests linéaires notées φ i avant de les intégrer sur le domaine de calcul Ω. Le détail de ces opérations
est donné par exemple dans Porta [140] ou Lamarque [94] et n’est pas rappelé ici.
102

5.4 Modèles de viscosité artificielle
5.4 Modèles de viscosité artificielle
Les schémas de discrétisation spatiale disponibles dans AVBP sont des schémas centrés (cf. section 5.3).
Ce type de schémas est connu pour être naturellement sujet à des oscillations hautes fréquences (wiggles)
générées dans les régions de forts gradients.
On peut limiter efficacement ce problème en introduisant un terme de viscosité artificielle (VA) pour adoucir
les fronts trop raides qui génèrent ces oscillations. La section 5.4.1 décrit les senseurs et les opérateurs
(section 5.4.2) de VA.
5.4.1 Senseurs
Un senseur ζ Ωj est un paramètre compris entre 0 et 1 défini pour chaque cellule Ω j .
Dans le cas où la solution est bien résolue, le senseur est nul alors que dans le cas où la solution comporte de
fortes variations spatiales, le senseur est unitaire et la VA est appliquée. Ce senseur est obtenu en comparant
différentes évaluations du gradient d’un scalaire comme la pression, l’énergie totale ou la fraction massique.
Si les différentes évaluations sont identiques, le senseur est fixé à 0. En revanche, si les deux évaluations
diffèrent, le senseur est déclenché. Le choix du scalaire dépend de la difficulté numérique du problème.
Pour la phase gazeuse, on choisit généralement la pression, l’énergie totale voire les fractions massiques.
Pour la phase liquide, la relation pression/vitesse n’existe pas ce qui peut conduire à une forte décorrélation
entre les gradients de densité de gouttes et les gradients de vitesse mésoscopique. Ainsi, le senseur pour la
phase liquide se base sur ces deux variables à la fois. Dans tous les cas, il est crucial de trouver un senseur
qui s’active seulement dans les zones utiles.
Deux senseurs différents sont disponibles dans AVBP :
⊲ le senseur de Jameson ζ J Ω j
(Jameson et al. [86]),
⊲ le senseur de Colin ζ C Ω j
(Colin & Rudgyard [33]), dérivé du senseur de Jameson.
Dans la suite de cette section, l’indice k désigne les variables liées à un sommet k de la cellule considérée
et l’indice Ω j désigne les variables liées à la cellule Ω j .
Senseur de Jameson
Le senseur de Jameson ζΩ J j
lié à la cellule Ω j (défini par l’Eq. 5.18) est le maximum de tous les senseurs
ζk J liés aux sommets k (définis par l’Eq. 5.19). S est le scalaire évalué par le senseur et (∆k 1 , ∆k 2 ) sont des
évaluations différentes du gradient définies par l’Eq. 5.20. ∆ k 1 mesure la variation de S au sein de la cellule
Ω j . ∆ k 2 est une estimation de la même grandeur en utilisant (⃗ ∇S) k , le gradient de S au nœud k. Ce senseur
varie proportionnellement à l’amplitude de la déviation par rapport à l’évolution linéaire. Ce senseur a une
évolution douce d’un point de vue numérique particulièrement adaptée aux cas quasi-stationnaires.
Lorsqu’il s’applique aux variables gazeuses (pression, énergie ou fraction massique), le senseur de Jameson
se présente sous la forme suivante :
103

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
ζ J Ω j
= max
k∈Ω j
ζ J k (5.18)
ζ J k =
|∆ k 1 − ∆k 2 |
|∆ k 1 | + |∆k 2 | + |S k|
(5.19)
∆ k 1 = S Ωj − S k ∆ k 2 = ( ⃗ ∇S) k .(⃗x Ωj − ⃗x k ) (5.20)
Lorsqu’on cherche à appliquer ce senseur aux variables liquides, le conditionnement par |S k | pose problème
car la phase dispersée est sujette à de fortes variations locales des densité et vitesse particulaires. Afin
d’éviter la saturation du senseur dans les zones qui présentent naturellement de forts gradients, le senseur
de Jameson pour la phase liquide ζ J l,Ω j
est défini de la façon suivante :
)
ζl,Ω J j
= max
(ζ ŭ J p,Ω j
, ζ J˘n p,Ω j
ζ J ŭ p,k = max
k∈Ω j
( |∆
k
1 − ∆ k 2 |
|∆ k 1 | + |∆k 2 | + c j
ζ J˘n p,k = max
k∈Ω j
( (
|∆ k 1 − ∆k 2 |
|∆ k 1 | + |∆k 2 | + ˘n p
)
) 2
)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
où c j est une mesure locale de la vitesse du son approximée par : c j = V 1/3
Ω j
/∆t. Pour la densité de gouttes,
la difficulté de définir une valeur de référence est résolue simplement en prenant le quarré de la fonction
conditionnée par ˘n p .
Senseur de Colin
Dans le cas d’écoulements turbulents fortement instationnaires, il est nécessaire de se munir d’un senseur
plus précis, c’est-à-dire plus faible lorsque l’écoulement est suffisamment résolu et maximal dans les zones
de fortes non-linéarités. Le senseur de Colin a été conçu dans ce but (cf. Eq. 5.25 à 5.29) :
⊲ ζ C Ω j
est très petit lorsque ∆ k 1 et ∆k 2 sont petits comparés à S Ω j
.
Ceci correspond à des erreurs numériques de faible amplitude (si ∆ k 1 et ∆k 2 sont de signes opposés) ou
à de faibles gradients bien résolus par le schéma (si ∆ k 1 et ∆k 2 sont de même signe).
⊲ ζΩ C j
est petit lorsque ∆ k 1 et ∆k 2 sont de même signe et du même ordre de grandeur (même si cet ordre
de grandeur est grand). Ceci correspond à des gradients raides bien résolus par le schéma.
⊲ ζΩ C j
est grand lorsque ∆ k 1 et ∆k 2 sont de signes opposés et qu’un des deux est beaucoup plus grand
que l’autre. Ceci correspond à une oscillation numérique de grande amplitude.
⊲ ζΩ C j
est grand si ∆ k 1 ou ∆k 2 est du même ordre de grandeur que S Ω j
. Ceci correspond à une situation
non physique résultant d’un problème numérique.
On note que les définitions de Ψ et ɛ k changent pour l’équation de conservation des fractions massiques : la
valeur de référence n’est plus S k mais 1, valeur maximal admissible pour la fraction massique.
104

5.5 Conditions aux limites
(
1 + tanh
ζΩ C j
= 1 2
(
avec : Ψ = max 0,
k∈Ω j
( )) Ψ − Ψ0
− 1 ( ( )) −Ψ0
1 + tanh
δ 2
δ
)
∆ k
|∆ k ζk
J | + ɛ 1 S k
( )
∆ k = |∆ k 1 − ∆ k 2| − ɛ k max |∆ k 1|, |∆ k 2|
(
ɛ k max ( |∆ k 1
= ɛ 2 1 − ɛ |, |∆k 2 |)
)
3
|∆ k 1 | + |∆k 2 | + S k
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
Ψ 0 = 2.10 −2 δ = 1.10 −2 ɛ 1 = 1.10 −2 ɛ 2 = 0.95 ɛ 3 = 0.5 (5.29)
5.4.2 Opérateurs
Les modèles de viscosité artificielle utilisent deux opérateurs qui ont les propriétés suivantes :
2 nd ordre cet opérateur agit comme une viscosité classique. Associé à un senseur, il adoucit les gradients
et introduit de la dissipation artificielle. Ainsi, le schéma numérique garde son ordre de précision dans
les zones à faible gradient et sa stabilité et sa robustesse sont assurées dans les zones critiques. À
l’origine utilisé pour les chocs, il peut agir sur n’importe quel gradient trop fort.
4 ième ordre cet opérateur est utilisé pour diminuer les oscillations parasites qui apparaissent noeud à noeud
(wiggles).
Les contributions à la cellule de l’opérateur du 2 nd ordre (Eq. 5.31) et de l’opérateur du 4 ième ordre
(Eq. 5.32) sont reportées sur les noeuds de cette cellule Ω j (Eq. 5.30).
dw i = ∑ j
R 2 i∈Ω j
+ ∑ j
R 4 i∈Ω j
(5.30)
avec : Ri∈Ω 2 j
= − 1 V Ωj
n v ∆t smu2 ζ Ω j
(w Ωj − w i ) (5.31)
avec : Ri∈Ω 4 j
= 1 V [
Ωj
n v ∆t smu4 ( ˜∇w)
]
Ωj · (˜x Ωj − ˜x i ) − (w Ωj − w i ) (5.32)
où smu2 et smu4 sont des coefficients sans dimension fixés par l’utilisateur.
5.5 Conditions aux limites
Les conditions limites sont un point crucial qui prend toute son importance dans le codes CFD basés
sur l’approche SGE, particulièrement quand la compressibilité de l’écoulement fluide est prise en compte
(Poinsot & Veynante [138], Schönfeld & Rudgyard [162]).
Dans ce dernier cas, le problème de conditions aux limites peut être abordé de deux manières différentes :
Méthode non caractéristique : on modifie le résidu en imposant directement les variables conservatives
cibles ou leurs gradients/dérivées.
105

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
Méthode caractéristique : on modifie le résidu via une décomposition en ondes. C’est le principe de la
méthode NSCBC (pour Navier-Stokes Characteristic Boundary Condition) développée par Poinsot &
Lele [137].
Le code AVBP utilise la méthode NSCBC (Poinsot & Lele [137]) pour contrôler les flux acoustiques notamment
sur les entrées/sorties du domaine de calcul.
5.5.1 Conditions aux limites de la phase gazeuse
La formulation compressible des équations de Navier-Stokes autorise la propagation d’ondes acoustiques.
Ces ondes peuvent être générées par l’agitation turbulente dans les zones de fort cisaillement et par
les fluctuations de dégagement de chaleur dans la zone de combustion. Cette énergie acoustique produite
doit pouvoir être évacuée correctement par les conditions limites.
Dans les codes SGE où les schémas numériques sont peu dissipatifs, cette diminution de l’énergie acoustique
dans le domaine de calcul ne peut être due qu’aux flux acoustiques qui traversent les conditions limites.
Or, les conditions de type non caractéristiques sont connues pour :
⊲ générer une réflexion totale des ondes acoustiques sortantes ;
⊲ générer un bruit acoustique et numérique en perturbant les équations de Navier-Stokes via la correction
brutale du résidu.
L’approche caractéristique est donc indispensable pour que l’acoustique au sein de l’écoulement gazeux
évolue sous contrôle.
Par ailleurs, au niveau des parois, la résolution spatiale du maillage SGE n’est généralement pas suffisante
pour prédire le frottement imposé par la condition d’adhérence. C’est pourquoi Schmitt et al. [161] a
modélisé ce frottement pariétal par une loi de paroi adaptée à la formulation SGE. Plus récemment, Mendez
[117] a proposé une loi de paroi spécifique afin de prendre en compte les parois multi-perforées qui
apparaissent dans le calcul SGE d’une chambre de combustion industrielle.
5.5.2 Conditions aux limites de la phase liquide
Contrairement à la phase gazeuse, on n’observe pas de comportement propagatif de type acoustique au
sein d’un spray. Sur le plan numérique, de simples conditions aux limites non caractéristiques sont donc
suffisantes pour imposer les flux des différentes variables transportées.
Cependant, la représentation correcte de l’injection est loin d’être évidente dans la mesure où les hypothèses
de l’approche eulérienne (cf. section 2.3.1) supposent un spray totalement atomisé et fortement dilué. Les
conditions aux limites d’injection doivent donc génerer un spray équivalent à celui produit lors l’atomisation
primaire et secondaire telles qu’elles ont lieu dans un injecteur de turbine à gaz. A ce titre, le chapitre 4
présente le développement d’une condition limite d’injection pour un atomiseur pressurisé avec swirl
interne. Lionel Martinez développe à l’IFP une condition limite d’injection simulant un atomiseur diesel.
Les parois sont représentées par une condition d’imperméabilité et de glissement sur la phase liquide.
Elles ne necessitent aucun investissement particulier de modélisation dans la mesure où l’on n’observe pas
d’interaction spray/paroi lors du fonctionnement normal d’une chambre de combustion. Dans les moteurs
à injection directe d’essence, l’interaction du spray avec les parois conditionne beaucoup l’évolution de la
phase liquide, notamment via la formation de film liquide.
106

5.5 Conditions aux limites
Enfin, concernant les conditions de sortie, aucun traitement particulier n’est nécessaire puisque, contrairement
à un écoulement gazeux avec l’acoustique, le spray ne propage pas d’information de l’aval vers
l’amont. Les grandeurs liquides sont juste convectées hors du domaine de calcul.
107

PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES : LE CODE AVBP
108

Deuxième partie
Application à la configuration académique
de Sommerfeld et Qiu (1991)

Table des Matières
6 Présentation de la configuration 113
6.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.1 Protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.2 Description du banc expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.3 Régime opératoire dans l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Précédentes études de la configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.1 Simulations par la méthode RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2 Simulations par la méthode SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Aspects numériques des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.1 Maillage pour la SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2 Les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.3 Paramètres numériques des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4 Organisation des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Présentation des résultats 127
7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.1 Visualisation de l’écoulement instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.2 Analyse de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.3 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire . . . . . . . . . . . . 139
7.2.1 Visualisation de l’écoulement instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2 Analyse de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.3 Conclusion sur les calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire . . . . . 168
7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire . . . . . . . . . . . . . 174
7.3.1 Comparaison des calculs monodisperses et polydisperses . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3.2 Influence du paramètre u ∞ : comparaison des calculs P1, P2 et P4 . . . . . . . . . . 181
7.3.3 Influence du paramètre τ sep : comparaison des calculs P3, P4 et P5 . . . . . . . . . . 188
7.3.4 Conclusion sur les calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire . . . . . . 194
7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

TABLE DES MATIÈRES
112

Chapitre 6
Présentation de la configuration
6.1 Dispositif expérimental
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177, 178] est un modèle simplifié de l’étage de combustion
d’une turbine à gaz. En effet, ce banc expérimental concentre deux caractéristiques d’un foyer de turbine à
gaz :
• une injection de particules solides de diamètres variés qui simule l’injection de gouttes de carburant
dans un injecteur industriel,
• un mouvement de rotation de l’air représentatif du swirl obtenu dans un injecteur industriel.
L’écoulement diphasique tournant présent dans cette configuration met donc en jeu un grand nombre de
phénomènes observés dans les foyers aéronautiques. On peut notamment citer les instabilités liées aux
couches de mélange ou l’interaction turbulente entre la phase dispersée et la phase porteuse. De plus, cette
configuration se focalise uniquement sur la dispersion d’un nuage de gouttes polydisperses dilué, ce qui
simplifie grandement la problématique associée à la phase dispersée.
6.1.1 Protocole expérimental
Afin d’étudier ces phénomènes, un protocole expérimental très rigoureux a été mis en place afin de
pouvoir étudier les deux phases qui coexistent dans l’écoulement. Ce protocole expérimental consiste notamment
à :
⊲ mesurer à des temps réguliers la distribution de tailles de particules. Cette procédure de
vérification permet d’assurer une faible proportion de particules non sphériques (< 2% dans cette
expérience) et aussi de conserver la même distribution de tailles pour les particules d’ensemencement
en renouvelant la population de ces particules si besoin après chaque mesure.
⊲ utiliser des particules d’ensemencement bien plus petites mais constituées du même matériau
que les particules représentatives de la phase dispersée. Deux raisons expliquent ce choix : la
méthode PDA (section 8.2.3) étant utilisée pour caractériser en même temps les deux phases, il faut
que la taille mesurée des particules dépende uniquement de leur taille réelle et non pas aussi de l’indice
de réfraction du matériau qui les compose. On pourra ainsi mesurer les caractéristiques de la
phase porteuse via les particules d’ensemencement en présence des particules représentatives de la
phase dispersée. De plus, le processus de comptage des particules d’ensemencement 1 a une probabi-
1 Afin de pouvoir compter les particules d’ensemencement, il faut discriminer la population des grosses particules. Le processus
de discrimination des particules par limitation de phase a été suggéré par Hardalupas & Taylor [80].

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
lité maximale d’acquisition vers 1.5µm, ce qui garantit que les particules captées ont un comportement
de traceur de l’écoulement gazeux.
⊲ acquérir un nombre suffisant d’échantillons sur chaque station de mesure. Cela se traduit par la
capture de 2000 échantillons pour reconstruire les vitesses moyennes et fluctuantes du gaz. Pour la
phase dispersée, on reconstruit les vitesses moyennes et fluctuantes pour certaines classes de taille de
particule à partir de 18000 échantillons. Le temps d’acquisition se situe entre 15 et 30 minutes pour
chaque station de mesure.
Ce protocole a permis d’obtenir une excellente reproductibilité des résultats expérimentaux tout en offrant
des données d’entrée fiables pour les simulations numériques entreprises sur cette configuration (cf. la section
6.2).
6.1.2 Description du banc expérimental
Injecteur
Chambre de test
Chambre de
stagnation
Jet primaire (Gaz + Particules)
Jet secondaire (Gaz)
FIG. 6.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Vue d’ensemble et dimensions du banc expérimental.
Le banc expérimental est à symétrie de révolution comme on peut le voir sur la Fig. 6.1. Ce banc comporte
les éléments suivants :
⊲ l’injecteur compte 2 étages. L’étage primaire permet d’injecter de l’air avec des particules. Aucun
mouvement de giration n’est donné à l’écoulement dans cet étage. L’étage secondaire enserre l’étage
primaire et souffle uniquement de l’air avec un mouvement de giration, ce qui permet d’atteindre un
nombre de swirl de 0.47 en sortie d’injecteur.
⊲ la chambre de test est une chambre à expansion brusque avec une augmentation de la section de
passage de l’ordre de 9.2. Cette chambre a une longueur de 1.5m.
⊲ une chambre de tranquillisation est placée au bout de la chambre de test car l’étude préliminaire de
114

6.1 Dispositif expérimental
Sommerfeld & Krebs [176] a montré qu’une restriction de section en bout de chambre avait une forte
influence sur l’écoulement en amont, notamment sur la zone de recirculation centrale.
Ce dispositif expérimental a fait l’objet d’un grand nombre de mesures (Sommerfeld & Qiu [177, 178]).
Ainsi, on compte 8 stations de mesure non uniformément réparties sur une longueur de 315mm en aval de
l’injecteur. Pour chaque station de mesure, on a ainsi accès aux grandeurs suivantes :
⊲ sur la phase porteuse, les statistiques moyennes des composantes axiales, radiales et azimuthales des
vitesses moyennes et fluctuantes.
⊲ sur la phase particulaire, les statistiques moyennes des composantes axiales, radiales et azimuthales
des vitesses moyennes et fluctuantes sur l’ensemble de la population de particules. Les mêmes statistiques
sont extraites pour trois classes de taille de 10 microns d’épaisseur centrées sur 30, 45 et 60
µm.
⊲ des profils radiaux de diamètre moyen en nombre (D 10 dans la Table 3.1) ont aussi été fournis afin de
localiser spatialement les particules selon leur diamètre.
⊲ l’évolution du flux axial massique en particules est aussi mesuré à chaque station de mesure.
La localisation des plans de mesure expérimentaux est donnée sur la Fig. 6.2. (x=0) correspond au fond de
chambre.
X=3mm
X=52mm
X=112mm
X=195mm
Air
Air +
Particules
Air
X=25mm
X=85mm
X=155mm
X=315mm
FIG. 6.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des plans de coupe expérimentaux.
6.1.3 Régime opératoire dans l’expérience
La Table 6.1 décrit les caractéristiques de l’écoulement diphasique dans la configuration de Sommerfeld
& Qiu [177]. Les mesures expérimentales sont faites à pression atmosphérique (101325 Pa) et à température
ambiante (293K).
La distribution de taille des particules a été mesurée expérimentalement sur l’intervalle [0; 128]µm. La
Figure 6.3 présente les 40 classes de 3.1 µm d’épaisseur qui représentent la répartition expérimentale en
nombre et en volume des tailles de particule. Le diamètre moyen en nombre D 10 est évalué à 45.0 µm dans
les mesures expérimentales.
115

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
PHASE PORTEUSE
Jet primaire
Débit massique [g/s] 9.9
Vitesse axiale maximale [m/s] 12.5
Nombre de Reynolds (basé sur D 4 ) [−]
≃27000
Nombre de swirl [−] 0.0
Jet secondaire
Débit massique [g/s] 38.3
Vitesse axiale maximale [m/s] 18.0
Nombre de Reynolds (basé sur 0.5*(D 2 − D 3 )) [−] ≃21000
Vitesse azimutale maximale [m/s] 13.0
Nombre de swirl [−] 0.47
PHASE DISPERSEE
Jet primaire
Débit massique [g/s] 0.34
Fraction massique [−] 3.4%
Matériau des particules
verre
Masse volumique [kg/m 3 ] 2500
Diamètre moyen en nombre des particules (D 10 ) [µm] 45.0
Plage des tailles de particule [µm] 15 - 120
TAB. 6.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Propriétés de l’écoulement diphasique.
FIG. 6.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Distribution expérimentale en nombre et en volume des tailles
de particule.
116

6.2 Précédentes études de la configuration
Il est possible de dériver les temps de relaxation par taille de particule grâce à l’Eq. 1.20, ce qui est réalisé
pour 8 tailles de particules dans la Table 6.2. Le facteur correctif f dans l’Eq. 1.20 est ici unitaire. Par
définition, le temps de relaxation des particules évolue selon le carré de leur diamètre, ce qui explique sa
forte augmentation avec les plus grands diamètres.
Taille de particule [µm] 15 30 45 60 75 90 105 120
Temps de relaxation [ms] 1.8 7.3 16.4 29.2 45.7 65.8 89.5 117.0
TAB. 6.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Temps de relaxation pour 8 tailles de particule.
6.2 Précédentes études de la configuration
Le dispositif expérimental mis en place par Sommerfeld & Qiu [177] allie de nombreux atouts pour
la validation d’un code CFD capable de calculer les écoulements diphasiques. La parfaite connaissance
des conditions d’entrée couplée à une géométrie simplifiée permettent de mener à bien des simulations
numériques tout en s’affranchissant des points durs généralement rencontrés dans les brûleurs réels. Ces
deux points associés à la grande quantité de données expérimentales disponibles sur cette configuration
expliquent le nombre de simulations rapportées dans la littérature. La Table 6.3 recense quelques références
bibliographiques se rapportant à cette configuration.
Référence Approche Nombre de Type de maillage Nombre de Longueur de
particules noeuds la chambre
Simulations RANS
Sommerfeld et al. [179] Euler-Lagrange 5000 Structuré 2D 6000 1.0m
Zhou et al. [206] Euler-Lagrange non précisé Structuré 2D 640 0.95m
Chrigui [31] Euler-Lagrange 75000 Structuré 3D 65000 0.5m
Simulations SGE
Apte et al. [4] Euler-Lagrange 1.1 million Structuré 3D 2.5 millions 1.5m
Oefelein et al. [129] Euler-Lagrange 2.5 millions Structuré 3D 4.4 millions 1.5m
Boileau et al. [16] Euler-Euler - Non-structuré 3D 0.7 millions 1.5m
TAB. 6.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Références bibliographiques de simulations numériques.
Les premières simulations RANS ont montré des résultats limités en particulier sur la dynamique de la
phase dispersée ou sur l’étendue de la zone de recirculation centrale tandis que les simulations SGE ont su
capturer fidèlement la dynamique de l’écoulement diphasique rotatif présent, que ce soit sur les statistiques
moyennes ou fluctuantes.
117

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
6.2.1 Simulations par la méthode RANS
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177] a été d’abord étudiée numériquement par la méthode
RANS. Signalons que les études par la méthode RANS ont systématiquement tronqué la chambre de mesure
dans les maillages utilisés.
• Simulation de Sommerfeld et al. [179]
Les simulations de Sommerfeld et al. [179] s’appuient sur un maillage bi-dimensionnel de 6000 cellules.
La chambre de test est maillée sur 1m de longueur. L’utilisation d’un maillage bidimensionnel
permet de réduire considérablement la taille du problème mais ne permet plus de capturer les effets
liés à la composante azimuthale de vitesse. En accord avec la formulation Euler-Lagrange, Sommerfeld
et al. [179] ne suit pas toutes les particules physiques du calcul mais les regroupe en paquets
sur des plages de taille définies afin de conserver un nombre de particules numériques modéré dans
le domaine de calcul (de l’ordre de quelques milliers). De plus, un modèle de collision inélastique
particule/paroi est présent dans le code de calcul. Le modèle de turbulence pour le gaz est un modèle
du type k − ɛ.
Les résultats montrent une forte sous-estimation des vitesses fluctuantes sur les deux phases, qui est
attribuée selon les auteurs au modèle de turbulence utilisé. La comparaison avec l’expérience pour les
grandeurs moyennes des deux phases est par contre très acceptable compte tenu du faible temps de
calcul requis.
• Simulation de Zhou et al. [206]
Afin de pallier les manques des premières simulations de Sommerfeld et al. [179], Zhou et al. [206] a
adopté une modèle de turbulence plus évolué qui tient compte des corrélations de vitesses fluctuantes
entre les deux phases d’un point de vue Lagrangien. Le maillage est toujours bidimensionnel mais
comporte un total de 640 cellules, ce qui s’avère un nombre de cellules particulièrement faible. La
chambre de test est maillée sur 0.95m de longueur.
Ce modèle plus évolué de turbulence conduit cependant à une sous-estimation des vitesses fluctuantes
sur la phase liquide. De plus, la vitesse axiale moyenne des particules est aussi largement sous-estimée
sur l’axe central de la configuration, ce qui est certainement dû à un déficit de particules lourdes sur
ce même axe.
• Simulation de Chrigui [31]
La simulation RANS de Chrigui [31] fait intervenir un maillage tridimensionnel structuré comportant
un total d’environ 65000 cellules. Seul le premier tiers de la chambre de test est simulé, ce qui n’a
pas permis de pousser les comparaisons jusqu’à l’abscisse de mesure X = 315mm, trop proche de la
sortie à X = 500mm. Afin d’assurer une bonne représentativité statistique de la population de gouttes,
un total de 75000 paquets de particules ont été suivis d’un point de vue Lagrangien dans le domaine
de calcul. Le modèle de turbulence est un modèle du type k − ɛ.
Les résultats montrent un éclatement trop tardif du jet gazeux, associé à une sous-estimation de
l’étendue axiale de la zone centrale de recirculation. Quant à la phase dispersée, elle montre une accumulation
de particules trop lourdes sur l’axe central, ce qui conduit à une surestimation de la vitesse
axiale sur ce même axe.
118

6.2 Précédentes études de la configuration
6.2.2 Simulations par la méthode SGE
Avec la montée en puissance des ressources informatiques, la configuration de Sommerfeld & Qiu [177]
a pu être étudiée numériquement par la méthode SGE.
• Simulation de Apte et al. [4]
Apte et al. [4] a réalisé la première simulation SGE de la configuration de Sommerfeld & Qiu [177].
Le domaine de calcul consiste en un maillage structuré de 2.5 millions d’hexaèdres avec une plus
petite taille de maille de l’ordre de 32µm en proche paroi et dans les couches de mélange proches de la
sortie de l’injecteur. Suivant l’approche lagrangienne pour la phase dispersée, un total de 1.1 millions
de particules sont traquées dans la simulation. Le calcul d’un temps convectif prend 150 heures sur 96
processeurs d’un supercalculateur IBM.
Ces premiers résultats démontrent clairement la supériorité de la SGE sur le RANS sur cette configuration.
En effet, les dimensions de la zone centrale de recirculation (CTRZ) sont clairement retrouvées
dans cette simulation, tant la localisation des deux points de stagnation que l’évolution axiale de
l’étendue radiale de la CTRZ. De plus, les profils de valeurs RMS affichent un excellent accord avec
les profils expérimentaux, ce qui se démarque nettement des précédents calculs RANS.
• Simulation de Oefelein et al. [129]
Sommerfeld & Qiu [178] a étendu les premiers résultats expérimentaux de Sommerfeld & Qiu [177]
en ajoutant notamment un nouveau régime de fonctionnement du dispositif expérimental (le nombre
de swirl augmente alors légèrement pour passer de 0.47 à 0.49 tandis que la fraction massique en
particules du jet primaire augmente de 3.4% à 16.6%). Oefelein et al. [129] a simulé les deux cas
(Sommerfeld & Qiu [177, 178]) en suivant plus de 2.5 millions de particules. Le maillage structuré
est encore plus important que dans Apte et al. [4] avec un total de 4.4 millions de cellules dont 1.5
millions rien que dans l’injecteur. A la lueur de ces chiffres, on peut avancer un coût de calcul au
moins deux fois plus important que celui requis par Apte et al. [4].
Les variations de positionnement de la CTRZ associées au changement de régime de fonctionnement
ont ainsi été retrouvées. Ces deux simulations ont encore renforcé la valeur d’une approche SGE sur
cette configuration en exhibant des résultats très satisfaisants sur chaque phase de l’écoulement.
• Simulation de Boileau et al. [16]
La simulation de Boileau et al. [16] se démarque de tous les calculs précédents par l’adoption d’un
formalisme Euler sur la phase dispersée (Kaufmann [89]). De plus, le maillage est ici non structuré et
comporte un total de 733000 noeuds avec une plus petite taille de maille environ 50 fois plus grande
que dans le cas de Apte et al. [4], ce qui ne peut pas autoriser le même niveau de précision que les
simulations SGE de Apte et al. [4], Oefelein et al. [129]. Autre limitation, cette simulation SGE
représente la dynamique de la phase dispersée pour un seul diamètre de particule (le diamètre moyen
en nombre D 10 , soit 45 microns dans le cas décrit par Sommerfeld & Qiu [177]).
Les résultats SGE sur le gaz sont du même ordre de précision que les études SGE précédentes,
notamment sur les caractéristiques de la CTRZ. Les résultats SGE sur la phase liquide monodisperse
montrent un bon accord avec les résultats expérimentaux extraits pour la classe de taille à 45 microns.
Le formalisme Euler-Euler ne se prête pas aussi naturellement que l’approche Euler-Lagrange à la
gestion de la polydispersion du spray. C’est pourquoi ces résultats se limitent à l’étude d’une seule
population de tailles de particule.
119

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
Dans ce travail de thèse, l’étude de Boileau et al. [16] est étendue à deux autres classes de taille étudiées par
Sommerfeld & Qiu [177] : 30 et 60µm. Dans le même temps, plusieurs simulations reposant sur l’extension
du formalisme Euler-Euler de Kaufmann [89] aux cas polydisperses développée par Mossa [124] sont
menées à bien. L’organisation des calculs est donnée dans la section 6.4.
6.3 Aspects numériques des calculs SGE
Les simulations SGE ont été réalisées avec le code de calcul AVBP. Les aspects numériques recouvrent
le choix d’un maillage approprié (section 6.3.1), le choix de conditions aux limites (section 6.3.2) puis le
choix de paramètres numériques de résolution (section 6.3.3).
6.3.1 Maillage pour la SGE
Les caractéristiques du maillage sont précisées dans la Table 6.4.
Type de maillage
non structuré
Type de cellule
tétraédrique
Nombre de noeuds ≃ 730000
Nombre de cellules ≃ 4500000
Volume de cellule minimal 1.77 10 −12 m 3
Localisation
Jet primaire
Volume de cellule maximal 4.43 10 −5 m 3
Localisation
Chambre de test
TAB. 6.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Propriétés du maillage
La Figure 6.4 présente une vue globale du maillage retenu pour les calculs SGE. L’injecteur est maillé sur
une longueur réduite (5cm) avant de déboucher dans la chambre de test. La taille de maille est constante
dans l’injecteur avant d’augmenter dans la chambre. Une coupe transverse du maillage est aussi présentée
sur la Fig. 6.4. Le raffinement de maillage est maximal dans la région proche injecteur avec une augmentation
de la taille de maille très rapide à la fois axialement et radialement en aval de cette zone.
6.3.2 Les conditions aux limites
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177] est étudiée à l’air libre à pression ambiante et par une
température de 300K. Les conditions limites des calculs SGE sont localisées sur la Fig. 6.5.
Les valeurs des quantités imposées sur chaque condition aux limites sont présentées dans la Table 6.5. Les
profils de vitesse sur les entrées pour chaque phase reprennent les profils fournis par l’expérience à X = 3mm.
120

6.3 Aspects numériques des calculs SGE
FIG. 6.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - haut : Vue gobale du maillage ; bas : Coupe médiane verticale
avec détails du maillage dans l’injecteur et la chambre de test.
FIG. 6.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des conditions aux limites.
Sur la phase gazeuse
La méthode NSCBC (Poinsot & Lele [137]) est retenue pour traiter les entrées et les sorties du domaine
de calcul. Cette méthode permet de contrôler les ondes acoustiques qui sortent et qui rentrent de la zone de
calcul en ramenant le traitement des ondes caractéristiques aux bords du domaine à un problème localement
mono-dimensionnel et non visqueux (en anglais LODI pour ”Locally One-Dimensional and Inviscid”). Les
profils des 3 composantes moyennes de vitesse obtenues expérimentalement à la station X = 3mm sont
imposés sur les deux entrées du calcul SGE (entrée du jet primaire et entrée du jet secondaire), de même
121

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
PHASE PORTEUSE
Entrée du jet primaire
Débit massique [g/s] 9.9
Température [K] 300
Entrée du jet secondaire
Débit massique [g/s] 38.3
Température [K] 300
Sortie de la chambre
Pression [P a] 101325
Parois
Lois de paroi
PHASE DISPERSEE
Entrée du jet primaire
Diamètre [µm]
30, 45 et 60 (calculs monodisperses)
42.0 (calculs polydisperses)
Fraction volumique de particules [−]
1.5 10 −5
Débit massique [g/s] 0.34
Température [K] 300
Sortie
Convection des grandeurs liquides en sortie
Parois
Condition de glissement
TAB. 6.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Conditions aux limites des calculs SGE.
pour la température. Dans cette configuration, une variation de l’ordre de quelques % sur les profils de
vitesse en entrée a une influence notable sur les profils radiaux calculés plus loin en aval, que ce soit sur
le gaz ou le liquide. La pression est imposée sur la sortie. Les parois sont traitées avec une loi de paroi
logarithmique comme précisée dans Schmitt et al. [161].
Pour simuler l’arrivée d’un champ de vitesse pleinement turbulent dans la chambre de test, on pourrait
laisser la turbulence s’établir naturellement dans les tuyaux d’amenée des jets. Cette méthode est néanmoins
très coûteuse en maillage et en temps de calcul car elle impose généralement de modéliser de manière très
fine la turbulence de couche limite (Lund et al. [111]). Pour surmonter cette limitation, on préfère imposer
une vitesse fluctuante qui mime la turbulence. Suivant la méthode RFG (pour ”Random Flow Generation”)
développée par Smirnov et al. [174], cette partie fluctuante est construite en superposant les harmoniques
issues d’une distribution normale proche de l’échelle intégrale. Le spectre d’énergie reconstruit à partir de
ces harmoniques a la forme suivante :
E(k) = 16√
2
π k4 e −2k2 (6.1)
où k est le nombre d’onde. Pour simuler la configuration de Sommerfeld & Qiu [177], on extrait 50 modes
à l’entrée du jet primaire et 20 modes à l’entrée du jet secondaire. L’amplitude des fluctuations de vitesse
est fixée par les profils expérimentaux à X=3mm.
122

