Cours de cosmologie

COSMOLOGIE
Etude de l’origine de l’Univers dans son ensemble,
et de son évolution
Meilleure description actuelle:
• par la théorie de la relativité générale
• avec le modèle du Big Bang

Description géométrique
de l’espace
En relativité générale, l’espace n’est pas euclidien.
On caractérise un espace (euclidien ou non) en définissant une
distance (aussi appelée métrique):
dl
2D euclidien:
2 2
dl = dx +
dy
2
dl
Sphère: 2D non-euclidien
2 2 2
dl = R dθ
+
2 2
( R cosθ
) dϕ
dl
3D euclidien:
2 2 2
dl = dx + dy +
dz
2
?
Cas général: 3D non-euclidien
2
2
2
2
dl = f ( u,
v,
w)
du + g(
u,
v,
w)
dv + h(
u,
v,
w)
dw
L’espace-temps est 4D non-euclidien !!

Description d’un univers en
évolution
t 0
t1
1
1
dz
dl
0 dx 1
dz
dl
dl : distance physique.
dx : distance co-mobile.
R(t) : facteur d’expansion.
0 1
2 2 2 2
dl = R(
t)
[ dx + dy + dz
dx
2
]

La théorie du Big Bang
Etayée par plusieurs faits observationnels:
• Paradoxe de Olbers:
Ciel noir ⇒ Univers en expansion et d’âge fini
• Expansion de l’Univers:
Loi de Hubble, v= H.d ⇒ Univers homogène et isotrope
• Luminosité des supernovae:
⇒ trace l’expansion de l’univers au cours des âges.
• Rayonnement du fond cosmologique à 3 K:
⇒ preuve d’un Univers anciennement chaud et ionisé
• Abondance Hydrogène/Hélium:
He/H = 0.1 (en nombre) ⇒ nucléosynthèse primordiale

LE PARADOXE D’OLBERS (1826)
Pourquoi le ciel est-il noir?
Dans un Univers stationnaire et infini, le ciel devrait être
très brillant!
r
dr
Nombre de sources:
dN = n ×4πr 2 dr
Flux reçu au centre:
dΦ ∝ dN/r 2 = 4πdr
En intégrant de r = 0 à l’infini:
Φ = ∞ !!

Paradoxe résolu dans un univers en expansion
Les photons lointains sont décalés vers les grandes longueurs
d’onde (expansion de l’Univers):
λ r = R(t r )/R(t e ) × λ e
où R est le facteur d’expansion.
e = émis
r = reçu
- Donc: énergie du photon hν r = hν e × R(t e )/R(t r )
- Une théorie standard (Einstein-de Sitter) donne:
R(
t) ~ t
2/3
- Or t r =t e + r/c (approximation) d’où: hν r = hν e (1-r/ct r ) 2/3
- Finalement: dΦ ∝ (dN/r 2 ) x (1-r/ct r ) 2/3 ∝ (1-r/ct r ) 2/3 dr
Flux convergeant mais il faut borner l’intégration !

Il faut arrêter l’intégration à
r ≈ c × T univers
(car âge fini de l’Univers)
cT uni
v
⇒ Φ reste fini
explique l’obscurité du ciel

Le rayonnement du fond cosmologique
(CMB: cosmic microwave background)
Nature: émission de corps noir (rayonnement de photons)
par l’Univers, isotrope (identique dans toutes les directions)
Origine: émission « fossile » due à un passé chaud et ionisé
de l’Univers, lorsqu'il était opaque, avant la recombinaison
p + + e - → HI (hydrogène neutre)

Avant la recombinaison:
T > 3000 K
p +
Univers opaque
Lumière et matière en équilibre
thermodynamique: corps noir
e -
Refroidissement
Après la recombinaison:
T < 3000 K
Univers transparent

COBE:
Cosmic Background
Explorer (1989-1994)

λ max ~ 1 mm = 1000 µm → T ~ 3K = 3000/1000

Evolution des photons dû à l’expansion de l’Univers:
Distance:
Longueur d’onde:
Energie:
A l’instant t 0 :
A l’intant t > t 0 :
r 0
r = R/R 0 × r 0
λ 0
λ= R/R 0 × λ 0
E 0 = hν 0
E = hν = E 0 (R 0 / R)

