simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs
22.10.2014 • Views
Share Embed Flag

simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs

simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs

simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs

SHOW MORE
SHOW LESS
ePAPER READ
DOWNLOAD ePAPER
cerfacs.fr

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

START NOW

Ecole Doctorale Energétique et Dynamique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s<br />

DEA Energétique et Transferts<br />

(Systèmes et Procédés)<br />

SIMULATION NUMERIQUE<br />

DE LA COMBUSTION DIPHASIQUE<br />

Rapport <strong>de</strong> stage<br />

Ref : WN/CFD/03/73<br />

Matthieu BOILEAU<br />

Juillet 2003<br />

Responsable : Bénédicte CUENOT<br />

Equipe CFD - Combustion<br />

Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation Avancée en Calcul Scientifique

Résumé<br />

La <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> dans les moteurs aéronautiques et automobiles fait aujourd’hui l’objet<br />

d’étu<strong>de</strong>s et <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s numériques poussées. Les principaux enjeux rési<strong>de</strong>nt dans le<br />

contrôle <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> et dans <strong>la</strong> réduction <strong>de</strong>s émissions polluantes. Dans cette optique,<br />

il est nécessaire <strong>de</strong> caractériser l’injection <strong>de</strong> carburant liqui<strong>de</strong>, son évaporation et sa <strong>combustion</strong>.<br />

Ce stage a pour but <strong>de</strong> modéliser le phénomène d’évaporation/<strong>combustion</strong> à travers <strong>la</strong> configuration<br />

simplifiée d’une f<strong>la</strong>mme monodimensionnelle <strong>diphasique</strong>. La réalisation <strong>de</strong> cet objectif s’est<br />

faite en quatre étapes. En premier lieu, une étu<strong>de</strong> bibliographique a permis <strong>de</strong> comprendre <strong>la</strong><br />

modélisation eulérienne <strong>de</strong>s écoulements à phase dispersée, en vue <strong>de</strong> leur <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique<br />

par le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP TPF du CERFACS. En second lieu, le traitement par ce co<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

conditions aux limites caractéristiques dans un champ <strong>diphasique</strong> a été validé afin <strong>de</strong> préparer<br />

à <strong>la</strong> mise en oeuvre <strong>de</strong> calculs monodimensionnels. La troisième étape a mis en évi<strong>de</strong>nce le<br />

bon comportement d’AVBP TPF dans une situation d’évaporation monodimensionnelle pour<br />

<strong>la</strong>quelle il existe une solution analytique. Enfin, l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> a permis <strong>de</strong><br />

retrouver les résultats théoriques par le calcul numérique.<br />

Ces travaux constituent une première validation du co<strong>de</strong> dans l’optique <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> d’écoulements<br />

physiquement et géométriquement plus complexes, représentatifs <strong>de</strong>s situations industrielles.<br />

Remerciements<br />

J’exprime tout d’abord ma reconnaissance à Bénédicte Cuenot pour l’attention qu’elle a portée<br />

à l’encadrement <strong>de</strong> ce stage.<br />

Ces remerciements s’adressent également aux autres membres <strong>de</strong> l’équipe <strong>diphasique</strong>. Pour <strong>la</strong><br />

générosité <strong>de</strong> leur ai<strong>de</strong> et <strong>la</strong> finesse <strong>de</strong> leurs conseils, merci à André Kaufmann, Jean-Baptiste<br />

Mossa, Stéphane Pascaud et Eléonore Riber.<br />

Je n’oublie pas l’ensemble <strong>de</strong>s doctorants, en particulier Antoine Dauptain et Alois Sengissen,<br />

post-doctorants et permanents qui contribuent à rendre l’atmosphère chaleureuse.<br />

Je remercie enfin Thierry Poinsot pour m’avoir donné l’opportunité d’effectuer ce stage au sein<br />

<strong>de</strong> l’équipe CFD du CERFACS.<br />

3

Table <strong>de</strong>s matières<br />

Introduction 7<br />

CERFACS : Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation Avancée en Calcul Scientifique<br />

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

Contexte d’étu<strong>de</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

Objectifs du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />

1 Equations du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s 10<br />

1.1 Rappel <strong>de</strong>s équations locales instantanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />

1.2 Approche statistique : définition <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> moyenne . . . . . . . . . . . . 10<br />

1.3 Equations en gran<strong>de</strong>urs moyennes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4 Ecriture simplifiée <strong>de</strong>s équations du modèle à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s . . . . . . . . . . . . . 14<br />

1.5 Description et modélisation <strong>de</strong>s termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />

1.6 Outil numérique : AVBP TPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

2 Interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les conditions aux limites dans un écoulement<br />

<strong>diphasique</strong> 23<br />

2.1 Description <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />

2.2 Etu<strong>de</strong> du comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites<br />

caractéristiques dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />

2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

3 Evaporation dans un écoulement monodimensionnel 33<br />

3.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

3.2 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

3.3 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

3.4 Vérification <strong>de</strong>s hypothèses du modèle <strong>diphasique</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />

4 F<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire monodimensionnelle <strong>diphasique</strong> 42<br />

4.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

4.2 C<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

4.3 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

5

4.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

Conclusion et perspectives 53<br />

Bibliographie 55<br />

ANNEXES 56<br />

A Solution analytique du problème d’évaporation 57<br />

B Profils <strong>de</strong>s Variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique prémé<strong>la</strong>ngée d’éthanol 59<br />

6

Introduction<br />

CERFACS : Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation<br />

Avancée en Calcul Scientifique<br />

Le CERFACS, créé en 1987, est un centre <strong>de</strong> recherche internationalement reconnu dans le domaine<br />

du calcul scientifique à haute performance. Il héberge une cinquantaine <strong>de</strong> chercheurs<br />

permanents et post-doctorants <strong>de</strong> toutes nationalités, ainsi que <strong>de</strong> nombreux stagiaires, doctorants<br />

et visiteurs.<br />

Le CERFACS est constitué <strong>de</strong> cinq équipes <strong>de</strong> recherche :<br />

– Climatologie et Changement Global ;<br />

– Traitement du Signal ;<br />

– Electromagnétisme ;<br />

– Algorithmique et Calcul Parallèle ;<br />

– Mécanique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s Numérique (CFD).<br />

Cette <strong>de</strong>rnière équipe est elle-même divisée en <strong>de</strong>ux pôles <strong>de</strong> recherche : Aérodynamique et<br />

Combustion.<br />

Ce stage a été effectué au sein <strong>de</strong> l’équipe Combustion dont les principales activités sont :<br />

– La Simu<strong>la</strong>tion Numérique Directe (DNS) pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s intéractions f<strong>la</strong>mme/turbulence<br />

avec chimie complexe ;<br />

– <strong>la</strong> Simu<strong>la</strong>tion aux Gran<strong>de</strong>s Echelles (LES) pour étudier le mé<strong>la</strong>nge, les instabilités <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

et les interactions f<strong>la</strong>mme/paroi, en <strong>combustion</strong> gazeuse et <strong>diphasique</strong> gaz/liqui<strong>de</strong>.<br />

Contexte d’étu<strong>de</strong>s<br />

Aujourd’hui, <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> dans les écoulements monophasiques<br />

gazeux commence à fournir <strong>de</strong>s prédictions réalistes <strong>de</strong> phénomènes tels que les instabilités <strong>de</strong><br />

<strong>combustion</strong> et <strong>la</strong> génération <strong>de</strong> polluants.<br />

Cependant, dans <strong>de</strong> nombreuses situations <strong>de</strong> <strong>combustion</strong>, le caractère <strong>diphasique</strong> <strong>de</strong> l’écoulement<br />

doit être pris en compte pour rendre le calcul numérique réellement applicatif. C’est le cas<br />

en particulier dans les chambres <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong>s turbines aéronautiques, dans les moteurs à<br />

<strong>combustion</strong> interne (diesel et injection directe essence), dans certains brûleurs industriels, etc.<br />

La figure 1 présente un exemple schématisé <strong>de</strong> configuration industrielle faisant intervenir les<br />

écoulements <strong>diphasique</strong>s réactifs. Dans <strong>la</strong> plupart <strong>de</strong>s cas où le carburant est injecté sous forme<br />

<strong>de</strong> gouttelettes liqui<strong>de</strong>s, on s’attend à ce que les aspects <strong>diphasique</strong>s jouent un rôle important<br />

dans l’écoulement.<br />

Paradoxalement, <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> a été beaucoup moins étudiée <strong>de</strong> façon théorique que<br />

7

Injecteur<br />

Chambre <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

Compresseur<br />

Turbine<br />

Gouttelettes <strong>de</strong> carburant<br />

F<strong>la</strong>mme<br />

Fig. 1 – Exemple <strong>de</strong> situation <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> : chambre <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> d’un turboréacteur.<br />

<strong>la</strong> <strong>combustion</strong> gazeuse en raison <strong>de</strong>s difficultés supplémentaires 1 <strong>de</strong> modélisation <strong>de</strong>s écoulements<br />

à phase dispersée.<br />

En 2001, l’équipe Combustion a décidé <strong>de</strong> s’orienter vers l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ce type d’écoulements en<br />

mettant au point un module <strong>diphasique</strong> (TPF) pour le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP. Ce co<strong>de</strong> <strong>de</strong> recherche<br />

parallèle, développé au CERFACS <strong>de</strong>puis 1992, est dédié à <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> aux gran<strong>de</strong>s<br />

échelles <strong>de</strong>s écoulements gazeux réactifs en géométrie complexe.<br />

Dans <strong>la</strong> résolution <strong>de</strong> l’écoulement <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>, <strong>de</strong>ux approches sont envisageables : l’approche<br />

<strong>la</strong>grangienne et l’approche eulérienne. L’approche <strong>la</strong>grangienne suit chaque particule<br />

dans son mouvement et calcule sa trajectoire par un bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> forces. Même en regroupant statistiquement<br />

les particules en c<strong>la</strong>sse <strong>de</strong> gouttes, cette métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>man<strong>de</strong> <strong>de</strong>s ressources calcu<strong>la</strong>toires<br />

telles qu’elle reste pour l’instant peu applicable aux types <strong>de</strong> calculs visés par AVBP. L’approche<br />

eulérienne semble donc mieux adaptée car elle utilise une formu<strong>la</strong>tion continue, résolue<br />

par les mêmes algorithmes que <strong>la</strong> phase gazeuse. Elle introduit cependant <strong>de</strong> nouveaux termes<br />

à modéliser.<br />

Outre <strong>la</strong> connaissance précises du jet liqui<strong>de</strong>, <strong>de</strong> ses mécanismes d’atomisation et <strong>de</strong> dispersion,<br />

<strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong>s écoulements réactifs à phase dispersée nécessite <strong>la</strong> prise en compte du processus<br />

d’évaporation qui contrôle les interactions possibles entre <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme et <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

La complexité qui en résulte est illustrée par <strong>la</strong> figure 2.<br />

Dans le cas a), où l’on parle <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> homogène, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée<br />

avant d’atteindre le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme. Les caratéristiques <strong>de</strong> cette f<strong>la</strong>mme sont faiblement influencées<br />

par <strong>la</strong> distribution <strong>de</strong> taille et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong>s gouttelettes <strong>de</strong> carburant. Dans le cas c)<br />

où <strong>la</strong> plupart <strong>de</strong>s gouttes brûlent <strong>de</strong> façon isolée, on parle <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> hétérogène. Enfin,<br />

le cas b) est une situation intermédiaire qui présente à <strong>la</strong> fois <strong>de</strong>s zones <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> dans<br />

un mé<strong>la</strong>nge purement gazeux et sous forme <strong>de</strong> gouttelettes isolées ou regroupées en paquets.<br />

Par ailleurs, les instationnarités <strong>de</strong> l’écoulement turbulent peuvent conduire à <strong>de</strong>s passages d’un<br />

mo<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> à un autre.<br />

Dans l’optique <strong>de</strong> traiter cette complexité, on découpe le problème général en sous-problèmes<br />

plus simples. On traite donc séparément les mécanismes <strong>de</strong> dispersion turbulente <strong>de</strong> gouttes et<br />

le processus d’évaporation/<strong>combustion</strong>.<br />

Le premier problème fait l’objet du stage <strong>de</strong> DEA Dynamique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s d’Eléonore Riber [17] ;<br />

le second est étudié dans le cadre <strong>de</strong> ce stage.<br />

1 La modélisation <strong>de</strong> <strong>la</strong> turbulence et <strong>de</strong> <strong>la</strong> cinétique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> représentant déjà un défi scientifique<br />

respectable.<br />

8

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

Vapeur pure<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡ ¡<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¡ ¡<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡ ¡<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¡ ¡<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡ ©¡©¡©¡©<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

©¡©¡©¡© ¡¡¡<br />

¡¡¡ ©¡©¡©¡©<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

§¡§¡§<br />

¨¡¨¡¨<br />

§¡§¡§ ¨¡¨¡¨<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

¡ ¡<br />

Zone <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

©¡©¡©¡© ¡¡¡<br />

¡¡¡ ©¡©¡©¡©<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

§¡§¡§ ¨¡¨¡¨<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

¨¡¨¡¨ §¡§¡§<br />

Gouttelettes<br />

qui s’evaporent<br />

¡ ¡<br />

¡¡¡ ©¡©¡©¡©<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

Combustion<br />

<strong>de</strong> gouttelettes<br />

isolees<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦<br />

¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

a)<br />

b)<br />

c)<br />

Fig. 2 – Trois types <strong>de</strong> jets turbulents <strong>diphasique</strong>s réactifs (d’après Yule et Bo<strong>la</strong>do [29]).<br />

Objectifs du stage<br />

Le problème d’évaporation/<strong>combustion</strong> est lui-même réduit à une configuration simple : une<br />

f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne <strong>la</strong>minaire en <strong>combustion</strong> homogène.<br />

Ce problème a déjà été étudié au CERFACS, <strong>de</strong> façon théorique par C. Saulnier [18] et numérique<br />

par S. Pascaud [14] lors <strong>de</strong> leur stage <strong>de</strong> DEA. Cependant, les résultats n’étaient pas entièrement<br />

satisfaisants et restaient limités à une représentation simplifiée <strong>de</strong> <strong>la</strong> thermochimie.<br />

L’apport principal <strong>de</strong> ce stage par rapport aux travaux précé<strong>de</strong>nts est <strong>de</strong> généraliser ces étu<strong>de</strong>s<br />

à <strong>la</strong> formu<strong>la</strong>tion multi-espèces et thermochimie détaillée telle qu’elle est prise en compte dans <strong>la</strong><br />

<strong>de</strong>rnière version d’AVBP. Une partie du travail a consisté à adapter à cette nouvelle formu<strong>la</strong>tion<br />

le programme <strong>de</strong> résolution analytique <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne <strong>diphasique</strong> mis au point par C.<br />

Saulnier. D’autre part, <strong>la</strong> configuration choisie comportant <strong>de</strong>s entrées/sorties, un travail détaillé<br />

<strong>de</strong>s conditions aux limites a été mené.<br />

Chaque chapitre <strong>de</strong> ce rapport correspond à une étape vers <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire <strong>diphasique</strong> :<br />

– Le chapitre 1 présente les éléments théoriques <strong>de</strong> l’approche eulérienne <strong>de</strong>s écoulements à<br />

phase dispersée, son application au cas mondimensionnel ainsi que les modèles <strong>de</strong> transfert<br />

entre phases et par <strong>la</strong> chimie.<br />

– Le chapitre 2 décrit l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s conditions aux limites dans AVBP TPF par <strong>la</strong> propagation<br />

d’on<strong>de</strong>s dans un écoulement <strong>diphasique</strong>. Cette étape a permis une prise en main et une exploration<br />

d’AVBP.<br />

– Le chapitre 3 étudie l’évaporation monodimensionnelle en comparant les résultats d’AVBP<br />

TPF à ceux <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution théorique.<br />

– Le chapitre 4 présente le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> monodimensionnelle et le compare à<br />

<strong>la</strong> solution théorique.<br />

9

Chapitre 1<br />

Equations du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux<br />

flui<strong>de</strong>s<br />

1.1 Rappel <strong>de</strong>s équations locales instantanées<br />

Tout mé<strong>la</strong>nge <strong>diphasique</strong> peut être vu comme l’union <strong>de</strong> régions purement monophasiques donc<br />

continues, séparées par <strong>de</strong>s interfaces supposées infiniment minces et sans masse (cf. Viollet et<br />