6.3 Aspects numériques des calculs SGE
Sur la phase dispersée
Concernant la phase liquide, les conditions limites d’entrée sont imposées suivant des conditions de type
Dirichlet : on impose ainsi le nombre de gouttes par unité de volume, le diamètre, le profil de vitesse et la
température des gouttes sur l’injection du jet primaire. Concernant l’entrée du jet secondaire, la formulation
eulérienne de la phase dispersée impose de définir une valeur non nulle de la fraction volumique de liquide
sur cette entrée. On choisit donc une valeur de plusieurs ordres de grandeur plus faible que celle appliquée
sur l’injection primaire. La sortie du domaine de calcul est purement convective. Le traitement des parois
est très simple : la vitesse normale des gouttes est juste annulée à la paroi, le rebond ou le dépôt de gouttes
à la paroi n’étant pas pris en compte.
En entrée du jet primaire, on impose un champ de vitesse turbulent sur la phase liquide de la même manière
que pour le gaz. De la même manière, l’amplitude des fluctuations de vitesse est fixée par les profils
expérimentaux à X=3mm.
Concernant les calculs SGE polydisperses, il convient de se donner une forme convenable pour la distribution
des tailles de goutte. On a choisi d’utiliser les deux paramètres suivants pour la loi log-normale :
d 00 = 42.0µm et ˆσ = 0.56. Ces deux paramètres permettent de respecter la valeur du D 10 tout en assurant
une représentation raisonnable de la population de tailles de particule par rapport à l’expérience, comme on
peut le voir sur la Fig. 6.6.
8
Densité en nombre (%)
7
6
5
4
3
2
Distribution expérimentale
Distribution analytique (loi log-normale)
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Diamètre (µm)
80
90
100
110
120
FIG. 6.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Histogrammes : Distribution expérimentale en nombre des
tailles de particule ; trait avec symbole : Distribution analytique en nombre des tailles de particule (loi log-normale).
6.3.3 Paramètres numériques des calculs
Les calculs SGE ont été menés à bien avec le schéma numérique TTGC (Colin & Rudgyard [33]) qui est
d’ordre 3 en espace et en temps. Le schéma TTGC est environ 2.3 fois plus coûteux en temps que le schéma
Lax-Wendroff (LW) qui est du second ordre en espace et en temps (Schönfeld & Rudgyard [162]). Ce
surcoût en temps de calcul se traduit par une meilleure représentation de l’écoulement instantané et moyen
par rapport à un schéma d’ordre inférieur comme le schéma LW. Concernant la méthode SGE, le modèle
123

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
de sous-maille pour les vitesses du gaz est le modèle de Smagorinsky abordé dans la section 2.2 tandis que
la phase liquide bénéficie du modèle mixte décrit dans la section 2.4. Le couplage entre les deux phases fait
intervenir la trainée en couplage direct car la fraction volumique maximum en particules dans le domaine
de calcul est de l’ordre de 5 × 10 −5 , ce qui autorise cette approximation. Aucun modèle d’évaporation
de goutte n’est requis car les particules sont constituées de verre dans l’expérience. La contribution du
mouvement décorrélé (section 2.3.3) n’est pas explicitement prise en compte mais sera reconstruite a
posteriori pour les 3 calculs monodisperses dans la section 7.2.2.
La Table 6.6 récapitule les paramètres numériques communs à toutes les simulations SGE.
Schéma numérique
TTGC (3 ième ordre en espace et en temps)
Modèles de couplage
Traînée (couplage direct)
Evaporation désactivée
Modèle de RUM
non activé
Modèle SGS (gaz) Smagorinsky [173]
Modèle SGS (liquide) Modèle mixte ( Yoshizawa [204] + Smagorinsky [173])
Viscosité artificielle (gaz) Colin [32]
Niveau à l’ordre 2 (smu 2 ) 0.07
Niveau à l’ordre 4 (smu 4 ) 0.007
Viscosité artificielle (liquide) Jameson et al. [86]
Niveau à l’ordre 2 (smu 2,T P F ) 0.25
Niveau à l’ordre 4 (smu 4,T P F ) 0.15
TAB. 6.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Paramètres numériques des calculs SGE.
6.4 Organisation des calculs SGE
Les calculs SGE sont répartis de la manière suivante :
1. un calcul SGE monodisperse est réalisé pour chacune des trois classes de taille rapportée dans les mesures
expérimentales de Sommerfeld & Qiu [177, 178], c’est-à-dire pour 30, 45 et 60 microns (calculs
M30, M45 et M60 dans la Table 6.7). Pour chaque classe de taille de particule, on compare la simulation
SGE aux mesures expérimentales fournies par Sommerfeld & Qiu [177, 178]. L’écoulement de
la phase dispersée présentant des variations de topologie étroitement liées à la taille de particules, on
vérifie que ces variations sont retrouvées dans la série de calculs SGE monodisperses.
2. en parallèle, des calculs SGE polydisperses sont menés à bien afin de vérifier l’influence de deux
paramètres clés du modèle : le temps de séparation des classes de particules τ sep ainsi que la vitesse
de relaxation des plus grosses particules u ∞ (calculs P1 à P5 dans la Table 6.7). Ces calculs
sont systématiquement comparés aux mesures de Sommerfeld & Qiu [177, 178], mesures qui sont
moyennées sur toute la population de particules. Les comparaisons sont faites sur les profils radiaux
des trois composantes de vitesse ainsi que sur les profils radiaux de diamètre moyen en nombre des
particules.
La Table 6.7 récapitule les simulations SGE réalisées sur la configuration de Sommerfeld & Qiu [177].
Pour obtenir des moyennes convergées pour chaque phase, un total de 150000 itérations (soit 0.375s de
temps physique) s’est révélé raisonnable.
124

Identifiant de Diamètre u ∞ Temps de
la simulation [µm] [m/s] séparation [ms]
CALCULS SGE MONODISPERSES
M30 30 - -
M45 45 - -
M60 60 - -
CALCULS SGE POLYDISPERSES
P1 10 à 130 12 15
P2 10 à 130 8 15
P3 10 à 130 ŭ p * 50
P4 10 à 130 ŭ p * 15
P5 10 à 130 ŭ p * 7
* ŭ l correspond à la vitesse corrélée obtenue à l’itération précédente du calcul.
6.4 Organisation des calculs SGE
TAB. 6.7 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Organisation des calculs SGE en fonction du traitement de la
phase dispersée.
Les calculs SGE monodisperses ont été menés à bien sur 128 processeurs du supercalculateur MareNostrum
localisé au centre BSC en Espagne. Pour avancer de 150000 itérations un calcul SGE monodisperse, il faut
compter environ 48 heures de temps de calcul.
Les calculs SGE polydisperses ont été réalisés sur 32 processeurs du supercalculateur IBM JS21 localisé
au CERFACS. 300 heures de temps de calcul s’avèrent nécessaires pour avancer de 150000 itérations un
calcul SGE polydisperse.
Les calculs SGE sont étudiés dans l’ordre qui suit :
1. Sachant que la charge volumique en particules reste faible dans le domaine de calcul, il est raisonnable
de considérer un couplage direct entre la phase porteuse et la phase particulaire. Dans ces conditions,
les statistiques de la phase porteuse ne sont pas affectées par l’écoulement de la phase particulaire.
L’écoulement de la phase porteuse est donc étudié en premier lieu à partir des données recueillies
sur le calcul SGE monodisperse à 45 microns, sachant que les statistiques moyennes du gaz sont
identiques pour tous les calculs SGE.
2. Dans un deuxième temps, les statistiques des calculs monodisperses sont étudiées en les comparant
aux données expérimentales recueillies par Sommerfeld & Qiu [177, 178]. De plus, les simulations
SGE monodisperses sont aussi comparées entre elles afin de vérifier que les tendances reliées aux
variations de diamètre sont bien retrouvées numériquement.
3. En dernier lieu, une étude paramétrique sur deux paramètres clés du modèle polydisperse est conduite
afin de pouvoir quantifier la dépendance du modèle vis-à-vis de ces deux paramètres. Les simulations
polydisperses sont systématiquement comparées aux mesures expérimentales fournies par Sommerfeld
& Qiu [177, 178].
125

PRÉSENTATION DE LA CONFIGURATION
126

Chapitre 7
Présentation des résultats
7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
L’étude de l’écoulement gazeux est divisée comme suit :
Section 7.1.1 : l’écoulement instantané est visualisé afin de mieux comprendre la génération puis le mouvement
des structures instationnaires.
Section 7.1.2 : l’analyse de l’écoulement moyen implique l’observation de champs moyens afin de définir
la structure de l’écoulement mais aussi la comparaison avec les mesures expérimentales relevées pour
les 8 stations de mesure (localisées sur la Fig. 6.2).
7.1.1 Visualisation de l’écoulement instantané
L’écoulement instantané du gaz présente l’éclatement caractéristique d’un écoulement à nombre de
swirl modéré < 0.6 (Syred & Beer [186], Lilley [106], Lucca-Negro & O’Doherty [110], Syred [185]).
Ainsi, on note la présence d’une zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ) assez massive sur l’axe
central couplée à des zones de recirculation en coin (CRZ) peu étendues. La Figure 7.1 donne une idée de
l’écoulement instantané gazeux dans chacune des coupes axiales correspondant aux stations de mesure.
Le jet secondaire est de forme parfaitement annulaire dans la coupe à X = 3mm et perd peu à peu sa
cohérence à mesure que l’on s’éloigne de la bouche de l’atomiseur. En effet, dès l’abscisse X = 52mm, le jet
secondaire observé selon une coupe axiale est un anneau très irrégulier et morcelé. Dans le même temps, les
niveaux de vitesse axiale décroissent, ce qui traduit le ralentissement du jet à l’entrée dans la chambre de test.
La Figure 7.2 montre une isosurface de vorticité instantanée du gaz ⃗ω = ⃗ rot(⃗u g ). Des structures toubillonnaires
sont détectées dans la chambre et s’atténuent très rapidement dès que l’on s’éloigne de l’injecteur.
L’activité tourbillonnaire dans les tubes d’amenée correspond au frottement du gaz en proche paroi.
Afin de mieux comprendre la structure de l’écoulement, la vorticité axiale doit être distinguée de la vorticité
azimutale. La Figure 7.3 montre une isosurface de vorticité axiale instantanée du gaz coloriée par le rayon.
Ainsi, la vorticité axiale est visible dans les tubes d’amenée de l’injecteur puis s’atténue très rapidement en
sortie d’injecteur. L’activité tourbillonnaire observée traduit le frottement pariétal dans la direction axiale et
un prémice d’instabilité azimutale à l’interface des deux jets qui disparaît presque aussitôt dans la chambre
de test.

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
a.
X = 3mm X= 25mm X= 52mm X=85mm
X= 112mm X= 155mm X= 195mm X=315mm
b.
FIG. 7.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ de vitesse axiale gazeuse instantanée (a. coupe
transverse (Y=0) avec les 8 coupes axiales des stations de mesure ; b. les 8 coupes axiales).
Cependant, la Figure 7.3 montre qu’une grande partie de l’activité tourbillonnaire vue sur la magnitude
de la vorticité (Fig. 7.2) n’est pas représentée par la vorticité axiale. La partie manquante de cette activité
correspond à la vorticité azimutale représentée sur la Fig. 7.4. La vorticité azimutale est observée aussi bien
dans les tubes d’amenée qu’à l’interface entre les deux jets. Le frottement pariétal puis les instabilités de
Kelvin-Helmholtz sont à l’origine de la vorticité azimutale détectée. Les instabilités de Kelvin-Helmholtz
se forment dans la direction axiale et plus précisément dans le sillage du séparateur de l’injecteur et sur le
pourtour externe du jet secondaire. Ce sillage voit son extension radiale grandir sous l’effet du mouvement
128

7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 7.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité gazeuse instantanée à 4000s −1
coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
FIG. 7.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité axiale gazeuse instantanée à 4000s −1
coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
giratoire du jet secondaire, ce qui explique la détection de filaments de vorticité de plus en plus loin de l’axe
central à mesure que l’on s’éloigne de l’injecteur.
La Figure 7.5 présente une isosurface de critère Q extraite d’un champ instantané de vitesse du gaz. Le
critère Q fait intervenir le tenseur des taux de déformation S et le tenseur des taux de rotation Ω selon la
relation (Hussain & Jeong [84]) :
Q = 1 2 (||Ω||2 − ||S|| 2 ) (7.1)
Les structures tourbillonnaires sont fortement déstructurées et s’atténuent très vite dès que l’on s’écarte de
l’injecteur. Le critère Q indique aussi que le coeur du jet primaire présente peu d’activité turbulente.
129

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticité azimutale gazeuse instantanée à
4000s −1 coloriée par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
FIG. 7.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de critère Q coloriée par le rayon (gauche : vue
transverse ; droite : vue axiale).
7.1.2 Analyse de l’écoulement moyen
L’analyse de l’écoulement gazeux moyen est organisée comme suit :
• les profils de vitesse axiale moyenne et fluctuante le long de l’axe central caractérisent la CTRZ.
• l’observation des champs moyens et fluctuants des diverses composantes de vitesse permet d’approfondir
la connaissance de l’écoulement.
• la comparaison entre les profils expérimentaux et numériques permet finalement d’estimer la
prédictivité de la méthode SGE sur cette configuration.
La vitesse du gaz u g se décompose en (u g,r , u g,θ , u g,x ) T pour les composantes radiale, azimutale et axiale
respectivement dans le repère cylindrique centré sur l’axe de la configuration.
130

7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Profils des vitesses axiales moyenne et fluctuante sur l’axe central
La Figure 7.6 compare les profils de vitesse axiale moyenne < u g,x > le long de l’axe central pour
l’expérience, le calcul M45 (cf. la Table 6.7) et le calcul SGE de Apte et al. [4]. Le symbole < . > indique
une moyenne temporelle.
12
10
Vitesse axiale moyenne dans l'expérience
Vitesse axiale moyenne dans le calcul M45
Vitesse axiale moyenne obtenue par Apte et al. (2003)
Vitesse axiale (m/s)
8
6
4
2
0
-2
0.04
0.08
0.12
0.16
X (m)
0.20
0.24
0.28
FIG. 7.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale moyenne < u g,x > le long de l’axe
central (symboles : mesures expérimentales ; traits plein : calcul M45 ; trait pointillé : calcul de Apte et al. [4]).
L’étendue axiale de la zone centrale de recirculation (CTRZ) est marquée par deux points de stagnation.
Le point de stagnation amont est bien situé dans le calcul M45 par rapport aux mesures expérimentales
tandis que le calcul SGE de Apte et al. [4] montre un léger décalage de ce point vers l’amont. L’étendue
axiale de la CTRZ est globalement bien prédite dans le calcul M45. Elle s’étend approximativement entre
les abscisses X = 100mm et X = 330mm pour une longueur axiale totale de 230mm. Le niveau minimal de
vitesse est satisfaisant dans le calcul M45 tandis que le calcul de Apte et al. [4] montre une surestimation
de ce minimum de vitesse.
La Figure 7.7 compare les profils de vitesse axiale fluctuante moyenne le long de l’axe central pour
l’expérience, le calcul M45 et le calcul SGE de Apte et al. [4].
Sur la Fig. 7.7, la localisation du pic est décalée en amont dans le calcul M45, ce qui n’est pas le cas du
calcul de Apte et al. [4]. Ce décalage peut être dû à un déraffinement du maillage à cet endroit dans le
calcul M45, ou à l’utilisation du modèle SGS de Smagorinsky quand le calcul de Apte et al. [4] repose sur
le modèle SGS de Smagorinsky dynamique (cf. la section 2.2). On notera que les deux calculs injectent de
la turbulence dans les directions axiale et azimutale en entrée.
Le calcul M45 a aussi tendance à surprédire le niveau de ce pic tandis que Apte et al. [4] le sous-prédit
légèrement. Cette surprédiction se traduit par une plus grande fluctuation de l’extrémité du jet primaire. A
l’intérieur de la CTRZ, les niveaux de vitesse axiale fluctuante sont trop faibles dans le calcul M45, avec un
niveau de fluctuation qui stagne aux alentours de 1m/s (Fig. 7.7).
131

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
3.5
Vitesse axiale fluctuante dans l'expérience
Vitesse axiale fluctuante du calcul M45
Vitesse axiale fluctuante obtenue par Apte et al. (2003)
3.0
Vitesse axiale (m/s)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.04
0.08
0.12
0.16
X (m)
0.20
0.24
0.28
FIG. 7.7 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale fluctuante moyenne u RMS
g,x le long de
l’axe central (symboles : mesures expérimentales ; traits plein : calcul M45 ; trait pointillé : calcul de Apte et al. [4]).
Dans le régime de fonctionnement présenté dans la Table 6.1, la CTRZ ne remonte pas dans l’injecteur,
ce qui est en accord avec la valeur modérée du nombre de swirl et la disposition des tubes primaire et
secondaire (Syred & Beer [186], Lilley [106], Lucca-Negro & O’Doherty [110], Syred [185]). Comme l’a
montré Sommerfeld & Qiu [178], une augmentation même légère (4%) du nombre de swirl dans le circuit
d’alimentation secondaire entraîne une remontée du point de stagnation amont de la CTRZ mais n’a pas
d’effet perceptible sur la localisation du point de stagnation aval.
Topologie de l’écoulement
La Figure 7.8 montre la structure de l’écoulement de la phase porteuse en sortie d’injecteur. Dans la
section 7.1.1, l’isosurface de vorticité azimutale (Fig. 7.4) a permis de localiser les instabilités de Kelvin-
Helmholtz générées par le cisaillement transverse aussi bien entre les deux jets qu’entre le jet secondaire et
le gaz au repos dans la chambre. Le profil de vitesse axiale moyenne (Fig. 7.6) a clairement mis en avant un
ralentissement de la vitesse du gaz dans le jet primaire suivi par la présence d’une zone centrale toroïdale
de recirculation (CTRZ). Le swirl du jet secondaire limite l’extension radiale de la CTRZ et donne lieu à
des zones de recirculation en coin (CRZ).
Observation des champs moyens et fluctuants
La Figure 7.9 montre le champ moyen de vitesse axiale gazeuse. L’observation des champs dans deux
plans de coupe permet de vérifier que l’écoulement moyen calculé est bien axi-symétrique. La CTRZ est
visualisée par une iso-ligne de vitesse axiale nulle. L’extension radiale de la CTRZ est maximale vers
l’abscisse X = 150mm. Le diamètre de la CTRZ diminue ensuite de manière continue jusqu’à s’annuler en
X = 335mm. La CTRZ est suivie d’une nouvelle zone de recirculation centrée sur l’axe de la chambre et
132

7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Zone de recirculation
en coin
Instabilités de Kelvin-
Helmholtz aux interfaces
Air
Air +
Particules
Air
Jet secondaire
Jet primaire
Jet secondaire
Point de stagnation amont
Zone centrale de
recirculation
Point de stagnation aval
Instabilités de Kelvin-
Helmholtz aux interfaces
Zone de
recirculation en coin
FIG. 7.8 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Topologie de l’écoulement de gaz en sortie d’injecteur.
d’extension radiale très réduite.
Des zones de recirculation de coin (CRZ) sont visibles sur la Fig. 7.9, ce qui était prévisible pour un
écoulement à nombre de Swirl modéré dans une configuration confinée dotée d’une expansion brusque
(Syred & Beer [186], Lilley [106], Syred [185]). Les CRZ s’étendent axialement sur environ 100mm avant
d’être détruites par l’éclatement du jet secondaire swirlé.
FIG. 7.9 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale (coupe transverse en (Z = 0))
avec une iso-ligne de vitesse axiale nulle en blanc.
La Figure 7.10 présente le champ moyen des fluctuations de vitesse axiale. L’écoulement présente une
topologie similaire entre les 3 composantes fluctuantes de vitesse. Ainsi, les niveaux maximums sont
atteints dans la chambre de test, sur les bords du jet secondaire tandis que l’intérieur de la CTRZ et les CRZ
arborent de faibles niveaux de fluctuation.
Les pics de fluctuations sont donc localisés au niveau des couches de mélange. En effet, un pic de fluctuation
apparait à la frontière entre le jet primaire à vitesse axiale positive et la CTRZ qui marque une zone de
133

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
vitesse axiale négative. La localisation de cette frontière résulte donc d’un fragile équilibre entre le jet
primaire qui pousse l’écoulement et la CTRZ qui au contraire retient l’écoulement. Il s’agit donc d’une
région de fort cisaillement axial, ce qui explique le pic de fluctuation observé à cet endroit sur la Fig. 7.10.
Les maxima de fluctuations de vitesse sont encore plus prononcés dans les zones où un fort cisaillement
existe à la fois dans la direction axiale et azimutale, c’est-à-dire typiquement à l’interface entre la CTRZ
et le bord interne du jet secondaire. Les niveaux de vitesse axiale fluctuante sont plus importants que pour
les deux autres composantes de vitesse. Cette observation est certainement due au fait que les niveaux de
vitesse axiale moyenne sont globalement bien plus forts que ceux des deux autres composantes.
FIG. 7.10 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale fluctuante (coupe transverse
en (Z = 0)).
Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Expérience
Les profils de vitesses moyenne et fluctuante ont été obtenus en deux étapes :
1. Les champs de vitesse ont d’abord été moyennés temporellement sur une durée de 0.375s, soit 150000
itérations.
2. Ces champs moyens ont ensuite été moyennés azimutalement sur 16 plans de coupe transverses.
Cette procédure a été systématiquement appliquée à tous les calculs, que ce soit sur les grandeurs de la
phase gazeuse ou sur celles de la phase dispersée.
Les Figures 7.11, 7.12 et 7.13 comparent les profils radiaux des vitesses moyennes axiale, azimutale et radiale
aux mesures expérimentales obtenues par Sommerfeld & Qiu [177, 178]. L’accord est globalement bon
entre le calcul SGE et les mesures pour les trois composantes de vitesse moyenne. On retrouve notamment
une localisation correcte de la CTRZ et des CRZ. Les niveaux de vitesse sont aussi bien retrouvés dans les
jets ainsi que dans la CTRZ, en particulier sur les profils de vitesse axiale moyenne (Fig. 7.11). De plus, les
profils radiaux de vitesse azimutale moyenne permettent de distinguer clairement deux zones à partir de X
= 155mm :
⊲ une zone interne comportant une croissance linéaire de la vitesse azimutale avec le rayon, ce qui
indique une zone en rotation solide. Cette zone correspond grossièrement à la CTRZ.
⊲ une zone externe à vitesse azimutale constante. Cette zone correspond approximativement au sillage
du jet secondaire qui contourne la CTRZ.
On peut néanmoins pointer quelques carences concernant les profils moyens calculés :
134

7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
⊲ la chute de vitesse axiale moyenne est légèrement sous-prédite dans le jet primaire par rapport à
l’expérience sur le profil à X = 85mm (Fig. 7.11), ce qui a tendance à décaler un peu en aval le point
de stagnation amont de la CTRZ dans le calcul SGE (profil à X = 112mm sur la Fig. 7.11).
⊲ tout comme le jet primaire, le pic de vitesse axiale correspondant au jet secondaire est légèrement
surprédit (profils à X = 25 et 52mm de la Fig. 7.11).
⊲ La vitesse radiale à X = 155mm (Fig. 7.13) est trop basse près de l’axe central avec un minimum de
-0.6m/s. La vitesse radiale semble globalement trop basse dans la CTRZ (profils de X = 112mm à X
= 315mm de la Fig. 7.13).
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
15
0
15
-5 5
0
2
4
0
5
0
5
0
2
4
0.0 1.0 2.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.11 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u g,x > aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
135

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
10
0
10
0
5
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0
0.0
2.5
0.0
2.5
0.0
2.5
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.12 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse azimutale moyenne < u g,θ > aux
8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
-4 -2 0
0
4
0
5
0
2
4
-0.5 0.5 1.5
-0.6 0.0
-0.5 0.0 -0.6 0.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.13 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse radiale moyenne < u g,r > aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
136

7.1 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Les Figures 7.14, 7.15 et 7.16 comparent respectivement les profils radiaux moyens des vitesses fluctuantes
axiale, azimutale et radiale aux mesures expérimentales obtenues par Sommerfeld & Qiu [177, 178].
Les profils de vitesse axiale fluctuante (Fig. 7.14) montrent un pic de fluctuation à un rayon de 32 mm à X =
3mm, ce qui correspond à la détection d’instabilités de Kelvin-Helmholtz sur le pourtour du jet secondaire.
Ce second pic n’est cependant pas observé dans les mesures expérimentales alors que Apte et al. [4] et
Oefelein et al. [129] ont aussi retrouvé un tel pic dans leurs calculs respectifs. Sur les profils plus éloignés
de l’injecteur, les résultats numériques sont proches des mesures avec toutefois une légère sous-estimation
des niveaux dans la CTRZ à partir de X = 112mm. Cette observation peut s’expliquer par un maillage bien
moins raffiné dans ces zones ainsi que par des fluctuations d’amplitude plus faibles par rapport aux premiers
plans de coupe. La discrétisation spatiale est donc moins bien adaptée pour capturer les fluctuations de
moindre amplitude dans ces zones.
Les profils de vitesse azimutale fluctuante (Fig. 7.15) présentent des niveaux fidèles à l’expérience. Les
deux pics de fluctuation observés à X = 3mm sont liés aux couches de mélange et s’atténuent rapidement
en accord avec les mesures expérimentales.
Les profils de vitesse radiale fluctuante (Fig. 7.16) sont globalement en accord avec les mesures. Les
niveaux de fluctuation sont maximaux dans les couches de mélange (profils à X = 3 et X = 25mm) avant de
diminuer dans le reste de la chambre.
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0
0.0
1.5
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.14 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale fluctuante u RMS
g,x
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
137

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0.0
2.5
0
1
2
3
0
1
2
3
0.0
2.5
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0 0.0
1.5
0.0
1.5
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.15 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale fluctuante
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
u RMS
g,θ
Calcul SGE
Mesures expérimentales
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0.0
1.0
2.0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
0.0
2.5
0.0
2.5
0.0
1.5
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
2.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.16 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale fluctuante u RMS
g,r
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait plein : calcul SGE).
138

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
7.1.3 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement gazeux
Concernant l’écoulement gazeux, la simulation SGE a fourni plusieurs résultats :
⊲ la structure de l’écoulement est qualitativement bien retrouvée. En particulier, la position et l’étendue
de la CTRZ ainsi que l’éclatement du jet secondaire sont correctement prédits par le calcul.
⊲ les niveaux de vitesse calculés sont quantitativement proches des mesures expérimentales, que ce soit
dans les jets ou dans la CTRZ.
Le second résultat appelle une comparaison des résultats du calcul M45 avec les précédents calculs SGE de
la configuration de Sommerfeld & Qiu [177, 178] (Apte et al. [4], Oefelein et al. [129] dans la Table 6.3).
Sur les vitesses moyennes, les trois calculs sont de précision comparable malgré une résolution de maillage
bien plus importante dans les calculs de Apte et al. [4] et Oefelein et al. [129]. Par contre, les vitesses
fluctuantes sont moins bien prédites par le calcul M45, surtout sur les profils les plus éloignés de l’injecteur
où le maillage est bien plus grossier que dans les deux autres calculs.
La qualité des résultats sur le gaz autorise l’analyse du champ de vitesse liquide.
7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
L’étude de l’écoulement particulaire par classe de taille est organisée comme suit :
Section 7.2.1 : l’écoulement instantané des particules est visualisé pour chacune des trois classes de taille
étudiés : 30, 45 et 60 microns. On espère ainsi différencier quelques tendances fortes de l’écoulement
particulaire en fonction de la taille des particules.
Section 7.2.2 : l’analyse de l’écoulement moyen permet d’affiner les observations faites sur les champs
instantanés. Pour ce faire, la structure de l’écoulement est déduite de la topologie des champs moyens
mais aussi de la comparaison des profils expérimentaux et calculés. En dernier lieu, on compare
les profils calculés pour chaque classe de taille toujours dans le but d’identifier des tendances caractéristiques
de chaque population de particules.
7.2.1 Visualisation de l’écoulement instantané
La Figure 7.17 montre le champ instantané de fraction volumique de particules dans le jet primaire pour
chaque classe de taille étudiée. La principale différence observable sur ces champs instantanés concerne
la pénétration axiale des particules au sein du jet primaire. On notera que les 3 calculs monodisperses
comportent les mêmes profils de vitesse en entrée. La charge volumique en particules est conservée dans les
3 calculs en adaptant le nombre volumique de gouttes en entrée au diamètre des particules.
Les particules les plus légères (diamètre de 30 microns) sont les plus susceptibles de suivre le mouvement de
la phase porteuse. Par conséquent, la présence de la CTRZ sur le chemin de ces petites particules constitue
un obstacle sur lequel elles viennent buter. Les particules s’accumulent et forment une poche compacte dont
la forme est très irrégulière et instationnaire (Fig. 7.17). Dans le cas à 30 microns, la poche d’accumulation
de particules est légèrement en aval du point de stagnation amont de la CTRZ. Les particules accumulées
subissent ensuite une centrifugation (le profil à X = 85mm de la Fig 7.13 montre une vitesse radiale positive
de l’air au niveau de la poche) qui leur permet de contourner la CTRZ.
Pour les plus grands diamètres de particule (45 et 60 microns), la poche d’accumulation pénètre plus
profondément dans la CTRZ, ce qui traduit la plus grande inertie de ces particules. Sommerfeld & Qiu
[178] a montré que seules les particules de diamètre supérieur à 80 µm parvenaient à traverser la CTRZ. On
139

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Fraction volumique
de particule (-)
FIG. 7.17 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantanés de fraction volumique de particules au
sein du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul à 30µm ; milieu : calcul à 45µm ; bas : calcul à 60µm).
s’attend donc bien à voir ces deux classes de particule s’arrêter dans la zone centrale de recirculation comme
le montre la Fig. 7.17. On remarque cependant que la différence de pénétration axiale du jet primaire entre
le calcul à 45 microns et celui à 30 microns est sensiblement plus grande qu’entre les calculs à 60 et 45
microns. L’inertie des particules ne varie donc pas linéairement avec le diamètre, un résultat attendu compte
tenu de l’expression en d 2 p du temps de relaxation des particules (Eq. 1.20).
La Figure 7.18 compare les champs instantanés de vitesse particulaire. Le champ gazeux instantané
présentant globalement la même structure sur les 3 calculs SGE monodisperses, seul le champ gazeux du
calcul M45 (cf. la Table 6.7) est montré. Cette comparaison soulève les remarques suivantes :
⊲ les champs liquides présentent des structures moins fines que les champs gazeux quel que soit le
diamètre des particules considérées dans la simulation SGE monodisperse. On rappelle que seul le
mouvement corrélé des particules est représenté sur la Fig. 7.18.
⊲ les structures instantanées du champ liquide sont de moins en moins fines à mesure que le diamètre
des particules augmente. Cette observation confirme le fait que les particules les plus lourdes sont
celles qui ressentent le moins l’agitation turbulente de la phase porteuse.
⊲ comme sur la Fig. 7.17, les particules plus lourdes pénètrent plus profondément dans la CTRZ et donc
ralentissent bien moins vite que les particules plus légères.
⊲ si la turbulence injectée en entrée reste visible sur le champ gazeux dans la chambre, elle l’est beau-
140

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
coup moins sur le champ de la phase dispersée. Cette remarque semble indiquer que l’agitation turbulente
acquise par les particules provient de la turbulence du gaz via la traînée.
a.
b.
c.
d.
FIG. 7.18 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantanés de vitesses particulaire et gazeuse en
coupe transverse (Y = 0) (a. champ gazeux ; b. champ particulaire du calcul M30 ; c. champ particulaire du calcul
M45 ; d. champ particulaire du calcul M60).
141

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
7.2.2 Analyse de l’écoulement moyen
L’analyse de l’écoulement particulaire moyen est organisée comme suit :
• l’analyse de champs moyens de fraction volumique de particules permet de clarifier la localisation des
zones d’accumulation de particules.
• la traînée étant la force prépondérante qui s’exerce sur la particule, un champ de traînée axiale est
étudiée pour chaque calcul monodisperse.
• des nombres de Stokes caractéristiques de l’écoulement sont calculés, suivant l’approche de Sommerfeld
& Qiu [178]. Des pseudo-lignes de courant sont tracées afin de vérifier les indications fournies
par ces nombres de Stokes.
• la distribution statistique des vitesses axiales particulaires dans la CTRZ permet de confirmer certaines
tendances identifiées précédemment.
• la comparaison entre les profils expérimentaux et numériques permet finalement d’estimer la
prédictivité de la méthode SGE sur cette configuration.
Observation des champs moyens de fraction volumique de particules dans le jet primaire
La Figure 7.19 compare les champs moyens de fraction volumique de particules au sein du jet primaire.
Les tendances observées sur les champs instantanés de la Fig. 7.17 sont confirmées. En particulier, les
particules les plus lourdes s’avancent profondément dans la CTRZ avant de s’arrêter.
FIG. 7.19 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de fraction volumique de particules au sein
du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60).
142

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Observation des champs de traînée axiale
Dans les calculs monodisperses, la correction de Schiller & Nauman [160] (cf. la Table 1.1) est utilisée
dans l’expression de la force de trainée mais cette relation est valide uniquement pour un nombre de Reynolds
particulaire Re p < 1000.
La Figure 7.20 montre des champs de nombres de Reynolds particulaires extraits des champs moyens de
vitesse. Ce nombre est compris entre 1 et 100 dans les 3 calculs, ce qui impose de prendre en compte la
correction de Schiller & Nauman [160] dans les simulations.
a.
b. c.
FIG. 7.20 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de nombres de Reynolds particulaires
axiaux en coupe transverse (Y = 0) (a. calcul M30 ; b. calcul M45 ; c. calcul M60).
La force de traînée qui s’exerce sur une particule sphérique s’écrit :
avec τ p défini dans l’Eq. 1.20.
F D = u g − u l
τ p
(7.2)
La Figure 7.21 présente le champ de traînée axiale (membre de droite de l’Eq. 7.2) obtenu dans chaque
calcul monodisperse. Deux zones apparaissent clairement :
1. une zone de ralentissement au bout du jet primaire. Cette zone est plus allongée et plus éloignée de la
bouche de l’injecteur dans le calcul M60 que dans les deux autres calculs. Cette observation rejoint le
fait que la poche d’accumulation des particules soit plus allongée dans le calcul M60 (Fig. 7.19).
2. une zone d’accélération assimilée au jet secondaire. Cette zone est plus courte pour les particules les
143

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
plus massives, ce qui reflète une réponse plus faible des particules lourdes à l’accélération de l’air
sortant du tube annulaire.
FIG. 7.21 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de traînée axiale en coupe transverse (Y =
0) (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60).
144

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Nombres de Stokes et pseudo-lignes de courant
Afin de caractériser qualitativement la dynamique axiale des particules en fonction de leur localisation
dans l’écoulement, Sommerfeld & Qiu [178] a proposé de considérer deux nombres de Stokes. Un troisième
nombre de Stokes est construit afin de représenter le mouvement azimutal des particules une fois qu’elles
ont quitté la CTRZ.
• Définition du nombre de Stokes S 1
Le premier nombre de Stokes noté S 1 caractérise le comportement des particules dans la zone qui
s’étend de la sortie de l’injecteur jusqu’au point de stagnation amont de la CTRZ (i.e. le jet primaire).
Ce nombre s’écrit de la manière suivante :
S 1 = τ p
τ s
(7.3)
avec τ s = (∆x s /u g0 ) un temps de convection des particules dans le jet primaire et τ p le temps de relaxation
des particules défini dans l’Eq. 1.20. ∆x s est la distance axiale séparant le point de stagnation
amont de la sortie de l’injecteur et u g0 est la vitesse du gaz à l’injection. Pour le facteur correctif f qui
apparaît dans l’Eq. 1.20, on reprend la formule de Sommerfeld & Qiu [178] :
f =
2ρ (
l
1 + 1 )
ρ g + 2ρ l 6 Re0.66 p
(7.4)
avec
Re p = d p|u p0 − u g0 |
ν g
où u p0 est la vitesse axiale particulaire en sortie d’injecteur, d p est le diamètre des particules et ν g est
la viscosité dynamique du fluide porteur.
Sommerfeld & Qiu [178] proposent des valeurs pour les variables ∆x s , u g0 et u p0 mais ces valeurs
peuvent être extraites directement des calculs SGE. La Table 7.1 récapitule les valeurs proposées par
Sommerfeld & Qiu [178] et celles trouvées dans les calculs SGE.
Calculs SGE Calcul de [178]
∆x s [m] 0.100 0.073
u p0 [m/s] 13.0 12.0
u g0 [m/s] 12.65 12.5
TAB. 7.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Données nécessaires au calcul de S 1 .
La distance ∆x s est sous-estimée dans le calcul de Sommerfeld & Qiu [178] par rapport à la valeur
donnée par le calcul SGE (Fig. 7.6). u p0 est légèrement surestimée dans le calcul SGE, résultat d’une
relaminarisation de l’écoulement particulaire dans le tube d’amenée du jet primaire. Les deux valeurs
de u g0 sont très proches.
• Définition du nombre de Stokes S 2
Le second nombre de Stokes noté S 2 décrit la dynamique des particules une fois qu’elles ont pénétré
dans la CTRZ. Sommerfeld & Qiu [178] construit S 2 en divisant la durée de freinage de la particule
145

