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Rapport d'avancement des travaux de th`ese Simulation ... - cerfacs

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<strong>Rapport</strong> d’avancement <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>travaux</strong> <strong>de</strong> thèse<br />

<strong>Simulation</strong> aux gran<strong><strong>de</strong>s</strong> échelles <strong>de</strong> la combustion<br />

en régime supercritique<br />

Thomas Schmitt<br />

Directeur <strong>de</strong> thèse : Bénédicte Cuenot<br />

29/11/2006


Table <strong><strong>de</strong>s</strong> matières<br />

1 Introduction 3<br />

1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />

1.2 Régime supercritique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />

1.3 Modifications <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés d’une substance pure près du<br />

point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />

1.3.1 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />

1.3.2 Capacité calorifique à pression constante . . . . . . . . 5<br />

1.3.3 Propriétés <strong>de</strong> transport . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

1.4 Gaz réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

1.4.1 Déviation du comportement gaz parfait . . . . . . . . 6<br />

1.4.2 Principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants . . . . . . . . . . . . 7<br />

1.4.3 Equations d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />

1.5 Résumé : les principales conséquences <strong>de</strong> la non-idéalité . . . 9<br />

2 Formulation théorique 10<br />

2.1 Equation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />

2.1.1 L’équation d’état <strong>de</strong> Peng-Robinson . . . . . . . . . . 10<br />

2.2 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

2.3 Propriétés partielles molaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

2.3.1 Différentielle <strong>de</strong> F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

2.3.2 Dérivées partielles molaires . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

2.3.3 Ecriture différentielle en fonction <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions molaires 15<br />

2.4 Relations thermodynamiques importantes . . . . . . . . . . . 16<br />

2.4.1 Expression <strong>de</strong> dv en fonction <strong>de</strong> dT , dP et dX i . . . . 16<br />

2.4.2 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dP , dT et dX i . . . . 16<br />

2.4.3 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dT , dv et dX i . . . . 17<br />

2.4.4 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dP , dv et dX i . . . . 17<br />

2.4.5 Expressions <strong>de</strong> dT et dP en fonction <strong>de</strong> <strong>de</strong>, dv et dX i 18<br />

2.4.6 Changement <strong>de</strong> variables . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />

2.4.7 Expression <strong>de</strong> dT en fonction <strong>de</strong> d(ρE) et d(ρY k ) . . . 20<br />

2.4.8 Expression <strong>de</strong> dP en fonction <strong>de</strong> d(ρE) et d(ρY k ) . . . 21<br />

2.5 Calcul du volume molaire pour une température et pression<br />

données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />

1


2.6 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />

2.6.1 Oxygène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />

2.6.2 Méthane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />

2.6.3 Hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />

2.6.4 Limitations <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson . . . . . . 31<br />

2.7 Métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> correction <strong>de</strong> l’équation d’état . . . . . . . . . . . 32<br />

2.7.1 Correction <strong>de</strong> volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

2.7.2 Enthalpie et capacités calorifiques . . . . . . . . . . . 32<br />

2.7.3 Quelle correction choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

2.8 Difficultés théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />

3 Méthodologie 36<br />

3.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />

3.2 Implantation dans AVBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />

3.3 Détail <strong><strong>de</strong>s</strong> équations implantées dans AVBP . . . . . . . . . . 39<br />

3.4 Obtention <strong>de</strong> la température et <strong>de</strong> la pression . . . . . . . . . 39<br />

3.4.1 Métho<strong>de</strong> itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />

3.4.2 Mise à jours <strong>de</strong> la température . . . . . . . . . . . . . 41<br />

3.4.3 Modification <strong><strong>de</strong>s</strong> solutions AVBP . . . . . . . . . . . . 41<br />

3.5 Impact <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs numériques sur la pression - critère <strong>de</strong><br />

correction / arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />

3.5.1 Calcul du critère <strong>de</strong> correction <strong>de</strong> la température . . . 41<br />

3.5.2 Impact <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs numériques sur la pression . . . . . 45<br />

3.6 Modification <strong>de</strong> la matrice Jacobienne . . . . . . . . . . . . . 45<br />

3.6.1 La matrice Jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux convectifs dans AVBP 45<br />

3.7 Difficultés rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />

3.7.1 Erreur liée au gradient <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité . . . . . . . . . . . . 49<br />

3.7.2 Couplage pression / équations <strong>de</strong> conservation . . . . 49<br />

4 Tests <strong>de</strong> validation 50<br />

4.1 Détails <strong><strong>de</strong>s</strong> versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />

4.2 Cas Tests 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />

4.2.1 Configuration <strong>de</strong> test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />

4.2.2 Cas-tests mono-espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />

4.2.3 Cas-tests multi-espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />

4.2.4 Conclusions <strong><strong>de</strong>s</strong> cas-test 1D . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />

4.3 Cas-tests 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />

4.3.1 Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />

4.3.2 Tests mono-espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />

4.3.3 Tests multi-espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />

4.3.4 Conclusions <strong><strong>de</strong>s</strong> test en cisaillement . . . . . . . . . . 95<br />

5 Conclusion 96<br />

2


Chapitre 1<br />

Introduction<br />

1.1 Contexte<br />

L’objectif est l’étu<strong>de</strong> numérique <strong>de</strong> la dynamique et <strong>de</strong> la combustion<br />

intervenant dans les moteurs fusées cryotechniques à partir d’un co<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

simulation aux gran<strong><strong>de</strong>s</strong> échelles.<br />

Dans la propulsion cryotechnique, les réactifs sont injectés dans un environnement<br />

à haute pression (entre 100 et 200 bars) et l’oxydant est à basse<br />

température (<strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 100˚K). Du fait <strong>de</strong> la haute pression, les flui<strong><strong>de</strong>s</strong><br />

sont dans le régime supercritique et transcritique. Ces régimes mettent en<br />

avant <strong><strong>de</strong>s</strong> effets <strong>de</strong> gaz réel lorsque la <strong>de</strong>nsité augmente, autour du point<br />

critique, et dans la zone <strong>de</strong>nse, lors <strong>de</strong> l’injection <strong>de</strong> l’oxydant. L’utilisation<br />

d’une thermodynamique appropriée à ces effets est donc nécessaire.<br />

Le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul aux gran<strong><strong>de</strong>s</strong> échelles utilisé pour ce travail est initialement<br />

basé sur une thermodynamique <strong>de</strong> gaz parfait. Il s’agit <strong>de</strong> modifier<br />

ce co<strong>de</strong> afin d’être capable <strong>de</strong> simuler les effets <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz réels dans un calcul<br />

haute pression.<br />

1.2 Régime supercritique<br />

Considérons une substance gazeuse pure. Il existe une température en<strong><strong>de</strong>s</strong>sous<br />

<strong>de</strong> laquelle, si la <strong>de</strong>nsité est suffisante, la con<strong>de</strong>nsation vers l’état<br />

liqui<strong>de</strong> aura lieu. Au-<strong><strong>de</strong>s</strong>sus <strong>de</strong> cette température, la con<strong>de</strong>nsation ne peut<br />

plus avoir lieu : c’est la température critique, T c . De la même manière, il est<br />

possible <strong>de</strong> définir une pression critique.<br />

La figure 1.1 donne une représentation d’un diagramme <strong>de</strong> phase d’une<br />

substance pure. Notons que la phase soli<strong>de</strong> à haute température intervient<br />

à très haute pression. Nous constatons l’existence <strong>de</strong> zones à phase unique,<br />

3


tandis que les lignes représentent la coexistence <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux phases. Le long <strong>de</strong> la<br />

courbe <strong>de</strong> coexistence gaz-liqui<strong>de</strong>, la pression et la température augmentent.<br />

Le liqui<strong>de</strong> <strong>de</strong>vient moins <strong>de</strong>nse à cause <strong>de</strong> l’expansion thermique et le gaz<br />

<strong>de</strong>vient plus <strong>de</strong>nse du fait <strong>de</strong> l’augmentation <strong>de</strong> pression. Il arrive un point<br />

où les <strong>de</strong>nsités <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>ux phases <strong>de</strong>viennent i<strong>de</strong>ntiques. La distinction entre<br />

liqui<strong>de</strong> et gaz disparaît et la courbe se termine : c’est le point critique.<br />

On dit que le régime est supercritique si la température et la pression<br />

sont tous <strong>de</strong>ux au-<strong>de</strong>là <strong>de</strong> leurs valeurs critiques. Si seule l’une <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>ux<br />

valeurs est supérieure à la valeur critique, le régime est dit transcritique.<br />

Fig. 1.1 – Diagramme <strong>de</strong> phase d’un corps pur<br />

1.3 Modifications <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés d’une substance<br />

pure près du point critique<br />

A l’approche du point critique, les propriétés thermodynamiques d’une<br />

substance pure subissent <strong><strong>de</strong>s</strong> modifications importantes <strong>de</strong> leur comportement<br />

gaz parfait. La figure 1.2 montre les variations <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> la viscosité,<br />

<strong>de</strong> la capacité calorifique et <strong>de</strong> la conductivité thermique <strong>de</strong> l’oxygène<br />

pour différentes valeurs <strong>de</strong> pressions et <strong>de</strong> températures. Rappelons que la<br />

pression critique P c vaut 50.4 bars et que la température critique T c vaut<br />

155˚K pour l’oxygène.<br />

1.3.1 Densité<br />

Sur la courbe <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> la figure 1.2, une variation brutale <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité est observable lorsque que l’on se place sur une isobare à pression<br />

supercritique proche <strong>de</strong> la valeur critique, 50.4 bars. Cette importante mo-<br />

4


Fig. 1.2 – Propriétés <strong>de</strong> l’oxygène pour différentes pression. La pression<br />

critique <strong>de</strong> l’oxygène est environ 50 bars. Données fournies par SNECMA.<br />

dification intervient lorsque la température passe d’une valeur souscritique à<br />

une valeur supercritique. En-<strong><strong>de</strong>s</strong>sous <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs critiques <strong>de</strong> la température<br />

et <strong>de</strong> la pression, il y a changement <strong>de</strong> phase et coexistence <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>ux phases.<br />

Pour <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs <strong>de</strong> pressions supercritiques, il n’y a plus <strong>de</strong> phases distinctes<br />

et la variation <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité au passage <strong>de</strong> la température critique est<br />

d’autant moins importante que la pression réduite P P c<br />

, où P est la pression,<br />

est gran<strong>de</strong>.<br />

1.3.2 Capacité calorifique à pression constante<br />

La capacité calorifique à pression constante c p est infinie au point critique.<br />

Lorsque les conditions d’un système flui<strong>de</strong> supercritique approchent<br />

le point critique, la capacité calorifique augmente pour atteindre l’infini au<br />

point critique. Ce phénomène est nettement observable sur la figure 1.2, où<br />

un changement rapi<strong>de</strong> <strong>de</strong> comportement intervient autour du point critique.<br />

5


1.3.3 Propriétés <strong>de</strong> transport<br />

La viscosité cinématique et la viscosité dynamique subissent également<br />

<strong>de</strong> fortes modifications près du point critique. La viscosité cinématique étant<br />

liée à la viscosité dynamique, nous ne nous intéresserons qu’à la viscosité dynamique.<br />

A l’approche du point critique, un changement <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> la<br />

courbe <strong>de</strong> viscosité <strong>de</strong> la figure 1.2 est observé. La viscosité d’un gaz augmente<br />

avec la température, tandis que celle d’un liqui<strong>de</strong> diminue avec la<br />

température. Ce phénomène est évi<strong>de</strong>mment observé en-<strong><strong>de</strong>s</strong>sous <strong><strong>de</strong>s</strong> conditions<br />

critiques. Une fois les pression et température critiques dépassées, la<br />

viscosité du flui<strong>de</strong> suit un comportement proche d’un gaz, mais au niveau <strong>de</strong><br />

la région critique le changement est brutal. Soulignons le fait que lorsque le<br />

flui<strong>de</strong> est en phase liqui<strong>de</strong> (donc pour <strong><strong>de</strong>s</strong> températures basses), la viscosité<br />

est bien plus importante (1 ordre <strong>de</strong> plus que dans la zone supercritique où<br />

les température sont <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 10 3 ).<br />

Le comportement <strong>de</strong> la conductivité thermique est très semblable à celui<br />

<strong>de</strong> la viscosité.<br />

1.4 Gaz réels<br />

Nous avons vu le comportement spécifique d’un flui<strong>de</strong> lors du passage<br />

dans la zone critique. Ce comportement ne peut être capturé si on utilise<br />

une approche gaz parfait. Nous allons ici abor<strong>de</strong>r les causes <strong>de</strong> ces effet <strong>de</strong><br />

gaz réel.<br />

1.4.1 Déviation du comportement gaz parfait<br />

Dans un point <strong>de</strong> vue gaz parfait, chaque molécule d’un gaz se comporte<br />

comme si elle se trouvait seule dans le système. Cette approche est juste si<br />

la <strong>de</strong>nsité est très faible. Lorsque la <strong>de</strong>nsité augmente (comme à l’approche<br />

du point critique), la probabilité d’interaction entre les molécule n’est plus<br />

négligeable. De manière générale, <strong>de</strong>ux molécules s’attirent lorsque qu’elles<br />

sont loin l’une <strong>de</strong> l’autre et se repoussent lorsqu’elles s’approchent.<br />

L’équation d’état peut s’ecrire sous sa forme du viriel [4] :<br />

P v<br />

RT = 1 + B(T ) + C(T )<br />

v v 2 + ...<br />

où B(T ), C(T ), ... sont les <strong>de</strong>uxième, troisième, ... coefficients du viriel.<br />

T est la température, v le volume molaire et R la constante <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz. B(T )<br />

représente la déviation du comportement idéal liée aux intéractions entre<br />

2 molécules. C(T ) représente la déviation du comportement idéal liée aux<br />

6


interactions entre 3 molécules.<br />

Ainsi, lorsque les interaction sont négligeables, on retrouve l’équation<br />

d’état <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz parfaits. Lorsque la <strong>de</strong>nsité augmente, le nombre <strong>de</strong> molécules<br />

impliquées dans les interactions augmente. On comprend alors que dans un<br />

cas <strong>de</strong>nse, les termes associées aux interactions (B(T ), C(T ), ...) ne sont<br />

plus négligeables. Pour simuler les effets gaz réels impliqués dans les moteurs<br />

fusées, il est donc nécessaire d’utiliser une équation d’état plus précise<br />

que l’équation d’état <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz parfaits.<br />

Une autre conséquence est qu’il n’est plus possible <strong>de</strong> traiter chaque<br />

espèce indépen<strong>de</strong>mment <strong><strong>de</strong>s</strong> autres, comme cela est le cas en gaz parfait.<br />

Le mélange est alors régi par une loi <strong>de</strong> mélange particulière. La thérorie<br />

cinétique <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz nous donne, par exemple, la loi <strong>de</strong> mélange suivante pour<br />

le <strong>de</strong>uxième coefficient du viriel [4] [8] :<br />

B(T ) = ∑ i,j<br />

B ij (T )X i X j<br />

L’influence <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité sur le calcul d’autres variables, comme l’énergie<br />

interne e ou les capacités calorifiques c p et c v , peut être déterminée grâce à<br />

l’équation d’état (cf. section 2.2). De ce fait, on en déduit que la non idéalité<br />

<strong>de</strong> mélange qui apparaît dans l’équation d’état se retrouve également sur<br />

l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> gran<strong>de</strong>urs thermodynamiques. Cela se répercute également<br />

sur les gran<strong>de</strong>urs partielles qui en plus <strong>de</strong> nécessiter <strong><strong>de</strong>s</strong> informations concernant<br />

l’espèce traitée, dépend également <strong><strong>de</strong>s</strong> autres espèces présentes.<br />

1.4.2 Principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants<br />

Le principe empirique <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants s’exprime alors par :<br />

“Toutes les substances obéissent à la même équation d’état en termes <strong>de</strong><br />

variables réduites” (voir Hirshfel<strong>de</strong>r, chapitre 4 [4]). En général, l’état d’un<br />

système est défini par 2 <strong><strong>de</strong>s</strong> 3 variables suivantes : pression, volume, température.<br />

Le point critique, représenté par les valeurs critiques <strong>de</strong> la pression P c , <strong>de</strong><br />

la température ( ) T c et du volume molaire v C , est défini comme le point pour<br />

lequel ∂ 2 P<br />

∂v = 0 et ( )<br />

∂P<br />

2 T<br />

∂v<br />

= 0. A partir <strong>de</strong> ces constantes, nous pouvons<br />

T<br />

définir les variables réduites suivantes : P R = P P C<br />

, T R = T<br />

T C<br />

, v R = v<br />

v C<br />

.<br />

A partir <strong>de</strong> ces variables, le principe <strong>de</strong> état correspondant s’écrit :<br />

P R = f(v R , T R )<br />

7


Le principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants permet <strong>de</strong> déterminer correctement<br />

les propriétés d’un gaz <strong>de</strong>nse et surtout d’analyser son comportement en<br />

fonction <strong><strong>de</strong>s</strong> variables réduites.<br />

Le principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants, initialement obtenu <strong>de</strong> manière empirique,<br />

peut être formulé <strong>de</strong> manière rigoureuse via la mécanique statistique<br />

pour <strong><strong>de</strong>s</strong> molecules sphériques, polyatomiques ou polaires.<br />

1.4.3 Equations d’état<br />

Seules les équations cubiques sont exposées dans cette section, puisque<br />

ce sont les seules qui ont un rapport précision / temps <strong>de</strong> calcul intéressant en<br />

vue d’une application LES. Les trois équations cubiques les plus fréquemment<br />

utilisées dans la littérature sont : Van Der Walls (V DW ), Peng-Robinson<br />

(P R) et Soave-Redlich-Kwong (SRK). Ces expressions ne nécessitent que<br />

la connaissance <strong><strong>de</strong>s</strong> gran<strong>de</strong>urs critiques <strong><strong>de</strong>s</strong> flui<strong><strong>de</strong>s</strong> considérés et formulée à<br />

l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> 2 coefficients a m et b m qui dépen<strong>de</strong>nt du mélange considéré.<br />

L’équation <strong>de</strong> Van Der Walls (eq. 1.1) est la forme la plus simple <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

trois équations cubiques précitées.<br />

P =<br />

RT<br />

v − b m<br />

− a m<br />

v 2 (1.1)<br />

Ses coefficients sont <strong><strong>de</strong>s</strong> constantes dépendant uniquement <strong><strong>de</strong>s</strong> conditions<br />

critiques. Elle s’avère aussi être la moins précise <strong><strong>de</strong>s</strong> équations cubiques<br />

testées.<br />

Les équations <strong>de</strong> Peng-Robinson (eq. 1.2) et <strong>de</strong> Soave-Redlich-Kwong<br />

