Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
simulation très mauvaise par rapport aux observations est à l’origine d’une valeur de résidus
très grande, qui elle-même a par hypothèse une vraisemblance très faible. A l’inverse, les jeux
les plus probables sont ceux pour lesquels les résidus sont très faibles, au sens que leur
vraisemblance est maximum.
Nous précisons que, par incertitude sur les paramètres, il est entendu les distributions
marginales de leurs estimateurs ainsi que leurs distributions jointes respectives.
Enfin, il est toujours possible d’identifier un jeu de paramètres le plus probable, dit
« optimal » au sens où il est associé à la vraisemblance maximale des résidus. Ceci étant, ce jeu
peut être plus ou moins bien défini suivant les caractéristiques des distributions des paramètres.
Ces dernières sont par ailleurs le reflet direct des différentes sources d’incertitude dans le
processus de modélisation.
5.1.3 Incertitude de prédiction
Le principe général de l’approche statistique adoptée pour l’estimation des intervalles de
prédiction a déjà été présenté dans le paragraphe 4.2.3. L’intervalle de confiance des prédictions
lié à l’estimation des paramètres résulte de la propagation de l’incertitude des paramètres à
travers le modèle. Cette dernière peut s’effectuer de manière analytique ou dans le cas plus
général par des simulations de Monte Carlo.
L’incertitude dite résiduelle définit la part de l’incertitude totale de prédiction qui n’est pas
liée aux incertitudes sur les paramètres. Cette erreur est potentiellement due aux insuffisances
structurelles du modèle ou à des erreurs sur les mesures des données d’entrée et observées.
Kuczera et al. (2006) mettent en évidence que ce terme résiduel est dans la majorité des cas
prédominant par rapport à l’incertitude liée à l’estimation des paramètres. Du fait de la non
linéarité des modèles et des interactions éventuelles entre les paramètres, il n’est de toute façon
pas possible de connaitre à l’avance l’importance des deux types d’incertitudes dans l’erreur de
prédiction totale.
Que ce soit pour les modèles linéaires simples ou complexes, les intervalles de prédiction
sont la plupart du temps estimés de manière additive. Dans ce cas, l’erreur totale peut être
estimée à partir de la simulation optimale, comme étant la somme de l’erreur liée à l’estimation
du jeu de paramètres optimal ε Par et de l’erreur résiduelle calculée à partir de la simulation
optimale ε Res . La prédiction y pred s’écrit alors :
y f ( , x)
Eq. 5.5
pred opt Par Res
5.2 Cas des modèles linéaires
Le cas le plus simple pour l’estimation des incertitudes est le modèle linéaire sur les valeurs
des paramètres à estimer, soit la fonction f telle que :
f ( X , j [1: n ]) p p X
j v 0 j j
j1
n v
Eq. 5.6
avec X j la jième variable d’entrée du modèle, j = [1 : n v ], et n v le nombre de variables d’entrée.
Suivant les hypothèses statistiques sur le terme d’erreur, différentes méthodes de résolution
sont envisageables. Nous présentons dans les paragraphes suivants les trois cas principaux
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