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
dans la CTRZ (t p0 ) par un temps de convection de la particule dans la CTRZ (t int ) :
S 2 = t p0
t int
(7.5)
avec t int défini par t int = (L CT RZ /u p avg ). L CT RZ est la longueur de la CTRZ et u p avg est une
vitesse moyenne des particules dans la CTRZ.
Sommerfeld & Qiu [178] s’appuient sur le développement analytique d’un écoulement de Stokes
monodimensionnel pour dériver S 2 . Ainsi, dans un tel écoulement et en négligeant la gravité, il est
possible d’écrire la forme intégrée sur le temps ∆t de l’équation du mouvement des particules :
(
du p
dt = u g − (u g − u ps ) exp − ∆t )
(7.6)
τ p
où u p est la vitesse de la particule, u g est la vitesse du gaz et u ps est la vitesse de la particule au point
de stagnation amont. La vitesse u ps est obtenue à partir de :
(
u ps = u p0 exp − 1 )
∆x s
(7.7)
τ p u p0
Si la particule pénètre dans la CTRZ, le temps t p0 requis pour que la particule s’arrête s’écrit :
( )
ug min − u ps
t p0 = τ p ln
u g min
avec u g min la vitesse axiale gazeuse minimum dans la CTRZ. L’Equation 7.8 permet d’écrire une
vitesse moyenne u p avg des particules dans la CTRZ :
u p avg =
(7.8)
∫ tp0
0
u p dt
t p0
(7.9)
Sommerfeld & Qiu [178] proposent des valeurs pour les variables L CT RZ , u p avg , u ps et u g min mais
ces valeurs peuvent également être extraites des calculs SGE. La Table 7.2 récapitule les valeurs
proposées par Sommerfeld & Qiu [178] et celles trouvées dans les calculs M30, M45 et M60.
Calcul M30 Calcul M45 Calcul M60 Calcul de [178]
L CT RZ [m] 0.230 0.230 0.230 0.252
u p avg [m/s] 1.15 1.60 3.19 —
u ps [m/s] 2.30 3.20 6.39 —
u g min [m/s] -1.70 -1.70 -1.70 -2.15
TAB. 7.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Données nécessaires au calcul de S 2 .
Les vitesses axiales moyennes des particules décroissent linéairement le long de l’axe central dans
la CTRZ comme on peut le voir sur la Fig. 7.22. A partir de cette décroissance de u p , on déduit
u p avg = 0.5 u ps . La longueur de la CTRZ (L CT RZ ) est supérieure dans le cas de Sommerfeld & Qiu
[178] car le point de stagnation amont est décalé dans ses calculs (cf. la Table 7.1).
• Comparaison SGE/Expérience des valeurs de S 1 et S 2
La Table 7.3 compare les nombres de Stokes S 1 et S 2 reconstruits à partir des grandeurs directement
extraites des champs moyens des calculs SGE (U ps , u p0 , u g0 , u p avg , ∆x s , u g min et L CT RZ ) aux
146

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Vitesse axiale des particules (m/s)
7
6
5
4
3
2
1
Calcul M30
Calcul M45
Calcul M60
0
0
5
10
15
20
25
30
35
X (m)
40
45
50
55
60
65
70x10 -3
FIG. 7.22 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Diminution de la vitesse axiale moyenne des particules le
long de l’axe central dans la CTRZ (—○— : calcul M30 ; —□— : calcul M45 ; —△— : calcul M60). L’abscisse (X
= 0) correspond ici au point de stagnation amont de la CTRZ.
nombres de Stokes obtenus analytiquement par Sommerfeld & Qiu [178].
Diamètre [µm] Nombre de Stokes S 1 Nombre de Stokes S 2
Calcul de [178] Calcul SGE Calcul de [178] Calcul SGE
30 1.02 0.84 0.05 0.03
45 2.27 1.80 0.21 0.12
60 3.92 3.09 0.47 0.61
TAB. 7.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Nombres de Stokes caractéristiques des particules dans le jet
primaire (S 1 ) et dans la CTRZ (S 2 ).
Les valeurs de S 1 déduites des simulations sont toujours inférieures aux valeurs de Sommerfeld & Qiu
[178], ce qui est principalement dû au décalage du point de stagnation amont dans l’analyse de Sommerfeld
& Qiu [178]. Concernant S 2 , les différences résident majoritairement dans la détermination
des valeurs de u p avg et u ps .
Dans le jet primaire caractérisé par le nombre de Stokes S 1 , les valeurs trouvées à partir des calculs
SGE sont en bon accord avec les valeurs dérivées par Sommerfeld & Qiu [178].
Un point intéressant concerne les particules de diamètre 30 microns : la valeur de S 1 légèrement
inférieure à l’unité trouvée dans le calcul SGE indique que ces particules sont entraînées par le gaz et
vont donc s’arrêter avant le point de stagnation amont de la CTRZ.
Par contre, pour les classes de particules plus grosses, S 1 est supérieur à 1. Ces particules sont donc
plus inertielles et peuvent pénétrer dans la CTRZ. Le nombre S 2 nous donne alors une information
supplémentaire sur leur comportement dans la CTRZ : sachant que S 2 < 1, les particules de 45 et 60
microns de diamètre vont s’arrêter dans la CTRZ. Cette analyse rejoint celle de Sommerfeld & Qiu
147

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
[178] qui indique que seules les particules de diamètre supérieur à 80 microns traversent la CTRZ
sans s’arrêter.
• Définition et valeurs du nombre de Stokes S 3
Dans chaque calcul SGE monodisperse, les particules sont finalement éjectées radialement de la
CTRZ. Or, on a vu que la vitesse azimutale du gaz augmentait jusqu’à atteindre un palier à mesure
que l’on s’éloigne de l’axe central (Fig. 7.12). On peut donc construire un nombre de Stokes S 3 pour
vérifier la réponse des particules à une sollicitation azimutale du fluide porteur en périphérie de la
CTRZ.
Le nombre de Stokes S 3 divise un temps de relaxation de la particule noté τ p ext par un temps caractéristique
τ g rot de rotation du gaz dans la périphérie de la CTRZ :
S 3 = τ p ext
τ g rot
(7.10)
On définit τ p ext exactement de la même manière que dans l’Eq. 1.20 avec la même formulation du
facteur correctif f que dans l’Eq. 7.4, soit :
avec :
τ p ext =
ρ l d 2 p
( ) (7.11)
18µ 2ρl
g ρ g+2ρ l
(1 + 1 6 Re0.66 p ext )
Re p ext = d p|u p ext − u g ext |
ν g
où u p ext et u g ext sont respectivement les vitesses azimutales de la particule et du fluide porteur en
dehors de la CTRZ. Ces vitesses sont déterminées à l’abscisse X = 155mm et à un rayon de 90mm et
sont données dans la Table 7.4.
Le temps τ g rot est défini comme le temps mis par le gaz pour effectuer une rotation autour de l’axe
central, soit :
τ g rot =
2πr
U g ext
(7.12)
On choisit r = 90mm, ce qui donne une étendue radiale plus grande que la CTRZ tout en restant
suffisamment éloigné de la paroi. La Table 7.4 quantifie les données nécessaires au calcul de S 3 .
Calcul M30 Calcul M45 Calcul M60
U g ext [m/s] 2.25 2.25 2.25
U p ext [m/s] 2.03 1.87 1.78
TAB. 7.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Données nécessaires au calcul de S 3 .
La Table 7.5 récapitule les valeurs de S 3 obtenues pour chaque calcul monodisperse.
Pour les trois classes de taille de particule étudiées, les valeurs de S 3 sont très inférieures à 1. Ces
trois classes de particules ont donc sensiblement le même comportement : elles vont toutes tourner
148

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Calcul M30 Calcul M45 Calcul M60
S 3 0.019 0.034 0.052
TAB. 7.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Nombres de Stokes caractéristiques des particules à la
périphérie de la CTRZ (S 3 ).
autour de la CTRZ, les particules les plus petites étant aussi les plus rapides.
• Pseudo-lignes de courant
La Figure 7.23 montre des pseudo-lignes de courant extraites de champs moyens pour chaque calcul
SGE monodisperse. On parle ici de pseudo-lignes de courant car en projetant les vecteurs vitesse de
la phase particulaire dans le plan transverse, on perd l’information liée à la composante normale de
vitesse. Le comportement de chaque classe de particule semble fidèle à l’analyse faite sur les nombres
de Stokes S 1 et S 2 .
Abscisse du point de
stagnation amont de la
CTRZ sur l’axe central
Abscisse du point de
stagnation amont de la
CTRZ sur l’axe central
FIG. 7.23 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Pseudo-lignes de courant dans la coupe transverse (Y = 0)
pour chaque calcul SGE monodisperse. Les pseudo-lignes de courant sont extraites à partir de coupes transverses de
champs moyens et débutent à la condition d’injection primaire.
La Figure 7.24 donne un aperçu du mouvement azimutal des particules en fonction de leur taille.
Comme suggéré par le nombre de Stokes S 3 , les trois classes de particules entament toutes une
rotation en bordure de la CTRZ. Les plus petites particules conservent une grande cohérence dans
leur mouvement d’ensemble tandis que les plus grosses s’éparpillent bien plus.
149

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.24 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Lignes de courant dans le jet primaire puis dans la chambre
de test (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60).
150

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Distributions statistiques de vitesse axiale dans la CTRZ
La section précédente a permis d’identifier la CTRZ comme étant une zone majeure pour expliquer la
dynamique des particules. Afin de pousser l’analyse, on extrait la vitesse axiale moyenne résolue du gaz et
des particules dans chaque maille appartenant à la CTRZ afin de vérifier les tendances mises en avant dans
les sections qui précèdent. La CTRZ (cf. la Fig. 7.8) est identifiée par deux critères : un critère géométrique
pour ne pas inclure les zones de recirculation en coin (CRZ) et un critère standard sur la vitesse axiale
moyenne du gaz : < u g,x > ≤ 0.
La Figure 7.25 présente les densités de probabilité de vitesse axiale moyenne pour les particules et le gaz
dans la CTRZ. Dans les 3 calculs monodisperses, le nombre de mailles identifiées comme appartenant à
la CTRZ est égal à 105000 ± 5%, ce qui permet d’extraire des statistiques raisonnables. Les remarques
suivantes peuvent être faites :
⊲ Les plus grosses particules atteignent un niveau de vitesse axiale globalement plus fort que les plus
petites, ce qui rejoint les analyses menées précédemment. Dans le même esprit, la proportion de particules
ayant une vitesse négative est plus forte dans le calcul M30 que dans le calcul M60.
⊲ Dans chaque calcul monodisperse, une forte proportion de particules est à l’arrêt (du moins axialement).
Ces particules à l’arrêt s’accumulent dans la CTRZ. Pour quitter la CTRZ, ces particules
doivent acquérir une composante radiale de vitesse, composante que le gaz peut leur transférer par
traînée.
a.
b. c.
FIG. 7.25 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité des vitesses axiales moyennes
résolues de chaque phase dans la CTRZ (a. calcul M30 ; b. calcul M45 ; c. calcul M60) - 105000 échantillons ± 5%
dans les 3 calculs.
151

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Profils radiaux des vitesses axiales moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Expérience sur les trois
classes de taille
Les Figures 7.26, 7.27 et 7.28 montrent la comparaison des profils calculés et mesurés de vitesse axiale
moyenne sur des particules de 30, 45 et 60 microns de diamètre respectivement. On notera qu’il n’y a pas
assez de particules détectées dans les mesures près de l’axe central à X = 315mm, ce qui n’autorise pas une
comparaison SGE/Expérience à cet endroit.
Les particules les plus petites ont une vitesse axiale légèrement plus forte que dans l’expérience sur les
premiers profils (profils jusqu’à X = 52mm de la Fig. 7.26). La survitesse calculée près de l’axe central
est due à une relaminarisation artificielle de l’écoulement particulaire dans le jet primaire. La survitesse
particulaire dans le jet secondaire est directement la conséquence de la surestimation de la vitesse axiale
moyenne par rapport à l’expérience dans ce même jet (Fig. 7.11). En revanche, sur le bord externe du jet
primaire (profil à X = 3mm de la Fig. 7.26), la chute de vitesse est trop rapide par rapport aux mesures. En
aval, la vitesse axiale moyenne calculée est légèrement plus faible que dans l’expérience.
Les particules de diamètre médian (45µm) conservent longtemps une vitesse axiale supérieure à l’expérience
près de l’axe central (profils jusqu’à X = 112mm de la Fig. 7.27). Dans la CTRZ, leur vitesse axiale baisse
trop vite (profils à X = 155 et 195mm de la Fig. 7.27). La centrifugation des particules dans le jet secondaire
est bien capturée, même si les niveaux de vitesse axiale s’avèrent un peu trop faibles à cet endroit (profils à
partir de X = 85mm de la Fig. 7.27).
Tout comme les particules de 45 microns, les particules les plus grandes conservent longtemps une vitesse
axiale supérieure à l’expérience près de l’axe central (profils jusqu’à X = 112mm de la Fig. 7.28). Dans la
CTRZ, leur vitesse axiale est d’abord trop élevée (profil à X = 112mm de la Fig. 7.28) avant de baisser trop
vite (profils à X = 155 et 195mm de la Fig. 7.28). Les particules éjectées de la CTRZ acquièrent trop peu de
vitesse axiale dans le jet secondaire par rapport à l’expérience (profils à partir de X = 85mm de la Fig. 7.28).
L’accord est globalement bon entre les mesures et les calculs monodisperses. Les différences qui existent
entre les calculs et les mesures peuvent être attribuées à de nombreux facteurs :
⊲ le raffinement local du maillage : ce facteur conditionne fortement la qualité des résultats car le
filtrage dans l’approche SGE est liée à la taille de maille. Le déraffinement reste progressif en aval de
l’injecteur mais l’effet est sensible dans la CTRZ.
⊲ la précision du schéma numérique : le schéma TTGC (Colin & Rudgyard [33]) est d’ordre 3 en
espace, ce qui assure un bien meilleur niveau de précision par rapport à un schéma d’ordre plus faible.
⊲ le modèle de sous-maille sur la phase particulaire : ce modèle prend en compte la compressibilité
de la phase particulaire, notamment dans la poche d’accumulation au sein de la CTRZ.
⊲ les imprécisions sur la dynamique de la phase porteuse : les statistiques de la phase porteuse
conditionnent fortement les statistiques de la phase dispersée via la traînée.
⊲ la loi de traînée : pour des particules rigides et sphériques, la loi de traînée issue de la relation de
Schiller & Nauman [160] est valide pour des nombres de Reynolds particulaires inférieures à 1000, ce
qui est le cas dans la configuration de Sommerfeld & Qiu [177] (cf. la section 7.2.2).
⊲ le couplage direct entre les deux phases : l’influence de la phase dispersée sur le gaz est a priori
faible pour les fractions volumiques de liquide rencontrées dans la configuration de Sommerfeld &
Qiu [177].
152

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Calcul M30
Mesures à 30 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
10
0
10
0
10
0
5
0
2
4
0
5
0
5
0.0
2.5
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.26 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 30 microns ; trait plein : calcul M30).
Calcul M45
Mesures à 45 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
10
0
10
0
10
0
6
0
2
4
0
5
0
5
0.0
2.5
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.27 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 45 microns ; trait plein : calcul M45).
153

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Calcul M60
Mesures à 60 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
10
0
10
0
10
0
4
8
0
6
0
2
4
0
2
4
0.0
2.5
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.28 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 60 microns ; trait plein : calcul M60).
154

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Les Figures 7.29, 7.30 et 7.31 montrent la comparaison des profils calculés et mesurés de vitesse axiale
fluctuante sur des particules de 30, 45 et 60 microns de diamètre. On rappelle que le mouvement décorrélé
(section 2.3.3) n’est pas pris en compte explicitement dans les calculs SGE monodisperses et que la vitesse
fluctuante montrée ici ne correspond qu’aux fluctuations des échelles résolues de la phase dispersée.
Les particules les plus petites ont une amplitude de fluctuation sur la vitesse axiale qui reste proche des
mesures de Sommerfeld & Qiu [177, 178] (Fig. 7.29). Les différences les plus importantes sont observées
près de l’axe central sur les profils à X = 155 et 195mm où l’amplitude des fluctuations est largement
sous-estimée dans le calcul M30. Sur le profil à X = 3mm, le niveau de fluctuation est très faible dans
le jet primaire malgré l’injection de turbulence sur la phase dispersée en entrée. Cette turbulence semble
partiellement dissipée dans le tube d’amenée et le calcul récupère le bon niveau de turbulence près de l’axe
dès le profil à X = 25mm (Fig. 7.29). Cette dernière observation est faite sur les 3 calculs monodisperses,
cet ajustement étant plus rapide pour les particules les moins inertielles.
Pour les particules de diamètre intermédiaire (45µm), les niveaux de fluctuation calculés sont globalement
un peu plus faibles que dans les expériences (Fig. 7.30). C’est seulement au début de la CTRZ que l’amplitude
des fluctuations s’avère supérieure au niveau mesuré.
Les plus grosses particules montrent globalement des niveaux légèrement inférieurs aux mesures
expérimentales. En particulier, le pic de fluctuation dans la couche de mélange n’est pas retrouvé dans le
calcul M60 (profils à X = 25 et 52mm de la Fig. 7.31). Ce déficit traduit le fait que si les particules inertielles
perdent une partie de leurs fluctuations de vitesse imposée en entrée, elles mettront du temps à récupérer
une agitation turbulente par traînée avec le gaz plus en aval.
Calcul M30
Mesures à 30 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0.0
2.5
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0 0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.29 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l,x
aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 30 microns ; trait plein : calcul M30).
155

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Calcul M45
Mesures à 45 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0.0
1.5
0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.30 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l,x
aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 45 microns ; trait plein : calcul M45).
Calcul M60
Mesures à 60 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.31 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l,x
aux 8
stations de mesure (symboles : mesures expérimentales à 60 microns ; trait plein : calcul M60).
156

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : Différenciation des comportements suivant la taille
des particules
Dans cette section, l’accent est mis sur le comportement différencié des particules suivant leur taille
dans les 3 calculs SGE. Les mesures expérimentales permettent de vérifier les tendances observées sur les
calculs car elles représentent les mêmes populations de particules.
Les Figures 7.32, 7.33 et 7.34 reprennent les profils des Fig. 7.26 à 7.28 et présentent la comparaison sur
les 3 tailles de particules des profils calculés et mesurés des vitesses moyennes axiale, azimutale et radiale
respectivement.
Plusieurs observations sur les différences de comportement des particules dans chaque calcul monodisperse
peuvent être faites au vu des profils de vitesse moyenne :
⊲ sur les profils de vitesse axiale moyenne (Fig. 7.32), on observe les plus fortes disparités de comportement
des particules dans la CTRZ. En effet, seules les plus petites particules ont suffisamment peu
d’inertie pour s’adapter rapidement à la vitesse du gaz dans la CTRZ. Elles ralentissent donc beaucoup
plus rapidement que les plus grosses qui conservent plus longtemps leur inertie initiale, et donc des
niveaux de vitesse supérieurs. En dehors de la CTRZ, les particules récupèrent les profils de vitesse
axiale moyenne, quelle que soit leur taille.
Les calculs s’éloignent des mesures principalement dans la CTRZ. Au début de la CTRZ (profils à X
= 85 et 112mm de la Fig. 7.32), les 3 calculs SGE montrent des comportements plus différenciés que
dans l’expérience. La situation s’inverse plus loin en aval (profil à X = 195mm de la Fig. 7.32).
⊲ sur les profils de vitesse azimutale moyenne (Fig. 7.33), un léger décalage entre les classes de taille
est perceptible dans le jet secondaire. Une fois de plus, c’est l’inertie des particules qui détermine
leur niveau de vitesse azimutale. Ainsi, les particules de diamètre 30µm acquièrent dès l’abscisse
X = 25mm des niveaux de vitesse azimutale supérieurs aux deux autres classes de taille. Les plus
petites particules vont donc tourner longtemps autour de la CTRZ tandis que les plus grosses particules
vont traverser la CTRZ, cette remarque rejoignant les tendances observée sur les nombres de Stokes
reconstruits (section 7.2.2). Ce phénomène accroît donc le temps de résidence des petites particules
dans la chambre de test.
Les mesures confirment le très faible effet de la taille des gouttes sur leurs niveaux de vitesse azimutale.
Sachant que les 3 populations de particules présentent un différentiel de vitesse azimutale assez faible
par rapport au gaz, il n’est pas étonnant d’observer une faible dispersion par la traînée dans cette
direction.
⊲ sur les profils de vitesse radiale moyenne (Fig. 7.34), l’arrachement radial de particules à partir du jet
primaire se fait à des temps différents pour chaque classe de taille de particule. Comme on pouvait s’y
attendre, les particules les plus légères sont arrachées en premier (profil à X = 52mm de la Fig. 7.34)
puis la tendance s’inverse brutalement (profil à X = 155mm de la Fig. 7.34) avec un arrachement
maximal pour les particules de diamètre 60µm. On notera aussi que les particules gardent des niveaux
élevés de vitesse radiale bien plus longtemps que la phase porteuse.
Les mesures montrent effectivement un effet de la taille des gouttes dans le sillage du jet secondaire
mais aussi dans la CTRZ (profil à X = 155mm de la Fig. 7.34), ce dernier phénomène n’étant pas
retrouvé dans les calculs SGE monodisperses.
Il ressort de ces observations que la taille et le différentiel de vitesse des particules avec le gaz dictent leur
comportement dans la chambre de test. Les plus petites ressentent très tôt les sollicitations du gaz tandis que
les plus grosses atténuent voire ignorent ces mêmes sollicitations.
157

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.32 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne aux 8 stations de
mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ;
△ : mesures à 60 µm).
158

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.33 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse azimutale moyenne aux 8 stations
de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ;
△ : mesures à 60 µm).
159

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.34 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse radiale moyenne aux 8 stations de
mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à 45 µm ;
△ : mesures à 60 µm).
160

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Le différentiel de vitesse entre les deux phases est particulièrement important sur l’axe central, ce qui
implique que la dynamique des particules est fortement conditionnée par la force de traînée suivant la
direction axiale.
La Figure 7.35 compare les profils de vitesse axiale et la force de traînée axiale dans le calcul M45 et sur les
mesures le long de l’axe de la configuration.
La trainée axiale des particules est proche dans le calcul M45 et dans les mesures. La vitesse axiale des
particules est surestimée dans le calcul M45 jusqu’à X = 80mm, ce qui conduit à une trainée axiale adverse
plus importante dans le calcul. Dans la CTRZ, à partir de X = 105mm, la trainée axiale adverse diminue en
amplitude et la vitesse axiale des particules baisse de manière plus progressive.
12
0
Vitesse axiale (m/s)
10
8
6
4
2
0
Calcul M45
Mesures à 45 microns
Trainée des particules (m/s 2 )
-200
-400
-600
-800
Terme de trainée (à partir des mesures)
Terme de trainée (calcul M45)
-1000
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
X (m)
X (m)
a. b.
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
FIG. 7.35 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - a. Profil de vitesse axiale des particules à 45 microns le long
de l’axe central (—□— : calcul M45 ; —○— : mesures à 45 microns) ; b. Traînée axiale des particules à 45 microns
le long de l’axe central (- - - - : calcul M45 ; —○— : mesures à 45 microns).
Les Figures 7.36, 7.37 et 7.38 présentent la comparaison des profils moyens calculés et mesurés des vitesses
fluctuantes axiale, azimutale et radiale respectivement et cela pour chacune des 3 tailles de particule étudiées.
Prédire des niveaux satisfaisants de fluctuations de vitesse sur la phase porteuse est insuffisant pour
assurer une prédictivité correcte des fluctuations de vitesse particulaire. Il faut prendre en compte deux
problématiques supplémentaires :
1. le formalisme SGE pour la phase dispersée implique le calcul d’une fluctuation de sous-maille des
particules, ce qui est fait dans les calculs SGE présentés via le modèle de Moreau [123] intégré par
Riber [151]. Apte et al. [4] a montré que la contribution de sous-maille directement issu du champ
particulaire avait une importance mineure dans cette configuration au vu de la très faible charge volumique
en particules mais peut cependant drastiquement augmenter avec cette même charge. En effet,
augmenter la charge en particules renforce le couplage inverse avec la phase porteuse et peut conduire
à une augmentation de la fluctuation des vitesses gazeuses.
2. le mouvement décorrélé des particules par rapport à la phase porteuse génère une contribution sur les
fluctuations des vitesses particulaires. Février et al. [59] a été le premier à montrer que la proportion
de cette contribution décorrélée dans l’énergie cinétique totale des particules augmentait avec leur
inertie, ce que Vance et al. [192] a confirmé dans son calcul de canal. On s’attend donc à observer un
plus grand écart entre les fluctuations mesurées et calculées pour les plus grosses particules.
L’analyse des champs fluctuants moyens est détaillée suivant chaque composante de vitesse :
161

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
⊲ les profils calculés de vitesse axiale fluctuante (Fig. 7.36) montrent des pics au niveau des couches de
cisaillement entre les jets. Le calcul M30 montre les niveaux les plus forts dans le jet primaire et dans
le sillage du jet secondaire. Dans le coeur de la CTRZ, le calcul M60 montre l’amplitude de fluctuation
la plus forte.
La comparaison avec les mesures montrent que le calcul M30 est globalement plus proche des fluctuations
rapportées par Sommerfeld & Qiu [177, 178] que les deux autres calculs. Seuls les profils à
X = 155 et 195mm près de l’axe central présentent un niveau de fluctuation beaucoup trop faible dans
le calcul M30 comparativement aux deux autres calculs.
⊲ les profils calculés de vitesse azimutale fluctuante (Fig. 7.37) montrent un seul pic au niveau de la
couche de cisaillement entre le jet secondaire et de l’air qui l’entoure. Le calcul M30 montre globalement
les niveaux de fluctuation les plus forts. Seul le profil à X = 195mm près de l’axe voit l’amplitude
de fluctuation du calcul M30 tomber en dessous de celle des deux autres simulations. Dans
l’ensemble, l’amplitude des fluctuations est très proche pour les trois tailles de particule, ce qui rejoint
les tendances observées sur les vitesses moyennes particulaires.
La comparaison avec les mesures montrent que les tendances observées sur les calculs sont correctes.
L’accord entre les mesures et les calculs diminue sur les profils les plus éloignés, ce qui va de pair avec
un déraffinement du maillage à mesure que l’on s’éloigne de l’injecteur.
⊲ les profils calculés de vitesse radiale fluctuante (Fig. 7.38) montrent très peu de différences entre les
trois calculs monodisperses. Néanmoins, ce sont toujours les plus petites particules qui présentent les
plus forts niveaux d’agitation.
La comparaison avec les mesures montrent que les tendances observées sur les calculs sont correctes.
Cependant, les mesures indiquent plus de séparation entre les trois populations de particules sur les
trois derniers profils de la Fig. 7.38 (X = 155 à 315mm), le maillage étant trop grossier pour capturer
cette différenciation.
Il ressort de ces observations que les niveaux d’agitation particulaire diminuent globalement avec une
augmentation de la taille des particules. Cette remarque s’applique aussi bien sur les profils calculés que sur
les profils mesurés et traduit la moindre réactivité des plus grosses particules aux sollicitations de la phase
porteuse. De plus, l’amplitude des fluctuations calculées est globalement plus faible que dans l’expérience,
ce qui semble confirmer que la contribution de mouvement décorrélé est nécessaire pour obtenir des niveaux
corrects de fluctuation.
La section 7.2.2 présente une méthode de reconstruction de l’agitation particulaire directement issue du
mouvement décorrélé. Cette méthode a été proposée par Février et al. [59], Vance et al. [192] et permet
d’ajouter la contribution du RUM aux vitesses fluctuantes corrélées ŭ ′ p,i présentées sur les Fig. 7.36 à 7.38.
162

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.36 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale fluctuante aux 8
stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à
45 µm ; △ : mesures à 60 µm).
163

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.37 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale fluctuante aux 8
stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à
45 µm ; △ : mesures à 60 µm).
164

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.38 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale fluctuante aux 8
stations de mesure (— : calcul M30 ; — — : calcul M45 ; — - — : calcul M60 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ : mesures à
45 µm ; △ : mesures à 60 µm).
165

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Reconstruction a posteriori de la contribution du mouvement décorrélé et impact sur les profils radiaux
des champs moyens de vitesses fluctuantes
• Reconstruction de la contribution de mouvement décorrélé par la formule de Vance et al. [192]
Une partie de l’agitation des particules est due à l’énergie du mouvement décorrélé (RUE) notée 〈δ˘θ l 〉 l
(Eq. 2.72). En effet, l’énergie fluctuante totale des particules se scinde en deux contributions suivant
la relation :
1
2 〈u′ p,k u′ p,k 〉 1
l
=
} {{ }
2 〈ŭ′ l,kŭ′ l,k 〉 l + 1
} {{ } 2 〈δu p,kδu p,k 〉 l
} {{ }
Energie cinétique fluctuante particulaire totale Contribution corrélée Contribution décorrélée
(7.13)
Même si l’énergie RUE n’est pas tranportée dans les simulations, il est possible d’approximer a posteriori
cette contribution via la formule proposée par Février et al. [59], Vance et al. [192]. Cette
formule fait intervenir les corrélations de vitesse fluctuante sur chaque phase prise séparément (〈u ′2
p,k 〉 l
et 〈u ′2
f,k 〉 l pour les phases particulaire et porteuse respectivement) mais aussi entre les deux phases
(〈u ′ p,k u′ f,k 〉 l) :
√
〈u ′2
p,k 〉 l = 〈ŭ ′2
√
l,k 〉 √ 〈u′2 g,k 〉 l
l
〈u ′ p,k u′ f,k 〉2 l
p,k 〉 l〈u ′2
(7.14)
Les 3 types de corrélation de vitesse sont directement obtenues en sortie des calculs SGE monodisperses.
Février et al. [59] a mis en avant 3 propriétés très importantes de la vitesse particulaire décorrélée qui
vont nous permettre de simplifier l’écriture de l’Eq. 7.14 :
1. la vitesse particulaire décorrélée δu p n’est pas corrélée à la vitesse fluctuante du fluide porteur
(i. e. 〈δu p u ′ g〉 l = 0),
2. la vitesse particulaire décorrélée δu p n’est évidemment pas corrélée à la vitesse fluctuante particulaire
corrélée (i. e. 〈δu p ŭ ′ l 〉 l = 0),
3. la vitesse particulaire décorrélée δu p n’est pas corrélée à elle-même pour deux particules distinctes
m ≠ n (i. e. 〈δu (m)
p δu (n)
p 〉 l = 0).
En décomposant la vitesse particulaire fluctuante suivant la relation u ′ p = ŭ ′ p + δu p puis en se servant
des 3 propriétés précédentes, il devient possible d’écrire l’Eq. 7.14 sous la forme :
√
〈u ′2
p,k 〉 l = 〈ŭ ′2
√
l,k 〉 √ 〈ŭ′2 g,k 〉 l
l
〈ŭ ′ l,k u′ g,k 〉2 l
l,k 〉 l〈u ′2
(7.15)
La Figure 7.39 présente la fraction de l’énergie cinétique totale des particules qui correspond à leur
mouvement corrélé dans le calcul d’écoulement de canal de Vance et al. [192]. On voit que les particules
les plus inertielles (i. e. possédant le nombre de Stokes le plus élevé) sont celles qui concentrent
le plus d’énergie cinétique issue de leur mouvement décorrélé, à l’inverse des particules les moins
inertielles.
166

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.39 - Rapport de l’énergie cinétique particulaire corrélée sur l’énergie cinétique particulaire totale pour 3
nombres de Stokes (+ : St = 0.1625 ; △ : St = 0.65 ; ○ : St = 2.60) en fonction de y + (Calcul de Vance et al. [192]
sans les collisions inter-particules).
• Analyse des résultats sur la vitesse fluctuante des particules
La Figure 7.40 présente la corrélation 〈ŭ ′ pu ′ g〉 l sur les composantes axiales des vitesses de chaque
phase. Sur les 3 calculs SGE monodisperses, cette corrélation est localisée sur le bord interne du jet
secondaire ainsi qu’à l’extrémité du jet primaire. De plus, on remarque que son amplitude baisse
quand on passe du calcul M30 au calcul M60, ce qui reflète une corrélation moindre des particules les
plus lourdes par rapport au mouvement axial du fluide porteur.
a. b.
c.
FIG. 7.40 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de la corrélation des vitesses axiales
fluctuantes de chaque phase 〈ŭ ′ p,axial u′ g,axial 〉 l (a. : calcul M30 ; b. : calcul M45 ; c. : calcul M60).
167

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Les Figures 7.41 à 7.49 présente les profils radiaux des vitesses fluctuantes totales axiale, radiale et
tangentielle des particules pour chaque calcul SGE monodisperse. La vitesse fluctuante totale des
particules est directement comparable aux mesures expérimentales. La vitesse fluctuante corrélée des
particules est aussi montrée afin de pouvoir mesurer l’apport de la contribution du RUM calculée
via l’Eq. 7.15. En considérant les temps de Stokes associés aux trois classes de taille de particule
(section 7.2.2), on peut s’attendre à des contributions du RUM très différentes pour chaque classe de
taille.
Ainsi, pour les petites particules du calcul M30, les statistiques fluctuantes corrélées étaient déjà très
proches des valeurs expérimentales, en accord avec la tendance observée par Février et al. [59], Vance
et al. [192]. La reconstruction du RUM sur la vitesse fluctuante décorrélée s’ajoute artificiellement à
une fluctuation corrélée déjà proche des valeurs expérimentales, Cet effet est particulièrement visible
sur les profils de vitesse axiale à X = 52mm et X = 85mm (Fig. 7.41). Sur les deux autres composantes,
la contribution reconstruite du RUM est bien plus faible et permet de retrouver des amplitudes de
fluctuation plus fidèles à l’expérience dans le coeur de la CTRZ et dans le sillage du jet secondaire.
Sur les profils radiaux du calcul M45, le même constat s’impose sur la vitesse axiale fluctuante des
particules : elle reste largement surestimée, surtout près de l’axe central entre les abscisses X = 85mm
et X = 155mm (Fig. 7.44). Pour les deux autres composantes, la contribution du RUM reconstruite
a posteriori reste très faible près de l’axe central alors qu’elle augmente légèrement les niveaux de
vitesse radiale fluctuante dans le sillage du jet secondaire (profils à X = 85mm et X = 112mm de la
Fig. 7.46).
Pour les particules du calcul M60, la contribution du RUM semble globalement plus forte que dans les
deux autres cas. D’autre part, l’anisotropie de cette contribution est une fois de plus avérée car elle est
beaucoup plus forte sur la composante axiale que sur les deux autres. Le mouvement des particules les
plus lourdes étant majoritairement axial près de l’axe central, la contribution de mouvement décorrélé
se reporte principalement dans cette direction.
7.2.3 Conclusion sur les calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Concernant l’écoulement particulaire, les simulations SGE monodisperses ont établi :
⊲ les bonnes performances du modèle Euler-Euler sur la dynamique de la phase dispersée,
⊲ un comportement différent des particules suivant leur taille et donc leur inertie, les calculs monodisperses
étant globalement en bon accord avec les mesures expérimentales,
⊲ le rôle moteur de la CTRZ et du jet secondaire pour expliquer la dynamique des populations de
particules en sortie d’injecteur,
⊲ un mouvement giratoire assez intense des particules une fois sorties de la CTRZ, et cela même pour
les particules les plus inertielles étudiées.
⊲ l’amélioration nette des fluctuations calculées de vitesse particulaire avec la reconstruction a posteriori
de la contribution du RUM,
⊲ l’anisotropie de la contribution du RUM. Ainsi, la contribution du RUM est ici bien plus importante
sur la composante axiale de la vitesse fluctuante particulaire que sur les deux autres composantes.
Concernant le second point, la CTRZ sur l’écoulement du gaz stoppe la progression du jet primaire dans les
trois calculs SGE monodisperses. Ces calculs ont donc établi que la taille des plus grosses particules (i.e.
60µm) était insuffisante pour traverser en totalité la CTRZ. Les trois populations de particules étudiées sont
éjectées de la CTRZ avant d’entamer un mouvement giratoire autour de cette dernière.
168

