Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 4 : Le concept d’incertitude en modélisation en hydrologie urbaine
du modèle permettant d’obtenir les meilleurs résultats, au vu d’un critère d’optimisation donné,
est retenue.
La structure optimale du modèle est définie par i) la conceptualisation des processus et les
équations les représentant ainsi que par ii) les valeurs de l’ensemble des paramètres qui s’y
rapportent. Le premier point définit la structure au sens strict tandis que la prise en compte du
deuxième se rapporte à la structure au sens large. La procédure d’optimisation consiste donc à
déterminer la meilleure structure au sens large ou la meilleure structure au sens strict et les
meilleures valeurs du jeu de paramètres s’y rapportant. Nous nous placerons ici dans le cas le
plus courant, où la structure au sens strict du modèle est considérée comme établie et que le
calage consiste uniquement à déterminer les valeurs optimales des paramètres.
4.2.2 Procédure de calage simple
La procédure de calage est donc définie au départ sans aucune prise en compte du concept
d’incertitude. Il s’agit dans ce cas d’un calage simple dont les valeurs optimales des paramètres
permettant de satisfaire au mieux les objectifs de performance du modélisateur. Ce sont ces
derniers qui conditionnent la définition du critère d’optimisation, qualifié de fonction objectif.
Outre le choix des paramètres dont les valeurs sont ajustées lors du calage, la mise en œuvre
du calage simple nécessite le choix de la fonction objectif et de l’algorithme mathématique
utilisé pour l’optimisation. Les différents choix possibles sont discutés dans les paragraphes
suivants.
4.2.2.1 Définition de la fonction objectif
Il existe deux points de vue pour la définition d’une fonction objectif, selon qu’elle est
directement dérivée de l’approche statistique ou non. Nous notons dans la suite X, Y et E les
variables se rapportant respectivement aux données d’entrée, à la variable simulée et aux écarts
entre les valeurs observées et simulées par le modèle. Nous notons x i , y i et ε i les valeurs prises
respectivement par ces variables pour une observation i avec i = [1:N] et N le nombre
d’observations disponibles pour le calage du modèle :
Y F ,
X E
Eq. 4.1
y f ,
x
Eq. 4.2
i
i
Les écarts ε i sont également appelés indifféremment résidus ou erreurs. Dans la suite nous
emploierons le terme résidus.
Point de vue statistique
Le point de vue statistique consiste à assigner des propriétés statistiques aux résidus. Le jeu
optimal θ opt est ensuite défini comme celui qui maximise la vraisemblance des résidus L ε :
N
fi
i1
L
Eq. 4.3
avec
f
la densité de probabilité du résidu ε i .
i
La vraisemblance, ou likelihood en anglais, représente la probabilité de prédire les y i pour le
modèle M( , x)
considéré, sous l’hypothèse que la structure supposée des résidus est vraie :
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