Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
(2009), qui exprime chaque résidu ε i comme une fonction du temps t et de l’espace x,ε,x,t) et en
notant ξ cette fonction :
x t x t x t x t X x t
, , , , , , , , , , , ,
Eq. 5.2
0
C M x R
avec ε 0 l’erreur liée à la mesure des observations, ε C l’erreur commensurable liée à la
discrétisation spatio-temporelle du modèle, ε M l’erreur de structure du modèle elle-même liée à
l’erreur ε X sur les données d’entrée X et enfin ε R un terme d’erreur aléatoire indépendant de
l’échelle de temps et d’espace des prédictions, Δt et Δx.
Beven (2009) adopte ce formalisme afin de mettre en évidence la difficulté de séparer de
manière formelle les différentes sources d’erreur. Non seulement il apparaît difficile d’estimer
statistiquement chacun des termes de manière indépendante (à moins d’effectuer des hypothèses
très fortes qui sont en général difficilement vérifiables) mais également ces derniers, dans la
majorité des cas, ne se propagent pas de manière linéaire dans les modèles. Beven (2009)
souligne notamment la difficulté de distinguer l’erreur de commensurabilité de l’erreur sur les
observations.
L’hypothèse la plus simple sur ξ est une relation linéaire correspondant à l’écriture suivante
de l’équation 5.1 :
, , , , , , , , , , , , ,
Y x t x t x t x t f X x t X x t
Eq. 5.3
0
C x M x R
Ainsi ε(x, t) s’écrit comme une fonction additive des différentes sources d’erreur :
x, t x, t x, t, x, t , X, , x,
t
Eq. 5.4
0
C M X R
Sous cette forme, il est facile de mettre en évidence la limite de l’hypothèse simple de
distribution normale centrée sur 0 et de variance constante des résidus (cf. paragraphe 4.2.2.1).
Ce type de distribution correspond en effet, par définition, à celle du terme aléatoire ε R . Ceci
implique plusieurs cas possibles, parmi lesquels : i) tous les autres termes d’erreur sont
également distribués de manière aléatoire ou se compensent, ce qui est peu vraisemblable du
fait de l’erreur sur la structure du modèle ii) soit cette dernière est considérée comme nulle, en
d’autres termes le modèle est considéré comme représentatif des processus réels, donc
« parfait », et les autres termes sont considérés comme nuls ou assimilables à un terme aléatoire.
Cette hypothèse, si elle s’avère vérifiée, peut représenter une manière intéressante de
simplifier la réalité, lorsque l’objectif du modélisateur n’est pas de distinguer les différentes
sources d’erreur. C’est par exemple l’hypothèse formulée dans la méthode des Moindres Carrés
Ordinaires (MCO) appliquée pour les modèles linéaires (voir paragraphe 5.2.1). La structure du
modèle et les données d’entrée sont considérées comme parfaitement connues. L’incertitude
résiduelle correspond alors à l’incertitude sur les observations qui s’est propagée de manière
linéaire dans le modèle. Ceci explique la raison pour laquelle la variance résiduelle est dans ce
cas aussi appelée variance liée, à laquelle elle est égale, si l’hypothèse est vérifiée.
5.1.2 Incertitudes sur les paramètres
La procédure de calage ne consiste plus seulement à déterminer le jeu de paramètres
maximisant la fonction de vraisemblance supposée (cf. équation 4.2), mais également
l’incertitude qui lui est associée. La distribution des estimateurs des paramètres est fonction de
la forme de vraisemblance supposée des résidus. Par exemple un jeu de paramètres donnant une
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