Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 5 – Chapitre 14 : Modèles de type Accumulation-Erosion-Transfert
Deq²
Sh (
eq) ( sin )
Eq. 14.36
8
avec :
2 h
2acos 1
D
eq
eq
Eq. 14.37
avec δ l’angle au centre de la canalisation équivalente pour la hauteur d’eau h eq . Il s’agit donc
d’estimer à chaque pas de temps la valeur de h eq à partir de la valeur de Q ex . On utilise pour cela
le modèle de Manning-Strickler dans le sens inverse :
h
1
f ( )
Eq. 14.38
eq
Q ex
avec f -1 la fonction réciproque du modèle de Manning-Strickler noté f :
Q
1/ 2
2/3
ex
f ( heq)
Ieq
KMS
S(
heq)
Rh
( heq)
Eq. 14.39
Étant donné qu’il n’existe pas de formule analytique simple pour l’expression de f -1 ,
l’estimation de h eq ne peut se faire directement. Une première méthode consiste à estimer h eq
numériquement (méthode de Newton par exemple), cependant cette méthode requiert des temps
de calcul non négligeables lorsqu’on travaille sur des simulations continues de longue durée. La
deuxième méthode possible, que nous avons adoptée, consiste à modéliser la fonction
réciproque par un ajustement par la méthode des moindres carrés ordinaires. Cette solution a
pour avantage que la fonction réciproque est estimée une seule fois en début de simulation en
considérant les valeurs de K MS , I eq et D eq fixées par le modélisateur, ce qui réduit
considérablement les temps de calcul.
Différents types de fonctions réciproques ont été testées. Une fonction polynôme unique ne
permettant pas de modéliser de manière satisfaisante les faibles valeurs de la hauteur d’eau dans
le collecteur, une fonction par morceaux a finalement été retenue :
- Une fonction racine carrée pour les faibles valeurs de débit (20 % du débit
maximum calculée avec la relation de Manning-Strickler)
- Une fonction linéaire pour la deuxième partie de la courbe.
La Figure 14.4 montre un exemple d’ajustement pour des valeurs de K MS = 75 m 1/3 /s,
I eq = 0.001 m/m et D eq = 1.5 m. La courbe apparaît moins bien estimée pour les hauteurs élevées.
Cependant, il convient de préciser que ces dernières sont rarement atteintes pour les deux sites.
Aussi, nous considérons cette approximation comme acceptable.
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