Simonin [25]). Dans chacune <strong>de</strong> ces régions, les équations locales <strong>de</strong> <strong>la</strong> mécanique <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s<br />

s’appliquent :<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse :<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement :<br />

Conservation <strong>de</strong> l’enthalpie :<br />

∂<br />

∂t ρ +<br />

∂<br />

∂t (ρu i) +<br />

∂ (ρu i u j ) =<br />

∂x j<br />

∂<br />

∂t ρh +<br />

∂<br />

∂x j<br />

(ρu j ) = 0 (1.1)<br />

∂<br />

∂x j<br />

σ ij + ρg i (1.2)<br />

∂ (ρu j h) = − ∂ q j + S (1.3)<br />

∂x j ∂x j<br />

où les variables sont définies <strong>de</strong> <strong>la</strong> manière suivante :<br />

– ρ est <strong>la</strong> masse volumique du flui<strong>de</strong> considéré ;<br />

– u j , sa vitesse dans <strong>la</strong> direction j ;<br />

– σ ij = −pδ ij + τ ij , le tenseur <strong>de</strong>s contraintes ;<br />

– τ ij , <strong>la</strong> partie visqueuse du tenseur <strong>de</strong>s contraintes ;<br />

– p, <strong>la</strong> pression ;<br />

– g i l’accélération <strong>de</strong> <strong>la</strong> pesanteur ;<br />

– h l’enthalpie massique du milieu ;<br />

– q j = −λ ∂T<br />

∂x j<br />

le flux <strong>de</strong> chaleur conductif qui suit <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fourier ;<br />

– T <strong>la</strong> température ;<br />

– λ <strong>la</strong> conductivité thermique ;<br />

– S <strong>la</strong> somme <strong>de</strong>s termes source volumiques d’énergie dus aux transferts radiatifs, aux réactions<br />

chimiques et aux éventuels apports complémentaires d’énergie.<br />

1.2 Approche statistique : définition <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> moyenne<br />

Dans le cas où une phase dispersée constituée <strong>de</strong> millions <strong>de</strong> gouttes est contenue dans une phase<br />

continue gazeuse, il est difficile voire impossible <strong>de</strong> résoudre les équations locales dans chaque<br />

10

égion, même si les gouttes sont considérées comme <strong>de</strong>s particules ponctuelles et indéformables.<br />

On adopte donc une approche statistique afin <strong>de</strong> résoudre <strong>la</strong> phase disperée avec les équations<br />

<strong>de</strong>s milieux continus.<br />

On décrit brièvement dans cette partie le cadre mathématique du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s.<br />

Les développements présentés ci-<strong>de</strong>ssous ont été proposés par Gray, Howes et Whitaker ([5], [8],<br />

[26] et [27]) et analysés par Simonin [21].<br />

1.2.1 Fonction caractéristique <strong>de</strong> phase<br />

Définition<br />

Le système local est composé <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux phases distinctes. Les différentes phases sont <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s<br />

purs non miscibles. On i<strong>de</strong>ntifie chaque phase φ par <strong>la</strong> fonction caractéristique χ φ telle que :<br />

χ φ (M, t) = 1 si le point M est dans <strong>la</strong> phase φ à l’instant t<br />

= 0 sinon (cf. figure 1.1)<br />

Fig. 1.1 – Schéma <strong>de</strong> définition <strong>de</strong> <strong>la</strong> fonction caractéristique <strong>de</strong> phase : cas d’une phase continue<br />

(φ = c) contenant <strong>de</strong>s inclusions dispersées (φ = d).<br />

Re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> commutation avec <strong>la</strong> dérivation<br />

On démontre <strong>la</strong> commutativité <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> moyenne avec <strong>la</strong> dérivation pour une fonction<br />

f dérivable (cf. Kaufmann [9]) :<br />

( )<br />

D<br />

D<br />

Dt (χ φf) =<br />

Dt f χ φ + (w i,φ − u i,φ )n i,φ δ ξ,φ f (1.4)<br />

( )<br />

∂<br />

∂<br />

∂t (χ φf) =<br />

∂t f χ φ + w i,φ n i,φ δ ξ,φ f (1.5)<br />

∂<br />

∂x i<br />

(χ φ f) =<br />

( ∂<br />

∂x i<br />

f<br />

- w i,φ est <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> l’interface dans <strong>la</strong> direction i,<br />

- u i,φ <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans <strong>la</strong> direction i,<br />

- δ ξ,φ <strong>la</strong> fonction <strong>de</strong> Dirac sur <strong>la</strong> surface ξ <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ.<br />

)<br />

χ φ − n i,φ δ ξ,φ f (1.6)<br />

11

Ces re<strong>la</strong>tions sont démontrées dans les publications <strong>de</strong> Whitaker ([8], [26] et [27]) et <strong>de</strong> Gray [5].<br />

1.2.2 Opérateur <strong>de</strong> moyenne <strong>de</strong> phase<br />

Définition<br />

A l’instant t, on considère un volume <strong>de</strong> contrôle Ω constitué <strong>de</strong> l’union <strong>de</strong>s volumes Ω φ occupés<br />

par les phases φ. On définit l’opérateur <strong>de</strong> filtrage en espace < . > par : < f >= 1 ∫<br />

Ω Ω fdΩ.<br />

Propriétés<br />

L’opérateur <strong>de</strong> filtrage doit vérifier un certain nombre <strong>de</strong> propriétés nécessaires à <strong>la</strong> mise en<br />

équation du problème : les axiomes <strong>de</strong> Reynolds (cf. Viollet et Simonin [25]). Pour <strong>de</strong>s variables<br />

a et b quelconques et λ une constante, on doit avoir :<br />

– <strong>la</strong> linéarité : < a + b >=< a > + < b > et < λa >= λ < a > ;<br />

– l’i<strong>de</strong>mpotence : >=< a > ;<br />

〈<br />

– <strong>la</strong> commutativité avec les opérateurs <strong>de</strong> dérivation : ∂<br />

∂x i<br />

a<br />

〉<br />

= ∂<br />

∂x i<br />

< a > et 〈 ∂<br />

∂t a〉 = ∂ ∂t < a > .<br />

On peut alors décomposer une variable locale instantanée quelconque a en <strong>la</strong> somme d’une valeur<br />

filtrée < a > et d’une fluctuation a ′ qui vérifient : a =< a > +a ′ avec < a ′ >= 0.<br />

1.2.3 Définition <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs moyennes sur chaque phase<br />

Fraction volumique<br />

On définit <strong>la</strong> fraction volumique (ou taux d’occupation) <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans le volume <strong>de</strong> contrôle<br />

Ω :<br />

α φ =< χ φ >= 1 ∫<br />

χ φ dΩ (1.7)<br />

Ω<br />

Moyenne <strong>de</strong> Favre<br />

La moyenne eulérienne phasique c<strong>la</strong>ssique d’une gran<strong>de</strong>ur quelconque f est notée F φ et définie<br />

par :<br />

F φ = 1 < fχ φ >= 1 ∫<br />

fχ φ dΩ<br />

α φ α φ Ω Ω<br />

On définit alors l’écart à <strong>la</strong> moyenne f ′<br />

par : f ′ χ φ = (f − F φ )χ φ<br />

Cependant, pour les problèmes à masse volumique variable, il est plus pratique <strong>de</strong> formuler<br />

une moyenne pondérée par <strong>la</strong> masse volumique, appelée moyenne <strong>de</strong> Favre (cf. Viollet et Simonin<br />

[25]) :<br />

Ω<br />

F φ = 1<br />

α φ ρ φ<br />

< ρfχ φ > et f ” χ φ = (f − F φ )χ φ (1.8)<br />

1.3 Equations en gran<strong>de</strong>urs moyennes principales<br />

1.3.1 Principe <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong><br />

Le modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s est obtenu en appliquant les étapes suivantes aux équations<br />

<strong>de</strong> conservation (Eq. (1.1), (1.2) et (1.3)) :<br />

1. Multiplication par <strong>la</strong> fonction caractéristique <strong>de</strong> phase χ φ à gauche ;<br />

12

2. Application <strong>de</strong>s re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> commutation (Eq. (1.4), (1.5) et (1.6)) ;<br />

3. Filtrage sur le volume <strong>de</strong> contrôle.<br />

1.3.2 Bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> masse<br />

L’application <strong>de</strong> cette démarche à l’équation 1.1 fournit l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

en gran<strong>de</strong>urs moyennées :<br />

∂<br />

∂t α φρ φ +<br />

∂ (α φ ρ φ U j,φ ) = Γ φ (1.9)<br />

∂x j<br />

avec les définitions suivantes :<br />

– ρ φ est <strong>la</strong> masse volumique <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ ;<br />

– U j,φ , <strong>la</strong> vitesse moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans <strong>la</strong> direction j ;<br />

– Γ φ , <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité volumique <strong>de</strong>s apports <strong>de</strong> masse dans <strong>la</strong> phase φ résultant <strong>de</strong>s échanges aux<br />

interfaces. Γ φ représente le taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse dû à l’évaporation/con<strong>de</strong>nsation. Il<br />

s’écrit :<br />

– Γ φ vérifie <strong>de</strong> plus l’équation <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n surfacique à interface :<br />

Γ φ = − < (u j − w j )n j,φ δ ξ,φ ρ φ > (1.10)<br />

∑<br />

Γ φ = 0 (1.11)<br />

φ<br />

Notons qu’en l’absence d’échange <strong>de</strong> masse entre phases, les vitesses u j et w j sont égales et<br />

Γ φ = 0.<br />

1.3.3 Bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

L’application <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> filtrage à l’équation (1.2) donne :<br />

∂<br />

∂t (α φρ φ U i,φ ) +<br />

∂<br />

∂<br />

(α φ ρ φ U i,φ U j,φ ) = −α φ P φ + α φ ρ φ g i<br />

∂x j ∂x j<br />

+ ∂<br />

∂x j<br />

[<br />

αφ T ij,φ − < ρu ′′<br />

i u ′′<br />

j χ φ > ] + I ′ i,φ + [U i,σ − U i,φ ] Γ φ (1.12)<br />

avec les définitions suivantes :<br />

- P φ est <strong>la</strong> pression moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ,<br />

- T ij,φ <strong>la</strong> moyenne du tenseur <strong>de</strong>s contraintes visqueuses sur <strong>la</strong> phase φ,<br />

- I ′ i,φ<br />

représente toutes les forces dues à l’intéraction entre les <strong>de</strong>ux phases :<br />

[<br />

]<br />

I ′ i,φ < −p ′ δ ij + τ ij n φ,j δ φ >,<br />

- U i,σ <strong>la</strong> vitesse moyenne du flux <strong>de</strong> masse à travers l’interface :<br />

U i,σ Γ φ =< {−ρu i [u j − w j ]} n j,φ δ φ >.<br />

13

1.3.4 Bi<strong>la</strong>n d’énergie<br />

Lorsqu’on applique le filtrage à l’équation (1.3), on obtient :<br />

∂<br />

∂t α φρ φ H φ +<br />

∂ (α φ ρ φ U j,φ H φ ) = − ∂ [<br />

αφ Q j,φ + < ρu ′′<br />

j h ′′ χ φ > ] + α φ S φ + Π φ (1.13)<br />

∂x j ∂x j<br />

avec :<br />

– H φ l’enthalpie moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ et h ′′ <strong>la</strong> fluctuation correspondante ;<br />

– Q j,φ le flux moyen <strong>de</strong> chaleur par conduction dans <strong>la</strong> direction j, qui s’écrit :<br />

Q j,φ = − λ α φ<br />

∂<br />

∂x j<br />

(α φ T φ ) (1.14)<br />

– λ <strong>la</strong> conductivité thermique ;<br />

– T φ , <strong>la</strong> température moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ ;<br />

– S φ , <strong>la</strong> moyenne <strong>de</strong>s termes sources volumiques d’énergie ;<br />

– Π φ , <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité volumique <strong>de</strong>s apports d’enthalpie à <strong>la</strong> phase φ résultant <strong>de</strong>s échanges aux<br />

interfaces, qui s’écrit :<br />

Π φ = − < {q j + ρh [u j − w j ]} n φ,j δ φ > (1.15)<br />

– Π φ vérifie également l’équation <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n surfacique à l’interface :<br />

∑<br />

Π φ = 0 (1.16)<br />

1.3.5 Remarques<br />

φ<br />

Le traitement statistique <strong>de</strong>s équations locales instantanées a permis d’écrire les équations <strong>de</strong><br />

gran<strong>de</strong>urs moyennes principales séparément pour chaque phase mais entraîne l’apparition <strong>de</strong><br />

nouvelles inconnues :<br />

– Les corré<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme < ρu ′′<br />

i u′′ j χ φ > et < ρu ′′<br />

j h′′ χ φ > correspon<strong>de</strong>nt à un terme <strong>de</strong><br />

transport par <strong>la</strong> partie fluctuante <strong>de</strong> <strong>la</strong> vitesse u ′′<br />

j . Elles s’expriment à partir <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs<br />

moyennes principales à l’ai<strong>de</strong> d’hypothèses simplificatrices ou <strong>de</strong> fermeture <strong>de</strong> modèles <strong>de</strong> turbulence.<br />

– Les termes Γ φ , I ′ φ et Π φ, caractéristiques <strong>de</strong>s écoulements <strong>diphasique</strong>s, correspon<strong>de</strong>nt aux<br />

apports <strong>de</strong> masse, quantité <strong>de</strong> mouvement et enthalpie du fait <strong>de</strong>s échanges entre phases aux<br />

interfaces.<br />

Ces quantités sont liés par les re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n interfacial et s’expriment à partir <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs<br />

moyennes principales à l’ai<strong>de</strong> d’hypothèses simplificatrices et <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> comportement. Ces<br />

termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge sont décrits en détail dans <strong>la</strong> section 1.5.<br />

1.4 Ecriture simplifiée <strong>de</strong>s équations du modèle à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s<br />

1.4.1 Principales hypothèses simplificatrices<br />

Les écoulements <strong>diphasique</strong>s étudiés dans le cadre <strong>de</strong> ce stage ont les propriétés suivantes :<br />

– dans tous les cas :<br />

14

– une seule dimension spatiale ;<br />

– régime d’écoulement <strong>la</strong>minaire ;<br />

– plusieurs espèces chimiques dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

– une seule espèce chimique dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> ;<br />

– transfert mutuel <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement entre les <strong>de</strong>ux phases par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée ;<br />

– dans certains cas :<br />

– transfert <strong>de</strong> masse, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement et <strong>de</strong> chaleur par évaporation ;<br />

– réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> dans <strong>la</strong> phase gazeuse .<br />

On y associe les hypothèses supplémentaires suivantes :<br />

– l’écoulement est dilué : α l et<br />

< ρu ′′<br />

j h′′ χ φ >.<br />

Note :<br />

Pour alléger l’écriture, <strong>la</strong> moyenne eulérienne <strong>de</strong>s vitesses U φ définie dans <strong>la</strong> section 1.3.2 est<br />

dorénavant notée u φ .<br />

Phase gazeuse<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

∂<br />

∂t (α gρ g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g u g ) = Γ g<br />

} {{ } }{{}<br />

évaporation<br />

variation temporelle convection<br />

(1.17)<br />

1 Les prendre en compte dans le modéle d’évaporation reviendrait à ajouter une contribution radiative dans<br />

le terme source Π l <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> l’enthalpie liqui<strong>de</strong> (Eq. (1.24)). En pratique, Sirignano [22]<br />

montre que ces effets sont nettement inférieurs à <strong>la</strong> précision <strong>de</strong>s modèles d’évaporation.<br />

15

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse <strong>de</strong>s espèces<br />

∂<br />

∂t (α gρ g Y k ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g (u g + V c )Y k )<br />

} {{ }<br />

variation temporelle<br />

convection<br />

= ∂ (<br />

)<br />

∂Y k<br />

α g ρ g D k<br />

∂x ∂x<br />

} {{ }<br />

diffusion molécu<strong>la</strong>ire<br />

+ α g ˙ω k<br />

} {{ }<br />

+ δ kF Γ g<br />

} {{ }<br />

réaction chimique évaporation du carburant<br />

(1.18)<br />

où :<br />

– ˙ω k le taux <strong>de</strong> réaction <strong>de</strong> l’espèce k (cf. section 1.5.2).<br />

– V c est <strong>la</strong> correction <strong>de</strong> vitesse qui permet d’assurer <strong>la</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse totale lorsque le<br />

flux diffusif <strong>de</strong> masse est calculé avec <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fick (cf. Poinsot et Veynante [16]). On l’ajoute<br />

