Performances et stabilité des avions

Performances et stabilité des avions
Gérard Degrez
Automne 2001

Table des matières
1 Performances des avions 3
1.1 Conventions de la mécanique du vol . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 L’atmosphère standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Altitude et vitesse de l’avion . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vol en palier horizontal stabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Équations d’équilibre — Conséquences immédiates . . . 6
1.2.2 Poussée requise, limitations — calcul des performances
pour un avion à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Puissance requise — calcul des performances pour un
avion à hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Distance franchissable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Endurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Vol stabilisé incliné (montée/descente) . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Conséquences des équations d’équilibre . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Cas particulier : le vol plané . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum . . . . . . 21
1.3.4 Temps de montée. Méthode de l’énergie totale . . . . . . 23
1.4 Manœuvres — Enveloppe de manœuvre . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Décollage et atterrissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 La ressource — Notion de facteur de charge . . . . . . . . 30
1.4.3 Le vol en virage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.4 Charges dues aux rafales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Stabilité statique et guidage 37
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Stabilité statique longitudinale manche fixe . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Critère de stabilité statique longitudinale et implications 38
2.2.2 Moment de tangage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Point neutre manche fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux . . . . 46
2.3.1 Angle de gouverne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Couple de charnière et effort dans le manche . . . . . . . 50
2.3.3 Point neutre manche libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.4 Compensateurs et gradient de force dans le manche . . . 55
2.4 Stabilité statique latérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iii

iv
TABLE DES MATIÈRES
2.4.1 Notations et remarques préalables . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Stabilité directionnelle et guidage . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.3 Stabilité en roulis et guidage . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Équations générales du mouvement 69
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Contribution des rotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Résumé et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Théorie des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Linéarisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Forces et couples aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Forme adimensionnelle des équations . . . . . . . . . . . 80
3.3.4 Dérivées aérodynamiques dimensionnelles . . . . . . . . 82
4 Dérivées de stabilité 85
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Dérivées longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Dérivées par rapport à α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Dérivées par rapport à u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3 Dérivées par rapport à q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.4 Dérivées par rapport à ˙α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Dérivées latérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.1 Dérivées par rapport à β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Dérivées par rapport à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.3 Dérivées par rapport à r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Stabilité dynamique 103
5.1 Solution générale des équations des petites perturbations . . . . 103
5.2 Modes longitudinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Cas illustratif d’un long-courrier à réaction . . . . . . . . 106
5.2.2 Approximation des modes longitudinaux . . . . . . . . . 113
5.2.3 Stabilité statique longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.4 Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux . 117
5.3 Modes latéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1 Cas illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2 Approximation des modes latéraux . . . . . . . . . . . . . 128
6 Réponse aux commandes 133
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Guidage longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.2 Guidage latéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.3 Solution des problèmes de réponse aux commandes . . . 134
6.2 Réponse longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.1 Réponse à la gouverne de profondeur . . . . . . . . . . . 137

TABLE DES MATIÈRES
v
6.2.2 Réponse à la commande de poussée . . . . . . . . . . . . 145
6.3 Réponse latérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.1 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.2 Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A L’atmosphère standard 159
B Aspects physiologiques du vol 161
C Forme adimensionnelle des équations 165

vi
TABLE DES MATIÈRES

Introduction
L’objet de ce cours est l’étude du vol atmosphérique, c’est-à-dire du mouvement
des avions en vol. Pour cette étude, plusieurs niveaux d’approximation
sont possibles, qui correspondent chacun à des échelles de temps caractéristiques
différents :
Point matériel Ce niveau d’approximation correspond à des échelles de temps
caractéristiques longs (plusieurs minutes) et permet, par l’analyse de
l’équilibre des forces sur l’avion, de déterminer ses performances.
Solide indéformable On s’intéresse à ce niveau à des échelles de temps caractéristiques
moyens (de l’ordre de quelques secondes à quelques dizaines
de secondes). L’analyse de l’équilibre des forces et des moments
sur l’avion permet d’en déterminer les caractéristiques de stabilité et de
réponse aux commandes (guidage).
Solide déformable Ce niveau correspond à des échelles de temps caractéristiques
encore plus courts (typiquement inférieurs à la seconde). On
s’intéresse alors au couplage entre les modes globaux du mouvement et
les modes de vibration de la structure élastique de l’avion : c’est l’objet
de l’aéroélasticité.
On se limitera dans ce cours aux deux premiers niveaux d’approximation, que
l’on a coutume de rassembler sous le vocable de mécanique du vol.
Évidemment, s’agissant de vol atmosphérique, la majeure partie des forces
et couples s’exerçant sur l’avion sont d’origine aérodynamique. Le cours exige
donc une bonne connaissance des caractéristiques aérodynamiques des surfaces
portantes, qui sont étudiées dans les cours de mécanique des fluides (I
et II). À toutes fins utiles, on trouvera une synthèse sur les forces et couples aérodynamiques
sur les avions dans les références bibliographiques [1, 2, 3, 4].
1

2 INTRODUCTION

Chapitre 1
Performances des avions
1.1 Conventions de la mécanique du vol
1.1.1 L’atmosphère standard
Les performances d’un avion dépendent grandement des propriétés physiques
(densité, température, pression) de l’air dans lequel il vole. Pour pouvoir
comparer les performances de divers appareils, on devra les placer dans
des conditions atmosphériques semblables. Pour ce faire, on est convenu
d’effectuer les calculs de performances dans une atmosphère standard internationale
(ISA). Cette atmosphère représente assez bien les conditions de
température et de pression moyennes sur l’année pour les climats tempérés
d’Europe et d’Amérique du Nord 1 . Les conventions de l’atmosphère standard
sont les suivant :
– l’air est assimilé à un gaz parfait avec une constante massique R = 287 J/kg K,
– l’air est sec,
– le vent météorologique est nul (pas de turbulence atmosphérique),
– l’atmosphère est en équilibre hydrostatique, c’est-à-dire
dp = −ρg(h) dh (1.1)
où h est l’altitude au-dessus du niveau de la mer. On peut encore réécrire
cette équation d’équilibre sous la forme
dp = −ρg 0 dH (1.2)
en définissant l’altitude géopotentielle H par dH = g(h)/g 0 dh où g 0 est
l’accélération de la gravité au niveau de la mer 2 .
1 Il existe également des atmosphères standard représentant des conditions extrêmes, tropicale
et polaire, voir plus avant.
2 À titre indicatif, la relation entre altitude vraie et altitude géopotentielle aux latitudes
moyennes est tabulée ci-dessous.
H (m) 0 5000 11000 20000 47000
h (m) 0 5004 11019 20063 47350
3

4 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
Avec ces conventions, la spécification de la distribution de température en
fonction de l’altitude (géopotentielle) suffit à déterminer les conditions thermodynamiques
en fonction de l’altitude. En effet, en combinant l’équation
d’équilibre hydrostatique (1.2) et l’équation d’état des gaz parfaits p = ρRT,
on obtient
dp
p = − g 0
dH (1.3)
RT(H)
qui permet de calculer la distribution de pression pour autant que l’on spécifie
la pression au niveau de la mer, et l’on obtient ensuite la distribution de
masse volumique par application de l’équation des gaz parfaits.
Aux latitudes moyennes (conditions tempérées), la distribution de température
de l’atmosphère standard du niveau de la mer à une altitude de 20 km
est la suivante :
Troposphère (0 ≤ H ≤ 11km) T = 288, 16 − 6, 5H(km)
Stratosphère (11km ≤ H ≤ 20km) T = 216, 66
La frontière entre la troposphère et la stratosphère est appelée tropopause.
Cette distribution de température est représentée à la figure suivante, de même
que les distributions de température correspondant aux conditions tropicale
et polaire. Avec une pression au niveau de la mer de 101,325 kPa, on obtient
les expressions suivantes pour la distribution de pression :
Troposphère (0 ≤ H ≤ 11km) p = 101, 325(1 − 22, 5610 −3 H) 5,26
Stratosphère (11km ≤ H ≤ 20km) p = 22, 632 e −157,710−3 (H−11)
Ces distributions, ainsi que celles de la masse volumique et de la viscosité
sont tabulées à l’annexe A, en termes de grandeurs relatives par rapport aux
conditions au niveau de la mer.
1.1.2 Altitude et vitesse de l’avion
L’altimètre
La correspondance biunivoque entre altitude et pression dans l’atmosphère
standard est mise à profit dans l’altimètre de l’avion, qui consiste en un manomètre
(mesure de p) dont l’échelle est graduée en mètres (pieds) grâce à la
relation entre pression et altitude. Contrairement aux manomètres de laboratoire
qui sont généralement des manomètres à liquide (mercure, eau) et ne
conviennent pas pour les avions, ce sont le plus souvent des manomètres à
capsule (type Bourdon) dont la capsule est évacuée et qui se déforment en
fonction de la pression extérieure. La déformation est communiquée à un
système d’aiguille qui se déplace sur l’échelle. De nos jours, ces manomètres
mécaniques sont de plus en plus souvent remplacés par des capteurs qui
transforment la pression en signal électrique, mais les manomètres à capsule
sont encore couramment employés en aviation générale. Comme l’échelle est
graduée à partir de l’atmosphère standard, le pilote doit effectuer les corrections
en fonction des conditions atmosphériques locales. Sur les avions de

1.1. CONVENTIONS DE LA MÉCANIQUE DU VOL 5
FIG. 1.1 – Distribution de température en fonction de l’altitude dans l’atmosphère
standard internationale
ligne, ces données, communiquées par les tours de contrôle, sont intégrées
par les ordinateurs de bord, qui effectuent automatiquement les corrections.
L’indicateur de vitesse
La vitesse de l’avion est déterminée par un tube de pitot situé au nez de
l’avion ou attaché à une aile. La différence de pression mesurée peut être reliée
au nombre de Mach de vol par les relations suivantes (voir Mécanique
des fluides, 2ème partie).
subsonique
∆p
p = (1 + γ − 1
2 M2 ) γ
γ−1 − 1 Saint-Venant

6 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
Supersonique On a dans ce cas une onde de choc devant le tube de pitot, de
sorte que la relation devient
( )
∆p (γ + 1)M
2
γ ( ) 1
γ−1
p = γ + 1
γ−1
− 1 Rayleigh
2 2γM 2 − (γ − 1)
En mesurant simultanément ∆p et p (par exemple avec l’altimètre), on peut
donc déterminer le nombre de Mach de vol M. L’appareil basé sur ce principe
est le machmètre. Si l’on mesurait aussi la température T, on pourrait calculer
la vitesse vraie V (= Ma = M √ γRT, où a est la vitesse du son). Si l’on
ne mesure que ∆p, on peut calculer une vitesse dite vitesse conventionnelle
(Calibrated Air Speed) V c en calculant un nombre de Mach fictif ¯M à partir
de ∆p et de p 0 (pression au niveau de la mer en atmosphère standard), que
l’on multiplie ensuite par a 0 (vitesse du son au niveau de la mer). C’est cette
vitesse qui est affichée à l’indicateur. Pour les faibles nombres de Mach, on
peut linéariser l’équation de Saint-Venant :
∆p
= γ ¯M 2
p 0 2
→
V 2 c = ¯M 2 γRT 0 = 2∆p RT 0 = 2∆p (1.4)
p 0 ρ 0
Pour les avions volant à basse vitesse, l’échelle de l’indicateur de vitesse suit
de près cette relation approchée.
Finalement, on introduit le concept supplémentaire de vitesse équivalente
ou équivalent de vitesse (Equivalent Air Speed) V E définie par
V 2 E = ρ ρ 0
V 2 = 2q
ρ 0
ou V E = σV (1.5)
Cette vitesse n’est pas directement accessible par la mesure de ∆p mais elle
s’avère très utile pour les calculs puisque les coefficients aérodynamiques utilisent
la pression dynamique q (= ρ 0 V 2 E
) comme pression de normalisation.
Aux faibles nombres de Mach (pour lesquels l’équation de Bernoulli est applicable),
q ≃ ∆p, de sorte que V E ≃ V c . Aux autres nombres de Mach, on
calcule d’abord V à partir de V c et de T et on calcule ensuite V E par sa définition.
Signalons qu’il existe une grande confusion à propos de ces diverses
vitesses dans plusieurs ouvrages, dont celui de Houghton et Carruthers précédemment
cité [1].
1.2 Vol en palier horizontal stabilisé
1.2.1 Équations d’équilibre — Conséquences immédiates
Équations d’équilibre
Pour des avions qui possèdent un plan de symétrie (de loin le cas le plus
fréquent, bien qu’il existe certaines configurations asymétriques), l’équilibre
transversal est automatiquement assuré par la symétrie de la configuration,
de sorte qu’il suffit d’étudier l’équilibre dans le plan de symétrie. La configuration
et le système de forces sont représentées à la figure suivante dans le

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 7
cas plus général du vol incliné, où l’on fait pour la première fois apparaître les
FIG. 1.2 – Vol stabilisé — cas général
θ angle d’assiette : angle entre l’axe
de l’avion et l’horizontale géographique
(attitude)
α incidence : angle entre la direction
de la vitesse (vent) et l’axe de
l’avion
γ pente : angle entre la direction de
la vitesse et l’horizontale géographique
(γ = 0 en vol horizontal)
Avec ces définitions, des trois angles
sont reliés entre eux par
θ = γ + α (1.6)
trois systèmes d’axes employés en mécanique du vol, à savoir les axes aérodynamiques
(wind axes) x a , y a , z a définis par l’alignement de l’axe x a avec le vecteur
vitesse de l’avion, les axes liés à l’avion (body axes) x, y, z (par exemple les
axes principaux d’inertie de l’avion) et enfin les axes liés à la terre (earth axes)
x 0 , y 0 , z 0 dont l’axe z 0 est aligné avec l’accélération de la gravité. On donnera
les définitions complètes des trois systèmes d’axes dans la deuxième partie
de ce cours.
Dans le schéma, on a représenté la force de propulsion inclinée d’un angle
α T ≠ α avec la direction de la vitesse, de sorte qu’elle fait un angle ε = α − α T
avec l’axe de l’avion. Puisque la force de propulsion est solidaire de l’avion, on
peut alternativement définir l’axe de l’avion comme étant l’axe d’application
de la force de propulsion mais il faut alors en tenir compte pour l’évaluation
des efforts aérodynamiques.
Équilibre selon z a
P cos γ − F z − T sin α T = 0 (1.7)
Équilibre selon x a
T cos α T − F x − P sin γ = 0 (1.8)
Pour un vol horizontal à incidence modérée (α T ≪ 1), T ≃ F x . Or, en configuration
normale F x ≪ F z , de sorte que T sin α T ≪ F z . En négligeant ce dernier
terme, on obtient les équations simplifiées
P − F z = 0
T − F x = 0
(1.9)

8 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
Conséquences
Avec les définitions des coefficients aérodynamiques
C z = F z
qS
C x = F x
qS
on obtient, en résolvant l’équation d’équilibre en sustentation pour la vitesse
√
2P
V =
(1.10)
ρSC z
Pour une charge alaire (P/S) et une altitude données, la vitesse ne dépend que
du coefficient de portance, c’est-à-dire de l’incidence. Comme le coefficient
de portance est fonction croissante de l’incidence, il en résulte que la vitesse
est une fonction décroissante de l’incidence.
Avec la définition de la vitesse équivalente (1.5), on obtient
√
2P
V E =
(1.11)
ρ 0 SC z
et l’on constate que V E ne dépend pas de l’altitude mais uniquement de l’incidence.
Pour le pilote, comme V E est directement reliée à l’incidence de l’avion,
elle a une signification physique plus immédiate que V. À faible nombre de
Mach, puisque V E ≃ V c , l’indicateur de vitesse donne donc une indication
utile de la configuration de vol.
1.2.2 Poussée requise, limitations — calcul des performances
pour un avion à réaction
Poussée requise
En divisant les deux équations (1.9) on obtient
T
P = C x
C z
et, puisque P est une donnée, on voit que T est proportionnel à C x /C z . Pour
des vitesses modérées, ce rapport ne dépend que de l’incidence α (plus généralement,
il faudrait tenir compte également des effets des nombres de Reynolds
et de Mach) ou encore de la vitesse équivalente, étant donné la relation
entre incidence et vitesse équivalente. À partir de la polaire de l’avion (courbe
C z en fonction de C x graduée en incidence), on peut facilement déterminer la
fonction C x /C z (V E ), que l’on a représenté ci-dessous. On s’aperçoit que, pour
une poussée T donnée, il existe deux configurations de vol possibles, une correspondant
au régime lent et l’autre au régime rapide et qu’il existe une vitesse
équivalente (incidence) particulière pour laquelle la poussée requise est minimale.

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 9
FIG. 1.3 – Poussée requise au vol en palier
La polaire des avions est en général bien approchée par une expression de
la forme
C x = C x,0 + kC 2 z (1.12)
où C x,0 est la traînée dite parasite, essentiellement visqueuse, et le deuxième
terme est la traînée de portance, traînée induite et traînée d’onde pour les
vols supersoniques. Avec une telle expression, on peut déterminer analytiquement
le C z correspondant à la traînée minimum et donc à la poussée requise
minimum.
d(C x /C z )
= − C x,0
dC z C 2 + k = 0 →
z
C z,Tmin = C x,0
k
C x,Tmin = 2C x,0
√
C x
= 4kC x,0 (1.13)
C z
)min
Remarquez que la configuration de traînée minimale correspond à l’égalité
de la traînée parasite et de la traînée de portance.
Limitations
Décrochage
De l’équilibre en sustentation, on a
√
2P
V E =
ρ 0 SC z

10 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
Or, C z prend une valeur maximum au décrochage (= C z,max ). On en déduit
qu’il existe une valeur minimale de la vitesse
√
2P
V E,min =
(1.14)
ρ 0 SC z,max
indépendante de l’altitude et qui peut donc être inscrite sur l’indicateur de
vitesse 3 . On a en général deux valeurs de V E,min selon que les volets hypersustentateurs
sont déployés ou non. Dans la pratique, on impose une limite
inférieure de vitesse égale à 1, 3V E,min et c’est à cette vitesse qu’on atterrit.
Vitesse maximum La vitesse maximum atteignable est donnée par la poussée
maximum disponible. Avec l’expression approchée de la traînée (1.12), on
obtient
√
C z,Vmax = 1
(Tmax ) √
2
2k (T max
P
− − 4kC x,0 ) → V E,max =
P
2P
ρ 0 SC z,Vmax
(1.15)
Performances en vol stabilisé — Domaine de vol Pour déterminer les performances
d’un avion, il faut superposer à la courbe C x /C z (V E ) les courbes
de poussée du moteur en fonction de l’altitude et de la position de la manette
des gaz. Le calcul des performances en termes de poussée convient
particulièrement bien aux avions turboréactés pour lesquels la poussée varie
peu avec la vitesse (voir figure). À chaque altitude, on détermine ainsi une
FIG. 1.4 – Courbes de poussée disponible pour les hélices entraînées par moteur
à piston et pour les turboréacteurs
vitesse équivalente maximum et minimum (le plus souvent fixée par la limite
de décrochage) et on peut calculer les vitesses vraies correspondantes. Ceci
définit dans le plan H, V une courbe appelée l’enveloppe de vol stabilisé et
qui contient le domaine de vol. On observe sur l’enveloppe de vol l’avantage
de voler en altitude : la vitesse maximale est atteinte en altitude, pour une
poussée et donc une consommation plus faible. On déterminera de telles enveloppes
de vol aux exercices.
3 En aviation générale, il existe également un avertisseur sonore qui prévient le pilote lorsqu’il
s’approche trop de cette limite.

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 11
FIG. 1.5 – Enveloppe de vol typique
Stabilité de propulsion Examinons ce qui se passe si l’on perturbe légèrement
un vol stabilisé, Supposons que l’avion subisse une perturbation de
vitesse ∆V.
régime rapide Si ∆V > 0, on voit que C x /C z augmente, alors que T/P reste
constant. L’avion a donc tendance à ralentir, le régime de vol est statiquement
stable.
régime lent En effectuant le même raisonnement, on constate que le régime
lent est statiquement instable. C’est donc un régime dangereux, qu’il
convient d’éviter, particulièrement lors des phases de décollage ou d’atterrissage.
En effet, si la vitesse tombe sous la vitesse de poussée requise
minimale, il n’est pas toujours possible d’augmenter la poussée
(en poussant la manette) suffisamment ou assez vite pour éviter le décrochage.
On pourrait penser que cette limitation est plus restrictive
que la limitation liée au décrochage mais à l’atterrissage, en raison du
déploiement des spoilers, volets et train d’atterrissage, le C x,0 augmente
brutalement, ce qui déplace le C z,Tmin vers le haut et élargit donc la zone
de régime rapide vers les basses vitesses.
1.2.3 Puissance requise — calcul des performances pour un
avion à hélice
Puissance requise
Pour les avions à hélice, il est plus commode d’exprimer les caractéristiques
du moteur en termes de puissance, car pour ce type de propulsion, la
puissance fournie dépend peu de la vitesse (voir figure). Il faut donc évaluer
la puissance requise au vol. Celle-ci s’exprime par
W = TV (1.16)

12 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
FIG. 1.6 – Courbes de puissance disponible pour les hélices entraînées par
moteur à piston et pour les turboréacteurs
et, puisque
√
T
P = C x
= C x,0
2P
+ kC z et V =
C z C z ρSC z
il en résulte que
ou encore
√
W = P 3/2 2 C x
ρS C 3/2
z
√ √
ρ
W = P 3/2
ρ 0
2
ρ 0 S
C x
C 3/2
z
(1.17)
(1.18)
dont le membre de droite est indépendant de l’altitude et peut être porté en
graphique en fonction de la vitesse équivalente. Calculons, pour une altitude
donnée, la puissance minimum requise au vol.
d(C x /C 3/2
z )
dC z
= − 3 2
C z,Wmin = 3C x,0
k
C x,0
C 5/2
z
+ 1 2
k
C 1/2
z
C x,Wmin = 4C x,0
= 0 →
)
C x
4C x,0
=
(1.19)
C 3/2
z min
(3C x,0 /k) 3/4
On constate que C z,Wmin > C z,Tmin et donc que V E,Wmin < V E,Tmin .
Calcul des performances en termes de puissance
Semblablement à ce qui a été fait sur le diagramme de poussée, les régimes
de vol possibles et donc l’enveloppe de vol peuvent se calculer en reportant
les caractéristiques du propulseur sur le diagramme de puissance requise
multipliée par σ.
Pour les avions à hélice, on peut faire les observations suivantes :
– Du fait que V E,Wmin < V E,Tmin et que d’autre part la puissance disponible
ne croît que légèrement avec la vitesse pour les avions à hélice
(voir Fig. 1.6), il n’y a quasiment pas de régime lent pour ces appareils.
Il y a donc peu de risques d’instabilité de propulsion.

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 13
FIG. 1.7 – Puissance requise au vol en palier
– Du fait que la puissance disponible est approximativement proportionnelle
à la masse volumique, W disp
σ ∝ σ 3/2 décroît rapidement avec
l’altitude. Il en résulte que le plafond est généralement plus faible pour
les avions à hélice que pour les avions à réaction. En outre, l’enveloppe
de vol est moins penchée vers les hautes vitesses comme illustré cidessous
pour le Cherokee Arrow 4 . Il est donc moins intéressant de voler
en altitude.
1.2.4 Distance franchissable
Définitions
La connaissance du vol en palier horizontal stabilisé va nous permettre de
calculer approximativement la distance franchissable ou encore rayon d’action
de l’avion. Il existe trois définitions du rayon d’action.
Rayon d’action de sécurité Distance horizontale maximum entre deux aéroports
que peut parcourir un avion de manière sécuritaire en effectuant
un service régulier et fiable. Pour calculer ce rayon d’action, il faut tenir
compte d’énormément de facteurs comme
4 Noter la limite de décrochage qui apparaît très clairement.

14 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
FIG. 1.8 – Enveloppe de vol pour le Cherokee Arrow
– carburant consommé au décollage,
– montée initiale/descente finale,
– règles de sécurité qui exigent de conserver à tout moment suffisamment
de carburant pour pouvoir se détourner,
– conditions météo défavorables (vent de face),
– . . .
Ceci rend le calcul extrêmement long et complexe. C’est pourquoi on
utilise également deux définitions simples mais nécessairement plus artificielles,
qui sont surtout utiles pour comparer deux appareils entre
eux.
Rayon d’action SAR (still air range) On suppose que l’avion décolle réservoir
plein, rejoint ses conditions de vol de croisière (altitude, vitesse) et poursuit
son vol jusqu’à épuisement du carburant. Le SAR est la distance
franchie, à l’exclusion du décollage.
Rayon d’action GSAR (gross still air range) On considère un scénario encore
plus simple : soit l’avion initialement dans les conditions de vol de croisière,
réservoirs pleins. Le GSAR est la distance qu’il franchirait en palier
jusqu’à épuisement du carburant. Ce concept est évidemment extrêmement
artificiel mais il offre l’avantage d’être très simple à calculer et de
fournir les tendances du rayon d’action avec divers paramètres.

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 15
Calcul du rayon d’action pour un avion à réaction
Pour un avion à réaction, on définit la consommation spécifique comme
c = q [ ]
c débit de carburant kg/s
= (1.20)
T poussée
N
Elle est en première approximation constante lorsque la vitesse varie. On aura
alors
dP
= −g cT (1.21)
dt
Or, en palier, T = P(C x /C z ). Donc,
dP
dt = − g cC x
P ou encore dt = − C z dP
C z g cC x P
Pendant un temps dt, l’avion parcourt une distance dx = Vdt, d’où
(1.22)
dx = − C z dP
g cC x P = − C zV
dm (1.23)
cC x P
Cette relation permet de définir deux grandeurs :
le rayon d’action spécifique (RAS) : distance parcourue en brûlant une unité
de masse de carburant
RAS = C [
zV m
(1.24)
cC x P kg]
le rayon d’action spécifique unitaire (RASU) : distance parcourue en brûlant
une unité de masse de carburant par unité de masse de l’avion
RASU = C zV
g cC x
[m] (1.25)
En supposant un RASU constant, on peut intégrer l’équation (1.23) pour obtenir
X(GSAR) = C zV
ln P 1
(1.26)
g cC x P 2
où P 1 est le poids initial de l’avion et P 2 le poids après épuisement du carburant.
Cette formule est connue dans la littérature sous le nom de formule
de Bréguet-Leduc, bien que ses origines réelles soient obscures [2]. Elle permet
d’étudier qualitativement comment on peut améliorer le rayon d’action,
à savoir
– augmenter C z /C x : tâche de l’aérodynamicien,
– diminuer c : tâche du motoriste,
– augmenter ln P 1
P 2
, soit en augmentant la taille des réservoirs, soit en réduisant
le poids à vide, ce qui est la tâche du structuriste.
En toute généralité, pour intégrer (1.23), il faut faire une hypothèse sur le
scénario de vol. Les trois variables C z , V et ρ étant liées par l’équilibre en sustentation,
seules deux peuvent être fixées librement. On a donc 3 scénarios
possibles avec deux de ces grandeurs constantes, à savoir

16 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
1. ρ (altitude) et C z constants,
2. V et C z constants, et
3. ρ (altitude) et V constants.
et ce n’est que pour le deuxième scénario que le RASU est constant (en supposant
la consommation spécifique c indépendante de l’altitude et de la vitesse).
Comme le poids diminue au cours du vol, il faut dans ce deuxième
scénario que ρ diminue proportionnellement, c’est-à-dire que l’avion monte.
C’est pourquoi on nomme ce scénario croisière ascendante. Puisque le coefficient
de portance et donc la finesse sont constants, la poussée doit diminuer
également proportionnellement au poids et donc à ρ. Ceci se réalise très facilement
dans la stratosphère car dans la stratosphère, T ∝ ρ à position de
la manette des gaz constante. Ce n’est pas le cas dans la troposphère et par
conséquent, pour réaliser le scénario de croisière ascendante dans la troposphère,
le pilote doit constamment ajuster la position de la manette des gaz
afin de faire varier T proportionnellement à ρ.
On peut obtenir l’expression analytique du rayon d’action pour les deux
autres scénarios également [3], et l’on constate que, parmi les trois scénarios,
c’est la croisière ascendante qui fournit le plus grand rayon d’action. En
pratique toutefois, ce scénario n’est en général pas autorisé par les autorités
du contrôle aérien, mais bien plutôt le scénario ρ, V constants. Pour bénéficier
de l’avantage fourni par le scénario de croisière ascendante, on peut s’en
approcher par un vol à altitude constante par morceaux. Cette méthode est
couramment utilisée pour les vols long-courriers comme les vols transcontinentaux
ou transocéaniques.
Calcul du rayon d’action pour un avion à hélice
Pour un avion à hélice, on utilise la notion d’efficacité du moteur plutôt
que la notion de consommation spécifique, à savoir
η m = W m
q c L =
Puissance [W]
débit de carburant [kg/s] pouvoir calorifique [J/kg]
car η m dépend peu de la vitesse. On peut alors écrire
g q c = − dP
dt = g W m
η m L
(1.27)
Le rendement de propulsion η p étant lui défini comme le rapport entre la
puissance propulsive W = TV et la puissance mécanique à l’arbre du moteur
W m , on en déduit
et donc
dP
dt = −g TV
η p η m L = − gP C x
V
ηL C z
} {{ }
η
dx = − ηL
g
C z dP
C x P
RASU = ηL
g
C z
C x
(1.28)

1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 17
Optimisation du rayon d’action
Avion à réaction Pour optimiser le rayon d’action, il faut maximiser à chaque
moment le rapport VC z /C x . Or, comme on l’a mentionné précédemment,
parmi les trois variables ρ, V et C z , deux sont indépendantes. Le problème
d’optimisation dépendra donc de la contrainte (relation entre les variables
indépendantes) imposée.
1. Optimisation à ρ imposé
ρ étant imposé, l’optimum s’obtient par
(
d VCz
= 0
dC z C x
)ρ
Comme V est lié à C z par l’équation de sustentation,
VC z
∝ C1/2 z
C x
Avec la polaire parabolique, on obtient alors l’optimum pour
C z ) rao =
√
Cx,0
3k
C x
→ V rao =
√ [ ] 1/4
2P 3k
(1.29)
ρS C x,0
Il faut remarquer que ce n’est pas parce que ρ est imposé qu’il est constant
au cours du vol. C’est le cas dans les scénarios 1 et 3, mais pas pour la
croisière ascendante. Dans ce dernier cas, ρ évolue au cours du vol, mais
sans être néanmoins une variable pour l’optimisation, car son évolution
est entièrement régie par l’évolution du poids P.
2. Optimisation à position de la manette des gaz imposée
La contrainte d’une position de la manette des gaz fixe impose une relation
entre la vitesse V et les coefficients aérodynamiques. En effet, on
a, par l’équation de propulsion
T(ρ, Π) = ρ V2
2 SC x
Si l’on suppose qu’à position de la manette des gaz (Π) donnée la poussée
T soit proportionnelle à ρ, ce qui est le cas dans la stratosphère
comme on l’a mentionné précédemment, ceci devient
T 0 (Π) = ρ 0
V 2
2 SC x → V ∝ C −1/2
x → VC z
C x
∝ C z
C 3/2
x
Avec la polaire parabolique, on obtient alors l’optimum pour
C z ) rao =
√
Cx,0
2k
→ V rao =
√ [ ] 1/4
2P 2k
(1.30)
ρS C x,0

18 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
L’altitude correspondant à l’optimum résulte alors de l’équation de sustentation
ρ =
2P
V 2 SC z
3. Optimisation à V imposée
Dans ce cas, la solution est élémentaire, l’optimum est atteint pour l’incidence
de finesse maximum. Dans ce cas également, ρ est déduit de
l’équilibre en sustentation.
Parmi ces trois optimisations, c’est certainement la première qui a le plus
de signification pratique. Examinons l’influence de diverses variables sur le
rayon d’action optimum donné par la formule de Breguet-Leduc (croisière
ascendante) dans ce cas.
X opt = C zV rao
ln P 1
g cC x P 2
√
P
Comme V rao ∝
S
(aussi bien pour l’optimisation à position de manette des
gaz imposée qu’à altitude imposée d’ailleurs), il apparaît que le rayon d’action
est fonction croissante de la charge alaire P/S (que l’on augmente en
réduisant la surface alaire, pas en augmentant le poids !). L’augmentation du
rayon d’action est donc un objectif en contradiction avec la réduction de la
vitesse d’atterrissage (décollage/atterrissage courts). Des valeurs typiques de
la charge alaire sont de l’ordre de 4800 à 5800 Nm −2 (480 à 580 kgm −2 ) pour
les avions de ligne long-courriers, de 2400 Nm −2 pour les court-courriers et
les chasseurs, et de 720 à 960 Nm −2 pour l’aviation générale. Enfin, comme
V rao ∝ [ k
C x,0
] 1/4 mais que par ailleurs (C z /C x ) rao ∝ [kC x,0 ] −1/2 , on augmente
le rayon d’action en réduisant k (c’est-à-dire en augmentant l’allongement)
mais surtout C x,0 .
Avion à hélice Dans le cas de l’avion à hélice, la vitesse n’intervenant pas
dans l’expression du RASU, le rayon d’action maximum s’obtient en maximisant
la finesse C z /C x , quelle que soit la contrainte imposée (altitude, position
de la manette des gaz ou vitesse).
1.2.5 Endurance
L’endurance est le temps de vol correspondant au rayon d’action GSAR.
Pour un avion à réaction, on avait (1.21)
dP
dt
= −g cT
Pour une incidence donnée et en considérant une consommation spécifique
constante, on obtient en intégrant
T =
C z
g cC x
ln P 1
P 2
(1.31)