(eq. 1.3) offrent un bon compromis entre la précision et le coût <strong><strong>de</strong>s</strong> calculs.<br />

P R : P =<br />

RT<br />

v − b m<br />

−<br />

a m (T )<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

(1.2)<br />

SRK : P =<br />

RT<br />

− αa m(T )<br />

v − b m v(v + b m )<br />

(1.3)<br />

L’équation <strong>de</strong> SRK est plus précise dans la zone <strong>de</strong>nse tandis que P R<br />

est plus intéressante lorsque T R > 1. Cependant, Harstad, Miller et Bellan<br />

[3] ont mis en place une correction pour le calcul <strong>de</strong> volume avec P R. Au<br />

final, avec cette correction, P R est l’équation cubique testée la plus précise.<br />

Dans la suite, on travaille donc avec cette équation d’état.<br />

8


1.5 Résumé : les principales conséquences <strong>de</strong> la<br />

non-idéalité<br />

La pression supercritique et les températures réduites proches <strong>de</strong> l’unité<br />

présentes dans une chambre <strong>de</strong> moteur fusée créent un comportement thermodynamiques<br />

du mélange différent du comportement gaz parfait.<br />

– Les fonctions thermodynamiques dépen<strong>de</strong>nt du volume.<br />

– Le comportement du gaz en fonction du mélange est non linéraire.<br />

– Les gran<strong>de</strong>urs partielles <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> toutes les espèces présentes dans<br />

le mélange.<br />

– Des zones <strong>de</strong>nses apparaissent dans l’écoulement, mais il n’y a pas<br />

<strong>de</strong> discontinuité avec les parties peu <strong>de</strong>nses, comme dans le cas d’un<br />

système diphasique.<br />

9


Chapitre 2<br />

Formulation théorique<br />

2.1 Equation d’état<br />

Afin <strong>de</strong> pouvoir évaluer correctement les propriétés thermodynamiques<br />

en régime supercritique, une équation d’état capable <strong>de</strong> reproduire le comportement<br />

d’un mélange <strong>de</strong> gaz réels est nécessaire. L’équation <strong>de</strong> Peng-<br />

Robinson offre un compromis précision/poids <strong>de</strong> calcul intéressant en vue<br />

<strong>de</strong> son application en LES.<br />

L’équation <strong>de</strong> Peng Robinson permet le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> fonctions résiduelles<br />

donnant accès aux gran<strong>de</strong>urs thermodynamiques <strong>de</strong> l’écoulement telles l’énergie<br />

interne ou les capacités calorifiques.<br />

2.1.1 L’équation d’état <strong>de</strong> Peng-Robinson<br />

Pour un mélange <strong>de</strong> flui<strong><strong>de</strong>s</strong>, l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson est donnée par :<br />

P =<br />

RT<br />

v − b m<br />

−<br />

a m (T )<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

(2.1)<br />

où P est la pression, T la température, v = V n<br />

le volume molaire (n est le<br />

nombre <strong>de</strong> moles) et R la constante <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz. a m (T ) et b m sont les coefficients<br />

<strong>de</strong> Peng-Robinson associés au mélange.<br />

Pour une substance pure i, les coefficients <strong>de</strong> Peng-Robinson a i (T ) et b i<br />

sont donnés par :<br />

10


a i (T ) = A(T ci )Ψ 2 i (2.2)<br />

Ψ i = 1 + c i (1 − √ T ri ) (2.3)<br />

A(T ci ) = 0.457236 (RT c i<br />

) 2<br />

P ci<br />

(2.4)<br />

c i = 0.37464 + 1.54226ω i − 0.26992ω 2 i (2.5)<br />

b i = 0.077796 RT c i<br />

P ci<br />

(2.6)<br />

où T ci est la température critique <strong>de</strong> l’espèce i, P ci sa pression critique, et<br />

ω i son facteur acentrique, qui permet <strong>de</strong> prendre en compte la non sphéricité<br />

<strong>de</strong> l’espèce. Enfin, T ri = T<br />

T ci<br />

est la température réduite <strong>de</strong> l’espèce i.<br />

Pour les mélanges, les coefficients a m et b m sont calculés à partir <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

coefficients a i et b i , selon la loi <strong>de</strong> mélange <strong>de</strong> Van Der Walls [8] :<br />

a m =<br />

b m =<br />

N∑ N∑<br />

a ij X i X j (2.7)<br />

i=1 j=1<br />

N∑<br />

b i X i (2.8)<br />

i=1<br />

avec a ij = √ a i a j (1 − k ij ) (2.9)<br />

où k ij est le coefficient d’interaction binaire et X i = n i<br />

n<br />

molaire <strong>de</strong> l’espèce i et n i le nombre <strong>de</strong> moles <strong>de</strong> l’espèce i.<br />

est la fraction<br />

D’autre lois <strong>de</strong> mélanges existent, mais leur interêt est limité aux molécules<br />

complexes (par exemple les lois <strong>de</strong> mélanges basées sur l’energie libre en<br />

excès [8]). Dans notre cas, les molécules à simuler sont peu allongées et non<br />

polaires (sauf pour l’eau). De plus, le concept <strong>de</strong> Van Der Waals respecte la<br />

dépendance en composition du <strong>de</strong>uxième coefficient du viriel (voir section<br />

1.4.1).<br />

Une autre loi <strong>de</strong> mélange utilisée par exemple par Tramecourt et Menon<br />

[2] basée sur <strong><strong>de</strong>s</strong> propriété pseudo-critiques est intéressante par sa consistance<br />

avec le principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états correspondants.<br />

L’équation d’état <strong>de</strong> Peng Robinson souffre d’un manque <strong>de</strong> précision<br />

non négligeable lorsque le flui<strong>de</strong> est liqui<strong>de</strong> (≈ 10% d’erreur sur la <strong>de</strong>nsité).<br />

11


2.2 Propriétés thermodynamiques<br />

Les fonctions résiduelles donnant accès aux propriétés thermodynamiques<br />

du mélange, directement issue <strong>de</strong> relations thermodynamiques fondamentales<br />

et donc valables dans tous les domaines thermodynamiques, s’écrivent<br />

<strong>de</strong> manière générale [4] :<br />

∫ {<br />

v0<br />

( ) ∂P<br />

e − e 0 (T ) = − T<br />

v ∂T<br />

∫ {<br />

v0<br />

h − h 0 (T ) = P v − RT − T<br />

c v − c 0 v(T ) = −T<br />

∫ v0<br />

c p − c 0 p(T ) = −R − T ( ∂P<br />

∂T<br />

)<br />

−T<br />

v<br />

∫ v0<br />

v<br />

v<br />

{ (∂ 2 P<br />

∂T 2 )<br />

(<br />

∂P<br />

∂v<br />

) 2<br />

v,X k<br />

T,X k<br />

{ (∂ 2 P<br />

∂T 2 )<br />

v,X k<br />

− P<br />

}<br />

dv (2.10)<br />

T,X k<br />

}<br />

( ) ∂P<br />

− P<br />

∂T<br />

v,X k<br />

v,X k<br />

}<br />

v,X k<br />

}<br />

T,X k<br />

dv (2.11)<br />

T,X k<br />

dv (2.12)<br />

T,X k<br />

dv (2.13)<br />

où e est l’énergie interne molaire du mélange, h son enthalpie molaire<br />

et c v et c p les capacité calorifiques molaires à volume constant et pression<br />

constante. v 0 désigne un volume calculé à une pression <strong>de</strong> référence P 0 , supposée<br />

faible afin que le comportement <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz puisse être considéré comme<br />

idéal, <strong>de</strong> façon que v 0 = RT<br />

P 0<br />

. Les variables e 0 (T ), h 0 (T ), c 0 v(T ) et c 0 p(T ) sont<br />

uniquement dépendantes <strong>de</strong> la température et <strong>de</strong> la composition et sont<br />

évaluées à P = 1 bar. Ces gran<strong>de</strong>urs <strong>de</strong> référence suivent donc les lois <strong>de</strong><br />

mélange <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz i<strong>de</strong>aux et sont ainsi i<strong>de</strong>ntiques aux valeurs communément<br />

utilisées dans les co<strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong> combustion. Elles correspon<strong>de</strong>nt aux gran<strong>de</strong>urs<br />

calculées dans AVBP à partir <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs tabulées issues <strong><strong>de</strong>s</strong> tables JANAF<br />

[6].<br />

Les dérivées partielles intervenant dans les équations 2.10 à 2.13 sont<br />

évaluées à partir <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson. Les intégrations en volume<br />

s’effectuent à composition et température constantes.<br />

En dérivant l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson en trouve directement :<br />

12


On en déduit :<br />

( ) ∂P<br />

=<br />

∂T<br />

v,X k<br />

( ∂ 2 P<br />

∂T 2 )<br />

R<br />

−<br />

v − b m<br />

( ∂am<br />

)<br />

∂T v,X k<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

( )<br />

∂ 2 a m<br />

∂T 2 v,X<br />

= −<br />

k<br />

v,X k<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

(2.14)<br />

(2.15)<br />

e − e 0 (T ) =<br />

=<br />

=<br />

( (∂am )<br />

∂T<br />

)<br />

(( ∂am<br />

∂T<br />

∫ v0<br />

v<br />

(( ∂am<br />

∂T<br />

) ∫ v0<br />

T − a m<br />

v,X k v<br />

)<br />

T − a<br />

v,X m<br />

k<br />

2 √ ×<br />

2b m<br />

{<br />

}<br />

1<br />

v 2 + 2vb m − b 2 (2.16) dv<br />

m T,X k<br />

{<br />

}<br />

1<br />

v − ( √ 1<br />

−<br />

2 − 1)b m v + ( √ dv (2.17)<br />

2 + 1)b m T,X<br />

)<br />

k<br />

) [ (<br />

T − a<br />

v,X m<br />

k<br />

2 √ v + (1 − √ )] v0<br />

2)b m<br />

ln<br />

2b m v + (1 + √ (2.18)<br />

2)b m<br />

Comme la pression <strong>de</strong> référence est supposée faible, on a v 0 >> b m , d’où<br />

le résultat suivant :<br />

v<br />

e − e 0 (T ) =<br />

Il s’en suit :<br />

(<br />

am − T ( )<br />

∂a m<br />

) (<br />

∂T v,X k<br />

2 √ v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

ln<br />

2b m v + (1 + √ 2)b m<br />

(2.19)<br />

h − h 0 (T ) =<br />

(<br />

am − T ( )<br />

∂a m<br />

) (<br />

∂T v,X k<br />

2 √ v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

ln<br />

2b m v + (1 + √ 2)b m<br />

+P v − RT (2.20)<br />

De la même manière, on calcule les capacités calorifiques :<br />

c v − c 0 v(T ) =<br />

c p − c 0 p(T ) =<br />

−T<br />

−T<br />

−T<br />

( )<br />

∂ 2 a m (<br />

∂T 2 v,X k<br />

2 √ v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

ln<br />

2b m v + (1 + √ 2)b m<br />

( )<br />

∂ 2 a m (<br />

∂T 2 v,X k<br />

2 √ v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

ln<br />

2b m v + (1 + √ − R<br />

2)b m<br />

( ∂P<br />

) 2<br />

∂T v,X ( k<br />

∂P<br />

∂v<br />

(2.21)<br />

)T,X k<br />

(2.22)<br />

13


où<br />

( ) ∂P<br />

= − RT<br />

∂v<br />

T,X k<br />

(v − b m ) 2 + a 2v + 2b m<br />

m<br />

(v 2 + 2vb m − b 2 m) 2 (2.23)<br />

( ∂am<br />

) (<br />

∂T<br />

et ∂ 2 a m<br />

sont calculés dans l’annexe en fin <strong>de</strong> document.<br />

v,X k ∂T<br />

)v,X 2 k<br />

2.3 Propriétés partielles molaires<br />

Dans le cas général <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz réels, les propriétés du mélange ne sont<br />

plus simplement une moyenne pondérée par le nombre <strong>de</strong> moles <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés<br />

<strong>de</strong> chaque composant. Elles dépen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> manière non linéaire <strong>de</strong> la<br />

température, pression mais aussi <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions molaires <strong>de</strong> chaques espèces.<br />

2.3.1 Différentielle <strong>de</strong> F<br />

La differentielle d’une fonction extensive F = nF en fonction <strong>de</strong> P , T et<br />

n i s’écrit [10] [5] :<br />

dF =<br />

( ) ( )<br />

∂F<br />

∂F<br />

dT + dP +<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

N∑<br />

i=1<br />

( ∂F<br />

∂n i<br />

)<br />

P,T,n j≠i<br />

dn i (2.24)<br />

Les variables P , T et n i sont indépendantes.<br />

Si l’on considère un processus à température et pression constantes, on<br />

obtient :<br />

dF =<br />

N∑<br />

i=1<br />

( ∂F<br />

∂n i<br />

)<br />

P,T,n j≠i<br />

dn i (2.25)<br />

Par intégration (T , P et X K sont maintenus constants le long du chemin<br />

d’intégration) :<br />

F =<br />

N∑<br />

i=1<br />

( ∂F<br />

∂n i<br />

)<br />

P,T,n j≠i<br />

n i (2.26)<br />

2.3.2 Dérivées partielles molaires<br />

La dérivée molaire partielle est définie <strong>de</strong> façon générale par [8] [5] :<br />

14


F i =<br />

( ∂F<br />

∂n i<br />

)<br />

T,P,n j≠i<br />

(2.27)<br />

Les fonctions molaires sont <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés intensives qui ne s’appliquent<br />

qu’à <strong><strong>de</strong>s</strong> gran<strong>de</strong>urs extensives (F = nF , où F est la propriété molaire).<br />

Dans ces conditions, à partir <strong>de</strong> l’équation 2.26, on obtient les relations :<br />

F =<br />

F =<br />

N∑<br />

n i F i (2.28)<br />

i=1<br />

N∑<br />

X i F i (2.29)<br />

i=1<br />

2.3.3 Ecriture différentielle en fonction <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions molaires<br />

En différenciant les équations 2.28 et 2.29, on montre les relations suivantes<br />

:<br />

dF =<br />

dF =<br />

N∑<br />

n i dF i +<br />

i=1<br />

N∑<br />

X i dF i +<br />

i=1<br />

Ainsi, la relation 2.24 <strong>de</strong>vient :<br />

N∑<br />

F i dn i (2.30)<br />

i=1<br />

N∑<br />

F i dX i (2.31)<br />

i=1<br />

soit :<br />

dF =<br />

=<br />

( ) ( )<br />

∂F<br />

∂F<br />

dT + dP + dF −<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

( ) ( )<br />

∂F<br />

∂F<br />

dT + dP + dF<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

(<br />

)<br />

N∑<br />

− ndF − n F i dX i<br />

i=1<br />

N∑<br />

n i dF i (2.32)<br />

i=1<br />

(2.33)<br />

dF =<br />

( ) ( )<br />

∂F<br />

∂F<br />

dT + dP +<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

N∑<br />

F i dX i (2.34)<br />

Le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés partielles molaires utilisées dans la suite est<br />

détaillé en fin <strong>de</strong> document dans l’annexe.<br />

15<br />

i=1


2.4 Relations thermodynamiques importantes<br />

Dans la suite, nous serons amenés à exprimer la température et la pression<br />

sous forme différentielle. Nous allons ici établir ces relations.<br />

Par simplicité <strong>de</strong> lecture, posons :<br />

α = 1 v<br />

( ) ∂v<br />

∂T<br />

P,n<br />

β = − 1 v<br />

( ) ∂v<br />

∂P<br />

T,n<br />

(2.35)<br />

où α est appelé le coefficient d’expansion thermique et β le coefficient <strong>de</strong><br />

compressibilité isotherme. Ces coefficients sont calculés en annexe en fin <strong>de</strong><br />

document.<br />

2.4.1 Expression <strong>de</strong> dv en fonction <strong>de</strong> dT , dP et dX i<br />

En appliquant directement la relation 2.34 au volume molaire v, on peut<br />

écrire :<br />

dv =<br />

et après réécriture :<br />

( ) ( )<br />

∂v<br />

∂v<br />

dT + dP +<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

N∑<br />

v i d(X i ) (2.36)<br />

i=1<br />

N∑<br />

dv = (vα) dT + (−vβ) dP + v i dX i (2.37)<br />

i=1<br />

où v i est le volume molaire partiel <strong>de</strong> l’espèce i.<br />

2.4.2 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dP , dT et dX i<br />

En appliquant directement la relation 2.34 à l’énergie interne molaire e,<br />

on peut écrire :<br />

<strong>de</strong> =<br />

ce qui s’écrit également :<br />

( ) ( )<br />

∂e<br />

∂e<br />

dT + dP +<br />

∂T<br />

P,n i<br />

∂P<br />

T,n i<br />

N∑<br />

e i d(X i ) (2.38)<br />

i=1<br />

N∑<br />

<strong>de</strong> = (c p − P vα) dT + v (P β − T α) dP + e i dX i (2.39)<br />

i=1<br />

où e i est l’énergie interne molaire partielle <strong>de</strong> l’espèce i.<br />