à <strong>la</strong> vitesse convective dans chaque équation <strong>de</strong> l’espèce k. Elle vaut :<br />

V c =<br />

N∑<br />

k=1<br />

D k<br />

∂Y k<br />

∂x<br />

(1.19)<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

∂<br />

∂t (α gρ g u g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g u 2 g)<br />

} {{ }<br />

variation temporelle convection<br />

= − ∂<br />

∂x (p g)<br />

} {{ }<br />

pression<br />

+ α g<br />

∂<br />

∂x (τ g)<br />

} {{ }<br />

force visqueuse<br />

+ α g ρ g g x<br />

} {{ }<br />

gravité<br />

+ I g<br />

}{{}<br />

traînée + évaporation<br />

(1.20)<br />

où :<br />

– τ g est l’unique composante non nulle du tenseur visqueux newtonien qui s’écrit :<br />

τ g = 4 3 ρ gν g<br />

∂u g<br />

∂x<br />

– le terme <strong>de</strong> gravité est annulé en orientant <strong>la</strong> direction x suivant l’horizontale.<br />

– le terme I g reprèsente l’échange <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> et se décompose<br />

en :<br />

I g = F d + u l Γ g<br />

avec F d <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée (cf. section 1.5.1) et u g Γ g <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement apportée par<br />

l’évaporation <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

16

Conservation <strong>de</strong> l’énergie<br />

On définit l’énergie totale non chimique du gaz multi-espèces par E g = u 2 g/2 + ∫ T g<br />

T 0<br />

C v (T ) = ∑ N<br />

k=1 C vk(T )Y k . La conservation <strong>de</strong> l’énergie s’écrit :<br />

∂<br />

∂t (α gρ g E g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gu g (ρ g E g + p g )) = +<br />

} {{ }<br />

variation temporelle<br />

convection<br />

où :<br />

– <strong>la</strong> pression est obtenu par <strong>la</strong> loi d’état <strong>de</strong>s gaz parfaits :<br />

∂<br />

∂x (α gτ g u g )<br />

} {{ }<br />

travail <strong>de</strong>s forces visqueuses<br />

C v (T )dT où<br />

(1.21)<br />

∂<br />

−<br />

∂x (α gq g ) + α g ρ g g x u g<br />

} {{ }<br />

} {{ }<br />

travail <strong>de</strong>s forces <strong>de</strong> gravité<br />

diffusion <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur<br />

+ u g I g<br />

}{{}<br />

travail <strong>de</strong>s forces exercées par <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

+ Π g<br />

}{{}<br />

échange avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

+ α g ˙ω T<br />

} {{ }<br />

dégagement <strong>de</strong> chaleur<br />

p g = ρ g<br />

R<br />

W T g<br />

– le flux <strong>de</strong> chaleur conductif q g est calculé par <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fourier :<br />

q g = −λ g<br />

∂<br />

∂x (T g)<br />

– Π g est <strong>la</strong> chaleur échangée avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> par évaporation et conduction (cf. section<br />

1.5.3) ;<br />

– ˙ω T est <strong>la</strong> chaleur dégagée par <strong>la</strong> réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> (cf. section 1.5.2).<br />

Phase liqui<strong>de</strong><br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

∂<br />

∂t (α lρ l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u l ) = Γ l = −Γ g (1.22)<br />

∂<br />

∂t (α lρ l u l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u 2 l ) = α lρ l g x + I l (1.23)<br />

où le terme d’échange <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement avec <strong>la</strong> phase gazeuse se décompose en :<br />

I l = −I g = −F d − u l Γ g .<br />

17

Conservation <strong>de</strong> l’enthalpie<br />

Pour <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>, on néglige le terme <strong>de</strong> transport <strong>de</strong> <strong>la</strong> pression gazeuse qui apparaît dans<br />

<strong>la</strong> dérivation exacte <strong>de</strong> l’équation et on applique <strong>la</strong> conservation <strong>de</strong> l’enthalpie sensible :<br />

∂<br />

∂t (α lρ l h l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u l h l ) = Π l (1.24)<br />

1.5 Description et modélisation <strong>de</strong>s termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge<br />

Les différents phénomènes physiques présents dans les écoulements étudiés se traduisent par <strong>de</strong>s<br />

termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge dans les équations présentées ci-<strong>de</strong>ssus. On décrit ici les modèles choisis pour<br />

évaluer ces quantités.<br />

1.5.1 Coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée<br />

Dans le cas général, l’équation <strong>de</strong> <strong>la</strong> trajectoire d’une goutte dans un champ flui<strong>de</strong> est obtenue<br />

en faisant le bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong>s forces exercées sur <strong>la</strong> goutte :<br />

ρ l V l<br />

D<br />

Dt u l(t) = ∑ k<br />

F k (1.25)<br />

Plusieurs analyses théoriques ont montré que dans le cadre d’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong><br />

( ρ l<br />

ρ g<br />

>> 1 et diamètre <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 50 µm) <strong>la</strong> trajectoire <strong>de</strong>s gouttes est essentiellement contrôlée<br />

par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée.<br />

Celle-ci dépend <strong>de</strong> Re d , le nombre <strong>de</strong> Reynolds caractéristique <strong>de</strong>s gouttes :<br />

Re d = |u g − u l |d<br />

ν g<br />

(1.26)<br />

En faisant l’hypothèse que ce nombre est inférieur à un, on peut appliquer <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Stokes :<br />

F D = 1 τ p<br />

(u g − u l ) (1.27)<br />

où τ p représente le temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation <strong>de</strong> <strong>la</strong> particule, c’est-à-dire le temps caractéristique <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> réponse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> aux fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse. Avec l’hypothèse<br />

d’écoulement <strong>de</strong> Stokes, il vaut :<br />

On peut alors définir le nombre sans dimension <strong>de</strong> Stokes :<br />

τ p = ρ l<br />

ρ g<br />

d 2<br />

18ν g<br />

(1.28)<br />

St = τ p<br />

τ L<br />

(1.29)<br />

où τ L représente le temps caractéristique <strong>de</strong> l’écoulement gazeux (par exemple, le temps convectif<br />

sur <strong>la</strong> distance L).<br />

Lorsque St ≪ 1, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> suit fidèlement les fluctuations du gaz caractérisées par τ L :<br />

elle joue le rôle <strong>de</strong> traceur. Lorsque St ≫ 1, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est insensible à ces fluctuations : on<br />

18

parle <strong>de</strong> trajectoire “boulet <strong>de</strong> canon”. Ce <strong>de</strong>uxième cas sort du domaine <strong>de</strong> validité du modèle<br />

eulérien.<br />

Le calcul <strong>de</strong> τ p nécessite <strong>la</strong> connaissance du diamètre <strong>de</strong> goutte qui s’exprime en fonction <strong>de</strong> α l<br />

et du nombre <strong>de</strong> gouttes par unité <strong>de</strong> volume n :<br />

d =<br />

( ) 1<br />

6αl 3<br />

πn<br />

(1.30)<br />

où n est fourni par l’équation <strong>de</strong> transport suivante :<br />

∂<br />

∂t n + ∂<br />

∂x (nu l) = 0 (1.31)<br />

La validation <strong>de</strong>s phénomènes <strong>de</strong> traînée et <strong>de</strong> dispersion dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF font l’objet<br />

d’un autre stage <strong>de</strong> DEA (cf. Riber [17]). Ils ne sont donc pas traités dans le cadre <strong>de</strong> cette<br />

étu<strong>de</strong>.<br />

1.5.2 Coup<strong>la</strong>ge avec <strong>la</strong> chimie <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

Le taux net <strong>de</strong>s r réactions ˙ω k est <strong>la</strong> somme <strong>de</strong>s taux ˙ω kj <strong>de</strong> chaque réaction j pondérés par les<br />

coefficients stoechiométriques ν kj :<br />

˙ω k =<br />

r∑<br />

˙ω kj = W k<br />

j=1<br />

r∑<br />

ν kj Q j (1.32)<br />

où Q j est le taux net d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction j.<br />

Q j est <strong>la</strong> somme du taux d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction directe et du taux d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

réaction inverse :<br />

sont les coefficients stoechiométriques <strong>de</strong>s réactifs et <strong>de</strong>s produits respective-<br />

où les ν<br />

k ′<br />

ment.<br />

et les ν′′<br />

k<br />

Q j = K f j<br />

n∏<br />

k=1<br />

j=1<br />

( ρYk<br />

W k<br />

) ν ′<br />

kj<br />

− K<br />

b<br />

j<br />

n ∏<br />

k=1<br />

( ) ν ′′<br />

ρYk<br />

kj<br />

W k<br />

(1.33)<br />

Le taux <strong>de</strong> réaction direct est modélisé par <strong>la</strong> loi empirique d’Arrhenius :<br />

K f j = Af j T β exp(− E a<br />

RT ) (1.34)<br />

avec A f j <strong>la</strong> constante pré-exponentielle, β l’exposant <strong>de</strong> température et E a l’énergie d’activation.<br />

On en déduit le taux <strong>de</strong> réaction inverse à partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante thermodynamique d’équilibre<br />

K eq :<br />

K b j = K f j /K eq (1.35)<br />

Dans le cas étudié où les réactifs sont parfaitement prémé<strong>la</strong>ngés et où <strong>la</strong> réaction chimique est<br />

réduite à un schéma cinétique à une seule étape irréversible, le taux <strong>de</strong> consommation du<br />

carburant est donné par (cf. Poinsot et Veynante [16]) :<br />

( ) nF<br />

( ) nO2<br />

(<br />

˙ω F = ν F ′ ρYF ρYO2<br />

W F AT β exp − T )<br />

a<br />

(1.36)<br />

W F W O2 T<br />

19

où les exposants <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction n F et n O2 peuvent être différents <strong>de</strong>s coefficients stoechiométriques.<br />

Ils sont ajustés en combinaison avec A et β afin que le schéma réduit fournisse <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

<strong>la</strong>minaire mesurée expérimentalement (cf. chapitre 4). Une fois les taux <strong>de</strong> réaction connus, on<br />

calcule <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> chaleur dégagée par <strong>la</strong> réaction :<br />

˙ω T = −<br />

r∑<br />

∆h 0 f,k ˙ω k (1.37)<br />

k=1<br />

où ∆h 0 f,k<br />

est l’enthalpie <strong>de</strong> formation <strong>de</strong> l’espèce k dans les conditions <strong>de</strong> référence.<br />

1.5.3 Coup<strong>la</strong>ge par l’évaporation<br />

L’évaluation <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse et <strong>de</strong> chaleur par évaporation nécessitent <strong>de</strong> s’intéresser au<br />

cas d’une goutte isolée dans un gaz au repos. Il s’agit du problème <strong>de</strong> Stefan dans lequel le<br />

phénomène <strong>de</strong> transport convectif dû à <strong>la</strong> régression <strong>de</strong> l’interface est équilibré par le transport<br />

diffusif à travers <strong>la</strong> phase gazeuse.<br />

Le problème est résolu en formu<strong>la</strong>nt les hypothèses suivantes :<br />

– symétrie sphérique (problème monodimensionnel) ;<br />

– <strong>la</strong> phase gazeuse est quasi-stationnaire ;<br />

– les coefficients <strong>de</strong> diffusion binaires du carburant dans le dioxygène et dans le diazote sont<br />

constants et égaux à D F −air ;<br />

– l’interface goutte/gaz est à l’équilibre thermodynamique ;<br />

– <strong>la</strong> conductivité est infinie dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

La résolution <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> ce problème (cf. Kuo [11, chapitre 6]) permet<br />

d’aboutir à une expression du taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse qui ne dépend pas <strong>de</strong> <strong>la</strong> coordonnée<br />

spatiale :<br />

Γ g = α l<br />

6<br />

d 2 Shρ gD F −air ln(1 + B M ) (1.38)<br />

où :<br />

– Sh est le nombre <strong>de</strong> Sherwood qui caractérise le transfert <strong>de</strong> masse convectif. Sh vaut 2 si<br />

l’on néglige les effets convectifs dus à l’écoulement re<strong>la</strong>tif entre phases.<br />

– B M est le nombre <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse <strong>de</strong> Spalding :<br />

B M = Y F,ζ − Y F,∞<br />

1 − Y F,ζ<br />

(1.39)<br />

où ζ et ∞ représentent les conditions dans le gaz au niveau <strong>de</strong> l’interface et à l’infini respectivement.<br />

“∞” équivaut aux conditions moyennes dans <strong>la</strong> phase gazeuse dans le cadre <strong>de</strong> l’hypothèse<br />

d’écoulement très dilué.<br />

La fraction massique <strong>de</strong> carburant à l’interface est fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> pression partielle à l’interface<br />

p F,ζ :<br />

Y F,ζ =<br />

p F,ζ W F<br />

p F,ζ W F + (p − p F,ζ )W g<br />

(<br />

1 − Y F<br />

W<br />

1 − Y g F<br />

} {{ }<br />

terme correctif<br />

W F<br />

)<br />

(1.40)<br />

20

où le terme correctif permet <strong>de</strong> prendre en compte l’écart entre <strong>la</strong> masse mo<strong>la</strong>ire du gaz à l’infini<br />

et au niveau <strong>de</strong> l’interface du fait <strong>de</strong> <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> composition.<br />

La pression partielle <strong>de</strong> carburant est directement liée à <strong>la</strong> température à <strong>la</strong> surface <strong>de</strong> <strong>la</strong> goutte<br />

par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion <strong>de</strong> C<strong>la</strong>usius-C<strong>la</strong>peyron :<br />

( (<br />

WF L ev 1<br />

p F,ζ = p cc exp<br />

− 1 ))<br />

(1.41)<br />

R T cc T ζ<br />

où :<br />

– p cc et T cc sont les pression et température <strong>de</strong> référence <strong>de</strong> C<strong>la</strong>usius-C<strong>la</strong>peyron correspondant<br />

au point d’ébullition à pression atmosphérique ;<br />

– L ev est <strong>la</strong> chaleur <strong>la</strong>tente d’évaporation au point d’ébullition, c’est-à-dire <strong>la</strong> différence d’enthalpie<br />

du carburant entre les <strong>de</strong>ux phases : L ev = h g,F (T cc ) − h l (T cc ).<br />

L’hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie du liqui<strong>de</strong> implique que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> <strong>la</strong> goutte est<br />

uniforme d’où : T ζ = T l .<br />

Le problème d’évaporation étant fermé, on peut alors calculer l’échange <strong>de</strong> chaleur Π entre<br />

phases.<br />

Pour <strong>la</strong> phase φ, le terme source Π φ se décompose en <strong>de</strong>ux contributions :<br />

où :<br />

– Λ φ est le transfert <strong>de</strong> chaleur dû à l’évaporation :<br />

Π φ = Λ φ + Φ φ (1.42)<br />

Λ φ = Γ φ h φ,F (T ζ ) (1.43)<br />

avec h φ,F (T ζ ) l’enthalpie du carburant dans <strong>la</strong> phase φ à l’interface.<br />

– Φ φ est le transfert <strong>de</strong> chaleur par conduction qui s’écrit pour <strong>la</strong> phase gazeuse :<br />

Φ g = α l λ g Nu 6 d 2 (T ζ − T g,∞ ) (1.44)<br />

où :<br />

– Nu est le nombre <strong>de</strong> Nusselt qui caractérise le transfert <strong>de</strong> chaleur convectif. Nu vaut 2<br />

si l’on néglige les effets convectifs dus à l’écoulement re<strong>la</strong>tif entre phases.<br />

– T g,∞ = T g si l’on fait l’hypothèse d’écoulement dilué.<br />

Le bi<strong>la</strong>n surfacique d’énergie à l’interface (cf. Eq. 1.16) sécrit alors :<br />

Φ l + Λ l = Λ g + Φ g (1.45)<br />

Γ g , Λ g et Φ g étant connus, on en déduit le transfert conductif vers <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> :<br />

Remarque :<br />

Φ l = −Λ l − Π g = +Γ g (h l (T ζ ) − h g,F (T ζ )) − Φ g (1.46)<br />

Ecrivons l’équation (1.24) sous sa forme primitive :<br />

(<br />

∂<br />

α l ρ l<br />

∂t (h ∂<br />

∂<br />

l) + α l ρ l u l<br />

∂x (h l) = Π l − h l<br />

∂t (α lρ l ) + ∂ )<br />

∂x (α lρ l u l )<br />

= Φ l + Γ l h l (T ζ ) − Γ l h l (T l )<br />

(1.47)<br />

= Φ l<br />

car l’enthalpie dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est uniforme (hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie).<br />

