Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 4 : Le concept d’incertitude en modélisation en hydrologie urbaine
L P yi | M( , xi ) \ i
Eq. 4.4
La vraisemblance décrit dont la probabilité des sorties du modèle comme une fonction des
paramètres.
Si on calcule les valeurs de L ε pour l’ensemble des jeux de paramètres dans l’espace des
possibles, la valeur maximale de L ε correspondra au jeu de paramètres qui prédit le mieux les y i
en probabilité. θ opt est le jeu qui semble le plus « vrai », sous l’hypothèse de la structure des
résidus. Pour des raisons de stabilité numérique et de simplification des calculs, la maximisation
de la vraisemblance s’effectue en général sous la forme logtransformée, en anglais
loglikelihood. Cette dernière sera notée dans la suite LogL ε .
A titre d’exemple, l’hypothèse la plus simple sur la distribution des résidus est la loi
normale. Dans ce cas, pour chaque résidu ε i , caractérisé par sa moyenne μ ε et son écart type ,
sa densité de probabilité f
s’exprime :
i
f
i
1
e
2
2
1i
2
Eq. 4.5
Et la vraisemblance des N valeurs de résidus :
L
N
i1
1
e
2
2
1i
2
Eq. 4.6
De plus, il est souvent supposé que les résidus sont de moyenne nulle et homoscédastiques :
0 et i,
C, avec C une constante. Eq. 4.7
L’hypothèse d’une distribution normale centrée sur zéro sous-entend que le modèle est bon
en moyenne et que les résidus non expliqués sont des termes aléatoires imputables aux
incertitudes sur les données. Cela revient donc à dire que la structure choisie du modèle est
correcte. Sous ces nouvelles hypothèses, L ε s’écrit :
Et la loglikelihood :
2
i
2
N
1
2
L
e
N
2 i 1
Eq. 4.8
2
i
2
N
1
2
LogL log
log e
N
2
i 1
Eq. 4.9
N
1 2
2 i
LogL N log 2 2
i 1
Eq. 4.10
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