1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 19
et l’on voit que l’endurance est optimisée à l’incidence de finesse maximum.
Pour un avion à hélice, on avait
dP
dt = − gP C x
V → dt = − ηL C z dP
ηL C z g VC x P
L’endurance est donc optimisée en maximisant ηL C z
g VC x
, et il faut spécifier une
relation entre les variables indépendantes pour définir précisément le problème
d’optimisation. Pour une altitude imposée (cas le plus intéressant en
pratique), V ∝ C −1/2
z de sorte qu’il faut maximiser le rapport C 3/2
z /C x , soit le
même problème que pour obtenir une puissance requise minimale 5 .
1.3 Vol stabilisé incliné (montée/descente)
1.3.1 Conséquences des équations d’équilibre
Comme pour le vol horizontal, on simplifie les équations d’équilibre (1.7–
1.8) en négligeant T sin α T par rapport à F z et en supposant cos α t ≈ 1, qui
deviennent dès lors
P cos γ − F z = 0
T − F x − P sin γ = 0
(1.32)
Examinons à présent les conséquences de nos hypothèses de vol incliné stabilisé.
Ces conditions s’expriment mathématiquement par V = cste, γ = cste.
Comme
P cos γ = F z = ρ V2
2 SC z,
il en résulte que le produit ρC z doit rester constant (en ignorant la variation de
masse due à la consommation de carburant). Pour un vol en montée (γ > 0),
on en déduit que la diminution de ρ au cours du vol doit s’accompagner d’une
augmentation de l’incidence, c’est-à-dire qu’il faut tirer sur le manche au fur
et à mesure que l’on monte.
D’autre part, l’équation de propulsion donne
T = P sin γ + C x
C z
F z = P sin γ + C x
C z
P cos γ
En régime rapide, C x /C z diminue lorsque l’incidence augmente. D’autre part,
ρ diminue. Cet effet étant en général prépondérant, le pilote devra donc augmenter
les gaz. On voit que la manœuvre considérée est loin d’être simple
(elle nécessite d’ajuster simultanément l’incidence et la manette des gaz) et,
pour la réaliser, le pilote doit surveiller son indicateur de vitesse ascensionnelle
(variomètre). C’est pourquoi on doit parfois tenir compte des variations
5 Ceci est assez logique car, la puissance étant une énergie par unité de temps, pour une énergie
donnée (l’énergie de combustion contenue dans le carburant), le temps est maximisé en minimisant
la puissance consommée

20 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
de vitesse ( dV
dγ
dt
) et de pente (
dt
), qui font apparaître dans les équations d’équilibre
des termes d’inertie
sustentation
propulsion
P cos γ − F z = P g
T − F x − P sin γ = P g
V 2
R = P g Vω = − P g V dγ
dt
dV
dt
(1.33)
Dans cette section, on supposera la manœuvre parfaite et donc les termes
d’inertie négligeables.
1.3.2 Cas particulier : le vol plané
Dans ce cas, il n’y a pas de poussée (T = 0), de sorte que les équations
deviennent
dont on déduit directement
P cos γ − F z = 0
−F x − P sin γ = 0
(1.34)
tan γ = − F x
F z
= C x
C z
(1.35)
Considérons le cas d’un avion à une altitude H donnée et dont les moteurs
s’arrêtent brutalement. Il va commencer à planer. La distance qu’il va parcourir
avant d’atteindre le sol sera
X =
∫ 0
H
dH
tan γ
Si l’on désire maximiser cette distance (rayon d’action maximum en vol plané),
il faudra minimiser | tan γ|. L’équation (1.35) nous montre que ceci est obtenu
à l’incidence de finesse maximum, et que la pente minimum est indépendante
de l’altitude et du poids de l’avion. Il ne sert donc à rien de jeter du lest
dans l’espoir d’aller plus loin.
Calculons à présent la vitesse de descente.
w d = −V sin γ
Mais − sin γ = − cos γ tan γ = cos γC x /C z . Déduisant la vitesse de l’équation
de sustentation, on obtient
√
√
2P cos γ
w d =
cos γ C x 2P C x
= cos γ 3/2 (1.36)
ρSC z C z ρS C 3/2
z
dans laquelle le dernier terme peut être négligé pour les faibles angles de descente.
On en déduit que la vitesse de descente dépend effectivement du poids
de l’avion ainsi que de l’altitude. Pour un poids et une altitude donnés, on
minimise w d (ce qui est équivalent à maximiser le temps en l’air, c’est-à-dire
l’endurance) à l’incidence minimisant C x /C 3/2
z , soit l’incidence de puissance
requise pour le vol horizontal minimale (voir section 1.2.3). Cette situation

1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 21
est parfois recherchée par les pilotes de planeur qui désirent rester en l’air le
plus longtemps possible dans l’espoir d’amélioration des conditions météorologiques
(apparition d’ascendances).
Pour des angles de descente plus importants, il faut tenir compte du facteur
cos γ 3/2 . On peut consulter à ce sujet l’ouvrage de Houghton et Carruthers
[1], section 12.7.1. On pourra consulter la même référence (section 12.7.2)
pour un calcul complet du temps de descente d’un planeur.
1.3.3 Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum
Reprenons les équations d’équilibre simplifiées (1.32)
P cos γ − F z = 0
T − F x − P sin γ = 0
De la deuxième de ces deux équations, on tire la pente
sin γ = T − F x
P
(1.37)
et, en multipliant par la vitesse, on obtient la vitesse ascensionnelle w a =
V sin γ.
Point de vue de l’avion à réaction Nous allons tenter de déterminer dans quelles
conditions d’incidence on pourra obtenir une vitesse ascensionnelle
maximum avec un avion à réaction (T indépendant de V).
Faisons l’hypothèse de faibles angles de montée (cos γ ≈ 1). Il en résulte
F z ≈ P, de sorte que
sin γ = T − F x
P
= T P − C x
C z
On en déduit que l’angle de montée maximum est obtenu à l’incidence
de finesse maximum. Cette condition de vol peut avoir une signification
pour le décollage ou l’atterrissage avorté. Multipliant par V, on obtient
la vitesse ascensionnelle
√ (
2P cos γ T
w a =
ρSC z P − C )
x
C z
Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faudra donc maximiser le
produit C −1/2
z (T/P − C x /C z ). Avec une polaire parabolique, cela conduit
à l’équation
− 1 T
2 P C−3/2
soit, en multipliant par C 5/2
z ,
z + 3 2
C x,0
C 5/2
z
− 1 2 kC−1/2 z = 0
kC 2 z + T P C z − 3C x,0 = 0 (1.38)

22 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
qui est une équation du second degré en C z assez simple à résoudre.
Remarquons que T/P variant avec l’altitude, la vitesse ascensionnelle
maximum sera atteinte pour des incidences qui varieront avec l’altitude.
Exemple 1.1 Considérons un avion de polaire parabolique dont les caractéristiques
sont les suivantes :
P = 100 kN
C z
= f max = 12 V E,Tmin = 110 ms
C x
)max
−1
et dont la poussée varie comme suit avec l’altitude
H (km) 0 3 6 9 12 12.2
T (kN) 27.5 21 16.5 12 8.6 8.33
Calculons la vitesse ascensionnelle maximum à ces diverses altitudes. Réécrivons
tout d’abord (1.38) en faisant apparaître le rapport λ = C z /C z,Tmin .
Or, kC 2 z,Tmin = C x,0 et
kC 2 z,Tmin λ2 + T P C z,Tminλ − 3C x,0 = 0
C z,Tmin
P
= C x,Tmin
T min
= 2C x,0
T min
de sorte qu’en simplifiant par C x,0 on obtient finalement
λ 2 + 2
T λ − 3 = 0
T min
où T min = P/f max = 8.33 kN. On calcule alors aisément w a,max . Comme
1+λ
C x = C 2
x,Tmin = 1+λ2 C
2 2 z,Tmin /f max ,
√ (
2P T
w a,max =
ρSC z P − C ) √
(
x 2P T
=
λ −1/2
C z ρSC z,Tmin P − 1 )
1 + λ 2
2f max λ
√
= 1
(
2P
T
λ −1/2
σ ρ 0 SC z,Tmin P − 1 )
1 + λ 2
2f max λ
= V (
E,Tmin T
λ −1/2
σ P − 1 )
1 + λ 2
2f max λ
Avec les données ci-dessus, on obtient
H (km) 0 3 6 9 12 12.2
λ 0.427 0.541 0.650 0.812 0.984 0
w a,max (ms −1 ) 26.8 19.2 13.7 6.9 0.6 0
Le plafond absolu de 12.2 km est assez académique et l’on préfère définir
un plafond de service (de manœuvre) qui est l’altitude à laquelle w a,max
prend une valeur prescrite (150 m/min = 2.5 ms −1 ). À cette altitude, l’avion
dispose d’une certaine réserve de manœuvre qui peut s’avérer nécessaire.
Point de vue de l’avion à hélice Lorsque l’angle de montée est faible (< 13 ◦ ),
les changements de portance, traînée et vitesse causées par l’inclinaison
de la trajectoire peuvent être négligés. Dès lors, la puissance requise
pour vaincre la traînée diffère peu de celle du vol horizontal dans les
mêmes conditions d’altitude et de vitesse (c.-à-d. d’incidence). Dans

1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 23
ces conditions, si dans une configuration de vol donnée, on dispose
d’un excès de puissance ∆W, celui-ci provoquera une vitesse ascensionnelle
w a telle que w a P = ∆W, ce que l’on voit immédiatement en multipliant
(1.37) par V,
w a = V sin γ = V T − F x
P
= W disp − W req
P
= ∆W P
Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faut donc maximiser ∆W.
Si l’on prend comme hypothèse simplificatrice que la puissance disponible
est indépendante de la vitesse, alors le taux de montée maximum
est obtenu dans la configuration de puissance requise minimale (voir
section 1.2.3).
L’angle de montée maximum peut être calculé et conduit à la résolution
d’une équation non-linéaire [1]. On consultera également l’ouvrage de
Houghton et Carruthers pour les corrections exigées par les angles de
montée importants.
1.3.4 Temps de montée. Méthode de l’énergie totale
Dans le paragraphe précédent, on a calculé la vitesse de montée avec l’hypothèse
d’un vol stabilisé (V = cste) mais par ailleurs, on avait vu que réaliser
une telle configuration de vol nécessitait une manœuvre difficile. En tenant
compte des effets d’accélération mais en supposant toujours γ = cste, les
équations du mouvement sont
P cos γ − F z = 0
T − F x − P sin γ = P g
dV
dt
(1.39)
La deuxième équation peut se réécrire comme suit
T − F x = P sin γ + P g
dV
dt = P V w a + P dV dh
g dh dt = w a
par définition de w a = dh/dt. Résolvant pour w a , il vient
P
V (1 + V g
dV
dh )
w a = V
T − F x
P(1 + V dV
g dh ) (1.40)
Si l’on emploie cette formule dans le cas de l’avion à réaction considéré précédemment,
on obtient, à l’altitude de 6 km, un écart de 7,6 % sur la valeur de
w a , ce qui est loin d’être négligeable.
Pour beaucoup d’avions, en particulier les avions de chasse, ce que l’on requiert
est qu’ils atteignent le plus rapidement possible une altitude et une vitesse
données. La trajectoire de montée sera constituée des phases suivantes :
1. à l’altitude de départ, transition aux conditions optimales de montée,
2. trajectoire optimum de montée,

24 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
3. à l’altitude finale, transition à la vitesse prescrite.
Pour analyser ce problème, il est commode d’introduire le concept de hauteur
totale. Reprenons l’équation de propulsion (1.39). On a
T − F x = P [ dh
V dt + V ]
dV
= P dh e
où h e = h + V2
(1.41)
g dt V dt
2g
et l’on appelle h e la hauteur totale. Elle est intimement liée à l’énergie mécanique
totale de l’avion
E = mg h + m V2
2 = mg h e = Ph e
Pour obtenir le temps de montée minimum, il faudra, à chaque altitude, se
trouver au point où dh e /dt est maximum. Ceci peut se représenter graphiquement
de la manière suivante. En chaque point de l’enveloppe de vol, on
calcule
dh e
dt
= V(T(ρ, 1) − F x)
P
où T(ρ, 1) représente la poussée maximum (position de la manette des gaz à
fond, Π = 1) à l’altitude considérée. D’autre part, F x se calcule aisément à
partir de la polaire et de l’équilibre en sustentation. Comme on a négligé les
variations de pente, et en supposant par ailleurs l’angle de montée faible, on
a
F z = P = ρ V2
2 SC z
de sorte qu’on peut calculer C z en chaque point de l’enveloppe de vol. On
déduit C x de l’expression de la polaire, ce qui permet finalement de calculer
F x . On porte alors en graphique dans le plan h, V les courbes iso-dh e /dt, que
l’on appelle parfois courbes iso-réserve de manœuvre, dh e /dt étant appelée
la réserve de manœuvre. On porte sur le même graphique les courbes iso-h e ,
qui sont des paraboles. On en donne des exemples à la figure suivante, pour le
cas d’un appareil soussonique hypothétique et d’un chasseur supersonique
ancien (Lockheed F-104G), avec la trajectoire de montée optimale, qui est le
lieu des points où les courbes iso-h e sont tangentes aux courbes iso-réserve
de manœuvre. Dans le cas du chasseur supersonique, on constate que la trajectoire
de montée optimale est assez complexe, se subdivisant en une montée
soussonique suivie d’un piqué à hauteur totale constante et enfin d’une
montée supersonique. Ceci est dû aux caractéristiques aérodynamiques particulières
du régime transsonique, notamment l’augmentation sensible du
coefficient de traînée dans ce régime (mur du son). La courbe dh e /dt = 0
n’est rien d’autre que l’enveloppe de vol définie précédemment. Comme on
l’avait souligné pour le plafond absolu, on ne dispose en ces points d’aucune
réserve de manœuvre. En pratique, on ne peut atteindre tous les points de
cette enveloppe car d’autres limitations s’y ajoutent, telles que
– décrochage (déjà mentionné),
– tremblement (buffet) et flottement (flutter),

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 25
(a) avion soussonique
(a) avion supersonique (Lockheed F-104G)
FIG. 1.9 – Diagramme h e -dh e /dt pour la détermination de la trajectoire de
montée optimale
– nombre de Mach maximum,
– limitations structurales,
– limitations dues au moteur (instabilité de combustion).
1.4 Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
1.4.1 Décollage et atterrissage
Bien qu’il ne s’agisse pas de conditions de vol à proprement parler, les
phases de décollage et d’atterrissage revêtent néanmoins une grande importance
pour des raisons opérationnelles, et sont parfois des facteurs critiques
dans la conception d’un avion. Les paramètres déterminants sont évidemment
la distance de décollage/atterrissage et, dans une moindre mesure, le
temps correspondant.
Décollage
Pour les avions à train tricycle (configuration la plus courante de nos jours),
la manœuvre de décollage se décompose en trois parties, à savoir l’accélération
au sol, la manœuvre de rotation par laquelle le pilote soulève le nez de
l’avion, lui donnant de la sorte une incidence positive, et enfin la montée initiale
(voir figure). Selon les règles de certification en vigueur, la manœuvre
prend fin lorsque l’avion a atteint une hauteur de 35 pieds (10,7 m) et la distance
totale de décollage est la distance horizontale parcourue depuis la position
initiale de l’avion.
Analysons tout d’abord la phase d’accélération au sol au cours de laquelle
l’avion est accéléré jusqu’à une vitesse supérieure à la vitesse minimum en

26 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
FIG. 1.10 – Schéma de la manœuvre de décollage selon la norme FAR Part 25
(aviation de ligne)
vol horizontal stabilisé. L’équation du mouvement est simplement
P dV
g dt = T − F x − µ(P − F z )
où µ est le facteur de frottement sur la piste, de l’ordre de 0.02 pour une piste
asphaltée et 0.10 pour une pelouse. En première approximation, négligeons la
traînée et la résistance de roulement — on reviendra sur cette approximation
par la suite — et supposons la poussée indépendante de la vitesse (approximation
acceptable pour les avions à réaction). Dans ces conditions, l’équation
du mouvement (uniformément accéléré) s’intègre aisément et donne
s déc = P T
V 2 déc
2g
(1.42)
La vitesse de décollage V déc est généralement fixée à 1,2 fois la vitesse de décrochage
V s , de sorte qu’avec
on obtient
V s =
√
2P
ρSC z,max
s déc = P (P/S)
= P 1, 44(P/S)
= P 1, 44(P/S)
T ρ 0 σgC z,déc T ρ 0 σgC z,max T 0 ρ 0 σ 2 (1.43)
gC z,max
si l’on suppose que la poussée T est proportionnelle à la masse volumique ρ.
Bien que résultant d’une analyse simplifiée à l’extrême, cette expression est
néanmoins utile en ce sens qu’elle permet d’identifier l’influence des divers
paramètres affectant la distance au sol. Ainsi, on constate que
– la distance au sol est extrêmement sensible au poids, variant quadratiquement
avec celui-ci,
– la distance au sol dépend fortement des conditions atmosphériques locales,
étant inversément proportionnelle au carré de la masse volumique,
– la distance au sol diminue en augmentant la surface alaire, le C z,max et
la poussée. Comme on l’a mentionné précédemment, l’augmentation
de la surface alaire influence cependant négativement la distance fran-

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 27
chissable. C’est également le cas de l’augmentation de la poussée car
elle ne peut s’obtenir que par l’installation d’un moteur plus lourd.
Évaluons à présent l’influence de la résistance à l’avancement. Celle-ci
comprend d’une part la traînée aérodynamique et d’autre part la résistance
de roulement. La traînée aérodynamique s’exprime par la relation habituelle
F x = ρ V2
2 SC x
mais deux effets soivent être pris en compte pour l’évaluation du C x :
1. l’effet du déploiement des volets, qui se manifeste par une augmentation
du coefficient de traînée parasite par rapport à la configuration
normale (volets non déployés), et
2. l’effet de sol, qui se manifeste par une diminution de la traînée induite.
Ce dernier effet, qui est la cause de la tendance des avions à « flotter »
au moment de l’atterrissage, peut s’évaluer approximativement par la
méthode des images [4], qui fournit l’expression suivante du coefficient
de réduction de la traînée induite :
φ =
(16h/πb)2
1 + (16h/πb) 2 (1.44)
où h est la hauteur de l’aile au-dessus du sol et b son envergure. Pour
h/b = 0.1, on trouve ainsi φ = 0.2, soit une réduction de 80% de la
traînée induite.
La résistance de roulement, elle, est proportionnelle à la différence entre le
poids et la portance, qui s’exprime selon l’expression habituelle, mais pour la
configuration volets déployés et à l’incidence au sol.
On constate que tant la traînée aérodynamique que la résistance au roulement
sont des fonctions linéaires de la pression dynamique, tout comme
(en première approximation) la distance parcourue depuis le repos. De plus,
elles varient en sens inverse, de sorte que leur somme est approximativement
constante au cours de la phase d’accélération. Une méthode simple couramment
utilisée pour tenir compte de ces résistances consiste dès lors à considérer
une résistance moyenne, évaluée à une vitesse égale à 70% de la vitesse
de décollage [2]. Cette méthode fournit des valeurs de la distance au sol correctes
à quelques pourcents près. La résistance à l’avancement (traînée aérodynamique
plus résistance au roulement) représente typiquement de 10 à
20% de la poussée disponible.
La manœuvre de rotation est entamée au sol (à une vitesse V R inférieure
à la vitesse de décollage V déc ). Le pilote tire sur le manche pour défléchir la
gouverne de profondeur vers le haut. Ceci crée un couple aérodynamique cabreur
qui met l’avion en rotation à une vitesse de rotation de l’ordre de 3 à
4 degrés par seconde, jusqu’à ce qu’il atteigne l’incidence de décollage, alors
que l’accélération se poursuit pour amener l’avion à la vitesse V déc . Au moment
où il atteint ces vitesse et incidence, l’avion quitte le sol.
La trajectoire de l’avion après le décollage se calcule à partir des équations
du vol incliné accéléré (1.33) auxquelles s’ajoute l’équation de rotation de

28 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
tangage qui régit l’évolution de l’angle de pente. Dans cette phase de vol, les
effets instationnaires doivent cependant être pris en compte. En particulier,
la portance ne s’établit pas instantanément. On reviendra sur cette question
dans la deuxième partie du cours lors de l’étude de la dynamique de l’avion
au voisinage d’un point d’équilibre. Pour des calculs préliminaires, on préfère
souvent utiliser le modèle simplifié suivant : on approxime la trajectoire de
l’avion lors de cette phase d’arrondi par un arc de cercle. Dès lors, les hauteur
et pente en fin d’arrondi étant respectivement h et γ, la distance parcourue
du point de décollage à la fin de l’arrondi est
s 2 ≈ 2
h
tan γ
(1.45)
La hauteur h est prise égale à 35 pieds et la pente est calculée en considérant
un vol incliné stabilisé (1.32), de sorte que
tan γ ≈ sin γ = T − F x
P
≈ T P − C x
C z
On constate que s 2 est d’autant plus faible que l’angle de montée est grand,
c’est-à-dire que le rapport poussée/poids et la finesse sont élevés. Ceci explique
en partie pourquoi on préfère ne déployer que partiellement les volets
lors du décollage. La distance en l’air du point de décollage au point où l’avion
atteint la hauteur prescrite peut représenter de l’ordre de 50% de la distance
au sol [4].
Après avoir atteint la hauteur nominale, le train d’atterrissage et les volets
sont rentrés, ce qui a pour effet de réduire le coefficient de traînée, mais aussi
le coefficient de portance. Il en résulte d’une part que l’incidence doit être
augmentée pour compenser la rentrée des volets et d’autre part que l’angle
de montée augmente.
Atterrissage
L’analyse de l’atterrissage est en tous points semblable à celle du décollage.
L’atterrissage se décompose également en trois parties, à savoir l’approche,
l’arrondi et le freinage au sol (voir figure). L’approche, qui constitue la
phase finale de la descente, s’effectue avec un angle de descente de 3 à 5˚ (3˚
pour une descente aux instruments). La vitesse à l’entame de l’approche (à
la hauteur de 50 pieds) doit être 30% plus élevée que la vitesse de décrochage
dans les conditions d’atterrissage, c’est-à-dire volets complètement déployés.
En effet, une traînée importante n’est pas néfaste à l’atterrissage puisqu’elle
contribue à augmenter l’angle de descente. La vitesse de décrochage
√
2W
V s,att =
ρSC z,max
est donc sensiblement plus faible qu’au décollage en raison d’un coefficient
de portance maximum supérieur, mais aussi d’une charge alaire plus faible
due à un poids à l’atterrissage sensiblement inférieur.

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 29
FIG. 1.11 – Schéma de la manœuvre d’atterrissage
L’arrondi a pour fonction de réduire la vitesse verticale, idéalement à 0,
au point de contact avec le sol. On tolère toutefois une faible vitesse négative
au point de contact (0.6 ms −1 correspondant à un atterrissage très brusque)
limitée par le confort des passagers et la résistance mécanique du train d’atterrissage.
Comme pour le décollage, on décrit cette phase par le modèle simplifié
de trajectoire en arc de cercle. Si l’on dénote par R le rayon de courbure
de l’arrondi 6 , la distance parcourue en l’air (approche + arrondi) est dès lors
s 2 =
h
tan γ + R tan γ 2
(1.46)
et l’on constate qu’elle diminue en réduisant le rayon de courbure. Il y a toutefois
une limite à cette réduction car la trajectoire circulaire s’accompagne
d’une réaction centrifuge qui augmente avec la courbure (voir section suivante)
et qui est limitée en particulier par le décrochage, mais aussi par le
confort des passagers (accélération limitée à 1,2 g pour l’aviation commerciale).
La distance minimale est atteinte pour une trajectoire d’atterrissage
sans arrondi. Évidemment, l’atterrissage est alors extrêmement brutal. Ce type
d’atterrissage est cependant employé dans le cas où la minimisation de la longueur
d’atterrissage est primordiale, à savoir dans l’aviation embarquée. Le
train d’atterrissage est alors soumis à des sollicitations mécaniques extrêmes,
à tel point qu’il s’agit généralement d’un élément critique pour la conception
d’avions embarqués.
Après le contact avec le sol, le pilote effectue la manœuvre de rotation
pour amener la roue avant en contact avec le sol, actionne les freins, déploie
6 Ce rayon R est lié à la hauteur h arr à laquelle est entamé l’arrondi par la relation h arr =
R(1 − cos γ) = 2R sin 2 (γ/2).

30 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
les inverseurs de poussée et augmente les gaz pour obtenir la poussée négative
la plus grande. Cette phase prend de l’ordre de 2 à 3 secondes (soit 120 à
180 m pour une vitesse de 60 ms −1 . Le roulement au sol subséquent s’analyse
de la même manière que pour le décollage, avec les différences suivantes :
– la poussée est inversée (par utilisation d’inverseurs de poussée pour les
avions à réaction ou par inversion du calage des hélices pour les avions
à hélice). La contrepoussée maximum est de l’ordre de 30 % de la poussée
maximum.
– l’application des freins augmente considérablement le coefficient de
frottement, qui atteint une valeur de 0,4 à 0,6.
– le coefficient de traînée aérodynamique est considérablement plus élevé,
en raison du déploiement complet des volets, mais aussi des spoilers, la
fonction principale de ces derniers étant d’annuler la portance pour assurer
une résistance au roulement maximale.
Grâce à cet ensemble de mesures, on obtient typiquement des décélérations
de l’ordre de 0,3 à 0,5 g en aviation de ligne. Pour l’aviation embarquée, on
atteint des valeurs beaucoup plus élevées (jusqu’à 3g) à l’aide de dispositfs
additionnels : crosse/câbles d’appontage, filet de retenue. On calcule la distance
de roulement comme pour la phase de décollage en prenant comme
résistance au roulement moyenne sa valeur pour une vitesse égale à 70% de
la vitesse de contact V c (égale à 1,3 V s comme indiqué ci-dessus). On obtient
ainsi
s att =
1.69P 2
ρgSC z,max [T R + F x + µP] 0.7Vc
(1.47)
1.4.2 La ressource — Notion de facteur de charge
À la section précédente, on a évoqué le vol le long d’une trajectoire circulaire
dans le plan de symétrie de l’avion. Cette manœuvre est appelée ressource.
On l’emploie pour les transitions entre le vol horizontal et le vol incliné
telles que l’entame d’une montée (voir figure) ou le redressement après
une descente (voir un piqué). Analysons le mouvement en supposant la vitesse
V constante (et par conséquent aussi la vitesse de rotation ω = V/R pour
une trajectoire circulaire) lors de la manœuvre. Les équations du mouvement
sont dès lors (1.33)
sustentation
P cos γ − F z = P g
V 2
R
propulsion T − F x − P sin γ = 0
Considérons le point bas de la ressource (γ = 0). On obtient
( )
F z = P 1 + V2
gR
(1.48)
F x = T

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 31
FIG. 1.12 – Schéma de la ressource
On définit le facteur de charge de la manœuvre, noté n comme le rapport
entre la portance et le poids :
n ≡ F z
P
(1.49)
de sorte que pour la ressource, n = 1 + (V 2 /gR). Plus on voudra serrer la
ressource, plus le facteur de charge augmentera. Par conséquent, pour une
vitesse donnée, cela nécessitera d’augmenter C z et il existera une limitation
due au décrochage. Comme F z ≤ (ρV 2 /2)SC z,max , il en résulte
n = 1 + V2
gR ≤ ρV2 SC z,max
= V2
2P V 2 s
→
V2
gR ≤ V2
V 2 − 1 → R ≥
s
1
g( 1 − 1 V 2 s V
) (1.50)
2
où V s est la vitesse de décrochage en vol horizontal stabilisé. On constate
que le rayon minimal de ressource diminue en augmentant la vitesse. Mais
le facteur de charge augmente rapidement. La ressource est d’ailleurs la manœuvre
qui provoque les facteurs de charge les plus importants, et donc détermine
la conception structurale de l’avion. Outre la limitation de sustentation
examinée ci-dessus, le pilote devra se tenir en deçà de la limite imposée
par la conception structurale. Clairement, cette limitation structurale
diffère grandement selon le type d’appareil. Alors que le facteur de charge
maximum est de l’ordre de 2,5 pour les avions de ligne et d’aviation générale,
il peut atteindre 7 pour les avions militaires ou d’acrobatie. On a coutume de

32 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
représenter ces limitations dans un diagramme V − n que l’on appelle encore
enveloppe de manœuvre, dont on donne un exemple à la figure suivante.
Les deux limitations identifiées précédemment — limitation liée au décro-
FIG. 1.13 – Enveloppe de manœuvre
chage n ≤ (V/V s ) 2 et limitation structurale n ≤ n max — y sont représentées,
de même que leurs analogues en vol inversé. En outre, pour les appareils de
haute performance, il faut également tenir compte de limitations physiologiques.
On donne quelques informations à ce sujet à l’annexe B. L’intersection
entre la frontière correspondant au décrochage et la frontière structurale
(point A de la figure) joue un rôle particulier car il correspond à la ressource la
plus serrée possible (et, comme on le verra à la section suivante, au virage le
plus serré possible). En combat aérien et en vol acrobatique, le pilote tente de
se maintenir constamment au voisinage de ce point, que l’on appelle point de
manœuvre.
Pour un point quelconque de la ressource, l’équation de sustentation devient
( )
F z = P cos γ + V2
gR
→ R =
V 2
g(n − cos γ)
Elle permet de calculer la hauteur verticale requise pour un redressement à
partir d’un piqué. En effet,
∫ 0
∫ 0
V 2 sin γ
dH = −R sin γ dγ → H = − R sin γ dγ = −
− π 2
− π g n − cos γ dγ
2
de sorte qu’on obtient finalement, en supposant la vitesse et le facteur de
charge constant au cours du redressement
H = V2
g ln n
n − 1
(1.51)

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 33
1.4.3 Le vol en virage
On considère dans cette section le virage stabilisé (à vitesse constante V) à
altitude constante effectué sans vitesse latérale, tel que représenté à la figure.
Pour assurer l’équilibre, il faut incliner l’avion d’un angle φ. Pour déterminer
FIG. 1.14 – Avion en virage horizontal
cet angle, écrivons les équations d’équilibre dans le plan y − z :
F z cos φ = P
F z sin φ = P g
V 2
R
→
tan φ = V2
gR
(1.52)
Le facteur de charge correspondant est
n = F z
P = 1
cos φ = √
1 + tan 2 φ =
√
1 + V4
g 2 R 2 (1.53)

34 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS
L’équation de propulsion reste la même qu’en vol horizontal stabilisé, à savoir
T − F x = 0.
Comme dans le cas de la ressource, il existe des limitations à la manœuvre
qui, pour une vitesse donnée, déterminent un rayon minimum de virage :
Limitation due au décrochage La limitation due au décrochage est la même
que pour la ressource, à savoir n ≤ (V/V s ) 2 . Ceci conduit à
R 2 ≥
g 2 ( 1 V 4 s
1
− 1 V 4 )
(1.54)
Limitation structurale La conception structurale fixe une borne supérieure
n max au facteur de charge. Il en résulte la borne inférieure au rayon de
virage
R 2 ≥
V 4
(n 2 max − 1)g 2 (1.55)
et, comme annoncé à la section précédente, le rayon minimum de virage
est obtenu lorsque les deux bornes précédentes coïncident, c’està-dire
au point de manœuvre.
Limitation due à la poussée F x ne peut excéder T max . Par conséquent,
F x = C x
F z = C x
nP ≤ T max → n C x
≤ T max
C z C z C z P
(1.56)
En général, pour V faible, on rencontre d’abord la limitation due à la
sustentation et pour V grande, c’est la poussée maximum qui limite la
manœuvre, surtout en altitude. Cette dernière équation permet de définir
des enveloppes de vol de manœuvre (1g, 2g, . . . ) et les plafonds
correspondants.
Signalons pour terminer que la mise en virage horizontal est une manœuvre
très difficile à réaliser car il faut agir simultanément sur les quatre commandes :
manche (2 directions, palonnier et manette des gaz).
1.4.4 Charges dues aux rafales
Le passage à travers une rafale verticale n’est pas à proprement parler
une manœuvre mais, pour certaines catégories d’avion, il peut constituer une
condition de vol critique pour la conception structurale de l’appareil. Considérons
le cas de l’avion en vol horizontal stabilisé à vitesse V subissant un
échelon de vitesse verticale (rafale verticale) U de (voir figure). Cet échelon de
FIG. 1.15 – Aile pénétrant dans une rafale verticale
vitesse verticale produit initialement un échelon d’incidence ∆α = U de /V. Il

1.4. MANŒUVRES — ENVELOPPE DE MANŒUVRE 35
en résulte une augmentation de la portance qui produit une accélération verticale
de l’avion. La vitesse verticale w ainsi créée produit une réduction d’incidence.
Asymptotiquement, la vitesse verticale tend vers la vitesse U de de la
rafale, c’est-à-dire que l’avion monte avec le vent. L’équation du mouvement
s’écrit comme suit :
F z (α + U de
V
− w V ) − P = P g
Mais comme le vol original est un vol horizontal stabilisé, F z (α) = P. Dès lors,
en supposant que la portance s’établisse instantanément,
F z (α + U de
V
dw
dt
− w
V ) − P = dF z
dα (U de
V
− w V ) = ρV2
2 S dC z
( U de
}{{}
dα V − w V )
≡C zα
de sorte que l’équation du mouvement est finalement
ρV 2
ou encore,
en définissant
2 SC zα( U de
V
− w V ) = P g
dw
dt
dw
dt
→
dw
dt
= ρgC zα
2(P/S) V(U de − w)
= V L (U de − w) (1.57)
L = 2(P/S)
ρgC zα
Cette équation s’intègre immédiatement pour donner
w = U de (1 − exp(− Vt
L )) = U de(1 − exp(− s )) (1.58)
L
Le facteur de charge correspondant est
n = F z
P = 1 + ρVC zα(U de − w)
= 1 + V(U de − w)
= 1 + VU de
2(P/S)
gL
gL
exp(−Vt L )
qui prend une valeur maximum au temps initial
n = 1 + VU de
gL
= 1 + ρC zαU de V
2(P/S)
(1.59)
En réalité, les rafales ne sont jamais abruptes mais bien graduelles, de sorte
que la charge réelle est atténuée 7 . On tient compte de cet effet en introduisant
un facteur d’atténuation dans l’expression précédente.
n = 1 + F ρC zαU de V
2(P/S)
(1.60)
On a inclus les charges dues aux rafales sur l’enveloppe de manœuvre représentée
à la Fig. 1.13.
7 En outre, comme on l’a mentionné précédemment, la portance ne s’établit pas instantanément,
ce qui renforce cet effet d’atténuation.