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 30 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0 0.0
1.5
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.41 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse axiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 30 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
2
4
6
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
0.4
0.8
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.42 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
169

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 30 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
0.0
1.0
2.0
0.0
2.5
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.43 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M30 - Profils radiaux moyens de vitesse radiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p))
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 45 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
5
10 15
0
2
4
6
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.44 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse axiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
170

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 45 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
10
0
1
2
3
4
0.0
1.5
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
0.4
0.8
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.45 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 45 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
2
4
6
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
2.0
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
0.4
0.8
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.46 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M45 - Profils radiaux moyens de vitesse radiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p))
171

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 60 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
4
8
12
0 1
2 3 4
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.47 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse axiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 60 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
0.0
1.5
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0 0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.48 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p)).
172

7.2 Résultats des calculs SGE monodisperses de l’écoulement particulaire
Vitesse fluctuante corrélée Vitesse fluctuante totale Mesures à 60 microns
90x10 -3
80
70
60
Rayon (m)
50
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
x10 -3
40
30
20
10
0
0
2
4
6
0.0
1.0
2.0
0.0
1.0
2.0
0.0
2.5
0.0
1.0
2.0 0.0
1.0
0.0
1.0 0.0
1.0
x=3mm
x=25mm
x=52mm
x=85mm
x=112mm
x=155mm
x=195mm
x=315mm
FIG. 7.49 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Calcul M60 - Profils radiaux moyens de vitesse radiale
fluctuante des particules (symboles : mesures expérimentales ; trait plein ; vitesse fluctuante corrélée (ŭ ′ p) ; trait
pointillé : vitesse fluctuante totale (u ′ p))
173

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
Grâce aux résultats des simulations SGE monodisperses à 30, 45 et 60 microns, on sait que les particules
se comportent de manière très différente en fonction de leur taille, et donc en fonction de leur
inertie. L’écoulement étant très dilué dans cette configuration (max(α l ) ≃ 5 10 −5 sur tout le volume), les
différentes classes de taille de goutte n’interagissent pas entre elles via d’éventuelles collisions. Cet argument
peut justifier a priori l’étude de l’écoulement polydisperse par une série de simulations monodisperses
à des tailles de particule représentatives de la distribution de tailles mesurée expérimentalement. Cependant,
une alternative à cette stratégie onéreuse en coût de calcul consiste à mener à bien une simulation SGE
polydisperse de l’écoulement particulaire. Avec une telle simulation, il est possible de comprendre globalement
le comportement de toutes les tailles de particules trouvées dans la distribution expérimentale.
Mossa [124] a mené à bien la première simulation polydisperse avec AVBP de l’écoulement particulaire
dans la configuration de Sommerfeld & Qiu [177]. L’objectif est ici de pousser l’analyse en variant deux
paramètres clés du modèle polydisperse : le temps de séparation des particules τ sep (= τ conv dans la
section 3.3) et la vitesse consigne des particules u ∞ .
Afin de mieux cibler la discussion des résultats, l’analyse des simulations polydisperses de l’écoulement
particulaire porte uniquement sur les statistique moyennes de l’écoulement. Elle est organisée comme suit :
Section 7.3.1 : la comparaison du calcul polydisperse P1 (cf. la Table 6.7) avec les 3 calculs monodisperses
est réalisée uniquement sur la vitesse axiale des particules. Cette comparaison montre que la
dynamique polydisperse du nuage de particules est très proche de la dynamique des particules à 45
microns (i.e. le diamètre moyen en nombre D 10 de la distribution expérimentale de Sommerfeld &
Qiu [177]) sauf dans la CTRZ.
Section 7.3.2 : le paramètre u ∞ (Eq. 3.19) constitue la consigne de vitesse vers laquelle les particules
fortement inertielles doivent tendre. Dans le cas particulier où toutes les particules sont injectées à
partir d’une seule entrée, la consigne de vitesse proposée par Mossa [124] est prise égale à la vitesse
des particules à l’injection. On décide de varier ce paramètre afin de voir son influence sur la structure
de l’écoulement, en particulier sur la dynamique des gouttes les plus inertielles.
Section 7.3.3 : le paramètre τ sep est un paramètre essentiel pour capturer la dynamique des particules. Ce
paramètre gère la séparation des différentes classes de taille de particule car il influe sur la valeur du
diamètre virtuel de séparation d St (Eq. 3.20). Mossa [124] avait déjà estimé une valeur optimale de
ce paramètre autour de 15ms et décrit les effets d’un temps de séparation plus petit (τ sep = 4ms) sur
la dispersion des particules. Dans ce travail, les effets de trois différents temps de séparation (τ sep =
7, 15, 50ms) sont évalués qualitativement sur la structure de l’écoulement. On notera que ces trois
temps de séparation appartiennent à l’intervalle des temps de Stokes accessibles à la population de
particules présentes dans l’expérience (cf. Table 6.2).
7.3.1 Comparaison des calculs monodisperses et polydisperses
Dans le calcul polydisperse P1, on reconstruit a posteriori le diamètre moyen en nombre (D 10 défini dans la
Table 3.1) dans chaque maille du domaine de calcul. La CTRZ doit normalement concentrer les particules
de plus gros diamètre tandis que le jet swirlé doit concentrer les particules de plus faible diamètre. Afin de
vérifier ces tendances dans le calcul P1, on extrait le D 10 dans la CTRZ et dans le jet secondaire swirlé. La
CTRZ est définie de la même manière que dans la section 7.2.2 alors que le jet secondaire est localisé par
174

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
les deux conditions suivantes : (< u g,x > ≥ 12m/s) et (< u g,θ > ≥ 2.5m/s).
La Figure 7.50 montre les densités de probabilité en nombre et en masse des particules dans la CTRZ et
dans le jet swirlé.
On voit que le jet swirlé concentre des particules de diamètre inférieur à 45 microns avec un maximum à 42
microns. Par contre, la PDF en nombre dans la CTRZ montre deux pics à 16 et 37 microns et un nombre
assez élevé de grosses particules. Sur la PDF en volume dans la CTRZ, la contribution des petites particules
(i.e. de diamètre inférieur à 40 microns) est totalement négligeable devant celle des plus grosses, ce qui
confirme le fait que les plus grosses particules ont un temps de résidence élevé dans la CTRZ.
FIG. 7.50 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité en nombre et en masse des diamètres
moyens D 10 dans le calcul polydisperse P1 (haut : dans la CTRZ ; bas : dans le jet swirlé).
Pour prolonger l’analyse qualitative réalisée précédemment, on peut comparer les densités de probabilité
sur les vitesses axiales des particules sur tout le domaine de calcul et cela dans les calculs monodisperses
et dans le calcul polydisperse P1. Dans le calcul polydisperse P1, on recense les mailles qui comportent un
175

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
diamètre moyen D 10 autour du diamètre monodisperse des particules ± 5 microns (entre 25 et 35 microns
pour comparer avec le calcul M30 par exemple).
La Figure 7.51 compare les densités de probabilité des vitesses axiales particulaires sur l’ensemble des
cellules du maillage. La comparaison avec le calcul M60 n’est pas présentée car trop peu d’échantillons ont
été recensés sur le calcul polydisperse P1 pour cette taille. Pour les deux autres tailles de particule, plus de
150000 échantillons ont été relevés.
Pour les particules de 30 microns, on distingue 3 pics :
⊲ Pic 1 : ce pic correspond aux particules qui stoppent dans la partie amont de la CTRZ.
⊲ Pic 2 : ce pic recouvre les particules entraînées par le jet secondaire à la périphérie de la CTRZ.
⊲ Pic 3 : ce pic est assimilé aux particules qui transitent dans le tube secondaire car ce sont les seules
qui atteignent des niveaux aussi élevés de vitesse axiale. Ce pic est artificiel car dans l’expérience, il
n’y a pas de gouttes dans le tube secondaire.
Pour les particules de 45 microns, on distingue 4 pics :
⊲ Pic 1 : ce pic correspond aux particules qui stoppent dans la partie amont de la CTRZ.
⊲ Pic 2 : ce pic recouvre les particules entraînées par le jet secondaire à la périphérie de la CTRZ.
⊲ Pic 3 : ce pic correspond aux particules qui transitent dans le jet primaire. Il diffère dans les calculs
monodisperse et polydisperse. Il est beaucoup plus fort et décalé vers une valeur de vitesse plus faible
dans le calcul polydisperse.
⊲ Pic 4 : ce pic est assimilé aux particules qui transitent depuis l’entrée secondaire vers la chambre. Il
est artificiellement créé par la condition d’entrée sur le jet secondaire.
Les Figures 7.52, 7.53 et 7.54 comparent les prédictions de vitesse axiale moyenne des particules dans les
calculs monodisperses (calculs M30, M45 et M60) et polydisperse (calcul P1) aux mesures expérimentales
de Sommerfeld & Qiu [177, 178]. On remarquera que les trois calculs monodisperses surestiment très
légèrement la vitesse axiale au coeur du jet primaire.
Pour les particules à 30 microns (Fig. 7.52), le calcul M30 indique une faible vitesse des particules dans la
CTRZ, contrairement au calcul polydisperse P1 qui prédit une forte vitesse axiale jusqu’à l’abscisse X =
155mm. Les écarts les plus importants entre les deux calculs sont localisés dans la CTRZ, ce qui est aussi
le cas sur les mesures.
Pour les particules à 45 microns (Fig. 7.53), les remarques sont très similaires à celles qui précèdent, si
ce n’est que les particules à 45µm décélèrent un peu moins fort dans la CTRZ. Le calcul monodisperse
avec le diamètre moyen D 10 de la distribution expérimentale est le meilleur candidat pour représenter la
dynamique polydisperse de l’écoulement gaz-particules sauf dans la CTRZ. On remarque d’ailleurs que
les mesures globales sont plus proches des mesures à 45µm que de celles sur les deux autres classes de taille.
Pour les particules à 60 microns (Fig. 7.54), les deux calculs sont proches, les différences observées dans le
jet secondaire sont principalement dues à la surestimation du pic de vitesse axiale dans le jet secondaire à
X = 3mm dans le calcul P1.
Afin d’améliorer la prédictivité du calcul polydisperse P1 par rapport aux mesures polydisperses, on étudie
l’impact d’une variation de deux paramètres clés du modèle polydisperse : la vitesse consigne (u ∞ ) des
particules les plus inertielles et le temps de séparation (τ sep ) des populations de la distribution polydisperse.
176

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
1
30 microns
3
2
1
2
45 microns
3
4
FIG. 7.51 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Densité de probabilité en nombre des vitesses axiales
particulaires dans les calculs monodisperses M30 et M45 et le calcul polydisperse P1 (haut : particules à 30µm ;
bas : particules à 45µm).
177

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.52 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (— : calcul monodisperse M30 ; — — : calcul polydisperse P1 ; □ : mesures à 30 µm ; ○ :
mesures globales polydisperses).
178

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.53 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (— : calcul monodisperse M45 ; — — : calcul polydisperse P1 ; □ : mesures à 45 µm ; ○ :
mesures globales polydisperses).
179

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.54 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < u l,x > aux 8
stations de mesure (— : calcul monodisperse M60 ; — — : calcul polydisperse P1 ; □ : mesures à 60 µm ; ○ :
mesures globales polydisperses).
180

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
7.3.2 Influence du paramètre u ∞ : comparaison des calculs P1, P2 et P4
Dans les calculs P1 et P2 (cf. la Table 6.7), le paramètre u ∞ est doté d’un profil spatial particulier. Il est
nul partout excepté dans un tube axial de diamètre D 4 qui correspond grosso modo au sillage du jet primaire
et dans lequel u ∞ est constant. La Figure 7.55 illustre le profil spatial de u ∞ dans les calculs P1 et P2.
CRZ
= 0m/s
Jet secondaire
CTRZ
Jet primaire
= 12m/s
(Calcul P1)
= 8m/s
(Calcul P2)
FIG. 7.55 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profil spatial de u ∞ appliqué dans les calculs P1 et P2.
Ce profil permet d’appliquer une vitesse consigne non nulle pour les particules les plus inertielles que l’on
s’attend à voir rester près de l’axe central bien plus longtemps que les particules les plus petites. Pour ces
dernières, la valeur de u ∞ n’a que peu d’importance car elles doivent rapidement relaxer vers la vitesse du
fluide porteur (Eq. 3.19).
Entre les calculs P1 et P2, la valeur de u ∞ passe de 12 à 8m/s afin de vérifier l’impact de ce paramètre.
Dans le calcul P4, la valeur de u ∞ est définie localement comme étant la valeur de la vitesse corrélée ŭ p
à l’itération précédente. Ce choix est principalement motivé par le fait que cette vitesse est une moyenne
massique dans le volume de contrôle. Cette vitesse est donc a priori représentative du mouvement des
particules les plus inertielles au sein de chaque volume de contrôle.
On rappelle aussi que les calculs P1, P2 et P4 sont tous réalisés avec un temps de séparation τ sep égal à
15ms.
Profils radiaux de diamètre moyen en nombre D 10
La Figure 7.56 montre les profils radiaux moyens de diamètre moyen en nombre (D 10 dans la Table 3.1)
dans les calculs P1, P2 et P4.
181

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Le diamètre présente des niveaux raisonnables par rapport aux mesures expérimentales sauf dans la CTRZ
où le diamètre moyen en nombre des particules est globalement surestimé dans les calculs P1 et P2. Dans
le calcul P4, le diamètre D 10 est plus proche des mesures expérimentales, notamment sur le profil à X =
112mm. La diminution de la vitesse consigne u ∞ en passant du calcul P1 à P2 doit normalement induire
un ralentissement de la vitesse des gouttes les plus inertielles, typiquement celles qui réussissent à rentrer
dans la CTRZ. Ces effets sont pratiquement inexistants sur les premiers profils jusqu’à X = 112mm et se
font sentir près de l’axe central sur le profil à X = 195mm par exemple où une valeur de u ∞ à 8 m/s s’avère
un meilleur choix que 12m/s puisqu’une vitesse consigne plus faible favorise l’avancée des particules les
plus lourdes dans la CTRZ. En effet, une valeur plus faible de u ∞ réduit le différentiel de vitesse entre les
deux phases et donc la traînée adverse du gaz sur les grosses particules encore dans la CTRZ. Le calcul P4
quant à lui montre des variations radiales de diamètre bien plus modérés que dans les deux autres cas.
D’autre part, les 3 calculs montrent un trop faible diamètre dans la zone du jet secondaire par rapport aux
mesures expérimentales. Ce déficit traduit en fait une trop grande séparation des particules par rapport à
l’expérience puisqu’en prenant τ sep = 15ms, on impose d St ≃ 44µm (Eq. 3.20). On observe d’ailleurs
peu de séparation dans les mesures expérimentales, le diamètre restant assez uniforme sur chaque profil à
l’exception notable des deux derniers profils.
182

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.56 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de diamètre D 10 aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ = 12m/s ; trait fin avec triangles : calcul
SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE à u ∞ = ŭ p ).
183

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Profils radiaux des vitesses moyennes
Les Figures 7.57, 7.58 et 7.59 présentent les profils radiaux moyens de vitesses axiale, azimutale et
radiale respectivement pour les mesures expérimentales et pour les trois calculs SGE P1, P2 et P4.
Sur la vitesse axiale moyenne des particules (Fig. 7.57), des écarts entre les différents calculs apparaissent
uniquement dans la CTRZ près de l’axe central, à X = 112, 155 et 195mm. Le calcul P2 montre ici la vitesse
axiale la plus élevée dans cette zone, ce qui rejoint les remarques faites sur les profils de diamètre moyen
D 10 dans la CTRZ.
La comparaison avec les mesures expérimentales montre que les calculs SGE surestiment le minimum de
vitesse entre le jet primaire et le jet secondaire. Dans la CTRZ, les mesures expérimentales indiquent aussi
une vitesse axiale particulaire plus forte à X = 195mm. Une vitesse consigne à u ∞ = 8m/s induit encore
trop de traînée adverse à cette abscisse de mesure.
Sur les vitesses azimutale (Fig. 7.58) et radiale (Fig. 7.59) moyennes des particules, les différences entre les
calculs ne sont pas significatives. En effet, dans les 3 calculs polydisperses, la vitesse consigne est seulement
appliquée sur la composante axiale de la vitesse particulaire et non sur les deux autres composantes pour
lesquelles une telle valeur serait difficile à évaluer.
La comparaison avec les mesures expérimentales sur la vitesse azimutale montrent une bon accord, le
paramètre u ∞ n’ayant aucun impact sur cette composante. Comme on l’avait vu sur l’écoulement gazeux,
la composante radiale est difficile à capturer correctement, notamment du fait des très faibles niveaux de
vitesse associés à un déraffinement du maillage qui augmente avec la distance de séparation à l’injecteur.
Les niveaux prédits par les calculs polydisperses sont notamment surestimés à la périphérie de la CTRZ à
X = 112, 155 et 195mm.
184

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.57 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ = 12m/s ; trait fin avec triangles : calcul
SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE à u ∞ = ŭ p ).
185

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.58 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ = 12m/s ; trait fin avec triangles : calcul
SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE à u ∞ = ŭ p ).
186

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.59 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE à u ∞ = 12m/s ; trait fin avec triangles : calcul
SGE à u ∞ = 8m/s ; trait fin avec losanges : calcul SGE à u ∞ = ŭ p ).
187

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
7.3.3 Influence du paramètre τ sep : comparaison des calculs P3, P4 et P5
Le paramètre τ sep est certainement le paramètre le plus important du modèle polydisperse. La Figure 7.60
montre les effets d’un changement de la valeur de τ sep sur la forme de la vitesse des particules conditionnée
par leur taille. Ainsi, une valeur faible de τ sep oblige une grande partie de la population de gouttes à adopter
une vitesse proche de la vitesse u ∞ tandis qu’une valeur élevée de τ sep force la grande majorité des gouttes
à adopter une vitesse proche de celle du fluide porteur.
FIG. 7.60 - Effets d’un changement de τ sep sur la vitesse conditionnée des particules.
Les calculs P3, P4 et P5 (cf. la Table 6.7) ont des temps de séparation très différents : 7, 15 et 50 ms
respectivement avec dans toujours u ∞ = ŭ p obtenue à l’itération précédente. Ces valeurs donnent des
diamètres de Stokes (d St défini dans l’Eq. 3.20) égaux à 30, 44 et 80 microns respectivement. Mossa [124]
avait montré sur un cas de validation 2D que ce paramètre n’avait pratiquement aucune influence sur les
profils de vitesse moyenne et de fraction volumique tandis que les profils de diamètre y sont plus sensibles.
Dans cette section, on se propose d’étudier son influence dans le cas 3D de Sommerfeld & Qiu [177].
Profils radiaux de diamètre moyen en nombre D 10
La Figure 7.61 montre les profils radiaux moyens de diamètre moyen en nombre (D 10 dans la Table 3.1)
dans les calculs P3, P4 et P5.
Les effets d’un changement de la valeur de τ sep s’avèrent particulièrement visibles dans la CTRZ (profils
à X = 112, 155 et 195mm de la Fig. 7.61). De fait, une augmentation de la valeur de τ sep produit une plus
grande séparation : avec τ sep = 50ms, on surestime très largement le diamètre avec une valeur de 90 microns
sur l’axe de symétrie au lieu des 65 microns rapportés dans l’expérience (profil à X = 195mm). On remarque
aussi que les écarts prédictifs suivent toujours le même schéma : le calcul P3 prédit invariablement les plus
faibles valeurs de D 10 tandis que le calcul P5 prédit toujours le D 10 le plus fort.
188

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.61 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de diamètre moyen en nombre D 10
aux 8 stations de mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep = 7ms ; trait fin avec
triangles : calcul SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul SGE avec τ sep = 50ms).
189

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Profils radiaux des vitesses moyennes
Les Figures 7.62, 7.63 et 7.64 présentent les profils radiaux moyens de vitesses axiale, azimutale et
radiale respectivement pour les mesures expérimentales et pour les trois calculs SGE P3, P4 et P5.
Pour la composante axiale des vitesses particulaires, la Figure 7.62 montre des différences dans la CTRZ
tandis que le jet primaire n’est pas du tout affecté. Le calcul P5 prédit ici le niveau de vitesse le plus élevé
dans la CTRZ tandis que le calcul P3 prédit la vitesse axiale la plus faible. Cette tendance confirme qu’une
augmentation de la valeur de τ sep conduit à imposer la vitesse consigne u ∞ à des gouttes de plus en plus
grosses, donc de plus en plus inertielles. Ces gouttes ralentissent alors de moins en moins dans la CTRZ.
La comparaison avec les mesures est particulièrement instructive entre les profils à X = 155 et X = 195mm
de la Fig. 7.62 : le calcul P4 propose les meilleurs niveaux de vitesse axiale sur le profil à X = 155mm
près de l’axe puis c’est le tour du calcul P5 sur le profil à X = 195mm en plein coeur de la CTRZ. Cette
remarque éclaire le fait que le temps de séparation doit s’adapter localement dans les zones où l’on observe
un très fort différentiel de vitesse entre la phase dispersée et la phase porteuse (comme ici la zone centrale
de recirculation). Mossa [124] a proposé d’utiliser la formule suivante pour évaluer le temps de séparation
τ sep de la population de particules :
τ sep =
ρ p
144µ f
d 2 00e 4ˆσ (7.16)
L’Eq. 7.16 s’appuie sur le fait que le temps de séparation τ sep doit être compris entre le temps caractéristique
de traînée des gouttes les plus petites (de diamètre approximé par d 00 e −2ˆσ ) et le temps caractéristique de
traînée des gouttes les plus grosses (de diamètre approximé par d 00 e −2ˆσ ) pour la distribution de diamètres
connue dans chaque volume de contrôle. L’Eq. 7.16 conduit cependant à des temps de séparation trop
fortement différents d’un volume de contrôle à un autre, ce qui n’a pas permis de mener à bien un calcul
SGE polydisperse en définissant localement ce paramètre.
Pour la composante azimutale des vitesses particulaires (Fig. 7.63), les effets du temps de séparation des
particules sont faibles. Les 3 calculs polydisperses sont tous relativement proches des mesures et cela
jusqu’à l’abscisse de mesure la plus éloignée.
La Figure 7.64 montre que l’on a peu d’effet du au temps de séparation des particules sur la composante
radiale des vitesses particulaires, sauf sur les deux dernières abscisses de mesure. On remarque notamment
que les 3 calculs polydisperses n’arrivent pas à retrouver la vitesse radiale très légèrement négative sur les
profils à X = 155 et 195mm. Cette vitesse radiale négative traduit en fait l’élargissement de l’écoulement
particulaire qui contourne la CTRZ, sachant qu’à partir de X = 155mm, la CTRZ se referme (cf. la Fig. 7.11).
190

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.62 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep = 7ms ; trait fin avec triangles : calcul
SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul SGE avec τ sep = 50ms).
191

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
FIG. 7.63 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep = 7ms ; trait fin avec triangles : calcul
SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul SGE avec τ sep = 50ms).
192

7.3 Résultats des calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
FIG. 7.64 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale aux 8 stations de
mesure (symboles : mesures expérimentales ; trait gras : calcul SGE avec τ sep = 7ms ; trait fin avec triangles : calcul
SGE avec τ sep = 15ms ; trait fin avec losanges : calcul SGE avec τ sep = 50ms).
193

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
7.3.4 Conclusion sur les calculs SGE polydisperses de l’écoulement particulaire
La série de calculs polydisperses (cf. la Table 6.7) a permis d’étudier les effets de deux paramètres clés
du modèle sur les statistiques moyennes de vitesse et de diamètre :
⊲ le modèle de polydispersion permet de retrouver qualitativement les tendances majeures de
l’écoulement de la phase dispersée polydisperse,
⊲ le paramètre u ∞ n’influence pas fortement les profils radiaux moyens de diamètre et de vitesse. En
effet, ce paramètre affecte principalement les particules les plus inertielles en décorrélant leur mouvement
du reste de la distribution de tailles, ces particules inertielles ne devenant visibles que dans la
CTRZ qui filtre la pénétration axiale du spray.
⊲ les gouttes dites ”inertielles” sont définies comme étant de diamètre très supérieur au diamètre fictif
de Stokes d St défini dans l’Eq. 3.20. Ce diamètre fictif évoluant selon √ τ sep , une variation de τ sep a un
effet atténué sur la variation de d St . Néanmoins, les variations de τ sep sont probantes sur la dynamique
des particules dans la CTRZ. La diminution de la valeur de τ sep (calcul P3) ralentit fortement les
particules dans la CTRZ : les petites particules ne sont plus arrachées du jet primaire et la traînée
adverse présente dans la CTRZ les ralentit trop rapidement. A l’inverse, une augmentation de τ sep
(calcul P5) ne laisse plus que des particules trop grosses pénétrer dans la CTRZ et ces dernières
mettent beaucoup de temps à ralentir.
⊲ la seconde série de calculs (P3 à P5) a aussi mis en exergue l’intérêt d’utiliser un temps de séparation
local pour différencier le comportement des particules.
7.4 Conclusion
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177, 178] constitue l’un des bancs expérimentaux les mieux documentés
sur un écoulement particulaire doté d’un mouvement giratoire. Les simulations SGE ont exploité
cette base de données en trois temps :
⋆ le calcul SGE de l’écoulement gazeux a mis en avant la structure de l’écoulement tournant présent
dans la chambre de test. Le mouvement tournant du gaz génère notamment une CTRZ qui bloque
l’avancée du jet primaire. Un tel phénomène est retrouvé quantitativement par l’approche SGE utilisée
dans cette thèse.
⋆ une série de calculs monodisperses a ensuite été comparée aux mesures monodisperses de Sommerfeld
& Qiu [177, 178] pour 3 classes de taille de particule bien distinctes. La CTRZ joue ici un rôle moteur
en freinant plus ou moins fort les particules selon leur inertie, une tendance bien retrouvée dans les
calculs SGE. La contribution du mouvement décorrélé s’est aussi révélée très importante pour prédire
correctement les niveaux de vitesse fluctuante particulaire, en particulier pour les gouttes les plus
inertielles.
⋆ une série de calculs polydisperses a permis d’évaluer la sensibilité du modèle polydisperse à deux
paramètres clés : une vitesse consigne pour les particules les plus inertielles et un temps de séparation
du spray. Cette étude paramétrique a montré que ces deux paramètres avaient surtout une influence
dans la CTRZ, en jouant sur la séparation des populations de particules dans cette zone. En parallèle,
le modèle polydisperse capture de facto une variation locale de la distribution de diamètre, variation
impossible à retrouver sur un calcul monodisperse.
Cette étude indique aussi que la simulation SGE monodisperse au diamètre D 10 de la distribution
expérimentale établie par Sommerfeld & Qiu [177, 178] (i.e. le calcul M45) donne ici une bonne estimation
de l’écoulement particulaire polydisperse sauf dans la CTRZ.
194

Troisième partie
Application à la configuration prototype
TLC SNECMA

Table des Matières
8 Présentation des configurations du projet TLC 199
8.1 Le projet TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.1 Le contexte du projet TLC : les émissions de polluants dans les turbines à gaz . . . . 199
8.1.2 Les enjeux et les moyens du projet TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.3 Le CERFACS dans le projet TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.1 L’injecteur TLC SNECMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2 Descriptions des configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.3 Méthodes expérimentales mises en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9 Simulation SGE de la configuration non confinée 211
9.1 Rappel des données expérimentales sur la configuration non confinée . . . . . . . . . . . . . 211
9.2 Aspects numériques des calculs SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2.1 Maillage pour la SGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2.2 Les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2.3 Organisation des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.2.4 Paramètres numériques des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.3.1 Distribution des débits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.3.2 Visualisation de l’écoulement instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3.3 Etude spectrale de l’écoulement instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.3.4 Analyse de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.3.5 Comparaison qualitative avec la configuration confinée . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.3.6 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.4.1 Observation du spray de gouttes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.4.2 Observations sur la dynamique des gouttes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.4.3 Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Expérience . . 259
9.4.4 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10 Influence du modèle d’injection 269
10.1 Données d’entrée pour la condition limite d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.2 Observations de l’écoulement liquide dans l’injecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.2.1 Influence de la résolution en maillage sur le spray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.2.2 Influence du couplage inverse par la traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.3 Profils radiaux de vitesse moyenne : Influence du modèle d’injection . . . . . . . . . . . . . 275

TABLE DES MATIÈRES
10.4 Conclusion sur l’apport du modèle d’injection dans la configuration TLC NC . . . . . . . . 277
10.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
198

Chapitre 8
Présentation des configurations du projet
TLC
8.1 Le projet TLC
8.1.1 Le contexte du projet TLC : les émissions de polluants dans les turbines à gaz
Les turbines à gaz employées dans l’industrie génèrent différents types de polluants en fonction de leur
régime de fonctionnement. La Figure 8.1 donne une idée qualitative de la formation de polluants en fonction
du régime moteur. Ainsi, on peut voir qu’il existe une plage optimale de fonctionnement (entre 20% et 60%
de la charge) pour laquelle les émissions des principaux polluants sont minimales. Cependant, le rendement
de la turbine à gaz est lui optimal pour une charge maximale, ce qui impose un compromis entre rendement
et pollution de la turbine à gaz.
Chacun des principaux polluants formés en sortie d’une tuyère à gaz fait l’objet d’une cinétique chimique
bien spécifique (Lefebvre [99]).
8.1.2 Les enjeux et les moyens du projet TLC
Le projet européen TLC (”Towards Lean Combustion”) a démarré en Mars 2005 pour une durée de
4 ans. Ce projet est coordonné par SNECMA MOTEURS, filiale du groupe SAFRAN et rassemble 18
organismes de 6 nationalités différentes.
Le projet TLC a été mis en place afin de mieux maîtriser la combustion pauvre en termes de réduction
des émissions de polluants. Deux objectifs principaux ont été formulés sur les émissions d’oxydes d’azote
(NOx) même si les émissions d’autres polluants majeurs comme la suie ou les oxydes de carbone sont
quantifiées expérimentalement :
⊲ une réduction des émissions de NOx sur un cycle LTO (”Landing and Take-Off”),
⊲ de faibles indices d’émission en régime de croisière (typiquement EINOx = 5g/kg).
Pour atteindre ces objectifs, le projet se focalise sur l’étage injection des turbines à gaz. Ainsi, plusieurs injecteurs
de type LPP (”Lean Premixed Prevaporized”) dérivés notamment du projet européen LOCOPOTEP
sont étudiés à la fois expérimentalement et numériquement. En parallèle, de nouveaux prototypes d’injecteur
issus d’algorithmes d’optimisation de forme sont étudiés.