16


2.4.3 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dT , dv et dX i<br />

Nous avons montré précé<strong>de</strong>mment que :<br />

<strong>de</strong> = (c p − P vα) dT + v (P β − T α) dP +<br />

dv = (vα) dT + (−vβ) dP +<br />

sortons dP <strong>de</strong> l’équation 2.41 :<br />

dP =<br />

N∑<br />

e i dX i (2.40)<br />

i=1<br />

N∑<br />

v i dX i (2.41)<br />

i=1<br />

1<br />

−vβ dv + α N β dT + ∑<br />

( )<br />

vi<br />

dX i (2.42)<br />

vβ<br />

en injectant dP dans l’équation 2.40 et après réécriture, on obtient :<br />

i=1<br />

(<br />

<strong>de</strong> = c v dT − P + c v − c p<br />

αv<br />

N∑<br />

i=1<br />

{(<br />

P + c v − c p<br />

αv<br />

(<br />

<strong>de</strong> = c v dT − P + c v − c p<br />

αv<br />

N∑<br />

i=1<br />

{(<br />

cv − c p<br />

αv<br />

)<br />

dv +<br />

)<br />

v i + e i<br />

}<br />

dX i (2.43)<br />

)<br />

dv +<br />

où h i est l’enthalpie molaire partielle <strong>de</strong> l’espèce i.<br />

)<br />

v i + h i<br />

}<br />

dX i (2.44)<br />

2.4.4 Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> dP , dv et dX i<br />

sortons dT <strong>de</strong> l’équation 2.41 :<br />

dT = 1<br />

vα dv + β N α dP − ∑ ( vi<br />

)<br />

dX i (2.45)<br />

vα<br />

en injectant dT dans l’équation 2.40 et après réécriture, on obtient :<br />

i=1<br />

<strong>de</strong> =<br />

(<br />

cp − P v α<br />

N∑<br />

i=1<br />

vα<br />

{<br />

e i −<br />

) ( ) β<br />

dv +<br />

α c v dP +<br />

( cp<br />

αv − P )<br />

v i<br />

}<br />

dX i (2.46)<br />

17


<strong>de</strong> =<br />

) ( ) β<br />

vα − P dv +<br />

α c v dP +<br />

N∑ { ( cp<br />

) }<br />

h i + v i dX i (2.47)<br />

αv<br />

( cp<br />

i=1<br />

2.4.5 Expressions <strong>de</strong> dT et dP en fonction <strong>de</strong> <strong>de</strong>, dv et dX i<br />

A partir <strong><strong>de</strong>s</strong> relations 2.44 et 2.47, on obtient rapi<strong>de</strong>ment :<br />

dT = 1 ( P<br />

<strong>de</strong> + + 1<br />

c v c v αv<br />

N∑<br />

−<br />

i=1<br />

dP = α<br />

βc v<br />

<strong>de</strong> +<br />

−<br />

N∑<br />

i=1<br />

(<br />

1 − c p<br />

c v<br />

))<br />

dv<br />

(c v − c p )v i + αvh i<br />

dX i (2.48)<br />

αvc v<br />

( αP<br />

−<br />

c )<br />

p<br />

dv<br />

βc v βvc v<br />

{ α<br />

βc v<br />

h i +<br />

2.4.6 Changement <strong>de</strong> variables<br />

c p<br />

c v βv v i<br />

}<br />

dX i (2.49)<br />

Dans AVBP, les variables naturelles à utiliser sont les variables conservatives<br />

(ρY k , ρE T , ρu 1 , ρu 2 , ρu 3 ), où ρ est la <strong>de</strong>nsité, Y k sont les fraction<br />

massiques, E T , l’énergie totale par unité <strong>de</strong> masse, et u i la vitesse dans<br />

la direction i. Il est nécessaire d’exprimer les variables naturelles <strong>de</strong> Peng-<br />

Robinson en fonction <strong><strong>de</strong>s</strong> variables naturelles d’AVBP.<br />

Expression <strong>de</strong> dX i :<br />

X i = Y i<br />

W<br />

W i<br />

(2.50)<br />

où W i est la masse molaire <strong>de</strong> l’espèce i et W est la masse molaire<br />

moyenne. En différentiant l’équation 2.50 :<br />

et , puisque :<br />

dX i = W W i<br />

dY i − W 2 Y i<br />

W i<br />

N ∑<br />

j=1<br />

dY j<br />

W j<br />

(2.51)<br />

18


d(Y i ) = d(ρY i) − Y i dρ<br />

ρ<br />

(2.52)<br />

on obtient :<br />

or,<br />

dX i = v W i<br />

d(ρY i ) − vY i<br />

W i<br />

dρ − W 2 Y i<br />

W i<br />

+W 2 Y i<br />

W i<br />

N ∑<br />

j=1<br />

= v W i<br />

d(ρY i ) − vY i<br />

W i<br />

dρ − W 2 Y i<br />

W i<br />

+W Y i<br />

W i<br />

N ∑<br />

j=1<br />

N ∑<br />

j=1<br />

d(ρY j )<br />

ρW j<br />

Y j dρ<br />

ρW j<br />

(2.53)<br />

X j dρ<br />

ρ<br />

N ∑<br />

j=1<br />

d(ρY j )<br />

ρW j<br />

(2.54)<br />

N∑<br />

X j = 1 (2.55)<br />

j=1<br />

soit, finalement :<br />

dX i = v W i<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩ d(ρY i) − Y i N ∑<br />

j=1<br />

⎫<br />

W d(ρY j ) ⎬<br />

W j ⎭<br />

(2.56)<br />

Expression <strong>de</strong> dv :<br />

v = W ρ<br />

(2.57)<br />

d’où<br />

dv = − W ρ 2 dρ + N ∑<br />

j=1<br />

W j dX j<br />

ρ<br />

(2.58)<br />

et enfin, avec l’équation 2.56, on obtient facilement :<br />

19


Expression <strong>de</strong> <strong>de</strong> :<br />

N∑<br />

dv = − v 2 d(ρY i)<br />

(2.59)<br />

W i<br />

i=1<br />

d’où :<br />

( e<br />

)<br />

d(ρE) = d<br />

v<br />

= − e <strong>de</strong><br />

dv +<br />

v2 v<br />

N∑ d(ρY k )<br />

= e<br />

W k<br />

k=1<br />

+ <strong>de</strong><br />

v<br />

(2.60)<br />

(2.61)<br />

(2.62)<br />

<strong>de</strong> = vd(ρE) − ev<br />

N∑<br />

k=1<br />

d(ρY k )<br />

W K<br />

(2.63)<br />

2.4.7 Expression <strong>de</strong> dT en fonction <strong>de</strong> d(ρE) et d(ρY k )<br />

Dans un premier temps, nous allons travailler sur la différentielle <strong>de</strong> e.<br />

En utilisant les différentielles calculées au chapitre précé<strong>de</strong>nt dans l’équation<br />

2.44, on obtient :<br />

vd(ρE) − ev<br />

soit :<br />

N∑ d(ρY k )<br />

= c v dT − (P + c v − c p<br />

)(−v 2<br />

W k αv<br />

k=1<br />

+<br />

−<br />

N∑<br />

k=1<br />

N∑<br />

k=1<br />

N ∑<br />

i=1<br />

d(ρY k )<br />

W k<br />

)<br />

{ }<br />

cv − c p v<br />

v k + h k d(ρY k )<br />

αv<br />

W k<br />

{ }<br />

cv − c p<br />

v k + h k vX k<br />

αv<br />

{<br />

vd(ρE) = c v dT + v h + c }<br />

v − c p<br />

∑ N<br />

v<br />

αv<br />

+<br />

N∑<br />

k=1<br />

k=1<br />

d(ρY k )<br />

W k<br />

{ }<br />

cv − c p v<br />

v k + h k d(ρY k )<br />

αv<br />

W k<br />

{ }<br />

cv − c p<br />

N∑<br />

− v + h v<br />

αv<br />

20<br />

i=1<br />

N ∑<br />

i=1<br />

d(ρY i )<br />

W i<br />

(2.64)<br />

d(ρY i )<br />

W i<br />

(2.65)


d’où :<br />

vd(ρE) = c v dT +<br />

N∑<br />

k=1<br />

{ }<br />

cv − c p v<br />

v k + h k d(ρY k ) (2.66)<br />

αv<br />

W k<br />

et on obtient alors facilement l’expression <strong>de</strong> dT en fonction <strong>de</strong> d(ρE) et<br />

d(ρY k ) :<br />

dT = v c v<br />

d(ρE) −<br />

N∑<br />

{<br />

cv − c p<br />

v k + h }<br />

k v<br />

d(ρY k ) (2.67)<br />

αvc v c v W k<br />

k=1<br />

2.4.8 Expression <strong>de</strong> dP en fonction <strong>de</strong> d(ρE) et d(ρY k )<br />

Nous avons l’équation (eq 2.42) :<br />

dP =<br />

1<br />

−vβ dv + α N β dT + ∑<br />

( )<br />

vi<br />

dX i (2.68)<br />

vβ<br />

i=1<br />

En remplaçant dv et dX i , on obtient :<br />

dP =<br />

N∑<br />

i=1<br />

{ }<br />

vi d(ρY i )<br />

+ α dT (2.69)<br />

β W i β<br />

soit, avec l’équation 2.67 :<br />

dP = αv<br />

βc v<br />

d(ρE) +<br />

N∑<br />

i=1<br />

{<br />

cp<br />

c v<br />

v i<br />

β − αvh i<br />

βc v<br />

} d(ρYi )<br />

W i<br />

(2.70)<br />

2.5 Calcul du volume molaire pour une température<br />

et pression données<br />

L’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson nécessite la résolution d’une équation cubique<br />

pour obtenir le volume. Dans certains cas, il peut s’avérer que l’on<br />

obtienne plusieurs solutions réelles.<br />

L’équation cubique sur le volume, issue directement <strong>de</strong> Peng-Robinson,<br />

est donnée par :<br />

v 3 + (a 2 ) v 2 + (a 1 ) v + (a 0 ) = 0 (2.71)<br />

21


où<br />

a 0 = b 3 m + RT<br />

P b 2 − a m<br />

m P<br />

a 1 = −3b 2 m − 2RT b m<br />

P<br />

a 2 = b m − RT<br />

P<br />

+ a m<br />

P<br />

(2.72)<br />

(2.73)<br />

(2.74)<br />

Pour résoudre cette équation, une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Cardan a été utilisée.<br />

Une fois toute solution réelle négative écartée, la solution réelle ayant la<br />

fugacité γ la plus faible est choisie, car, selon le <strong>de</strong>uxième principe <strong>de</strong> la<br />

thermodynamique, cette solution est la plus stable. Si <strong>de</strong>ux solutions ont<br />

même fugacité, il y a coexistance <strong>de</strong> phase, le volume le plus important<br />

représentant le volume <strong>de</strong> gaz et le volume le plus faible celui <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>.<br />

Ce cas n’a pas été considéré dans le calcul, puisque la probabilité d’un tel<br />

événement est quasi-nulle. La fugacité γ du mélange est donnée par :<br />

(<br />

ln( γ P ) = a m<br />

2 √ 2b m RT ln v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

v + (1 + √ 2)b m<br />

( )<br />

P (v − bm )<br />

−ln<br />

+ P v<br />

RT RT − 1 (2.75)<br />

Un exemple <strong>de</strong> résultats avec changement <strong>de</strong> phase est donné par la<br />

figure 2.1.<br />

22


Fig. 2.1 – Densité <strong>de</strong> l’oxygène pour différentes pression. La pression critique<br />

<strong>de</strong> l’oxygène est 50.4 bars.<br />

2.6 Résultats<br />

Les résultats obtenus à partir <strong>de</strong> l’équation d’état <strong>de</strong> Peng-Robinson<br />

décrite au chapitre 2.1.1 et <strong>de</strong> la formulation thermodynamique présentée<br />

en section 2.2 sont tracés ici pour l’oxygène, le méthane et l’hydrogène entre<br />

100˚K et 300˚K pour différentes pressions. A titre <strong>de</strong> comparaison, les valeurs<br />

obtenues par la table NIST sont également présentes sur les graphiques.<br />

Le tableau 2.1 rappelle les valeur critiques <strong><strong>de</strong>s</strong> trois espèces traitées.<br />

Espèce T c (˚K) P c (bar) Facteur acentrique ω<br />

O 2 154.58 50.43 0.025<br />

H 2 33.0 12.838 -0.216<br />

CH 4 190.56 45.99 0.011<br />

Tab. 2.1 – Tableau <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs critiques <strong>de</strong> l’oxygène, <strong>de</strong> l’hydrogène et du<br />

méthane<br />

23


2.6.1 Oxygène<br />

La <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’oxygène à 60 et 100 bars est tracée sur la figure 2.2. Au<br />

<strong>de</strong>là <strong>de</strong> la température critique, la <strong>de</strong>nsité est correctement modélisée. En<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong>sous <strong>de</strong> la température critique la <strong>de</strong>nsité est sur-évaluée. Il s’agit d’une<br />

caractéristique classique <strong>de</strong> l’équation d’état <strong>de</strong> Peng-Robinson.<br />

L’enthalpie (Fig. 2.3) est calculée avec une erreur acceptable. Cette erreur<br />

est maximale dans la zone critique.<br />

La capacité calorifique à volume constant 2.4 souffre d’erreurs importantes<br />

dans la zone critique. Cependant, l’impact <strong>de</strong> ces erreurs n’est pas <strong>de</strong><br />

premier ordre dans un calcul. La vitesse du son sera la principale gran<strong>de</strong>ur<br />

affectée par ces imprécisions.<br />

La figure 2.5 représente la capacité calorifique à pression constante. Les<br />

résultats sont satisfaisants puisque le comportement physique est respectée.<br />

Le niveau maximal atteint par le modèle <strong>de</strong> Peng-Robinson est plus bas que<br />

celui obtenu en réalité.<br />

Fig. 2.2 – Densité <strong>de</strong> l’oxygène<br />

24


Fig. 2.3 – Enthalpie <strong>de</strong> l’oxygène<br />

Fig. 2.4 – Capacité calorifique à volume constant <strong>de</strong> l’oxygène<br />

25


Fig. 2.5 – Capacité calorifique à pression constante <strong>de</strong> l’oxygène<br />

2.6.2 Méthane<br />

L’equation d’état <strong>de</strong> Peng-Robinson est basée sur le principe <strong><strong>de</strong>s</strong> états<br />

correspondants. Les résutats obtenus avec le méthane présentent donc le<br />

même comportement que ceux observés précé<strong>de</strong>mment avec l’oxygène. Une<br />

sur-estimation <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité est notable en <strong><strong>de</strong>s</strong>sous <strong>de</strong> la température critique<br />

(Fig. 2.6). Le calcul <strong>de</strong> enthalpie (Fig. 2.7) donne <strong><strong>de</strong>s</strong> résultats satisfaisants,<br />

tandis que l’estimation <strong><strong>de</strong>s</strong> capacités calorifiques (Fig. 2.8 et 2.9) mène au<br />

même type d’erreurs que précé<strong>de</strong>mment.<br />

26


Fig. 2.6 – Densité du méthane<br />

Fig. 2.7 – Enthalpie du méthane<br />

27


Fig. 2.8 – Capacité calorifique à volume constant du méthane<br />

Fig. 2.9 – Capacité calorifique à pression constante du méthane<br />

28


2.6.3 Hydrogène<br />

Dans la gamme <strong>de</strong> température et <strong>de</strong> pression utilisée ici, l’hydrogène ne<br />

presente pas le même caractéristiques que l’oxygène ou le méthane, puisque<br />

sa température critique est bien plus faible (33 ˚K). Son comportement est<br />

proche <strong>de</strong> celui d’un gaz parfait. C’est pour cela que <strong><strong>de</strong>s</strong> discontinuités sont<br />

visibles sur les capacités calorifiques (Fig. 2.12 et 2.13). Elles proviennent<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong> capacité calorifiques <strong>de</strong> références tabulées tout les 100˚K dans AVBP, la<br />

correction <strong>de</strong> Peng-Robinson liée à la pression étant nulle. Des erreurs sont<br />

pourtants observables sur chaque graphique. Ces <strong>de</strong>viations sont liées au<br />

comportement quantique <strong>de</strong> l’hydrogène à basse température [4] (100˚K et<br />

moins). L’impact reste toutefois limité à une zone très faible <strong>de</strong> l’écoulement.<br />

Il est cependant possible <strong>de</strong> corriger ce comportement en utilisant un coefficient<br />

a(T ) <strong>de</strong> Peng-Robinson adapté.<br />

Fig. 2.10 – Densité <strong>de</strong> l’hydrogène<br />

29


Fig. 2.11 – Enthalpie <strong>de</strong> l’hydrogène<br />

Fig. 2.12 – Capacité calorifique à volume constant <strong>de</strong> l’hydrogène<br />

30


Fig. 2.13 – Capacité calorifique à pression constante <strong>de</strong> l’hydrogène<br />

2.6.4 Limitations <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson<br />

Les exemples tracés dans les section 2.6.1, 2.6.2 et 2.6.3 mettent en<br />

évi<strong>de</strong>nce les limitation du modèle <strong>de</strong> Peng-Robinson :<br />

– La <strong>de</strong>nsité est sur-évaluée dans la zone <strong>de</strong>nse.<br />

– Des erreurs sont systématiquement notables dans la zone critique. Elles<br />

restent acceptable en vue d’une application LES pour le calcul <strong>de</strong> l’enthalpie.<br />

Ces erreurs sont plus importantes sur les capacités calorifique,<br />

mais leur impact est plus limité. La vitesse du son sera affectée par<br />

ces approximations sur les capacités calorifiques.<br />

Nous nous interressons à la simulation aux gran<strong><strong>de</strong>s</strong> échelle <strong>de</strong> la combustion<br />

est régime supercritique. L’essentiel <strong>de</strong> l’écoulement se situera donc<br />

dans une fourchette thermodynamique au <strong><strong>de</strong>s</strong>sus <strong>de</strong> la température critique.<br />

Dans ce cas, l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson donne <strong>de</strong> très bons résultats. La<br />

zone critique n’est que peu présente en volume dans l’écoulement. Nous<br />

pouvons supposer que les approximations visibles dans cette zone ont un<br />

impacte relativement faible. L’erreur constatée dans les hautes <strong>de</strong>nsité est<br />

plus importante, puiqu’elle affecte l’ensemble du jet central <strong>de</strong>nse. Cette<br />

erreur doit donc être corrigée.<br />

31


2.7 Métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> correction <strong>de</strong> l’équation d’état<br />

Il est nécessaire <strong>de</strong> corriger le volume pour les hautes <strong>de</strong>nsités. Deux<br />

métho<strong><strong>de</strong>s</strong> semblent intéressantes. Ces <strong>de</strong>ux métho<strong><strong>de</strong>s</strong> sont comparées dans<br />

cette section.<br />

2.7.1 Correction <strong>de</strong> volume<br />

Les métho<strong><strong>de</strong>s</strong> ne sont pas détaillées ici. Les détails peuvent être trouvé<br />

dans les articles associés.<br />

La métho<strong>de</strong> décrite par Harstad, Miller et Bellan [3] est basée sur un<br />

ajustement <strong>de</strong> l’énergie et <strong>de</strong> l’enthalpie sur <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs <strong>de</strong> référence. Il en<br />

vient ainsi une correction sur le volume. Cette métho<strong>de</strong> permet d’aboutir à<br />

une thermodynamique totalement consistante, puisque l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> fonctions<br />

thermodynamiques ont été dérivées avec la correction. Cette correction<br />

a été établie pour une fourchette <strong>de</strong> température <strong>de</strong> 100 à 400˚K.<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Mathias et al. [9] est très peu coûteuse et utilise le coefficient<br />

<strong>de</strong> compressibilité isotherme comme activateur <strong>de</strong> la correction, il<br />

<strong>de</strong>vient en effet très grand lorsque la <strong>de</strong>nsité augmente.<br />

La figure 2.14 établit une comparaison entre la <strong>de</strong>nsité obtenue à 110<br />

bars pour <strong>de</strong> l’oxygène avec l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson non corrigée, celle<br />

corrigée via la formulation <strong>de</strong> Bellan et al., celle corrigée via la métho<strong>de</strong><br />

proposée par Mathias et al. et la base NIST.<br />

Les <strong>de</strong>ux métho<strong><strong>de</strong>s</strong> offrent <strong><strong>de</strong>s</strong> résultat comparables sur la <strong>de</strong>nsité. La<br />