36 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS

Chapitre 2
Stabilité statique et guidage
2.1 Introduction
Avant d’entamer l’étude des caractéristiques de stabilité des avions, il convient
d’en mesurer la portée réelle et d’autre part de définir précisément les notions
qui seront utilisées par la suite et notamment la distinction entre stabilité
statique et stabilité dynamique. En réalité, pour les véhicules aériens
comme pour les véhicules terrestres ou maritimes, la préoccupation essentielle
est que le véhicule soit aisément contrôlable, c’est-à-dire que le pilote
puisse sans effort excessif d’une part maintenir le véhicule dans une configuration
de vol (de mouvement) donnée et d’autre part faire passer le véhicule
d’une configuration à l’autre (manœuvrabilité).
Cet aspect de contrôlabilité du véhicule a revêtu dès la naissance de l’aviation
une importance primordiale pour la conception des avions. L’importance
bien plus grande que présente ce sujet pour les véhicules aériens que
pour les véhicules terrestres provient principalement du fait que ces véhicules,
tout comme les sous-marins d’ailleurs, se déplacent dans un espace
à trois dimensions, contrairement aux véhicules terrestres, qui se déplacent
sur une surface (espace à deux dimensions) voire le long d’une courbe (espace
à une dimension) pour le cas des véhicules ferroviaires. Et par rapport
aux sous-marins et aux dirigeables, c’est l’origine physique des forces de sustentation
(aérodynamiques plutôt qu’hydrostatiques) qui en rend le contrôle
plus délicat.
Contrôlabilité et stabilité d’un véhicule ne sont pas des concepts équivalents.
En effet, la contrôlabilité d’un véhicule n’implique pas qu’il soit stable
vis-à-vis de perturbations extérieures sans intervention du pilote : on utilise
bien les bicyclettes, qui sont pourtant instables de ce point de vue. Semblablement,
bon nombre d’avions considérés excellents du point de vue de
leurs caractéristiques de pilotage présentent une légère instabilité latérale appelée
divergence spirale. Cette instabilité ne présente aucun problème car
elle se développe tellement lentement que le pilote la corrige constamment
sans même s’en rendre compte. Par contre, lorsque l’avion est sous pilotage
automatique, il est évidemment essentiel que le système en boucle fermée
37

38 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
(avion + régulateur) soit stable vis-à-vis de perturbations atmosphériques et
des commandes provenant du système de navigation.
Un aspect étroitement lié à la question de la stabilité est celle du guidage,
à savoir l’action des commandes sur l’avion. Les questions qui nous préoccupent
à cet égard sont d’une part de déterminer le réglage des commandes
requis pour obtenir une configuration de vol donnée (et les efforts associés
à fournir par le pilote) et d’autre part la manière dont l’avion répond dynamiquement
à un échelon de commande. En général, on constate un certain
conflit entre les exigences de stabilité et de manœuvrabilité : une configuration
très stable nécessite de fortes sollicitations pour changer d’état d’équilibre
alors qu’une configuration très manœuvrable est souvent proche de l’instabilité.
Définissons à présent plus précisément les notions de stabilité statique
et dynamique. La stabilité est une propriété d’un état d’équilibre de l’avion,
c’est-à-dire d’un vol stabilisé. L’état d’équilibre est dynamiquement stable si
le véhicule y retourne après en avoir été écarté par une petite perturbation.
La stabilité dynamique concerne par conséquent le comportement asymptotique
(la limite pour t → ∞) du transitoire produit par un écart par rapport
à l’équilibre. En se limitant à de petites perturbations, on peut linéariser
les équations du mouvement autour du point d’équilibre. On parle alors
d’une théorie linéaire de stabilité. La stabilité statique est relative quant à elle
à la réponse initiale à la perturbation, c’est-à-dire à la limite de la réponse
pour t → 0. On dit qu’un avion est statiquement stable si les forces/couples
résultant de la perturbation ont tendance à le ramener à l’état d’équilibre.
Comme elle est relative à l’état initial, la stabilité statique s’étudie beaucoup
plus simplement que la stabilité dynamique. On obtient de la sorte de nombreuses
informations utiles, d’autant plus que la stabilité statique est une
condition nécessaire de la stabilité dynamique. Enfin, on distingue les stabilité
« commandes fixes » et « commandes libres » selon que les commandes
soient maintenues en position ou au contraire libres de se déplacer sous l’effet
des sollicitations résultant de la perturbation.
2.2 Stabilité statique longitudinale manche fixe
2.2.1 Critère de stabilité statique longitudinale et implications
Équilibre en rotation
Pour assurer l’équilibre longitudinal de l’avion, la somme des forces dans
le plan de symétrie de l’avion (deux composantes) et du moment des forces
dans la direction normale au plan de symétrie (une composante, moment
de tangage) doivent s’annuler. Soit un aéronef donné (de configuration arbitraire
: aile seule, aile et fuselage, aile, fuselage et empennage, . . . ). La géométrie
étant fixée (en particulier le réglage de la gouverne de profondeur), en
portant en graphique le coefficient de moment des forces aérodynamiques
(et de propulsion) autour du centre de gravité de l’avion en fonction de l’in-

2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 39
cidence α mesurée à partir de la direction de portance nulle de l’aéronef entier,
on obtient typiquement une courbe telle que celles représentées à la figure
2.1, ainsi que le montre l’analyse de la section suivante. Dans ces condi-
FIG. 2.1 – Moment de tangage en fonction de l’incidence
tions, l’équilibre en rotation n’est assuré qu’au point où la courbe de moment
de tangage croise l’axe des abcisses, c’est-à-dire au point A. Cela signifie que,
pour cette géométrie, le vol n’est possible qu’à l’incidence correspondante
(et, vu l’équilibre en sustentation, qu’à la vitesse correspondante).
Stabilité statique
Examinons à présent la stabilité statique de ce point d’équilibre. En réalité,
on considère une forme restreinte de la stabilité statique, que l’on appelle
parfois « raideur en tangage » [5], à savoir la stabilité vis-à-vis de perturbations
d’incidence uniquement. Supposons que l’avion correspondant à la courbe
a de la figure subisse une perturbation d’incidence positive. Le moment de
tangage prendra alors une valeur négative (moment piqueur) et aura donc
tendance à ramener l’avion dans son état non perturbé. En accord avec la définition
introduite à la section précédente, on en déduit que l’avion est statiquement
stable en tangage, ou qu’il présente une raideur en tangage positive.
Inversément, l’avion correspondant à la courbe b de la figure est statiquement
instable.
Une conséquence directe de cette analyse est que les deux conditions à
remplir par une géométrie pour qu’il existe un état d’équilibre stable sont que
le coefficient de moment pour une portance nulle C m0 soit positif et que la
pente de la courbe de moment de tangage en fonction de l’incidence C mα soit
négative. Comme on le verra ultérieurement, cette dernière condition peut
être remplie pour n’importe quelle configuration d’avion en plaçant le centre
de gravité suffisamment en avant. Par conséquent, il suffit pour assurer l’existence
d’un état équilibre stable que la configuration possède un C m0 positif.

40 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
Configurations possible
Considérons tout d’abord le cas d’une aile droite isolée. Pour une telle
aile, le coefficient de moment au foyer est de signe inverse de la cambrure
de l’aile (voir cours de Mécanique des fluides I). Par conséquent, seule une
aile de cambrure négative permet d’obtenir un état d’équilibre stable. Mais
cette configuration présente de nombreux défauts, notamment une traînée
élevée et un faible coefficient de portance maximum.
Par contre, il est possible d’obtenir un C m0 positif avec une aile en flèche
de cambrure positive en vrillant les extrémités vers le bas (voir figure). Dans
FIG. 2.2 – Aile en flèche vrillée
ce cas, à l’incidence de portance nulle, la partie centrale de l’aile fournit une
portance positive et les extrémités une portance négative, ce qui produit le
moment positif souhaité. On peut semblablement obtenir un coefficient de
moment positif pour une aile delta en vrillant les extrémités ou en introduisant
une cambrure négative aux extrémités, par exemple en défléchissant le
bord de fuite vers le haut.
Mais la solution la plus utilisée en pratique pour obtenir une configuration
avec un coefficient de moment positif consiste à utiliser deux (voire parfois
trois) surfaces portantes. Le plus souvent, une de ces surfaces est beaucoup
plus grande que l’autre. On distingue alors deux configurations (voir
figure) : soit l’aile principale est située en avant, c’est la configuration classique
avec empennage horizontal arrière, soit l’aile principale est située en
arrière, ce qu’on appelle généralement configuration canard. Dans le cas de
la configuration classique, l’empennage est calé négativement de manière à
produire une portance négative à l’incidence de portance nulle, alors que
pour la configuration canard, le canard est calé positivement de manière à
produire une portance positive. Mentionnons pour l’anecdote que la configuration
de l’avion des frères Wright était de type canard. Chacune des deux
configurations a des avantages et des inconvénients dont la discussion sort
du cadre de ce cours. On consultera avantageusement à ce propos la littérature
relative à la conception des avions (aircraft design), par exemple l’ou-

2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 41
FIG. 2.3 – Configurations avec deux surfaces portantes
vrage de D. Raymer [6].
2.2.2 Moment de tangage
Analysons à présent l’expression du moment de tangage autour d’une configuration
classique pour déterminer la condition à satisfaire par la position du
centre de gravité pour obtenir un état d’équilibre stable.
Contribution de l’aile principale
Le centre aérodynamique de l’aile (foyer) étant défini comme le point autour
duquel le moment des forces aérodynamiques est indépendant de l’incidence
(et donc de la portance), le moment autour du centre de gravité de
l’avion de ces forces s’obtient aisément par les règles de transport du moment.
Avec les notations définies à la figure 2.4 où ¯c est la corde aérodyna-
FIG. 2.4 – Système de forces et moment sur l’aile

42 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
mique moyenne de l’aile définie par
on obtient
¯c = 1 S
∫ b/2
−b/2
c 2 dy (2.1)
M w = M acw + (L w cos α w + D w sin α w )(h − h nw ) ¯c + (L w sin α w − D w cos α w )z
(2.2)
Remarquons que l’expression obtenue est indépendante de la position (arbitraire)
du bord d’attaque de la corde aérodynamique moyenne par rapport à
laquelle les distances sont mesurées. En non-dimensionnalisant par ½ρV 2 ¯c,
et en supposant des angles d’incidence faibles, on obtient
C mw = C macw + (C Lw + C Dw α w )(h − h nw ) + (C Lw α w − C Dw )z/ ¯c (2.3)
Dans la plupart des cas, le dernier terme est négligeable, de même que la
contribution de la traînée dans le deuxième terme, de sorte qu’on obtient finalement
C mw = C macw + C Lw (h − h nw )
= C macw + a w α w (h − h nw ) (2.4)
en notant a w la pente de la courbe de portance de l’aile (a w = C Lαw ).
Contribution du fuselage et des nacelles
L’influence du fuselage et des nacelles est complexe. Un fuselage isolé subit
également des efforts aérodynamiques qui se réduisent globalement, pour
des incidences modérées, à une portance, une traînée et un moment indépendant
de l’incidence autour d’un centre aérodynamique. Les propriétés aérodynamiques
d’une combinaison aile/fuselage ne s’obtiennent cependant
pas par la simple superposition des propriétés de l’aile et du fuselage séparément
car de fortes interférences existent. Ainsi, la présence du fuselage modifie
l’écoulement autour de l’aile, en particulier la distribution de portance en
envergure, et les vitesses induites par la nappe tourbillonaire émise par l’aile
produisent une contribution positive (déstabilisante) à la pente de la courbe
C m − α.
En résumé, l’adjonction du fuselage et des nacelles à une aile a généralement
pour effet de déplacer le centre aérodynamique vers l’avant, d’augmenter
légèrement la pente de la courbe de portance et de fournir une contribution
négative au coefficient de moment au foyer. L’équation du moment de
tangage de la combinaison aile/fuselage/nacelles prend alors la même forme
que pour l’aile seule (2.4) mais avec des valeurs différentes des paramètres.
C mwb = C macwb + C Lwb (h − h nwb )
= C macwb + a wb α wb (h − h nwb ) (2.5)

2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 43
où a wb est la pente de la courbe de portance de la combinaison aile/fuselage/
nacelles.
Contribution de l’empennage
Les efforts aérodynamiques sur l’empennage s’expriment exactement comme
ceux sur l’aile principale, à ceci près que les interférences dues à la présence
de l’aile principale doivent être prises en compte. L’effet dominant est la déflection
vers le bas de l’écoulement abordant l’empennage par la nappe tourbillonnaire
émise par l’aile principale, qui a pour effet de réduire l’incidence
d’un angle de déflexion ɛ. La position de l’empennage par rapport à l’aile
principale étant schématisé à la figure 2.5, on obtient l’expression suivante
FIG. 2.5 – Système de forces et moment sur l’empennage
pour le moment de tangage produit par l’empennage :
M t = M act − l t [L t cos(α wb − ɛ) + D t sin(α wb − ɛ)]
−z t [(L t sin(α wb − ɛ) − D t cos(α wb − ɛ)] (2.6)
où L t et D t sont respectivement portance et traînée — c’est-à-dire composantes
perpendiculaire et parallèle au vent effectif V ′ de la force aérodynamique
— de l’empennage. En pratique, le terme −l t L t cos cos(α wb −ɛ) ≈ −l t L t
est prépondérant. En définissant le coefficient de portance de l’empennage
comme
L t
C Lt =
½ρV 2 (2.7)
S t
on obtient, en non-dimensionnalisant à nouveau par ½ρV 2 ¯c
C mt
= − l t S t
¯c S C L t
(2.8)
Mentionnons que souvent dans la littérature le coefficient de portance de
l’empennage est défini à partir de la pression dynamique locale (= ½ρV ′2 )
qui diffère de la pression dynamique de l’écoulement libre en raison des interférences
produites par l’aile principale, ce qui introduit dans l’expression
du moment de tangage un facteur V ′2 /V 2 que l’on appelle parfois un facteur

44 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
d’efficacité de l’empennage. On adopte plutôt ici l’approche suivie par Etkin
[5] qui consiste à intégrer ce facteur dans le coefficient de portance de
l’empennage.
Le rapport l t S t / ¯cS qui apparaît dans l’expression du coefficient de moment
de l’empennage (2.8) est un rapport de volumes caractéristique de la
géométrie de l’avion, que l’on appelle communément « rapport de volumes
de l’empennage horizontal » et que l’on note V H , de sorte qu’avec cette notation,
on a
C mt
= −V H C Lt
Le centre de gravité d’un avion pouvant bouger en fonction du chargement et
de la consommation de carburant, il est plus commode de définir la position
de l’empennage par rapport au foyer de la combinaison aile/fuselage/nacelles
plutôt que par rapport au centre de gravité. En notant ¯l t la distance le long de
la direction de portance nulle de l’aile/fuselage entre le foyer de l’empennage
et le foyer de l’aile, on a
¯l t = l t + (h − h nwb ) ¯c (2.9)
de sorte qu’en définissant ¯V H = ¯l t S t / ¯cS = V H + (h − h nwb )S t /S, l’expression
du coefficient de moment de l’empennage devient
Contribution du système de propulsion
C mt = −¯V H C Lt + (h − h nwb ) S t
S C L t
(2.10)
Le système de propulsion fournit deux contributions au moment de tangage
de l’avion : la contribution directe du moment des forces propulsives,
et une contribution indirecte par l’interférence entre le souffle ou le jet propulsif
et la cellule (aile/fuselages/empennage). En supposant que les effets
indirects sont intégrés dans les coefficients aérodynamiques des éléments de
la cellule, il reste la contribution directe que l’on notera C mp .
2.2.3 Point neutre manche fixe
En rassemblant l’ensemble des contributions au moment de tangage, on
obtient
C m = C macwb + C Lwb (h − h nwb ) − ¯V H C Lt + (h − h nwb ) S t
S C L t
+ C mp
Cette expression se simplifie en remarquant que
C Lwb + S t
S C L t
= L wb + L t
½ρV 2 ¯c = C L (2.11)
n’est rien d’autre que le coefficient de portance global, pour donner
C m = C macwb + C L (h − h nwb ) − ¯V H C Lt + C mp (2.12)

2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 45
On obtient alors la raideur en tangage en dérivant par rapport à l’angle d’incidence
α.
C mα
∂C Lt
= C Lα (h − h nwb ) − ¯V H
∂α + ∂C m p
∂α
(2.13)
puisque, par la définition même du centre aérodynamique de l’ensemble aile/fuselage,
le coefficient de moment en ce point est indépendant de l’incidence. On observe
que la raideur en tangage est une fonction linéaire de la position du
centre de gravité. Le point pour lequel la raideur en tangage s’annule, prend
un sens particulier puisqu’il définit la frontière entre centrages stables et instables.
On lui donne le nom de point neutre. À partir de l’expression (2.13),
on obtient immédiatement
h n = h nwb + 1 [
∂C Lt
¯V H
C Lα ∂α − ∂C ]
m p
∂α
(2.14)
En utilisant cette définition, la raideur en tangage s’exprime simplement comme
C mα = C Lα (h − h n )
qui suggère une manière simple de déterminer la position du point neutre à
partir de mesures expérimentales de portance et de moment : la position du
point neutre s’obtient directement à partir des pentes des courbes de C m et
C L en fonction d’α :
h n − h = − C m α
C Lα
(2.15)
On appelle communément marge statique cette distance entre le centre de
gravité et le point neutre. Puisque C mα doit être négatif pour que l’avion soit
statiquement stable, on en déduit que h n − h doit être positif, c’est-à-dire que
le centre de gravité doit se trouver en avant du point neutre. Plus le centre
de gravité occupe une position avancée, plus la marge statique est élevée.
Les règles de certification imposent que la marge statique demeure constammant
plus grande ou égale à 5% de la corde aérodynamique moyenne.
L’expression de la position du point neutre peut être explicitée pour des
expressions linéaires des forces de portance. Avec
C Lwb
= a wb α wb
C Lt = a t α t = a t (α wb − i t − ɛ)
et en linéarisant l’expression de la déflexion ɛ
ɛ = ɛ 0 + ∂ɛ
∂α α wb

46 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
l’expression du coefficient de portance devient
avec
C L = C Lwb + S t
S C L t
=
= a wb α wb + S t
S a t (α wb (1 − ∂ɛ
∂α ) − i t − ɛ 0 )
[
a wb + S t
S a t (1 − ∂ɛ ]
∂α ) α wb − S t
S a t (i t + ɛ 0 )
= aα
a = a wb + S t
S a t (1 − ∂ɛ
∂α ) et α = α wb − a t S t
aS (i t + ɛ 0 )
(2.16)
Semblablement, en linéarisant l’expression du coefficient de moment de moment
de tangage dû aux forces de propulsion selon
C mp
= C m0p + ∂C m p
∂α α
l’expression du coefficient de moment devient,
C m = C macwb
+ aα(h − h nwb ) − ¯V H a t (α wb (1 − ∂ɛ
∂α ) − i t − ɛ 0 ) + C m0p + ∂C m p
∂α α
= C macwb + C m0p + ¯V H a t (i t + ɛ 0 ) + aα(h − h nwb ) − ¯V H a t (1 − ∂ɛ
∂α )α wb + ∂C m p
∂α α
[
= C macwb + C m0p + ¯V H a t (i t + ɛ 0 ) 1 − a ]
t S t ∂ɛ
(1 −
aS ∂α ) } {{ }
C m0
+
[
a(h − h nwb ) − ¯V H a t (1 − ∂ɛ
∂α ) + ∂C ]
m p
∂α
} {{ }
α (2.17)
C mα
On en déduit la position du point neutre, à savoir
h n = h nwb + 1 [
¯V H a t (1 − ∂ɛ
a
∂α ) − ∂C ]
m p
∂α
(2.18)
Comme C mα = a(h − h n ), le coefficient de moment au centre de gravité peut
finalement s’exprimer simplement par la relation linéaire
C m = C m0 + aα(h − h n ) (2.19)
2.3 Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
2.3.1 Angle de gouverne
Étudions à présent la question du guidage longitudinal de l’avion du point
de vue statique, c’est-à-dire la relation entre l’état d’équilibre de l’avion et le
réglage de la commande correspondante. À partir de l’expression finale du

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX47
coefficient de moment de tangage, on en déduit que le point d’équilibre est
obtenu pour l’incidence
α =
C m0
a(h n − h)
(2.20)
d’où on déduit qu’il est possible de contrôler l’état d’équilibre en faisant varier
le centrage (la marge statique). Cette possibilité, qui a effectivement été
mise en pratique par Lilientahl, un des pionniers de l’aviation, et l’est encore
pour certains ULM ou parapentes, n’est évidemment pas utilisable pour la
plupart des avions. En outre, elle présente le désavantage de faire varier la
marge statique en même temps que le point d’équilibre, la marge statique diminuant
alors que l’incidence augmente, et donc que l’on se rapproche du
décrochage.
Pour ces raisons, on préfère contrôler l’incidence de l’avion par une déformation
de sa géométrie qui modifie C m0 en modifiant le moins possible la
marge statique. La solution la plus communément employée consiste à introduire
un volet mobile dans l’empennage appelée gouverne de profondeur,
qui en modifie la cambrure et par conséquent l’incidence de portance nulle
(voir figure) : Notant δ e l’angle de la gouverne de profondeur, l’expression du
FIG. 2.6 – Gouverne de profondeur
coefficient de portance de l’empennage se modifie comme suit :
C Lt = a t α t + a e δ e = a t (α wb − i t − ɛ) + a e δ e (2.21)
c’est-à-dire que s’ajoute un terme dépendant linéairement de l’angle de gouverne.
Par conséquent, le coefficient de portance et le coefficient de moment
globaux s’en trouvent modifiés. En ce qui concerne le coefficient de portance,
il devient
C L = aα + S t
S a eδ e (2.22)
En ce qui concerne le coefficient de moment, C mα et donc la marge statique
restent inchangés alors que C m0 est modifié comme suit :
[ ]
St
C m0 = C m00 +
S (h − h n wb
) − ¯V H a e δ e (2.23)
Ces modifications sont représentées à la figure suivante. Une déflexion positive
de la gouverne déplace le point d’équilibre vers une incidence plus faible
(et donc une vitesse plus élevée).

48 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
FIG. 2.7 – Effet de la déflexion de la gouverne de profondeur sur les coefficients
aérodynamiques
La relation entre l’angle de gouverne et l’incidence d’équilibre s’obtient
directement en résolvant l’équation d’équilibre en rotation C m = 0. On obtient
ainsi
δ eéq.
C m (α)
= − [ ] = − C m 00
+ a(h − h n )α
[ ] (2.24)
a
St
e S (h − h n wb
) − ¯V H a
St
e S (h − h n wb
) − ¯V H
et le coefficient de portance correspondant vaut
C Léq.
= aα + S t
S a eδ eéq.
En pratique, c’est le coefficient de portance qui est spécifié plutôt que l’angle
d’incidence (en vol horizontal, le coefficient de portance est directement fonction
de la vitesse de vol). L’incidence et la déflexion de la gouverne s’obtiennent
alors en résolvant le système
aα éq. + S t
S a eδ eéq. = C Léq.
a(h − h n )α éq. + a e
[
St
S (h − h n wb
) − ¯V H
]
δ eéq. = −C m00
(2.25)

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX49
On obtient
α éq. = a e
[
St
S (h − h n wb
) − ¯V H
]
C Léq. + S t
S C m 00
D
avec
δ eéq.
D = aa e
[
St
S (h n − h nwb ) − ¯V H
]
= −a C m 00
+ (h − h n )C Léq.
D
(2.26)
À partir de ces résultats, on peut en déduire la courbe de portance à l’équilibre
(C Léq. en fonction de α éq. ), à savoir
dont la pente est
C Léq. =
[
1
S t
S (h − h − S t
n wb
) − ¯V H
S C m 00
+ D ]
α éq.
a e
dC Léq.
= D 1
dα éq. a S e t
S (h − h = a
n wb
) − ¯V H
[
1 −
S t
S (h − h ]
n)
S t
S (h − h n wb
) − ¯V H
(2.27)
(2.28)
soit légèrement plus faible que la pente à géométrie fixe C Lα = a comme illustré
à la figure.
FIG. 2.8 – Pente de la courbe de portance à l’équilibre
La variation de l’angle de gouverne en fonction du coefficient de portance
à l’équilibre (2.26) suggère une détermination expérimentale en vol de la position
du point neutre. En effet, la pente de la courbe de l’angle de gouverne
en fonction du coefficient de portance
dδ eéq.
= − a(h − h n)
dC Léq. D
(2.29)
est directement proportionnelle à la marge statique. Dès lors, en portant cette
pente en fonction de la position du centre de gravité, on obtient le point

50 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
neutre par extrapolation au point où la pente s’annule comme esquissé à la
figure.
FIG. 2.9 – Détermination du point neutre par essais en vol
2.3.2 Couple de charnière et effort dans le manche
Pour défléchir la gouverne de profondeur, il faut appliquer un effort dans
le manche qui équilibre le couple produit par les pressions aérodynamiques
résultant de la déflexion sur la charnière de la gouverne. Anciennement, et
encore de nos jours pour beaucoup d’appareils d’aviation légère, la commande
de la gouverne par le manche s’effectuait au moyen d’un système mécanique
de câbles, tiges, leviers et poulies, dont le principe est schématiquement représenté
à la figure 2.10. Avec l’augmentation de la vitesse des appareils, il est
FIG. 2.10 – Schéma d’un système mécanique de commande de la gouverne
de profondeur
devenu nécessaire d’adjoindre une assistance via des actuateurs amplifiant
l’effort fourni par le pilote. Actuellement, on recourt fréquemment à des systèmes
de commandes électriques (« fly-by-wire ») ou opto-électriques (« flyby-light
»). En tout cas, quelle que soit la nature du système de commande, il
est nécessaire, pour le concevoir correctement, de connaître précisément le
couple à appliquer à la gouverne pour la défléchir d’un angle donné.

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX51
Considérons une géométrie typique d’empennage horizontal comprenant
un compensateur (tab) tel que représenté à la figure 2.11 Le compensateur
FIG. 2.11 – Géométrie d’un empennage horizontal
(tab), dont on discutera la fonction ultérieurement, est un petit volet qui a
généralement un effet négligeable sur la portance de l’empennage (et donc
sur le moment de tangage sur l’avion) mais par contre un effet substantiel sur
le couple de charnière de la gouverne H e . Définissant le coefficient adimensionnel
associé
C he =
H e
qS e ¯c e
, (2.30)
où S e est la surface de la partie de la gouverne en arrière de la charnière, il
s’exprime, dans le cadre d’une théorie linéarisée, de la manière suivante :
C he = b 0 + b 1 α t + b 2 δ e + b 3 δ t (2.31)
où δ t est la déflexion du compensateur, comptée positive vers le bas. Pour les
empennages à profil symétrique (b 0 = 0), cas le plus fréquent en pratique,
compte tenu de l’expression de l’incidence sur l’empennage
α t = (1 − ∂ɛ
∂α )α wb − i t − ɛ 0 = (1 − ∂ɛ
∂α )α − [
1 − a t S t
aS
(1 −
∂ɛ
∂α ) ]
(i t + ɛ 0 ) (2.32)

52 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
cette expression devient
avec
C he = C he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t (2.33)
[
C he0 = −b 1 1 − a t S t
aS
C heα = b 1 (1 − ∂ɛ
∂α )
(1 −
∂ɛ
∂α ) ]
(i t + ɛ 0 )
Les coefficients b 1,2,3 sont parmi les coefficients aérodynamiques intervenant
en stabilité et guidage les plus difficiles à évaluer. Ils sont en effet extrêmement
sensibles aux multiples paramètres définissant la géométrie de l’empennage
— balance aérodynamique (rapport c b /c e ), fraction de corde de la
gouverne (rapport c e /c t ), passage entre la gouverne et la partie fixe de l’empennage,
angle de bord de fuite, . . . — mais aussi au nombre de Reynolds (état
et épaisseur des couches limite sur l’empennage et la gouverne). On les évalue
généralement à l’aide de corrélations empiriques basées sur des mesures
en soufflerie et en vol mises à jour continuellement (Engineering Data Sheets
britanniques et Datcom américains, disponibles sous forme informatique).
Dans le cas d’un système mécanique de commande de la gouverne (voir
figure 2.10), la relation entre la force dans le manche et le moment de charnière
de la gouverne s’obtient aisément par le théorème de l’énergie cinétique.
Comme l’énergie cinétique du système est invariante, on en déduit que
le travail total est nul, c’est-à-dire
Fs + H e δ e = 0 (2.34)
de sorte que la force dans le manche est simplement proportionnelle au couple
de charnière
F = − δ e
s H e = GH e (2.35)
où le facteur G est la démultiplication du système mécanique. Pour un système
avec assistance, la force dans le manche reste proportionnelle au couple
de charnière, la seule différence étant que le facteur G comprend également
l’effet de l’assistance. Enfin, même dans le cas de commandes électriques ou
opto-électriques, la relation reste généralement valable car ces systèmes reproduisent
une résistance dans le manche de manière à fournir au pilote une
sensation (« artificielle ») semblable à celle (sensation « naturelle ») fournie par
un système mécanique. Compte tenu de l’expression du coefficient de couple
de charnière (2.33), la force dans le manche peut s’écrire de la manière suivante
:
F
GS e ¯c e
= q(C he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t )
En exprimant l’incidence et la déflexion de la gouverne en fonction du coefficient
de portance et en utilisant l’équilibre en sustentation qC Léq. = P/S, cette

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX53
équation devient
F
= C [
m δe
C heα − b 2 C mα P
GS e ¯c e D S + q C he0 + b 3 δ t + C L δe
C heα − b 2 C Lα
D
ou encore
C m00
]
(2.36)
F
GS e ¯c e
= A + Bq (2.37)
d’où il apparaît que la force dans le manche est directement proportionnelle à
la pression dynamique, ce qui explique la nécessité d’employer des dispositifs
d’assistance pour les vols à grande vitesse.
2.3.3 Point neutre manche libre
On a condidéré précédemment la stabilité statique dans le cas où la gouverne
de profondeur est calée dans une position fixe. En pratique, un pilote
humain est incapable de maintenir le manche en position fixe lorsque
l’avion subit une perturbation d’incidence, alors que l’on s’en approche si
l’avion est équipé d’un dispositif d’assistance avec bloquage. On s’intéresse
maintenant à l’autre cas extrême, à savoir celui où la gouverne de profondeur
est totalement libre de se déplacer sous l’effet des forces aérodynamiques
qui s’exercent sur elle. Il s’agit d’un cas extrême en raison des frottements
inévitables qui s’opposent au mouvement de la gouverne, mais il est néanmoins
intéressant de l’analyser puisque la réalité se situe entre les deux cas
extrêmes.
Lorsque la gouverne de profondeur est libre, le couple de charnière est
nul. Par conséquent, la déflexion de la gouverne vaut
δ elibre = − 1 b e
(C he0 + C heα α + b 3 δ t ) (2.38)
Il en résulte que les expression du coefficient de portance et de moment se
modifient comme suit :
C L = aα + S t
S a eδ elibre
C m = C m00 + a(h − h n )α +
= (a − C Lδe
C heα
= C m00 + C mα α + C mδe δ elibre
)α − C L δe
(C he0 + b 3 δ t ) (2.39)
b 2 b
[ 2
]
St
S (h − h n wb
) − ¯V H a e δ elibre
= C m00 + (C mα − C m δe
C heα
)α − C m δe
(C he0 + b 3 δ t ) (2.40)
b 2 b 2
On constate donc que la pente de la courbe de portance est réduite :
a ′ = a(1 − C L δe
C heα
ab 2
) (2.41)

