Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 4 : Le concept d’incertitude en modélisation en hydrologie urbaine
Cas des modèles complexes
Dès lors que l’expression de f(θ,X) est non linéaire et trop complexe pour être linéarisée, il
est impossible de formuler une expression analytique des dérivées partielles. De plus, la surface
de réponse de la fonction est susceptible de présenter des non linéarités importantes, des
optimums locaux ou des discontinuités (Duan et al. 1992). Ces effets sont d’autant plus marqués
que la structure du modèle est mal identifiée. Dans ce cas, l’emploi d’algorithmes
d’optimisation numérique, capables d’identifier de manière fiable et efficace l’optimum global
de la surface de réponse, devient nécessaire. Les méthodes principalement utilisées à l’heure
actuelle en hydrologie urbaine incluent les algorithmes génétiques ou dérivés de l a théorie de
l’évolution (Duan et al. 1992) ainsi que la méthode de Levenberg-Marquardt (Levenberg 1944;
Marquardt 1963). Cette dernière est implémentée notamment dans les outils de calage
automatique PEST (Doherty 1999) et CALIMERO (Kleidorfer et al. 2009). La méthode de
Levenberg-Marquardt a récemment été utilisée pour le calage des modèles de qualité des RUTP
(Kleidorfer 2009; Kleidorfer et al. 2009; Dembélé et Becouze 2010).
Des algorithmes de calage spécifiques à l’optimisation de fonctions multi-objectifs, basés
sur des stratégies d’évolution et la théorie des jeux optimum de Pareto, ont également été
développés ces dix dernières années (Madsen 2000; Muschalla 2008; Gamerith et al. 2008).
4.2.3 Calcul de l’incertitude de prédiction
L’incertitude sur les prédictions est évaluée à partir de l’analyse de l’incertitude avec
laquelle les données observées de calage sont reproduites. Comme pour le calage simple, cette
projection n’est fiable que si la série de données utilisée pour le calage est suffisamment
représentative des processus observés.
D’un point de vue statistique, l’idée de base est de caractériser les résidus entre les données
observées et simulées avec le jeu optimal, puis, à partir de cette caractérisation, de les
reproduire en prédiction. Il est donc fait l’hypothèse que les résidus en prédiction auront la
même nature que les résidus obtenus sur la période de calage.
La caractérisation statistique des résidus consiste à déterminer leur densité de probabilité,
c’est-à-dire la forme de leur distribution, leurs degrés d’auto-corrélation et d’homoscédasticité.
L’intervalle de prédiction est ensuite déterminé par des simulations de Monte Carlo à partir de
cette caractérisation.
L’intervalle de prédiction est calculé en prenant en compte deux sources d’incertitude :
- L’incertitude liée à l’estimation du jeu optimal de paramètres lui-même
déterminé lors de la procédure de calage. Cette incertitude provient du fait que
plusieurs jeux de paramètres peuvent donner des valeurs proches du critère de
performance. Le jeu optimal est celui qui en probabilité donne les meilleurs
résultats.
- L’incertitude résiduelle entre les valeurs simulées et observées. Pour chacune des
simulations obtenues par la propagation de l’incertitude des paramètres dans le
modèle, il reste un écart avec les observations.
L’incertitude de prédiction totale est la résultante de ces deux sources d’incertitude et est
calculée de manière à contenir un certain pourcentage des observations. Le principe de
l’estimation de l’incertitude de prédiction d’un point de vue statistique, avec l’exemple d’un
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