En conséquence, seul le flux conductif est responsable <strong>de</strong>s variations d’enthalpie donc <strong>de</strong> température<br />

dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

21

1.6 Outil numérique : AVBP TPF<br />

Les équations présentées dans les sections précé<strong>de</strong>ntes sont résolues par le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP<br />

TPF du CERFACS. Il s’agit d’un co<strong>de</strong> parallèle conçu pour simuler les écoulements réactifs<br />

compressibles <strong>diphasique</strong>s en régime <strong>la</strong>minaire et turbulent.<br />

Ecrit en FORTRAN 77, il est basé sur <strong>de</strong>ux bibliothèques : <strong>la</strong> première est chargée <strong>de</strong> <strong>la</strong> résolution<br />

numérique <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> <strong>la</strong> mécanique <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s alors que <strong>la</strong> secon<strong>de</strong> gère les aspects calcul<br />

à haute performance incluant le parallélisme.<br />

Du point <strong>de</strong> vue numérique, AVBP TPF est muni d’un schéma <strong>de</strong> type Lax-Wendroff et d’un<br />

schéma centré d’ordre 2 <strong>de</strong> type Runge-Kutta. Un schéma d’ordre supérieur (Taylor Galerkin<br />

modifié) <strong>de</strong> type éléments finis, utilisé avec succès dans <strong>la</strong> version monophasique, est en cours<br />

d’imp<strong>la</strong>ntation dans le module <strong>diphasique</strong>. L’intégration temporelle <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux <strong>de</strong>rniers schémas<br />

est <strong>de</strong> type Runge-Kutta explicite à plusieurs étapes.<br />

Enfin, les conditions aux limites utilisées sont <strong>de</strong> type NSCBC (cf. chapitre 2).<br />

Le détail <strong>de</strong>s modèles physiques intégrés dans le co<strong>de</strong> se trouve dans [19] et [3].<br />

22

Chapitre 2<br />

Interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les<br />

conditions aux limites dans un<br />

écoulement <strong>diphasique</strong><br />

2.1 Description <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques<br />

2.1.1 Intérêt<br />

Le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites est une préoccupation importante dans les <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s<br />

numériques d’écoulements instationnaires compressibles (DNS ou LES) qui utilisent <strong>de</strong>s schémas<br />

<strong>de</strong> discrétisation d’ordre élevé.<br />

D’une part, ces métho<strong>de</strong>s possè<strong>de</strong>nt <strong>la</strong> particu<strong>la</strong>rité <strong>de</strong> propager fidèlement les on<strong>de</strong>s acoustiques.<br />

Sans contrôle précis <strong>de</strong> <strong>la</strong> réflexion <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sur les frontières, l’énergie acoustique peut s’accumuler<br />

à l’interieur du domaine, retardant ou empêchant totalement <strong>la</strong> convergence du calcul.<br />

D’autre part, les schémas non dissipatifs propagent <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s numériques qui intéragissent avec<br />

les conditions aux limites et peuvent entraîner également <strong>de</strong> sérieuses difficultés <strong>de</strong> convergence<br />

voire conduire à <strong>de</strong>s solutions non physiques.<br />

Enfin, dans le cas particulier <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> <strong>de</strong>s instabilités <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> (coup<strong>la</strong>ge acoustique/f<strong>la</strong>mme),<br />

il est nécessaire d’imposer <strong>de</strong>s conditions aux limites acoustiques (impédances<br />

ou on<strong>de</strong>s acoustiques entrantes). Les conditions aux limites caractéristiques se révèlent alors<br />

particulièrement intéressantes.<br />

2.1.2 Eléments théoriques<br />

La métho<strong>de</strong> d’application <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques aux équations <strong>de</strong> Navier-<br />

Stokes (NSCBC pour Navier-Stokes Characteristic Boundary Conditions), proposée par T.<br />

Poinsot et S. Lele [15], dérive directement <strong>de</strong> <strong>la</strong> théorie <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques<br />

pour les équations d’Euler (ECBC pour Euler Characteristic Boundary conditions).<br />

Dans le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites, le premier problème est d’assurer le bon jeu <strong>de</strong><br />

conditions aux limites physiques afin que le problème à résoudre soit un problème bien posé.<br />

Cette question qui fait l’objet d’étu<strong>de</strong>s théoriques poussées n’est pas traitée ici. Des informations<br />

pertinantes sur le sujet se trouvent résumées dans l’ouvrage <strong>de</strong> Poinsot et Veynante [16,<br />

chapitre 9].<br />

On fait ici un résumé <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> NSCBC telle qu’elle est présentée dans ce même ouvrage.<br />

23

On choisit l’exemple <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> Navier Stokes réactives multi-espèces résolues dans le domaine<br />

<strong>de</strong> calcul illustré sur <strong>la</strong> figure 2.1.<br />

Fig. 2.1 – Exemple <strong>de</strong> conditions aux limites situées sur l’axe x 1 (D’après Poinsot et Veynante<br />

[16]).<br />

On s’intéresse au comportement <strong>de</strong>s équations au niveau <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition <strong>de</strong> sortie en x 1 = L.<br />

En regroupant les termes contenant <strong>la</strong> dérivée normale à cette surface dans les équations <strong>de</strong><br />

Navier-Stokes, on construit le vecteur d que l’on exprime en terme d’on<strong>de</strong>s grâce à l’analyse<br />

caractéristique <strong>de</strong>s équations d’Euler (cf. Thompson [23]) :<br />

⎛<br />

d =<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎞<br />

d 1<br />

d 2<br />

d 3<br />

⎟<br />

d 4<br />

⎠ = ⎜<br />

d 5+k<br />

⎝<br />

∂(ρu 1 )<br />

∂x 1<br />

ρc 2 ∂u 1<br />

∂x 1<br />

+ u 1<br />

∂p 1<br />

∂x 1<br />

∂u<br />

u 1 1 ∂x 1<br />

+ 1 ∂p 1<br />

ρ ∂x 1<br />

∂u<br />

u 2 1 ∂x 1<br />

u 1<br />

∂u 3<br />

∂x 1<br />

u 1<br />

∂Y k<br />

∂x 1<br />

⎞<br />

⎛ [<br />

1<br />

c 2 L2 + 1 2 (L 5 + L 1 ) ] ⎞<br />

1<br />

2 (L 5 + L 1 )<br />

1<br />

=<br />

2ρc (L 5 − L 1 )]<br />

⎜ L 3<br />

⎟<br />

⎟ ⎝<br />

⎠ L 4<br />

⎠<br />

L 5+k<br />

où les L i sont les amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s caractéristiques se propageant aux vitesses λ i :<br />

⎧<br />

⎨ λ 1 = u 1 − c<br />

λ 2 = λ 3 = λ 4 = λ<br />

⎩<br />

5+k = u 1<br />

λ 5 = u 1 + c<br />

(2.1)<br />

(2.2)<br />

avec les définitions suivantes :<br />

– c est <strong>la</strong> vitesse locale du son donnée par c = √ γrT ,<br />

– λ 1 et λ 5 sont les vitesses <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s acoustiques montantes et <strong>de</strong>scendantes<br />

respectivement,<br />

– λ 2 est <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> d’entropie,<br />

24

– λ 3 et λ 4 sont les vitesses d’advection <strong>de</strong> u 2 et u 3 dans <strong>la</strong> direction x 1 ,<br />

– λ 5+k est <strong>la</strong> vitesse d’advection <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction massique Y k <strong>de</strong> l’espèce k dans <strong>la</strong> direction x 1 ,<br />

Les L i s’expriment sous <strong>la</strong> forme :<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

⎪⎩<br />

( )<br />

L 1 = λ ∂p<br />

1 ∂x 1<br />

− ρc ∂u 1<br />

∂x 1<br />

(<br />

)<br />

L 2 = λ 2 c 2 ∂ρ<br />

∂x 1<br />

− ∂p<br />

∂x 1<br />

∂u<br />

L 3 = λ 2 3 ∂x 1<br />

∂u<br />

L 4 = λ 3 4 ∂x ( 1 )<br />

L 5 = λ ∂p<br />

5 ∂x 1<br />

+ ρc ∂u 1<br />

∂x 1<br />

∂Y<br />

L 5+k = λ k 5+k ∂x 1<br />

pour k = 1, N<br />

L i représente en réalité l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> <strong>la</strong> i ième on<strong>de</strong> caractéristique traversant <strong>la</strong><br />

frontière.<br />

Appliquer <strong>de</strong>s conditions aux limites revient donc à spécifier les valeurs L i <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s qui entrent<br />

dans le domaine (cf. figure 2.1). Dans l’approche NSCBC, cette étape est réalisée en utilisant le<br />

système local monodimensionnel non visqueux ou LODI (pour Local One Dimensional Inviscid)<br />

qui dans le cas étudié s’écrit ainsi :<br />

∂ρ<br />

∂t + 1 [<br />

c 2 L 2 + 1 ]<br />

2 (L 5 + L 1 ) = 0 (2.4)<br />

(2.3)<br />

∂p<br />

∂t + 1 2 (L 5 + L 1 ) = 0 (2.5)<br />

∂u 1<br />

∂t + 1<br />

2ρc (L 5 − L 1 )] = 0 (2.6)<br />

∂u 2<br />

∂t + L 3 = 0 (2.7)<br />

∂u 3<br />

∂t + L 4 = 0 (2.8)<br />

∂Y k<br />

∂t + L 5+k = 0 (2.9)<br />

Par exemple, imposer <strong>la</strong> pression en x 1 = L revient à calculer L 5 par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion L 5 = −L 1<br />

fournie par l’équation (2.5).<br />

2.1.3 Procédure NSCBC<br />

La métho<strong>de</strong> NSCBC consiste à réaliser, à chaque temps du calcul, les étapes suivantes :<br />

1. dans le système d’équations <strong>de</strong> Navier-Stokes, on élimine les équations correspondant aux<br />

variables qui sont imposées par les conditions physiques ;<br />

2. pour chaque équation éliminée, on utilise <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion LODI correspondante afin <strong>de</strong> calculer<br />

les L i inconnues (on<strong>de</strong>s entrantes) à partir <strong>de</strong>s L i connues (on<strong>de</strong>s sortantes) et <strong>de</strong>s dérivées<br />

partielles temporelles aux frontières ;<br />

3. en combinant les L i , on construit le vecteur d qui permet <strong>de</strong> calculer les variables du<br />

système ECBC (2.1) puis du système Navier-Stokes réactif complet.<br />

Dans le cadre d’un écoulement <strong>diphasique</strong>, il est n’est pas nécessaire d’employer cette métho<strong>de</strong><br />

pour les conditions aux limites <strong>de</strong>s variables liqui<strong>de</strong>. En effet, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> ne propage pas<br />

25

<strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> type acoustique, c’est-à-dire qui possé<strong>de</strong>nt une célérité propre donc capable <strong>de</strong><br />

remonter un écoulement. De ce point <strong>de</strong> vue, on peut <strong>la</strong> considérer comme “incompressible”.<br />

On utilise donc <strong>de</strong>s conditions aux limites c<strong>la</strong>ssiques <strong>de</strong> type Dirichlet ou Von Neumann.<br />

2.2 Etu<strong>de</strong> du comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites<br />

caractéristiques dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF<br />

2.2.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

Les conditions aux limites décrites dans <strong>la</strong> section 2.1 sont imp<strong>la</strong>ntées dans le co<strong>de</strong> AVBP dans<br />

sa version monophasique multi-espèces. L’introduction du module <strong>diphasique</strong> TPF implique<br />

l’ajout <strong>de</strong> conditions aux limites pour les variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> et fait apparaître <strong>de</strong><br />

nouveaux termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ges entre les phases (cf. chapitre 1). Or, l’importance du traitement<br />

<strong>de</strong>s conditions aux limites dans un calcul instationnaire à été soulignée dans <strong>la</strong> section 2.1.1.<br />

Une étu<strong>de</strong> a donc été menée lors <strong>de</strong> ce stage afin <strong>de</strong> vérifier l’impact sur le champ <strong>diphasique</strong><br />

complet <strong>de</strong> ces nouvelles conditions aux limites associées aux coup<strong>la</strong>ges gaz/liqui<strong>de</strong>.<br />

2.2.2 Présentation <strong>de</strong>s configurations étudiées<br />

Afin <strong>de</strong> tester le comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites, <strong>la</strong> stratégie employée est <strong>de</strong> p<strong>la</strong>cer,<br />

dans un champ uniforme monodimensionnel, <strong>de</strong>s perturbations gaussiennes <strong>de</strong> faible<br />

amplitu<strong>de</strong> ∆φ<br />

φ 0<br />

, où φ représente <strong>la</strong> ou les variables perturbées par l’on<strong>de</strong> (cf. figure 2.2). La<br />

propagation <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> par le co<strong>de</strong> numérique est ensuite comparée à <strong>la</strong> solution analytique<br />

lorsqu’elle existe.<br />

Fig. 2.2 – Illustration <strong>de</strong>s cas <strong>de</strong> validation <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation d’une gaussienne.<br />

Quatre types d’on<strong>de</strong>s ont été testées :<br />

1. Perturbation <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction volumique α l ;<br />

2. Perturbation acoustique dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

3. Perturbation <strong>de</strong> l’entropie dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

4. Perturbation <strong>de</strong> <strong>la</strong> vitesse dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> u l .<br />

Les conditions physiques pour ces différents cas sont résumées dans le tableau 2.1.<br />

26

Champs non perturbés P o T go Mach o T lo u lo α lo d<br />

1. on<strong>de</strong> d’entropie 101325 300 0.5 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

2. on<strong>de</strong> acoustique 101325 300 0.5 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

3. on<strong>de</strong> sur α l 101325 300 0.25 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

4. on<strong>de</strong> sur u l 101325 300 0.25 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

Tab. 2.1 – Resumé <strong>de</strong>s conditions initiales non perturbées pour les différents types d’on<strong>de</strong>s testés<br />

(unités SI).<br />

Dans chaque cas, <strong>la</strong> perturbation est p<strong>la</strong>cée initialement au centre du domaine <strong>de</strong> calcul et son<br />

amplitu<strong>de</strong> re<strong>la</strong>tive ∆φ<br />

φ 0<br />

vaut 0.5%.<br />

Dans un souci <strong>de</strong> concision, tous les cas étudiés ne sont pas présentés dans ce rapport : seules<br />

les configurations 2. et 3. sont illustrées ici.<br />

L’écoulement est un mé<strong>la</strong>nge d’air et <strong>de</strong> n-heptane dans lequel on annule tous les coup<strong>la</strong>ges par<br />

évaporation. L’on<strong>de</strong> acoustique est une on<strong>de</strong> purement <strong>de</strong>scendante : elle se propage dans le sens<br />

<strong>de</strong> l’écoulement.<br />

Les cas où les phases sont couplées par <strong>la</strong> traînée sont comparées aux cas non couplés.<br />

2.2.3 Solutions analytiques<br />

On<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique<br />

D’après l’équation 1.22, on doit retrouver un comportement i<strong>de</strong>ntique à celui d’une on<strong>de</strong> d’entropie,<br />

c’est-à-dire une perturbation initiale parfaitement convectée à <strong>la</strong> vitesse u lo y compris à<br />

<strong>la</strong> sortie où l’on impose pas <strong>de</strong> conditions sur <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>. u g n’étant pas perturbé, aucune<br />

différence ne <strong>de</strong>vrait être observée avec et sans coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée.<br />

On<strong>de</strong> acoustique<br />

Pour simplifier l’écriture, u g est noté u dans cette section. De plus, l’índice ′ désigne l’écart à <strong>la</strong><br />

valeur non perturbée.<br />

La solution analytique <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique dépend du type <strong>de</strong> condition aux limites en sortie :<br />

– Avec une sortie non réfléchissante, les on<strong>de</strong>s entrant dans le domaine sont annulées et l’on<strong>de</strong><br />

initiale se dép<strong>la</strong>ce simplement vers l’aval à <strong>la</strong> vitesse u 0 + c .<br />

– Avec une sortie réfléchissante (∆p(x = L, t) = p ′ = 0), le comportement est le même jusqu’à<br />

ce que l’on<strong>de</strong> interagisse avec <strong>la</strong> frontière au temps acoustique τ = t(u 0+c)<br />