54 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
L’effet de la gouverne libre peut aussi s’exprimer comme une réduction de
l’efficacité de l’empennage. En effet, le coefficient de portance de l’empennage
étant donné par
C lt
= a t α t + a e δ e
cette expression devient, dans le cas d’une gouverne libre,
C lt = (a t − a e
b 1
b 2
)α t − a eb 3
b 2
δ t (2.42)
c’est-à-dire que la pente ( de la courbe de portance de l’empennage est réduite
par un facteur F = 1 − a )
eb 1
communément appelé facteur de gouverne
a t b 2
libre de l’empennage.
Les propriétés de stabilité de l’avion avec gouverne libre s’obtiennent alors
simplement à partir des propriétés avec gouverne fixe en remplaçant a par a ′
et a t par Fa t . Par exemple, on tire de (2.40)
C ′ m α
= C mα − C m δe
C heα
b 2
= a(h − h n ) − C m δe
C heα
b 2
(2.43)
On en déduit que cette grandeur s’annule pour (point neutre manche libre)
h = h n + C m δe
C heα
ab 2
= h nwb + 1 a
[
¯V H a t (1 − ∂ɛ
∂α ) − ∂C ]
m p
+ C m δe
C heα
(2.44)
∂α ab 2
Compte tenu des expressions de C mδe et de C Lδe , à savoir
C Lδe
= a eS t
S
C mδe
l’équation précédente devient
h = h nwb + 1 a
= a e
[
St
S (h − h n wb
) − ¯V H
]
= C Lδe (h − h nwb ) − a e ¯V H
[
¯V H a t (1 − ∂ɛ
∂α ) − ∂C ]
m p
+ (C Lδe (h − h nwb ) − a e ¯V H ) C he α
∂α
ab 2
ou encore, compte tenu de l’expression de C heα
⎡
(
h
1 − C )
L δe
C heα
ab 2
} {{ }
= a′
a
= h nwb
(
1 − C L δe
C heα
ab 2
)+ 1 a
⎢
⎣¯V H a t (1 − ∂ɛ
∂α ) (1 − a eb 1
)
a t b
} {{ 1
}
F
Multipliant par a/a ′ , on obtient finalement que C ′ m α
s’annule pour
h n ′ = h nwb + 1 [
¯V
a ′ H Fa t (1 − ∂ɛ
∂α ) − ∂C ]
m p
∂α
− ∂C m p
∂α
(2.45)
(2.46)
soit effectivement la même expression que celle du point neutre manche fixe
dans laquelle a est remplacé par a ′ et a t par Fa t . Avec cette expression du
⎤
⎥
⎦

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX55
point neutre manche libre, on obtient encore l’expression suivante pour la
raideur en tangage
C ′ m α
= a ′ (h − h ′ n) (2.47)
où h − h ′ n est appelée marge statique manche libre.
La différence entre la marge statique manche fixe et la marge statique
manche libre est égale à h ′ n − h n . À partir des expressions de la raideur en
tangage
C ′ m α
on obtient
= a ′ (h − h ′ n) = a(h − h n ) − C m δe
C heα
b 2
= a(h − h n ) − (C Lδe (h − h nwb ) − a e ¯V H ) C he α
b 2
= (h − h n ) (a − C L δe
C heα
) −(C Lδe (h n − h nwb ) − a e ¯V H ) C he α
b
} {{ 2 b
}
2
a ′
= a ′ (h − h n ) − b 1
b 2
(1 − ∂ɛ
∂α )(C L δe
(h n − h nwb ) − a e ¯V H )
h ′ n − h n = b 1
a ′ b 2
(1 − ∂ɛ
∂α )(C L δe
(h n − h nwb ) − a e ¯V H )
= − a eb 1
a ′ b 2
(1 − ∂ɛ
∂α )(−S t
S (h n − h nwb ) + ¯V H ) (2.48)
qui est typiquement une grandeur négative de l’ordre de 0,08. Ceci signifie
que le point neutre manche libre est sensiblement en avant du point neutre
manche fixe, et par conséquent une réduction de la marge statique, donc de
la stabilité par rapport au cas du manche fixe.
2.3.4 Compensateurs et gradient de force dans le manche
On a vu précédemment (section 2.3.1) que pour voler à une vitesse donnée,
et donc à un C L donné, il fallait braquer la gouverne d’un angle δ eéq. bien
précis. On a vu d’autre part (section 2.3.2) qu’à chaque angle de gouverne
correspondait un couple de charnière et par conséquent une force dans le
manche. En régime de croisière pour une longue période, il serait extrêmement
fatigant pour le pilote d’exercer constamment un effort dans le manche.
Comme l’angle de gouverne libre δ elibre est fonction de la déflexion du compensateur,
on se sert alors de celui-ci pour faire coïncider l’angle de gouverne
libre avec celui d’équilibre. L’angle de compensateur désiré s’obtient à partir
de l’équation du moment de charnière (2.33)
δ téq = − 1 b 3
(C he0 + C heα α éq + b 2 δ eéq ) (2.49)

56 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
Insérant dans cette équations les expressions de l’incidence et de l’angle de
gouverne à l’équilibre, on obtient
δ téq = − 1 [
]
C Lδe C heα − b 2 C Lα C mδe C heα − b 2 C mα
C he0 + C m00 + C Léq (2.50)
b 3 D
D
On remarque la ressemblance avec l’expression de la force dans le manche
(2.36), que l’on peut donc réécrire comme
F
GS e ¯c e
= qC he = qb 3 (δ t − δ téq ) (2.51)
D’autre part, compte tenu de la définition de la raideur en tangage manche
libre
C ′ m α
= C mα − C m δe
C heα
b 2
on peut reformuler l’expression de l’angle du compensateur à l’équilibre comme
δ téq = − 1 [
C Lδe C heα − b 2 C Lα
C he0 + C m00 − b 2C ′ ]
m α
b 3 D
D C L éq
= − 1 [
C Lδe C heα − b 2 C Lα
C he0 + C m00 − b ]
2a ′
b 3 D
D (h − h′ n)C Léq (2.52)
d’où l’on observe que l’angle du compensateur à l’équilibre est fonction linéaire
du coefficient de portance d’équilibre et que la pente est proportionnelle
à la marge statique manche libre comme indiqué à la figure. L’expression
de la pente est
FIG. 2.12 – Angle du compensateur à l’équilibre
dδ téq
dC Léq
= b 2a ′
b 3 D (h − h′ n) (2.53)
soit une expression très semblable à celle de la pente de l’angle de gouverne
(2.29). On en conclut que l’on peut déterminer le point neutre manche libre
en vol par une procédure semblable à celle suggérée pour la détermination du
point neutre manche fixe, à savoir en portant en graphique la pente dδ téq /dC Léq
en fonction du centrage.

2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX57
Pour terminer, réanalysons l’expression de la force dans le manche (2.36).
F
= C [
m δe
C heα − b 2 C mα P
GS e ¯c e D S + q C he0 + b 3 δ t + C ]
L δe
C heα − b 2 C Lα
C m00
D
Avec l’expression de la raideur en tangage manche libre, on obtient l’expression
alternative
F
= − b 2a ′
GS e ¯c e D (h − h′ n) P [
S + q C he0 + b 3 δ t + C ]
L δe
C heα − b 2 C Lα
C m00 (2.54)
D
d’où l’on voit que le terme constant est proportionnel à la marge statique
manche libre, comme illustré à la figure. Comme F = 0 à la vitesse corres-
FIG. 2.13 – Effet du centrage sur la force dans le manche et son gradient au
point d’équilibre
pondant à la position d’équilibre du compensateur, on peut encore réécrire
ceci comme
F
= − b 2a ′
GS e ¯c e D (h − h′ n) P S (1 − q ) (2.55)
q éq
Le gradient de cette force par rapport à la vitesse au point d’équilibre constitue
une importante caractéristique de pilotage. Dérivant l’expression précédente
par rapport à la vitesse, on obtient
1 dF
GS e ¯c e dV = ρV dF
GS e ¯c e dq = b 2a ′
D (h − h′ n) P ρV
S q éq
et la valeur au point d’équilibre est donc
( )
1 dF
GS e ¯c e dV
éq
= b 2a ′
D (h − h′ n) P S
2
V éq
(2.56)
c’est-à-dire proportionnelle à la marge statique manche libre. Au point neutre
manche libre, le gradient de force dans le manche s’annule et la force dans le
manche est nulle pour toutes les vitesses. Il s’agit là d’une propriété caractéristique
du point neutre manche libre, à savoir que lorsque le centre de gravité
est en ce point, on ne doit exercer aucune force pour modifier la vitesse
de vol.

58 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
En examinant l’expression du gradient de force dans le manche, on observe
également que la commande sera d’autant plus ferme que l’avion est
grand (F ∝ S e ¯c e , c’est-à-dire au cube de la taille de l’avion), que la vitesse est
faible et donc, à pression dynamique constante, que l’altitude est faible, que
le centre de gravité est avancé et que le poids est élevé.
2.4 Stabilité statique latérale
2.4.1 Notations et remarques préalables
À ce stade, il devient nécessaire de préciser les notations pour les diverses
composantes du couple aérodynamique, des angles définissant l’attitude de
l’avion et des angles définissant la configuration aérodynamique. Tant qu’on
se restreint au vol stabilisé dans le plan de symétrie, l’attitude de l’avion se
caractérise en effet uniquement par l’angle d’assiette et la seule composante
du couple aérodynamique est le moment de tangage, mais dans le cas général,
il faut considérer les deux autres composantes du couple aérodynamique
et les deux autres angles caractérisant l’attitude de l’avion.
L’orientation de l’avion par rapport au système inertiel d’axes liés à la terre
est entièrement définie par trois paramètres : on peut utiliser à cette fin les
cosinus directeurs des vecteurs de base du repère lié à l’avion (remarquer
que seuls trois parmi les neufs sont indépendants, les autres étant liés par
les conditions d’orthonormalité) ou les angles d’Euler, angles de trois rotations
successives à appliquer au repère inertiel pour l’amener sur le repère
lié à l’avion. C’est cette dernière option que l’on adopte ici, comme dans la
plupart des ouvrages de mécanique du vol, en raison de son plus grand sens
physique. Les rotations définissant les angles d’Euler sont (voir figure)
1. une rotation d’angle ψ, appelé azimut, autour de l’axe z 1 du repère local
(avec origine au centre de gravité de l’avion) parallèle au repère inertiel
Ox 0 y 0 z 0 ,
2. une rotation d’angle θ, appelé assiette longitudinale ou en abrégé assiette,
autour de l’axe y 2 du repère obtenu par la rotation précédente,
et
3. une rotation d’angle φ, appelé angle de gîte ou encore de roulis, autour
de l’axe x 3 du repère obtenu par la rotation précédente.
Il faut remarquer que l’ordre des rotations n’est pas indifférent, car la valeur
des angles serait modifiée si l’on adoptait un ordre différent. Il ne devient indifférent
que pour des rotations infinitésimales.
On note respectivement L, M et N les composantes du couple aérodynamique
dans le repère avion et p, q (à ne pas confondre avec la pression dynamique)
et r les composantes de la vitesse de rotation de l’avion.
Le repère aérodynamique, lui, est entièrement défini par rapport au repère
avion par deux angles. L’axe x a étant aligné avec le vecteur vitesse, l’axe z a est
défini comme étant l’intersection du plan perpendiculaire à x a et du plan de
symétrie de l’avion, et l’axe y a complète le repère. Avec cette définition, on

2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 59
FIG. 2.14 – Orientation de l’avion
amène le repère avion sur le repère aérodynamique par les deux rotations
suivantes :
1. une rotation d’angle −α x , appelé incidence 1 , autour de l’axe y, et
2. une rotation d’angle β, appelé dérapage, autour de l’axe z a .
Ces angles peuvent aussi se définir à partir du vecteur ⃗V ′ , projection orthogonale
du vecteur vitesse sur le plan de symétrie de l’avion, α x étant l’angle entre
l’axe x et le vecteur ⃗V ′ et β étant l’angle entre le vecteur vitesse et le vecteur
⃗V ′ . Ils se calculent simplement à partir des composantes u, v, w du vecteur V
dans le repère avion par les expressions suivantes
α x = tan −1 w u
β = tan −1 v V
(2.57)
Il existe de grandes différences entre mouvement longitudinal et latéral.
1 On identifie l’incidence ainsi définie par l’indice x pour la distinguer de l’incidence par rapport
à la direction de portance nulle α. Les deux incidences coïncident si l’axe x est aligné avec la
direction de portance nulle, mais il est souvent plus commode de le choisir différemment (voir
chapitre 3.

60 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
Alors que le mouvement longitudinal ne comporte qu’un seul degré de liberté
en rotation, ce qui a pour conséquence que la stabilité est étroitement liée à
la raideur en tangage, le mouvement latéral, lui, comporte deux degrés de liberté
en rotation, qui de plus sont couplés. En effet, un mouvement de roulis
(composante p de la vitesse de rotation) produit généralement non seulement
un couple de roulis N mais aussi un couple de lacet L et un mouvement
de lacet (composante r de la vitesse de rotation) produit tout à la fois
un couple de lacet et de roulis.
D’autre part, en vol stabilisé symétrique, le problème de guidage latéral ne
se pose pas : les positions d’équilibre des ailerons et du gouvernail sont nulles
par symétrie. Ce n’est plus vrai en cas de rupture de symétrie, par exemple en
cas de défaillance d’un moteur. Enfin, du fait que pour un vol stabilisé symétrique,
l’accélération de la gravité est dans le plan de symétrie, il en résulte
que la position du centre de gravité ne joue pas un rôle prépondérant pour
les caractéristiques de stabilité latérale, comme pour les caractéristiques de
stabilité longitudinale.
2.4.2 Stabilité directionnelle et guidage
Considérons un avion subissant une perturbation de dérapage β (voir figure).
Selon la définition de la stabilité statique, la condition de stabilité sta-
FIG. 2.15 – Avion en dérapage
tique sera que le couple aérodynamique produit ait tendance à ramener l’avion
en vol symétrique, c’est-à-dire que la raideur en lacet ∂N/∂β soit positive. Le
coefficient adimensionnel de moment de lacet est
C n =
N
½ρV 2 Sb
(2.58)

2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 61
(remarquer que la longueur de référence est l’envergure b et non la corde ¯c)
et sa dérivée par rapport au dérapage est notée C nβ de manière analogue à la
notation adoptée pour la raideur en tangage (C mα ).
Tout comme on l’avait fait pour cette dernière, on évalue C nβ par assemblage
des contributions des diverses composantes de l’avion. Les contributions
principales sont celles du fuselage et de la dérive, alors que la contribution
de l’aile est généralement faible et que la position du centre de gravité
joue peu.
Le rôle de la dérive est illustré à la figure 2.16. En absence de composantes
FIG. 2.16 – Forces aérodynamiques sur la dérive
autres, la vitesse de l’écoulement abordant la dérive V F serait bien évidemment
égale à la vitesse V et l’incidence α F sur la dérive égale à l’opposé du
dérapage α F = −β. En réalité cependant, il faut tenir compte des interférences
dues au souffle des hélices, au fuselage et à l’aile. En direction, ces
interférences sont représentées par une déflexion angulaire σ semblable à la
déflexion ɛ ressentie par l’empennage horizontal, à laquelle on attribue un
signe positif si elle a pour effet d’augmenter l’incidence. On aura donc
α F = −β + σ (2.59)
Avec une expression linéaire pour le coefficient de portance sur la dérive
C LF = a F (−β + σ) + a r δ r (2.60)

62 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
où δ r est le braquage du gouvernail, on obtient le coefficent de moment de
lacet dû à la dérive
C nF
= −C LF
S F l F
Sb
( ) 2 VF
(2.61)
V
où le rapport S F l F /Sb est appelé le rapport de volumes de la dérive et noté V V
semblablement au rapport analogue pour l’empennage horizontal. Dérivant
par rapport au dérapage, on obtient
∂C nF
∂β
= V V
( ) 2 (
VF
a F 1 − ∂σ )
V
∂β
(2.62)
D’une manière générale, la déflexion latérale σ est difficile à évaluer. Les
contributions principales sont celles du fuselage agissant comme une surface
portante lorsque mis en dérapage, de l’hélice mais aussi de l’aile en raison
de la structure asymétrique de l’écoulement lorsque l’avion est en dérapage,
cette dernière contribution étant d’autant plus importante pour les ailes en
flèche de faible allongement. Quant au rapport des vitesses V F /V, il ne diffère
pas sensiblement de l’unité, sauf lorsque la dérive est dans le souffle d’une
hélice.
Il existe en outre une contribution au couple de roulis provenant de la
force normale qui agit sur une hélice lorsqu’elle est mise en dérapage. Cette
force fournit une contribution négative (donc déstabilisante) lorsque l’hélice
est située en avant du centre de gravité et à l’inverse positive pour une configuration
avec hélice en position arrière (hélice propulsive). Les turboréacteurs
produisent une contribution semblable.
La plupart des conditions de vol souhaitables sont des configurations symétriques,
c’est-à-dire sans dérapage. Un avion vraiment symétrique ayant
une raideur en lacet positive aura naturellement tendance à se placer dans de
telles conditions de vol. Mais il peut se produire des couples de lacet résulant
de la défaillance d’un moteur, de la rotation du souffle propulsif ou encore de
l’asymétrie de l’écoulement en virage. Dans ces conditions, il faudra produire
un couple aérodynamique de sens contraire par braquage du gouvernail pour
assurer l’équilibre en lacet. Contrairement à la gouverne de profondeur, ce
rôle d’équilibrage n’est pour le gouvernail qu’un rôle secondaire. Cela étant,
l’analyse de l’effet du gouvernail est en tout point semblable à celle de l’effet
de la gouverne de profondeur. À partir des équations (2.60–2.61), on obtient
C nδr
= ∂C n
∂δ r
( ) 2 VF
= −a r V V (2.63)
V
Cette dérivée, que l’on appelle parfois « puissance du gouvernail », doit être
suffisamment élevée pour maintenir un dérapage nul dans les conditions les
plus défavorables d’une poussée asymétrique en virage.
Un autre indicateur utile de l’effectivité du gouvernail est l’angle de dérapage
qui peut être maintenu pour un braquage de gouvernail donné. Le

2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 63
couple de lacet étant donné par
C n = C nβ β + C nδr δ r (2.64)
et puisqu’il doit être nul à l’équilibre, l’effectivité du gouvernail est donc
β
δ r
= − C n δr
C nβ
(2.65)
Le couple de charnière et la force dans le palonnier correspondante se
calculent également de manière semblable à celle employée pour la gouverne
de profondeur. Avec une expression du coefficient de couple de charnière de
la forme
la force dans le palonnier s’exprime comme suit :
C hr = b 1 α F + b 2 δ r (2.66)
F = G ρV2 F
2 S r ¯c r (b 1 α F + b 2 δ r )
= G ρV2 F
2 S r ¯c r [b 1 (−β + σ) + b 2 δ r ] (2.67)
où G est le rapport de démultiplication du système de commande du gouvernail.
L’influence d’un gouvernail libre sur la raideur en lacet s’obtient en annulant
le coefficient de couple de charnière. L’angle de flottement du gouvernail
étant
δ rfree = − b 1
b 2
α F
la pente de la courbe de portance de la dérive s’obtient directement à partir
de (2.60).
(
C ′ L F
= a F α F 1 − a )
r b 1
(2.68)
a F b 2
de sorte que l’efficacité du gouvernail est réduite par un facteur semblable à
celui obtenu pour celle de la gouverne de profondeur.
2.4.3 Stabilité en roulis et guidage
Pour aborder la stabilité en roulis, considérons par la pensée un avion qui
serait contraint à ne se mouvoir que selon ce degré de liberté. Ce serait le
cas par exemple d’un modèle en soufflerie libre de tourner autour de l’axe
de son support. Remarquons que si cet axe est aligné avec la vitesse du vent,
une rotation d’angle φ autour de l’axe ne modifie en rien la configuration
aérodynamique. Par conséquent, aucun couple de roulis n’est créé et donc la
dérivée aérodynamique C lφ est nulle.
Si la vitesse V n’est pas alignée avec l’axe de rotation (donc que l’incidence
α est non nulle), alors une rotation d’angle φ produit un dérapage. En effet, si

64 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
la configuration originale est sans dérapage et donc que la composante transversale
de la vitesse v est nulle, après rotation d’angle φ on a (en identifiant
les variables après rotation par le symbole ’) v ′ = V sin α sin φ, de sorte que
β ′ = sin −1 (sin α sin φ). Il apparaîtra donc une raideur en roulis du second
ordre par l’entremise de la dérivée aérodynamique C lβ qui représente le moment
de roulis engendré par un dérapage. Avec l’expression précédente pour
l’angle de dérapage produit par la rotation d’angle φ, on obtient, en considérant
de petits angles,
C lφ = sin αC lβ ≈ αC lβ (2.69)
C lβ étant généralement négative, on aura donc un couple tendant à ramener
les ailes dans leur orientation initiale (supposée horizontale) pour des
incidences positives. Si l’incidence est négative, alors l’avion poursuivra sa
rotation jusqu’à un angle de roulis de 180˚ où le moment de roulis s’annule et
C lφ est négative (configuration statiquement stable).
Pour des avions libres de se mouvoir selon leurs 6 degrés de liberté, la
question de savoir si, à la suite d’une perturbation en roulis, ils ont tendance à
revenir à leur état initial est beaucoup plus complexe et ne peut recevoir une
réponse que par une analyse dynamique complète (voir section 5.3). D’une
manière générale cependant, on constate que la plupart des avions ont une
tendance naturelle à voler avec les ailes horizontales, en raison de l’influence
du paramètre C lβ , que l’on nomme communément « l’effet dièdre ». En effet,
si un avion est incliné en roulis d’un angle φ, il apparaît une composante du
poids dans la direction y qui a tendance à mettre l’avion en dérapage (voir
figure). Et le dérapage résultant produit un couple de roulis C lβ β négatif ayant
FIG. 2.17 – Avion incliné en roulis
tendance à ramener les ailes en position horizontale si C lβ est négatif. Comme
indiqué précédemment, le détail du mouvement ne peut se déterminer que
par une analyse dynamique, mais la discussion illustre bien l’importance des
effets de couplage sur les mouvements latéraux et du paramètre C lβ .

2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 65
La dérivée aérodynamique C lβ dont on vient de montrer l’importance, est
principalement produite par l’aile, dont plusieurs paramètres géométriques
(dièdre, flèche, allongement, position par rapport au fuselage) influencent
fortement la valeur. L’effet du dièdre est illustré à la figure 2.18. On voit que la
FIG. 2.18 – Rôle du dièdre
composante latérale de la vitesse (v = V sin β ≈ Vβ) fournit une contribution
vΓ = VβΓ à la vitesse normale au plan de l’aile tribord (à gauche sur la figure)
et une contribution opposée à la vitesse normale au plan de l’aile bâbord. Il
en résulte les incréments d’incidence ∆α = ±βΓ respectivement sur les ailes
tribord et bâbord, ce qui produit un couple de roulis proportionnel à βΓ et
donc une contribution à C lβ proportionnelle à Γ.
La flèche de l’aile joue également un rôle important 2 . En effet, comme indiqué
à la figure, en présence d’un dérapage, la composante de la vitesse per-
FIG. 2.19 – Effet de la flèche sur C lβ
pendiculaire à l’axe aérodynamique de l’aile est plus élevée sur l’aile tribord
que sur l’aile bâbord. Il en résulte que la portance est plus élevée également et
donc qu’il apparaît un couple de roulis négatif, proportionnel au coefficient
de portance de l’aile et au dérapage.
La position de l’aile joue aussi un grand rôle. En effet, l’écoulement autour
du fuselage interagit avec l’écoulement sur l’aile comme illustré à la figure
2 La flèche de l’aile est toutefois déterminée principalement en fonction de considérations
autres.

66 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
(vue de l’arrière). On voit que l’écoulement autour du fuselage induit par le
FIG. 2.20 – Effet du fuselage sur C lβ
dérapage a tendance à augmenter/réduire l’incidence sur l’aile tribord selon
que l’aile est en position haute ou basse et réciproquement pour l’aile bâbord.
On en conclut que l’interférence entre aile et fuselage produit une contribution
négative à C lβ pour une aile haute et positive pour une aile basse. C’est
la raison pour laquelle les ailes hautes ont un dièdre moins élevé que les ailes
basses, surtout pour les ailes en flèche, pour lesquelles on peut même observer
parfois des dièdres négatifs (Harrier). En effet, s’il est souhaitable que C lβ
soit négatif, une valeur trop basse rend l’appareil inconfortable à piloter.
Enfin, la dernière contribution importante à C lβ est celle de la dérive. La
portance sur la dérive résultant d’un dérapage (voir section précédente) produit
en effet un couple de roulis égal à L F z F , où z F est la distance entre le
centre aérodynamique de la dérive et l’axe x. Par conséquent, le coefficient
de couple de roulis vaut
∆C l = a F (−β + σ) z FS F
Sb
( ) 2 VF
(2.70)
V
et la contribution à C lβ
(
∆C lβ = −a F 1 − ∂σ )
zF S F
∂β Sb
( ) 2 VF
(2.71)
V
On terminera l’examen de la stabilité statique latérale en abordant brièvement
la question du guidage en roulis. L’angle de gîte de l’avion est commandé
par les ailerons, qui sont le plus souvent des volets mobiles de l’aile
principale braqués de manière différentielle comme indiqué sur la figure.
L’effet principal des ailerons est de produire un couple de roulis, mais ils
produisent également un couple de lacet. On représente ces deux effets par
les dérivées aérodynamiques C lδa et C nδa . Le braquage des ailerons est défini
comme la moyenne arithmétique du braquage vers le bas de l’aileron tribord
et du braquage vers le haut de l’aileron bâbord. En raison de cette définition,
C lδa est donc normalement négative, un braquage positif de l’aileron produisant
un couple de roulis négatif. L’augmentation de portance sur l’aile tribord
et la dimimution sur l’aile bâbord résultant d’un braquage positif des ailerons
s’accompagnent de variations semblables des traînées, ce qui produit
un couple de lacet positif. Comme on braque les ailerons positivement pour
amorcer un virage vers la gauche, ce couple de lacet est donc de sens inverse
à celui souhaité, ce qui peut entraîner des difficultés de guidage latéral pour

2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 67
FIG. 2.21 – Ailerons
les avions de grand allongement. Une manière de remédier à ce problème
est d’utiliser des aérofreins (spoilers) ou des ailerons Frise. L’action des aérofreins
est illustrée ci-dessous. Le déploiement de l’aérofrein bâbord a pour
FIG. 2.22 – Aérofreins
effet de réduire la portance et d’augmenter la traînée de l’aile bâbord, et donc
des couples de roulis et de lacet négatifs. Remarquons pour terminer que les
ailerons diffèrent fonctionnellement des autres commandes (gouvernes de
profondeur et de direction) en ce qu’ils constituent une commande de vitesse
de roulis, c’est-à-dire qu’une déflexion constante des ailerons produit
une vitesse de rotation constante, alors que les gourvernes de profondeur et
de direction sont des commandes d’angle d’incidence et de dérapage.
Mentionnons enfin que la plupart des avions conventionnels tant soussoniques
que supersoniques, sont affectés par un effet aéroélastique connu
sous le nom d’inversion des ailerons. Le braquage des ailerons produit un
couple de torsion de l’aile qui a tendance à vriller l’aile dans le sens inverse

68 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE
du braquage des ailerons. Le couple de torsion de l’aile étant proportionnel
à ½ρV 2 δ a , l’angle de vrillage, et par conséquent le couple de roulis corresondant,
seront également proportionnels à ½ρV 2 δ a . On aura donc que le couple
de roulis résultant d’un braquage des ailerons vaudra
et donc
∆C l = ( C lδa
)indéf δ a + k½ρV 2 δ a (2.72)
C lδa = ( C lδa
)indéf + k½ρV2 (2.73)
Comme on l’a mentionné précédemment, ( C lδa
)indéf
est négative et par
ailleurs, la constante de proportionnalité k est positive si, comme c’est généralement
le cas, le centre de poussée de l’incrément de portance dû aux
ailerons est en arrière de l’axe élastique de l’aile. Il en résulte que l’effectivité
des ailerons diminue avec la vitesse et même s’annule pour une certaine
vitesse V R , que l’on appelle la vitesse d’inversion des ailerons. À partir des expression
précédentes, on obtient
et l’expression suivante de l’efficacité des ailerons
C lδa = ( ( )
C lδa 1 −
)indéf
V2
V 2 R
V 2 R = − 2 ( )
Clδa (2.74)
ρk
indéf
(2.75)
On peut éviter l’inversion des ailerons en raidissant l’aile (réduisant le coefficient
k) de manière à faire en sorte que la vitesse d’inversion soit au-delà de la
vitesse maximale, mais cela induit une augmentation de poids. Une solution
alternative est l’utilisation des aérofreins pour le guidage en roulis.

