Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
On note que le modèle général d’erreur récemment proposé par Schoups et Vrugt (2010)
offre la possibilité de prendre en compte l’ensemble des caractéristiques des résidus listées dans
le tableau 5.1. Une distribution de type SEP (Skew Exponential Power) est considérée, avec
deux paramètres d’ajustement, β (effet de kurtosis) et ξ (effet d’assymétrie).
L’hétéroscédasticité est prise en compte par un modèle affine de variance à deux paramètres ( σ 0
et σ 1 ) : cette dernière est fonction de la valeur simulée par le modèle. L’auto-corrélation des
résidus est représentée par un modèle auto-régressif à l’ordre p (à définir par le modélisateur),
comprenant ainsi p paramètres de calage (
j
, j = [1:p]). Enfin un modèle multiplicatif de biais
est proposé comprenant un paramètre de calage μ h .
Il est important de souligner que plus le modèle d’erreur est complexe et plus le nombre de
paramètres de calage qui lui est associé est important. Le choix du modèle d’erreur doit donc
rester compatible avec le nombre d’observations disponibles et le nombre de paramètres de
calage du modèle.
5.3.4 L’échantillonnage de la distribution a posteriori
L’expression analytique de la distribution a posteriori des paramètres (distributions
marginales et conjointes) n’est possible que pour un nombre réduit de cas (Reichert 2009). Ceci
est dû à :
- La complexité des modèles qui rend difficile une expression analytique de la
vraisemblance en fonction des paramètres. En effet, dans le cas d’un modèle
comportant un système d’équations, la valeur de f(X) ne peut pas forcément
s’écrire par une seule équation.
- La difficulté de calculer le terme du dénominateur (cf. équation 5.31), qui
nécessite l’intégration de la fonction de vraisemblance. Quand bien même il
existerait une expression analytique de la vraisemblance en fonction de θ,
trouver l’expression analytique d’une primitive devient extrêmement difficile
(Reichert 2009).
Aussi, des méthodes numériques sont nécessaires. Le principe consiste à échantillonner la
distribution a posteriori dans l’espace des paramètres. Les propriétés de la distribution sont
ensuite estimées à partir de l’échantillon. Parmi les approches numériques utilisées dans la
littérature, nous retenons la méthode d’Importance Sampling (Tanner 1992; Tanner 1996) et la
méthode de Monte Carlo par Chaines de Markov (MCMC). Les paragraphes suivants présentent
les principes généraux de ces deux techniques ainsi que les paramètres nécessaires à leur mise
en œuvre, à fixer par le modélisateur. Pour une description plus détaillée des méthodes, en
particulier à propos de la justification des hypothèses statistiques les sous-tendant, nous
renvoyons à des études et ouvrages statistiques sur le sujet (e.g. Gelman et al. 1995; Robert
2001; Reichert 2009).
5.3.4.1 Méthode d’échantillonnage d’importance
Le principe de l’échantillonnage d’importance consiste à échantillonner la distribution a
posteriori des paramètres à partir d’une autre distribution connue et facilement
échantillonnable. Cette dernière, appelée distribution d’importance, est choisie la plus proche
possible de la distribution a posteriori supposée (par exemple une loi uniforme ou multinormale).
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