L<br />

= 0.25. La condition<br />

aux limites impose alors :<br />

p ′ (x = L, t) = 0 = L 1 (L − (u 0 − c)t) + L 5 (L − (u 0 + c)t), (2.10)<br />

∂p ′<br />

∂t (x = L, t) = 0 = −(u 0 − c) L 1 ′ [L − (u 0 − c)t] − (u 0 + c) L 5 ′ [L − (u 0 + c)t] (2.11)<br />

où L 1 et L 5 sont les on<strong>de</strong>s entrante et sortante respectivement.<br />

Ces on<strong>de</strong>s sont fonction d’une unique variable <strong>de</strong> sorte que :<br />

( ) M + 1<br />

L 1 (x) = −L 5<br />

M − 1 x . (2.12)<br />

L’on<strong>de</strong> entrante est donc l’image dans un miroir <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante réduite suivant x du facteur<br />

M+1<br />

M−1 . Cette on<strong>de</strong> réfléchie se propage vers l’amont à <strong>la</strong> vitesse u 0 − c.<br />

27

La condition aux limites <strong>de</strong> sortie influence en particulier l’évolution <strong>de</strong> l’énergie acoustique<br />

définie pour une on<strong>de</strong> p<strong>la</strong>ne par :<br />

e t = p′ 2<br />

2ρ 0 c 2 + ρu′ 2<br />

2<br />

= c2 ρ ′ 2<br />

2ρ 0<br />

+ ρu′ 2<br />

2 . (2.13)<br />

Elle agit donc sur l’équilibre <strong>de</strong> l’énergie totale acoustique E t = ∫ L<br />

0 e t dx que l’on exprime par :<br />

dE t<br />

dt + u 0 [e t (L, t) − e t (0, t)] + [J(L, t) − J(0, t)] = 0 (2.14)<br />

où J = u ′ p ′ = ρcu ′2 est le flux acoustique qui illustre les effets <strong>de</strong>s frontières. Dans le cas étudié,<br />

les on<strong>de</strong>s n’atteignent pas l’entrée, d’où : e t (0, t) = 0 et J(0, t) = 0. L’équation (2.14) s’écrit<br />

alors :<br />

dE t<br />

dt + u 0e t (L, t) + u ′ p ′ (L, t) = 0. (2.15)<br />

Lors du coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée, on s’attend à ce que <strong>la</strong> solution calculée dévie <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique<br />

car une partie <strong>de</strong> l’énergie cinétique du gaz est absorbée par <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>. Cependant,<br />

l’équilibre <strong>de</strong> l’énergie acoustique totale doit être conservé.<br />

On calcule les nombres <strong>de</strong> Reynolds et <strong>de</strong> Stokes afin d’évaluer les effets du coup<strong>la</strong>ge mutuel<br />

gaz/liqui<strong>de</strong> :<br />

Re d = 0.105<br />

L’écoulement est donc bien dans le régime <strong>de</strong> Stokes où le temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation est donné par<br />

l’équation (1.28). On en déduit :<br />

St = τ p<br />

τ L<br />

= τ p<br />

L<br />

u 0<br />

= 0.118<br />

Par conséquence, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> sera affectée par les fluctuations <strong>de</strong> vitesse du gaz au cours<br />

du processus <strong>de</strong> convection dans le domaine. On calcule ensuite le facteur <strong>de</strong> charge massique κ<br />

qui est le rapport <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse <strong>de</strong> chacune <strong>de</strong>s phases :<br />

κ = α lρ l<br />

α g ρ g<br />

= 2.46.10 −2 (2.16)<br />

Ces valeurs <strong>de</strong> τ p et κ permettent <strong>de</strong> prédire que le gaz aura un effet important sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

liqui<strong>de</strong> alors que <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> causera <strong>de</strong> faibles perturbations sur <strong>la</strong> vitesse du gaz.<br />

2.2.4 Résultats et discussion<br />

On<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique<br />

Dans cette section, on utilise le temps sans dimension τ = t u 0<br />

L<br />

<strong>de</strong> sorte que le maximum d’amplitu<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> atteigne <strong>la</strong> sortie à τ = 1 2 .<br />

La figure 2.3 montrent les résu<strong>la</strong>ts obtenus pour une on<strong>de</strong> <strong>de</strong> α l avec une sortie réfléchissante et<br />

non réfléchissante.<br />

Ils correspon<strong>de</strong>nt parfaitement à <strong>la</strong> solution analytique attendue quel que soit le type <strong>de</strong> condition<br />

aux limites. De plus, le coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée ne perturbe en rien <strong>la</strong> solution calculée.<br />

En revanche, les tracés à τ = 1 montrent <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s numériques qui se propagent vers l’amont<br />

à −u 0 . Lorsqu’ils atteignent l’entrée, ces “wiggles” génèrent une on<strong>de</strong> pseudo-physique qui se<br />

propage vers l’aval à u 0 et atteint le milieu du domaine quand τ = 2.<br />

L’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ces on<strong>de</strong>s parasites est toutefois assez faible : elle représente environ 0.15 % <strong>de</strong><br />

l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> initiale.<br />

28

Fig. 2.3 – Evolution temporelle <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> α l obtenus avec AVBP TPF entre τ = 0 et 2. Les<br />

calculs avec et sans traînée sont parfaitement superposés.<br />

On<strong>de</strong> acoustique<br />

Dans cette section, on utilise le temps sans dimension τ = t u 0+c<br />

L<br />

<strong>de</strong> sorte que le maximum<br />

d’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> atteigne <strong>la</strong> sortie à τ = 1 2 .<br />

Seul le cas où <strong>la</strong> condition <strong>de</strong> sortie est réfléchissante est présenté ici.<br />

La figure 2.4 montre <strong>la</strong> capacité du co<strong>de</strong> à prédire <strong>la</strong> propagation d’une on<strong>de</strong> acoustique dans<br />

un écoulement <strong>diphasique</strong> compressible dilué. Entre τ = 0 et 0.5, l’on<strong>de</strong> acoustique est bien une<br />

on<strong>de</strong> purement <strong>de</strong>scendante qui se dép<strong>la</strong>ce à u 0 + c.<br />

L’absence <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée aboutit à un résultat qui est i<strong>de</strong>ntique au cas monophasique<br />

29

et où <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas perturbée.<br />

Dans le cas où le coup<strong>la</strong>ge est activé, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est accélérée par <strong>la</strong> perturbation positive<br />

<strong>de</strong> u g au cours <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong>. La perturbation <strong>de</strong> u l se dép<strong>la</strong>ce vers l’amont plus<br />

lentement que u 0 + c car le nombre <strong>de</strong> Stokes <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas infiniment petit (cf.<br />

section 2.2.3).<br />

Dans le même temps, une perturbation locale <strong>de</strong> α l est créée. L’accélération <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

induit une accumu<strong>la</strong>tion suivie d’un déficit <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction volumique liqui<strong>de</strong>.<br />

La condition p ′ (L, t) = 0 à <strong>la</strong> sortie provoque <strong>la</strong> réflexion <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante à l’intérieur du<br />

domaine <strong>de</strong> calcul. Cette on<strong>de</strong> entrante qui se propage effectivement à u 0 − c vers l’amont est<br />

bien <strong>la</strong> symétrie <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante réduite en x du facteur 1+M<br />

1−M = 3.<br />

Les tracés à τ = 1.5 et 2 montrent <strong>de</strong>s trains d’on<strong>de</strong>s numériques qui se développent <strong>de</strong>rrière<br />

l’on<strong>de</strong> physique. Ces wiggles ne sont pas dus aux coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée, comme le montre le<br />

profil du calcul non couplés, mais à <strong>la</strong> dispersivité du schéma <strong>de</strong> discrétisation spatiale (<strong>de</strong> type<br />

centré). On peut noter par ailleurs que ces on<strong>de</strong>s numériques ne sont pratiquement pas transmises<br />

à <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> car le nombre <strong>de</strong> Stokes qui les caractérise est grand : <strong>la</strong> traînée effectue<br />

un filtrage <strong>de</strong>s fluctuations dont le temps caractéristique est inférieur au temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation<br />

(cf. section 1.5.1).<br />

En revanche, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est perturbée par l’on<strong>de</strong> remontante. L’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ces perturbations<br />

est plus faible dans ce sens que lors <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation <strong>de</strong>scendante car <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>,<br />

dont <strong>la</strong> vitesse est opposée à celle <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique, voit <strong>la</strong> perturbation <strong>de</strong> u g pendant un<br />

temps plus court.<br />

On s’intéresse à présent à l’effet <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition aux limites sur l’énergie acoustique.<br />

La figure 2.5 illustre ces interactions en représentant les termes impliqués dans l’équation (2.14).<br />

L’équilibre <strong>de</strong> l’énergie acoutique totale est correctement assuré pour le calcul couplé et non<br />

couplé, le déséquilibre étant <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 2 %.<br />

La pression étant imposée à <strong>la</strong> sortie (p ′ (x = L, t) = 0), le flux acoustique J à <strong>la</strong> frontière est<br />

nul. Toutes les pertes proviennent donc du terme convectif u 0 e t .<br />

30

Fig. 2.4 – Evolution temporelle <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> u g , u l , p et α l obtenus avec AVBP TPF entre<br />

τ = 0 et 2.<br />

31

Fig. 2.5 – Equilibre <strong>de</strong> l’énergie acoustique (Eq. (2.14)).<br />

2.3 Conclusion<br />

Le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques par AVBP TPF a été analysé dans<br />

le cadre <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation d’on<strong>de</strong>s acoustiques et <strong>de</strong> fraction volumique dans un écoulement<br />

<strong>diphasique</strong>.<br />

Les résultats obtenus correspon<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> très près aux solutions analytiques attendues, que les<br />

phases continue et dispersée soient ou non couplées par <strong>la</strong> traînée.<br />

D’une part, le calcul <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique révèle un comportement tout à fait analogue<br />

à celui d’une on<strong>de</strong> d’entropie, aucun coup<strong>la</strong>ge imprévu n’ayant été observé.<br />

D’autre part, le calcul <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique montre que dans un écoulement dilué, <strong>la</strong> phase<br />

gazeuse est faiblement perturbée par le coup<strong>la</strong>ge <strong>de</strong> traînée avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

En outre, les on<strong>de</strong>s numériques générées au niveau <strong>de</strong>s conditions aux limites ou par dispersivité<br />

ne se transmettent pas entre phases en raison <strong>de</strong> leur faible temps caractéristique.<br />

Enfin, l’étu<strong>de</strong> montre que les conditions aux limites non caractéristiques sur <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

sont suffisantes pour obtenir le comportement visé.<br />

32

Chapitre 3<br />

Evaporation dans un écoulement<br />

monodimensionnel<br />

3.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

Après avoir validé les conditions aux limites dans AVBP TPF et avant <strong>de</strong> s’intéresser au calcul <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong>, il est nécessaire d’étudier le phénomène d’évaporation sans <strong>combustion</strong>.<br />

En effet, <strong>la</strong> zone d’évaporation est un point essentiel du processus d’évaporation/<strong>combustion</strong><br />

car elle modifie considérablement l’écoulement qui <strong>la</strong> traverse en lui imposant <strong>de</strong>s transferts <strong>de</strong><br />

masse, d’espèces chimiques, <strong>de</strong> chaleur, et dans une moindre mesure, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

(cf. section 1.5.3). La connaissance précise <strong>de</strong>s conditions en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme nécessite donc<br />

un traitement correct <strong>de</strong> l’évaporation.<br />

Dans ce chapitre, on compare les résultats <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s du co<strong>de</strong> AVBP TPF avec <strong>la</strong> solution<br />

analytique pour un spray monodimensionnel dilué.<br />

3.2 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée<br />

La zone d’évaporation est un domaine monodimensionnel dans lequel un écoulement gazeux<br />

composé d’air pur en entrée entraîne <strong>de</strong>s gouttes d’éthanol qui s’évaporent avant d’atteindre <strong>la</strong><br />

sortie (cf. figure 3.1).<br />

Cette configuration permet <strong>de</strong> comparer les résultats d’AVBP TPF à ceux obtenus analytiquement<br />

avec le programme mis au point par Caroline Saulnier, lors <strong>de</strong> son stage <strong>de</strong> DEA (cf.<br />

Saulnier [18]). Cette solution théorique proposée par Lin et al. ([12] et [13]) repose sur <strong>de</strong>s<br />

hypothèses supplémentaires par rapport à celles formulées dans <strong>la</strong> section 1.4.1 :<br />

– le nombre <strong>de</strong> Spalding est constant et égal à <strong>la</strong> valeur en entrée ;<br />

– <strong>la</strong> température dans les gouttes est uniforme et constante au cours du temps ;<br />

– les <strong>de</strong>ux phases ont <strong>la</strong> même vitesse (nombre <strong>de</strong> Stokes infiniment petit) ;<br />

– <strong>la</strong> pression est constante ;<br />

– le problème est stationnaire.<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> résolution est décrite dans l’annexe A. On peut retenir qu’il s’agit d’une approche<br />

sensiblement différente <strong>de</strong> celle qui est suivie dans AVBP TPF.<br />

Afin <strong>de</strong> vérifier ces hypothèses, on étudie un spray faiblement chargé associé à un taux d’évaporation<br />

modéré. Les conditions <strong>de</strong> l’écoulement sont regroupées dans le tableau 3.1.<br />

33

U<br />

x<br />

entree<br />

fin <strong>de</strong><br />

l’evaporation<br />

sortie<br />

Fig. 3.1 – Configuration <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation.<br />

T g,0 u 0 Y ethanol T l,0 α l,0 d 0<br />

P 0<br />

Entrée 480 1.12 0 323 4.189.10 −5 30.10 −6 Sortie 101325<br />

Tab. 3.1 – Conditions aux limites du calcul d’évaporation (unités SI).<br />

3.3 Résultats et discussion<br />

La figure 3.2 présente les profils en x <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> fournis par <strong>la</strong> solution<br />

analytique et AVBP TPF. On peut noter en premier lieu <strong>la</strong> validité <strong>de</strong> l’hypothèse <strong>de</strong> pression<br />

constante, <strong>la</strong> variation calculée par AVBP TPF étant négligeable.<br />

En second lieu, on remarque que les évolutions sont les mêmes pour les <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> calculs et<br />

pour chaque variable.<br />

On note en particulier que <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T g est significative par rapport au chargement en<br />

∆T g<br />

T g,in<br />

carburant à l’entrée : vaut 1.25 % alors que κ 0 , le coefficient <strong>de</strong> chargement massique<br />

(cf. 2.16) ne vaut que 0.6 %. Ceci illustre l’importance du transfert <strong>de</strong> chaleur par évaporation.<br />

Les écarts observés s’expliquent par <strong>la</strong> différence dans <strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du gaz.<br />

La pression étant constante, <strong>la</strong> loi d’état reporte cet écart sur <strong>la</strong> masse volumique et, par conservation<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> masse, sur <strong>la</strong> vitesse du gaz 1 .<br />

Cette surestimation <strong>de</strong> <strong>la</strong> température dans <strong>la</strong> solution analytique a pour origine <strong>la</strong> sousestimation<br />

du taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur Π g en raison <strong>de</strong> l’hypothèse <strong>de</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

constante dans le temps (qui implique φ l = 0). En revanche, le très faible écart sur <strong>la</strong> fraction<br />

massique d’éthanol suggère que les <strong>de</strong>ux calculs prédisent <strong>de</strong> manière i<strong>de</strong>ntique l’évaporation.<br />

1 Le choix fait pour <strong>la</strong> comparaison <strong>de</strong>s calculs est le suivant : on impose une vitesse <strong>de</strong> gaz i<strong>de</strong>ntique pour les<br />

<strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> résolutions à <strong>la</strong> fin <strong>de</strong> l’évaporation.<br />

34

0.744<br />

Masse volumique du gaz<br />

Vitesse du gaz<br />

ρ (kg.m -3 )<br />

0.742<br />

0.740<br />

0.738<br />

0.736<br />

0.734<br />

0.732<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Température du gaz<br />

u g<br />

(m.s -1 )<br />

1.125<br />

1.120<br />

1.115<br />

1.110<br />

1.105<br />

1.100<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Pression<br />

480<br />

T g<br />

(K)<br />

478<br />

476<br />

474<br />

0.006<br />

0.005<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fraction massique d’éthanol<br />