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
FIG. 8.1 - Formation des polluants en fonction de la charge du moteur. A charge très réduite, la combustion
incomplète produit du CO et des hydrocarbures imbrûlés tandis qu’à forte charge, la formation de NOx et de suies
est favorisée par les très hautes températures du milieu réactif.
8.1.3 Le CERFACS dans le projet TLC
Le projet TLC est constitué de 4 grandes parties :
1. Diagnostic expérimental avancé : Méthodes de mesure non intrusives
Des méthodes expérimentales non intrusives sont mises en place sur des bancs de mesure fonctionnant
à haute pression (typiquement jusqu’à 30 bars). Parmi ces méthodes, on compte notamment des mesures
LDA (”Laser Doppler Anemometry”), PDA(”Particle Doppler Anemometry”), PIV (”Particle
Image Velocimetry”), LIF (”Laser-Induced Fluorescence”) pour ne citer que les plus communes.
2. Systèmes d’injection pauvre : Mesures expérimentales
Pour atteindre l’objectif d’une combustion pauvre, différents types d’injecteurs sont étudiés
expérimentalement. Les technologies d’injection regroupent notamment l’injection LPP (Lean
Premixed Prevaporized), LP (Lean Premixed), LDI (Lean Direct Injection), multipoints.
3. Systèmes d’injection pauvre : design et optimisation
En s’appuyant sur une liste de paramètres géométriques, un algorithme génétique d’amélioration de
forme permet d’optimiser le dessin des injecteurs.
4. Diagnostics numériques avancés
En parallèle avec la seconde partie, une série de simulations numériques est menée à bien. L’approche
RANS est retenue pour fournir les résultats nécessaires à l’algorithme d’optimisation tandis que l’approche
SGE permet une analyse de l’écoulement instationnaire dans les injecteurs.
Le CERFACS intervient uniquement dans la quatrième partie au travers des calculs SGE menés à bien sur
un injecteur LPP dessiné par Turbomeca et sur un injecteur Multipoints dessiné par la SNECMA. Ce travail
de thèse présente les résultats des calculs SGE sur cette dernière configuration. L’écoulement du gaz dans la
configuration confinée est abordée qualitativement dans la section 9.3.5.
200

8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
Deux prototypes de l’injecteur ont été fournis par SNECMA. Ces deux prototypes ont été montés
respectivement sur le site de l’ONERA-DMPH (Palaiseau) pour l’étude à chaud de l’injecteur et sur le
site de l’ONERA-DMAE (Toulouse) puis au centre ONERA du Fauga-Mauzac pour l’étude à froid de
l’injecteur. L’étude à froid s’est déroulée en deux étapes :
1. dans un premier temps, l’injecteur TLC a été caractérisé expérimentalement en non confiné (i.e. sans
chambre) à l’ONERA-DMAE. Cette étude a permis de mesurer à la fois des statistiques sur la phase
porteuse et sur la phase dispersée.
2. dans un deuxième temps, l’injecteur a été monté sur un banc expérimental du centre ONERA de
Fauga-Mauzac. Ce banc a permis de réaliser des mesures de la phase dispersée sous une pression de
confinement correspondant au régime ralenti de fonctionnement.
Dans ce travail de thèse, les résultats présentés se rapportent à la configuration non confinée de l’injecteur
TLC SNECMA.
8.2.1 L’injecteur TLC SNECMA
L’injecteur TLC SNECMA est l’un des premiers injecteurs à combiner un étage de vrilles radiales avec
deux étages de vrilles axiales. Seuls deux autres injecteurs similaires ont été investigués dans la littérature :
l’injecteur TARS (pour Triple Annular Research Swirler) étudié expérimentalement par Li & Gutmark [103]
et l’injecteur Pratt & Whitney simulé numériquement par Moin & Apte [121]. Le débit d’air est réparti de
la manière suivante entre les différents étages de l’injecteur TLC SNECMA :
⊲ environ 3 % du débit d’air de l’injecteur passe entre les vrilles pilotes internes.
⊲ environ 7 % du débit d’air de l’injecteur passe entre les vrilles pilotes externes.
⊲ environ 90 % du débit d’air traverse les vrilles externes.
La Figure 8.2 présente la structure interne de l’injecteur TLC SNECMA et notamment l’agencement
des différents étages de vrille. Le bol pilote comprend deux étages de vrilles à entrée axiale. Ces deux
étages sont contra-rotatifs comme le montre la Fig. 8.3. Ce choix est motivé par deux considérations :
l’utilisation de deux étages de vrilles au lieu d’un seul permet de réduire les émissions de NOx en favorisant
le prémélange des réactifs (Terasaki & Hayashi [187]) et la disposition des étages de vrilles en contra-rotatif
renforce la zone centrale de recirculation qui permettra d’accrocher la flamme (Lilley [106], Vu & Gouldin
[194], Lieuwen & Yang [105]). De plus, une configuration contra-rotative favorise une meilleure atomisation
du spray en augmentant le cisaillement de l’écoulement gazeux (Lieuwen & Yang [105]). D’autre part,
les vrilles externes sont montées radialement et débitent la majeure partie du flux d’air qui passe à travers
l’injecteur.
Le système d’injection TLC partage une autre spécificité avec l’injecteur TARS : il associe deux circuits
d’injection de carburant liquide visibles sur la Fig. 8.2. Le circuit primaire débouche sur un atomiseur en
sortie de l’étage de vrilles pilotes internes, atomiseur qui doit délivrer un spray bien défini de gouttes de
carburant. Le circuit secondaire quant à lui alimente le système multi-points qui est constitué de simples
orifices régulièrement répartis dans l’étage externe de vrilles. La Figure 8.4 situe les atomiseurs en sortie
des deux circuits d’injection de carburant par rapport aux différents étages du swirler.
201

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
Circuit
secondaire
Vrilles pilotes internes
Circuit
primaire
Vrilles pilotes externes
Vrilles externes
FIG. 8.2 - Configuration TLC SNECMA - Schéma de l’injecteur.
Injection multi-points
Injection pilote
Vrilles externes
Trous de
collerette
Trous de bol
(non percés)
Bol pilote
(vrilles internes +
externes en
montage contrarotatif)
Flux d’air
FIG. 8.3 - Configuration TLC SNECMA - Ecorché de l’injecteur comprenant le détail des flux d’air dans le dispositif
d’injection.
202

8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
FIG. 8.4 - Configuration TLC SNECMA - Localisations des deux systèmes d’amenée de carburant dans l’injecteur.
Pour des raisons de confidentialité, un seul trou du système d’injection Multi-Points est visible.
8.2.2 Descriptions des configurations
La configuration non confinée
La configuration non confinée comporte le plenum et l’injecteur TLC SNECMA montés ensemble. La
Figure 8.5 présente un schéma de la configuration non confinée. Cette configuration a été étudiée sur les
bancs CAPITOL et TOULOUSE de l’ONERA-DMAE.
FIG. 8.5 - Configuration TLC SNECMA - Schéma de la configuration non confinée.
L’injecteur débite l’air et le kérosène liquide directement dans l’atmosphère, ce qui a permis de mettre
en place très facilement toute une batterie de tests expérimentaux pour déterminer les caractéristiques de
la phase porteuse et de la phase dispersée en aval de l’injecteur. Ces tests expérimentaux sont détaillés
dans la section 8.2.3. Les deux circuits de fuel ne pouvant être alimentés en même temps, ils sont étudiés
séparément.
La Figure 8.6 présente les dispositifs de mesure mis en place sur le banc CAPITOL pour mesurer la
203

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
distribution radiale de flux volumique ainsi que la distribution globale de taille de gouttes du spray.
Chambre
de test
Fixation de
l’injecteur
Capteur
Malvern
(réception)
Capteur
Malvern
(émission)
Capteur de la
distribution de
flux volumique
FIG. 8.6 - Configuration TLC SNECMA - Dispositifs de mesure montés sur le banc CAPITOL (photo ONERA).
La Figure 8.7 présente les dispositifs de mesure mis en place sur le banc TOULOUSE pour mesurer
localement le champ de vitesse ainsi que la distribution de taille de gouttes du spray.
FIG. 8.7 - Configuration TLC SNECMA - Dispositif de mesure LDA monté sur le banc TOULOUSE (photo ONERA).
204

8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
La configuration confinée
La configuration confinée comporte le plenum, l’injecteur TLC SNECMA, une chambre et enfin une
tuyère comme on peut le voir sur la Fig. 8.8. Cette configuration a été étudiée à froid au centre ONERA du
Fauga-Mauzac.
FIG. 8.8 - Configuration TLC SNECMA - Schéma de la configuration confinée.
La chambre est d’une forme géométrique très simple, ce qui facilite la mise en place de diagnostics
expérimentaux ainsi que la génération des maillages et les simulations numériques. En bout de chambre,
on vient accoler une tuyère amorcée (le col est sonique) qui permet d’isoler acoustiquement la chambre de
mesures. Prendre en compte la tuyère est indispensable pour espérer capturer correctement la structure de
l’écoulement dans la chambre. En particulier, on sait que le confinement a de fortes répercussions sur la
zone centrale de recirculation (Lilley [106], Sheen et al. [167]).
La Figure 8.9 présente le banc expérimental du centre ONERA de Fauga-Mauzac. La technique PDA employée
sur ce banc a permis de déterminer le champ de vitesse de la phase dispersée ainsi que la distribution
des tailles de gouttes du spray.
FIG. 8.9 - Configuration TLC SNECMA - Banc expérimental du centre ONERA de Fauga-Mauzac (photo ONERA).
205

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
8.2.3 Méthodes expérimentales mises en place
La configuration non confinée a fait l’objet d’une large batterie de tests expérimentaux :
⊲ des mesures de la distribution de flux volumique liquide,
⊲ des mesures globales de la distribution de taille de gouttes par un instrument Malvern,
⊲ des mesures locales du champ de vitesses du gaz par la méthode LDA,
⊲ des mesures locales du champ de vitesses du liquide et des tailles de goutte par la méthode PDA.
La configuration confinée a été étudiée par la méthode PDA pour déterminer les caractéristiques de la phase
dispersée. Les 4 méthodes expérimentales mentionnées précédemment sont brièvement décrites dans les
sections qui suivent.
Distribution de flux volumique liquide (dispositif mécanique ou ”patternator”)
Pour mesurer la distribution de flux volumique de liquide ou ”spray patternation”, on utilise une série de
tubes disposés régulièrement et à une distance égale de l’origine du spray que l’on veut étudier, dispositif
connu sous le nom de ”patternator”. Une fois le spray bien établi, on commence la mesure jusqu’à ce que
l’un des tubes soit rempli aux trois-quarts. La mesure du remplissage de chaque tube est ensuite corrigée
afin de donner une distribution radiale pertinente du flux volumique de liquide. La Figure 8.10 présente le
dispositif en fonctionnement sur la configuration non confinée.
FIG. 8.10 - Configuration TLC SNECMA - Mesures de la distribution volumique du spray (photo ONERA).
Cette méthode présente quelques limitations : sa résolution spatiale est limitée, sa réactivité aux changements
de régime de spray est médiocre et les temps d’acquisition sont souvent très longs. Ces limitations
ont motivé l’émergence de techniques purement optiques pour déterminer la distribution volumique de liquide
(Sellens & Wang [165]).
206

8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
Distribution de taille de gouttes (dispositif Malvern)
L’instrument Malvern est l’un des dispositifs les plus répandus pour caractériser la distribution de tailles
de gouttes d’un spray liquide. Le fonctionnement de l’appareil repose sur la diffraction d’un faisceau laser
par le passage d’une goutte. Le système optique de l’appareil est schématisé sur la figure 8.11. Quand le
faisceau laser interagit avec la goutte, il crée un motif de diffraction qui peut être relié à la taille de la goutte.
Pour un spray monodisperse de gouttes sphériques, ce motif est de type Fraunhofer, c’est-à-dire que l’on
a une série d’anneaux concentriques alternativement lumineux et sombres comme on peut le voir sur la
Fig. 8.11. Les choses se compliquent pour un spray polydisperse car les motifs de diffraction sont différents
pour chaque taille de goutte et se superposent. Un photo-détecteur multi-élément est alors nécessaire pour
séparer les contributions de chaque classe de taille de goutte.
Le dispositif Malvern s’avère très rapide pour collecter les distributions de tailles de goutte associés à
chaque régime de fonctionnement de l’atomiseur. De plus, le motif de diffraction de chaque goutte est
indépendant de la position de la goutte dans le faisceau, ce qui facilite la capture de gouttes à haute vitesse.
ELARGISSEMENT
DU FAISCEAU
RECEPTEUR
(dans le plan focal
de la lentille)
LASER
SPRAY
r
!
FAISCEAU PARALLELE
MONOCHROMATIQUE
! = r / f
f
DIFFRACTION
D’UNE GOUTTE
SPHERIQUE
FIG. 8.11 - Schéma du dispositif optique d’un instrument Malvern.
Champ de vitesses du gaz (dispositif LDA)
Pour mesurer le champ de vitesse de la phase gazeuse, un dispositif LDA pour ”Laser Doppler Velocimetry”
(ou LDA pour ”Laser Doppler Anemometry”) a été mis en place. Le principe de cette technique est présenté
sur la Fig. 8.12. Elle met en jeu le croisement de deux faisceaux laser monochromatiques identiques pour
créer localement un réseau ellipsoïde d’interfranges. Un léger decalage en fréquence entre les 2 faisceaux,
realisé par la cellule de Bragg, fait défiler ce réseau d’interfranges et permet ainsi de lever l’ambiguité sur
le sens de la vitesse d’une particule traversant le réseau. On notera que les caractéristiques de ce réseau sont
déterminées uniquement par l’angle de croisement et la longueur d’onde des faisceaux. L’écoulement de gaz
est ensemencé avec des particules. Ces particules doivent être suffisamment petites pour ne pas perturber
l’écoulement mais aussi suffisamment grosses pour être captées par le détecteur, ce qui donne une taille
généralement comprise entre 0.5 et 2 microns. Quand ces particules traversent le réseau d’interfranges, la
lumière réémise contient une fréquence Doppler notée f Doppler caractéristique de leur vitesse (Lefebvre
207

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
[98]) :
f Doppler = 2Usin(θ/2)
λ
où U est la vitesse de la particule, θ est l’angle de croisement des faisceaux laser et λ la longueur d’onde
des faisceaux.
Cette méthode donne donc accès à une mesure relativement ponctuelle de la vitesse du gaz.
(8.1)
Ecoulement de gaz ensemencé
Intensité du
signal
Longueur
d’interfrange
(connue)
dt (mesuré)
dt
(mesuré)
Temps
Volume de mesure
Lumière réémise
FIG. 8.12 - Principe de la technique LDA.
Champ de vitesses du liquide (dispositif PDA)
La méthode PDA pour ”Particle Doppler Anemometry” permet de mesurer à la fois la vitesse et la taille
des gouttes d’un spray. La mesure de la vitesse repose sur le même principe que la méthode LDA, la
goutte jouant cette fois le rôle de la particule d’ensemencement. Pour mesurer la taille de la goutte qui
traverse le réseau d’interfrange, Bachalo [8] a proposé l’idée de disposer un second photorécepteur pour
capter le passage de la goutte à un autre endroit du réseau. Les deux photorécepteurs vont ainsi percevoir
tous les deux le même signal mais décalés dans le temps comme on peut le voir sur la Fig. 8.13. Ce
décalage temporel est directement proportionnel à la taille de la goutte. On adjoint très souvent un troisième
photorécepteur afin d’affiner les mesures, notamment en éliminant les gouttes non sphériques de la mesure
(Kissa [91]).
Synthèse des mesures expérimentales mises en place sur chaque configuration
La Table 8.2.3 regroupe le type de mesures expérimentales collectées sur chaque configuration de l’injecteur
TLC SNECMA.
208

8.2 Présentation de la configuration TLC SNECMA
FIG. 8.13 - Principe de la technique PDA.
Quantité mesurée Configuration Configuration
(dispositif) non confinée confinée
Flux volumique liquide oui non
(”patternator”)
Distribution de tailles du spray oui non
(Malvern : mesure globale)
Vitesses locales du gaz oui oui
(LDA)
Vitesses locales des gouttes oui oui
(PDA)
Distribution de tailles du spray oui oui
(PDA : mesure locale)
TAB. 8.1 - Configuration TLC SNECMA - Synthèse des mesures expérimentales réalisées sur les deux configurations
de l’injecteur.
209

PRÉSENTATION DES CONFIGURATIONS DU PROJET TLC
210

Chapitre 9
Simulation SGE de la configuration non
confinée
9.1 Rappel des données expérimentales sur la configuration non confinée
La configuration non confinée est mise en place afin d’étudier l’écoulement à froid au travers de mesures
expérimentales LDA et PDA respectivement pour la phase gazeuse et la phase liquide. Elle permet donc de
vérifier l’aptitude de la SGE à capter la dynamique de l’écoulement diphasique. Pour ce faire, on dispose
des quatre types de mesures décrits dans la section 8.2.3 :
⊲ une mesure de la répartition spatiale du flux volumique de liquide.
⊲ une mesure globale de la distribution de tailles du spray. Cette mesure est une donnée d’entrée pour
les calculs SGE car elle permet de calibrer la taille des gouttes injectées dans le domaine de calcul.
⊲ des mesures des trois composantes de vitesses gazeuses moyennes et rms. Ces mesures LDA ont été
obtenues suivant des traversées horizontales et verticales à 3 abscisses en aval du fond de chambre : X
= 8 mm, 15 mm et 30 mm (Fig. 9.1),
⊲ des mesures des trois composantes de vitesses liquides moyennes et rms ainsi que des mesures locales
de diamètres moyens caractéristiques. Ces mesures PDA ont été obtenues suivant des traversées
horizontales et verticales à 3 abscisses en aval du fond de chambre : X = 8 mm, 15 mm et 30 mm
(Fig. 9.1).
On notera que la configuration non confinée de l’injecteur TLC SNECMA est identifiée par le terme
”TLC NC” dans la suite du chapitre.
9.2 Aspects numériques des calculs SGE
Les simulations SGE ont été réalisées avec le code de calcul AVBP V6.0. Les aspects numériques recouvrent
le choix d’un maillage approprié, le choix de conditions aux limites puis le choix d’une méthode
numérique de résolution.
9.2.1 Maillage pour la SGE
Le maillage de la configuration non confinée a été réalisé en combinant le logiciel CFD-GEOM
(www.cfdrc.com/serv prod/cfd multiphysics/software/ace/geom.html) avec le logiciel CENTAURSOFT

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
X=8mm
X=15mm
X=30mm
Z
Y
X
X
X = 0 mm
FIG. 9.1 - Configuration TLC NC - Position des coupes de mesures expérimentales (seules les traversées verticales
sont visibles sur la figure).
(www.centaursoft.com). En effet, le logiciel CFD-GEOM est particulièrement bien adapté au travail de
la géométrie tandis que le logiciel CENTAURSOFT est un mailleur spécialement robuste et flexible. La
combinaison de ces deux outils permet de mailler les géométries de turbines à gaz les plus complexes.
Les caractéristiques du maillage sont précisées dans la Table 9.1.
Type de maillage
non structuré 3D
Type de cellule
tétraédrique
Nombre de noeuds ≃ 400000
Nombre de cellules ≃ 2126000
Volume de cellule minimal 2.04 10 −12 m 3
Localisation
Vrille pilote interne
Volume de cellule maximal 1.07 10 −4 m 3
Localisation
Atmosphère
TAB. 9.1 - Configuration TLC NC - Propriétés du maillage.
La Figure 9.3 présente une vue globale du maillage retenu pour mener à bien les calculs SGE. Une grande
majorité des noeuds du maillage (plus de 80%) est concentrée dans une région entourant l’injecteur où le
raffinement est maximal près du nez de l’atomiseur pilote. Une coupe transverse du maillage est présentée
sur la Fig. 9.4. Le raffinement de certaines zones du maillage est manifestement lié aux détails géométriques
de l’injecteur.
Un nombre restreint de simplifications géométriques a été retenu afin d’adapter la géométrie aux exigences
d’un calcul SGE :
⊲ les chanfreins dans les passages de vrilles ont été supprimés afin d’augmenter la taille de maille dans
212

9.2 Aspects numériques des calculs SGE
ces zones. Cette modification de la géométrie est mineure car la section de passage des conduits est
conservée dans le maillage final.
⊲ les protubérances en forme de créneaux qui permettent d’encastrer les étages de vrilles pilotes dans
le bol d’injection ont été supprimés. Ces détails géométriques faisaient apparaître des cellules trop
petites à l’entrée de l’injecteur. Cette modification n’affecte pas le faible débit d’air qui passe dans
l’étage pilote interne.
⊲ le multiperçage du fond de chambre a été remplacé par la présence de 40 trous répartis uniformément
sur le pourtour du fond de chambre. La section de passage totale des 40 trous est égale à la section
de passage des trous de la plaque multiperforée du fond de chambre. La perte de charge au travers
du refroidissement est fortement affectée, ce qui a une répercussion directe sur le débit du film de
refroidissement. Un nombre moins important de trous réduit aussi l’homogénéité spatiale du film de
refroidissement.
⊲ les trous de collerette ne sont pas maillés mais remplacés par une entrée d’air vers la chambre. Cette
simplification géométrique peut affecter la distribution des débits dans l’injecteur car on enlève le
débit qui passe par ces trous du débit injecté en entrée du plenum (cf. la section 9.3.1).
⊲ la forme du coffrage des tubes d’amenée de carburant a été légèrement modifiée pour faciliter son
maillage, ce qui n’a pas d’impact sur l’écoulement en aval du coffrage.
La Figure 9.2 permet de situer les simplifications géométriques sur la configuration TLC NC.
Suppression des protubérances
en forme de créneaux sur l’étage
pilote interne
Suppression des chanfreins
dans les coins des passages de
vrille pilote
Refroidissement du déflecteur
assuré par 40 trous ( ).
Suppression des trous de
collerette remplacés par une
entrée dans le domaine de calcul
FIG. 9.2 - Configuration TLC NC - Localisation des simplifications géométriques.
Le modèle CAD ainsi obtenu comporte près de 800 surfaces de construction différentes pour un total de
plus de 2000 courbes distinctes sous CFD-GEOM.
9.2.2 Les conditions aux limites
La configuration non confinée est étudiée à l’air libre à pression ambiante et à une température de 282K.
Aucun préchauffage de l’air n’est effectué. Les deux circuits d’alimentation en carburant sont étudiés de
manière séparée dans les expériences, ce qui est aussi le cas dans les simulations. On notera que les mesures
213

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
FIG. 9.3 - Configuration TLC NC - Vue gobale du maillage.
expérimentales ont été réalisées avec de l’éthanol comme carburant liquide. Les données relatives à chaque
phase de l’écoulement sont présentées dans la Table 9.2.
La vitesse débitante en entrée du plenum est de l’ordre de 6.6 m/s, ce qui permet d’estimer un nombre de
Reynolds basé sur la dimension transverse du plenum, soit Re ≃ 46000. Les conditions limites du calcul
SGE sont localisées sur la Fig. 9.5.
Concernant la phase gazeuse, la méthode NSCBC (Poinsot & Lele [137]) est retenue pour traiter les entrées
et les sorties du domaine de calcul. Le débit et la température sont imposés sur les deux entrées du calcul
SGE (entrée du plenum et trous de collerette). En prenant en compte la géométrie complète du plenum et
de l’injecteur, on espère capter la bonne répartition des débits dans l’injecteur, un point important qui sera
vérifié dans la section 9.3.1. La pression est imposée sur la sortie. Les parois sont traitées avec une loi de
paroi logarithmique comme précisée dans Schmitt et al. [161] sauf les parois du film de refroidissement du
déflecteur qui sont glissantes.
Concernant la phase liquide, les conditions limites d’entrée sont imposées suivant des conditions de type
Dirichlet : on impose ainsi le nombre de gouttes par unité de volume, le diamètre, le profil de vitesse et la
température des gouttes sur l’injection de carburant pilote ou multi-point. Dans le régime étudié dans le calcul
SGE, seule l’injection pilote est alimentée et la condition limite d’injection utilise le modèle empirique
214

9.2 Aspects numériques des calculs SGE
1
1: Film de refroidissement du déflecteur
2: Entrée du plenum
3: Vrilles pilotes (internes + externes)
4: Vrilles externes
5: Entrée (Trous de collerette)
5
2
4
3
FIG. 9.4 - Configuration TLC NC - Coupe médiane verticale avec détails du maillage dans le plenum et l’injecteur.
Sortie
Entrée du
coflow
Entrée des
trous de
collerette
Entrée du
plenum
Injection
pilote
Injection
Multi-points
FIG. 9.5 - Configuration TLC NC - Présentation des conditions aux limites.
(cf. le chapitre 4). La Table 9.3 récapitule les valeurs relatives à ce cas. La sortie est purement convective.
Le traitement des parois correspond à une condition de glissement pour les gouttes.
La Table 9.4 récapitule les données relatives à la CL d’injection pilote.
215

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
PHASE PORTEUSE
Entrée du plenum
Débit massique [g/s] 96.1
Température [K] 282
Entrée des trous de collerette
Débit massique [g/s] 7.7
Température [K] 282
Sortie de l’atmosphère
Pression [P a] 101325
Parois
Lois de paroi
PHASE DISPERSEE
Injection pilote
Débit massique [g/s] 2.2
Température [K] 282
Injection multi-points
Débit massique/trou [g/s] 0.09
Température [K] 282
Sortie de l’atmosphère
Convection des grandeurs liquides en sortie
Parois
Condition de glissement
TAB. 9.2 - Configuration TLC NC - Conditions aux limites du calcul SGE.
9.2.3 Organisation des calculs
Afin d’étudier la dynamique de la phase dispersée, 3 calculs SGE monodisperses sont réalisés. Ces 3
calculs sont comparés aux profils expérimentaux obtenus sur toute la population de gouttes présentes dans
le spray. Chacun correspond à une taille de goutte particulière :
⊲ le diamètre moyen de Sauter D 32 de la distribution de tailles de goutte du spray obtenue par l’appareil
Malvern (cf. la section 8.2.3), soit 30µm,
⊲ une moyenne spatiale des diamètres moyens en nombre D 10 obtenus sur les profils expérimentaux les
plus proches de l’injecteur, soit 15µm,
⊲ un diamètre très faible afin d’étudier le comportement des plus petites gouttes, soit 5µm.
9.2.4 Paramètres numériques des calculs
Les calculs SGE ont été menés à bien avec le schéma numérique TTGC (Colin & Rudgyard [33]) d’ordre
3 en espace et en temps. Concernant la méthode SGE, le modèle de sous-maille pour les vitesses du gaz
est le modèle de Smagorinsky [173] tandis que la phase liquide bénéficie du modèle mixte décrit dans la
section 2.4. Le couplage entre les deux phases ne fait intervenir la trainée qu’en couplage direct du gaz vers
le liquide. La contribution de mouvement décorrélé n’est pas explicitement prise en compte. Le modèle
d’évaporation n’intervient pas dans les calculs SGE car il n’y a pas de préchauffage de l’air pour le point de
fonctionnement étudié.
Les niveaux de viscosité artificielle sont différents sur chaque phase de l’écoulement, les valeurs imposées
216

Quantité liquide
Valeur à la CL d’injection
Fraction volumique moyenne (α l ) [−] 4.0 10 −2
Diamètre des gouttes [µm] variable (5, 15 et 30)
Vitesse débitante maximale [m/s] 50
Température liquide [K] 282
9.2 Aspects numériques des calculs SGE
TAB. 9.3 - Configuration TLC NC - Valeurs des quantités liquides à la CL d’injection. On notera que ces valeurs
concernent uniquement l’injection pilote.
Débit massique du spray (ṁ l ) [g/s] 2.17
Demi angle du spray (θ) [ ◦ ] ≃ 30.0
Diamètre de l’orifice d’atomisation (d o ) [mm] 0.5
Distance de séparation atomiseur/CL d’injection [mm] 1.9
TAB. 9.4 - Configuration TLC NC - Données d’entrée concernant la CL d’injection pilote.
étant standards pour un calcul SGE d’un écoulement diphasique sans combustion.
Les calculs SGE ont été menés à bien sur 20 processeurs de la machine IBM JS21 doté de processeurs
PowerPC 970MP cadencés à 2,5 GHz. Les données du calcul sont rappelées dans la Table 9.5.
Schéma numérique
Modèles de couplage
TTGC (3 ième ordre en espace et en temps)
trainée (couplage direct)
pas d’évaporation
pas de RUM
Smagorinsky
Yoshizawa + Smagorinsky
Modèle SGS (gaz)
Modèle SGS (liquide)
Viscosité artificielle (gaz) Colin [32]
Niveau à l’ordre 2 (smu 2 ) 0.125
Niveau à l’ordre 4 (smu 4 ) 0.015
Viscosité artificielle (liquide) Jameson et al. [86]
Niveau à l’ordre 2 (smu 2,T P F ) 0.15
Niveau à l’ordre 4 (smu 4,T P F ) 0.025
Machine de calcul
IBM JS21
Nombre de processeurs utilisés 20
Efficacité (µs/iteration/noeud) 58.7
Temps CPU
130 heures
TAB. 9.5 - Configuration TLC NC - Paramètres des calculs SGE pour simuler 100 ms de temps physique.
217

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
L’étude de l’écoulement gazeux est divisée comme suit :
Section 9.3.1 : la répartition des débits à travers les différents éléments de l’injecteur est déterminée dans
le calcul SGE et comparée aux données expérimentales.
Section 9.3.2 : l’écoulement instantané est visualisé afin de mieux comprendre la génération puis le mouvement
des structures instationnaires.
Section 9.3.3 : une analyse spectrale de l’écoulement est menée à bien afin d’identifier la fréquence de
phénomènes particuliers dans l’écoulement.
Section 9.3.4 : l’analyse de l’écoulement moyen permet de définir la structure de l’écoulement et de comparer
les profils de vitesse aux mesures expérimentales relevées pour les 3 stations de mesure.
9.3.1 Distribution des débits
La répartition des débits dans l’injecteur TLC SNECMA découle principalement de sa géométrie interne.
Le maillage réalisé pour les calculs SGE comporte deux simplifications qui peuvent avoir un impact sur la
répartition des débits : la simplification liée à la multiperforation du fond de chambre et celle liée aux trous
de collerette (cf. la section 9.2.1). Le débit imposé sur la condition d’entrée des trous de collerette est le
débit fourni par l’expérience pour une même perte de charge de l’injecteur, soit un débit massique de 7.7
g/s. La répartition des débits est donnée dans la Table 9.3.1 pour l’expérience et le calcul SGE.
Localisation du passage Débit expérimental Débit extrait du calcul SGE
Trous de collerette 7.7g/s 7.7g/s
Etage pilote interne 2.6g/s 4.3g/s
Etage pilote externe 6.2g/s 6.5g/s
Etage externe 64.9g/s 67.5g/s
Film de refroidissement 21.2g/s 17.8g/s
TAB. 9.6 - Configuration TLC NC - Répartition des débits dans l’expérience et le calcul SGE.
Le calcul SGE sous-prédit de 20% le débit du film de refroidissement du déflecteur. Cette différence
provient des 40 trous utilisés pour mailler la multiperforation du fond de chambre. En effet, avec une taille
de maille de l’ordre de 0.7mm dans les trous de refroidissement, un trou est spatialement discrétisé sur
seulement 5 noeuds dans la direction radiale. Dassé [42] a montré qu’une discrétisation trop faible d’un trou
de multiperforation conduisait à une surestimation de la vitesse maximale au travers du trou via un profil de
vitesse trop parabolique. Cette surestimation se retrouve aussi sur la perte de charge à travers le trou, ce qui
est observé pour le calcul SGE.
En conséquence, le calcul SGE surprédit le débit qui passe à travers l’injecteur. Ce surplus de débit se
reporte surtout sur l’étage de vrilles pilotes internes et sur l’étage externe. La Table 9.3.1 présente le ratio
d’air qui passe par chaque étage de vrille par rapport au débit d’air total qui passe par l’injecteur (en
excluant l’air passant par les trous de collerette). L’étage externe concentre une grande partie du débit qui
passe dans l’injecteur. Par contre, le débit qui passe par l’étage pilote interne est surestimé dans le calcul
SGE.
218

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Localisation du passage Ratio dans l’expérience Ratio dans le calcul SGE
Etage pilote interne 3.5% 5.5%
Etage pilote externe 8.4% 8.3%
Etage externe 88.1% 86.2%
TAB. 9.7 - Configuration TLC NC - Contribution de chaque étage pour le débit total passant par l’injecteur dans
l’expérience et le calcul SGE. Le débit qui passe par les trous de collerette est ici exclu.
La distribution de débits fournie par le calcul SGE est raisonnable au regard des mesures. Si l’on veut
améliorer la précision des débits dans la SGE, il faut augmenter drastiquement le nombre de mailles dans
les étages de vrille et le film de refroidissement afin de capturer correctement les couches limites à ces
endroits.
9.3.2 Visualisation de l’écoulement instantané
La topologie de l’écoulement du gaz dans l’injecteur TLC SNECMA est fortement conditionnée par
l’étagement de l’injecteur. La Figure 9.6 présente le champ de vitesse axiale instantanée dans la coupe
médiane verticale du maillage. L’écoulement exhibe les traits caractéristiques d’un écoulement à fort
nombre de swirl 1 : le mouvement de swirl induit des effets de centrifugation qui engendrent de forts
gradients radiaux de pression. Ces gradients radiaux de pression se traduisent par un coeur de vorticité
à basse pression dans le voisinage de l’axe central comme on peut le voir sur la Fig. 9.7. L’ouverture de
l’écoulement en sortie d’injecteur est associée à une chute de la vitesse azimutale par conservation de la
quantité de mouvement azimutale. Cette chute de la vitesse azimutale permet de récupérer la pression, d’où
la présence d’un gradient de pression adverse. En conséquence, ce gradient de pression adverse aboutit à la
formation d’une zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ).
La zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ) est une structure prépondérante de l’écoulement car en
remontant profondément dans le bol d’injection, elle réduit fortement la section de passage des écoulements
en provenance des deux étages de vrilles pilotes. Cette restriction de section entraîne une accélération de
l’écoulement comme on peut le voir sur la Fig. 9.6. D’autre part, l’écoulement issu des vrilles externes a une
faible ouverture, ce qui a tendance à générer axialement des structures de vorticité. L’écoulement externe
a d’ailleurs tendance à rapidement masquer les structures induites par les vrilles pilotes contra-rotatives :
cet effet est visible sur la Fig. 9.8 qui montre le champ de vitesse azimutale dans le plan (Y = 0). La
Figure 9.8 montre aussi que la CTRZ comporte de très faibles niveaux de vitesses azimutales, ce qui est
souvent observé expérimentalement dans des configurations contra-rotatives (Lilley [106], Vu & Gouldin
[194], Chao [27]).
En traçant une iso-surface de vitesse azimutale à -20m/s sur la Fig. 9.9, on voit que l’écoulement issu des
vrilles pilotes externes ne s’ouvre pratiquement pas et que sa pénétration axiale est réduite. Sa présence
génère cependant beaucoup de cisaillement avec le jet swirlé interne, d’où l’augmentation des niveaux de
vorticité très localement dans la zone de jonction des deux écoulements de vrilles pilotes (Fig. 9.7). Cette
augmentation est due aux instabilités de Kelvin-Helmholtz qui se développent à la fois axialement à cause
du différentiel de vitesse axiale à cet endroit et azimutalement du fait du swirl contra-rotatif.
1 Le nombre de swirl dans chaque élément de l’injecteur sera déterminé dans la section 9.3.4.
219

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
FIG. 9.6 - Configuration TLC NC - Champ de vitesse axiale instantanée en coupe transverse (Y = 0).
FIG. 9.7 - Configuration TLC NC - Champ de vorticité instantanée en coupe transverse (Y = 0).
220

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.8 - Configuration TLC NC - Champ de vitesse azimutale instantanée en coupe transverse (Y = 0).
FIG. 9.9 - Configuration TLC NC - Isosurface de vitesse azimutale instantanée à -20 m/s colorée par la distance
radiale à l’axe central.
221

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Des structures turbulentes sont aussi générées de manière périodique par le Precessing Vortex Core (PVC) le
long des frontières de la CTRZ. La Figure 9.10 montre des pseudo-lignes de courant instantanées obtenues
par interpolation puis projection des vecteurs vitesse sur le plan médian horizontal (Z = 0) pour 5 instants
séparés de 0.09 ms. Ces pseudo-lignes de courant ne représentent en aucun cas les trajectoires réelles des
particules de fluide car l’écoulement est très instationnaire. Elles donnent cependant un aperçu clair de
l’évolution temporelle de la structure de l’écoulement.
Des structures tourbillonnaires sont produites à intervalles réguliers dans le bol pilote et se déplacent axialement
et radialement comme on peut le voir sur la Fig. 9.10. A t = 73.21ms, plusieurs grands tourbillons
sont présents dans la partie inférieure de la CTRZ tandis que deux tourbillons semblent se rapprocher
dans la partie supérieure de la CTRZ. Ces deux tourbillons sont appariés au temps t = 73.39ms et sont
convectés en aval de la bouche de l’injecteur pilote tout comme les tourbillons de la partie inférieure. Au
temps t = 73.48ms, on voit l’apparition d’un tourbillon isolé décalé par rapport à l’axe central en amont de
la CTRZ et qui parait gagner en intensité au temps t = 73.57ms. En parallèle, les deux tourbillons appariés
de la partie supérieure ont fusionné tandis que le même scénario d’appariement semble se répéter pour deux
vortex de la partie inférieure de la CTRZ.
La présence du tourbillon isolé au temps t = 73.57ms marque aussi le moment où la CTRZ remonte le
plus dans le bol pilote d’injection sur la série d’images instantanées présentées sur la Fig. 9.10. Cependant,
le battement de l’extrémité amont de la CTRZ semble être un processus plus lent que la génération de
tourbillons en bout du PVC. D’autre part, le processus d’appariement de tourbillons contra-rotatifs en aval
du bol pilote interne conduit finalement à des structures plus grandes qui doivent avoir des fréquences
caractéristiques plus basses que les fréquences des tourbillons initiaux.
FIG. 9.10 - Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant rapportées au plan (Y = 0) et extraites de champs
SGE instantanés.
222

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
La Figure 9.11 présente des pseudo-lignes de courant dans différents plans de coupe axiaux qui marquent
le croisement des jets issus des 3 étages de vrille. Ces pseudo-lignes de courant s’appuient sur la projection
des vecteurs vitesse instantanés dans les plans axiaux mentionnés. Le PVC apparaît clairement sur la coupe
à X = -20mm comme étant la structure qui domine l’écoulement sur cette coupe. On voit aussi que le PVC
est légèrement décalé par rapport à l’axe central dans le bol pilote interne. A X = -12mm, les écoulements
issus des deux étages de vrille pilote interne se croisent et le PVC semble avoir disparu tandis que des
structures turbulentes azimutales deviennent visibles sur la périphérie de la coupe. Ces structures sont dues
aux instabilités azimutales de Kelvin-Helmholtz qui sont le contre-coup du fort cisaillement généré par le
swirl contra-rotatif du bol pilote interne. Dans le plan de coupe à X = -2mm, l’écoulement est très complexe
et il n’y a pas de région clairement identifiable.
X=-24mm
X=-12mm
X=-24mm X=-20mm X=-12mm X=-2mm
X=-20mm
X=-2mm
FIG. 9.11 - Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant rapportées aux plans (X = -24mm),(X = -20mm), (X =
-12mm), (X = -2mm) et extraites d’un champ SGE instantané. Les lignes de courant sur le profil à X = -20mm
montrent clairement le décalage du PVC par rapport à l’axe central de l’injecteur.
Afin de vérifier que le PVC est bien contenu dans le bol pilote, on trace des isosurfaces de critère Q sur
un quart de période de rotation du PVC sur la Fig. 9.12. Le critère Q est dérivé du second invariant du
tenseur de déformation et permet de détecter les structures cohérentes de vorticité (Hussain & Jeong [84]).
Ce critère permet de détecter les régions où le taux de rotation est supérieur au taux de cisaillement et ainsi
discrimine les régions de fort cisaillement induites par les parois. Le PVC parait exister dans le bol pilote
interne avant de s’estomper au croisement des écoulements issus des deux étages de vrilles internes.
La Figure 9.13 confirme aussi que le PVC semble se maintenir dans le bol pilote interne. De plus, la
Figure 9.13 montre clairement que le PVC entoure la CTRZ et contrôle ainsi le mouvement du point
d’accroche de la CTRZ.
223

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
1/4 de période de
rotation du PVC
FIG. 9.12 - Configuration TLC NC - Isosurfaces de critère Q pour 3 instants représentatifs d’un quart de période de
rotation du PVC.
Vitesse axiale du gaz (m/s)
FIG. 9.13 - Configuration TLC NC - Champ de vitesse axiale instantanée du gaz (en jaune : isosurface de vitesse
axiale nulle illustrant la CTRZ ; en bleu : isosurface de vorticité illustrant le PVC).
224