Chapitre 3
Équations générales du
mouvement
3.1 Introduction
Nous abordons dans ce chapitre le problème de la stabilité et du guidage
du point de vue dynamique, c’est-à-dire l’analyse du mouvement de l’avion
soumis à des perturbations ou à des actions sur les commandes. Comme on
l’a souligné dans l’introduction générale, on considérera pour ce faire l’avion
comme un solide indéformable. Il s’agit évidemment d’une approximation,
qui néglige l’élasticité de l’avion, mais l’expérience a montré sa grande utilité
pratique. Dans ces conditions, la dynamique du vol est simplement une
application particulière de la dynamique des solides, dont la théorie générale
a été présentée en détail dans le cours MATH 107 Mécanique rationnelle II,
qui se singularise par rapport à d’autres applications par la nature aérodynamique
des forces qui s’exercent sur l’avion.
On commencera donc dans ce chapitre par rappeler les équations générales
du mouvement d’un solide indéformable telles qu’elles s’appliquent au
mouvement d’un avion, y compris en présence de parties tournantes, telles
que les hélices ou les turboréacteurs. Ensuite, on considérera le cas particulier
de petites perturbations autour d’un état d’équilibre, qui permet de linéariser
les équations. Puis, on analysera l’expression des forces aérodynamiques et
on montrera en particulier que, pour les avions de configuration symétrique,
les mouvements de faible amplitude autour d’un état d’équilibre se décomposent
en un problème longitudinal et un problème latéral.
69

70 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
3.2 Les équations du mouvement
3.2.1 Équations d’Euler
Les équations du mouvement d’un solide indéformable établies au cours
de mécanique rationnelle sont
d(m⃗V)
dt
d(⃗I · ⃗ω)
dt
= ⃗F (3.1)
= ⃗G (3.2)
où ⃗I est le tenseur d’inertie, ⃗ω la vitesse de rotation, et ⃗F et ⃗G les forces et
moments appliqués respectivement, qui se composent du poids, des forces
et moments aérodynamiques et des forces et moments des propulseurs, que
l’on peut éventuellement inclure dans les forces et moments aérodynamiques.
Particularisons ces équations en les exprimant dans le repère avion présenté
à la section 2.4.1. Comme ce repère n’est pas inertiel, les dérivées temporelles
apparaissant dans les équations du mouvement (3.1–3.2) doivent être
transformées par les règles habituelles, à savoir
( ) dai
=
dt inertiel
( ) dai
+ δ i j k ω j a k (3.3)
dt avion
La masse de l’avion et le tenseur d’inertie étant constants en repère avion,
les équations du mouvement en repère avion s’écrivent comme suit (en notations
indicielles)
m( dv i
dt + δ i j kω j v k ) = F i (3.4)
I i j
dω j
dt
+ δ i j k I j k ω k = G i (3.5)
Établissons à présent l’expression de la transformation de coordonnées
entre le repère inertiel et le repère avion, ainsi que celle des vitesses de rotation
en fonction des angles d’Euler ψ, θ et φ. En vertu de la définition des

3.2. LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 71
angles d’Euler donnée à la section 2.4.1 (voir figure 2.14), on a
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎠ = ⎝
1 0 0
0 cos φ sin φ
0 − sin φ cos φ
⎞ ⎛
⎠ ⎝
cos θ 0 − sin θ
0 1 0
sin θ 0 cos θ
⎛
⎝
⎞
⎠
cos ψ sin ψ 0
− sin ψ cos ψ 0
0 0 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎛
⎞ ⎛
cos θ cos ψ cos θ sin ψ − sin θ
sin φ sin θ cos ψ sin φ sin θ sin ψ sin φ cos θ
=
⎜ − cos φ sin ψ + cos φ cos ψ
⎟ ⎜
⎝ cos φ sin θ cos ψ cos φ sin θ sin ψ cos φ cos θ ⎠ ⎝
+ sin φ sin ψ − sin φ cos ψ
La vitesse de rotation, elle, vaut
x 1
y 1
z 1
x 1
y 1
z 1
⎞
⎠
⎞
⎟
⎠
(3.6)
⃗ω = ˙ψ⃗e z1 + ˙θ⃗e y2 + ˙φ⃗e x3 (3.7)
où ⃗e xj est le vecteur unitaire selon l’axe x du repère j. En exprimant tous ces
vecteurs dans le repère avion, on obtient finalement
⎛
⎝
p
q
r
⎞
⎛
⎠ = ˙ψ ⎝
⎛
= ⎝
− sin θ
sin φ cos θ
cos φ cos θ
⎞
⎛
⎠ + ˙θ ⎝
˙φ − sin θ ˙ψ
sin φ cos θ ˙ψ + cos φ ˙θ
cos φ cos θ ˙ψ − sin φ ˙θ
0
cos φ
− sin φ
⎞
⎞
⎛
⎠ + ˙φ ⎝
1
0
0
⎞
⎠
⎠ (3.8)
dont on tire l’expression inverse
⎛
⎝
˙φ
˙θ
˙ψ
⎞
⎛
⎠ = ⎝
p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
cos φ q − sin φ r
sec θ(sin φ q + cos φ r)
⎞
⎠ (3.9)
En utilisant les résultats précédents, les équations du mouvement s’explicitent
comme suit :
m( ˙u + qw − rv) = −P sin θ + X (3.10a)
m( ˙v + ru − pw) = P sin φ cos θ + Y (3.10b)
m(ẇ + pv − qu) = P cos φ cos θ + Z
(3.10c)
I xx ṗ + I xy ( ˙q − pr) + I xz (ṙ + pq) + I yz (q 2 − r 2 ) + (I zz − I yy )rq = L
I yy ˙q + I xy (ṗ + qr) + I yz (ṙ − pq) + I xz (r 2 − p 2 ) + (I xx − I zz )pr = M
I zz ṙ + I xz (ṗ − qr) + I yz ( ˙q + pr) + I xy (p 2 − q 2 ) + (I yy − I xx )pq = N
(3.11a)
(3.11b)
(3.11c)

72 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
On considérera par la suite le cas le plus fréquent où le plan x − z est un plan
de symétrie. Dans ces conditions, les produits d’inertie I xy et I yz sont nuls. Si
l’on prend comme axes du repère avion les axes principaux d’inertie, alors le
produit d’inertie I xy est nul également. Lorsqu’on étudie des petites perturbations
autour d’un état d’équilibre symétrique (et donc un vol sans dérapage),
il s’avère toutefois plus commode d’employer comme repère avion un repère
dans lequel l’axe x est aligné avec la direction du vecteur vitesse à l’équilibre,
car cela simplifie grandement l’expression des forces et moments aérodynamiques.
3.2.2 Contribution des rotors
Les équations établies précédemment sont valides pour un avion entièrement
fixe dans le repère avion, c’est-à-dire sans partie mobile. Or, les moteurs
des avions comprennent des parties tournantes (rotors). Pour tenir compte
de ces rotors, il suffit d’ajouter explicitement le moment cinétique des rotors
dans l’expression du moment cinétique. Appelant h ′ x, h ′ y et h ′ z les composantes
du moment cinétique des rotors dans le repère avion, supposé constant
dans le temps (orientation et vitesse de rotation des rotors constantes), il suffit
d’ajouter dans le membre de gauche des équations (3.11) les termes
composante x
composante y
composante z
qh z ′ − rh y
′
rh x ′ − ph z
′
ph y ′ − qh x
′
(3.12)
connus sous le nom de couples gyroscopiques.
3.2.3 Résumé et discussion
Dans le cas d’un avion symétrique, l’ensemble des équations du mouvement
(dynamiques et cinématiques) se résument comme suit (en l’absence
de vent atmosphérique).
m( ˙u + qw − rv) = −P sin θ + X (3.13a)
m( ˙v + ru − pw) = P sin φ cos θ + Y (3.13b)
m(ẇ + pv − qu) = P cos φ cos θ + Z
(3.13c)
I xx ṗ + I xz (ṙ + pq) + (I zz − I yy )rq + qh ′ z − rh ′ y = L
I yy ˙q + I xz (r 2 − p 2 ) + (I xx − I zz )pr + rh ′ x − ph ′ z = M
I zz ṙ + I xz (ṗ − qr) + (I yy − I xx )pq + ph ′ y − qh ′ x = N
(3.14a)
(3.14b)
(3.14c)

3.2. LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 73
ẋ 0 = cos θ cos ψ u + (sin φ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ)v
+ (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ)w (3.15a)
ẏ 0 = cos θ sin ψ u + (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)v
+ (cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ)w (3.15b)
ż 0 = − sin θ u + sin φ cos θ v + cos φ cos θ w
(3.15c)
˙φ = p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
˙θ = cos φ q − sin φ r
˙ψ = sec θ(sin φ q + cos φ r)
(3.16a)
(3.16b)
(3.16c)
Il s’agit d’un système de 12 équations différentielles non-linéaires dans les 12
inconnues x 0 , y 0 , z 0 , φ, θ, ψ, u, v, w, p, q et r puisque les forces et couples aérodynamiques
X, Y, Z, L, M et N dépendent du mouvement de l’avion représenté
par son vecteur vitesse u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r,
ainsi que d’un vecteur c de paramètres de commandes
c = (δ a , δ e , δ r , Π) (3.17)
où δ a , δ e et δ r représentent les braquages des ailerons et des gouvernes de
profondeur et de direction, et Π la position de la manette des gaz, et sont des
fonctions supposées données du temps.
Ce système différentiel est représenté symboliquement par le schémabloc
de la figure 3.1 qui fait apparaître les variables d’entrée et de sortie de
FIG. 3.1 – Schéma-bloc de la dynamique de l’avion

74 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
chaque sous-système. On constate que toutes les variables d’entrée se retrouvent
comme variables de sortie, sauf les variables de commande qui doivent
être spécifiées.
Dans l’étude du mouvement de l’avion décrite par ce système, on peut
distinguer divers types de problèmes :
Stabilité – commandes fixes Dans ce type de problèmes, on étudie le mouvement
de l’avion consécutif à une perturbation, les commandes étant
maintenues en position, c’est-à-dire pour un vecteur de commande constant.
En raison de la non-linéarité du système mentionnée précédemment, il
n’existe en général pas de solution analytique. Toutefois, pour des mouvements
de faible amplitude, les équations du mouvement peuvent être
linéarisées, ce qui permet d’obtenir des solutions analytiques. On analysera
ce type de problèmes au chapitre 5.
Stabilité – commandes libres Dans ce cas également, on étudie le mouvement
de l’avion consécutif à une perturbation, mais cette fois les commandes
sont libres de se déplacer sous l’effet des couples aérodynamiques
qui s’appliquent sur elles. Les variables de commande ne sont
donc plus spécifiées, mais sont elles-mêmes liées aux variables d’état
du système (orientation, vitesse, vitesse angulaire) par l’entremise des
équations décrivant le mouvement des commandes, qui s’ajoutent donc
au système de base. Ce type de problèmes présente un intérêt surtout
pour les avions à commandes mécaniques.
Stabilité – commandes automatiques C’est encore une fois le mouvement
de l’avion consécutif à une perturbation que l’on étudie, mais lorsque
celui-ci est sous le contrôle d’un système de pilotage automatique qui
actionne les commandes en fonction de l’évolution des variables d’état
et éventuellement de commandes extérieures telles que données par un
système de navigation.
Réponse aux commandes On étudie dans ce cas le mouvement de l’avion
consécutif à l’actionnement d’une commande selon une loi de variation
dans le temps spécifiée, généralement un échelon de commande. On
analysera ce type de problèmes au chapitre 6.
Réponse à la turbulence atmosphérique L’étude du mouvement de l’avion
et des forces qui s’exercent sur lui en raison de turbulences atmosphériques
est extrêmement importante, tant du point de vue de la conception
que du point de vue opérationnel. Les équations du mouvement
se modifient simplement par l’ajout du vent atmosphérique, fluctuant
en raison de la turbulence, au vecteur vitesse de l’avion par rapport à
l’atmosphère (u, v, w).
Problèmes inverses Cette dernière classe de problèmes correspond au cas
où l’évolution de certaines des variables d’état est spécifiée. Par exemple,
on peut chercher à déterminer quelle est l’action à appliquer aux commandes
pour obtenir un mouvement donné. C’est aussi à des problèmes
de ce type que conduit l’analyse d’essais en vol. Là, les mouvements de

3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 75
l’avion et des commandes sont connus (mesurés) et il s’agit de déterminer
la valeur des paramètres de l’avion qui correspondent au mouvement
observé. Il s’agit d’un exemple de l’important problème d’identification
des paramètres en théorie des systèmes.
3.3 Théorie des petites perturbations
On considère dans cette section des mouvements de faible amplitude autour
d’un état d’équilibre. Dans ces conditions, les équations du mouvement
peuvent se linéariser. L’expérience a montré que cette théorie simplifiée donne
de bons résultats, notamment pour l’analyse de la stabilité des états d’équilibre
et de la réponse aux commandes.
3.3.1 Linéarisation des équations
On commence par décomposer le mouvement entre l’état d’équilibre de
référence (vol rectiligne uniforme) identifié par l’indice 0 et les écarts par rapport
à cet état (perturbations), identifiés par le préfixe ∆. L’état de référence
étant un mouvement rectiligne uniforme, p 0 = q 0 = r 0 = 0. De plus, on supposera
que l’état de référence est un vol symétrique, de sorte que v 0 = φ 0 = 0.
Enfin, on peut sans perte de généralité prendre w 0 = 0 en alignant l’axe x
avec le vecteur vitesse à l’équilibre (repère avion de stabilité) et ψ 0 = 0 en
choisissant la direction x 0 du repère sol dans le plan de symétrie de l’avion.
On négligera en outre le moment cinétique des rotors, soit que l’avion soit
en vol plané, soit qu’il y ait un nombre pair de rotors tournant en sens inverse,
de sorte que le moment cinétique global est nul, soit enfin, dans le cas des
monomoteurs, que le moment cinétique soit suffisamment faible pour être
négligé. Enfin, l’atmosphère sera supposée au repos (vent nul).
Dans ces conditions, en négligeant les termes quadratiques dans les écarts
et en linéarisant les expressions trigonométriques, les équations du mouvement
(3.13–3.16) deviennent
m∆ ˙u = −P(sin θ 0 + cos θ 0 ∆θ) + X 0 + ∆X
m(∆ ˙v + ru 0 ) = P∆φ cos θ 0 + Y 0 + ∆Y
m(∆ẇ − qu 0 ) = P(cos θ 0 − sin θ 0 ∆θ) + Z 0 + ∆Z
(3.18a)
(3.18b)
(3.18c)
I xx ∆ṗ + I xz ∆ṙ = L 0 + ∆L
I yy ∆ ˙q = M 0 + ∆M
I zz ∆ṙ + I xz ∆ṗ = N 0 + ∆N
(3.19a)
(3.19b)
(3.19c)

76 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
ẋ 0 = cos θ 0 (u 0 + ∆u) − u 0 sin θ 0 ∆θ + sin θ 0 ∆w
ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ∆ψ + ∆v
ż 0 = − sin θ 0 (u 0 + ∆u) − u 0 cos θ 0 ∆θ + cos θ 0 ∆w
(3.20a)
(3.20b)
(3.20c)
∆ ˙φ = ∆p + tan θ 0 ∆r
∆˙θ = ∆q
∆ ˙ψ = sec θ 0 ∆r
(3.21a)
(3.21b)
(3.21c)
L’état de référence étant un état d’équilibre, il satisfait les équations d’équilibre
0 = −P sin θ 0 + X 0
0 = Y 0 + ∆Y
0 = P cos θ 0 + Z 0
0 = L 0 = M 0 = N 0
(3.22)
de sorte que les équations des petites perturbations s’écrivent finalement, en
ommettant le préfixe ∆ pour les angles et les vitesses (de translation et de
rotation) dont la valeur de référence est nulle et en écrivant les équations de
translation pour l’écart ∆x 0 , ∆y 0 , ∆z 0 entre la positions du centre de masse et
sa position au même moment en vol rectiligne uniforme
m∆ ˙u = −P cos θ 0 ∆θ + ∆X
(3.23a)
m( ˙v + ru 0 ) = Pφ cos θ 0 + ∆Y (3.23b)
m(ẇ − qu 0 ) = −P sin θ 0 ∆θ + ∆Z
(3.23c)
I xx ṗ + I xz ṙ = ∆L
I yy ˙q = ∆M
I zz ṙ + I xz ṗ = ∆N
(3.24a)
(3.24b)
(3.24c)
∆ẋ 0 = cos θ 0 ∆u − u 0 sin θ 0 ∆θ + sin θ 0 w
∆ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ψ + v
∆ż 0 = − sin θ 0 ∆u − u 0 cos θ 0 ∆θ + cos θ 0 w
(3.25a)
(3.25b)
(3.25c)
˙φ = p + tan θ 0 r
∆˙θ = q
˙ψ = sec θ 0 r
(3.26a)
(3.26b)
(3.26c)

3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 77
Pour obtenir le système différentiel sous forme canonique, il suffit alors de
résoudre les équations du mouvement pour les dérivées des composantes de
la vitesse et de la vitesse angulaire de perturbation, à savoir
∆ ˙u = −g cos θ 0 ∆θ + ∆X
m
˙v = gφ cos θ 0 + ∆Y
m − ru 0
ẇ = −g sin θ 0 ∆θ + ∆Z
m + qu 0
(3.27a)
(3.27b)
(3.27c)
ṗ = I zz∆L − I xz ∆N
I xx I zz − I 2 xz
˙q = ∆M
I yy
ṙ = I xx∆N − I xz ∆L
I xx I zz − I 2 xz
(3.28a)
(3.28b)
(3.28c)
3.3.2 Forces et couples aérodynamiques
Comme on l’a mentionné précédemment, les forces et couples aérodynamiques
dépendent du mouvement de l’avion représenté par son vecteur
vitesse u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r, ainsi que du vecteur
de paramètres de commandes. La détermination de la manière dont ils en
dépendent est au cœur de la dynamique du vol atmosphérique.
En toute rigueur, les forces et couples aérodynamiques sont des fonctionnelles
des variables d’état. Par exemple, la portance de l’aile dépend non seulement
de la valeur instantanée de l’incidence mais aussi de toute son histoire
passée, ce que l’on peut exprimer par la relation
L(t) = L[α(τ)] − ∞ ≤ τ ≤ t (3.29)
En supposant que la fonction α(τ) soit développable en série de Taylor,
α(τ) = α(t) + (τ − t)˙α(t) + ½(τ − t) 2 ¨α(t) + · · ·
α(τ) peut être remplacé dans la relation précédente par la série infinie α(t), ˙α(t), ¨α(t), . . ..
En développant une nouvelle fois en série de Taylor par rapport à l’état d’équilibre
initial (pour t = t 0 ), on peut écrire
∆L = L α ∆α + ½L αα (∆α) 2 + · · · + L˙α ∆˙α + ½L˙α˙α (∆˙α) 2 + · · · (3.30)
Dans le cadre de la théorie des petites perturbations, on fait classiquement
l’hypothèse, introduite par Bryan (1911), de forces aérodynamiques linéaires,
c’est-à-dire que l’on ne retient que les termes linéaires dans l’expression précédente,
même si la fonction α(t) n’est pas analytique (développable en série
de Taylor), c’est-à-dire
∆L = L α ∆α + L˙α ∆˙α + L¨α ∆¨α + · · · (3.31)

78 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
Les grandeurs L α , L˙α , . . ., dont on a déjà rencontré des exemples aux chapitres
précédents, sont appelées dérivées de stabilité ou plus généralement dérivées
aérodynamiques. Pour la plupart des forces aérodynamiques et des variables
d’état, le premier terme suffit, mais dans certains cas, on doit garder
les termes jusqu’à la dérivée seconde pour être suffisamment précis.
Une grande part du travail en mécanique du vol a été consacré à déterminer
la valeur de ces dérivées aérodynamiques en fonction des caractéristiques
géométriques des aéronefs et des conditions de vol, tant par des méthodes
expérimentales que théoriques, et, plus récemment, numériques. Une
quantité considérable de connaissances a ainsi été accumulée, qui seront largement
présentées au chapitre suivant.
Une limitation de la théorie classique est l’hypothèse de régularité des variables
d’état, qui est mise en défaut en cas de discontinuités, par exemple
pour des échelons des variables (ou de leurs dérivées). Ainsi, pour un échelon
d’incidence, l’expression classique donne
∆L = L α ∆α = const
puisque ∆α est constant, ce qui est en contradiction avec l’observation expérimentale
que la portance ne s’établit pas instantanément. Dans le cadre
d’une théorie aérodynamique linéaire, on peut aisément résoudre ce problème
en utilisant le concept de fonction de transfert. On n’abordera pas ici
cette extension de la théorie classique de Bryan.
Pour terminer cette section, examinons les simplifications induites par
l’hypothèse de l’existence d’un plan de symétrie et de la symétrie de l’état
d’équilibre de référence. Pour une configuration symétrique, il est clair que la
force latérale Y et les couples de lacet et de roulis L et N sont identiquement
nuls pour tout vol symétrique, c’est-à-dire tel que v = p = r = φ = ψ = 0,
ceci étant vrai quelle que soit l’amplitude du mouvement (c’est-à-dire pas
uniquement pour de petites perturbations). Par conséquent, les dérivées des
forces et couples latéraux par rapport aux variables longitudinales (u, w, q)
sont strictement nulles. Nous ferons en outre les approximations de négliger
1. les dérivées des forces et couples aérodynamiques longitudinaux par
rapport aux variables latérales,
2. les dérivées des forces et couples aérodynamiques par rapport aux dérivées
temporelles des variables d’état, à l’exception des dérivées Zẇ et
Mẇ,
3. la dérivées X q ,
4. les variations de masse volumique de l’atmosphère avec l’altitude.
Il faut souligner qu’aucune de ces approximations n’est indispensable pour
résoudre les problèmes de dynamique du vol, elles sont seulement motivées
par l’expérience et la commodité, et peuvent être remises en cause au besoin.
Avec ces approximations, les forces et couples aérodynamiques s’expriment

3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 79
comme suit :
∆X = X u ∆u + X w w + ∆X c
∆Y = Y v v + Y p p + Y r r + ∆Y c
∆Z = Z u ∆u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + ∆Z c
∆L = L v v + L p p + L r r + ∆L c
∆M = M u ∆u + M w w + Mẇẇ + M q q + ∆M c
∆N = N v v + N p p + N r r + ∆N c
(3.32a)
(3.32b)
(3.32c)
(3.32d)
(3.32e)
(3.32f)
où les termes avec l’indice c indiquent les forces et couples aérodynamiques
résultant de l’actionnement des commandes.
Pour obtenir l’expression finale des équations du mouvement de faible
amplitude sous forme canonique, il suffit d’introduire ces expressions des
forces et couples aérodynamiques dans les équations (3.27,3.28,3.25,3.26), en
résolvant les équations en translation selon z et en rotation de tangage pour
ẇ et q. De l’équation en translation selon z, on obtient
ẇ = −g sin θ 0 ∆θ + qu 0 + Z u∆u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + ∆Z c
→
[
m
1
ẇ = −g sin θ
1 − Z 0 ∆θ + qu 0 + Z ]
u∆u + Z w w + Z q q + ∆Z c
ẇ
m
m
1 [ ]
= Zu ∆u + Z w w + (Z q + mu 0 )q − mg sin θ 0 ∆θ + ∆Z c
m − Zẇ
L’équation en rotation de tangage donne, quant à elle,
(3.33)
˙q = M u∆u + M w w + Mẇẇ + M q q + ∆M c
I yy
= 1 [(
M u + Z uMẇ
I yy m − Zẇ
(
+ M q + (Z q + mu 0 )Mẇ
m − Zẇ
) (
∆u + M w + Z wMẇ
m − Zẇ
)
)
w
q − mg sin θ 0Mẇ
∆θ + ∆M c + ∆Z cMẇ
m − Zẇ
m − Zẇ
(3.34)
En écrivant l’ensemble des équations en détail, on constate qu’elles se divisent
en deux groupes indépendants décrivant respectivement les mouvements
longitudinal et latéral, présentés sous forme matricielle en (3.35) et
(3.36).
Le découplage ainsi obtenu résulte des hypothèses faites. Comme on l’a
mentionné précédemment, un mouvement longitudinal n’induit aucune force
latérale ni couple de lacet ou de roulis. Par conséquent, le système latéral
est identiquement satisfait par v = p = r = φ = 0 (en supposant les ailerons
et la gouverne de direction en position neutre) et le mouvement sera
entièrement décrit par le système (3.35) qui constitue un système dans les
6 variables ∆u, w, q, ∆θ, ∆x 0 et ∆z 0 . Ces mouvements pour lesquels les variables
latérales sont identiquement nulles sont appelés longitudinaux ou symétriques,
de même que le système d’équations qui les décrit. Inversément,
]

80 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
le système longitudinal est entièrement satisfait par ∆u = w = q = ∆θ = 0,
et les mouvements correspondants sont purement latéraux et décrits par le
système (3.36) appelé de même.
Il faut remarquer toutefois que l’existence de mouvements purement longitudinaux
est soumise à moins de conditions que celle de mouvements latéraux.
En effet, les seules conditions à remplir sont simplement
– l’existence d’un plan de symétrie, et
– l’absence d’effets gyroscopiques de rotors.
En particulier, l’hypothèse de petites perturbations n’est pas nécessaire, il
peut exister des mouvements purement longitudinaux de grande amplitude.
Par contre, l’existence de mouvements latéraux est soumise à des conditions
supplémentaires, à savoir, outre les conditions d’existence des mouvements
longitudinaux
– la faible amplitude des mouvements, condition de la linéarisation des
équations, et
– l’absence de couplage aérodynamique entre mouvements latéraux et
forces/couples longitudinaux.
La linéarisation est en effet indispensable en raison de la présence de termes
tels que mrv et mpv dans les équations du mouvement longitudinal. Par
conséquent, un mouvement latéral d’amplitude appréciable induit un mouvement
longitudinal, mais l’inverse n’est pas vrai.
3.3.3 Forme adimensionnelle des équations
On connaît le grand usage fait en aérodynamique des coefficients adimensionnels,
qui permet de prendre en compte automatiquement les effets principaux
de grandeur, de vitesse et de masse volumique. De même, on peut définir
des formes non-dimensionnelles des diverses dérivées aérodynamiques
intervenant dans les équations du mouvement (3.35 et 3.36). Malheureusement,
il n’existe pas de norme universellement acceptée pour cette adimensionnalisation.
On adoptera ici le système employé par la NASA, qui est d’un
usage répandu.
Les facteurs d’adimensionnalisation pour la théorie des petites perturbations
sont définis au tableau 3.1. Il est intéressant de remarquer que dans
le cadre de cette théorie, les vitesses adimensionnelles ˆv et ŵ ne sont rien
d’autre que les angles aérodynamiques β et α x . En effet, au premier ordre dans
les vitesses de perturbation
V 2 = (u 0 + ∆u) 2 + v 2 + w 2 ≈ (u 0 + ∆u) 2 → V ≈ u 0 + ∆u
β = tan −1 v V ≈ v
u 0 + ∆u ≈ v = ˆv
u 0
α x = tan −1 w u = w
tan−1 u 0 + ∆u ≈ w = ŵ
u 0
C’est la raison pour laquelle on a coutume d’exprimer les dérivées aérodynamiques
adimensionnelles par rapport à α, ˙α, β et ˙β plutôt que par rapport
aux vitesses réduites. Remarquons enfin que, puisque α x et l’incidence par

3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 81
Grandeur
dimensionnelle
TAB. 3.1 – Adimensionnalisation des équations
Facteur de
normalisation
Coefficient
adimensionnel
X, Y, Z ½ρu 2 0 S C x, C y , C z
P ½ρu 2 0 S C P
M ½ρu 2 0 S ¯c C m
L, N ½ρu 2 0 Sb C l, C n
u, v, w u 0 û, ˆv, ŵ
˙α, q 2u 0 / ¯c ˆ˙α, ˆq
˙β, p, r 2u 0 /b
ˆ˙β, ˆp, ˆr
m ρS ¯c/2 µ
I yy ρS( ¯c/2) 3 Î yy
I xx , I zz , I xz ρS(b/2) 3 Î xx , Î zz , Î xz
t t ∗ = ¯c/2u 0 ˆt
rapport à la direction de portance nulle α diffèrent d’un angle constant, les
dérivées par rapport à α x et par rapport à α sont identiques. L’ensemble des
dérivées aérodynamiques adimensionnelles intervenant dans la théorie des
petites perturbations sont rassemblées aux tableaux 3.2 et 3.3 pour les dérivées
longitudinales et latérales respectivement, chaque symbole représentant
la dérivée du coefficient aérodynamque en tête de colonne par rapport
à la variable en tête de rangée. Comme indiqué précédemment, on admettra
que les dérivées C x˙α
et C xq sont nulles.
TAB. 3.2 – Dérivées longitudinales adimensionnelles
C x C z C m
û C xu C zu C mu
α C xα C zα C mα
ˆq C xq C zq C mq
˙α C x˙α
C z˙α
C m˙α
TAB. 3.3 – Dérivées latérales adimensionnelles
C y C l C n
β C yβ C lβ C nβ
ˆp C yp C lp C np
ˆr C yr C lr C nr
Bien qu’il soit possible d’écrire les équations du mouvement (3.35 et 3.36)
sous forme entièrement adimensionnelle (voir annexe C) , la pratique courante
de nos jours est plutôt de les résoudre numériquement sous forme dimensionnelle.
Aussi, il faut exprimer les dérivées aérodynamiques dimensionnelles
en fonction des dérivées adimensionnelles présentées aux tableaux 3.2
et 3.3.

82 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
3.3.4 Dérivées aérodynamiques dimensionnelles
Pour conclure ce chapitre, établissons les expressions des dérivées aérodynamiques
dimensionnelles. On utilise à cette fin une procédure systématique
décrite en détail pour les dérivées de la force Z. En vertu de l’adimensionnalisation
présentée au tableau 3.1,
Par conséquent,
Z = ½ρu 2 0 SC z
Z u = ρu 0 SC z + ½ρu 2 0 SC z u
dû
du = rhou 0SC z + ½ρu 0 SC zu
Mais d’autre part, en vertu des équations d’équilibre 3.22, C z = −C P sin θ 0 , de
sorte que
Semblablement,
Z u = −ρu 0 SC P cos θ 0 + ½ρu 0 SC zu (3.37)
Z w = ½ρu 2 0 SC z α
dα
dw = ½ρu 0SC zα
Z q = ½ρu 2 0 SC z q
d ˆq
dq = ¼ρu 0 ¯cSC zq
Zẇ = ½ρu 2 0 SC z˙α
d ˆ˙α
dẇ = ¼ρu 0 ¯cSC z˙α
En répétant la même procédure pour toutes les autres dérivées et compte
tenu de ce qu’à l’état d’équilibre
C x = C P sin θ 0 C m = C l = C n = 0
on obtient les expressions rassemblées aux tableaux 3.4 et 3.5 pour les dérivées
longitudinales et latérales respectivement.
TAB. 3.4 – Dérivées longitudinales dimensionnelles
X Z M
u ρu 0 SC P sin θ 0 + ½ρu 0 SC xu −ρu 0 SC P cos θ 0 + ½ρu 0 SC zu ½ρu 0 ¯cSC mu
w ½ρu 0 SC xα ½ρu 0 SC zα ½ρu 0 ¯cSC mα
q ¼ρu 0 ¯cSC xq ¼ρu 0 ¯cSC zq ¼ρu 0 ¯c 2 SC mq
ẇ ¼ρ ¯cSC x˙α
¼ρ ¯cSC z˙α
¼ρ ¯c 2 SC m˙α
TAB. 3.5 – Dérivées latérales dimensionnelles
Y L N
v ½ρu 0 SC yβ ½ρu 0 bSC lβ ½ρu 0 bSC nβ
p ¼ρu 0 bSC yp ¼ρu 0 b 2 SC lp ¼ρu 0 b 2 SC np
r ¼ρu 0 bSC yr ¼ρu 0 b 2 SC lr ¼ρu 0 b 2 SC nr

3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 83
⎡
⎢
⎣
∆ ˙u
ẇ
˙q
∆˙θ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
X u
m
Z u
m − Zẇ
[
1
M u + Z ]
uMẇ
I yy m − Zẇ
X w
m
Z w
m − Zẇ
[
1
M w + Z ]
wMẇ
I yy m − Zẇ
Système longitudinal
0 −g cos θ 0
Z q + mu 0
m − Zẇ
[
1
M q + (Z ]
q + mu 0 )Mẇ
I yy m − Zẇ
−mg sin θ 0
m − Zẇ
−mg sin θ 0 Mẇ
I yy (m − Zẇ)
0 0 1 0
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
∆u
w
q
∆θ
∆ẋ 0 = cos θ 0 ∆u − u 0 sin θ 0 ∆θ + sin θ 0 w
∆ż 0 = − sin θ 0 ∆u − u 0 cos θ 0 ∆θ + cos θ 0 w
⎡
⎢
⎣
˙v
ṗ
ṙ
˙φ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
Y v
m
Y p
m
Système latéral
Y r
m − u 0 g cos θ 0
I ′ zzL v − I ′ xzN v I ′ zzL p − I ′ xzN p I ′ zzL r − I ′ xzN r 0
I ′ xxN v − I ′ xzL v I ′ xxN p − I ′ xzL p I ′ xxN r − I ′ xzL r 0
0 1 tan θ 0 0
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
v
p
r
φ
⎡
⎤
⎥
⎦ + ⎢
⎣
∆Y c
m
I ′ zz∆L c − I ′ xz∆
I ′ xx∆N c − I ′ xz∆
0
˙ψ = sec θ 0 r
∆ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ψ + v
I ′ xx = I xx /(I xx I zz − I 2 xz)
I ′ zz = I zz /(I xx I zz − I 2 xz)
I ′ xz = I xz /(I xx I zz − I 2 xz)

84 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT

Chapitre 4
Dérivées de stabilité
4.1 Introduction
On analysera dans ce chapitre les dérivées aérodynamiques définies au
chapitre précédent, et dont certaines (p. ex. C mα , C lβ ) ont déjà été rencontrées
au chapitre 2. Le but principal de ce chapitre est de mettre en évidence les
mécanismes physiques à l’origine des efforts aérodynamiques représentés
par ces dérivées. Dans la mesure du possible, on tentera d’établir des expressions
permettant de les calculer, ou de calculer la contribution de certaines
parties de l’avion. Pour l’évaluation précise des dérivées, on recourt en pratique
à des corrélations empiriques basées sur des essais en soufflerie et en
vol, présentées sous forme d’abaques ou de logiciels. On consultera à ce propos
la littérature [5].
Comme on l’a vu au chapitre précédent, la dynamique de l’avion s’exprime
le plus commodément dans un repère avion et, pour l’étude de petites
perturbations autour d’un état d’équilibre, dans le repère avion dont l’axe
x est aligné avec la vitesse à l’équilibre, appelé repère de stabilité. Il en résulte
qu’il faut exprimer les forces aérodynamiques dans ces axes. Comme les
forces aérodynamiques sont habituellement exprimées dans un repère aérodynamique
(portance et traînée), commençons par énoncer les relations
entre les coefficients de force C x et C z et les coefficients de portance et traînée
C L et C D . L’angle entre la force de propulsion et l’axe x (généralement
faible) étant pris égal à zéro, on a
C x = C T + C L α x − C D
C z = −(C L + C D α x )
(4.1)
où C T est le coefficient de poussée T/½ρV 2 S.
85

86 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
4.2 Dérivées longitudinales
4.2.1 Dérivées par rapport à α
C xα
En dérivant (4.1) par rapport à α, on trouve
C xα
= ∂C T
∂α + C ∂C L
L + α x
∂α − ∂C D
∂α
En supposant le coefficient de poussée indépendant de l’incidence et en évaluant
l’expression précédente à l’état d’équilibre (identifié par l’indice 0, avec
en particulier α x0 = 0), on obtient
( ) ∂CD
C xα = C L0 −
(4.2)
∂α 0
Pour une polaire parabolique C D = C Dpar + kC 2 L
, l’expression devient
C xα = C L0 − 2kC L0 C Lα (4.3)
où C Lα est la pente de la courbe de portance notée a au chapitre 2.
C zα
En dérivant (4.1) par rapport à α et en évaluant à l’état d’équilibre, on obtient
C zα = −C Lα − C D0 (4.4)
expression dans laquelle C D0 est souvent négligeable par rapport à C Lα .
C mα
C mα
est la raideur en tangage discutée en détail au chapitre 2, que l’on
exprime commodément en fonction de la position du point neutre manche
fixe
C mα = a(h − h n ) (4.5)
Elle est donc négative lorsque le centre de gravité est en avant du point neutre
(configuration stable).
4.2.2 Dérivées par rapport à u
Les dérivées par rapport à u représentent les variations des coefficients
de forces et moment dues à une variation de vitesse pour une incidence et
une position des commandes (gouverne de profondeur et manette des gaz)
fixes. Si l’on suppose que les coefficients de portance et de traînée ne dépendent
que de l’incidence, c’est-à-dire si l’on néglige leur dépendance vis-àvis
des nombres de Reynolds et de Mach, alors seule la dérivée du coefficient
de poussée C T par rapport à u fournira une contribution à la dérivées C xu