<strong>de</strong>nsité pour les températures sous-critiques est corrigée et correspond à celle<br />

<strong>de</strong> la table NIST. L’erreur dans la zone critique est légèrement augmentée.<br />

2.7.2 Enthalpie et capacités calorifiques<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> correction <strong>de</strong> Bellan et al. corrige également les fonctions<br />

d’énergie et les capacités calorifiques. Nous allons voir comment se comporte<br />

ces fonctions en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> la fourchette 100-400 ˚K pour laquelle elle a été<br />

prévue.<br />

Les enthalpie et capacités calorifiques à pression constante pour l’oxygène<br />

sont comparées à 100 bars (fig. 2.15 et 2.16) pour l’équation <strong>de</strong> Peng Robinson<br />

avec et sans correction. Lorsqu’il n’y a pas <strong>de</strong> correction, les capacité<br />

calorifiques <strong>de</strong> référence c 0 P et c0 v ainsi que l’enthalpie <strong>de</strong> référence h 0 sont<br />

issus <strong><strong>de</strong>s</strong> tables d’AVBP. Enfin, sur chaque figure, un calcul gaz parfait est<br />

32


Fig. 2.14 – Comparaison <strong><strong>de</strong>s</strong> corrections <strong>de</strong> volume obtenus via la métho<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> Bellan et al. et celle <strong>de</strong> Mathias et al.<br />

présenté.<br />

Les résultats montrent un décalage important entre les résultats avec<br />

correction et sans sorrection lorsque la température est supérieure à 400˚K.<br />

Les valeurs relevées dans la table NIST correspon<strong>de</strong>nt à celle obtenue via<br />

Peng-Robinson non corrigée. L’erreur provient du fait que au <strong>de</strong>là <strong>de</strong> 400˚K,<br />

la capacité calorifique à pression constante est considéré comme constante<br />

dans la formulation <strong>de</strong> Bellan et al..<br />

2.7.3 Quelle correction choisir ?<br />

Deux métho<strong><strong>de</strong>s</strong> ont relevé notre attention : la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Bellan et al.<br />

et celle <strong>de</strong> Mathias et al. Les <strong>de</strong>ux formulations offrent <strong><strong>de</strong>s</strong> résultats comparables<br />

sur la <strong>de</strong>nsité, la <strong>de</strong>rnière étant plus simple. Dans le cadre d’une<br />

correction uniquement sur le volume, ce qui semble être le choix le plus approprié,<br />

la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Mathias et al. semble être la plus intéressante.<br />

S’il il s’avère nécessaire <strong>de</strong> corriger également l’énergie, la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

Bellan et al. <strong>de</strong>vra être adaptée au domaine thermodynamique du calcul, car<br />

dans l’état, cette formulation ne donne pas <strong>de</strong> résultats satisfaisants pour<br />

l’énergie et les capacités calorifiques à haute température.<br />

33


Fig. 2.15 – Capacité calorifique à pression constante à 100 bar<br />

Fig. 2.16 – Enthalpie à 100 bar<br />

34


2.8 Difficultés théoriques<br />

En clôture <strong>de</strong> ce chapitre, nous pouvons mettre en avant certaines difficultées<br />

liée à l’utilisation <strong>de</strong> la thermodynamique gaz réel dans AVBP.<br />

Dans les sections 2.2 et 2.1.1, les expressions pour le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> énergie,<br />

enthalpie, capacités calorifique et pression ont été établies. Ces expressions<br />

utilisent la composition du mélange, le volume et la température en entrée.<br />

Or, puisque AVBP résoud les équations <strong>de</strong> conservation lors d’une simulation,<br />

seules les variables conservatives sont transportées. Ainsi, la température<br />

n’est pas connue et il faut donc pouvoir l’extraire <strong><strong>de</strong>s</strong> gran<strong>de</strong>urs conservatives.<br />

La difficulté, comparé au gaz parfait, est la présence, en plus <strong>de</strong> la<br />

température et <strong>de</strong> la composition, du volume dans le calcul <strong>de</strong> l’énergie.<br />

Il n’existe pas <strong>de</strong> formulation analytique permettant un calcul direct <strong>de</strong> la<br />

température ou <strong>de</strong> la pression en fonction <strong>de</strong> l’énergie interne, du volume et<br />

<strong>de</strong> la composition. Une autre métho<strong>de</strong> doit être utilisée et est expliquée au<br />

chapitre 3.<br />

Une autre complication est liée au caractère <strong>de</strong> type liqui<strong>de</strong> du flui<strong>de</strong><br />

lorsque la température est inférieure à la température critique, c’est-à-dire<br />

lorsque la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong>vient importante. La différentielle 2.76 écrite pour un<br />

cas mono-espèce :<br />

dP =<br />

( ) ( )<br />

∂P<br />

∂P<br />

dT + dv (2.76)<br />

∂T<br />

v,n<br />

∂v<br />

T,n<br />

indique que lorsque le volume diminue (ie : la <strong>de</strong>nsité augmente), le<br />

flui<strong>de</strong> prenant les propriétés d’un liqui<strong>de</strong>, le coefficient <strong>de</strong> compressibilité<br />

isotherme <strong>de</strong>vient très petit et donc la dérivée ( )<br />

∂P<br />

∂v<br />

<strong>de</strong>vient très gran<strong><strong>de</strong>s</strong>.<br />

T,n<br />

Le même comportement est observé sur la dérivée ( )<br />

∂P<br />

∂T<br />

, puisque qu’elle<br />

v,n<br />

est proportionnelle au rapport du coefficient d’expension thermique sur le<br />

coefficient <strong>de</strong> compressibilité. Cela signifie que si durant le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs<br />

apparaissent sur la température ou le volume, leur répercussion peut <strong>de</strong>venir<br />

très forte sur la pression. Une analyse complète ainsi qu’une métho<strong>de</strong> pour<br />

prévenir tout problème sont présentés au chapitre 3.<br />

35


Chapitre 3<br />

Méthodologie<br />

Dans ce chapitre, nous allons voir comment ont été effectivement codées<br />

les équations nécessaires au calcul en gaz réel. Dans un premier temps, les<br />

aspects les plus critiques vont être rappelés, puis l’ordonnancement <strong><strong>de</strong>s</strong> modifications<br />

est donnée sous forme graphique. Enfin, <strong><strong>de</strong>s</strong> explications détaillées<br />

sur chacun <strong><strong>de</strong>s</strong> aspects abordés sont données dans les sections suivantes.<br />

3.1 Problématique<br />

Nous souhaitons mettre la thermodynamique d’AVBP à jour afin <strong>de</strong> pouvoir<br />

simuler un écoulement <strong>de</strong> gaz réels. Les équations ont déjà été présentées<br />

précé<strong>de</strong>mment. Les difficultés et modifications à apporter sont les suivantes :<br />

– AVBP résoud les équations <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> la masse, <strong>de</strong> la quantité<br />

<strong>de</strong> mouvement et <strong>de</strong> l’énergie ( variables conservatives) . La température<br />

et la pression ne sont pas <strong><strong>de</strong>s</strong> fonctions simples <strong><strong>de</strong>s</strong> variables conservatives.<br />

Il faut donc trouver une métho<strong>de</strong> pour obtenir ces variables<br />

primitives. Cela est expliqué à la section 3.4.<br />

– La pression est très sensible à la température et au volume lorsque le<br />

flui<strong>de</strong> se <strong>de</strong>nsifie. Une analyse et les conséquences pour le calcul sont<br />

donnés en section 3.5.<br />

– Afin <strong>de</strong> pouvoir utiliser les schémas numériques LW et TTGC, il est<br />

nécessaire <strong>de</strong> modifier la matrice Jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux convectifs.<br />

3.2 Implantation dans AVBP<br />

Le schéma donné en figure 3.1 présente les modifications apportées dans<br />

l’organisation d’une itération temporelle d’AVBP. Dans ce schéma, les principales<br />

étapes ont été reportées afin <strong>de</strong> localiser aisément les modifications,<br />

repérées par une lettre qui renvoie vers l’explication appropriée :<br />

36


– Etape A : Cette étape n’intervient que lors <strong>de</strong> la première itération.<br />

Puisque la métho<strong>de</strong> générale utilisée consiste à mettre à jour la température,<br />

il est nécessaire <strong>de</strong> l’initialiser lors <strong>de</strong> la première itération du<br />

calcul. Dans la mesure où en général la température est une donnée<br />

connue, le choix a été fait <strong>de</strong> l’inclure dans le fichier solution. Ceci<br />

implique en particulier que la température sera toujours écrite dans les<br />

solutions d’AVBP. Ainsi, il n’est pas nécessaire d’utiliser une métho<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> calcul <strong>de</strong> la température initialement, il suffit simplement <strong>de</strong> lire<br />

les données stockées dans la solution initiale (voir section 3.4.3).<br />

– Etape B : Au début <strong>de</strong> chaque itération, la pression est calculée à<br />

partir <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> Peng-Robinson. La température nécéssaire au<br />

calcul <strong>de</strong> la pression a été calculée à la fin <strong>de</strong> l’itération précé<strong>de</strong>nte<br />

(voir A ou F). Les capacités calorifiques sont obtenues à partir <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

équations rappelées à la section 3.3 . Enfin, un test est effectué sur la<br />

température et la pression afin <strong>de</strong> vérifier qu’ils sont dans le domaine<br />

<strong>de</strong> tolérance fixé pour la satisfaction <strong>de</strong> l’équation d’état et l’énergie.<br />

Puisque la pression a été obtenue via l’équation d’état, P et T la<br />

satisfont parfaitement et le test n’est donc réalisé que sur l’énergie. Si<br />

l’écart entre l’énergie recalculée avec la température mise à jour (voir<br />

F) et le volume (obtenu à partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité transportée et l’énergie<br />

transportée) est trop important une correction par métho<strong>de</strong> itérative<br />

est réalisée. Le détail sur les critères <strong>de</strong> correction et d’arrêt <strong>de</strong> la<br />

métho<strong>de</strong> itérative est donné à la section 3.5.<br />

– Etape C : Dans le cas où l’erreur sur les variables primitives T et P<br />

est jugée trop importante, une correction <strong>de</strong> ces gran<strong>de</strong>urs est réalisée<br />

via une métho<strong>de</strong> itérative. La métho<strong>de</strong> est détaillée à la section 3.4.1.<br />

– Etape D : Calcul ”habituel” <strong><strong>de</strong>s</strong> gradients et flux. Selon les schémas,<br />

le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus fait intervenir les matrices jacobiennes <strong><strong>de</strong>s</strong> flux<br />

convectifs. Les détails sont donnés à la section 3.6.1.<br />

– Etape E : Les conditions aux limites sont calculées <strong>de</strong> la même manière<br />

qu’ne gaz parfait. Une modification doit être faite en gaz réel et est en<br />

cours <strong>de</strong> réalisation.<br />

– Etape F : A partir <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus calculés en D, la température est mise<br />

à jour (voir section 3.4.2), <strong>de</strong> la même manière que pour les variables<br />

conservatives. La température ainsi obtenue sera alors utilisée pour<br />

l’étape B.<br />

– Etape G : Les variables conservatives sont mises à jour à partir <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

résidus.<br />

37


Fig. 3.1 – Organisation d’une itération temporelle<br />

A<br />

1 ere itération : initialisation <strong>de</strong> T à partir <strong>de</strong> la solution initiale<br />

B<br />

✲<br />

❄<br />

Calcul <strong>de</strong> P , c v , c p et vérification <strong>de</strong> T<br />

❅ e(T,P )−etransportee<br />

❅❅❘ |<br />

e transportee<br />

| > | ɛe e |<br />

C<br />

e(T,P )−etransportee<br />

|<br />

Correction <strong>de</strong> T par métho<strong>de</strong> itérative<br />

e transportee<br />

| < | ɛe e | ❄<br />

D<br />

❄<br />

Calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> gradients, flux et résidus<br />

E<br />

❄<br />

Conditions limites<br />

F<br />

❄<br />

Mise à jour <strong>de</strong> T à partir <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus<br />

G<br />

Mise à jour <strong><strong>de</strong>s</strong> variables conservatives à partir <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus<br />

❄<br />

Retour au début <strong>de</strong> la boucle pour l’itération suivante<br />

38


3.3 Détail <strong><strong>de</strong>s</strong> équations implantées dans AVBP<br />

3.4 Obtention <strong>de</strong> la température et <strong>de</strong> la pression<br />

Dans le cas gaz parfaits, l’énergie ne dépendant que <strong>de</strong> la température<br />

et <strong>de</strong> la composition, il est facile d’obtenir cette <strong>de</strong>rnière et d’en déduire<br />

la pression via l’équation d’état. Dans le cas <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz réels, l’énergie interne<br />

dépend à la fois <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la composition et <strong>de</strong> la pression.<br />

Il n’y a pas <strong>de</strong> solution analytique permettant d’exprimer directemennt la<br />

température ou la pression en fonction <strong>de</strong> l’énergie interne et <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité.<br />

Il convient donc d’utiliser une autre métho<strong>de</strong> pour calculer P et T .<br />

3.4.1 Métho<strong>de</strong> itérative<br />

Le système d’équations non-linéraires est résolu via une métho<strong>de</strong> itérative<br />

<strong>de</strong> Newton-Raphson.<br />

Le principe <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> est schématisé à la figure 3.2. L’idée est que<br />

l’on veut obtenir P et T tel que e(P, T, X i ) = e transporte et v(P, T, X i ) =<br />

v transporte où l’indice transporte fait référence aux valeurs transportées par<br />

AVBP. La composition est transportée et est donc connue à l’itération courante.<br />

Les <strong>de</strong>ux inconnues sont la température et la pression. Le critère<br />

d’arrêt (détaillé à la section 3.5) est donné par :<br />

( ɛe<br />

e<br />

)<br />

( ɛv<br />

v<br />

)<br />

max<br />

max<br />

=<br />

=<br />

⏐<br />

⏐<br />

( ∂P<br />

∂T<br />

1<br />

)<br />

v,n<br />

⏐ ⏐⏐⏐⏐ ( ɛP<br />

e P<br />

P c v<br />

( ∂P<br />

) (<br />

1<br />

∂T v,n P vα<br />

)<br />

max<br />

1<br />

( )<br />

1 − cp<br />

c v<br />

+ 1<br />

(<br />

) ɛP c v<br />

v ⏐ P<br />

)<br />

max<br />

(3.1)<br />

(3.2)<br />

est fixé arbitrai-<br />

afin contrôler l’erreur relative sur la pression. ( ɛ PP<br />

)max<br />

rement. Le critère d’arrêt est vérifié quand :<br />

⏐<br />

⏐<br />

⏐<br />

e(T, P, X i ) − e predit ⏐⏐⏐ ( ɛe<br />

)<br />

<<br />

e predit e<br />

)<br />

v(T, P, X i ) − v predit<br />

v predit<br />

⏐ ⏐⏐⏐<br />

<<br />

( ɛv<br />

v<br />

max<br />

max<br />

(3.3)<br />

(3.4)<br />

Cette métho<strong>de</strong> est utilisée pour corriger la température <strong>de</strong> façon précise<br />

durant le calcul.<br />

39


Fig. 3.2 – Organisation <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> itérative<br />

❄<br />

Calcul <strong>de</strong> e = f(P n , T n , X i ) = f Xi (P n , T n ) et v = g(P n , T n , X i ) = g Xi (P n , T n )<br />

<br />

<br />

✠<br />

c v (P n , T n ), c p (P n , T n ), α et β<br />

❅<br />

❅❅❘<br />

<strong>de</strong> = e predit − e et dv = v predit − v<br />

❅<br />

❅❅❘<br />

{<br />

dT = 1<br />

c v<br />

<strong>de</strong> + 1 cp<br />

vα<br />

(1 −<br />

dP = ( )<br />

∂P<br />

∂T v,n<br />

1<br />

c v<br />

<strong>de</strong> + ( )<br />

∂P<br />

∂v T,n<br />

c v<br />

) + P c v<br />

}<br />

dv<br />

<br />

<br />

✠<br />

{<br />

cp−P vα<br />

c v<br />

}<br />

dv<br />

❄<br />

T n+1 = T n + dT ; P n+1 = P n + dP<br />

<br />

<br />

✠<br />

Le critère d’arrêt est satisfait<br />

❅<br />

❅<br />

❅❘<br />

Le critère d’arrêt n’est pas satisfait<br />

❄<br />

La métho<strong>de</strong> itérative se termine<br />

On itère à nouveau<br />

T n+1 , P n+1 , c v et c p seront utilisés dans le calcul<br />

à partir <strong><strong>de</strong>s</strong> T et P obtenus<br />

40


3.4.2 Mise à jours <strong>de</strong> la température<br />

A chaque itération n la température est évaluée à partir d’un résidu dT<br />

estimé à partir <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus sur ρE et ρY k<br />

où<br />

T n+1 = T n + dT (3.5)<br />

dT = v c v<br />

d(ρE) −<br />

N∑<br />

{<br />

cv − c p<br />

v k + h }<br />

k v<br />

d(ρY k ) (3.6)<br />

αvc v c v W k<br />

k=1<br />

où d(ρE) = (ρE) n+1 − (ρE) n et d(ρY k ) = (ρY k ) n+1 − (ρY k ) n .<br />

La différentielle 3.6 est exacte lorsque l’équation T (e, v, X i ) est linéaire,<br />

ce qui n’est pas le cas lorsque l’on s’approche <strong>de</strong> la zone critique. Il est donc<br />

nécessaire <strong>de</strong> vérifier et corriger si nécessaire la température <strong>de</strong> manière<br />

régulière en utilisant une métho<strong>de</strong> itérative. Une certaine tolérance sur l’erreur<br />

est acceptée. Une fois la tolérance dépassée, la température et la pression<br />

sont corrigées pour satisfaire le système d’équations 3.3 - 3.4.<br />

3.4.3 Modification <strong><strong>de</strong>s</strong> solutions AVBP<br />

Le champ <strong>de</strong> température est écrit dans les fichiers solutions AVBP. Cela<br />

augmente la taille <strong><strong>de</strong>s</strong> fichiers solution, mais évite d’utiliser une métho<strong>de</strong><br />

itérative pour obtenir la température lors <strong>de</strong> l’initialisation du calcul et<br />

surtout lors du post-traitement. Le temps néssaire pour post-traiter plusieurs<br />

solution via une métho<strong>de</strong> itérative est important tandis que la lecture directe<br />