P (Pa)<br />

101325.005<br />

101325.000<br />

101324.995<br />

101324.990<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Y ethanol<br />

0.004<br />

0.003<br />

0.002<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

0.001<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 3.2 – Profils <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse - Comparaison entre <strong>la</strong> solution analytique<br />

et le calcul par AVBP TPF.<br />

35

Fraction volumique <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

Diamètre moyen <strong>de</strong>s gouttes<br />

6e-06<br />

5e-06<br />

2.5e-05<br />

coupure<br />

α l (-)<br />

4e-06<br />

3e-06<br />

2e-06<br />

1e-06<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

d l<br />

(m)<br />

2.0e-05<br />

1.5e-05<br />

1.0e-05<br />

5.0e-06<br />

0.0e+00<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

4.1e+08<br />

Nombre <strong>de</strong> gouttes<br />

Vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

4.1e+08<br />

1.125<br />

n l<br />

(m -3 )<br />

4.0e+08<br />

4.0e+08<br />

u l<br />

(m.s -1 )<br />

1.120<br />

1.115<br />

1.110<br />

4.0e+08<br />

1.105<br />

4.0e+08<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

1.100<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

324.0<br />

Température <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

323.8<br />

T l<br />

(K)<br />

323.6<br />

323.4<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

323.2<br />

323.0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 3.3 – Profils <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> - Comparaison entre <strong>la</strong> solution analytique<br />

et le calcul par AVBP TPF.<br />

36

Fig. 3.4 – Profils du taux d’évaporation et <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur - Comparaison entre <strong>la</strong> solution<br />

analytique et le calcul par AVBP TPF.<br />

Cette observation est confirmée par l’analyse <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> (figure 3.3).<br />

Les courbes d’évolution sont tout à fait superposables pour <strong>la</strong> fraction volumique <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> et<br />

pour le diamètre <strong>de</strong>s gouttes.<br />

La différence que l’on observe sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> est liée à l’écart sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> gaz.<br />

Cette différence est imposée et accentuée par <strong>la</strong> traînée. Elle explique d’autre part <strong>la</strong> déviation<br />

du nombre <strong>de</strong> gouttes.<br />

En ce qui concerne <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>, l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> variation calculée par AVBP<br />

TPF est faible (inférieure au <strong>de</strong>gré K) bien que l’évolution soit rapi<strong>de</strong>. Dans un premier temps, le<br />

flux conductif Φ g dans le gaz dépasse le flux <strong>de</strong> chaleur Λ g − Λ l par évaporation (cf. Eq. (1.45)),<br />

d’où l’augmentation <strong>de</strong> T l . Une fois l’équilibre <strong>de</strong>s flux atteint, ce bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong>vient négatif en raison<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> baisse <strong>de</strong> Φ g liée à celle <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du gaz (cf. Eq. (1.44)), d’où <strong>la</strong> diminution <strong>de</strong><br />

T l .<br />

La solution analytique ne prend pas en compte ces effets puisqu’elle fait l’hypothèse <strong>de</strong> température<br />

liqui<strong>de</strong> constante. Or, en pratique, on a noté que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> en fin d’évaporation<br />

(T l,ev ) dépendait peu <strong>de</strong> sa valeur initiale. Pour une température <strong>de</strong> gaz donnée, <strong>la</strong> température<br />

<strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> évolue (<strong>de</strong> manière monotone ou non) vers <strong>la</strong> même valeur <strong>de</strong> T l,ev . La solution<br />

analytique fournit donc une condition initiale appropriée tant que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> est<br />

proche <strong>de</strong> T l,ev . Dans ce cas, l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> T l dans AVBP est minimisée.<br />

Il est cependant difficile <strong>de</strong> viser <strong>la</strong> bonne valeur <strong>de</strong> T l,ev avant d’effectuer le calcul avec AVBP<br />

(calcul nécessitant un temps <strong>de</strong> convergence re<strong>la</strong>tivement long en raison <strong>de</strong> l’explicitation temporelle).<br />

Afin <strong>de</strong> connaître cette valeur a priori, un programme <strong>de</strong> calcul a été écrit. Il résout<br />

l’écoulement <strong>de</strong> manière parabolique à partir <strong>de</strong> l’entrée vers les x croissants en appliquant sur<br />

les variables les termes source d’évaporation tels qu’ils sont calculés dans AVBP.<br />

Ce programme n’est pas utilisé pour initialiser AVBP car il présente une imprécision 2 plus gran<strong>de</strong><br />

que <strong>la</strong> résolution analytique dans le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction massique <strong>de</strong> carburant.<br />

2 en raison <strong>de</strong> son caractère explicite. Une correction par implicitation <strong>de</strong>s termes sources est envisagée.<br />

37

330<br />

Température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

pour différentes valeurs en entrée<br />

328<br />

325<br />

T l<br />

(K)<br />

322<br />

320<br />

AVBP : T l,in<br />

= 323 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 323 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 316 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 330 K<br />

318<br />

0 0.001 0.002 0.003<br />

x (m)<br />

Fig. 3.5 – Agrandissement en x <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> calculés par le co<strong>de</strong> parabolique<br />

pour différentes valeurs en entrée.<br />

La figure 3.5 montre <strong>de</strong>s calculs effectués par ce co<strong>de</strong> dans les mêmes conditions que le cas étudié<br />

pour différentes température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> en entrée (T l,in ).<br />

D’une part, <strong>la</strong> comparaison avec le calcul AVBP à T l,in = 323 K montre que le co<strong>de</strong> fournit<br />

une bonne prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>, en particulier en fin d’évaporation. D’autre<br />

part, on observe l’effet <strong>de</strong> l’équilibre <strong>de</strong>s flux <strong>de</strong> chaleur qui fait tendre tous les calculs vers <strong>la</strong><br />

même température finale T l,ev . On comprend également que l’erreur commise par <strong>la</strong> solution<br />

analytique peut être re<strong>la</strong>tivement gran<strong>de</strong> si dans ce cas T l,in est fixée à 316 K.<br />

On utilise donc <strong>la</strong> valeur <strong>de</strong> T ev prédite par le co<strong>de</strong> parabolique pour produire une solution<br />

initiale analytique du calcul AVBP.<br />

Les termes d’échanges par évaporation pour <strong>la</strong> phase gazeuse sont représentés sur <strong>la</strong> figure 3.4<br />

(Ils sont va<strong>la</strong>bles également pour <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> puisque Γ l = −Γ g (Eq. 1.11) et Π l = −Π g<br />

(Eq. 1.16).).<br />

On y observe une bonne corré<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s courbes analytiques et numériques <strong>de</strong>s taux <strong>de</strong> transferts.<br />

Les écarts sont maximum au début <strong>de</strong> l’évaporation là où <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l est <strong>la</strong> plus gran<strong>de</strong>.<br />

Note :<br />

Les profils <strong>de</strong>s variables liqui<strong>de</strong>s n’ont pas <strong>de</strong> sens au-<strong>de</strong>là <strong>de</strong> <strong>la</strong> distance d’évaporation car <strong>la</strong><br />

phase liqui<strong>de</strong> n’y est plus présente. Il sont conservés dans le calcul pour <strong>de</strong>s raisons purement<br />

numériques. Dans <strong>la</strong> pratique, le co<strong>de</strong> effectue une coupure lorsque α l ou d franchit une limite<br />

inférieure.<br />

38

3.4 Vérification <strong>de</strong>s hypothèses du modèle <strong>diphasique</strong><br />

On cherche à vérifier a posteriori <strong>la</strong> validité <strong>de</strong>s hypothèses formulées dans <strong>la</strong> section 1.4.1.<br />

L’analyse se base sur les nombres sans dimension <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> qui sont représentés sur les<br />

figures 3.6 et 3.7.<br />

3.4.1 Traînée <strong>de</strong> Stokes<br />

Sur <strong>la</strong> figure 3.6, on observe que, quelle que soit <strong>la</strong> position dans <strong>la</strong> zone d’évaporation, le<br />

Reynolds (Eq. 1.26) est très petit <strong>de</strong>vant 1. L’hypothèse <strong>de</strong> traînée <strong>de</strong> Stokes (cf. section 1.5.1)<br />

est donc tout à fait justifiée.<br />

Fig. 3.6 – Profils <strong>de</strong>s nombres sans dimension caractérisant les gouttes d’éthanol.<br />

3.4.2 Sphéricité <strong>de</strong>s gouttes<br />

La sphéricité <strong>de</strong>s gouttes est fonction <strong>de</strong>s effets déstabilisants du gaz environnant par rapport à<br />

l’effet stabilisant <strong>de</strong> <strong>la</strong> tension superficielle du liqui<strong>de</strong>. Ces effets sont caractérisés par les nombres<br />

sans dimension suivant :<br />

– Nombre <strong>de</strong> Weber :<br />

W e = ρ g ‖ u g − u l ‖ 2 d<br />

σ<br />

=<br />

inertie<br />

tension interfaciale<br />

39

où σ est <strong>la</strong> tension superficielle du liqui<strong>de</strong> ;<br />

– Nombre <strong>de</strong> Bond 3 :<br />

Bo = (ρ l − ρ g )gd 2<br />

σ<br />

=<br />

gravité<br />

tension interfaciale<br />

– Nombre capil<strong>la</strong>ire :<br />

Ca = ρ gν g ‖ u g − u l ‖ viscosité<br />

=<br />

σ tension interfaciale<br />

La figure 3.6 montre que quelles que soit l’abscisse, tous ces nombres sont très petit <strong>de</strong>vant 1.<br />

L’hypothèse <strong>de</strong> sphéricité est donc validée.<br />

3.4.3 modèle d’évaporation<br />

Loi du d 2<br />

On cherche à vérifier <strong>la</strong> loi dévolution linéaire du carré du diamètre <strong>de</strong>s gouttes en fonction<br />

du temps. Cette loi appelée “loi du d 2 ” est obtenue en intégrant l’équation 1.38 (cf. Kuo [11,<br />

chapitre 6]). Elle s’exprime sous <strong>la</strong> forme suivante :<br />

d 2 = d 2 0 − β v t (3.1)<br />

où d 0 est le diamètre <strong>de</strong>s gouttes en entrée et β v , <strong>la</strong> pente <strong>de</strong> <strong>la</strong> courbe d 2 = f(t), est donné par :<br />

β v = 4Nu ρ g<br />

ρ l<br />

D F −air ln(1 + B M )<br />

Le tracé <strong>de</strong> cette courbe 4 (figure 3.7), montre que <strong>la</strong> solution analytique vérifie <strong>la</strong> loi du d 2 avec<br />

l’exactitu<strong>de</strong> attendue. Le faible écart observé pour le calcul AVBP est dû au fait que β v , qui<br />

n’est pas rigoureusement constant dans le temps, est recalculé à chaque instant par le co<strong>de</strong>.<br />

Conductivité infinie<br />

Afin <strong>de</strong> vérifier l’hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie, on calcule le nombre <strong>de</strong> Fourier caractérisant<br />

les gouttes. Ce nombre sans dimension compare l’échelle <strong>de</strong> temps du problème à l’échelle <strong>de</strong><br />

temps caractéristique <strong>de</strong> <strong>la</strong> diffusion <strong>de</strong> chaleur.<br />

Pour une goutte <strong>de</strong> rayon r, il est donné par :<br />

F o = D th,l<br />

r 2 t = t<br />

τ th<br />

(3.2)<br />

où :<br />

– D th,l est <strong>la</strong> diffusivité thermique du liqui<strong>de</strong> ;<br />

– τ th est le temps diffusif, c’est-à-dire le temps mis par <strong>la</strong> diffusion thermique pour affecter <strong>la</strong><br />

goutte <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> surface jusqu’au centre.<br />

L’évolution temporelle du nombre <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>s gouttes d’éthanol est représentée sur <strong>la</strong> figure<br />

3.7.<br />

On constate que ce nombre est inférieur à 1 pendant plus <strong>de</strong> <strong>la</strong> moitié du temps <strong>de</strong> séjour <strong>de</strong>s<br />

gouttes. L’hypothèse <strong>de</strong> température uniforme semble donc sérieusement discutable. En pratique,<br />

3 On s’intéresse aux effets <strong>de</strong> gravité sur <strong>la</strong> déformation <strong>de</strong>s gouttes même si on les écarte dans les équations<br />

<strong>de</strong> conservation.<br />

4 Pour l’évolution temporelle, l’instant t correspond à ∫ x dx<br />

x 0 U l<br />

.<br />

40

Fig. 3.7 – Evolution temporelle du carré du diamètre et du nombre <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>s gouttes<br />

d’éthanol.<br />

<strong>la</strong> transport diffusif n’est pas le seul processus <strong>de</strong> chauffage <strong>de</strong>s gouttes : le transport convectif<br />

dû à <strong>la</strong> circu<strong>la</strong>tion interne <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> a tendance à uniformiser <strong>la</strong> température (cf. Sirignano [22,<br />

chapitre 2]). Enfin, ces effets ne sont certainement pas <strong>la</strong> plus gran<strong>de</strong> source d’imprécision dans<br />

le calcul d’un écoulement plus complexe.<br />

3.5 Conclusion<br />

La comparaison <strong>de</strong>s calculs d’AVBP TPF avec <strong>la</strong> solution analytique vali<strong>de</strong> le module d’évaporation<br />

du co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul.<br />

Les corré<strong>la</strong>tions sont bonnes voire très bonnes dans le cas étudié.<br />

En outre, <strong>la</strong> vérification a posteriori <strong>de</strong>s hypothèses formulées en section 1.4.1 montrent que les<br />

conditions <strong>de</strong> validité du modèle <strong>diphasique</strong> sont bien vérifiées.<br />

L’étape <strong>de</strong> validation suivante consisterait à confronter les résultats <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s d’AVBP avec<br />

les données expérimentales. Malheureusement, ce type <strong>de</strong> données semble difficile à obtenir pour<br />

les diamètres <strong>de</strong> gouttes typiques <strong>de</strong>s sprays en <strong>combustion</strong>. On dispose en revanche du co<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

référence PREMIX TPF développé par Giovangigli [4]. L’utilisation <strong>de</strong> ce co<strong>de</strong> fera l’objet <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> poursuite <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> menée dans cette section.<br />

41

Chapitre 4<br />

F<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire<br />

monodimensionnelle <strong>diphasique</strong><br />

4.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

L’hypothèse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire monodimensionnelle est un cadre très restrictif pour <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong><br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong>. Il s’agit cependant d’une étape préliminaire essentielle du calcul d’un<br />

écoulement réactif plus complexe. En effet, les calculs tridimensionnels turbulents <strong>de</strong> LES basés<br />

sur l’hypothèse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>melettes nécessitent une connaissance précise <strong>de</strong>s propriétés <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire associée : structure, vitesse <strong>de</strong> propagation, épaisseur du front <strong>de</strong><br />

f<strong>la</strong>mme, etc.<br />

Dans le cas où le carburant est injecté sous forme liqui<strong>de</strong>, <strong>la</strong> phase d’évaporation doit être<br />

prise en compte dans le calcul. La f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> combine donc <strong>de</strong>ux processus impliquant<br />

<strong>de</strong>s transferts <strong>de</strong> masse, d’espèces, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement et d’énergie : l’évaporation et <strong>la</strong><br />

<strong>combustion</strong>. La simplification opérée par <strong>la</strong> configuration <strong>la</strong>minaire à une dimension est alors<br />

d’autant plus nécessaire.<br />

4.2 C<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

4.2.1 Définition du diamètre critique<br />

On a montré dans <strong>la</strong> section 3.4.3 que <strong>la</strong> loi du d 2 fournit une bonne estimation du temps<br />

d’évaporation t ev .<br />

La re<strong>la</strong>tion 3.1 donne t ev quand on fixe d à 0 :<br />

t ev = d2 0<br />

β v<br />

(4.1)<br />

On peut caractériser ensuite le temps t f mis pour parcourir <strong>la</strong> distance l f qui s’épare l’entrée<br />

dans <strong>la</strong> zone d’évaporation du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme :<br />

On distingue alors <strong>de</strong>ux cas :<br />

t f = l f<br />

s L<br />

(4.2)<br />

1. t f > t ev : <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée avant d’atteindre <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

42

2. t f < t ev : une partie <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas totalement évaporée et atteint le front<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

On définit alors le diamètre critique en <strong>de</strong>ssous duquel <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée<br />

avant <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme. Il s’exprime par :<br />

