Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
selon la distribution a posteriori de θ. De plus le calcul de la vraisemblance
dépend également des variables d’entrée du modèle, elles-mêmes sources
d’incertitude, ce qui explique l’écriture finale de la vraisemblance L(Y|θ,X,γ).
- De même, la probabilité a priori de θ est potentiellement conditionnée par les
caractéristiques attendue des résidus, d’où la notation P(θ,γ).
- De ce fait la probabilité a posteriori des paramètres dépend elle-même des
valeurs de X et des caractéristiques supposées γ des résidus.
- Le terme de proportionnalité est adopté dans la mesure où le numérateur de la
formule initiale P(Y) est une constante qui n’intervient pas dans la mise en œuvre
des techniques numériques de simulation appliquées pour le calcul de la
distribution a posteriori (voir paragraphe 5.3.4). Cette constante est parfois
appelée constante de normalisation, dans la mesure où elle garantit que la valeur
de la distribution a posteriori est inférieure à 1. cette constante, que nous notons
C, s’exprime selon le théorème des probabilités totales de la manière suivante :
C L Y | , X, P( , )
j
j
Eq. 5.31
j
avec j la j-ème partition de l’ensemble des valeurs possibles du jeu de paramètres θ.
Nous avons adopté ici la forme discrète du théorème de Bayes, mais ce dernier peut
également s’exprimer sous forme continue :
f , X, | Y
post
L Y | , X, f ( , )
j
pri
L Y | , X, f ( , )
pri
Eq. 5.32
avec f pri et f post les densités de probabilité a priori et a posteriori des paramètres.
Il nous semble important de préciser comme le rappelle Reichert (2009, p.196) que la
statistique bayésienne partage les mêmes axiomes de probabilité que la statistique fréquentielle.
C’est ainsi que la formule de vraisemblance estimée à partir des observations selon le principe
de la statistique fréquentielle est utilisée dans le cadre bayésien pour traduire le degré de
confiance des observations au vu des valeurs des jeux possibles de paramètres.
5.3.1.3 Principe d’apprentissage
Un autre intérêt de l’inférence bayésienne est le principe d’apprentissage. En effet, pour un
calage donné d’un modèle, la distribution a priori des paramètres reflète la connaissance
actuelle. Dans le cas d’un premier calage, celle-ci peut être assez vague, on parle dans ce cas
d’une distribution a priori non informative. Mais si des calages du modèle ont déjà été effectués
antérieurement, la distribution a posteriori déterminée lors du calage précédent peut être utilisée
comme nouvelle distribution a priori. Ainsi, en même temps que des nouvelles observations
sont disponibles, les calages successifs du modèle s’effectuent sur la base des connaissances
acquises à l’issue du calage précédent. Le modélisateur ne repart donc pas de zéro, ce qui
potentiellement contribue à une meilleure efficacité et à une plus grande rapidité du calage.
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