0
r = R/R 0 × r 0
volume V = (R/R 0 ) 3 × V 0
Nombre de photons conservé, donc: n phot = n 0,phot (R 0 /R) 3
Energie de chaque photon: E phot = E 0,phot (R 0 /R)
Donc, densité d’énergie: e phot = e 0,phot (R 0 /R) 4

Or: densité d’énergie du corps noir donnée par
e phot = α × T 4
(loi de Stefan volumique)
comme: e phot ∝ 1/ R 4
on a: T ∝ 1/ R, soit:
T =
R
= 0
T0
L’Univers se refroidit à mesure qu’il grandit
actuellement: T = 2.726 ± 0.01 K
R

- Recombinaison: T ~ 3000 K
- Actuellement: T ~ 3 K
donc R/R 0 ~ 1000 depuis la recombinaison
On écrit aussi: z = (λ - λ 0 ) / λ 0 où:
0 0
λ: longueur d'onde reçue
λ 0: ----- émise
donc pour le Fond Cosmologique: z ~1000
Plus vieux rayonnement actuellement connu

fluctuations primordiales de l'Univers
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe: 2001-

Analyse des résultats de WMAP: exemple
Spectre angulaire de la carte de température:
Echelle angulaire
Horizon des ondes
accoustiques
Dépend de la
densité relative
électron/photons
Courbure de l’univers
Moment angulaire l

tiré de http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html

Nucléosynthèse
primordiale
Passé chaud de l’Univers: T ~ 10 10 K
Permis la nucléosynthèse primordiale
(≠ nucléosynthèse stellaire)
Entre ~ 1 seconde et 3 minutes après le Big
Bang:
n → p + + e
-
n + p + → 2 H + (Deutérium)
2
H + + n → 3 H + (Tritium)
3
H + + p + → He 2+
On prévoit alors ~ 90% d’hydrogène et 10%
d’hélium (en nombre). En accord avec les
observations.
L’abondance du Deutérium dépend de la
densité de matière ordinaire (baryonique).
http://map.gsfc.nasa.gov

L'expansion de l'Univers:
approche théorique
Depuis toute galaxie, on voit les autres galaxies s’éloigner
selon la loi de Hubble:
v= H×r
v: vitesse apparente de récession, donnée via le décalage
vers le rouge, z= (λ-λ 0 )/λ 0 , avec λ longueur d’onde observée,
λ 0 longueur d’onde au repos.
r: distance
H: constante de Hubble (dépend du temps), on note souvent
la constante de Hubble actuelle H 0 :
H 0 = 73 ± 3 km sec -1 Mpc -1

Conséquence du Principe Cosmologique:
L’Univers à grande échelle est homogène et isotrope, sans
point de référence particulier (« tout le monde voit la même
chose)
Conséquence: loi de Hubble!
supposons:
r
v = f (r r r
)
A /O
où f: fonction « universelle »
A
r
r r r '
O r
O’
r 0

A
r
r r r '
On a:
r
⎧v
⎨r
⎩v
A/
O'
A/
O'
=
=
f
r
v
r
(
') =
r
− v
A/
O
f
O'/
O
r r
(
−
0)
r
= f (
)
−
r
O O’
f
r
(
0
)
r 0
Donc:
r r r r r r r
∀
, ',
0
f (
−
0)
= f (
) − f (
0)
Donc f est une fonction linéaire:
f
r
( ) =
H.
r
Loi de Hubble!

Expansion de l’univers:
une pseudo-démonstration dynamique
r
g
r
r
M(r)

Calcul du champ de gravité en un point quelconque:
r
g
= −
GM
r
( r)
Théorème de Gauss: (on choisit un centre !)
2
r
u
&& r =
−
GM (r)
r
PFD: avec
r
2
M
4ππ
( r)
= ρ(
t)
r
3
3
4π
r ρ(
)
3
D’où: && = − G t r (1)

On considère deux galaxies sans vitesse propre, situées à
une distance co-mobile ∆x l’une de l’autre.
Distance physique entre les 2 galaxies:
Donc:
- A l’instant présent, par définition: r(t 0 )= ∆x ( R(t 0 )=1 )
-A l’instant t, passé ou futur: r(t)=R(t) ∆x
R(t) = r(t)
r(t 0
)
NB. R dépend de t, mais pas des galaxies choisies.
On peut réécrire l’équation (1) pour le facteur d’expansion:
R && 4π
= − Gρ(
t)
3
R

En écrivant la conservation de la masse dans un volume
co-mobile:
3 3
( t)
r(
t)
= ρ0r0
⇒ ρ(
t)
ρ0
/ R(
t
ρ =
On retrouve le modèle de Einstein:
)
3
R&&
= −
4
π
3
G
R
ρ
0
2
Equivalent à: Relativité Générale
+ univers homogène, plat et isotrope
+ matière sans pression (poussière).