√<br />

l f β v<br />

d c =<br />

(4.3)<br />

s L<br />

4.2.2 Définition <strong>de</strong>s richesses <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

Dans les formules <strong>de</strong> richesses utilisées ci-<strong>de</strong>ssous, le rapport stoechiométrique <strong>de</strong> masse s est<br />

défini comme étant le rapport <strong>de</strong>s fractions massiques d’oxydant et <strong>de</strong> carburant lorsque le<br />

mé<strong>la</strong>nge est dans les proportions stoechiométriques :<br />

s = Y O<br />

Y F<br />

∣<br />

∣∣∣stoechiométrie<br />

La présence du carburant dans les <strong>de</strong>ux phases conduit à plusieurs définitions <strong>de</strong> <strong>la</strong> richesse,<br />

réunies dans le tableau 4.2.2<br />

Richesse totale<br />

Richesse gazeuse<br />

Richesse liqui<strong>de</strong><br />

Richesse gazeuse<br />

prévaporée**<br />

φ t = s αgρgY F +α l ρ l<br />

α gρ gY O<br />

∣<br />

∣∣entrée<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant totale et<br />

d’oxydant à l’entrée*.<br />

φ g = s Y F<br />

Y O<br />

∣<br />

∣∣entrée<br />

φ l = s<br />

∣<br />

α l ρ l ∣∣entrée<br />

α gρ gY O<br />

φ f = s Y F<br />

Y O<br />

∣<br />

∣∣f<strong>la</strong>mme<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant gazeux<br />

et d’oxydant à l’entrée*.<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant liqui<strong>de</strong><br />

et d’oxydant à l’entrée*.<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant gazeux<br />

et d’oxydant en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme*.<br />

* re<strong>la</strong>tivement à s.<br />

** Le qualificatif prévaporé signifie les conditions à l’amont immédiat du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

Tab. 4.1 – Définition <strong>de</strong>s richesses pour une f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong>.<br />

Les trois premières définitions sont liées par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion suivante : φ t = φ g + φ l .<br />

4.2.3 C<strong>la</strong>ssification<br />

La figure 4.1 illustre <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes <strong>diphasique</strong>s selon les paramètres définis en 4.2.1<br />

et 4.2.2.<br />

Les quatre gran<strong>de</strong>s c<strong>la</strong>sses i<strong>de</strong>ntifiées correspon<strong>de</strong>nt à :<br />

1. La f<strong>la</strong>mme dite homogène où, tout le carburant liqui<strong>de</strong> est évaporé avant <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme. Que<br />

le mé<strong>la</strong>nge gazeux soit riche ou pauvre, il brûle à travers une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge ;<br />

2. La f<strong>la</strong>mme hétérogène pauvre (φ t < 1). A travers le front <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge,<br />

les gouttelettes non évaporées sont “allumées” en f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> diffusion 1 et brûlent jusqu’à<br />

épuisement du carburant ou <strong>de</strong> l’oxydant.<br />

1 Suivant les caractéristiques <strong>de</strong> l’écoulement <strong>diphasique</strong>, on observe une f<strong>la</strong>mme enveloppe ou une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong><br />

sil<strong>la</strong>ge ou encore <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong> gouttelettes en groupe (cf. Yule et Bo<strong>la</strong>do [29]).<br />

43

U 1<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

d < d c<br />

1<br />

phase<br />

gazeuse<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 2<br />

3<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ gaz brules<br />

4<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£<br />

gouttelette<br />

en evaporation<br />

d > d<br />

c<br />

φ < φ < 1<br />

f<br />

f<br />

φ < 1 < φ<br />

t<br />

t<br />

gouttelette en<br />

evaporation/<br />

<strong>combustion</strong><br />

1 < φ < φ<br />

f<br />

t<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£<br />

x<br />

sans phase liqui<strong>de</strong><br />

entree<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

sortie<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

Fig. 4.1 – Schéma <strong>de</strong>scriptif <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> homogène (1) et hétérogène (2, 3 et 4).<br />

(D’après Lin et al. [12].)<br />

3. La f<strong>la</strong>mme hétérogène pauvre dans le mé<strong>la</strong>nge gazeux (φ f < 1) mais globalement<br />

riche (φ t > 1). En aval du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme, les gouttelettes brûlent jusqu’à extinction par<br />

épuisement <strong>de</strong> l’oxydant, puis finissent <strong>de</strong> s’évaporer.<br />

4. La f<strong>la</strong>mme hétérogène riche (φ f > 1). En aval du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme, l’oxydant étant<br />

épuisé, les gouttelettes continuent <strong>de</strong> s’évaporer.<br />

Note :<br />

De façon usuelle, on parle <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes <strong>diphasique</strong>s pour désigner les mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> où le<br />

carburant est injecté sous forme liqui<strong>de</strong>. En toute rigueur, <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme est présente exclusivement<br />

dans le gaz car <strong>la</strong> réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> a lieu uniquement en phase gazeuse. Dans<br />

tous les cas, y compris pour <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> isolée <strong>de</strong> gouttelettes, le carburant s’évapore avant<br />

<strong>de</strong> brûler. Toutefois, même pour les f<strong>la</strong>mmes homogènes, on continuera à parler <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes<br />

<strong>diphasique</strong>s par opposition aux écoulements réactifs purement gazeux.<br />

4.3 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée<br />

4.3.1 Hypothèses<br />

Dans l’optique d’une approche simplifiée <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong>, on restreint l’écoulement<br />

au cadre suivant :<br />

– une seule dimension spatiale (f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne) ;<br />

– régime d’écoulement du gaz <strong>la</strong>minaire ;<br />

– f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> type homogène pauvre (cf. section 4.2), ce qui implique que :<br />

– <strong>la</strong> richesse totale φ t est inférieure à 1 ;<br />

– le carburant est totalement évaporé avant d’atteindre le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

44

– f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge : carburant et air sont mé<strong>la</strong>ngés en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

– <strong>la</strong> réaction chimique est décrite par un schéma cinétique à une seule étape irréversible<br />

(cf. section 1.5).<br />

4.3.2 Caractéristiques <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique<br />

La première étape <strong>de</strong> <strong>la</strong> mise en oeuvre du calcul <strong>diphasique</strong> est l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong><br />

prémé<strong>la</strong>nge monophasique.<br />

On fait le choix d’un carburant qui est liqui<strong>de</strong> dans les conditions standards : l’éthanol<br />

(C 2 H 5 OH).<br />

La réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong> l’éthanol dans l’air est <strong>la</strong> suivante :<br />

C 2 H 5 OH + 3 (O 2 + 3.76 N 2 ) −→ 2 CO 2 + 3 H 2 O + 11.28 N 2 (4.4)<br />

L’écoulement étudié est schématisé sur <strong>la</strong> figure 4.2.<br />

U 1<br />

S L<br />

gaz frais<br />

gaz brules<br />

x<br />

entree<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

sortie<br />

Fig. 4.2 – Schéma <strong>de</strong>scriptif <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge.<br />

Dans une f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge, <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> propagation du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme (vitesse<br />

<strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire) est principalement fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> cinétique <strong>de</strong> réaction et <strong>de</strong>s conditions<br />

<strong>de</strong> température et <strong>de</strong> pression <strong>de</strong>s gaz frais.<br />

C’est une caractéristique majeure <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme, que l’on définit par :<br />

∫ +∞<br />

−∞<br />

s L =<br />

˙ω F dx<br />

ρ 1 (YF 1 − Y F 2) (4.5)<br />

où l’indice 1 correspond aux gaz frais et l’indice 2 aux gaz brûlés.<br />

Le schéma cinétique réduit est donc déterminé <strong>de</strong> façon à reproduire <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire<br />

mesurée expérimentalement.<br />

La procédure d’ajustement du schéma opérée ici est <strong>la</strong> suivante :<br />

1. On dispose <strong>de</strong> données expérimentales (Hayashi et Kumagai [6]).<br />

2. On utilise un outil <strong>de</strong> référence pour le calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes p<strong>la</strong>nes <strong>la</strong>minaires prémé<strong>la</strong>ngées :<br />

PREMIX. Il s’agit d’un co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul développé par SANDIA National Laboratories<br />

résolvant les écoulements gazeux réactifs stationnaires et incompressibles en une dimension<br />

avec <strong>de</strong>s propriétés thermophysiques détaillées.<br />

Les coefficients n F , n O , β, A et E a <strong>de</strong> l’équation (1.32) sont ajustés <strong>de</strong> manière à faire<br />

coïnci<strong>de</strong>r les valeurs <strong>de</strong> s L calculées par PREMIX et les données exprérimentales pour une<br />

gamme <strong>de</strong> richesse al<strong>la</strong>nt <strong>de</strong> 0.6 à 1.1.<br />

45

La figure 4.3 montre le résultat (obtenu par essais successifs) <strong>de</strong> cette procédure.<br />

Fig. 4.3 – Comparaison entre les calculs <strong>de</strong> PREMIX muni d’un schéma cinétique ajusté et les<br />

données expérimentales [6] pour différentes richesses.<br />

Les coefficients du schéma cinétique correspondant à cet ajustement sont présentés dans le<br />

tableau 4.2.<br />

Coefficients n F n O β A (unités cgs) E a (cal.mol −1 )<br />

Valeurs ajustées 1.30 0.55 0.0 2.17.10 12 20000<br />

Tab. 4.2 – Coefficients du schéma cinétique à une étape ajusté avec PREMIX.<br />

Le schéma cinétique étant défini, on réalise un calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique avec AVBP. Les<br />

résultats du calcul PREMIX sont utilisés comme condition initiale et on impose les conditions<br />

aux limites du tableau 4.3.<br />

U in (m.s −1 ) T g,in (K) φ (-)<br />

Entrée 0.419 300 1.0<br />

P out (P a)<br />

Sortie 101325<br />

Tab. 4.3 – Conditions aux limites du calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique d’éthanol.<br />

La figure 4.4 montre une très bonne corré<strong>la</strong>tion entre les profils <strong>de</strong> température d’AVBP et<br />

<strong>de</strong> PREMIX. La température <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> calculée par PREMIX est prédite avec une<br />

précision <strong>de</strong> 0.7 %. En réalité, les <strong>de</strong>ux logiciels ne prennent pas en compte les effets <strong>de</strong> dissociation<br />

qui font que <strong>la</strong> température adiabatique <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme réellement mesurée pour une richesse<br />

46

<strong>de</strong> 1 et <strong>de</strong>s réactifs initialement dans les conditions standards vaut 2155 K (Borman [2]) au lieu<br />

<strong>de</strong>s 2350 K calculés par AVBP.<br />

Fig. 4.4 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> température calculés par PREMIX et AVBP.<br />

On examine ensuite <strong>la</strong> structure <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme à travers un agrandissement en x <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong><br />

fractions massiques 2 <strong>de</strong>s réactifs et <strong>de</strong>s produits (figure 4.5).<br />

Fig. 4.5 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> fractions massiques calculés par PREMIX et AVBP.<br />

AVBP fournit bien les résultats attendus pour ce type <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme : les fractions massiques<br />

2 Pour les autres variables, se reporter à l’annexe B.<br />

47

forment <strong>de</strong>s courbes sigmoï<strong>de</strong>s, décroissantes pour les réactifs, croissantes pour les produits. En<br />

aval <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme les fractions massiques <strong>de</strong>s réactifs ten<strong>de</strong>nt toutes <strong>de</strong>ux vers 0 car le mé<strong>la</strong>nge<br />

est stoechiométrique.<br />

Les résultats fournis par les <strong>de</strong>ux co<strong>de</strong>s sont tout à fait comparables.<br />

Les différences que l’on observe sont principalement dues au léger dép<strong>la</strong>cement vers l’amont du<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme calculés par AVBP. En effet, alors que PREMIX effectue un calcul stationnaire,<br />

AVBP réalise un calcul instationnaire que l’on rend stationnaire si on fixe exactement <strong>la</strong> vitesse<br />

en entrée u in égale à s L .<br />

4.3.3 Caractéristiques <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

Le calcul monophasique validé, on s’intéresse à présent à <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

d’éthanol décrite en 4.3.1.<br />

Les valeurs <strong>de</strong>s conditions aux limites fixées sont groupées dans le tableau 4.4.<br />

U in (m.s −1 ) T g,in (K) φ g φ l T l,in (K) α l,in d in (µm)<br />

Entrée 0.47385 480 0 0.7 315 7.963.10 −5 30<br />

P out (P a)<br />

Sortie 101325<br />

Tab. 4.4 – Conditions aux limites du calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> d’éthanol.<br />

Calculer une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge nécessite une condition initiale “allumée”, c’est-à-dire une<br />

solution où <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme existe déjà dans le domaine <strong>de</strong> calcul. En effet, si on se contentait ici<br />

d’initialiser <strong>la</strong> zone d’évaporation sans f<strong>la</strong>mme, le taux <strong>de</strong> réaction dans le mé<strong>la</strong>nge gazeux<br />

serait tellement faible que le point d’inf<strong>la</strong>mmation serait rejeté à l’infini. Il s’agit du problème<br />

<strong>de</strong> frontière froi<strong>de</strong> décrit par Williams [28]. Pour le résoudre, on initialise <strong>la</strong> zone <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme à<br />

l’ai<strong>de</strong> d’un modèle analytique <strong>de</strong> type Echekki Ferziger pour un gaz multi-espèces à partir <strong>de</strong>s<br />

conditions en aval <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation (initialisée analytiquement elle aussi (cf. chapitre 3)).<br />

4.4 Résultats et discussion<br />

Dans cette section, on compare les résultats du calcul AVBP TPF et <strong>la</strong> solution théorique<br />

d’évaporation/<strong>combustion</strong>.<br />

La figure 4.6 présente l’évolution spatiale <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse.<br />

On note premièrement une bonne corré<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> résolution. Les principales<br />

différences sont causées par <strong>la</strong> surestimation, par <strong>la</strong> solution analytique, <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du<br />

gaz dans <strong>la</strong> zone d’évaporation (cf. section 3.3).<br />

Le profil <strong>de</strong> pression illustre l’effet <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition caractéristique re<strong>la</strong>xée en sortie qui autorise<br />

un léger écart par rapport à <strong>la</strong> condition purement réfléchissante décrite dans le chapitre 2. De<br />

plus, on constate l’effet non dissipatif du schéma centré : <strong>la</strong> pression est bruitée par les on<strong>de</strong>s<br />

numériques qui se propagent dans le domaine. Toutefois, grâce aux conditions partiellement<br />

réfléchissantes, ce bruit ne représente que 5 millionièmes <strong>de</strong> <strong>la</strong> valeur nominale, ce qui permet<br />

<strong>de</strong> distinguer <strong>la</strong> diminution <strong>de</strong> pression due à l’accélération <strong>de</strong> l’écoulement à travers <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

En outre, <strong>la</strong> coïnci<strong>de</strong>nce précise <strong>de</strong>s fronts montre que l’on peut maintenir <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme stationnaire<br />

durant toute <strong>la</strong> durée <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> (ici 54.4 ms soit environ 2.7 fois le temps convectif) alors<br />

48

qu’on ne contrôle pas <strong>la</strong> vitesse du gaz à l’aval immédiat <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme mais à l’entrée <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone<br />

d’évaporation.<br />

La figure 4.7 illustre les transferts d’espèces chimiques dus successivement à l’évaporation et à<br />

<strong>la</strong> <strong>combustion</strong>. L’apparition du carburant dans <strong>la</strong> phase gazeuse par évaporation est suivie <strong>de</strong><br />

sa disparition (totale car φ < 1) dans <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

On note également que <strong>la</strong> corré<strong>la</strong>tion du calcul AVBP et <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique est re<strong>la</strong>tivement<br />

bonne pour tous les profils d’espèces.<br />

Les écarts <strong>de</strong> vitesses dans <strong>la</strong> phase gazeuse se traduisent par une différence sur <strong>la</strong> vitesse liqui<strong>de</strong><br />

u l et sur <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> gouttes n (figure 4.8).<br />

D’autre part, le profil du diamètre <strong>de</strong> gouttes montre que <strong>la</strong> distance d’évaporation a augmenté<br />

d’environ 10 % entre <strong>la</strong> solution analytique et le calcul AVBP. Cette différence a principalement<br />

pour origine l’imprécision <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique pour les écoulements plus chargés.<br />

Sur cette figure, on observe également que <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> température dans <strong>la</strong> goutte n’est pas<br />

négligeable, contrairement à l’hypothèse <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution théorique (cf. section 3.3).<br />

Lorsqu’on observe les termes source d’évaporation (cf. 4.9), on retrouve les écarts dus :<br />

– pour le taux d’évaporation, à <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l qui modifie <strong>la</strong> pression partielle <strong>de</strong> carburant<br />

à l’interface liqui<strong>de</strong>/gaz (Eq. (1.40)) donc le nombre <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> Spalding ;<br />

– pour le taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur, à <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l qui modifie Γ g donc Λ g (Eq. 1.43) et<br />