9.3.3 Etude spectrale de l’écoulement instantané
L’étude spectrale de l’écoulement s’effectue en 3 temps :
9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
⊲ une étude acoustique de la configuration est menée à bien afin d’identifier la structure spatiale des
modes propres acoustiques et les fréquences propres associées,
⊲ on extrait à des points bien choisis de l’injecteur des signaux temporels de grandeurs représentatives
de l’écoulement afin d’identifier des fréquences caractéristiques de l’écoulement gazeux,
⊲ on dresse des cartes spectrales de l’écoulement gazeux correspondant à la fréquence du PVC afin de
localiser globalement les zones qui répondent à cette fréquence.
Analyse acoustique de la configuration non confinée
L’outil numérique : AVSP
Une fois l’écoulement analysé avec l’outil SGE, la détermination des modes propres acoustiques de la
géométrie est recommandée. En effet, si la fréquence des modes propres acoustiques coïncide avec la
fréquence de phénomènes aérodynamiques turbulents préexistants dans la configuration, des instabilités
peuvent apparaître.
Dans des géométries très simples comme un cylindre par exemple, il est possible de retrouver analytiquement
les fréquences et la forme spatiale (en termes de pression acoustique par exemple) des modes propres
acoustiques si l’on suppose en premier lieu que la vitesse du son est constante dans le domaine d’étude.
Cependant, une configuration aussi complexe que l’injecteur TLC SNECMA requiert un outil plus évolué
comme le code AVSP développé par Laurent Benoit (Benoit [12], Benoit & Nicoud [13]) et Claude Sensiau
(Nicoud et al. [126]) au CERFACS.
Moyennant les hypothèses suivantes, on peut linéariser les équations de Navier-Stokes afin d’obtenir un jeu
d’équations linéaires pour les fluctuations acoustiques de vitesse, de pression, de densité et d’entropie :
H1 - la combustion n’est pas prise en compte,
H2 - le fluide ne subit pas de force volumique,
H3 - le fluide est supposé non visqueux et les murs sont glissants,
H4 - l’acoustique est linéaire, ce qui revient à dire que l’amplitude des fluctuations acoustiques (notées
avec 1 ) est très faible devant les valeurs moyennes (notées avec 0 ),
H5 - l’écoulement est isentropique, ce qui permet d’écrire p
ρ
= e S 0/C V
avec C γ V la capacité calorifique
massique à volume constant, où S 0 est l’entropie moyenne,
H6 - l’écoulement a une vitesse moyenne nulle.
On aboutit notamment à l’équation des ondes pour les fluctuations acoustiques de pression :
∆p 1 − 1 c 2 0
∂ 2 p 1
∂t 2 = 0 (9.1)
Si les fluctuations de pression sont supposées harmoniques (i.e. p 1 = ˆpe −iωt ), l’Eq. 9.1 dans le domaine
temporel devient l’équation de Helmholtz dans le domaine fréquentiel :
où ω constitue la pulsation des ondes.
∆ˆp + k 2 ˆp = 0 (9.2)
225

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Résoudre l’Eq. 9.2 nécessite le choix de conditions aux limites pour le domaine de calcul. Ces conditions
aux limites peuvent être de trois types :
⊲ la fluctuation normale de vitesse acoustique est nulle ( −→ û . −→ n = 0), ce qui assimile la condition limite
à un mur ou une entrée réfléchissante où la vitesse du fluide est parfaitement imposée,
⊲ la fluctuation de pression acoustique est nulle (ˆp = 0), ce qui correspond à une sortie complètement
réfléchissante où la pression est rigoureusement imposée,
⊲ l’impédance acoustique Z est fixée (Z = (ˆp)/(ρ 0 c 0
−→û .
−→ n )).
Le code de calcul AVSP résout l’équation de Helmholtz (Eq. 9.2) dans les 3 dimensions de l’espace. Le
champ spatial de vitesse du son est directement donné par la simulation SGE via la composition et la
température locales du mélange.
Calculs AVSP sur le système [plénum + injecteur]
Les échelles de longueur liées à l’acoustique étant bien plus grandes que celles liées à la turbulence, il n’est
pas nécessaire de disposer du même raffinement spatial que pour un calcul SGE. Par conséquent, le maillage
d’un calcul AVSP comporte beaucoup moins de noeuds que celui requis par un calcul SGE (typiquement
entre 5 et 20 fois moins de noeuds) comme le montre la Table 9.8.
Maillage pour la Simulation Maillage pour le solveur
aux Grandes Echelles de Helmholtz
Type de maillage
non structuré 3D
Type de cellule
tétraédrique
Nombre de noeuds ≃ 400000 ≃ 85000
Nombre de cellules ≃ 2126000 ≃ 445000
Volume de cellule minimal 2.04 10 −12 m 3 2.12 10 −12 m 3
Localisation
Vrille pilote interne
Volume de cellule maximal 1.07 10 −4 m 3 2.26 10 −7 m 3
Localisation
)
Atmosphère Atmosphère
Ratio
5.25 10 7 1.07 10 5
(
V olume de la plus grosse maille
V olume de la plus petite maille
TAB. 9.8 - Configuration TLC NC - Propriétés des maillages pour la SGE et le solveur acoustique.
Afin de s’affranchir des modes acoustiques basse fréquence générés dans l’atmosphère du domaine de calcul,
on réalise un maillage sans cette dernière. Ce maillage est visible sur la Fig. 9.14.
Sur ce maillage, on définit dans un premier temps une condition de sortie simple : les fluctuations de
pression acoustique sont nulles en sortie soit p 1 = 0. Une telle condition donne accès à des modes propres
acoustiques dans le plenum et l’injecteur mais aussi à des modes liés au petit volume résiduel en aval de
l’injecteur. Les autres conditions limites sont des conditions de vitesse acoustique nulle. Pour discriminer
les derniers modes associés au volume résiduel et s’assurer de la validité du calcul, un second calcul avec
une condition de sortie à impédance unitaire s’avère nécessaire.
En effet, on peut montrer que sur un problème monodimensionnel comportant en entrée une condition à
vitesse acoustique imposée et en sortie une condition d’impédance Z quelconque (Fig. 9.15), les fréquences
226

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.14 - Configuration TLC NC - Maillage du sytème [plénum + injecteur] retenu pour le calcul des modes
propres acoustiques (saignée verticale dans le maillage).
des modes propres s’écrivent (Nicoud et al. [126]) :
f n = n c 0
2L + c 0
2πL arctan(− i ) avec n ∈ N (9.3)
Z
Si l’impédance est imaginaire pure, la fréquence propre est purement réelle. Par contre, si Z est un réel pur
noté a, il est possible d’écrire les fréquences propres sous la forme (Nicoud et al. [126]) :
f n = n c 0
2L − i c ( )
0 a + 1
4πL ln a − 1
avec n ∈ N (9.4)
L’Eq. 9.4 permet de voir que si Z → 1, alors Im(f n ) → −∞, ce qui traduit un amortissement infini des
ondes acoustiques sur la sortie. Un calcul comportant une impédance unitaire en sortie nous permet donc
d’éliminer les modes associés spécifiquement à la condition de sortie p 1 = 0 comme le mode 7 dans la
Table 9.10.
X = 0
X = L
X
FIG. 9.15 - Schéma d’un problème monodimensionnel d’acoustique.
227

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Les résultats sont récapitulés dans les Tables 9.9 et 9.10 pour le calcul des modes 1 à 4 et 5 à 8 respectivement.
La numérotation des modes est faite à partir des fréquences propres croissantes obtenues sur le cas à
pression acoustique nulle en sortie.
Le mode 1 est a priori le mode du résonateur de Helmholtz assimilé à la forte restriction de section induite
par le swirler (chapitre 8 de Poinsot & Veynante [138]). Ce mode basse fréquence est reconnaissable sur
les champs spatiaux de p 1 : on a une très forte augmentation de la pression acoustique dans le passage du
swirler suivie d’une augmentation beaucoup plus faible dans le plenum.
Le mode 2 est le premier mode longitudinal du plenum.
Les modes 3 et 4 sont les premiers modes transverses conjugués du plenum. Malgré la section carrée du
plenum, les 2 modes sont décalés en fréquence, ce qui est peut-être dû à la présence du coffrage des tubes
d’amenée de carburant qui induit une dissymétrie entre les deux directions transverses.
Les modes 5 et 6 sont clairement conjugués (fréquences propres très proches) et sont la combinaison des
premiers modes transverse et longitudinal du plenum.
Le mode 7 met en jeu le volume résiduel de sortie et n’est pas retrouvé dans les calculs à impédance unitaire
puisque la sortie n’entretient pas les ondes acoustiques dans ce cas de figure.
Le mode 8 est le deuxième mode longitudinal du plenum.
Seul le premier mode de la configuration TLC NC présente une fréquence propre inférieure à 1000 Hz, tous
les autres correspondent à des combinaisons de modes longitudinaux ou transverses qui sont à plus haute
fréquence.
228

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Mode Fréquence Structure
propre propre spatiale
Sortie Sortie Sortie Sortie
(p 1 = 0) (Z = 1) (p 1 = 0) (Z = 1)
1 343 345
2 1320 1331
3 1575 1574
4 1654 1653
TAB. 9.9 - Configuration TLC NC - Modes propres acoustiques obtenus par AVSP (modes 1 à 4) : Fréquences
propres et champs spatiaux de p 1 (coupes verticale et horizontale).
229

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Mode Fréquence Structure
propre propre spatiale
Sortie Sortie Sortie Sortie
(p 1 = 0) (Z = 1) (p 1 = 0) (Z = 1)
5 2025 2027
6 2031 2032
7 2162 -
-
8 2321 2320
TAB. 9.10 - Configuration TLC NC - Modes propres acoustiques obtenus par AVSP (modes 5 à 8) : Fréquences
propres et champs spatiaux de p 1 (coupes verticale et horizontale).
230

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
Etude spectrale locale
L’approche SGE résout directement les grandes échelles et permet ainsi d’avoir accès aux mouvements
instationnaires de ces échelles. Le contenu spectral des grandes échelles est donc accessible en calculant
localement les transformées de Fourier par FFT (Fast Fourier Transform) sur les grandeurs physiques
données par le calcul SGE.
Dans un premier temps, on calcule des FFT sur des signaux temporels en pression et en vitesse. Les
caractéristiques de ces signaux sont données dans la Table 9.3.3. On notera que la fréquence de Nyquist
est a priori supérieure à la fréquence maximale caractéristique des structures instationnaires résolues de
l’écoulement, ce qui permet d’éviter l’apparition d’artefacts à basses fréquences créés par le repliement
spectral des hautes fréquences.
Durée totale du signal
Résolution fréquentielle
Temps d’échantillonnage
Fréquence de Nyquist
65ms
15Hz
7.5µs
67kHz
TAB. 9.11 - Configuration TLC NC - Caractéristiques des signaux temporels extraits.
La Figure 9.16 donne la position et l’identifiant des sondes où sont extraits les signaux temporels. Les
sondes Ax1 à Ax8 permettent de connaître l’évolution des structures turbulentes le long de l’axe central
depuis le coeur de l’injecteur jusqu’à 20 mm en aval du fond de chambre. Les sondes P Ext1 à P Ext4
marquent l’interaction entre les écoulements issus des deux étages de vrilles pilotes. Les sondes Ext1 à Ext4
sont positionnées dans l’écoulement issu des vrilles externes.
Les coordonnées des sondes de calcul sont données dans la Table 9.12 en fonction de leur identifiant marqué
sur la Fig. 9.16.
Les Figures 9.17, 9.18, 9.19 et 9.20 donnent les FFT associées aux sondes ”Ax1” à ”Ax8” et cela pour les
trois composantes de vitesse du gaz u g , v g , w g (suivant les directions X, Y, Z respectivement) et la pression
respectivement. Plusieurs remarques peuvent être faites :
⊲ l’amplitude des FFT diminue à mesure que l’on s’éloigne de l’injecteur et cela, quelle que soit la
grandeur physique considérée. Cette observation est valide sur tout le domaine fréquentiel et traduit la
réduction de la turbulence dans la zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ).
⊲ un certain nombre de maxima d’amplitude de FFT se détachent sur les Fig. 9.17 à 9.20. Ces pics
sont fortement atténués à partir de la sonde ”Ax6”, ce qui rejoint la remarque précédente. De plus, la
fréquence de ces pics diffère en fonction de la grandeur considérée.
⊲ un seul pic est visible à la fois sur la pression et sur les vitesses v et w : le pic à 2160 Hz. Ce pic
est particulièrement fort sur les vitesses v et w et devient invisible à compter de la sonde ”Ax6”, ce
qui indique qu’une structure tourbillonnaire animée principalement d’un mouvement de giration est
décalée par rapport à l’axe central une fois passé le bol pilote interne. La description de cette structure
correspond au PVC qui est généralement identifié comme le phénomène instationnaire le plus intense
dans les tourbillonneurs expérimentaux.
⊲ aucune fréquence ne se détache fortement sur les sondes hors de l’axe, ce qui indique notamment que
le PVC n’est plus actif dans ces zones, tout du moins à la fréquence de 2160 Hz.
231

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Ext1
P_Ext1
P_Ext2
Ax1, Ax2, Ax3, Ax4, Ax5,
Ax6, Ax7, Ax8
Ext2
Coupe verticale (Y=0)
Coupe horizontale (Z=0)
Ext3
P_Ext3
P_Ext4
Ax1, Ax2, Ax3, Ax4, Ax5,
Ax6, Ax7, Ax8
Ext4
FIG. 9.16 - Configuration TLC NC - Localisation et identifiants des sondes.
Identifiant X Y Z
de la sonde
Ax1 -25.5 0 0
Ax2 -24.0 0 0
Ax3 -22.0 0 0
Ax4 -20.0 0 0
Ax5 -15.0 0 0
Ax6 -10.0 0 0
Ax7 -5.0 0 0
Ax8 20.0 0 0
P Ext1 -11.7 0 9.0
P Ext2 -11.7 0 -9.0
P Ext3 -11.7 9.0 0
P Ext4 -11.7 -9.0 0
Ext1 -2.6 0 22.0
Ext2 -2.6 0 -22.0
Ext3 -2.6 22.0 0
Ext4 -2.6 -22.0 0
TAB. 9.12 - Configuration TLC NC - Coordonnées (en mm) des sondes du calcul SGE.
Afin de voir si certaines fréquences observées sur l’axe central de la configuration se retrouvent ailleurs
dans l’injecteur, les signaux de pression sont analysés en sortie de l’étage des vrilles pilotes externes (sondes
232

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
820 Hz
FIG. 9.17 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse axiale u pour les sondes Ax1 à Ax8.
P Ext1 à P Ext4 sur la Fig. 9.16) et en sortie de l’étage des vrilles externes (sondes P Ext1 à P Ext4 sur
la Fig. 9.16). Seuls les signaux de pression sont analysés car ils permettent de visualiser la plupart des
fréquences citées précédemment.
En sortie de l’étage des vrilles pilotes externes (Fig. 9.21), on s’attend à une complexification du contenu
spectral due à l’interaction entre la couche de mélange et la zone de recirculation centrale. Ainsi, on observe
bien plus de pics de fréquence que sur l’axe central (Fig. 9.20). Quant aux pics décelés sur l’axe, le pic de
fréquence à 820 Hz est atténué par rapport aux signaux de pression des sondes Ax1 à Ax4. Le pic à 2160
Hz du PVC reste décelable sur les sondes P Ext2, P Ext3 et P Ext4, la sonde P Ext1 n’affichant pas de pic
à cette fréquence.
En sortie de l’étage des vrilles externes (Fig. 9.22), le pic à très basse fréquence n’apparaît plus que sur la
sonde Ext1. On observe une région de plus forte amplitude autour de 1200 Hz tandis que les pics à 820 Hz
(le battement axial du point de stagnation amont de la CTRZ ?) et 2160 Hz (le PVC) ne sont plus visibles
sur la Fig. 9.22. Le PVC ne s’étend donc pas radialement jusqu’au niveau des vrilles externes.
Les fréquences des modes propres acoustiques calculés par le solveur de Helmholtz (section 9.3.3) ne sont
pas identifiées sur les FFT en vitesse/pression obtenues localement dans l’injecteur. Cette observation indique
que l’écoulement d’air dans l’injecteur capturé par la SGE n’est pas clairement dominé par l’acoustique.
233

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
580 Hz
2160 Hz
FIG. 9.18 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse v pour les sondes Ax1 à Ax8.
450 Hz
1400 Hz
2160 Hz
FIG. 9.19 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la vitesse w pour les sondes Ax1 à Ax8.
234

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
40
0
160
120
80
0
0
0
0
0
0
0
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
3000
4000
4000
4000
4000
4000
4000
4000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
Sonde Ax1
6000
Sonde Ax2
6000
Sonde Ax3
6000
Sonde Ax4
6000
Sonde Ax5
6000
Sonde Ax6
6000
Sonde Ax7
6000
Sonde Ax8
0
40
0
6000
1000
2000
3000
4000
5000
FIG. 9.20 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes Ax1 à Ax8.
100
80
60
40
Sonde P_Ext1
20
0
100
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
80
60
40
Sonde P_Ext2
20
0
100
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
80
60
40
20
Sonde P_Ext3
0
100
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
80
60
40
20
Sonde P_Ext4
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
FIG. 9.21 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes P Ext1 à P Ext4.
235

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
140
120
100
80
60
Sonde Ext1
40
20
0
140
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
120
100
80
60
40
Sonde Ext2
20
0
140
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
120
100
80
60
40
Sonde Ext3
20
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
120
80
40
Sonde Ext4
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
FIG. 9.22 - Configuration TLC NC - Amplitude de la FFT sur la pression pour les sondes Ext1 à Ext4.
Etude spectrale globale
Afin de localiser les régions du domaine de calcul qui présentent une forte réponse de l’écoulement à une
fréquence donnée, on extrait 400 solutions du calcul SGE espacées de 0.045 ms, ce qui permet d’obtenir
une résolution fréquentielle de l’ordre de 60 Hz. Cette résolution fréquentielle permet d’obtenir 10 solutions
par période pour analyser la fréquence 2160 Hz. Le temps physique total donne accès à 15 périodes de
phénomènes à 2160 Hz. Une carte de densité spectrale de puissance (DSP) est obtenue en calculant en
chaque point du maillage le rapport a(f)∗a(f)
T
avec a(f) l’amplitude du coefficient de la FFT locale à la
fréquence f et T la durée totale sur l’ensemble des solutions.
Les Figures 9.23 et 9.24 présentent les cartes spectrales à la fréquence 2160 Hz obtenues respectivement
pour la vitesse axiale et la pression. Concernant la vitesse axiale, les régions de forte intensité de la DSP
sont restreintes au bol pilote internes et n’apparaissent pas sur l’axe central, ce qui confirme les observations
faites sur les sondes de l’axe central. Sur la pression, on observe une zone tubulaire qui s’écarte de l’axe
central avec l’ouverture du bol pilote interne avant d’être détruit par l’écoulement issu des vrilles pilotes
externes. La CTRZ ne présente aucune activité à cette fréquence sur la pression et la vitesse axiale.
236

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.23 - Configuration TLC NC - Carte spectrale à 2160 Hz sur la vitesse axiale (haut : coupe transverse (Y = 0) ;
bas : coupe transverse (Z = 0)).
FIG. 9.24 - Configuration TLC NC - Carte spectrale à 2160 Hz sur la pression (haut : coupe transverse (Y = 0) ;
bas : coupe transverse (Z = 0)).
237

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
9.3.4 Analyse de l’écoulement moyen
L’analyse de l’écoulement gazeux moyen est scindée comme suit :
• les variations du nombre de swirl dans les divers étages d’injection sont examinées afin de mieux
comprendre l’interaction des mouvements de giration issus de chaque étage de vrille.
• le profil de vitesse axiale moyenne le long de l’axe central caractérise la CTRZ.
• l’observation des champs moyens et fluctuants des diverses composantes de vitesse permet d’approfondir
la connaissance des phénomènes déjà relevés dans la section 9.3.2.
• la comparaison entre les profils expérimentaux et numériques permet finalement d’estimer la
prédictivité de la méthode SGE sur cette configuration.
Variations du nombre de swirl dans l’injecteur
Le nombre de swirl S est défini par l’Eq. 1. Cependant, même ce nombre de swirl simplifié est difficile
à obtenir en pratique car sa définition impose de connaitre localement les profils de vitesses axiale et
azimutale dans les différents étages du swirler. En revanche, dans le calcul SGE, il est aisé d’obtenir les
nombres de swirl dans les différents étages de vrille.
Bol pilote interne
S ! 0.42
Bol pilote externe
S ! -0.65
Bol externe
S ! 0.45
Bol d’injection
S ! 0.36
Bol pilote
S ! -0.20
FIG. 9.25 - Configuration TLC NC - Valeurs du nombre de swirl dans l’injecteur.
La Figure 9.25 donne les nombres de swirl reconstruits à partir des profils moyens de vitesses axiale et
azimutale dans chacun des étages du tourbillonneur. Ces valeurs sont à considérer avec précaution car elles
fluctuent avec la position axiale à laquelle on extrait les profils de vitesse. Néanmoins, les valeurs de S
obtenues soulèvent plusieurs remarques :
238

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
⊲ Le swirl contra-rotatif issu du bol pilote externe réduit le swirl issu du bol pilote interne : on passe
ainsi de S = 0.42 dans le bol pilote interne à S = −0.20 dans le bol pilote qui réunit les 2 étages
pilotes.
⊲ Le swirl est significativement plus fort dans le bol externe que dans le bol pilote.
⊲ Le nombre de swirl au niveau du fond de chambre est environ égal à 0.4, ce qui explique le faible
éclatement du jet en sortie d’injecteur. On notera que cette valeur est inférieure à la valeur critique de
S pour laquelle on a généralement la formation d’une CTRZ (Syred & Beer [186], Lilley [106], Syred
[185]). La valeur critique du nombre de Swirl est donc certainement différente dans un tourbillonneur
de cette complexité.
Profil de vitesse axiale moyenne sur l’axe central
La Figure 9.26 présente les variations de vitesse axiale moyenne ainsi que les variations normalisées
de pression le long de l’axe central de la configuration. La normalisation de la pression est réalisée en
considérant la pression atmosphérique comme pression de référence (p 0 = 101300 Pa). Ces variations
sont fortement couplées avec les variations de la section géométrique de passage dans chaque étage de
vrille ainsi que par le croisement des écoulements issus de chaque étage de vrille. En effet, la restriction de
section dans la partie amont du bol pilote interne induit une forte accélération du fluide par conservation
de la quantité de mouvement axiale. En parallèle, la vitesse azimutale augmente aussi dans cette zone par
conservation de la quantité de mouvement azimutale. Si l’on considère l’équation de Navier-Stokes d’un
écoulement incompressible pour la quantité de mouvement azimutale, on aboutit à (chapitre 10 de Lieuwen
& Yang [105]) :
∂p
∂r = −ρu2 θ
r
avec p la pression, ρ la densité, u θ la vitesse azimutale et r la distance radiale. L’Eq. 9.5 montre clairement
que la pression diminue avec une augmentation de la vitesse azimutale, ce qui se produit dans les zones
de fort swirl. Avec l’ouverture du jet dans la partie aval du bol pilote interne, le swirl diminue et la
pression augmente. En conséquence, un gradient de pression adverse est généré le long de l’axe central. La
Figure 9.26 confirme que ce gradient de pression adverse est suffisamment fort pour générer une CTRZ à
partir de la position X = -15mm. Dans la CTRZ, la variation de pression se stabilise tandis que la vitesse
axiale présente deux minima successifs. Ces deux minima sont certainement dus à la présence de l’étage de
vrille pilote externe. En effet, l’étage de vrilles pilotes externes réduit le swirl initialement induit par l’étage
pilote interne comme la Fig. 9.25 le montre. Le gradient adverse de pression perd en intensité et la vitesse
axiale remonte. Le croisement avec l’écoulement externe entraîne ensuite une nouvelle augmentation du
swirl, ce qui induit un nouveau minimum de vitesse un peu plus loin en aval. Une fois atteint ce deuxième
minimum, le gradient de pression adverse baisse en intensité et la vitesse axiale peut à nouveau augmenter.
Le point de stagnation aval de la CTRZ se situe vers l’abscisse X = 45mm, ce qui donne une longueur axiale
de 60mm pour la CTRZ.
(9.5)
239

!P/P * 200
SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Vitesse axiale (m/s)
0
FIG. 9.26 - Configuration TLC NC - Profils de vitesse axiale (trait plein) et de variation de pression normalisée (trait
pointillé avec les symboles) le long de l’axe central ((X = 0) marque le fond de chambre).
Observation des champs moyens et fluctuants
La vitesse du gaz s’écrit (u g , v g , w g ) T
moyennés sur 120ms de temps physique.
dans le repère cartésien (X,Y,Z). Les profils de vitesse sont
Les Figures 9.27 et 9.28 présentent les champs moyens de vitesse axiale et azimutale dans les plans (Y
= 0) et (Z = 0) respectivement. Ces champs ont été obtenus en moyennant pendant 50 ms de temps physique.
Le champ moyen de vitesse axiale (Fig. 9.27) montre l’étendue radiale et axiale de la CTRZ. Le point de
stagnation amont est situé dans le bol pilote interne tandis que le point de stagnation aval se situe à environ
45 mm en aval du fond de chambre, ce qui rejoint les observations faites sur la Fig. 9.26. L’extension radiale
maximale de la CTRZ est d’environ 35 mm. Les observations faites sur les champs instantanés restent
valides : la CTRZ agit comme un obstacle pour l’écoulement et induit une accélération très locale du gaz.
L’écoulement en sortie des vrilles externes s’avère très intense et possède une faible ouverture radiale.
Les zones de recirculation de coin (CRZ) sont altérées par la présence du film de refroidissement du
déflecteur. On remarque aussi une disymétrie flagrante entre les 2 branches de l’écoulement issu des vrilles
externes. Cette disymétrie est particulièrement visible dans le plan (Y = 0) et suggère soit une convergence
trop modeste de la moyenne temporelle des résultats, soit une influence du coffrage des tubes d’amenée de
fuel sur l’écoulement aval dans l’injecteur.
Le champ moyen de vitesse azimutale (Fig. 9.28) met en avant l’aspect contra-rotatif des deux étages de
vrille pilote. La zone de croisement de jet dans le bol pilote est propice à l’apparition de cisaillements dans
la direction azimutale. Cette zone est cependant très réduite car elle est rapidement masquée en aval par le
croisement avec l’écoulement des vrilles externes. De plus, la CTRZ comporte de faibles niveaux de vitesse
azimutale dans la zone proche injecteur avant d’être affectée par le mouvement giratoire de l’écoulement
qui l’enserre. Concernant le film de refroidissement du déflecteur, aucune composante de vitesse azimutale
n’est perceptible sur les deux plans de coupe.
240

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.27 - Configuration TLC NC - Champ moyen de vitesse axiale (gauche : plan (Z = 0), droite : plan (Y = 0)).
La Figure 9.29 permet de localiser les zones présentant une forte énergie cinétique fluctuante, sachant que
l’énergie cinétique fluctuante du gaz est prise égale à 1 2 ((uRMS g ) 2 + (vg
RMS ) 2 + (wg
RMS ) 2 ). Ces zones sont
au nombre de deux :
1. La première zone est située dans le bol pilote et réside dans le pourtour de la CTRZ. Elle traduit la
friction entre l’écoulement issu des vrilles pilotes et la zone centrale de recirculation. On devine aussi
une très forte activité vers le point de stagnation amont de la CTRZ.
2. La seconde zone est associée au jet swirlé issu des vrilles externes. Elle traduit la friction du jet externe
avec le jet interne issu des vrilles pilotes. En effet, ces deux écoulements n’ont pas les mêmes valeurs
de vitesse axiale et azimutale, ce qui induit une friction dans ces deux directions. D’autre part, cette
zone marque aussi le battement spatial de l’extrémité du jet externe.
La Figure 9.30 représente les pseudo-lignes de courant extraits de vecteurs vitesse projetés dans les plans
(Y = 0) et (Z = 0). Comme on pouvait le voir sur les Fig. 9.27 et 9.28, la structure de l’écoulement est très
hiérarchisée avec la présence d’une CTRZ qui remonte profondément dans l’injecteur et des CRZ modifiées
par la présence du film de refroidissement du déflecteur. De plus, l’écoulement qui suit la CTRZ est moins
axisymétrique dans le plan (Y = 0) que dans le plan (Z = 0). Cette asymétrie est inversée pour le film de
refroidissement du déflecteur.
241

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
FIG. 9.28 - Configuration TLC NC - Champ moyen de vitesse azimutale (gauche : plan (Z = 0), droite : plan (Y = 0)).
0.0
2 2
Energie cinétique fluctuante (m /s )
250.0
500.0
125.0
375.0
FIG. 9.29 - Configuration TLC NC - Champ moyen d’énergie cinétique fluctuante (gauche : plan (Y = 0), droite :
plan (Z = 0)).
242

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.30 - Configuration TLC NC - Pseudo-lignes de courant (haut : plan (Y = 0) ; bas : plan (Z= 0)).
243

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Topologie de l’écoulement
La Figure 9.31 indique les régions principales de l’écoulement d’air dans l’injecteur. Dans le bol
pilote interne, on remarque une zone recirculante qui se développe autour de l’atomiseur, ce qui accélère
l’écoulement d’air qui vient des vrilles pilotes. Le PVC n’apparait pas sur un champ moyen suffisamment
convergé et sa position est donnée à titre indicatif sur la Fig. 9.31. Les zones de recirculation en coin (CRZ)
sont restreintes par la présence du film de refroidissement du déflecteur. Ce dernier fusionne rapidement
avec l’écoulement issu des vrilles externes. La zone centrale toroïdale de recirculation (CTRZ) remonte
assez profondément dans le bol pilote et constitue un obstacle au passage de l’air.
PVC
Film de
refroidissement
Jet externe
Zones recirculantes
près de l’atomiseur
CRZ
CTRZ
FIG. 9.31 - Configuration TLC NC - Topologie de l’écoulement de gaz dans l’injecteur.
Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Expérience
Les Figures 9.32 et 9.33 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse axiale
moyenne < u g > pour les 3 plans de mesure retenus dans les expériences (les abscisses sont données sur la
Fig. 9.1).
Les niveaux de vitesse sont légèrement surestimés au niveau des pics de vitesse dans l’injecteur, ce qui est
en accord avec le débit d’air un peu trop élevé qui passe par l’injecteur (cf. la section 9.3.1). On remarque
qu’il est absolument impossible de distinguer les contributions de vitesse axiale de chaque étage de vrille
sur les profils de vitesse axiale. Par contre, les pics de vitesse dus au film de refroidissement du déflecteur
sont sous-estimés par le calcul SGE en raison du trop faible débit qui passe par le film de refroidissement
(cf. la section 9.3.1). Par conséquent, le film est plus sensible à l’écoulement recirculant généré par la
condition d’entrée des trous de collerette, ce qui le rabat vers l’axe central et ainsi décale le pic de vitesse
associé (visible sur les profils verticaux et horizontaux).
244

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
L’éclatement de l’écoulement en sortie du bol d’injection est bien capté par la simulation SGE, tout comme
l’expansion radiale de la CTRZ. Les maxima de vitesse axiale négative dans la CTRZ sont retrouvés sur
l’axe central de la configuration avec le bon niveau. Par contre, on remarque que les zones de recirculation
de coin (CRZ) sont quasiment absentes du calcul SGE, ce qui est à mettre en parallèle avec la fermeture
radiale trop précoce du film de refroidissement.
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40 60
0 20 40 60
0 20 40
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
60
FIG. 9.32 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u g > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
Les Figures 9.34 et 9.35 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse moyenne
< w g > pour les 3 mêmes plans de mesure (Fig. 9.1).
Les profils verticaux de vitesse moyenne < w g > (Fig. 9.34) permettent de quantifier la vitesse radiale du
fluide. Les résultats du calcul SGE sont plus éloignés des mesures. Les pics de vitesse sont maximaux à
X = 8mm, ce qui indique une ouverture plus rapide de l’écoulement à cette position. A X = 15mm et X =
30mm, les profils des mesures LDA comme ceux du calcul SGE sont bien plus tourmentés et présentent peu
de symétrie.
Les profils horizontaux de vitesse moyenne < w g > (Fig. 9.35) permettent de quantifier la vitesse azimutale
du fluide. Le coeur de la CTRZ montre un mouvement giratoire de corps solide puisque la variation spatiale
de vitesse azimutale est linéaire dans le voisinage de l’axe. De plus, le mouvement de giration dans le
coeur de la CTRZ se renforce nettement à mesure que l’on s’éloigne de l’injecteur, ce qui se démarque
des observations expérimentales de Vu & Gouldin [194] ou des simulations de Wang & Yang [195] sur des
swirlers à deux étages contra-rotatifs. En parallèle, les niveaux de vitesse azimutale décroissent rapidement
dans l’écoulement issu des vrilles externes.
245

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
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-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40 60
0 20 40 60
0 20 40
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
60
FIG. 9.33 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u g > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
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-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.34 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w g > aux 3 plans de mesure (symboles :
mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
246

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
-20
-20
-20
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-40
-40
-60
-60
-60
-40 -20 0 20 40
-40 -20 0 20 40
-40 -20 0 20 40
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.35 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w g > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
247

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Les Figures 9.36 et 9.37 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse axiale
fluctuante moyenne u RMS
g .
Les pics de vitesse axiale moyenne fluctuante sont situés dans les zones de cisaillement, que ce soit pour
l’injecteur ou le film de refroidissement du déflecteur. De plus, les pics associés à l’injection conservent
globalement les mêmes niveaux sur les 3 plans de mesure même si les calculs SGE donnent des niveaux
de fluctuations maximales légèrement supérieures aux mesures expérimentales. Dans le calcul SGE, les
fluctuations de vitesse axiale fluctuante moyenne associées au film de refroidissement sont absentes dès X
= 15mm, ce qui signale la faible pénétration axiale du film.
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
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-40
-40
-60
-60
-60
0
5
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25
0
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25
0
5
10
15
20
25
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.36 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
g
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
aux 3 plans de mesure
Les Figures 9.38 et 9.39 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse fluctuante
moyenne wg RMS .
Dans les deux cas, les profils expérimentaux sont reproduits par le calcul SGE. De plus, comme sur les
Fig. 9.36 et 9.37, on voit que l’amplitude des fluctuations moyennes de vitesse augmente dans la CTRZ à
l’abscisse X = 30mm, comparativement aux abscisses X = 8mm et X = 15mm.
248

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
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-40
-40
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-60
-60
0
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0
5
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20
0
5
10
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20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.37 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
g
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
aux 3 plans de mesure
60
60
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Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
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-40
-40
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-60
0
5 10 15 20
0 5 10 15 20
0 5 10 15
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
20
FIG. 9.38 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse fluctuante w RMS
g aux 3 plans de mesure (symboles :
mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
249

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
5 10 15
0 5 10 15
0 5 10
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
15
FIG. 9.39 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse fluctuante wg
RMS
(symboles : mesures LDA ; trait gras : calcul SGE).
aux 3 plans de mesure
9.3.5 Comparaison qualitative avec la configuration confinée
Dans la configuration confinée de l’injecteur TLC SNECMA (TLC C), la chambre de test est mise sous
pression via l’adjonction d’une tuyère en sortie. La Figure 9.40 présente une vue du maillage retenu pour la
configuration confinée.
Au point de fonctionnement ralenti décrit via les conditions limites dans la Table 9.13, la tuyère est amorcée
et la chambre est alors portée à une pression de 4.3 bars et une température de 470.2K.
Dans le régime de fonctionnement ralenti, seul l’atomiseur pilote est alimenté en carburant. Par rapport
aux paramètres de calcul de la configuration non confinée (section 9.2.4), seul le schéma numérique diffère
puisque les résultats obtenus avec le schéma LW sont montrés dans cette section.
Profil de vitesse axiale moyenne sur l’axe central
La Figure 9.41 présente les variations de vitesse axiale moyenne ainsi que les variations normalisées
de pression le long de l’axe central de la configuration. La normalisation de la pression est réalisée en
considérant la pression atmosphérique comme pression de référence (p 0 = 101300 Pa).
L’écoulement est fortement recirculant sur l’axe central avec une CTRZ qui s’étend de X = -12mm à X
= 100mm. Par rapport à la configuration TLC NC, la CTRZ est ici bien plus étendue dans la direction
axiale. Les niveaux de vitesse négative sont aussi plus importants qu’en non confiné. Cette CTRZ est encore
250