4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 87
et éventuellement à la dérivée C mu (puisque C m = C m0 + a(h − h n )α et que
la poussée intervient dans les expressions de C m0 et de la position du point
neutre manche fixe h n ).
Les choses ne sont toutefois pas si simples. D’une part, si l’effet du nombre
de Reynolds peut la plupart du temps être négligé, il n’en est pas de même de
l’effet du nombre de Mach, qui est non négligeable sauf pour les vols à faible
vitesse. D’autre part, sauf pour les avions de petite taille relativement rigides,
on doit souvent tenir compte de la flexibilité de l’avion qui induit des modifications
de la géométrie (et donc de réponse aérodynamique) en fonction
de la charge aérodynamique (effet aéroélastique statique). De plus, les variations
de poussée avec la vitesse ont un effet indirect par l’interaction propulsion/cellule,
par exemple l’interaction du souffle d’une hélice avec l’aile, le
fuselage ou l’empennage. Dès lors, d’une manière générale, on devra écrire,
par exemple pour la dérivée C xu ,
( ) ( ) ( )
∂Cx ∂M ∂Cx ∂p d ∂Cx ∂C T
C xu =
+
+
(4.6)
∂M ∂û 0 ∂p d ∂û 0 ∂C T ∂û 0
où le deuxième terme représente l’effet de flexibilité de la structure, dont la
charge est proportionnelle à la pression dynamique p d .
Les dérivées ∂M/∂û, ∂p d /∂û et ∂C T /∂û se calculent aisément :
( )
)
)
∂M
∂û 0
( ) ∂pd
∂û 0
( ) ∂CT
∂û
0
= u 0
( ∂M
∂u
= u 0
( ∂pd
∂u
= u 0
( ∂CT
∂u
( ∂V
= M 0
0 ∂u
) ( ∂V
= ρu 2 0
∂u
)
0
0
= 2 ( ∂T/∂u ) 0
ρu 0 S
= M 0 (4.7)
0
)
= ρu 2 0
(4.8)
0
( ) ∂V
− 2C T0 = 2 ( ∂T/∂u ) 0
− 2C T0
∂u 0 ρu 0 S
(4.9)
Dans la dernière expression, le terme ( ∂T/∂u ) dépend du type de propulsion
utilisée. Pour un avion à turboréacteurs, la poussée est approximative-
0
ment indépendante de la vitesse, de sorte que ( ∂T/∂u ) = 0, alors que pour
0
un avion à turbopropulseur ou motopropulseur, la puissance est approximativement
indépendante de la vitesse, de sorte que ( ∂T/∂u ) 0 = − (T/u) 0 =
−½ρu 0 SC T0 .
Les dérivées des coefficients aérodynamiques (C x , C z , C m par rapport au
nombre de Mach, à la pression dynamique et au coefficient de poussée s’obtiennent
en fonction des dérivées des coefficients de traînée, de portance et
de poussée à partir des expressions (4.1). Les dérivées par rapport au nombre
de Mach s’obtiennent le plus souvent par des essais en soufflerie sur modèles
rigides. En ce qui concerne le moment de tangage en particulier, sa dérivée
s’accroît sensiblement dans le régime transsonique, où elle résulte principalement
du déplacement vers l’arrière du foyer de l’aile, celui-ci passant typiquement
du quart de la corde en soussonique à la moitié de la corde en supersonique.
Ce déplacement produit un incrément de moment cabreur, d’où
il résulte que C mu < 0. Les dérivées par rapport à la pression dynamique s’ob-

88 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
tiennent soit par des analyses aéroélastiques, soit par des essais sur modèles
flexibles. Enfin, l’évaluation des dérivées par rapport au coefficient de poussée
nécessite d’effectuer des essais en soufflerie sur modèles motorisés. Dans
ce cas, il arrive fréquemment que l’on mesure directement les dérivées des
coefficients aérodynamiques C x et C z plutôt que les dérivées des coefficients
de portance et de traînée.
4.2.3 Dérivées par rapport à q
Ces dérivées représentent les efforts aérodynamiques consécutifs à un mouvement
de rotation de tangage par rapport au centre de gravité, l’incidence α x
restant inchangée (c’est-à-dire nulle). Ce type de mouvement est illustré à la
figure 4.1b, en contraste avec le mouvement illustré à la Figure 4.1a qui est
FIG. 4.1 – Mouvements longitudinaux : (a) q = 0, α x variable, (b) α x
variable
= 0, q
un mouvement de pure translation, à incidence variable. Comme on l’a indiqué
au chapitre précédent, la force aérodynamique selon x résultant d’un
mouvement de rotation est négligeable, de sorte que seules C zq et C mq sont à
déterminer.
Bien que l’aile soit également touchée par le mouvement de rotation, pour
les avions avec empennage, c’est l’empennage qui fournit la contribution
principale, la contribution de l’aile étant alors fréquemment négligée ou prise

4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 89
en compte simplement en majorant la contribution de l’empennage d’un facteur
correctif arbitraire de l’ordre de 10 %.
Contribution de l’empennage
L’effet principale de la rotation, comme illustré à la figure 4.2, est d’aug-
FIG. 4.2 – Effet d’une rotation en tangage sur l’empennage
menter l’incidence de l’empennage d’un angle égal à ql t /u 0 . En faisant l’approximation
que la portance de l’empennage s’établit instantanément, cet
incrément d’incidence produit donc un incrément de coefficient de portance
∆C L = S t
S ∆C L t
= S t
S a t ∆α t = S t
S a ql t
t
u 0
= S t
S a 2 ˆql t
t
¯c
= 2a t V H ˆq (4.10)
since q/u 0 = 2 ˆq/ ¯c. On en déduit les expressions suivantes de C zq et C mq :
C zq = −2a t V H (4.11)
C mq
= −2a t V H
l t¯c
(4.12)
Contribution de l’aile
Comme elle est négligeable pour les avions à empennage, sauf éventuellement
pour les ailes à forte flèche de faible allongement, on se contentera
dans cette section de décrire les mécanismes physiques à l’origine des contributions
de l’aile aux dérivées par rapport à q.
Tout comme pour l’empennage, la rotation de l’aile par rapport au centre
de gravité a pour effet d’induire une vitesse verticale, qui varie linéairement

90 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
avec la distance par rapport au centre de gravité (voir figure) — alors que
FIG. 4.3 – Vitesses induites par une rotation en tangage
pour l’empennage, comme ¯c t ≪ l t , on pouvait considérer la vitesse induite
constante sur l’empennage.
Dans le cadre d’une théorie aérodynamique des petites perturbations, cet
effet est équivalent à une cambrure additionnelle de l’aile. En effet, la condition
de tangence devient
⃗V · ⃗n = qx ⇔ −u 0
dz
dx + w = −qx ⇒ w u 0
= dz
dx − qx
u 0
(4.13)
d’où on déduit que le mouvement de rotation est équivalent à une augmentation
de la pente locale de l’aile de −qx/u 0 , que l’on obtiendrait en déformant
l’aile selon ∆z = −qx 2 /2u 0 , c’est-à-dire en ajoutant une cambrure parabolique.
Cette cambrure additionnelle produit une variation de portance et de
moment de tangage que l’on peut calculer par la méthode des petites perturbations,
on que l’on peut mesurer en soufflerie par des essais sur une aile
déformée équivalente.
Cette théorie est quasi-statique et néglige par conséquent les effets de
courbure du sillage et les effets instationnaires. On a observé [5] que, pour des
trajectoires sinusoïdales, ces effets sont effectivement négligeables lorsque la
longueur d’onde de la trajectoire est grande par rapport à la corde de l’aile.
Enfin, puisque la distribution de vitesse induite dépend de la position du
centre de rotation, c’est-à-dire du centre de gravité, la déformation équivalente
et par conséquent les efforts aérodynamiques dépendent également du
centrage. On peut montrer [5] que C Lq (et par conséquent C zq ) dépend linéairement
de h alors que C mq est fonction quadratique de h.

4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 91
4.2.4 Dérivées par rapport à ˙α
Les dérivées par rapport à ˙α proviennent du fait que la distribution de
pression sur l’aile ou l’empennnage ne s’ajustent pas instantanément aux variations
d’incidence. Il s’agit donc d’un effet instationnaire contrairement aux
effets considérés précédemment qui pouvaient tous s’analyser par une théorie
aérodynamique stationnaire. Tout comme pour la vitesse de rotation q, on
néglige l’effet d’˙α sur la force axiale C x˙α
≈ 0.
Contribution de l’aile
Considérons une aile soumise à un échelon d’incidence (voir figure 4.4).
La portance subit un transitoire (réponse indicielle A(ˆt)) dépendant du régime
de vol avant d’atteindre sa valeur asymptotique.
Considérons ensuite la même aile soumise à une variation linéaire d’incidence
(figure 4.5). La réponse en portance se calcule alors par l’intégrale de
convolution
C L (ˆt) =
∫ ˆt
0
∫ ˆt
A(ˆt − τ)˙αdτ = ˙α A(ˆt − τ)dτ = (4.14)
0
Comme asymptotiquement la réponse indicielle tend vers la pente de la courbe
de portance C Lα , la réponse en portance tend vers une droite de pente C Lα ˙α,
ou encore
∫ ˆt
C L (ˆt) = C Lα ˙αˆt − ˙α (C Lα − A(ˆt − τ))dτ = C Lα ˙αˆt − S(ˆt)˙α (4.15)
0
} {{ }
S(ˆt)
soit une expression semblable à celle donnée par la la théorie classique exposée
à la section 3.3.2 (3.31)
C L (ˆt) = C Lα α(t) + C L˙α ˙α
à ceci près que C L˙α
= −S(ˆt) n’est pas constant contrairement à ce que la
théorie classique suppose. Ceci illustre la non-validité du concept de dérivée
aérodynamique en général, ainsi que mentionné précédemment. Toutefois,
la fonction S(t) tend rapidement vers une constante, de sorte que la théorie
classique est applicable à l’exception des premiers instants. L’intervalle de
temps au-delà duquel la théorie classique devient valide n’est pas très long,
de l’ordre du temps pris pour parcourir quelques cordes. La dérivée par rapport
à ˙α s’obtient donc aisément à partir de la réponse indicielle :
C L˙α
= −
∫ ˆt
0
(C Lα − A(ˆt − τ))dτ =
∫ ˆt
0
(A(ˆt − τ) − C Lα )dτ (4.16)
Comme illustré à la figure 4.5, elle peut prendre une valeur positive ou négative
selon le régime de vol. On peut déterminer la dérivée C m˙α
de la même

92 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
FIG. 4.4 – Évolution de la portance consécutive à un échelon d’incidence
manière. Mentionnons pour terminer que ces dérivées peuvent aussi s’évaluer
grâce à une analyse fréquentielle de mouvements d’oscillations harmoniques
(voir [5] pour plus de détails).
Contribution de l’empennage
La contribution de l’empennage peut s’évaluer approximativement par le
concept de retard de la déflexion, selon lequel l’empennage produit la portance
correspondant à l’angle d’incidence instantané (pas de transitoire d’établissement
de la portance de l’empennage), mais pour une valeur de la déflexion
correspondant à l’incidence vue par l’aile principale au moment de

4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 93
FIG. 4.5 – Évolution de la portance consécutive à une variation linéaire d’incidence
l’émission des tourbillons qui se trouvent au niveau de l’empennage à l’instant
considéré. Mathématiquement, cela s’exprime par
C Lt (t) = a t α t (t) = a t [α wb (t) − i t − ɛ(t − ∆t)] (4.17)
où ∆t = l t /u 0 est le temps mis par les tourbillons pour atteindre l’empennage.
La contribution instationnaire est donc
∆C Lt
∂ɛ
= a t
∂α ˙α∆t = a ∂ɛ
t
∂α ˙α l t
(4.18)
u 0

94 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
On en déduit directement les dérivées C z˙α
et C m˙α
, à savoir
et
C m˙α
C z˙α
= −C L˙α
= − S t
S
∂C Lt
˙α
2u 0
¯c
= −2a t
∂ɛ
∂α V H (4.19)
= − l t
¯c C = − l t S t ∂C Lt 2u 0 ∂ɛ
= −2a L˙α
t
¯c S ˙α ¯c ∂α V l
H
t¯c
(4.20)
4.3 Dérivées latérales
4.3.1 Dérivées par rapport à β
Les dérivées par rapport à β s’obtiennent au moyen d’essais en soufflerie
sur modèles en dérapage. De manière générale, les méthodes d’estimation ne
sont pas entièrement fiables et les essais sont nécessaires.
C yβ
C yβ
représent la force latérale résultant d’un dérapage. Elle est généralement
négative, et fréquemment assez faible pour être négligée. Les contributions
principales proviennent du fuselage et de la dérive, bien que les contributions
de l’aile et des interférences aile/fuselage puissent l’affecter sensiblement.
Parmi ces contributions, seule celle de la dérive peut s’estimer aisément,
grâce à l’analyse effectuée à la section 2.4.2.
Pour un angle de gouverne de direction nul, le coefficient de portance de
la dérive s’exprime comme (2.60)
C LF = a F (−β + σ)
Par conséquent, le coefficient de force latérale vaut, en supposant le rapport
de vitesses à la dérive V F /V égal à l’unité
et
C yβ
C y = S F
S a F(−β + σ) (4.21)
= −a F
S F
S
(
1 − ∂σ )
∂β
(4.22)
expression dans laquelle la grandeur la plus délicate à évaluer est la dérivée
de la déflexion latérale ∂σ/∂β, en raison de sa sensibilité à la géométrie de
l’aile et du fuselage.
C lβ
C lβ est l’effet dièdre analysé en détail à la section 2.4.3.

4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 95
C nβ
C nβ
est la stabilité directionnelle (positive pour une configuration statiquement
stable), examinée à la section 2.4.2.
4.3.2 Dérivées par rapport à p
Un avion en roulis à vitesse angulaire p constante effectue un mouvement
semblable à celui d’une vis. Les extrémités de l’aile décrivent une hélice dont
l’angle n’est rien d’autre que la vitesse de roulis adimensionnelle ˆp = pb/2u 0 .
Ce mouvement modifie l’incidence de toutes les sections de l’aile et de l’empennage
et, par conséquent, induit des efforts aérodynamiques. La modification
de la distribution de portance de l’aile altère également son sillage tourbillonnaire.
La distribution de tourbillon devient asymétyrique, ce qui induit
une déflexion latérale sur la dérive, caractérisé par la dérivée ∂σ/∂ ˆp. Enfin, le
mouvement hélicoïdal de l’aile produit un sillage hélicoïdal, mais cet effet est
négligeable pour les faibles vitesses de rotation.
C yp
La force latérale due au roulis est fréquemment négligeable. Lorsqu’elle
ne l’est pas, les contributions principales proviennent de l’aile et de la dérive.
L’effet de la dérive s’estime en fonction de la modification d’incidence sur la
dérive due au roulis (figure 4.6). La vitesse induite par le mouvement de roulis
FIG. 4.6 – Vitesses induites par un mouvement de roulis

96 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
de la dérive valant pz F , où z F est la hauteur moyenne de la dérive, la variation
d’incidence due au roulis vaut donc
∆α F = − pz F
u 0
+ p ∂σ
∂p = −2 ˆpz F
+ ˆp ∂σ
b ∂ ˆp
La variation de coefficient de portance de la dérive vaut donc
∆C LF
( 2zF
= −a F ˆp
b
− ∂σ )
∂ ˆp
de sorte que la dérivée du coefficient de force latérale vaut
C yp
= −a F
S F
S
( 2zF
b
− ∂σ )
∂ ˆp
(4.23)
(4.24)
(4.25)
C lp
La dérivée C lp
est communément appelée amortissement du roulis et exprime
la résistance de l’avion à un mouvement de roulis. Elle provient principalement
de l’aile. Comme illustré à la figure 4.6, le mouvement de roulis induit
une augmentation d’incidence de l’aile tribord (plongeante) et une diminution
de l’aile bâbord (ascendante) qui se traduit par un incrément de portance
asymétrique (voir figure 4.7) qui, dans la gamme de variation linéaire
FIG. 4.7 – Vitesses induites par un mouvement de roulis
de la portance, se superpose à la distribution symétrique de l’état d’équilibre.
Ceci produit un moment de tangage négatif élevé proportionnel à l’incidence
de bout d’aile ˆp.
Si l’incidence à l’emplanture à l’état d’équilibre α w (0) est élevée cependant,
l’incrément d’incidence dû au roulis peut amener certaines sections de
l’aile au-delà de l’angle de décrochage (voir figure 4.8), ce qui a pour effet de
réduire le moment de roulis induit (en module), voire, si α w (0) est suffisamment
élevé, de le faire changer de signe. Dans ces conditions, l’aile se met en
autorotation, ce qui est une des caractéristiques principales de la vrille.

4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 97
FIG. 4.8 – Vitesses induites par un mouvement de roulis
C np
Le moment de lacet dû au roulis est une de ces dérivées croisées responsables
du couplage étroit des mouvements de lacet et de roulis. Tant l’aile que
la dérive contribuent à cette dérivée.
La contribution de l’aile se divise en deux parties. D’une part, l’augmentation
d’incidence sur l’aile tribord s’accompagne d’une augmentation de traînée
et inversément pour l’aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet positif.
D’autre part, l’augmentation d’incidence sur l’aile tribord (plongeante) se
traduit par une inclinaison de la force de portance vers l’avant (voir figure 4.9)
et inversément pour l’aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet négatif. En
régime soussonique, l’effet d’inclinaison de la portance peut compenser entièrement
l’effet de traînée. En supersonique au contraire, l’effet net est toujours
un moment de lacet positif.
La contribution de la dérive se calcule aisément à partir de l’expression de
la force latérale établie précédemment. Le couple de lacet induit vaut
(∆C n ) dérive = − S F
S
l F
b ∆C L F
où V V est le rapport de volumes de la dérive.
4.3.3 Dérivées par rapport à r
= a F V V
( 2zF
b
− ∂σ
∂ ˆp
)
(4.26)
En présence d’une rotation de lacet, le champ de vitesses sur l’aile et la
dérive est sensiblement perturbé, comme illustré à la figure 4.10 La situation
est manifestement très compliquée sur l’aile lorsque la flèche est importante.
L’effet principal cependant est une augmentation de la vitesse sur l’aile bâbord
et une réduction de la vitesse sur l’aile tribord, dont il résulte une augmentation
des forces aérodynamiques sur l’aile bâbord et une diminution sur

98 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
FIG. 4.9 – Inclinaison de la portance sur les ailes due au roulis
l’aile tribord, ainsi que l’asymétrie de la nappe tourbillonnaire émise au bord
de fuite, elle-même responsable de l’apparition d’une déflexion latérale.
L’incrément d’incidence de la dérive est donc
∆α F = rl F
+ r ∂σ (
u 0 ∂r = ˆr 2lF
b + ∂σ
∂ˆr
)
(4.27)
C yr
Normalement, la seule contribution importante à C yr
est celle de la dérive.
Avec l’expression de l’incrément d’incidence induit sur la dérive établie
précédemment, on obtient
C yr
= a F
S F
S
( 2lF
b + ∂σ )
∂ˆr
(4.28)
C lr
Il s’agit à nouveau d’une dérivée croisée importante, le couple de roulis
dû au lacet. L’augmentation de portance sur l’aile bâbord et la diminution sur
l’aile tribord produisent un couple de roulis positif, proportionnel au coefficient
de portance à l’équilibre C L . L’effet est donc maximum à basse vitesse.
L’importance de cet effet dépend tant de l’allongement, que de l’effilement et
la flèche de l’aile.
Une dérive de grande taille contribue également de manière significative
à cette dérivée. En suivant un raisonnement semblable à celui suivi pour l’es-

4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 99
FIG. 4.10 – Vitesses induites par un mouvement de roulis
timation de la contrubution de la dérive à C lp , on obtient
C lr
= z (
F
b C S F z F 2lF
y r
= a F
S b b + ∂σ )
∂ˆr
(4.29)
C nr
Cette dérivée est l’amortissement en lacet et est toujours négative. Les contributions
les plus importantes sont celles de l’aile et de la dérive. La contribution
de l’aile provient de l’augmentation de la traînée sur l’aile bâbord et de sa
diminution sur l’aile tribord qui produisent un couple de lacet négatif s’opposant
au mouvement, dont l’ampleur dépend également de l’allongement,
de l’effilement et de la flèche de l’aile. Pour des flèches très élevées, le couple
de lacet associé à la traînée induite peut s’inverser et donc réduire l’amortissement.
La portance sur la dérive produit également un couple de lacet négatif,

100 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ
qui se calcule comme précédemment, à savoir
C nr = − l (
F
b C S F l F 2lF
y r
= −a F
S b b + ∂σ ) ( 2lF
= −a F V V
∂ˆr
b + ∂σ )
∂ˆr
(4.30)
4.4 Résumé
Pour terminer, on rassemble les expression établies tout au long de ce chapitre
dans les deux tableaux suivants. Les contributions indiquées d’un astérisque
sont celles de l’empennage ou de la dérive uniquement, ce qui ne
signifie pas que les contributions de l’aile ou du fuselage sont négligeables,
mais simplement qu’il n’existe pas de formules adéquates pour les exprimer.

4.4. RÉSUMÉ 101
û M0
TAB. 4.1 – Dérivées longitudinales
Cx Cz Cm
( ∂C T
∂M − ∂C )
(
D
− ρu 2 ∂CD
0
+ 1 − ∂C )
D ∂CL
CTu
−M0
∂M ∂pd
∂CT ∂M − ρu2 ∂CL ∂CL ∂Cm
0
− CTu M0
∂pd ∂CT ∂M + ρu2 ∂Cm
0
∂pd
α − C + C ) a(h − h CL0 Dα
−(CLα D0 n
˙α négligeable *−2at VH
∂ɛ
∂α
*−2at VH
ˆq négligeable *−2at VH *−2at VH
lt
¯c
lt
+ CTu
∂ɛ
∂α
¯c
bet a *−aF
ˆp *−aF
ˆr *aF
SF
S
SF
S
SF
S
TAB. 4.2 – Dérivées latérales
Cy Cl Cn
(
1 − ∂σ )
( ∂β
2z F
b − ∂σ
( ∂ ˆp
2l F
b + ∂σ )
∂ˆr
)
pas d’expression adéquate *aFVV
( 2z F
pas d’expression adéquate *aFVV
(
SF zF 2l F
*aF
S b b + ∂σ )
( 2l F
*−aFVV
∂ˆr
(
1 − ∂σ
∂β
)
b − ∂σ
∂ ˆp
b + ∂σ
∂ˆr
)
)
∂Cm
∂CT

102 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ

Chapitre 5
Stabilité dynamique
Après avoir préparé le terrain dans les deux chapitres précédents, nous
abordons finalement dans ce chapitre et le suivant l’analyse des mouvements
de l’avion consécutifs à une perturbation (ce chapitre-ci) ou à l’actionnement
d’une commande (chapitre suivant). Le comportement de l’avion consécutif
à une petite perturbation autour d’un état d’équilibre (la stabilité dynamique)
est une propriété extrêmement importante des avions. En effet, les
états d’équilibre (vols stabilisés) occupent l’essentiel du temps de vol et, dans
ces conditions de vol, les pertubations doivent demeurer faibles pour que
l’avion soit acceptable pour un usage civil ou militaire. On assure un comportement
dynamique adéquat par conception (dimensionnement adéquat
des surfaces portantes et des gouvernes), en telle manière qu’un pilote humain
ou automatique puisse garder les pertubations à un niveau acceptable
(sans efforts excessifs dans le cas du pilote humain). Il faut enfin souligner
que la théorie des petites pertubations que l’on utilisera pour cette analyse
est valide pour des pertubations qui seraient considérées comme violentes
par des passagers.
5.1 Solution générale des équations des petites perturbations
Forme de la solution
Les équations des petites perturbations (3.35, 3.36) sont de la forme
ẋ = Ax + ∆f c (5.1)
où x est le vecteur de variables d’état, A une matrice carrée à coefficients
constants et ∆f c le vecteur des forces et couples de commande. Soit R la matrice
des vecteurs propres droits (colonnes) r k , L la matrice des vecteurs propres
gauches (lignes) l k et Λ la matrice diagonale des valeurs propres λ k de la matrice
A. Grâce à l’identité algébrique
LA = ΛL

104 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
le système devient diagonal après multiplication à gauche par L.
Lẋ = LAx + L∆f c = Λ
}{{}
Lx +L ∆f
}{{} c
≡w =0(mvt libre)
→
w k = w k (0)e λ k t
(5.2)
La solution finale s’obtient alors en multipliant par la matrice des vecteurs
propres droits R (puisque RL = LR = I pour des vecteurs propres unitaires).
ẋ = Rw = ∑ k
r k w k (0)e λ k t
(5.3)
Chaque solution de la forme ar k e λ k t est un mode naturel de l’avion, et la solution
générale est une superposition des modes naturels, w k (0) étant l’amplitude
du mode k.
Caractéristiques du mouvement
La matrice A étant réelles, les valeurs propres sont soit réelles, soit complexes
conjuguées et, dans ce dernier cas, les vecteurs propres correspondants
(et les amplitudes correspondantes) sont complexes conjugués également.
Posant λ = σ ± iω, on a donc des modes réels de la forme ae σt et
des modes oscillatoires de la forme (A 1 cos ωt + A 2 sin ωt)e σt . Selon le signe
de σ, on a donc quatre comportements possibles, représentés à la figure 5.1
Lorsque σ > 0 (cas (a) et (c)), l’amplitude de la perturbation augmente et le
mode est donc dynamiquement instable. D’autre part, dans les trois cas (b),
(c) et (d), la dérivée initiale est négative (la perturbation décroît initialement)
et par conséquent la configuration est statiquement stable au sens de la définition
de la stabilité statique donnée au chapitre2. On vérifie donc bien que la
stabilité statique est une condition nécessaire mais non suffisante de stabilité
dynamique. On a coutume de dénommer divergence le comportement statiquement
instable (a) et oscillation divergente le comportement (c) alors que
les comportements stables (b) et (d) sont dénommés respectivement convergence
et oscillation amortie ou convergente.
On caractérise généralement le comportement des modes naturels par les
paramètres suivants :
1. la période T = 2π/ω,
2. le temps pour doubler ou réduire de moitié,
3. le nombre de cycles pour doubler (N double ) ou réduire de moitié (N moitié )
En définissant la pulsation non-amortie ω n et le facteur d’amortissement ζ
de la manière suivante
λ = σ + iω = ω n (−ζ + i √ 1 − ζ 2 ) → ω n = σ 2 + ω 2 , ζ = − σ ω n
on obtient aisément les expressions suivantes pour les paramètres caractéristiques.

5.1. SOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DES PETITES PERTURBATIONS105
FIG. 5.1 – Comportements possibles des modes naturels
Temps pour doubler ou réduire de moitié En notant T ½ le temps pour réduire
de moitié, il doit satisfaire e σT ½
= 1/2. On obtient donc
T ½ = − ln 2
σ = ln 2
ζω n
(5.4)
Le temps pour doubler T 2 s’obtient en changeant de signe. Les mouvements
amplifiés correspondent donc à des temps pour réduire de moitié
négatifs.
Nombre de cycles pour doubler ou réduire de moitié Le nombre de cycle pour
réduire de moitié s’obtient directement à partir du temps pour réduire
de moitié et de la période :
N moitié = T ½
T = ln 2
2π
ω
σ = ln 2
√
1 − ζ
2
2π ζ
(5.5)

106 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
Décrément logarithmique Le décrément logarithmique δ est défini comme
le logarithme du rapport entre deux maxima successifs. On a donc
δ = ln
e−σt
e = −σT = −2π σ −σ(t+T) ω = ln 2
(5.6)
N moitié
Critère de stabilité
Comme on l’a souligné précédemment, la stabilité du mouvement libre
exige que les parties réelles des valeurs propres σ soient négatives. Or, il n’est
pas nécessaire de calculer les valeurs propres pour déterminer si certaines
ont une partie réelle négative, on peut utiliser à cette fin le critère de Routh,
qui impose qu’un certain ensemble d’expressions soient toutes positives. Dans
le cas particulier des racines d’une équation du quatrième ordre que constituent
les équations caractéristiques des mouvements longitudinaux et latéraux
Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 (5.7)
les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les parties réelles des
racines soient négatives sont
et
A, B, D, E > 0
R = D(BC − AD) − B 2 E > 0 (5.8)
dont il résulte que C doit aussi être positif.
De plus, on peut montrer que l’annulation de E et de R correspondent à
des cas critiques particuliers
1. Le changement de signe de E correspond au changement de signe d’une
racine réelle. Par conséquent, lorsque E devient négatif, cela correspond
à l’apparition d’une divergence. E > 0 constitue donc le critère de stabilité
statique au sens général.
2. Le changement de signe de R correspond au changement de signe de
la partie réelle d’une paire de racines complexes conjuguées, et donc R
devenant négatif marque l’apparition d’une oscillation divergente.
5.2 Modes longitudinaux
5.2.1 Cas illustratif d’un long-courrier à réaction
On illustrera la forme typique des modes longitudinaux en prenant l’exemple
du Boeing 747 [5] en vol horizontal stabilisé (H = 40 000 pieds, M = 0, 8).

5.2. MODES LONGITUDINAUX 107
Caractéristiques
Les paramètres représentatifs de ce cas sont rassemblées ci-dessous :
Dimensions, masse et inertie
¯c = 8,324 m b = 8,324 m S = 511 m 2
P = 2, 83176 10 6 N I xx = 0,247 10 8 kg m 2 I yy = 0,449 10 8 kg m 2
I zz = 0,673 10 8 kg m 2 I xz = 0,212 10 7 kg m 2
Conditions de vol
ρ = 0,304 5 kg m −3 u 0 = 235,9 m s −1 C L0 = 0, 654 C D0 = 0, 0430
Dérivées de stabilité Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles
sont présentées aux tableaux 5.1 et 5.2.
TAB. 5.1 – Dérivées longitudinales non-dimensionnelles — Boeing 747
C x C z C m
û −0,1080 −0,1060 0,1043
α 0,2193 −4,920 −1,023
ˆq 0 −5,921 −23,92
˙α 0 5,896 −6,314
TAB. 5.2 – Dérivées longitudinales dimensionnelles — Boeing 747
X (N) Z (N) M (N m)
u (m s −1 ) −1,982 10 3 −2,595 10 4 1,593 10 4
w (m s −1 ) 4,025 10 3 −9,030 10 4 −1,563 10 4
q (rad s −1 ) 0 −4,524 10 5 −1,521 10 7
ẇ (m s −2 ) 0 1,909 10 3 −1,702 10 4
Matrice du système — équation caractéristique
Avec ces paramètres, la matrice du système longitudinal est
⎛
⎞
−0, 006868 0, 01395 0 −9, 81
A = ⎜ −0, 09055 −0, 3151 235, 91 0
⎟
⎝ 0, 0003894 −0, 003366 −0, 4285 0 ⎠ (5.9)
0 0 1 0
On en tire l’équation caractéristique
λ 4 + 0, 750468 λ 3 + 0, 935494 λ 2 + 0, 0094630 λ + 0, 0041959 = 0 (5.10)
Les deux critères de stabilité de Routh
E = 0, 0094630 > 0 et R = 0, 004191 > 0
sont vérifiés. Il n’y a donc pas de mode instable.

108 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
Valeurs propres
Les racines de l’équation caractéristique 5.10 sont les deux paires de racines
complexes conjuguées suivantes :
Mode 1 (Phugoïde)
Mode 2 (Oscillation d’incidence)
λ 1,2 = −0, 003289 ± 0, 06723i
λ 3,4 = −0, 3719 ± 0, 8875i
(5.11)
Il s’agit de deux modes oscillatoires amortis, l’un de grande période faiblement
amorti et l’autre de faible période fortement amorti, identifiés par les
dénominations conventionnelles indiquées. Ce résultat est assez typique. Leurs
paramètres caractéristiques sont donnés au tableau 5.3 et le comportement
transitoire correspondant est représenté à la figure 5.2.
TAB. 5.3 – Paramètres des modes longitudinaux
Mode Dénomination T (s) T ½ (s) N moitié (s)
1 Phugoïde a 93,4 211 22,5
2 Oscillation d’incidence 7,08 1,86 0,26
a Le nom de phugoïde a été attribué à ce mode par Lanchester (1908) qui l’a décrit le premier.
Il dérive d’une racine grecque signifiant fuir comme dans le mot fugitif. En réalité, Lanchester
voulait employer la racine du verbe voler. Néanmoins, le mot phugoïde est resté dans le jargon
aéronautique.
Vecteurs propres
Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau
5.4 sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine
σ + iω. Les vecteurs propres étant définis à un facteur près, c’est seulement la
TAB. 5.4 – Vecteurs propres longitudinaux
Phugoïde Oscillation d’incidence
Module Phase Module Phase
∆û 0,62 92,4˚ 0,029 57,4˚
α = ŵ 0,036 82,8˚ 1,08 19,2˚
ˆq 0,0012 92,8˚ 0,017 112,7˚
∆θ 1,0 0˚ 1,0 0˚
valeur relative des composantes qui importe. On a choisi ici de fixer la composante
de ∆θ à 1. Les vecteurs propres peuvent également être représentés
graphiquement dans le plan complexe (diagramme d’Argand), voir figure 5.3.
On constate que la phugoïde se caractérise par des variations d’incidence
et une rotation de tangage négligeables avec des variations de vitesse et d’angle
d’assiette de même ordre de grandeur, les variations de vitesse étant en avance
de phase d’environ 90˚.