à celle <strong>de</strong> (T g − T l ) qui modifie Φ g (Eq. 1.44).<br />

Fig. 4.6 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> variables gazeuses obtenus par AVBP et par le calcul<br />

analytique.<br />

49

Fig. 4.7 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> fractions massiques <strong>de</strong>s espéces obtenus par AVBP et par<br />

le calcul analytique.<br />

50

Fig. 4.8 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> variables liqui<strong>de</strong>s obtenus par AVBP et par le calcul<br />

analytique.<br />

51

Taux d’évaporation<br />

Taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur<br />

6<br />

0.0e+00<br />

5<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

-1.0e+06<br />

4<br />

Γ g<br />

(kg.m -3 .s -1 )<br />

3<br />

Π g<br />

(J.m -3 .s -1 )<br />

-2.0e+06<br />

-3.0e+06<br />

2<br />

1<br />

-4.0e+06<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

-5.0e+06<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 4.9 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> termes sources d’évaporation obtenus par AVBP et par<br />

le calcul analytique.<br />

4.5 Conclusion<br />

Le co<strong>de</strong> AVBP TPF a été validé dans un cas simple <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> : <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne<br />

homogène <strong>la</strong>minaire. La comparaison avec <strong>la</strong> solution analytique a permis <strong>de</strong> vérifier les paramètres<br />

importants <strong>de</strong> ce type d’écoulement : <strong>la</strong> longueur d’évaporation, <strong>la</strong> richesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme,<br />

<strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> propagation et <strong>la</strong> température <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> <strong>combustion</strong>. Ce type <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme présente<br />

un comportement tout à fait semb<strong>la</strong>ble à celui d’une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge monophasique car<br />

évaporation et <strong>combustion</strong> ne s’y produisent pas simultanément.<br />

Les prochaines étapes consisteront d’une part, à confronter les calculs d’AVBP TPF à ceux <strong>de</strong><br />

PREMIX TPF (cf. section 3.5) ; d’autre part, à abor<strong>de</strong>r le problème <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes hétérogènes<br />

dans lequel le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme est positionné à l’intérieur <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation.<br />

52

Conclusion et perspectives<br />

Ce stage <strong>de</strong> DEA a permis d’abor<strong>de</strong>r un domaine <strong>de</strong> recherche qui couvre plusieurs thèmes :<br />

les écoulements <strong>de</strong> gaz compressibles, le transfert <strong>de</strong> chaleur et <strong>de</strong> masse entre phases, les<br />

écoulements à phase dispersée et <strong>la</strong> cinétique chimique.<br />

D’une part, l’étu<strong>de</strong> bibliographique a fourni les bases théoriques pour comprendre ces différents<br />

thèmes et <strong>la</strong> façon <strong>de</strong> les traiter dans le cadre d’une <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique en <strong>combustion</strong>.<br />

D’autre part, l’application numérique <strong>de</strong> cette théorie à travers les différentes étapes <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

validation du co<strong>de</strong> AVBP TPF a constitué une expérience formatrice.<br />

Les principaux résultats <strong>de</strong> cette démarche sont les suivants :<br />

– L’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les conditions aux limites <strong>de</strong> l’écoulement <strong>diphasique</strong><br />

a montré que les propriétés <strong>de</strong>s conditions caractéristiques étaient conservées et aucun effet<br />

<strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge inattendu n’a été observé.<br />

– Une adaptation <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique <strong>de</strong> l’évaporation monodimensionnelle pour les écoulements<br />

<strong>de</strong> gaz multi-espèces a été réalisée, augmentée d’un programme <strong>de</strong> résolution parabolique<br />

pour <strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>. La comparaison <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique<br />

et du calcul avec AVBP TPF a permis <strong>de</strong> vali<strong>de</strong>r le co<strong>de</strong> sur le problème d’évaporation dans<br />

un écoulement à une dimension.<br />

– Le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire en <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> homogène a<br />

été validé par comparaison avec <strong>la</strong> solution théorique. Il a mis en évi<strong>de</strong>nce que dans ce cas, le<br />

seul coup<strong>la</strong>ge se fait par les valeurs <strong>de</strong>s variables qui relient <strong>la</strong> fin <strong>de</strong> l’évaporation à <strong>la</strong> zone<br />

<strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme. Ce calcul a montré également <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tive aisance avec <strong>la</strong>quelle on peut mener un<br />

calcul <strong>diphasique</strong> réactif grâce à l’approche eulérienne.<br />

L’étape qui suit logiquement cette étu<strong>de</strong> consiste à confronter les résultats <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

homogène avec les données expérimentales disponibles et le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> référence PREMIX<br />

TPF.<br />

Enfin, cette <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> monodimensionnelle d’une f<strong>la</strong>mme homogène doit être vue comme le<br />

prélu<strong>de</strong> à <strong>de</strong>s investigations plus poussées dans le domaine <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes hétérogènes. La maîtrise<br />

du calcul numérique <strong>de</strong>s différents mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> combusion permettra alors <strong>de</strong> se tourner vers <strong>de</strong>s<br />

géométries d’écoulement plus complexes telles que les chambres <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> aéronautiques et<br />

les brûleurs.<br />

53

Bibliographie<br />

[1] R. Ben Dakhlia. Combustion <strong>la</strong>minaire <strong>diphasique</strong> : Etu<strong>de</strong> théorique et expérimentale. PhD<br />

thesis, Ecole Centrale Paris, 1998.<br />

[2] G. L. Borman and K. W. Rag<strong>la</strong>nd. Combustion Engineering. Mac Graw-Hill, 1998.<br />

[3] B. Cuenot, A. Kaufmann, J.B. Mossa, and S. Pascaud. AVBP TPF V5.1 - Notations,<br />

Equations, Mo<strong>de</strong>ls, Demonstrations. CERFACS, 2003.<br />

[4] V. Giovangigli. Un logiciel <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes p<strong>la</strong>nes <strong>la</strong>minaires. CMAP-CNRS, 2003.<br />

[5] W.G. Gray and P.C.Y. Lee. On the theorems for local volume averaging of multiphase<br />

systems. International Journal of Multiphase Flow, 3 :333–340, 1977.<br />

[6] S. Hayashi and Kumagai S. F<strong>la</strong>me propagation in fuel droplet-vapor-air mixtures. In<br />

Pittsburg The Combustion Institute, editor, Fifteenth Symposium (International) on Combustion,<br />

pages 445–452, 1974.<br />

[7] J. He and O. Simonin. Modélisation numérique <strong>de</strong>s écoulements turbulents gaz-soli<strong>de</strong>s en<br />

conduite verticale. Technical Report HE-44/94/021A, EDF, 1994.<br />

[8] F.A. Howes and S. Whitaker. The spatial averaging theorem revisited. Chemical Engineering<br />

Science, 40/8 :1387–1392, 1985.<br />

[9] A. Kaufmann. Reflections on the implementation of a two phase flow mo<strong>de</strong>l in avbp.<br />

Technical report, CERFACS, 2002.<br />

[10] A. Kaufmann, O. Simonin, T. Poinsot, and J. Helie. Dynamics and dispersion in eulerieneulerien<br />

two-phase-flows. Proceedings of the Summer Programm 2002, Center for Turbulence<br />

Research, 2002.<br />

[11] K. Kuan-yun Kuo. Principles of Combustion. John-Wiley & Sons, 1986.<br />

[12] T. H. Lin, C. K. Law, and S. H. Chung. Theory of <strong>la</strong>minar f<strong>la</strong>me propagation in offstoichiometric<br />

dilute sprays. International Journal of Heat and Mass Transfer, 31 :1023–<br />

1034, 1988.<br />

[13] T. H. Lin and Y. Y. Sheu. Theory of <strong>la</strong>minar f<strong>la</strong>me propagation in near-stoichiometric<br />

dilute sprays. International Journal of Heat and Mass Transfer, 84 :333–342, 1991.<br />

[14] S. Pascaud. Etu<strong>de</strong> monophasique et <strong>diphasique</strong> <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes <strong>la</strong>minaires monodimensionnelles.<br />

ENSEEIHT, 2002.<br />

[15] T. Poinsot and S.K. Lele. Boundary conditions for direct <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> of compressible viscous<br />

flows. Journal of Computational Physics, 101 :104–129, 1992.<br />

[16] T. Poinsot and D. Veynante. Theoretical and Numerical Combustion. Edwards, 2001.<br />

[17] E. Riber. Modélisation et calcul <strong>de</strong> jets <strong>diphasique</strong>s. ENSEEIHT, 2003.<br />

[18] C. Saulnier. Analyse théorique et <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique d’une f<strong>la</strong>mme monodimensionnelle<br />

<strong>la</strong>minaire <strong>diphasique</strong>. MATMECA, 2002.<br />

54

[19] T. Schönfeld. The AVBP Handbook V5.2. CERFACS, 2003.<br />

[20] W.T. Sha, B.T. Chao, and S.L. Soo. Time- and volume- averaged conservation equations<br />

for multiphase flow. In X.-J. Chen, T.N. Veziroglu, and C.L. Tren, editors, Multiphase Flow<br />

and Heat Transfer, pages 1028–1046, 1989.<br />

[21] O. Simonin. Combustion and turbulence in two phase flows. Von Karman Institute for<br />

Fluid Dynamics, 1996.<br />

[22] W. A. Sirignano. Fluid dynamics and transport of droplets and sprays. Cambridge University<br />

Press, 1999.<br />

[23] K. W. Thompson. Time <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt boundary conditions for hyperbolic systems. Journal<br />

of Computational Physics, 68 :1–24, 1987.<br />

[24] P. Versaevel. Combustion <strong>la</strong>minaire <strong>diphasique</strong> : Etu<strong>de</strong> théorique et expérimentale. PhD<br />

thesis, Ecole Centrale Paris, 1996.<br />

[25] P.L. Viollet and O. Simonin. Aérodynamique <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong>. première partie : Introduction<br />

à <strong>la</strong> modélisation <strong>de</strong>s écoulements constitués d’une phase continue contenant <strong>de</strong>s<br />

inclusions dispersées en mouvement. Cours Ecole Nationale <strong>de</strong>s Ponts et Chaussées, 1993.<br />

[26] S. Whitaker. A simple geometrical <strong>de</strong>rivation of the spatial averaging theorem. Chemical<br />

Engineering Education, Winter 1985 :18–21,50–52, 1985.<br />

[27] S. Whitaker. The method of volume averaging. Kluwer Aca<strong>de</strong>mic Publishers, 1999.<br />

[28] F. A. Williams. Combustion theory. Benjamin Cummings, 1985.<br />

[29] A. J. Yule and R. Bo<strong>la</strong>do. Fuel spray burning regime and initial conditions. Combustion<br />

and F<strong>la</strong>me, 55 :1–12, 1984.<br />

55

ANNEXES<br />

56

Annexe A<br />

Solution analytique du problème<br />

d’évaporation<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> résolution analytique du problème d’évaporation monodimensionnel est décrite<br />

<strong>de</strong> façon succinte dans cet annexe 1 .<br />

Les hypothèses supposées dans <strong>la</strong> solution théorique proposée par Lin et al. ([12] et [13]) sont<br />

les suivantes :<br />

– le problème est stationnaire ;<br />

– le nombre <strong>de</strong> Spalding est constant et égal à <strong>la</strong> valeur en entrée (cf. section 1.5.3) ;<br />

– <strong>la</strong> température dans les gouttes est uniforme et constante au cours du temps ;<br />

– les <strong>de</strong>ux phases ont <strong>la</strong> même vitesse u (nombre <strong>de</strong> Stokes infiniment petit) ;<br />

– <strong>la</strong> pression est constante ;<br />

– le produit ρ g D F −air , <strong>la</strong> conductivité thermique du gaz λ g et <strong>la</strong> chaleur massique à pression<br />

constante C pg sont constants.<br />

Sous ces hypothèses, les équations (1.17), (1.18) et (1.22) se réduisent à :<br />

On définit <strong>la</strong> masse volumique du mé<strong>la</strong>nge par :<br />

d<br />

dx (ρ gu) = Γ g (A.1)<br />

d<br />

dx (ρ d 2<br />

guY F ) − ρ g D F −air<br />

dx 2 (Y F ) = Γ g (A.2)<br />

d<br />

dx (ρ d 2<br />

guC pg T g ) − λ g<br />

dx 2 (T g) = h l (T l )Γ g (A.3)<br />

(A.4)<br />

ρ m = ρ = α g ρ g + α l ρ l<br />

(A.5)<br />

D’après l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse du mé<strong>la</strong>nge, on a :<br />

ρu = F = constante = ρ in u in<br />

(A.6)<br />

On effectue ensuite le changement <strong>de</strong> variable Z = ρg<br />

ρ<br />

1 Pour une <strong>de</strong>scription en détail, voir le rapport <strong>de</strong> stage <strong>de</strong> C. Saulnier [18].<br />

qui mène aux équations suivantes :<br />

57

d<br />

dx (ZY F ) − ρ gD F −air<br />

F<br />

d<br />

dx (ZT g) −<br />

d 2<br />

Z dZ<br />

dx = A 1 T g<br />

(1 − Z in ) 2/3 (1 − Z) 1/3 (A.7)<br />

dx 2 (Y F ) = dZ<br />

dx<br />

d 2 T g<br />

dx 2 = h l(T l )<br />

λ g<br />

C pg F<br />

C pg<br />

dZ<br />

dx<br />

avec A = 3Shρ gλ g ln (1 + B) pW<br />

2ρ l Rr 2 inF<br />

Posons β = 1−Z<br />

1−Z in<br />

. Les équations (A.7) à (A.9) s’écrivent alors :<br />

(A.8)<br />

(A.9)<br />

(A.10)<br />

− dβ<br />

dx + (1 − Z in) β dβ<br />

dx = A T g<br />

β 1/3 (A.11)<br />

dY F<br />

dx − (1 − Z in) d<br />

dx (βY F ) − [ρD] g d 2 Y F<br />

F dx 2 = − (1 − Z in ) dβ<br />

dx<br />

dT g<br />

dx − (1 − Z in) d<br />

dx (βT g) −<br />

λ g d 2 T g<br />

C pg F dx 2 = − h l(T l )<br />

(1 − Z in ) dβ<br />

C pg dx<br />

(A.12)<br />

(A.13)<br />

avec les conditions aux limites suivantes :<br />

⎧<br />

⎨ β (x = 0) = 1 ; β (x = x ev ) = 0<br />

d<br />

Y<br />

⎩ F (x = 0) = Y F,in ;<br />

dx (Y F ) (x = x ev ) = 0<br />

d<br />

T g (x = 0) = T g,in ;<br />

dx (T g) (x = x ev ) = 0<br />

(A.14)<br />

La résolution à l’ordre 0 <strong>de</strong> l’équation (A.11) (cf. Saulnier [18]) donne une approximation <strong>de</strong> Z :<br />

(<br />

Z(x) = 1 − (1 − Z in ) − 2A ) 3/2<br />

x + 1<br />

(A.15)<br />

3T g,in<br />

Les équations (A.12) et (A.13) avec les conditions aux limites (A.14) sont alors résolues numériquement<br />

<strong>de</strong> façon itérative 2 .<br />

2 La résolution purement analytique <strong>de</strong> ces équations est possible à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> développements asymptotiques<br />

mais elle fournit <strong>de</strong>s résultats moins précis.<br />

58

Annexe B<br />

Profils <strong>de</strong>s Variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monophasique prémé<strong>la</strong>ngée<br />

d’éthanol<br />

59

2<br />

Masse volumique (kg.m -3 )<br />

4<br />

Vitesse (m.s -1 )<br />

1.5<br />

3<br />

1<br />

2<br />

0.5<br />

1<br />

101350<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Pression (Pa)<br />

3000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Temperature (K)<br />

101345<br />

101340<br />

101335<br />

101330<br />

101325<br />

2500<br />

2000<br />

1500<br />

1000<br />

500<br />

101320<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

5e+09<br />

Degagement <strong>de</strong> chaleur (J.m -3 .s -1 )<br />

4000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Taux <strong>de</strong> reaction (mol.m -3 .s -1 )<br />

4e+09<br />

3e+09<br />

2e+09<br />

1e+09<br />

3000<br />

2000<br />

1000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Fig. B.1 – Comparaison <strong>de</strong>s profils spatiaux <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme prémé<strong>la</strong>ngée d’éthanol<br />

obtenus par PREMIX et AVBP (Schéma Lax-Wendroff).<br />

60

logo

Produits

Ressources

Entreprises

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!