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
1
2
3
1: Coupe axiale à l’entrée du plenum (X = -115mm)
2: Coupe transverse dans l’injecteur
3: Coupe axiale dans la chambre (X = 30mm)
FIG. 9.40 - Configuration TLC C - Coupes transverse et axiale du maillage.
PHASE PORTEUSE
Entrée du plenum
Débit massique [g/s] ≃ 350
Température [K] 470.2
Entrée des trous de collerette
Débit massique [g/s] ≃ 12
Température [K] 470.2
Sortie de la chambre
supersonique (tuyère amorcée)
Parois
Lois de paroi
PHASE DISPERSEE
Injection pilote
Débit massique [g/s] 4.6
Température [K] 278
Injection multi-points
-
Sortie de la chambre
Convection des grandeurs liquides en sortie
Parois
Condition de glissement
TAB. 9.13 - Configuration TLC C - Conditions aux Limites du calcul SGE.
précédée par une zone de forte vitesse axiale positive qui marque le rétrécissement de section dans le bol
pilote interne.
251

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Vitesse axiale (m/s)
!P / P0 * 1000
FIG. 9.41 - Configuration TLC C - Profils de vitesse axiale et de variation de pression normalisée le long de l’axe
central (X = 0 marque le fond de chambre).
Observation des champs moyens et fluctuants
La Figure 9.42 présente le champ moyen de vitesse axiale dans les coupes transverses (Y = 0) et (Z = 0).
Ces champs ont été obtenus en moyennant sur 110ms de temps physique de calcul.
Le champ moyen de vitesse axiale (Fig. 9.27) montre notamment l’étendue radiale et axiale de la CTRZ.
Le point de stagnation amont est situé dans le bol pilote interne tandis que le point de stagnation aval se
situe à environ 100mm en aval du fond de chambre, ce qui rejoint les observations faites sur la Fig. 9.41.
L’extension radiale maximale de la CTRZ est d’environ 40 mm, ce qui est supérieur à l’extension radiale
de la CTRZ relevée en non confinée. Par ailleurs, le confinement de la chambre induit une fermeture plus
rapide de la CTRZ si on la compare au cas non confiné (Fig. 9.27). L’écoulement externe est lui aussi
affecté et s’ouvre beaucoup plus dans le cas confiné.
Concernant le film de refroidissement du déflecteur, sa pénétration axiale reste toujours aussi faible. Il est
très rapidement englobé dans les jets issus du swirler qui impactent les parois.
La Figure 9.43 représente les pseudo-lignes de courant dans les plans (Y = 0) et (Z = 0). La CTRZ présente
une seule cellule toroïdale qui est centrée le long de l’axe de la configuration. De plus, on voit clairement
que la diminution graduelle de section dans le plan (Z = 0) restreint très rapidement l’extension axiale de la
CTRZ, à la différence de la configuration non confinée (Fig. 9.30).
Le film de refroidissement fusionne rapidement avec l’écoulement issu des vrilles externes, ce qui n’était
pas le cas dans la coupe transverse (Y = 0) de la configuration non confinée (Fig. 9.30). A proximité de
l’atomiseur dans le bol pilote interne, on remarque toujours une zone de recirculation qui est entièrement
induite par la forme du passage. En effet, à cet endroit, l’espace offert augmente très rapidement, ce qui
permet l’apparition d’une poche recirculante.
La Figure 9.44 permet de localiser les zones présentant une forte énergie fluctuante. Deux zones se dis-
252

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
FIG. 9.42 - Configuration TLC C - Champ moyen de vitesse axiale (haut : plan (Y = 0), bas : plan (Z = 0)).
FIG. 9.43 - Configuration TLC C - Pseudo-lignes de courant (haut : plan (Y = 0) ; bas : plan (Z= 0)).
tinguent plus particulièrement par les forts niveaux d’énergie cinétique fluctuante :
253

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
1. La première zone est située en sortie d’injecteur et prend approximativement la forme d’un V à partir
du bol pilote. Cette zone marque le cisaillement dans les directions axiale et azimutale entre la CTRZ
et le jet swirlé débouchant de l’injecteur. La dissymétrie précédemment observée sur la coupe transverse
(Y = 0) de la Fig. 9.42 se retrouve sur le champ d’énergie cinétique fluctuante. Cette zone reste
tout à fait visible en non confiné comme l’atteste la Fig. 9.29. En non confiné, cette zone recouvre
aussi très largement l’extrémité du jet externe, ce qui n’est pas le cas sur la Fig. 9.44.
2. La second zone est associée au film de refroidissement du déflecteur qui débouche dans la chambre.
Cette activité fluctuante reflète le fort battement axial du film. De plus, la dissymétrie observée sur la
coupe transverse (Y = 0) de la Fig. 9.44 se traduit par une zone d’activité maximale bien plus proche
de la bouche du film de refroidissement, ce qui est normal vue la position d’impact du bras supérieur
du jet externe issu de l’injecteur. Cette activité n’est pas observée dans le cas non confiné (Fig. 9.29).
En parallèle, la Figure 9.44 montre de faibles niveaux d’énergie cinétique fluctuante dans la CTRZ, exactement
comme dans la configuration non confinée.
0.0
2 2
Energie cinétique fluctuante (m /s )
250.0
500.0
125.0
375.0
FIG. 9.44 - Configuration TLC C - Champ moyen d’énergie cinétique fluctuante (gauche : plan (Y = 0), droite : plan
(Z = 0)).
Conclusion sur la configuration confinée
La configuration confinée induit une structure d’écoulement d’air différente par rapport à la configuration
non confinée :
⊲ la CTRZ présente une extension radiale beaucoup plus importante. Sa pénétration axiale est rapidement
limitée par la tuyère en sortie de chambre, ce qui explique la fermeture brutale de la CTRZ.
⊲ les films de refroidissement du déflecteur sont ici fortement réduits par l’extension radiale de la
CTRZ.
⊲ l’écoulement issu des vrilles externes présente une importante disymétrie dans la direction verticale,
cette disymétrie étant bien plus marquée que dans la configuration non confinée.
254

9.3 Résultats des calculs SGE de l’écoulement gazeux
9.3.6 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement gazeux
Le calcul SGE de l’écoulement gazeux a mis en avant :
⊲ l’interaction instationnaire de plusieurs phénomènes turbulents. En particulier, la simulation SGE a
capturé la génération de tourbillons en bout de PVC, tourbillons qui entourent la CTRZ.
⊲ la faible ouverture de l’écoulement externe qui réduit l’expansion radiale de la CTRZ. De plus, la
simulation SGE a aussi confirmé que le débit qui passe par l’étage externe est largement supérieur à
celui qui passe par le bol pilote.
⊲ la remontée de la CTRZ dans l’injecteur. En outre, l’expansion radiale et les niveaux de vitesse dans
la CTRZ sont en bon accord avec les profils expérimentaux de vitesse axiale.
Une légère dissymétrie sur les profils de vitesse axiale (Fig. 9.32) dans la direction verticale a été observée
dans le calcul comme on peut le voir sur la Fig. 9.45 puis confirmée par les mesures expérimentales. Cette
dissymétrie semble liée à la présence du coffrage des tubes d’amenée de carburant qui perturbe l’écoulement
d’air en amont de l’injecteur. Prendre en compte la géométrie complète du plénum s’avère donc indispensable
si l’on veut retrouver d’éventuelles anisotropies des profils de vitesse en aval de l’injecteur.
FIG. 9.45 - Configuration TLC NC - Comparaison des profils calculés horizontaux et verticaux de vitesse axiale
moyenne u g aux 3 plans de mesure (trait gras : profil horizontal ; trait pointillé : profil vertical).
255

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
L’étude de l’écoulement liquide porte uniquement sur l’écoulement de la phase dispersée moyenné sur
120 ms. Cette étude est divisée dans le même esprit que celle du gaz :
Section 9.4.1 : la localisation des gouttes est d’abord analysée au travers de champs moyens de fraction
volumique liquide comparés à des images du spray obtenues par tomographie laser.
Section 9.4.2 : la dynamique des gouttes est analysée au travers de lignes de courant 3D. Des champs
moyens de trainée axiale permettent de localiser l’action du gaz sur les 3 tailles de goutte.
Section 9.4.3 : l’analyse de l’écoulement moyen de la phase dispersée dans chaque calcul SGE permet
de définir sa structure en fonction du diamètre des particules. La comparaison avec les mesures
expérimentales des profils radiaux de vitesse liquide est menée à bien.
9.4.1 Observation du spray de gouttes
La Figure 9.46 compare la topologie du spray observé dans l’expérience (image obtenue par tomographie
laser) avec celle obtenue dans le calcul (champ moyen de fraction volumique pour des gouttes à 15µm). On
voit que l’accord est bon entre la visualisation expérimentale et le calcul SGE.
La remontée de la CTRZ dans l’injecteur réduit la pénétration axiale du spray. Le spray a une structure creuse
et la zone sans gouttes (zone centrale noire sur la Fig. 9.46) conserve approximativement une extension
radiale constante.
De plus, la Figure 9.46 permet d’évaluer l’angle du spray en sortie d’atomiseur : environ 50 ◦ , ce qui est
un peu plus ouvert que l’écoulement de gaz comme on peut le voir par exemple sur la Fig. 9.27. L’angle
du spray en sortie d’atomiseur est donc défini plus par la dynamique de l’écoulement d’air dans l’injecteur
que par la condition d’injection qui prescrit plutôt une angle de 60 ◦ en accord avec les caractéristiques de
l’atomiseur (cf. le chapitre 4).
Tomographie laser
Calcul SGE à 15µm
FIG. 9.46 - Configuration TLC NC - Localisation du spray de gouttes dans l’expérience et le calcul SGE (gouttes à
15µm) (gauche : tomographie laser du spray (photo ONERA) ; droite : Champ moyen de fraction volumique de
liquide en coupe transverse (Y = 0) dans le calcul (noir : 1.0 10 −7 ; blanc : 1.0 10 −4 )).
256

9.4.2 Observations sur la dynamique des gouttes
9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
La dynamique des gouttes est directement liée à la force de traînée qu’elles subissent de la part du
fluide porteur. Or la force de traînée dépend directement de leur taille et du différentiel de vitesse avec le
fluide porteur. Suivant le même raisonnement que dans la section 7.2.2, on vérifie les valeurs du nombre de
Reynolds particulaire construit à partir des vitesses axiales des deux phases (Eq. 1.21) dans les simulations
SGE. La Figure 9.47 montre les champs de nombres de Reynolds axiaux des gouttes pour les 3 calculs SGE
(comportant des tailles de goutte de 5, 15 et 30 microns). Le nombre de Reynolds axial diminue avec la
taille des gouttes, ce qui est normal vue sa formulation (Eq. 1.21). Dans les 3 cas, il reste compris entre 1 et
250, ce qui justifie l’emploi de la correction de Schiller & Nauman [160] pour la force de traînée.
FIG. 9.47 - Configuration TLC NC - Champs moyens de nombres de Reynolds axiaux des gouttes en coupe
transverse (Z = 0) (haut : calcul SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE à 15µm ; bas : calcul SGE à 30µm).
La Figure 9.48 montre les champs de traînée axiale qui indiquent que les particules sont freinées au début
257

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
de la CTRZ et sur le pourtour extérieur du jet externe. Elles subissent par contre une forte accélération dans
le jet externe. Les particules les plus petites (i.e. à 5 microns) exhibent de très larges zones de fort niveau de
traînée axiale : elles suivent donc plus les sollicitations du gaz dans la zone proche injecteur que les deux
autres tailles de gouttes (i.e. à 15 et 30 microns).
FIG. 9.48 - Configuration TLC NC - Champs moyens de traînée axiale des gouttes en coupe transverse (haut : calcul
SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE à 15µm ; bas : calcul SGE à 30µm).
La Figure 9.49 présente les lignes de courant extraites d’un champ moyen de vitesse des gouttes. Pour les 3
tailles de gouttes, les trajectoires sont resserrées dans le bol pilote près de l’axe central avant de brutalement
s’étendre radialement à la sortie de l’injecteur. Les gouttes les plus petites ont un mouvement giratoire plus
intense et semblent confinées dans un tube de rayon constant centré sur l’axe de l’injecteur, ce qui n’est pas
le cas des gouttes de taille intermédiaire (i.e. à 15µm) qui s’éloignent de plus en plus de l’axe central. Sur la
258

9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
Fig. 9.49, l’isosurface bleue de vitesse axiale gazeuse à 50m/s permet de visualiser l’écoulement externe du
gaz tandis que l’isosurface en rouge de vitesse axiale gazeuse nulle représente la CTRZ. Pour les 3 calculs
SGE, les gouttes sont éjectées de la CTRZ avant d’être accélérées par le jet externe.
FIG. 9.49 - Configuration TLC NC - Lignes de courant extraites d’un champ moyen de vitesses avec à droite une
isosurface de u g = 50m/s (bleu) et une isosurface de u g nulle (rouge) (haut : calcul SGE à 5µm ; milieu : calcul SGE
à 15µm ; bas : calcul SGE à 30µm). Les lignes de courant démarrent à la condition d’injection.
9.4.3 Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Expérience
Les profils de vitesse sont moyennés pendant 120ms de temps physique. Précisons que les mesures obtenues
par la méthode PDA (cf. la section 8.2.3) sont finalisées à échéance de l’une de ces deux conditions :
259

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
10000 échantillons ou 20s de temps d’acquisition. De même que pour le gaz, la vitesse du liquide s’écrit
(u l , v l , w l ) T dans le repère cartésien (X,Y,Z).
Les Figures 9.50 et 9.51 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse axiale
moyenne < u l > pour les 3 plans de mesure de l’expérience.
Sur les profils de vitesse axiale moyenne (Fig. 9.50 et 9.51), les calculs SGE monodisperses montrent des
différences marquées. Les particules les plus petites présentent les amplitudes maximales de vitesse axiale.
Ainsi, dans la CTRZ, les plus petites particules présentent les vitesses axiales les plus faibles tandis que
dans le jet externe, ces mêmes particules sont les plus rapides. La faible inertie des plus petites particules
explique que leur vitesse soit plus proche de celle du gaz, notamment dans l’écoulement externe ou dans la
CTRZ. Au contraire, les particules les plus lourdes présentent les amplitudes de vitesse les plus faibles.
Par rapport aux mesures expérimentales, le calcul SGE à 15µm présente les niveaux de vitesse les plus
proches dans le jet externe. Le long de l’axe central, dans la CTRZ, la situation évolue avec l’abscisse de
mesure : à X = 8mm, le calcul SGE à 30µm est le plus proche des mesures tandis qu’à X = 30mm, le calcul
SGE à 5µm présente le meilleur accord avec l’expérience.
La Figure 9.52 montre les profils de diamètre moyen en nombre D 10 mesurés. Le diamètre moyen D 10
mesuré diminue de 20 microns à 14 microns sur l’axe central quand on passe de X = 8 à X = 30mm, ce qui
confirme la prépondérance des petites particules quand on s’avance dans la CTRZ.
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40
0 20 40
0 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
40
FIG. 9.50 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
Les Figures 9.53 et 9.54 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse moyenne
< w l > pour les 3 mêmes plans de mesure.
260

9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
60
60
60
40
40
40
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40
0 20 40
0 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
40
FIG. 9.51 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
Les profils verticaux de vitesse moyenne < w l > (Fig. 9.53) permettent de quantifier la vitesse radiale des
gouttes. La vitesse radiale moyenne des gouttes est qualitativement retrouvée mais il subsiste une mauvaise
évaluation des maxima, cette carence pouvant être reliée au manque de précision sur les profils de vitesse
radiale du gaz (Fig. 9.34).
Les profils horizontaux de vitesse moyenne < w l > (Fig. 9.54) permettent de quantifier la vitesse azimutale
des gouttes. Le calcul SGE à 15µm est le plus proche des mesures expérimentales. Les gouttes subissent
à la fois le mouvement azimutal généré par le bol pilote interne et celui plus fort issu du bol externe. La
distinction entre ces deux contributions s’efface à X = 30mm. La comparaison des 3 calculs SGE confirme
aussi que les niveaux de vitesse azimutale augmentent quand l’inertie des gouttes diminue, ce qui rejoint
l’observation faite sur la Fig. 9.49.
261

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
30
X = 30mm
20
10
0
-40 -20 0 20 40
Z (mm)
30
X = 15mm
20
10
0
-40 -20 0 20 40
Z (mm)
30
X = 8mm
20
10
0
-40 -20 0 20 40
Z (mm)
FIG. 9.52 - Configuration TLC NC - Profils verticaux mesurés de diamètre moyen en nombre D 10 aux 3 plans de
mesure.
262

9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
FIG. 9.53 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 plans de mesure (symboles :
mesures PDA ; traits : calculs SGE).
FIG. 9.54 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
263

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Les Figures 9.55 et 9.56 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse axiale
fluctuante moyenne u RMS
l
.
Le calcul SGE à 30 microns montre invariablement les plus faibles niveaux de fluctuations résolues de
vitesse axiale (Fig. 9.55 et 9.56) qui sont comparables pour les deux tailles de gouttes inférieures, avec des
pics dans le jet externe et un minimum local dans la CTRZ.
Les mesures expérimentales montrent globalement des amplitudes de fluctuations de vitesse axiale plus
élevées que dans les calculs SGE. Cette sous-estimation dans les calculs est certainement imputable à
l’absence de la contribution de mouvement décorrélé dans la partie fluctuante de la vitesse des gouttes
(cf. la section 7.2.2). Par ailleurs, le calcul SGE à 15µm s’avère encore ici le plus proche des mesures
expérimentales, notamment sur les profils à X = 30mm.
60
60
60
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
40
40
40
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.55 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l
aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
Les Figures 9.57 et 9.58 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse fluctuante
moyenne w RMS
l
.
Le calcul SGE à 30 microns montre là aussi les plus faibles niveaux de fluctuations résolues de vitesse
wl
RMS (Fig. 9.55 et 9.56). L’activité fluctuante sur la vitesse radiale (Fig. 9.57) montre un pic au niveau
de l’écoulement issu des vrilles externes dans les calculs SGE à 5 et 15µm. Les profils calculés semblent
cependant dissymétriques à X = 8 et X = 15mm. Concernant la vitesse azimutale, un seul pic apparaît près
de l’axe central sur le profil à X = 30mm. L’activité fluctuante est principalement concentrée dans un tube
centré sur l’axe et de rayon égal à 40mm.
Les mesures expérimentales montrent globalement une amplitude de fluctuations de vitesse radiale
constante dans la CTRZ. L’agitation radiale des gouttes augmente brusquement dans l’écoulement issu des
264

9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
60
60
60
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
40
40
40
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.56 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale fluctuante u RMS
l
aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
vrilles externes. Sur la composante radiale (Fig. 9.55), le calcul SGE à 15µm semble le plus proche des
mesures expérimentales. Pour la composante azimutale (Fig. 9.56), le calcul SGE à 5µm est le plus proche
des mesures expérimentales : la contribution de mouvement décorrélé semble moins importante pour les
gouttes les plus petites.
265

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
60
60
60
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
40
40
40
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.57 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse fluctuante w RMS
l
aux 3 plans de mesure (symboles :
mesures PDA ; traits : calculs SGE).
60
40
60
40
60
40
Mesures
Calcul SGE à 30µm
Calcul SGE à 15µm
Calcul SGE à 5µm
20
20
20
Y (m)
0
Y (m)
0
Y (m)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 9.58 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse fluctuante wl
RMS aux 3 plans de mesure
(symboles : mesures PDA ; traits : calculs SGE).
266

9.4.4 Conclusion sur le calcul SGE de l’écoulement liquide
Les calculs SGE de l’écoulement liquide soulèvent plusieurs remarques :
9.4 Résultats des calculs SGE sur l’écoulement liquide
⊲ la forme du spray de gouttes est conditionnée par l’interaction entre la CTRZ et l’écoulement issu de
l’étage externe du swirler. Dans les 3 calculs SGE, les gouttes traversent le début de la CTRZ jusqu’à
la sortie de l’injecteur avant d’en être éjectées. Elles sont ensuite happées par l’écoulement externe.
L’observation du spray dans les expériences semble confirmer ce scénario.
⊲ la giration de l’écoulement externe du gaz est subie plus fortement par les gouttes les moins inertielles.
Les gouttes les plus inertielles dévient régulièrement de l’axe avec très peu de mouvement giratoire.
⊲ les profils radiaux de vitesse moyenne montrent un comportement des gouttes très similaire à celui du
gaz. On retient notamment des pics de vitesse au niveau de l’écoulement externe ainsi qu’un minimum
de vitesse au niveau de la CTRZ.
⊲ L’agitation turbulente résolue des plus grosses gouttes (30 microns de diamètre) est invariablement
sous-estimée dans les calculs par rapport aux mesures expérimentales qui moyennent les contributions
de toutes les tailles de la distribution de gouttes. Cette différence indique que la contribution de
mouvement décorrélé sur la partie fluctuante des vitesses augmente avec les gouttes les plus inertielles.
Concernant les mesures expérimentales, la fiabilité de la méthode PDA est principalement reliée aux
nombres d’échantillons valides détectés dans le volume d’acquisition, sachant que ce dernier est
généralement proche de 1mm 3 . En effet, un spray contient généralement bien plus de petites gouttes
que de grosses et une mesure de la distribution des tailles ou des vitesses de gouttes doit s’appuyer sur un
large échantillon pour être représentative de toutes les gouttes. Lefebvre [98] a indiqué qu’une variation
du nombre d’échantillons avait une très forte influence sur la précision des résultats de la méthode PDA
comme on peut le voir dans la Table 9.4.4.
Nombre d’échantillons Précision de la mesure
500 ± 17 %
1500 ± 10 %
5500 ± 5 %
35000 ± 2 %
TAB. 9.14 - Influence du nombre d’échantillons sur la précision des mesures PDA de la distribution de tailles de
goutte (chapitre 9 de Lefebvre [98]).
De plus, la méthode PDA s’appuie sur la théorie de diffraction de Mie qui n’est valide que pour des
gouttes sphériques. Pour information, les gouttes détectées dans les mesures ONERA présentent un taux de
sphéricité variant entre 55 et 70%.
A titre d’exemple, la Figure 9.59 montre les profils verticaux des nombres d’échantillons détectés par la
méthode PDA dans la configuration TLC NC. Les mesures les plus éloignées de l’axe central sont peu
fiables si l’on s’en tient à Lefebvre [98] qui préconise au moins 5000 échantillons pour chaque volume
d’acquisition.
267

SIMULATION SGE DE LA CONFIGURATION NON CONFINÉE
Nombre d’échantillons Nombre d’échantillons Nombre d’échantillons
X = 30mm
X = 15mm
X = 8mm
FIG. 9.59 - Configuration TLC NC - Profils verticaux des nombres de gouttes détectées par la méthode PDA aux 3
plans de mesure (□ : Nombre suffisant d’échantillons).
268

Chapitre 10
Influence du modèle d’injection
Ce chapitre étudie l’écoulement diphasique une fois enclenché le modèle d’injection développé dans le
chapitre 4 pour décrire l’injection pilote de carburant. Ce modèle permet de définir des profils plus adaptés
à un atomiseur simplex qu’avec le modèle empirique utilisé dans le chapitre 9.
10.1 Données d’entrée pour la condition limite d’injection
Pour l’étude de la condition limite d’injection, un diamètre de 15 microns est retenu comme taille de
goutte. En effet, l’étude précédente (section 9.4.3) a montré que les résultats SGE étaient plus proches des
mesures expérimentales pour cette taille de goutte.
Les dimensions internes de l’atomiseur simplex utilisé dans la configuration TLC NC n’ayant pas été
fournies, les valeurs proposées à la p. 172 de Lefebvre [98] sont reprises afin de renseigner le modèle
d’injection. La Table 10.1 montre les résultats obtenus par le modèle d’injection à partir des caractéristiques
macroscopiques du spray (cf. la Table 9.4).
Données intermédiaires
Facteur de contraction* (X) [−] 0.317
Surface de la condition limite d’injection (A CL injection ) [mm 2 ] 5.8
Epaisseur du film à la condition limite d’injection (t) [mm] 0.6
Données finales à la surface d’injection
Fraction volumique de liquide (α l,max ) [−] 0.035
Vitesse axiale du liquide ** (u l,ax ) [m/s] 20.7
Vitesse azimutale maximale du liquide (u l,tan max ) [m/s] 3.9
Vitesse radiale maximale du liquide (u l,rad max ) [m/s] 13.9
Taux d’entraînement du gaz ** (K e ) [−] 4.9 %
Vitesse axiale du gaz (u g,ax ) [m/s] 15.8
Vitesse azimutale maximale du gaz (u g,tan max ) [m/s] 3.9
Vitesse radiale maximale du gaz (u g,rad max ) [m/s] 10.7
* Suite à l’étude réalisée dans la section 4.7.1, on utilise l’Eq. 4.20 pour déterminer le facteur de contraction X.
** Suite à l’étude réalisée dans la section 4.7.1, le débit massique d’air entraîné est corrigé par le facteur (1-X).
TAB. 10.1 - Configuration TLC NC - Résultats du modèle d’injection.

INFLUENCE DU MODÈLE D’INJECTION
La Figure 10.1 décrit la vitesse du gaz ainsi que la fraction volumique de liquide sur la surface d’injection.
La fraction volumique de liquide est répartie sur le pourtour de la surface d’injection tandis que la vitesse
du gaz est dotée d’un mouvement giratoire tout comme la vitesse du liquide. La surface d’injection est un
disque de diamètre 2.7mm comportant 8 cellules sur un diamètre, ce qui conduit à un pas de temps physique
très faible, de l’ordre de 1 10 −7 s/itération.
On notera que la surface d’injection est environ 30 fois plus grande que l’aire de l’orifice d’atomisation, ce
qui autorise des tailles de maille raisonnables (0.35mm) au niveau de la condition limite d’injection.
FIG. 10.1 - Configuration TLC NC - Vecteurs vitesse du gaz et fraction volumique de liquide sur la surface
d’injection.
La Figure 10.2 présente les profils des quantités liquides à la surface d’injection.
20
Fraction volumique de liquide (-)
3x10 -2 2
1
Vitesse (m/s)
15
10
5
Vitesse axiale
Vitesse radiale
Vitesse azimutale
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.7 0.8
Rayon (mm)
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.7 0.8
Rayon (mm)
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
a. b.
FIG. 10.2 - Configuration TLC NC - Profils radiaux des quantités liquides sur la surface d’injection (a. Fraction
volumique de liquide ; b. Composantes de vitesse liquide).
270

10.2 Observations de l’écoulement liquide dans l’injecteur
10.2 Observations de l’écoulement liquide dans l’injecteur
Dans l’injecteur, la dynamique du spray est fortement dominée par l’écoulement du gaz issu de l’étage
interne de vrilles pilotes. Sachant que l’on ne dispose d’aucunes mesures ou observations dans le voisinage
de l’atomiseur, la SGE permet de comprendre la dynamique du spray au voisinage de l’injecteur. Ainsi, la
Figure 10.3 (a) montre que le spray est confiné radialement par l’écoulement du gaz. Les zones recirculantes
qui apparaissent autour de la forme conique de l’atomiseur forment un obstacle pour l’écoulement de gaz
qui accélère sur la périphérie du conduit. Un peu après le nez de l’atomiseur, l’écoulement de gaz s’étend
radialement, ce qui induit une diminution de la composante axiale au profit de la composante radiale de
vitesse, comme on peut le voir sur la Fig. 10.3 (b).
De part et d’autre du spray liquide, en zone proche atomiseur, on observe deux poches de forte vitesse
radiale du gaz qui confinent le spray.
Calcul SGE avec le
modèle empirique
Calcul SGE avec le
modèle semi-empirique
a.
b.
FIG. 10.3 - Configuration TLC NC - Champ moyen de fraction volumique de liquide dans la coupe transverse (Z =
0) de l’injecteur avec (a. Pseudo-lignes de courant du gaz rapportées au plan transverse ; b. Contours de vitesse
transverse du gaz entre -30 et 30m/s).
La forme en cône creux du spray subsiste sur une distance très courte (de l’ordre de quelques mm sur la
Fig. 10.3), avant de disparaître. Cette observation soulève plusieurs questions :
271

INFLUENCE DU MODÈLE D’INJECTION
⊲ la résolution en maillage est-elle suffisante pour capturer la pénétration du spray dans l’écoulement
d’air issu du bol pilote interne ?
⊲ le couplage par la traînée dans le sens direct uniquement du gaz vers le liquide est-il suffisant ? En
effet, le spray subit une forte fermeture radiale due à l’écoulement d’air tandis que ce dernier ignore
la présence du spray.
Ces deux points sont étudiés séparément dans les sections qui suivent.
10.2.1 Influence de la résolution en maillage sur le spray
Afin d’étudier l’influence de la résolution en maillage, la zone directement en aval de la CL d’injection
est raffinée afin de mieux prendre en compte la forme du spray. Dans cette section, le couplage reste direct
du gaz vers le liquide. La Figure 10.4 présente l’augmentation du nombre de mailles en aval de la CL
d’injection. La taille de maille en aval de la CL d’injection est fixée à 0.15mm, ce qui donne environ 16
mailles sur le diamètre de la condition limite. Un calcul SGE sur un tel maillage étant très coûteux en
temps de calcul, on ne cherche pas la convergence temporelle et l’on s’attache uniquement à l’interaction
instationnaire entre les deux phases.
a. b.
FIG. 10.4 - Configuration TLC NC - a. maillage initial sans raffinement particulier dans le bol pilote ; b. maillage
raffiné dans le bol pilote.
Le raffinement de maillage donne lieu à un écoulement instantané du gaz qui fait intervenir plus de structures
turbulentes dans la zone du spray. La Figure 10.5 présente les vecteurs vitesse instantanés de la phase
porteuse associés à un champ de fraction volumique liquide dans la coupe transverse (Z = 0). Le spray
semble mieux défini que sur la Fig. 10.3 mais l’écoulement d’air ne voit pas l’ouverture radiale du spray et
le confine toujours rapidement.
La Figure 10.6 présente les structures tourbillonnaires instantanées qui se développent en aval de l’injecteur
via une isosurface de critère Q ainsi qu’une isosurface de α l = 0.01 qui permet de visualiser le démarrage du
spray. Les tourbillons générés en aval de l’atomiseur favorisent la dispersion des gouttes et font rapidement
disparaître la forme en cône creux du spray liquide.
272

10.2 Observations de l’écoulement liquide dans l’injecteur
FIG. 10.5 - Configuration TLC NC - Champ instantané de fraction volumique de liquide dans une coupe transverse
(Z = 0) avec les vecteurs vitesse sur la phase gazeuse.
FIG. 10.6 - Configuration TLC NC - Isosurfaces instantanées de critère Q (en bleu) et de fraction volumique de
liquide α l = 0.01 (en rouge).
10.2.2 Influence du couplage inverse par la traînée
Le couplage inverse par la traînée permet d’assurer un effet retour du mouvement de la phase dispersée
sur la phase porteuse 1 . En particulier, si les particules possèdent un fort nombre de Reynolds particulaire, la
turbulence du fluide porteur est augmentée tandis que des particules à faible nombre de Reynolds absorbent
une partie de la turbulence du gaz ([66, 51]). Ces effets augmentent avec la charge volumique en particules.
Dans le contexte de l’approche SGE, le couplage inverse par la traînée joue sur deux niveaux :
⊲ sur la partie résolue du mouvement du gaz. Cette contribution constitue le couplage direct-inverse
1 L’évaporation peut aussi induire un effet retour des gouttes sur la quantité de mouvement de la phase porteuse. Cet effet n’est
pas pris en compte ici car le modèle d’évaporation n’est pas enclenché vue la température atteinte par le gaz.
273

INFLUENCE DU MODÈLE D’INJECTION
simple entre les deux phases. Le premier calcul SGE d’un écoulement gaz-particules en couplage
simple revient à Boivin et al. [17]. Ce calcul a notamment montré que les fluctuations SGS de vitesse
du gaz ont peu d’influence sur le mouvement des particules à partir du moment où ces dernières
présentent un temps de relaxation proche du pas de temps résolu et supérieur au temps caractéristique
des fluctuations SGS.
⊲ sur la partie de sous-maille du mouvement du gaz. Si les deux contributions sont prises en compte, on
parle alors de couplage direct-inverse complet entre les deux phases. Une simulation SGE en couplage
complet nécessite une modélisation de la contribution de sous-maille. Cette contribution fait encore
l’objet de recherches (Fede et al. [57]).
Dans ce travail de thèse, seul le couplage simple est pris en compte à travers un terme source sur l’équation
de quantité de mouvement résolue du gaz. On reprend le calcul SGE sur le maillage raffiné et on active
le couplage direct-inverse entre les deux phases. La Figure 10.7 présente l’influence de la traînée inverse
sur l’écoulement gazeux. Dans le coeur du spray, c’est-à-dire là où la charge volumique en gouttes est la
plus élevée, l’amplitude des vecteurs vitesse est fortement atténuée et présente un mouvement giratoire plus
faible. Le coeur du spray a donc ici tendance à ralentir l’air qui le traverse. Dans les zones à faible α l ,
l’écoulement du gaz est très similaire dans les deux calculs SGE, ce qui confirme que le couplage directinverse
a surtout une influence dans les zones denses (i.e. dans le spray non dilué ici).
Couplage direct
Couplage direct-inverse
A 3 mm de la CL d’injection
A 5 mm de la CL d’injection
FIG. 10.7 - Configuration TLC NC - Champs instantanés de fraction volumique de liquide α l et vecteurs vitesse du
gaz en coupe axiale dans le bol pilote interne.
274

10.3 Profils radiaux de vitesse moyenne : Influence du modèle d’injection
10.3 Profils radiaux de vitesse moyenne : Influence du modèle d’injection
La comparaison des calculs SGE porte uniquement sur les profils de vitesse moyenne. Le maillage est le
même dans les deux calculs présentés dans cette section, à savoir celui présenté dans la section 9.2.1.
Les Figures 10.8 et 10.9 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse axiale
moyenne < u l > pour les 3 abscisses de mesure retenues dans les expériences.
Les différences entre les deux calculs sont uniquement dues à une différence de convergence temporelle
des moyennes. Le modèle d’injection n’apporte aucune amélioration sur les profils radiaux car ces derniers
sont très éloignés de la CL d’injection (le premier profil est à 38 mm de l’atomiseur) et l’interaction avec
l’écoulement d’air issu des deux autres étages de vrille uniformise le spray de gouttes.
60
60
Mesures expérimentales
Calcul SGE sans le modèle d'injection
Calcul SGE avec le modèle d'injection
60
40
40
40
20
20
20
Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40
0 20 40
0 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
40
FIG. 10.8 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 abscisses de mesure
(symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ; trait pointillé : calcul SGE avec le
modèle d’injection).
Les Figures 10.10 et 10.11 présentent respectivement les profils verticaux et horizontaux de vitesse moyenne
< w l > pour les 3 abscisses de mesure retenues dans les expériences.
Les mêmes conclusions s’imposent : le modèle d’injection n’a aucune influence perceptible sur les profils
radiaux de vitesse azimutale et radiale, les seules différences étant imputables à une convergence des
moyennes temporelles légèrement plus faible sur le calcul SGE où le modèle d’injection est activé.
275

INFLUENCE DU MODÈLE D’INJECTION
60
60
Mesures expérimentales
Calcul SGE sans le modèle d'injection
Calcul SGE avec le modèle d'injection
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
0
20 40
0 20 40
0 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
40
FIG. 10.9 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse axiale moyenne < u l > aux 3 abscisses de mesure
(symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ; trait pointillé : calcul SGE avec le
modèle d’injection).
60
60
Mesures expérimentales
Calcul SGE sans le modèle d'injection
Calcul SGE avec le modèle d'injection
60
40
40
40
20
20
20
Z (mm)
0
Z (mm)
0
Z (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 10.10 - Configuration TLC NC - Profils verticaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 abscisses de mesure
(symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ; trait pointillé : calcul SGE avec le
modèle d’injection).
276