Intégration temporelle de l’équation:
⇒
⇒
R &
1
2
G
R&
4π
ρ0
⋅ = −
2
3 R
⋅ R&
d 4π
d
⎜
1
0
dt 3 dt ⎝ R
( )
⎛ ⎞
R&
2
= Gρ
⎟
⎠
⇒
d
dt
⎡
⎢R
&
⎣
2
−
8 0
π
⋅
3
Gρ
⎤
R ⎥
⎦
=
0
⇒
R&
2
8π
Gρ
⋅
3 R
=
0
−
k
constante:
courbure de
l’Univers

Expansion de l’Univers:
R &
≥ 0
d’où:
R&
8π
Gρ0
= + ⋅
3
R
− k
différents types de solutions selon la courbure k de l’Univers.
(Attention, modèle sans constante cosmologique.)

Si k > 0: Univers fermé type hypersphère
R&
8π
Gρ0
= + ⋅ − k
3 R
R augmente, puis quand:
R &
8π
3 ⋅ Gρ 0
R
= 0
= k
alors
⇔ L’expansion s’arrête
Puis l’Univers se contracte (Big crunch).
R(t)
t

Si k < 0: Univers ouvert type hyperboloïde
G
R & 8π
ρ0
= + ⋅ +
3 R
k
Quand R augmente
R &
→
k
=
cste
(expansion linéaire)
L’expansion se poursuit à l’infini.
R(t)
t

Si k = 0: Univers plat
&
8π Gρ
⋅
3 R
0
R = +
Solution d’Einstein-de Sitter:
R(
t)
=
( 6π
Gρ
)
0
1/3
t
2/3
=
⎛
⎜
⎝
t
t univ
⎞
⎟
⎠
2/3
R(t)
ouvert
∝
plat R ∝ t 2/3 fermé
t

Relation température/facteur d’expansion: T ∝ 1/ R
⎛
T = T 0
⋅⎜
⎝
t 0
t
⎞
⎟
⎠
2 / 3
⎛
ou : t 0
= t ⋅ ⎜
⎝
T
T 0
⎞
⎟
⎠
3 / 2
etc...
Permet (par exemple) d’estimer la date à laquelle l’univers
est devenu neutre (« recombinaison »):
T 0 ~ 3000 K, T ~ 3 K, t ~ 15 milliards d’années,
d’où:
t 0 ~ 500 000 ans (à cette époque l’univers passe
d’un état ionisé & opaque à un état neutre et transparent)

Relation courbure / constante de Hubble
r&
=
H ( t)
× r
R&
=
H
⋅
R
mais
R&
=
8πGρ
0
/
3R
−
k
8π
3
( 2
2
3
HR) =
⋅
G
ρ R
−
k
car
ρ
0
=
ρ
R
k
=
R
2
⎡8π
⎢
⋅Gρ
−
⎣ 3
H
2
⎤
⎥
⎦
masse volumique à t
constante de Hubble à t

0n pose:
ρ crit
= 3H 2
8πG
et
Ω
mat
=
ρ
ρ
crit
Alors:
k
k
2 2 ⎡ 8π
⎤
=
R
H
⎢
⋅
G
ρ
−
1
2
3
⎥
⎣ H ⎦
=
R
2
H
2
[ Ω
mat
−1]
Ω mat
1 Univers fermé

Il semble que l’Univers soit plat (d’après le CMB)
Dans le modèle d’Einstein – de Sitter (plat):
H 0 ~ 73 km sec -1 Mpc -1
G ~ 6.67 ×10 -11 m 3 sec -2 kg -1
ρ crit ~ 10 -26 kg m -3 ~ 6 atomes H par m 3
Age de l’Univers: 2/(3H 0 ) ~ 8.7 milliards d’années.
Trop court! (certaines étoiles > 13 milliards d’années)