<strong>de</strong> la température fournit un résultat presque immédiat.<br />

3.5 Impact <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs numériques sur la pression<br />

- critère <strong>de</strong> correction / arrêt<br />

3.5.1 Calcul du critère <strong>de</strong> correction <strong>de</strong> la température<br />

Durant le calcul, la température est mise à jour via l’équation 3.6. Au fur<br />

et à mesure <strong><strong>de</strong>s</strong> itérations, <strong><strong>de</strong>s</strong> errreurs s’accumulent. Il est donc nécessaire <strong>de</strong><br />

fixer un critère à partir duquel la température est corrigée via une métho<strong>de</strong><br />

itérative.<br />

Les gran<strong>de</strong>urs transportées dans le co<strong>de</strong> sont l’énergie e et le volume<br />

molaire v. La température est obtenue à partir <strong>de</strong> ces variables. Notons T ⋆<br />

41


la température effectivement connue par le co<strong>de</strong>. Cette température est une<br />

estimation <strong>de</strong> la température exacte, T exact .<br />

T ⋆ = T exact + ɛ T (3.7)<br />

avec T exact = T exact (e exact , v exact ), où e exact et v exact sont l’énergie interne<br />

molaire et le volume molaire exact. T ⋆ correspond à la température obtenue<br />

avec une énergie et un volume différents <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs exactes. Si bien que l’on<br />

peut écrire :<br />

T ⋆ = T ⋆ (e exact + ɛ e , v exact + ɛ v ) (3.8)<br />

où ɛ e et ɛ v réprésentent l’erreur sur le volume et l’énergie interne. T ⋆ est<br />

estimée à partir d’une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> mise à jour et avec les valeurs d’énergie et<br />

<strong>de</strong> volume transportées par le co<strong>de</strong>. T ⋆ vérifie donc e exact et v exact à l’erreur<br />

<strong>de</strong> transport ɛ s et l’erreur d’estimation ɛ c près. Soit :<br />

T ⋆ = T ⋆ (e exact + ɛ c e + ɛ s e, v exact + ɛ c v + ɛ s v) (3.9)<br />

La pression est obtenue via l’équation d’état. Avec les variables exactes,<br />

on obtient :<br />

P = P (T exact , v exact ) (3.10)<br />

Dans le co<strong>de</strong>, nous ne connaissons pas T exact , mais T ⋆ , une estimation <strong>de</strong><br />

T exact . Le volume est transporté et contient <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs associées au transport.<br />

Le calcul <strong>de</strong> la pression n’utilise pas <strong>de</strong> métho<strong>de</strong> d’estimation, mais<br />

se calcule directement dans le co<strong>de</strong> grâce à l’équation d’état. La pression<br />

obtenue est donc :<br />

P ⋆ = P ⋆ (T ⋆ , v exact + ɛ s v) (3.11)<br />

= P + ɛ P (3.12)<br />

Estimation <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs relative sur la température et la pression<br />

:<br />

L’erreur sur la température se déduit au premier ordre <strong>de</strong> celles sur e et<br />

v. Celle sur P provient <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs sur T et v.<br />

Ainsi, on peut écrire les différentielles <strong>de</strong> la façon suivante :<br />

42


ɛ T<br />

T<br />

ɛ P<br />

P<br />

=<br />

=<br />

e ɛ c e + ɛ s e<br />

c v T e<br />

( ) ∂P<br />

∂T<br />

v,n<br />

{ 1<br />

+<br />

vαT (1 − c p<br />

) + P<br />

c v c v T<br />

)<br />

v ɛ s v<br />

P v<br />

(<br />

T ɛ T ∂P<br />

P T + ∂v<br />

T,n<br />

}<br />

v ɛc v + ɛ s v<br />

v<br />

(3.13)<br />

En injectant l’erreur sur la température dans l’équation 3.13, on obtient :<br />

ɛ P<br />

P<br />

=<br />

( ) ∂P e ɛ c ( )<br />

e ∂P<br />

∂T<br />

v,n<br />

P c v e + ∂T<br />

v,n<br />

( ) ( ∂P 1<br />

+<br />

∂T<br />

v,n<br />

P vα<br />

( ( ( 1<br />

1 − c )<br />

p<br />

+ 1 )<br />

v +<br />

P vα c v c v<br />

e ɛ s e<br />

P c v e<br />

(<br />

1 − c )<br />

p<br />

+ 1 ) (<br />

v ɛc v ∂P<br />

c v c v v + ∂T<br />

)<br />

( ) ∂P<br />

∂v<br />

T,n<br />

v<br />

P<br />

ɛ s v<br />

v<br />

)<br />

v,n<br />

×<br />

(3.14)<br />

Erreur relative sur P liée à l’estimation <strong>de</strong> T :<br />

Il faut limiter <strong>de</strong> manière acceptable l’erreur sur la pression, car cette<br />

gran<strong>de</strong>ur intervient directement sur la dynamique <strong>de</strong> l’écoulement.<br />

Nous avons vu que la température est estimée a chaque itération à partir<br />

<strong>de</strong> la température <strong>de</strong> l’itération précé<strong>de</strong>nte et <strong><strong>de</strong>s</strong> résidus sur les gran<strong>de</strong>urs<br />

conservatives. Il est donc important d’être capable <strong>de</strong> se fixer un seuil d’erreur<br />

sur la température qui permet <strong>de</strong> se donner une limite d’erreur sur la<br />

pression. Une fois cette limite dépassée, il <strong>de</strong>vient alors nécessaire <strong>de</strong> corriger<br />

(via une métho<strong>de</strong> itérative par exemple) la température afin <strong>de</strong> revenir en<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong>sous du seuil limite.<br />

Connaissant l’impacte <strong>de</strong> l’erreur d’estimation <strong>de</strong> la température sur le<br />

calcul <strong>de</strong> la pression, nous seront capable <strong>de</strong> contrôler l’erreur sur la pression.<br />

En ne conservant que les erreurs provenant <strong>de</strong> l’estimation <strong>de</strong> T , nous<br />

obtenons, après être passé en valeur absolue :<br />

ɛ c P<br />

⏐ P<br />

⏐ ⏐⏐⏐⏐ ( )<br />

∂P<br />

⏐ = ∂T<br />

v,n<br />

( )<br />

∂P<br />

+<br />

⏐ ∂T<br />

⏐<br />

e ⏐⏐⏐⏐<br />

ɛ c e<br />

P c v e<br />

v,n<br />

( 1<br />

P vα<br />

(<br />

1 − c )<br />

p<br />

+ 1 ) ⏐ ⏐⏐⏐<br />

v ɛc v<br />

c v c v v<br />

(3.15)<br />

L’équation 3.15 donne une estimation au premier ordre <strong>de</strong> l’influence<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs d’estimations sur la température sur le calcul <strong>de</strong> la pression.<br />

L’impact <strong>de</strong> l’erreur associée à e et <strong>de</strong> l’erreur associée à v est tracée sur la<br />

figure 3.3. La figure présente les rapports ɛc P<br />

P<br />

/ ɛc e<br />

e<br />

et ɛc P<br />

P<br />

/ ɛc v<br />

v<br />

en fonction <strong>de</strong><br />

la <strong>de</strong>nsité pour une pression <strong>de</strong> 100 bar. Ainsi, à haute <strong>de</strong>nsité, une erreur<br />

43


d’estimation sur la température génère une erreur <strong>de</strong> calcul <strong>de</strong> la pression<br />

bien plus importante.<br />

Fig. 3.3 – <strong>Rapport</strong>s ɛc P<br />

P<br />

/ ɛc e<br />

e<br />

et ɛc P<br />

P<br />

/ ɛc v<br />

v<br />

en fonction <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité pour une<br />

pression <strong>de</strong> 100 bar<br />

Sachant cela, nous pouvons mofier le seuil limite d’erreurs acceptables<br />

sur la température en fonction <strong>de</strong> celui sur la pression. On veut se fixer<br />

(ɛ c e) max et (ɛ c v) max tels que :<br />

et<br />

⏐ e transporte − e(T, v transporte ) ⏐⏐⏐<br />

⏐<br />

<<br />

e transporte ⏐ v transporte − v(T, P ) ⏐⏐⏐<br />

⏐<br />

<<br />

v transporte<br />

(<br />

(<br />

ɛ c e<br />

e transporte<br />

)max<br />

ɛ c v<br />

v transporte<br />

)max<br />

(3.16)<br />

(3.17)<br />

ɛ c P<br />

⏐ P<br />

( ɛ<br />

c<br />

)<br />

⏐ < P<br />

P<br />

max<br />

(3.18)<br />

L’erreur relative maximale acceptable sur la pression est fixée au préalable.<br />

A partir <strong>de</strong> l’équation 3.15, nous( pouvons ) exprimer les critères <strong>de</strong> correction<br />

sur e et sur v en fonction <strong>de</strong> ɛ c PP<br />

max :<br />

44


(<br />

ɛ c e<br />

e transportee<br />

)max<br />

(<br />

ɛ c v<br />

v transportee<br />

)max<br />

=<br />

=<br />

⏐<br />

⏐<br />

( ∂P<br />

∂T<br />

1<br />

)<br />

v,n<br />

⏐ ⏐⏐⏐⏐ ( ɛ<br />

c<br />

P<br />

e P<br />

P c v<br />

( ∂P<br />

) (<br />

1<br />

∂T v,n P vα<br />

)<br />

max<br />

1<br />

( )<br />

1 − cp<br />

c v<br />

+ 1<br />

( ) ɛ<br />

c<br />

P c v<br />

v ⏐ P<br />

)<br />

(3.19)<br />

(3.20)<br />

max<br />

Dans la suite, l’erreur maximale autorisée pour le calcul <strong>de</strong> la pression<br />

sera appelée tolérance sur la pression.<br />

3.5.2 Impact <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs numériques sur la pression<br />

En ne conservant cette fois que les termes provenant <strong>de</strong> l’erreur numérique<br />

dans l’équation 3.14, on obtient :<br />

ɛ s P<br />

P<br />

( ) ∂P<br />

= |<br />

∂T<br />

( ) ∂P<br />

|<br />

∂T<br />

v,n<br />

v,n<br />

e<br />

| ɛs e<br />

P c v e +<br />

( ( 1<br />

P vα<br />

(<br />

1 − c )<br />

p<br />

+ 1 ) ( ) ∂P<br />

v +<br />

c v c v ∂v<br />

T,n<br />

)<br />

v<br />

| ɛs v<br />

P v<br />

Une courbe présentant l’erreur relative sur P due aux termes d’erreur<br />

<strong>de</strong> transport a été tracée (fig. 3.4) en fonction <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité. Il s’agit d’un<br />

maximum d’erreur (valeurs absolues).<br />

L’erreur sur la pression <strong>de</strong>vient importante lorsque la <strong>de</strong>nsité augmente.<br />

La principale difficulté se situe dans la zone critique, puisque c’est à ce moment<br />

que le gradient sur la <strong>de</strong>nsité et l’energie est important et donc génère<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs gran<strong><strong>de</strong>s</strong> lors du calcul <strong>de</strong> la pression. On peut donc s’attendre<br />

à voir apparaître <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs non négligeables sur la pression si le schéma<br />

n’est pas assez précis.<br />

3.6 Modification <strong>de</strong> la matrice Jacobienne<br />

Les schémas LW et TTGC font intervenir une matrice Jacobienne pour<br />

les flux convectifs, utilisant donc le gradient <strong>de</strong> pression. Le changement<br />

d’équation d’état nécessite donc un changement <strong>de</strong> cette Jacobienne.<br />

3.6.1 La matrice Jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux convectifs dans AVBP<br />

Le schéma TTGC pour les équations d’Euler [11], s’écrit :<br />

45


Fig. 3.4 – <strong>Rapport</strong>s ɛs P<br />

P<br />

/ ɛs e<br />

e<br />

et ɛs P<br />

P<br />

/ ɛs v<br />

v<br />

en fonction <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité pour une<br />

pression <strong>de</strong> 100 bar<br />

−→˜w<br />

n<br />

−→ w<br />

n+1<br />

= −→ w n − α∆t −→ ∇ · F n + β∆t 2−→ (<br />

∇ ·<br />

= −→ w n − ∆t −→ ∇ · ˜F<br />

n<br />

+ γ∆t 2 ∇ ·<br />

(A, B, C)( −→ ∇ · F n )<br />

)<br />

(<br />

(A, B, C)( −→ ∇ · F n )<br />

)<br />

où A, B et C sont le matrices Jacobiennes <strong><strong>de</strong>s</strong> flux non visqueux et<br />

s’écrivent [1] :<br />

A( −→ w ) = ∂−→ f<br />

∂ −→ w<br />

B( −→ w ) = ∂−→ g<br />

∂ −→ w<br />

C( −→ w ) = ∂−→ h<br />

∂ −→ w<br />

où −→ w T = (ρ, ρu 1 , ρu 2 , ρu 3 , ρE) avec ρ la <strong>de</strong>nsité, (u 1 , u 2 , u 3 ) le champ<br />

<strong>de</strong> vitesse et E l’énergie totale par unité <strong>de</strong> masse. F = ( −→ f , −→ g , −→ h ) est la<br />

matrice (5x3) <strong><strong>de</strong>s</strong> flux non visqueux.<br />

46


⎛<br />

ρu 1<br />

−→ ρu 2 1<br />

f = + P<br />

⎜ ρu 1 u 2<br />

⎝ ρu 1 u 3<br />

ρu 1 H<br />

⎞ ⎛<br />

−→ ⎟ g = ⎜<br />

⎠ ⎝<br />

ρu 2<br />

ρu 1 u 2<br />

ρu 2 2 + P<br />

ρu 2 u 3<br />

ρu 2 H<br />

⎞ ⎛<br />

−→ ⎟ h = ⎜<br />

⎠ ⎝<br />

ρu 3<br />

ρu 1 u 3<br />

ρu 2 u 3<br />

ρu 2 3 + P<br />

ρu 3 H<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

On a donc :<br />

⎛<br />

A =<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂ρu 1<br />

∂ρ<br />

∂ρu 2 1 +P<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 u 2<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1<br />

∂ρE<br />

∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P<br />

∂ρu 1 ∂ρu 2 ∂ρu 3 ∂ρE<br />

∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρE<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρE<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 1 ∂ρu 2 ∂ρu 3 ∂ρE<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

Dans l’algorithme numérique, le calcul suivant doit être réalisé : ∆t −→ (<br />

∇ ·<br />

(A, B, C)( −→ ) (<br />

∇ · F ) où (A, B, C)( −→ ) (<br />

∇ · F ) = (A −→ ∇ · F , B −→ ∇ · F , C −→ )<br />

∇ · F ) .<br />

A titre d’exemple, on peut s’intéresser en particulier au terme A( −→ ∇ · F ) · ∆t.<br />

Considérons les équations d’Euler (3D) écrites sous forme conservative :<br />

∂ −→ w<br />

∂t<br />

= −(∇ · F )<br />

Un développement en série <strong>de</strong> Taylor au premier ordre sur −→ w (t) donne :<br />

Ainsi, on peut écrire :<br />

∆ −→ w = ( ∂−→ w<br />

∂t )∆t + O(∆t2 )<br />

= −(∇ · F )∆t + O(∆t 2 )<br />

avec :<br />

A( −→ ∇ · F ) · ∆t = −A∆ −→ w + O(A · ∆t 2 )<br />

⎛<br />

A∆ −→ w =<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂ρu 1<br />

∂ρ<br />

∂ρu 2 1 +P<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 u 2<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρ<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1<br />

∂ρE<br />

∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P ∂ρu 2 1 +P<br />

∂ρu 1 ∂ρu 2 ∂ρu 3 ∂ρE<br />

∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2 ∂ρu 1 u 2<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρE<br />

∂ρu 1 u 3<br />

∂ρu 1<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 2<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 3<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρE<br />

∂ρu 1 H<br />

∂ρu 1 ∂ρu 2 ∂ρu 3 ∂ρE<br />

⎞<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎟ ⎝<br />

⎠<br />

∆ρ<br />

∆ρu 1<br />

∆ρu 2<br />

∆ρu 3<br />

∆ρE<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

47


Si on s’intéresse par exemple à la première ligne du produit A∆w, on<br />

peut écrire :<br />

d’où :<br />

A( −→ ∇ · F ) · ∆t = −<br />

⎜<br />

⎝<br />

(A∆ −→ w ) 1 =<br />

⎛<br />

⎛<br />

= −<br />

⎜<br />

⎝<br />

≈<br />

⎛<br />

−<br />

⎜<br />

⎝<br />

∆(f 1 )<br />

∆(f 2 )<br />

∆(f 3 )<br />

∆(f 4 )<br />

∆(f 5 )<br />

neq<br />

∑<br />

i=1<br />

∂f 1<br />

∂w i<br />

∆w i<br />

= ∆(f 1 ) + O(‖ ∆w ‖ 2 )<br />

⎞<br />

∆(ρu 1 )<br />

∆(ρu 2 1 + P )<br />

∆(ρu 1 u 2 )<br />

∆(ρu 1 u 3 )<br />

∆(ρu 1 H)<br />

⎟<br />

⎠ + O(∆t2 , ‖ ∆w ‖ 2 )<br />

De la même manière pour B et C, on a :<br />

⎛<br />

B( −→ ∇ · F ) · ∆t ≈ −<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

C( −→ ∇ · F ) · ∆t ≈ −<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠ + O(∆t2 , ‖ ∆w ‖ 2 )<br />

