Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
Sous l’hypothèse d’additivité, le principe est analogue au cas du modèle linéaire, à la
différence que les incertitudes sont estimées par la méthode de Monte Carlo. L’erreur résiduelle
est estimée indépendamment par des simulations de Monte Carlo, qui prennent en compte la
distribution a posteriori estimée des paramètres du modèle d’erreur. Cette hypothèse peut se
justifier dans le cas où les résultats de calage mettent en évidence des corrélations très faibles
entre les valeurs des paramètres du modèle d’erreur et ceux du modèle.
Enfin, il est possible de déterminer un jeu de paramètres « optimal » : de la même manière
que pour les modèles linéaires, il correspond au maximum de vraisemblance de la distribution a
posteriori.
5.3.6 Avantages et limites de l’approche
La validité théorique de l’approche
Le premier avantage des méthodes statistiques est qu’elles sont basées sur un corpus
théorique. De ce point de vue, leur validité n’est pas remise en cause, sous réserve des
conditions dans lesquelles elles sont appliquées.
Nous avons considéré ici le cas d’une structure de modèle fixée, pour laquelle nous
cherchons à optimiser les valeurs des paramètres. Mais la théorie bayésienne peut tout aussi
bien être appliquée sur la structure du modèle au sens large, offrant ainsi la possibilité de
comparer les performances de plusieurs modèles (Duan et al. 2007 ; Beven 2009; Reichert
2009). La distribution a posteriori se rapporte dans ce cas à la probabilité d’une structure de
modèle associée à une valeur de ses paramètres au vu des données disponibles.
La validité des hypothèses sur les résidus
Que ce soit pour les modèles linéaires ou complexes, l’estimation des incertitudes n’est
valide que si les hypothèses formulées sur les caractéristiques des résidus le sont. En effet, c’est
le modèle d’erreur qui conditionne la forme de la vraisemblance, et du coup les caractéristiques
estimées des paramètres et des intervalles de prédiction.
Dans la majorité des études en hydrologie urbaine, l’hypothèse des Moindres Carrés est
considérée. Cette hypothèse se vérifie relativement bien dans le cas des modèles linéaires, à
partir du moment où la structure de modèle testé suit à peu près la tendance des observations.
En revanche c’est moins systématique pour les modèles complexes de simulation continue. Les
pointes de débit et de concentration sont souvent moins bien estimées ou vice versa. Il n’est pas
facile de proposer un modèle capable de reproduire toutes les observations avec une précision
comparable. Par exemple pour le cas d’un modèle hydrologique de bassins versants ruraux,
Schoups et Vrugt (2010a) mettent en évidence que la distribution des résidus montre en réalité
un effet non négligeable de Kurtosis avec une auto-corrélation des résidus significative. Dans ce
cas, une hypothèse de type Moindres Carrés conduira à une sous-estimation des intervalles de
prédiction des grandes valeurs et inversement une surestimation des faibles valeurs.
De plus, Beven (2009) souligne l’importance de prendre en compte l’auto-corrélation des
résidus. Ignorer une auto-corrélation significative risque de mener à une surestimation du
contenu informatif de chaque nouvelle observation et ainsi à une sur-détermination de la
distribution des paramètres. Dans les cas précédemment cités, il devient nécessaire d’adopter un
modèle d’erreur plus complexe (cf. Tableau 5.1), souvent plus difficile à mettre en œuvre.
Une des solutions possibles est de caler les modèles sur une forme transformée afin de se
ramener à une forme simple des résidus. Une transformation logarithmique (e.g. Romanowicz et
77