10.4 Conclusion sur l’apport du modèle d’injection dans la configuration TLC NC
60
60
Mesures expérimentales
Calcul SGE sans le modèle d'injection
Calcul SGE avec le modèle d'injection
60
40
40
40
20
20
20
Y (mm)
0
Y (mm)
0
Y (mm)
0
-20
-20
-20
-40
-40
-40
-60
-60
-60
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10 20
X = 8mm X = 15mm X = 30mm
FIG. 10.11 - Configuration TLC NC - Profils horizontaux de vitesse moyenne < w l > aux 3 abscisses de mesure
(symboles : mesures PDA ; trait plein : calcul SGE sans le modèle d’injection ; trait pointillé : calcul SGE avec le
modèle d’injection).
10.4 Conclusion sur l’apport du modèle d’injection dans la configuration
TLC NC
Le modèle d’injection permet de déterminer les profils de vitesse des deux phases ainsi que le profil de
fraction volumique de liquide sur la condition limite d’injection en connaissant quelques paramètres clés de
l’atomiseur et du spray de gouttes. Ce modèle prend en compte l’entraînement d’air dans le spray.
Dans la configuration TLC NC, l’atomiseur est placé au centre de l’écoulement d’air issu des vrilles pilotes
internes, l’air atteignant dans cette région des vitesses supérieures à celles du spray. Dans ces conditions,
l’air entraîne puis referme le spray, ce qui justifie de rapprocher le plus près possible de la position réelle de
l’atomiseur la CL d’injection afin d’effectuer le moins d’erreur possible sur la forme du spray.
Par ailleurs, le modèle d’injection n’a pas d’influence perceptible sur les profils moyens de vitesse dans la
configuration TLC NC au niveau des plans de mesure. Cette assertion n’est pas tellement surprenante dans
la mesure où le premier profil de mesure est éloigné de la CL d’injection. De plus, l’écoulement de gaz en
sortie du bol pilote conditionne largement la dispersion des gouttes, et cela quels que soient les profils de
vitesse imposés à l’injection.
Ce constat rejoint le fait que les 3 classes de goutte étudiées correspond à des gouttes très peu inertielles. La
Table 10.2 regroupe les nombres de Stokes des 3 tailles de goutte dans le bol pilote en supposant un temps
convectif du fluide porteur égal à 0.3/40 = 0.0075s. Ces nombres de Stokes sont tous inférieurs à 1, ce qui
confirme que les 3 tailles de goutte relaxent vers l’écoulement du gaz dans le bol pilote.
277

INFLUENCE DU MODÈLE D’INJECTION
Taille de goutte [µm] 5 15 30
Temps de relaxation des gouttes* [s] 6.1 10 −5 5.5 10 −4 2.2 10 −3
Temps de convection du gaz [s]
7.5 10 −3
Nombre de Stokes [−] 0.008 0.073 0.293
* Le temps de relaxation des gouttes est calculé à partir de l’Eq. 1.20 avec f = 1.
TAB. 10.2 - Configuration TLC NC - Nombres de Stokes des gouttes dans le bol pilote.
10.5 Conclusion
La configuration TLC a permis de comparer l’approche SGE à des mesures expérimentales détaillées
concernant l’écoulement diphasique dans un prototype d’injecteur industriel d’une grande complexité.
Concernant l’écoulement d’air, cette étude a montré que :
⊲ l’approche SGE capturait correctement la topologie de l’écoulement d’air dans un injecteur à trois
étages de vrille, avec notamment un positionnement raisonnable du PVC et de la CTRZ,
⊲ le calcul SGE présentait de bons profils de vitesse par rapport aux mesures LDA en aval de l’injecteur,
⊲ la répartition de débits d’air dans les différents passages de l’injecteur était bien recalculée à partir des
résultats SGE sauf dans le film de refroidissement où la faible résolution en maillage induit un déficit
de l’ordre de 15% par rapport à la mesure LDA,
⊲ la prise en compte du coffrage des tubes d’amenée de carburant dans le plenum permettait de retrouver
la disymétrie du champ de vitesses dans la direction verticale, disymétrie avérée sur les mesures LDA.
Concernant l’écoulement de carburant liquide, cette étude a montré que :
⊲ l’approche SGE capturait bien la forme globale et la pénétration du spray,
⊲ le calcul SGE d’un spray monodisperse de gouttes à 15 microns était le plus représentatif de la dynamique
de la phase dispersée, tant sur les vitesses moyennes que sur les vitesses fluctuantes.
⊲ la stratégie d’injection employée n’avait aucune influence sur la précision des profils calculés en aval
de l’injecteur, le couplage direct avec le gaz effaçant la mémoire des profils liquide à l’injection, du
moins sur des gouttes de 15µm de diamètre.
278

Conclusion générale
Une étude approfondie de l’alimentation et de la dispersion du carburant dans de nouveaux concepts
d’injecteurs de turbines à gaz aéronautiques a été réalisée grâce à la méthode de Simulations aux Grandes
Echelles des écoulements diphasiques.
La première partie de ce travail revient sur le formalisme Euler-Euler retenu au CERFACS depuis les
travaux de Kaufmann [89] et étendu à la méthode SGE par Riber [151]. Dans un tel formalisme, l’étape
d’atomisation reste difficile à traiter car il n’existe pas à l’heure actuelle de modèle satisfaisant pour prévoir
à coup sûr ne serait-ce que la distribution moyenne des tailles et vitesses des gouttes en sortie d’atomiseur.
Une approche est proposée dans ce travail. Elle consiste à s’affranchir du phénomène d’atomisation du
spray en repoussant la condition limite d’injection en aval de la position réelle de l’orifice d’atomisation. Le
modèle d’injection semi-empirique présenté dans ce mémoire calcule des profils sur les grandeurs liquides
directement liés à un spray en cône creux typiques des injecteurs aéronautiques. De plus, l’entraînement
d’air dans le spray est pris en compte via une version simplifiée du modèle de Cossali [34]. La comparaison
avec les mesures de Arbeau [5] a permis d’affiner le débit d’air entraîné, notamment en prenant en compte
la présence du coeur d’air dans le spray.
Un autre aspect important de la dynamique des gouttes est pris en compte au travers du modèle de polydispersion
développé par Mossa [124]. Cet aspect a été étudié sur la configuration de validation de Sommerfeld
& Qiu [177, 178]. Ce banc expérimental a fait l’objet d’un grand nombre de simulations aussi bien en
RANS qu’en SGE car il permet d’étudier la dispersion d’un écoulement tournant gaz-particules tel qu’il
peut apparaître dans une turbine à gaz tout en connaissant précisément la distribution de tailles de particules
en entrée. Point important, la problématique d’atomisation est ici absente car les particules ensemencent
directement l’écoulement de gaz.
Les simulations SGE ont permis de valider la structure de l’écoulement de gaz, notamment le positionnement
de la zone centrale toroidale de recirculation (CTRZ) qui s’est avéré critique pour expliquer la
dynamique de l’écoulement particulaire. Trois classes de taille de particule sont étudiées séparément au
travers de trois simulations SGE monodisperses. La dynamique de chaque population de particules est
fortement conditionnée par leur inertie, comme l’attestent les résultats des simulations et les mesures. En
particulier, les zones de fort différentiel de vitesse entre les deux phases sont aussi celles qui concentrent
le plus de différence entre les trois calculs SGE. De plus, la formule de Vance et al. [192] permet de
reconstruire a posteriori la contribution du mouvement décorrélé. En reconstruisant cette contribution pour
les trois tailles de particules, on s’aperçoit qu’elle augmente avec la taille (i.e. l’inertie) des particules. Enfin,
la polydispersion de la configuration de Sommerfeld & Qiu [177, 178] permet d’identifier la CTRZ comme
étant clairement la zone où les effets polydisperses de séparation des particules sont les plus marqués.
Néanmoins, un calcul SGE monodisperse au diamètre D 10 de la distribution de tailles suffit à obtenir
globalement la dynamique du spray, du moins sur cette configuration.

CONCLUSION GÉNÉRALE
Dans la dernière partie, le modèle Euler-Euler développé et testé est appliqué à une configuration d’injecteur
industriel développé dans le cadre du projet européen TLC pour Towards Lean Combustion. L’injecteur
développé par SNECMA inclut toute la complexité d’une configuration industrielle optimisé avec l’interaction
d’un spray fortement polydisperse et d’un écoulement d’air issu de 3 étages de vrilles contra-rotatives.
A lui seul, l’écoulement d’air dans l’injecteur est d’une structure très complexe. L’approche SGE fournit
une vision claire de la topologie de cet écoulement dans l’injecteur : le PVC reste confiné dans le bol pilote
tandis que la CTRZ remonte profondément dans l’injecteur et constitue ainsi un obstacle au passage de l’air.
Le calcul SGE montre aussi que le film de refroidissement du déflecteur confine les zones de recirculation en
coin (CRZ). Concernant l’écoulement des gouttes, les calculs SGE montrent que l’écoulement de gouttes à
15 µm est le plus proche des mesures PDA, ce qui pointe à nouveau vers le diamètre moyen en nombre D 10
comme diamètre de goutte le plus représentatif de la dynamique globale de la phase liquide. L’utilisation
du modèle d’injection semi-empirique n’apporte pas sur cette configuration d’amélioration sensible sur les
profils de vitesse de la phase dispersée, une observation directement reliée au fait que les gouttes suivent
l’écoulement d’air en ”oubliant” rapidement leur vitesse d’injection.
Ces simulations confirment que l’approche SGE dans une formulation Euler-Euler est capable de combiner
un grand nombre des phénomènes qui ont lieu dans l’écoulement diphasique d’une turbine à gaz. En
particulier, cette thèse apporte un éclairage sur deux phénomènes étroitement imbriqués :
⋆ la polydispersion de la phase dispersée. Cet aspect est particulièrement important dans les zones où
existe un fort différentiel de vitesse entre les deux phases.
⋆ l’injection du carburant liquide. La modélisation fine de ce phénomène prend toute son importance
si les gouttes sont suffisamment inertielles pour garder une trace de leurs caractéristiques en sortie
d’atomiseur une fois arrivées dans le foyer.
Il est clair que les modèles utilisés nécessitent des améliorations pour parvenir à un degré de prédictivité
élevé. Parmi ces améliorations, on peut citer :
⊲ sur le modèle polydispersé, l’implantation de nouvelles formes pour la distribution de tailles de
particules. Cette amélioration pourrait notamment permettre de prendre en compte des distributions
présentant des pics de population à des tailles très différentes.
⊲ sur le modèle polydispersé, l’utilisation d’un temps de séparation τ sep local afin de prendre en compte
l’évolution spatiale de la distribution des tailles de goutte par rapport à la condition d’entrée.
⊲ sur le modèle d’injection semi-empirique, la prise en compte d’une variation du facteur de contraction
X avec la distance de séparation à l’orifice d’atomisation.
⊲ sur le modèle d’injection semi-empirique, l’entraînement d’air a été corrigé en comparant le taux
d’entrainement modélisé aux mesures de Arbeau [5]. Cet entraînement d’air devrait aussi être évalué
sur une simulation SGE d’un spray en cône creux avec prise en compte du couplage inverse afin de
voir si le taux d’entraînement modélisé rejoint celui calculé.
280

Bibliographie
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292

Annexes

Annexe A
Forces s’exerçant sur une particule isolée

ANNEXE A : FORCES S’EXÇANT SUR UNE PARTICULE ISOLÉE
Le système de la goutte isolée : Equation du mouvement
Les forces qui s’appliquent à une goutte isolée dans un écoulement de la phase porteuse sont dérivées à
partir des principes de la mécanique classique. Dans le formalisme Lagrangien, la goutte isolée 1 subit une
force due à la phase porteuse. Cette force est extraite des propriétés locales de l’écoulement de la phase
porteuse en l’absence de la goutte. Dans cette annexe, l’indice g fait ici référence au gaz porteur tandis que
l’indice p fait référence à la particule ou la goutte.
A l’origine, l’équation du mouvement d’une goutte sphérique dans un écoulement uniforme et stationnaire
de la phase porteuse a été dérivée par Stokes [8]. Plus tard, les études de Basset [1], puis Boussinesq [2]
et Oseen [6] ont permis d’étendre l’expression de cette résultante des forces à des nombres de Reynolds
plus grands. En 1947, Tchen [9] a étendu l’équation BBO (pour Basset-Boussinesq-Oseen) à un écoulement
uniforme et instationnaire de la phase porteuse. Plusieurs corrections ont été ajoutées par Maxey & Riley [4]
qui a établi une équation de mouvement d’une particule solide, sphérique et de taille inférieure à l’échelle
de Kolmogorov dans un écoulement non uniforme de phase porteuse :
d⃗u p
dt
= ρ (
g D⃗u g,i
+ 1 − ρ )
g
⃗g i
ρ p Dt
ρ p
} {{ } } {{ }
Force de Tchen Archimède généralisé
+ C (
M ρ g D⃗ug,i
− dV )
i
+ 9 √
ρ g νg
2 ρ p Dt dt d p ρ p π
} {{ }
Masse ajoutée
+ 3 ρ g C d
‖⃗u g,i − ⃗u p,i ‖(⃗u g,i − ⃗u p,i )
4 ρ p d p
} {{ }
∫ t
Traînée
D⃗u g,i − ⃗u p,i dt ′
√
0 Dt t − t
′
} {{ }
Force de Basset
(1)
avec ⃗u g la vitesse du gaz dans le voisinage de la particule, ⃗u p la vitesse de la particule, C D et C M respectivement
les coefficients de traînée et de masse ajoutée, ρ g la masse volumique du gaz, ρ p la masse volumique
particulaire, d p la diamètre de la particule et ν g la viscosité cinématique du fluide.
Les 3 premiers termes du membre de droite de l’Eq. 1 apparaissent que l’écoulement de fluide porteur autour
de la goutte soit stationnaire ou non. Les deux derniers termes apparaissent uniquement si une accélération
de la vitesse relative gaz/particule existe.
Force de trainée
Les premières études des forces s’appliquant à une goutte isolée remontent à Stokes [8] et traitent le cas
d’une sphère plongée dans un écoulement uniforme où il n’y a pas d’accélération de la vitesse relative entre
la goutte et le fluide environnant. La seule force qu’il avait identifiée correspond à un régime de traînée
valide pour de faibles nombres de Reynolds. La force de traînée s’écrit généralement :
F T rainée = 1 2 ρ g C D A ‖⃗u g − ⃗u p ‖ (⃗u g − ⃗u p ) (2)
1 isolée doit être entendue comme isolée de l’influence des autres gouttes (effets de sillage ou collisions).
296

Annexe A : Forces s’exçant sur une particule isolée
où C D est le coefficient de trainée et A est la surface de trainée de la goutte dans la phase porteuse, cette
surface étant la surface projetée de la goutte dans la direction du vecteur vitesse ⃗u g − ⃗u l .
Plusieurs régimes de traînée peuvent être définis en fonction du nombre de Reynolds de la goutte défini par
l’Eq. 3 :
Re p = d l/2‖u g − u l ‖
ν
(3)
Pour des nombres de Reynolds de la goutte inférieurs à 1, l’écoulement autour de la goutte est dominé par
les termes de viscosité et Stokes a été le premier à appliquer les équations résultantes autour d’une goutte
sphérique. Il a alors obtenu la formule suivante pour le coefficient de trainée :
C D = 24
Re l
(4)
Pour des nombres de Reynolds de la goutte compris entre 1 et 1000, le coefficient de trainée décroit avec le
nombre de Reynolds et la corrélation la plus utilisée pour représenter cette décroissance est celle de Schiller
& Nauman [7] :
C D = (1 + 0.15Re 0.687
l ) 24
Re l
(5)
Cette corrélation est proche des mesures expérimentales. Enfin si 1000 < Re p < 3.510 5 , le coefficient de
trainée de la goutte varie peu (±13%) autour de la valeur 0.45.
Force de Tchen
La force de Tchen est une estimation de la force due au gradient de pression local. Ce gradient de pression
dans la phase porteuse est assimilé à une accélération du fluide porteur, soit :
∂p g
∂x ∼ ρ Du g
g
Dt
(6)
Cette approximation permet d’écrire la force de Tchen :
F T chen = ρ g
ρ p
Du g,i
Dt . (7)
Force d’Archimède généralisée
La particule plongée dans le fluide porteur subit une force directement issue de la pression du fluide à sa
surface. Il s’agit de la force d’Archimède F a qui s’écrit formellement :
∫∫
F a = −p g ⃗ndS
S p
(8)
297

ANNEXE A : FORCES S’EXÇANT SUR UNE PARTICULE ISOLÉE
avec S p la surface de la goutte et ⃗n le vecteur de la normale sortante à cette surface. On sait que cette force
est égale au poids du volume d’air déplacé par la présence de la goutte, ce qui permet d’écrire, en ajoutant
le poids de la goutte, la force d’Archimède généralisée F Archimède :
F Archimède =
(
1 − ρ g
ρ p
)
⃗g i (9)
Dans les cas étudiés ici d’écoulement gaz-particules, la taille de la particule est suffisamment faible pour
que cette force soit négligeable devant la traînée de la goutte.
Force de masse apparente (ou masse ajoutée)
Quand la particule est accélérée dans le fluide porteur, une partie de son inertie est subtilisée par le fluide
qui se met à accélérer aussi. Cette force est appelée force de masse ajoutée (Crowe et al. [3]).
Cette force s’appuie sur le différentiel d’accélération entre la particule et le fluide environnant : Dug
Dt
− dup
dt .
Cette force traduit l’entraînement du fluide environnant autour de la particule, elle s’oppose à la traînée. Si
la particule est sphérique, la masse de fluide déplacée par la particule est directement reliée au volume de la
goutte et s’écrit :
La force de masse ajoutée s’écrit alors : ρ g
πd 3 p
6
M f = ρ g
πd 3 p
6
(
Dug
Dt
(10)
)
− dup
dt
. Les expériences de Odar & Hamilton [5]
ont cependant montré que cette formule doit être corrigée car la force de masse ajoutée diminue lorsque
la vitesse relative entre les deux phases diminue ou lorsque l’accélération de la particule augmente. Le
coefficient correctif s’écrit (Odar & Hamilton [5]) :
C m = 2.1 − 0.132
0.12 + A 2 c
(11)
avec :
A c = (⃗u g − ⃗u p ) 2
d p
(u g−u p)
dt
La force de masse ajoutée s’écrit au final :
F masse ajoutée = ρ g C m
πd 3 p
6
( Dug
Dt − du )
p
dt
(12)
298

Annexe A : Forces s’exçant sur une particule isolée
Force de Basset (ou d’histoire)
La force de Basset prend en compte les effets visqueux lors de l’accélération de la particule dans le
fluide porteur. Cette force prend en compte le retard temporel dans le développement de la couche limite
qui se forme à la surface de la goutte. Cette couche limite apparaît avec l’accélération de la goutte dans le
fluide porteur.
Cette force se comprend bien en considérant la couche de mélange qui se développe sur une plaque plane.
L’équation de mouvement du fluide est la suivante :
∂u g
∂t = ν ∂ 2 u g
g
∂y 2 (13)
La condition initiale est u g (0, y) = 0, et les conditions limites s’écrivent u(t, 0) = u 0 et u(t, ∞) = 0
avec u 0 la vitesse de la plaque. En changeant brutalement la vitesse de la plaque de 0 à u 0 , la solution de
l’équation de mouvement fluide est :
avec η =
y
2 √ ν gt
. Le tenseur de cisaillement local s’écrit :
u g = u 0 erf(η) (14)
√
∂u g ρg
τ g = µ g
∂t | µ g u 0
y=0 = √ (15)
πt
Si l’on suppose que l’accélération de la plaque peut être scindée en n paliers d’augmentation ∆u i de la
vitesse, l’effet cumulatif sur le taux de cisaillement se traduit par :
τ g = √ ρ g µ g π
n∑
i=0
∆u i
√
t − i × ∆t
(16)
Si l’intervalle de temps ∆t tend vers 0, on peut écrire le cisaillement sous une forme intégrale :
τ g = √ ∫ t du g
ρ g µ g π √
dt ′
0 t − t ′ dt′ (17)
En appliquant le même raisonnement à une particule en accélération, Basset [1] a obtenu une force de traînée
qui porte son nom :
F Basset = 3 ∫ t du g
2
p√ d2 ρg µ g π √
dt ′
0 t − t ′ dt′ (18)
299

ANNEXE A : FORCES S’EXÇANT SUR UNE PARTICULE ISOLÉE
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300

Annexe B
Produits des collisions binaires de gouttes

ANNEXE B : PRODUITS DES COLLISIONS BINAIRES DE GOUTTES
Produits de collisions binaires de gouttes
Les produits de collisions de gouttes ont d’abord été étudiés avec de l’eau dans de l’air (Abbott [1]
propose une revue des études antérieures à 1977). L’étude expérimentale de Ashgriz & Poo [2] couvre tous
les régimes de collision connus avec des gouttes d’eau dans de l’air. Ces études ont un intérêt évident en
météorologie mais les collisions entre des gouttes d’hydrocarbures ont montré des résultats très différents
de ceux obtenus avec de l’eau (Jiang et al. [5], Qian & Law [8], Estrade et al. [4]). La revue de Orme [7]
explicite dans le détail ces différences.
Cette annexe présente les notations retenues pour traiter le problème des collisions binaires de gouttes (section
) et identifie les différents régimes de collision pour des gouttes d’hydrocarbures (section ).
Système de deux gouttes en collision : notations
Suivant les notations de Ashgriz & Poo [2], les produits d’une collision entre deux gouttes sont conditionnés
par 3 paramètres principaux :
⊲ le nombre de Weber de la plus petite goutte (notée 1 sur la Fig. 1) : W e = ρ lD 1 ‖⃗u rel ‖ 2
⊲ le rapport des tailles de gouttes : ∆ = D 1
D 2
,
⊲ le facteur d’impact : b =
2B
D 1 +D 2
.
σ
,
La Figure 1 illustre ces notations sur le système de deux gouttes qui entrent en collision. On notera que le
facteur d’impact b est très simplement relié à l’angle θ par la relation b = sin(θ).
FIG. 1 - Notations utilisées pour décrire une collision binaire (extrait de Ko & Ryou [6]).
Régimes de collisions pour des gouttes d’hydrocarbures
L’observation de collisions permet de définir 4 catégories (Ko & Ryou [6]) :
302

Annexe B : Produits des collisions binaires de gouttes
⊲ le rebond : quand deux gouttes entrent en collision, du gaz se retrouve piégé entre les deux gouttes
et la pression de ce gaz augmente rapidement. Si l’énergie cinétique des deux gouttes ne surpasse pas
cette pression, les deux gouttes n’entrent pas en contact et rebondissent. On notera que Estrade et al.
[4] propose un critère théorique pour prédire ou non le rebond de deux gouttes.
⊲ la coalescence : Pour des vitesses très faibles, le gaz a le temps de s’échapper et les gouttes peuvent
fusionner. De même, la coalescence peut avoir lieu pour des vitesses suffisamment élevées.
⊲ la séparation réflexive : Si on augmente encore l’énergie cinétique du couple de gouttes, elles coalescent
temporairement puis se séparent. A faible facteur d’impact, on parle de séparation réflexive.
⊲ la séparation par élongation : Pour un facteur d’impact élevé, on parle de séparation par élongation
car les gouttes se touchent sur le bord et seule une partie du volume de chaque goutte est impliquée
dans le processus de collision.
Les deux derniers modes de collisions génèrent des gouttes supplémentaires de petite taille appelées gouttes
satellites. Pour déterminer le nombre et la taille de ces gouttes satellites, Brenn et al. [3] s’appuie sur une
analyse de stabilité linéaire du filament qui apparaît entre les deux gouttes initiales tandis que Ko & Ryou
[6] dresse un bilan des énergies impliquées avant puis après la collision.
La Figure 2 schématise ces 4 processus de collision.
FIG. 2 - Schémas pour les 4 processus de collisions : a. rebond, b. coalescence, c. séparation réflexive, d. séparation
par élongation.
La Figure 3 présente les différents régimes de collision observées pour des gouttes d’hydrocarbures.
La position des frontières entre les différents régimes varie suivant le carburant employé. Orme [7] donne
les valeurs de W e a , W e b et W e c pour quelques carburants, ces valeurs sont rappelées dans la Table .
Carburant C 7 H 16 C 10 H 22 C 12 H 26 C 14 H 30 C 16 H 34
W e a 2.9 2.5 2.5 2.5 1.2
W e b 5.0 5.5 10.0 14.0 15.5
W e c ? 23.5 28.5 35.5 42.0
TAB. 1 - Valeurs des nombres de Weber critiques pour 5 carburants différents (extrait de Orme [7]). Le nombre W e c
pour l’heptane est inconnu.
303

ANNEXE B : PRODUITS DES COLLISIONS BINAIRES DE GOUTTES
FIG. 3 - Régimes de collisions des hydrocarbures dans le plan (W e,b).
304

Annexe B : Produits des collisions binaires de gouttes
Bibliographie
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[2] N. ASHGRIZ ET J.Y. POO. Coalescence and separation in binary collisions of liquid droplets. J. Fluid
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[8] J. QIAN ET C.K. LAW. Regimes of coalescence and separation in droplet collision. J. Fluid Mech.,
331 :59 – 80 (1997).
305

ANNEXE B : PRODUITS DES COLLISIONS BINAIRES DE GOUTTES
306

Annexe C
Résumé accepté à la conférence : ”26th
AIAA Applied Aerodynamics Conference”

ACCEPTÉ À ”26TH AIAA APPLIED AERODYNAMICS CONFERENCE”
Large-Eddy Simulations of the polydisperse
gas-particle flow in an academic combustor
Topic: Applied CFD and experimental validation
Jacques LAVEDRINE ∗ Bénédicte CUENOT †
Laurent GICQUEL ‡
CERFACS, 42 Avenue G. Coriolis, 31057 Toulouse cedex 1, France.
Aircraft gas turbines generally use liquid fuels for storage purposes. As a consequence, two-phase combustion
occurs in the chambers of such gas turbines. Note also that the combustion region usually operates in
the gaseous phase , which implies that the injector and chamber designs must guarantee the best transition
from liquid to gaseous fuel. This cannot be reached without mastering all the steps involved in the atomization,
dilution and evaporation of the fuel spray in the surrounding environment. Still, understanding and
predicting the motion and the formation of the liquid spray in turbulent two-phase reacting flows remains a
challenge. Besides, the dynamics of the liquid spray is tightly bonded to its polydisperse nature, which adds
another difficulty.
Large-Eddy Simulations (LES) are widely used in the combustion community as they proved to be a powerful
tool to simulate unsteady gaseous turbulent flows and combustion instabilities in modern combustion chambers.
However, in spite of recent breakthroughs, 4, 8, 9, 10, 11, 12 two-phase flows LES still require a
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
great amount of effort to reach predictive capabilities.
Two approaches are available to deal with the coupling between the dispersed phase and the carrier phase:
• the Lagrangian method models the dispersed phase by solving the mass, momentum and energy equations
for each particle using a particle tracking algorithm. 13
• the Eulerian method also known as ”two-fluid” method assumes the dispersed phase to be another
continuum similar to the carrier phase, which entails solving similar sets of conservation equations for
each phase. 13
In the present work, the Eulerian method integrated in the LES flow solver 14 is used to simulate the particle
dispersion occuring in the combustor described and experimentally studied by Sommerfeld & Qiu. 15 This
academic configuration exhibits two characteristic features of modern combustors: the dispersion of various
size particles coupled with a swirling airflow. Figure 1 shows a sketch of the configuration of Sommerfeld
& Qiu. 15 The primary jet injects air and particles with no swirling motion. The secondary swirling jet
surrounding the primary jet only blows air in the test chamber. Experimental measurements are available
at eight axial locations in the test chamber.
To gauge the LES Euler-Euler model three main points are addressed:
1. LES of gaseous flow
Considering the weak particle mass loading, only one-way drag coupling is taken into account between
the gaseous and particle phases. Under this assumption, the particle phase flow is not acting on the
∗ PhD student, email: lavedrin@cerfacs.fr.
† Senior researcher, email: cuenot@cerfacs.fr.
‡ Senior researcher, email: lgicquel@cerfacs.fr.
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Accepté à ”26th AIAA Applied Aerodynamics Conference”
Figure 1. Overview of the experimental test rig.
gaseous phase flow that can be studied separately.
The LES calculation recovers the structure of the gaseous flow, structure mainly dominated by a central
toroïdal recirculation zone (CTRZ) which stops the axial penetration of the primary jet. Another
important feature of the gaseous flow is the secondary swirling air jet. The moderate Swirl number
of the secondary jet (0.47) gives rise to corner recirculation zones (CRZ). CRZ are expected to be
confined by the radial expansion of the secondary jet, a phenomenon which is well reproduced in the
LES calculation (Fig. 2).
Figure 2. Mean field of axial gaseous velocity in two cutting planes (Y=0) and (Z=0). The white line marks null axial
gaseous velocity.
When compared to measurements, LES of the gaseous flow show good agreement: Fig. 3 compares
radial profiles for both calculated and measured mean axial velocities in the test section.
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ACCEPTÉ À ”26TH AIAA APPLIED AERODYNAMICS CONFERENCE”
Figure 3. Radial profiles of gaseous mean axial velocity (symbols: measurements; straight line: LES).
LES profiles of azimutal and radial velocity components also reproduce the experimental data on both
mean and fluctuating contributions.
2. LES of monodisperse two-phase flow
As a first step, three LES monodisperse calculations are performed since experimental measurements
are available for three different particle diameters, namely 30, 45 and 60 microns. 15, 16 The size of the
particles is shown to have a great influence on the particle penetration into the CTRZ. Figure 4 shows
2D streamlines in the medium plane of the configuration for each particle size: the lightest particles
are less prone to penetrate the CTRZ whereas the heaviest ones stop right in the middle of it.
Location of the first
stagnation point of the
CTRZ on the central axis
Location of the first
stagnation point of the
CTRZ on the central axis
Figure 4. 2D computed streamlines in cutting plane (Y=0) (Left: Comparison between 30 and 45 µm particles; Right:
Comparison between 45 and 60 µm particles).
The swirling air in the annular jet also entails different behaviours for each particle size: lighter particles
acquire more swirl motion. Experimental measurements confirm these trends and allow a thorough
assessment of LES predictions of the particle flow for each size class.
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Accepté à ”26th AIAA Applied Aerodynamics Conference”
3. LES of polydisperse two-phase flow
As a final step, a LES polydisperse calculation is carried out. In the flow solver, polydispersion of the
particle phase is taken into account through a presumed form of the size distribution of particles. 17 In
the present study, the size distribution follows a log-normal law:
h
1
N d (β p ) = √ exp − ln(βp/d00
i
) 2
ˆσ
(1)
πˆσβp
where ˆσ and d 00 are respectively the variance and mean diameter of the log-normal law within each
cell of the computational domain and for which modeled transport equations are solved. 17 Information
about these two quantities are provided at the inlet flow conditions based on experimental measurements
and as presented on Fig. 5.
Figure 5. Drop size distribution (Bars: Measured distribution; Line with symbols: log-normal distribution used at the
inflow boundary in LES (d 00 = 42.1µm, ˆσ = 0.56µm 2 ).
Contrarily to the previous monodisperse LES, the present polydisperse LES calculation allows to
retrieve the behaviour of all various-sized particles at once and for all points in the computational
domain. In particular, the polydisperse LES computation also finds that the heaviest particles go
through the CTRZ whereas the lightest ones are rapidly absorbed in the secondary jet. The calculation
also reveals that even a small inaccuracy in the prediction of droplet mean diameter has a strong impact
on the particle velocity field, especially in the CTRZ where separation effects are most important.
Comparison with measurements points out that the LES predictions overestimate separation between
particle populations, as may be seen on Fig. 6. This is related to the hypotheses and limitations of the
polydisperse model. A primary cause is a mean particle velocity field that slightly deviates from the
monodiperse predictions and the experiment at the chamber entrance, as can be seen on Fig. 7.
Conclusions
Euler-Euler LES of the polydisperse two-phase flow in the configuration of Sommerfeld & Qiu 15, 16 outline:
• the potential of the LES approach to capture the main structure of the turbulent gaseous flow.
• the advantages and drawbacks of the Euler-Euler approach to simulate the dynamics of the particle
phase when compared to previous Euler-Lagrange LES on the same configuration.
• the limitations of the polydisperse model.
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Figure 6. Radial profiles of mean number diameter (symbols: measurements; straight line: LES).
Figure 7. Radial profiles of mean axial particle velocity (□: measurements of 45 µm particles; ○: measurements
averaged on the whole distribution; straight line: monodisperse LES of 45µm particles; dashed line: polydisperse LES).
Acknowledgements
Support from the European project TIMECOP is hereby gratefully acknowledged.
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312

References
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Journal, Vol. 44, 2006, pp. 674–686.
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12 Boileau, M., Pascaud, S., Riber, E., Cuenot, B., Gicquel, L., and Poinsot, T. J., “Large eddy simulation of spray
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15 Sommerfeld, M. and Qiu, H. H., “Detailed measurements in a swirling particulate two-phase flow by a phase-Doppler
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16 Sommerfeld, M. and Qiu, H. H., “Characterization of particle-laden, confined swirling flows by phase-doppler anemometry
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17 Mossa, J.-B., Extension Polydisperse pour la Description Euler-Euler des Ecoulements Diphasiques Réactifs, Ph.D.
thesis, INP Toulouse, 2005.
Accepté à ”26th AIAA Applied Aerodynamics Conference”
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Institut National Polytechnique de Toulouse
Diplôme universitaire, spécialité Dynamique des fluides
2 Juin 2008 - Jacques LAVEDRINE
Simulations aux grandes échelles de l’écoulement diphasique
dans des modèles d’injecteur de moteurs aéronautiques
Afin de répondre à des normes environnementales plus restrictives, les moteurs aéronautiques doivent
réduire leur consommation de carburant et leurs émissions polluantes. Parvenir à ces objectifs nécessite
notamment d’optimiser l’étage d’injection. La Simulation aux Grandes Echelles (SGE) contribue à cette
problématique car elle permet de mieux comprendre les phénomènes instationnaires dans l’injecteur.
Cependant, l’application de la SGE aux écoulements turbulents diphasiques reste délicate à cause des
phénomènes liés au spray : l’atomisation, la dispersion et la vaporisation des gouttes. Dans cette thèse,
ces aspects sont étudiés selon une démarche progressive.
Dans un premier temps, l’approche SGE est appliquée à une configuration académique d’injecteur afin de
se concentrer sur la polydispersion de l’écoulement gaz-particules. Cette étude passe par une comparaison
des résultats numériques avec les mesures, et constitue une validation de l’outil de calcul.
Cet outil est ensuite utilisé pour étudier l’écoulement diphasique dans un nouveau concept d’injecteur industriel,
notamment en s’appuyant sur une comparaison avec l’expérience. Cette étude permet aussi de
connaître les performances et d’identifier les améliorations possibles de cet injecteur. Enfin, la sensibilité de
la SGE aux différentes stratégies d’injection est évaluée.
Mots clefs : Simulation aux Grandes Echelles, écoulements diphasiques, formalisme Euler-Euler, modèle
d’injection, polydispersion
Large-Eddy simulations of the two-phase flow
in models of injectors of aeronautical engines
Facing more stringent environmental regulations, aeronautical engines must reduce their fuel consumptions
and decrease polluting emissions. Reaching such purposes requires the optimization of the injection stage.
Large Eddy Simulation (LES) contributes to this subject since it allows a better understanding of unsteady
phenomena in the injector.
Nevertheless, applying LES to turbulent two-phase flows remains a challenge due to phenomena related to
the spray : atomization, dispersion and vaporization of droplets. In this thesis, such mechanisms are studied
in a progressive methodology.
In a first step, the LES approach is applied to an academic configuration with a polydisperse injector. This
study goes through a comparison between numerical results and measurements, and constitutes a validation
of the computational tool.
This tool is then used to investigate the two-phase flow in a new industrial injector design through a comparison
with experiments. This investigation also identifies the performances and potential improvements of
such an injector. Finally, LES sensitivity to different injection strategies is assessed.
Keywords : Large Eddy Simulation, two-phase flows, Euler-Euler formalism, injection model, polydispersion
CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique)
42, avenue Gaspard Coriolis
31057 Toulouse Cedex 1 - FRANCE