∆w 2<br />

u 1 ∆w 2 + u 1 (∆w 2 − u 1 ∆w 1 ) + ∆P<br />

u 1 ∆w 3 + u 2 (∆w 2 − u 1 ∆w 1 )<br />

u 1 ∆w 4 + u 3 (∆w 2 − u 1 ∆w 1 )<br />

u 1 ∆w 5 + ρE(∆w 2 − u 1 ∆w 1 ) + u 1 ∆P + P (∆w 2 − u 1 ∆w 1 )<br />

∆w 3<br />

u 2 ∆w 2 + u 1 (∆w 3 − u 2 ∆w 1 )<br />

u 2 ∆w 3 + u 2 (∆w 3 − u 2 ∆w 1 ) + ∆P<br />

u 2 ∆w 4 + u 3 (∆w 3 − u 2 ∆w 1 )<br />

u 2 ∆w 5 + ρE(∆w 3 − u 2 ∆w 1 ) + u 2 ∆P + P (∆w 3 − u 2 ∆w 1 )<br />

∆w 4<br />

u 3 ∆w 2 + u 1 (∆w 4 − u 3 ∆w 1 )<br />

u 3 ∆w 3 + u 2 (∆w 4 − u 3 ∆w 1 )<br />

u 3 ∆w 4 + u 3 (∆w 4 − u 3 ∆w 1 ) + ∆P<br />

u 3 ∆w 5 + ρE(∆w 4 − u 3 ∆w 1 ) + u 3 ∆P + P (∆w 4 − u 3 ∆w 1 )<br />

Ces calculs font tous apparaître le terme ∆P , calculé à partir <strong>de</strong> l’équation<br />

d’état. En gaz parfait :<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

48


∆P = (γ − 1) ∆(ρE) +<br />

N∑<br />

i=1<br />

( R<br />

W i<br />

T − (γ − 1) e s,k<br />

)<br />

∆(ρY i ) (3.21)<br />

Les modifications à apporter ne concernent que ∆P qui s’écrit maintenant<br />

:<br />

∆P = αv<br />

βc v<br />

∆(ρE) +<br />

N∑<br />

i=1<br />

3.7 Difficultés rencontrées<br />

3.7.1 Erreur liée au gradient <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité<br />

{<br />

cp<br />

c v<br />

v i<br />

β − αvh i<br />

βc v<br />

} ∆(ρYi )<br />

W i<br />

(3.22)<br />

Lorsque l’on est dans la zone critique, l’apparition d’un fort gradient<br />

<strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité est possible. Le comportement <strong><strong>de</strong>s</strong> schémas sur <strong>de</strong> tels gradients<br />

peut ocasionner <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs <strong>de</strong> dispersion qui, comme indiqué précé<strong>de</strong>mment,<br />

peuvent avoir <strong><strong>de</strong>s</strong> répercutions très fortes sur la pression.<br />

3.7.2 Couplage pression / équations <strong>de</strong> conservation<br />

Le gradient <strong>de</strong> pression utilisé dans les équations <strong>de</strong> conservation est<br />

dans certains cas sensible à la distribution spatiale <strong>de</strong> la tolérance sur le<br />

calcul <strong>de</strong> la température. Il faut donc veiller à limiter la non-uniformité <strong>de</strong><br />

la pression.<br />

49


Chapitre 4<br />

Tests <strong>de</strong> validation<br />

4.1 Détails <strong><strong>de</strong>s</strong> versions<br />

La version <strong>de</strong> base d’AVBP utilisée avant les modifications est la version<br />

5.5 β. Les versions successives d’AVBP gaz réel en fonction <strong>de</strong> ses<br />

développements sont détaillées ci-<strong><strong>de</strong>s</strong>sous :<br />

– V0.1 : Mise en place du calcul <strong>de</strong> la pression via l’équation d’état <strong>de</strong><br />

Peng-Robinson. L’énergie est toujours calculée comme en gaz parfait.<br />

– V0.2 : Première modification <strong>de</strong> la Jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux convectifs afin<br />

<strong>de</strong> considérer le nouveau calcul <strong>de</strong> la pression <strong>de</strong> la version 0.1.<br />

– V0.3 : Modification du calcul <strong>de</strong> l’énergie afin <strong>de</strong> prendre en compte<br />

l’effet <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz réels, en mono-espèces. La Jacobienne n’est pas encore<br />

modifiée. Utilisation <strong>de</strong> dT = f(v, e).<br />

– V0.3.1 : La température est stockée dans les solutions intitiale et<br />

finale.<br />

– V0.3.2 : Mise en place du multi-espèce pour RK3. Utilisation <strong>de</strong><br />

dT = f(v, e, X i ).<br />

– V0.3.3 : Multi-espèce dans la jacobienne et utilisation <strong>de</strong> dT =<br />

f(ρE, ρY k ) et dP = g(ρE, ρY k ).<br />

4.2 Cas Tests 1D<br />

Les premiers tests réalisés sont <strong><strong>de</strong>s</strong> cas tests 1D qui permettent <strong>de</strong> vérifier<br />

le bon comportement thermodynamique d’AVBP et d’évaluer l’erreur <strong>de</strong><br />

convection associée.<br />

4.2.1 Configuration <strong>de</strong> test<br />

Les paramètres utilisés sont rappelés ci-<strong><strong>de</strong>s</strong>sous :<br />

50


Equations résolues : Euler<br />

Turbulence :<br />

non (pas <strong>de</strong> LES, pas <strong>de</strong> RANS)<br />

Nombre d’espèces : 1 (O 2 ) ou 2 (O 2 /H2)<br />

Nombre <strong>de</strong> réactions : 0<br />

Tab. 4.1 – Caractéristiques générales <strong>de</strong> l’écoulement<br />

Nombre <strong>de</strong> dimension spatiales : 2<br />

Type d’élements :<br />

quads<br />

Nombre <strong>de</strong> noeuds : 101 x 2<br />

Nombre d’élements : 100<br />

Longueur : L x × L y<br />

1m × 1m<br />

Tab. 4.2 – Paramètres du maillage<br />

Compaq AlphaServer SC : ”imhotep”<br />

0.1 secon<strong>de</strong> <strong>de</strong> temps physique (1 000 000 itérations)<br />

Tab. 4.3 – Calculateur utilisé et temps <strong>de</strong> calcul<br />

Pas <strong>de</strong> temps :<br />

Viscosité artificielle :<br />

Tolérance sur P :<br />

Fixé à 10 −7<br />

non<br />

1.10 −4<br />

Tab. 4.4 – Paramètres numériques<br />

Entrée et sortie :<br />

Condition limite supérieure :<br />

Condition limite inférieure :<br />

Périodiques<br />

symétrie<br />

symétrie<br />

4.2.2 Cas-tests mono-espèce<br />

• Solutions initiales<br />

Tab. 4.5 – Conditions limites<br />

Les gradients utilisés dans ces cas tests ont volontairement été laissés à<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs faibles. Cela limite les erreurs <strong>de</strong> schéma numérique, mais limite<br />

aussi la fréquence <strong>de</strong> mise à jour <strong>de</strong> la température. Trois cas ont été calculés<br />

(voir tableau 4.6), où T et ρ sont initialisés par une gaussienne <strong>de</strong> façon que<br />

51


P = cste. On a u = 10 m/s dans les 3 cas. Les figures 4.3 - 4.2 montrent les<br />

solutions initiales utilisées pour les cas tests. Les figures 4.5 et 4.6 donnent un<br />

exemple d’un cas où le gradient transporté est plus important. La tolérance<br />

sur la pression a été fixée à 1.10 −4 .<br />

Tab. 4.6 – Cas test monodimensionels en mono-espèce<br />

Cas test T (˚K) intensité du gradient <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité<br />

1 T ≈ 120˚K gradient faible<br />

2 T ≈ 200˚K gradient faible<br />

3 160 < T < 200˚K gradient fort<br />

52


Fig. 4.1 – Champ <strong>de</strong> température, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> pression et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

la solution initiale, T ≈ 120˚K (cas 1)<br />

Fig. 4.2 – Champ <strong><strong>de</strong>s</strong> capacités calorifiques <strong>de</strong> la solution initiale, T ≈ 120<br />

˚K (cas 1)<br />

53


Fig. 4.3 – Champ <strong>de</strong> température, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> pression et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

la solution initiale, T ≈ 200˚K (cas 2)<br />

Fig. 4.4 – Champ <strong><strong>de</strong>s</strong> capacités calorifiques <strong>de</strong> la solution initiale, T ≈ 200˚K<br />

(cas 2)<br />

54


Fig. 4.5 – Champ <strong>de</strong> température, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> pression et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

la solution initiale, 160 < T < 200˚K (cas 3)<br />

Fig. 4.6 – Champ <strong><strong>de</strong>s</strong> capacités calorifiques <strong>de</strong> la solution initiale, 160 <<br />

T < 200˚K (cas 3)<br />

55


• Résultats<br />

Les cas tests sont <strong><strong>de</strong>s</strong> convections d’une gaussienne en température et à<br />

pression constante. Il n’y a pas <strong>de</strong> termes physiques diffusifs, la gaussienne ne<br />

<strong>de</strong>vrait donc pas être modifiée au cours du transport, conservant ses valeurs<br />

maximales, minimales et moyennes.<br />

Schéma numérique RK3<br />

Les figures 4.7 à 4.9 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> 3 cas-tests en<br />

mono-espèce calculée avec le schéma numérique RK3. Ces cas tests n’utilisent<br />

pas les matrices Jacobiennes <strong><strong>de</strong>s</strong> flux convectifs. Il s’agit <strong><strong>de</strong>s</strong> cas tests<br />

les plus simples.<br />

Dans les cas 1 et 2, les gran<strong>de</strong>urs maximales, minimales et moyennes sont<br />

conservées sur la température et la <strong>de</strong>nsité. Des extremas <strong>de</strong> pression apparaissent<br />

autour <strong>de</strong> la pression moyenne, égale à la valeur initiale . Ces<br />

maxima et minima <strong>de</strong> pression sont liées à la tolérance du critère d’arrêt<br />

pour le calcul. L’ordre <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>ur <strong>de</strong> la tolérance (10 −4 ) est respecté. La<br />

figure 4.9 présente une divergence <strong>de</strong> la pression moyenne. Ce cas étant<br />

plus exigeant d’un point <strong>de</strong> vue numérique du fait du fort gradient <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité<br />

à convecter, les erreurs numériques <strong>de</strong>viennent apparentes. De plus, la<br />

tolérance sur le critère d’arrêt est moins respectée, mais gar<strong>de</strong> une valeur<br />

limite acceptable.<br />

Les fluctuations visibles sur l’énergie cinétique traduisent les flux <strong>de</strong> quantité<br />

<strong>de</strong> mouvement générés par les gradients <strong>de</strong> pressions créés par la nonuniformité<br />

<strong>de</strong> la pression après les corrections.<br />

56


Fig. 4.7 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 120˚K ; RK3. (cas 1)<br />

Fig. 4.8 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 200˚K ; RK3. (cas 2)<br />

57


Fig. 4.9 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; 160 < T < 200˚K ; RK3. (cas 3)<br />

58


Schéma numérique LW<br />

Les figures 4.10 à 4.12 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> 3 cas-tests en<br />

mono-espèce calculée avec le schéma numérique LW. Ces calculs nécessitent<br />

l’utilisation <strong>de</strong> la matrice jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux non-visqueux.<br />

Ce schéma numérique a <strong><strong>de</strong>s</strong> caractéristiques prochent <strong>de</strong> RK3, <strong><strong>de</strong>s</strong> résultats<br />

similaires <strong>de</strong>vraient donc être obtenus. Les calculs produisent en effet un<br />

comportement i<strong>de</strong>ntique à celui <strong>de</strong> RK3.<br />

Fig. 4.10 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 120˚K ; LW. (cas 1)<br />

59


Fig. 4.11 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 200˚K ; LW. (cas 2)<br />

Fig. 4.12 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; 160 < T < 200˚K ; LW. (cas 3)<br />

60


Schéma numérique TTGC<br />

Les figures 4.13 à 4.15 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> 3 cas-tests<br />

en mono-espèce calculée avec le schéma numérique TTGC. Ce schéma est<br />

d’un ordre <strong>de</strong> précision plus élevé que les schéma LW et RK3.<br />

Dans les cas 1 et 2, pour lesquels les schémas LW et RK3 ne montraient pas<br />

<strong>de</strong> limitation, le résultat est le même. Dans le cas 3, la divergence sur la pression<br />

n’est plus visible, car ce schéma est capable <strong>de</strong> convecter correctement<br />

le gradient initial sur chacune <strong><strong>de</strong>s</strong> variables.<br />

Fig. 4.13 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 120˚K ; TTGC. (cas 1)<br />

62


Fig. 4.14 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; T ≈ 200˚K ; TTGC. (cas 2)<br />

Fig. 4.15 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; 160 < T < 200˚K ; TTGC. (cas 3)<br />

63


Comparaison <strong><strong>de</strong>s</strong> temps <strong>de</strong> calcul<br />

Les temps <strong>de</strong> calculs nécessaires aux cas-tests sont donnés dans le tableau<br />

4.7. Le schéma RK3 nécessite environ 2.85 fois plus <strong>de</strong> temps <strong>de</strong> calcul que<br />

LW. TTGC est environ 2.55 fois plus lent que LW.<br />

L’écart en temps <strong>de</strong> CPU entre les schémas numérique est plus important que<br />

dans AVBP gaz parfait. Cela provient du fait que les principales modifications<br />

sont situées lors du calcul <strong>de</strong> la thermodynamique au début <strong>de</strong> chaque<br />

sous-itérations. Les modifications <strong>de</strong> la matrice jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux nonvisqueux<br />

sont bien moins coûteuse en temps <strong>de</strong> calul. Ainsi, le schéma RK3,<br />

qui a 3 sous itérations mais n’utilise pas la jacobienne, sera plus pénalisé<br />

par les modifications associées au gaz réel que les schéma LW ou TTGC,<br />

qui nécessitent respectivement 1 et 2 sous-itérations avec un calcul <strong>de</strong> jacobienne.<br />

La comparaison entre les resultat avec RK3 en gaz réel et en gaz parfait indique<br />

que le co<strong>de</strong> gaz réel a besoin <strong>de</strong> 30 % <strong>de</strong> temps <strong>de</strong> calcul supplémentaire<br />

environ.<br />

Tab. 4.7 – Temps CPU (sur 4 processeurs)<br />

T ≈ 120˚K T ≈ 200˚K 160 < T < 200˚K<br />

RK3 9 397 s 9 322 s 9 384 s<br />

LW 3 302 s 3 234 s 3 225 s<br />

TTGC 8 368 s 8 290 s 8 440 s<br />

RK3 - GP - 7 118 s -<br />

64


Nombres <strong>de</strong> corrections effectuées<br />

Le nombre <strong>de</strong> corrections moyen effectuées durant le calcul pour 1000<br />

itérations et par noeud est indiqué dans le tableau 4.8. Le nombre <strong>de</strong> corrections<br />

est plus important dans les zones non-linéaires où les effets gaz réel<br />

sont les plus importants.<br />

Ce nombre dépend également du nombre <strong>de</strong> sous itérations du schéma. Au<br />

début d’une itération, les variables conservatives sont stockées puis les sousitérations<br />

ont lieues à partir <strong>de</strong> ces valeurs. Si les variables stockées sont<br />

proches <strong>de</strong> la valeur limite du critère <strong>de</strong> correction, le résultat prédit à<br />

chaque sous-itérations <strong>de</strong>vra probablement être corrigé. Ainsi, RK3, qui utilise<br />

3 sous-itérations, corrigera 3 fois les valeurs prédites à partir d’une valeur<br />

proche du seuil <strong>de</strong> correction tandis que LW, qui n’utilise qu’une seule<br />

sous-itération, ne le fera qu’une seule fois. Ce problème est difficile à corriger<br />

puisqu’il faudrait être capable <strong>de</strong> prédire lorsque la valeur <strong>de</strong>vra être<br />

corrigée à l’itération suivante.<br />

Tab. 4.8 – Nombre moyen <strong>de</strong> corrections par noeud pour 1000 itérations<br />

T ≈ 120˚K T ≈ 200˚K 160 < T < 200˚K<br />

RK3 0.807 0.025 8.36<br />

LW 0.406 0.010 3.95<br />

TTGC 0.604 0.017 5.98<br />

4.2.3 Cas-tests multi-espèces<br />

Les tests <strong>de</strong> validation en multi-espèces utilisent la même configuration<br />

que pour le cas mono-espèce mais avec <strong>de</strong>ux espèces : <strong>de</strong> l’oxygène et <strong>de</strong><br />

l’hydrogène. La vitesse <strong>de</strong> convection est <strong>de</strong> 10 m.s −1 . Les température (200<br />

˚K) et pression (100 bars) sont constantes. La tolérance sur P est <strong>de</strong> 1.10 −4 .<br />

Le tableau 4.9 résume les cas-tests effectués.<br />

Tab. 4.9 – Cas test monodimensionels en multi-espèces<br />

Cas test Y O2 thermodynamique utilisée<br />

1 0.75 < Y O2 < 0.95 Gaz réel<br />

2 0.75 < Y O2 < 0.95 Gaz parfait (AVBP V5.5)<br />

3 0.05 < Y O2 < 0.25 Gaz réel<br />

65


• Solutions initiales<br />

Les figures 4.16 et 4.17 représentent les solutions initiales pour les cas 1<br />

et 2. Les figures 4.18 et 4.19 représentent les solutions initiales pour le cas<br />

3.<br />

Fig. 4.16 – Champ <strong>de</strong> température, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> pression et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

la solution initiale, cas 1<br />

66


Fig. 4.17 – Champ <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques <strong>de</strong> la solution initiale, cas 1<br />

Fig. 4.18 – Champ <strong>de</strong> température, <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> pression et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

la solution initiale, cas 3<br />

67


Fig. 4.19 – Champ <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques <strong>de</strong> la solution initiale, cas 3<br />

68


• Résultats<br />

Les cas tests sont <strong><strong>de</strong>s</strong> convections d’une gaussienne sur la fraction massique<br />

d’oxygène. La température et la pression sont constantes. Il n’y a pas<br />

<strong>de</strong> termes physiques diffusifs, la gaussienne ne <strong>de</strong>vrait donc pas être modifiée<br />

au cours du transport, conservant ses valeurs maximales, minimales<br />

et moyennes.<br />

Schéma numérique RK3<br />

Les figures 4.20 à 4.25 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> 3 cas-tests en<br />

multi-espèces calculée avec le schéma numérique RK3. Ce schéma n’utilisant<br />

pas la matrice jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux non-visqueux, ces cas-tests multi-espèces<br />

sont plus simples que lorsque que l’on utilise LW ou TTGC.<br />

Les figure 4.20 et 4.24 présentent les même caractéristiques. La pression<br />

moyenne diminue faiblement durant le calcul. Cette diminution est inférieure<br />

à l’erreur permise par le critère <strong>de</strong> correction. Elle n’est donc pas corrigée<br />

durant le calcul. Des valeurs maximales et minimales différentes <strong>de</strong><br />

la température initiale apparaissent sur la courbe <strong>de</strong> température. Une variation<br />

<strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité maximale est notable. Les oscillations sur l’énergie<br />

cinétique son liées au erreurs sur la pression, elles augmentent lorsque l’amplitu<strong>de</strong><br />

entre la pression maximale et minimale s’accroît.<br />

Ces comportements sur la pression et la température ne sont pas visibles<br />

dans le cas 2 en gaz parfait (fig. 4.22). L’erreur sur la pression en gaz réel<br />

provient <strong>de</strong> l’estimation <strong>de</strong> la température après chaque itérations. Enfin,<br />

l’apparition d’un maximum et d’un minimum visible sur la température est<br />

liée aux effets <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs numériques lors du transport <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques<br />

(visibles sur le figures 4.21, 4.23 et 4.25) associées à la non idéalité du<br />

mélange en gaz réel. Ce point est traité <strong>de</strong> manière plus détaillée en section<br />

