Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 4 : Le concept d’incertitude en modélisation en hydrologie urbaine
dernier critère est insensible aux erreurs additives et proportionnelles, surestimant
ainsi l’impact des outliers en comparaison des valeurs proches de la moyenne.
- La somme des carrés des écarts (SCE) : nous avons intentionnellement considéré
ce critère dans la classification des fonctions que nous qualifions d’ « intuitives ».
En effet si, au départ, la SCE est dérivée de la théorie statistique, ce critère est
très souvent utilisé sans vérification des caractéristiques statistiques des résidus.
D’autre part c’est à partir de cette formule que d’autres critères ont été
intuitivement proposés afin de pallier ses limites. Ces dernières se situent à deux
niveaux. Mathématiquement, la SCE donne le même poids à chacun des termes de
la somme quadratique. Ceci implique que, dans le cas où les valeurs élevées sont
mal reproduites (les résidus sont hétéroscédastiques et ne reflètent plus un bruit
aléatoire normalement distribué), ces dernières seront plus élevées en valeur
absolue et donc pèseront plus dans la valeur du critère. D’autre part la SCE a la
même unité que le carré des grandeurs observées et simulées. Sa valeur dépend
donc directement de la quantité de données simulées (longueur de la chronique de
pluie simulée ou nombre d’événements simulés) et de leurs valeurs absolues. Ces
éléments rendent difficile l’interprétation de la valeur du critère, particulièrement
lorsque l’objectif est de comparer les résultats pour différents jeux de calage ou
entre différents modèles.
- Les critères dérivés de la SCE : la RMSE, la somme des écarts absolus, la somme
des écarts quadratiques relatifs et pondérés. La RMSE présente les mêmes
caractéristiques que le critère de la SCE, à l’unité et la valeur absolue près. Les
trois autres fonctions dérivées ont été proposées afin de pallier le problème
d’hétéroscédasticité des résidus en donnant moins de poids par rapport à la SCE
aux valeurs de résidus élevées (Kanso et Chebbo 2002).
- Le coefficient de Nash et Sutcliffe (1970) et l’index d’ajustement de Willmott et
al. (1985) : l’intérêt de ces deux critères est de ramener les valeurs de la fonction
objectif entre et 1 et sans unité, ce qui facilite leur interprétation et les
comparaisons. Le coefficient de Nash et Sutcliffe est particulièrement utilisé en
hydrologie urbaine et pour la modélisation de la qualité des RUTP (Gamerith et
al. 2008; Dotto et al. 2009; Dembélé et Becouze 2010; Freni et al. 2010a). Il
représente le rapport de la SCE à la variance des données observées, soustrait de
1. Une valeur négative de ce coefficient indique que la valeur moyenne des
observations est un meilleur prédicteur que les simulations du modèle.
Choix de la fonction
Le choix du critère d’optimisation est subjectif et dépend d’abord de l’objectif de
modélisation. Par exemple, si le modélisateur cherche à privilégier les fortes valeurs, le choix
du critère de SCE ou de RMSE peut s’avérer pertinent, même si l’hypothèse d’homoscédasticité
n’est pas vérifiée. Dans le cas des modèles simples, par exemple de type multi-régression, où on
détermine des valeurs discrètes évenementielles (masses ou concentrations) et où l’hypothèse de
structure du modèle est acceptable (c’est-à-dire les résidus se rapprochent d’une distribution
normale), la RMSE peut être utilisée. Dans le cas des modèles simulant en continu les flux
47