Propagation d’un photon
dans un univers en expansion
Relation physique valable: dr = c.dt
Le photon est émis en A à l’instant t e
reçu en B à l’instant t r
Trajet du photon en coordonnée comobile:
dx
=
c
dt
R(
t)
⇒
∆x
Dans le modèle d’Einstein – de Sitter:
=
c
∫
t
t
e
r
dt
R(
t)
1
B
dr
A
0 1
dx
∆x
=
3ct
univ
⎛
⎜⎛
⎜
⎜
⎝⎝
t
t
r
univ
⎞
⎟
⎠
1/3
⎛
−
⎜
⎝
t
t
e
univ
⎞
⎟
⎠
1/3
⎞
⎟
⎟
⎠
⇒
Horizon cosmologique:
Si t e =0 et t r =t univ , ∆x=3ct univ

Magnitude apparente des supernovae
-Toutes les supernovae de type Ia ont la même luminosité lors de leur pic
de brillance (qq jours), à 40 % près.
- Une SN Ia par galaxie par millénaire.
- Quelle est leur magnitude (bolométrique) apparente en fonction de leur
distance dans un univers en expansion?
Une supernovae explose à l’instant t e (pic de luminosité). Elle émet alors
N e ph photons par seconde et brille avec une luminosité L 0 .
Nous l’observons l’instant t r et à la distance ∆x. Combien de photons
atteignent la sphère de rayon ∆x par seconde?
∆x
⎛
⎜
⎝
t
t
= 3ct
r
univ
⎞
⎟
⎠
−
univ
2
3
dt
⎛
⎜⎛
t
⎜
⎜
⎝⎝
t
r
r
univ
⎛ t
−
⎜
⎝ t
⎞
⎟
⎠
e
univ
1/3
⎞
⎟
⎠
⎛ t
−
⎜
⎝ t
−
2
3
dt
e
univ
e
⎞
⎟
⎠
=
1/3
0
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⇒
cst
, on différencie par rapport à t e et t r
dt
r
=
R(
t
R(
t
r
e
)
)
dt
e
Les dn photons émis
en dt e sont reçus en
dt r (dilution du flux).

Magnitude apparente des supernovae (suite)
Le nombre de photons reçus par m 2 par seconde est donc:
e
N
r
ph
N
ph
= ×
2
4π ∆x
Pour simplifier on prend: t r =t univ ⇔ R(t r )=1 (réception à l’instant présent)
Alors:
dt
dt
e
r
= R(
t
e
1
) =
1+
z
De plus, la longueur d’onde des photons est multipliée par R(t r )/R(t e )=1+z .
Donc l’énergie de chaque photon est multipliée par 1/(1+z).
dt
dt
e
r
Donc le flux reçu est:
L
E 0
( z)
×
r 2
4 [ ∆x(
z)]
(1 +
= π
1
z)
2

Magnitude apparente des supernovae (Fin)
Donc, dans un modèle cosmologique donné, on peut calculer la fonction:
m(
z)
⎛
= −2.5log
⎜
⎝
E ⎞
r
( z)
⎟
E0
⎠
Or, pour chaque SN Ia observée, on peut mesurer m par photométrie
et z par spectroscopie ⇒ on peut tester le modèle cosmologique !
Application dans le cas du modèle d’Einstein – de Sitter:
Les astrophysiciens utilisent en fait la grandeur: r z)
= m(
z)
− M = m(
z)
− m(
z )
(
10 pc
r(
z)
⎛
= −2.5log⎜
⎝
Er
( z)
E ( z
r
⎞
⎟
)
⎠
= 5.
⎡ ∆x(
z)(1
+
log⎢
⎢⎣
∆x(
z10
pc
)(1 +
z)
z
10 pc
10 pc
⎤
⎥
) ⎥⎦

Dans le modèle d’Einstein - de Sitter:
Par ailleurs:
⎛
∆x( z)
= 3ct
z
z
λ − λ
univ
( 1−
R(
t ) ) = 3ct
⎜
1−
(1 + )
⎟ e
univ
⎝ ⎠
v
× 10 −
−5
0 10 pc 0
10 pc
= = = = 2.43 10
λ0
c c
H
9
− 2
1
⎞
En reportant dans l’équation de r(z), on obtient:
⎡⎛
1 ⎞
r(
z)
= 44.57 + 5 log⎢⎜1−
⎟ 1 z
⎣⎝
1+
z ⎠
⎤
( + ) ⎥⎦
Si on trace la fonction, et qu’on reporte les observations sur le graphique…

ΛCDM
Kolwalski (2008)
Einstein
De Sitter
Incorrect !
Distance modulus

Modèle cosmologique standard: ΛCDM
Inexistant dans
Einstein - de Sitter
tiré de http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html