4.2.3. L’erreur dans le cas 3 est moins apparente, puisque les effets gaz réels<br />

sont moins présents du fait <strong><strong>de</strong>s</strong> faibles fractions massiques d’oxygène mises<br />

en jeu.<br />

69


Fig. 4.20 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 1<br />

Fig. 4.21 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 1<br />

70


Fig. 4.22 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 2<br />

Fig. 4.23 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 2<br />

71


Fig. 4.24 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 3<br />

Fig. 4.25 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 3<br />

Schéma numérique LW<br />

Les figures 4.26 à 4.29 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> cas-tests 1<br />

et 3 en multi-espèces calculée avec le schéma numérique LW. Comme nous<br />

l’avons vu pour le cas mono-espèce, le schéma numérique LW doit fournir<br />

<strong><strong>de</strong>s</strong> résultats sensiblement i<strong>de</strong>ntiques au schéma RK3.<br />

On constate facilement que les calculs réalisés avec LW mènent à <strong><strong>de</strong>s</strong> solutions<br />

similaires au cas RK3. La pression n’a pas été corrigée durant le calcul,<br />

72


car le seuil d’erreur maximal n’a pas été atteint.<br />

Fig. 4.26 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 1<br />

Fig. 4.27 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 1<br />

73


Fig. 4.28 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 3<br />

Fig. 4.29 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 3<br />

74


Schéma numérique TTGC<br />

Les figures 4.30 à 4.32 présentent l’évolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> cas-tests 1<br />

et 3 en multi-espèces calculée avec le schéma numérique TTGC. Ce schéma<br />

est d’un ordre <strong>de</strong> précision plus élevé que les schéma LW et RK3.<br />

Les erreurs que l’on pouvait observer précé<strong>de</strong>mment avec les schémas numériques<br />

LW et RK3 ne sont plus aussi importantes et la répercussion sur la température<br />

est bien plus faible. Il n’y a pas eu <strong>de</strong> correction sur la pression durant le<br />

calcul.<br />

Fig. 4.30 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 1<br />

75


Fig. 4.31 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 1<br />

Fig. 4.32 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la température, <strong>de</strong> la<br />

<strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie cinétique, cas 3<br />

76


Fig. 4.33 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 3<br />

Comparaison <strong><strong>de</strong>s</strong> temps <strong>de</strong> calcul<br />

Les temps <strong>de</strong> calcul nécessaires aux cas-tests multi-espèces sont rappelés<br />

dans le tableau 4.10. Le constat est le même que pour le cas mono-espèce.<br />

Cependant la différence <strong>de</strong> temps <strong>de</strong> calcul nécessaire entre gaz réel et gaz<br />

parfait augmente du fait <strong>de</strong> la complexité <strong><strong>de</strong>s</strong> lois <strong>de</strong> mélanges intervenant<br />

en gaz réel. Cet écart grandit avec le nombre d’espèces impliqués dans le<br />

calcul.<br />

Tab. 4.10 – Temps <strong>de</strong> calcul sur 4 processeurs<br />

cas 1 cas 2<br />

RK3 10 368 s 10 443 s<br />

LW 3 536 s 3 537 s<br />

TTGC 9 111 s 9 157 s<br />

RK3 - GP 7 562 s -<br />

Nombres <strong>de</strong> corrections effectuées<br />

Le nombre moyen <strong>de</strong> corrections par noeud pour 1000 itérations est<br />

donné dans le tableau 4.11. Pour chaque calcul, le seuil d’erreur maximal<br />

autorisé n’a pas été dépassé. Il n’y donc pas eu <strong>de</strong> corrections.<br />

77


Tab. 4.11 – Nombre moyen <strong>de</strong> corrections par noeud pour 1000 itérations<br />

cas 1 cas 2<br />

RK3 0 0<br />

LW 0 0<br />

TTGC 0 0<br />

• Analyse <strong><strong>de</strong>s</strong> résultats<br />

Lorsque l’on regar<strong>de</strong> les résultats <strong>de</strong> la section précé<strong>de</strong>nte, nous pouvons<br />

constater que <strong><strong>de</strong>s</strong> erreurs apparaissent sur la température en gaz réel (fig.<br />

4.20) alors qu’elles ne sont pas présentes en gaz parfait (fig. 4.22). Ces erreurs<br />

proviennent d’erreurs numériques sur les fractions massiques qui ont un impact<br />

limité en gaz parfait. En effet, en gaz parfait, l’écriture différentielle <strong>de</strong><br />

la température en fonction <strong>de</strong> l’énergie interne et <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massique est<br />

donnée par :<br />

<strong>de</strong> = c v dT + ∑ k<br />

c vk T d(Y k )<br />

d’où<br />

dT<br />

T<br />

= <strong>de</strong><br />

e − ∑<br />

k c v k<br />

d(Y k )<br />

= d(ρe)<br />

ρe<br />

= d(ρe)<br />

ρe<br />

−<br />

−<br />

c v<br />

∑<br />

k c v k<br />

d(ρY k )<br />

ρc v<br />

∑k c d(ρY<br />

v k<br />

ρY k )<br />

k ρY k<br />

(4.1)<br />

ρc v<br />

A partir <strong>de</strong> l’équation 4.1, on écrit facilement l’équation <strong>de</strong> propagation<br />

<strong>de</strong> l’erreur au premier ordre :<br />

ɛ T<br />

T<br />

= ɛ ∑<br />

ρe<br />

ρe − k c ɛ ρYk<br />

v k<br />

ρY k ρY k<br />

ρc v<br />

= ɛ ∑<br />

ρe<br />

ρe − k c v k<br />

ɛ ρYk<br />

(4.2)<br />

ρc v<br />

Les tests <strong>de</strong> validation résolvent les équations d’Euler en 1D :<br />

∂ρY k<br />

∂t<br />

∂ρe<br />

∂t<br />

= − ∂ρY ku<br />

∂x<br />

= − ∂ρEu<br />

∂x<br />

78


Initialement, la température est constante et les c v sont constants, d’où<br />

pour 2 espèces :<br />

∂ρe<br />

∂t<br />

= −T ∂ρc vu<br />

(<br />

∂x<br />

)<br />

∂ρY 1 u<br />

= −T c v1<br />

∂x<br />

+ c ∂ρY 2 u<br />

v 2<br />

∂x<br />

Puisque les schéma utilisés sont les même pour chaques gran<strong>de</strong>urs transportées,<br />

on en déduit :<br />

d’où<br />

ɛ ρe = T (c v1 ɛ ρY1 + c v2 ɛ ρY2 )<br />

ɛ ρe<br />

ρe<br />

= c v 1<br />

ɛ ρY1 + c v2 ɛ ρY2<br />

ρc v<br />

En injectant cette égalité dans l’équation 4.2, on trouve facilement :<br />

ɛ T<br />

T<br />

= 0<br />

La température ainsi que les c v vont donc rester constants à l’itération<br />

suivante et resteront alors constants pendant le calcul.<br />

Ainsi, parce qu’on à l’égalité c v = ∑ k c v k<br />

, les erreurs sur les fractions<br />

massique et sur l’énergie interne ne se répercutent pas sur la température.<br />

Ce n’est bien sur pas le cas en gaz réel. Dans ce cas, les erreur numériques<br />

n’ont aucune raison <strong>de</strong> s’annuler et se répercutent donc sur la température.<br />

4.2.4 Conclusions <strong><strong>de</strong>s</strong> cas-test 1D<br />

Nous pouvons tirer quelques conclusions <strong>de</strong> ces cas-tests :<br />

– Les résultats thermodynamiques obtenus sont corrects.<br />

– Les matrices jacobienne <strong><strong>de</strong>s</strong> flux non-visqueux ont été correctement<br />

modifiées.<br />

– Un calcul en gaz réel mono-espèce avec la version 3.3 prend environ 30<br />

% <strong>de</strong> temps en plus que pour un calcul avec AVBP 5.5 en gaz parfait.<br />

– Un calcul en gaz réel avec <strong>de</strong>ux espèces prend environ 35 % <strong>de</strong> temps<br />

<strong>de</strong> plus qu’avec le co<strong>de</strong> en gaz parfait.<br />

79


4.3 Cas-tests 2D<br />

Afin <strong>de</strong> voir comment se comporte le co<strong>de</strong> dans une cas plus complexe,<br />

un calcul en cisaillement a été réalisé. La configuration se compose d’un jet<br />

central <strong>de</strong>nse (la température est plus faible) cisaillé par un jet rapi<strong>de</strong> (le<br />

jet central est à 25 m.s −1 et le jet externe est à 75 m.s −1 ). Pour ces tests la<br />

tolérance sur la pression a été fixée à 10 −4 .<br />

4.3.1 Configuration<br />

Les paramètres utilisés sont rappelés ci-<strong><strong>de</strong>s</strong>sous :<br />

Equations résolues : Navier-Stokes<br />

Turbulence :<br />

Smagorinsky<br />

Nombre d’espèces : 1 (O 2 ) ou 2 (O 2 /H 2 )<br />

Nombre <strong>de</strong> réactions : 0<br />

Tab. 4.12 – Caractéristiques générales <strong>de</strong> l’écoulement<br />

Nombre <strong>de</strong> dimension spatiales : 2<br />

Type d’élements :<br />

quads<br />

• Cas mono-espèce :<br />

Nombre <strong>de</strong> noeuds : 201 x 301<br />

Nombre d’élements : 60 000<br />

Longueur : L x × L y 0.2m × 0.3m<br />

• Cas multi-espèces :<br />

Nombre <strong>de</strong> noeuds : 126 × 151<br />

Nombre d’élements : 18750<br />

Longueur : L x × L y 0.25m × 0.3m<br />

Tab. 4.13 – Paramètres du maillage<br />

Entrée et sortie :<br />

Condition limite supérieure :<br />

Condition limite inférieure :<br />

Périodiques<br />

Périodique<br />

Périodique<br />

Tab. 4.14 – Conditions limites<br />

80


Shéma numérique :<br />

Pas <strong>de</strong> temps :<br />

Viscosité artificielle :<br />

• Cas mono-espèce :<br />

• Cas multi-espèces :<br />

Tolérance sur P :<br />

RK3<br />

Fixé à 10 −7<br />

Jameson<br />

smu2=0.01 ; smu4= 0.005 pour les cas 1 et 2<br />

smu2=0 ; smu4= 0.05 pour le cas 3<br />

Jameson et viscosité sur les epèces<br />

smu2=0.1 ; smu4= 0.05<br />

10 −4<br />

Tab. 4.15 – Paramètres numériques<br />

4.3.2 Tests mono-espèce<br />

Ces calculs ont été réalisés avec la version 0.3.1.<br />

Solution initiale<br />

La solution initiale utilisée contient une perturbation pour pouvoir développer<br />

l’instabilité rapi<strong>de</strong>ment, à la fréquence la plus instable calculée à partir <strong>de</strong><br />

la formule suivante [7] :<br />

λ = 2π ( ) 1<br />

ρmax 2<br />

δsl<br />

1.5 ρ min<br />

où λ est la longueur d’on<strong>de</strong> la plus instable, ρ max et ρ min sont les <strong>de</strong>nsité<br />

<strong>de</strong> part et d’autre <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong> mélange et δ sl est l’épaisseur <strong>de</strong> la couche<br />

<strong>de</strong> mélange (≈ 7 mm dans notre cas).<br />

Trois cas-tests ont été réalisés, résumés dans le tableau 4.16.<br />

Tab. 4.16 – Tests en cisaillement<br />

Cas test T (˚K) P (bar) vitesse axiale (m/s) λ (m) thermo<br />

1 225 < T < 275 100 25 < u < 75 ≈ 0.033 GR<br />

2 225 < T < 275 100 25 < u < 75 ≈ 0.033 GP<br />

3 150 < T < 200 100 25 < u < 75 ≈ 0.05 GR<br />

81


Le cas 2 est calculé en gaz parfait (AVBP V5.5). Le domaine <strong>de</strong> simulation<br />

contient 6 pério<strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong> perturbation pour les cas 1 et 2, tandis qu’il<br />

n’en contient que 4 pour le cas 3. La perturbation est présente sur la vitesse<br />

axiale et la température. Une composante <strong>de</strong> vitesse transverse a été ajoutée<br />

suivant la longeur d’on<strong>de</strong> le long <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong> mélange. La pression n’a<br />

pas été modifiée et est initialement constante.<br />

Résultats<br />

Les figures 4.34 et 4.35 présentent les champs <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsités <strong>de</strong> l’écoulement<br />

pour les cas 1 et 2. Le cas étant faiblement gaz réel, les <strong>de</strong>ux résultats sont<br />

semblables, la <strong>de</strong>nsité du jet central en gaz réel est tout <strong>de</strong> même plus importante<br />

qu’en gaz parfait. Dans les <strong>de</strong>ux cas, <strong>de</strong> la dispersion est visible,<br />

générée par les gradients <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité. L’enroulement est présent dans les <strong>de</strong>ux<br />

cas. On constate que la thermodynamique gaz réel est visible, mais les modifications<br />

n’ont pas généré d’erreur s supplémentaires durant le calcul.<br />

Les évolutions temporelles <strong>de</strong> la pression, température, <strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie<br />

cinétique sont tracés dans les graphiques 4.37 et 4.38. La pression, la température<br />

et la <strong>de</strong>nsité moyennes sont conservées. La chute d’énergie cinétique<br />

est provoquée par la viscosité et l’échange <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement durant<br />

l’enroulement. Une diminution <strong>de</strong> la pression minimale, liée aux vortex qui<br />

apparaissent lors <strong>de</strong> l’enroulement, est notable dans les <strong>de</strong>ux cas.<br />

La figure 4.36 montre le champ <strong>de</strong> température dans le cas 1. La dispersion<br />

qui affecte la <strong>de</strong>nsité est également visible sur la température, celle-ci atteint<br />

300˚K.<br />

Le cas 3 est un cas où les effets gaz réels sont importants. Ce cas est donc<br />

nettement plus compliqué dans la mesure où les gradients <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité et<br />

d’énergie interne sont forts. Dans le jet central, le facteur <strong>de</strong> compressibilité<br />

vaut 0.289 (fig. 4.41). Lorsque ce facteur vaut 1, l’équation d’état <strong><strong>de</strong>s</strong> gaz<br />

parfaits est vérifiée.<br />

Le champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité avant l’appariement (fig. 4.39) et après l’appariement<br />

(fig. 4.42) permet <strong>de</strong> constater que l’enroulement a bien lieu. Cependant, le<br />

même type <strong>de</strong> comportement <strong>de</strong> dipersion que dans le cas 1 est observé sur<br />

la <strong>de</strong>nsité et la température (fig. 4.44), mais <strong>de</strong> façon plus intense. La <strong>de</strong>nsité<br />

le long <strong><strong>de</strong>s</strong> zones d’enroulement <strong>de</strong>vient très faible, et la température croît<br />

fortement lors <strong>de</strong> l’instabilité. Sur la figure 4.44, la température a été limitée<br />

à 300 ˚K pour la visualisation. Elle atteint 538 ˚K en réalité au niveau <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

noeuds d’enroulement. Sans viscosité artificielle, cette température peut <strong>de</strong>venir<br />

très forte et faire stopper le calcul. Il faut cependant noter que même<br />

si la température <strong>de</strong>vient importante, la pression reste correcte localement<br />

et une zone <strong>de</strong> forte température ne fait pas apparaître une zone <strong>de</strong> pression<br />

éronnée. Ainsi, la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul <strong>de</strong> la température et <strong>de</strong> la pression ne<br />

semble pas responsable <strong>de</strong> ce phénomène.<br />

Les puits <strong>de</strong> pression, présents en centre <strong><strong>de</strong>s</strong> vortex, sont visibles sur la fi-<br />

82


gure 4.40. Des on<strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong> pressions, liées aux on<strong><strong>de</strong>s</strong> sur la température et la<br />

<strong>de</strong>nsité, sont visibles.<br />

Les évolutions temporelles <strong>de</strong> la pression, température, <strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong> l’énergie<br />

cinétique sont tracés dans le graphique 4.43. Une chute <strong>de</strong> la pression moyenne<br />

est observée durant le calcul, lors <strong><strong>de</strong>s</strong> enroulements. Ce comportement n’est<br />

à priori pas physique.<br />

Ces tests ont été réalisés avec un nombre important <strong>de</strong> points afin <strong>de</strong> limiter<br />

tout problème associé aux gradients. Il ne faut pas perdre <strong>de</strong> vue que dans<br />

un cas réel, le nombre <strong>de</strong> points sera bien plus faible.<br />

Fig. 4.34 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 1<br />

83


Fig. 4.35 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 2<br />

Fig. 4.36 – Champ <strong>de</strong> température <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 1<br />

84


Fig. 4.37 – Evolution temporelle ; Cas 1<br />

Fig. 4.38 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> la<br />

température et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; Cas 2<br />

85


Fig. 4.39 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 3 ; avant appariement<br />

Fig. 4.40 – Champ <strong>de</strong> pression <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 3 ; avant appariement<br />

86


Fig. 4.41 – Champ du facteur <strong>de</strong> compressibilité <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 3 ;<br />

avant appariement<br />

Fig. 4.42 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 3 ; après appariement<br />

87


Fig. 4.43 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité, <strong>de</strong> la<br />

température et <strong>de</strong> l’énergie cinétique ; Cas 3<br />

Fig. 4.44 – Champ <strong>de</strong> température <strong>de</strong> l’écoulement ; Cas 3 ; après appariement.<br />

La légen<strong>de</strong> est limitée volontairement à 300 ˚K. En réalité, la<br />

température atteint 538˚K au niveau <strong><strong>de</strong>s</strong> noeuds d’enroulement.<br />

88


4.3.3 Tests multi-espèces<br />

De la même manière que pour le cas mono-espèce, un test <strong>de</strong> cisaillement<br />

a été réalisé avec <strong>de</strong>ux espèces : hydrogène et oxygène. La tolérance sur P<br />

est <strong>de</strong> 10 −4 . Pour ce calcul, la version 0.3.2 a été utilisée.<br />

Solution initiale<br />

Reprenant la métho<strong>de</strong> utilisée en mono-espèce, <strong>de</strong>ux cas ont été étudiés<br />

en multi-espèces (section 4.3.2). Dans chaque cas, la température et la pression<br />

sont constantes sur tout le domaine. La fraction massique d’oxygène<br />

vaut 1 dans le jet central plus <strong>de</strong>nse et celle d’hydrogène vaut 1 dans le jet<br />

extérieur.<br />

Tab. 4.17 – Tests en cisaillement<br />

Cas test T (˚K) P (bar) vitesse axiale (m/s) λ (m)<br />

1 250 100 25 < u < 75 ≈ 0.125<br />

2 250 100 25 < u < 75 ≈ 0.125<br />

Le cas 2 est calculé en gaz parfait (AVBP V5.5). Le domaine <strong>de</strong> simulation<br />

contient 2 pério<strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong> perturbation pour les cas 1 et 2. La perturbation<br />

est présente sur la vitesse axiale et la température. Une composante <strong>de</strong> vitesse<br />

transverse a été ajoutée suivant la longeur d’on<strong>de</strong> le long <strong>de</strong> la couche<br />