5.2. MODES LONGITUDINAUX 109
FIG. 5.2 – Comportement transitoire des modes longitudinaux. (a) Phugoïde.
(b) Oscillation d’incidence.
Au contraire, pour l’oscillation d’incidence, les variations de vitesse sont
négligeables alors que les variations d’incidence sont de même ordre de grandeur
que (et en phase avec) les variations d’angle d’assiette. Ce mode se comporte
pratiquement comme un mode où seuls deux degrés de liberté (∆θ et
α) sont excités.
Trajectoires de vol associés aux modes propres
Un éclairage supplémentaire des modes propres est obtenu par l’analyse
de la trajectoire de vol correspondante. Dans le cas de petites pertubations
autour d’un vol stabilisé horizontal (θ 0 = 0), les équations de la trajectoire (3.35)
se simplifient en
∆ẋ 0
∆ż 0
= ∆u
= −u 0 ∆θ + w
(5.12)

110 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
FIG. 5.3 – Vecteurs propres longitudinaux. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d’incidence.

5.2. MODES LONGITUDINAUX 111
Pour un mode propre complexe de valeurs propres λ, λ ∗ , les variations de ∆u,
w et ∆θ sont les suivantes :
∆u = r 1 e λt + r ∗ 1 eλ∗ t
w = r 2 e λt + r ∗ 2 eλ∗ t
∆θ = r 4 e λt + r ∗ 4 eλ∗ t
(5.13)
(5.14)
où les constantes r i sont les composantes du vecteur propre correspondant
à la valeur propre λ, soit dans le cas de l’exemple, les valeurs données au tableau
5.4. Insérant ces expressions dans l’équation de la trajectoire (5.12) on
trouve après intégration
∆x 0 = x 0 − u 0 t = r 1
λ eλt + r ∗ 1
λ ∗ eλ∗t + const
[
= 2e σt r1
]
R
λ eiωt + const (5.15)
[
∆ż 0 = 2e σt r2 − u 0 r
]
4
R e iωt + const
λ
où le symbole R indique la partie réelle du nombre complexe entre parenthèses
carrées. On a représenté à la figure 5.4 les trajectoires de vol correspondant
aux deux modes propres dans le cas de l’exemple considéré, pour
des conditions initiales arbitraires. Comme les deux modes sont stables, les
trajectoires tendent asymptotiquement vers la trajectoire horizontale du vol
stabilisé de référence. On observe que la phugoïde est un vol ondulant de très
grande longueur d’onde. Du fait que les variations de vitesse sont en avance
de phase d’environ 90˚sur les variations d’angle d’assiette, comme on l’a observé
à la figure 5.3, on en déduit que la vitesse u passe par son maximum
au point bas de la trajectoire (90 ˚avant le point de pente — et donc d’assiette
— maximum). Il en résulte que la distance parcourue dans la partie
basse de la trajectoire est plus longue que la distance parcourue dans la partie
haute, comme illustré sur la figure. Pour des mouvements de plus grande
amplitude, cette dissymétrie de la trajectoire devient nettement plus prononcée
(noter que l’on sort alors du cadre de validité de la théorie linéaire), jusqu’à
ce qu’il apparaisse un point de rebroussement puis une boucle dans la
partie supérieure. Il apparaît que le mouvement phugoïde est approximativement
un mouvement à énergie totale constante, les phases de montée et
de descente correspondant à un échange entre énergie potentielle et énergie
cinétique. On a représenté à la figure 5.4b la trajectoire de vol dans un
référentiel se déplaçant à la vitesse u 0 du vol non perturbé, c’est-à-dire la trajectoire
qui serait vue par un observateur volant dans un avion n’ayant pas
subi de perturbation. On constate qu’il s’agit d’une spirale dont les tours sont
approximativement elliptiques.
Enfin, la figure 5.4c représente la trajectoire correspondant à l’oscillation
d’incidence. Comme attendu, la perturbation est rapidement amortie, le transitoire
ayant pratiquement disparu après 3000 pieds, bien que les perturba-

112 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
FIG. 5.4 – Trajectoires de vol. (a) Phugoïde, référentiel fixe. (b) Phugoïde, référentiel
mobile. (c) Oscillation d’inicidence.

5.2. MODES LONGITUDINAUX 113
tions initiales d’incidence et d’assiette aient été importantes. La trajectoire
s’écarte peu de la ligne droite, la principale caractéristique du mouvement
étant un rapide mouvement de tangage.
5.2.2 Approximation des modes longitudinaux
Le calcul numérique des modes nous a certes permis d’en mettre en évidence
les propriétés, mais ne fournit guère d’explication physique quant à
leur origine. Pour déterminer et comprendre l’influence des paramètres de
l’avion et du vol sur les modes propres, on doit pouvoir en exprimer les caractéristiques
(pulsation non-amortie, amortissement) analytiquement en fonction
de ces paramètres. Comme de telles expressions ne peuvent être obtenues
à partir du système complet d’équations, on cherchera à établir des expressions
analytiques approchées décrivant les modes. Outre leur vertu de
fournir une interprétation physique des modes, de telles expressions sont
également utiles pour la conception de système de pilotage automatique.
Deux méthododologies peuvent être utilisées pour établir de telles approximations.
Une première méthodologie, plutôt d’inspiration mathématique,
consiste à analyser l’ordre de grandeur des divers termes de l’équation
caractéristique et de faire les simplifications qui en résultent. Ainsi, si
l’on sait que l’équation caractéristique (5.7) possède une racine petite en module,
on peut en obtenir une valeur approchée en négligeant les termes en
puissances supérieures de λ dans l’équation caractéristique, c’est-à-dire en
résolvant l’équation approchée
Dλ + E = 0.
Semblablement, on peut obtenir une valeur approchée d’une paire de racines
complexes conjuguées de grand module en ne conservant que les termes en
puissances supérieures de λ, à savoir
Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 = 0
Cette méthodologie très souvent utile est parfois la seule permettant d’obtenir
une approximation.
Une deuxième méthodologie, d’inspiration plus physique, consiste, à partir
d’une connaissance qualitative préalable des caractéristiques des modes,
à apporter certaines simplifications dans les équations du mouvement, qui
réduisent l’ordre du système étudié. Dans le cas des modes longitudinaux
qui nous occupe ici, c’est essentiellement la deuxième méthodologie qui sera
adoptée, alors que pour les modes latéraux, l’une et l’autre méthodologies
seront employées.
Il faut souligner qu’aucune approximation analytique simple ne peut fournir
des résultats numériques fiables en toutes circonstances. Pour cela, la
seule voie assurée est la résolution numérique du système complet. La précision
des diverses approximations sera évaluée à l’aide d’exemples.
Les modes longitudinaux se distinguent généralement par une grande séparation
d’échelles de temps et aussi par le fait que certaines variables d’état

114 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
ne sont quasiment pas excitées dans chacun des deux modes. On met cette
dernière propriété à profit pour établir des approximations des modes longitudinaux
en simplifiant les équations du mouvement de manière correspondante.
Phugoïde
Théorie de Lanchester Comme on l’a mentionné précédemment, le mode
phugoïde a été étudié en premier par Lanchester (1908) qui lui a donné son
nom. L’analyse de Lanchester est basée sur les hypothèses que l’incidence α
reste constante et que la poussée retre constamment égale à la traînée (T −
D = 0). Dans ces conditions, il n’y pas de force nette dans la direction du vol
et donc pas de travail sur l’avion si ce n’est celui de la gravité. Le mouvement
est donc à énergie totale constante, comme on l’a évoqué précédemment,
c’est-à-dire
ou
m V2
2 − mg z 0 = const (5.16)
V 2 = u 2 0 + 2g∆z 0 (5.17)
L’incidence étant constante, le coefficient de portance C L reste également
constant si l’on néglige les effets de nombre de Reynolds et de Mach ainsi
que les effets aéroélastiques éventuels. En multipliant l’équation précédente
par ½ρSC L , on obtient dès lors
L = P + ρgSC L ∆z 0 (5.18)
puisque ½ρu 2 0 SC L = L 0 = P. L’équation du mouvement dans la direction
verticale étant
m∆ ¨z 0 = P − L cos γ ≈ P − L (5.19)
pour les faibles pentes, elle s’écrit finalement, compte tenu du résultat précédent
m∆ ¨z 0 + ρgSC L ∆z 0 = 0 (5.20)
qui est l’équation d’un mouvement harmonique de période
√
√ m
u 2 0
T = 2π = 2π
ρgSC L0 2g 2 = 2π u 0
g
(5.21)
puisque m/ρSC L = ½u 2 0
/g. Ce résultat d’une grande simplicité, selon lequel
la période de la phugoïde ne dépend que de la vitesse de vol (et non des caractéristiques
de l’avion ni de l’altitude) n’est pas seulement d’un intérêt historique,
il fournit une bonne approximation pour les avions rigides volant à
des vitesses en dessous de la limite à laquelle apparaissent les effets de compressibilité
(de nombre de Mach). Ainsi, pour l’exemple du Boeing 747 (qu’on

5.2. MODES LONGITUDINAUX 115
ne peut pourtant pas considérer comme un avion insensible aux effets aéroélastiques
ou de compressibilité), l’approximation de Lanchester fournit une
période T = 107 s, pas trop éloignée de la valeur exacte de 93 s.
Deuxième approximation On peut obtenir une approximation meilleure
encore en introduisant des simplifications appropriées dans les équations du
mouvement. Comme la phugoïde s’effectue quasiment sans mouvement de
tangage (q ≈ 0), on peut en déduire que l’avion est en permanence en équilibre
en tangage (équilibre quasi-statique). De plus, puisque q et les variations
d’incidence sont très faibles, on peut négliger leur influence sur le moment de
tangage et la force selon z, c’est-à-dire les dérivées M q , Mẇ, Z q et Zẇ. Dans ces
conditions, les équations du mouvement se simplifient en
⎡
⎢
⎣
∆ ˙u
ẇ
0
∆˙θ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
X u
m
Z u
m
M u
I yy
X w
m 0 −g
Z w
m u 0 0
M w
I yy
0 0
0 0 1 0
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
∆u
w
q
∆θ
⎤
⎥
⎦ (5.22)
où l’on peut simplifier la troisième équation en la multipliant par I yy . On
constate que le système n’est pas sous forme canonique ẋ = Ax, mais plutôt
sous la forme Mẋ = Ax. On peut montrer aisément que dans ce cas, les
modes propres sont donnés par l’équation caractéristique
det(A − λM) = 0 (5.23)
En développant les calculs, on montre que cette équation se met sous la forme
avec
Aλ 2 + Bλ + C = 0 ↔ λ 2 + 2ζω n λ + ω 2 n = 0 (5.24)
A = −u 0 M w
B = gM u + u 0
m (X uM w − M u X w ) (5.25)
C = g m (Z uM w − M u Z w )
dont on déduit la pulsation non-amortie et le facteur d’amortissement
ω 2 n = − g (
Z u − M )
uZ w
mu 0 M w
ζ = − 1
2ω n
[ g
u 0
M u
M w
+ 1 m
(
X u − M u
M w
X w
)] (5.26)

116 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
Dans le cas particulier où M u = 0 (ce qui est le cas pour les avions rigides en
l’absence d’effets de compressibilité), ces expressions se simplifient en
d’où
A = −u 0 M w
B = u 0
m X uM w (5.27)
C = g m Z uM w
ω 2 n = − gZ u
mu 0
ζ = − 1 X u
2ω n m = −X u
2
√
u0
(5.28)
−mgZ u
En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des
dérivées adimensionnelles et en supposant C zu = 0 (hypothèse vérifiée dans
les mêmes conditions que l’hypothèse M u = 0) et que la poussée est indépendante
de la vitesse (∂T/∂u = 0 → C Tu = −2C T0 = −2C D0 ), on obtient
finalement
ω 2 n = ρgSC L 0
m = 2 ( g
u 0
) 2
ζ = 1
2
C D0
C L0
(5.29)
On retrouve donc le résultat de Lanchester pour la pulsation non-amortie et
un facteur d’amortissement inversément proportionnel à la finesse. Alors que
l’approximation pour la période reste bonne même pour des C mu différentes
de zéro, l’approximation pour le facteur d’amortissement se détériore pour
des valeurs positives élevées de C mu . Dans le cas de l’exemple, l’expression
approchée donne ζ = 0, 046, à comparer avec la valeur exacte ζ = 0, 049.
Oscillation d’incidence
Comme on l’a vu précédemment (figure 5.3), l’oscillation d’incidence est
essentiellement un mode à deux degrés de liberté, la vitesse restant pratiquement
constante alors que l’avion subit un mouvement de tangage assez rapide.
On obtient dès lors une approximation du mouvement en annulant ∆u
et en éliminant l’équation selon x. En faisant en outre les approximations que
Zẇ et Z q sont faibles par rapport à m et mu 0 respectivement (qui sont bien
vérifiées dans le cas de l’exemple), on obtient finalement (pour θ 0 = 0) le
système de deux équations à deux inconnues
[ ẇ
˙q
⎡
]
= ⎢
⎣
Z w
m
[
1
M w + Z wMẇ
I yy m
]
u 0
1 [ ]
Mq + u 0 Mẇ
I yy
⎤
[ w
⎥
⎦ q
]
(5.30)
dont on tire directement l’équation caractéristique
[
λ 2 Zw
− λ
m + 1
]
(M q + u 0 Mẇ) − 1 (
u 0 M w − M )
qZ w
I yy I yy m
(5.31)

5.2. MODES LONGITUDINAUX 117
En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des
dérivées adimensionnelles, cette expression devient
[ ]
λ 2 − λ Czα
t ∗ 2µ + 1 (C mq + C m˙α
) − 1 (
C
Î yy t ∗2 mα − C )
m q
C zα
(5.32)
Î yy
2µ
En appliquant ces expressions au cas de l’exemple, on obtient
λ 2 + 0, 714λ + 0, 9281 = 0
dont les racines sont λ = −0, 371 ± 0, 889i, soit des valeurs pratiquement les
mêmes que celles obtenues à partir du système complet. L’approximation de
l’oscillation d’incidence donne effectivement de très bons résultats pour une
large gamme de véhicules et de conditions de vol.
5.2.3 Stabilité statique longitudinale
Comme on l’a mentionné précédemment (section 5.1), l’apparition d’une
racine réelle positive (divergence) qui constitue le critère d’instabilité statique
rigoureux s’accompagne du changement de signe du coefficient E de
l’équation caractéristique de positif à négatif.
Or, E = det A. Évaluant cette grandeur dans le cas θ 0 = 0 en négligeant Zẇ
et Z q , on trouve
E =
g
mI yy
(Z u M w − M u Z w ) (5.33)
et comme g, m et I yy sont tous positifs, le critère rigoureux de stabilité statique
est donc
ou encore, sous forme non-dimensionnelle
Z u M w − M u Z w > 0 (5.34)
C mα (C zu − 2C P0 ) − C mu C zα > 0 (5.35)
En l’absence d’effets de vitesse (compressibilité et aéroélasticité), c’est-à-dire
pour C zu = C mu = 0, ce critère se réduit effectivement au critère simple C mα <
0.
On peut montrer [5] que le critère général coïncide exactement avec le critère
d’une pente de la courbe de l’angle de gouverne en fonction de la vitesse
positive (voir section 2.3.1) lorsqu’on tient compte des effets de vitesse (compressibilité,
aéroélasticité) sur les coefficients aérodynamiques (C L , C m ).
5.2.4 Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux
Effet de la vitesse et de l’altitude
À titre d’illustration, on reprend l’exemple du Boeing 747 pour lequel des
données sont disponibles [5] à diverses altitudes et vitesses (2 vitesses au niveau
de la mer, 3 vitesses aux altitudes de 20 000 et 40 000 pieds) pour une

118 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
géométrie et une marge statique fixes. Les périodes et amortissements modaux
sont représentés à la figure 5.5. Compte tenu du très petit nombre de
points, l’allure des courbes est au mieux qualitative. Aucune tendance nette
ne se dégage des courbes. On remarque toutefois que la période de la phugoïde
augmente avec la vitesse comme prédit par la théorie de Lanchester,
et diminue avec l’altitude pour un nombre de Mach donné. La période de
l’oscillation d’incidence varie en sens inverse, diminuant avec la vitesse et
augmentant avec l’altitude.
L’effet le plus frappant est l’augmentation importante et soudaine de la
période de la phugoïde à grand nombre de Mach aux deux altitudes. Ce phénomène
résulte de la perte de stabilité statique véritable due à la diminution
jusqu’à une valeur négative de C mu en raison des effets de compressibilité et
aéroélastiques, qui induit une diminution importante du coefficient E. Pour
bien montrer que c’est bien la variations de C mu qui est à l’origine de cet effet,
on a calculé les caractéristiques de la phugoïde en fonction de C mu pour le
vol à Mach 0,8 et une altitude de 20 000 pieds (voir figure 5.6). On constate effectivement
une variation très rapide de la période lorsque C mu descend sous
-0,05. Au-delà de cette valeur, on constate également la bonne précision de
l’approximation de Lanchester, la deuxième approximation de la phugoïde
basée sur les équations du mouvement simplifiées étant elle de bonne qualité
sur l’ensemble de la gamme de C mu . Par contre, l’estimation de l’amortissement
est nettement moins bonne, comme on l’avait annoncé à la section
précédente.
Effet du centrage
Comme on l’a souligné à de nombreuses reprises depuis le chapitre 2, le
paramètre le plus important pour la stabilité longitudinale est la raideur en
tangage C mα , qui est directement liée au centrage,
C mα = a(h − h n ),
où h n − h = K n est la marge statique. L’effet de ce dernier paramètre est effectivement
très important comme le montrent les figures 5.7–5.9. On constate
que la période et l’amortissement de la phugoïde varient rapidement avec la
marge statique lorsqu’elle est faible et que les expressions approchées ne sont
fiables que pour les marges statiques importantes. En ce qui concerne l’oscillation
d’incidence, on voit que sa période varie peu avec la marge statique,
sauf pour les marges statiques faibles pour lesquelles l’oscillation d’incidence
a tendance à se séparer en deux modes réels, alors que son amortissement
diminue lorsque la marge statique augmente. On constate également que les
expressions approchées sont excellentes sur toute la gamme des marges statiques.
Une autre manière de présenter ces résultats est de tracer le lieu des racines
dans le plan complexe lorsque la marge statique varie. À la figure 5.9a,
on constate que l’amortissement de l’oscillation d’incidence est pratiquement
indépendant de la marge statique et que l’oscillation d’incidence se

5.2. MODES LONGITUDINAUX 119
FIG. 5.5 – Variations des modes longitudinaux en fonction de la vitesse et de
l’altitude. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d’inicidence.

120 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
FIG. 5.6 – Effet de C mu sur la phugoïde. (a) Période. (b) Amortissement.

5.2. MODES LONGITUDINAUX 121
FIG. 5.7 – Variation de la période et de l’amortissement de la phugoïde avec
la marge statique.
FIG. 5.8 – Variation de la période et de l’amortissement de l’oscillation d’incidence
avec la marge statique.
sépare en deux modes réels pour K n = 0, 0075. Le comportement de la phugoïde
est bien plus complexe. Partant de K n = 0, 3 et diminuant la marge statique,
la phugoïde devient instable pour K n = 0, 039 (point D). En continuant
à réduire la marge statique, les racines de la phugoïde se séparent en deux racines
réelles (instables) pour K n légèrement sous -0,06, se recombinent en
deux racines complexes conjuguées instables pour K n = −0, 074, qui deviennent
à nouveau stables lorsque la marge statique atteint la valeur (totalement
irréaliste) K n = −0, 1.
L’importance de la dérivée C mu est une fois encore illustrée à la figure 5.9c,
qui représente le lieu des racines de la phugoïde pour C mu = 0. Le comportement
observé, qui est assez bien représentatif de celui d’un avion rigide à

122 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
FIG. 5.9 – (a) Lieu des racines de l’oscillation d’incidence. (b) Lieu des racines
de la phugoïde. (c) Lieu des racines de la phugoïde, C mu = 0.

5.3. MODES LATÉRAUX 123
faible nombre de Mach, fait apparaître la séparation de la phugoïde en deux
modes réels pour une marge statique très proche de zéro, une de ces deux racines
devenant instable lorsque la marge statique s’annule, alors que l’autre
racine interagit avec la branche AB de l’oscillation d’incidence (figure 5.9a)
pour produire une nouvelle oscillation stable pour une marge statique légèrement
négative.
5.3 Modes latéraux
5.3.1 Cas illustratif
Dérivées aérodynamiques, matrice du système et équation caractéristique
Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles sont présentées
aux tableaux 5.5 et 5.6. Avec ces valeurs, la matrice du système latéral
est
A =
⎛
⎜
⎝
On en tire l’équation caractéristique
−0, 0558 0 −235, 91 9, 81
−0, 0127 −0, 4342 0, 4136 0
0, 003565 −0, 006112 −0, 1458 0
0 1 0 0
⎞
⎟
⎠ (5.36)
λ 4 + 0, 6358 λ 3 + 0, 9388 λ 2 + 0, 5114 λ + 0, 003682 = 0 (5.37)
Les deux critères de stabilité de Routh
E = 0, 003682 > 0 et R = 0, 04223 > 0
sont vérifiés. Il n’y a donc pas de mode instable.
TAB. 5.5 – Dérivées latérales non-dimensionnelles — Boeing 747
C y C l C n
β −0,8771 −0,2797 0,1946
ˆp 0 −0,3295 −0,04073
ˆr 0 0,304 −0,2737
TAB. 5.6 – Dérivées latérales dimensionnelles — Boeing 747
Y (N) L (N m) N (N m)
v (m s −1 ) −1,610 10 4 −3,062 10 5 2,131 10 5
p (rad s −1 ) 0 −1,076 10 7 −1,330 10 6
r (rad s −1 ) 0 9,925 10 6 −8,934 10 6

124 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
Valeurs propres
Les racines de l’équation caractéristique 5.37 sont les deux racines réelles
et la paire de racines complexes conjuguées suivantes :
Mode 1 (Spiral) λ 1 = −0, 0072973
Mode 2 (Convergence en roulis) λ 2 = −0, 56248
Mode 3 (Oscillation latérale 1 ) λ 3,4 = −0, 033011 ± 0, 94655i
(5.38)
Les caractéristiques de ces modes sont rassemblées au tableau 5.7. Une des
deux convergences est très lente et l’autre très rapide, et le mode oscillatoire
est faiblement amorti, avec une période comparable à celle de l’oscillation
d’incidence.
TAB. 5.7 – Paramètres des modes longitudinaux
Mode Dénomination T (s) T ½ (s) N moitié (s)
1 Spiral — 95 —
2 Convergence en roulis — 1,23 —
3 Oscillation latérale 6,64 21 3,16
(roulis hollandais)
Vecteurs propres
Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau
5.8 sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine
σ + iω. Outre les 4 variables d’état de base, on a ajouté les deux variables
d’état ψ et y 0 .
TAB. 5.8 – Vecteurs propres latéraux
Spiral Convergence en roulis Oscillation latérale
Module Phase Module Phase Module Phase
β = ˆv 0,00119 180˚ 0,0198 180˚ 0,33 -28,1˚
ˆp 1,63 10 −4 0˚ 0,0712 180˚ 0,12 92,0˚
ˆr 9,20 10 −4 180˚ 0,0040 0˚ 0,037 -112,3˚
φ 0,177 180˚ 1,0 0˚ 1,0 0˚
ψ 1,0 0˚ 0,0562 180˚ 0,31 155,7˚
y 0
u 0 t ∗ 7,772 10 3 180˚ 7,65 0˚ 1,69 -165,8˚
Mode 1 : mode spiral Du tableau 5.4, on voit que l’amplitude relative des
angles dans le mode spiral est
β : φ : ψ = −0, 00119 : −0, 177 : 1
1 ou roulis hollandais.

5.3. MODES LATÉRAUX 125
de sorte que le mouvement consiste principalement en un mouvement de lacet
sans dérapage avec un peu de roulis. Or c’est précisément le mouvement
effectué lors d’un virage correct, de sorte qu’on peut considérer le mode spiral
comme un virage de rayon variable. Parmi les variables aérodynamiques
(β, ˆp et ˆr), β est la plus importante, mais on a vu qu’elle est elle-même très
faible. Les efforts aérodynamiques sont donc très faibles pour ce mode, et
l’on peut donc le qualifier de mode « faible ». Ceci est cohérent avec sa grande
constante de temps.
On peut calculer aisément la trajectoire de vol associé au mode spiral à
partir du vecteur propre. Par exemple, pour une perturbation initiale en azimut
(ψ) de 20˚(0,35 rad), on obtient
ψ = 0, 35e λ 1t
v = 235, 91(−0, 00119)0, 35e λ 1t
avec λ 1 = −0, 0072973
En intégrant les équations de la trajectoire, il s’ensuit que (pour θ 0 = 0), elle
s’écrit
y 0 = 11 301 e −0,0072973 t m
x 0 = 235, 91 t m
La trajectoire est représentée à la figure 5.10 On voit qu’il s’agit d’un lent re-
FIG. 5.10 – Trajectoire correspondant au mode spiral
tour à l’état d’équilibre y 0 = 0. Quand le mode spiral est instable, ce qui est
fréquemment le cas, l’azimut et y 0 augmentent au cours du temps comme
indiqué sur la figure.

126 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
Mode 2 : convergence en roulis
angles est
Dans ce mode, l’amplitude relative des
β : φ : ψ = −0, 0198 : 1 : −0, 0562
et l’on voit qu’il s’agit pratiquement d’un mouvement de rotation pure autour
de l’axe x, d’où son nom. L’amplitude relative des variables aérodynamiques
est
β : ˆp : ˆr = −0, 278 : 1 : −0, 0561
de sorte que le couple de roulis est principalement l’amortissement en roulis
C lp ˆp.
Mode 3 : oscillation latérale (roulis hollandais) Le diagramme vectoriel
du vecteur propre correspondant à ce mode est représenté à la figure 5.11 On
FIG. 5.11 – Trajectoire correspondant au mode spiral
constate que les trois angles β, φ et ψ sont du même ordre de grandeur, que la
vitesse de rotation en lacet ˆr est un ordre de grandeur plus petite, et que β et
ψ sont presque opposés. Il s’ensuit des équations de la trajectoire de vol que
y 0 reste pratiquement nul. Le centre de gravité de l’avion suit une trajectoire
essentiellement droite et le mouvement se compose principalement de rotations
en lacet et en roulis, cette dernière étant en retard de phase d’environ
160˚par rapport à la première.
Effet de la vitesse et de l’altitude
Même pour le cas de l’avion rigide à faible nombre de Mach, l’évolution
des modes latéraux avec la vitesse et l’altitude ne sont généralement pas simples,

5.3. MODES LATÉRAUX 127
en raison du fait que les dérivées aérodynamiques latérales dépendent de
manière complexe du coefficient de portance. C’est particulièrement vrai pour
les avions à aile en flèche de faible allongement pour lesquels l’effet dièdre
C lβ augmente fortement avec C L . Ces effets sont d’autant plus marqués que le
coefficient de portance est élevé (et donc que la vitesse est faible et l’altitude
élevée) — remarque à ce propos que pour l’exemple du Boeing 747 à Mach
0,8 à une altitude de 40 000 pieds, C L = 0, 654, ce qui est assez élevé pour un
vol de croisière.
Pour un avion rigide avec ailes en flèche à faible nombre de Mach, la période
du roulis hollandais doit normalement d’abord augmenter avec la vitesse,
avant d’ensuite diminuer. L’amortissement de ce mode, faible à basse
vitesse, augmente à mesure que la vitesse augmente. La convergence en roulis
est fortement amortie dans toutes les conditions de vol, mais l’amortissement
augmente normalement avec la vitesse. Le mode spiral est fréquemment
instable dans une partie du domaine de vol, dépendamment du couplage
entre les dérivées latérales. Les temps caractéristiques du mode spiral
sont toutefois tellement grands que l’instabilité n’affecte pas les qualités de
pilotage de l’avion. L’effet d’une augmentation d’altitude à C L constant (et
donc accompagnée d’une augmentation de vitesse) est principalement une
augmentation de l’amortissement de tous les modes. La période du roulis
hollandais y est assez insensible.
Quand se superposent à ces variations déjà complexes des modes latéraux
des effets aéroélastiques et de compressibilité substantiels, les variations
deviennent encore plus irrégulières, comme l’illustre l’exemple du Boeing
747 (voir tableau 5.9. Une valeur négative de T ½ correspond à un mode instable).
Aux deux altitudes les plus basses, avec des valeurs de C L relativement
TAB. 5.9 – Variation des modes latéraux avec la vitesse et l’altitude
Mode Convergence Oscillation latérale
spiral en roulis (roulis hollandais)
Altitude, Nombre T ½ T ½ Période N moitié
(pieds) de Mach (s) (s) (s) (cycles)
0 0,45 35,7 0,56 5,98 0,87
0 0,65 34,1 0,44 4,54 0,71
20 000 0,5 76,7 0,93 7,3 1,58
20 000 0,65 64,2 0,76 5,89 1,33
20 000 0,8 67,3 0,85 4,82 1,12
40 000 0,7 -296 1,5 7,99 1,93
40 000 0,8 94,9 1,23 6,64 3,15
40 000 0,9 -89,2 1,45 6,19 1,18
faibles, les caractéristiques des modes varient de manière assez régulière. Au
contraire, à 40 000 pieds, on constate des variations erratiques, en particulier
celle de l’amortissement des modes avec le nombre de Mach, qui résulte
principalement de la variation complexe de C lβ avec C L et M dans cette zone.

128 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
5.3.2 Approximation des modes latéraux
On tentera dans cette section d’établir des expressions approchées pour
les modes latéraux comme on l’a fait précédemment pour les modes longitudinaux.
On montrera qu’il existe des approximations convenables pour
chaque mode, mais qui doivent être manipulées avec précaution car leur précision
ne peut réellement être vérifiée qu’a posteriori, par comparaison avec
les solutions exactes. On ne peut les employer avec confiance que dans des
situations semblables à celles pour lesquelles on a montré précédemment
qu’elles donnaient de bons résultats.
Mode spiral
La comparaison des valeurs propres exactes (section 5.3.1) montre que la
valeur propre du mode spiral est deux ordres de grandeurs plus petite en module
que la valeur propre suivante. Ceci suggère que l’on puisse obtenir une
bonne approximation de ce mode en ne gardant que les deux termes d’ordre
le plus petit dans l’équation caractéristique, à savoir
Dλ + E = 0 → λ S ≈ − E D
(5.39)
où λ S dénote la valeur propre réelle du mode spiral. Avant de développer les
expressions analytiques de D et E, réécrivons la matrice du système latérale
de manière plus compacte, en faisant l’approximation Y p = 0 (vérifiée dans
le cas de l’exemple) :
A =
⎡
⎢
⎣
Y v 0 Y r g cos θ 0
L v L p L r 0
N v N p N r 0
0 1 tan θ 0 0
⎤
⎥
⎦ (5.40)
où la signification des symboles composés en police calligraphique s’obtient
par comparaison avec le système 3.36, par exemple
Y v = Y v
m
L v = I ′ zzL v − I ′ xzN v
Avec ces notations, le calcul de det(A − λI) donne
E = g[(L v N r − L r N v ) cos θ 0 + (L p N v − L v N p ) sin θ 0 ] (a)
D = g(L v cos θ 0 + N v sin θ 0 ) + Y v (L r N p − L p N r )
+Y r (L p N v − L v N p ) (b)
(5.41)
Lorsqu’on compare l’ordre de grandeur des divers termes de D, on s’aperçoit
que le deuxième terme peut être complètement négligé et que Y r peut être
négligé dans Y r (Y r ≈ −u 0 ), de sorte que l’on a
D = g(L v cos θ 0 + N v sin θ 0 ) + u 0 (L v N p − L p N v ) (5.42)
En appliquant ce résultat au cas de l’exemple, on trouve λ S = −0, 00725, un
résultat qui diffère de moins d’1% de la valeur exacte.

