Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
distingués par Journeaux (2009). Pour chaque cas, la méthode d’estimation de la distribution de
probabilité des paramètres et de l’incertitude de prédiction est explicitée.
5.2.1 Méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO)
La régression linéaire a été développée au départ en considérant l’hypothèse de normalité,
d’indépendance et d’homoscédasticité des résidus. On fait de plus l’hypothèse supplémentaire
que la structure du modèle est connue parfaitement, que les variables d’entrée x j,j , j = [1,…n v ],
i = [1, …N] sont connues sans incertitudes et que les N observations y i , sont indépendantes. Il
s’agit de la technique de régression des Moindres Carrés Ordinaires (MCO), la plus utilisée
dans les études.
Distribution des paramètres
La fonction objectif considérée pour la détermination du jeu de paramètres le plus probable
est dans ce cas :
N
2
,
, [1: ]
Eq. 5.7
S y f x j n
MC i j i v
i1
En remplaçant f(x i ) par son expression 5.6 , S s’écrit :
N n
v
S y p x
MC i j j,
i
i1 j0
2
Eq. 5.8
La minimisation de S peut être effectuée directement. En effet les paramètres qui minimisent
la somme S(p 1 ,p 2 …p n ) sont tels que :
N n
S
v
MC
2 yi pj xj,
i
0
p0
i1 j0
, Eq. 5.9
N
n
S
v
MC
2 xj, i yi pj xj,
i
0
p j i1 j0
, j 1,...
n
Eq. 5.10
On obtient ainsi un système linéaire de n+1 équations à n+1 inconnues {p 0 ,p 1 ,p 2 …p n } à solution
unique, qui peut être résolu analytiquement. Une expression analytique du jeu de paramètres le
plus probable est alors obtenue. Par exemple, dans le cas d’une fonction affine :
f ( X ) p p X
Eq. 5.11
1 0 1 1
Les expressions des valeurs optimales de p 0 et p 1 obtenues sont les suivantes :
p
N
y
N
i
i1 i1
0, Opt
b1
N
N
x
i
,
Eq. 5.12
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