<strong>de</strong> mélange. La pression n’a pas été modifiée et est initialement constante.<br />

Résultats<br />

Les figures 4.47 et 4.48 représentent les évolutions temporelles <strong><strong>de</strong>s</strong> principales<br />

gran<strong>de</strong>urs pour le cas 1 et les figures 4.51 et 4.52 celles pour le cas<br />

2, calcul réalisé en gaz parfait.<br />

Dans le cas 1, la pression moyenne est approximativement conservée. Les<br />

<strong>de</strong>ux extrema à t = 0 sont liés à un phénomène transitoire d’adaptation<br />

<strong>de</strong> la pression à l’écoulement. Les variations sur la pression minimale et<br />

maximale observable à partir <strong>de</strong> t = 0.01 s apparaîssent avec l’instabilité<br />

et la variation <strong>de</strong> pression au centre <strong><strong>de</strong>s</strong> vortex. La température moyenne<br />

connaît une légère diminution. Enfin, les extrema notables sur la courbe <strong>de</strong><br />

température sont liés à la non idéalité du mélange, <strong>de</strong> la même manière que<br />

pour les cas-tests 1D multi-espèces. Du fait <strong>de</strong> la viscosité et <strong>de</strong> l’échange<br />

<strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement lors <strong>de</strong> l’instabilité, l’énergie cinétique diminue.<br />

Les fractions massiques moyennes varient avec l’intensité du mélange (fig.<br />

4.48).<br />

Les figures 4.45 et 4.46 représentent le champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité pour le cas 1, à<br />

t = 0.015 s et à t = 0.02 respectivement et les figures 4.49 et 4.50 le champs<br />

89


<strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité pour le cas 2, à t = 0.015 s et à t = 0.02 respectivement, calcul<br />

réalisé en gaz parfait.<br />

L’enroulement que l’on peut constater sur les évolutions temporelles est<br />

clairement visible sur ces figures. Contrairement au cas mono-espèce, l’enroulement<br />

ne s’achève pas complètement. Les filaments sont entraînés par<br />

le jet extérieur et diffusent dans celui-ci.<br />

L’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> observations faites pour le cas 1 se retrouvent sur les résultats<br />

du cas 2. Cependant, la température et la pression (fig. 4.51) n’affichent pas<br />

la faible diminution observée en gaz réel. L’origine <strong><strong>de</strong>s</strong> oscillations présentes<br />

sur ces courbes n’est pas expliquée.<br />

Fig. 4.45 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement, cas 1 - gaz réel (150000<br />

itérations)<br />

90


Fig. 4.46 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement, cas 1 - gaz réel (200000<br />

itérations)<br />

91


Fig. 4.47 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, température, <strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong><br />

l’énergie cinétique, cas 1 - gaz réel<br />

Fig. 4.48 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 1 - gaz réel<br />

92


Fig. 4.49 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement, cas 2 - gaz parfait (150000<br />

itérations)<br />

Fig. 4.50 – Champ <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> l’écoulement, cas 2 - gaz parfait (200000<br />

itérations)<br />

93


Fig. 4.51 – Evolution temporelle <strong>de</strong> la pression, température, <strong>de</strong>nsité et <strong>de</strong><br />

l’énergie cinétique, cas 2 - gaz parfait<br />

Fig. 4.52 – Evolution temporelle <strong><strong>de</strong>s</strong> fractions massiques, cas 2 - gaz parfait<br />

94


4.3.4 Conclusions <strong><strong>de</strong>s</strong> test en cisaillement<br />

Ces tests, qui ont pour but <strong>de</strong> vérifier le comportement du co<strong>de</strong> en gaz<br />

réel dans <strong><strong>de</strong>s</strong> conditions plus complexes que lors <strong><strong>de</strong>s</strong> tests simples <strong>de</strong> validation,<br />

nous permettent <strong>de</strong> tirer quelques conclusions :<br />

– Dans les cas mono-espèce et multi-espèces, le co<strong>de</strong> gaz réel semble se<br />

comporter correctement dans un cas <strong>de</strong> cisaillement peu <strong>de</strong>nse.<br />

– Lorsque le gradient <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité est plus important, la thermodynamique<br />

se comporte correctement, cependant <strong>de</strong> la dispersion numérique est<br />

nettement visible.<br />

95


Chapitre 5<br />

Conclusion<br />

Ce document détaille les équations mises en place dans AVBP. Il s’agit<br />

d’une première phase <strong>de</strong> modifications, qui ne concerne que la modification<br />

<strong>de</strong> la thermodynamique afin d’adapter AVBP à un écoulement <strong>de</strong> type gaz<br />

réel. Les tests effectués montrent que cette modification est correctement<br />

implantée dans le co<strong>de</strong>.<br />

Mais d’autres caractéristiques physiques qui sont associées aux gaz réels<br />

sont encore à mettre en place. Ainsi, les prochaines étapes concerneront :<br />

– La modification <strong><strong>de</strong>s</strong> conditions limites, afin <strong>de</strong> pouvoir réaliser <strong><strong>de</strong>s</strong><br />

calculs dans <strong><strong>de</strong>s</strong> systèmes proche <strong>de</strong> l’expérience. (en cours)<br />

– Le calcul <strong><strong>de</strong>s</strong> coefficients <strong>de</strong> transport.<br />

De plus, ajouter une correction <strong>de</strong> volume semble nécessaire à terme.<br />

96


Annexe : Dérivées pour<br />

Peng-Robinson<br />

dérivées sur a m<br />

a m = ∑ i,j<br />

X i X j a ij<br />

où<br />

a ij = √ a i a j (1 − k ij )<br />

a i = A(T ci )Ψ 2 i<br />

Ψ i = 1 + c(ω i )(1 − √ T ri )<br />

La dérivée première par rapport à la température est donnée par :<br />

( ) ∂am<br />

∂T<br />

v,n<br />

= ∑ i,j<br />

( )<br />

∂aij<br />

X i X j<br />

∂T<br />

v,n<br />

où<br />

(<br />

∂aij<br />

)<br />

∂T<br />

( ) ∂ai<br />

∂T<br />

( ) ∂Ψ<br />

∂T<br />

v,n<br />

v,n<br />

v,n<br />

=<br />

( (<br />

1 ∂aj<br />

2 √ a i<br />

a i a j ∂T<br />

)<br />

= 2A(T ci )Ψ<br />

= − 1 2<br />

(<br />

( ∂Ψ<br />

∂T<br />

)<br />

c(ω i )<br />

√<br />

T Tci<br />

)<br />

v,n<br />

v,n<br />

( ) )<br />

∂ai<br />

+ a j (1 − k ij )<br />

∂T<br />

v,n<br />

La dérivée secon<strong>de</strong> par rapport à la température est donnée par :<br />

97


( ∂ 2 a m<br />

∂T 2 )v,n<br />

= ∑ i,j<br />

X i X j<br />

( ∂ 2 a ij<br />

∂T 2 )v,n<br />

où<br />

( ∂ 2 a ij<br />

∂T 2 )v,n<br />

( ∂ 2 a ii<br />

∂T 2 )v,n<br />

( ∂ 2 ψ i<br />

∂T 2 )v,n<br />

=<br />

( (<br />

1 ∂ 2 (<br />

a j<br />

∂<br />

√ a i ai a j ∂T<br />

)v,n<br />

2 a i<br />

2 + a j<br />

×(1 − k ij ) − √ 1 (<br />

∂aij<br />

ai a j ∂T<br />

= 2A(T ci )<br />

(<br />

= 1 c(ω i )<br />

√<br />

4 T 3 2 Tci<br />

( ∂ 2 ψ i<br />

ψ i<br />

∂T<br />

)v,n<br />

2 +<br />

) 2<br />

v,n<br />

( ∂ψi<br />

∂T<br />

∂T 2 )v,n<br />

1<br />

1 − k ij<br />

) 2<br />

v,n)<br />

+ 2<br />

( ) ∂ai<br />

∂T<br />

v,n<br />

( ) )<br />

∂aj<br />

∂T<br />

v,n<br />

dérivées sur l’équation d’état<br />

( ) ∂P<br />

=<br />

∂T<br />

v,X k<br />

P = RT<br />

v − b − a(T )<br />

v 2 + 2vb − b 2<br />

R<br />

−<br />

v − b m<br />

( ∂am<br />

)<br />

∂T v,X k<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

( )<br />

( ∂ 2 )<br />

∂ 2 a m<br />

P<br />

∂T 2 v,X<br />

∂T 2 = −<br />

k<br />

v,X k<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

( ) ∂P<br />

= − RT<br />

∂v<br />

T,X k<br />

(v − b m ) 2 + a 2v + 2b m<br />

m<br />

(v 2 + 2vb m − b 2 m) 2<br />

= − 1<br />

vβ<br />

)<br />

vα = −<br />

( ∂P<br />

∂T ( ∂P<br />

∂v<br />

)<br />

v,X k<br />

T,X k<br />

dérivées partielles molaires<br />

Commençons par le volume :<br />

98


v i =<br />

= −<br />

= −<br />

( ) ∂nv<br />

∂n i<br />

où V = nv est le volume total et :<br />

T,P,n j ≠i<br />

( )<br />

∂P<br />

∂n i T,V,n<br />

(<br />

j ≠i<br />

∂P<br />

)<br />

∂V T,n<br />

( )<br />

n ∂P<br />

∂n i<br />

(<br />

∂P<br />

∂v<br />

T,V,n j ≠i<br />

( )<br />

( { })<br />

∂P<br />

∂ RT<br />

n<br />

= n<br />

∂n i T,V,n j≠i<br />

∂n i v − b − a(T )<br />

v 2 + 2vb − b 2 T,V,n j≠i<br />

( { ∂ nRT n 2 })<br />

a m (T )<br />

= n<br />

−<br />

∂n i V − nb m V 2 + 2V nb − n 2 b 2<br />

car :<br />

=<br />

)<br />

T,n<br />

RT<br />

+<br />

RT b i<br />

v − b m (v − b m ) 2 −<br />

2 ∑ N<br />

j=1 X ja ij<br />

v 2 + 2vb m − b 2 + 2a m(v − b m )b i<br />

m (v 2 + 2vb m − b 2 m) 2<br />

T,V,n j≠i<br />

( ∂n 2 )<br />

a m<br />

= 2 ∑ ∂n i T,V,n j≠i j<br />

( ) ∂nbm<br />

= b i<br />

∂n i T,V,n j≠i<br />

n j a ij<br />

De la même manière, nous pouvons calculer l’enthalpie partielle molaire :<br />

h i =<br />

=<br />

( ) ∂nh<br />

∂n i T,P,n j ≠i<br />

( )<br />

∂n(h − h0 )<br />

∂n i<br />

T,P,n j ≠i<br />

+<br />

( ) ∂nh0<br />

∂n i<br />

T,P,n j ≠i<br />

Le <strong>de</strong>uxième terme <strong>de</strong> droite est lié à l’enthalpie <strong>de</strong> référence donnée par<br />

AVBP :<br />

99


( ) ∂nh0<br />

∂n i<br />

T,P,n j ≠i<br />

=<br />

=<br />

=<br />

=<br />

( ) ∂nH0 W<br />

∂n i T,P,n j ≠i<br />

( ∑ ∂n<br />

j Y )<br />

jH 0,j W<br />

∂n i<br />

( ∑ ∂n<br />

j X )<br />

jH 0,j W j<br />

∂n i<br />

( ∑ ∂<br />

j n )<br />

jH 0,j W j<br />

∂n i<br />

= H 0,i W i<br />

= h 0,i<br />

T,P,n j ≠i<br />

T,P,n j ≠i<br />

T,P,n j ≠i<br />

où H 0,i est l’enthalpie massique <strong>de</strong> l’espèce i. La dérivée <strong>de</strong> la fonction<br />

résiduelle s’exprime par :<br />

( )<br />

∂n(h − h0 )<br />

∂n i<br />

ce qui donne :<br />

T,P,n j ≠i<br />

= P v i − RT +<br />

{<br />

(<br />

∂n 2 a m<br />

∂n i<br />

)T,P,n j ≠i<br />

− T<br />

(<br />

n 2 a m − T<br />

(<br />

∂n 2 a m<br />

∂T<br />

(<br />

∂ 2 n 2 a m<br />

∂T ∂n i<br />

)(v,n)(T,P,n j ≠i )<br />

2 √ 2n 2 b 2 m<br />

) ) (<br />

∂nbm<br />

v,n<br />

∂n i<br />

)<br />

T,P,n j ≠i<br />

2 √ }<br />

2n 2 b 2 m<br />

(<br />

V + (1 − √ )<br />

2)nb m<br />

ln<br />

V + (1 + √ +<br />

2)nb m<br />

⎧ ( ) ⎫<br />

⎪⎨ n 2 a m − T ∂n 2 a m ⎪⎬<br />

∂T<br />

v,n<br />

⎪⎩ 2 √ V + (1 + √ 2)nb m<br />

2nb m<br />

⎪ ⎭ V + (1 − √ 2)nb m<br />

(v i + (1 − √ (<br />

2) ∂nbm<br />

∂n i<br />

)(V + (1 +<br />

)T,P,n √ 2)nb m )<br />

{<br />

j ≠i<br />

(V + (1 + √ −<br />

2)nb m ) 2<br />

(v i + (1 + √ 2)<br />

(<br />

∂nbm<br />

∂n i<br />

)T,P,n j ≠i<br />

)(V + (1 − √ 2)nb m )<br />

(V + (1 + √ 2)nb m ) 2 }<br />

−<br />

100


( )<br />

∂n(h − h0 )<br />

∂n i<br />

T,P,n j ≠i<br />

=<br />

⎛∑<br />

j<br />

⎜<br />

X ja ij − T ∑ j X j<br />

⎝<br />

√<br />

2bm<br />

ln<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

( )<br />

∂aij<br />

∂T<br />

v,n<br />

(<br />

v + (1 − √ )<br />

2)b m<br />

v + (1 + √ + P v i − RT +<br />

2)b m<br />

) {<br />

a m − T ( ∂a m<br />

∂T<br />

T,P,n j ≠i<br />

2 √ 2b m<br />

⎫<br />

⎬<br />

⎭<br />

−<br />

(<br />

a m − T ( ∂a m<br />

∂T<br />

2 √ 2b 2 m<br />

)<br />

v,n<br />

2 √ 2(b m v i − b i v)<br />

)<br />

b i<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

(v + (1 + √ 2)b m )(v + (1 − √ 2)b m )<br />

}<br />

car :<br />

( ∂ 2 n 2 a m<br />

= 2<br />

∂T ∂n i<br />

)(v,n)(T,P,n ∑ j≠i )<br />

j<br />

( ∂n 2 )<br />

a m<br />

= 2 ∑ ∂n i T,P,n j≠i j<br />

( ) ∂nbm<br />

= b i<br />

∂n i T,P,n j≠i<br />

( )<br />

∂aij<br />

n j<br />

∂T<br />

v,n<br />

n j a ij<br />

Remarque :<br />

D’un point <strong>de</strong> vue numérique, il peut être plus intéressant d’écrire les<br />

dérivées partielles sous la forme suivante :<br />

( ) ∂P<br />

∑<br />

N<br />

n<br />

= A p + B p b i − C p X j a ij<br />

∂n i T,V,n j≠i j=1<br />

⎛<br />

= A h<br />

⎝ ∑ X j a ij − T ∑<br />

T,P,n j ≠i j<br />

j<br />

( )<br />

∂n(h − h0 )<br />

∂n i<br />

−B h b i + C h v i − RT<br />

⎞<br />

( )<br />

∂aij<br />

X j<br />

⎠<br />

∂T<br />

v,n<br />

où A p , B p , C p , A h , B h et C h ne <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt pas <strong>de</strong> l’espèce considérée.<br />

101


A p =<br />

RT<br />

v − b m<br />

B p =<br />

RT<br />

(v − b m ) 2 + 2a m (v − b m )<br />

(v 2 + 2vb m − b 2 m) 2<br />

2<br />

C p =<br />

v 2 + 2vb m − b 2 m<br />

(<br />

1 v + (1 − √ )<br />

2)b<br />

A h = √ m<br />

ln 2bm v + (1 + √ 2)b m<br />

(<br />

v + (1 − √ )<br />

2)b am m<br />

B h = ln<br />

v + (1 + √ − T ( ∂a m<br />

)<br />

∂T<br />

2)b m 2 √ 2b m<br />

a m − T ( )<br />

∂a m<br />

∂T T,P,n<br />

+<br />

j ≠i<br />

2 √ 2b m (v 2 + 2vb m − b 2 m) 2√ 2v<br />

a m − T ( )<br />

∂a m<br />

∂T T,P,n<br />

C h = P +<br />

j ≠i<br />

2 √ 2b m (v 2 + 2vb m − b 2 m) 2√ 2b m<br />

T,P,n j ≠i<br />

102


Bibliographie<br />

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[2] N. Tramecourt S. Menon M. Lal J. Amaya. Controllable atomization<br />

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study. CCL report, 011, august 2004.<br />

[3] K. G. Harstad R. S. Miller J. Bellan. Efficient high-pressure state equations.<br />

AIChE Journal, 43(6) :1605–1610, 1997.<br />

[4] Hirschfel<strong>de</strong>r Curtiss Bird. Molecular theory of gases and liquids. John<br />

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[6] JANAF. Thermochemical Tables, National Reference Data Series.<br />

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[7] M. Juniper. Structure et stabilisation <strong><strong>de</strong>s</strong> flammes cryothecniques. thèse<br />

<strong>de</strong> doctorat, 2001.<br />

[8] B. E. Poling J.M. Prausnitz J. P. O’Connel. The properties of gases<br />

and liquids. McGraw-Hill, fifth edition edition, 2001.<br />

[9] Paul M. Mathias Tarik Naheiri Edwin M. Oh. A <strong>de</strong>nsity correction for<br />

the peng-robinson equation of state. Fluid Phase Equilibria, 47 :77–87,<br />

1989.<br />

[10] C. Moreau J.-P. Payen. Thermodynamique chimique. Belin, 1996.<br />

[11] Olivier Colin Michael Rudgyard. Development of high-or<strong>de</strong>r taylorgalerkin<br />

schemes for les. journal Of Computational Physics, 162 :338–<br />

371, 2000.<br />

103

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