5.3. MODES LATÉRAUX 129
On a vu que le coefficient E revêt une signification particulière eu égard à
la stabilité statique. Le critère rigoureux de stabilité statique latérale est donc
(L v N r − L r N v ) cos θ 0 + (L p N v − L v N p ) sin θ 0 > 0 (5.43)
En exprimant chacun des termes en fonction des dérivées aérodynamiques
adimensionnelles, on obtient l’expression équivalente
(C lβ C nr − C lr C nβ ) cos θ 0 + (C lp C nβ − C lβ C np ) sin θ 0 > 0 (5.44)
Comme plusieurs dérivées latérales apparaissant dans cette dernière équation
dépendent de C L0 , la stabilité statique varie avec les conditions de vol et
il n’est pas rare que le mode spiral soit instable dans une partie de l’enveloppe
de vol ainsi qu’on l’a déjà souligné.
Convergence en roulis
On a remarqué à la section précédente que la convergence en roulis correspondait
à très peu de choses près à un mouvement de pure rotation en
roulis. Ceci suggère que l’on puisse l’approximer en supposant le dérapage et
la vitesse de rotation de lacet nulles et en considérant uniquement l’équation
du mouvement en roulis, à savoir
ce qui donne la valeur propre approchée
ṗ = L p p (5.45)
λ R ≈ L p = I ′ zzL p − I ′ xzN p (5.46)
En appliquant cette expression au cas du Boeing 747, on trouve λ R = −0, 434,
une valeur 23% plus petite que la valeur exacte. L’approximation est donc assez
grossière.
Une approximation alternative a été établie par McRuer et al. [5]. Cette approximation
conduit à un système du second ordre dont les deux racines sont
des approximations des valeurs propres des modes spiral et de convergence
en roulis. Dans certains cas, les racines peuvent être complexes, ce qui correspond
à une « phugoïde latérale », une oscillation latérale de grande période.
L’approximation se base sur l’hypothèse physique que la force latérale due à
la gravité produit la même rotation de lacet qu’en l’absence de dérapage, ce
qui se traduit par le remplacement de l’équation selon y par l’équation quasistatique
0 = Y r y + g cos θ 0 = 0 (5.47)
On suppose en outre que Y p et Y r sont négligeables. Sans faire d’approximation
additionnelle sur les équations de rotation en roulis et en lacet, le système
d’équation devient par conséquent pour un vol de référence horizontal

130 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE
⎡
⎢
⎣
0
ṗ
ṙ
˙φ
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
0 0 −u 0 g
L v L p L r 0
N v N p N r 0
0 1 0 0
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
v
p
r
φ
⎤
⎥
⎦ (5.48)
dont l’équation caractéristique s’obtient comme pour l’approximation de la
phugoïde, à savoir
∣
qui, tous calculs faits, donne
avec
0 0 −u 0 g
L v L p − λ L r 0
N v N p N r − λ 0
0 1 0 −λ
= 0 (5.49)
∣
Cλ 2 + Dλ + E = 0 (5.50)
C = u 0 N v
D = u 0 (L v N p − L p N v ) − gL v
E = g(L v N r − L r N v )
(5.51)
En appliquant cette approximation à l’exemple du Boeing 747, on trouve
λ S = −0, 00734 λ R = −0, 597
soit des résultats à 1% et 6% des valeurs exactes respectivement. On constate
donc que l’approximation est assez bonne pour les deux modes, certainement
bien meilleure que l’approximation 5.46 pour la convergence en roulis.
Roulis hollandais
Un modèle physique de l’oscillation latérale est un mouvement de lacet/dérapage
« à plat » dans laquelle on néglige le roulis. Les équations correspondantes
s’obtiennent à partir du système complet en annulant p et φ et en éliminant
l’équation de rotation en roulis. On néglige également la dérivée Y r . Le système
simplifié est donc
[ ] [ ] [ ]
˙v Yv −u 0 v
=
(5.52)
ṙ N v N r r
d’où l’on tire directement l’équation caractéristique
λ 2 − (Y v + N r )λ + (Y v N r + u 0 N v ) = 0 (5.53)
Appliquant ce résultat à l’exemple du Boeing 747 donne λ DR = −0, 1008 ±
0, 9157i, ou encore
T = 6, 86 s N moitié = 1, 0

5.3. MODES LATÉRAUX 131
On voit que l’approximation de la période est assez précise (3% d’erreur) mais
l’amortissement est très fortement surévalué.
On peut obtenir une meilleure approximation de l’amortissement de ce
mode en combinant l’équation exacte et l’approximation de McRuer pour les
modes spiral et de convergence en roulis. En effet, on sait que la somme des
valeurs propres est égale à la trace de la matrice (somme des éléments diagonaux),
d’où
2σ DR + λ S + λ R = Y v + L p + N r → σ DR = − 1 2 [Y v + L p + N r − (λ S + λ R )]
(5.54)
Mais l’approximation précédente pour les modes spiral et de roulis donne
de sorte qu’on obtient finalement
λ S + λ R = − D C = L p + L v
N v
( g u 0
− N p )
σ DR = − 1 2 [Y v + N r − L v
N v
( g
u 0
− N p
)
] (5.55)
à comparer avec ½(Y v + N r ) donnée par (5.53). L’amortissement donné par
cette dernière approximation vaut σ DR = −0, 0159, mieux que l’approximation
précédente mais encore assez loin de la valeur exacte σ DR = −0, 0330.
Cet exemple de tentative d’obtenir une approximation de l’amortissement
du roulis hollandais illustre la difficulté de l’entreprise. Bien que l’approximation
tende à être meilleure pour de faibles valeurs de C L , il demeure néanmoins
très claire qu’elle doit être utilisée avec grande précaution, et que seule
l’utilisation du système complet permet d’obtenir un résultat fiable.

132 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE

Chapitre 6
Réponse aux commandes
6.1 Introduction
On étudiera dans ce chapitre la réponse de l’avion à l’actuation des principales
commandes : gouvernes de profondeur et de direction, ailerons et
manette des gaz. Remarquons que ce ne sont pas les seules commandes qui
peuvent être employées. Ainsi on a parfois recours à l’orientation de la poussée
(vectored thrust) ou encore à une commande directe de portance. Étroitement
liés à ces problèmes sont les réponses de l’avion à un changement
de configuration de vol : déflexion des volets hypersustentateurs, lâcher de
masses (bombes ou réservoirs), déploiement des aérofreins. . . .
6.1.1 Guidage longitudinal
Les deux grandeurs principales à contrôler en vol symétrique sont la vitesse
et la pente de la trajectoire. Pour ce faire, il faut bien entendu être capable
d’appliquer des forces parallèlement et perpendiculairement à la trajectoire
de vol. On agit sur les premières au moyen de la commande de poussée
(manette des gaz) et en réglant la traînée (aérofreins), et sur les secondes
en réglant la portance par l’entremise de la gouverne de profondeur ou de
volets. Il est évident, par simple raisonnement physique (ou en se fondant
sur les équations du mouvement) que la réponse initiale à une augmentation
dez gaz (et donc de poussée) est une accélération. De même, la principale réponse
initiale à une déflexion de la gouverne est un mouvement de tangage,
qui induit par la suite une variation d’incidence et de portance, et donc un
changement de direction de vol.
Asymptotiquement, le nouvel état d’équilibre correspondant aux nouvelles
positions des commandes se détermine comme on l’a vu au chapitre 1. Ainsi,
un changement de la poussée à braquage de la gouverne (et donc à incidence)
donné produit un changement de pente de la trajectoire sans changement de
vitesse. Au contraire, une déflexion de la gouverne modifie l’incidence d’équilibre
(cfr section 2.3) et donc la vitesse, ce qui, à poussée constante, entraîne
secondairement un changement de pente de la trajectoire. On constate que
133

134 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
les effets initiaux et asymptotiques des commandes sont en quelque sorte inversés.
Il est donc nécessaire d’étudier les transitoires qui lient ces réponses
initiales et finales. Nous verrons par la suite que ceux-ci sont dominés par
l’oscillation faiblement amortie et de longue période qu’est la phugoïde, et
que l’état final n’est obtenu que longtemps après l’actuation de la commande.
6.1.2 Guidage latéral
Les fonctions des commandes latérales sont triples :
– assurer l’équilibre en cas d’asymétrie de la poussée due à la défaillance
d’un moteur,
– corriger les mouvements indésirés induits par la turbulence atmosphérique,
et
– permettre d’effectuer les manœuvres de virage.
Les deux premières fonctions s’obtiennent grâce aux couples de lacet et de
roulis produits par les commandes. Pour la troisième, il faut appliquer une
force horizontale perpendiculaire à la vitesse de l’avion, ce qui s’obtient en
inclinant l’avion d’un angle de gîte φ. Les commandes latérales permettent
donc de mettre l’avion en virage comme sous-produit de leur faculté de contrôler
l’angle de gîte.
D’ordinaire, les réponses au braquage des ailerons ou de la gouverne de
direction sont très compliquées, tous les modes latéraux étant simultanément
excités. Dans ce cas, seule la solution des équations non-linéaires du
mouvement permet de le décrire correctement.
6.1.3 Solution des problèmes de réponse aux commandes
De nos jours, l’intégration numérique des équations non-linéaires du mouvement
se fait aisément à l’aide de logiciels mathématiques tels que MATLAB
ou encore par des programmes spécifiques qui utilisent le plus souvent la
méthode de Runge-Kutta. L’aspect le plus difficile du recours à l’intégration
numérique des équations du mouvement est d’élaborer le modèle aérodynamique
général fournissant les efforts aérodynamiques en fonction des paramètres
de vol et du braquage des commandes.
Aussi, bien que l’on soit alors limité à l’analyse de mouvements de faible
amplitude, l’usage du modèle linéaire des petites perturbations est néanmoins
très utile et instructif. Non seulement révèle-t-il les caractéristiques dynamiques
importantes mais de plus, il est tout-à-fait approprié pour la conception
de systèmes de régulation destinés à maintenir les perturbations à un
faible niveau. Pour l’étude des réponses aux commandes, on est amené à introduire
des dérivées aérodynamiques par rapport aux paramètres de commande
définies selon les conventions habituelles. Ainsi,
C mδe
≡ ∂C m
∂δ e

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 135
Les dérivées dimensionnelles s’obtiennent à partir des dérivées adimensionnelles
selon les définitions habituelles des facteurs d’adimensionnalisation.
Les équations du mouvement du modèle linéaire s’écrivent
ẋ = Ax + Bc
où apparaissent les contributions des commandes représentées par leur vecteur
c. On obtient aisément la solution générale de ces équations par application
de la transformée de Laplace
sX(s) − x(0) = AX(s) + BC(s) (6.1)
En supposant x(0) = 0 (état initial à l’équilibre), 1 on trouve immédiatement
(sI − A)X(s) = BC(s) → X(s) = (sI − A) −1 B C(s)
} {{ }
(6.2)
G(s)
où G(s) est la matrice des fonctions de transfert. Comme
(sI − A) −1 =
cof(sI − A)
det(sI − A)
(6.3)
où cof(sI − A) est la matrice des cofacteurs de la matrice sI − A, il est clair que
les pôles de G(s) sont les valeurs propres de A. 2
6.2 Réponse longitudinale
Le vecteur de commande a été déterminé au chapitre 3 (3.35).
⎡
Bc =
⎢
⎣
∆X c
m
∆Z c
m − Zẇ
∆M c
I yy
+ ∆Z cMẇ
I yy (m − Zẇ)
En reliant les efforts aérodynamiques au braquage de la gouverne et au niveau
de poussée
⎡
⎣
∆X c
∆Z c
∆M c
⎤
⎡
⎦ = ⎣
0
X δe X Π
⎤
Z δe Z Π
⎤
⎥
⎦
[ ]
⎦ δe
Π
(6.4)
1 Noter que l’on peut employer cette même méthode pour l’analyse du mouvement libre. On
a dans ce cas x(0) ≠ 0 et c = 0.
2 Et l’on retrouve évidemment la condition de stabilité, à savoir que les valeurs propres de A
doivent avoir une partie réelle négative.

136 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
on déduit l’expression de la matrice B
⎡
B =
⎢
⎣
X δe
m
Z δe
m − Zẇ
M δe Z δe Mẇ
+
I yy I yy (m − Zẇ)
X Π
m
Z Π
m − Zẇ
M Π Z Π Mẇ
+
I yy I yy (m − Zẇ)
⎤
⎥
⎦
(6.5)
L’utilisation de dérivées aérodynamiques constantes implique une réponse
instantanée aux commandes, en particulier que la poussée réagisse instantanément
à l’actionnement de la manette des gaz. Cette hypothèse est assez
réaliste pour les avions à hélice mais elle devient caduque pour les turboréacteurs,
qui possèdent un temps de réaction plus important. On peut prendre
cet effet en compte en remplaçant les dérivées aérodynamiques par rapport
à la commande de poussée par des fonctions de transfert, par exemple X Π
par G xΠ (s), ce qui est équivalent à modéliser la réponse des efforts aérodynamiques
par rapport au niveau de la manette des gaz par une équation différentielle
additionnelle.
Pour illustrer les réponses aux commandes longitudinales, reprenons l’exemple
du Boeing 747. Les dérivées aérodynamiques par rapport à l’angle de gouverne
sont
C xδe = −3, 818 10 −6 C zδe = −0, 3648 C mδe = −1, 444
auxquelles correspondent les dérivées dimensionnelles
X δe = −16, 53 N/rad Z δe = 1, 579 10 6 N/rad M δe = 52, 04 10 6 Nm/rad
En ce qui concerne la commande de poussée, nous choisissons arbitrairement
une valeur de X Π /m = 0, 3g, c’est-à-dire que le moteur à fond (Π = 1)
fournit une accélération de 0, 3g à l’altitude considérée, et nous négligeons
les effets de la poussée sur la force selon z et le moment de tangage (Z Π =
M Π = 0). Dans ces conditions, la matrice B devient
B =
⎡
⎢
⎣
−0, 0000573 2, 94
−5, 44 0
−1, 158 0
0 0
⎤
⎥
⎦ (6.6)

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 137
6.2.1 Réponse à la gouverne de profondeur
Fonctions de transfert
À partir de la théorie générale, on obtient directement
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
X(s) = (sI − A) −1 ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ∆δ e(s) = ⎢
⎣
b 11
b 21
b 31
0
G uδe
G wδe
G qδe
G θδe
⎥
⎦ ∆δ e(s) (6.7)
où les fonctions de transfert se calculent aisément à partir de la décomposition(
en vecteurs ) propres de A. En effet, puisque A = RΛL, (sI − A) −1 =
1
Rdiag
s−λ i
L de sorte que la matrice des fonctions de transfert vaut
⎡
⎢
⎣
G uδe
G wδe
G qδe
G θδe
⎤
( )
⎥
1
⎦ = Rdiag L
s − λ i
⎡
⎢
⎣
b 11
b 21
b 31
0
⎤
⎥
⎦ (6.8)
Il est intéressant de calculer également la réponse de deux autres grandeurs,
à savoir la pente de la trajectoire et le facteur de charge n. En ce qui concerne
la pente, comme γ = θ − α, on a donc ∆γ = ∆θ − ∆α, de sorte que
G γδe = G θδe − G αδe (6.9)
et G αδe
= G wδe /u 0 . Quant au facteur de charge, pour rappel, on le définit par
n = − Z P
(6.10)
Par conséquent,
∆n = − 1 P (Z u∆u + Z w ∆w + Z q ∆q + Zẇẇ + Z δe ∆δ e (6.11)
d’où l’on tire la fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace
G nδe = − 1 P (Z uG uδe + (Z w + sZẇ)G wδe + Z q G qδe + Z δe ) (6.12)
On a représenté plusieurs de ces fonctions de transfert aux figures 6.1–6.4
sous la forme de diagrammes de Bode, ainsi que leurs approximations phugoïde
et oscillation d’incidence (voir ci-dessous). On constate que les réponses
des variables « de trajectoire » u et γ sont entièrement dominées par le pic à la
fréquence du mode phugoïde. En raison du faible amortissement de ce mode,
les gains à la résonance sont très élevés. Le pic de |G uδe | ≈ 3 10 4 signifie qu’une
oscillation de vitesse de 100 pieds par seconde (30 ms −1 ) serait produite par
une oscillation d’environ 100/(3 10 4 ) rad, soit à peine 0,2˚, d’angle de gouverne.
Semblablement, à la résonance, une oscillation de pente de 10˚serait
produite par une oscillation d’angle de gouverne d’1/6˚. Pour ces deux variables,
le gain diminue rapidement avec la fréquence et devient totalement
négligeable au-delà de la fréquence de l’oscillation d’incidence.

138 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.1 – Fonction de transfert de la vitesse par rapport à l’angle de gouverne.
(a) Module. (b) Phase.

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 139
FIG. 6.2 – Fonction de transfert de l’incidence par rapport à l’angle de gouverne.
(a) Module. (b) Phase.

140 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.3 – Fonction de transfert de la pente par rapport à l’angle de gouverne.
(a) Module. (b) Phase.

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 141
FIG. 6.4 – Fonction de transfert du facteur de charge par rapport à l’angle de
gouverne. (a) Module. (b) Phase.

142 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
Au contraire, la fonction de transfert de la variable d’attitude w (∼ α)
est du même ordre de grandeur à basse et à haute fréquence, montrant des
contributions de même importance de la phugoïde et de l’oscillation d’incidence.
Le comportement complexe au voisinage de la fréquence de la phugoïde
illustre le genre de phénomènes qui peuvent se présenter avec les systèmes
d’ordre élevé. Il résulte de la proximité d’un pôle et d’un zéro de la
fonction de transfert.
L’amplitude de la fonction de transfert du facteur de charge comporte
un pic de résonance très intense à la fréquence de la phugoïde, de presque
100/rad. Une très faible oscillation d’angle de gouverne à cette fréquence suffirait
à provoquer la défaillance structurale de l’aile !
Réponse à un échelon d’angle de gouverne
À partir des fonctions de transfert déterminées ci-dessus, on calcule aisément
la réponse à un échelon d’angle de gouverne. On a représenté aux
figures 6.5– 6.6 les évolutions de la vitesse, de l’incidence et de la pente de la
trajectoire consécutives à un échelon d’un degré d’angle de gouverne.
On observe à la figure 6.5 qui montre les 10 premières secondes de la réponse,
que seul l’angle d’incidence répond rapidement au déplacement de la
gouverne, et que son évolution est dominée par le mode bien amorti d’oscillation
d’incidence. Au contraire, les variables de trajectoire (vitesse et pente)
répondent beaucoup plus lentement. On observe à la figure 6.6 qui présente
l’évolution des variables sur une durée de 10 minutes, que les transitoires
persistent très longtemps, et qu’après quelques secondes, c’est le mode phugoïde
qui domine l’évolution.
L’état de régime approché si lentement se caractérise par une vitesse plus
élevée, correspondant à la diminution d’incidence attendue comme suite au
braquage vers le bas de la gouverne. La pente de la trajectoire change à peine
(augmentation d’environ 0,1˚). L’augmentation s’explique par le fait que le vol
de départ est à une vitesse inférieure à la vitesse de traînée minimale.
Si l’objectif du braquage de la gouverne était de modifier les conditions de
vol, on ne peut pas dire que la manœuvre soit une réussite. Manifestement,
un guidage longitudinal satisfaisant exige une manœuvre un peu plus sophistiquée,
qu’elle soit effectuée par un pilote humain ou automatique.
Approximation phugoïde
On peut obtenir une approximation des fonctions de transfert grâce à l’approximation
phugoïde élaborée à la section 5.2.2. En ajoutant les contributions
des commandes, le système différentiel approché (5.22) — dans lequel

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 143
FIG. 6.5 – Réponse à un échelon d’angle de gouverne (∆δ e = 1˚)

144 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.6 – Réponse à un échelon d’angle de gouverne (∆δ e = 1˚)

6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 145
on a multiplié l’équation du moment cinétique de tangage par I yy — devient
⎡
⎢
⎣
∆ ˙u
ẇ
0
∆˙θ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
X u
m
Z u
m
X w
m 0 −g
Z w
m u 0 0
M u M w 0 0
0 0 1 0
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
∆u
w
q
∆θ
⎡
⎤
⎥
⎦ + ⎢
⎣
X δe
m
Z δe
m
M δe
0
⎤
δ e (6.13)
⎥
⎦
ou, de manière compacte Mẋ = A phug x + b phug δ e . En prenant la transformée
de Laplace, on obtient l’approximation phugoïde des fonctions de transfert
(G uδe , G wδe , G qδe , G θδe ) t = (sM − A phug ) −1 b phug (6.14)
Approximation d’oscillation d’incidence
Semblablement, on peut obtenir une approximation des fonctions de transfert
pour les hautes fréquences en utilisant l’approximation d’oscillation d’incidence.
En ajoutant les contributions des commandes, le système différentiel
approché (5.30) devient
[ ẇ
˙q
⎡
]
= ⎢
⎣
Z w
m
[
1
M w + Z wMẇ
I yy m
]
u 0
[ ]
w
⎥ +
1 [ ] ⎦ q
Mq + u 0 Mẇ
I yy
⎡
⎤
Z δe
m
⎢ [
⎣ 1
M δe + Z ] ⎥
δ e Mẇ ⎦ δ e (6.15)
I yy m
ou, de manière compacte, ẋ = A o.i. x + b o.i. δ e . De nouveau, on en tire les
fonctions de transfert approchées G uδe et G qδe en prenant la transformée de
Laplace. La fonction de transfert G θδe s’obtient en remarquant que L (q) =
sL (∆θ), de sorte que G θδe = G qδe /s.
Les fonctions de transfert approchées calculées de la sorte ont été représentées
sur les diagrammes de Bode 6.1–6.4. On constate que l’approximation
phugoïde est en bon accord avec les résultats exacts pour les basses fréquences
alors que l’approximation d’oscillation d’incidence est excellente pour
les hautes fréquences.
6.2.2 Réponse à la commande de poussée
On a calculé la réponse du Boeing 747 à un échelon de poussée ∆Π = 1/6.
Les résultats sont représentés à la figure 6.7. Comme le modèle suppose une
réponse immédiate des moteurs, les résultats ne sont pas valides pour les
premières secondes. De toute façon, cette phase ne présente pas beaucoup
⎤

146 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.7 – Réponse à un échelon d’angle de gouverne (∆δ e = 1˚)

6.3. RÉPONSE LATÉRALE 147
d’intérêt dans ce cas car le mouvement est clairement dominé par la phugoïde
faiblement amortie. La vitesse augmente immédiatement, avant que
les autres variables aient le temps de varier. Elle subit ensuite une oscillation
faiblement amortie pour revenir asymptotiquement à sa valeur de départ.
L’incidence varie peu, et la pente approche sa valeur finale de manière oscillatoire,
l’état final étant un vol en montée avec ∆u = ∆α = 0. Lorsque l’axe
de la poussée ne passe pas par le centre de gravité et qu’il y a par conséquent
une contribution de la poussée au moment de tangage, la réponse diffère par
plusieurs détails. Principalement, le moment de tangage dû à la poussée produit
une variation rapide d’incidence, suivie par une relaxation oscillatoire
vers une nouvelle incidence, et la vitesse tend vers une nouvelle valeur.
6.3 Réponse latérale
6.3.1 Fonctions de transfert
Les fonctions de transfert latérales se calculent exactement de la même
manière que les fonctions de transfert longitudinales, à savoir G = (sI−A) −1 B.
En reliant les efforts aérodynamiques latéraux au braquage des ailerons et de
la gouverne de direction,
⎡
⎣
∆Y c
∆L c
∆N c
⎤
⎡
⎦ = ⎣
Y δa Y δr
⎤
L δa L δr
[ ]
⎦ δa
δ r
(6.16)
on déduit de l’expression du vecteur de commande établi au chapitre 3 (3.36)
l’expression de la matrice B
⎡
Y δa
m
I
B =
′ zzL δa − I ′ xzN δa
⎢
I ′ xxN δa − I ′ xzL δa
⎣
Y δr
m
I ′ zzL δr − I ′ xzN δr
I ′ xxN δr − I ′ xzL δr
0 0
⎤
⎥
⎦
(6.17)
On illustre les réponses aux commandes latérales par l’exemple du Boeing
747. Avec les valeurs des dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes
latérales données au tableau 6.1, les éléments de la matrice B sont les sui-
TAB. 6.1 – Dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes latérales
C y C l C n
δ a 0 −1, 368 10 −2 −1, 973 10 −4
δ r 0, 1146 6, 976 10 −3 −0, 1257

148 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
vants :
B =
⎡
⎢
⎣
0 1, 720
−0, 1431 0, 1144
0, 003741 −0, 4859
0 0
⎤
⎥
⎦ (6.18)
Les fonctions de transfert de v (β), de φ et de r par rapport aux braquages de
la gouverne de direction et des ailerons sont représentées sous forme de diagrammes
de Bode aux figures 6.8–6.9, ainsi que leurs approximations basées
sur les approximations des modes latéraux présentées à la section 5.3.2.
La principale caractéristique de l’ensemble de ces figures est la résonance
marquée à la fréquence de l’oscillation latérale et la diminution nette de phase
associée. À fréquence nulle, le gain de la vitesse de roulis est nul pour les deux
commandes (en effet, pour un vol de référence horizontal, p = ˙φ, de sorte
que G pδa,r = sG φδa,r ), alors que le gain de toutes les autres variables est fini.
Mais les gains statiques de β et φ sont si grands que l’hypothèse de linéarité
n’est valide à l’état stationnaire que pour des braquages des commandes extrêmement
faibles.
On peut calculer des fonctions de transfert latérales approchées exactement
de la même manière que pour les fonctions de transfert longitudinales
approchées, en se fondant sur les approximations des équations du mouvement
élaborées à la section 5.3.2. À l’examen des figures 6.8–6.9, on observe
que l’approximation de roulis hollandais est très bonne pour les hautes fréquences
alors que l’approximation combinée spirale/convergence en roulis
fournit de bons résultats pour les basses fréquences. Ce comportement est
tout-à-fait analogue à celui observé pour la réponse longitudinale, la combinaison
spirale/convergence en roulis correspondant à la phugoïde et le roulis
hollandais à l’oscillation d’incidence. On constate enfin qu’aucune des deux
approximations n’est satisfaisante dans une gamme de fréquences intermédiaire
entre les deux limites. Il convient de rappeler que les approximations
des modes latéraux doivent être employées avec précaution et que seules les
équations exactes permettent d’obtenir des résultats fiables.
6.3.2 Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction
Comme on l’a mentionné précédemment (section 6.1.2), l’action des commandes
latérales produit rapidement des angles (notamment de gîte) importants,
de sorte que les équations linéarisées perdent leur validité. Pour
les avions de ligne et d’aviation générale qui ne sont pas sujets à des manœuvre
violentes, un modèle intermédiaire entre le modèle linéarisé et le modèle
non-linéaire général, dans lequel seuls certains effets non-linéaires sont
pris en compte s’avère utile. Il consiste à garder une représentation linéaire
des effets aérodynamiques et d’inertie, mais d’employer la formulation nonlinéaire
exacte des forces de gravité. De la sorte, les angles φ, θ et ψ peuvent
prendre des valeurs arbitraires. Comme on le verra dans l’exemple suivant, la

6.3. RÉPONSE LATÉRALE 149
FIG. 6.8 – Fonctions de transfert par rapport au braquage de la gouverne de
direction. (a) Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module.
(d) Angle de gîte, phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet,
phase.

150 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.8 – (suite)

6.3. RÉPONSE LATÉRALE 151
FIG. 6.8 – (suite)

152 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.9 – Fonctions de transfert par rapport au braquage des ailerons. (a)
Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module. (d) Angle
de gîte, phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet, phase.

6.3. RÉPONSE LATÉRALE 153
FIG. 6.9 – (suite)

154 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.9 – (suite)

6.3. RÉPONSE LATÉRALE 155
validité de la solution ainsi obtenue est limitée par l’augmentation de la vitesse
de l’avion au-delà de la gamme de validité de l’approximation linéaire,
c’est-à-dire que la solution perd sa validité lorsque les non-linéarités aérodynamiques
commencent à devenir importantes. Si, dans les équations générales
du mouvement (3.13–3.16), on introduit les approximations linéaires
aérodynamiques et on néglige les termes d’inertie quadratiques, on obtient,
pour un vol initialement horizontal (θ 0 = 0), le système d’équations
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
˙u
ẇ
˙q
˙θ
˙v
ṗ
ṙ
˙φ
˙ψ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
∆X
m − g sin θ
∆Z
m − g(1 − sin φ cos θ) + u 0q
∆M
I yy
cos φ q − sin φ r
∆Y
m + g sin φ cos θ − u 0r
I ′ zz∆L − I ′ xz∆N
I ′ xx∆N − I ′ xz∆L
p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
sec θ(sin φ q + cos φ r)
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
(6.19)
(6.20)
Il est intéressant de remarquer que, bien que les efforts aérodynamiques longitudinaux
ne dépendent toujours que des variables du mouvement longitudinal
(pas de couplage aérodynamique), un couplage apparaît entre mouvements
longitudinal et latéral par l’entremise du terme − sin φr dans l’équation
du moment de tangage, c’est-à-dire qu’un mouvement au départ uniquement
latéral induira des composantes longitudinales.
Ce système d’équations a été intégré numériquement dans le cas de l’application
d’un échelon de braquage des ailerons de 15˚au Boeing 747 initialement
dans les conditions de vol horizontal considérées précédemment. Les
résultats sont représentés à la figure 6.10. La caractéristique principale du
mouvement est l’acquisition rapide d’une vitesse de roulis et, partant, une
croissance rapide de l’angle de gîte (figure 6.10c), qui atteint presque 90˚en
30 secondes. Dérapage, vitesse de rotation de lacet et angle d’azimut restent
faibles sur l’intervalle de temps considéré. À mesure que l’avion roule, avec
une portance restant approximativement égale à son poids, la composante
verticale de la force aérodynamique diminue rapidement, et, en raison de la
force nette dirigée vers le bas, l’angle d’assiette θ devient négative et la vitesse
commence à augmenter. Après 30 secondes, la vitesse a augmenté d’environ
10 %, et le modèle aérodynamique linéaire devient de plus en plus inexact.
Par contre, la vitesse de rotation de roulis ne dépasse pas 0,05 rad/s, ce qui
correspond à ˆp = 0, 01. Ceci justifie pleinement le fait de négliger les termes
quadratiques d’inertie dans les équations du mouvement.

156 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES
FIG. 6.10 – Réponse du Boeing 747 à un échelon de braquage des ailerons ;
δ a = −15˚. (a) Composantes de la vitesse. (b) Vitesses de rotation. (c) Angles
d’Euler.

Bibliographie
[1] E. L. Houghton and N. B. Carruthers. Aerodynamics for engineering students.
Arnold, third edition, 1984.
[2] John D. Anderson Jr. Introduction to flight. McGraw Hill, third edition,
1989.
[3] Francis J. Hale. Aircraft performance, selection and design. John Wiley,
1984.
[4] Barnes W. McCormick. Aerodynamics, aeronautics and flight mechanics.
John Wiley, 1979.
[5] Bernard Etkin and Lloyd Duff Reid. Dynamics of flight. Stability and
control. John Wiley, third edition, 1996.
[6] Daniel P. Raymer. Aircraft design : a conceptual approach. AIAA Education
series. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1989.
157

158 BIBLIOGRAPHIE

Annexe A
L’atmosphère standard
159

160 ANNEXE A. L’ATMOSPHÈRE STANDARD

Annexe B
Aspects physiologiques du vol
161

162 ANNEXE B. ASPECTS PHYSIOLOGIQUES DU VOL

163

164 ANNEXE B. ASPECTS PHYSIOLOGIQUES DU VOL

Annexe C
Forme adimensionnelle des
équations du mouvement
linéarisées
En appliquant l’adimensionnalisation définie à la section 3.3.3, on peut
établir une forme adimensionnelle des équations du mouvement linéarisées
(3.35) et (3.36). Les expressions obtenues sont données sous forme matricielle
en (C.1) et (C.2), où l’on a tennu compte du fait qu’à l’équilibre C P cos θ 0 =
C L0 .
165

166 ANNEXE C. FORME ADIMENSIONNELLE DES ÉQUATIONS
Système longitudinal
⎡
⎢
⎣
˙û
˙α
˙ˆq
∆˙θ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
2C L0 tan θ 0 + C xu
2µ
C xα
2µ
C zu − 2C L0
C zα
C zq + 2µ
−
2µ − C z˙α
2µ − C z˙α
2µ − C z˙α
[
1
C mu + (C ]
z u
− 2C L0 )C m˙α
Î yy
2µ − C z˙α
[
1
C mα + C ]
z α
C m˙α
Î yy
2µ − C z˙α
0
[
1
C mq + (C ]
z q
+ 2µ)C m˙α
Î yy
2µ − C z˙α
0 0 1
−C
Î y
⎡
⎢
⎣
˙β
˙ˆp
˙ˆr
˙φ
⎡
⎤
⎥
⎦ = ⎢
⎣
C yβ
2µ
C yp
2µ
Système latéral
C yr
2µ − 1 C L0
2µ
Î ′ zzC lβ − Î ′ xzC nβ Î ′ zzC lp − Î ′ xzC np Î ′ zzC lr − Î ′ xzC nr 0
Î ′ xxC nβ − Î ′ xzC lβ Î ′ xxC np − Î ′ xzC lp Î ′ xxC nr − Î ′ xzC lr 0
0 1 tan θ 0 0
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
v
p
r
φ
⎡
⎤
⎥
⎦ + ⎢
⎣
Î ′ zz
Î ′ xx