Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
l’appellation de la méthode, dite de Williamson, adoptée par Bertrand-Krajewski. Pour une
synthèse sur les différentes méthodes possibles, nous faisons référence à Macdonald et
Thomson (1992) cité par Journeaux (2009).
Le principe de la méthode de Williamson consiste à minimiser la somme pondérée S W
suivante :
S
W
x X y Y
2 2
N
i i i i
2 2
i1 u( x
i) u( y
i)
Eq. 5.26
où (x i , y i ) sont les valeurs mesurées utilisées pour le calage et (X i , Y i ) les valeurs prédites, avec
Y i = f(X i ).
La somme à minimiser inclut donc de nouvelles quantités, les variables de prédiction X i ,
prises en compte de manière symétrique aux termes Y i . La pondération est également affectée de
manière symétrique aux deux termes de la somme, comme l’inverse des variances des x i et y i ,
u(x i ) 2 et u(y i ) 2 .
La minimisation de la somme consiste donc à déterminer les valeurs des n paramètres et des
N variables X i , telles que les dérivées par rapport à ces n + N inconnues soient nulles. Le
système d’équation à résoudre inclut donc les N termes supplémentaires suivants :
S
X
W
k
0, k [1: N]
Eq. 5.27
Les équations obtenues sont non linéaires. Lorsque la fonction f est un polynôme, Bertrand-
Krajewski (2007b) montre qu’il est relativement aisé de trouver une solution analytique pour le
cas d’une droite, mais que cela devient plus compliqué pour un polynôme de degré 2 et
impossible au delà du degré 3. Dans le cas général, la résolution du système nécessite la mise en
œuvre de méthodes numériques, par exemple l’algorithme de Levenberg-Marquardt (Levenberg
1944; Marquardt 1963).
Le point le plus critique de la méthode de Williamson réside dans l’évaluation des
incertitudes associées aux paramètres et dans l’évaluation des incertitudes des intervalles de
prédiction. En effet, du fait de l’absence de solution numérique, l’estimation des incertitudes
nécessite la mise en œuvre de techniques de Monte Carlo. La manière d’estimer les intervalles
de confiance est actuellement sujet à discussion entre les auteurs (Journeaux 2009; Bertrand-
Krajewski 2007b). Ce débat statistique est notamment lié à la manière de prendre en compte le
formalisme de la somme S W . Pour plus de détails, nous renvoyons aux références précédemment
citées.
5.2.4 Cas des modèles simples linéarisables
« Peu de phénomènes physiques conduisent directement à une relation linéaire entre les
grandeurs étudiées » (Journeaux 2009). Cependant dans le cas où la formulation du modèle reste
simple (e.g. forme puissance, racine), il peut être envisageable de ramener la fonction à une
forme linéaire sur les paramètres.
Une première solution est l’adoption d’une transformation mathématique simple, dans les
cas où cela est possible. L’exemple le plus connu est la transformation logarithmique des
modèles de type puissance (cf. paragraphe 2.1.2), par le logarithme népérien ou décimal.
Récemment, Dembélé (2010) a présenté d’autres exemples de transformations possibles. Quelle
que soit la transformation, le modèle optimal et les incertitudes peuvent être estimés à partir de
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